- Welcher Teil des Integranden steht im Exponenten? - Wie hängt der übrige Faktor mit der Ableitung dieses Terms zusammen?

1. Der Exponent legt \(g(x)=x^2\) nahe. 2. Es gilt \(g'(x)=2x\). Damit ist \(2x\,e^{x^2}=g'(x)e^{g(x)}\).

\(g(x)=x^2\), denn \(g'(x)=2x\) und damit \(2x\,e^{x^2}=g'(x)e^{g(x)}\).

- Welche Grundfunktion hat beim Ableiten den Kosinus als Ergebnis? - Welche zusätzliche Konstante entsteht beim Ableiten der inneren Funktion \(3x\)?

1. Eine Stammfunktion von \(\cos(u)\) ist \(\sin(u)\). 2. Wegen der linearen inneren Funktion \(3x\) wird mit \(\frac{1}{3}\) ausgeglichen. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}\sin(3x)\).

Zum Beispiel \(F(x)=\frac{1}{3}\sin(3x)\).

- Betrachte den Nenner als mögliche innere Funktion \(g\). - Leite den Nenner ab und vergleiche die Ableitung mit dem Zähler.

1. Der Nenner ist \(x^2+3\). Daher wählt man \(g(x)=x^2+3\). 2. Es gilt \(g'(x)=2x\). Das ist genau der Zähler des Bruchs. 3. Der Integrand hat deshalb die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\).

\(g(x)=x^2+3\), \(g'(x)=2x\); ja, der Integrand hat die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\).

- Untersuche, ob Zähler und Nenner durch Ableiten miteinander zusammenhängen. - Welche Regel kennst du für einen Bruch mit dieser Beziehung?

1. Setze \(g(x)=x^2+5\). 2. Dann ist \(g'(x)=2x\). 3. Der Integrand hat genau die Form \(g'(x)/g(x)\).

Die \(g'/g\)-Regel passt: Für \(g(x)=x^2+5\) gilt \(g'(x)=2x\). Damit ist der Integrand \(g'(x)/g(x)\).

- Welche Ableitung hat \(\sin(u)\)? - Welcher zusätzliche Faktor entsteht beim Ableiten von \(4x-1\)?

1. Mit der Kettenregel ist \(F'(x)=\frac{1}{4}\cdot4\cos(4x-1)\). 2. Also ist \(F'(x)=\cos(4x-1)=f(x)\). 3. Der Faktor \(\frac{1}{4}\) gleicht die innere Ableitung \(4\) aus.

Ja. \(F'(x)=\frac{1}{4}\cdot4\cos(4x-1)=\cos(4x-1)=f(x)\).

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Stammfunktion gehört zur Struktur \(g'(x)/g(x)\)? - Prüfe, ob der Nenner auf dem Integrationsintervall positiv ist.

1. Für \(g(x)=x^3+x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2+1\). Der Zähler ist \(2g'(x)\). 2. Daher ist \(2\ln|x^3+x+1|\) eine Stammfunktion des Integranden. 3. Auswerten an den Grenzen ergibt \(2\ln3-2\ln1=2\ln3\).

\(2\ln3\)

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Achte auf das Vorzeichen in der Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). - Setze anschließend die beiden trigonometrisch einfachen Grenzen ein.

1. Für \(g(x)=\cos x\) gilt \(g'(x)=-\sin x\). Der Integrand ist daher \(-g'(x)e^{g(x)}\). 2. Eine Stammfunktion ist \(-e^{\cos x}\). 3. Damit ergibt sich \([-e^{\cos x}]_0^{\pi}=-e^{-1}+e=e-\frac1e\).

\(e-\frac{1}{e}\)

- Prüfe jeden Vorschlag durch einmaliges Ableiten. - Achte bei linearen inneren Funktionen auf den konstanten inneren Ableitungsfaktor. - Beim Logarithmus muss der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion berücksichtigt werden.

1. A ist falsch: Bei der Regel für lineare innere Funktionen muss durch den inneren Ableitungsfaktor \(3\) geteilt werden. Korrekt ist \(-\frac13\cos(3x)+C\). 2. B ist korrekt, denn beim Ableiten von \(0{,}5e^{2x-4}\) entsteht der Faktor \(2\). 3. C ist falsch. Korrekt ist \(\frac1{16}(4x+2)^4+C\). 4. D ist auf \(x>-2\) korrekt. Auf beiden Teilintervallen des Definitionsbereichs kann \(2\ln|0{,}5x+1|+C\) verwendet werden.

A) falsch; \(-\frac13\cos(3x)+C\) B) korrekt C) falsch; \(\frac1{16}(4x+2)^4+C\) D) auf \(x>-2\) korrekt; auf beiden Definitionsintervallen: \(2\ln|0{,}5x+1|+C\)

- Welche der speziellen Integrationsstrukturen passt zu einer Exponentialfunktion mit zusammengesetztem Exponenten? - Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung des Exponenten. - Achte dabei auch auf das Vorzeichen.

1. Setze für die Strukturerkennung \(g(x)=\frac{1}{x}\). Dann ist \(g'(x)=-\frac{1}{x^2}\). 2. Der Integrand ist \(-g'(x)e^{g(x)}\). Daher ist \(-e^{1/x}\) eine Stammfunktion. 3. Es folgt \([-e^{1/x}]_1^2=-e^{1/2}+e=e-\sqrt{e}\).

\(e-\sqrt{e}\)

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Nutze die Struktur \(g'/g\) und beachte den konstanten Vorfaktor. - Fasse die Differenz der Logarithmen am Ende zusammen.

1. Für \(g(x)=x^3-x+5\) gilt \(g'(x)=3x^2-1\). Der Zähler ist \(2g'(x)\). 2. Daher ist \(2\ln|x^3-x+5|\) eine Stammfunktion. 3. Auswerten liefert \(2\ln11-2\ln5=2\ln\!\left(\frac{11}{5}\right)\).

\(2\ln\!\left(\frac{11}{5}\right)\)

- Der Exponent ist eine lineare Funktion. - Welche Stammfunktion gehört nach der Regel für \(e^{ax+b}\) dazu? - Setze anschließend die beiden Grenzen in der richtigen Reihenfolge ein.

1. Für die lineare innere Funktion \(1-0{,}5x\) gilt die Integrationsregel \(\int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C\). Daher ist \(F(x)=-2e^{1-0{,}5x}\) eine Stammfunktion. 2. Mit dem Hauptsatz folgt \(\int_0^2e^{1-0{,}5x}\,dx=F(2)-F(0)=-2-(-2e)=2e-2\).

\(2e - 2\) (ca. \(3{,}437\))

- Welche Symmetrie hat der Integrand in a)? - Welche Korrektur ist bei \(e^{3x}\) wegen der linearen inneren Funktion nötig? - Welche Stammfunktionen gehören zu \(\sin(x)\) und \(\cos(2x)\)? - Welche Logarithmus- und Potenzregeln vereinfachen den oberen Stammfunktionswert in b)?

1. Zu a) ist \(F(x)=\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^2\) eine Stammfunktion. Da \(F(2)=F(-2)=-1\), ist das Integral \(0\). 2. Zu b) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{3}e^{3x}\). Damit ist der Integralwert \(\frac{1}{3}e^{3\ln2}-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\). 3. Zu c) ist \(F(x)=-2\cos(x)-\frac{1}{2}\sin(2x)\) eine Stammfunktion. Es gilt \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) und \(F(0)=-2\), also beträgt das Integral \(2\).

a) \(0\) b) \(\frac{7}{3}\) c) \(2\)

- Wie kannst du die Wurzel als Potenz schreiben? - Welche Regel gilt beim Integrieren einer Potenz mit linearer innerer Funktion? - Wie werden die Stammfunktionswerte an den beiden Grenzen miteinander verknüpft?

1. Für \((2x+4)^{\frac{1}{2}}\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac{1}{3}(2x+4)^{\frac{3}{2}}\). Daher ist \(F(x)=4x-\frac{1}{3}(2x+4)^{\frac{3}{2}}\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Es gilt \(F(0)=-\frac{8}{3}\) und \(F(-2)=-8\). 3. Nach dem Hauptsatz ist \(\int_{-2}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x=F(0)-F(-2)=\frac{16}{3}\).

\(\frac{16}{3}\)

- Wie lässt sich die Wurzel als Potenz schreiben? - Welche Korrektur ist beim Integrieren wegen des Faktors \(-\frac{1}{2}\) in der linearen inneren Funktion nötig? - Wie verwendest du anschließend die beiden Integrationsgrenzen?

1. Es gilt \(g(x)=\left(4-\frac{1}{2}x\right)^{\frac{1}{2}}\). 2. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(G(x)=-\frac{4}{3}\left(4-\frac{1}{2}x\right)^{\frac{3}{2}}\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Es gilt \(G(8)=0\) und \(G(0)=-\frac{32}{3}\). 4. Daher ist \(\int_{0}^{8}g(x)\,\mathrm{d}x=G(8)-G(0)=\frac{32}{3}\).

\(\frac{32}{3}\)

- Welche Grundstammfunktionen kennst du für trigonometrische Funktionen, Potenzen und Exponentialfunktionen? - Wie kannst du den Bruch in b) als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Korrektur ist in c) wegen der linearen inneren Funktion im Exponenten nötig? - Wie wertest du eine Stammfunktion an oberer und unterer Grenze aus?

1. Zu a) ist \(F(x)=2\sin(x)+\cos(x)\) eine Stammfunktion. Daraus folgt der Integralwert \(1\). 2. Zu b) ist \(F(x)=-\frac{2}{x^2}+2x\) eine Stammfunktion. Damit ergibt sich \(3{,}5\). 3. Zu c) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}x^2\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\frac{1}{2}e^2\).

a) \(1\) b) \(3{,}5\) c) \(\frac{1}{2}e^2\)

- Wende die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus rückwärts an. - Berücksichtige bei beiden Termen den konstanten Ableitungsfaktor der linearen inneren Funktion. - Kontrolliere dein Ergebnis durch Ableiten.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist eine Stammfunktion von \(6\cos(3x-1)\) gleich \(2\sin(3x-1)\). 2. Eine Stammfunktion von \(2\sin(\frac12x)\) ist \(-4\cos(\frac12x)\). 3. Damit ist zum Beispiel \(F(x)=2\sin(3x-1)-4\cos(\frac12x)\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=2\sin(3x-1)-4\cos\!\left(\frac12x\right)\)

- Trenne den linearen Klammerterm von der äußeren Potenz. - Integriere zunächst die äußere Potenz gedanklich. - Berücksichtige anschließend den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. Die innere Funktion ist \(u(x)=0{,}5x+2\), die äußere Funktion ist \(v(u)=u^6\). 2. Eine Stammfunktion der äußeren Funktion ist \(V(u)=\frac17u^7\). 3. Nach der Regel für lineare innere Funktionen muss durch den inneren Ableitungsfaktor \(0{,}5\) geteilt werden. Daher ist \(F(x)=\frac27(0{,}5x+2)^7\) eine Stammfunktion.

Innere Funktion: \(u(x)=0{,}5x+2\) Äußere Funktion: \(v(u)=u^6\) Stammfunktion: \(F(x)=\frac27(0{,}5x+2)^7\)

- Der Exponent ist eine lineare innere Funktion. - Berücksichtige ihren konstanten Ableitungsfaktor beim Bilden der Stammfunktion. - Werte die Stammfunktion anschließend an beiden Grenzen aus.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(F(x)=2e^{2x-1}\) eine Stammfunktion. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{0{,}5}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=[2e^{2x-1}]_{0{,}5}^{1}=2e-2\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x-1}\). Der Integralwert ist \(2e-2\).

- Bearbeite Summanden getrennt. - Bei jedem Exponentialterm ist der Exponent linear. - Berücksichtige den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist zu a) \(F(x)=2e^{2x}\) möglich. 2. In b) werden die Summanden einzeln integriert: \(-e^{5-x}\) und \(\frac13x^3\). Somit ist \(F(x)=-e^{5-x}+\frac13x^3\). 3. In c) ergibt der Exponentialterm \(\frac18e^{4x-2}\), der konstante Summand \(-3x\). Daher ist \(F(x)=\frac18e^{4x-2}-3x\).

a) \(F(x)=2e^{2x}\) b) \(F(x)=-e^{5-x}+\frac13x^3\) c) \(F(x)=\frac18e^{4x-2}-3x\)

- Welche lineare innere Funktion steht im Nenner? - Welchen konstanten Ableitungsfaktor dieser inneren Funktion musst du berücksichtigen? - Wie kannst du die Differenz der Logarithmen am Ende zusammenfassen?

1. Eine Stammfunktion von \(\frac{4}{2x+2}\) ist \(2\ln(2x+2)\), weil die innere Funktion \(2x+2\) die konstante Ableitung \(2\) besitzt. 2. Damit ist \(\int_0^3\frac{4}{2x+2}\,\mathrm{d}x=[2\ln(2x+2)]_0^3=2\ln8-2\ln2\). 3. Mit den Logarithmengesetzen ergibt sich \(2\ln4=4\ln2\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln(2x+2)\). Damit gilt \(\int_0^3\frac{4}{2x+2}\,\mathrm{d}x=[2\ln(2x+2)]_0^3=4\ln(2)\approx2{,}773\).

- Welche lineare innere Funktion steht im Nenner? - Welches Vorzeichen hat ihre Ableitung? - Wie kannst du die Differenz der Logarithmen am Ende zusammenfassen?

1. Die innere Funktion \(12-3x\) ist linear und hat die Ableitung \(-3\). Daher ist \(-2\ln(12-3x)\) auf dem betrachteten Intervall eine Stammfunktion. 2. Es folgt \(\int_{-1}^{2}\frac{6}{12-3x}\,\mathrm{d}x=[-2\ln(12-3x)]_{-1}^{2}\). 3. Einsetzen ergibt \(-2\ln6+2\ln15=2\ln\!\left(\frac{15}{6}\right)=2\ln(2{,}5)\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-2\ln(12-3x)\). Damit gilt \(\int_{-1}^{2}\frac{6}{12-3x}\,\mathrm{d}x=[-2\ln(12-3x)]_{-1}^{2}=2\ln(2{,}5)\approx1{,}833\).

- Zerlege den Integranden in seine beiden Summanden. - Welche Regel gilt für Exponentialfunktionen mit einer linearen inneren Funktion? - Setze anschließend beide Grenzen in dieselbe Stammfunktion ein.

1. Für den Exponentialterm liegt eine lineare innere Funktion vor. Eine Stammfunktion ist daher \(F(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0{,}25}e^{0{,}25x}+2x=2e^{0{,}25x}+2x\). 2. Es ist \(F(4)=2e+8\) und \(F(0)=2\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_0^4 \left(\frac12e^{0{,}25x}+2\right)\,dx=F(4)-F(0)=2e+6\).

\(2e+6\)

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zu einem Quotienten der Form \(\frac{g'}{g}\)? - Werte die gefundene Stammfunktion an beiden Grenzen aus.

1. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\). Damit ist \(3x=\frac32g'(x)\), also liegt die Struktur \(\frac{g'}{g}\) vor. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac32\ln(x^2+1)\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_0^2 \frac{3x}{x^2+1}\,dx=F(2)-F(0)=\frac32\ln5\).

\(\frac{3}{2}\ln 5\)

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zu einem Quotienten der Form \(\frac{g'}{g}\)? - Werte die gefundene Stammfunktion anschließend an beiden Grenzen aus.

1. Für \(g(x)=2x^2+1\) gilt \(g'(x)=4x\). Der Integrand hat damit die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(2x^2+1)\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_0^1\frac{4x}{2x^2+1}\,dx=F(1)-F(0)=\ln3\).

Stammfunktion: \(F(x)=\ln(2x^2+1)\) Integralwert: \(\ln3\)

- Wie zerfällt das Integral nach der angegebenen Umformung in zwei einfachere Integrale? - Beim Integrieren von \(\cos(2x)\) musst du den inneren Faktor \(2\) berücksichtigen. - Setze die Grenzen erst in die vollständige Stammfunktion ein.

1. Mit der Identität \(\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\) wird das Integral zu \(\frac{1}{2}\int_0^\pi 1\,\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int_0^\pi\cos(2x)\,\mathrm{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin(2x)\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \(F(\pi)-F(0)=\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\pi)-\frac{1}{4}\sin(0)=\frac{\pi}{2}\).

Mit \(\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\) gilt \(\int_0^\pi\cos^2(x)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x}{2}+\frac14\sin(2x)\right]_0^\pi=\frac{\pi}{2}\).

- Betrachte den Nenner des Bruchs und leite ihn im Kopf ab. Fällt dir eine Ähnlichkeit zum Zähler auf? - Welche bekannte Integrationsregel hilft dir bei Brüchen, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere an den Wert von \(\ln(e)\) und \(\ln(1)\). - Wie vereinfacht sich der Ausdruck unter dem Logarithmus, wenn du die obere Grenze einsetzt?

1. Identifikation der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^2 + 1\) ist \(g'(x) = 2x\). 2. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\), sodass das Integral die Form \(\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx\) annimmt. 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\). 4. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(\sqrt{e-1}) = \frac{1}{2} \ln((\sqrt{e-1})^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(e-1+1) = \frac{1}{2} \ln(e) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\). 5. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(0) = \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(1) = 0\). 6. Berechnung der Differenz: \(0{,}5 - 0 = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung ihres Exponenten. - Welche der bekannten Integrationsstrukturen passt, wenn die Ableitung des Exponenten als Faktor vorkommt? - Überprüfe eine vermutete Stammfunktion durch Ableiten.

1. Setze gedanklich \(g(x)=x^2-1\). Dann ist \(g'(x)=2x\). 2. Der Integrand besitzt damit die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist deshalb \(G(x)=e^{x^2-1}\). 3. Nach dem Hauptsatz ergibt sich \([e^{x^2-1}]_1^2=e^3-e^0=e^3-1\).

Da \((x^2-1)'=2x\), hat der Integrand die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). Daher ist \(e^{x^2-1}\) eine Stammfunktion und das Integral hat den Wert \(e^3-1\).

- Erinnere dich an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus in Verbindung mit der Kettenregel. - Vergleiche den Funktionsterm aus b) genau mit deinem Ergebnis aus a). Welcher Faktor unterscheidet die beiden Ausdrücke? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor beim Integrieren aus?

1. Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 5\). Es gilt \(h'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\). 2. Vergleich von \(h'(x)\) mit \(k(x)\): Es fällt auf, dass \(k(x) = \frac{1}{2} \cdot h'(x)\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Integration linear ist, folgt \(K(x) = \frac{1}{2} \cdot h(x) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist somit \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\).

a) \(h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\) b) \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\) (oder jede Funktion der Form \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\))

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte beim Einsetzen der Integrationsgrenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß. - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen zusammenfassen?

1. Untersuchung der Termstruktur: Der Zähler \(\cos(x)\) ist genau die Ableitung des Nenners \(u(x) = \sin(x) + 2\). Es liegt die Form \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) vor. 2. Anwendung der Integrationsregel: Das unbestimmte Integral von \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) ist \(\ln|u(x)| + C\). Da \(\sin(x) + 2 > 0\) für alle \(x\) ist, können die Betragsstriche entfallen. Eine Stammfunktion ist \(G(x) = \ln(\sin(x) + 2)\). 3. Einsetzen der Grenzen: \([ \ln(\sin(x) + 2) ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(\sin(\frac{\pi}{2}) + 2) - \ln(\sin(0) + 2)\). 4. Auswerten der Sinuswerte: Da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\sin(0) = 0\), ergibt sich \(\ln(1 + 2) - \ln(0 + 2) = \ln(3) - \ln(2)\). 5. Vereinfachung: Nach den Logarithmengesetzen ist dies \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\) bzw. \(\ln(1{,}5)\).

\(\ln(3) - \ln(2) = \ln(1{,}5)\)

- Vergleiche den Faktor \(x\) mit der Ableitung des Exponenten. - Kannst du einen konstanten Faktor so herausziehen, dass die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) sichtbar wird? - Überprüfe deine Stammfunktion durch Ableiten.

1. Für die innere Funktion \(g(x)=2x^2-5\) gilt \(g'(x)=4x\). 2. Schreibe \(f(x)=\frac14\,g'(x)e^{g(x)}\). 3. Mit der Integrationsregel für \(g'(x)e^{g(x)}\) ist daher \(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}\) (oder \(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\))

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was ist die Ableitung des Nenners? - Gibt es eine spezielle Integrationsregel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte auf den Definitionsbereich, um zu entscheiden, ob Betragsstriche beim Logarithmus notwendig sind.

1. Analyse der Struktur des Bruchs: Der Zähler \(x^2\) ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^3 + 8\), da \(g'(x) = 3x^2\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C\). 3. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{3}\): \(f(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^2}{x^3 + 8}\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 8|\). 5. Berücksichtigung des Definitionsbereichs (\(x > -2 \Rightarrow x^3 + 8 > 0\)), wodurch die Betragsstriche entfallen können: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\).

\(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8) + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zur Struktur \(\frac{g'}{g}\)? - Vereinfache beim Einsetzen der oberen Grenze zuerst \(e^{\ln 2}\).

1. Für \(g(x)=e^x+3\) gilt \(g'(x)=e^x\). Damit hat der Integrand die Struktur \(\frac{g'}{g}\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(e^x+3)\), da \(e^x+3>0\) gilt. 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist \(\int_0^{\ln 2}f(x)\,dx=F(\ln2)-F(0)=\ln5-\ln4=\ln\left(\frac54\right)\).

Stammfunktion: \(F(x)=\ln(e^x+3)\) Integralwert: \(\ln\left(\frac54\right)\)

- Vergleiche den Faktor \(x^2\) mit der Ableitung des Exponenten. - Kannst du einen konstanten Faktor ergänzen und wieder ausgleichen, sodass die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) entsteht? - Überprüfe eine gefundene Stammfunktion durch Ableiten.

1. Für die innere Funktion \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). 2. Damit lässt sich \(f(x)=\frac13g'(x)e^{g(x)}\) schreiben. 3. Mit der Integrationsregel für \(g'(x)e^{g(x)}\) ist \(F(x)=\frac13e^{x^3+1}\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=\frac13e^{x^3+1}\) (oder \(F(x)=\frac13e^{x^3+1}+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\))

- Vergleiche den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zu einem Bruch der Form \(g'(x):g(x)\)? - Prüfe vor dem Weglassen von Betragsstrichen das Vorzeichen des Nenners auf dem Integrationsintervall.

1. Für \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). 2. Der Integrand besitzt damit die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(x^3+1)\), da \(x^3+1>0\) auf \([0,1]\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \([\ln(x^3+1)]_0^1=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)\).

Stammfunktion: \(F(x)=\ln(x^3+1)\) Integralwert: \(\ln(2)\)

- Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit rationalem Exponenten. - Welche Regel gilt, wenn die innere Funktion linear ist? - Überprüfe den notwendigen Vorfaktor, indem du deine Stammfunktion ableitest.

1. Schreibe den Integranden als \((2x+9)^{-\frac12}\). 2. Mit der Integrationsregel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}\) eine Stammfunktion. 3. Nach dem Hauptsatz ergibt sich \(F(8)-F(0)=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\).

Stammfunktion: \(F(x)=\sqrt{2x+9}\) Integralwert: \(2\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Nenner und dem Zähler des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? Wie unterscheidet sich dieses Ergebnis vom Zähler? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen der Form \( \frac{f'(x)}{f(x)} \). - Nutze am Ende Logarithmengesetze, um das Ergebnis so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Identifikation der Struktur: Der Nenner ist \( g(x) = x^2 + 2 \) mit der Ableitung \( g'(x) = 2x \). Der Zähler \( x \) lässt sich als \( \frac{1}{2} \cdot g'(x) \) schreiben. 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion ist \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| \). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \( F(2) - F(0) = \frac{1}{2} \ln(2^2 + 2) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 2) \). 4. Berechnung der Werte: \( \frac{1}{2} \ln(6) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} (\ln(6) - \ln(2)) \). 5. Vereinfachung mit Logarithmengesetzen: \( \frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln(3) \).

\( \frac{1}{2} \ln(3) \)

- Vergleiche bei Bruch und Exponentialterm jeweils äußeren Ausdruck und mögliche innere Funktion. - Prüfe bei der trigonometrischen Funktion, ob das Argument linear in \(x\) ist. - Eine Kategorie darf auch bedeuten, dass die im Thema behandelten Regeln nicht ausreichen.

1. In a) ist der Zähler \(6x\) die Ableitung des Nenners \(3x^2+2\). Daher liegt die Struktur \(g'/g\) vor. 2. In b) ist \(4x\) die Ableitung des Exponenten \(2x^2-1\). Daher liegt die Struktur \(g'e^g\) vor. 3. In c) besitzt der Kosinus die lineare innere Funktion \(3x+1\). Daher gehört das Integral zur Regel für lineare innere Funktionen. 4. In d) passt der Faktor \(x\) weder als Ableitung eines Nenners noch als Ableitung eines Exponenten; außerdem ist \(x\) nicht nur eine konstante lineare innere Ableitung. Das Integral gehört zu keiner der drei hier behandelten Strukturen.

a) \(g'/g\) b) \(g'e^g\) c) lineare innere Funktion d) keine dieser drei Strukturen

- Welche Beziehung besteht zwischen Zähler und Nenner? - Welche Integrationsregel passt zu dieser Beziehung? - Wie erhältst du aus einer Stammfunktion den Wert des bestimmten Integrals?

1. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\). Daher liegt \(g'/g\) vor. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(x^2+1)\). Auf \([0;1]\) ist der Logarithmus ohne Betragszeichen möglich, weil \(x^2+1>0\). 3. Damit ist der Integralwert \(\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)\).

\(\ln(2)\)

- Welche innere Funktion steht im Exponenten? - Ist ihre Ableitung als Faktor vor der Exponentialfunktion vorhanden?

1. Setze \(g(x)=3x^2-2\). Dann ist \(g'(x)=6x\). 2. Der Integrand hat die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). 3. Daher ist \(F(x)=e^{3x^2-2}\) eine Stammfunktion.

Zum Beispiel \(F(x)=e^{3x^2-2}\).

- Welche Stelle macht den Nenner null? - Welche Integrationsregel passt zu diesem Bruch? - Welche Rolle spielen beim Logarithmus der Definitionsbereich und die Betragsstriche?

1. Für \(g(x)=x-2\) ist \(g'(x)=1\). Daher liegt die Struktur \(g'/g\) vor. 2. Die Stammfunktionsfamilie lautet \(F(x)=\ln|x-2|+C\). 3. Bei \(x=2\) wird der Nenner null; dort ist \(f\) nicht definiert. Eine Stammfunktion wird daher jeweils auf einem Intervall links oder rechts von \(2\) betrachtet.

\(F(x)=\ln|x-2|+C\) auf jedem Intervall mit \(x<2\) oder mit \(x>2\). Bei \(x=2\) wird der Nenner null; dort ist \(f\) nicht definiert.

- Prüfe bei linearen inneren Funktionen, welcher Faktor beim Ableiten der inneren Funktion entsteht. - Suche beim Quotienten nach der Struktur \(g'(x)/g(x)\). - Du kannst jede vorgeschlagene Stammfunktion durch einmaliges Ableiten überprüfen.

1. \(F_C'(x)=4\cos(4x-2)=f_1(x)\), also gehört \(1\) zu C. 2. Für \(g(x)=x^2+x\) gilt \(g'(x)=2x+1\). Daher hat \(f_2\) die Form \(g'/g\), und A passt. 3. Für \((2x-3)^4\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac{1}{10}(2x-3)^5+C\); daher passt D. 4. Zu \(e^{0{,}5x}\) gehört \(2e^{0{,}5x}+C\); daher passt B.

1 – C, 2 – A, 3 – D, 4 – B

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung ihres Exponenten. - Erkennst du die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\)? - Bestimme die Integrationskonstante erst mithilfe der Punktbedingung.

1. Für \(g(x)=x^2\) gilt \(g'(x)=2x\). Der Integrand hat daher die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=e^{x^2}+C\). 3. Aus \(F(0)=20\) folgt \(1+C=20\), also \(C=19\). 4. Damit ist \(F(x)=e^{x^2}+19\).

\(F(x)=e^{x^2}+19\)

- Wie kannst du den Bruch auf die beiden Summanden im Zähler verteilen? - Welches Potenzgesetz gilt beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis? - Welche Korrektur ist beim Integrieren von \(e^{-x}\) wegen der linearen inneren Funktion nötig?

1. Mit den Potenzgesetzen vereinfacht sich der Integrand zu \(e^x+e^{-x}\). 2. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist eine Stammfunktion \(F(x)=e^x-e^{-x}\). 3. Damit gilt \(F(1)-F(0)=e-e^{-1}=e-\frac{1}{e}\).

\(e-\frac{1}{e}\)

- Entscheide zuerst, ob eine Struktur \(g'/g\), \(g'e^g\) oder eine lineare innere Funktion vorliegt. - Prüfe die vorgeschlagenen Terme durch Ableiten. - Achte auf konstante Faktoren, die beim Ableiten entstehen.

1. A ist falsch. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\); daher ist \(f(x)=\frac12\frac{g'(x)}{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(\frac12\ln(x^2+1)\). 2. B ist korrekt: Für \(g(x)=x^3\) gilt \(g'(x)=3x^2\), also liegt die Struktur \(g'e^g\) vor. 3. C ist falsch. Mit \(g(x)=e^x+2\) gilt \(g'(x)=e^x\), daher ist \(\ln(e^x+2)\) eine Stammfunktion. 4. D ist falsch. Eine Stammfunktion ist \(\frac14(2x+1)^4\).

A) falsch; \(\frac12\ln(x^2+1)\) B) korrekt C) falsch; \(\ln(e^x+2)\) D) falsch; \(\frac14(2x+1)^4\)

- Zerlege den Integranden in zwei Summanden. - Vergleiche beim Bruch den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Beim Potenzterm ist die innere Funktion linear.

1. Zerlege das Integral in die beiden Summanden. 2. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\). Daher ist der erste Integralwert \([\ln(x^2+1)]_0^2=\ln5\). 3. Eine Stammfunktion von \((3x-1)^2\) ist \(\frac19(3x-1)^3\). Der zweite Integralwert ist \(\frac19(125-(-1))=14\). 4. Insgesamt ergibt sich \(14+\ln5\).

\(14+\ln5\)

- Welche Beziehung zwischen Zähler und Nenner fällt dir in a) auf? - Welche bekannte Stammfunktionsregel passt in b) zur gegebenen Funktionsform? - Prüfe am Ende durch Ableiten, ob deine Stammfunktionen passen.

1. Für a) setze \(g(x)=x^2+x\). Wegen \(g'(x)=2x+1\) ist \(\ln|x^2+x|\) eine Stammfunktion. Der Wert ist \(\ln20-\ln2=\ln10\). 2. Für b) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac13(2x+1)^{3/2}\). Damit ergibt sich \(\frac13(27-1)=\frac{26}{3}\).

a) \(\ln10\) b) \(\frac{26}{3}\)

- Vergleiche in a) den Faktor \(x\) mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Achte dabei auf das Vorzeichen in der Struktur \(g'e^g\). - In b) kannst du gliedweise integrieren; beim Kosinusterm ist die innere Funktion linear.

1. Für a) setze zur Strukturerkennung \(g(x)=-\frac12x^2\). Dann gilt \(g'(x)=-x\), also ist der Integrand \(-g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(-e^{-x^2/2}\). 2. Damit ergibt sich \([-e^{-x^2/2}]_0^2=1-e^{-2}\). 3. Für b) wird gliedweise integriert. Eine Stammfunktion ist \(-\frac12\cos x+2\sin\!\left(\frac12x\right)\). 4. Einsetzen von \(0\) und \(\pi\) ergibt \(3\).

a) \(1-e^{-2}\) b) \(3\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du die linearen inneren Funktionen beachtest? - Wie kannst du die erhaltene allgemeine Stammfunktion durch Ableiten kontrollieren? - Wie nutzt du den Punkt \(P(0\mid1{,}5)\), um die additive Konstante festzulegen? - Welche Bedeutung hat die Bedingung \(x>-2\) für den Logarithmusterm?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+C\). 2. Aus \(F(0)=1{,}5\) folgt \(\frac{1}{2}+\ln(2)+C=1{,}5\). 3. Damit ist \(C=1-\ln(2)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\).

\(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\)

- Vereinfache Integral 1 zunächst algebraisch. - Prüfe bei Integral 2, ob der Zähler die erste Ableitung des Nenners ist. - Bei Integral 3 ist der Exponent linear. - Beurteile 4 und 5 ausschließlich mit den ausdrücklich zugelassenen Regeln.

1. \(\frac{x^2+1}{x^2}=1+x^{-2}\). Daher ergibt sich \([x-1/x]_1^2=\frac32\). 2. Für \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). Daher ist der Wert \([\ln(x^3+1)]_0^1=\ln2\). 3. Eine Stammfunktion von \(e^{0{,}5x}\) ist \(2e^{0{,}5x}\). Daher ergibt sich \([2e^{0{,}5x}]_0^2=2e-2\). 4. \(\int_1^2\ln x\,\mathrm{d}x\) lässt sich mit den genannten Regeln nicht bestimmen. 5. \(\int_0^1\frac1{x^2+1}\,\mathrm{d}x\) lässt sich mit den genannten Regeln nicht bestimmen.

1. \(\frac32\) 2. \(\ln2\) 3. \(2e-2\) 4. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Löse das Produkt in 1 zuerst auf. - In 2 steht eine lineare Funktion im Nenner. - Vergleiche in 4 den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Beurteile 3 und 5 nur mit Blick auf die ausdrücklich zugelassenen Regeln.

1. Nach Ausmultiplizieren gilt \(\int_0^2(x^2-1)\,dx=\left[\frac13x^3-x\right]_0^2=\frac23\). 2. Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist \(\frac12\ln|2x-3|\) eine Stammfunktion. Der Wert ist \(\frac12\ln(7)\). 3. Dieses Integral lässt sich mit den genannten Regeln nicht berechnen. 4. Der Zähler ist die Ableitung des Nenners. Daher ist der Wert \([\ln(x^2+3x)]_1^2=\ln(10)-\ln(4)=\ln(2{,}5)\). 5. Dieses Integral lässt sich mit den genannten Regeln nicht berechnen.

1. \(\frac{2}{3}\) 2. \(0{,}5 \ln(7)\) 3. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 4. \(\ln(2{,}5)\) 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Nutze für \(\cos(kx)\) die Regel für lineare innere Funktionen. - Welchen Wertebereich besitzt \(\frac1k\sin(kx)\)? - Die Integrationskonstante verschiebt diesen Wertebereich vertikal.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(F_k(x)=\frac1k\sin(kx)+C\). 2. Der Term \(\frac1k\sin(kx)\) hat den Wertebereich \([-1/|k|;1/|k|]\). 3. Das Minimum von \(F_k\) ist daher \(C-\frac1{|k|}\). 4. Aus der Bedingung \(C-\frac1{|k|}=0\) folgt \(C=\frac1{|k|}\). 5. Damit ist \(F_k(x)=\frac1k\sin(kx)+\frac1{|k|}\).

\(F_k(x)=\frac1k\sin(kx)+\frac1{|k|}\)

- Bestimme zuerst mit der Regel für lineare innere Funktionen die allgemeine Stammfunktion. - Welchen Wertebereich besitzt der Kosinusterm? - Wann enthält ein verschobenes Intervall sowohl negative als auch positive Werte?

1. Mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(G(x)=-2\cos(3x+2)+C\). 2. Da \(\cos(3x+2)\in[-1;1]\), hat der Term \(-2\cos(3x+2)\) den Wertebereich \([-2;2]\). Somit hat \(G\) den Wertebereich \([C-2;C+2]\). 3. Positive und negative Funktionswerte treten genau dann auf, wenn \(C-2<0\) und \(C+2>0\). 4. Daher gilt \(-2<C<2\).

\(G(x) = -2 \cos(3x + 2) + C\) mit \(C \in (-2; 2)\)

- Vergleiche in a) den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche logarithmische Stammfunktion passt zu einem Vielfachen von \(u'/u\)? - In b) ist das Argument des Sinus linear.

1. Für \(u(x)=x^2-3x+10\) gilt \(u'(x)=2x-3\). Der Zähler ist \(3u'(x)\). Daher ist \(F(x)=3\ln|x^2-3x+10|\) eine Stammfunktion. 2. In b) ist die innere Funktion linear. Eine Stammfunktion ist \(G(t)=-16\cos\!\left(\frac12t+\pi\right)\).

a) \(F(x)=3\ln|x^2-3x+10|\) b) \(G(t)=-16\cos\!\left(\frac12t+\pi\right)\)

- Vergleiche in a) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Achte auf den konstanten Faktor in der Struktur \(g'e^g\). - Prüfe in b), ob der Zähler die erste Ableitung des Nenners ist.

1. Für \(g(x)=1-x^2\) gilt \(g'(x)=-2x\). Damit ist \(f(x)=-\frac12g'(x)e^{g(x)}\), also \(F(x)=-\frac12e^{1-x^2}\) eine Stammfunktion. 2. In b) ist der Zähler die erste Ableitung des Nenners. Daher ist \(H(x)=\ln(x^2+x+4)\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=-\frac12e^{1-x^2}\) b) \(H(x)=\ln(x^2+x+4)\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du beim Exponentialterm die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du insbesondere das Vorzeichen des Exponentialterms durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(2)=10\) anschließend die additive Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+C\). 2. Aus \(F(2)=10\) folgt \(0{,}125\cdot2^4+e^0+C=10\). 3. Damit ist \(2+1+C=10\) und somit \(C=7\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\).

\(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\)

- Welche Stammfunktion passt zum Bruchterm auf dem angegebenen Definitionsbereich? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion im Kosinusterm auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du die gefundenen Terme durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert die Bedingung \(F(0)=0\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)+C\). 2. Mit \(F(0)=0\) folgt \(2\ln(3)+C=0\). 3. Damit ist \(C=-2\ln(3)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\).

\(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\)

- Welche Stammfunktion besitzt der Exponentialterm, wenn du die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du den Faktor vor dem Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Gleichung entsteht aus der Bedingung \(F(-1)=5\)?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+C\). 2. Mit \(F(-1)=5\) folgt \(\frac{2}{3}e^0-2+C=5\). 3. Daher gilt \(-\frac{4}{3}+C=5\) und damit \(C=\frac{19}{3}\). 4. Somit ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\).

\(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\)

- Welche Potenzschreibweise passt zum Wurzelausdruck im Nenner? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion auf die Stammfunktion dieser Potenz aus? - Wie kannst du den erhaltenen Wurzelterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Information liefert der Punkt \(P(0\mid10)\) für die Konstante?

1. Schreibe \(f(x)=6(2x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Unter Berücksichtigung der linearen inneren Funktion ist eine allgemeine Stammfunktion \(F(x)=6\sqrt{2x+9}+C\). 3. Aus \(F(0)=10\) folgt \(6\sqrt{9}+C=10\), also \(18+C=10\). 4. Damit ist \(C=-8\). 5. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\).

\(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\)

- Vergleiche in a) den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Vergleiche in b) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Welche Stammfunktion gehört zur Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\)?

1. Für a) gilt mit \(g(x)=x^3+1\): \(g'(x)=3x^2\). Daher ist \(\ln(x^3+1)\) eine Stammfunktion und der Wert ist \(\ln9-\ln2=\ln(4{,}5)\). 2. Für b) gilt mit \(h(x)=x^2-x\): \(h'(x)=2x-1\). Der Integrand hat die Form \(h'(x)e^{h(x)}\). Daher ist \(e^{x^2-x}\) eine Stammfunktion. 3. Auswerten an den Grenzen ergibt \([e^{x^2-x}]_0^2=e^2-1\).

a) \(\ln(4{,}5)\) b) \(e^2-1\)

- Welche Exponenten besitzen eine erste Ableitung, die ein konstantes Vielfaches von \(x\) ist? - Prüfe für jede Ergänzung die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). - Für die Berechnung genügt eine deiner beiden Ergänzungen.

1. Eine mögliche Ergänzung ist \(x^2\). Für \(g(x)=x^2\) gilt \(g'(x)=2x\), also ist \(xe^{x^2}=\frac12g'(x)e^{g(x)}\). 2. Eine zweite mögliche Ergänzung ist \(2x^2-1\). Für \(h(x)=2x^2-1\) gilt \(h'(x)=4x\), also ist \(xe^{2x^2-1}=\frac14h'(x)e^{h(x)}\). 3. Für die erste Ergänzung ist \(\frac12e^{x^2}\) eine Stammfunktion. Damit ergibt sich \(\int_0^1xe^{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{e-1}{2}\).

Zum Beispiel \(x^2\) und \(2x^2-1\). Für \(x^2\) ist der Integralwert \(\frac{e-1}{2}\).

- Für a) genügt eine Ergänzung, bei der sich Zähler und Nenner vereinfachen. - Für b) muss der Zähler die erste Ableitung des gewählten Nenners sein. - Es gibt jeweils mehrere mögliche Ergänzungen.

1. Für a) ist etwa der Nenner \(e^x\) möglich. Der Integrand ist dann \(1\), also beträgt der Integralwert \(1\). 2. Für b) kann der Nenner \(e^x+1\) gewählt werden, dessen erste Ableitung \(e^x\) ist. 3. Dann gilt \(\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x=[\ln(e^x+1)]_0^1=\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

a) Zum Beispiel Nenner \(e^x\); Integralwert \(1\). b) Zum Beispiel Nenner \(e^x+1\); Integralwert \(\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

- Vergleiche in a) den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Schreibe in b) den Nenner als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei der linearen inneren Funktion in b) muss der konstante innere Ableitungsfaktor berücksichtigt werden.

1. In a) ist der Zähler die Ableitung des Nenners. Daher liefert die logarithmische Regel die Stammfunktion \(\ln|x^2-5x+10|\). 2. Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln(4)-\ln(6)=\ln\left(\frac23\right)\). 3. In b) schreibe den Integranden als \((2x+2)^{-3}\). Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist \(-\frac{1}{4}(2x+2)^{-2}\) eine Stammfunktion. 4. Damit folgt \(-\frac{1}{64}+\frac{1}{16}=\frac{3}{64}\).

a) \(\ln(\frac{2}{3})\) b) \(\frac{3}{64}\)

- Vergleiche in a) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Prüfe in b), ob der Zähler die erste Ableitung des Nenners ist. - Ordne beide Integrale zuerst einem Strukturmuster zu.

1. Für a) gilt mit \(g(x)=x^2\): \(g'(x)=2x\). Der Integrand hat die Form \(g'e^g\), daher ist \(e^{x^2}\) eine Stammfunktion und der Wert ist \(e-1\). 2. In b) ist der Zähler die erste Ableitung des Nenners \(h(x)=e^x+1\). Daher ist \(\ln(e^x+1)\) eine Stammfunktion. 3. Auswerten ergibt \(\ln(e+1)-\ln2=\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

a) \(e-1\) b) \(\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\)

- Welche Stammfunktionen gehören zu den drei Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten der Exponentialfunktion auf ihre Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert der Punkt \(P(0\mid3)\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+C\). 2. Aus \(F(0)=3\) folgt \(2-1+C=3\). 3. Damit ist \(C=2\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\).

\(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\)

- Bearbeite die beiden Summanden getrennt. - Für die Ableitung des Bruchs benötigst du die Quotientenregel. - Für seine Stammfunktion vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Beim trigonometrischen Summanden ist die innere Funktion linear.

1. Für den ersten Summanden liefert die Quotientenregel \(\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}\), für den zweiten die Kettenregel \(2\cos(2x+1)\). Daher ist \(f'(x)=\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}+2\cos(2x+1)\). 2. Für \(g(x)=2x^2+3\) gilt \(g'(x)=4x\). Der erste Summand von \(f\) hat also die Struktur \(g'/g\), sodass \(\ln(2x^2+3)\) eine Stammfunktion ist. 3. Eine Stammfunktion von \(\sin(2x+1)\) ist nach der Regel für lineare innere Funktionen \(-\frac12\cos(2x+1)\). 4. Damit kann man \(F(x)=\ln(2x^2+3)-\frac12\cos(2x+1)\) wählen.

\(f'(x)=\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}+2\cos(2x+1)\) \(F(x)=\ln(2x^2+3)-\frac12\cos(2x+1)\)

- Für die Ableitung des ersten Summanden brauchst du Produkt- und Kettenregel. - Für dessen Stammfunktion vergleiche den Faktor \(x\) mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Beim Wurzelterm ist die innere Funktion linear.

1. Für \(x>\frac23\) gilt \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(xe^{-x^2})=(1-2x^2)e^{-x^2}\) und \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{3x-2}=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\). 2. Daher ist \(f'(x)=(1-2x^2)e^{-x^2}+\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\). 3. Für \(g(x)=-x^2\) gilt \(g'(x)=-2x\). Daher ist \(-\frac12e^{-x^2}\) eine Stammfunktion des ersten Summanden. 4. Für \(\sqrt{3x-2}\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen \(\frac29(3x-2)^{3/2}\). 5. Somit kann man \(F(x)=-\frac12e^{-x^2}+\frac29(3x-2)^{3/2}\) wählen.

\(f'(x)=(1-2x^2)e^{-x^2}+\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\) für \(x>\frac23\) \(F(x)=-\frac12e^{-x^2}+\frac29(3x-2)^{3/2}\) für \(x\ge\frac23\)

- Bearbeite die beiden Summanden getrennt. - Schreibe den Wurzelterm als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei beiden Summanden ist die innere Funktion linear; berücksichtige jeweils deren konstanten Ableitungsfaktor.

1. Für den ersten Summanden gilt mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen \(\int\frac{10}{2x+7}\,dx=5\ln(2x+7)\). Im gegebenen Definitionsbereich ist \(2x+7>0\). 2. Schreibe den zweiten Summanden als \((4x+9)^{-1/2}\). Mit derselben Regel für die lineare innere Funktion erhält man \(\frac12\sqrt{4x+9}\) als Stammfunktion. 3. Eine Stammfunktion von \(f\) ist daher \(F(x)=5\ln(2x+7)+\frac12\sqrt{4x+9}\).

\(F(x) = 5 \ln(2x + 7) + \frac{1}{2} \sqrt{4x + 9}\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten von \(e^{2x}\) auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(0)=5\) die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+C\). 2. Aus \(F(0)=5\) folgt \(2+C=5\). 3. Damit ist \(C=3\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\).

\(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\)

- Welchen reellen Definitionsbereich hat die Funktion? - Welche äußere Funktionsform und welche lineare innere Funktion erkennst du? - Welche Rolle spielt die Ableitung der inneren Funktion beim Finden einer Stammfunktion? - Kontrolliere dein Ergebnis durch Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(4-3x>0\) gelten, also ist \(D_f=(-\infty;\frac{4}{3})\). 2. Es gilt \(f(x)=(4-3x)^{-\frac{1}{2}}\). Die innere Funktion ist \(u(x)=4-3x\), die äußere \(v(u)=u^{-\frac{1}{2}}\). 3. Eine Stammfunktion der äußeren Funktion ist \(2u^{\frac{1}{2}}\). Wegen \(u'(x)=-3\) ergibt sich \(F(x)=-\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}\). 4. Durch Ableiten erhält man \(F'(x)=\frac{1}{\sqrt{4-3x}}=f(x)\).

Definitionsbereich: \(x<\frac{4}{3}\) Innere Funktion: \(u(x)=4-3x\) Äußere Funktion: \(v(u)=u^{-\frac{1}{2}}\) Stammfunktion: \(F(x)=-\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}\)

- Alle drei Terme enthalten eine lineare innere Funktion der Form \(ax+b\). - Schreibe den Bruch in b) als Potenz mit negativem Exponenten. - Berücksichtige jeweils den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. In a) ist die innere Funktion linear. Mit der entsprechenden Integrationsregel ist \(F(x)=\frac12(0{,}4x-2)^5\) eine Stammfunktion. 2. In b) schreibe \(g(x)=3(1-2x)^{-2}\). Die Regel für lineare innere Funktionen liefert \(G(x)=\frac{3}{2}(1-2x)^{-1}=\frac{3}{2(1-2x)}\). 3. In c) ergibt dieselbe Regel \(H(x)=\frac12\sin\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)\).

a) \(F(x) = 0{,}5(0{,}4x - 2)^5\) b) \(G(x) = \frac{3}{2(1 - 2x)}\) c) \(H(x) = 0{,}5 \sin\left(4x + \frac{\pi}{2}\right)\)

- Bestimme zuerst den reellen Definitionsbereich. - Bilde zunächst die allgemeine Stammfunktion mit \(C\). - Setze anschließend \(x=0\) und nutze \(F(0)=5\). - Überprüfe das Ergebnis durch Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(2x+9>0\) gelten. Daher ist \(D_f=(-\frac92,\infty)\). 2. Es gilt \(f(x)=(2x+9)^{-\frac12}\). Eine allgemeine Stammfunktion auf diesem Intervall ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+C\), denn \(\frac{d}{dx}\sqrt{2x+9}=\frac1{\sqrt{2x+9}}\). 3. Aus \(F(0)=5\) folgt \(3+C=5\), also \(C=2\). 4. Damit ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

\(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

- Für den ersten Weg kannst du den Klammerterm schrittweise ausmultiplizieren. - Beim direkten Weg ist der innere Ableitungsfaktor \(0{,}5\) zu berücksichtigen. - Kontrolliere, ob beide Ergebnisse übereinstimmen.

1. Ausmultipliziert ist \((0{,}5x+1)^3=0{,}125x^3+0{,}75x^2+1{,}5x+1\). Gliedweise Integration auf \([0;2]\) ergibt \(7{,}5\). 2. Direkt liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac12(0{,}5x+1)^4\). Daher ist der Integralwert \(\frac12(2^4-1^4)=7{,}5\). 3. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

\(7{,}5\)

- Nutze für a) die binomische Formel oder das Pascalsche Dreieck. - Beim direkten Weg ist der innere Ableitungsfaktor \(-2\) zu berücksichtigen. - Vergleiche die beiden exakten Ergebnisse.

1. Ausmultipliziert ist \((1-2x)^4=1-8x+24x^2-32x^3+16x^4\). Gliedweise Integration auf \([0;1]\) ergibt \(0{,}2\). 2. Direkt ist \(-\frac1{10}(1-2x)^5\) eine Stammfunktion. Damit ergibt sich \(-\frac1{10}((-1)^5-1^5)=0{,}2\). 3. Beide Wege liefern denselben Integralwert.

\(0{,}2\)

- Kannst du die Summenregel anwenden, um das Integral in zwei Teile zu zerlegen? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion \(ax+b\)? - Wie lautet die Stammfunktion von \(x^n\) für negative Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor dem Term steht.

1. Bestimmung der Stammfunktion für den ersten Summanden \((2x+1)^3\): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt sich \(F_1(x) = \frac{1}{2 \cdot 4}(2x+1)^4 = \frac{1}{8}(2x+1)^4\). 2. Berechnung des Teilintegrals: \(F_1(1) - F_1(0) = \frac{3^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{81}{8} - \frac{1}{8} = \frac{80}{8} = 10\). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den zweiten Summanden \(3(3x+1)^{-2}\): Die Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion liefert \(F_2(x) = 3 \cdot \frac{1}{3 \cdot (-1)}(3x+1)^{-1} = -\frac{1}{3x+1}\). 4. Berechnung des Teilintegrals: \(F_2(1) - F_2(0) = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Differenz der Teilintegrale bilden: \(10 - 0{,}75 = 9{,}25\).

\(9{,}25\)

- Überlege dir, wie sich die innere Ableitung einer linearen Funktion beim Integrieren auf den Vorfaktor auswirkt. - Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit negativem, rationalem Exponenten um. - Welche Werte nehmen die Sinus- und Kosinusfunktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\) an? - Behandle die beiden Summanden getrennt voneinander.

1. Stammfunktion für \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion erhält man \(F_1(x) = -\frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). 2. Auswertung an den Grenzen: \(F_1(4) - F_1(0) = -\frac{4}{\pi} \cos(\pi) - \left(-\frac{4}{\pi} \cos(0)\right) = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{\pi} = \frac{8}{\pi}\). 3. Stammfunktion für \((2x+1)^{-\frac{1}{2}}\): Die Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt \(F_2(x) = \sqrt{2x+1}\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F_2(4) - F_2(0) = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(\frac{8}{\pi} + 2\).

\(\frac{8}{\pi} + 2\)

- Vereinfache den Klammerterm mit einer binomischen Formel. - Fasse anschließend die Potenz einer Potenz zusammen. - Berücksichtige beim Integrieren den konstanten inneren Ableitungsfaktor.

1. Es gilt \(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), also ist der Integrand \((2x-1)^6\). 2. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(F(x)=\frac1{14}(2x-1)^7\) eine Stammfunktion. 3. Damit ergibt sich \(F(1)-F(0)=\frac1{14}-(-\frac1{14})=\frac17\).

\(\frac17\)

- Bestimme zunächst eine allgemeine Stammfunktion mit Konstante \(C\). - Beim Exponentialterm ist die innere Funktion \(-x\) linear. - Nutze anschließend die Punktbedingung.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(F(x)=-3e^{-x}+2x+C\). 2. Aus \(F(0)=1\) folgt \(-3+C=1\), also \(C=4\). 3. Damit ist \(F(x)=-3e^{-x}+2x+4\).

\(F(x)=-3e^{-x}+2x+4\)

- In a) ist der Exponent eine lineare innere Funktion. - Vergleiche in b) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Prüfe die Ergebnisse durch Ableiten.

1. In a) ist die innere Funktion \(g(x)=4-0{,}5x\) mit \(g'(x)=-0{,}5\). Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(F(x)=4e^{4-0{,}5x}\) eine Stammfunktion. 2. In b) setze \(g(x)=x^2-3x+1\). Dann ist \(g'(x)=2x-3\), und \(6x-9=3g'(x)\). Daher hat der Integrand die Form \(3g'(x)e^{g(x)}\), sodass \(F(x)=3e^{x^2-3x+1}\) eine Stammfunktion ist.

a) \(F(x)=4e^{4-0{,}5x}\) b) \(F(x)=3e^{x^2-3x+1}\)

- Welche algebraische Darstellung macht Teil a) leichter zugänglich? - Welche Beziehung zwischen Zähler und Nenner ist in b) wichtig? - Wie kannst du eine gefundene Stammfunktion jeweils durch Ableiten prüfen?

1. In Teilaufgabe a) wird der Term zunächst mithilfe der ersten binomischen Formel zu \(f(x)=(e^{2x})^2+2e^{2x}+1=e^{4x}+2e^{2x}+1\) umgeformt. Die gliedweise Integration unter Berücksichtigung der linearen Innenteile in den Exponenten ergibt \(F(x)=\frac{1}{4}e^{4x}+e^{2x}+x\). 2. In Teilaufgabe b) liegt die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor, wenn man einen konstanten Faktor berücksichtigt. Die Ableitung des Nenners \(g(x)=e^{2x}+3\) ist \(g'(x)=2e^{2x}\). Da der Zähler \(4e^{2x}=2(2e^{2x})\) ist, folgt mit der logarithmischen Integrationsregel \(F(x)=2\ln(e^{2x}+3)\). Da der Ausdruck \(e^{2x}+3\) für alle \(x\) positiv ist, können die Betragsstriche entfallen.

a) \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\) b) \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\)

- Wie kannst du den Zähler umschreiben, damit ein Vielfaches des Nenners darin vorkommt? - Kannst du den Bruch so aufteilen, dass eine Konstante und ein einfacher Bruchrest entstehen? - Welche Stammfunktion hat der Term \(\frac{1}{x+k}\)? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen beim Subtrahieren.

1. Vereinfachen des Integranden durch Termumformung: \(\frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) - 1}{x + 2} = 2 - \frac{1}{x + 2}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion \(F(x)\): \(F(x) = 2x - \ln|x + 2|\) 3. Berechnen der Funktionswerte an den Integrationsgrenzen: \(F(1) = 2(1) - \ln(1 + 2) = 2 - \ln(3)\) \(F(0) = 2(0) - \ln(0 + 2) = -\ln(2)\) 4. Einsetzen in den Hauptsatz: \((2 - \ln(3)) - (-\ln(2)) = 2 - \ln(3) + \ln(2)\) 5. Zusammenfassen der Logarithmen: \(2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)\)

\(2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)\)

- Welche äquivalente Form des quadrierten Summenausdrucks lässt sich termweise integrieren? - Welche Potenzgesetze helfen beim Vereinfachen von Produkten aus Exponentialtermen? - Welche Korrekturfaktoren sind bei den Exponentialtermen mit linearem Exponenten nötig?

1. Der Integrand lässt sich zu \(e^{2x}+2+e^{-2x}\) umformen. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2x}\). 3. Es gilt \(F(1)=\frac{1}{2}e^2+2-\frac{1}{2}e^{-2}\) und \(F(0)=0\). 4. Damit beträgt das Integral \(\frac{1}{2}e^2+2-\frac{1}{2}e^{-2}\).

\(\frac{1}{2}e^2+2-\frac{1}{2}e^{-2}\)

- Bestimme zuerst den Definitionsbereich; beachte den Summanden \(\frac1{x^2}\). - Im ersten Bruch ist der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners. - Integriere \(x^{-2}\) mit der Potenzregel. - Auf getrennten Definitionsintervallen können unterschiedliche Integrationskonstanten auftreten.

1. Wegen des Summanden \(\frac1{x^2}\) ist \(f\) bei \(x=0\) nicht definiert. Der Definitionsbereich besteht aus den Intervallen \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). 2. Für \(q(x)=x^2-3x+10\) gilt \(q'(x)=2x-3\), und der Zähler des ersten Bruchs ist \(4x-6=2q'(x)\). 3. Da \(q(x)>0\) für alle reellen \(x\), ist \(\int\frac{4x-6}{x^2-3x+10}\,dx=2\ln(x^2-3x+10)\). 4. Außerdem gilt \(\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac1x\). 5. Somit ist auf jedem der beiden Definitionsintervalle \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion. Die Integrationskonstante kann auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,0)\) und auf \((0,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Welche algebraische Umformung macht den ersten Bruch leichter integrierbar? - Welche Beziehung zwischen Zähler und Nenner erkennst du beim zweiten Bruch? - Welche Rolle spielt der Definitionsbereich für die Logarithmen? - Was ist bei Stammfunktionen auf getrennten Definitionsintervallen zu beachten?

1. Wegen des Nenners \(x+2\) ist \(f\) bei \(x=-2\) nicht definiert. Der zweite Nenner \(2e^x+4\) ist stets positiv. Somit besteht der Definitionsbereich aus \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\). 2. Der erste Bruch lässt sich umformen zu \(\frac{x+3}{x+2}=1+\frac{1}{x+2}\). 3. Daher ist \(\int\left(1+\frac{1}{x+2}\right)\,\mathrm{d}x=x+\ln\lvert x+2\rvert\). 4. Für \(q(x)=2e^x+4\) gilt \(q'(x)=2e^x\). Somit ist \(\int\frac{e^x}{2e^x+4}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln(2e^x+4)\). 5. Auf jedem der beiden Definitionsintervalle ist daher \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac{1}{2}\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion. Die Konstanten können auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac{1}{2}\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Untersuche, ob der erste Faktor mit der Ableitung des Exponenten zusammenhängt. - Welche Integrationsstruktur passt zu diesem Zusammenhang? - Wann werden bei einem bestimmten Integral die Grenzen eingesetzt?

1. Für \(g(x)=x^3+x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2+1\). 2. Der Integrand hat damit die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=e^{x^3+x+1}\). 3. Nach dem Hauptsatz folgt \(F(1)-F(0)=e^3-e\).

Stammfunktion: \(F(x)=e^{x^3+x+1}\) Integralwert: \(e^3-e\)

- Prüfe bei jeder Funktion zuerst, welche Struktur du erkennst. - Bei einem Produkt kann die Ableitung des Exponenten als Faktor auftreten. - Bei einem Bruch lohnt es sich zu prüfen, ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist.

1. Teilaufgabe a): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=(2x+7)^4\) eine Stammfunktion. 2. Teilaufgabe b): Für \(g(x)=x^3-6x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2-6\). Daher liegt die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) vor und \(F(x)=e^{x^3-6x+1}\) ist eine Stammfunktion. 3. Teilaufgabe c): Für \(g(x)=x^2+5x-2\) gilt \(g'(x)=2x+5\). Damit liefert die logarithmische Integrationsregel \(F(x)=\ln|x^2+5x-2|\). 4. Teilaufgabe d): Schreibe \(x=(x+1)-1\). Dann ist \(f(x)=(x+1)^5-(x+1)^4\). Mit der Regel für lineare innere Funktionen erhält man \(F(x)=\frac{1}{6}(x+1)^6-\frac{1}{5}(x+1)^5\).

a) \(F(x) = (2x + 7)^4\) b) \(F(x) = e^{x^3 - 6x + 1}\) c) \(F(x) = \ln|x^2 + 5x - 2|\) d) \(F(x) = \frac{1}{6}(x + 1)^6 - \frac{1}{5}(x + 1)^5\)

- Ordne jedem Term zuerst eine passende Integrationsstruktur zu. - Bei Exponentialfunktionen kann die Ableitung des Exponenten als Faktor vorkommen. - Bei linearen inneren Funktionen musst du den konstanten inneren Faktor berücksichtigen. - Prüfe beim Bruch in d), ob der Zähler genau die Ableitung des Nenners ist.

1. Teilaufgabe a): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt sich \(F(x)=3e^{3-2x}\). 2. Teilaufgabe b): Für \(g(x)=x^2+4x\) ist \(g'(x)=2x+4=2(x+2)\). Daher ist \(f(x)=\frac12g'(x)e^{g(x)}\) und \(F(x)=\frac12e^{x^2+4x}\). 3. Teilaufgabe c): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=-\cos(5x-\pi)\) eine Stammfunktion. 4. Teilaufgabe d): Für \(g(x)=3x^2+4\) gilt \(g'(x)=6x\). Daher liefert die logarithmische Integrationsregel \(F(x)=\ln(3x^2+4)\).

a) \(F(x) = 3e^{3 - 2x}\) b) \(F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2 + 4x}\) c) \(F(x) = -\cos(5x - \pi)\) d) \(F(x) = \ln(3x^2 + 4)\)

- Die sicherste Kontrolle einer vorgeschlagenen Stammfunktion ist ihre Ableitung. - Achte bei linearen inneren Funktionen auf den Faktor, der beim Ableiten entsteht. - Vergleiche bei a) und c) jeweils die innere Funktion mit dem zusätzlichen Faktor im Integranden.

1. Zu a): Die Ableitung von \(\ln(x^2+4)\) ist \(\frac{2x}{x^2+4}\). Der Vorschlag ist richtig und nutzt die Struktur \(g'/g\). 2. Zu b): Die Ableitung von \(3e^{3x-1}\) ist \(9e^{3x-1}\), nicht \(3e^{3x-1}\). Der Vorschlag ist falsch. Eine korrekte Stammfunktion ist \(e^{3x-1}+C\). 3. Zu c): Die Ableitung von \(e^{-x^2}\) ist \(-2x e^{-x^2}\). Der Vorschlag ist richtig und nutzt die Struktur \(g'e^g\).

Falsch ist b). Korrekt ist \(\int3e^{3x-1}\,dx=e^{3x-1}+C\). Die Vorschläge a) und c) sind richtig.