- Welche beiden senkrechten Begrenzungen der markierten Fläche erkennst du im Diagramm? - Welche geometrische Form entsteht als Querschnitt senkrecht zur \(x\)-Achse? - Welche Größe im Diagramm wird beim Rotieren zum Radius dieses Querschnitts?

1. Die markierte Fläche reicht im Diagramm von \(x=1\) bis \(x=4\). 2. Beim Rotieren um die \(x\)-Achse ist \(f(x)\) der Radius der kreisförmigen Querschnittsfläche an der Stelle \(x\). 3. Eine Kreisfläche mit Radius \(f(x)\) hat den Flächeninhalt \(\pi f(x)^2\). Deshalb lautet der Volumenterm \(V=\pi\int_1^4(\sqrt{x})^2\,\text{d}x\).

Die Grenzen sind \(1\) und \(4\). Der Volumenterm lautet \(V=\pi\int_1^4(\sqrt{x})^2\,\text{d}x\). Quadriert wird, weil der Funktionswert den Radius eines Kreisquerschnitts angibt und dessen Fläche \(\pi r^2\) beträgt.

- Welche Strecke im Diagramm wird beim Drehen um die \(x\)-Achse zum Radius eines Kreisquerschnitts? - Lies die Höhe des Graphen an der markierten Stelle aus dem Raster ab. - Für einen Kreis hängt der Flächeninhalt quadratisch vom Radius ab.

1. Beim Drehen um die \(x\)-Achse ist der Radius des Querschnitts der senkrechte Abstand des Graphen von der \(x\)-Achse. 2. Bei \(x=2\) liest man im Diagramm \(f(2)=3\) ab. Der Radius ist daher \(r=3\). 3. Der Kreisquerschnitt hat den Flächeninhalt \(A=\pi r^2=9\pi\).

Radius: \(r=3\); Querschnittsfläche: \(A=9\pi\).

- Vergleiche, wie sich der Radius beim Durchlaufen des Intervalls verändert. - Betrachte besonders die Radien an den Intervallenden und in der Mitte. - Welche Symmetrie hat der Graph von \(f_3\) auf \([-2;2]\)?

1. Bei \(f_1\) bleibt der Radius überall gleich. Die Rotation erzeugt daher einen Zylinder: a). 2. Bei \(f_2\) wächst der Radius linear von \(0\) bis \(2\). Die Rotation erzeugt einen Kegel: b). 3. Der Graph von \(f_3\) ist ein Halbkreis mit Radius \(2\). Seine Rotation um die \(x\)-Achse erzeugt eine Kugel: c).

\(f_1\to\text{a)}\), \(f_2\to\text{b)}\), \(f_3\to\text{c)}\)

- Welche Querschnittsfläche entsteht bei der Rotation des Funktionswerts um die \(x\)-Achse? - Vereinfache zuerst das Quadrat des Funktionsterms. - Danach bleibt ein Polynom, das du mit den bekannten Potenzregeln integrieren kannst.

1. Für die Rotation um die \(x\)-Achse gilt \(V=\pi\int_0^6(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Es ist \((f(x))^2=x^2(6-x)=6x^2-x^3\). 3. Eine Stammfunktion ist \(2x^3-\frac{1}{4}x^4\). 4. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt \(V=\pi[2x^3-\frac{1}{4}x^4]_0^6=108\pi\). 5. Numerisch ist \(V\approx339{,}29\,\text{VE}\).

\(V=108\pi\,\text{VE}\approx339{,}29\,\text{VE}\).

- Wie quadriert man ein Produkt und eine Potenz? Erinnere dich an die Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) und \((e^x)^n = e^{n \cdot x}\). - Welche Integrationsregel benötigst du für die Exponentialfunktion mit linearem Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf das Vorzeichen und den Wert von \(e^0\). - Kannst du das Ergebnis zuerst exakt mit \(\pi\) und \(e\) angeben, bevor du es rundest?

1. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} (2e^{-0{,}25x})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden unter Anwendung der Potenzgesetze: \((2e^{-0{,}25x})^2 = 4e^{-0{,}5x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F(x) = \frac{4}{-0{,}5}e^{-0{,}5x} = -8e^{-0{,}5x}\). 4. Auswerten des Integrals in den Grenzen von \(0\) bis \(4\): \(\pi \cdot [-8e^{-0{,}5 \cdot 4} - (-8e^{0})] = \pi \cdot [-8e^{-2} + 8]\). 5. Zusammenfassen des exakten Ergebnisses: \(V = 8\pi(1 - e^{-2})\). 6. Numerische Berechnung: \(V \approx 21{,}73\).

Das Volumen beträgt exakt \(V = 8\pi(1 - e^{-2}) \approx 21{,}73\) Volumeneinheiten.

- Welchen Radius hat ein Kreisquerschnitt an der Stelle \(x\)? - Wie vereinfacht sich \((2\sqrt{x})^2\)? - Wie hängen Masse, Dichte und Volumen zusammen?

1. Für das Volumen gilt \(V=\pi\int_0^5(2\sqrt{x})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^5 4x\,\text{d}x=50\pi\,\text{cm}^3\approx157{,}08\,\text{cm}^3\). 2. Mit \(m=\rho V\) folgt \(m=0{,}8\cdot50\pi\,\text{g}=40\pi\,\text{g}\approx125{,}66\,\text{g}\).

1. \(50\pi\,\text{cm}^3\approx157{,}08\,\text{cm}^3\) 2. \(40\pi\,\text{g}\approx125{,}66\,\text{g}\)

- Prüfe die Vorzeichen der beiden Faktoren \(4-x\) und \(\sqrt{x}\) im vorgegebenen Intervall. - Welche Querschnittsfläche entsteht beim Rotieren eines nicht negativen Funktionswerts um die \(x\)-Achse? - Durch das Quadrieren verschwindet die Wurzel; vereinfache danach den Integranden.

1. Für \(0\le x\le4\) gelten \(4-x\ge0\) und \(\sqrt{x}\ge0\). Daher ist \(g(x)\ge0\). 2. Für das Volumen gilt \(V=\pi\int_0^4((4-x)\sqrt{x})^2\,\text{d}x\). 3. Der Integrand vereinfacht sich zu \((4-x)^2x=16x-8x^2+x^3\). 4. Damit ist \(V=\pi\left[8x^2-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right]_0^4=\frac{64\pi}{3}\,\text{VE}\).

a) Beide Faktoren sind auf \([0;4]\) nicht negativ, also gilt \(g(x)\ge0\). b) \(V=\frac{64\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Welche beiden roten senkrechten Linien begrenzen die Fläche im Bild? - Welche Funktion beschreibt den Radius des entstehenden Rotationskörpers? - Quadriere den Radius, bevor du das Volumenintegral auswertest.

1. Aus der Abbildung liest man die Grenzen \(x=1\) und \(x=4\) ab. 2. Damit ist \(V=\pi\int_1^4\left(\frac{2}{x}\right)^2\,\text{d}x=\pi\int_1^4\frac{4}{x^2}\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(-\frac{4}{x}\). Daher folgt \(V=\pi\left[-\frac{4}{x}\right]_1^4=3\pi\,\text{VE}\).

Grenzen: \(x=1\) und \(x=4\); \(V=3\pi\,\text{VE}\).

- Welche Querschnittsfläche entsteht aus dem Radius \(f(x)\)? - Was wird aus der Wurzelfunktion beim Quadrieren? - Verwende genau die angegebenen Intervallgrenzen.

1. Das Volumen ist \(V=\pi\int_1^4(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Wegen \((\sqrt{x})^2=x\) folgt \(V=\pi\int_1^4x\,\text{d}x\). 3. Damit ist \(V=\pi\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^4=\frac{15\pi}{2}\,\text{VE}\).

\(V=\frac{15\pi}{2}\,\text{VE}\).

- Welche Wirkung hat das Quadrieren auf die Wurzel im Radius? - Danach entsteht ein einfaches Polynom. - Setze die beiden angegebenen Grenzen erst nach dem Integrieren ein.

1. Es gilt \(V=\pi\int_0^2(\sqrt{x^2+5})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^2(x^2+5)\,\text{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(\frac{1}{3}x^3+5x\). 3. Daher folgt \(V=\pi\left[\frac{1}{3}x^3+5x\right]_0^2=\frac{38\pi}{3}\,\text{VE}\).

\(V=\frac{38\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Welche Querschnittsfläche entsteht beim Rotieren aus dem Radius \(\sin(x)\)? - Stelle das Volumenintegral vollständig auf, bevor du die angegebene Identität einsetzt. - Achte bei der Auswertung auf die vorgegebenen Grenzen \(0\) und \(\pi\).

1. Das Volumen ist \(V=\pi\int_0^\pi\sin^2(x)\,\text{d}x\). 2. Mit \(\sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos(2x))\) folgt \(\int_0^\pi\sin^2(x)\,\text{d}x=\frac{\pi}{2}\). 3. Daher ist \(V=\frac{\pi^2}{2}\,\text{VE}\approx4{,}93\,\text{VE}\).

\(V=\frac{\pi^2}{2}\,\text{VE}\approx4{,}93\,\text{VE}\).

- Welche Funktion liefert im Intervall den äußeren Radius, welche den inneren? - Ein Kreisringquerschnitt entsteht als Differenz zweier Kreisflächen. - Nach dem Quadrieren vereinfacht sich die Wurzelfunktion stark.

1. Auf \([0;16]\) ist \(f(x)=4\) der äußere und \(g(x)=\sqrt{x}\) der innere Radius. 2. Daher ist \(V=\pi\int_0^{16}(4^2-(\sqrt{x})^2)\,\text{d}x=\pi\int_0^{16}(16-x)\,\text{d}x\). 3. Auswerten liefert \(V=\pi\left[16x-\frac{1}{2}x^2\right]_0^{16}=128\pi\,\text{VE}\approx402{,}12\,\text{VE}\).

\(V=128\pi\,\text{VE}\approx402{,}12\,\text{VE}\).

- Entscheide zuerst, welche Funktion den äußeren und welche den inneren Radius beschreibt. - Wie erhältst du aus zwei Kreisradien die Fläche des Kreisrings? - Schreibe \(\frac{1}{x^2}\) als Potenz, bevor du integrierst.

1. Auf \([1;2]\) gilt \(f(x)\ge g(x)\), also ist \(f\) der äußere Radius. 2. Das Volumen ist \(V=\pi\int_1^2\left(\frac{1}{x^2}-0{,}25\right)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(-\frac{1}{x}-0{,}25x\). 4. Daher folgt \(V=\pi\left[-\frac{1}{x}-0{,}25x\right]_1^2=\frac{\pi}{4}\,\text{VE}\approx0{,}785\,\text{VE}\).

\(V=\frac{\pi}{4}\,\text{VE}\approx0{,}785\,\text{VE}\).

- Welche Funktion liefert im Intervall den größeren Abstand von der \(x\)-Achse? - Wie entsteht die Querschnittsfläche eines Kreisrings aus äußerem und innerem Radius? - Was wird aus der Wurzel, wenn du den Radius quadrierst?

1. Auf \([0;4]\) gilt \(f(x)\ge g(x)\), also ist \(f\) der äußere Radius. 2. Daher ist \(V=\pi\int_0^4\left((\sqrt{x})^2-(0{,}5x)^2\right)\,\text{d}x=\pi\int_0^4(x-0{,}25x^2)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{12}x^3\). 4. Auswerten ergibt \(V=\frac{8\pi}{3}\,\text{VE}\approx8{,}38\,\text{VE}\).

\(V=\frac{8\pi}{3}\,\text{VE}\approx8{,}38\,\text{VE}\).

- Vergleiche im Diagramm die Abstände der beiden Graphen von der Rotationsachse. - Welche Funktionswerte und Intervallgrenzen kannst du direkt an Raster und Achsen ablesen? - Bei einem hohlen Rotationskörper entsteht im Querschnitt ein Kreisring.

1. Im markierten Intervall liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(R(x)=f(x)\) der Außenradius und \(r(x)=g(x)\) der Innenradius. 2. Aus dem Diagramm liest man \(f(x)=2\), \(g(x)=\frac{x}{2}\) und das Intervall \([0;2]\) ab. 3. Für den Kreisringquerschnitt gilt \(A(x)=\pi(R(x)^2-r(x)^2)\). Damit ist \(V=\pi\int_0^2\left(4-\frac{x^2}{4}\right)\,\text{d}x\). 4. Auswerten ergibt \(V=\frac{22\pi}{3}\,\text{VE}\).

a) Außenradius: \(f\); Innenradius: \(g\). b) \(f(x)=2\), \(g(x)=\frac{x}{2}\), Intervall \([0;2]\); \(V=\pi\int_0^2\left(4-\frac{x^2}{4}\right)\,\text{d}x=\frac{22\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Was geschieht beim Rotieren mit einem Punkt des Graphen in Abstand \(f(x)\) von der \(x\)-Achse? - Wie sieht derselbe Abstand in einem Schnitt auf der anderen Seite der \(x\)-Achse aus? - Wie hängen Radius und Durchmesser zusammen?

1. Aus dem Diagramm liest man \(f(0)=1\) und \(f(4)=3\). 2. Beim Schnitt durch die Drehachse erscheint der obere Rand als \(y=f(x)\) und der untere Rand spiegelbildlich als \(y=-f(x)\). 3. Die vier Eckpunkte sind deshalb \((0\mid1)\), \((4\mid3)\), \((4\mid-3)\) und \((0\mid-1)\). 4. Diese Punkte bilden ein Trapez, das zur \(x\)-Achse symmetrisch ist. 5. Die Durchmesser sind doppelt so groß wie die Radien: bei \(x=0\) also \(2\), bei \(x=4\) also \(6\).

a) \((0\mid1)\), \((4\mid3)\), \((4\mid-3)\), \((0\mid-1)\) b) ein zur \(x\)-Achse symmetrisches Trapez c) Durchmesser bei \(x=0\): \(2\); bei \(x=4\): \(6\)

- Verfolge bei jeder Fläche, wie sich der Abstand des Graphen von der \(x\)-Achse verändert. - Beim Rotieren wird dieser Abstand zum Radius des Körpers. - Prüfe bei jeder Skizze, wie der Radius am Anfang, in der Mitte und am Ende aussieht.

1. Bei I ist der Abstand zur \(x\)-Achse überall gleich \(2\). Beim Rotieren entsteht deshalb ein Zylinder. Das ist Bild b). 2. Bei II wächst der Abstand zur \(x\)-Achse gleichmäßig von \(0\) auf \(2\). Beim Rotieren entsteht deshalb ein Kegel. Das ist Bild c). 3. Bei III ist der Abstand an den Endpunkten \(0\) und in der Mitte am größten. Die rotierende Halbkreisfläche erzeugt eine Kugel. Das ist Bild a).

I \(\rightarrow\) b) Zylinder; der Radius bleibt überall \(2\). II \(\rightarrow\) c) Kegel; der Radius wächst gleichmäßig von \(0\) auf \(2\). III \(\rightarrow\) a) Kugel; der Radius ist an den Enden \(0\) und in der Mitte \(2\).

- Welche Längen in der Abbildung bestimmen das Intervall und den größten Radius? - Welchen Radius hat der Kegel an seiner Spitze? - Welche lineare Funktion passt zu diesen Randwerten?

1. Aus der Abbildung liest man die Höhe \(6\,\text{cm}\) und den Grundkreisradius \(3\,\text{cm}\) ab. Daher ist das Intervall \([0;6]\). 2. Die lineare Radienfunktion verläuft durch \((0|0)\) und \((6|3)\). Ihre Steigung ist \(\frac{3}{6}=\frac12\). 3. Somit gilt \(f(x)=\frac12x\) für \(0\le x\le6\).

Abgelesene Maße: Höhe \(6\,\text{cm}\), Grundkreisradius \(3\,\text{cm}\); Intervall: \([0;6]\); \(f(x)=\frac12x\)

- Für einen Kreisring ist entscheidend, welcher Graph an der jeweiligen Stelle den größeren Abstand zur \(x\)-Achse hat. - Überlege, was sich an einem Schnittpunkt der beiden Graphen für diese Reihenfolge ändern kann. - Kontrolliere, ob dein Volumenansatz auf beiden Teilintervallen eine nichtnegative Kreisringfläche verwendet.

1. Die markierte Fläche reicht von \(x=0\) bis \(x=4\). Die Integrationsgrenzen sind daher \(0\) und \(4\). 2. Der Rollenwechsel liegt am Schnittpunkt der beiden Graphen. Aus \(x+1=5-x\) folgt \(x=2\). 3. Auf \([0;2]\) gilt \(g(x)\ge f(x)\). Dort ist \(g\) der Außenradius und \(f\) der Innenradius. Auf \([2;4]\) ist die Reihenfolge umgekehrt. Deshalb muss das Volumenintegral bei \(x=2\) geteilt werden. 4. Damit lautet der Volumenansatz \(V=\pi\int_0^2\left((5-x)^2-(x+1)^2\right)\,\text{d}x+\pi\int_2^4\left((x+1)^2-(5-x)^2\right)\,\text{d}x\).

a) Integrationsgrenzen: \(0\) und \(4\); Rollenwechsel bei \(x=2\). Dort schneiden sich die Graphen. Links und rechts davon ist jeweils eine andere Funktion der Außenradius, deshalb muss das Integral geteilt werden. b) \(V=\pi\int_0^2\left((5-x)^2-(x+1)^2\right)\,\text{d}x+\pi\int_2^4\left((x+1)^2-(5-x)^2\right)\,\text{d}x\)

- Welche Radien hat der Körper an den beiden Intervallgrenzen? - Wie hängt die Kreisfläche eines Querschnitts vom Radius \(f(x)\) ab? - Welche Integrationsgrenzen gehören zur rotierenden Fläche?

1. Die Radien an den beiden Enden sind \(f(k)=\frac{k}{2}\) und \(f(3k)=\frac{3k}{2}\). Daher entsteht ein Kegelstumpf. 2. Für das Volumen gilt \(V=\pi\int_k^{3k}(f(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_k^{3k}\frac{1}{4}x^2\,\text{d}x\). 3. Damit ist \(V=\frac{\pi}{12}\left[(3k)^3-k^3\right]=\frac{13}{6}\pi k^3\).

Es entsteht ein Kegelstumpf mit dem Volumen \(V=\frac{13}{6}\pi k^3\).

- Welchen Radius hat ein Kreisquerschnitt des Rotationskörpers an der Stelle \(x\)? - Wie vereinfacht sich \((\sqrt{rx})^2\)? - Wo ist der Radius im Intervall \([0;r]\) am größten?

1. Das Volumen des Rotationskörpers ist \(V=\pi\int_0^r(\sqrt{rx})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^r rx\,\text{d}x=\frac{1}{2}\pi r^3\). 2. Der maximale Radius liegt bei \(x=r\) und beträgt \(f(r)=r\). Die Höhe des Vergleichszylinders ist ebenfalls \(r\). 3. Damit hat der Zylinder das Volumen \(V_{\text{Zylinder}}=\pi r^2\cdot r=\pi r^3\). 4. Der Rotationskörper hat somit genau die Hälfte des Zylindervolumens.

\(V=\frac{1}{2}\pi r^3\). Das ist die Hälfte des Zylindervolumens \(V_{\text{Zylinder}}=\pi r^3\).

- Überlege, welche Funktion im Quadrat unter dem Integral steht. - Was für ein Körper entsteht, wenn eine geneigte Gerade um die Achse rotiert? - Erinnerst du dich an die Potenzregel für das Integrieren von Klammerausdrücken der Form \((ax+b)^n\)? - Die Radien an den Enden des Körpers hängen direkt mit der Höhe der Randfunktion an den Grenzen zusammen.

1. Die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen lautet \(V = \pi \cdot \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\). Durch Vergleich mit dem gegebenen Integral ergibt sich die Randfunktion \(f(x) = x + 2\). Da es sich um die Rotation einer linearen Funktion handelt, die die Rotationsachse im betrachteten Intervall \([0; 3]\) nicht schneidet, entsteht ein gerader Kegelstumpf. 2. Zur Berechnung des Volumens wird die Stammfunktion gebildet: \(\pi \cdot \int_{0}^{3} (x+2)^2 dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{3}(x+2)^3 \right]_{0}^{3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\pi \cdot \left( \frac{1}{3}(3+2)^3 - \frac{1}{3}(0+2)^3 \right) = \pi \cdot \left( \frac{125}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{117}{3}\pi = 39\pi\). 3. Die Radien der Begrenzungsflächen entsprechen den Funktionswerten an den Intervallgrenzen: \(r_1 = f(0) = 0 + 2 = 2\) und \(r_2 = f(3) = 3 + 2 = 5\).

1. Randfunktion \(f(x) = x + 2\); geometrische Form: gerader Kegelstumpf. 2. \(V = 39\pi\). 3. \(r_1 = 2\) und \(r_2 = 5\).

- Was passiert geometrisch, wenn du die Differenz der Funktionen quadrierst, im Vergleich dazu, wenn du die Quadrate der Funktionen subtrahierst? - Überlege dir, welche Form der Querschnitt des Rotationskörpers an einer Stelle \(x\) hat. - Erinnere dich an die binomischen Formeln beim Ausmultiplizieren des Integranden.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen nach der korrekten Formel: \(V = \pi \int_{0}^{4} ((\sqrt{x} + 1)^2 - 1^2) \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\sqrt{x} + 1)^2 - 1 = x + 2\sqrt{x} + 1 - 1 = x + 2\sqrt{x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion und Berechnung des Integrals: \(\pi \int_{0}^{4} (x + 2x^{\frac{1}{2}}) \, dx = \pi [\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} = \pi (8 + \frac{4}{3} \cdot 8) = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\). 4. Aufstellen und Berechnen des Vergleichsintegrals: \(V_{falsch} = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 1 - 1)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx\). 5. Bestimmen der Stammfunktion: \(\pi [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{4} = \pi (8 - 0) = 8\pi \approx 25{,}13\). 6. Vergleich der Ergebnisse: Der Wert \(V_{falsch} = 8\pi\) ist deutlich kleiner als das tatsächliche Volumen \(V = \frac{56}{3}\pi\).

a) \(V = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\) b) \(V_{falsch} = 8\pi \approx 25{,}13\). Die Ergebnisse sind nicht identisch, da die Differenz der Quadrate nicht gleich dem Quadrat der Differenz ist.

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Funktionswerte annimmt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Differenz zweier Funktionen entsteht. - Vereinfache den Integranden so weit wie möglich, bevor du mit dem Integrieren beginnst. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 2. Einsetzen der Funktionsterme: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} ((x + 1)^2 - (\sqrt{2x + 2})^2) \, dx\). 3. Vereinfachen des Integranden: \((x^2 + 2x + 1) - (2x + 2) = x^2 - 1\). 4. Bestimmen der Stammfunktion: \(\int (x^2 - 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x\). 5. Auswerten des bestimmten Integrals: \([\frac{1}{3}x^3 - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}\). 6. Multiplikation mit \(\pi\): \(V = \frac{20}{3}\pi\).

\(V = \frac{20}{3}\pi \approx 20{,}94\)

- Denke daran, dass du beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativen Exponenten zu schreiben, um die Potenzregel der Integration leichter anzuwenden. - Vergiss nicht, am Ende das Ergebnis mit der Kreiszahl \(\pi\) zu multiplizieren.

1. Reihenfolge der Radien prüfen: Auf \([1;2]\) gilt \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x^2} \ge 0\). Daher ist \(f(x)\) der äußere und \(g(x)\) der innere Radius. 2. Ansatz für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 3. Quadrieren der Funktionen: \(f(x)^2 = \frac{1}{x^2} = x^{-2}\) und \(g(x)^2 = \frac{1}{x^4} = x^{-4}\). 4. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^{-2} - x^{-4}) \, dx\). 5. Bildung der Stammfunktion: \(\int (x^{-2} - x^{-4}) \, dx = [-x^{-1} + \frac{1}{3}x^{-3}] = [-\frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3}]\). 6. Berechnung der Grenzen: \((-\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 8}) - (-\frac{1}{1} + \frac{1}{3 \cdot 1}) = (-\frac{12}{24} + \frac{1}{24}) - (-1 + \frac{1}{3}) = -\frac{11}{24} - (-\frac{2}{3}) = -\frac{11}{24} + \frac{16}{24} = \frac{5}{24}\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{5}{24}\pi\).

\(V = \frac{5}{24}\pi \approx 0{,}65\)

- Welche Querschnittsfläche besitzt der Rotationskörper in Abhängigkeit von \(f(x)\)? - Die unbekannte Füllhöhe ist die obere Integrationsgrenze. - Welche Volumeneinheit entspricht einem Milliliter? - Nach dem Integrieren erhältst du eine Gleichung für die positive Höhe \(h\).

1. Bis zur Füllhöhe \(h\) ist das Volumen \(V(h)=\pi\int_0^h f(x)^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h3x\,\text{d}x\). 2. Damit gilt \(V(h)=\frac32\pi h^2\). 3. Wegen \(150\,\text{ml}=150\,\text{cm}^3\) folgt \(\frac32\pi h^2=150\). 4. Somit ist \(h^2=\frac{100}{\pi}\) und wegen \(h>0\) gilt \(h=\sqrt{\frac{100}{\pi}}\,\text{cm}=\frac{10}{\sqrt\pi}\,\text{cm}\approx5{,}64\,\text{cm}\).

\(h=\frac{10}{\sqrt\pi}\,\text{cm}\approx5{,}64\,\text{cm}\).

- Welche Kreisfläche gehört zum Innenradius \(f(x)\)? - Wie kannst du das Wasservolumen bis zu einer noch unbekannten Höhe beschreiben? - Achte beim Vergleichen von Wasser- und Modellvolumen auf die Einheiten.

1. Bis zur Füllhöhe \(h\) gilt \(V(h)=\pi\int_0^h(e^{0{,}2x})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h e^{0{,}4x}\,\text{d}x\). 2. Daraus folgt \(V(h)=\frac{5\pi}{2}(e^{0{,}4h}-1)\). 3. Wegen \(60\,\text{ml}=60\,\text{cm}^3\) gilt \(\frac{5\pi}{2}(e^{0{,}4h}-1)=60\). 4. Damit ist \(e^{0{,}4h}=1+\frac{24}{\pi}\) und somit \(h=\frac{5}{2}\ln\left(1+\frac{24}{\pi}\right)\,\text{cm}\approx5{,}39\,\text{cm}\). 5. Die Höhe liegt im modellierten Bereich \([0;8]\).

\(h=\frac{5}{2}\ln\left(1+\frac{24}{\pi}\right)\,\text{cm}\approx5{,}39\,\text{cm}\)

- Welche Kreisfläche gehört an einer Stelle \(x\) zum Außenkörper? - Welche Kreisfläche gehört an derselben Stelle zum Hohlraum? - Wie hängen Außenvolumen, Hohlraumvolumen und Materialvolumen zusammen?

1. Das Außenvolumen ist \(V_f=\pi\int_0^{10}f(x)^2\,\text{d}x=\pi\int_0^{10}(x+2)\,\text{d}x=70\pi\,\text{cm}^3\). 2. Das Volumen des Hohlraums ist \(V_g=\pi\int_0^{10}(0{,}2x+1)^2\,\text{d}x=\frac{130}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Materialvolumen ist \(V_{\text{Material}}=V_f-V_g=\frac{80}{3}\pi\,\text{cm}^3\).

a) \(V_f=70\pi\,\text{cm}^3\approx219{,}91\,\text{cm}^3\) b) \(V_g=\frac{130}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx136{,}14\,\text{cm}^3\) c) \(V_{\text{Material}}=\frac{80}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx83{,}78\,\text{cm}^3\)

- Welche Grenzen ergeben sich aus der Beschreibung der Fläche? - Denk daran, dass der gesamte Funktionsterm quadriert werden muss, bevor du integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten zu schreiben. - Welche Regel wendest du an, um eine Funktion der Form \((ax+b)^n\) zu integrieren?

1. Identifikation der Integrationsgrenzen: Die Fläche wird durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und die Gerade \(x = 2\) begrenzt, also \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{2} \left(\frac{3}{x + 1}\right)^2 \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((g(x))^2 = \frac{9}{(x + 1)^2} = 9(x + 1)^{-2}\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 9(x + 1)^{-2} \, dx = 9 \cdot \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = -\frac{9}{x + 1} + C\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \(V = \pi \cdot [-\frac{9}{x + 1}]_{0}^{2} = \pi \cdot (-\frac{9}{2 + 1} - (-\frac{9}{0 + 1}))\). 6. Ausrechnen der Werte: \(V = \pi \cdot (-3 + 9) = 6\pi\).

Das Volumen des Körpers beträgt \(6\pi \approx 18{,}85 \, \text{VE}\).

- Welches Volumen hat der Innenraum bis zu einer variablen Höhe \(h\)? - Welches Volumen kann das Wasser wegen des Zylinders nicht einnehmen? - Nutze \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{L}\).

1. Das Innenvolumen bis zur Höhe \(h\) ist \(V(h)=\pi\int_0^h(2x+4)\,\text{d}x=\pi(h^2+4h)\,\text{dm}^3\). 2. Für \(h=2\) gilt \(V(2)=12\pi\,\text{dm}^3\). Der Zylinder hat das Volumen \(V_Z=\pi\cdot1^2\cdot2=2\pi\,\text{dm}^3\). 3. Bis zur Zylinderoberkante können daher \(10\pi\,\text{dm}^3=10\pi\,\text{L}\) Wasser eingefüllt werden. 4. Für \(h=5\) gilt \(V(5)=45\pi\,\text{dm}^3\). Der vollständig eingetauchte Zylinder verdrängt weiterhin \(2\pi\,\text{dm}^3\). 5. Somit befinden sich \(43\pi\,\text{L}\) Wasser im Gefäß.

a) \(10\pi\,\text{L}\approx31{,}42\,\text{L}\) b) \(43\pi\,\text{L}\approx135{,}09\,\text{L}\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im relevanten Bereich über der anderen? - Erinnere dich an die Volumenformel für Rotationskörper, die durch zwei Funktionen begrenzt werden. - Achte beim Quadrieren der beiden Funktionsterme auf die binomischen Formeln.

1. Schnittstellen der Graphen durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 = 4x - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 2) = 0\). Die Integrationsgrenzen sind \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Differenz der Funktionsquadrate im Intervall \([0; 2]\) bilden, wobei \(g(x) \geq f(x)\) gilt: \((g(x))^2 - (f(x))^2 = (4x - x^2)^2 - (x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 - x^4 = 16x^2 - 8x^3\). 3. Volumenintegral aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (16x^2 - 8x^3) \, dx\). 4. Stammfunktion bestimmen: \(\int (16x^2 - 8x^3) \, dx = \left[ \frac{16}{3}x^3 - 2x^4 \right]\). 5. Grenzen einsetzen und berechnen: \(V = \pi \cdot \left( \left( \frac{16}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 16 \right) - 0 \right) = \pi \cdot \left( \frac{128}{3} - \frac{96}{3} \right) = \frac{32}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51 \, \text{VE}\).

- Bestimme zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu finden. - Denke daran, dass beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integriert werden muss, nicht das Quadrat der Differenz. - Kannst du die Funktionsterme so umformen, dass sie leichter zu integrieren sind (z. B. Potenzschreibweise)? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis für ein Volumen sinnvoll ist (positives Vorzeichen).

1. Schnittstellen berechnen: \(\frac{2}{x} = 3 - x \Leftrightarrow 2 = 3x - x^2 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\). Mit der p-q-Formel ergeben sich die Grenzen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 2. Da \(g(x) \geq f(x)\) auf \([1; 2]\), lautet der Integrand für das Volumen: \((3-x)^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 9 - 6x + x^2 - 4x^{-2}\). 3. Volumenintegral berechnen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 9 - 4x^{-2}) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x + \frac{4}{x} \right]_{1}^{2}\). 5. Werte einsetzen: \(F(2) = \frac{8}{3} - 12 + 18 + 2 = \frac{32}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{3} - 3 + 9 + 4 = \frac{31}{3}\). 6. Differenz bilden: \(V = \pi \cdot \left( \frac{32}{3} - \frac{31}{3} \right) = \frac{1}{3}\pi\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{1}{3}\pi \approx 1{,}05 \, \text{VE}\).

- Welche Kreisfläche gehört an der Stelle \(x\) zum Radius \(f(x)\)? - Was geschieht mit der Wurzel, wenn du \(f(x)^2\) bildest? - Welche Symmetrie des Intervalls kannst du bei der Rechnung nutzen?

1. Beim Rotieren hat ein Querschnitt an der Stelle \(x\) den Radius \(f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\). 2. Daher gilt \(V=\pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(R^2x-\frac{1}{3}x^3\). 4. Damit folgt \(V=\pi\left[R^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-R}^{R}=\frac{4}{3}\pi R^3\).

\(V=\pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,\text{d}x=\pi\left[R^2x-\frac{1}{3}x^3\right]_{-R}^{R}=\frac{4}{3}\pi R^3\)

- Welcher Kreisquerschnitt gehört zum äußeren Radius \(g(x)\)? - Wie verändert der freie zylindrische Kern die nutzbare Querschnittsfläche in b)? - Beachte die unterschiedlichen Intervalle in a) und b).

1. Für den gesamten Körper gilt \(V=\pi\int_0^5(4-0{,}1x^2)^2\,\text{d}x\). 2. Mit \((4-0{,}1x^2)^2=16-0{,}8x^2+0{,}01x^4\) folgt \(V=\frac{635\pi}{12}\,\text{m}^3\approx166{,}24\,\text{m}^3\). 3. Im Bereich \(0\le x\le3\) hat der freie Kern den Radius \(2\). Daher ist der Kreisringquerschnitt \(\pi(g(x)^2-2^2)\). 4. Somit gilt \(V_{\text{Ring}}=\pi\int_0^3(g(x)^2-4)\,\text{d}x=\frac{14643\pi}{500}\,\text{m}^3\approx92{,}00\,\text{m}^3\).

a) \(\frac{635\pi}{12}\,\text{m}^3\approx166{,}24\,\text{m}^3\) b) \(\frac{14643\pi}{500}\,\text{m}^3\approx92{,}00\,\text{m}^3\)

- Welche Kreisfläche hat der Innenraum bei einer Höhe \(x\)? - Welche Größen musst du in b) vergleichen, um über ein mögliches Überlaufen zu entscheiden? - Welche Größe ist in c) unbekannt, und wo erscheint sie im Volumenmodell?

1. Bei \(h=8\) gilt \(V(8)=\pi\int_0^8(0{,}2x+3)^2\,\text{d}x=\frac{8792\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx368{,}28\,\text{cm}^3\). 2. Das maximale Fassungsvermögen ist \(V(10)=\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\approx513{,}13\,\text{cm}^3\). 3. Die fünf Glassteine haben zusammen das Volumen \(5\cdot\frac{4}{3}\pi(1{,}2)^3=\frac{288\pi}{25}\,\text{cm}^3\approx36{,}19\,\text{cm}^3\). 4. Flüssigkeit und Glassteine beanspruchen zusammen \(\frac{9656\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx404{,}47\,\text{cm}^3\). Das ist kleiner als das Fassungsvermögen, also läuft das Gefäß nicht über. 5. Allgemein gilt \(V(h)=\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)\). Für \(300\,\text{cm}^3\) ergibt sich \(\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)=300\) mit \(0\le h\le10\).

a) \(\frac{8792\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx368{,}28\,\text{cm}^3\) b) Flüssigkeit und Glassteine: \(\frac{9656\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx404{,}47\,\text{cm}^3\); Fassungsvermögen: \(\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\approx513{,}13\,\text{cm}^3\). Das Gefäß läuft nicht über. c) \(\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)=300\) mit \(0\le h\le10\)

- Stelle dir die Schale als einen großen Rotationskörper vor, aus dem ein kleinerer herausgeschnitten wurde. - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Körpers, der durch die Rotation einer Funktion um die \(x\)-Achse entsteht? - Beachte die unterschiedlichen Integrationsgrenzen für die Außen- und Innenseite. - Das Fassungsvermögen entspricht dem Volumen des Hohlraums im Inneren.

1. Berechnung des Volumens des durch \(f\) erzeugten Außenkörpers: \(V_f = \pi \cdot \int_{0}^{16} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{16} (0{,}5x + 4) \, dx\). 2. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_f = \pi \cdot [0{,}25x^2 + 4x]_0^{16} = \pi \cdot (64 + 64) = 128\pi \approx 402{,}12\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des durch \(g\) erzeugten Innenraums (Fassungsvermögen): \(V_g = \pi \cdot \int_{4}^{16} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{4}^{16} (0{,}8x - 3{,}2) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_g = \pi \cdot [0{,}4x^2 - 3{,}2x]_4^{16} = \pi \cdot ((102{,}4 - 51{,}2) - (6{,}4 - 12{,}8)) = \pi \cdot (51{,}2 + 6{,}4) = 57{,}6\pi \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung des Glasvolumens: \(V_{\text{Glas}} = V_f - V_g = 128\pi - 57{,}6\pi = 70{,}4\pi \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

Das Fassungsvermögen der Schale beträgt \(57{,}6\pi\,\text{cm}^3 \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). Das Volumen des benötigten Glases beträgt \(70{,}4\pi\,\text{cm}^3 \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

- Das Volumen eines Hohlkörpers lässt sich berechnen, indem man das Volumen des inneren Körpers vom Volumen des äußeren Körpers abzieht. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, wenn du Funktionen wie \((a \cdot e^{bx})^2\) quadrierst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kx}\)? - Du kannst die Integrale zusammenfassen, da sie über dasselbe Intervall verlaufen.

1. Das Materialvolumen ist die Differenz der beiden Rotationsvolumina: \(V=\pi\int_0^{10}\left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,dx\). 2. Mit \(f(x)=2e^{0{,}1x}\) und \(g(x)=1{,}5e^{0{,}1x}\) ergibt sich \(V=\pi\int_0^{10}(4-2{,}25)e^{0{,}2x}\,dx=1{,}75\pi\int_0^{10}e^{0{,}2x}\,dx\). 3. Daher ist \(V=1{,}75\pi\left[5e^{0{,}2x}\right]_0^{10}=8{,}75\pi(e^2-1)\). 4. Numerisch gilt \(V\approx175{,}62835\,\text{cm}^3\), also auf Hundertstel gerundet \(V\approx175{,}63\,\text{cm}^3\).

\(V=8{,}75\pi(e^2-1)\,\text{cm}^3\approx175{,}63\,\text{cm}^3\).

- Welchen Punkt muss die Gerade bei \(x=h\) erreichen? - Welchen Radius hat ein Kreisquerschnitt an der Stelle \(x\)? - Denk bei c) daran, aus welchen Querschnitten das Volumenintegral aufgebaut wird.

1. Die Gerade verläuft durch \((0\mid0)\) und \((h\mid r)\). Daher ist \(m=\frac{r}{h}\) und \(f(x)=\frac{r}{h}x\). 2. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_0^h(f(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h\left(\frac{r}{h}x\right)^2\,\text{d}x\). 3. Damit ist \(V=\pi\frac{r^2}{h^2}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^h=\frac{1}{3}\pi r^2h\). 4. Die Formel für das Rotationsvolumen beruht auf dünnen Kreisscheiben mit der Fläche \(\pi f(x)^2\). Diese geometrische Idee wird also schon benutzt, bevor die Kegelformel hergeleitet wird.

a) \(f(x)=\frac{r}{h}x\) b) \(V=\pi\int_0^h\left(\frac{r}{h}x\right)^2\,\text{d}x=\frac{1}{3}\pi r^2h\) c) In der Rotationsvolumenformel steckt bereits die Idee, den Körper aus vielen dünnen Kreisscheiben zusammenzusetzen.

- Welche Schnittpunkte legen das relevante Intervall im ersten Quadranten fest? - Welche der beiden Funktionen liefert dort Außen- und welche Innenradius des Kreisrings? - Stelle zuerst den Kreisring-Integranden auf und nutze erst danach die angegebene trigonometrische Identität.

1. Bestimmung der Schnittstellen im ersten Quadranten: Durch Einsetzen oder Skizzieren erkennt man die Schnittpunkte bei \(x_1 = 0\) (da \(\sin(0) = 0\)) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) (da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1\)). 2. Aufstellen des Volumenintegrals für die Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{\pi/2} ( (\sin(x))^2 - (\frac{2}{\pi}x)^2 ) \, dx\). 3. Integration der einzelnen Terme: \(\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x)\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{\pi}{4}\). \(\int (\frac{2}{\pi}x)^2 \, dx = \int \frac{4}{\pi^2}x^2 \, dx = \frac{4}{3\pi^2}x^3\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{4}{3\pi^2} \cdot \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi}{6}\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(V = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \pi \cdot \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi^2}{12}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{\pi^2}{12} \approx 0{,}822\,\text{VE}\).

- Setze die Funktion in die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ein. - Vereinfache den Integranden, indem du das Quadrat auflöst. - Welchen bekannten Funktionstyp erhältst du nach dem Quadrieren? Erinnere dich an die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\). - Um nach der Variable im Logarithmus aufzulösen, kannst du die Umkehrfunktion (Exponentialfunktion) verwenden.

1. Das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ist definiert als \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} (f(x))^2 \, dx\). 2. Einsetzen der Funktion: \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} \left( \frac{3}{\sqrt{2x+1}} \right)^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{b} \frac{9}{2x+1} \, dx\). 3. Integration mittels der Regel für lineare Substitution (\(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|\)): \(V(b) = 9\pi \cdot \left[ \frac{1}{2} \ln(2x+1) \right]_{0}^{b} = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielvolumen: \(4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1) = 9\pi \implies \ln(2b+1) = 2\). 5. Auflösen nach \(b\): \(2b+1 = e^2 \implies 2b = e^2 - 1 \implies b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\).

a) \(V(b) = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\) b) \(b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\)

- Was musst du zuerst tun, um die Integrationsgrenzen zu finden? - Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, wenn die Fläche zwischen zwei Graphen rotiert? - Überlege, welche Funktion im relevanten Bereich weiter von der Rotationsachse entfernt ist. - Achte beim Bilden des Integranden darauf, die Quadrate der einzelnen Funktionen zu subtrahieren, nicht das Quadrat ihrer Differenz zu verwenden.

1. Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x+4} = \frac{1}{2}x + 2\). Quadrieren führt zu \(x+4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\), woraus \(\frac{1}{4}x^2 + x = 0\) folgt. Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 0\). 2. Im Intervall \([-4; 0]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb von \(g\). Da beide Funktionen im Intervall nichtnegativ sind, ergibt sich das Volumen aus der Differenz der Integrale der Quadrate: \(V = \pi \cdot \int_{-4}^{0} ((\sqrt{x+4})^2 - (\frac{1}{2}x + 2)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((x+4) - (\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4) = -\frac{1}{4}x^2 - x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-4}^{0} (-\frac{1}{4}x^2 - x) \, dx = [-\frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{-4}^{0}\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(0 - (-\frac{1}{12}(-64) - \frac{1}{2}(16)) = 0 - (\frac{16}{3} - 8) = \frac{8}{3}\). 6. Das Volumen beträgt \(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\).

\(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\)

- Wie findest du heraus, wo die Fläche beginnt und endet? - Welche Form haben die Querschnitte des Körpers senkrecht zur \(x\)-Achse? - Denk daran, zuerst die Funktionen einzeln zu quadrieren, bevor du die Differenz bildest. - Kannst du eine Skizze der Situation im Kopf oder auf Papier machen, um zu sehen, welche Funktion den äußeren Rand bildet?

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 - 4x + 5 = -x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Vergleich der Abstände zur \(x\)-Achse: Im Intervall \([0; 3]\) ist \(g(x) \ge f(x)\). Da beide Funktionen stets positive Werte annehmen, ist \(g(x)\) der äußere Radius. 3. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{3} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Berechnung der Quadrate: \(g(x)^2 = x^2 - 10x + 25\) und \(f(x)^2 = x^4 - 8x^3 + 26x^2 - 40x + 25\). 5. Differenz bilden: \(g(x)^2 - f(x)^2 = -x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x\). 6. Integration: \(\int_{0}^{3} (-x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x) \, dx = [-\frac{1}{5}x^5 + 2x^4 - \frac{25}{3}x^3 + 15x^2]_{0}^{3}\). 7. Auswertung: \((-\frac{243}{5} + 162 - 225 + 135) - 0 = -48{,}6 + 72 = 23{,}4\). 8. Das Volumen ist \(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\).

\(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\)

- Welche Nullstellen begrenzen die Fläche, die tatsächlich rotiert? - Welche Querschnittsfläche entsteht aus einem Funktionswert bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Vereinfache das Quadrat des Funktionsterms, bevor du integrierst.

1. Die Randpunkte der eingeschlossenen Fläche liegen bei den Nullstellen \(x=-1\) und \(x=2\). 2. Das Rotationsvolumen ist \(V=\pi\int_{-1}^{2}(f(x))^2\,\text{d}x\). 3. Es gilt \((f(x))^2=(x+1)^2(2-x)=-x^3+3x+2\). 4. Eine Stammfunktion ist \(-\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2+2x\). 5. Damit ergibt sich \(V=\pi\cdot\frac{27}{4}=\frac{27\pi}{4}\,\text{VE}\approx21{,}21\,\text{VE}\).

\(V=\frac{27\pi}{4}\,\text{VE}\approx21{,}21\,\text{VE}\).

- Welcher Radius gehört zum Kreisquerschnitt an der Stelle \(x\)? - Was geschieht mit der Quadratwurzel beim Quadrieren von \(f(x)\)? - Welche Vorzeichen haben \(x\) und \(\sin(x)\) auf \([0;\pi]\)?

1. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_0^\pi(f(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_0^\pi x\sin(x)\,\text{d}x\). 2. Mit der angegebenen Stammfunktion folgt \(\int_0^\pi x\sin(x)\,\text{d}x=[-x\cos(x)+\sin(x)]_0^\pi=\pi\). 3. Daher ist \(V=\pi^2\,\text{VE}\). 4. Für \(0\le x\le\pi\) gilt \(x\ge0\) und \(\sin(x)\ge0\). Somit ist \(x\sin(x)\ge0\), sodass die Quadratwurzel reell definiert ist.

a) \(V=\pi\int_0^\pi x\sin(x)\,\text{d}x\) b) \(V=\pi^2\,\text{VE}\) c) Auf \([0;\pi]\) sind \(x\) und \(\sin(x)\) nicht negativ; daher gilt \(x\sin(x)\ge0\).

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Überlege, welche Funktion im relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Fläche zwischen zwei Funktionen entsteht. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Berechnung der Schnittstellen: Gleichsetzen der Funktionsterme \(\frac{1}{2}x^2 = x + 4\) führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: Da \(g(x) \geq f(x)\) im Intervall \([-2; 4]\) gilt, berechnet man das Integral der Differenzfunktion: \(A = \int_{-2}^{4} (x + 4 - \frac{1}{2}x^2) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 + 4x - \frac{1}{6}x^3]_{-2}^{4}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18\). 3. Berechnung des Rotationsvolumens: Das Volumen berechnet sich über \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Einsetzen und Integrieren: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} ((x + 4)^2 - (\frac{1}{2}x^2)^2) \, dx = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (x^2 + 8x + 16 - \frac{1}{4}x^4) \, dx\). 5. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V = \pi \cdot [\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 16x - \frac{1}{20}x^5]_{-2}^{4}\). Mit oberer Grenze: \(\frac{64}{3} + 64 + 64 - \frac{1024}{20} = \frac{64}{3} + 128 - \frac{256}{5} = \frac{1472}{15}\). Mit unterer Grenze: \(-\frac{8}{3} + 16 - 32 + \frac{32}{20} = -\frac{8}{3} - 16 + \frac{8}{5} = -\frac{256}{15}\). 6. Endergebnis: \(V = \pi \cdot (\frac{1472}{15} - (-\frac{256}{15})) = \frac{1728}{15}\pi = 115{,}2\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(18\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(115{,}2\pi \approx 361{,}91\,\text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche durch Gleichsetzen der Funktionen. - Für den Flächeninhalt benötigst du die Stammfunktion von \(1/x\). - Für das Volumen musst du die Quadrate der Funktionen voneinander subtrahieren, bevor du integrierst. - Denke daran, dass \(\frac{1}{x^2}\) auch als \(x^{-2}\) geschrieben werden kann, um die Potenzregel beim Integrieren anzuwenden.

1. Schnittstellen bestimmen: Gleichsetzen \(4 - x = \frac{3}{x}\) ergibt \(4x - x^2 = 3\), also \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Flächeninhalt berechnen: \(h(x) \geq k(x)\) für \(x \in [1; 3]\). Das Integral lautet \(A = \int_1^3 (4 - x - \frac{3}{x}) \, dx = [4x - \frac{1}{2}x^2 - 3\ln(x)]_1^3\). 3. Grenzen einsetzen: \(A = (12 - 4{,}5 - 3\ln(3)) - (4 - 0{,}5 - 3\ln(1)) = 7{,}5 - 3\ln(3) - 3{,}5 = 4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\). 4. Rotationsvolumen berechnen: \(V = \pi \cdot \int_1^3 (h(x)^2 - k(x)^2) \, dx = \pi \cdot \int_1^3 ((4 - x)^2 - (\frac{3}{x})^2) \, dx\). 5. Integrand vereinfachen: \((4 - x)^2 - \frac{9}{x^2} = 16 - 8x + x^2 - 9x^{-2}\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi \cdot [16x - 4x^2 + \frac{1}{3}x^3 + 9x^{-1}]_1^3\). 7. Werte einsetzen: Obere Grenze: \(48 - 36 + 9 + 3 = 24\). Untere Grenze: \(16 - 4 + \frac{1}{3} + 9 = 21 + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}\). 8. Ergebnis: \(V = \pi \cdot (24 - \frac{64}{3}) = \pi \cdot (\frac{72 - 64}{3}) = \frac{8}{3}\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{8}{3}\pi \approx 8{,}378\,\text{VE}\).

- Welchen Radius hat der Kreisquerschnitt an der Stelle \(x\)? - Vereinfache zuerst das Quadrat von \(\sqrt{x}\,e^x\). - Welche Werte der angegebenen Stammfunktion brauchst du, um das bestimmte Integral auszuwerten?

1. Es gilt \(V=\pi\int_0^1(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Wegen \((\sqrt{x}\,e^x)^2=xe^{2x}\) folgt \(V=\pi\int_0^1xe^{2x}\,\text{d}x\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist \(\int_0^1xe^{2x}\,\text{d}x=F(1)-F(0)=\frac{e^2+1}{4}\). 4. Daher ist \(V=\frac{e^2+1}{4}\pi\,\text{VE}\).

a) \(V=\pi\int_0^1xe^{2x}\,\text{d}x\) b) \(V=\frac{e^2+1}{4}\pi\,\text{VE}\)

- Wie findest du heraus, in welchem Bereich die beiden Graphen eine Fläche einschließen? - Wenn eine Fläche zwischen zwei Kurven rotiert, musst du die Quadrate der einzelnen Funktionswerte voneinander abziehen. - Achte darauf, die binomischen Formeln korrekt anzuwenden, bevor du das Integral berechnest. - Kannst du die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen: \(x^2 + 1 = 9 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x_{1} = -2, x_{2} = 2\). 2. Aufstellen des Integrals für die Differenz der Volumina: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{2} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((9 - x^2)^2 - (x^2 + 1)^2 = (81 - 18x^2 + x^4) - (x^4 + 2x^2 + 1) = 80 - 20x^2\). 4. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = 80x - \frac{20}{3}x^3\). 5. Einsetzen der Grenzen und Auswertung: \(V = \pi \cdot [(160 - \frac{160}{3}) - (-160 + \frac{160}{3})] = \pi \cdot (320 - \frac{320}{3}) = \frac{640}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{640}{3}\pi \approx 670{,}21\,\text{VE}\).

- Welche Punkte begrenzen die Fläche auf der horizontalen Achse? - Untersuche die Graphen auf Symmetrien, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Abszisse entsteht? - Überlege dir, in welche Teilintervalle du die Integrationsgrenzen aufteilen musst, wenn die obere Begrenzung der Fläche aus verschiedenen Funktionsstücken besteht.

1. Bestimmung der Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^x = 0 \Rightarrow x = \ln(2)\); \(g(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^{-x} = 0 \Rightarrow x = -\ln(2)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts der Graphen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow e^x = e^{-x} \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0|1)\). 3. Symmetriebetrachtung: Da \(f(x) = g(-x)\) gilt, ist die Fläche achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Das Gesamtvolumen ergibt sich aus \(V = 2 \cdot \pi \cdot \int_{0}^{\ln(2)} (2 - e^x)^2 dx\). 4. Integration: Das Integral der quadrierten Funktion \((2 - e^x)^2 = 4 - 4e^x + e^{2x}\) lautet \(\int (4 - 4e^x + e^{2x}) dx = 4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x} + C\). 5. Auswertung: \(V = 2\pi \cdot [4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x}]_0^{\ln(2)} = 2\pi \cdot ((4\ln(2) - 8 + 2) - (0 - 4 + 0{,}5)) = 2\pi \cdot (4\ln(2) - 2{,}5) = 8\pi \ln(2) - 5\pi\).

\(V = \pi(8 \ln(2) - 5) \approx 1{,}71\,\text{VE}\)

- An welcher Stelle wechseln Sinus und Kosinus im betrachteten Intervall ihre Rolle als Rand der eingeschlossenen Fläche? - Welche Symmetrie kann die Volumenrechnung auf einen der beiden Teilabschnitte reduzieren? - Nutze die angegebene Identität erst, nachdem du den passenden Volumenansatz für einen Teilabschnitt formuliert hast.

1. Schnittpunktbestimmung im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\): \(\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}\). 2. Intervallaufteilung: Die Fläche wird von \(x=0\) bis \(x=\frac{\pi}{4}\) durch \(f(x) = \sin(x)\) und von \(x=\frac{\pi}{4}\) bis \(x=\frac{\pi}{2}\) durch \(g(x) = \cos(x)\) begrenzt. 3. Volumenansatz: Aufgrund der Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion im betrachteten Bereich sind die Teilvolumina identisch: \(V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2(x) dx\). 4. Linearisierung: Unter Verwendung von \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\) folgt \(V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2x)) dx\). 5. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi [x - \frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}} = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - (0 - 0)) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2}\).

\(V = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} \approx 0{,}90\,\text{VE}\)

- Welche Querschnittsfläche entsteht aus dem Radius \(f(x)\) bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Welche Volumengröße brauchst du für den Vergleich in Teil b) zusätzlich? - Wie lässt sich der Anteil eines Volumens an einem anderen als Prozentwert ausdrücken?

1. Das Innenvolumen ist \(V=\pi\int_0^8(0{,}1x^2-x+5)^2\,\text{d}x=\frac{30776\pi}{375}\,\text{cm}^3\approx257{,}8\,\text{cm}^3\). 2. Der Vergleichszylinder hat das Volumen \(V_Z=\pi\cdot5^2\cdot8=200\pi\,\text{cm}^3\). 3. Der prozentuale Anteil beträgt \(\frac{V}{V_Z}\cdot100\,\%\approx41{,}0\,\%\).

a) \(V\approx257{,}8\,\text{cm}^3\) b) \(41{,}0\,\%\)

- Welche Gleichung müssen die Funktionswerte an einem Schnittpunkt erfüllen? - Welcher Graph liefert zwischen den Schnittpunkten den äußeren Radius? - Bei einem Kreisring werden die Flächen der beiden Kreise voneinander abgezogen.

1. Aus \(\sqrt{2x}=x\) folgt für \(x\ge0\) die Gleichung \(2x=x^2\), also \(x=0\) oder \(x=2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(2|2)\). 2. Auf \([0;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Der Kreisringquerschnitt ist daher \(\pi((f(x))^2-(g(x))^2)=\pi(2x-x^2)\). 3. Es gilt \(V=\pi\int_0^2(2x-x^2)\,\text{d}x=\pi\left[x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^2=\frac{4\pi}{3}\,\text{VE}\).

a) \(S_1(0|0)\) und \(S_2(2|2)\). b) \(V=\frac{4\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Für das Füllvolumen ist nur die innere Radienfunktion auf ihrem eigenen Intervall relevant. - Das Glasvolumen erhältst du als äußeres Rotationsvolumen minus Hohlraumvolumen. - Welche Beziehung verbindet Masse, Dichte und Volumen?

1. Für den Hohlraum gilt \(V_{\text{Hohl}}=\pi\int_1^6(g(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_1^6(4x-4)\,\text{d}x=50\pi\,\text{cm}^3\approx157{,}1\,\text{cm}^3\). 2. Wegen \(1\,\text{cm}^3=1\,\text{mL}\) beträgt das Füllvolumen \(157{,}1\,\text{mL}\). 3. Das äußere Rotationsvolumen ist \(V_{\text{außen}}=\pi\int_0^6(0{,}5x+3)^2\,\text{d}x=126\pi\,\text{cm}^3\). 4. Daher ist das Glasvolumen \(V_{\text{Glas}}=126\pi-50\pi=76\pi\,\text{cm}^3\approx238{,}8\,\text{cm}^3\). 5. Die Masse ist \(m=2{,}5\,\text{g/cm}^3\cdot76\pi\,\text{cm}^3=190\pi\,\text{g}\approx596{,}9\,\text{g}\).

a) \(157{,}1\,\text{mL}\). b) \(76\pi\,\text{cm}^3\approx238{,}8\,\text{cm}^3\). c) \(190\pi\,\text{g}\approx596{,}9\,\text{g}\).

- Welchen Radius hat der Kreisquerschnitt an der Stelle \(x\)? - Was geschieht mit der Wurzel beim Quadrieren von \(f(x)\)? - Vereinfache den Integranden, bevor du integrierst.

1. Für das Volumen des Holzgriffs gilt \(V=\pi\int_0^{25}(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Es ist \((f(x))^2=0{,}01(x+2)^2(25-x)=0{,}01(-x^3+21x^2+96x+100)\). 3. Daher folgt \(V=0{,}01\pi\int_0^{25}(-x^3+21x^2+96x+100)\,\text{d}x=\frac{7075\pi}{16}\,\text{cm}^3\).

\(V=\frac{7075\pi}{16}\,\text{cm}^3\)

- Welche Funktionswerte liefern die Radien an den beiden Enden und in der Mitte? - Für das massive Volumen kannst du zuerst \(f(x)^2\) vereinfachen. - Bei der Bohrung ist der Durchmesser gegeben. Welche Größe brauchst du für das Zylindervolumen? - Wie hängt das tatsächliche Holzvolumen mit massivem Volumen und Bohrungsvolumen zusammen?

1. An beiden Enden gilt \(f(0)=f(8)=\sqrt{12}=2\sqrt3\,\text{cm}\). Die Durchmesser betragen jeweils \(4\sqrt3\,\text{cm}\). In der Mitte ist \(f(4)=2\,\text{cm}\), also beträgt der Durchmesser dort \(4\,\text{cm}\). 2. Das massive Volumen ist \(V_{\text{massiv}}=\pi\int_0^8(0{,}5(x-4)^2+4)\,\text{d}x=\frac{160\pi}{3}\,\text{cm}^3\). 3. Die Bohrung hat den Radius \(1\,\text{cm}\) und die Länge \(8\,\text{cm}\). Ihr Volumen ist \(8\pi\,\text{cm}^3\). 4. Daher verbleibt \(V_{\text{Holz}}=\frac{160\pi}{3}-8\pi=\frac{136\pi}{3}\,\text{cm}^3\).

a) Enden: jeweils \(4\sqrt3\,\text{cm}\); Mitte: \(4\,\text{cm}\). b) \(\frac{160\pi}{3}\,\text{cm}^3\). c) \(\frac{136\pi}{3}\,\text{cm}^3\).

- Welche Gleichung bestimmen die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse? - Ist der Funktionsterm gerade oder ungerade, und was bedeutet das für das Volumenintegral? - Vereinfache das Quadrat des Radius vor der Integration.

1. Aus \(4-x^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Das Volumen ist \(V=\pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2\,\text{d}x\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(V=2\pi\int_0^2(16-8x^2+x^4)\,\text{d}x\). 4. Damit folgt \(V=2\pi\left[16x-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5\right]_0^2=\frac{512\pi}{15}\,\text{VE}\).

a) \(x=-2\) und \(x=2\). b) \(V=\frac{512\pi}{15}\,\text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche, indem du die Schnittpunkte der beiden Graphen berechnest. - Überprüfe innerhalb dieser Grenzen, welcher Graph weiter von der \(x\)-Achse entfernt ist. - Nutze die Potenzgesetze, um die quadrierten Terme unter dem Integral zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Bestimmung der Schnittpunkte im ersten Quadranten: \(x^2 = x^4 \Rightarrow x^4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = 1\) (da \(x \ge 0\)). 2. Vergleich der Funktionswerte im Intervall \([0; 1]\): Für \(x = 0{,}5\) gilt \(f(0{,}5) = 0{,}25\) und \(g(0{,}5) = 0{,}0625\). Also ist \(f(x) \ge g(x)\). 3. Volumenansatz: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} ((x^2)^2 - (x^4)^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{1} (x^4 - x^8) \,\text{d}x\). 4. Integration: \(\pi \cdot [\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{9}x^9]_0^1 = \pi \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) = \pi \cdot (\frac{9}{45} - \frac{5}{45}) = \frac{4}{45}\pi\). 5. Numerisches Ergebnis: \(V = \frac{4}{45}\pi \approx 0{,}279\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{4}{45}\pi \approx 0{,}28\,\text{VE}\).

- Wie findest du heraus, wo die Fläche beginnt und wo sie endet? - Welche Funktion beschreibt den äußeren Radius des Körpers und welche den inneren Hohlraum? - Vergiss nicht, den gesamten Integralausdruck mit \(\pi\) zu multiplizieren. - Achte beim Quadrieren von \(2x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren.

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(2x = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0\). Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 2. Festlegung der oberen Funktion: Im Intervall \([0; 2]\) ist \(f(x) \ge g(x)\) (z. B. \(f(1)=2 > g(1)=1\)). 3. Volumenintegral aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} ((2x)^2 - (x^2)^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \,\text{d}x\). 4. Stammfunktion bilden: \(\int (4x^2 - x^4) \,\text{d}x = \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5\). 5. Auswertung: \(\pi \cdot [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \pi \cdot (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{5} \cdot 32) = \pi \cdot (\frac{32}{3} - \frac{32}{5}) = \pi \cdot \frac{160 - 96}{15} = \frac{64}{15}\pi\). 6. Ergebnis: \(V = \frac{64}{15}\pi \approx 13{,}40\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{64}{15}\pi \approx 13{,}40\,\text{VE}\).

- Findest du die Stellen, an denen sich die Parabel und die Gerade schneiden? - Du kannst dir die Arbeit erleichtern, indem du die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse nutzt. - Achte beim Quadrieren der Differenz \(-x^2 + 5\) auf die binomischen Formeln. - Überlege dir, wie der Körper aussieht – ist es ein Vollkörper oder hat er ein zylindrisches Loch in der Mitte?

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(-x^2 + 5 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). 2. Bestimmung der oberen Funktion: Im Intervall \([-2; 2]\) ist \(f(x) \ge g(x)\). 3. Volumenintegral: \(V = \pi\int_{-2}^{2} ((-x^2 + 5)^2 - 1^2) \,\text{d}x\). 4. Vereinfachung des Integranden: \((-x^2 + 5)^2 - 1 = x^4 - 10x^2 + 25 - 1 = x^4 - 10x^2 + 24\). 5. Integration (unter Ausnutzung der Symmetrie): \(V = 2\pi \cdot \int_{0}^{2} (x^4 - 10x^2 + 24) \,\text{d}x = 2\pi \cdot [\frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 24x]_0^2\). 6. Auswertung: \(2\pi \cdot (\frac{32}{5} - \frac{80}{3} + 48) = 2\pi \cdot (\frac{96 - 400 + 720}{15}) = 2\pi \cdot \frac{416}{15} = \frac{832}{15}\pi\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{832}{15}\pi \approx 174{,}25\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{832}{15}\pi \approx 174{,}25\,\text{VE}\).

- Welche Funktion beschreibt den Hohlraum und welche die äußere Begrenzung? - Wegen der unterschiedlichen Startpunkte der Profile solltest du Außen- und Innenvolumen getrennt bestimmen. - Wie hängen Masse, Dichte und Glasvolumen zusammen? - Welche geometrische Bedeutung haben die beiden Funktionswerte bei \(x=4\)?

1. Das Fassungsvermögen ist \(V_{\text{innen}}=\pi\int_1^4(2\sqrt{x-1})^2\,\text{d}x=18\pi\,\text{cm}^3\). 2. Das äußere Gesamtvolumen ist \(V_{\text{gesamt}}=\pi\int_0^4(0{,}2x+3)^2\,\text{d}x=\frac{3484\pi}{75}\,\text{cm}^3\). 3. Das Glasvolumen ist \(V_{\text{Glas}}=\frac{3484\pi}{75}-18\pi=\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3\). 4. Mit der Dichte folgt \(m=2{,}5\,\text{g/cm}^3\cdot\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3=\frac{1067\pi}{15}\,\text{g}\). 5. Es ist \(f(4)-g(4)=3{,}8-2\sqrt3\,\text{cm}\). Dieser Unterschied der beiden Radien ist die Wandstärke am oberen Rand.

a) \(18\pi\,\text{cm}^3\). b) \(\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3\). c) \(\frac{1067\pi}{15}\,\text{g}\). d) \(3{,}8-2\sqrt3\,\text{cm}\) ist die Wandstärke am oberen Rand.

- Welche Größe bestimmt bei einem Kreisring den äußeren und den inneren Radius? - Wie kannst du im Diagramm erkennen, ob sich die Rollen der beiden Graphen im Intervall ändern? - Prüfe deinen Integralansatz an einigen Stellen im Intervall.

1. Die Graphen schneiden sich bei \(x+1=3-x\), also bei \(x=1\). 2. Für \(0\le x<1\) gilt \(g(x)>f(x)\). Dort ist \(g\) der Außenradius und \(f\) der Innenradius. 3. Für \(1<x\le2\) gilt \(f(x)>g(x)\). Dort ist \(f\) der Außenradius und \(g\) der Innenradius. 4. Daher ist \(V=\pi\int_0^1\left(g(x)^2-f(x)^2\right)\,\text{d}x+\pi\int_1^2\left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,\text{d}x\). 5. Auf \([0;1]\) gilt \(g(x)^2-f(x)^2=8-8x\), auf \([1;2]\) gilt \(f(x)^2-g(x)^2=8x-8\). 6. Beide Integrale ohne den Faktor \(\pi\) haben den Wert \(4\). Somit ist \(V=8\pi\,\text{VE}\).

a) Auf \([0;1]\) ist \(g\) außen und \(f\) innen; auf \([1;2]\) ist \(f\) außen und \(g\) innen. b) \(V=\pi\int_0^1(g(x)^2-f(x)^2)\,\text{d}x+\pi\int_1^2(f(x)^2-g(x)^2)\,\text{d}x\) c) \(V=8\pi\,\text{VE}\)

- Welche geometrische Größe muss der Ausdruck in der Klammer an jeder Stelle darstellen? - Teste Miras Ausdruck an verschiedenen Stellen des Intervalls. - Was müsste am Ansatz geändert werden, wenn der Ausdruck dort nicht zur Geometrie passt?

1. Die Graphen schneiden sich bei \(\sqrt{x+1}=2\). Daraus folgt \(x=3\). 2. Für \(0\le x<3\) gilt \(g(x)>f(x)\). Dort ist \(g\) der Außenradius und \(f\) der Innenradius. 3. Für \(3<x\le8\) gilt \(f(x)>g(x)\). Dort ist \(f\) der Außenradius und \(g\) der Innenradius. 4. Miras Ansatz vertauscht deshalb auf \([0;3]\) Außen- und Innenradius. Dort wäre der Ausdruck \(f(x)^2-g(x)^2\) negativ und kann keine Kreisringfläche beschreiben. 5. Ein korrekter Ansatz ist \(V=\pi\int_0^3\left(g(x)^2-f(x)^2\right)\,\text{d}x+\pi\int_3^8\left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,\text{d}x\).

Miras Ansatz ist auf \([0;3]\) falsch: Dort gilt \(g(x)>f(x)\), also ist \(f(x)^2-g(x)^2<0\). Eine Kreisringfläche kann nicht negativ sein. Die Reihenfolge der Radien wechselt bei \(x=3\). Daher gilt \(V=\pi\int_0^3\left(g(x)^2-f(x)^2\right)\,\text{d}x+\pi\int_3^8\left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,\text{d}x\).

- Welche Gleichung beschreibt, dass beide Radien gleich groß sind? - Vergleiche die beiden Funktionen in den Teilintervallen, die dadurch entstehen. - Formuliere für jedes Teilintervall die passende Kreisringfläche.

1. Der Rollenwechsel liegt am Schnittpunkt der Graphen. Aus \(\sqrt{x+1}=\frac{x+1}{2}\) folgt im Intervall \([0;5]\) die Lösung \(x=3\). 2. Auf \([0;3]\) gilt \(f(x)\ge g(x)\). Dort ist \(f\) der Außenradius. Auf \([3;5]\) gilt \(g(x)\ge f(x)\). Dort ist \(g\) der Außenradius. 3. Daher gilt \(V=\pi\int_0^3\left((x+1)-\frac{(x+1)^2}{4}\right)\,\text{d}x+\pi\int_3^5\left(\frac{(x+1)^2}{4}-(x+1)\right)\,\text{d}x\). 4. Die beiden Integrale ergeben zusammen \(\frac{59}{12}\). Somit ist \(V=\frac{59\pi}{12}\,\text{VE}\).

a) Rollenwechsel bei \(x=3\) b) \(V=\pi\int_0^3\left((x+1)-\frac{(x+1)^2}{4}\right)\,\text{d}x+\pi\int_3^5\left(\frac{(x+1)^2}{4}-(x+1)\right)\,\text{d}x=\frac{59\pi}{12}\,\text{VE}\)

- Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Überlege dir, wie man ein uneigentliches Integral mit einer variablen oberen Grenze berechnet. - Welche Bedingung muss für den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\) gelten, damit der Grenzwert für \(x \to \infty\) gegen Null geht? - Vergiss nicht den Sonderfall, in dem die Stammfunktion ein natürlicher Logarithmus ist.

1. Das Volumen eines Rotationskörpers über dem Intervall \([1; \infty[\) ist definiert durch \(V = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} (f_k(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} x^{-2k} \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals: Für \(2k \neq 1\) ist \(\int x^{-2k} \, dx = \frac{x^{-2k+1}}{-2k+1}\). Für \(2k = 1\) (also \(k = 0{,}5\)) ist \(\int x^{-1} \, dx = \ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): - Falls \(k = 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} [\ln|x|]_1^z = \infty\) (divergent). - Falls \(k \neq 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{x^{1-2k}}{1-2k} \right]_1^z\) existiert nur, wenn der Exponent negativ ist: \(1-2k < 0 \iff k > 0{,}5\). 4. Für \(k > 0{,}5\) ergibt sich der Wert des Integrals zu \(0 - \frac{1}{1-2k} = \frac{1}{2k-1}\). 5. Das endliche Volumen lautet somit \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\) für \(k > 0{,}5\).

Das Volumen ist für \(k > 0{,}5\) endlich. Die Formel lautet \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\).

- Stelle zuerst das Volumen des ersten Körpers in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Welche Fläche rotiert in Teil 2 und welcher Radius gehört deshalb in die Volumenformel? - Für das Verhältnis kannst du die gemeinsamen Faktoren der beiden Volumina kürzen.

1. Für den ersten Körper gilt \(V_{\text{Paraboloid}}=\pi\int_0^a(\sqrt{x})^2\,\text{d}x=\frac{1}{2}\pi a^2\). 2. Aus \(\frac{1}{2}\pi a^2=32\pi\) folgt \(a^2=64\) und wegen \(a>0\) somit \(a=8\). 3. Für den Kegel gilt \(V_{\text{Kegel}}=\pi\int_0^8\left(\frac{1}{2}x\right)^2\,\text{d}x=\frac{128}{3}\pi\). 4. Damit ist \(V_{\text{Paraboloid}}:V_{\text{Kegel}}=32\pi:\frac{128}{3}\pi=3:4\).

1. \(a=8\) 2. \(V_{\text{Kegel}}=\frac{128}{3}\pi\approx134{,}04\) 3. \(3:4\)

- Beschreibe zuerst geometrisch, welche beiden Kreisflächen den Querschnitt des Hohlkörpers bestimmen. - Prüfe dann algebraisch, unter welchen Bedingungen der geometrisch richtige Ausdruck mit dem vorgeschlagenen Ausdruck übereinstimmen kann. - Welche geometrische Bedeutung haben die Sonderfälle, in denen die beiden Ausdrücke gleich werden?

1. Der tatsächliche Kreisring hat an der Stelle \(x\) den Flächeninhalt \(A_{\text{real}}(x)=\pi(f(x)^2-g(x)^2)\). 2. Der zu prüfende Ausdruck ist \(A_{\text{test}}(x)=\pi(f(x)-g(x))^2\). 3. Aus \(A_{\text{real}}(x)=A_{\text{test}}(x)\) folgt \(f(x)^2-g(x)^2=f(x)^2-2f(x)g(x)+g(x)^2\). 4. Umformen ergibt \(2g(x)(f(x)-g(x))=0\). Daher gilt entweder \(g(x)=0\) oder \(f(x)=g(x)\). 5. Für einen echten Hohlkörper mit \(f(x)>g(x)>0\) sind beide Bedingungen ausgeschlossen. Deshalb muss der Kreisringquerschnitt als \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)\) und das Volumen als Integral dieser Differenz berechnet werden.

Punktweise gilt \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)=\pi(f(x)-g(x))^2\) genau dann, wenn \(g(x)=0\) oder \(f(x)=g(x)\). Für einen echten Hohlkörper mit \(f(x)>g(x)>0\) ist daher \(\pi(f(x)-g(x))^2\) nicht der richtige Kreisringquerschnitt; verwendet werden muss \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)\).

- Welche geometrische Bedeutung haben die \(x\)-Koordinate und die Funktionswerte in diesem Rotationsmodell? - Was sagen die unterschiedlichen Nullstellen von Außen- und Innenprofil über den Boden aus? - Für das Materialvolumen brauchst du die Differenz zwischen äußerem und innerem Rotationsvolumen. - Prüfe bei allen Volumina die Einheit \(\text{m}^3\).

1. Die Gesamthöhe entspricht dem Intervall \([0;60]\), also \(60\,\text{m}\). 2. Die Nullstellen sind \(0\) und \(0{,}8\). Ihre Differenz \(0{,}8\,\text{m}\) beschreibt die Dicke der Bodenplatte. 3. Am oberen Rand gilt \(f(60)-g(60)=\sqrt{270}-\sqrt{248{,}64}\,\text{m}\approx0{,}66\,\text{m}\). Dies ist die Wandstärke am oberen Ende. 4. Der äußere Rotationskörper hat \(V_{\text{Brutto}}=\pi\int_0^{60}4{,}5x\,\text{d}x=8100\pi\,\text{m}^3\approx25\,446{,}90\,\text{m}^3\). 5. Der Innenraum hat \(V_{\text{Innen}}=\pi\int_{0{,}8}^{60}4{,}2(x-0{,}8)\,\text{d}x=7359{,}744\pi\,\text{m}^3\). Daher beträgt das Materialvolumen \(740{,}256\pi\,\text{m}^3\approx2325{,}58\,\text{m}^3\).

a) \(60\,\text{m}\) b) \(0{,}8\,\text{m}\); Dicke der Bodenplatte. c) \(\sqrt{270}-\sqrt{248{,}64}\,\text{m}\approx0{,}66\,\text{m}\); Wandstärke am oberen Ende. d) \(8100\pi\,\text{m}^3\approx25\,446{,}90\,\text{m}^3\). e) \(740{,}256\pi\,\text{m}^3\approx2325{,}58\,\text{m}^3\).

- Wie ersetzt du die problematische untere Grenze \(0\) durch eine variable Grenze? - Beim Rotationsvolumen wird die Radienfunktion quadriert. Welcher Integrand entsteht dadurch, bevor du vereinfachst? - Vergleiche das Grenzwertverhalten der benötigten Stammfunktionen, wenn die untere Grenze gegen \(0\) geht.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt aufgrund der Polstelle bei \(x=0\): \(A = \int_{0}^{1} x^{-0{,}5} \, dx\). 2. Bildung der Stammfunktion \(G(x) = 2\sqrt{x}\). 3. Grenzwertberechnung an der unteren Grenze: \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^1 = 2\sqrt{1} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 2 - 0 = 2\). Der Flächeninhalt ist mit \(A = 2\) endlich. 4. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx\). 5. Verwendung der Stammfunktion \(\ln|x|\). 6. Untersuchung des Grenzwerts: \(\pi \cdot \lim_{a \to 0^+} [\ln(x)]_a^1 = \pi \cdot (\ln(1) - \lim_{a \to 0^+} \ln(a)) = \pi \cdot (0 - (-\infty)) = \infty\). Das Volumen ist unendlich.

Der Flächeninhalt ist endlich: \(A=\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1/2}\,\mathrm{d}x=\lim_{a\to0^+}[2\sqrt{x}]_a^1=2\). Das Rotationsvolumen ist nicht endlich: \(V=\pi\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1}\,\mathrm{d}x=\pi\lim_{a\to0^+}[\ln(x)]_a^1=\infty\).

- Wie hängt die obere Integrationsgrenze von der Höhe über dem Boden bei \(x=-6\) ab? - Welche Volumendifferenz entsteht, wenn der Wasserstand um \(1\,\text{dm}\) steigt? - Warum hebt sich das Volumen des vollständig bedeckten festen Objekts in dieser Differenz auf? - Achte darauf, dass auch die erhöhte Füllhöhe im Modellintervall bleibt.

1. Für eine Füllhöhe \(h\in[0;6]\) gilt \(V(h)=\pi\int_{-6}^{-6+h}f(x)^2\,\text{d}x=\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-6))+1)\,\text{dm}^3\). 2. Für \(h=3\) folgt \(V(3)=\frac{144}{\pi}(1-\frac{\sqrt2}{2})\,\text{L}\approx13{,}43\,\text{L}\). 3. Weil das fixierte Objekt vor und nach dem Nachfüllen vollständig bedeckt ist, bleibt sein verdrängtes Volumen unverändert. Deshalb gilt für \(0\le h\le5\) die Volumendifferenz \(V(h+1)-V(h)=4\). 4. Einsetzen der Volumenfunktion ergibt \(\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-5))-\sin(\frac{\pi}{12}(h-6)))=4\).

a) \(\frac{144}{\pi}(1-\frac{\sqrt2}{2})\,\text{L}\approx13{,}43\,\text{L}\). b) \(\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-5))-\sin(\frac{\pi}{12}(h-6)))=4\) mit \(0\le h\le5\).

- Bestimme zuerst die lineare Randfunktion aus den beiden Endradien. - Welche Kreisfläche hat ein Querschnitt an der Stelle \(x\)? - Vereinfache erst nach dem Integrieren den Ausdruck mit \(R\) und \(r\).

1. Die Gerade durch \((0\mid r)\) und \((h\mid R)\) hat die Gleichung \(f(x)=\frac{R-r}{h}x+r\). 2. Für das Volumen gilt \(V=\pi\int_0^h\left(\frac{R-r}{h}x+r\right)^2\,\text{d}x\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(\frac{(R-r)^2}{h^2}x^2+2r\frac{R-r}{h}x+r^2\). 4. Nach der Integration und dem Einsetzen von \(0\) und \(h\) erhält man \(V=\pi h\left(\frac{(R-r)^2}{3}+r(R-r)+r^2\right)\). 5. Der Klammerausdruck vereinfacht sich zu \(\frac{R^2+Rr+r^2}{3}\). 6. Damit ist \(V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)\).

\(f(x)=\frac{R-r}{h}x+r\) und \(V=\pi\int_0^h\left(\frac{R-r}{h}x+r\right)^2\,\text{d}x=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)\).

- Kannst du die Funktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was musst du beachten, wenn eine der Integrationsgrenzen im Unendlichen liegt oder die Funktion dort nicht definiert ist? - Erinnere dich an den Grenzwert von \(\frac{1}{x^n}\) für \(x \to \infty\) und \(x \to 0\).

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen bei Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \,\text{d}x\). Hier ist \((f(x))^2 = \left(\frac{2}{x^{3/4}}\right)^2 = \frac{4}{x^{3/2}} = 4x^{-3/2}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 4x^{-3/2} \,\text{d}x = 4 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -8x^{-1/2} = -\frac{8}{\sqrt{x}}\). 3. Untersuchung für \(I_1 = [1; \infty[\): \(V_1 = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_1^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{k}} - (-8) \right) = \pi \cdot (0 + 8) = 8\pi\). Das Volumen ist endlich. 4. Untersuchung für \(I_2 = ]0; 1]\): \(V_2 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_k^1 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left( -8 - (-\frac{8}{\sqrt{k}}) \right) = \pi \cdot (-8 + \infty) = \infty\). Das Volumen ist unendlich groß.

Das Volumen über \(I_1 = [1; \infty[\) ist endlich und beträgt \(V_1 = 8\pi\). Das Volumen über \(I_2 = ]0; 1]\) ist unendlich groß.

- Welche beiden uneigentlichen Integrale beschreiben den Flächeninhalt und das Rotationsvolumen? - Untersuche bei beiden Integralen den Grenzwert der jeweils benötigten Stammfunktion für eine immer größere obere Grenze. - Warum kann das Quadrieren der Radienfunktion das Konvergenzverhalten gegenüber dem Flächenintegral verändern?

1. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x+2} \,\text{d}x = \lim_{k \to \infty} [\ln|x+2|]_0^k\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(A\): \(\lim_{k \to \infty} (\ln(k+2) - \ln(2)) = \infty\). Der Flächeninhalt ist unendlich groß. 3. Volumen berechnen: \(V = \pi \int_{0}^{\infty} (f(x))^2 \,\text{d}x = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} \,\text{d}x\). 4. Stammfunktion für das Volumen: \(\int (x+2)^{-2} \,\text{d}x = -(x+2)^{-1} = -\frac{1}{x+2}\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(V\): \(V = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{1}{x+2} \right]_0^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{1}{k+2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \pi \cdot (0 + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2}\).

a) \(A=\lim_{k\to\infty}\int_0^k\frac{1}{x+2}\,\mathrm{d}x=\lim_{k\to\infty}(\ln(k+2)-\ln2)=\infty\). Der Flächeninhalt ist also nicht endlich. b) \(V=\pi\lim_{k\to\infty}\int_0^k\frac{1}{(x+2)^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57\).

- Welcher Radius gehört an jeder Stelle \(x\) zum Kreisquerschnitt des massiven Körpers? - Wie verändern sich Flächen- und Volumeneinheiten, wenn Längen mit dem Faktor \(10\) umgerechnet werden? - Welche Volumina brauchst du, um das verbleibende Material in d) zu bestimmen?

1. Die Höhe entspricht der Intervalllänge \(8\,\text{LE}=80\,\text{cm}\). Bei \(x=4\) ist der Radius \(f(4)=\sqrt{7{,}2}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\,\text{LE}\). Der reale Durchmesser beträgt daher \(24\sqrt{5}\,\text{cm}\approx53{,}67\,\text{cm}\). 2. Das Modellvolumen ist \(V=\pi\int_{-4}^{4}(0{,}2x^2+4)\,\text{d}x=\frac{608\pi}{15}\,\text{LE}^3\). Da \(1\,\text{LE}^3=1\,\text{L}\), gilt \(V=\frac{608\pi}{15}\,\text{L}\approx127{,}34\,\text{L}\). 3. Das Volumen beträgt \(\frac{608000\pi}{15}\,\text{cm}^3\). Mit der Dichte folgt \(m=\frac{1216\pi}{375}\,\text{kg}\approx10{,}19\,\text{kg}\). 4. Die Vertiefung hat das Volumen \(2\pi\,\text{LE}^3=2\pi\,\text{L}\). Somit bleibt \(V_{\text{Rest}}=\frac{578\pi}{15}\,\text{L}\approx121{,}06\,\text{L}\).

a) Höhe: \(80\,\text{cm}\); Durchmesser: \(24\sqrt{5}\,\text{cm}\approx53{,}67\,\text{cm}\) b) \(\frac{608\pi}{15}\,\text{L}\approx127{,}34\,\text{L}\) c) \(\frac{1216\pi}{375}\,\text{kg}\approx10{,}19\,\text{kg}\) d) \(\frac{578\pi}{15}\,\text{L}\approx121{,}06\,\text{L}\)

- Welche Kreisfläche beschreibt den Innenraum bei einer Höhe \(x\)? - Welchen Raum kann das Wasser wegen des eingetauchten Zylinders nicht einnehmen? - Vergleiche das Volumenmodell vor und nach dem Einsetzen des Zylinders.

1. Das maximale Fassungsvermögen ist \(V_{\max}=\pi\int_0^{12}(x+4)\,\text{d}x=120\pi\,\text{cm}^3\). 2. Für die ursprüngliche Füllhöhe gilt \(\pi\left(\frac{1}{2}h^2+4h\right)=150\). 3. Die positive Lösung ist \(h=-4+\sqrt{16+\frac{300}{\pi}}\,\text{cm}\approx6{,}56\,\text{cm}\). 4. Der Zylinder steht mittig. Sein Radius \(1\,\text{cm}\) ist kleiner als der kleinste Innenradius \(g(0)=2\,\text{cm}\), und seine Höhe entspricht der Höhe des modellierten Innenraums. Er passt daher vollständig in die Schale. Bis zu einer Füllhöhe \(h_{\text{neu}}\le12\,\text{cm}\) verdrängt er \(\pi h_{\text{neu}}\,\text{cm}^3\). 5. Für dieselben \(150\,\text{cm}^3\) Wasser muss deshalb die Höhe steigen. Es gilt \(\pi\left(\frac{1}{2}h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)-\pi h_{\text{neu}}=150\).

a) \(120\pi\,\text{cm}^3\) b) \(h=-4+\sqrt{16+\frac{300}{\pi}}\,\text{cm}\approx6{,}56\,\text{cm}\) c) Der Zylinder verkleinert den für Wasser verfügbaren Raum. Es gilt \(\pi\left(\frac{1}{2}h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)-\pi h_{\text{neu}}=150\) mit \(0<h_{\text{neu}}\le12\).