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- Welcher Vektor lässt sich direkt aus den Koeffizienten der Ebenengleichung ablesen? - Welche Bedingung muss der Normalenvektor in der Hesse'schen Normalform erfüllen?

1. Der Normalenvektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Seine Länge ist \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{9} = 3\). Daher wird durch \(3\) geteilt.

Beide Seiten müssen durch \(3\) geteilt werden.

- Woran erkennst du in den beiden Gleichungen, dass dieselbe Einheitsnormalenrichtung verwendet wird? - Welche Bedeutung haben bei zwei parallelen Ebenen in Hesse'scher Normalform die Konstanten auf den rechten Seiten?

1. Der gemeinsame Normalenvektor \(\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}\) hat die Länge \(1\). 2. Deshalb ist der Abstand der parallelen Ebenen der Betrag der Differenz der rechten Seiten: \(d(E_1,E_2) = |5-(-1)| = 6\).

Der Abstand beträgt \(6\,\text{LE}\).

- Prüfe zuerst, ob der neue Normalenvektor tatsächlich die Länge \(1\) hat. - Was muss bei einer äquivalenten Umformung einer Gleichung mit beiden Seiten geschehen? - Vergleiche Leas linke und rechte Seite getrennt mit der ursprünglichen Ebenengleichung.

1. Der Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}\) hat die Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2+0^2+(-3)^2} = 5\). Die Koeffizienten auf der linken Seite sind daher korrekt durch \(5\) geteilt worden. 2. Beim Umformen einer Gleichung muss jedoch auch die rechte Seite durch \(5\) geteilt werden. Genau das fehlt in Leas Ansatz. 3. Die korrekte Hesse'sche Normalform lautet \(\frac{4}{5}x_1 - \frac{3}{5}x_3 = 2\).

Leas Ansatz ist unvollständig, weil nur die linke Seite durch \(5\) geteilt wurde. Korrekt ist \(\frac{4}{5}x_1 - \frac{3}{5}x_3 = 2\).

- Warum ist der Faktor vor der Klammer für die geometrische Deutung der Hesse-Normalform wichtig? - Unterscheide zwischen einem gerichteten Wert und einer nichtnegativen Entfernung. - Überlege, was sich an einer Orientierung ändert, wenn der Normalenvektor durch sein Negatives ersetzt wird.

1. Der Normalenvektor \(\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) hat die Länge \(3\). Durch den Faktor \(\frac{1}{3}\) ist die Normalenrichtung daher normiert. 2. Für \(P\) ergibt sich \(\frac{1}{3}(0-0+0-6)=-2\). 3. Für \(Q\) ergibt sich \(\frac{1}{3}(6-0+3-6)=1\). 4. Die unterschiedlichen Vorzeichen zeigen, dass \(P\) und \(Q\) auf verschiedenen Seiten der orientierten Ebene liegen. Die Beträge sind die Abstände: \(d(P,E)=2\) und \(d(Q,E)=1\). 5. Beim entgegengesetzten Einheitsnormalenvektor wechseln die Vorzeichen der gerichteten Werte, die Beträge und damit die Abstände bleiben unverändert.

Für \(P\) ist der gerichtete HNF-Wert \(-2\), also \(d(P,E)=2\,\text{LE}\). Für \(Q\) ist der gerichtete HNF-Wert \(1\), also \(d(Q,E)=1\,\text{LE}\). Die Vorzeichen zeigen verschiedene Seiten der orientierten Ebene an. Beim Umkehren des Einheitsnormalenvektors wechseln nur die Vorzeichen; die Abstände bleiben gleich.

- Wie kannst du aus einer Parameterform einen Normalenvektor gewinnen? - Überlege dir, wie die Normalenvektoren von parallelen Ebenen zueinander stehen. - Die Hessesche Normalform ist ein hilfreiches Werkzeug, um Abstände zwischen Ebenen zu berechnen. - Wenn du eine Ebene parallel verschiebst, welcher Teil der Koordinatengleichung ändert sich dann?

1. Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\) durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen: \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Betrag des Normalenvektors bestimmen: \(|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7\). 3. Koordinatengleichung von \(E\) aufstellen (unter Verwendung des Stützpunktes \((2|1|0)\)): \(6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - (6 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0) = 0\), also \(E: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10 = 0\). 4. Hessesche Normalform von \(E\) nutzen, um parallele Ebenen mit Abstand \(10\) zu finden: \(\frac{|6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10|}{7} = 10\). 5. Gleichung nach der Konstanten auflösen: \(|6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10| = 70\). 6. Fall 1: \(6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10 = 70 \Rightarrow F_1: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 80 = 0\). 7. Fall 2: \(6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 10 = -70 \Rightarrow F_2: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + 60 = 0\).

\(F_1: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 80 = 0\) \(F_2: 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 + 60 = 0\)

- Worauf musst du beim Aufstellen der Hesseschen Normalform bezüglich der Vorzeichen achten? - Wie hängen die Abstände eines Punktes auf einer Winkelhalbierenden zu den ursprünglichen Ebenen zusammen? - Woran erkennt man mathematisch, dass zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen? - Was passiert, wenn man zwei Gleichungen in HNF addiert oder subtrahiert?

1. Berechnung der Normalenvektorbeträge: \(|\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3\) und \(|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3\). 2. Aufstellen der HNF (mit negativem oder verschwindendem Konstantglied): \(E_1: \frac{2}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3 - 2 = 0\) \(E_2: -\frac{1}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{2}{3}x_3 - 1 = 0\) 3. Bildung der winkelhalbierenden Ebenen: \(W_1 (\text{Summe}): \frac{1}{3}x_1 + \frac{4}{3}x_2 - x_3 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 + 4x_2 - 3x_3 - 9 = 0\) \(W_2 (\text{Differenz}): x_1 + \frac{1}{3}x_3 - 1 = 0 \Rightarrow 3x_1 + x_3 - 3 = 0\) 4. Nachweis der Orthogonalität über das Skalarprodukt der Normalenvektoren: \(\vec{n}_{W1} \cdot \vec{n}_{W2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 0 + (-3) \cdot 1 = 0\). 5. Punktprobe für \(P(0|0|3)\) in \(W_2\): \(3(0) + 3 - 3 = 0\). Der Punkt liegt in \(W_2\). 6. Abstände von \(P\) zu \(E_1\) und \(E_2\) mit der HNF: \(d(P, E_1) = |\frac{2(0) + 2(0) - 3 - 6}{3}| = |-3| = 3\) \(d(P, E_2) = |\frac{1(0) - 2(0) + 2(3) + 3}{3}| = |3| = 3\) 7. Ergebnis: Die Abstände sind gleich groß, was die Eigenschaft einer winkelhalbierenden Ebene bestätigt.

a) \(E_1: \frac{2}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{1}{3}x_3 - 2 = 0\); \(E_2: -\frac{1}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2 - \frac{2}{3}x_3 - 1 = 0\) b) \(W_1: x_1 + 4x_2 - 3x_3 - 9 = 0\); \(W_2: 3x_1 + x_3 - 3 = 0\) c) Das Skalarprodukt der Normalenvektoren \((1, 4, -3)\) und \((3, 0, 1)\) ist \(0\). d) \(d(P, E_1) = 3\) und \(d(P, E_2) = 3\). Die Abstände sind identisch.

- Überlege dir zuerst, wie man die Länge eines Vektors berechnet. - Wie verändert sich die Koordinatengleichung, wenn du sie in die Hessesche Normalform bringst? - Was weißt du über die Koordinaten eines Punktes, der auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Denk daran, dass Betragsgleichungen oft zwei Lösungen haben können.

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und seiner Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3\). 2. Aufstellen der HNF: Durch Division der Koordinatengleichung durch den Betrag des Normalenvektors erhält man \(\frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = 0\). 3. Berechnung des Abstands von \(P(1|1|15)\): Einsetzen der Koordinaten in die HNF ergibt \(d(P, E) = \left| \frac{2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 15 - 9}{3} \right| = \left| \frac{6}{3} \right| = 2\). 4. Bestimmung der Punkte auf der \(x_1\)-Achse: Ein Punkt auf der \(x_1\)-Achse hat die Form \(B(x|0|0)\). Einsetzen in die Abstandsformel: \(\left| \frac{2x - 2 \cdot 0 + 0 - 9}{3} \right| = 5\). 5. Lösen der Gleichung \(|2x - 9| = 15\): Fall 1: \(2x - 9 = 15 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12\). Fall 2: \(2x - 9 = -15 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\). Die Punkte sind \(B_1(12|0|0)\) und \(B_2(-3|0|0)\).

a) \(E: \frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = 0\) b) Der Abstand beträgt \(2\) Längeneinheiten. c) Die Punkte sind \(B_1(12|0|0)\) und \(B_2(-3|0|0)\).

- Was muss für die Normalenvektoren zweier Ebenen gelten, wenn diese parallel zueinander sind? - Wie kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen, wenn die HNF bekannt ist? - Wenn zwei Ebenen parallel sind, haben alle Punkte der einen Ebene denselben Abstand zur anderen Ebene. - Wie hängen die Konstanten in der HNF mit dem Abstand zum Ursprung zusammen?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}\) und seiner Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12\). 2. HNF von \(E\): \(\frac{4x_1 + 8x_2 - 8x_3 - 15}{12} = 0\). 3. Abstand des Ursprungs \(O(0|0|0)\): Einsetzen in die HNF ergibt \(d(O, E) = \left| \frac{-15}{12} \right| = 1{,}25\). 4. Abstand paralleler Ebenen: Die HNF von \(F\) lautet \(\frac{4x_1 + 8x_2 - 8x_3 - k}{12} = 0\). Der Abstand zwischen den parallelen Ebenen entspricht der Differenz der konstanten Glieder in der HNF: \(\left| \frac{-15}{12} - \left( \frac{-k}{12} \right) \right| = 3\). 5. Lösen der Gleichung \(\left| \frac{k - 15}{12} \right| = 3 \Rightarrow |k - 15| = 36\): Fall 1: \(k - 15 = 36 \Rightarrow k = 51\). Fall 2: \(k - 15 = -36 \Rightarrow k = -21\).

a) \(E: \frac{4x_1 + 8x_2 - 8x_3 - 15}{12} = 0\) b) Der Abstand beträgt \(1{,}25\) Längeneinheiten. c) Die möglichen Werte für \(k\) sind \(51\) und \(-21\).

- Welche Eigenschaft teilen parallele Ebenen hinsichtlich ihres Normalenvektors? - Wie kannst du den Abstand eines Punktes oder einer ganzen Ebene mithilfe der Hesseschen Normalform berechnen? - Bedenke, dass es in zwei entgegengesetzte Richtungen Ebenen mit dem gleichen Abstand geben kann. - Wie wirkt sich eine Verschiebung entlang des Normalenvektors auf das Absolutglied in der Koordinatengleichung aus?

1. Bestimmung des Normalenvektors \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und dessen Betrags \(|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3\). 2. Aufstellen der Hesseschen Normalform der Ebene \(E\): \(\frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = 0\). 3. Ansatz für Ebenen im Abstand \(d = 6\): \(\frac{2x_1 - 2x_2 + x_3 - 9}{3} = \pm 6\). 4. Umformen der Gleichungen durch Multiplikation mit \(3\) und Isolation des konstanten Glieds: \(2x_1 - 2x_2 + x_3 = 9 \pm 18\). 5. Berechnung der Ergebnisse: \(E_1: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 27\) und \(E_2: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -9\).

Die gesuchten Ebenen sind \(E_1: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = 27\) und \(E_2: 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -9\).

- Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen mithilfe ihrer Normalenvektoren? - Denk an die Normierung der Ebenengleichungen, bevor du sie kombinierst. - Wie findet man die Schnittgerade zweier Ebenen? - Was muss für einen Punkt und den Richtungsvektor einer Geraden gelten, damit die Gerade in einer Ebene liegt?

1. Schnittwinkelberechnung: Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = (4, -4, 2)\) und \(\vec{n}_2 = (4, 7, 4)\) mit Beträgen \(|\vec{n}_1| = 6\) und \(|\vec{n}_2| = 9\). \(\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|16 - 28 + 8|}{6 \cdot 9} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}\). Daraus folgt \(\alpha \approx 85{,}75^\circ\). 2. Aufstellen der HNF: \(E_1: \frac{2}{3}x_1 - \frac{2}{3}x_2 + \frac{1}{3}x_3 - 2 = 0\) \(E_2: \frac{4}{9}x_1 + \frac{7}{9}x_2 + \frac{4}{9}x_3 - 1 = 0\) 3. Winkelhalbierende Ebenen durch Addition und Subtraktion: \(W_1 (\text{Summe}): \frac{10}{9}x_1 + \frac{1}{9}x_2 + \frac{7}{9}x_3 - 3 = 0 \Rightarrow 10x_1 + x_2 + 7x_3 - 27 = 0\) \(W_2 (\text{Differenz}): \frac{2}{9}x_1 - \frac{13}{9}x_2 - \frac{1}{9}x_3 - 1 = 0 \Rightarrow 2x_1 - 13x_2 - x_3 - 9 = 0\) 4. Schnittgerade \(g\): Lösen des Systems \(E_1=0\) und \(E_2=0\). Ein Punkt ist \(P(0|-1|4)\). Der Richtungsvektor ist \(\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (-30, -8, 44)\), gekürzt \(\vec{u} = (15, 4, -22)\). Somit \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 4 \\ -22 \end{pmatrix}\). 5. Nachweis für \(g\) in \(W_1\): Punktprobe für \(P\) in \(W_1\): \(10(0) + (-1) + 7(4) - 27 = -1 + 28 - 27 = 0\). Skalarprodukt Richtungsvektor und Normalenvektor von \(W_1\): \(\begin{pmatrix} 15 \\ 4 \\ -22 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} = 150 + 4 - 154 = 0\). Die Gerade liegt in der Ebene.

a) \(\alpha \approx 85{,}75^\circ\) b) \(W_1: 10x_1 + x_2 + 7x_3 - 27 = 0\); \(W_2: 2x_1 - 13x_2 - x_3 - 9 = 0\) c) Schnittgerade z. B. \(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 4 \\ -22 \end{pmatrix}\). Die Punktprobe ergibt \(0=0\) und das Skalarprodukt aus Richtungs- und Normalenvektor ist \(0\).

- Wenn eine Ebene genau in der Mitte zwischen zwei parallelen Ebenen liegt, wie verhält sich ihr Abstand zu diesen beiden? - Wie hängen die Koeffizienten von \(x_1, x_2, x_3\) bei parallelen Ebenen zusammen? - Nutze die Länge des Normalenvektors, um die Verschiebung der Ebene in eine Gleichung zu übersetzen. - Überlege dir zuerst, welchen Abstand die Ebenen \(H_1\) und \(H_2\) einzeln von der Ebene \(E\) haben müssen.

1. Normalenvektor der Ebene \(E\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{n}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 8^2} = 12\). 2. Da \(E\) die Mittelebene zwischen \(H_1\) und \(H_2\) ist, beträgt der Abstand von \(E\) zu den gesuchten Ebenen jeweils die Hälfte des Gesamtabstands: \(d = \frac{10}{2} = 5\). 3. Verwendung der Hesseschen Normalform für den Abstand \(5\): \(\frac{8x_1 - 4x_2 + 8x_3 - 27}{12} = \pm 5\). 4. Auflösen der Gleichung durch Multiplikation mit dem Betrag des Normalenvektors: \(8x_1 - 4x_2 + 8x_3 - 27 = \pm 60\). 5. Resultierende Koordinatengleichungen: \(H_1: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = 87\) und \(H_2: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = -33\).

Die Gleichungen der Ebenen lauten \(H_1: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = 87\) und \(H_2: 8x_1 - 4x_2 + 8x_3 = -33\).