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- Vergleiche die Gleichung mit der Standardform einer Kugelgleichung. - Achte auf die Vorzeichen in den Klammern. - Welche Beziehung besteht zwischen der rechten Seite und dem Radius?

1. Aus den drei quadratischen Klammern liest man den Mittelpunkt \(M(2|-1|4)\) ab. 2. Auf der rechten Seite steht \(r^2=25\), also ist \(r=5\).

Mittelpunkt: \(M(2|-1|4)\) Radius: \(r=5\,\text{LE}\)

- Welche Länge kannst du direkt aus der Abbildung ablesen? - Wie erscheinen die Koordinaten des Mittelpunkts in der Standardform einer Kugelgleichung? - Steht auf der rechten Seite der Kugelgleichung der Radius oder sein Quadrat?

1. Aus der Abbildung liest man den Radius \(r=4\,\text{LE}\) ab. Daher gilt \(r^2=16\). 2. Für den Mittelpunkt \(M(-3|2|1)\) lautet die Standardform \((x_1+3)^2 + (x_2-2)^2 + (x_3-1)^2 = r^2\). 3. Damit ist Gleichung A korrekt.

A: \((x_1+3)^2 + (x_2-2)^2 + (x_3-1)^2 = 16\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Oberfläche und dem Radius? - In welcher Form stehen die Koordinaten des Mittelpunkts in der Kugelgleichung?

1. Berechnung des Radius \(r\) als Abstand zwischen \(M\) und \(P\): \(r = \sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2 + (4-4)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Aufstellen der Vektorform: \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\| = 5\) oder \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\|^2 = 25\). 3. Aufstellen der Koordinatenform durch Einsetzen von \(M\) und \(r^2\): \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 4)^2 = 25\).

Vektorform: \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\| = 5\) (alternativ \(\left\| \vec{x} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\|^2 = 25\)) Koordinatenform: \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 1)^2 + (x_3 - 4)^2 = 25\)

- Welche Informationen über Mittelpunkt und Radius kannst du direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Welche Größe musst du für jeden Punkt mit \(r^2\) vergleichen? - Für den Vergleich ist es nicht nötig, aus jedem quadrierten Abstand die Wurzel zu ziehen.

1. Aus der Kugelgleichung liest man \(M(1|-4|2)\) und \(r=7\) ab. 2. Für \(A\) ist \(d(A,M)^2=0^2+6^2+(-3)^2=45<49\). Daher liegt \(A\) innerhalb der Kugel. 3. Für \(B\) ist \(d(B,M)^2=6^2+(-2)^2+3^2=49\). Daher liegt \(B\) auf der Kugel. 4. Für \(C\) ist \(d(C,M)^2=(-4)^2+4^2+6^2=68>49\). Daher liegt \(C\) außerhalb der Kugel.

\(A\): innerhalb der Kugel \(B\): auf der Kugel \(C\): außerhalb der Kugel

- Wo muss der Mittelpunkt einer Kugel liegen, wenn die Kugel eine Ebene in einem vorgegebenen Punkt berührt? - Welche Koordinate verändert sich senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene? - Wie viele Mittelpunkte im Abstand \(3\,\text{LE}\) von der Ebene kommen durch den festen Berührpunkt infrage?

1. Bei einer Berührung steht der Radius im Berührpunkt senkrecht auf der Tangentialebene. Daher liegen die Mittelpunkte auf der Geraden durch \(B\) in \(x_3\)-Richtung. 2. Ihr Abstand von der Ebene \(x_3=0\) muss \(3\) betragen. Damit sind \(M_1(2|1|3)\) und \(M_2(2|1|-3)\) die beiden möglichen Mittelpunkte. 3. Die Kugelgleichungen sind \(K_1:(x_1-2)^2+(x_2-1)^2+(x_3-3)^2=9\) und \(K_2:(x_1-2)^2+(x_2-1)^2+(x_3+3)^2=9\).

\(K_1:(x_1-2)^2+(x_2-1)^2+(x_3-3)^2=9\) \(K_2:(x_1-2)^2+(x_2-1)^2+(x_3+3)^2=9\)

- Wie hängen der Mittelpunkt einer Kugel und die Endpunkte eines Durchmessers zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke im Raum. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem? - Was muss gelten, damit ein Punkt genau auf der Oberfläche einer Kugel liegt?

1. Berechnung des Mittelpunkts \(M\) als Mittelpunkt der Strecke \(AB\): \(\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1+7 \\ 1+9 \\ 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Radiusquadrats \(r^2\) über den Abstand \(AM\): \(r^2 = \|\vec{AM}\|^2 = (4-1)^2 + (5-1)^2 + (1-1)^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25\). 3. Aufstellen der Kugelgleichungen: Vektorform \(K: \left\|\vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\right\|^2 = 25\); Koordinatenform \(K: (x_1 - 4)^2 + (x_2 - 5)^2 + (x_3 - 1)^2 = 25\). 4. Punktprobe mit \(P(8 | 2 | 1)\): Einsetzen in die Koordinatenform ergibt \((8 - 4)^2 + (2 - 5)^2 + (1 - 1)^2 = 4^2 + (-3)^2 + 0^2 = 16 + 9 = 25\). Da die Gleichung erfüllt ist (\(25 = 25\)), liegt der Punkt \(P\) auf der Kugeloberfläche.

a) Vektorform: \(K: \left\|\vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\right\|^2 = 25\); Koordinatenform: \((x_1 - 4)^2 + (x_2 - 5)^2 + (x_3 - 1)^2 = 25\) b) Ja, der Punkt \(P\) liegt auf der Kugeloberfläche, da der Abstand zum Mittelpunkt exakt dem Radius \(r = 5\) entspricht.

- Welche Angaben zu Mittelpunkt und Radius kannst du direkt aus der Kugelgleichung ablesen? - Welche Länge hat \(\vec{MQ}\), und wie kannst du damit Teil a) entscheiden? - Welche besondere Sehne einer Kugel entsteht, wenn eine Gerade durch den Mittelpunkt verläuft? - Welche Punktbeziehung gilt zwischen den beiden Endpunkten eines Durchmessers und seinem Mittelpunkt?

1. Aus der Kugelgleichung folgen \(M(5|-2|1)\) und \(r=7\,\text{LE}\). 2. Es ist \(\vec{MQ}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\) und damit \(|\vec{MQ}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7\,\text{LE}=r\). Also liegt \(Q\) auf \(K\). 3. Da \(g\) durch den Mittelpunkt \(M\) verläuft, bilden die beiden Schnittpunkte mit der Kugel die Endpunkte eines Durchmessers. Daher ist \(M\) der Mittelpunkt von \(\overline{QR}\). 4. Somit gilt \(\vec{OR}=2\vec{OM}-\vec{OQ}=\begin{pmatrix}3\\-5\\-5\end{pmatrix}\), also \(R(3|-5|-5)\). 5. Einsetzen liefert \((3-5)^2+(-5+2)^2+(-5-1)^2=4+9+36=49\). Damit liegt \(R\) auf \(K\).

a) \(Q\) liegt auf \(K\), denn \(|\vec{MQ}|=7\,\text{LE}=r\). b) \(R(3|-5|-5)\) c) Für \(R\) ergibt die linke Seite der Kugelgleichung \(49\); damit ist \(R\) als zweiter Schnittpunkt bestätigt.

- Welche geometrische Punktmenge besteht aus allen Punkten mit festem Abstand zu einem gegebenen Punkt? - Für Teil b) kannst du die Punktkoordinaten direkt in die gefundene Gleichung einsetzen. - Welche Terme verschwinden in Teil c), wenn \(x_1\) und \(x_3\) fest vorgegeben sind?

1. Alle gesuchten Punkte haben von \(A\) den Abstand \(7\). Daher gilt \((x_1-2)^2+(x_2+3)^2+(x_3-5)^2=49\). 2. Für \(P\) ergibt die linke Seite \(0^2+7^2+0^2=49\). Also erfüllt \(P\) die Bedingung. 3. Für \(Q\) ergibt die linke Seite \(4^2+3^2+0^2=25\). Also erfüllt \(Q\) die Bedingung nicht. 4. Für Teil c) gilt \(x_1=2\) und \(x_3=5\). Damit folgt \((x_2+3)^2=49\). 5. Also ist \(x_2=4\) oder \(x_2=-10\). Die Punkte sind \(S_1(2|4|5)\) und \(S_2(2|-10|5)\).

a) \((x_1-2)^2+(x_2+3)^2+(x_3-5)^2=49\) b) \(P\) erfüllt die Bedingung; \(Q\) erfüllt sie nicht. c) \(S_1(2|4|5)\) und \(S_2(2|-10|5)\)

- Betrachte die Terme zu \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) zunächst getrennt. - Wie hängt bei \(x_i^2+bx_i\) der lineare Koeffizient mit dem Term in einer binomischen Klammer zusammen? - Achte darauf, die beim Ergänzen entstehenden Konstanten auf beiden Seiten der Gleichung korrekt zu berücksichtigen. - Welche Angaben lassen sich aus der fertigen Mittelpunktsform direkt ablesen?

1. Die drei Koordinatenterme werden jeweils zu vollständigen Quadraten ergänzt: \(x_1^2-6x_1=(x_1-3)^2-9\), \(x_2^2+4x_2=(x_2+2)^2-4\) und \(x_3^2-2x_3=(x_3-1)^2-1\). 2. Damit wird die Gleichung zu \((x_1-3)^2-9+(x_2+2)^2-4+(x_3-1)^2-1=11\). 3. Nach dem Zusammenfassen folgt \((x_1-3)^2+(x_2+2)^2+(x_3-1)^2=25\). 4. Daher ist \(M(3|-2|1)\) und \(r=5\,\text{LE}\).

\((x_1-3)^2+(x_2+2)^2+(x_3-1)^2=25\), \(M(3|-2|1)\), \(r=5\,\text{LE}\)

- Was sagt die Definition einer Kugel über den Abstand ihrer Oberflächenpunkte zum Mittelpunkt aus? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, die den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum beschreibt? - Welche Schritte sind nötig, um eine Gleichung mit einer quadrierten Klammer nach der Unbekannten aufzulösen? - Gibt es möglicherweise mehr als eine Lösung für die gesuchte Koordinate?

1. Da \(P\) auf der Kugeloberfläche liegt, muss der Abstand zwischen \(M\) und \(P\) genau dem Radius entsprechen: \(d(M, P) = |\vec{MP}| = 9\). 2. Aufstellen der Abstandsformel: \(\sqrt{(x-2)^2 + (5-1)^2 + (12-4)^2} = 9\). 3. Quadrieren und Vereinfachen der Gleichung: \((x-2)^2 + 4^2 + 8^2 = 81 \Rightarrow (x-2)^2 + 16 + 64 = 81 \Rightarrow (x-2)^2 + 80 = 81\). 4. Isolieren des Quadrats: \((x-2)^2 = 1\). 5. Lösen der Gleichung: \(x-2 = 1\) oder \(x-2 = -1\), woraus \(x = 3\) oder \(x = 1\) folgt.

\(x = 1\) oder \(x = 3\)

- Welche Form müsste die Gleichung haben, damit Mittelpunkt und Radius direkt ablesbar wären? - Betrachte die Terme mit \(x_1\) und \(x_2\) jeweils als begonnene Binome. - Für die Lage von \(A\) reicht ein Vergleich des quadrierten Mittelpunktabstands mit \(r^2\).

1. Die Gleichung wird in die Mittelpunktsform umgeformt: \(x_1^2+6x_1+x_2^2-4x_2+x_3^2=12\). 2. Durch Ergänzen der Quadrate erhält man \((x_1+3)^2+(x_2-2)^2+x_3^2=25\). 3. Daher ist \(M(-3|2|0)\) und \(r=5\). 4. Für \(A\) ist \((1+3)^2+(0-2)^2+4^2=36\). Da \(36>25=r^2\), liegt \(A\) außerhalb der Kugel.

a) \(M(-3|2|0)\), \(r=5\) b) Der Punkt \(A\) liegt außerhalb der Kugel.

- Welche Zielgestalt der Kugelgleichung macht Mittelpunkt und Radius sichtbar? - Welche drei linearen Terme musst du beim Umformen zusammen mit ihren Quadrattermen betrachten? - Wenn ein Punkt außerhalb der Kugel liegt, wie hängen Mittelpunktabstand, Radius und Abstand zur Oberfläche zusammen?

1. Durch Umformen erhält man \((x_1+3)^2+(x_2-2)^2+(x_3+1)^2=25\). 2. Daher ist \(M(-3|2|-1)\) und \(r=5\). 3. Der Mittelpunktabstand ist \(d(P,M)=\sqrt{12^2+5^2+0^2}=13\). 4. Da \(13>5\), liegt \(P\) außerhalb der Kugel. 5. Der kürzeste Abstand zur Kugeloberfläche beträgt \(13-5=8\).

a) \(M(-3|2|-1)\), \(r=5\) b) \(d(P,M)=13\,\text{LE}\) c) \(P\) liegt außerhalb; der Abstand zur Kugeloberfläche beträgt \(8\,\text{LE}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Mittelpunkt und den beiden Endpunkten eines Durchmessers? - Wie kannst du prüfen, ob \(R\) denselben Abstand von \(M\) hat wie \(P\)? - Betrachte für Teil c) einen ebenen Schnitt durch die drei Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\). Welche Rolle spielt darin die Strecke \(PQ\)?

1. Da \(M\) der Mittelpunkt des Durchmessers \(\overline{PQ}\) ist, gilt \(Q=2M-P\). Damit ist \(Q(-1|7|-1)\). 2. Der Radius erfüllt \(r^2=(5-2)^2+(-1-3)^2+(-1+1)^2=25\), also \(r=5\). 3. Für \(R\) gilt \(d(M,R)^2=(2-2)^2+(6-3)^2+(3+1)^2=25\). Daher liegt \(R\) auf der Kugel. 4. Weil \(PQ\) ein Durchmesser ist und \(R\) auf der Kugeloberfläche liegt, ist der Winkel \(\angle PRQ\) ein rechter Winkel.

a) \(Q(-1|7|-1)\) b) \(R\) liegt auf der Kugeloberfläche. c) Das Dreieck \(PQR\) ist bei \(R\) rechtwinklig.

- Wie liest man die Kenngrößen einer Kugel aus ihrer Koordinatengleichung ab? - Wenn \(M\) genau in der Mitte zwischen \(A\) und \(B\) liegt, wie kannst du dann \(B\) berechnen? - Was bedeutet es für das Skalarprodukt zweier Vektoren, wenn diese einen rechten Winkel einschließen? - Welche geometrische Figur entsteht, wenn man zwei Endpunkte eines Durchmessers mit einem weiteren Punkt auf der Oberfläche verbindet?

1. Aus der Kugelgleichung in Normalform \((x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2\) lassen sich der Mittelpunkt \(M(4|-1|2)\) und der Radius \(r = \sqrt{81} = 9\) direkt ablesen. 2. Da \(\overline{AB}\) ein Durchmesser ist, ist \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\). Es gilt \(\vec{B} = \vec{M} + \vec{AM} = 2\vec{M} - \vec{A}\). Einsetzen ergibt \(\vec{B} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(4|-10|2)\). 3. Nach dem Satz des Thales bilden ein Durchmesser \(\overline{AB}\) und ein weiterer Punkt \(C\) auf der Kugeloberfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel am Punkt \(C\). Da die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) somit orthogonal zueinander stehen, muss ihr Skalarprodukt null sein.

a) \(M(4|-1|2)\), \(r = 9\) b) \(B(4|-10|2)\) c) Da \(\overline{AB}\) ein Durchmesser ist und \(C\) auf der Kugel liegt, ist das Dreieck \(ABC\) nach dem Satz des Thales rechtwinklig bei \(C\). Die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) sind orthogonal, weshalb ihr Skalarprodukt \(0\) ist.

- Welche Mittelpunktkoordinate bestimmt jeweils den Abstand zu einer Koordinatenebene? - Welche zwei Vorzeichenmöglichkeiten gibt es für jede der beiden durch Tangentialbedingungen festgelegten Koordinaten? - Welche Koordinate wird durch die zusätzliche Ebene des Mittelpunkts direkt festgelegt?

1. Aus der Berührung der \(x_1x_3\)-Ebene \(x_2=0\) folgt \(|x_{2,M}|=5\). 2. Aus der Berührung der \(x_2x_3\)-Ebene \(x_1=0\) folgt \(|x_{1,M}|=5\). 3. Wegen \(x_3=10\) ist die dritte Mittelpunktkoordinate \(10\). 4. Damit sind die vier möglichen Mittelpunkte \((5|5|10)\), \((5|-5|10)\), \((-5|5|10)\) und \((-5|-5|10)\). 5. Einsetzen in die Mittelpunktsform liefert die vier Kugelgleichungen.

\((x_1-5)^2+(x_2-5)^2+(x_3-10)^2=25\) \((x_1-5)^2+(x_2+5)^2+(x_3-10)^2=25\) \((x_1+5)^2+(x_2-5)^2+(x_3-10)^2=25\) \((x_1+5)^2+(x_2+5)^2+(x_3-10)^2=25\)

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Beziehung muss zwischen dem Abstand eines Punktes zum Mittelpunkt und dem Radius der Kugel gelten, damit der Punkt auf der Kugeloberfläche liegt? - Überlege dir, wie sich diese Bedingung für das Innere und das Äußere der Kugel ändert. - Es ist oft einfacher, mit den Quadraten der Abstände zu rechnen, um Wurzeln zu vermeiden.

1. Aufstellen des Abstandsquadrats zwischen \(M\) und \(P\): \(d^2 = (4-1)^2 + (1-1)^2 + (c-1)^2 = 9 + (c-1)^2\). 2. Bedingung für „auf der Kugeloberfläche“ (\(d^2 = r^2\)): \(9 + (c-1)^2 = 25 \Rightarrow (c-1)^2 = 16\). 3. Lösen der Gleichung: \(c-1 = 4\) oder \(c-1 = -4\), woraus \(c = 5\) oder \(c = -3\) folgt. 4. Bedingung für „innerhalb“ (\(d^2 < 25\)): \((c-1)^2 < 16 \Rightarrow -4 < c-1 < 4 \Rightarrow -3 < c < 5\). 5. Bedingung für „außerhalb“ (\(d^2 > 25\)): \((c-1)^2 > 16 \Rightarrow c-1 > 4\) oder \(c-1 < -4 \Rightarrow c > 5\) oder \(c < -3\).

Innerhalb: \(-3 < c < 5\) Auf der Kugeloberfläche: \(c = -3\) oder \(c = 5\) Außerhalb: \(c < -3\) oder \(c > 5\)

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Kugelgleichung ein oder berechne den Abstand zum Mittelpunkt. - Du erhältst einen quadratischen Ausdruck in Abhängigkeit von \(c\). - Wann ist ein quadratischer Term kleiner oder größer als ein bestimmter Wert? Eine Skizze der entsprechenden Parabel kann helfen. - Achte darauf, dass \(c\) an mehreren Stellen in den Koordinaten vorkommen kann.

1. Berechnung des quadrierten Abstands \(d^2\) von \(P\) zu \(M\): \(d^2 = (c-0)^2 + (c-1)^2 + (1-0)^2 = c^2 + c^2 - 2c + 1 + 1 = 2c^2 - 2c + 2\). 2. Gleichsetzen mit dem Quadrat des Radius \(r^2 = 6\) für Punkte auf der Kugel: \(2c^2 - 2c + 2 = 6 \Rightarrow 2c^2 - 2c - 4 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(c^2 - c - 2 = 0\) ergibt die Nullstellen \(c_1 = 2\) und \(c_2 = -1\). 4. Da die Parabel \(f(c) = 2c^2 - 2c - 4\) nach oben geöffnet ist, gilt: - \(d^2 = r^2\) für \(c = -1\) oder \(c = 2\) (auf der Oberfläche). - \(d^2 < r^2\) für \(-1 < c < 2\) (im Inneren). - \(d^2 > r^2\) für \(c < -1\) oder \(c > 2\) (im Äußeren).

Im Inneren: \(-1 < c < 2\) Auf der Oberfläche: \(c = -1\) oder \(c = 2\) Im Äußeren: \(c < -1\) oder \(c > 2\)

- Welchen Abstand hat der Mittelpunkt einer Kugel zu einer Koordinatenebene, wenn er diese berührt? - Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\)? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt auf der Oberfläche einer Kugel liegt? - Beachte die Bedingung, dass alle Koordinaten des Mittelpunktes positiv sein müssen.

1. Da die Kugel die \(x_2x_3\)-Ebene (\(x_1 = 0\)) und die \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)) berührt und alle Koordinaten des Mittelpunktes positiv sind, entsprechen die Koordinaten \(m_1\) und \(m_3\) dem Radius: \(m_1 = 9\) und \(m_3 = 9\). 2. Aufstellen der Kugelgleichung mit dem unbekannten \(m_2\): \((x_1 - 9)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - 9)^2 = 9^2\). 3. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(5 | 1 | 5)\) in die Gleichung: \((5 - 9)^2 + (1 - m_2)^2 + (5 - 9)^2 = 81\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \((-4)^2 + (1 - m_2)^2 + (-4)^2 = 81 \implies 16 + (1 - m_2)^2 + 16 = 81 \implies (1 - m_2)^2 = 49\). 5. Lösen nach \(m_2\): \(1 - m_2 = 7 \implies m_2 = -6\) (nicht im positiven Bereich) oder \(1 - m_2 = -7 \implies m_2 = 8\). 6. Der Mittelpunkt ist somit \(M(9 | 8 | 9)\).

\(M(9 | 8 | 9)\)

- Welche Daten der gegebenen Kugel kannst du direkt aus ihrer Gleichung ablesen? - Welche Lagebeziehung haben die beiden Mittelpunkte und der Berührpunkt bei einer Kugelberührung? - In welche Richtung liegt der neue Mittelpunkt bei einer äußeren Berührung?

1. Die gegebene Kugel hat den Mittelpunkt \(M_K(1|2|3)\) und den Radius \(5\). 2. Der Vektor \(\vec{M_KB}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\) hat die Länge \(5\). 3. Bei äußerer Berührung liegen die beiden Mittelpunkte und der Berührpunkt auf einer Geraden, wobei \(B\) zwischen den Mittelpunkten liegt. Der neue Mittelpunkt liegt daher von \(B\) aus in Richtung \(\vec{M_KB}\) im Abstand \(10\). 4. Somit ist \(M_S=B+2\vec{M_KB}=(1|14|12)\). 5. Die gesuchte Kugel lautet \((x_1-1)^2+(x_2-14)^2+(x_3-12)^2=100\).

\((x_1-1)^2+(x_2-14)^2+(x_3-12)^2=100\)

- Bestimme zuerst Mittelpunkt und Radius der gegebenen Kugel. - Welche gemeinsame Gerade enthält bei einer Berührung die beiden Mittelpunkte und den Berührpunkt? - Vom Berührpunkt aus gibt es zwei Richtungen auf dieser Geraden. Welche beiden Berührungsarten entstehen dadurch?

1. Es ist \(M_K(1|-2|2)\) und \(r_K=12\). 2. Der Vektor \(\vec{M_KP}=\begin{pmatrix}4\\8\\-8\end{pmatrix}\) hat die Länge \(12\). 3. Die Mittelpunkte der gesuchten Kugeln liegen auf der Geraden durch \(M_K\) und \(P\) und haben von \(P\) den Abstand \(6\). 4. Ein Vektor der Länge \(6\) in dieser Richtung ist \(\frac{1}{2}\vec{M_KP}=\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}\). 5. Daher sind die Mittelpunkte \(M_1(7|10|-10)\) und \(M_2(3|2|-2)\). 6. Die Kugelgleichungen lauten \(S_1:(x_1-7)^2+(x_2-10)^2+(x_3+10)^2=36\) und \(S_2:(x_1-3)^2+(x_2-2)^2+(x_3+2)^2=36\).

\(S_1:(x_1-7)^2+(x_2-10)^2+(x_3+10)^2=36\) \(S_2:(x_1-3)^2+(x_2-2)^2+(x_3+2)^2=36\)

- Welche Koordinate ändert sich bei der senkrechten Verschiebung von der Grund- zur Deckfläche? - Wo muss der Kugelmittelpunkt zwischen Grund- und Deckfläche liegen, damit entsprechende Eckpunkte gleich weit entfernt sind? - Welcher Punkt des rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\) ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt?

1. Durch die senkrechte Verschiebung um \(6\) erhält man \(D(4|0|6)\), \(E(0|4|6)\) und \(F(0|0|6)\). 2. Der Kugelmittelpunkt liegt wegen der Symmetrie in der Mittelebene \(x_3=3\). Seine Projektion in die \(x_1x_2\)-Ebene muss von \(A\), \(B\) und \(C\) gleich weit entfernt sein. 3. Für das rechtwinklige Dreieck \(ABC\) ist dieser Punkt der Mittelpunkt der Hypotenuse \(AB\), also \((2|2)\). Damit ist \(M(2|2|3)\). 4. Es ist \(r^2=d(M,C)^2=2^2+2^2+3^2=17\). 5. Die Umkugel lautet \((x_1-2)^2+(x_2-2)^2+(x_3-3)^2=17\).

a) \(D(4|0|6)\), \(E(0|4|6)\), \(F(0|0|6)\) b) \((x_1-2)^2+(x_2-2)^2+(x_3-3)^2=17\)

- Welche Information liefert der Durchmesser der Kugel für den Radius? - Wie hängen die maximale Höhe der Kugel und die Position des Mittelpunkts auf der vertikalen Achse zusammen? - Welche Koordinate hat jeder Punkt, der genau auf der Erdoberfläche liegt? - Wie berechnet man den Umfang eines Kreises, wenn man seinen Radius kennt?

1. Bestimmung des Kugelradius: Da der Durchmesser \(20\,\text{m}\) beträgt, ist der Radius \(R = 10\,\text{m}\). 2. Bestimmung des Mittelpunkts \(M(0|0|z_M)\): Die maximale Höhe über dem Boden ist \(16\,\text{m}\), also liegt der höchste Punkt bei \((0|0|16)\). Da dieser Punkt den Abstand \(R\) zum Mittelpunkt hat, gilt \(z_M + 10 = 16\), woraus \(z_M = 6\) folgt. Der Mittelpunkt ist \(M(0|0|6)\). 3. Aufstellen der Kugelgleichung: Mit \(M(0|0|6)\) und \(R = 10\) ergibt sich \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 - 6)^2 = 100\). 4. Berechnung des Bodenradius \(r\): An der Erdoberfläche ist \(x_3 = 0\). Einsetzen in die Gleichung liefert \(x_1^2 + x_2^2 + (0 - 6)^2 = 100\), also \(x_1^2 + x_2^2 = 100 - 36 = 64\). Der Radius des Schnittkreises ist somit \(r = \sqrt{64} = 8\,\text{m}\). 5. Berechnung des Umfangs: \(U = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi \approx 50{,}27\,\text{m}\).

a) Eine mögliche Kugelgleichung ist \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 - 6)^2 = 100\). b) Der Umfang des Kreises beträgt \(16\pi\,\text{m} \approx 50{,}27\,\text{m}\).

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass sie der Form \((x_1-m_1)^2 + (x_2-m_2)^2 + (x_3-m_3)^2 = r^2\) entspricht? - Welches mathematische Verfahren hilft dir dabei, gemischte Terme wie \(x_1^2 - 8x_1\) in ein Binom zu verwandeln? - Was muss auf der rechten Seite der Gleichung stehen, damit der Radius genau 7 beträgt? - Wie hängen die Vorzeichen in den Klammern mit den Koordinaten des Mittelpunkts zusammen?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung für alle drei Koordinaten: \((x_1 - 4)^2 - 16 + (x_2 + 5)^2 - 25 + (x_3 + 2)^2 - 4 + c = 0\). 2. Umformung der Gleichung in die Mittelpunktsform: \((x_1 - 4)^2 + (x_2 + 5)^2 + (x_3 + 2)^2 = 45 - c\). 3. Bestimmung des Mittelpunkts aus den Binomen: \(M(4 \mid -5 \mid -2)\). 4. Gleichsetzen des Terms für das Radiusquadrat mit dem Quadrat des gegebenen Radius \(r = 7\): \(45 - c = 7^2 = 49\). 5. Auflösen nach \(c\): \(c = 45 - 49 = -4\).

\(c = -4\); Mittelpunkt \(M(4 \mid -5 \mid -2)\)

- Welcher gemeinsame Faktor lässt sich zunächst aus der gesamten Gleichung entfernen? - In welche Form müsste die Gleichung gebracht werden, damit sich die Existenz einer Kugel beurteilen lässt? - Welche Bedingung muss die rechte Seite einer Summe von drei Quadraten erfüllen?

1. Division durch \(3\) ergibt \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1-6x_2+8x_3+31=0\). 2. Umformen in Quadrate liefert \((x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3+4)^2=-2\). 3. Die linke Seite ist für reelle Koordinaten stets nichtnegativ, kann also nicht \(-2\) sein. 4. Daher beschreibt die Gleichung keine Kugel; ihre reelle Lösungsmenge ist leer.

Die Gleichung beschreibt keine Kugel, weil sie äquivalent zu \((x_1+2)^2+(x_2-3)^2+(x_3+4)^2=-2\) ist und eine Summe reeller Quadrate nicht negativ sein kann.

- In welcher Form einer Kugelgleichung sind Mittelpunkt und Radiusquadrat direkt ablesbar? - Welche Bedingung muss das Radiusquadrat erfüllen, damit eine Kugel mit positivem Radius entsteht? - Für Teil c) ist der Radius gegeben. Welche Größe steht in der Gleichung jedoch als rechte Seite?

1. Umformen ergibt \((x_1-2k)^2+(x_2+1)^2+(x_3-3)^2=4k^2-3\). 2. Daher ist \(M_k(2k|-1|3)\) und \(r^2=4k^2-3\). 3. Eine Kugel mit positivem Radius liegt genau dann vor, wenn \(4k^2-3>0\). Das ist äquivalent zu \(|k|>\frac{\sqrt{3}}{2}\). 4. Für \(r=5\) gilt \(4k^2-3=25\), also \(k^2=7\). 5. Damit ist \(k=\sqrt{7}\) oder \(k=-\sqrt{7}\).

a) \(M_k(2k|-1|3)\), \(r^2=4k^2-3\) b) \(|k|>\frac{\sqrt{3}}{2}\) c) \(k=\pm\sqrt{7}\)

- Welche Angaben lassen sich aus der Mittelpunktsform direkt ablesen? - Welche beiden Koordinaten sind bei jedem Punkt der \(x_1\)-Achse null? - Setze in Teil c) die beiden bekannten Koordinaten von \(S\) ein und prüfe, was für den verbleibenden Quadratterm übrig bleibt.

1. Aus der Mittelpunktsform liest man \(M(-1|4|0)\) und \(r=5\) ab. 2. Auf der \(x_1\)-Achse gilt \(x_2=x_3=0\). Einsetzen liefert \((x_1+1)^2+16=25\), also \((x_1+1)^2=9\). 3. Damit ist \(x_1=2\) oder \(x_1=-4\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(2|0|0)\) und \(N_2(-4|0|0)\). 4. Für \(S\) folgt \(3^2+4^2+x_3^2=25\), also \(x_3^2=0\). 5. Daher ist \(x_3=0\).

a) \(M(-1|4|0)\), \(r=5\) b) \(N_1(2|0|0)\) und \(N_2(-4|0|0)\) c) \(x_3=0\)

- Wie hängen der Radius einer Kugel und der Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Oberflächenpunkt zusammen? - Was sagt das Ergebnis einer Punktprobe über die Lage eines Punktes relativ zur Kugel aus? - Welche Koordinate eines Punktes gibt dir direkt Auskunft über seinen Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene? - Wie groß muss der Radius mindestens sein, damit eine Kugel eine Koordinatenebene berührt oder schneidet?

1. Berechnung des Radiusquadrats \(r^2\) als quadrierten Abstand zwischen \(M\) und \(P\): \(r^2 = (5-3)^2 + (-1 - (-2))^2 + (2-4)^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9\). 2. Aufstellen der Kugelgleichung: \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 4)^2 = 9\). 3. Punktprobe für \(Q\): Einsetzen der Koordinaten in die linke Seite der Gleichung ergibt \((1-3)^2 + (-4+2)^2 + (5-4)^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9\). Da das Ergebnis exakt \(r^2\) entspricht, liegt \(Q\) auf der Kugeloberfläche. 4. Schnittbedingung mit der \(x_1x_2\)-Ebene: Der Abstand des Mittelpunkts \(M\) zur Ebene \(x_3 = 0\) ist durch den Betrag der \(x_3\)-Koordinate gegeben, also \(d = |4| = 4\). Da der Abstand \(d = 4\) größer ist als der Radius \(r = 3\), besitzt die Kugel keinen Punkt mit der Ebene gemeinsam.

a) \((x_1 - 3)^2 + (x_2 + 2)^2 + (x_3 - 4)^2 = 9\) b) Der Punkt \(Q\) liegt auf der Kugeloberfläche. c) Der Abstand des Mittelpunkts zur \(x_1x_2\)-Ebene ist \(4\). Da dieser größer ist als der Radius \(r = 3\), gibt es keinen Schnittpunkt.

- Wie kannst du die drei Terme mit \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils als vollständiges Quadrat schreiben? - Welche Angaben lassen sich aus der Mittelpunktsform direkt ablesen? - Was bedeutet „konzentrisch“ für die Mittelpunkte der beiden Kugeln? - Welche Strecke bestimmt den Radius der Kugel \(K_O\), wenn sie durch den Ursprung verlaufen soll?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \((x_1-2)^2-4+(x_2+3)^2-9+(x_3-1)^2-1=2\). 2. Damit folgt \((x_1-2)^2+(x_2+3)^2+(x_3-1)^2=16\). Es liegt also eine Kugelgleichung vor. 3. Der Mittelpunkt ist \(M(2|-3|1)\), der Radius ist \(r=4\). 4. Die konzentrische Kugel \(K_O\) hat ebenfalls den Mittelpunkt \(M\). Ihr Radius ist \(r_O=d(M,O)=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}\). 5. Daher lautet ihre Gleichung \(K_O:(x_1-2)^2+(x_2+3)^2+(x_3-1)^2=14\).

a) \((x_1-2)^2+(x_2+3)^2+(x_3-1)^2=16\) b) \(M(2|-3|1)\), \(r=4\) c) \(K_O:(x_1-2)^2+(x_2+3)^2+(x_3-1)^2=14\)

- Vergleiche zunächst die quadrierten Abstände der drei Punkte zu \(M\). - Wie wird der gemeinsame Abstand in der Kugelgleichung verwendet? - Welche zwei Lösungen entstehen in Teil c) aus dem Quadrat, und welche davon erfüllt die Zusatzbedingung?

1. Es ist \(d(M,A)=\sqrt{4^2+0^2+(-3)^2}=5\), \(d(M,B)=\sqrt{0^2+5^2+0^2}=5\) und \(d(M,C)=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5\). 2. Damit ist der Radius \(r=5\), und die Kugelgleichung lautet \((x_1-2)^2+(x_2+1)^2+(x_3-5)^2=25\). 3. Für \(P(2|y|8)\) ergibt sich \((y+1)^2+9=25\), also \((y+1)^2=16\). 4. Daraus folgt \(y=3\) oder \(y=-5\). Wegen \(y>-1\) bleibt \(y=3\).

a) Alle drei Punkte haben den Abstand \(5\,\text{LE}\) von \(M\). b) \((x_1-2)^2+(x_2+1)^2+(x_3-5)^2=25\) c) \(y=3\)

- Vergleiche für jeden Punkt die Summe der drei Koordinatenquadrate mit \(100\). - Welche Koordinate ist in der \(x_1x_2\)-Ebene null? - Welche beiden Koordinaten sind auf der \(x_3\)-Achse null?

1. Für \(P\) ist \(6^2+0^2+(-8)^2=100\); daher liegt \(P\) auf der Kugel. 2. Für \(Q\) ist \(7^2+7^2+1^2=99<100\); daher liegt \(Q\) im Inneren. 3. Für \(R\) ist \(10^2+1^2+0^2=101>100\); daher liegt \(R\) außerhalb. 4. Für \(S\) ist \(50+25+25=100\); daher liegt \(S\) auf der Kugel. 5. In der \(x_1x_2\)-Ebene gilt \(x_3=0\). Der Schnitt ist der Kreis \(x_1^2+x_2^2=100\). 6. Auf der \(x_3\)-Achse gilt \(x_1=x_2=0\). Damit folgt \(x_3^2=100\), also \(Z_1(0|0|10)\) und \(Z_2(0|0|-10)\).

a) \(P\) und \(S\): auf der Kugel; \(Q\): im Inneren; \(R\): außerhalb b) Kreis \(x_1^2+x_2^2=100\) c) \(Z_1(0|0|10)\) und \(Z_2(0|0|-10)\)

- Wenn eine Kugel alle drei Koordinatenebenen berührt, was lässt sich dann über die Koordinaten ihres Mittelpunktes im Verhältnis zum Radius sagen? - Stelle eine Gleichung auf, die den Abstand des Punktes \(A\) zum Mittelpunkt beschreibt. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer quadratischen Gleichung?

1. Da die Kugel alle drei Koordinatenebenen im ersten Oktanten berührt, müssen die Koordinaten des Mittelpunktes alle gleich dem Radius \(r\) sein: \(M(r | r | r)\). 2. Aufstellen der Kugelgleichung: \((x_1 - r)^2 + (x_2 - r)^2 + (x_3 - r)^2 = r^2\). 3. Einsetzen des Punktes \(A(1 | 2 | 1)\): \((1 - r)^2 + (2 - r)^2 + (1 - r)^2 = r^2\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \((1 - 2r + r^2) + (4 - 4r + r^2) + (1 - 2r + r^2) = r^2 \implies 3r^2 - 8r + 6 = r^2\). 5. Umformen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2r^2 - 8r + 6 = 0 \implies r^2 - 4r + 3 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(r_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\), woraus \(r_1 = 1\) und \(r_2 = 3\) folgen. 7. Die möglichen Mittelpunkte sind \(M_1(1 | 1 | 1)\) und \(M_2(3 | 3 | 3)\).

\(M_1(1 | 1 | 1)\) und \(M_2(3 | 3 | 3)\)

- Welche Vereinfachungen entstehen in einer allgemeinen Kugelgleichung, wenn die vier gegebenen Punkte auf den Koordinatenachsen beziehungsweise im Ursprung liegen? - Welche Bedingung muss für zwei Kugeln gelten, damit die kleinere vollständig im Inneren der größeren liegt? - Welche drei Größen musst du für diese Bedingung vergleichen?

1. Für \(K_1\) wird zunächst \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+ax_1+bx_2+cx_3+e=0\) angesetzt. Aus \(O\) folgt \(e=0\), aus \(P\), \(Q\) und \(R\) jeweils \(a=b=c=-8\). 2. Damit ist \(x_1^2+x_2^2+x_3^2-8x_1-8x_2-8x_3=0\), also \((x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2=48\). 3. Somit ist \(M_1(4|4|4)\) und \(r_1=4\sqrt{3}\). 4. Für \(K_2\) ist \(M_2(2|2|2)\) und \(r_2=2\). Der Mittelpunktabstand beträgt \(d(M_1,M_2)=2\sqrt{3}\). 5. Da \(d(M_1,M_2)+r_2=2\sqrt{3}+2<4\sqrt{3}=r_1\), liegt \(K_2\) vollständig im Inneren von \(K_1\).

a) \(K_1:(x_1-4)^2+(x_2-4)^2+(x_3-4)^2=48\), \(M_1(4|4|4)\), \(r_1=4\sqrt{3}\) b) \(d(M_1,M_2)+r_2<r_1\); daher liegt \(K_2\) vollständig in \(K_1\).

- Welche Punkte auf der Kugeloberfläche kannst du direkt aus der Aufgabenstellung benennen? - Wie weit ist jeder Punkt auf der Oberfläche vom noch unbekannten Mittelpunkt entfernt? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die vertikale Verschiebung des Mittelpunkts und den Radius zu finden? - Wie prüft man mathematisch, ob ein Punkt innerhalb, auf oder außerhalb einer Kugel liegt?

1. Koordinaten bekannter Punkte: Der Mittelpunkt der Grundfläche ist \(O(0|0|0)\). Ein Punkt auf dem Rand der Grundfläche ist \(A(24|0|0)\), da der Durchmesser \(48\,\text{m}\) beträgt. Der höchste Punkt der Kuppel ist \(H(0|0|18)\). 2. Ansatz für den Kugelmittelpunkt und Radius: Der Mittelpunkt liegt bei \(M(0|0|z_M)\). Es gilt für den Abstand zum Mittelpunkt \(R^2 = 24^2 + (0 - z_M)^2\) und \(R^2 = (18 - z_M)^2\). 3. Gleichsetzen und Lösen: \(576 + z_M^2 = 324 - 36z_M + z_M^2 \implies 252 = -36z_M \implies z_M = -7\). 4. Berechnung von \(R\): \(R^2 = 24^2 + (-7)^2 = 576 + 49 = 625\), also \(R = 25\,\text{m}\). Die Kugelgleichung lautet \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 + 7)^2 = 625\). 5. Lageprüfung von \(P(15|10|25)\): Berechnung des quadrierten Abstands zum Mittelpunkt \(M(0|0|-7)\): \(d^2 = 15^2 + 10^2 + (25 - (-7))^2 = 225 + 100 + 32^2 = 325 + 1024 = 1349\). 6. Vergleich: Da \(d^2 = 1349 > 625 = R^2\), liegt der Punkt außerhalb der Kugel.

a) Der Radius beträgt \(25\,\text{m}\). Die Kugelgleichung lautet \(x_1^2 + x_2^2 + (x_3 + 7)^2 = 625\). b) Das Messinstrument befindet sich außerhalb der Kugel, da sein Abstand zum Mittelpunkt (\(\approx 36{,}73\,\text{m}\)) größer als der Radius (\(25\,\text{m}\)) ist.

- Welche Zielgestalt der Flächengleichung würde gleichzeitig Mittelpunkt und Radius sichtbar machen? - Wie hängen die drei Mittelpunktkoordinaten nach dem Umformen vom Parameter \(a\) ab? - Welche geometrische Bedingung gilt für den Mittelpunkt einer Kugel, die eine Ebene berührt?

1. Umformen ergibt \((x_1-2a)^2+x_2^2+(x_3-a)^2=16\). 2. Die rechte Seite ist unabhängig von \(a\) positiv. Daher ist für jedes \(a\in\mathbb R\) eine Kugel mit Radius \(r=4\) gegeben. 3. Die Mittelpunkte sind \(M_a(2a|0|a)\). Sie liegen auf \(g:\vec{x}=\lambda\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\), \(\lambda\in\mathbb R\). 4. Der Abstand von \(M_a\) zur \(x_1x_2\)-Ebene beträgt \(|a|\). Für eine Berührung muss dieser Abstand gleich dem Radius \(4\) sein. 5. Damit ist \(a=4\) oder \(a=-4\).

a) Für alle \(a\in\mathbb R\) liegt eine Kugel mit \(r=4\) vor. b) \(g:\vec{x}=\lambda\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\), \(\lambda\in\mathbb R\) c) \(a=4\) oder \(a=-4\)