- Welche Zeitstelle eignet sich besonders gut, um den Parameter direkt zu interpretieren? - Setze diese Zeitstelle gedanklich in die Modellfunktion ein. - Nutze den Wert der Exponentialfunktion beim Exponenten null.

Für \(t=0\) gilt \(M_a(0)=a\,e^0=a\). Deshalb beschreibt \(a\) den Anfangswert des Modells.

A) Anfangswert bei \(t=0\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einem Funktionsgraphen liegt? - Setze die beiden Koordinaten des gegebenen Messpunkts in die Funktionsgleichung ein. - Löse anschließend die lineare Gleichung nach dem Parameter auf.

Da \(P(3\mid8)\) auf dem Graphen liegen soll, gilt \(8=3a+2\). Daraus folgt \(a=2\).

\(a=2\)

- Welche Stelle des Modells entspricht wegen der Symmetrie der Mitte des Torbogens? - Setze diese Stelle gedanklich in die Funktionsschar ein. - Welche geometrische Bedeutung hat der dort entstehende Funktionswert?

1. In der Mitte des Torbogens gilt \(x=0\). Damit ist \(h_k(0)=k\). 2. Für \(k>0\) ist die Parabel nach unten geöffnet, sodass dieser mittlere Punkt zugleich der höchste Punkt des Modells ist. 3. Der Parameter \(k\) beschreibt daher die modellierte maximale Höhe des Torbogens in Metern.

\(k\) ist die modellierte maximale Höhe des Torbogens in seiner Mitte, gemessen in Metern.

- An welcher Stelle nimmt der Ausdruck im Nenner seinen kleinsten Wert an? - Was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs und damit für den Qualitätsindex? - Stelle für die beiden bekannten Informationen jeweils eine Gleichung mit den Unbekannten auf. - Wie kannst du eine der Unbekannten eliminieren, indem du die Gleichungen miteinander verrechnest?

1. Da der Nenner \(x^2 + 4\) für \(x = 0\) minimal ist, liegt das Maximum der Funktion bei \(x = 0\). Es gilt \(S(0) = \frac{a}{4} + b\). 2. Mit \(S(0)=20\) folgt \(\frac{a}{4} + b = 20\). 3. Mit \(S(4)=8\) folgt \(\frac{a}{20} + b = 8\). 4. Subtraktion ergibt \(\frac{a}{4} - \frac{a}{20} = 12\), also \(a = 60\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(15+b=20\), also \(b=5\).

\(a = 60\) und \(b = 5\)

- Prüfe die drei Modellanforderungen bei jeder Schar getrennt. - Welche Bedingung zeigt unmittelbar, ob \(k\) tatsächlich die Anfangskonzentration beschreibt? - Für die zweite Anforderung musst du die Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t=0\) betrachten. - Vergleiche zuletzt das langfristige Verhalten der drei Kandidaten.

1. Für \(f_k\) gilt \(f_k(0)=k\). Außerdem ist \(f_k'(t)=-0{,}4ke^{-0{,}4t}\), also \(f_k'(0)=-0{,}4k\), und \(f_k(t)\to0\) für \(t\to\infty\). 2. Für \(g_k\) ist \(g_k(0)=1\); der Parameter beschreibt daher nicht die Anfangskonzentration. 3. Für \(h_k\) gilt zwar \(h_k(0)=k\) und \(h_k(t)\to0\), aber \(h_k'(0)=-k\) statt \(-0{,}4k\). 4. Damit erfüllt nur \(f_k(t)=ke^{-0{,}4t}\) alle Modellanforderungen.

Geeignet ist \(f_k(t)=ke^{-0{,}4t}\). Die Schar besitzt die Anfangskonzentration \(k\), die geforderte Anfangsänderungsrate \(-0{,}4k\) und nähert sich langfristig \(0\).

- Welche Gleichung entsteht, wenn du die bekannte Beobachtung in das Modell einsetzt? - Der Parameter lässt sich aus dieser einen Gleichung isolieren. - Um \(a\) zu interpretieren, untersuche den Modellwert beim Abstand \(d=0\).

1. Die Beobachtung liefert \(30=a e^{-0{,}2\cdot5}=a e^{-1}\). 2. Daher ist \(a=30e\approx81{,}55\). 3. Bei \(d=0\) gilt \(S_a(0)=a\). Der Parameter beschreibt also die modellierte Empfangsstärke unmittelbar am Bezugspunkt des Senders.

\(a=30e\approx81{,}55\). Der Parameter \(a\) ist die modellierte Empfangsstärke bei \(d=0\,\text{m}\).

- Erhöhe \(a\) zunächst in gröberen Schritten und beobachte, wann der fallende Verlauf erstmals fast waagerecht wird. - Verfeinere den Schieberegler in der Nähe dieses Übergangs. - Vergleiche Graphen knapp unterhalb und knapp oberhalb des gefundenen Parameterwerts und achte auf neu entstehende Extrempunkte.

1. Beim Vergrößern von \(a\) bleibt der Graph zunächst im gesamten Intervall fallend. Durch Verfeinern des Schiebereglers findet man den Übergang bei ungefähr \(a_{\mathrm{k}}=0{,}196\). 2. Die erstmals waagerechte Tangente liegt bei ungefähr \(t=6{,}09\). 3. Knapp unterhalb des kritischen Werts fällt das Modell durchgehend. Knapp oberhalb entstehen in der Umgebung dieser Stelle ein lokales Minimum und ein lokales Maximum; das Modell enthält dann einen kurzen Zeitraum mit zunehmendem Messwert. 4. Zur Kontrolle gilt \(C_a'(t)=e^{-0{,}2t}[a(\cos t-0{,}2\sin t)-0{,}2]\). Der Ausdruck \(\cos t-0{,}2\sin t\) erreicht den Maximalwert \(\sqrt{1{,}04}\). Daher ist \(a_{\mathrm{k}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{1{,}04}}=\frac1{\sqrt{26}}\approx0{,}196116\). Der zugehörige Zeitpunkt ist \(t=2\pi-\arctan(0{,}2)\approx6{,}086\).

\(a_{\mathrm{k}}\approx0{,}196\) und \(t\approx6{,}09\). Knapp unterhalb dieses Werts fällt das Modell im ganzen Intervall; knapp oberhalb treten ein lokales Minimum und ein lokales Maximum und damit zeitweise wieder zunehmende Werte auf.

- Was bedeutet „knickfrei“ mathematisch für den Funktionswert und die Ableitung an den Anschlussstellen? - Überprüfe die Bedingungen für beide Anschlussstellen separat. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Wie findet man die Krümmungsänderung einer Funktion? Welche Ableitungen benötigst du dafür?

1. Knickfreiheit an einer Stelle \(x_0\) bedeutet, dass sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (Ableitungen) übereinstimmen. Für \(x = 0\): \(h_k(0) = 0\) und \(h_k'(x) = 4kx^3 - 12kx^2 + (8k + 1)x\), also \(h_k'(0) = 0\). Dies passt zur Geraden \(y = 0\). Für \(x = 2\): \(h_k(2) = k \cdot 16 - 4k \cdot 8 + (4k + 0{,}5) \cdot 4 = 16k - 32k + 16k + 2 = 2\). Die Gerade \(y = 2x - 2\) hat bei \(x = 2\) ebenfalls den Wert \(2 \cdot 2 - 2 = 2\). Die Ableitung an der Stelle \(2\) ist \(h_k'(2) = 4k \cdot 8 - 12k \cdot 4 + (8k + 1) \cdot 2 = 32k - 48k + 16k + 2 = 2\). Dies entspricht der Steigung der Geraden \(y = 2x - 2\). Somit ist der Übergang an beiden Anschlussstellen knickfrei. 2. Es soll \(h_k(1) = 1\) gelten: \(k \cdot 1^4 - 4k \cdot 1^3 + (4k + 0{,}5) \cdot 1^2 = k - 4k + 4k + 0{,}5 = k + 0{,}5\). Aus \(k + 0{,}5 = 1\) folgt \(k = 0{,}5\). 3. Für \(k = 1\) lautet die zweite Ableitung \(h_1''(x) = 12x^2 - 24x + 9\). Die notwendige Bedingung \(h_1''(x) = 0\) führt auf \(12x^2 - 24x + 9 = 0\), was durch \(3\) dividiert \(4x^2 - 8x + 3 = 0\) ergibt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 1{,}5\). Da die dritte Ableitung \(h_1'''(x) = 24x - 24\) an diesen Stellen ungleich null ist (\(h_1'''(0{,}5) = -12\); \(h_1'''(1{,}5) = 12\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\). Beide Stellen liegen im Intervall \([0; 2]\).

a) Nachweis durch \(h_k(0) = 0, h_k'(0) = 0\) und \(h_k(2) = 2, h_k'(2) = 2\). b) \(k = 0{,}5\). c) Wendepunkte: \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\).

- Welche Koordinaten hat die Mitte des Seils im gewählten Koordinatensystem? - Wie hängen die Steigung an einer Stelle und der Neigungswinkel zusammen? - Wo befindet sich für \(k>0\) der tiefste Punkt der Parabel? - Welche Bedingung muss der tiefste Funktionswert erfüllen, wenn das Seil gerade die Fahrbahn erreicht?

1. Zur Bestimmung von \(k\) wird der Funktionswert an der Stelle \(x=0\) gleich \(12\) gesetzt: \(f_k(0)=20-400k=12\). Daraus folgt \(400k=8\) und somit \(k=0{,}02\). 2. Für den Neigungswinkel wird die erste Ableitung der Funktion \(f_{0{,}02}(x)=0{,}02x^2+12\) an der Stelle des Pfeilers \(x=20\) berechnet: \(f_{0{,}02}'(x)=0{,}04x\). Mit \(f_{0{,}02}'(20)=0{,}8\) ergibt sich der Winkel \(\alpha=\arctan(0{,}8)\approx38{,}66^\circ\). 3. Für \(k>0\) liegt der tiefste Punkt in der Mitte bei \(x=0\). Das Seil erreicht die Fahrbahn erstmals, wenn \(f_k(0)=0\) gilt. Daraus folgt \(20-400k=0\), also \(k=0{,}05\). Für \(k>0{,}05\) läge der Scheitelpunkt rechnerisch unterhalb der Fahrbahn.

a) \(k=0{,}02\) b) \(\alpha\approx38{,}66^\circ\) c) Das Seil erreicht die Fahrbahn erstmals bei \(k=0{,}05\); für größere Werte liegt sein tiefster Punkt rechnerisch unterhalb der Fahrbahn.

- Trenne die Beobachtung zur Kalibrierung von der Beobachtung zur anschließenden Prüfung. - Bestimme den Parameter nur mit dem ausdrücklich dafür vorgesehenen Wert. - Vergleiche beim zweiten Wert nicht die Rohzahlen allein, sondern die absolute Abweichung mit der vorgegebenen Toleranz.

1. Aus \(M_a(2)=\frac{a}{4}=6\) folgt \(a=24\). 2. Mit diesem Parameter sagt das Modell für \(d=4\) den Wert \(M_{24}(4)=\frac{24}{6}=4\) voraus. 3. Die absolute Abweichung vom nicht zur Kalibrierung verwendeten Wert ist \(|4-3{,}7|=0{,}3\). 4. Da \(0{,}3\le0{,}5\), besteht das Modell die vorgegebene Validierungsprüfung.

\(a=24\). Für \(d=4\) sagt das Modell \(4\) voraus; die absolute Abweichung beträgt \(0{,}3\). Damit besteht das Modell die Validierungsprüfung.

- Vergleiche in der Abbildung zunächst die horizontale Lage der drei höchsten Punkte. - Welche Rolle spielt \(k\) in der gesamten Funktionsvorschrift? - Für die relative Änderung genügt es, das Verhältnis der beiden Skalierungsparameter zu betrachten.

1. Es ist \(C_k'(t)=k e^{-t}(1-t)\). Für jedes \(k>0\) liegt die einzige positive kritische Stelle daher bei \(t=1\); der Zeitpunkt des Maximums hängt nicht von \(k\) ab. 2. Die maximale Konzentration ist \(C_k(1)=\frac{k}{e}\). Sie wächst proportional mit \(k\), was auch an den gleich geformten, nur vertikal skalierten Graphen sichtbar ist. 3. Beim Übergang von \(k=5\) zu \(k=6\) steigt die maximale Konzentration um den Faktor \(\frac65=1{,}2\), also um \(20\,\%\).

Der Maximalzeitpunkt bleibt für alle drei Varianten bei \(t=1\). Die maximale Konzentration ist \(\frac{k}{e}\) und wächst proportional mit \(k\). Von \(k=5\) auf \(k=6\) steigt sie um \(20\,\%\).

- Nutze zuerst die Bedingung in der Mitte, um den noch unbekannten Faktor \(c_h\) festzulegen. - Welche Faktoren im Ansatz sorgen bereits dafür, dass die Randhöhen verschwinden? - Für einen glatten Anschluss musst du zusätzlich die Steigungen an beiden Randstellen prüfen. - Kontrolliere am Ende, ob der Parameter \(h\) tatsächlich nur die gewünschte Höhe skaliert.

1. In der Mitte gilt \(f_h(5)=c_h\cdot5^2\cdot5^2=625c_h\). Aus \(f_h(5)=h\) folgt \(c_h=\frac{h}{625}\). 2. Damit lautet die Schar \(f_h(x)=\frac{h}{625}x^2(10-x)^2\). 3. Wegen der Faktoren \(x^2\) und \((10-x)^2\) gilt unmittelbar \(f_h(0)=0\) und \(f_h(10)=0\). 4. Mit \(f_h'(x)=\frac{h}{625}\left(2x(10-x)^2-2x^2(10-x)\right)\) folgt \(f_h'(0)=0\) und \(f_h'(10)=0\). Die modellierte Bodenwelle schließt also an beiden Rändern mit waagerechter Tangente an.

\(c_h=\frac{h}{625}\), also \(f_h(x)=\frac{h}{625}x^2(10-x)^2\). Für jedes \(h>0\) gilt \(f_h(0)=f_h(10)=0\) sowie \(f_h'(0)=f_h'(10)=0\).

- Überlege dir, was mit dem Ausdruck \(e^{-0{,}04t}\) passiert, wenn \(t\) sehr große Werte annimmt. - Um den Zeitpunkt des maximalen Andrangs zu finden, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung untersuchen. - Der stärkste Rückgang entspricht dem Punkt, an dem die Änderungsrate ihren kleinsten Wert annimmt. - Vergleiche die Sättigungswerte (Grenzwerte) der beiden Graphen für große \(t\).

a) Für \(t \to \infty\) strebt der Term \(a(t-20)e^{-0{,}04t}\) gegen 0. Somit gilt \(\lim_{t \to \infty} v_a(t) = 20a\). b) \(v_a'(t) = a e^{-0{,}04t}(1{,}8 - 0{,}04t)\). Nullsetzen ergibt \(t=45\). Vorher ist \(v_a'(t)>0\), danach \(v_a'(t)<0\); der größte Besucherandrang liegt daher nach \(45\) Tagen. c) \(v_a''(t) = -0{,}04a e^{-0{,}04t}(2{,}8 - 0{,}04t)\). Aus \(v_a''(t)=0\) folgt \(t=70\). Für \(0\le t<70\) gilt \(v_a''(t)<0\), also nimmt \(v_a'(t)\) ab; für \(t>70\) gilt \(v_a''(t)>0\), also nimmt \(v_a'(t)\) wieder zu. Damit besitzt die Änderungsrate bei \(t=70\) ihr Minimum: Dort gehen die Besucherzahlen am stärksten zurück. d) Für \(a=100\) ist der langfristige Grenzwert \(2000\), für \(a=50\) ist er \(1000\). Der obere Graph \(q\) nähert sich \(2000\), der untere Graph \(p\) der \(1000\). Daher gehört \(q\) zu \(a=100\) und \(p\) zu \(a=50\).

a) Langfristig werden täglich \(20a\) Besucher erwartet. b) Der maximale Besucherandrang wird nach \(45\) Tagen erreicht. c) Die Besucherzahlen gehen nach \(70\) Tagen am stärksten zurück. d) \(p\) gehört zu \(a=50\), \(q\) zu \(a=100\); dies folgt etwa aus den Grenzwerten \(1000\) bzw. \(2000\).