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- Welche Zeitstelle eignet sich besonders gut, um den Parameter direkt zu interpretieren? - Setze diese Zeitstelle gedanklich in die Modellfunktion ein. - Nutze den Wert der Exponentialfunktion beim Exponenten null.

Für \(t=0\) gilt \(M_a(0)=a\,e^0=a\). Deshalb beschreibt \(a\) den Anfangswert des Modells.

A) Anfangswert bei \(t=0\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einem Funktionsgraphen liegt? - Setze die beiden Koordinaten des gegebenen Messpunkts in die Funktionsgleichung ein. - Löse anschließend die lineare Gleichung nach dem Parameter auf.

Da \(P(3\mid8)\) auf dem Graphen liegen soll, gilt \(8=3a+2\). Daraus folgt \(a=2\).

\(a=2\)

- Welche Stelle des Modells entspricht wegen der Symmetrie der Mitte des Torbogens? - Setze diese Stelle gedanklich in die Funktionsschar ein. - Welche geometrische Bedeutung hat der dort entstehende Funktionswert?

1. In der Mitte des Torbogens gilt \(x=0\). Damit ist \(h_k(0)=k\). 2. Für \(k>0\) ist die Parabel nach unten geöffnet, sodass dieser mittlere Punkt zugleich der höchste Punkt des Modells ist. 3. Der Parameter \(k\) beschreibt daher die modellierte maximale Höhe des Torbogens in Metern.

\(k\) ist die modellierte maximale Höhe des Torbogens in seiner Mitte, gemessen in Metern.

- Welchen Wert muss die x-Koordinate eines Punktes auf der y-Achse haben? - Wie hilft dir die erste Ableitung dabei, die Steigung einer Funktion zu beurteilen? - Berücksichtige bei der Ableitung die Kettenregel für die Exponentialfunktion. - Welche Vorzeichen haben die einzelnen Terme in deiner Ableitungsfunktion? - Überlege dir getrennt, gegen welche Werte die einzelnen Bestandteile des Funktionsterms streben, wenn x immer größer wird.

1. Zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse wird \(x = 0\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f_a(0) = 8 \cdot e^0 - a \cdot 0 + 3 = 8 + 3 = 11\). Da das Ergebnis unabhängig vom Parameter \(a\) ist, schneiden alle Graphen die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0|11)\). 2. Die erste Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = -4 \cdot e^{-0{,}5x} - a\). Da \(e^{-0{,}5x} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) und \(a > 0\) gilt, sind beide Summanden der Ableitung negativ. Somit ist \(f_a'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), woraus die strenge Monotonie folgt. 3. Für den Grenzwert gilt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = \lim_{x \to +\infty} (8 \cdot e^{-0{,}5x} - ax + 3)\). Da \(\lim_{x \to +\infty} e^{-0{,}5x} = 0\) und \(\lim_{x \to +\infty} (-ax) = -\infty\) für \(a > 0\), folgt insgesamt \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\).

a) Der gemeinsame Schnittpunkt ist \(S(0|11)\). b) Die Ableitung \(f_a'(x) = -4e^{-0{,}5x} - a\) ist aufgrund von \(a > 0\) und \(e^{-0{,}5x} > 0\) stets negativ, daher ist \(f_a\) streng monoton fallend. c) \(\lim_{x \to +\infty} f_a(x) = -\infty\)

- Wie lautet die allgemeine Scheitelpunktform einer Normalparabel? - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit dem Parameter \(k\) zusammen, wenn der Scheitelpunkt auf einer bestimmten Kurve liegen muss? - Welche Eigenschaft muss der Scheitelpunkt einer Parabel haben, damit sie die \(x\)-Achse genau einmal berührt?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) einer Normalparabel in der Schar hat die Koordinaten \((k \mid g(k))\). Da er auf dem Graphen von \(g(x) = x^2 - 6\) liegt, gilt \(S(k \mid k^2 - 6)\). 2. Die Scheitelpunktform einer Normalparabel lautet allgemein \(f(x) = (x - x_S)^2 + y_S\). Durch Einsetzen der Koordinaten ergibt sich die Schargleichung \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\). 3. Eine Parabel besitzt genau dann eine einzige Nullstelle, wenn ihr Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, also wenn die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts null ist. 4. Die Bedingung \(k^2 - 6 = 0\) führt zu \(k^2 = 6\). 5. Die Lösungen für den Parameter sind somit \(k_1 = \sqrt{6}\) und \(k_2 = -\sqrt{6}\).

a) \(f_k(x) = (x - k)^2 + k^2 - 6\) b) \(k = \sqrt{6}\) oder \(k = -\sqrt{6}\)

- Welche Faktoren des Funktionsterms liefern direkt die Nullstellen? - Nutze die Symmetrie einer Parabel zwischen ihren beiden Nullstellen, um die Scheitelstelle zu finden. - Eliminiere anschließend den Parameter aus den beiden Scheitelkoordinaten.

1. Aus \(h_k(x)=x\left(-\frac{x}{k}+1\right)=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=k\). Wegen der Symmetrie liegt der Scheitel bei \(x=\frac{k}{2}\). Einsetzen liefert \(h_k\left(\frac{k}{2}\right)=\frac{k}{4}\), also \(S_k\left(\frac{k}{2}\mid\frac{k}{4}\right)\). 2. Für einen Scheitelpunkt gilt \(x=\frac{k}{2}\), also \(k=2x\). Damit wird \(y=\frac{k}{4}=\frac{x}{2}\). Die Ortskurve ist die Gerade \(y=0{,}5x\).

1. Nullstellen \(x=0\) und \(x=k\); Scheitelpunkt \(S_k\left(\frac{k}{2}\mid\frac{k}{4}\right)\). 2. Ortskurve \(y=0{,}5x\).

- An welcher Stelle nimmt der Ausdruck im Nenner seinen kleinsten Wert an? - Was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs und damit für den Qualitätsindex? - Stelle für die beiden bekannten Informationen jeweils eine Gleichung mit den Unbekannten auf. - Wie kannst du eine der Unbekannten eliminieren, indem du die Gleichungen miteinander verrechnest?

1. Da der Nenner \(x^2 + 4\) für \(x = 0\) minimal ist, liegt das Maximum der Funktion bei \(x = 0\). Es gilt \(S(0) = \frac{a}{4} + b\). 2. Mit \(S(0)=20\) folgt \(\frac{a}{4} + b = 20\). 3. Mit \(S(4)=8\) folgt \(\frac{a}{20} + b = 8\). 4. Subtraktion ergibt \(\frac{a}{4} - \frac{a}{20} = 12\), also \(a = 60\). 5. Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(15+b=20\), also \(b=5\).

\(a = 60\) und \(b = 5\)

- Vergleiche zwei beliebige verschiedene Parameterwerte, statt einen speziellen Parameter einzusetzen. - Welcher Faktor des Funktionsterms ist niemals null? - Welche Bedingung bleibt nach dem Kürzen für einen gemeinsamen \(x\)-Wert übrig?

1. Vergleiche zwei verschiedene Parameter \(a\ne b\). Aus \(f_a(x)=f_b(x)\) folgt wegen \(e^x\ne0\) die Gleichung \(x^2-ax=x^2-bx\). 2. Damit ist \((b-a)x=0\). Da \(a\ne b\) gilt, muss \(x=0\) sein. Für alle Parameter ist \(f_a(0)=0\). Somit ist \(P(0\mid0)\) der einzige gemeinsame Punkt aller Graphen.

Der einzige gemeinsame Punkt aller Graphen ist \(P(0\mid0)\).

- Prüfe die drei Modellanforderungen bei jeder Schar getrennt. - Welche Bedingung zeigt unmittelbar, ob \(k\) tatsächlich die Anfangskonzentration beschreibt? - Für die zweite Anforderung musst du die Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t=0\) betrachten. - Vergleiche zuletzt das langfristige Verhalten der drei Kandidaten.

1. Für \(f_k\) gilt \(f_k(0)=k\). Außerdem ist \(f_k'(t)=-0{,}4ke^{-0{,}4t}\), also \(f_k'(0)=-0{,}4k\), und \(f_k(t)\to0\) für \(t\to\infty\). 2. Für \(g_k\) ist \(g_k(0)=1\); der Parameter beschreibt daher nicht die Anfangskonzentration. 3. Für \(h_k\) gilt zwar \(h_k(0)=k\) und \(h_k(t)\to0\), aber \(h_k'(0)=-k\) statt \(-0{,}4k\). 4. Damit erfüllt nur \(f_k(t)=ke^{-0{,}4t}\) alle Modellanforderungen.

Geeignet ist \(f_k(t)=ke^{-0{,}4t}\). Die Schar besitzt die Anfangskonzentration \(k\), die geforderte Anfangsänderungsrate \(-0{,}4k\) und nähert sich langfristig \(0\).

- Welche Gleichung entsteht, wenn du die bekannte Beobachtung in das Modell einsetzt? - Der Parameter lässt sich aus dieser einen Gleichung isolieren. - Um \(a\) zu interpretieren, untersuche den Modellwert beim Abstand \(d=0\).

1. Die Beobachtung liefert \(30=a e^{-0{,}2\cdot5}=a e^{-1}\). 2. Daher ist \(a=30e\approx81{,}55\). 3. Bei \(d=0\) gilt \(S_a(0)=a\). Der Parameter beschreibt also die modellierte Empfangsstärke unmittelbar am Bezugspunkt des Senders.

\(a=30e\approx81{,}55\). Der Parameter \(a\) ist die modellierte Empfangsstärke bei \(d=0\,\text{m}\).

- Erhöhe \(a\) zunächst in gröberen Schritten und beobachte, wann der fallende Verlauf erstmals fast waagerecht wird. - Verfeinere den Schieberegler in der Nähe dieses Übergangs. - Vergleiche Graphen knapp unterhalb und knapp oberhalb des gefundenen Parameterwerts und achte auf neu entstehende Extrempunkte.

1. Beim Vergrößern von \(a\) bleibt der Graph zunächst im gesamten Intervall fallend. Durch Verfeinern des Schiebereglers findet man den Übergang bei ungefähr \(a_{\mathrm{k}}=0{,}196\). 2. Die erstmals waagerechte Tangente liegt bei ungefähr \(t=6{,}09\). 3. Knapp unterhalb des kritischen Werts fällt das Modell durchgehend. Knapp oberhalb entstehen in der Umgebung dieser Stelle ein lokales Minimum und ein lokales Maximum; das Modell enthält dann einen kurzen Zeitraum mit zunehmendem Messwert. 4. Zur Kontrolle gilt \(C_a'(t)=e^{-0{,}2t}[a(\cos t-0{,}2\sin t)-0{,}2]\). Der Ausdruck \(\cos t-0{,}2\sin t\) erreicht den Maximalwert \(\sqrt{1{,}04}\). Daher ist \(a_{\mathrm{k}}=\frac{0{,}2}{\sqrt{1{,}04}}=\frac1{\sqrt{26}}\approx0{,}196116\). Der zugehörige Zeitpunkt ist \(t=2\pi-\arctan(0{,}2)\approx6{,}086\).

\(a_{\mathrm{k}}\approx0{,}196\) und \(t\approx6{,}09\). Knapp unterhalb dieses Werts fällt das Modell im ganzen Intervall; knapp oberhalb treten ein lokales Minimum und ein lokales Maximum und damit zeitweise wieder zunehmende Werte auf.

- Was bedeutet „knickfrei“ mathematisch für den Funktionswert und die Ableitung an den Anschlussstellen? - Überprüfe die Bedingungen für beide Anschlussstellen separat. - Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Wie findet man die Krümmungsänderung einer Funktion? Welche Ableitungen benötigst du dafür?

1. Knickfreiheit an einer Stelle \(x_0\) bedeutet, dass sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (Ableitungen) übereinstimmen. Für \(x = 0\): \(h_k(0) = 0\) und \(h_k'(x) = 4kx^3 - 12kx^2 + (8k + 1)x\), also \(h_k'(0) = 0\). Dies passt zur Geraden \(y = 0\). Für \(x = 2\): \(h_k(2) = k \cdot 16 - 4k \cdot 8 + (4k + 0{,}5) \cdot 4 = 16k - 32k + 16k + 2 = 2\). Die Gerade \(y = 2x - 2\) hat bei \(x = 2\) ebenfalls den Wert \(2 \cdot 2 - 2 = 2\). Die Ableitung an der Stelle \(2\) ist \(h_k'(2) = 4k \cdot 8 - 12k \cdot 4 + (8k + 1) \cdot 2 = 32k - 48k + 16k + 2 = 2\). Dies entspricht der Steigung der Geraden \(y = 2x - 2\). Somit ist der Übergang an beiden Anschlussstellen knickfrei. 2. Es soll \(h_k(1) = 1\) gelten: \(k \cdot 1^4 - 4k \cdot 1^3 + (4k + 0{,}5) \cdot 1^2 = k - 4k + 4k + 0{,}5 = k + 0{,}5\). Aus \(k + 0{,}5 = 1\) folgt \(k = 0{,}5\). 3. Für \(k = 1\) lautet die zweite Ableitung \(h_1''(x) = 12x^2 - 24x + 9\). Die notwendige Bedingung \(h_1''(x) = 0\) führt auf \(12x^2 - 24x + 9 = 0\), was durch \(3\) dividiert \(4x^2 - 8x + 3 = 0\) ergibt. Die Lösungen sind \(x_1 = 0{,}5\) und \(x_2 = 1{,}5\). Da die dritte Ableitung \(h_1'''(x) = 24x - 24\) an diesen Stellen ungleich null ist (\(h_1'''(0{,}5) = -12\); \(h_1'''(1{,}5) = 12\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\). Beide Stellen liegen im Intervall \([0; 2]\).

a) Nachweis durch \(h_k(0) = 0, h_k'(0) = 0\) und \(h_k(2) = 2, h_k'(2) = 2\). b) \(k = 0{,}5\). c) Wendepunkte: \(W_1(0{,}5|0{,}6875)\) und \(W_2(1{,}5|1{,}6875)\).

- Wie gehst du vor, wenn ein Punkt auf einem Graphen liegen soll? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Maximum an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Denke beim Ableiten der Funktion im zweiten Teil an die Produktregel und die Kettenregel. - Vergiss nicht zu prüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

1. Zur Bestimmung von \(a\) wird der Punkt \(P(2|10)\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(10 = a \cdot 2^3 - 5 \cdot 2 + 4\). Dies führt zu \(10 = 8a - 6\) und somit zu \(8a = 16\), woraus \(a = 2\) folgt. 2. Für die notwendige Bedingung eines Extremums von \(g_k\) wird die erste Ableitung gebildet: \(g_k'(x) = -1 \cdot e^{0{,}5x} + (k - x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}5k - 0{,}5x - 1)\). 3. Setzen der Bedingung \(g_k'(4) = 0\) ergibt \(e^{2} \cdot (0{,}5k - 0{,}5 \cdot 4 - 1) = 0\). Da \(e^2 \neq 0\), folgt \(0{,}5k - 3 = 0\), also \(k = 6\). 4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit der zweiten Ableitung \(g_k''(x) = e^{0{,}5x} \cdot (0{,}25k - 0{,}25x - 1)\). Für \(k = 6\) und \(x = 4\) ergibt sich \(g_6''(4) = e^2 \cdot (1{,}5 - 1 - 1) = -0{,}5e^2 < 0\). Somit liegt bei \(x = 4\) ein lokales Maximum vor.

a) \(a = 2\) b) \(k = 6\)

- Welche Ableitungen benötigst du, um Aussagen über Wendestellen zu treffen? - Erinnere dich an die notwendige und die hinreichende Bedingung für Wendepunkte. - Wie kannst du zeigen, dass eine Eigenschaft unabhängig von einem Parameter gilt? - Überlege, was passiert, wenn du für den Parameter \(r\) in der Ableitung einen beliebigen Wert einsetzt.

1. Für die Wendestelle wird die zweite Ableitung benötigt: \(h_r'(x) = 5rx^4 - 15x^2\) und \(h_r''(x) = 20rx^3 - 30x\). 2. Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle bei \(x = 1\) lautet \(h_r''(1) = 0\). Einsetzen ergibt \(20r \cdot 1^3 - 30 \cdot 1 = 0\), woraus \(20r = 30\) und somit \(r = 1{,}5\) folgt. 3. Zur Absicherung wird die dritte Ableitung \(h_r'''(x) = 60rx^2 - 30\) betrachtet. Für \(r = 1{,}5\) gilt \(h_{1{,}5}'''(1) = 60 \cdot 1{,}5 - 30 = 60 \neq 0\), was die Wendestelle bestätigt. 4. Für den Nachweis in Aufgabenteil b) wird \(x = 0\) in die zweite Ableitung eingesetzt: \(h_r''(0) = 20r \cdot 0^3 - 30 \cdot 0 = 0\) für alle \(r \in \mathbb{R}\). 5. Die dritte Ableitung an dieser Stelle ist \(h_r'''(0) = 60r \cdot 0^2 - 30 = -30\). Da \(-30 \neq 0\) für alle \(r\) gilt, ist die hinreichende Bedingung für eine Wendestelle an der Stelle \(x = 0\) stets erfüllt.

a) \(r = 1{,}5\) b) Da \(h_r''(0) = 0\) und \(h_r'''(0) = -30 \neq 0\) für alle \(r \in \mathbb{R}\) gilt, liegt bei \(x = 0\) immer eine Wendestelle vor.

- Wie gehst du vor, um Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Welche Eigenschaft hat die Exponentialfunktion \(e^{x}\) bezüglich ihrer Nullstellen? - Wie setzt man die Bedingung um, dass ein Punkt auf einer waagerechten Geraden liegt?

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = -e^{0{,}5x} + (a - x) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}5a - 1 - 0{,}5x) \cdot e^{0{,}5x}\) und \(f_a''(x) = -0{,}5 e^{0{,}5x} + (0{,}5a - 1 - 0{,}5x) \cdot 0{,}5 e^{0{,}5x} = (0{,}25a - 1 - 0{,}25x) \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\): Da \(e^{0{,}5x} > 0\), folgt \(0{,}5a - 1 - 0{,}5x = 0\), woraus \(x = a - 2\) resultiert. 3. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f_a''(a - 2) = (0{,}25a - 1 - 0{,}25(a - 2)) \cdot e^{0{,}5(a - 2)} = -0{,}5 \cdot e^{0{,}5a - 1}\). Da dieser Ausdruck für alle \(a\) negativ ist, liegt ein Hochpunkt vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a - 2) = (a - (a - 2)) \cdot e^{0{,}5(a - 2)} = 2 \cdot e^{0{,}5a - 1}\). Der Hochpunkt ist \(H(a - 2 \mid 2 e^{0{,}5a - 1})\). 5. Bedingung für b) anwenden: \(y_H = 2 \implies 2 e^{0{,}5a - 1} = 2\). 6. Gleichung lösen: \(e^{0{,}5a - 1} = 1 \implies 0{,}5a - 1 = 0 \implies a = 2\).

a) Der Hochpunkt hat die Koordinaten \(H(a - 2 \mid 2 e^{0{,}5a - 1})\). b) Für \(a = 2\) liegt der Hochpunkt auf der Geraden \(y = 2\).

- Welche Bedingungen müssen für einen Tiefpunkt erfüllt sein? - Beachte den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. - Wie vereinfacht man Terme wie \(\ln(\sqrt{k})\) mithilfe von Logarithmengesetzen? - Was bedeutet es geometrisch für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt?

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = x - \frac{k}{x}\) und \(g_k''(x) = 1 + \frac{k}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(g_k'(x) = 0\): \(x - \frac{k}{x} = 0 \implies x^2 = k\). Da \(x > 0\) und \(k > 0\), ist die einzige Lösung \(x = \sqrt{k}\). 3. Art des Extrempunktes prüfen: Da \(k > 0\) und \(x^2 > 0\), ist \(g_k''(x) = 1 + \frac{k}{x^2} > 0\) für alle \(x\) im Definitionsbereich. Somit ist \(x = \sqrt{k}\) immer die Stelle eines lokalen Minimums. 4. \(y\)-Koordinate bestimmen: \(g_k(\sqrt{k}) = \frac{1}{2}(\sqrt{k})^2 - k \cdot \ln(\sqrt{k}) = \frac{1}{2}k - k \cdot \frac{1}{2} \ln(k) = \frac{k}{2}(1 - \ln(k))\). Der Tiefpunkt ist \(T(\sqrt{k} \mid \frac{k}{2}(1 - \ln(k)))\). 5. Bedingung für b): Ein Punkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn seine \(y\)-Koordinate null ist. \(\frac{k}{2}(1 - \ln(k)) = 0\). 6. Da \(k > 0\), muss \(1 - \ln(k) = 0\) gelten. Dies führt zu \(\ln(k) = 1\), also \(k = e\).

a) Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(T(\sqrt{k} \mid \frac{k}{2}(1 - \ln(k)))\). Da \(g_k''(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist dies der einzige Extrempunkt. b) Der Tiefpunkt liegt für \(k = e\) auf der \(x\)-Achse.

- Überlege dir, für welche Werte von \(a\) die Gleichung für die Nullstellen der ersten Ableitung überhaupt eine Lösung hat. - Erinnere dich daran, dass bei der Bestimmung einer Ortskurve der Parameter \(a\) aus der Gleichung eliminiert werden muss. - Eine Tangente, die durch den Ursprung geht, hat die Form \(y = mx\). Welche Bedingung muss also für die Steigung im Berührpunkt gelten? - Setze die allgemeine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\) auf und fordere, dass der Ursprung auf der Tangente liegt.

a) Es gilt \(f_a'(x) = 3 - ae^x\) und \(f_a''(x) = -ae^x\). Aus \(f_a'(x)=0\) folgt \(e^x=\frac{3}{a}\). Eine Lösung existiert nur für \(a>0\) und lautet \(x_E=\ln(\frac{3}{a})\). Dort ist \(f_a''(x_E)=-3<0\), also liegt ein Hochpunkt vor. Seine Koordinaten sind \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3\ln\left(\frac{3}{a}\right)-3\right)\). Für \(a<0\) gibt es keine Extrempunkte. b) Setzt man \(x=\ln(\frac{3}{a})\) in die \(y\)-Koordinate ein, erhält man unmittelbar \(y=3x-3\). Die gemeinsame Ortsgerade lautet daher \(y=3x-3\). c) Für einen Berührpunkt bei \(x_0\) muss die Tangente durch den Ursprung gehen. Dafür gilt ohne Division durch \(x_0\) die Bedingung \(f_a(x_0)=x_0f_a'(x_0)\). Einsetzen liefert \(3x_0-ae^{x_0}=x_0(3-ae^{x_0})\). Nach Kürzen von \(3x_0\) folgt \(ae^{x_0}(x_0-1)=0\). Wegen \(a\neq0\) und \(e^{x_0}>0\) ist genau \(x_0=1\) möglich. Somit existiert genau eine solche Tangente. Der Berührpunkt ist \(P_a(1 \mid 3-ae)\).

a) Für \(a > 0\) existiert ein Hochpunkt \(H\left(\ln\left(\frac{3}{a}\right) \mid 3 \ln\left(\frac{3}{a}\right) - 3\right)\). Für \(a < 0\) gibt es keine Extrempunkte. b) Die Gerade hat die Gleichung \(y = 3x - 3\). c) Der Berührpunkt der eindeutig bestimmten Ursprungstangente ist \(P_a(1 \mid 3 - ae)\).

- Wie findet man den Schnittwinkel eines Graphen mit der \(x\)-Achse? Denke an den Zusammenhang zwischen der Steigung und dem Tangens des Winkels. - Überlege dir, welche Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel) du für die Untersuchung der Funktion benötigst. - Um eine Ortskurve zu finden, kannst du die \(x\)-Koordinate des Extrempunkts nach dem Parameter auflösen und in die Gleichung der \(y\)-Koordinate einsetzen. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird.

1. Nullstelle: \(f_k(x) = 0 \Rightarrow x-k = 0 \Rightarrow x_N = k\). 2. Erste Ableitung: \(f_k'(x) = 1 \cdot e^{1-\frac{x}{k}} + (x-k) \cdot \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = e^{1-\frac{x}{k}} \left(1 - \frac{x}{k} + 1\right) = \left(2 - \frac{x}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}}\). 3. Steigung an der Nullstelle: \(f_k'(k) = \left(2 - \frac{k}{k}\right) e^{1-1} = 1 \cdot e^0 = 1\). Da die Steigung \(m = 1\) unabhängig von \(k\) ist, ist der Schnittwinkel \(\alpha = \arctan(1) = 45^\circ\). 4. Extrempunkt bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 2 - \frac{x}{k} = 0 \Rightarrow x_E = 2k\). 5. Art des Extrempunkts: \(f_k''(x) = -\frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} + \left(2 - \frac{x}{k}\right) \left(-\frac{1}{k}\right) e^{1-\frac{x}{k}} = \frac{1}{k} e^{1-\frac{x}{k}} \left(\frac{x}{k} - 3\right)\). Einsetzen ergibt \(f_k''(2k) = \frac{1}{k} e^{-1} (2-3) = -\frac{1}{ke} < 0\). Es handelt sich um ein Maximum. 6. Koordinaten: \(y_E = f_k(2k) = (2k-k) e^{1-2} = k \cdot e^{-1} = \frac{k}{e}\). Somit \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). 7. Ortskurve: Aus \(x = 2k\) folgt \(k = \frac{x}{2}\). Einsetzen in \(y = \frac{k}{e}\) ergibt \(y = \frac{x}{2e}\). Dies ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung \(\frac{1}{2e}\).

a) Nullstelle bei \(x_N = k\). Da \(f_k'(k) = 1\) für alle \(k\), ist der Schnittwinkel stets \(\alpha = 45^\circ\). b) Hochpunkt bei \(E_k\left(2k \mid \frac{k}{e}\right)\). c) Die Extrempunkte liegen auf der Geraden \(y = \frac{1}{2e}x\).

- Bilde die ersten beiden Ableitungen und beachte Produkt- und Kettenregel. - Welche Bedingungen kennzeichnen Hochpunkt und Wendepunkt? - Setze die gefundenen Stellen in die ursprüngliche Funktion ein. - Vergleiche für die Grenzwerte den linearen Faktor mit dem exponentiellen Faktor.

1. Es ist \(f_k'(x)=k(1-kx)e^{-kx}\) und \(f_k''(x)=k^2(kx-2)e^{-kx}\). 2. Aus \(f_k'(x)=0\) folgt \(x=\frac{1}{k}\). Dort gilt \(f_k\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{e}\); wegen des Vorzeichenwechsels von \(f_k'\) liegt der Hochpunkt \(H_k\left(\frac{1}{k}\mid\frac{1}{e}\right)\) vor. 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=\frac{2}{k}\). Dort ist \(f_k\left(\frac{2}{k}\right)=\frac{2}{e^2}\). Außerdem gilt \(f_k'''\left(\frac{2}{k}\right)=k^3e^{-2}\ne0\); damit ist \(W_k\left(\frac{2}{k}\mid\frac{2}{e^2}\right)\) ein Wendepunkt. 4. Für \(x\to\infty\) dominiert der exponentielle Zerfall, daher gilt \(f_k(x)\to0\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(kx\to-\infty\) und \(e^{-kx}\to\infty\), sodass \(f_k(x)\to-\infty\).

a) \(H_k\left(\frac{1}{k}\mid\frac{1}{e}\right)\), \(W_k\left(\frac{2}{k}\mid\frac{2}{e^2}\right)\). b) \(\lim_{x\to\infty}f_k(x)=0\), \(\lim_{x\to-\infty}f_k(x)=-\infty\).

- Was unterscheidet die Funktionsgleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel von einer nach oben geöffneten? - Wie führst du eine Punktprobe durch, um einen unbekannten Parameter zu bestimmen? - Wenn du eine Gleichung mit einem Bruch erhältst, wie kannst du sie vereinfachen? - Gibt es einen einfachen ganzzahligen Wert, der die Gleichung im letzten Schritt lösen könnte?

1. Der Scheitelpunkt \(S\) der nach unten geöffneten Normalparabel liegt auf dem Graphen von \(h(x) = \frac{1}{x}\), woraus sich die Koordinaten \(S(a \mid \frac{1}{a})\) ergeben. 2. Die allgemeine Form einer nach unten geöffneten Normalparabel ist \(g(x) = -(x - x_S)^2 + y_S\). Eingesetzt ergibt dies die Schar \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\). 3. Um den Parameter \(a\) zu finden, für den die Parabel durch \(P(1 \mid 1)\) verläuft, wird die Punktprobe durchgeführt: \(1 = -(1 - a)^2 + \frac{1}{a}\). 4. Auflösen der Gleichung: \(1 = -(1 - 2a + a^2) + \frac{1}{a} \Rightarrow 1 = -1 + 2a - a^2 + \frac{1}{a} \Rightarrow 2 - 2a + a^2 - \frac{1}{a} = 0\). 5. Multiplikation mit \(a\) führt auf die kubische Gleichung \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = 0\). 6. Durch systematisches Probieren oder Erkennen der Koeffizientensumme findet man die Lösung \(a = 1\). Eine Überprüfung (Polynomdivision) zeigt, dass \(a^3 - 2a^2 + 2a - 1 = (a - 1)(a^2 - a + 1)\) ist, wobei der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen besitzt.

a) \(g_a(x) = -(x - a)^2 + \frac{1}{a}\) b) \(a = 1\)

- Wie lässt sich eine quadratische Funktion direkt aus ihren Nullstellen konstruieren? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Welche Information liefert die erste Ableitung über den Graphen einer Funktion? - Wie hängen die verschiedenen Darstellungsformen (Nullstellenform, Scheitelpunktform, allgemeine Form) zusammen?

1. Ansatz der Nullstellenform: \(f_a(x) = c(x - 1)(x - a)\). Da der Scheitelpunkt symmetrisch zwischen den Nullstellen liegt, gilt \(x_s = \frac{a+1}{2}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt die Bedingung für die \(y\)-Koordinate: \(f_a(\frac{a+1}{2}) = c \cdot (\frac{a+1}{2} - 1) \cdot (\frac{a+1}{2} - a) = c \cdot (\frac{a-1}{2}) \cdot (\frac{1-a}{2}) = -c \cdot \frac{(a-1)^2}{4}\). Gleichsetzen mit \((a-1)^2\) führt auf \(-c \cdot \frac{(a-1)^2}{4} = (a-1)^2\). Da \(a > 1\), kann durch \((a-1)^2\) dividiert werden, woraus \(c = -4\) folgt. 2. Mit dem Scheitelpunkt \(S(\frac{a+1}{2} | (a-1)^2)\) lautet die Scheitelpunktform: \(f_a(x) = -4(x - \frac{a+1}{2})^2 + (a-1)^2\). Ausmultiplizieren ergibt: \(f_a(x) = -4(x^2 - (a+1)x + \frac{(a+1)^2}{4}) + (a-1)^2 = -4x^2 + (4a+4)x - (a^2+2a+1) + (a^2-2a+1) = -4x^2 + (4a+4)x - 4a\). 3. Die Ableitungsfunktion lautet \(f_a'(x) = -8x + 4a + 4\). Die Steigung an der Stelle \(x=1\) ist \(f_a'(1) = -8 \cdot 1 + 4a + 4 = 4a - 4\).

1. \(f_a(x) = -4(x-1)(x-a)\) 2. Scheitelpunktform: \(f_a(x) = -4(x - \frac{a+1}{2})^2 + (a-1)^2\); allgemeine Form: \(f_a(x) = -4x^2 + (4a+4)x - 4a\) 3. \(m = 4a - 4\)

- Welche Auswirkung hat die Punktsymmetrie zum Ursprung auf die Exponenten der Variable \(x\) im Funktionsterm? - Wie viele Unbekannte hat der allgemeine Ansatz unter Berücksichtigung der Symmetrie? - Welche Gleichungen lassen sich aus den gegebenen Nullstellen aufstellen? - Da nach „allen“ Funktionen gefragt ist, wird am Ende ein Parameter im Funktionsterm verbleiben.

1. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung enthält der Funktionsterm nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^5 + bx^3 + cx\). 2. Da die Funktion vom Grad 5 ist, muss \(a \neq 0\) gelten. 3. Aus den Nullstellen bei \(x = 1\) und \(x = 2\) ergeben sich die Bedingungen \(f(1) = 0\) und \(f(2) = 0\). 4. Einsetzen von \(x = 1\): \(a + b + c = 0 \implies c = -a - b\). 5. Einsetzen von \(x = 2\): \(32a + 8b + 2c = 0\). Division durch 2 ergibt \(16a + 4b + c = 0\). 6. Substitution von \(c\): \(16a + 4b + (-a - b) = 0 \implies 15a + 3b = 0\). 7. Auflösen nach \(b\): \(3b = -15a \implies b = -5a\). 8. Bestimmen von \(c\): \(c = -a - (-5a) = 4a\). 9. Die Funktionsschar lautet somit \(f_a(x) = ax^5 - 5ax^3 + 4ax\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(f_a(x) = ax^5 - 5ax^3 + 4ax = a(x^5 - 5x^3 + 4x)\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)

- Welche Potenzen dürfen in einem zur \(y\)-Achse symmetrischen Polynom vierten Grades vorkommen? - Übersetze „Extrempunkt auf der \(x\)-Achse“ in Bedingungen an \(f\) und \(f'\). - Prüfe nach dem Bestimmen der Familie noch, ob die stationäre Stelle für alle zulässigen Parameter tatsächlich ein Extremum ist.

1. Wegen der Achsensymmetrie hat der Term die Form \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) mit \(a\neq0\). 2. Aus \(f(2)=0\) und \(f'(2)=0\) folgt \(b=-8a\) und \(c=16a\). 3. Damit gilt \(f_a(x)=a(x^2-4)^2\), \(a\neq0\). 4. Es ist \(f_a''(x)=12ax^2-16a\) und damit \(f_a''(2)=32a\neq0\). Also ist \(x=2\) tatsächlich eine lokale Extremstelle: für \(a>0\) ein Minimum, für \(a<0\) ein Maximum.

\(f_a(x)=a(x^2-4)^2=ax^4-8ax^2+16a\) mit \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Bei \(x=2\) liegt für \(a>0\) ein lokales Minimum und für \(a<0\) ein lokales Maximum.

- Überlege dir, welche Bedingung für einen Berührpunkt mit der x-Achse erfüllt sein muss. - Wie bestimmt man die Anzahl der Extremstellen einer Funktion? - Untersuche die Symmetriebedingung \(f(x) = f(-x)\) für den gegebenen Funktionsterm. - Berechne den Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(x = 0\) in Abhängigkeit von \(k\).

1. Nullstellen liegen vor, wenn \(k - e^x = 0\), also \(x = \ln(k)\). Da \(k > 0\) vorausgesetzt ist, existiert dieser Wert stets. Da der Funktionsterm ein Quadrat ist, gilt \(f_k(x) \geq 0\). Somit ist jede Nullstelle ein lokales Minimum und damit ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. Die Aussage gilt für alle \(k\). 2. Die Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2(k - e^x) \cdot (-e^x) = -2ke^x + 2e^{2x}\). Die Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(e^x = k\), woraus \(x = \ln(k)\) folgt. Da \(f_k''(\ln(k)) = 2k^2 > 0\), liegt dort immer ein lokales Minimum vor. Weitere Extremstellen existieren nicht. Die Aussage gilt für alle \(k\). 3. Achsensymmetrie erfordert \(f_k(-x) = f_k(x)\) für alle \(x\). Dies entspräche \((k - e^{-x})^2 = (k - e^x)^2\), was auf \(|k - e^{-x}| = |k - e^x|\) führt. Für \(x\to\infty\) gilt \(f_k(x)\to\infty\), während \(f_k(-x)\to k^2\). Daher kann die Gleichheit für kein \(k>0\) für alle \(x\) gelten. Die Aussage gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Die Steigung an der Stelle \(x=0\) ist \(f_k'(0) = 2(k - e^0) \cdot (-e^0) = -2(k - 1) = 2 - 2k\). Diese ist positiv, wenn \(2 - 2k > 0\), also \(k < 1\). Da \(k\) auch größer oder gleich 1 sein kann, hängt die Gültigkeit vom Wert des Parameters ab.

1. Gilt für alle Werte von \(k\). 2. Gilt für alle Werte von \(k\). 3. Gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Hängt vom Wert des Parameters \(k\) ab (positiv für \(k < 1\)).

- Wann kann der Nenner eines Bruchs Null werden? - Untersuche, ob das Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) den Funktionsterm verändert. - Setze den Zähler gleich Null und überlege, für welche Werte von \(a\) es Lösungen gibt. - Betrachte den Grenzwert der Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte.

1. Der Nenner \(x^2 + a\) darf nicht Null werden. Für \(a > 0\) ist \(x^2 + a \geq a > 0\), somit ist die Funktion für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Für \(a < 0\) gibt es Definitionslücken bei \(x = \pm \sqrt{-a}\). Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 2. Es gilt \(g_a(-x) = \frac{(-x)^2 - a}{(-x)^2 + a} = \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = g_a(x)\). Da dies für alle \(a \neq 0\) und alle \(x\) im Definitionsbereich gilt, ist der Graph für alle \(a\) symmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x^2 - a = 0\) vor, also \(x^2 = a\). Für \(a > 0\) ergeben sich genau zwei Schnittpunkte \((\pm \sqrt{a}|0)\). Für \(a < 0\) hat die Gleichung keine reelle Lösung, da \(x^2 \geq 0\) und \(a < 0\) ist. Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 4. Für das Verhalten im Unendlichen gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - a/x^2}{1 + a/x^2} = 1\). Dieser Grenzwert ist unabhängig von \(a \neq 0\). Somit ist \(y = 1\) für alle \(a\) die waagerechte Asymptote.

1. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 2. Gilt für alle Werte von \(a\). 3. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 4. Gilt für alle Werte von \(a\).

- Wie lautet die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes? - Was passiert mit der Anzahl der Extremstellen, wenn der Parameter null ist? - Erinnere dich daran, dass ein Punkt genau dann auf der \(x\)-Achse liegt, wenn seine \(y\)-Koordinate einen bestimmten Wert hat. - Überprüfe bei der Bestimmung der Art der Extrempunkte, wie das Vorzeichen des Parameters die zweite Ableitung beeinflusst.

1. Die notwendige Bedingung für Extrema ist \(f_k'(x) = x^2 - k^2 = 0\). Für \(k = 0\) ist \(f_0'(x) = x^2\); da \(f_0'(0) = 0\) ohne Vorzeichenwechsel gilt (bzw. \(f_0''(0) = 0\) und \(f_0'''(0) \neq 0\)), liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt vor. Für \(k \neq 0\) ergeben sich die Stellen \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Die zweite Ableitung \(f_k''(x) = 2x\) liefert \(f_k''(k) = 2k\) und \(f_k''(-k) = -2k\). Ist \(k > 0\), so liegt bei \(x_1 = k\) ein Tiefpunkt \(T(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und bei \(x_2 = -k\) ein Hochpunkt \(H(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) vor. Ist \(k < 0\), so liegt bei \(x_1 = k\) ein Hochpunkt \(H(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und bei \(x_2 = -k\) ein Tiefpunkt \(T(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) vor. 2. Ein Extrempunkt liegt auf der \(x\)-Achse, wenn sein \(y\)-Wert null ist. Fall 1: \(-\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3} = 0 \implies k^3 = 1 \implies k = 1\). Fall 2: \(\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3} = 0 \implies k^3 = -1 \implies k = -1\). Für \(k = 1\) liegt der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse, für \(k = -1\) ebenfalls der Tiefpunkt \((1 \mid 0)\).

1. Für \(k = 0\) gibt es keine Extrempunkte. Für \(k \neq 0\) sind die Extrempunkte \(P_1(k \mid -\frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\) und \(P_2(-k \mid \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{3})\). 2. Für \(k = 1\) und \(k = -1\) liegt der Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse.

- Welche Faktoren des Funktionsterms bestimmen die parameterunabhängigen Nullstellen? - Vergleiche zwei verschiedene Parameterwerte, um weitere gemeinsame Punkte auszuschließen. - Achte bei den Nullstellen der Ableitung darauf, ob wirklich ein Vorzeichenwechsel vorliegt. - Welche Koordinate des Extrempunkts ist unabhängig von \(k\)?

1. Aus \(f_k(x)=kx^3(x-4)\) folgen für alle \(k\ne0\) die Achsenschnittpunkte \((0\mid0)\) und \((4\mid0)\). 2. Für zwei Parameter \(k\ne m\) führt \(f_k(x)=f_m(x)\) auf \((k-m)(x^4-4x^3)=0\). Daher sind \(x=0\) und \(x=4\) die einzigen gemeinsamen Stellen verschiedener Graphen. 3. Es ist \(f_k'(x)=4kx^2(x-3)\). Die doppelte Nullstelle \(x=0\) erzeugt keinen Vorzeichenwechsel; bei \(x=3\) liegt der einzige lokale Extrempunkt. Mit \(f_k(3)=-27k\) erhält man \(E_k(3\mid-27k)\). Für \(k>0\) ist dies ein Tiefpunkt, für \(k<0\) ein Hochpunkt. 4. Da alle Extrempunkte die feste \(x\)-Koordinate \(3\) besitzen, liegen sie auf der Geraden \(x=3\).

a) Gemeinsame Punkte \((0\mid0)\) und \((4\mid0)\); weitere gemeinsame Punkte gibt es nicht. b) \(E_k(3\mid-27k)\); für \(k>0\) Tiefpunkt, für \(k<0\) Hochpunkt. c) Ortsgerade \(x=3\).

- Welches Glied bestimmt bei einer kubischen Funktion das Grenzverhalten? - Für die Wendestelle brauchst du die zweite Ableitung; prüfe anschließend ein hinreichendes Kriterium. - Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate null ist.

1. Das Grenzverhalten wird vom Leitglied \(\frac13kx^3\) bestimmt. Für \(k>0\) gilt \(f_k(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f_k(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\); für \(k<0\) umgekehrt. 2. \(f_k'(x)=kx^2+2(k+2)x+12\) und \(f_k''(x)=2kx+2k+4\). Daher ist \(x_W=-1-\frac2k\). Weil \(f_k'''(x)=2k\neq0\), liegt dort tatsächlich ein Wendepunkt. 3. Aus \(-1-\frac2k=0\) folgt \(k=-2\). Dann ist \(f_{-2}(x)=-\frac23x^3+12x\), also \(W_{-2}(0\mid0)\), und \(f_{-2}'(0)=12\).

a) Für \(k>0\): rechts \(\infty\), links \(-\infty\); für \(k<0\) umgekehrt. b) \(x_W=-1-\frac2k\) c) \(k=-2\), \(W_{-2}(0\mid0)\), Wendetangentensteigung \(12\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in einem Funktionsterm vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Welche Bedingungen müssen für eine Extremstelle an einer bestimmten Position erfüllt sein? - Wie hängen der Funktionswert und die Ableitungen an einer Stelle zusammen? - Nutze die zweite Ableitung, um die Art eines Extrempunktes zu bestimmen.

1. Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades: \(f_k(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Punkt \(O(0|0)\) einsetzen: \(f_k(0) = 0 \implies c = 0\). 3. Extremstelle bei \(x = 1\) mit Funktionswert \(k\): \(f_k(1) = a + b = k\) und \(f_k'(1) = 4a + 2b = 0\). 4. Gleichungssystem lösen: Aus \(4a + 2b = 0\) folgt \(b = -2a\). Einsetzen in \(a + b = k\) ergibt \(a - 2a = k\), also \(a = -k\) und \(b = 2k\). 5. Funktionsterm: \(f_k(x) = -kx^4 + 2kx^2\). 6. Art des Extremums prüfen: \(f_k''(x) = -12kx^2 + 4k\). An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f_k''(1) = -12k + 4k = -8k\). 7. Ergebnis: Für \(k > 0\) ist \(f_k''(1) < 0\) (lokales Maximum), für \(k < 0\) ist \(f_k''(1) > 0\) (lokales Minimum). Da die Funktion vom Grad 4 ist, muss \(k \neq 0\) gelten.

a) \(f_k(x) = -kx^4 + 2kx^2\) b) Für \(k > 0\) liegt ein lokales Maximum vor, für \(k < 0\) ein lokales Minimum.

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse den allgemeinen Ansatz einer Funktion 4. Grades? - Welche drei Informationen stecken in der Angabe eines Wendepunkts inklusive der Steigung seiner Tangente? - Stelle für jede Information eine mathematische Gleichung auf. - Prüfe am Ende, ob alle Bedingungen durch deine berechneten Koeffizienten erfüllt werden.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. \(y\)-Achsenabschnitt nutzen: \(f(0) = 2{,}5 \implies c = 2{,}5\). 3. Bedingungen am Wendepunkt \(W(1|0)\): \(f(1) = 0\) (Punktbedingung), \(f'(1) = -4\) (Steigung der Tangente) und \(f''(1) = 0\) (Krümmung). 4. Gleichungen aufstellen: I: \(a + b + 2{,}5 = 0 \implies a + b = -2{,}5\) II: \(4a + 2b = -4 \implies 2a + b = -2\) III: \(12a + 2b = 0 \implies 6a + b = 0\) 5. System lösen: Aus III folgt \(b = -6a\). Einsetzen in II: \(2a - 6a = -2 \implies -4a = -2 \implies a = 0{,}5\). 6. \(b\) berechnen: \(b = -6 \cdot 0{,}5 = -3\). 7. Konsistenzprüfung mit I: \(0{,}5 - 3 = -2{,}5\) (erfüllt). 8. Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5\). 9. Schließlich gilt \(f'''(1)=12\neq0\); damit ist \(W(1|0)\) tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5\)

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts vom Parameter ab? Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken? - Stell dir vor, du hättest einen festen Punkt gegeben. Unter welcher Bedingung findet man einen passenden Parameterwert? - Was muss für die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gelten, damit es keine Lösung gibt?

1. Zur Bestimmung der Scheitelpunkte wird die erste Ableitung \(f_a'(x) = 2(x-a)\) gleich null gesetzt, woraus \(x = a\) folgt. 2. Der zugehörige Funktionswert ist \(f_a(a) = (a-a)^2 + 2a = 2a\). Die Scheitelpunkte haben somit die Koordinaten \(S(a|2a)\). 3. Aus \(x = a\) und \(y = 2a\) ergibt sich durch Einsetzen die Gleichung der Ortskurve \(y = 2x\). 4. Ein Punkt \(P(x|y)\) liegt auf einem Graphen der Schar, wenn die Gleichung \(y = (x-a)^2 + 2a\) eine reelle Lösung für \(a\) besitzt. Umgestellt nach \(a\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(a^2 + (2-2x)a + (x^2-y) = 0\). 5. Die Diskriminante dieser Gleichung lautet \(D = (2-2x)^2 - 4(x^2-y) = 4 - 8x + 4x^2 - 4x^2 + 4y = 4(1 - 2x + y)\). 6. Eine Lösung für \(a\) existiert genau dann, wenn \(D \ge 0\), also \(1 - 2x + y \ge 0 \iff y \ge 2x - 1\). 7. Die Menge der Punkte, durch die kein Graph verläuft, ist somit durch die Bedingung \(y < 2x - 1\) definiert.

a) Die Ortskurve der Scheitelpunkte ist die Gerade mit der Gleichung \(y = 2x\). b) Die Menge aller Punkte \(P(x|y)\) mit \(y < 2x - 1\) liegt auf keinem Graphen der Schar.

- Was musst du über den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion wissen? - Wie hängen die notwendige Bedingung für Extremstellen und der Parameter \(a\) zusammen? - Welches Vorzeichen muss \(a\) haben, damit die Gleichung für die erste Ableitung eine Lösung im Definitionsbereich hat? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, die Art des Extrempunktes allgemein zu bestimmen?

1. Ableitungen berechnen: \(f_a'(x) = \frac{a}{x} - 1\) und \(f_a''(x) = -\frac{a}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) anwenden: \(\frac{a}{x} - 1 = 0 \iff \frac{a}{x} = 1 \iff x = a\). 3. Existenzprüfung: Da der Logarithmus nur für \(x > 0\) definiert ist, muss die Lösung \(x = a\) im Definitionsbereich liegen, woraus \(a > 0\) folgt. Für \(a \leq 0\) existiert kein Extrempunkt. 4. Art des Extrempunktes bestimmen: Einsetzen der Stelle in die zweite Ableitung ergibt \(f_a''(a) = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}\). Da für die Existenz \(a > 0\) vorausgesetzt wurde, ist \(f_a''(a) < 0\), womit ein lokales Maximum (Hochpunkt) vorliegt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a) = a \cdot \ln(a) - a = a(\ln(a) - 1)\). Die Koordinaten lauten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

Ein Extrempunkt existiert genau dann, wenn \(a > 0\) gilt. Es handelt sich um einen Hochpunkt mit den Koordinaten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

- Welche Werte kann die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) annehmen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Denke an die Kettenregel beim Ableiten der Funktionenschar. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunktes aus, unabhängig vom konkreten Wert von \(x\)?

1. Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(h_k'(x) = ke^{kx} - 1\) und \(h_k''(x) = k^2e^{kx}\). 2. Stationäre Punkte bestimmen: \(h_k'(x) = 0 \iff ke^{kx} = 1 \iff e^{kx} = \frac{1}{k}\). 3. Existenzbedingung herleiten: Da die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) für alle reellen Zahlen positive Werte annimmt, besitzt die Gleichung nur dann eine Lösung für \(x\), wenn \(\frac{1}{k} > 0\) gilt, was gleichbedeutend mit \(k > 0\) ist. 4. Extremstelle berechnen: Durch Logarithmieren folgt \(kx = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\), also \(x = -\frac{\ln(k)}{k}\). 5. Art des Extrempunktes klassifizieren: Da \(k \neq 0\) ist \(k^2\) stets positiv. Da auch \(e^{kx} > 0\) gilt, ist \(h_k''(x) = k^2e^{kx} > 0\) für alle \(x\). Somit liegt an der gefundenen Stelle immer ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 6. Funktionswert ermitteln: \(h_k\left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{k \cdot \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right)} - \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{-\ln(k)} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1}{k} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1 + \ln(k)}{k}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

Ein Extrempunkt existiert nur für \(k > 0\). Es handelt sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

- Welche Rolle spielt der stets positive Faktor \(e^x\) bei der Nullstellensuche? - Bilde die Ableitung und reduziere die Extremstellenbedingung auf eine quadratische Gleichung. - Welche Bedingung an die Diskriminante liefert genau zwei verschiedene reelle Lösungen?

1. Nullstellen erfüllen \(a-x^2=0\), also \(x^2=a\). Für \(a<0\) gibt es keine Nullstelle, für \(a=0\) genau eine und für \(a>0\) zwei Nullstellen. 2. Es ist \(g_a'(x)=(-x^2-2x+a)e^x\). Da \(e^x>0\) gilt, entsprechen die Extremstellen den Lösungen von \(x^2+2x-a=0\). 3. Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist \(4+4a\). Genau zwei verschiedene Lösungen und damit zwei Extremstellen existieren genau für \(4+4a>0\), also für \(a>-1\).

a) Für \(a<0\) keine Nullstelle, für \(a=0\) eine Nullstelle, für \(a>0\) zwei Nullstellen. b) Genau zwei Extrempunkte existieren für \(a>-1\).

- Überlege dir, für welchen x-Wert der Funktionsterm unabhängig vom Parameter k immer denselben Wert annimmt. - Nutze die Produkt- und Kettenregel, um die notwendigen Ableitungen der Funktionenschar zu bilden. - Um die Ortskurve zu finden, kannst du die x-Koordinate des Punktes nach dem Parameter k auflösen und diesen Ausdruck in die y-Koordinate einsetzen.

1. Den gemeinsamen Punkt ermitteln: Ansatz \(f_k(x) = f_m(x)\) führt auf \(x \cdot e^{1-kx} = x \cdot e^{1-mx}\). Für \(x \neq 0\) müsste \(1-kx = 1-mx\) gelten, was nur für \(k=m\) möglich ist. Einziger gemeinsamer Punkt ist somit \(O(0|0)\). 2. Ableitungen berechnen: \(f_k'(x) = (1-kx) \cdot e^{1-kx}\) und \(f_k''(x) = (k^2x - 2k) \cdot e^{1-kx}\). 3. Extrempunkte bestimmen: \(f_k'(x) = 0 \Rightarrow 1-kx = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{k}\). Wegen \(f_k''(\frac{1}{k}) = -k < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{1}{k}) = \frac{1}{k} \cdot e^0 = \frac{1}{k}\). Somit \(H(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k})\). 4. Wendepunkte bestimmen: \(f_k''(x) = 0 \Rightarrow k^2x - 2k = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{k}\). Da die zweite Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist, liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f_k(\frac{2}{k}) = \frac{2}{k} \cdot e^{-1} = \frac{2}{ke}\). Somit \(W(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke})\). 5. Ortskurve der Hochpunkte: Aus \(x = \frac{1}{k}\) folgt \(k = \frac{1}{x}\). Einsetzen in \(y = \frac{1}{k}\) ergibt \(y = x\).

a) \(O(0|0)\) b) \(H\left(\frac{1}{k} \mid \frac{1}{k}\right)\) und \(W\left(\frac{2}{k} \mid \frac{2}{ke}\right)\) c) \(y = x\)

- Wie kannst du prüfen, ob eine bestimmte Funktion in einer Schar enthalten ist? - Um die gegenseitige Lage zu bestimmen, solltest du die Differenzfunktion \(d(x) = f_k(x) - g(x)\) betrachten. - Achte bei der Ungleichungsbetrachtung darauf, wie sich das Vorzeichen von \(k\) auf das Ergebnis auswirkt. - Überlege dir, was eine doppelte Nullstelle der Differenzfunktion für die geometrische Lage bedeutet.

1. Für \(k = 2\) ergibt sich \(f_2(x) = \frac{2}{4}x^3 - 2x^2 + x = \frac{1}{2}x^3 - 2x^2 + x\). Dies entspricht der Funktion \(f\). 2. Schnittpunkte berechnen: \(f_k(x) = x \Rightarrow \frac{k}{4}x^3 - kx^2 + x = x \Rightarrow \frac{k}{4}x^3 - kx^2 = 0\). 3. Ausklammern: \(kx^2(\frac{1}{4}x - 1) = 0\). Da \(k \neq 0\), sind die Lösungen \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle, also Berührpunkt) und \(x_2 = 4\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|4)\). 4. Differenzfunktion untersuchen: \(d(x) = f_k(x) - x = kx^2(\frac{1}{4}x - 1)\). Der Faktor \(x^2\) ist für alle \(x \neq 0\) positiv. Das Vorzeichen von \(d(x)\) hängt also von \(k\) und dem Term \((\frac{1}{4}x - 1)\) ab. 5. Fallunterscheidung \(k > 0\): Für \(x < 4\) (und \(x \neq 0\)) ist \(d(x) < 0\), der Graph liegt unterhalb von \(g\). Für \(x > 4\) ist \(d(x) > 0\), der Graph liegt oberhalb von \(g\). 6. Fallunterscheidung \(k < 0\): Für \(x < 4\) (und \(x \neq 0\)) ist \(d(x) > 0\), der Graph liegt oberhalb von \(g\). Für \(x > 4\) ist \(d(x) < 0\), der Graph liegt unterhalb von \(g\).

a) Für \(k = 2\) gilt \(f_2(x) = f(x)\). b) Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(4|4)\). Für \(k > 0\): Unterhalb für \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4)\), oberhalb für \(x \in (4; \infty)\). Für \(k < 0\): Oberhalb für \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4)\), unterhalb für \(x \in (4; \infty)\).

- Was muss für den Funktionsterm gelten, damit der Wert an einer Stelle \(x\) nicht von \(k\) abhängt? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Art eines stationären Punktes zu bestimmen? - Was musst du im Sonderfall \(k=0\) zusätzlich prüfen, wenn das gewöhnliche Kriterium mit der zweiten Ableitung keine Entscheidung liefert?

1. Für zwei verschiedene Parameter \(k\ne m\) führt \(g_k(x)=g_m(x)\) wegen \(e^{-x}>0\) auf \((k-m)x^2=0\). Daher ist \(x=0\) die einzige gemeinsame Stelle; mit \(g_k(0)=0\) ist der gemeinsame Punkt \(S(0\mid0)\). 2. Es ist \(g_k'(x)=(-2x^3+(6-k)x^2+2kx)e^{-x}\), also \(g_k'(0)=0\). Außerdem gilt \(g_k''(0)=2k\). Für \(k>0\) liegt daher ein lokales Minimum vor, für \(k<0\) ein lokales Maximum. 3. Für \(k=0\) ist \(g_0'(x)=2x^2(3-x)e^{-x}\). In einer Umgebung von \(x=0\) wechselt \(g_0'\) das Vorzeichen nicht, also liegt dort kein Extremum vor. Weiter gilt \(g_0''(x)=2x(x^2-6x+6)e^{-x}\). Der Faktor \(x^2-6x+6\) ist in einer hinreichend kleinen Umgebung von \(0\) positiv, sodass \(g_0''\) bei \(x=0\) von negativ zu positiv wechselt. Damit ist \(S(0\mid0)\) für \(k=0\) ein Sattelpunkt.

1. Gemeinsamer Schnittpunkt: \(S(0\mid0)\) 2. Für \(k>0\): lokales Minimum; für \(k<0\): lokales Maximum; für \(k=0\): Sattelpunkt.

- Welche Koordinaten hat die Mitte des Seils im gewählten Koordinatensystem? - Wie hängen die Steigung an einer Stelle und der Neigungswinkel zusammen? - Wo befindet sich für \(k>0\) der tiefste Punkt der Parabel? - Welche Bedingung muss der tiefste Funktionswert erfüllen, wenn das Seil gerade die Fahrbahn erreicht?

1. Zur Bestimmung von \(k\) wird der Funktionswert an der Stelle \(x=0\) gleich \(12\) gesetzt: \(f_k(0)=20-400k=12\). Daraus folgt \(400k=8\) und somit \(k=0{,}02\). 2. Für den Neigungswinkel wird die erste Ableitung der Funktion \(f_{0{,}02}(x)=0{,}02x^2+12\) an der Stelle des Pfeilers \(x=20\) berechnet: \(f_{0{,}02}'(x)=0{,}04x\). Mit \(f_{0{,}02}'(20)=0{,}8\) ergibt sich der Winkel \(\alpha=\arctan(0{,}8)\approx38{,}66^\circ\). 3. Für \(k>0\) liegt der tiefste Punkt in der Mitte bei \(x=0\). Das Seil erreicht die Fahrbahn erstmals, wenn \(f_k(0)=0\) gilt. Daraus folgt \(20-400k=0\), also \(k=0{,}05\). Für \(k>0{,}05\) läge der Scheitelpunkt rechnerisch unterhalb der Fahrbahn.

a) \(k=0{,}02\) b) \(\alpha\approx38{,}66^\circ\) c) Das Seil erreicht die Fahrbahn erstmals bei \(k=0{,}05\); für größere Werte liegt sein tiefster Punkt rechnerisch unterhalb der Fahrbahn.

- Welche Parameterbedingung folgt aus der senkrechten Asymptote? - Welche zweite Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) liefert die Nullstelle \(x=2\)? - Wende die Quotientenregel auf Zähler- und Nennerfunktion an und setze erst danach die bekannte Stelle für die Steigung ein.

1. Aus der senkrechten Asymptote \(x=-2\) folgt \(-2+c=0\), also \(c=2\). 2. Weil \(x=2\) eine Nullstelle ist, gilt \(4a+2b=0\). Daher ist \(b=-2a\) und damit \(f(x)=\frac{ax^2-2ax}{x+2}\). 3. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{(2ax-2a)(x+2)-(ax^2-2ax)}{(x+2)^2}=\frac{ax^2+4ax-4a}{(x+2)^2}\). 4. Einsetzen von \(x=2\) ergibt \(f'(2)=\frac{8a}{16}=\frac{a}{2}\). Aus \(\frac{a}{2}=0{,}5\) folgt \(a=1\). 5. Somit ist \(b=-2\), \(c=2\) und \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x+2}\).

\(a=1\), \(b=-2\), \(c=2\); \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x+2}\)

- Trenne die Beobachtung zur Kalibrierung von der Beobachtung zur anschließenden Prüfung. - Bestimme den Parameter nur mit dem ausdrücklich dafür vorgesehenen Wert. - Vergleiche beim zweiten Wert nicht die Rohzahlen allein, sondern die absolute Abweichung mit der vorgegebenen Toleranz.

1. Aus \(M_a(2)=\frac{a}{4}=6\) folgt \(a=24\). 2. Mit diesem Parameter sagt das Modell für \(d=4\) den Wert \(M_{24}(4)=\frac{24}{6}=4\) voraus. 3. Die absolute Abweichung vom nicht zur Kalibrierung verwendeten Wert ist \(|4-3{,}7|=0{,}3\). 4. Da \(0{,}3\le0{,}5\), besteht das Modell die vorgegebene Validierungsprüfung.

\(a=24\). Für \(d=4\) sagt das Modell \(4\) voraus; die absolute Abweichung beträgt \(0{,}3\). Damit besteht das Modell die Validierungsprüfung.

- Vergleiche in der Abbildung zunächst die horizontale Lage der drei höchsten Punkte. - Welche Rolle spielt \(k\) in der gesamten Funktionsvorschrift? - Für die relative Änderung genügt es, das Verhältnis der beiden Skalierungsparameter zu betrachten.

1. Es ist \(C_k'(t)=k e^{-t}(1-t)\). Für jedes \(k>0\) liegt die einzige positive kritische Stelle daher bei \(t=1\); der Zeitpunkt des Maximums hängt nicht von \(k\) ab. 2. Die maximale Konzentration ist \(C_k(1)=\frac{k}{e}\). Sie wächst proportional mit \(k\), was auch an den gleich geformten, nur vertikal skalierten Graphen sichtbar ist. 3. Beim Übergang von \(k=5\) zu \(k=6\) steigt die maximale Konzentration um den Faktor \(\frac65=1{,}2\), also um \(20\,\%\).

Der Maximalzeitpunkt bleibt für alle drei Varianten bei \(t=1\). Die maximale Konzentration ist \(\frac{k}{e}\) und wächst proportional mit \(k\). Von \(k=5\) auf \(k=6\) steigt sie um \(20\,\%\).

- Nutze zuerst die Bedingung in der Mitte, um den noch unbekannten Faktor \(c_h\) festzulegen. - Welche Faktoren im Ansatz sorgen bereits dafür, dass die Randhöhen verschwinden? - Für einen glatten Anschluss musst du zusätzlich die Steigungen an beiden Randstellen prüfen. - Kontrolliere am Ende, ob der Parameter \(h\) tatsächlich nur die gewünschte Höhe skaliert.

1. In der Mitte gilt \(f_h(5)=c_h\cdot5^2\cdot5^2=625c_h\). Aus \(f_h(5)=h\) folgt \(c_h=\frac{h}{625}\). 2. Damit lautet die Schar \(f_h(x)=\frac{h}{625}x^2(10-x)^2\). 3. Wegen der Faktoren \(x^2\) und \((10-x)^2\) gilt unmittelbar \(f_h(0)=0\) und \(f_h(10)=0\). 4. Mit \(f_h'(x)=\frac{h}{625}\left(2x(10-x)^2-2x^2(10-x)\right)\) folgt \(f_h'(0)=0\) und \(f_h'(10)=0\). Die modellierte Bodenwelle schließt also an beiden Rändern mit waagerechter Tangente an.

\(c_h=\frac{h}{625}\), also \(f_h(x)=\frac{h}{625}x^2(10-x)^2\). Für jedes \(h>0\) gilt \(f_h(0)=f_h(10)=0\) sowie \(f_h'(0)=f_h'(10)=0\).

- Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und löse nach dem Parameter auf. - Überlege dir bei der Untersuchung von Schnittpunkten, was es bedeutet, wenn eine Gleichung nur für einen bestimmten x-Wert erfüllt ist. - Eine Streckung in x-Richtung um den Faktor c ersetzt jedes x durch x/c. Eine Streckung in y-Richtung multipliziert den gesamten Funktionsterm mit c. - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer Geraden liegen, kannst du die y-Koordinate der Punkte in Abhängigkeit von ihrer x-Koordinate ausdrücken, indem du die Bedingung für Extremstellen nutzt.

a) Einsetzen von \(P(2 \mid 2)\) in \(f_k(x)\) ergibt \(2 = 2e^{1-4k}\). Somit ist \(1=e^{1-4k}\), also \(1-4k=0\) und \(k=0{,}25\). Die Gleichung besitzt genau diese eine Lösung. b) Für \(k=0\) gilt \(f_0(x)=ex\). Die Steigung ist daher \(m=e\). c) Aus \(f_k(0)=0\) folgt, dass alle Graphen durch den Ursprung verlaufen. Die Äquivalenz \(f_{k_1}(x)=f_{k_2}(x) \iff x=0\) besagt, dass zwei verschiedene Schargraphen außer dem Ursprung keinen weiteren gemeinsamen Punkt besitzen. d) Bei einer Streckung in beiden Richtungen um \(c\) gilt \(y=c\,f_k(\frac{x}{c}) = x e^{1-\frac{k}{c^2}x^2}\). Mit \(k^*=\frac{k}{c^2}\) ist dies die Funktionsgleichung von \(f_{k^*}\), also wieder ein Schargraph. e) Es gilt \(f_k'(x)=(1-2kx^2)e^{1-kx^2}\). Für \(k>0\) ist \(e^{1-kx^2}>0\), sodass \(f_k'(x)=0\) genau für \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}\) gilt. Außerhalb des Intervalls zwischen diesen beiden Stellen ist \(1-2kx^2<0\), innerhalb ist der Ausdruck positiv. Daher liegt an der negativen Stelle ein Tiefpunkt und an der positiven Stelle ein Hochpunkt; es gibt genau zwei Extrempunkte. An beiden Stellen gilt \(kx^2=\frac12\). Einsetzen in \(f_k(x)\) liefert \(y=xe^{1-\frac12}=\sqrt{e}x\). Damit liegen alle Extrempunkte auf der Geraden \(y=\sqrt{e}x\).

a) \(k = 0{,}25\). b) Die Steigung ist \(e\). c) Alle Graphen der Schar schneiden sich ausschließlich im Ursprung \((0 \mid 0)\). d) Der gestreckte Graph entspricht der Funktion \(f_{k^*}\) mit \(k^* = \frac{k}{c^2}\). e) Für \(k>0\) liegen die beiden Extremstellen bei \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2k}}\); für beide gilt \(y=\sqrt{e}x\).

- Welche Werte sind wegen des Nenners aus der Definitionsmenge ausgeschlossen? - Welche Informationen liefern Nullstellen und Grenzverhalten über die Lage des Graphen? - Untersuche die stationären Stellen in Abhängigkeit vom Parameter und achte auf dessen Vorzeichen. - Für gemeinsame Punkte zweier Scharkurven kannst du zwei verschiedene Parameterwerte miteinander vergleichen.

1. Da der Nenner nicht null sein darf, ist \(D_k=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Die Nullstelle folgt aus \(k-2x=0\), also \(x=\frac{k}{2}\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_k(x)\to0\); damit ist \(y=0\) die waagerechte Asymptote. Wegen des Faktors \(x^2\) im Nenner ist \(x=0\) eine senkrechte Asymptote. 3. Es ist \(f_k'(x)=\frac{2x-2k}{x^3}\). Daher liegt die einzige Extremstelle bei \(x=k\). 4. Mit \(f_k''(x)=\frac{6k-4x}{x^4}\) gilt \(f_k''(k)=\frac{2}{k^3}\). Für \(k>0\) liegt somit ein Tiefpunkt \(T\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\) vor, für \(k<0\) ein Hochpunkt \(H\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\). 5. Für zwei Parameter \(k_1\ne k_2\) würde ein Schnittpunkt \(f_{k_1}(x)=f_{k_2}(x)\) die Gleichung \(k_1-2x=k_2-2x\) und damit \(k_1=k_2\) erzwingen. Verschiedene Graphen der Schar schneiden sich daher nicht.

a) \(D_k=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); Nullstelle \(x=\frac{k}{2}\); senkrechte Asymptote \(x=0\), waagerechte Asymptote \(y=0\). b) Extrempunkt bei \(x=k\): für \(k>0\) \(T\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\), für \(k<0\) \(H\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\). c) Verschiedene Graphen der Schar besitzen keine Schnittpunkte.

- Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse ist eine Nullstelle, die gleichzeitig ein Extrempunkt ist. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. Klammere Faktoren aus, um die Nullstellen der Ableitung leichter zu finden. - Für die Ortskurve: Schau dir das Verhältnis zwischen der \(x\)- und \(y\)-Koordinate des Punktes \(H_a\) an. - Bei Teilaufgabe d) musst du den gegebenen \(x\)-Wert einfach in deine zuvor berechnete Ableitungsfunktion einsetzen.

a) Aus \(f_a(x)=0\) folgt \((\ln(x)-a)^2=0\), also \(x_B=e^a\). Da \(x>0\) und der Quadratterm nicht negativ ist, gilt \(f_a(x)\ge0\). Somit ist \(B_a(e^a \mid 0)\) ein Tief- und Berührpunkt. b) Die Ableitung lautet \(f_a'(x)=(\ln(x)-a)(\ln(x)-a+2)\). Neben \(x=e^a\) ergibt sich die weitere kritische Stelle aus \(\ln(x)-a+2=0\), also \(x_H=e^{a-2}\). Mit \(z=\ln(x)-a\) hat \(f_a'\) das Vorzeichen des Produkts \(z(z+2)\): vor \(z=-2\) ist es positiv und danach bis \(z=0\) negativ. Daher liegt bei \(x_H\) tatsächlich ein Hochpunkt. Es gilt \(f_a(e^{a-2})=4e^{a-2}\), also \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). c) Aus \(x=e^{a-2}\) und \(y=4e^{a-2}\) folgt unmittelbar \(y=4x\). d) Einsetzen in die Ableitung ergibt \(f_a'(e^{a-1})=(a-1-a)(a-1-a+2)=(-1)(1)=-1\). Die Steigung ist unabhängig von \(a\).

a) Berührpunkt \(B_a(e^a \mid 0)\). b) Hochpunkt \(H_a(e^{a-2} \mid 4e^{a-2})\). c) Die Ortskurve ist die Gerade \(y = 4x\). d) Die Steigung an der Stelle \(x = e^{a-1}\) beträgt für alle \(a\) den Wert \(-1\).

- Welche Folge hat \(a>0\) für den Nenner und damit für die Definitionsmenge? - Wie kannst du die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\) prüfen? - Bestimme die stationären Stellen und eliminiere anschließend den Parameter aus den Hochpunktkoordinaten. - Vergleiche für das Grenzverhalten die Wachstumsgrade von Zähler und Nenner.

1. Da \(a>0\) gilt, ist \(x^2+a>0\) für alle \(x\), also ist die Definitionsmenge \(\mathbb{R}\). Die einzige Nullstelle ist \(x=0\). Wegen \(f_a(-x)=-f_a(x)\) ist \(G_a\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Es ist \(f_a'(x)=\frac{a^2(a-x^2)}{(x^2+a)^2}\). Stationäre Stellen liegen bei \(x=\pm\sqrt{a}\). Daraus folgen der Hochpunkt \(H\left(\sqrt{a}\mid\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\) und der Tiefpunkt \(T\left(-\sqrt{a}\mid-\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\). 3. Für die Hochpunkte gilt \(x=\sqrt{a}\), also \(a=x^2\). Damit wird die Hochpunktordinate zu \(y=\frac{1}{2}x^3\); alle Hochpunkte liegen auf \(h(x)=0{,}5x^3\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_a(x)\to0\), weil der Nennergrad größer als der Zählergrad ist. Die waagerechte Asymptote lautet \(y=0\).

a) Definitionsmenge \(\mathbb{R}\); Nullstelle \(x=0\); punktsymmetrisch zum Ursprung. b) \(H\left(\sqrt{a}\mid\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\), \(T\left(-\sqrt{a}\mid-\frac{1}{2}a\sqrt{a}\right)\); Hochpunkt-Ortskurve \(h(x)=0{,}5x^3\). c) \(\lim_{x\to\pm\infty}f_a(x)=0\); waagerechte Asymptote \(y=0\).

- Prüfe die Symmetrie durch Ersetzen von \(x\) durch \(-x\). - Bei der Ableitung wirken Quotienten- und Kettenregel zusammen. - Für einen gemeinsamen Punkt musst du zwei verschiedene Parameterwerte vergleichen. - Was folgt aus dem Gradunterschied von Zähler und Nenner für große \(|x|\)?

1. Wegen \(g_k(-x)=-g_k(x)\) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Die einzige Nullstelle ist \(x=0\). 2. Es ist \(g_k'(x)=\frac{2k-6x^2}{(x^2+k)^3}\). Daher liegen die Extremstellen bei \(x=\pm\sqrt{\frac{k}{3}}\). Der Hochpunkt ist \(H\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\mid\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\), der Tiefpunkt liegt wegen der Punktsymmetrie bei \(T\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\mid-\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). 3. Für zwei verschiedene Parameter \(k_1\ne k_2\) ist \(g_{k_1}(0)=g_{k_2}(0)=0\). Für \(x\ne0\) würde ein gemeinsamer Punkt \((x^2+k_1)^2=(x^2+k_2)^2\) erfordern; wegen \(x^2+k>0\) folgt daraus \(k_1=k_2\), ein Widerspruch. Der einzige gemeinsame Punkt ist also \((0\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g_k(x)\to0\); die gemeinsame waagerechte Asymptote lautet \(y=0\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; Nullstelle \(x=0\). b) \(H\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\mid\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\), \(T\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\mid-\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). c) Gemeinsamer Punkt \((0\mid0)\); waagerechte Asymptote \(y=0\).

- Überlege dir, wie sich die Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte verhält. - Unterscheide Fälle für den Parameter, insbesondere ob die Funktion Extrema besitzt. - Wie beeinflusst die Lage des Extrempunktes (oberhalb, unterhalb oder auf der \(x\)-Achse) die Anzahl der Nullstellen? - Betrachte die Monotonie der Funktion in den verschiedenen Bereichen.

1. Es gilt \(f_a'(x) = ae^x - 1\). 2. Für \(a<0\) ist \(f_a'(x)<0\), die Funktion also streng monoton fallend. Mit \(\lim_{x\to-\infty}f_a(x)=\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}f_a(x)=-\infty\) folgt genau eine Nullstelle. Für \(a=0\) ist \(f_0(x)=-x\) mit der einzigen Nullstelle \(x=0\). 3. Für \(a>0\) besitzt \(f_a'\) genau eine Nullstelle bei \(x=-\ln(a)\). Wegen \(f_a''(x)=ae^x>0\) für alle \(x\) ist dies das eindeutige Minimum. Sein Funktionswert ist \(f_a(-\ln(a))=1+\ln(a)\). Außerdem gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}f_a(x)=\infty\). 4. Das Minimum ist null für \(1+\ln(a)=0\), also \(a=\frac1e\); es ist negativ für \(0<a<\frac1e\) und positiv für \(a>\frac1e\). 5. Damit gibt es für \(a>\frac1e\) keine Nullstelle, für \(a=\frac1e\) sowie \(a\le0\) genau eine Nullstelle und für \(0<a<\frac1e\) genau zwei Nullstellen.

- Keine Nullstellen für \(a > \frac{1}{e}\) - Genau eine Nullstelle für \(a = \frac{1}{e}\) oder \(a \le 0\) - Genau zwei Nullstellen für \(0 < a < \frac{1}{e}\)

- Achte auf den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. - Bestimme die erste Ableitung, um mögliche Extremstellen in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen von \(k\) für den Verlauf des Graphen? - Untersuche die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs. - Setze den Funktionswert an der Extremstelle in Beziehung zur \(x\)-Achse.

1. Es gilt \(h_k'(x) = 2x - \frac{k}{x}\). 2. Für \(k<0\) ist \(h_k'(x)=2x+\frac{|k|}{x}>0\) für alle \(x>0\). Mit \(\lim_{x\to0^+}h_k(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}h_k(x)=\infty\) ergibt sich genau eine Nullstelle. 3. Für \(k=0\) ist \(h_0(x)=x^2\); im Bereich \(x>0\) gibt es keine Nullstelle. 4. Für \(k>0\) liefert \(h_k'(x)=0\) genau \(x=\sqrt{\frac{k}{2}}\). Wegen \(h_k''(x)=2+\frac{k}{x^2}>0\) für alle \(x>0\) ist dies das eindeutige Minimum. Sein Wert ist \(\frac{k}{2}\left(1-\ln\left(\frac{k}{2}\right)\right)\). Zugleich gilt \(h_k(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\). 5. Das Minimum ist null genau für \(k=2e\), positiv für \(0<k<2e\) und negativ für \(k>2e\). 6. Somit gibt es keine Nullstelle für \(0\le k<2e\), genau eine Nullstelle für \(k<0\) oder \(k=2e\) und genau zwei Nullstellen für \(k>2e\).

- Keine Nullstellen: \(0 \le k < 2e\) - Genau eine Nullstelle: \(k < 0\) oder \(k = 2e\) - Genau zwei Nullstellen: \(k > 2e\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in der Funktionsgleichung vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Wie viele Unbekannte musst du bestimmen und wie viele Informationen liefert der Text? - Was bedeutet die Information über den Wendepunkt für die Ableitungen der Funktion? - Setze die gegebenen Punkte und Eigenschaften in Gleichungen um.

1. Aufgrund der Achsensymmetrie gilt der Ansatz \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Aus \(f(0)=4\) folgt \(e=4\). 3. Aus \(f(2)=0\) folgt \(16a+4c+4=0\), also \(4a+c=-1\). 4. Wegen des Wendepunkts bei \(x=1\) gilt \(f''(1)=0\). Mit \(f''(x)=12ax^2+2c\) folgt \(12a+2c=0\), also \(c=-6a\). 5. Einsetzen ergibt \(4a-6a=-1\), also \(a=0{,}5\) und \(c=-3\). 6. Damit lautet die Funktion \(f(x)=0{,}5x^4-3x^2+4\). 7. Für diese Funktion ist \(f'''(x)=12x\) und somit \(f'''(1)=12\neq0\). Damit ist die geforderte Wendestelle tatsächlich verifiziert.

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 4\)

- Übersetze Ursprung, Sattelpunkt und Extremstelle in Gleichungen für \(f\), \(f'\) und \(f''\). - Nach dem Lösen des Koeffizientensystems musst du die beiden qualitativen Aussagen noch mit hinreichenden Kriterien prüfen. - Welche höhere Ableitung kann einen stationären Wendepunkt bestätigen, und wie lässt sich eine stationäre Extremstelle klassifizieren?

1. Setze \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\). Aus \(f(0)=0\) folgt \(e=0\). 2. Der Sattelpunkt liefert \(f(2)=2\), \(f'(2)=0\) und \(f''(2)=0\). Die Extremstelle bei \(x=1\) liefert \(f'(1)=0\). 3. Das lineare Gleichungssystem ergibt \(a=-\frac38\), \(b=\frac52\), \(c=-6\), \(d=6\). Somit ist \(f(x)=-\frac38x^4+\frac52x^3-6x^2+6x\). 4. \(f'''(x)=-9x+15\), also \(f'''(2)=-3\neq0\); damit ist \(S(2\mid2)\) tatsächlich ein Sattelpunkt. 5. \(f''(x)=-\frac92x^2+15x-12\), also \(f''(1)=-\frac32<0\). Daher liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein lokales Maximum vor.

\(f(x)=-\frac38x^4+\frac52x^3-6x^2+6x\). Bei \(x=2\) liegt ein Sattelpunkt, bei \(x=1\) ein lokales Maximum vor.

- Bestimme zuerst die Extrempunkte in Abhängigkeit von \(k\). Wie hängen \(x\) und \(y\) dort zusammen? - Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, kannst du \(x\) als festen Wert betrachten und untersuchen, welche \(y\)-Werte durch Variation von \(k\) erreicht werden können. - Welchen maximalen Wert kann die Funktion \(g_k(x)\) für ein festes \(x\) annehmen, wenn man \(k\) verändert?

1. Die Ableitung \(g_k'(x) = 1 \cdot e^{k-x} + (x-k) \cdot e^{k-x} \cdot (-1) = e^{k-x} \cdot (1 - x + k)\) hat die Nullstelle \(x = k + 1\). Da \(g_k''(k+1) = -e^{-1} < 0\), liegt dort ein Hochpunkt vor. 2. Der Funktionswert an der Stelle \(x = k+1\) ist \(g_k(k+1) = 1 \cdot e^{-1} + k = k + \frac{1}{e}\). Die Hochpunkte sind \(H(k+1 | k + \frac{1}{e})\). 3. Mit \(x = k+1 \implies k = x-1\) folgt für die \(y\)-Koordinate: \(y = (x-1) + \frac{1}{e}\). Die Ortskurve ist die Gerade \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). 4. Für einen festen Wert \(x\) wird die Funktion \(h(k) = (x-k) e^{k-x} + k\) untersucht. Es soll geprüft werden, welche Werte \(y\) diese Funktion annehmen kann. 5. Die Ableitung nach \(k\) ist \(h'(k) = -e^{k-x} + (x-k) e^{k-x} + 1 = e^{k-x}(x-k-1) + 1\). Die Bedingung \(h'(k) = 0\) wird für \(k = x\) erfüllt (\(e^0 \cdot (-1) + 1 = 0\)). 6. Da \(h''(x) = -2 < 0\), besitzt \(h(k)\) bei \(k=x\) ein absolutes Maximum mit dem Wert \(h(x) = (x-x)e^0 + x = x\). 7. Wegen \(\lim_{k \to \pm \infty} h(k) = -\infty\) ist der Wertebereich von \(h(k)\) das Intervall \((-\infty; x]\). 8. Ein Punkt \((x|y)\) liegt genau dann auf einem Graphen, wenn \(y \le x\). Folglich liegen alle Punkte mit \(y > x\) auf keinem Graphen. 9. Mit \(t=k-x\) lautet \(h'(k)=0\) äquivalent \((t+1)e^t=1\). Für \(t<-1\) ist die linke Seite negativ, und für \(t>-1\) ist sie streng wachsend; daher ist \(t=0\), also \(k=x\), die einzige Lösung. Zusammen mit dem bereits bestimmten Randverhalten ist das Maximum absolut.

a) Die Hochpunkte liegen auf der Geraden \(y = x + \frac{1}{e} - 1\). b) Alle Punkte \(P(x|y)\) mit \(y > x\) liegen auf keinem Graphen der Schar.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt für alle Werte von \(k\) auf dem Graphen liegt? - Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle mit waagerechter Tangente erfüllen? - Wie unterscheidet man zwischen Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt? - Wie findet man die Gleichung einer Kurve, auf der bestimmte Punkte einer Schar liegen, wenn man deren Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter kennt?

1. Gemeinsame Punkte: \(f_k(0) = 0\) ist offensichtlich. Für \(x=4\): \(f_k(4) = \frac{64}{6} - \frac{16}{4}(k+2) + 4k = \frac{32}{3} - 4k - 8 + 4k = \frac{32}{3} - \frac{24}{3} = \frac{8}{3}\). Da das Ergebnis unabhängig von \(k\) ist, liegen beide Punkte auf allen Graphen. 2. Waagerechte Tangente bei \(x=2\): Ableitung \(f_k'(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k\). Es gilt \(f_k'(2) = \frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2}(k+2)(2) + k = 2 - (k+2) + k = 0\). 3. Art des Extrempunktes: \(f_k''(x) = x - \frac{1}{2}(k+2)\). Für \(x=2\) ist \(f_k''(2) = 2 - \frac{1}{2}k - 1 = 1 - \frac{1}{2}k\). Ein Extrempunkt liegt vor, wenn \(f_k''(2) \neq 0\), also \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist \(f_k''(2) < 0\), es handelt sich um einen Hochpunkt. Für \(k=2\) liegt ein Sattelpunkt vor. 4. Weiterer Extrempunkt: Nullstellen von \(f_k'(x)\) bestimmen: \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}(k+2)x + k = 0 \Leftrightarrow x^2 - (k+2)x + 2k = 0\). Mit der \(pq\)-Formel oder durch Faktorisieren erhält man \((x-2)(x-k)=0\). Die zweite Stelle ist somit \(x=k\). Für \(k \neq 2\) ist dies eine einfache Nullstelle von \(f_k'\) mit Vorzeichenwechsel, also ein Extrempunkt. 5. Ortskurve: \(y = f_k(k) = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}(k+2)k^2 + k^2 = \frac{1}{6}k^3 - \frac{1}{4}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + k^2 = -\frac{1}{12}k^3 + \frac{1}{2}k^2\). Da \(x=k\), ist die Gleichung der Ortskurve \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(x=0\) und \(x=4\) in \(f_k(x)\). b) Waagerechte Tangente, da \(f_k'(2)=0\). Extrempunkt für \(k \neq 2\). Für \(k > 2\) ist es ein Hochpunkt. c) Die Nullstellen der Ableitung sind \(x=2\) und \(x=k\). d) \(h(x) = -\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) für \(x \neq 2\)

- Nach dem Lösen von \(g_k'(x)=0\) musst du noch begründen, dass die stationäre Stelle tatsächlich ein Extremum ist. - Eliminiere den Parameter mithilfe der \(x\)-Koordinate von \(E_k\) und beachte dabei ausgeschlossene Werte. - Berechne einige aufeinanderfolgende Ableitungen und formuliere erst dann ein allgemeines Muster. - Wie verändert sich der lineare Faktor bei genau einem weiteren Ableitungsschritt?

1. Es gilt \(g_k'(x)=(kx+k+1)e^x\). Daher ist die einzige stationäre Stelle \(x_E=-1-\frac1k\). 2. Weiter gilt \(g_k''(x)=(kx+2k+1)e^x\). An der stationären Stelle ist \(g_k''(x_E)=ke^{x_E}\neq0\). Somit liegt für \(k>0\) ein lokales Minimum und für \(k<0\) ein lokales Maximum vor. 3. Der Funktionswert ist \(g_k(x_E)=-ke^{x_E}\). Damit \(E_k\left(-1-\frac1k\mid-ke^{-1-\frac1k}\right)\). 4. Aus \(x_E+1=-\frac1k\) folgt \(k=-\frac1{x_E+1}\). Einsetzen in \(y_E=-ke^{x_E}\) ergibt \(y_E=\frac{e^{x_E}}{x_E+1}\). Wegen \(k\neq0\) ist \(x_E\neq-1\); umgekehrt entsteht für jedes \(x\neq-1\) ein zulässiger Parameter. Die genaue Ortskurve ist also \(y=\frac{e^x}{x+1}\) mit \(x\neq-1\). 5. Die ersten Ableitungen zeigen das Muster \(g_k'(x)=(kx+k+1)e^x\), \(g_k''(x)=(kx+2k+1)e^x\). Für \(n\ge1\) lautet die Vermutung \(g_k^{(n)}(x)=(kx+nk+1)e^x\). 6. Ist die Formel für ein \(n\ge1\) richtig, so folgt durch erneute Produktregel \(g_k^{(n+1)}(x)=\bigl(k+kx+nk+1\bigr)e^x=(kx+(n+1)k+1)e^x\). Damit gilt die Formel für alle \(n\ge1\).

a) \(E_k\left(-1-\frac1k\mid-ke^{-1-\frac1k}\right)\); Minimum für \(k>0\), Maximum für \(k<0\) b) \(y=\frac{e^x}{x+1}\) für \(x\neq-1\) c) \(g_k^{(n)}(x)=(kx+nk+1)e^x\) für \(n\ge1\)

- Faktorisiere die Ableitung so, dass die stationären Stellen in Abhängigkeit von \(a\) sichtbar werden. - Prüfe den Sonderfall, in dem beide stationären Stellen zusammenfallen. - Für die Ortslinie musst du den Parameter aus den Koordinaten des nicht auf der \(y\)-Achse liegenden Extrempunkts eliminieren. - Achte darauf, welcher \(x\)-Wert wegen des Sonderfalls ausgeschlossen bleibt.

1. Es gilt \(f_a'(x)=x(x-(a-2))e^x\). Für \(a=2\) fällt die doppelte Nullstelle der Ableitung bei \(x=0\) zusammen; dort liegt ein Sattelpunkt und damit kein Extrempunkt vor. 2. Für \(a\ne2\) gibt es die beiden Extremstellen \(x=0\) und \(x=a-2\). Die zugehörigen Punkte sind \(E_1(0\mid a)\) und \(E_2(a-2\mid(4-a)e^{a-2})\). Für \(a>2\) ist \(E_1\) ein Hochpunkt und \(E_2\) ein Tiefpunkt; für \(a<2\) ist die Zuordnung umgekehrt. 3. Für \(E_2\) gilt \(x=a-2\), also \(a=x+2\). Einsetzen in die \(y\)-Koordinate ergibt \(y=(2-x)e^x\). Da \(a\ne2\), gilt für diese Ortslinie \(x\ne0\).

a) Für \(a=2\) gibt es keinen Extrempunkt; bei \((0\mid2)\) liegt ein Sattelpunkt. Für \(a\ne2\) gibt es \(E_1(0\mid a)\) und \(E_2(a-2\mid(4-a)e^{a-2})\); Hoch- und Tiefpunktart vertauschen sich beim Übergang durch \(a=2\). b) Ortslinie \(y=(2-x)e^x\) für \(x\ne0\).

- Nutze für die zweite Ableitung Produkt- und Kettenregel. - Setze \(z=x^2\) und beachte ausdrücklich, dass \(z\ge0\) gilt. - Eine positive \(z\)-Lösung erzeugt zwei Lösungen für \(x\); zwei verschiedene positive \(z\)-Lösungen erzeugen vier. - Untersuche für Teil 3 neben der Diskriminante auch die Lage des Scheitelpunkts relativ zum Bereich \(z\ge0\).

1. Die erste Ableitung ist \(g_a'(x)=-2ax(x^2+a)^{-2}\). Mit Produkt- und Kettenregel folgt \(g_a''(x)=-2a(x^2+a)^{-2}+8ax^2(x^2+a)^{-3}\) \(=\frac{-2a(x^2+a)+8ax^2}{(x^2+a)^3}\) \(=\frac{6ax^2-2a^2}{(x^2+a)^3}\). 2. Aus \(g_a(x)=g_a''(x)\) folgt wegen \(a>0\): \((x^2+a)^2=6x^2-2a\). Mit \(z=x^2\ge0\) erhält man \(z^2+(2a-6)z+a^2+2a=0\). Die Diskriminante ist \(D=36-32a\). Für \(0<a<\frac98\) gilt \(D>0\). Außerdem sind dann die Summe der beiden Nullstellen \(6-2a>0\) und ihr Produkt \(a^2+2a>0\), also sind beide Nullstellen positiv. Das ergäbe vier verschiedene Lösungen für \(x\). Für \(a>\frac98\) gibt es keine reellen \(z\)-Nullstellen. Genau bei \(D=0\), also bei \(a=\frac98\), gibt es eine einzige positive doppelte Nullstelle \(z=3-a=\frac{15}{8}\). Daraus entstehen genau die zwei Lösungen \(x=\pm\sqrt{\frac{15}{8}}\). 3. Die Ungleichung \(g_a(x)\ge g_a''(x)\) ist äquivalent zu \(q_a(z)=z^2+(2a-6)z+a^2+2a\ge0\) für alle \(z=x^2\ge0\). Für \(0<a<\frac98\) besitzt \(q_a\) zwei positive Nullstellen und ist zwischen ihnen negativ. Die Bedingung ist dann nicht erfüllt. Für \(\frac98\le a<3\) gilt \(D\le0\), also ist \(q_a(z)\ge0\) für alle reellen \(z\). Für \(a\ge3\) liegt der Scheitel bei \(z=3-a\le0\); auf \([0,\infty)\) ist die Parabel daher steigend und beginnt bei \(q_a(0)=a^2+2a>0\). Somit gilt die Ungleichung genau für \(a\ge\frac98\).

1. \(g_a''(x)=\frac{6ax^2-2a^2}{(x^2+a)^3}\) 2. \(a=\frac98\) 3. \(a\ge\frac98\)

- Überlege dir, was mit dem Ausdruck \(e^{-0{,}04t}\) passiert, wenn \(t\) sehr große Werte annimmt. - Um den Zeitpunkt des maximalen Andrangs zu finden, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung untersuchen. - Der stärkste Rückgang entspricht dem Punkt, an dem die Änderungsrate ihren kleinsten Wert annimmt. - Vergleiche die Sättigungswerte (Grenzwerte) der beiden Graphen für große \(t\).

a) Für \(t \to \infty\) strebt der Term \(a(t-20)e^{-0{,}04t}\) gegen 0. Somit gilt \(\lim_{t \to \infty} v_a(t) = 20a\). b) \(v_a'(t) = a e^{-0{,}04t}(1{,}8 - 0{,}04t)\). Nullsetzen ergibt \(t=45\). Vorher ist \(v_a'(t)>0\), danach \(v_a'(t)<0\); der größte Besucherandrang liegt daher nach \(45\) Tagen. c) \(v_a''(t) = -0{,}04a e^{-0{,}04t}(2{,}8 - 0{,}04t)\). Aus \(v_a''(t)=0\) folgt \(t=70\). Für \(0\le t<70\) gilt \(v_a''(t)<0\), also nimmt \(v_a'(t)\) ab; für \(t>70\) gilt \(v_a''(t)>0\), also nimmt \(v_a'(t)\) wieder zu. Damit besitzt die Änderungsrate bei \(t=70\) ihr Minimum: Dort gehen die Besucherzahlen am stärksten zurück. d) Für \(a=100\) ist der langfristige Grenzwert \(2000\), für \(a=50\) ist er \(1000\). Der obere Graph \(q\) nähert sich \(2000\), der untere Graph \(p\) der \(1000\). Daher gehört \(q\) zu \(a=100\) und \(p\) zu \(a=50\).

a) Langfristig werden täglich \(20a\) Besucher erwartet. b) Der maximale Besucherandrang wird nach \(45\) Tagen erreicht. c) Die Besucherzahlen gehen nach \(70\) Tagen am stärksten zurück. d) \(p\) gehört zu \(a=50\), \(q\) zu \(a=100\); dies folgt etwa aus den Grenzwerten \(1000\) bzw. \(2000\).