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- Welche geometrische Form entsteht als Querschnitt senkrecht zur \(x\)-Achse? - Welche Größe im Diagramm wird beim Rotieren zum Radius dieses Querschnitts? - Achte zusätzlich auf die beiden sichtbaren Grenzen der markierten Fläche.

1. Beim Rotieren um die \(x\)-Achse ist der Funktionswert \(f(x)\) der Radius einer Kreisscheibe. 2. Der Querschnitt hat daher den Flächeninhalt \(\pi f(x)^2\). Die markierte Fläche reicht von \(x=1\) bis \(x=4\). 3. Somit lautet der Volumenterm \(\pi\int_1^4(\sqrt{x})^2\,\text{d}x\). Das ist B.

B) \(\pi\int_1^4(\sqrt{x})^2\,\text{d}x\)

- Welche allgemeine Formel kennst du zur Berechnung von Rotationsvolumina bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktionsvorschrift quadrierst? - Wie lautet die Stammfunktion einer linearen Funktion? - Denk daran, am Ende den Faktor \(\pi\) nicht zu vergessen.

1. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{5} (\sqrt{3x + 1})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\sqrt{3x + 1})^2 = 3x + 1\). 3. Bestimmen einer Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{2}x^2 + x\). 4. Berechnen des bestimmten Integrals: \(\int_{1}^{5} (3x + 1) \, dx = [1{,}5 \cdot 5^2 + 5] - [1{,}5 \cdot 1^2 + 1] = 42{,}5 - 2{,}5 = 40\). 5. Multiplikation mit \(\pi\): \(V = 40\pi \approx 125{,}66\).

Das Volumen beträgt \(V = 40\pi \approx 125{,}66\) Volumeneinheiten.

- Überlege zuerst, wie sich die Formel für das Rotationsvolumen vereinfacht, wenn du die gegebene Wurzelfunktion quadrierst. - Welche Grenzen musst du für die Integration verwenden? - Erinnere dich an die Grundregel für die Integration von Potenzfunktionen.

1. Aufstellen des Volumenintegrals für die Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{4} (f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Einsetzen der Funktion \(f(x) = \sqrt{x}\) ergibt \(V = \pi \cdot \int_{1}^{4} x\,\text{d}x\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2\). 4. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\pi \cdot [\frac{1}{2}x^2]_{1}^{4} = \pi \cdot (\frac{1}{2} \cdot 4^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2) = \pi \cdot (8 - 0{,}5) = 7{,}5\pi\). Das Volumen beträgt \(7{,}5\pi\,\text{VE}\).

\(V = 7{,}5\pi\,\text{VE}\)

- Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktion für die Volumenformel quadrierst? - Integriere den resultierenden Term gliedweise. - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Brüche.

1. Ansatz für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (\sqrt{x^2+5})^2\,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{2} (x^2+5)\,\text{d}x\). 2. Bildung der Stammfunktion: \(\int (x^2+5)\,\text{d}x = \frac{1}{3}x^3 + 5x\). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen \(0\) und \(2\): \(\pi \cdot [(\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 5 \cdot 0)] = \pi \cdot (\frac{8}{3} + 10) = \pi \cdot (\frac{8}{3} + \frac{30}{3}) = \frac{38}{3}\pi\). Das Volumen des Rotationskörpers ist \(\frac{38}{3}\pi\,\text{VE} \approx 12{,}67\pi\,\text{VE}\).

\(V = \frac{38}{3}\pi\,\text{VE}\)

- Vergleiche im Diagramm den Abstand beider Graphen von der Rotationsachse. - Bei einem hohlen Rotationskörper wird nicht nur eine Kreisfläche verwendet. - Prüfe, welche Radiusfläche abgezogen werden muss.

1. Im gesamten Intervall liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(R(x)=f(x)=2\) der Außenradius und \(r(x)=g(x)=\frac{x}{2}\) der Innenradius. 2. Für einen ringförmigen Querschnitt gilt \(A(x)=\pi(R(x)^2-r(x)^2)\). Also ist \(V=\pi\int_0^2\left(4-\frac{x^2}{4}\right)\,\text{d}x\). 3. Es folgt \(V=\pi\left[4x-\frac{x^3}{12}\right]_0^2=\frac{22\pi}{3}\).

a) Außenradius: \(f(x)=2\); Innenradius: \(g(x)=\frac{x}{2}\) b) \(V=\pi\int_0^2\left(4-\frac{x^2}{4}\right)\,\text{d}x=\frac{22\pi}{3}\)

- Welche geometrische Form entsteht, wenn eine schräge Gerade um eine Achse rotiert? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Achte beim Quadrieren der Funktion auf die Vorfaktoren. - Setze die Grenzen des Intervalls sorgfältig in die Stammfunktion ein.

1. Bestimmung der Körperform: Da eine Ursprungsgerade in einem Intervall rotiert, das den Ursprung nicht enthält, entsteht ein Kegelstumpf. 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{k}^{3k} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{k}^{3k} \left(\frac{1}{2}x\right)^2 \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \(\pi \cdot \int_{k}^{3k} \frac{1}{4}x^2 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\frac{\pi}{4} \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{k}^{3k} = \frac{\pi}{12} \cdot \left( (3k)^3 - k^3 \right)\). 5. Endgültige Berechnung: \(\frac{\pi}{12} \cdot (27k^3 - k^3) = \frac{26\pi}{12}k^3 = \frac{13}{6}\pi k^3\).

Es entsteht ein Kegelstumpf mit dem Volumen \(V = \frac{13}{6}\pi k^3\).

- Wie lautet die Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die \(x\)-Achse entsteht? - Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktion für die Volumenformel quadrierst? - Überlege, an welcher Stelle im Intervall der Radius des Körpers am größten ist. - Wie berechnet man das Volumen eines einfachen Zylinders?

1. Berechnung des Volumens des Rotationskörpers: \(V_{\text{Körper}} = \pi \cdot \int_{0}^{r} (\sqrt{rx})^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{r} rx \, dx\). 2. Ausführung der Integration: \(\pi \cdot r \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{r} = \pi \cdot r \cdot \frac{1}{2}r^2 = \frac{1}{2}\pi r^3\). 3. Bestimmung der Zylindermaße: Die Höhe des Zylinders entspricht der Intervalllänge \(h = r\). Der maximale Radius des Rotationskörpers liegt bei \(x = r\) und beträgt \(R = f(r) = \sqrt{r \cdot r} = r\). 4. Berechnung des Zylindervolumens: \(V_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot r = \pi r^3\). 5. Vergleich der Volumina: Das Volumen des Rotationskörpers beträgt genau die Hälfte des Volumens des umschreibenden Zylinders (\(V_{\text{Körper}} = \frac{1}{2} V_{\text{Zylinder}}\)).

Das Volumen des Rotationskörpers ist \(V = \frac{1}{2}\pi r^3\). Es ist genau halb so groß wie das Volumen des entsprechenden Zylinders (\(V_{\text{Zylinder}} = \pi r^3\)).

- Überlege, welche Funktion im Quadrat unter dem Integral steht. - Was für ein Körper entsteht, wenn eine geneigte Gerade um die Achse rotiert? - Erinnerst du dich an die Potenzregel für das Integrieren von Klammerausdrücken der Form \((ax+b)^n\)? - Die Radien an den Enden des Körpers hängen direkt mit der Höhe der Randfunktion an den Grenzen zusammen.

1. Die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen lautet \(V = \pi \cdot \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\). Durch Vergleich mit dem gegebenen Integral ergibt sich die Randfunktion \(f(x) = x + 2\). Da es sich um die Rotation einer linearen Funktion handelt, die die Rotationsachse im betrachteten Intervall \([0; 3]\) nicht schneidet, entsteht ein gerader Kegelstumpf. 2. Zur Berechnung des Volumens wird die Stammfunktion gebildet: \(\pi \cdot \int_{0}^{3} (x+2)^2 dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{3}(x+2)^3 \right]_{0}^{3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\pi \cdot \left( \frac{1}{3}(3+2)^3 - \frac{1}{3}(0+2)^3 \right) = \pi \cdot \left( \frac{125}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{117}{3}\pi = 39\pi\). 3. Die Radien der Begrenzungsflächen entsprechen den Funktionswerten an den Intervallgrenzen: \(r_1 = f(0) = 0 + 2 = 2\) und \(r_2 = f(3) = 3 + 2 = 5\).

1. Randfunktion \(f(x) = x + 2\); geometrische Form: gerader Kegelstumpf. 2. \(V = 39\pi\). 3. \(r_1 = 2\) und \(r_2 = 5\).

- Was passiert geometrisch, wenn du die Differenz der Funktionen quadrierst, im Vergleich dazu, wenn du die Quadrate der Funktionen subtrahierst? - Überlege dir, welche Form der Querschnitt des Rotationskörpers an einer Stelle \(x\) hat. - Erinnere dich an die binomischen Formeln beim Ausmultiplizieren des Integranden.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen nach der korrekten Formel: \(V = \pi \int_{0}^{4} ((\sqrt{x} + 1)^2 - 1^2) \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\sqrt{x} + 1)^2 - 1 = x + 2\sqrt{x} + 1 - 1 = x + 2\sqrt{x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion und Berechnung des Integrals: \(\pi \int_{0}^{4} (x + 2x^{\frac{1}{2}}) \, dx = \pi [\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} = \pi (8 + \frac{4}{3} \cdot 8) = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\). 4. Aufstellen und Berechnen des Vergleichsintegrals: \(V_{falsch} = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 1 - 1)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx\). 5. Bestimmen der Stammfunktion: \(\pi [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{4} = \pi (8 - 0) = 8\pi \approx 25{,}13\). 6. Vergleich der Ergebnisse: Der Wert \(V_{falsch} = 8\pi\) ist deutlich kleiner als das tatsächliche Volumen \(V = \frac{56}{3}\pi\).

a) \(V = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\) b) \(V_{falsch} = 8\pi \approx 25{,}13\). Die Ergebnisse sind nicht identisch, da die Differenz der Quadrate nicht gleich dem Quadrat der Differenz ist.

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Funktionswerte annimmt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Differenz zweier Funktionen entsteht. - Vereinfache den Integranden so weit wie möglich, bevor du mit dem Integrieren beginnst. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 2. Einsetzen der Funktionsterme: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} ((x + 1)^2 - (\sqrt{2x + 2})^2) \, dx\). 3. Vereinfachen des Integranden: \((x^2 + 2x + 1) - (2x + 2) = x^2 - 1\). 4. Bestimmen der Stammfunktion: \(\int (x^2 - 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x\). 5. Auswerten des bestimmten Integrals: \([\frac{1}{3}x^3 - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}\). 6. Multiplikation mit \(\pi\): \(V = \frac{20}{3}\pi\).

\(V = \frac{20}{3}\pi \approx 20{,}94\)

- Welche Querschnittsfläche besitzt der Rotationskörper in Abhängigkeit von \(f(x)\)? - Die unbekannte Füllhöhe ist die obere Integrationsgrenze. - Welche Volumeneinheit entspricht einem Milliliter? - Nach dem Integrieren erhältst du eine Gleichung für die positive Höhe \(h\).

1. Bis zur Füllhöhe \(h\) ist das Volumen \(V(h)=\pi\int_0^h f(x)^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h3x\,\text{d}x\). 2. Damit gilt \(V(h)=\frac32\pi h^2\). 3. Wegen \(150\,\text{ml}=150\,\text{cm}^3\) folgt \(\frac32\pi h^2=150\). 4. Somit ist \(h^2=\frac{100}{\pi}\) und wegen \(h>0\) gilt \(h=\sqrt{\frac{100}{\pi}}\,\text{cm}=\frac{10}{\sqrt\pi}\,\text{cm}\approx5{,}64\,\text{cm}\).

\(h=\frac{10}{\sqrt\pi}\,\text{cm}\approx5{,}64\,\text{cm}\).

- Welche der beiden Funktionen beschreibt den äußeren und welche den inneren Radius? - Für das Materialvolumen ist die Differenz der beiden Rotationsvolumina entscheidend. - Prüfe beim Quadrieren von \(g(x)\) sorgfältig alle Terme. - Teil d) ist eine Radiusbedingung an einer einzelnen Stelle, keine Volumenbedingung.

1. Das Außenvolumen ist \(V_f=\pi\int_0^{10}f(x)^2\,\text{d}x=\pi\int_0^{10}(x+2)\,\text{d}x=70\pi\,\text{cm}^3\). 2. Das Innenvolumen ist \(V_g=\pi\int_0^{10}(0{,}2x+1)^2\,\text{d}x=\frac{130}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Glasvolumen ist \(V_{\text{Glas}}=V_f-V_g=\frac{80}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 4. Aus \(\sqrt{x+2}=3\) folgt \(x+2=9\) und damit \(x=7\,\text{cm}\).

a) \(V_f=70\pi\,\text{cm}^3\approx219{,}91\,\text{cm}^3\). b) \(V_g=\frac{130}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx136{,}14\,\text{cm}^3\). c) \(V_{\text{Glas}}=\frac{80}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx83{,}78\,\text{cm}^3\). d) \(x=7\,\text{cm}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation einer Fläche um die \(x\)-Achse entsteht? - Bestimme zuerst den Integranden, indem du den Funktionsterm quadrierst. - Welche Integrationsregeln benötigst du für ein Polynom? - Achte darauf, die Grenzen korrekt aus der Aufgabenstellung zu übernehmen.

1. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{6} (f(x))^2 \, dx\). 2. Einsetzen der Funktionsgleichung: \((f(x))^2 = (x \cdot \sqrt{6 - x})^2 = x^2 \cdot (6 - x) = 6x^2 - x^3\). 3. Berechnung des unbestimmten Integrals: \(\int (6x^2 - x^3) \, dx = 2x^3 - \frac{1}{4}x^4 + C\). 4. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(V = \pi \cdot [2x^3 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{6}\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(V = \pi \cdot (2 \cdot 6^3 - \frac{1}{4} \cdot 6^4 - (0)) = \pi \cdot (432 - 324) = 108\pi\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(108\pi \approx 339{,}29 \, \text{VE}\).

- Welche Grenzen ergeben sich aus der Beschreibung der Fläche? - Denk daran, dass der gesamte Funktionsterm quadriert werden muss, bevor du integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten zu schreiben. - Welche Regel wendest du an, um eine Funktion der Form \((ax+b)^n\) zu integrieren?

1. Identifikation der Integrationsgrenzen: Die Fläche wird durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und die Gerade \(x = 2\) begrenzt, also \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{2} \left(\frac{3}{x + 1}\right)^2 \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((g(x))^2 = \frac{9}{(x + 1)^2} = 9(x + 1)^{-2}\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 9(x + 1)^{-2} \, dx = 9 \cdot \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = -\frac{9}{x + 1} + C\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \(V = \pi \cdot [-\frac{9}{x + 1}]_{0}^{2} = \pi \cdot (-\frac{9}{2 + 1} - (-\frac{9}{0 + 1}))\). 6. Ausrechnen der Werte: \(V = \pi \cdot (-3 + 9) = 6\pi\).

Das Volumen des Körpers beträgt \(6\pi \approx 18{,}85 \, \text{VE}\).

- Wie groß ist das Rotationsvolumen des Gefäßes bis zu einer variablen Füllhöhe \(h\)? - Welchen Teil dieses Volumens kann das Wasser wegen des festen Zylinders nicht einnehmen? - Prüfe bei jeder Füllhöhe, ob der Zylinder vollständig unter Wasser liegt. - Nutze den Zusammenhang \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{L}\).

1. Das Gefäßvolumen bis zur Höhe \(h\) ist \(V(h)=\pi\int_0^h(2x+4)\,\text{d}x=\pi(h^2+4h)\,\text{dm}^3\). 2. Für \(h=2\) ist \(V(2)=12\pi\,\text{dm}^3\). Der Zylinder beansprucht \(V_Z=\pi\cdot1^2\cdot2=2\pi\,\text{dm}^3\). 3. Daher beträgt die Wassermenge bis zur Zylinderoberkante \(10\pi\,\text{dm}^3=10\pi\,\text{L}\). 4. Für \(h=5\) ist das Gefäßvolumen \(45\pi\,\text{dm}^3\). Da der Zylinder vollständig unter Wasser liegt, bleibt sein verdrängtes Volumen \(2\pi\,\text{dm}^3\). 5. Somit befinden sich \(43\pi\,\text{L}\) Wasser im Gefäß.

a) \(10\pi\,\text{L}\approx31{,}42\,\text{L}\). b) \(43\pi\,\text{L}\approx135{,}09\,\text{L}\).

- Wie quadriert man ein Produkt und eine Potenz? Erinnere dich an die Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) und \((e^x)^n = e^{n \cdot x}\). - Welche Integrationsregel benötigst du für die Exponentialfunktion mit linearem Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf das Vorzeichen und den Wert von \(e^0\). - Kannst du das Ergebnis zuerst exakt mit \(\pi\) und \(e\) angeben, bevor du es rundest?

1. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} (2e^{-0{,}25x})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden unter Anwendung der Potenzgesetze: \((2e^{-0{,}25x})^2 = 4e^{-0{,}5x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F(x) = \frac{4}{-0{,}5}e^{-0{,}5x} = -8e^{-0{,}5x}\). 4. Auswerten des Integrals in den Grenzen von \(0\) bis \(4\): \(\pi \cdot [-8e^{-0{,}5 \cdot 4} - (-8e^{0})] = \pi \cdot [-8e^{-2} + 8]\). 5. Zusammenfassen des exakten Ergebnisses: \(V = 8\pi(1 - e^{-2})\). 6. Numerische Berechnung: \(V \approx 21{,}73\).

Das Volumen beträgt exakt \(V = 8\pi(1 - e^{-2}) \approx 21{,}73\) Volumeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im relevanten Bereich über der anderen? - Erinnere dich an die Volumenformel für Rotationskörper, die durch zwei Funktionen begrenzt werden. - Achte beim Quadrieren der beiden Funktionsterme auf die binomischen Formeln.

1. Schnittstellen der Graphen durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 = 4x - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 2) = 0\). Die Integrationsgrenzen sind \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Differenz der Funktionsquadrate im Intervall \([0; 2]\) bilden, wobei \(g(x) \geq f(x)\) gilt: \((g(x))^2 - (f(x))^2 = (4x - x^2)^2 - (x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 - x^4 = 16x^2 - 8x^3\). 3. Volumenintegral aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (16x^2 - 8x^3) \, dx\). 4. Stammfunktion bestimmen: \(\int (16x^2 - 8x^3) \, dx = \left[ \frac{16}{3}x^3 - 2x^4 \right]\). 5. Grenzen einsetzen und berechnen: \(V = \pi \cdot \left( \left( \frac{16}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 16 \right) - 0 \right) = \pi \cdot \left( \frac{128}{3} - \frac{96}{3} \right) = \frac{32}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51 \, \text{VE}\).

- Welche Funktion beschreibt im Koordinatensystem einen Kreisbogen um den Ursprung? - In welchem Bereich auf der \(x\)-Achse muss die Funktion betrachtet werden, um eine vollständige Kugel zu erzeugen? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die \(x\)-Achse entsteht? - Nutze die Symmetrie der Kugel aus, um die Rechnung gegebenenfalls zu vereinfachen.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den oberen Halbkreis: \(f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}\) über dem Intervall \([-R; R]\). 2. Anwendung der Volumenformel für Rotationskörper um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{-R}^{R} (f(x))^2 dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = R^2 x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals an den Grenzen: \(V = \pi \cdot [R^2 x - \frac{1}{3}x^3]_{-R}^{R} = \pi \cdot ((R^3 - \frac{1}{3}R^3) - (-R^3 + \frac{1}{3}R^3))\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(V = \pi \cdot (\frac{2}{3}R^3 - (-\frac{2}{3}R^3)) = \pi \cdot \frac{4}{3}R^3\). 6. Endergebnis: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

Das Volumen der Kugel beträgt \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

- Kannst du die Funktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was musst du beachten, wenn eine der Integrationsgrenzen im Unendlichen liegt oder die Funktion dort nicht definiert ist? - Erinnere dich an den Grenzwert von \(\frac{1}{x^n}\) für \(x \to \infty\) und \(x \to 0\).

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen bei Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx\). Hier ist \((f(x))^2 = \left(\frac{2}{x^{3/4}}\right)^2 = \frac{4}{x^{3/2}} = 4x^{-3/2}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 4x^{-3/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -8x^{-1/2} = -\frac{8}{\sqrt{x}}\). 3. Untersuchung für \(I_1 = [1; \infty[\): \(V_1 = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_1^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{k}} - (-8) \right) = \pi \cdot (0 + 8) = 8\pi\). Das Volumen ist endlich. 4. Untersuchung für \(I_2 = ]0; 1]\): \(V_2 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_k^1 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left( -8 - (-\frac{8}{\sqrt{k}}) \right) = \pi \cdot (-8 + \infty) = \infty\). Das Volumen ist unendlich groß.

Das Volumen über \(I_1 = [1; \infty[\) ist endlich und beträgt \(V_1 = 8\pi\). Das Volumen über \(I_2 = ]0; 1]\) ist unendlich groß.

- Welche obere Integrationsgrenze gehört zu einer Füllhöhe von \(8\,\text{cm}\)? - Für die Überlaufprüfung musst du das verdrängte Volumen der vollständig eingetauchten Glassteine zum Flüssigkeitsvolumen addieren und mit der gesamten Gefäßkapazität vergleichen. - Wie erhältst du die Kapazität des Gefäßes aus demselben Volumenmodell? - Für Teil c kannst du die bereits bestimmte Stammfunktion mit der unbekannten oberen Grenze \(h\) verwenden.

1. Bei einer Füllhöhe von \(8\,\text{cm}\) ist \(V(8)=\pi\int_0^8(0{,}2x+3)^2\,\text{d}x\). 2. Mit \((0{,}2x+3)^2=0{,}04x^2+1{,}2x+9\) ergibt sich \(V(8)=\pi\left[\frac{x^3}{75}+0{,}6x^2+9x\right]_0^8=\frac{8792\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx368{,}28\,\text{cm}^3\). 3. Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(V(10)=\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\approx513{,}13\,\text{cm}^3\). 4. Die fünf Glassteine haben zusammen das Volumen \(5\cdot\frac{4}{3}\pi(1{,}2)^3=\frac{288\pi}{25}\,\text{cm}^3\approx36{,}19\,\text{cm}^3\). 5. Flüssigkeit und Glassteine beanspruchen zusammen \(\frac{8792\pi}{75}+\frac{288\pi}{25}=\frac{9656\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx404{,}47\,\text{cm}^3\). Da dies kleiner als \(\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\) ist, läuft das Gefäß nicht über. 6. Für eine allgemeine Füllhöhe \(h\) gilt \(V(h)=\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)\). Daher lautet eine integralfreie Gleichung für \(300\,\text{cm}^3\): \(\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)=300\) mit \(0\le h\le10\).

a) \(\frac{8792\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx368{,}28\,\text{cm}^3\) b) Flüssigkeit und Glassteine: \(\frac{9656\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx404{,}47\,\text{cm}^3\); Fassungsvermögen: \(\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\approx513{,}13\,\text{cm}^3\). Das Gefäß läuft nicht über. c) \(\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)=300\) mit \(0\le h\le10\).

- Stelle dir die Schale als einen großen Rotationskörper vor, aus dem ein kleinerer herausgeschnitten wurde. - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Körpers, der durch die Rotation einer Funktion um die \(x\)-Achse entsteht? - Beachte die unterschiedlichen Integrationsgrenzen für die Außen- und Innenseite. - Das Fassungsvermögen entspricht dem Volumen des Hohlraums im Inneren.

1. Berechnung des Volumens des durch \(f\) erzeugten Außenkörpers: \(V_f = \pi \cdot \int_{0}^{16} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{16} (0{,}5x + 4) \, dx\). 2. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_f = \pi \cdot [0{,}25x^2 + 4x]_0^{16} = \pi \cdot (64 + 64) = 128\pi \approx 402{,}12\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des durch \(g\) erzeugten Innenraums (Fassungsvermögen): \(V_g = \pi \cdot \int_{4}^{16} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{4}^{16} (0{,}8x - 3{,}2) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_g = \pi \cdot [0{,}4x^2 - 3{,}2x]_4^{16} = \pi \cdot ((102{,}4 - 51{,}2) - (6{,}4 - 12{,}8)) = \pi \cdot (51{,}2 + 6{,}4) = 57{,}6\pi \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung des Glasvolumens: \(V_{\text{Glas}} = V_f - V_g = 128\pi - 57{,}6\pi = 70{,}4\pi \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

Das Fassungsvermögen der Schale beträgt \(57{,}6\pi\,\text{cm}^3 \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). Das Volumen des benötigten Glases beträgt \(70{,}4\pi\,\text{cm}^3 \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

- Welchen Punkt muss die Gerade am Ende des Intervalls erreichen, damit der Radius passt? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen von Rotationskörpern bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Was passiert mit den Konstanten \(r\) und \(h\) beim Integrieren nach \(x\)? - Überlege, wie die Integralformel für Rotationskörper überhaupt definiert oder hergeleitet wird (Stichwort: Zerlegung in dünne Scheiben).

1. Bestimmung der Steigung: Da die Gerade durch \((0|0)\) und \((h|r)\) verlaufen muss, gilt \(m = \frac{r}{h}\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{r}{h}x\). 2. Aufstellen des Integrals: Das Volumen berechnet sich durch \(V = \pi \cdot \int_{0}^{h} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{h} \left(\frac{r}{h}x\right)^2 \, dx\). 3. Integration: \(V = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \int_{0}^{h} x^2 \, dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{h}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(V = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \left( \frac{1}{3}h^3 - 0 \right) = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). 5. Begründung zum Zirkelschluss: Die allgemeine Volumenformel für Rotationskörper \(V = \pi \int [f(x)]^2 dx\) wird üblicherweise über Grenzwerte von Summen kleiner Zylindervolumina hergeleitet. Wenn man also diese Formel nutzt, um geometrische Grundkörper zu beweisen, setzt man die Gültigkeit der Zylinderformel bereits implizit voraus.

a) \(f(x) = \frac{r}{h}x\) b) \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\) c) Die Herleitung der Integralformel basiert auf der Summation von infinitesimal dünnen Zylinderscheiben (\(V = \pi r^2 \cdot \Delta x\)). Somit wird das Wissen über das Zylindervolumen bereits für die Definition des Integrals benötigt.

- Bestimme zuerst die Stellen, an denen sich die beiden Graphen schneiden, um die Integrationsgrenzen zu finden. - Überlege dir, welcher Graph im relevanten Bereich oberhalb des anderen liegt. - Stelle die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers auf, der durch die Rotation einer Fläche zwischen zwei Kurven entsteht. - Denk daran, dass du die Quadrate der Funktionswerte subtrahieren musst, bevor du integrierst.

1. Bestimmung der Schnittstellen der Funktionen \(f(x) = 2\sqrt{x}\) und \(g(x) = x\): \(2\sqrt{x} = x \implies 4x = x^2 \implies x(x - 4) = 0\). Die Integrationsgrenzen sind somit \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 2. Da \(f(x) \geq g(x)\) im Intervall \([0; 4]\) gilt, ergibt sich das Volumen durch die Differenz der Rotationsvolumina: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} ( (2\sqrt{x})^2 - x^2 ) \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{4} = (2 \cdot 16 - \frac{64}{3}) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}\). 4. Endergebnis: \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51\,\text{VE}\).

- Überlege dir zuerst, welchen Punkt auf dem Graphen du aus den gegebenen Maßen (Höhe und Radius) ableiten kannst. - Da die Wasseroberfläche kreisförmig ist und das Gefäß nach oben offen steht, findet hier eine Rotation um die \(y\)-Achse statt. - Erinnere dich an die Formel für das Rotationsvolumen bei Drehung um die \(y\)-Achse. Was musst du mit der Funktionsgleichung machen, bevor du integrierst? - Achte beim Integrieren von Potenzfunktionen auf die Regel für Brüche im Exponenten.

1. Zur Bestimmung von \(a\) wird der Punkt \((4|8)\) in die Funktionsgleichung \(y = ax^3\) eingesetzt: \(8 = a \cdot 4^3 \implies 8 = 64a \implies a = 0{,}125\). 2. Für die Volumenberechnung bei Rotation um die \(y\)-Achse wird die Gleichung nach \(x^2\) umgestellt: \(y = 0{,}125x^3 \implies x^3 = 8y \implies x = (8y)^{\frac{1}{3}} \implies x^2 = (8y)^{\frac{2}{3}} = 4y^{\frac{2}{3}}\). 3. Das Volumen berechnet sich über das Integral \(V = \pi \cdot \int_{0}^{8} x^2 \, dy = \pi \cdot \int_{0}^{8} 4y^{\frac{2}{3}} \, dy\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \(V = 4\pi \cdot \left[ \frac{3}{5}y^{\frac{5}{3}} \right]_{0}^{8} = 4\pi \cdot \frac{3}{5} \cdot 8^{\frac{5}{3}} = 2{,}4\pi \cdot 32 = 76{,}8\pi\). 5. Numerisches Ergebnis: \(V \approx 241{,}27\,\text{cm}^3\).

a) \(a = 0{,}125\) b) Das Fassungsvermögen beträgt \(76{,}8\pi\,\text{cm}^3 \approx 241{,}27\,\text{cm}^3\).

- Was musst du zuerst tun, um die Integrationsgrenzen zu finden? - Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, wenn die Fläche zwischen zwei Graphen rotiert? - Überlege, welche Funktion im relevanten Bereich weiter von der Rotationsachse entfernt ist. - Achte beim Bilden des Integranden darauf, die Quadrate der einzelnen Funktionen zu subtrahieren, nicht das Quadrat ihrer Differenz zu verwenden.

1. Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x+4} = \frac{1}{2}x + 2\). Quadrieren führt zu \(x+4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\), woraus \(\frac{1}{4}x^2 + x = 0\) folgt. Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 0\). 2. Im Intervall \([-4; 0]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb von \(g\). Da beide Funktionen im Intervall nichtnegativ sind, ergibt sich das Volumen aus der Differenz der Integrale der Quadrate: \(V = \pi \cdot \int_{-4}^{0} ((\sqrt{x+4})^2 - (\frac{1}{2}x + 2)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((x+4) - (\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4) = -\frac{1}{4}x^2 - x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-4}^{0} (-\frac{1}{4}x^2 - x) \, dx = [-\frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{-4}^{0}\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(0 - (-\frac{1}{12}(-64) - \frac{1}{2}(16)) = 0 - (\frac{16}{3} - 8) = \frac{8}{3}\). 6. Das Volumen beträgt \(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\).

\(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\)

- Überlege zuerst, in welchem Bereich der Graph oberhalb oder auf der \(x\)-Achse verläuft, um die Grenzen zu finden. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Abszisse entsteht. - Es ist hilfreich, das Quadrat der Funktion zuerst vollständig auszumultiplizieren, bevor du integrierst. - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch die Nullstellen von \(f(x) = (x + 1) \cdot \sqrt{2 - x}\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{-1}^{2} (f(x))^2 \, dx\). 3. Quadrieren des Funktionsterms: \((f(x))^2 = (x + 1)^2 \cdot (2 - x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot (2 - x) = -x^3 + 3x + 2\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int (-x^3 + 3x + 2) \, dx = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \((-\frac{1}{4} \cdot 2^4 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) - (-\frac{1}{4} \cdot (-1)^4 + \frac{3}{2} \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (6) - (-0{,}75) = 6{,}75\). 6. Endergebnis: \(V = 6{,}75\pi \approx 21{,}21\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(6{,}75\pi\) (ca. \(21{,}21\) Volumeneinheiten).

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Überlege, welche Funktion im relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Fläche zwischen zwei Funktionen entsteht. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Berechnung der Schnittstellen: Gleichsetzen der Funktionsterme \(\frac{1}{2}x^2 = x + 4\) führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: Da \(g(x) \geq f(x)\) im Intervall \([-2; 4]\) gilt, berechnet man das Integral der Differenzfunktion: \(A = \int_{-2}^{4} (x + 4 - \frac{1}{2}x^2) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 + 4x - \frac{1}{6}x^3]_{-2}^{4}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18\). 3. Berechnung des Rotationsvolumens: Das Volumen berechnet sich über \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Einsetzen und Integrieren: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} ((x + 4)^2 - (\frac{1}{2}x^2)^2) \, dx = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (x^2 + 8x + 16 - \frac{1}{4}x^4) \, dx\). 5. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V = \pi \cdot [\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 16x - \frac{1}{20}x^5]_{-2}^{4}\). Mit oberer Grenze: \(\frac{64}{3} + 64 + 64 - \frac{1024}{20} = \frac{64}{3} + 128 - \frac{256}{5} = \frac{1472}{15}\). Mit unterer Grenze: \(-\frac{8}{3} + 16 - 32 + \frac{32}{20} = -\frac{8}{3} - 16 + \frac{8}{5} = -\frac{256}{15}\). 6. Endergebnis: \(V = \pi \cdot (\frac{1472}{15} - (-\frac{256}{15})) = \frac{1728}{15}\pi = 115{,}2\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(18\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(115{,}2\pi \approx 361{,}91\,\text{VE}\).

- Erinnere dich an die Formel, mit der man das Volumen eines Körpers berechnet, der durch Drehung einer Kurve um eine Achse entsteht. - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn du ihn in die Volumenformel für Rotationskörper einsetzt? - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse physikalisch zusammen? - Denke daran, dass das Quadrat einer Wurzel den Ausdruck vereinfacht.

1. Anwendung der Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx\). Einsetzen der Funktion und Grenzen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{5} (2\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{5} 4x \, dx\). Bestimmung der Stammfunktion: \(\pi \cdot [2x^2]_{0}^{5}\). Berechnung des Werts: \(\pi \cdot (2 \cdot 5^2 - 0) = 50\pi \approx 157{,}08\). Das Volumen beträgt \(50\pi\,\text{cm}^3\) bzw. ca. \(157{,}08\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Masse mithilfe der Dichteformel \(m = \rho \cdot V\). Einsetzen der Werte: \(m = 0{,}8 \cdot 50\pi = 40\pi \approx 125{,}66\). Die Masse beträgt ca. \(125{,}66\,\text{g}\).

1. Das Volumen beträgt \(50\pi\,\text{cm}^3 \approx 157{,}08\,\text{cm}^3\). 2. Die Masse beträgt \(40\pi\,\text{g} \approx 125{,}66\,\text{g}\).

- Wie findest du heraus, in welchem Bereich die beiden Graphen eine Fläche einschließen? - Wenn eine Fläche zwischen zwei Kurven rotiert, musst du die Quadrate der einzelnen Funktionswerte voneinander abziehen. - Achte darauf, die binomischen Formeln korrekt anzuwenden, bevor du das Integral berechnest. - Kannst du die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen: \(x^2 + 1 = 9 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x_{1} = -2, x_{2} = 2\). 2. Aufstellen des Integrals für die Differenz der Volumina: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{2} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((9 - x^2)^2 - (x^2 + 1)^2 = (81 - 18x^2 + x^4) - (x^4 + 2x^2 + 1) = 80 - 20x^2\). 4. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = 80x - \frac{20}{3}x^3\). 5. Einsetzen der Grenzen und Auswertung: \(V = \pi \cdot [(160 - \frac{160}{3}) - (-160 + \frac{160}{3})] = \pi \cdot (320 - \frac{320}{3}) = \frac{640}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{640}{3}\pi \approx 670{,}21\,\text{VE}\).

- Welche Punkte begrenzen die Fläche auf der horizontalen Achse? - Untersuche die Graphen auf Symmetrien, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Abszisse entsteht? - Überlege dir, in welche Teilintervalle du die Integrationsgrenzen aufteilen musst, wenn die obere Begrenzung der Fläche aus verschiedenen Funktionsstücken besteht.

1. Bestimmung der Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^x = 0 \Rightarrow x = \ln(2)\); \(g(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^{-x} = 0 \Rightarrow x = -\ln(2)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts der Graphen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow e^x = e^{-x} \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0|1)\). 3. Symmetriebetrachtung: Da \(f(x) = g(-x)\) gilt, ist die Fläche achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Das Gesamtvolumen ergibt sich aus \(V = 2 \cdot \pi \cdot \int_{0}^{\ln(2)} (2 - e^x)^2 dx\). 4. Integration: Das Integral der quadrierten Funktion \((2 - e^x)^2 = 4 - 4e^x + e^{2x}\) lautet \(\int (4 - 4e^x + e^{2x}) dx = 4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x} + C\). 5. Auswertung: \(V = 2\pi \cdot [4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x}]_0^{\ln(2)} = 2\pi \cdot ((4\ln(2) - 8 + 2) - (0 - 4 + 0{,}5)) = 2\pi \cdot (4\ln(2) - 2{,}5) = 8\pi \ln(2) - 5\pi\).

\(V = \pi(8 \ln(2) - 5) \approx 1{,}71\,\text{VE}\)

- Wie verhalten sich die beiden Faktoren von \(g(x)\), wenn \(x\) sehr groß wird? - In welcher Potenzschreibweise lässt sich \(g\) besonders übersichtlich ableiten? - Welches Vorzeichen hat die erste Ableitung links und rechts von einer möglichen Extremstelle? - Was geschieht mit der Wurzel, wenn die Radienfunktion in der Volumenformel quadriert wird?

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(\sqrt{x}\to\infty\) und \(4-x\to-\infty\). Daher ist \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\). 2. Mit \(g(x)=4x^{1/2}-x^{3/2}\) folgt \(g'(x)=2x^{-1/2}-\frac32x^{1/2}=\frac{4-3x}{2\sqrt{x}}\) für \(x>0\). 3. Aus \(g'(x)=0\) folgt \(x=\frac43\). Da \(g'\) dort von positiv zu negativ wechselt, liegt ein Hochpunkt vor. Sein Funktionswert ist \(g(\frac43)=\frac{16\sqrt3}{9}\). 4. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_0^4((4-x)\sqrt{x})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^4(16x-8x^2+x^3)\,\text{d}x\). 5. Damit ist \(V=\pi\left[8x^2-\frac83x^3+\frac14x^4\right]_0^4=\frac{64\pi}{3}\).

a) \(\lim_{x\to\infty}g(x)=-\infty\); Hochpunkt \(H(\frac43\mid\frac{16\sqrt3}{9})\) b) \(V=\frac{64\pi}{3}\,\text{VE}\)

- Wie verändert eine Spiegelung an der \(x\)-Achse die Funktionswerte? - Die engste Stelle entspricht dem kleinsten Radius im betrachteten Intervall. Wie kannst du diesen rechnerisch bestimmen? - Wie hängt der Durchmesser an einer Stelle vom Funktionswert \(f(x)\) ab? - Für das Füllvolumen ist \(f(x)\) die Radienfunktion des Rotationskörpers. - Welche beiden Größen bestimmen das Volumen des zylinderförmigen Bodens?

1. Wegen der Spiegelung an der \(x\)-Achse gilt \(g(x)=-f(x)=-0{,}1x^2+x-5\). 2. Für die engste Stelle wird das Minimum von \(f\) im Intervall \([0;8]\) bestimmt. Es ist \(f'(x)=0{,}2x-1\), also \(f'(x)=0\) bei \(x=5\). Wegen \(f''(x)=0{,}2>0\) liegt dort ein Minimum vor. 3. Der Radius am Hals ist \(f(5)=2{,}5\,\text{cm}\). Somit beträgt der Durchmesser \(5\,\text{cm}\). 4. An der Öffnung gilt \(f(8)=3{,}4\,\text{cm}\). Der Durchmesser ist daher \(6{,}8\,\text{cm}\). 5. Das Füllvolumen lautet \(V_{\text{innen}}=\pi\int_0^8(0{,}1x^2-x+5)^2\,\text{d}x=\frac{30776\pi}{375}\,\text{cm}^3\approx257{,}8\,\text{cm}^3\). 6. Der Boden ist ein Zylinder mit Radius \(5\,\text{cm}\) und Höhe \(0{,}8\,\text{cm}\). Daher gilt \(V_{\text{Boden}}=\pi\cdot5^2\cdot0{,}8=20\pi\,\text{cm}^3\approx62{,}8\,\text{cm}^3\).

a) \(g(x)=-0{,}1x^2+x-5\) b) \(5\,\text{cm}\) c) \(6{,}8\,\text{cm}\) d) \(257{,}8\,\text{cm}^3\) e) \(62{,}8\,\text{cm}^3\)

- Lies die Funktionsgleichungen aus dem Aufgabentext ab und betrachte die Abbildung, um die Grenzen der Fläche zu erkennen. - Wie bestimmt man mathematisch die Stellen, an denen sich zwei Kurven treffen? Setze dazu die Funktionsterme gleich. - Erinnere dich an die Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse bei einer Fläche, die von zwei Graphen begrenzt wird. - Überlege dir, welcher Graph im Intervall zwischen den Schnittstellen oberhalb des anderen liegt, um die richtige Reihenfolge bei der Differenz zu wählen. - Bestimme eine passende Stammfunktion für den Integranden und setze die oberen und unteren Grenzen ein.

1. Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\sqrt{2x} = x \implies 2x = x^2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0\) Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Die Schnittpunkte sind somit \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid 2)\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals für den Rotationskörper: Da der Graph von \(f\) im Intervall \([0; 2]\) oberhalb des Graphen von \(g\) verläuft, gilt für das Volumen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} \left( (f(x))^2 - (g(x))^2 \right)\,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{2} \left( 2x - x^2 \right)\,\text{d}x\) 3. Berechnung des Integrals über eine Stammfunktion \(H(x) = x^2 - \frac{1}{3}x^3\): \(\int_{0}^{2} \left( 2x - x^2 \right)\,\text{d}x = \left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - 0 = \frac{4}{3}\) 4. Multiplikation mit \(\pi\) liefert das exakte Volumen: \(V = \frac{4}{3}\pi\)

a) Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid 2)\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{4}{3}\pi\) (ca. \(4{,}19\) Volumeneinheiten).

- Welche Funktion beschreibt in der markierten Fläche den Abstand von der Drehachse? - Welche beiden senkrechten Begrenzungen liefern die Integrationsgrenzen? - Was wird aus \(f(x)\), wenn du die Radienfunktion in der Volumenformel quadrierst?

1. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_1^4(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Einsetzen von \(f(x)=\frac{2}{x}\) ergibt \(V=\pi\int_1^4\frac{4}{x^2}\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion von \(4x^{-2}\) ist \(-\frac{4}{x}\). 4. Damit ist \(\int_1^4\frac{4}{x^2}\,\text{d}x=\left[-\frac{4}{x}\right]_1^4=-1-(-4)=3\). 5. Folglich beträgt das Volumen \(V=3\pi\).

\(V=3\pi\,\text{VE}\)

- Welche Formel beschreibt das Volumen eines Rotationskörpers bei der Rotation um die \(x\)-Achse? - Wie lässt sich das Glasvolumen aus dem Gesamtvolumen und dem Hohlraumvolumen zusammensetzen? - Beachte die unterschiedlichen Integrationsgrenzen für die beiden Funktionen. - Wie hängen Masse, Dichte und Volumen mathematisch zusammen?

1. Berechnung des Hohlraumvolumens (maximales Füllvolumen): Das Volumen des Rotationskörpers für den Hohlraum wird über das Intervall \([1; 6]\) für die Funktion \(g(x)\) berechnet: \(V_{\text{Hohl}} = \pi \int_{1}^{6} (g(x))^2 \,\mathrm{d}x = \pi \int_{1}^{6} (4x - 4) \,\mathrm{d}x\) Die Stammfunktion lautet: \(F(x) = 2x^2 - 4x\) Grenzen einsetzen: \(V_{\text{Hohl}} = \pi \left[ 2x^2 - 4x \right]_{1}^{6} = \pi \left( (2 \cdot 6^2 - 4 \cdot 6) - (2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1) \right) = \pi \left( 48 - (-2) \right) = 50\pi \approx 157{,}1\,\text{cm}^3\) Da \(1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{mL}\), beträgt das maximale Füllvolumen ca. \(157{,}1\,\text{mL}\). 2. Berechnung des Glasvolumens: Das Gesamtvolumen des Bechers (inklusive Hohlraum) ergibt sich durch die Rotation von \(f(x)\) über \([0; 6]\): \(V_{\text{Gesamt}} = \pi \int_{0}^{6} (f(x))^2 \,\mathrm{d}x = \pi \int_{0}^{6} (0{,}5x + 3)^2 \,\mathrm{d}x = \pi \int_{0}^{6} (0{,}25x^2 + 3x + 9) \,\mathrm{d}x\) Die Stammfunktion lautet: \(H(x) = \frac{1}{12}x^3 + 1{,}5x^2 + 9x\) Grenzen einsetzen: \(V_{\text{Gesamt}} = \pi \left[ \frac{1}{12}x^3 + 1{,}5x^2 + 9x \right]_{0}^{6} = \pi \left( \frac{216}{12} + 1{,}5 \cdot 36 + 9 \cdot 6 \right) = \pi (18 + 54 + 54) = 126\pi \approx 395{,}8\,\text{cm}^3\) Das Glasvolumen ist die Differenz aus Gesamtvolumen und Hohlraumvolumen: \(V_{\text{Glas}} = V_{\text{Gesamt}} - V_{\text{Hohl}} = 126\pi - 50\pi = 76\pi \approx 238{,}8\,\text{cm}^3\) 3. Berechnung der Masse: Mit der Dichte \(\rho = 2{,}5\,\text{g/cm}^3\) ergibt sich die Masse: \(m = V_{\text{Glas}} \cdot \rho = 76\pi \cdot 2{,}5 = 190\pi \approx 596{,}9\,\text{g}\)

a) Das maximale Füllvolumen beträgt ca. \(157{,}1\,\text{mL}\). b) Das Glasvolumen beträgt exakt \(76\pi\,\text{cm}^3\) (ca. \(238{,}8\,\text{cm}^3\)). c) Die Masse des Bechers beträgt ca. \(596{,}9\,\text{g}\).

- Welche Funktionswerte liefern die Radien an den beiden Enden und in der Mitte? - Für das massive Volumen kannst du zuerst \(f(x)^2\) vereinfachen. - Bei der Bohrung ist der Durchmesser gegeben. Welche Größe brauchst du für die Zylindervolumenformel? - Wie hängt das tatsächliche Holzvolumen mit massivem Volumen und Bohrungsvolumen zusammen?

1. An beiden Enden gilt \(f(0)=f(8)=\sqrt{12}=2\sqrt3\,\text{cm}\). Die Durchmesser betragen daher jeweils \(4\sqrt3\,\text{cm}\). In der Mitte ist \(f(4)=2\,\text{cm}\), also beträgt der Durchmesser dort \(4\,\text{cm}\). 2. Das Volumen der massiven Rolle ist \(V_{\text{massiv}}=\pi\int_0^8(0{,}5(x-4)^2+4)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion des Integranden ist \(\frac16(x-4)^3+4x\). Die Auswertung liefert \(V_{\text{massiv}}=\frac{160\pi}{3}\,\text{cm}^3\). 4. Die Bohrung hat den Radius \(1\,\text{cm}\) und die Länge \(8\,\text{cm}\). Ihr Volumen ist \(V_{\text{Bohrung}}=8\pi\,\text{cm}^3\). 5. Somit verbleibt \(V_{\text{Holz}}=\frac{160\pi}{3}-8\pi=\frac{136\pi}{3}\,\text{cm}^3\).

a) Enden: jeweils \(4\sqrt3\,\text{cm}\); Mitte: \(4\,\text{cm}\) b) \(\frac{160\pi}{3}\,\text{cm}^3\) c) \(\frac{136\pi}{3}\,\text{cm}^3\)

- Die Grenzen ergeben sich aus der \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und der Geraden \(x = 2\). - Denke an die Kettenregel beim Integrieren, auch wenn die innere Ableitung hier sehr einfach ist. - Wie lässt sich ein Bruch mit Quadrat im Nenner als Potenz schreiben?

1. Das Volumen berechnet sich über \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (\frac{3}{x+1})^2\,\text{d}x\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\frac{3}{x+1})^2 = \frac{9}{(x+1)^2} = 9(x+1)^{-2}\). 3. Stammfunktion bilden (lineare Substitution): \(F(x) = - \frac{9}{x+1}\). 4. Grenzen einsetzen: \(\pi \cdot [-\frac{9}{x+1}]_{0}^{2} = \pi \cdot (-\frac{9}{2+1} - (-\frac{9}{0+1})) = \pi \cdot (-3 + 9) = 6\pi\). Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(6\pi\,\text{VE}\).

\(V = 6\pi\,\text{VE}\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Das sind deine Grenzen. - Es ist oft einfacher, den Term im Integral erst auszumultiplizieren, bevor du die Stammfunktion bildest. - Kannst du die Symmetrie zur \(y\)-Achse nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen (Nullstellen von \(f\)): \(4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2\). 2. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{2} (4 - x^2)^2\,\text{d}x\). 3. Ausmultiplizieren des Integranden (Binomische Formel): \((4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4\). 4. Stammfunktion bilden: \(F(x) = 16x - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5\). 5. Ausrechnen (Nutzen der Symmetrie): \(V = 2\pi \cdot [16x - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5]_0^2 = 2\pi \cdot (32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}) = 2\pi \cdot (\frac{480 - 320 + 96}{15}) = 2\pi \cdot \frac{256}{15} = \frac{512}{15}\pi\). Das Volumen beträgt \(\frac{512}{15}\pi\,\text{VE} \approx 34{,}13\pi\,\text{VE}\).

\(V = \frac{512}{15}\pi\,\text{VE}\)

- Das Quadrat des Sinus lässt sich nicht direkt mit der Standard-Potenzregel integrieren. Kennst du eine trigonometrische Formel zur Linearisierung? - Setze anschließend die Integrationsgrenzen sorgfältig in die gefundene Stammfunktion ein. - Überlege, wie das Ergebnis aussieht, wenn du \(\pi\) als Zahl im Endergebnis stehen lässt.

1. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{\pi} \sin^2(x)\,\text{d}x\). 2. Verwendung der Identität \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\). 3. Stammfunktion bilden: \(\int \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\,\text{d}x = \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}\sin(2x))\). 4. Einsetzen der Grenzen \(0\) und \(\pi\): \(\pi \cdot [\frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}\sin(2x))]_{0}^{\pi} = \pi \cdot (\frac{1}{2}(\pi - 0) - \frac{1}{2}(0 - 0)) = \frac{\pi^2}{2}\). Das Volumen beträgt \(0{,}5\pi^2\,\text{VE} \approx 4{,}93\,\text{VE}\).

\(V = 0{,}5\pi^2\,\text{VE}\)

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall die größeren Funktionswerte hat. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Rotation einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen entsteht. - Kannst du das Volumen als Differenz der Volumina zweier einzelner Rotationskörper betrachten? - Achte darauf, beim Aufstellen des Integrals die Funktionsterme zuerst zu quadrieren, bevor du sie voneinander abziehst.

1. Identifikation der begrenzenden Funktionen im Intervall \([0; 16]\): \(f(x) = 4\) (obere Grenze) und \(g(x) = \sqrt{x}\) (untere Grenze). 2. Aufstellen des Integrals für das Volumen des Rotationskörpers zwischen zwei Graphen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{16} (f(x)^2 - g(x)^2) \,\text{d}x\). 3. Einsetzen der Funktionsterme: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{16} (4^2 - (\sqrt{x})^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{16} (16 - x) \,\text{d}x\). 4. Berechnung der Stammfunktion: \(\int (16 - x) \,\text{d}x = 16x - \frac{1}{2}x^2\). 5. Auswertung des bestimmten Integrals: \([16x - \frac{1}{2}x^2]_0^{16} = (16 \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 16^2) - 0 = 256 - 128 = 128\). 6. Endergebnis: \(V = 128\pi \approx 402{,}12\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(128\pi \approx 402{,}12\,\text{VE}\).

- Betrachte den Graphen genau, um zu entscheiden, welche Funktion die „äußere“ und welche die „innere“ Begrenzung des Körpers bildet. - Die Formel für das Volumen lautet \(V = \pi \cdot \int_a^b (R(x)^2 - r(x)^2) \, dx\). Was sind hier \(R(x)\) und \(r(x)\)? - Denke beim Integrieren von \(\frac{1}{x^2}\) an die Potenzregel für negative Exponenten.

1. Bestimmung der Funktionen im Intervall \([1; 2]\): \(f(x) = \frac{1}{x}\) liegt oberhalb von \(g(x) = 0{,}5\), da \(\frac{1}{1} = 1 > 0{,}5\) und \(\frac{1}{2} = 0{,}5\). 2. Ansatz für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} ((\frac{1}{x})^2 - 0{,}5^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^{-2} - 0{,}25) \,\text{d}x\). 3. Bildung der Stammfunktion: \(\int (x^{-2} - 0{,}25) \,\text{d}x = -x^{-1} - 0{,}25x = -\frac{1}{x} - 0{,}25x\). 4. Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{x} - 0{,}25x]_1^2 = (-\frac{1}{2} - 0{,}25 \cdot 2) - (-\frac{1}{1} - 0{,}25 \cdot 1) = (-0{,}5 - 0{,}5) - (-1 - 0{,}25) = -1 + 1{,}25 = 0{,}25\). 5. Endergebnis: \(V = 0{,}25\pi \approx 0{,}785\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(0{,}25\pi \approx 0{,}785\,\text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche, indem du die Schnittpunkte der beiden Graphen berechnest. - Überprüfe innerhalb dieser Grenzen, welcher Graph weiter von der \(x\)-Achse entfernt ist. - Nutze die Potenzgesetze, um die quadrierten Terme unter dem Integral zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Bestimmung der Schnittpunkte im ersten Quadranten: \(x^2 = x^4 \Rightarrow x^4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = 1\) (da \(x \ge 0\)). 2. Vergleich der Funktionswerte im Intervall \([0; 1]\): Für \(x = 0{,}5\) gilt \(f(0{,}5) = 0{,}25\) und \(g(0{,}5) = 0{,}0625\). Also ist \(f(x) \ge g(x)\). 3. Volumenansatz: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} ((x^2)^2 - (x^4)^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{1} (x^4 - x^8) \,\text{d}x\). 4. Integration: \(\pi \cdot [\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{9}x^9]_0^1 = \pi \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) = \pi \cdot (\frac{9}{45} - \frac{5}{45}) = \frac{4}{45}\pi\). 5. Numerisches Ergebnis: \(V = \frac{4}{45}\pi \approx 0{,}279\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{4}{45}\pi \approx 0{,}28\,\text{VE}\).

- Wie findest du heraus, wo die Fläche beginnt und wo sie endet? - Welche Funktion beschreibt den äußeren Radius des Körpers und welche den inneren Hohlraum? - Vergiss nicht, den gesamten Integralausdruck mit \(\pi\) zu multiplizieren. - Achte beim Quadrieren von \(2x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren.

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(2x = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0\). Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 2. Festlegung der oberen Funktion: Im Intervall \([0; 2]\) ist \(f(x) \ge g(x)\) (z. B. \(f(1)=2 > g(1)=1\)). 3. Volumenintegral aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} ((2x)^2 - (x^2)^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \,\text{d}x\). 4. Stammfunktion bilden: \(\int (4x^2 - x^4) \,\text{d}x = \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5\). 5. Auswertung: \(\pi \cdot [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \pi \cdot (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{5} \cdot 32) = \pi \cdot (\frac{32}{3} - \frac{32}{5}) = \pi \cdot \frac{160 - 96}{15} = \frac{64}{15}\pi\). 6. Ergebnis: \(V = \frac{64}{15}\pi \approx 13{,}40\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{64}{15}\pi \approx 13{,}40\,\text{VE}\).

- Findest du die Stellen, an denen sich die Parabel und die Gerade schneiden? - Du kannst dir die Arbeit erleichtern, indem du die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse nutzt. - Achte beim Quadrieren der Differenz \(-x^2 + 5\) auf die binomischen Formeln. - Überlege dir, wie der Körper aussieht – ist es ein Vollkörper oder hat er ein zylindrisches Loch in der Mitte?

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(-x^2 + 5 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). 2. Bestimmung der oberen Funktion: Im Intervall \([-2; 2]\) ist \(f(x) \ge g(x)\). 3. Volumenintegral: \(V = \pi\int_{-2}^{2} ((-x^2 + 5)^2 - 1^2) \,\text{d}x\). 4. Vereinfachung des Integranden: \((-x^2 + 5)^2 - 1 = x^4 - 10x^2 + 25 - 1 = x^4 - 10x^2 + 24\). 5. Integration (unter Ausnutzung der Symmetrie): \(V = 2\pi \cdot \int_{0}^{2} (x^4 - 10x^2 + 24) \,\text{d}x = 2\pi \cdot [\frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 24x]_0^2\). 6. Auswertung: \(2\pi \cdot (\frac{32}{5} - \frac{80}{3} + 48) = 2\pi \cdot (\frac{96 - 400 + 720}{15}) = 2\pi \cdot \frac{416}{15} = \frac{832}{15}\pi\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{832}{15}\pi \approx 174{,}25\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{832}{15}\pi \approx 174{,}25\,\text{VE}\).

- Welche der beiden Funktionen bildet den äußeren Rand des Rotationskörpers? - Denke daran, dass das Volumen durch die Differenz der Integrale der quadrierten Funktionen berechnet wird. - Was passiert mit der Wurzel, wenn du sie quadrierst? - Kannst du dir vorstellen, welche Form der entstehende Körper hat? Es ist eine Art „Außenkörper mit kegelförmigem Hohlraum“.

1. Prüfung der Randpunkte: Bei \(x = 0\) gilt \(f(0)=0, g(0)=0\). Bei \(x = 4\) gilt \(f(4)=2, g(4)=2\). 2. Vergleich der Funktionen: Im Intervall \([0; 4]\) ist \(\sqrt{x} \ge 0{,}5x\) (z. B. bei \(x=1\) ist \(1 > 0{,}5\)). 3. Volumenansatz: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} ((\sqrt{x})^2 - (0{,}5x)^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{4} (x - 0{,}25x^2) \,\text{d}x\). 4. Stammfunktion bilden: \(\int (x - 0{,}25x^2) \,\text{d}x = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^3\). 5. Auswertung: \(\pi \cdot [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{12}x^3]_0^4 = \pi \cdot (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{12} \cdot 64) = \pi \cdot (8 - \frac{16}{3}) = \pi \cdot (\frac{24 - 16}{3}) = \frac{8}{3}\pi\). 6. Endergebnis: \(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\).

- Welche Funktion beschreibt den Hohlraum und welche die äußere Begrenzung? - Wegen der unterschiedlichen Startpunkte der beiden Profile solltest du Außen- und Innenvolumen zunächst getrennt bestimmen. - Wie hängen Masse, Dichte und Glasvolumen zusammen? - Welche geometrische Bedeutung haben \(f(4)\) und \(g(4)\) jeweils als Abstände von der Drehachse?

1. Das Fassungsvermögen ist das Volumen des inneren Rotationskörpers: \(V_{\text{innen}}=\pi\int_1^4(2\sqrt{x-1})^2\,\text{d}x=18\pi\,\text{cm}^3\). 2. Das äußere Gesamtvolumen beträgt \(V_{\text{gesamt}}=\pi\int_0^4(0{,}2x+3)^2\,\text{d}x=\frac{3484\pi}{75}\,\text{cm}^3\). 3. Daher ist das Glasvolumen \(V_{\text{Glas}}=\frac{3484\pi}{75}-18\pi=\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3\). 4. Mit der Dichte ergibt sich \(m=2{,}5\,\text{g/cm}^3\cdot\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3=\frac{1067\pi}{15}\,\text{g}\). 5. Es ist \(f(4)-g(4)=3{,}8-2\sqrt3\,\text{cm}\). Dieser Wert ist die Wandstärke am oberen Rand der Öffnung.

a) \(18\pi\,\text{cm}^3\) b) \(\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3\) c) \(\frac{1067\pi}{15}\,\text{g}\) d) \(f(4)-g(4)=3{,}8-2\sqrt3\,\text{cm}\) ist die Wandstärke am oberen Rand der Öffnung.

- Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Überlege dir, wie man ein uneigentliches Integral mit einer variablen oberen Grenze berechnet. - Welche Bedingung muss für den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\) gelten, damit der Grenzwert für \(x \to \infty\) gegen Null geht? - Vergiss nicht den Sonderfall, in dem die Stammfunktion ein natürlicher Logarithmus ist.

1. Das Volumen eines Rotationskörpers über dem Intervall \([1; \infty[\) ist definiert durch \(V = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} (f_k(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} x^{-2k} \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals: Für \(2k \neq 1\) ist \(\int x^{-2k} \, dx = \frac{x^{-2k+1}}{-2k+1}\). Für \(2k = 1\) (also \(k = 0{,}5\)) ist \(\int x^{-1} \, dx = \ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): - Falls \(k = 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} [\ln|x|]_1^z = \infty\) (divergent). - Falls \(k \neq 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{x^{1-2k}}{1-2k} \right]_1^z\) existiert nur, wenn der Exponent negativ ist: \(1-2k < 0 \iff k > 0{,}5\). 4. Für \(k > 0{,}5\) ergibt sich der Wert des Integrals zu \(0 - \frac{1}{1-2k} = \frac{1}{2k-1}\). 5. Das endliche Volumen lautet somit \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\) für \(k > 0{,}5\).

Das Volumen ist für \(k > 0{,}5\) endlich. Die Formel lautet \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\).

- Stelle zuerst die allgemeine Formel für das Volumen in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \((\sqrt{x})^2\)? - Achte beim Quadrieren von \(\frac{1}{2}x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Um ein Verhältnis zu bestimmen, kannst du die beiden Volumina als Bruch schreiben und so weit wie möglich kürzen.

1. Das Volumen des Paraboloids berechnet sich durch \(V_p = \pi \cdot \int_{0}^{a} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \cdot \int_{0}^{a} x dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}\pi a^2\). Gleichsetzen mit \(32\pi\) ergibt \(\frac{1}{2}\pi a^2 = 32\pi \Rightarrow a^2 = 64 \Rightarrow a = 8\) (da \(a > 0\)). 2. Für den Kegel mit \(k(x) = \frac{1}{2}x\) und \(a = 8\) gilt: \(V_k = \pi \cdot \int_{0}^{8} (\frac{1}{2}x)^2 dx = \pi \cdot \int_{0}^{8} \frac{1}{4}x^2 dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{12}x^3 \right]_{0}^{8} = \pi \cdot \frac{512}{12} = \frac{128}{3}\pi\). 3. Das Verhältnis der Volumina ist \(V_p : V_k = 32\pi : \frac{128}{3}\pi\). Durch Multiplikation mit \(3\) erhält man \(96\pi : 128\pi\). Kürzen durch \(32\pi\) ergibt das einfachste Ganzzahlverhältnis \(3 : 4\).

1. \(a = 8\). 2. \(V_{\text{Kegel}} = \frac{128}{3}\pi \approx 134{,}04\) Volumeneinheiten. 3. Das Verhältnis beträgt \(3 : 4\).

- Welche beiden Kreisflächen bilden zusammen den Flächeninhalt eines Kreisrings? - Vergleiche den Ausdruck mit der ausmultiplizierten Form eines Quadrats einer Differenz. - Welche Faktoren entstehen, wenn du die Gleichheit der beiden Ausdrücke auf Nullform bringst? - Interpretiere die möglichen Nullfaktoren geometrisch an einer festen Stelle \(x\).

1. Der tatsächliche Kreisring hat an der Stelle \(x\) den Flächeninhalt \(A_{\mathrm{real}}(x)=\pi(f(x)^2-g(x)^2)\). 2. Der zu prüfende Ausdruck ist \(A_{\mathrm{test}}(x)=\pi(f(x)-g(x))^2\). 3. Aus \(A_{\mathrm{real}}(x)=A_{\mathrm{test}}(x)\) folgt nach Ausmultiplizieren \(f(x)^2-g(x)^2=f(x)^2-2f(x)g(x)+g(x)^2\). 4. Umformen ergibt \(2g(x)(f(x)-g(x))=0\). Daher gilt an der betrachteten Stelle entweder \(g(x)=0\) oder \(f(x)=g(x)\). 5. Für einen echten Hohlkörper mit \(f(x)>g(x)>0\) sind beide Bedingungen ausgeschlossen. Deshalb muss der Querschnitt als Differenz der Kreisflächen \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)\) und das Volumen entsprechend als Integral dieser Differenz berechnet werden.

Es gilt punktweise \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)=\pi(f(x)-g(x))^2\) genau dann, wenn \(g(x)=0\) oder \(f(x)=g(x)\). Für einen echten Hohlkörper mit \(f(x)>g(x)>0\) ist daher \(\pi(f(x)-g(x))^2\) nicht der richtige Kreisringquerschnitt; verwendet werden muss \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)\).

- Denke daran, dass du beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativen Exponenten zu schreiben, um die Potenzregel der Integration leichter anzuwenden. - Vergiss nicht, am Ende das Ergebnis mit der Kreiszahl \(\pi\) zu multiplizieren.

1. Reihenfolge der Radien prüfen: Auf \([1;2]\) gilt \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x^2} \ge 0\). Daher ist \(f(x)\) der äußere und \(g(x)\) der innere Radius. 2. Ansatz für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 3. Quadrieren der Funktionen: \(f(x)^2 = \frac{1}{x^2} = x^{-2}\) und \(g(x)^2 = \frac{1}{x^4} = x^{-4}\). 4. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^{-2} - x^{-4}) \, dx\). 5. Bildung der Stammfunktion: \(\int (x^{-2} - x^{-4}) \, dx = [-x^{-1} + \frac{1}{3}x^{-3}] = [-\frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3}]\). 6. Berechnung der Grenzen: \((-\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 8}) - (-\frac{1}{1} + \frac{1}{3 \cdot 1}) = (-\frac{12}{24} + \frac{1}{24}) - (-1 + \frac{1}{3}) = -\frac{11}{24} - (-\frac{2}{3}) = -\frac{11}{24} + \frac{16}{24} = \frac{5}{24}\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{5}{24}\pi\).

\(V = \frac{5}{24}\pi \approx 0{,}65\)

- Welche Querschnittsfläche entsteht bei der Rotation des Innenradius \(f(x)\)? - Die Füllhöhe erscheint als obere Grenze des Volumenintegrals. - Wie kannst du nach der Integration den Exponentialterm isolieren? - Prüfe abschließend, ob die gefundene Höhe im modellierten Bereich liegt.

1. Bis zur Füllhöhe \(h\) gilt \(V(h)=\pi\int_0^h(e^{0{,}2x})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h e^{0{,}4x}\,\text{d}x\). 2. Daraus folgt \(V(h)=\frac{5\pi}{2}(e^{0{,}4h}-1)\). 3. Wegen \(60\,\text{ml}=60\,\text{cm}^3\) gilt \(\frac{5\pi}{2}(e^{0{,}4h}-1)=60\). 4. Damit ist \(e^{0{,}4h}=1+\frac{24}{\pi}\) und somit \(h=\frac52\ln(1+\frac{24}{\pi})\,\text{cm}\approx5{,}39\,\text{cm}\). 5. Der Wert liegt im Modellintervall \([0;8]\) und ist damit geometrisch zulässig.

\(h=\frac52\ln(1+\frac{24}{\pi})\,\text{cm}\approx5{,}39\,\text{cm}\).

- Welche geometrische Bedeutung haben die \(x\)-Koordinate und die Funktionswerte in diesem Rotationsmodell? - Was sagen die unterschiedlichen Nullstellen von Außen- und Innenprofil über den Boden aus? - Für das Materialvolumen brauchst du die Differenz zwischen äußerem und innerem Rotationsvolumen. - Prüfe bei allen Volumina die Einheit \(\text{m}^3\).

1. Die Gesamthöhe entspricht dem Intervall \([0;60]\), also \(60\,\text{m}\). 2. Die Nullstellen sind \(0\) und \(0{,}8\). Ihre Differenz \(0{,}8\,\text{m}\) beschreibt die Dicke der Bodenplatte. 3. Am oberen Rand gilt \(f(60)-g(60)=\sqrt{270}-\sqrt{248{,}64}\,\text{m}\approx0{,}66\,\text{m}\). Dies ist die Wandstärke am oberen Ende. 4. Der äußere Rotationskörper hat \(V_{\text{Brutto}}=\pi\int_0^{60}4{,}5x\,\text{d}x=8100\pi\,\text{m}^3\approx25\,446{,}90\,\text{m}^3\). 5. Der Innenraum hat \(V_{\text{Innen}}=\pi\int_{0{,}8}^{60}4{,}2(x-0{,}8)\,\text{d}x=7359{,}744\pi\,\text{m}^3\). Daher beträgt das Materialvolumen \(740{,}256\pi\,\text{m}^3\approx2325{,}58\,\text{m}^3\).

a) \(60\,\text{m}\) b) \(0{,}8\,\text{m}\); Dicke der Bodenplatte. c) \(\sqrt{270}-\sqrt{248{,}64}\,\text{m}\approx0{,}66\,\text{m}\); Wandstärke am oberen Ende. d) \(8100\pi\,\text{m}^3\approx25\,446{,}90\,\text{m}^3\). e) \(740{,}256\pi\,\text{m}^3\approx2325{,}58\,\text{m}^3\).

- Hier liegt eine Unstetigkeitsstelle am Rand des Integrationsbereichs vor. Wie berechnest du hier den Flächeninhalt? - Welche Stammfunktion gehört zu \(x^{-0{,}5}\) und welche zu \(\frac{1}{x}\)? - Überlege, wie sich die Funktionen \(\sqrt{x}\) und \(\ln(x)\) verhalten, wenn \(x\) gegen Null geht.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt aufgrund der Polstelle bei \(x=0\): \(A = \int_{0}^{1} x^{-0{,}5} \, dx\). 2. Bildung der Stammfunktion \(G(x) = 2\sqrt{x}\). 3. Grenzwertberechnung an der unteren Grenze: \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^1 = 2\sqrt{1} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 2 - 0 = 2\). Der Flächeninhalt ist mit \(A = 2\) endlich. 4. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx\). 5. Verwendung der Stammfunktion \(\ln|x|\). 6. Untersuchung des Grenzwerts: \(\pi \cdot \lim_{a \to 0^+} [\ln(x)]_a^1 = \pi \cdot (\ln(1) - \lim_{a \to 0^+} \ln(a)) = \pi \cdot (0 - (-\infty)) = \infty\). Das Volumen ist unendlich.

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 2\). Das Volumen des Rotationskörpers ist unendlich groß.

- Wie hängt die obere Integrationsgrenze von der Höhe über dem Boden bei \(x=-6\) ab? - Welche Volumendifferenz entsteht, wenn der Wasserstand um \(1\,\text{dm}\) steigt? - Warum hebt sich das Volumen des vollständig bedeckten festen Objekts in dieser Differenz auf? - Achte darauf, dass auch die erhöhte Füllhöhe im Modellintervall bleibt.

1. Für eine Füllhöhe \(h\in[0;6]\) gilt \(V(h)=\pi\int_{-6}^{-6+h}f(x)^2\,\text{d}x=\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-6))+1)\,\text{dm}^3\). 2. Für \(h=3\) folgt \(V(3)=\frac{144}{\pi}(1-\frac{\sqrt2}{2})\,\text{L}\approx13{,}43\,\text{L}\). 3. Weil das fixierte Objekt vor und nach dem Nachfüllen vollständig bedeckt ist, bleibt sein verdrängtes Volumen unverändert. Deshalb gilt für \(0\le h\le5\) die Volumendifferenz \(V(h+1)-V(h)=4\). 4. Einsetzen der Volumenfunktion ergibt \(\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-5))-\sin(\frac{\pi}{12}(h-6)))=4\).

a) \(\frac{144}{\pi}(1-\frac{\sqrt2}{2})\,\text{L}\approx13{,}43\,\text{L}\). b) \(\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-5))-\sin(\frac{\pi}{12}(h-6)))=4\) mit \(0\le h\le5\).

- Bestimme zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu finden. - Denke daran, dass beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integriert werden muss, nicht das Quadrat der Differenz. - Kannst du die Funktionsterme so umformen, dass sie leichter zu integrieren sind (z. B. Potenzschreibweise)? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis für ein Volumen sinnvoll ist (positives Vorzeichen).

1. Schnittstellen berechnen: \(\frac{2}{x} = 3 - x \Leftrightarrow 2 = 3x - x^2 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\). Mit der p-q-Formel ergeben sich die Grenzen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 2. Da \(g(x) \geq f(x)\) auf \([1; 2]\), lautet der Integrand für das Volumen: \((3-x)^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 9 - 6x + x^2 - 4x^{-2}\). 3. Volumenintegral berechnen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 9 - 4x^{-2}) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x + \frac{4}{x} \right]_{1}^{2}\). 5. Werte einsetzen: \(F(2) = \frac{8}{3} - 12 + 18 + 2 = \frac{32}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{3} - 3 + 9 + 4 = \frac{31}{3}\). 6. Differenz bilden: \(V = \pi \cdot \left( \frac{32}{3} - \frac{31}{3} \right) = \frac{1}{3}\pi\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{1}{3}\pi \approx 1{,}05 \, \text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Gleichung der Geraden, die die schräge Mantellinie des Kegelstumpfes im Koordinatensystem darstellt. - Wie lautet die Integrationsformel für einen Rotationskörper? - Beim Integrieren eines Ausdrucks der Form \((ax+b)^2\) kann eine einfache Substitution oder die Kettenregel hilfreich sein. - Erinnere dich an algebraische Identitäten für Terme wie \(a^3 - b^3\), um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung durch die Punkte \((0|r)\) und \((h|R)\): Die Steigung ist \(m = \frac{R-r}{h}\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = r\), also \(f(x) = \frac{R-r}{h}x + r\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \int_0^h (f(x))^2 dx = \pi \int_0^h \left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^2 dx\). 3. Ausmultiplizieren des Integranden: \(\left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^2 = \frac{(R-r)^2}{h^2}x^2 + 2r\frac{R-r}{h}x + r^2\). 4. Integration: \(V = \pi \left[\frac{(R-r)^2}{3h^2}x^3 + r\frac{R-r}{h}x^2 + r^2x\right]_0^h\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(V = \pi \left(\frac{(R-r)^2h}{3} + r(R-r)h + r^2h\right) = \pi h \left(\frac{(R-r)^2}{3} + r(R-r) + r^2\right)\). 6. Vereinfachen: \(\frac{(R-r)^2}{3} + r(R-r) + r^2 = \frac{R^2 - 2Rr + r^2 + 3Rr - 3r^2 + 3r^2}{3} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{3}\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)\).

Die Herleitung ergibt die Volumenformel \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)\).

- Welche Stammfunktion benötigst du für Teilaufgabe a) und welche für Teilaufgabe b)? - Wie verhält sich der Logarithmus für sehr große Werte? - Wie unterscheidet sich die Konvergenz des Integrals von \(\frac{1}{x}\) im Vergleich zu \(\frac{1}{x^2}\) im Unendlichen? - Überlege, was das Ergebnis über die physikalische Vorstellung von Volumen und Oberfläche/Fläche aussagt.

1. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x+2} \, dx = \lim_{k \to \infty} [\ln|x+2|]_0^k\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(A\): \(\lim_{k \to \infty} (\ln(k+2) - \ln(2)) = \infty\). Der Flächeninhalt ist unendlich groß. 3. Volumen berechnen: \(V = \pi \int_{0}^{\infty} (f(x))^2 \, dx = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} \, dx\). 4. Stammfunktion für das Volumen: \(\int (x+2)^{-2} \, dx = -(x+2)^{-1} = -\frac{1}{x+2}\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(V\): \(V = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{1}{x+2} \right]_0^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{1}{k+2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \pi \cdot (0 + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2}\).

a) Der Flächeninhalt ist unendlich groß, da \(\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{k} f(x) \, dx = \infty\). b) Das Volumen des Rotationskörpers ist endlich und beträgt \(V = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\).

- Wie erhältst du aus der Radienfunktion \(f_k\) eine Volumenfunktion in Abhängigkeit von \(k\)? - Behandle \(k\) beim Integrieren nach \(x\) zunächst als festen Parameter. - Woran erkennst du am Vorzeichen der Ableitung, ob ein gefundener kritischer Parameter tatsächlich ein Maximum liefert?

1. Das Volumen in Abhängigkeit von \(k\) ist \(V(k)=\pi\int_1^k(f_k(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_1^k\frac{1}{kx}\,\text{d}x=\frac{\pi\ln(k)}{k}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(V'(k)=\frac{\pi(1-\ln(k))}{k^2}\). 3. Aus \(V'(k)=0\) folgt \(1-\ln(k)=0\) und damit \(k=e\). 4. Für \(1<k<e\) gilt \(V'(k)>0\), für \(k>e\) gilt \(V'(k)<0\). Daher steigt \(V\) bis \(k=e\) und fällt danach. 5. Somit besitzt \(V\) bei \(k=e\) ein globales Maximum.

Das Volumen ist für \(k=e\) global maximal.

- Stelle zuerst das Rotationsvolumen mit den von \(a\) abhängigen Integrationsgrenzen auf. - Vereinfache das Integral zu einer Funktion \(V(a)\), bevor du nach \(a\) ableitest. - Prüfe nach dem Lösen von \(V'(a)=0\), wie sich das Vorzeichen von \(V'\) links und rechts des Kandidaten verhält.

1. Das Volumen lautet \(V(a)=\pi\int_a^{a^2}\frac{1}{x^2}\,\text{d}x=\pi\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}\right)\). 2. Die erste Ableitung ist \(V'(a)=\pi(-a^{-2}+2a^{-3})=\frac{\pi(2-a)}{a^3}\). 3. Aus \(V'(a)=0\) folgt \(a=2\). 4. Für \(1<a<2\) ist \(V'(a)>0\), für \(a>2\) ist \(V'(a)<0\). Das Volumen steigt also zunächst und fällt anschließend. 5. Daher besitzt \(V\) bei \(a=2\) ein globales Maximum.

Das Volumen ist für \(a=2\) extremal; es handelt sich um ein globales Maximum.

- Welche reale Länge entspricht einer Längeneinheit, und wie wirkt sich dieser Maßstab auf einen Durchmesser aus? - Für das Rotationsvolumen wird das Quadrat der Radienfunktion integriert. Was vereinfacht sich bei \(f(x)^2\)? - Wie viele Kubikzentimeter entsprechen \(1\,\text{LE}^3\), wenn \(1\,\text{LE}=10\,\text{cm}\) gilt? - Welche Volumenänderung verursacht die zylindrische Vertiefung?

1. Die Höhe entspricht der Intervalllänge: \(8\,\text{LE}=80\,\text{cm}\). Bei \(x=4\) ist der Radius \(f(4)=\sqrt{7{,}2}=\frac{6\sqrt5}{5}\,\text{LE}\). Daher beträgt der reale Durchmesser \(24\sqrt5\,\text{cm}\approx53{,}67\,\text{cm}\). 2. Das Modellvolumen ist \(V=\pi\int_{-4}^{4}(0{,}2x^2+4)\,\text{d}x=\frac{608\pi}{15}\,\text{LE}^3\). Wegen \(1\,\text{LE}^3=1\,\text{L}\) gilt \(V=\frac{608\pi}{15}\,\text{L}\approx127{,}34\,\text{L}\). 3. In Kubikzentimetern ist das Volumen \(1000V\). Mit der Dichte folgt \(m=0{,}08\,\text{g/cm}^3\cdot\frac{608000\pi}{15}\,\text{cm}^3=\frac{1216\pi}{375}\,\text{kg}\approx10{,}19\,\text{kg}\). 4. Die Vertiefung hat das Volumen \(V_Z=\pi\cdot1^2\cdot2=2\pi\,\text{LE}^3\). Somit ist \(V_{\text{Rest}}=\left(\frac{608\pi}{15}-2\pi\right)\,\text{L}=\frac{578\pi}{15}\,\text{L}\approx121{,}06\,\text{L}\).

a) Höhe: \(80\,\text{cm}\); Durchmesser: \(24\sqrt5\,\text{cm}\approx53{,}67\,\text{cm}\) b) \(\frac{608\pi}{15}\,\text{L}\approx127{,}34\,\text{L}\) c) \(\frac{1216\pi}{375}\,\text{kg}\approx10{,}19\,\text{kg}\) d) \(\frac{578\pi}{15}\,\text{L}\approx121{,}06\,\text{L}\)

- Welche Radienfunktion muss für das Volumen des gesamten Rotationskörpers quadriert und integriert werden? - Welche beiden Informationen brauchst du für die Tangente an der Stelle \(x=3\)? - Beim zylindrischen Kern unterscheiden sich Außen- und Innenradius. Welche Querschnittsfläche bleibt übrig? - Für die Bodenplatte genügt die Kreisfläche bei \(x=0\); anschließend werden die Kosten pro Quadratmeter angewendet.

1. Für das Volumen gilt \(V=\pi\int_0^5(4-0{,}1x^2)^2\,\text{d}x=\pi\int_0^5(16-0{,}8x^2+0{,}01x^4)\,\text{d}x\). 2. Eine Stammfunktion des Integranden ist \(16x-\frac{4}{15}x^3+\frac{1}{500}x^5\). Damit folgt \(V=\frac{635\pi}{12}\,\text{m}^3\approx166{,}24\,\text{m}^3\). 3. Es ist \(g'(x)=-0{,}2x\), also \(g'(3)=-0{,}6\) und \(g(3)=3{,}1\). Die Tangente lautet \(y=-0{,}6(x-3)+3{,}1=-0{,}6x+4{,}9\). 4. Für den Bereich zwischen Außenhülle und Zylinder gilt \(V_{\text{Diff}}=\pi\int_0^3((g(x))^2-2^2)\,\text{d}x=\pi\int_0^3(12-0{,}8x^2+0{,}01x^4)\,\text{d}x\). 5. Daraus ergibt sich \(V_{\text{Diff}}=\frac{14643\pi}{500}\,\text{m}^3\approx92{,}00\,\text{m}^3\). 6. Die Bodenplatte hat den Radius \(g(0)=4\,\text{m}\) und damit die Fläche \(16\pi\,\text{m}^2\). Die Kosten betragen \(45\,\text{€}/\text{m}^2\cdot16\pi\,\text{m}^2=720\pi\,\text{€}\approx2261{,}95\,\text{€}\).

a) \(\frac{635\pi}{12}\,\text{m}^3\approx166{,}24\,\text{m}^3\) b) \(y=-0{,}6x+4{,}9\) c) \(\frac{14643\pi}{500}\,\text{m}^3\approx92{,}00\,\text{m}^3\) d) \(720\pi\,\text{€}\approx2261{,}95\,\text{€}\)

- Was geschieht mit der Radienfunktion \(g(x)\), wenn du sie in der Rotationsvolumenformel quadrierst? - Stelle für Teil b zuerst eine Gleichung zwischen dem Volumen bis zur unbekannten Höhe \(h\) und dem gegebenen Wasservolumen auf. - Vergleiche für Teil c bei derselben Höhe den verfügbaren Innenraum einmal ohne und einmal mit dem Zylinder. - Welcher Teil des Zylinders verdrängt Wasser, wenn die Wasseroberfläche bei \(h_{\text{neu}}\) liegt?

1. Das maximale Fassungsvermögen ist \(V_{\max}=\pi\int_0^{12}(\sqrt{x+4})^2\,\text{d}x=\pi\left[\frac12x^2+4x\right]_0^{12}=120\pi\,\text{cm}^3\). 2. Für die Füllhöhe gilt \(\pi\left(\frac12h^2+4h\right)=150\). Nach Multiplikation mit \(\frac{2}{\pi}\) erhält man \(h^2+8h-\frac{300}{\pi}=0\). 3. Die positive Lösung ist \(h=-4+\sqrt{16+\frac{300}{\pi}}\,\text{cm}\approx6{,}56\,\text{cm}\). 4. Der Zylinder passt in die Schale, weil sein Radius \(1\,\text{cm}\) kleiner als der kleinste Schalenradius \(g(0)=2\,\text{cm}\) ist. Bis zu einer Wasserhöhe \(h_{\text{neu}}\le12\,\text{cm}\) verdrängt er das Volumen \(\pi h_{\text{neu}}\,\text{cm}^3\). 5. Bei gleicher Höhe steht mit Zylinder für Wasser um \(\pi h_{\text{neu}}\,\text{cm}^3\) weniger Raum zur Verfügung. Damit dieselben \(150\,\text{cm}^3\) Wasser enthalten sind, muss die Füllhöhe steigen. 6. Die neue Höhe erfüllt \(\pi\left(\frac12h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)-\pi h_{\text{neu}}=150\), also äquivalent \(\pi\left(\frac12h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)=150+\pi h_{\text{neu}}\).

a) \(120\pi\,\text{cm}^3\) b) \(h=-4+\sqrt{16+\frac{300}{\pi}}\,\text{cm}\approx6{,}56\,\text{cm}\) c) Der Zylinder verkleinert bei gleicher Füllhöhe den für Wasser verfügbaren Raum, daher steigt die Füllhöhe. Es gilt \(\pi\left(\frac12h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)-\pi h_{\text{neu}}=150\) mit \(0<h_{\text{neu}}\le12\).

- Das Volumen eines Hohlkörpers lässt sich berechnen, indem man das Volumen des inneren Körpers vom Volumen des äußeren Körpers abzieht. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, wenn du Funktionen wie \((a \cdot e^{bx})^2\) quadrierst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kx}\)? - Du kannst die Integrale zusammenfassen, da sie über dasselbe Intervall verlaufen.

1. Das Materialvolumen ist die Differenz der beiden Rotationsvolumina: \(V=\pi\int_0^{10}\left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,dx\). 2. Mit \(f(x)=2e^{0{,}1x}\) und \(g(x)=1{,}5e^{0{,}1x}\) ergibt sich \(V=\pi\int_0^{10}(4-2{,}25)e^{0{,}2x}\,dx=1{,}75\pi\int_0^{10}e^{0{,}2x}\,dx\). 3. Daher ist \(V=1{,}75\pi\left[5e^{0{,}2x}\right]_0^{10}=8{,}75\pi(e^2-1)\). 4. Numerisch gilt \(V\approx175{,}62835\,\text{cm}^3\), also auf Hundertstel gerundet \(V\approx175{,}63\,\text{cm}^3\).

\(V=8{,}75\pi(e^2-1)\,\text{cm}^3\approx175{,}63\,\text{cm}^3\).

- Finde die Schnittpunkte der Graphen im ersten Quadranten, um dein Intervall festzulegen. - Nutze für das Integral von \(\sin^2(x)\) eine bekannte Stammfunktion oder eine trigonometrische Identität wie \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\). - Achte darauf, die gesamte Differenz der Quadrate mit \(\pi\) zu multiplizieren.

1. Bestimmung der Schnittstellen im ersten Quadranten: Durch Einsetzen oder Skizzieren erkennt man die Schnittpunkte bei \(x_1 = 0\) (da \(\sin(0) = 0\)) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) (da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1\)). 2. Aufstellen des Volumenintegrals für die Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{\pi/2} ( (\sin(x))^2 - (\frac{2}{\pi}x)^2 ) \, dx\). 3. Integration der einzelnen Terme: \(\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x)\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{\pi}{4}\). \(\int (\frac{2}{\pi}x)^2 \, dx = \int \frac{4}{\pi^2}x^2 \, dx = \frac{4}{3\pi^2}x^3\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{4}{3\pi^2} \cdot \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi}{6}\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(V = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \pi \cdot \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi^2}{12}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{\pi^2}{12} \approx 0{,}822\,\text{VE}\).

- Setze die Funktion in die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ein. - Vereinfache den Integranden, indem du das Quadrat auflöst. - Welchen bekannten Funktionstyp erhältst du nach dem Quadrieren? Erinnere dich an die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\). - Um nach der Variable im Logarithmus aufzulösen, kannst du die Umkehrfunktion (Exponentialfunktion) verwenden.

1. Das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ist definiert als \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} (f(x))^2 \, dx\). 2. Einsetzen der Funktion: \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} \left( \frac{3}{\sqrt{2x+1}} \right)^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{b} \frac{9}{2x+1} \, dx\). 3. Integration mittels der Regel für lineare Substitution (\(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|\)): \(V(b) = 9\pi \cdot \left[ \frac{1}{2} \ln(2x+1) \right]_{0}^{b} = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielvolumen: \(4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1) = 9\pi \implies \ln(2b+1) = 2\). 5. Auflösen nach \(b\): \(2b+1 = e^2 \implies 2b = e^2 - 1 \implies b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\).

a) \(V(b) = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\) b) \(b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\)

- Wie findest du heraus, wo die Fläche beginnt und endet? - Welche Form haben die Querschnitte des Körpers senkrecht zur \(x\)-Achse? - Denk daran, zuerst die Funktionen einzeln zu quadrieren, bevor du die Differenz bildest. - Kannst du eine Skizze der Situation im Kopf oder auf Papier machen, um zu sehen, welche Funktion den äußeren Rand bildet?

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 - 4x + 5 = -x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Vergleich der Abstände zur \(x\)-Achse: Im Intervall \([0; 3]\) ist \(g(x) \ge f(x)\). Da beide Funktionen stets positive Werte annehmen, ist \(g(x)\) der äußere Radius. 3. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{3} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Berechnung der Quadrate: \(g(x)^2 = x^2 - 10x + 25\) und \(f(x)^2 = x^4 - 8x^3 + 26x^2 - 40x + 25\). 5. Differenz bilden: \(g(x)^2 - f(x)^2 = -x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x\). 6. Integration: \(\int_{0}^{3} (-x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x) \, dx = [-\frac{1}{5}x^5 + 2x^4 - \frac{25}{3}x^3 + 15x^2]_{0}^{3}\). 7. Auswertung: \((-\frac{243}{5} + 162 - 225 + 135) - 0 = -48{,}6 + 72 = 23{,}4\). 8. Das Volumen ist \(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\).

\(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\)

- Was bleibt vom Funktionsterm übrig, wenn du die Radienfunktion in der Volumenformel quadrierst? - Das verbleibende Integral enthält ein Produkt zweier unterschiedlicher Funktionstypen. Welches bekannte Integrationsverfahren kann dabei helfen? - Welche Werte haben Sinus und Kosinus an den beiden Integrationsgrenzen?

1. Das Volumen ist \(V=\pi\int_0^\pi(f(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_0^\pi x\sin(x)\,\text{d}x\). 2. Für die partielle Integration wähle \(u(x)=x\) mit \(u'(x)=1\) sowie \(w'(x)=\sin(x)\) mit \(w(x)=-\cos(x)\). 3. Damit gilt \(\int x\sin(x)\,\text{d}x=-x\cos(x)+\int\cos(x)\,\text{d}x=-x\cos(x)+\sin(x)\). 4. Auswertung von \(0\) bis \(\pi\) liefert \([-x\cos(x)+\sin(x)]_0^\pi=\pi\). 5. Daher ist \(V=\pi\cdot\pi=\pi^2\).

Das exakte Volumen beträgt \(\pi^2\,\text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche durch Gleichsetzen der Funktionen. - Für den Flächeninhalt benötigst du die Stammfunktion von \(1/x\). - Für das Volumen musst du die Quadrate der Funktionen voneinander subtrahieren, bevor du integrierst. - Denke daran, dass \(\frac{1}{x^2}\) auch als \(x^{-2}\) geschrieben werden kann, um die Potenzregel beim Integrieren anzuwenden.

1. Schnittstellen bestimmen: Gleichsetzen \(4 - x = \frac{3}{x}\) ergibt \(4x - x^2 = 3\), also \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Flächeninhalt berechnen: \(h(x) \geq k(x)\) für \(x \in [1; 3]\). Das Integral lautet \(A = \int_1^3 (4 - x - \frac{3}{x}) \, dx = [4x - \frac{1}{2}x^2 - 3\ln(x)]_1^3\). 3. Grenzen einsetzen: \(A = (12 - 4{,}5 - 3\ln(3)) - (4 - 0{,}5 - 3\ln(1)) = 7{,}5 - 3\ln(3) - 3{,}5 = 4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\). 4. Rotationsvolumen berechnen: \(V = \pi \cdot \int_1^3 (h(x)^2 - k(x)^2) \, dx = \pi \cdot \int_1^3 ((4 - x)^2 - (\frac{3}{x})^2) \, dx\). 5. Integrand vereinfachen: \((4 - x)^2 - \frac{9}{x^2} = 16 - 8x + x^2 - 9x^{-2}\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi \cdot [16x - 4x^2 + \frac{1}{3}x^3 + 9x^{-1}]_1^3\). 7. Werte einsetzen: Obere Grenze: \(48 - 36 + 9 + 3 = 24\). Untere Grenze: \(16 - 4 + \frac{1}{3} + 9 = 21 + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}\). 8. Ergebnis: \(V = \pi \cdot (24 - \frac{64}{3}) = \pi \cdot (\frac{72 - 64}{3}) = \frac{8}{3}\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{8}{3}\pi \approx 8{,}378\,\text{VE}\).

- Was wird aus \(\sqrt{x}\,e^x\), wenn du die Radienfunktion quadrierst? - Das verbleibende Integral ist ein Produkt aus einer linearen und einer Exponentialfunktion. Welches bekannte Integrationsverfahren passt dazu? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze darauf, dass nicht alle Terme der Stammfunktion verschwinden.

1. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_0^1(f(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_0^1xe^{2x}\,\text{d}x\). 2. Für die partielle Integration wähle \(u(x)=x\) mit \(u'(x)=1\) sowie \(w'(x)=e^{2x}\) mit \(w(x)=\frac12e^{2x}\). 3. Damit ist \(\int xe^{2x}\,\text{d}x=\frac12xe^{2x}-\frac14e^{2x}\). 4. Auswertung von \(0\) bis \(1\) ergibt \(\left[\frac12xe^{2x}-\frac14e^{2x}\right]_0^1=\frac{e^2+1}{4}\). 5. Somit beträgt das Volumen \(V=\frac{e^2+1}{4}\pi\).

\(V=\frac{e^2+1}{4}\pi\,\text{VE}\)

- Wo schneiden sich die beiden trigonometrischen Funktionen im ersten Quadranten? - Welche Funktion bildet in welchem Abschnitt die obere Grenze der Fläche? - Nutze trigonometrische Identitäten wie das Additionstheorem für \(\cos(2x)\), um das Quadrat der Funktion einfacher zu integrieren. - Kannst du eine Symmetrie zwischen den beiden Teilflächen erkennen?

1. Schnittpunktbestimmung im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\): \(\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}\). 2. Intervallaufteilung: Die Fläche wird von \(x=0\) bis \(x=\frac{\pi}{4}\) durch \(f(x) = \sin(x)\) und von \(x=\frac{\pi}{4}\) bis \(x=\frac{\pi}{2}\) durch \(g(x) = \cos(x)\) begrenzt. 3. Volumenansatz: Aufgrund der Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion im betrachteten Bereich sind die Teilvolumina identisch: \(V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2(x) dx\). 4. Linearisierung: Unter Verwendung von \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\) folgt \(V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2x)) dx\). 5. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi [x - \frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}} = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - (0 - 0)) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2}\).

\(V = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} \approx 0{,}90\,\text{VE}\)

- Wie verändert eine Spiegelung an der \(x\)-Achse das Vorzeichen der Funktionswerte? - Der maximale Durchmesser entsteht beim größten Radius. Wie kannst du die Stelle des größten Funktionswerts rechnerisch bestimmen? - Beim Rotationsvolumen wird die Radienfunktion quadriert; dadurch verschwindet die Wurzel im Funktionsterm. - Welche maximale Ausdehnung hat der Körper entlang der Drehachse und senkrecht dazu?

1. Durch Spiegelung an der \(x\)-Achse erhält man \(g(x)=-0{,}1(x+2)\sqrt{25-x}\). 2. Für den maximalen Radius wird das Maximum von \(f\) bestimmt. Es gilt \(f'(x)=0{,}1\left(\sqrt{25-x}-\frac{x+2}{2\sqrt{25-x}}\right)\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(2(25-x)-(x+2)=0\), also \(x=16\). Dort ist \(f(16)=5{,}4\,\text{cm}\). Der maximale Durchmesser beträgt daher \(10{,}8\,\text{cm}\). 4. Das Volumen ist \(V=\pi\int_0^{25}(f(x))^2\,\text{d}x=0{,}01\pi\int_0^{25}(-x^3+21x^2+96x+100)\,\text{d}x\). 5. Die Auswertung liefert \(V=0{,}01\pi\cdot44\,218{,}75=\frac{7075\pi}{16}\,\text{cm}^3\). 6. Die Länge beträgt \(25\,\text{cm}\). Breite und Höhe entsprechen dem maximalen Durchmesser \(10{,}8\,\text{cm}\). Somit sind die Mindestmaße \(25\,\text{cm}\times10{,}8\,\text{cm}\times10{,}8\,\text{cm}\).

a) \(g(x)=-0{,}1(x+2)\sqrt{25-x}\) b) \(10{,}8\,\text{cm}\) c) \(\frac{7075\pi}{16}\,\text{cm}^3\) d) \(25\,\text{cm}\times10{,}8\,\text{cm}\times10{,}8\,\text{cm}\)