- Welchen Normalenvektor kannst du direkt aus den Koeffizienten der Ebenengleichung ablesen? - Welche Länge muss der Normalenvektor in der Hesse-Normalform besitzen?

1. Der Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\). 2. Seine Länge ist \(|\vec{n}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3\). Daher müssen beide Seiten durch \(3\) geteilt werden.

Beide Seiten müssen durch \(3\) geteilt werden.

- Woran erkennst du, dass beide Gleichungen dieselbe Einheitsnormalenrichtung verwenden? - Welche Bedeutung haben bei parallelen Ebenen in Hesse-Normalform die Konstanten auf den rechten Seiten?

1. Der gemeinsame Normalenvektor \(\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}\) hat die Länge \(1\). 2. Daher ist der Abstand der parallelen Ebenen der Betrag der Differenz der rechten Seiten: \(d(E_1,E_2)=|5-(-1)|=6\).

Der Abstand beträgt \(6\,\text{LE}\).

- Welche Größe in der Koordinatengleichung verändert sich, wenn eine Ebene parallel verschoben wird? - Wie groß ist die Länge des Normalenvektors von \(E\)? - Wie hängt die Änderung des konstanten Terms mit dem gewünschten Abstand zusammen?

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=3\). 2. Die Hesse-Normalform von \(E\) lautet \(\frac{2x_1-2x_2+x_3-9}{3}=0\). 3. Eine parallele Ebene im Abstand \(6\) muss ihren konstanten Term um \(6\cdot3=18\) gegenüber \(E\) verschieben. 4. Daher sind die gesuchten Ebenen \(E_1:2x_1-2x_2+x_3=27\) und \(E_2:2x_1-2x_2+x_3=-9\).

\(E_1:2x_1-2x_2+x_3=27\) \(E_2:2x_1-2x_2+x_3=-9\)

- Prüfe zuerst, welche Länge der neue Normalenvektor besitzt. - Was muss bei einer äquivalenten Umformung einer Gleichung mit beiden Seiten geschehen? - Vergleiche Leas linke und rechte Seite getrennt mit der ursprünglichen Ebenengleichung.

1. Der Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}\) hat die Länge \(5\). Die Koeffizienten auf der linken Seite sind daher korrekt durch \(5\) geteilt worden. 2. Bei einer äquivalenten Umformung muss jedoch auch die rechte Seite durch \(5\) geteilt werden. 3. Die korrekte Hesse-Normalform lautet \(\frac{4}{5}x_1-\frac{3}{5}x_3=2\).

Leas Ansatz ist unvollständig, weil nur die linke Seite durch \(5\) geteilt wurde. Korrekt ist \(\frac{4}{5}x_1-\frac{3}{5}x_3=2\).

- Warum ist der Faktor vor der Klammer für die geometrische Deutung der Hesse-Normalform wichtig? - Unterscheide zwischen einem gerichteten Wert und einer nichtnegativen Entfernung. - Überlege, was sich an einer Orientierung ändert, wenn der Normalenvektor durch sein Negatives ersetzt wird.

1. Der Normalenvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) hat die Länge \(3\). Durch den Faktor \(\frac{1}{3}\) ist die Normalenrichtung daher normiert. 2. Für \(P\) ergibt sich \(\frac{1}{3}(0-0+0-6)=-2\). 3. Für \(Q\) ergibt sich \(\frac{1}{3}(6-0+3-6)=1\). 4. Die unterschiedlichen Vorzeichen zeigen, dass \(P\) und \(Q\) auf verschiedenen Seiten der orientierten Ebene liegen. Die Beträge sind die Abstände: \(d(P,E)=2\) und \(d(Q,E)=1\). 5. Beim entgegengesetzten Einheitsnormalenvektor wechseln die Vorzeichen der gerichteten Werte, die Beträge und damit die Abstände bleiben unverändert.

Für \(P\) ist der gerichtete HNF-Wert \(-2\), also \(d(P,E)=2\,\text{LE}\). Für \(Q\) ist der gerichtete HNF-Wert \(1\), also \(d(Q,E)=1\,\text{LE}\). Die Vorzeichen zeigen verschiedene Seiten der orientierten Ebene an. Beim Umkehren des Einheitsnormalenvektors wechseln nur die Vorzeichen; die Abstände bleiben gleich.

- Wie erhältst du aus den beiden Spannvektoren einen Normalenvektor von \(E\)? - Welche Teile einer Koordinatengleichung bleiben bei parallelen Ebenen gleich? - Wie hängt die Änderung des konstanten Terms mit der Länge des Normalenvektors und dem gewünschten Abstand zusammen?

1. Das Vektorprodukt der Spannvektoren liefert \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=7\). 2. Mit dem Stützpunkt \((2|1|0)\) ergibt sich \(E:6x_1-2x_2+3x_3-10=0\). 3. In der Hesse-Normalform entspricht eine Verschiebung um \(10\,\text{LE}\) in Normalenrichtung einer Änderung des konstanten Terms um \(10\cdot7=70\). 4. Daher erhält man \(F_1:6x_1-2x_2+3x_3-80=0\) und \(F_2:6x_1-2x_2+3x_3+60=0\).

\(F_1:6x_1-2x_2+3x_3-80=0\) \(F_2:6x_1-2x_2+3x_3+60=0\)

- Bei einer Hesse-Normalform ist die Orientierung des Einheitsnormalenvektors frei wählbar. Welche Wahl macht die anschließende Addition und Subtraktion übersichtlich? - Welche Beziehung zwischen den Normalenvektoren zeigt, dass zwei Ebenen orthogonal sind? - Welche Abstandsbeziehung charakterisiert Punkte auf einer Winkelhalbierenden zweier Ebenen?

1. Es ist \(|\vec{n}_1|=3\) und \(|\vec{n}_2|=3\). Eine passend orientierte Hesse-Normalform ist \(E_1:\frac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}=0\) und \(E_2:\frac{-x_1+2x_2-2x_3-3}{3}=0\). 2. Addition liefert \(W_1:x_1+4x_2-3x_3-9=0\), Subtraktion liefert \(W_2:3x_1+x_3-3=0\). 3. Mit \(\vec{n}_{W_1}=\begin{pmatrix}1\\4\\-3\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_{W_2}=\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}\) gilt \(\vec{n}_{W_1}\cdot\vec{n}_{W_2}=3-3=0\). Daher sind die Ebenen orthogonal. 4. Für \(P\) gilt \(3\cdot0+3-3=0\), also \(P\in W_2\). 5. Die Abstände sind \(d(P,E_1)=\frac{|-9|}{3}=3\) und \(d(P,E_2)=\frac{|9|}{3}=3\). Punkte einer Winkelhalbierenden haben zu beiden Ausgangsebenen denselben Abstand.

a) \(E_1:\frac{2x_1+2x_2-x_3-6}{3}=0\); \(E_2:\frac{-x_1+2x_2-2x_3-3}{3}=0\) b) \(W_1:x_1+4x_2-3x_3-9=0\); \(W_2:3x_1+x_3-3=0\) c) \(W_1\perp W_2\) d) \(P\in W_2\) und \(d(P,E_1)=d(P,E_2)=3\,\text{LE}\)

- Welche Länge hat der Normalenvektor der Ebene? - Wie entsteht aus einer Koordinatengleichung die Hesse-Normalform? - Welche Koordinaten sind bei einem Punkt auf der \(x_1\)-Achse null? - Warum entstehen bei der Abstandsbedingung in Teil c) zwei mögliche Punkte?

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=3\). Daher lautet die Hesse-Normalform \(\frac{2x_1-2x_2+x_3-9}{3}=0\). 2. Für \(P\) ergibt sich \(d(P,E)=\left|\frac{2-2+15-9}{3}\right|=2\). 3. Ein Punkt der \(x_1\)-Achse hat die Form \(B(x|0|0)\). Die Bedingung \(d(B,E)=5\) führt auf \(|2x-9|=15\). 4. Daraus folgt \(x=12\) oder \(x=-3\). Die beiden Punkte sind \(B_1(12|0|0)\) und \(B_2(-3|0|0)\).

a) \(\frac{2x_1-2x_2+x_3-9}{3}=0\) b) \(d(P,E)=2\,\text{LE}\) c) \(B_1(12|0|0)\) und \(B_2(-3|0|0)\)

- Welche Länge hat der Normalenvektor von \(E\)? - Wie liest du aus der Hesse-Normalform den Abstand des Ursprungs ab? - Bei parallelen Ebenen bleiben die Koeffizienten von \(x_1,x_2,x_3\) gleich. Wie hängt dann die Differenz der konstanten Terme mit dem Abstand zusammen?

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\8\\-8\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=12\). Daher lautet die Hesse-Normalform \(\frac{4x_1+8x_2-8x_3-15}{12}=0\). 2. Für den Ursprung ist \(d(O,E)=\frac{15}{12}=1{,}25\). 3. Der Abstand der parallelen Ebenen ist \(\frac{|k-15|}{12}\). Die Bedingung \(\frac{|k-15|}{12}=3\) liefert \(|k-15|=36\). 4. Damit ist \(k=51\) oder \(k=-21\).

a) \(\frac{4x_1+8x_2-8x_3-15}{12}=0\) b) \(d(O,E)=1{,}25\,\text{LE}\) c) \(k=51\) oder \(k=-21\)

- Wenn \(E\) von beiden gesuchten Ebenen gleich weit entfernt ist, welchen Abstand hat jede von ihnen zu \(E\)? - Welche Länge hat der Normalenvektor von \(E\)? - Wie übersetzt die Hesse-Normalform eine Parallelverschiebung in eine Änderung des konstanten Terms?

1. Ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}8\\-4\\8\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}|=12\). 2. Weil \(E\) genau zwischen \(H_1\) und \(H_2\) liegen soll, beträgt der Abstand von \(E\) zu jeder der beiden gesuchten Ebenen \(5\,\text{LE}\). 3. In der Hesse-Normalform entspricht das einer Änderung des konstanten Terms um \(5\cdot12=60\). 4. Daher lauten die Ebenen \(H_1:8x_1-4x_2+8x_3=87\) und \(H_2:8x_1-4x_2+8x_3=-33\).

\(H_1:8x_1-4x_2+8x_3=87\) \(H_2:8x_1-4x_2+8x_3=-33\)

- Bei einer Hesse-Normalform hat der Wert des normierten Ebenenausdrucks bereits eine geometrische Bedeutung. Welche? - Wie hängt das Vorzeichen eines orientierten Abstands mit der positiven Normalenrichtung zusammen? - Was ändert sich, wenn aus einem orientierten Abstand der geometrische Abstand werden soll?

1. Für \(P(4|1|1)\) ist der Wert des normierten Ebenenausdrucks \(\frac{2\cdot4-1+2\cdot1-6}{3}=1\). Der orientierte Abstand von \(P\) ist also \(+1\,\text{LE}\). 2. Für \(Q(1|2|1)\) erhält man \(\frac{2\cdot1-2+2\cdot1-6}{3}=-\frac{4}{3}\). Der orientierte Abstand von \(Q\) ist also \(-\frac{4}{3}\,\text{LE}\). 3. In der Skizze liegt \(A\) auf der Seite, in die der positive Normalenstrahl \(n\) zeigt. Daher gehört \(P\) mit positivem orientiertem Abstand zu \(A\). \(Q\) hat einen negativen orientierten Abstand und gehört zu \(B\). 4. Für den geometrischen Abstand wird der Betrag genommen. Daher gilt \(d(P,E)=1\,\text{LE}\) und \(d(Q,E)=\frac{4}{3}\,\text{LE}\).

a) \(d_{\mathrm{or}}(P,E)=+1\,\text{LE}\), \(d_{\mathrm{or}}(Q,E)=-\frac{4}{3}\,\text{LE}\) b) \(P\leftrightarrow A\), weil \(P\) einen positiven orientierten Abstand hat und \(A\) auf der positiven Seite von \(E\) liegt. Entsprechend gilt \(Q\leftrightarrow B\), weil der orientierte Abstand von \(Q\) negativ ist. c) \(d(P,E)=1\,\text{LE}\), \(d(Q,E)=\frac{4}{3}\,\text{LE}\)

- Durch welche Länge musst du die jeweilige Ebenengleichung teilen, damit der Normalenvektor die Länge \(1\) hat? - Wie lässt sich „gleicher Abstand“ mit den beiden normierten Ebenenausdrücken formulieren? - Setze \(Q\) zuerst in \(W_1\) und \(W_2\) ein und danach in die beiden Abstandsformeln. - Was würde sich an einer unnormierten Ebenengleichung ändern, wenn man die ganze Gleichung mit einer Zahl multipliziert?

1. Die Normalenvektoren sind \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}4\\7\\4\end{pmatrix}\) mit \(|\vec{n}_1|=6\) und \(|\vec{n}_2|=9\). 2. Damit lauten die Hesse-Normalformen \(E_1:\frac{4x_1-4x_2+2x_3-12}{6}=0\) und \(E_2:\frac{4x_1+7x_2+4x_3-9}{9}=0\). 3. Gleicher geometrischer Abstand bedeutet \(\left|\frac{4x_1-4x_2+2x_3-12}{6}\right|=\left|\frac{4x_1+7x_2+4x_3-9}{9}\right|\). Daher sind die normierten Ausdrücke entweder gleich oder entgegengesetzt. 4. Nach Beseitigen der Nenner erhält man \(W_1:10x_1+x_2+7x_3-27=0\) und \(W_2:2x_1-13x_2-x_3-9=0\). 5. Für \(Q(2|0|1)\) gilt bei \(W_1\): \(20+0+7-27=0\). Also liegt \(Q\) auf \(W_1\). Für \(W_2\) ergibt sich \(4-0-1-9=-6\neq0\). 6. Die Abstände sind \(d(Q,E_1)=\frac{|8+0+2-12|}{6}=\frac{1}{3}\,\text{LE}\) und \(d(Q,E_2)=\frac{|8+0+4-9|}{9}=\frac{1}{3}\,\text{LE}\). 7. Die unnormierten linken Seiten messen keinen Abstand: Ihr Wert hängt von der Länge des jeweiligen Normalenvektors ab. Erst nach der Normierung sind die Beträge der Ausdrücke direkt als Abstände vergleichbar.

a) \(E_1:\frac{4x_1-4x_2+2x_3-12}{6}=0\) \(E_2:\frac{4x_1+7x_2+4x_3-9}{9}=0\) b) \(W_1:10x_1+x_2+7x_3-27=0\), \(W_2:2x_1-13x_2-x_3-9=0\) c) \(Q\in W_1\) und \(d(Q,E_1)=d(Q,E_2)=\frac{1}{3}\,\text{LE}\) d) Erst die normierten Ebenenausdrücke geben orientierte Abstände an; die unnormierten Ausdrücke sind wegen verschieden langer Normalenvektoren nicht direkt vergleichbar.

- Welche geometrische Menge besteht aus allen Punkten mit einem festen Abstand zu einer Ebene? - Wegen des Betrags in der Abstandsbedingung entstehen zwei parallele Hilfsebenen. - Die gesuchten Punkte müssen zusätzlich in \(E\) liegen. Welche Schnittmengen sind daher zu bestimmen?

1. Der Normalenvektor von \(F\) hat die Länge \(3\). Die Hesse-Normalform führt für den Abstand \(2\) auf \(\frac{|2x_1+x_2-2x_3-6|}{3}=2\). 2. Damit liegen die gesuchten Punkte auf einer der beiden zu \(F\) parallelen Ebenen \(F_1:2x_1+x_2-2x_3=12\) oder \(F_2:2x_1+x_2-2x_3=0\). 3. Der Schnitt von \(E\) mit \(F_1\) ergibt mit \(x_3=t\) die Gerade \(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}9\\-6\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\). 4. Der Schnitt von \(E\) mit \(F_2\) ergibt mit \(x_3=s\) die Gerade \(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\).

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}9\\-6\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb R\) \(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\), \(s\in\mathbb R\)

- Formuliere mit der Hesse-Normalform zunächst die beiden Ebenen, deren Punkte genau \(4\,\text{LE}\) von \(F\) entfernt sind. - Setze anschließend die Koordinaten eines allgemeinen Punktes von \(E\) in diese beiden Ebenengleichungen ein. - Welche Form haben die Schnittmengen jeweils, wenn zwischen den beiden Parametern nur eine lineare Beziehung bestehen bleibt?

1. Der Normalenvektor von \(F\) hat die Länge \(3\). Die Hesse-Normalform liefert für den Abstand \(4\) die beiden Hilfsebenen \(F_1:2x_1-x_2+2x_3=21\) und \(F_2:2x_1-x_2+2x_3=-3\). 2. Für einen Punkt von \(E\) gilt \(x_1=2+\lambda\), \(x_2=1+\mu\) und \(x_3=\lambda-\mu\). Einsetzen in \(F_1\) ergibt \(4\lambda-3\mu=18\). 3. Mit \(\mu=4t\) folgt \(\lambda=\frac{9}{2}+3t\) und damit \(h_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{13}{2}\\1\\\frac{9}{2}\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\). 4. Einsetzen in \(F_2\) ergibt \(4\lambda-3\mu=-6\). Mit \(\mu=4s\) folgt \(\lambda=-\frac{3}{2}+3s\) und damit \(h_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\).

\(h_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{13}{2}\\1\\\frac{9}{2}\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\), \(t\in\mathbb R\) \(h_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\1\\-\frac{3}{2}\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}\), \(s\in\mathbb R\)