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- Suche im Exponenten nach einer inneren Funktion. - Vergleiche deren Ableitung mit dem Faktor vor der Exponentialfunktion.

1. Wählt man \(g(x)=x^2\), dann ist \(g'(x)=2x\). 2. Damit hat der Integrand genau die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). Richtig ist a).

a) \(g'(x)e^{g(x)}\)

- Welche Grundfunktion hat beim Ableiten den Kosinus als Ergebnis? - Welche zusätzliche Konstante entsteht beim Ableiten der inneren Funktion \(3x\)?

1. Eine Stammfunktion von \(\cos(u)\) ist \(\sin(u)\). 2. Wegen der linearen inneren Funktion \(3x\) wird mit \(\frac{1}{3}\) ausgeglichen. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}\sin(3x)\).

Zum Beispiel \(F(x)=\frac{1}{3}\sin(3x)\).

- Skizziere im Kopf den Verlauf der Funktion. Wo liegt der Scheitelpunkt? - Welche Symmetrie weist eine Parabel im Allgemeinen auf? - Betrachte die Lage der Integrationsgrenzen im Verhältnis zur Symmetrieachse der Funktion. - Haben die beiden Intervalle die gleiche Breite und den gleichen Abstand zur Symmetrieachse?

1. Identifikation der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) als eine um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(2\mid 0)\) und der daraus resultierenden Achsensymmetrie des Graphen zur Geraden \(x = 2\). 3. Analyse der Integrationsintervalle: Das Intervall \([1; 2]\) liegt unmittelbar links vom Symmetriezentrum \(x = 2\), das Intervall \([2; 3]\) unmittelbar rechts davon. Beide Intervalle haben die gleiche Breite \(1\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen beiden zueinander symmetrisch liegenden Teilintervallen identisch, woraus die Gleichheit der Integrale folgt.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) eine achsensymmetrische Parabel mit der Symmetrieachse \(x = 2\) ist. Da die Intervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\) symmetrisch zu dieser Achse liegen und die gleiche Breite besitzen, sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen Bereichen gleich groß.

- Wie berechnet man ein bestimmtes Integral, wenn die Stammfunktion bekannt ist? - Schreibe die Terme für beide Seiten der Gleichung separat mithilfe der Stammfunktion auf. - Achte auf die Reihenfolge der Grenzen beim Einsetzen in die Stammfunktion. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht?

1. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite der Gleichung: \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf das Integral der rechten Seite: \(\int_b^a f(x) \, dx = F(a) - F(b)\). 3. Multiplikation des Ergebnisses aus Schritt 2 mit \(-1\): \(-(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). 4. Da beide Seiten den Wert \(F(b) - F(a)\) ergeben, ist die Identität bewiesen.

Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). Für die rechte Seite ergibt sich \(- \int_b^a f(x) \, dx = -(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). Somit sind beide Seiten identisch.

- Wie lautet die Regel für die Stammfunktion bei linearer Verkettung? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die vorgeschlagene Stammfunktion ableitest. Erhältst du die ursprüngliche Funktion \(f(x)\)? - Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem Multiplizieren und dem Dividieren mit der inneren Ableitung.

1. Fall A: Statt durch die innere Ableitung \(3\) zu dividieren, wurde mit ihr multipliziert. Eine korrekte Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac13\cos(3x)\). 2. Fall B: Der Term ist korrekt, denn die Division durch die innere Ableitung \(2\) ergibt den Faktor \(0{,}5\). 3. Fall C: Die innere Ableitung \(4\) wurde nicht berücksichtigt. Eine korrekte Stammfunktion ist \(F(x)=\frac1{16}(4x+2)^4\). 4. Fall D: Der vorgeschlagene Term \(F(x)=2\ln(0{,}5x+1)\) ist auf dem Intervall \(x>-2\) korrekt. Er ist jedoch nicht auf dem gesamten Definitionsbereich von \(f\), also auf beiden Intervallen \(( -\infty;-2)\) und \((-2;\infty)\), definiert. Eine Stammfunktion, die auf beiden Teilintervallen dieselbe Formel verwendet, ist \(F(x)=2\ln|0{,}5x+1|\).

A) Fehler bei der linearen Verkettung; korrekt ist \(F(x)=-\frac13\cos(3x)\). B) Korrekt. C) Die Division durch die innere Ableitung \(4\) fehlt; korrekt ist \(F(x)=\frac1{16}(4x+2)^4\). D) \(2\ln(0{,}5x+1)\) ist auf \(x>-2\) eine gültige Stammfunktion. Für beide Teilintervalle des Definitionsbereichs kann man \(F(x)=2\ln|0{,}5x+1|\) verwenden.

- Der Exponent ist eine lineare Funktion. - Welche Stammfunktion gehört nach der Regel für \(e^{ax+b}\) dazu? - Setze anschließend die beiden Grenzen in der richtigen Reihenfolge ein.

1. Für die lineare innere Funktion \(1-0{,}5x\) gilt die Integrationsregel \(\int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C\). Daher ist \(F(x)=-2e^{1-0{,}5x}\) eine Stammfunktion. 2. Mit dem Hauptsatz folgt \(\int_0^2e^{1-0{,}5x}\,dx=F(2)-F(0)=-2-(-2e)=2e-2\).

\(2e - 2\) (ca. \(3{,}437\))

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion im ersten Fall im Vergleich zum Mittelpunkt des Intervalls aussieht. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Kannst du das Integral einer Summe von zwei Funktionen als Summe von zwei einzelnen Integralen schreiben? - Erinnere dich an die geometrische Deutung des Integrals einer konstanten Funktion.

1. Teilaufgabe a): Die Funktion \(f(x) = (x-1)^5\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid 0)\). Da das Integrationsintervall \([0; 2]\) symmetrisch um die Stelle \(x=1\) liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse exakt auf, woraus der Integralwert \(0\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Es gilt die allgemeine Eigenschaft bestimmter Integrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\). Addiert man ein Integral zu seinem Gegenwert (erzeugt durch das Vertauschen der Grenzen), ergibt sich stets \(0\). 3. Teilaufgabe c): Nach der Additivität (Linearität) des Integrals kann der Integrand aufgeteilt werden in \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 4 \, dx\). Das zweite Teilintegral entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(2\) und der Höhe \(4\), also \(4 \cdot 2 = 8\).

a) Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid 0)\), und das Intervall ist symmetrisch zu \(x=1\). Daher heben sich die Flächenanteile auf. b) Das Vertauschen der Integrationsgrenzen kehrt das Vorzeichen des Integrals um, die Summe ist daher \(0\). c) Durch Anwendung der Summenregel und Berechnung des Integrals der Konstanten (\(\int_{0}^{2} 4 \, dx = 8\)) folgt die Gleichung.

- Kannst du das Integral in einzelne Teilintegrale zerlegen? - Überlege, wie du konstante Faktoren innerhalb des Integrals behandeln darfst. - Vergiss nicht, auch den konstanten Summanden über das gesamte Intervall zu integrieren. - Welche Rechenregeln für Integrale helfen dir, wenn Funktionen addiert oder subtrahiert werden?

1. Anwendung der Summen- und Faktorregel zur Zerlegung des Integrals: \(1{,}5 \cdot \int_{2}^{6} f(x) \, dx - 4 \cdot \int_{2}^{6} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 2. Einsetzen der bekannten Integralwerte für \(f\) und \(g\): \(1{,}5 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + \int_{2}^{6} 3 \, dx = 18 - 20 + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 3. Berechnung des Integrals der konstanten Funktion: \(\int_{2}^{6} 3 \, dx = [3x]_{2}^{6} = 3 \cdot (6 - 2) = 12\) 4. Addition der Teilwerte: \(18 - 20 + 12 = 10\)

10

- Überlege, wie sich der Wert eines Integrals ändert, wenn die obere und die untere Grenze getauscht werden. - Kannst du das Integral so zerlegen, dass du die gegebenen Informationen direkt einsetzen kannst? - Welche Regeln gelten für die Multiplikation des Integranden mit einer Zahl und für die Summe zweier Funktionen?

1. Das Vertauschen der Integralgrenzen führt zu einer Vorzeichenumkehr des Integralwertes: \(\int_5^1 (3f(x) + 4g(x)) \, dx = - \int_1^5 (3f(x) + 4g(x)) \, dx\). 2. Anwendung der Linearität des Integrals (Summen- und Faktorregel): \(- (3 \cdot \int_1^5 f(x) \, dx + 4 \cdot \int_1^5 g(x) \, dx)\). 3. Einsetzen der bekannten Integralwerte: \(- (3 \cdot 8 + 4 \cdot (-2))\). 4. Numerische Berechnung des Ergebnisses: \(- (24 - 8) = -16\).

\(I = -16\)

- Untersuche, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. - Welche Eigenschaft haben Integrale von ungeraden Funktionen über einem Intervall der Form \([-k; k]\)? - Wie lässt sich die Berechnung bei einer geraden Funktion vereinfachen?

1. Der Integrand in Teilaufgabe a) ist eine ungerade Funktion, da er nur ungerade Exponenten besitzt. Bei einem symmetrischen Intervall \([-k; k]\) ist der Integralwert daher \(0\). 2. Der Integrand in Teilaufgabe b) ist eine gerade Funktion. Es gilt \(\int_{-k}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(\frac{1}{20}x^5 - 2x\) folgt \(2 \cdot [\frac{1}{20}x^5 - 2x]_0^k = \frac{1}{10}k^5 - 4k\).

a) \(0\) b) \(\frac{1}{10}k^5 - 4k\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus und wende sie rückwärts an. - Achte auf die inneren Funktionen der verketteten Terme. Wie wirkt sich ein konstanter Faktor vor dem \(x\) beim Integrieren aus? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die gefundene Stammfunktion wieder ableitest.

1. Anwendung der linearen Substitutionsregel auf den ersten Summanden: Die Stammfunktion von \(\cos(ax+b)\) ist \(\frac{1}{a} \sin(ax+b)\). Mit \(a=3\) ergibt sich \(6 \cdot \frac{1}{3} \sin(3x - 1) = 2 \sin(3x - 1)\). 2. Anwendung der linearen Substitutionsregel auf den zweiten Summanden: Die Stammfunktion von \(\sin(ax+b)\) ist \(-\frac{1}{a} \cos(ax+b)\). Mit \(a=\frac{1}{2}\) ergibt sich \(2 \cdot \left(-\frac{1}{\frac{1}{2}} \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\right) = -4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\). 3. Kombination der Ergebnisse zur Stammfunktion: \(F(x) = 2 \sin(3x - 1) - 4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\).

\(F(x) = 2 \sin(3x - 1) - 4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\)

- Schau dir die Exponenten der Variable \(x\) an. Was fällt dir auf? - Erinnerst du dich an die Regeln für Integrale über Intervalle der Form \([-a; a]\)? - Musst du wirklich jedes Mal die Stammfunktion bilden und beide Grenzen einsetzen? - Überlege, ob der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

1. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe a: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 25x\) enthält nur ungerade Exponenten und ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse auf, sodass das Integral den Wert 0 besitzt. 2. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe b: Die Funktion \(g(x) = 3x^2 - 12\) enthält nur gerade Exponenten (beachte \(12 = 12 \cdot x^0\)) und ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung unter Ausnutzung der Achsensymmetrie: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 12) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 12) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = x^3 - 12x\) und Auswertung: \(2 \cdot [x^3 - 12x]_0^2 = 2 \cdot (2^3 - 12 \cdot 2 - (0)) = 2 \cdot (8 - 24) = -32\).

a) \(0\) b) \(-32\)

- Überlege dir, welcher Teil des Terms in der Klammer steht und welcher Exponent außen wirkt. - Wie wirkt sich die Steigung der inneren Geraden beim Ableiten mit der Kettenregel aus? Überlege dir den Umkehrschritt für die Stammfunktion. - Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du die Stammfunktion mit der Kettenregel wieder ableitest.

1. Identifikation der inneren linearen Funktion: \(u(x) = 0{,}5x + 2\). 2. Identifikation der äußeren Funktion: \(v(u) = u^6\). 3. Anwendung der linearen Substitutionsregel: \(F(x) = \frac{1}{m} \cdot V(u(x))\), wobei \(m = 0{,}5\) die Steigung der inneren Funktion ist. 4. Bestimmung einer Stammfunktion der äußeren Funktion: \(V(u) = \frac{1}{7}u^7\). 5. Berechnung des Vorfaktors: \(\frac{1}{0{,}5} \cdot \frac{1}{7} = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}\). 6. Zusammensetzen zur Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{7}(0{,}5x + 2)^7\).

Innere Funktion: \(u(x) = 0{,}5x + 2\) Äußere Funktion: \(v(u) = u^6\) Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{7}(0{,}5x + 2)^7\)

- Welche Regel kennst du für das Integrieren von Funktionen mit einem linearen Term im Exponenten? - Wie hängen Stammfunktion und bestimmtes Integral zusammen? - Was ergibt \(e^0\)?

1. Bestimmung einer Stammfunktion unter Verwendung der Regel für lineare Verkettungen: \(F(x) = \frac{4}{2} \cdot e^{2x - 1} = 2e^{2x - 1}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0{,}5}^{1} f(x) \, dx = [2e^{2x - 1}]_{0{,}5}^{1}\). 3. Berechnung der oberen Grenze: \(F(1) = 2e^{2 \cdot 1 - 1} = 2e^1 = 2e\). 4. Berechnung der unteren Grenze: \(F(0{,}5) = 2e^{2 \cdot 0{,}5 - 1} = 2e^0 = 2\). 5. Differenzbildung: \(2e - 2\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x) = 2e^{2x - 1}\). Der Wert des Integrals beträgt \(2e - 2\).

- Welche Regel kennst du für das Integrieren von Funktionen der Form \(e^{ax+b}\)? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion aus mehreren Summanden besteht? - Was passiert mit der inneren Ableitung des Exponenten beim Bilden der Stammfunktion? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Stammfunktion zur Probe ableitest.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Regel für die Integration von \(e^{ax}\) angewendet: \(F(x) = 4 \cdot \frac{1}{2} e^{2x} = 2e^{2x}\). 2. In Teilaufgabe b) werden die Summanden einzeln integriert. Die lineare Verkettung \(e^{5-x}\) ergibt mit dem Faktor \(\frac{1}{-1}\) den Term \(-e^{5-x}\). Die Potenzregel liefert für \(x^2\) den Term \(\frac{1}{3}x^3\). Somit gilt \(F(x) = -e^{5-x} + \frac{1}{3}x^3\). 3. Für Teilaufgabe c) wird die lineare Substitution auf den Exponentialterm angewendet: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} e^{4x-2} = \frac{1}{8} e^{4x-2}\). Der konstante Term \(-3\) wird zu \(-3x\). Daraus folgt \(F(x) = \frac{1}{8} e^{4x-2} - 3x\).

a) \(F(x) = 2e^{2x}\) b) \(F(x) = -e^{5-x} + \frac{1}{3}x^3\) c) \(F(x) = \frac{1}{8} e^{4x-2} - 3x\)

- Überlege dir, welchen Teil des Nenners du durch eine neue Variable ersetzen kannst, um die Struktur zu vereinfachen. - Vergiss nicht, das Differential \(dx\) ebenfalls zu transformieren. - Denk daran, dass sich bei einer Substitution in einem bestimmten Integral auch die Grenzen ändern. - Welche Stammfunktion gehört zu einem Term der Form \(\frac{1}{u}\)? - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen noch weiter zusammenfassen?

1. Durchführung der linearen Substitution \(u = 2x + 2\). Daraus folgt für das Differential \(du = 2 \, dx\) bzw. \(dx = \frac{1}{2} \, du\). 2. Anpassung der Integrationsgrenzen: Für \(x = 0\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 0 + 2 = 2\). Für \(x = 3\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 3 + 2 = 8\). 3. Transformation des Integrals: \(\int_{2}^{8} \frac{4}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{2}^{8} \frac{2}{u} \, du\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \([2\ln|u|]_{2}^{8} = 2 \cdot (\ln(8) - \ln(2))\). 5. Vereinfachung unter Nutzung der Logarithmengesetze: \(2\ln\left(\frac{8}{2}\right) = 2\ln(4) = 4\ln(2)\).

\(4\ln(2)\) (ca. \(2{,}773\))

- Kannst du eine Stammfunktion für den Ausdruck in der Klammer finden? - Denke beim Integrieren von \(e^{kx}\) an die Regel für die lineare Substitution. - Was musst du beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion beachten? - Vergiss nicht, dass \(e^0\) einen bestimmten Wert hat.

1. Bestimmung der Stammfunktion unter Verwendung der linearen Substitution für den Exponentialterm: \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0{,}25} e^{0{,}25x} + 2x = 2e^{0{,}25x} + 2x\). 2. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(4) = 2e^{0{,}25 \cdot 4} + 2 \cdot 4 = 2e^1 + 8 = 2e + 8\). 3. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(0) = 2e^{0{,}25 \cdot 0} + 2 \cdot 0 = 2e^0 + 0 = 2\). 4. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(0) = (2e + 8) - 2 = 2e + 6\).

\(2e + 6\)

- Betrachte die Beziehung zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners. - Welche Ableitungsregel führt auf einen Bruch dieser Form? - Du kannst die Konstante vor das Integral ziehen, um den Term zu vereinfachen. - Erinnere dich an den Wert des natürlichen Logarithmus an der Stelle 1.

1. Identifikation des Integraltyps: Der Zähler ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners (\(f(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}\)). 2. Anwendung der Substitutionsregel oder der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion von \( \frac{x}{x^2+1} \) ist \( \frac{1}{2} \ln(x^2+1) \). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den gesamten Term: \( F(x) = \frac{3}{2} \ln(x^2+1) \). 4. Einsetzen der Grenzen gemäß dem Hauptsatz: \( [ \frac{3}{2} \ln(x^2+1) ]_0^2 = \frac{3}{2} \ln(2^2+1) - \frac{3}{2} \ln(0^2+1) \). 5. Auswertung: \( \frac{3}{2} \ln(5) - \frac{3}{2} \ln(1) = \frac{3}{2} \ln(5) - 0 = \frac{3}{2} \ln(5) \).

\( \frac{3}{2} \ln(5) \)

- Betrachte das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist?

1. Erkennen der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Der Zähler \(4x\) ist genau die Ableitung des Nenners \(2x^2 + 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel (oder Substitution \(u = 2x^2 + 1\)). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \ln(2x^2 + 1)\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F(1) = \ln(2 \cdot 1^2 + 1) = \ln(3)\) und \(F(0) = \ln(2 \cdot 0^2 + 1) = \ln(1) = 0\). 5. Berechnung der Differenz: \(\ln(3) - 0 = \ln(3)\).

Stammfunktion: \(F(x) = \ln(2x^2 + 1)\) Integralwert: \(\ln(3)\)

- Betrachte den Nenner des Bruchs und leite ihn im Kopf ab. Fällt dir eine Ähnlichkeit zum Zähler auf? - Welche bekannte Integrationsregel hilft dir bei Brüchen, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere an den Wert von \(\ln(e)\) und \(\ln(1)\). - Wie vereinfacht sich der Ausdruck unter dem Logarithmus, wenn du die obere Grenze einsetzt?

1. Identifikation der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^2 + 1\) ist \(g'(x) = 2x\). 2. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\), sodass das Integral die Form \(\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx\) annimmt. 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\). 4. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(\sqrt{e-1}) = \frac{1}{2} \ln((\sqrt{e-1})^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(e-1+1) = \frac{1}{2} \ln(e) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\). 5. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(0) = \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(1) = 0\). 6. Berechnung der Differenz: \(0{,}5 - 0 = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung ihres Exponenten. - Welche der bekannten Integrationsstrukturen passt, wenn die Ableitung des Exponenten als Faktor vorkommt? - Überprüfe eine vermutete Stammfunktion durch Ableiten.

1. Setze gedanklich \(g(x)=x^2-1\). Dann ist \(g'(x)=2x\). 2. Der Integrand besitzt damit die curriculare Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist deshalb \(G(x)=e^{x^2-1}\). 3. Nach dem Hauptsatz ergibt sich \([e^{x^2-1}]_1^2=e^3-e^0=e^3-1\).

\(e^3-1\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus in Verbindung mit der Kettenregel. - Vergleiche den Funktionsterm aus b) genau mit deinem Ergebnis aus a). Welcher Faktor unterscheidet die beiden Ausdrücke? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor beim Integrieren aus?

1. Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 5\). Es gilt \(h'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\). 2. Vergleich von \(h'(x)\) mit \(k(x)\): Es fällt auf, dass \(k(x) = \frac{1}{2} \cdot h'(x)\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Integration linear ist, folgt \(K(x) = \frac{1}{2} \cdot h(x) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist somit \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\).

a) \(h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\) b) \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\) (oder jede Funktion der Form \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\))

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte beim Einsetzen der Integrationsgrenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß. - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen zusammenfassen?

1. Untersuchung der Termstruktur: Der Zähler \(\cos(x)\) ist genau die Ableitung des Nenners \(u(x) = \sin(x) + 2\). Es liegt die Form \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) vor. 2. Anwendung der Integrationsregel: Das unbestimmte Integral von \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) ist \(\ln|u(x)| + C\). Da \(\sin(x) + 2 > 0\) für alle \(x\) ist, können die Betragsstriche entfallen. Eine Stammfunktion ist \(G(x) = \ln(\sin(x) + 2)\). 3. Einsetzen der Grenzen: \([ \ln(\sin(x) + 2) ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(\sin(\frac{\pi}{2}) + 2) - \ln(\sin(0) + 2)\). 4. Auswerten der Sinuswerte: Da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\sin(0) = 0\), ergibt sich \(\ln(1 + 2) - \ln(0 + 2) = \ln(3) - \ln(2)\). 5. Vereinfachung: Nach den Logarithmengesetzen ist dies \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\) bzw. \(\ln(1{,}5)\).

\(\ln(3) - \ln(2) = \ln(1{,}5)\)

- Vergleiche den Faktor \(x\) mit der Ableitung des Exponenten. - Kannst du einen konstanten Faktor so herausziehen, dass die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) sichtbar wird? - Überprüfe deine Stammfunktion durch Ableiten.

1. Für die innere Funktion \(g(x)=2x^2-5\) gilt \(g'(x)=4x\). 2. Schreibe \(f(x)=\frac14\,g'(x)e^{g(x)}\). 3. Mit der Integrationsregel für \(g'(x)e^{g(x)}\) ist daher \(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}\) (oder \(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\))

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion in Verbindung mit der Kettenregel. - Was ergibt \(e^{\ln(a)}\)?

1. Analyse der Termstruktur: Der Zähler \(e^x\) ist genau die Ableitung des Nenners \(e^x+3\). Es liegt somit die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor. 2. Bestimmung der Stammfunktion: Mit der logarithmischen Integrationsregel ergibt sich \(F(x) = \ln|e^x+3|\). Da \(e^x+3 > 0\) für alle \(x\), ist \(F(x) = \ln(e^x+3)\). 3. Berechnung des Integrals: Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\int_0^{\ln(2)} \frac{e^x}{e^x+3} \, dx = [ \ln(e^x+3) ]_0^{\ln(2)} = \ln(e^{\ln(2)}+3) - \ln(e^0+3) = \ln(2+3) - \ln(1+3) = \ln(5) - \ln(4) = \ln\left(\frac{5}{4}\right)\).

Stammfunktion: \(F(x) = \ln(e^x+3)\) Integralwert: \(\ln(1{,}25) \approx 0{,}223\)

- Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit rationalem Exponenten. - Welche Regel gilt, wenn die innere Funktion linear ist? - Überprüfe den notwendigen Vorfaktor, indem du deine Stammfunktion ableitest.

1. Schreibe den Integranden als \((2x+9)^{-\frac12}\). 2. Mit der Integrationsregel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}\) eine Stammfunktion. 3. Nach dem Hauptsatz ergibt sich \(F(8)-F(0)=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\).

Stammfunktion: \(F(x)=\sqrt{2x+9}\) Integralwert: \(2\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Nenner und dem Zähler des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? Wie unterscheidet sich dieses Ergebnis vom Zähler? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen der Form \( \frac{f'(x)}{f(x)} \). - Nutze am Ende Logarithmengesetze, um das Ergebnis so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Identifikation der Struktur: Der Nenner ist \( g(x) = x^2 + 2 \) mit der Ableitung \( g'(x) = 2x \). Der Zähler \( x \) lässt sich als \( \frac{1}{2} \cdot g'(x) \) schreiben. 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion ist \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| \). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \( F(2) - F(0) = \frac{1}{2} \ln(2^2 + 2) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 2) \). 4. Berechnung der Werte: \( \frac{1}{2} \ln(6) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} (\ln(6) - \ln(2)) \). 5. Vereinfachung mit Logarithmengesetzen: \( \frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln(3) \).

\( \frac{1}{2} \ln(3) \)

- Überlege dir, wie sich der Graph einer ungeraden Funktion verhält, wenn man ihn am Ursprung spiegelt. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Welchen Flächeninhalt hat eine Fläche, deren Breite Null ist? - Erinnere dich an die Definition der Flächenbilanz bei Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse.

1. Zu a): Der Integrand \(f(x) = x^3 + x\) ist eine ungerade Funktion, da \(f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -f(x)\). Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die positiven und negativen Flächenanteile exakt auf, sodass die Flächenbilanz (das Integral) Null ergibt. 2. Zu b): Nach der Eigenschaft der Vertauschung der Integrationsgrenzen gilt allgemein \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\). Addiert man beide Integrale, so heben sie sich zu Null auf: \(\int_{1}^{4} f(x) \, dx + (-\int_{1}^{4} f(x) \, dx) = 0\). 3. Zu c): Das Integral über ein Intervall der Breite Null (\(a\) bis \(a\)) ist stets Null, da die Fläche unter dem Graphen keine Ausdehnung in \(x\)-Richtung besitzt.

a) Die Funktion ist ungerade und das Intervall symmetrisch zum Ursprung; die Flächenanteile heben sich auf. b) Es gilt die Regel \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\), woraus die Summe Null folgt. c) Integrale mit identischer oberer und unterer Grenze sind immer Null, da das Intervall die Breite Null hat.

- Untersuche, ob die Funktion im Integranden gerade (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse) oder ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung) ist. - Was passiert mit dem Wert eines Integrals über ein Intervall \([-a; a]\), wenn der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft? - Wie verhalten sich die Flächenanteile links und rechts der \(y\)-Achse bei einer achsensymmetrischen Funktion? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt.

1. In Teil a ist \(f(x)=x^3-x\) ungerade, denn \(f(-x)=-f(x)\). Für \(a\geq0\) ist \([-a;a]\) ein symmetrisches Intervall; die orientierten Flächenanteile heben sich auf, daher ist das Integral \(0\). 2. In Teil b ist \(g(x)=\cos(x)\) gerade, denn \(g(-x)=g(x)\). Die Integrale über \([-2;0]\) und \([0;2]\) sind gleich, sodass das Integral über \([-2;2]\) das Doppelte des rechten Teilintegrals ist. 3. In Teil c ist \(h(x)=\sin(x)\cos(x)\) ungerade, weil das Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade ist. Deshalb verschwindet das Integral über \([-1;1]\).

a) Der Integrand \(f(x) = x^3 - x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (\(f(-x) = -f(x)\)). Bei Integration über ein symmetrisches Intervall \([-a; a]\) ist die Flächenbilanz \(0\). b) Der Integrand \(g(x) = \cos(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(g(-x) = g(x)\)). Die Flächeninhalte links und rechts der \(y\)-Achse sind gleich groß, daher ist das Integral über \([-2; 2]\) doppelt so groß wie über \([0; 2]\). c) Der Integrand \(h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da das Produkt aus einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade ist. Das Integral über \([-1; 1]\) verschwindet daher.

- Skizziere dir den Verlauf der Graphen im angegebenen Intervall grob im Kopf oder auf Papier. - Achte darauf, an welcher Stelle der Graph die \(x\)-Achse schneidet und ob dort eine Symmetrie vorliegt. - Überlege, welche Flächenstücke oberhalb (positiv) und welche unterhalb (negativ) der \(x\)-Achse liegen. - Gibt es eine vertikale Achse, an der die Fläche gespiegelt wird?

1. Bei Teilaufgabe a) stellt der Graph von \(f(x) = x - 2\) eine Gerade dar, die die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) schneidet. Im Intervall \([0; 2]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit dem orientierten Flächenbeitrag \(-2\), im Intervall \([2; 4]\) ein gleich großes Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit dem orientierten Flächenbeitrag \(+2\). Die Summe der orientierten Flächen (Bilanz) ist \(0\). 2. Bei Teilaufgabe b) ist die Funktion \(g(x) = (x - 3)^3\) punktsymmetrisch zum Punkt \(P(3\mid 0)\). Das Intervall \([1; 5]\) liegt symmetrisch um die Stelle \(x = 3\). Die negativen Flächenanteile in \([1; 3]\) und die positiven Anteile in \([3; 5]\) sind betragsmäßig gleich groß und heben sich in der Bilanz auf. 3. Bei Teilaufgabe c) ist der Graph von \(h(x) = \sin(x)\) im Intervall \([0; \pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\). Die Fläche unter dem Bogen von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ist daher exakt so groß wie die Fläche von \(\frac{\pi}{2}\) bis \(\pi\), was den Faktor \(2\) erklärt.

a) Die Gerade \(y = x - 2\) ist punktsymmetrisch zu ihrem Nullpunkt \((2\mid 0)\). Die Flächenanteile in den Teilintervallen \([0; 2]\) und \([2; 4]\) sind gleich groß, haben aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Bilanz \(0\) ergibt. b) Der Graph von \(g(x) = (x - 3)^3\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3\mid 0)\). Da das Intervall \([1; 5]\) symmetrisch um \(x = 3\) liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte auf. c) Die Sinuskurve ist im Intervall \([0; \pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\). Die beiden Teilflächen links und rechts der Symmetrieachse sind identisch, daher ist das Gesamtintegral das Doppelte des Teilintegrals.

- Welche Funktion ist die Stammfunktion der Summe \(f(x) + g(x)\)? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Summen. - Setze die Definition des Hauptsatzes für jedes Integral einzeln ein. - Versuche, die Terme auf einer Seite so umzusortieren, dass sie genau wie die andere Seite aussehen.

1. Identifikation einer Stammfunktion für die Summe: Da \((F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)\) gilt, ist \(H(x) = F(x) + G(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x) + g(x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite: \(\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = [F(x) + G(x)]_a^b = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 3. Anwendung des Hauptsatzes auf die rechte Seite: \(\int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). 4. Umformung der rechten Seite durch Auflösen der Klammern und Umstellen der Terme (Kommutativgesetz): \(F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 5. Vergleich zeigt die Übereinstimmung beider Seiten.

Mit der Stammfunktion \(H = F + G\) für \(f + g\) ergibt die linke Seite nach dem Hauptsatz \((F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). Die rechte Seite ergibt summiert \((F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). Durch Umstellen der Terme (Kommutativ- und Assoziativgesetz) folgt die Gleichheit: \(F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))\).

- Prüfe bei linearen inneren Funktionen, welcher Faktor durch die innere Ableitung entsteht. - Suche bei Quotienten nach der Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). - Du kannst jede Zuordnung durch Ableiten der vorgeschlagenen Stammfunktion überprüfen.

1. Für \(f_1(x)=4\cos(4x-2)\) passt \(F_C(x)=\sin(4x-2)\), denn nach der Regel für lineare innere Funktionen gilt \(F_C'(x)=4\cos(4x-2)\). 2. Bei \(f_2\) hat der Integrand die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) mit \(g(x)=x^2+x\). Daher passt \(F_A(x)=\ln|x^2+x|+5\). 3. Für \(f_3\) liefert die Regel für \((ax+b)^n\) die Stammfunktion \(\frac{1}{10}(2x-3)^5+C\). Daher passt \(F_D\). 4. Für \(f_4(x)=e^{0{,}5x}\) ergibt die Regel für lineare innere Funktionen \(2e^{0{,}5x}+C\). Daher passt \(F_B\).

1 – C, 2 – A, 3 – D, 4 – B

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung ihres Exponenten. - Welche Stammfunktion gehört zum Muster \(g'(x)e^{g(x)}\)? - Nutze erst nach Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion die Punktbedingung, um die Konstante festzulegen.

1. Der Integrand hat die Form \(g'(x)e^{g(x)}\) mit \(g(x)=x^2\) und \(g'(x)=2x\). Daher ist \(e^{x^2}\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Die allgemeine Stammfunktion lautet somit \(F(x)=e^{x^2}+C\). 3. Aus der Punktbedingung \(F(0)=20\) folgt \(1+C=20\), also \(C=19\). 4. Damit ist \(F(x)=e^{x^2}+19\).

\(F(x)=e^{x^2}+19\)

- Betrachte das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Ableitung des Nenners und dem Term im Zähler? - Welche Stammfunktion ergibt sich, wenn ein Bruch die Form „Ableitung durch Funktion“ hat? - Denke an die Rechenregeln für Logarithmen beim Vereinfachen.

1. Erkennen der Struktur: Der Zähler \(6x^2 + 2\) ist das Zweifache der Ableitung des Nenners \(f(x) = x^3 + x + 1\), da \(f'(x) = 3x^2 + 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Das Integral hat die Form \(2\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\), woraus die Stammfunktion \(F(x) = 2\ln|x^3 + x + 1|\) folgt. 3. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = 2\ln|1^3 + 1 + 1| = 2 \ln(3)\) und \(F(0) = 2\ln|0^3 + 0 + 1| = 2 \ln(1) = 0\). 4. Berechnung der Differenz: \(2 \ln(3) - 0 = 2 \ln(3)\).

\(2 \ln(3)\) (oder \(\ln(9)\))

- Untersuche den Exponenten der e-Funktion und den Faktor davor. - Hängt der Faktor vor der e-Funktion mit der Ableitung des Exponenten zusammen? - Wie lautet die Ableitung einer verketteten Funktion mit der e-Funktion als äußere Funktion? - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Identifikation der Struktur: Der Integrand hat die Form \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\) mit einer kleinen Anpassung des Vorzeichens. Mit \(f(x) = \cos(x)\) ist \(f'(x) = -\sin(x)\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Ableitung von \(e^{\cos(x)}\) gleich \(-\sin(x) \cdot e^{\cos(x)}\) ist, lautet eine Stammfunktion \(F(x) = -e^{\cos(x)}\). 3. Auswertung an den Grenzen: Obere Grenze: \(F(\pi) = -e^{\cos(\pi)} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}\). Untere Grenze: \(F(0) = -e^{\cos(0)} = -e^{1} = -e\). 4. Differenzbildung: \((-\frac{1}{e}) - (-e) = e - \frac{1}{e}\).

\(e - \frac{1}{e}\) (oder \(\frac{e^2 - 1}{e}\))

- Kannst du zwei Integrale mit denselben Grenzen zu einem einzigen Integral zusammenfassen? - Was passiert, wenn die obere Grenze des einen Integrals der unteren Grenze des nächsten entspricht? - Kannst du Faktoren vor dem Integral in den Integranden hineinziehen? - Schau dir die Funktionsterme genau an – heben sich beim Zusammenfassen vielleicht komplizierte Teile gegenseitig auf?

1. Anwendung der Linearität des Integrals in Teilaufgabe a): Da die Integrationsgrenzen identisch sind, können die Integranden subtrahiert werden: \(\int_{1}^{3} (x^3 + 2x - (x^3 - 4)) \, dx = \int_{1}^{3} (2x + 4) \, dx\). 2. Berechnung des Integrals: \([x^2 + 4x]_{1}^{3} = (3^2 + 4 \cdot 3) - (1^2 + 4 \cdot 1) = 21 - 5 = 16\). 3. Nutzung der Intervalladditivität in Teilaufgabe b): Die nahtlos aneinandergrenzenden Intervalle \([0; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) werden zu \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\) zusammengefasst. 4. Berechnung des Integrals: \([-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2\). 5. Vereinfachung durch Linearität in Teilaufgabe c): Der Faktor \(2\) wird in das erste Integral gezogen und mit dem zweiten Integral kombiniert: \(\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + x - \frac{2}{x}) \, dx = \int_{1}^{2} x \, dx\). 6. Berechnung des Integrals: \([\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(1{,}5\)

- Überprüfe bei symmetrischen Grenzen (wie von \(-a\) bis \(a\)), ob der Integrand eine besondere Symmetrie aufweist. - Wie ändert sich ein Integral, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Lassen sich aufeinanderfolgende Intervalle bei gleichem Integranden zu einem großen Intervall verbinden? - Versuche, Klammern erst nach dem Zusammenfassen der Integrale aufzulösen.

1. Ausnutzung der Punktsymmetrie in Teilaufgabe a): Da der Integrand \(f(x) = x^3 + \sin(x)\) eine ungerade Funktion ist (\(f(-x) = -f(x)\)) und das Integrationsintervall \([-3; 3]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, ist der Wert des Integrals direkt \(0\). 2. Anwendung der Vertauschungsregel und Linearität in Teilaufgabe b): Das zweite Integral wird durch Vorzeichenwechsel gedreht zu \(-\int_{0}^{1} (9x^2 + 1) \, dx\). Zusammenfassen ergibt \(\int_{0}^{1} ((3x+1)^2 - (9x^2 + 1)) \, dx = \int_{0}^{1} (9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{1} 6x \, dx\). 3. Berechnung: \([3x^2]_{0}^{1} = 3 \cdot 1^2 - 0 = 3\). 4. Anwendung der Intervalladditivität in Teilaufgabe c): Zusammenfassen der Teilintervalle zu \(\int_{1}^{5} x^{-2} \, dx\). 5. Berechnung mittels Stammfunktion: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{5} = -\frac{1}{5} - (-\frac{1}{1}) = -0{,}2 + 1 = 0{,}8\).

a) \(0\) b) \(3\) c) \(0{,}8\)

- Zerlege den Integranden in zwei Summanden. - Beim Bruch ist der Zähler die Ableitung des Nenners. - Beim Potenzterm ist die innere Funktion linear; berücksichtige ihren konstanten Ableitungsfaktor.

1. Zerlege das Integral in \(\int_0^2\frac{2x}{x^2+1}\,dx+\int_0^2(3x-1)^2\,dx\). 2. Der erste Summand hat die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) mit \(g(x)=x^2+1\). Daher ist \(\ln(x^2+1)\) eine Stammfunktion und der Integralwert ist \(\ln(5)\). 3. Für den zweiten Summanden liefert die Integrationsregel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac19(3x-1)^3\). 4. Damit ist \(\int_0^2(3x-1)^2\,dx=\frac19(5^3-(-1)^3)=14\). 5. Insgesamt ergibt sich \(14+\ln(5)\).

\(14 + \ln(5)\)

- Betrachte den Exponenten \(\frac{1}{x}\) als innere Funktion. - Wie hängt dessen Ableitung mit dem Faktor \(\frac{1}{x^2}\) zusammen? - Erkennst du damit das Muster \(g'(x)e^{g(x)}\), eventuell bis auf ein Vorzeichen?

1. Setze für die Strukturerkennung \(g(x)=\frac{1}{x}\). Dann gilt \(g'(x)=-\frac{1}{x^2}\). 2. Der Integrand lässt sich als \(-g'(x)e^{g(x)}\) schreiben. Daher ist \(F(x)=-e^{g(x)}=-e^{1/x}\) eine Stammfunktion. 3. Mit dem Hauptsatz folgt \(\int_1^2\frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx=\left[-e^{1/x}\right]_1^2=-e^{1/2}+e=e-\sqrt e\).

\(e-\sqrt e\)

- Vergleiche in a) den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Schreibe in b) die Wurzel als Potenz. - Bei einer linearen inneren Funktion muss der konstante Ableitungsfaktor berücksichtigt werden.

1. In a) liegt die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) mit \(g(x)=x^2+x\) und \(g'(x)=2x+1\) vor. Eine Stammfunktion ist daher \(\ln|x^2+x|\). 2. Somit gilt \(\int_1^4\frac{2x+1}{x^2+x}\,dx=\ln(20)-\ln(2)=\ln(10)\). 3. In b) wird die Regel für eine lineare innere Funktion angewendet. Eine Stammfunktion von \((2x+1)^{1/2}\) ist \(\frac13(2x+1)^{3/2}\). 4. Daher ist \(\int_0^4\sqrt{2x+1}\,dx=\frac13(9^{3/2}-1)=\frac{26}{3}\).

a) \(\ln(10)\) b) \(\frac{26}{3}\)

- Vergleiche in a) den Faktor \(x\) mit der Ableitung des Exponenten. - Erkennst du dort das Muster \(g'(x)e^{g(x)}\) bis auf ein Vorzeichen? - In b) kannst du gliedweise integrieren; beim Kosinusterm ist die innere Funktion linear.

1. In a) setze zur Strukturerkennung \(g(x)=-\frac12x^2\). Dann ist \(g'(x)=-x\), also hat der Integrand bis auf das Vorzeichen die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(-e^{-x^2/2}\). 2. Damit ergibt sich \(\int_0^2x e^{-x^2/2}\,dx=\left[-e^{-x^2/2}\right]_0^2=1-e^{-2}\). 3. In b) wird gliedweise integriert. Für \(\cos\left(\frac12x\right)\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(2\sin\left(\frac12x\right)\). Insgesamt ist \(-\frac12\cos x+2\sin\left(\frac12x\right)\) eine Stammfunktion. 4. Einsetzen von \(0\) und \(\pi\) ergibt \(3\).

a) \(1 - e^{-2} \approx 0{,}865\) b) \(3\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du die linearen inneren Funktionen beachtest? - Wie kannst du die erhaltene allgemeine Stammfunktion durch Ableiten kontrollieren? - Wie nutzt du den Punkt \(P(0\mid1{,}5)\), um die additive Konstante festzulegen? - Welche Bedeutung hat die Bedingung \(x>-2\) für den Logarithmusterm?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+C\). 2. Aus \(F(0)=1{,}5\) folgt \(\frac{1}{2}+\ln(2)+C=1{,}5\). 3. Damit ist \(C=1-\ln(2)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\).

\(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\)

- Vereinfache Integral 1 zunächst algebraisch. - Prüfe bei Integral 2, ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Bei Integral 3 ist der Exponent linear. - Entscheide bei 4 und 5 nur anhand der ausdrücklich zugelassenen Regeln, nicht anhand späterer Integrationsverfahren.

1. \(\frac{x^2+1}{x^2}=1+x^{-2}\). Daher ist der Wert \(\left[x-\frac1x\right]_1^2=\frac32\). 2. Mit \(g(x)=x^3+1\) liegt \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor. Der Wert ist \([\ln(x^3+1)]_0^1=\ln(2)\). 3. Für die lineare innere Funktion \(0{,}5x\) ist \(2e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion. Der Wert ist \(2e-2\). 4. \(\int_1^2\ln(x)\,dx\) lässt sich mit den genannten Regeln nicht bestimmen. 5. \(\int_0^1\frac{1}{x^2+1}\,dx\) lässt sich mit den genannten Regeln nicht bestimmen.

1. \(1{,}5\) 2. \(\ln(2)\) 3. \(2e - 2\) 4. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Löse das Produkt in 1 zuerst auf. - In 2 steht eine lineare Funktion im Nenner. - Vergleiche in 4 den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Beurteile 3 und 5 nur mit Blick auf die ausdrücklich zugelassenen Regeln.

1. Nach Ausmultiplizieren gilt \(\int_0^2(x^2-1)\,dx=\left[\frac13x^3-x\right]_0^2=\frac23\). 2. Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist \(\frac12\ln|2x-3|\) eine Stammfunktion. Der Wert ist \(\frac12\ln(7)\). 3. Dieses Integral lässt sich mit den genannten Regeln nicht berechnen. 4. Der Zähler ist die Ableitung des Nenners. Daher ist der Wert \([\ln(x^2+3x)]_1^2=\ln(10)-\ln(4)=\ln(2{,}5)\). 5. Dieses Integral lässt sich mit den genannten Regeln nicht berechnen.

1. \(\frac{2}{3}\) 2. \(0{,}5 \ln(7)\) 3. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 4. \(\ln(2{,}5)\) 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Wie lautet die allgemeine Stammfunktion einer Kosinusfunktion mit linearem Argument? - Welchen Wertebereich hat die Sinusfunktion und wie verändert sich dieser durch den Vorfaktor? - Wie verschiebt die Integrationskonstante \(C\) den Graphen der Funktion in \(y\)-Richtung? - Stelle eine Gleichung für den tiefsten Punkt des Graphen auf.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F_k(x) = \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C\). 2. Analyse des Wertebereichs: Der Term \(\sin(kx)\) nimmt Werte im Intervall \([-1; 1]\) an. Der Term \(\frac{1}{k} \sin(kx)\) hat somit den Wertebereich \([-\frac{1}{|k|}; \frac{1}{|k|}]\). 3. Bestimmung des Minimums: Das Minimum der Funktion \(F_k\) ist \(C - \frac{1}{|k|}\). 4. Anwendung der Bedingung: Da das Minimum \(0\) sein soll, gilt \(C - \frac{1}{|k|} = 0\), woraus \(C = \frac{1}{|k|}\) folgt. 5. Angabe der Stammfunktion: \(F_k(x) = \frac{1}{k} \sin(kx) + \frac{1}{|k|}\).

\(F_k(x) = \frac{1}{k} \sin(kx) + \frac{1}{|k|}\)

- Bestimme zuerst mit der Regel für lineare innere Funktionen die allgemeine Stammfunktion. - Welchen Wertebereich besitzt der Kosinusterm? - Wann enthält ein verschobenes Intervall sowohl negative als auch positive Werte?

1. Mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(G(x)=-2\cos(3x+2)+C\). 2. Da \(\cos(3x+2)\in[-1;1]\), hat der Term \(-2\cos(3x+2)\) den Wertebereich \([-2;2]\). Somit hat \(G\) den Wertebereich \([C-2;C+2]\). 3. Positive und negative Funktionswerte treten genau dann auf, wenn \(C-2<0\) und \(C+2>0\). 4. Daher gilt \(-2<C<2\).

\(G(x) = -2 \cos(3x + 2) + C\) mit \(C \in (-2; 2)\)

- Vergleiche in a) den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Welche logarithmische Stammfunktion passt zu einem Vielfachen von \(u'/u\)? - In b) ist das Argument des Sinus linear; berücksichtige den konstanten inneren Ableitungsfaktor.

1. In a) ist der Zähler das Dreifache der Ableitung des Nenners \(u(x)=x^2-3x+10\). Daher liefert die logarithmische Regel \(F(x)=3\ln|x^2-3x+10|\). 2. In b) ist die innere Funktion linear. Mit der entsprechenden Integrationsregel ist \(G(t)=-16\cos\left(\frac12t+\pi\right)\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x) = 3\ln|x^2 - 3x + 10|\) b) \(G(t) = -16\cos\left(\frac{1}{2}t + \pi\right)\)

- Vergleiche in a) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung ihres Exponenten. - Welches Muster entsteht dadurch bis auf einen konstanten Faktor? - Prüfe in b), ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist.

1. In a) setze zur Strukturerkennung \(g(x)=1-x^2\). Dann gilt \(g'(x)=-2x\), sodass der Integrand \(-\frac12g'(x)e^{g(x)}\) ist. Eine Stammfunktion lautet \(F(x)=-\frac12e^{1-x^2}\). 2. In b) ist der Zähler die Ableitung des Nenners \(u(x)=x^2+x+4\). Daher ist \(H(x)=\ln(x^2+x+4)\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=-\frac12e^{1-x^2}\) b) \(H(x)=\ln(x^2+x+4)\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es eine Regel für Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion. - Wie kannst du die Logarithmusgesetze nutzen, um das Endergebnis zusammenzufassen?

1. Identifikation der Struktur des Integranden: Der Zähler \(6x^2 - 2\) ist das Zweifache der Ableitung des Nenners \(f(x) = x^3 - x + 5\), da \(f'(x) = 3x^2 - 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\): Eine Stammfunktion ist somit \(F(x) = 2\ln|x^3 - x + 5|\). 3. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(2) = 2\ln|2^3 - 2 + 5| = 2\ln(11)\). 4. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(1) = 2\ln|1^3 - 1 + 5| = 2\ln(5)\). 5. Berechnung der Differenz: \(2\ln(11) - 2\ln(5) = 2(\ln(11) - \ln(5)) = 2 \ln\left(\frac{11}{5}\right) = 2 \ln(2{,}2)\).

\(2 \ln(2{,}2)\) (ca. \(1{,}577\))

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du beim Exponentialterm die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du insbesondere das Vorzeichen des Exponentialterms durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(2)=10\) anschließend die additive Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+C\). 2. Aus \(F(2)=10\) folgt \(0{,}125\cdot2^4+e^0+C=10\). 3. Damit ist \(2+1+C=10\) und somit \(C=7\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\).

\(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\)

- Welche Stammfunktion passt zum Bruchterm auf dem angegebenen Definitionsbereich? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion im Kosinusterm auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du die gefundenen Terme durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert die Bedingung \(F(0)=0\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)+C\). 2. Mit \(F(0)=0\) folgt \(2\ln(3)+C=0\). 3. Damit ist \(C=-2\ln(3)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\).

\(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\)

- Welche Stammfunktion besitzt der Exponentialterm, wenn du die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du den Faktor vor dem Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Gleichung entsteht aus der Bedingung \(F(-1)=5\)?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+C\). 2. Mit \(F(-1)=5\) folgt \(\frac{2}{3}e^0-2+C=5\). 3. Daher gilt \(-\frac{4}{3}+C=5\) und damit \(C=\frac{19}{3}\). 4. Somit ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\).

\(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\)

- Welche Potenzschreibweise passt zum Wurzelausdruck im Nenner? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion auf die Stammfunktion dieser Potenz aus? - Wie kannst du den erhaltenen Wurzelterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Information liefert der Punkt \(P(0\mid10)\) für die Konstante?

1. Schreibe \(f(x)=6(2x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Unter Berücksichtigung der linearen inneren Funktion ist eine allgemeine Stammfunktion \(F(x)=6\sqrt{2x+9}+C\). 3. Aus \(F(0)=10\) folgt \(6\sqrt{9}+C=10\), also \(18+C=10\). 4. Damit ist \(C=-8\). 5. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\).

\(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\)

- Was passiert mit den Vorzeichen der Funktionswerte, wenn man den Graphen am Ursprung spiegelt? - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Überlege dir, wie sich Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Integralrechnung gegenseitig beeinflussen. - Welche bekannten Funktionstypen außer ganzrationalen Funktionen weisen eine Punktsymmetrie zum Ursprung auf?

1. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 = 4 - 8 = -4\) und \(F(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^2 = 4 - 8 = -4\). Die Differenz ergibt \(\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = -4 - (-4) = 0\). 2. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da nur ungerade Exponenten vorkommen. In einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-2; 2]\) sind die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gleich groß. Da das Integral die orientierten Flächeninhalte addiert (Flächenbilanz), heben sich diese exakt zu Null auf. 3. Eine mögliche Funktion ist \(g(x) = \sin(x)\). Diese Funktion ist ebenfalls punktsymmetrisch zum Ursprung (\(g(-x) = -g(x)\)), wodurch die Flächenbilanz über jedem Intervall \([-a; a]\) den Wert Null ergibt.

1. \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^{2} = (-4) - (-4) = 0\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenanteile im Intervall \([-2; 0]\) und \([0; 2]\) betragsgleich, haben aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Flächenbilanz (das Integral) Null ergibt. 3. Beispiel: \(g(x) = \sin(x)\) oder \(g(x) = x^5\). Begründung: Die Funktion ist ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung), weshalb sich die orientierten Flächeninhalte über dem Intervall \([-a; a]\) aufheben.

- Untersuche bei Brüchen immer zuerst, ob der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist. - Achte bei Produkten von Funktionen darauf, ob ein Teil des Produkts die Ableitung eines Teils der inneren Funktion ist. - Wenn du substituierst, denke daran, auch die Integrationsgrenzen anzupassen. - Gibt es eine spezielle Regel für Integrale der Form \(\int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx\)?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\). Da der Zähler \(3x^2\) genau die Ableitung des Nenners \(x^3 + 1\) ist, lautet eine Stammfunktion \(F(x) = \ln(x^3 + 1)\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \ln(2^3 + 1) = \ln(9)\) und \(F(1) = \ln(1^3 + 1) = \ln(2)\). Das Integral ist \(\ln(9) - \ln(2) = \ln(4{,}5)\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Substitutionsregel oder Erkennen der Struktur \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\). Mit \(u = x^2 - x\) und \(du = (2x - 1) \, dx\) ergibt sich das Integral \(\int_{u(0)}^{u(2)} e^u \, du\). Die neuen Grenzen sind \(u(0) = 0\) und \(u(2) = 2^2 - 2 = 2\). Das Integral \(\int_{0}^{2} e^u \, du = [e^u]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1\).

a) \(\ln(4{,}5)\) oder \(\ln(9) - \ln(2)\) b) \(e^2 - 1\)

- Der Faktor vor der Exponentialfunktion ist \(x\). Welche Exponenten besitzen eine Ableitung, die ein konstantes Vielfaches von \(x\) ist? - Prüfe für jede Ergänzung, ob der Integrand bis auf einen konstanten Faktor die Form \(g'(x)e^{g(x)}\) hat. - Für die Berechnung genügt es, eine deiner beiden Ergänzungen vollständig auszuwerten.

1. Eine mögliche Ergänzung ist \(x^2\). Dann gilt für \(g(x)=x^2\) die Ableitung \(g'(x)=2x\), sodass \(xe^{x^2}=\frac12g'(x)e^{g(x)}\) ist. 2. Eine zweite mögliche Ergänzung ist \(2x^2-1\). Für \(h(x)=2x^2-1\) gilt \(h'(x)=4x\), sodass \(xe^{2x^2-1}=\frac14h'(x)e^{h(x)}\) ist. 3. Für die erste Ergänzung ist \(\frac12e^{x^2}\) eine Stammfunktion. Daher gilt \(\int_0^1xe^{x^2}\,dx=\left[\frac12e^{x^2}\right]_0^1=\frac{e-1}{2}\).

Zum Beispiel \(x^2\) und \(2x^2-1\). Für die Ergänzung \(x^2\) gilt \(\int_0^1xe^{x^2}\,dx=\frac{e-1}{2}\).

- Für a) genügt es, eine Ergänzung zu finden, bei der sich Zähler und Nenner vereinfachen. - Für b) muss der Zähler die Ableitung des gewählten Nenners sein. - Es gibt mehrere mögliche Ergänzungen; du musst jeweils nur eine angeben und begründen.

1. In a) ist zum Beispiel der Nenner \(e^x\) möglich. Dann ist der Integrand gleich \(1\), also beträgt der Integralwert \(1\). 2. In b) muss der Nenner eine Funktion sein, deren Ableitung \(e^x\) ist. Eine mögliche Wahl ist \(e^x+1\). 3. Dann gilt \(\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,dx=[\ln(e^x+1)]_0^1=\ln\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

a) Zum Beispiel Nenner \(e^x\); Integralwert \(1\). b) Zum Beispiel Nenner \(e^x+1\); Integralwert \(\ln\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

- Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel und welche Symmetrie weist sie auf? - Wie verhält sich das Intervall \([1; 3]\) in Bezug auf die Symmetrieachse der Funktion? - Wenn du rechnen möchtest: Bestimme zuerst eine Stammfunktion und setze die Grenzen ein. - Nutze die Intervalladditivität, um das große Integral in zwei Teile zu zerlegen.

1. Lösungsweg über Symmetrie: Der Graph von \(f(x) = (x-2)^2 - 1\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(2\mid -1)\). Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\). Im Intervall \([1; 3]\) liegt die Symmetrieachse genau in der Mitte. Daher ist der orientierte Flächeninhalt im Teilintervall \([1; 2]\) identisch mit dem im Teilintervall \([2; 3]\). Die Summe beider Teilintegrale (\(\int_{1}^{3} f(x) \, dx\)) entspricht somit dem Doppelten eines Teilintegrals. 2. Lösungsweg über den Hauptsatz: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}(x-2)^3 - x\). Die Berechnung der linken Seite ergibt \(F(3) - F(1) = (\frac{1}{3} \cdot 1^3 - 3) - (\frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - 1) = -\frac{8}{3} - (-\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}\). Die Berechnung der rechten Seite ergibt \(2 \cdot (F(3) - F(2)) = 2 \cdot ((-\frac{8}{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^3 - 2)) = 2 \cdot (-\frac{8}{3} + 2) = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}\). Beide Seiten sind gleich.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\) ist, wodurch \(\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} f(x) \, dx\) gilt. Alternativ liefert die Berechnung mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}(x-2)^3 - x\) auf beiden Seiten den Wert \(-\frac{4}{3}\).

- Vergleiche in a) den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Schreibe in b) den Nenner als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei der linearen inneren Funktion in b) muss der konstante innere Ableitungsfaktor berücksichtigt werden.

1. In a) ist der Zähler die Ableitung des Nenners. Daher liefert die logarithmische Regel die Stammfunktion \(\ln|x^2-5x+10|\). 2. Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln(4)-\ln(6)=\ln\left(\frac23\right)\). 3. In b) schreibe den Integranden als \((2x+2)^{-3}\). Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist \(-\frac{1}{4}(2x+2)^{-2}\) eine Stammfunktion. 4. Damit folgt \(-\frac{1}{64}+\frac{1}{16}=\frac{3}{64}\).

a) \(\ln(\frac{2}{3})\) b) \(\frac{3}{64}\)

- Vergleiche in a) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung des Exponenten. - Prüfe in b), ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Ordne beide Integrale jeweils einem der behandelten Strukturmuster zu, bevor du rechnest.

1. In a) hat der Integrand mit \(g(x)=x^2\) genau die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(e^{x^2}\). Daher beträgt der Integralwert \(e-1\). 2. In b) ist der Zähler die Ableitung des Nenners \(h(x)=e^x+1\). Daher ist \(\ln(e^x+1)\) eine Stammfunktion. 3. Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln(e+1)-\ln(2)=\ln\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

a) \(e-1\) b) \(\ln\left(\frac{e+1}{2}\right)\)

- Überlege dir, wo die Nullstellen der Funktion liegen und ob der Graph eine besondere Symmetrie aufweist. - Was bedeutet Punktsymmetrie zu einem Punkt auf der \(x\)-Achse für den Wert eines Integrals über ein symmetrisches Intervall? - Kannst du das Integral von 0 bis 4 in zwei Teilintegrale zerlegen?

1. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\): Die Funktion besitzt Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(1\mid 0)\), da \(f(1+h) = -f(1-h)\) gilt. 2. Anwendung auf das Integral: Aufgrund der Punktsymmetrie zum Mittelpunkt des Intervalls \([0; 2]\) heben sich die orientierten Flächeninhalte in diesem Bereich gegenseitig auf, woraus \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0\) folgt. 3. Intervalladditivität: Das Integral über \([0; 4]\) lässt sich aufspalten in \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 4. Schlussfolgerung: Da der erste Teilterm Null ist, gilt \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 0 + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). Die Aussage ist somit wahr.

Die Aussage ist wahr. Begründung: Der Graph von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(1\mid 0)\). Daraus folgt, dass die Flächenbilanz im Intervall \([0; 2]\) genau Null ergibt (\(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0\)). Durch die Zerlegung des Integrals \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx\) erkennt man, dass der Wert identisch mit \(\int_{2}^{4} f(x) \, dx\) sein muss.

- Welche Stammfunktionen gehören zu den drei Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten der Exponentialfunktion auf ihre Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert der Punkt \(P(0\mid3)\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+C\). 2. Aus \(F(0)=3\) folgt \(2-1+C=3\). 3. Damit ist \(C=2\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\).

\(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\)

- Bearbeite die beiden Summanden getrennt. - Beim ersten Summanden hilft für die Stammfunktion der Vergleich von Zähler und Nennerableitung. - Beim trigonometrischen Summanden ist die innere Funktion linear; beim Ableiten dagegen verwendest du die Kettenregel.

1. Für die Ableitung des ersten Summanden ergibt die Quotientenregel \(\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}\). Der zweite Summand liefert mit der Kettenregel \(2\cos(2x+1)\). Somit ist \(f'(x)=\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}+2\cos(2x+1)\). 2. Beim ersten Summanden liegt die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) mit \(g(x)=2x^2+3\) vor. Daher ist \(\ln(2x^2+3)\) eine Stammfunktion. 3. Für \(\sin(2x+1)\) liefert die Integrationsregel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(-\frac12\cos(2x+1)\). 4. Insgesamt kann man \(F(x)=\ln(2x^2+3)-\frac12\cos(2x+1)\) wählen.

\(f'(x) = \frac{12 - 8x^2}{(2x^2 + 3)^2} + 2\cos(2x + 1)\) \(F(x) = \ln(2x^2 + 3) - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)\)

- Für die Ableitung des ersten Summanden brauchst du Produkt- und Kettenregel. - Für dessen Stammfunktion vergleiche den Faktor \(x\) mit der Ableitung des Exponenten. - Beim Wurzelterm ist die innere Funktion linear; schreibe die Wurzel als Potenz.

1. Für \(x>\frac23\) ergibt die Produkt- und Kettenregel \(\frac{d}{dx}(x e^{-x^2})=(1-2x^2)e^{-x^2}\) und \(\frac{d}{dx}\sqrt{3x-2}=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\). 2. Daher ist \(f'(x)=(1-2x^2)e^{-x^2}+\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\) für \(x>\frac23\). 3. Für die Stammfunktion hat der erste Summand bis auf den Faktor \(-\frac12\) die Form \(g'(x)e^{g(x)}\) mit \(g(x)=-x^2\). Daher ist \(-\frac12e^{-x^2}\) eine Stammfunktion dieses Summanden. 4. Für \(\sqrt{3x-2}\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen \(\frac29(3x-2)^{3/2}\). 5. Somit kann man \(F(x)=-\frac12e^{-x^2}+\frac29(3x-2)^{3/2}\) wählen.

\(f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2} + \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}}\) für \(x > \frac{2}{3}\) \(F(x) = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + \frac{2}{9}\sqrt{(3x - 2)^3}\) für \(x \ge \frac{2}{3}\)

- Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn du das Vorzeichen vor einem Integral änderst? - Kannst du die beiden Integrale so umformen, dass sie eine gemeinsame Grenze haben? - Über welches Gesamtintervall wird effektiv integriert, wenn man ein Teilintervall von einem größeren abzieht? - Versuche, eine Stammfunktion für den Term in der Klammer zu finden.

1. Nutzung der Integraleigenschaften: Die Subtraktion eines Integrals ist gleichbedeutend mit der Addition des Integrals bei vertauschten Grenzen: \(-\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{3}^{2} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale: \(\int_{-1}^{3} (4 - x^2) \, dx + \int_{3}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\). 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(-1) = 4 \cdot (-1) - \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Differenz: \(\frac{16}{3} - \left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

\(9\)

- Wie kannst du ein Minuszeichen vor einem Integral eliminieren, indem du die Integrationsgrenzen anpasst? - Schau dir die Grenzen der einzelnen Integrale genau an. Lassen sie sich zu einer lückenlosen Kette verbinden? - Es ist oft einfacher, zuerst den gesamten Integralausdruck zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der drei Integrale über die aneinandergrenzenden Intervalle \([-1; 2]\), \([2; 4]\) und \([4; 5]\) zu einem Integral über das Gesamtintervall \([-1; 5]\): \(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\). 4. Berechnung der Funktionswerte an den Grenzen: \(F(5) = 5^3 - 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 5 = 125 - 50 + 25 = 100\) und \(F(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) = -1 - 2 - 5 = -8\). 5. Differenzbildung: \(100 - (-8) = 108\).

\(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 108\)

- Kannst du die beiden Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen, da sie dieselben Grenzen haben? - Multipliziere den Faktor vor dem ersten Integral in den Integranden hinein, bevor du die Funktionen addierst. - Welche Terme im Integranden heben sich gegenseitig auf, wenn du alles zusammenfasst? - Erinnere dich beim Integrieren daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten behandelt.

1. Anwendung der Linearität (Faktorregel und Summenregel), um die Integranden zusammenzufassen: \(\int_{1}^{4} \left(3 \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) + (2 - 3\sqrt{x})\right) \, dx\). 2. Vereinfachung des Integranden: \(3\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} + 2 - 3\sqrt{x} = \frac{3}{x^2} + 2\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-2} + 2\): \(F(x) = -3x^{-1} + 2x = -\frac{3}{x} + 2x\). 4. Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(4) = -\frac{3}{4} + 2 \cdot 4 = -0{,}75 + 8 = 7{,}25\) und \(F(1) = -\frac{3}{1} + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1\). 5. Differenzbildung: \(7{,}25 - (-1) = 8{,}25\).

\(\int_{1}^{4} \left(\frac{3}{x^2} + 2\right) \, dx = 8{,}25\)

- Überprüfe, ob der Integrand nur gerade oder nur ungerade Exponenten besitzt. - Wie verhält sich der Graph einer Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei einer Spiegelung am Ursprung? - Kannst du eine Summe im Integral in einzelne Integrale aufteilen, um Symmetrien besser zu nutzen? - Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für die Flächeninhalte links und rechts der Achse?

1. Der Integrand \(f(x) = x^5 - 12x^3 + 2x\) enthält nur ungerade Exponenten. Die Funktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Da das Integrationsintervall \([-4; 4]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte auf: \(\int_{-4}^{4} (x^5 - 12x^3 + 2x) \, dx = 0\). 2. Der Integrand \(g(x) = 15x^4 - 6x^2\) enthält nur gerade Exponenten. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Es gilt \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} (15x^4 - 6x^2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(G(x) = 3x^5 - 2x^3\) ergibt sich \(2 \cdot [3x^5 - 2x^3]_0^1 = 2 \cdot (3 - 2) = 2\). 3. Der Integrand \(h(x) = x^2 + 2x + 1\) kann in einen geraden Teil \(x^2 + 1\) und einen ungeraden Teil \(2x\) zerlegt werden. Das Integral über den ungeraden Teil \(\int_{-3}^{3} 2x \, dx\) ist \(0\). Das Integral über den geraden Teil ist \(2 \cdot \int_{0}^{3} (x^2 + 1) \, dx = 2 \cdot [\frac{1}{3}x^3 + x]_0^3 = 2 \cdot (9 + 3) = 24\).

1. \(0\) 2. \(2\) 3. \(24\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer Polynomfunktion und ihrem Symmetrieverhalten. - Welche bekannten Integralregeln helfen dir beim Term \(f(x)+c\)? - Denke bei der Beurteilung von Aussagen über Integrale an die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse. - Reicht die Symmetrie alleine aus, um das Vorzeichen des Integrals festzulegen?

1. Für \(f(-x)=-f(x)\) ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Auf dem symmetrischen Intervall \([-3;3]\) heben sich die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge paarweise auf, also gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=0\). 2. Mit der Linearität gilt \(I=\int_{-3}^{3}f(x)\,dx+\int_{-3}^{3}c\,dx\). 3. Der erste Summand ist \(0\), und \(\int_{-3}^{3}c\,dx=[cx]_{-3}^{3}=3c-(-3c)=6c\). Damit ist \(I=6c\). 4. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse legt das Vorzeichen des Integrals nicht fest. Zum Beispiel ist \(g(x)=-1\) achsensymmetrisch und \(\int_{-1}^{1}-1\,dx=-2<0\). Die Behauptung ist daher falsch.

a) Punktsymmetrie zum Ursprung bei symmetrischem Intervall führt zur Flächenbilanz \(0\). b) \(I=6c\) c) Die Aussage ist falsch; liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (z. B. \(g(x)=-1\)), ist das Integral negativ.

- Erinnere dich an die Regel, was passiert, wenn man die obere und untere Grenze eines Integrals vertauscht. - Kannst du zwei Integrale mit demselben Integranden zusammenfügen, wenn die Grenzen „aneinanderstoßen“? - Prüfe nach dem Zusammenfügen, ob das neue Intervall eine besondere Symmetrie aufweist.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale über die Intervalladditivität: \(\int_{-4}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{-4}^{4} f(x) \, dx\). 3. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 + 2x + 0{,}5\): Die Summanden \(x^3\) und \(2x\) sind ungerade, ihr Integral über \([-4; 4]\) ist \(0\). 4. Reduktion des Integrals auf den konstanten (geraden) Teil: \(\int_{-4}^{4} 0{,}5 \, dx\). 5. Berechnung des verbleibenden Integrals: \([0{,}5x]_{-4}^{4} = 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5 \cdot (-4) = 2 - (-2) = 4\).

\(4\)

- Überlege dir, wie sich Flächeninhalte bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse verhalten. - Nutze die Eigenschaft, dass man Integrationsintervalle an beliebigen Stellen aufteilen oder zusammensetzen kann. - Erinnere dich daran, wie man die Summe von zwei Funktionen integriert. - Wie berechnet man das Integral einer konstanten Funktion über ein bestimmtes Intervall?

1. Da \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \, dx\). Somit ist \(\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 2 \cdot 4 = 8\). 2. Bei Achsensymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\). Daher ist \(\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -2\). 3. Wegen der Symmetrie ist \(\int_{-5}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{5} f(x) \, dx\). Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 4 + (-2) = 2\). 4. Nach der Linearität des Integrals gilt \(\int_{0}^{5} (f(x) + 3) \, dx = \int_{0}^{5} f(x) \, dx + \int_{0}^{5} 3 \, dx\). Das erste Integral ist \(2\) (siehe Schritt 3), das zweite ist \([3x]_0^5 = 15\). Die Summe ergibt \(2 + 15 = 17\).

a) \(8\) b) \(-2\) c) \(2\) d) \(17\)

- Kannst du den Funktionsterm in eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion aufteilen? - Was passiert mit dem Integral der ungeraden Summanden, wenn man über ein Intervall von \(-k\) bis \(k\) integriert? - Berechne das Integral des verbleibenden Anteils unter Ausnutzung der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrands: Aufgrund der Linearität des Integrals gilt \(\int_{-k}^{k} (x^3 - 6x^2 + 2x) \, dx = \int_{-k}^{k} (x^3 + 2x) \, dx + \int_{-k}^{k} (-6x^2) \, dx\). 2. Symmetriebetrachtung: Der Anteil \(u(x) = x^3 + 2x\) ist eine ungerade Funktion. Für jedes symmetrische Intervall \([-k; k]\) gilt \(\int_{-k}^{k} u(x) \, dx = 0\). Somit hängt der Gesamtwert nur vom Integral des geraden Anteils \(g(x) = -6x^2\) ab. 3. Berechnung: \(I = \int_{-k}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot [-2x^3]_0^k = 2 \cdot (-2k^3) = -4k^3\).

a) Da \(x^3\) und \(2x\) ungerade Funktionen sind, ist ihr Integral über \([-k; k]\) gleich \(0\). Es bleibt nur das Integral über den geraden Anteil \(-6x^2\). b) \(I = -4k^3\)

- Betrachte die Symmetrie der einzelnen Summanden der Funktion im Hinblick auf das Integrationsintervall. - Was passiert mit dem Integral einer ungeraden Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Kannst du die Berechnung vereinfachen, indem du nur den geraden Anteil der Funktion integrierst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das verbleibende Integral zu lösen.

1. Aufteilen des Integrands in einen ungeraden Teil \(u(x) = 2x^5 - 4x^3\) und einen geraden Teil \(g(x) = 3x^2 - 1\). 2. Da das Integrationsintervall \([-2; 2]\) symmetrisch zum Ursprung ist, gilt für den ungeraden Teil \(\int_{-2}^{2} (2x^5 - 4x^3) \, dx = 0\). 3. Berechnung des verbleibenden Integrals des geraden Teils: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 1) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 1) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = x^3 - x\). 5. Anwendung des Hauptsatzes: \(2 \cdot [x^3 - x]_0^2 = 2 \cdot ((2^3 - 2) - (0^3 - 0)) = 2 \cdot (8 - 2) = 12\).

\(12\)

- Untersuche, welche Terme der Funktion \(f\) beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall wegfallen könnten. - Wie verhalten sich Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei der Integration von \(-a\) bis \(a\)? - Nutze die Achsensymmetrie des verbleibenden Terms aus, um die Rechnung auf das Intervall von \(0\) bis \(5\) zu beschränken.

1. Identifikation der Symmetrieeigenschaften: Die Terme \(x^3\) und \(-\frac{1}{2}x\) sind ungerade Potenzen von \(x\), der Term \(\frac{3}{10}x^4\) ist eine gerade Potenz. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral der ungeraden Anteile über das symmetrische Intervall \([-5; 5]\) gleich null: \(\int_{-5}^{5} (x^3 - \frac{1}{2}x) \, dx = 0\). 3. Das Integral reduziert sich auf den geraden Anteil: \(\int_{-5}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{50}x^5\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [\frac{3}{50}x^5]_0^5 = 2 \cdot (\frac{3}{50} \cdot 5^5 - 0) = 2 \cdot \frac{3 \cdot 3125}{50} = 2 \cdot 187{,}5 = 375\).

\(375\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Endpunkt des Graphen im betrachteten Intervall hat. - Welches geometrische Objekt wird durch die Koordinatenachsen und die Parallelen dazu aufgespannt? - Wie hängen die Flächeninhalte unter einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen, wenn man sie in ein gemeinsames Rechteck einzeichnet? - Welches Integral einer einfacheren Funktion (hier die Quadratfunktion) musst du berechnen, um den Restanteil der Fläche zu bestimmen?

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^2\) für \(x \geq 0\). Die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; 4]\) entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(y\)-Achse im Bereich von \(y = 0\) bis \(y = 4\). 2. Der Punkt \((4\mid 2)\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(\sqrt{4} = 2\). Das zugehörige Rechteck im ersten Quadranten hat die Eckpunkte \((0\mid 0)\), \((4\mid 0)\), \((4\mid 2)\) und \((0\mid 2)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 2 = 8\). 3. Die gesuchte Fläche \(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx\) ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Rechteckinhalt und der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 2]\). 4. Berechnung des Integrals von \(f\): \(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}\). 5. Berechnung des gesuchten Werts: \(8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx = \frac{16}{3}\)

- Bearbeite die beiden Summanden getrennt. - Schreibe den Wurzelterm als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei beiden Summanden ist die innere Funktion linear; berücksichtige jeweils deren konstanten Ableitungsfaktor.

1. Für den ersten Summanden gilt mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen \(\int\frac{10}{2x+7}\,dx=5\ln(2x+7)\). Im gegebenen Definitionsbereich ist \(2x+7>0\). 2. Schreibe den zweiten Summanden als \((4x+9)^{-1/2}\). Mit derselben Regel für die lineare innere Funktion erhält man \(\frac12\sqrt{4x+9}\) als Stammfunktion. 3. Eine Stammfunktion von \(f\) ist daher \(F(x)=5\ln(2x+7)+\frac12\sqrt{4x+9}\).

\(F(x) = 5 \ln(2x + 7) + \frac{1}{2} \sqrt{4x + 9}\)

- Welche Regel beim Ableiten kennst du, die einen konstanten Faktor betrifft? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie lässt sich ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen? - Kannst du den konstanten Faktor aus der Differenz der Funktionswerte an den Grenzen ausklammern?

1. Es sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), sodass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Nach der Faktorregel der Differentialrechnung ist die Ableitung von \(k \cdot F(x)\) gleich \(k \cdot F'(x) = k \cdot f(x)\). Damit ist \(k \cdot F\) eine Stammfunktion der Funktion \(k \cdot f\). 3. Die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt: \(\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = [k \cdot F(x)]_{a}^{b}\). 4. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(k \cdot F(b) - k \cdot F(a)\). 5. Ausklammern von \(k\) führt zu \(k \cdot (F(b) - F(a))\). Da \(F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\), folgt die Behauptung: \(k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx\).

Durch die Wahl einer Stammfunktion \(F\) von \(f\) und Anwendung der Faktorregel der Differentialrechnung zeigt man, dass \(k \cdot F\) eine Stammfunktion von \(k \cdot f\) ist. Über den Hauptsatz folgt \([k \cdot F(x)]_a^b = k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx\).

- Betrachte die Differenz zweier Stammfunktionen und leite diese ab. - Welche Ableitungsregel hilft dir, eine Stammfunktion für den Ausdruck \(f(x) - g(x)\) zu finden? - Nutze den Hauptsatz, um das Integral der Differenz durch die Werte der Stammfunktionen an den Grenzen auszudrücken. - Versuche, die resultierenden Terme so zu sortieren, dass die einzelnen Integrale von \(f\) und \(g\) erkennbar werden.

1. Es seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\) bzw. \(g\), sodass \(F' = f\) und \(G' = g\) gilt. 2. Aufgrund der Differenzregel der Differentialrechnung ist die Ableitung der Funktion \(H(x) = F(x) - G(x)\) gegeben durch \(H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)\). Somit ist \(F - G\) eine Stammfunktion von \(f - g\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx = [F(x) - G(x)]_{a}^{b}\). 4. Auswerten an den Grenzen liefert \((F(b) - G(b)) - (F(a) - G(a))\). 5. Durch Umordnen der Terme erhält man \((F(b) - F(a)) - (G(b) - G(a))\). 6. Dies entspricht nach Definition genau der Differenz der Einzelintegrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\).

Mit den Stammfunktionen \(F\) und \(G\) gilt \((F-G)' = f-g\). Über den Hauptsatz folgt \(\int_a^b (f-g) \, dx = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)) = (F(b)-F(a)) - (G(b)-G(a)) = \int_a^b f \, dx - \int_a^b g \, dx\).

- Kannst du die Funktion in zwei Teile zerlegen, von denen einer vielleicht besonders leicht zu integrieren ist? - Untersuche, welche Terme der Summe punktsymmetrisch und welche achsensymmetrisch sind. - Wie vereinfacht sich die Rechnung, wenn du die untere Grenze \(0\) statt \(-2\) nutzt?

1. Aufteilung des Integranden in einen ungeraden Anteil \(u(x) = \frac{1}{2}x^3\) und einen geraden Anteil \(g(x) = -x^2 + 2\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie von \(u(x)\) zum Ursprung gilt \(\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^3 \, dx = 0\). 3. Aufgrund der Achsensymmetrie von \(g(x)\) zur \(y\)-Achse kann das Integral über \([-2; 2]\) als \(2 \cdot \int_{0}^{2} (-x^2 + 2) \, dx\) berechnet werden. 4. Bestimmung einer Stammfunktion für den verbleibenden Teil: \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [-\frac{1}{3}x^3 + 2x]_0^2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - 0\right) = 2 \cdot \left(-\frac{8}{3} + 4\right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten von \(e^{2x}\) auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(0)=5\) die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+C\). 2. Aus \(F(0)=5\) folgt \(2+C=5\). 3. Damit ist \(C=3\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\).

\(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\)

- Bestimme zuerst, wann der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. - Schreibe die Funktion als Potenz mit Exponent \(-\frac12\). - Berücksichtige bei der linearen inneren Funktion den Faktor ihrer Ableitung. - Überprüfe Ergebnis und Definitionsbereich durch Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(4-3x>0\) gelten. Daher ist der Definitionsbereich \(D_f=(-\infty,\frac43)\). 2. In Potenzschreibweise gilt \(f(x)=(4-3x)^{-\frac12}\). 3. Die innere Funktion ist \(u(x)=4-3x\), die äußere Funktion ist \(v(u)=u^{-\frac12}\) für \(u>0\). 4. Eine Stammfunktion der äußeren Funktion ist \(2u^{\frac12}\). Wegen \(u'(x)=-3\) ergibt sich \(F(x)=-\frac13\cdot2(4-3x)^{\frac12}=-\frac23\sqrt{4-3x}\). 5. Durch Ableiten erhält man \(F'(x)=\frac{1}{\sqrt{4-3x}}\) für \(x<\frac43\).

Definitionsbereich: \(x<\frac43\). Innere Funktion: \(u(x)=4-3x\). Äußere Funktion: \(v(u)=u^{-\frac12}=\frac1{\sqrt u}\) für \(u>0\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac23\sqrt{4-3x}\).

- Alle drei Terme enthalten eine lineare innere Funktion der Form \(ax+b\). - Schreibe den Bruch in b) als Potenz mit negativem Exponenten. - Berücksichtige jeweils den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. In a) ist die innere Funktion linear. Mit der entsprechenden Integrationsregel ist \(F(x)=\frac12(0{,}4x-2)^5\) eine Stammfunktion. 2. In b) schreibe \(g(x)=3(1-2x)^{-2}\). Die Regel für lineare innere Funktionen liefert \(G(x)=\frac{3}{2}(1-2x)^{-1}=\frac{3}{2(1-2x)}\). 3. In c) ergibt dieselbe Regel \(H(x)=\frac12\sin\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)\).

a) \(F(x) = 0{,}5(0{,}4x - 2)^5\) b) \(G(x) = \frac{3}{2(1 - 2x)}\) c) \(H(x) = 0{,}5 \sin\left(4x + \frac{\pi}{2}\right)\)

- Bestimme zuerst den reellen Definitionsbereich. - Bilde zunächst die allgemeine Stammfunktion mit \(C\). - Setze anschließend \(x=0\) und nutze \(F(0)=5\). - Überprüfe das Ergebnis durch Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(2x+9>0\) gelten. Daher ist \(D_f=(-\frac92,\infty)\). 2. Es gilt \(f(x)=(2x+9)^{-\frac12}\). Eine allgemeine Stammfunktion auf diesem Intervall ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+C\), denn \(\frac{d}{dx}\sqrt{2x+9}=\frac1{\sqrt{2x+9}}\). 3. Aus \(F(0)=5\) folgt \(3+C=5\), also \(C=2\). 4. Damit ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

\(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

- Kannst du den Term mit Hilfe der binomischen Formeln oder durch schrittweises Multiplizieren vereinfachen? - Was musst du beim Integrieren beachten, wenn im Inneren der Potenz eine lineare Funktion steht? - Wie verändert der Vorfaktor der inneren Funktion das Gesamtergebnis der Integration? - Hast du beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion sorgfältig auf die Vorzeichen geachtet?

1. Ausmultiplizieren des Terms: \((0{,}5x + 1)^3 = (0{,}5x + 1)^2 \cdot (0{,}5x + 1) = (0{,}25x^2 + x + 1) \cdot (0{,}5x + 1) = 0{,}125x^3 + 0{,}75x^2 + 1{,}5x + 1\). 2. Gliedweise Integration: \(\int_0^2 (0{,}125x^3 + 0{,}75x^2 + 1{,}5x + 1) \, dx = [0{,}03125x^4 + 0{,}25x^3 + 0{,}75x^2 + x]_0^2\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((0{,}03125 \cdot 16 + 0{,}25 \cdot 8 + 0{,}75 \cdot 4 + 2) - 0 = 0{,}5 + 2 + 3 + 2 = 7{,}5\). 4. Lineare Substitution: Mit \(f(u) = u^3\) und der inneren Funktion \(g(x) = 0{,}5x + 1\) (wobei \(a = 0{,}5\)) ergibt sich die Stammfunktion \(\Phi(x) = \frac{1}{0{,}5} \cdot \frac{1}{4}(0{,}5x + 1)^4 = 0{,}5(0{,}5x + 1)^4\). 5. Einsetzen der Grenzen in die Substitutionsformel: \(0{,}5 \cdot [(0{,}5 \cdot 2 + 1)^4 - (0{,}5 \cdot 0 + 1)^4] = 0{,}5 \cdot (2^4 - 1^4) = 0{,}5 \cdot (16 - 1) = 7{,}5\). Beide Wege führen zum identischen Ergebnis \(7{,}5\).

\(7{,}5\)

- Erinnere dich an das Pascalsche Dreieck, um Potenzen von Binomen schneller auszumultiplizieren. - Achte bei der linearen Substitution besonders auf das Vorzeichen des Faktors vor dem \(x\). - Was passiert mit einer negativen Zahl, wenn sie mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird? - Überprüfe, ob du beim Integrieren der einzelnen Glieder die Exponenten und die zugehörigen Nenner korrekt angepasst hast.

1. Ausmultiplizieren mittels des Pascalschen Dreiecks oder binomischer Formeln: \((1 - 2x)^4 = 1 - 4(2x) + 6(2x)^2 - 4(2x)^3 + (2x)^4 = 1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4\). 2. Gliedweise Integration: \(\int_0^1 (1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4) \, dx = [x - 4x^2 + 8x^3 - 8x^4 + 3{,}2x^5]_0^1\). 3. Berechnung des Werts: \((1 - 4 + 8 - 8 + 3{,}2) - 0 = 0{,}2\). 4. Anwendung der linearen Substitution: Die innere Funktion ist \(g(x) = 1 - 2x\) mit \(a = -2\). Die Stammfunktion lautet \(\Phi(x) = \frac{1}{-2} \cdot \frac{1}{5}(1 - 2x)^5 = -0{,}1(1 - 2x)^5\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(-0{,}1 \cdot [(1 - 2 \cdot 1)^5 - (1 - 2 \cdot 0)^5] = -0{,}1 \cdot ((-1)^5 - 1^5) = -0{,}1 \cdot (-1 - 1) = -0{,}1 \cdot (-2) = 0{,}2\). Beide Methoden bestätigen den Wert \(0{,}2\).

\(0{,}2\)

- Kannst du die Summenregel anwenden, um das Integral in zwei Teile zu zerlegen? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion \(ax+b\)? - Wie lautet die Stammfunktion von \(x^n\) für negative Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor dem Term steht.

1. Bestimmung der Stammfunktion für den ersten Summanden \((2x+1)^3\): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt sich \(F_1(x) = \frac{1}{2 \cdot 4}(2x+1)^4 = \frac{1}{8}(2x+1)^4\). 2. Berechnung des Teilintegrals: \(F_1(1) - F_1(0) = \frac{3^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{81}{8} - \frac{1}{8} = \frac{80}{8} = 10\). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den zweiten Summanden \(3(3x+1)^{-2}\): Die Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion liefert \(F_2(x) = 3 \cdot \frac{1}{3 \cdot (-1)}(3x+1)^{-1} = -\frac{1}{3x+1}\). 4. Berechnung des Teilintegrals: \(F_2(1) - F_2(0) = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Differenz der Teilintegrale bilden: \(10 - 0{,}75 = 9{,}25\).

\(9{,}25\)

- Überlege dir, wie sich die innere Ableitung einer linearen Funktion beim Integrieren auf den Vorfaktor auswirkt. - Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit negativem, rationalem Exponenten um. - Welche Werte nehmen die Sinus- und Kosinusfunktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\) an? - Behandle die beiden Summanden getrennt voneinander.

1. Stammfunktion für \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion erhält man \(F_1(x) = -\frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). 2. Auswertung an den Grenzen: \(F_1(4) - F_1(0) = -\frac{4}{\pi} \cos(\pi) - \left(-\frac{4}{\pi} \cos(0)\right) = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{\pi} = \frac{8}{\pi}\). 3. Stammfunktion für \((2x+1)^{-\frac{1}{2}}\): Die Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt \(F_2(x) = \sqrt{2x+1}\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F_2(4) - F_2(0) = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(\frac{8}{\pi} + 2\).

\(\frac{8}{\pi} + 2\)

- Kannst du den Term in der Klammer mithilfe einer binomischen Formel vereinfachen? - Wie lässt sich eine Potenz einer Potenz mit einer einzigen Basis ausdrücken? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf das Vorzeichen.

1. Den Ausdruck in der Klammer mithilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen: \(4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2\). 2. Den Integranden umschreiben: \(((2x - 1)^2)^3 = (2x - 1)^6\). 3. Eine Stammfunktion unter Anwendung der linearen Substitutionsregel bestimmen: \(F(x) = \frac{1}{7 \cdot 2}(2x - 1)^7 = \frac{1}{14}(2x - 1)^7\). 4. Die Grenzen einsetzen: \(F(1) = \frac{1}{14}(2 \cdot 1 - 1)^7 = \frac{1}{14} \cdot 1^7 = \frac{1}{14}\) und \(F(0) = \frac{1}{14}(2 \cdot 0 - 1)^7 = \frac{1}{14} \cdot (-1)^7 = -\frac{1}{14}\). 5. Die Differenz berechnen: \(F(1) - F(0) = \frac{1}{14} - \left(-\frac{1}{14}\right) = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\).

\(\frac{1}{7}\)

- Schau dir an, an welcher Stelle sich die Definition der Funktion ändert. - Wie kannst du das gesamte Intervall in Teilintervalle zerlegen, in denen jeweils nur eine Funktionsvorschrift gilt? - Berechne die Integrale für die einzelnen Abschnitte getrennt und addiere danach die Ergebnisse.

1. Zerlegung des Integrals an der Nahtstelle der Funktionsvorschriften bei \(x = 0\) gemäß der Intervalladditivität: \(\int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx + \int_{0}^{2} (1 - x) \, dx\). 2. Berechnung des ersten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_1(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\): \([\frac{1}{2}e^{2x}]_{-1}^0 = \frac{1}{2}e^0 - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2}\). 3. Berechnung des zweiten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_2(x) = x - \frac{1}{2}x^2\): \([x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 = (2 - \frac{1}{2} \cdot 4) - (0 - 0) = 0\). 4. Addition der beiden Teilwerte ergibt den Gesamtwert: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} + 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\).

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\)

- Bestimme zunächst die Menge aller möglichen Stammfunktionen mit einer Konstante \(C\). - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den Wert von \(C\) zu berechnen? - Erinnere dich daran, welchen Wert eine Potenz mit dem Exponenten \(0\) hat.

1. Zuerst wird die allgemeine Stammfunktion von \(f(x) = 3e^{-x} + 2\) gebildet. Unter Beachtung der linearen Substitution für \(e^{-x}\) (Faktor \(\frac{1}{-1}\)) ergibt sich \(F(x) = -3e^{-x} + 2x + C\). 2. Zur Bestimmung der Integrationskonstanten \(C\) wird die Bedingung \(F(0) = 1\) genutzt. Einsetzen in die Stammfunktion liefert: \(-3e^{0} + 2 \cdot 0 + C = 1\). 3. Da \(e^0 = 1\) ist, folgt die Gleichung \(-3 + C = 1\), woraus \(C = 4\) resultiert. 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet somit \(F(x) = -3e^{-x} + 2x + 4\).

\(F(x) = -3e^{-x} + 2x + 4\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ersetzen des Differentials. - Wenn du die Integrationsgrenzen vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des gesamten Integrals. - Überprüfe am Ende, ob dein Argument im Logarithmus positiv ist. - Gibt es eine Regel für die Integration von Brüchen, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist?

1. Substitution von \(u = 12 - 3x\). Aus \(du = -3 \, dx\) folgt \(dx = -\frac{1}{3} \, du\). 2. Berechnung der neuen Integrationsgrenzen: Die untere Grenze \(x = -1\) wird zu \(u = 12 - 3(-1) = 15\). Die obere Grenze \(x = 2\) wird zu \(u = 12 - 3(2) = 6\). 3. Einsetzen in das Integral: \(\int_{15}^{6} \frac{6}{u} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \, du = -2 \int_{15}^{6} \frac{1}{u} \, du\). 4. Vertauschen der Grenzen zur Aufhebung des negativen Vorzeichens: \(2 \int_{6}^{15} \frac{1}{u} \, du\). 5. Integration und Einsetzen: \(2 \cdot [\ln|u|]_{6}^{15} = 2 \cdot (\ln(15) - \ln(6))\). 6. Zusammenfassen des Logarithmus: \(2\ln\left(\frac{15}{6}\right) = 2\ln(2{,}5)\).

\(2\ln(2{,}5)\) (ca. \(1{,}833\))

- Welche Regel gilt für das Integrieren einer Funktion mit einem linearen Term im Exponenten? - Untersuche bei Teilaufgabe b), in welchem Verhältnis der Vorfaktor zur Ableitung des Exponenten steht. - Welche der curricularen Strukturen \(f(ax+b)\) oder \(g'(x)e^{g(x)}\) passt jeweils zu den beiden Teilaufgaben?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion angewendet. Da die innere Funktion \(g(x) = 4 - 0{,}5x\) die Ableitung \(g'(x) = -0{,}5\) besitzt, ergibt sich die Stammfunktion durch Division des Koeffizienten \(-2\) durch \(-0{,}5\). Dies führt zu \(F(x) = \frac{-2}{-0{,}5} e^{4 - 0{,}5x} = 4 e^{4 - 0{,}5x}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Struktur \(g'(x) \cdot e^{g(x)}\) erkannt. Die Ableitung des Exponenten \(g(x) = x^2 - 3x + 1\) ist \(g'(x) = 2x - 3\). Da der Vorfaktor \(6x - 9\) das Dreifache von \(2x - 3\) ist, lässt sich die Funktion als \(f(x) = 3(2x - 3) \cdot e^{x^2 - 3x + 1}\) schreiben. Die Stammfunktion lautet somit \(F(x) = 3 e^{x^2 - 3x + 1}\).

a) \(F(x) = 4 e^{4 - 0{,}5x}\) b) \(F(x) = 3 e^{x^2 - 3x + 1}\)

- Hilft es dir, den Klammerausdruck in a) zuerst auszumultiplizieren? - Schau dir in b) den Zähler und den Nenner genau an. Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen? - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen der Zähler (fast) die Ableitung des Nenners ist?

1. In Teilaufgabe a) wird der Term zunächst mithilfe der ersten binomischen Formel zu \(f(x) = (e^{2x})^2 + 2 \cdot e^{2x} \cdot 1 + 1^2 = e^{4x} + 2e^{2x} + 1\) umgeformt. Die gliedweise Integration unter Berücksichtigung der linearen Innenteile in den Exponenten ergibt \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\). 2. In Teilaufgabe b) liegt die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor, wenn man einen konstanten Faktor berücksichtigt. Die Ableitung des Nenners \(g(x) = e^{2x} + 3\) ist \(g'(x) = 2e^{2x}\). Da der Zähler \(4e^{2x} = 2 \cdot (2e^{2x})\) ist, folgt mit der logarithmischen Integrationsregel \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\). Da der Ausdruck \(e^{2x} + 3\) für alle \(x\) positiv ist, können die Betragsstriche entfallen.

a) \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\) b) \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\)

- Bestimme zuerst den Definitionsbereich; beachte den Summanden \(\frac1{x^2}\). - Im ersten Bruch ist der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners. - Integriere \(x^{-2}\) mit der Potenzregel. - Auf getrennten Definitionsintervallen können unterschiedliche Integrationskonstanten auftreten.

1. Wegen des Summanden \(\frac1{x^2}\) ist \(f\) bei \(x=0\) nicht definiert. Der Definitionsbereich besteht aus den Intervallen \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). 2. Für \(q(x)=x^2-3x+10\) gilt \(q'(x)=2x-3\), und der Zähler des ersten Bruchs ist \(4x-6=2q'(x)\). 3. Da \(q(x)>0\) für alle reellen \(x\), ist \(\int\frac{4x-6}{x^2-3x+10}\,dx=2\ln(x^2-3x+10)\). 4. Außerdem gilt \(\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac1x\). 5. Somit ist auf jedem der beiden Definitionsintervalle \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion. Die Integrationskonstante kann auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,0)\) und auf \((0,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Bestimme zuerst die Nullstellen der Nenner. - Zerlege den ersten Bruch in \(1+\frac1{x+2}\). - Beim zweiten Bruch ist der Zähler die Hälfte der Nennerableitung. - Beachte getrennte Integrationskonstanten auf getrennten Definitionsintervallen.

1. Wegen des Nenners \(x+2\) ist \(f\) bei \(x=-2\) nicht definiert. Der zweite Nenner \(2e^x+4\) ist stets positiv. Somit besteht der Definitionsbereich aus \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\). 2. Der erste Bruch lässt sich umformen zu \(\frac{x+3}{x+2}=1+\frac1{x+2}\). 3. Daher ist \(\int\left(1+\frac1{x+2}\right)\,dx=x+\ln\lvert x+2\rvert\). 4. Für \(q(x)=2e^x+4\) gilt \(q'(x)=2e^x\). Somit ist \(\int\frac{e^x}{2e^x+4}\,dx=\frac12\ln(2e^x+4)\). 5. Auf jedem der beiden Definitionsintervalle ist daher \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac12\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion. Die Konstanten können auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac12\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Gibt es eine trigonometrische Identität, mit der du das Quadrat des Kosinus durch einen konstanten Term und einen Kosinusterm ersetzen kannst? - Nach der Umformung kannst du die Summenregel für Integrale verwenden. - Achte beim Kosinusterm auf den linearen inneren Ausdruck.

1. Mit der Identität \(\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\) wird das Integral zu \(\frac12\int_0^\pi 1\,dx+\frac12\int_0^\pi\cos(2x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{x}{2}+\frac14\sin(2x)\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \(F(\pi)-F(0)=\frac{\pi}{2}+\frac14\sin(2\pi)-\frac14\sin(0)=\frac{\pi}{2}\).

\(\frac{\pi}{2}\)

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was ist die Ableitung des Nenners? - Gibt es eine spezielle Integrationsregel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte auf den Definitionsbereich, um zu entscheiden, ob Betragsstriche beim Logarithmus notwendig sind.

1. Analyse der Struktur des Bruchs: Der Zähler \(x^2\) ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^3 + 8\), da \(g'(x) = 3x^2\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C\). 3. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{3}\): \(f(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^2}{x^3 + 8}\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 8|\). 5. Berücksichtigung des Definitionsbereichs (\(x > -2 \Rightarrow x^3 + 8 > 0\)), wodurch die Betragsstriche entfallen können: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\).

\(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8) + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Untersuche, ob der erste Faktor die Ableitung des Exponenten ist. - Welche Integrationsstruktur passt zu einem Produkt aus der Ableitung des Exponenten und der zugehörigen Exponentialfunktion? - Setze erst nach dem Bestimmen der Stammfunktion die Grenzen ein.

1. Für \(g(x)=x^3+x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2+1\). 2. Der Integrand hat damit die curriculare Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=e^{x^3+x+1}\). 3. Nach dem Hauptsatz folgt \(F(1)-F(0)=e^3-e\).

Stammfunktion: \(F(x)=e^{x^3+x+1}\) Integralwert: \(e^3-e\)

- Vergleiche den Faktor \(x^2\) mit der Ableitung des Exponenten. - Kannst du einen konstanten Faktor ergänzen und wieder ausgleichen, sodass die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) entsteht? - Überprüfe eine gefundene Stammfunktion durch Ableiten.

1. Für die innere Funktion \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). 2. Damit lässt sich \(f(x)=\frac13g'(x)e^{g(x)}\) schreiben. 3. Mit der Integrationsregel für \(g'(x)e^{g(x)}\) ist \(F(x)=\frac13e^{x^3+1}\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=\frac13e^{x^3+1}\) (oder \(F(x)=\frac13e^{x^3+1}+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\))

- Vergleiche den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zu einem Bruch der Form \(g'(x):g(x)\)? - Prüfe vor dem Weglassen von Betragsstrichen das Vorzeichen des Nenners auf dem Integrationsintervall.

1. Für \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). 2. Der Integrand besitzt damit die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(x^3+1)\), da \(x^3+1>0\) auf \([0,1]\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \([\ln(x^3+1)]_0^1=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)\).

Stammfunktion: \(F(x)=\ln(x^3+1)\) Integralwert: \(\ln(2)\)

- Prüfe bei jeder Funktion zuerst, welche der curricularen Integrationsstrukturen erkennbar ist. - Bei einem Produkt kann die Ableitung eines Exponenten als Faktor auftreten. - Bei einem Bruch lohnt es sich zu prüfen, ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Bei Teilaufgabe d) kann eine algebraische Umformung den Term auf lineare innere Funktionen zurückführen.

1. Teilaufgabe a): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=(2x+7)^4\) eine Stammfunktion. 2. Teilaufgabe b): Für \(g(x)=x^3-6x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2-6\). Daher liegt die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) vor und \(F(x)=e^{x^3-6x+1}\) ist eine Stammfunktion. 3. Teilaufgabe c): Für \(g(x)=x^2+5x-2\) gilt \(g'(x)=2x+5\). Damit liefert die logarithmische Integrationsregel \(F(x)=\ln|x^2+5x-2|\). 4. Teilaufgabe d): Schreibe \(x=(x+1)-1\). Dann ist \(f(x)=(x+1)^5-(x+1)^4\). Mit der Regel für lineare innere Funktionen erhält man \(F(x)=\frac16(x+1)^6-\frac15(x+1)^5\).

a) \(F(x) = (2x + 7)^4\) b) \(F(x) = e^{x^3 - 6x + 1}\) c) \(F(x) = \ln|x^2 + 5x - 2|\) d) \(F(x) = \frac{1}{6}(x + 1)^6 - \frac{1}{5}(x + 1)^5\)

- Ordne jedem Term zuerst eine passende Integrationsstruktur zu. - Bei Exponentialfunktionen kann die Ableitung des Exponenten als Faktor vorkommen. - Bei linearen inneren Funktionen musst du den konstanten inneren Faktor berücksichtigen. - Prüfe beim Bruch in d), ob der Zähler genau die Ableitung des Nenners ist.

1. Teilaufgabe a): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt sich \(F(x)=3e^{3-2x}\). 2. Teilaufgabe b): Für \(g(x)=x^2+4x\) ist \(g'(x)=2x+4=2(x+2)\). Daher ist \(f(x)=\frac12g'(x)e^{g(x)}\) und \(F(x)=\frac12e^{x^2+4x}\). 3. Teilaufgabe c): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=-\cos(5x-\pi)\) eine Stammfunktion. 4. Teilaufgabe d): Für \(g(x)=3x^2+4\) gilt \(g'(x)=6x\). Daher liefert die logarithmische Integrationsregel \(F(x)=\ln(3x^2+4)\).

a) \(F(x) = 3e^{3 - 2x}\) b) \(F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2 + 4x}\) c) \(F(x) = -\cos(5x - \pi)\) d) \(F(x) = \ln(3x^2 + 4)\)

- Skizziere dir den Verlauf der Sinuskurve über eine vollständige Periode. - Welche Symmetrie weisen Funktionen auf, die nur gerade Exponenten besitzen? - Wie verändert sich die Fläche unter einem Graphen, wenn man sowohl die Funktion als auch die Grenzen in die gleiche Richtung verschiebt? - Denke an die Bedeutung des Integrals als orientierter Flächeninhalt.

1. Zu a): Der Graph der Sinusfunktion ist über dem Intervall \([0; 2\pi]\) punktsymmetrisch zum Punkt \((\pi\mid 0)\). Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([0; \pi]\) ist exakt so groß wie die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([\pi; 2\pi]\). In der Flächenbilanz heben sich diese Werte zu Null auf. 2. Zu b): Die Funktion \(f(x) = x^4\) ist eine gerade Funktion (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse), da nur gerade Exponenten auftreten. Die Fläche im Intervall \([-2; 0]\) ist daher deckungsgleich mit der Fläche im Intervall \([0; 2]\). Das Gesamtintegral über \([-2; 2]\) entspricht somit dem Doppelten des Integrals über einer der beiden Hälften. 3. Zu c): Der Graph der Funktion \(g(x) = x-1\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(h(x) = x\) um eine Einheit nach rechts. Da auch die Integrationsgrenzen von \([-1; 2]\) um genau eine Einheit nach rechts auf \([0; 3]\) verschoben wurden, bleiben die Form der Fläche und ihr Inhalt unter dem Graphen identisch.

a) Aufgrund der Punktsymmetrie der Sinusfunktion zum Punkt \((\pi\mid 0)\) heben sich die positiven und negativen Flächenanteile auf. b) Da \(x^4\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, sind die Flächeninhalte links und rechts der Achse identisch. c) Es handelt sich um eine identische Fläche, die lediglich entlang der \(x\)-Achse um eine Einheit verschoben wurde (Substitution/Translation).

- Prüfe bei jedem Term zuerst, welches der drei behandelten Muster vorliegt: \(g'/g\), \(g'e^g\) oder eine lineare innere Funktion. - Leite die vorgeschlagene Stammfunktion probeweise ab und vergleiche mit dem Integranden. - Achte besonders auf konstante Faktoren, die durch eine innere Ableitung entstehen.

1. A ist falsch. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\). Daher ist \(\frac{x}{x^2+1}=\frac12\frac{g'(x)}{g(x)}\), also lautet eine Stammfunktion \(F(x)=\frac12\ln(x^2+1)\). 2. B ist korrekt. Mit \(g(x)=x^3\) gilt \(g'(x)=3x^2\), sodass der Integrand die Form \(g'(x)e^{g(x)}\) besitzt. 3. C ist falsch. Der Zähler ist die Ableitung des Nenners \(g(x)=e^x+2\). Daher ist \(F(x)=\ln(e^x+2)\) eine Stammfunktion. 4. D ist falsch. Für die lineare innere Funktion \(2x+1\) muss der Faktor aus der inneren Ableitung berücksichtigt werden. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac14(2x+1)^4\).

A) falsch; korrekt: \(F(x)=\frac12\ln(x^2+1)\) B) korrekt C) falsch; korrekt: \(F(x)=\ln(e^x+2)\) D) falsch; korrekt: \(F(x)=\frac14(2x+1)^4\)

- Vergleiche die Ergebnisse der Integration über das gesamte Intervall mit dem doppelten Wert des rechten Teilintervalls. - Was muss für die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\) gelten, damit die Flächeninhalte links und rechts der \(y\)-Achse identisch sind? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie bei ganzrationalen Funktionen bezüglich der Exponenten. - Untersuche, wie sich der Parameter \(c\) beim Integrieren und Einsetzen der Grenzen verhält.

1. Linke Seite: \(\int_{-k}^{k} (3x^2 + 5) \, dx = [x^3 + 5x]_{-k}^{k} = (k^3 + 5k) - ((-k)^3 + 5(-k)) = k^3 + 5k - (-k^3 - 5k) = 2k^3 + 10k\). Rechte Seite: \(2 \cdot \int_{0}^{k} (3x^2 + 5) \, dx = 2 \cdot [x^3 + 5x]_0^k = 2(k^3 + 5k - 0) = 2k^3 + 10k\). Beide Seiten sind identisch. 2. Die Gleichung besagt, dass der Integralwert über das gesamte Intervall \([-k; k]\) genau doppelt so groß ist wie der Wert über der rechten Hälfte \([0; k]\). Dies setzt voraus, dass der orientierte Flächeninhalt im linken Teil \([-k; 0]\) identisch mit dem im rechten Teil \([0; k]\) ist. Dies ist bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(f(-x) = f(x)\)) der Fall. 3. Damit \(h(x) = x^2 + cx + 1\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, dürfen nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen. Daraus folgt direkt \(c = 0\). Rechnerische Überprüfung: \(\int_{-k}^{k} (x^2+cx+1) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{c}{2}x^2 + x]_{-k}^k = \frac{2}{3}k^3 + 2k\). Der Term mit \(c\) fällt durch die Subtraktion weg (\(\frac{c}{2}k^2 - \frac{c}{2}(-k)^2 = 0\)). Auf der rechten Seite gilt \(2 \int_{0}^{k} (x^2+cx+1) \, dx = 2(\frac{1}{3}k^3 + \frac{c}{2}k^2 + k) = \frac{2}{3}k^3 + ck^2 + 2k\). Gleichsetzen liefert \(\frac{2}{3}k^3 + 2k = \frac{2}{3}k^3 + ck^2 + 2k\), was für alle \(k\) nur für \(c = 0\) wahr ist.

1. Beide Seiten ergeben \(2k^3 + 10k\). 2. Der Graph der Funktion \(f\) muss achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein (\(f(x) = f(-x)\)). 3. \(c = 0\).

- Überlege dir, was die geometrische Bedeutung des Integrals als „orientierter Flächeninhalt“ für symmetrische Graphen bedeutet. - Erinnere dich an die Definitionen von Punkt- und Achsensymmetrie. - Suche für das Gegenbeispiel nach einer einfachen Funktion (z. B. einer Parabel), die so verschoben ist, dass die Flächenbilanz über einem symmetrischen Intervall null ergibt. - Prüfe, ob jede Funktion, deren Integral null ist, zwingend „ungerade“ sein muss.

1. Anjas Aussage ist wahr: Bei einer punktsymmetrischen Funktion gilt \(f(-x) = -f(x)\). Die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-a; a]\) sind betragsmäßig gleich groß, besitzen aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass sich das Integral zu null aufhebt. 2. Lukas’ Aussage ist falsch: Ein verschwindendes Integral bedeutet lediglich, dass die Flächenbilanz ausgeglichen ist, lässt aber keinen zwingenden Rückschluss auf die Art der Symmetrie zu. 3. Gegenbeispiel: Betrachte \(f(x) = x^2 - \frac{1}{3}\) im Intervall \([-1; 1]\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-1}^{1} (x^2 - \frac{1}{3}) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = 0 - 0 = 0\). 5. Symmetrie-Prüfung: Da \(f(-x) = (-x)^2 - \frac{1}{3} = x^2 - \frac{1}{3} = f(x)\) gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung (da \(f(1) = \frac{2}{3} \neq -f(-1)\)).

Anjas Aussage ist wahr, Lukas’ Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel für Lukas’ Behauptung ist die Funktion \(f(x) = x^2 - \frac{1}{3}\) im Intervall \([-1; 1]\). Hier ist \(\int_{-1}^{1} (x^2 - \frac{1}{3}) \, dx = 0\), der Graph ist jedoch achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Was weißt du über Integrale, bei denen die Grenzen identisch sind? - Versuche, alle Integrale auf die gleichen Grenzen zu bringen, um sie kombinieren zu können. - Wenn ein Ausdruck für jede beliebige Funktion \(g\) gelten soll, was muss dann mit dem Term passieren, der \(g\) enthält? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der konstante Anteil des Integrals mit dem Ergebnis auf der rechten Seite übereinstimmt.

1. Ein Integral mit identischen Grenzen ist stets Null, also \(\int_7^7 (g(x) + k) \, dx = 0\). 2. Durch Vertauschen der Grenzen beim ersten Integral erhält man \(- \int_1^4 (kg(x) + 2) \, dx\). 3. Zusammenfassen der verbleibenden Integrale über dem Intervall \([1; 4]\) ergibt: \(\int_1^4 (-kg(x) - 2 + 3g(x) - k) \, dx = \int_1^4 ((3 - k)g(x) - (k + 2)) \, dx\). 4. Damit der Wert unabhängig von \(g\) ist, muss der Koeffizient von \(g(x)\) im Integranden Null sein: \(3 - k = 0\), woraus \(k = 3\) folgt. 5. Zur Überprüfung wird \(k = 3\) in den verbleibenden konstanten Teil eingesetzt: \(\int_1^4 -(3 + 2) \, dx = \int_1^4 -5 \, dx = -5 \cdot (4 - 1) = -15\). Dies bestätigt die rechte Seite der Gleichung.

\(k = 3\)

- Was passiert mit dem Integral einer ungeraden (punktsymmetrischen) Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Versuche, das gegebene Integral von \(-2\) bis \(6\) in Teilintervalle zu zerlegen, von denen du eines bereits durch die Symmetrie kennst. - Wie hängen die Integrale über \([a; b]\) und \([-b; -a]\) bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung zusammen? Skizziere dir eventuell eine Beispielfunktion wie \(x^3\). - Prüfe genau, ob die Informationen ausreichen, um Teilflächen ab der Grenze \(0\) einzeln zu bestimmen.

1. Da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0\) für jedes \(a\). 2. Für a): Zerlegung \(\int_{-2}^{6} g(x) \, dx = \int_{-2}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). Da \(\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0\), folgt \(12 = 0 + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\), also \(\int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 3. Für b): Bei Punktsymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} g(x) \, dx = -\int_{a}^{b} g(x) \, dx\). Mit dem Ergebnis aus a) folgt \(\int_{-6}^{-2} g(x) \, dx = -12\). 4. Für c): Nach der Intervalladditivität ist \(\int_{0}^{6} g(x) \, dx - \int_{0}^{2} g(x) \, dx = \int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 5. Für d): Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral über ein symmetrisches Intervall um Null stets \(\int_{-6}^{6} g(x) \, dx = 0\). 6. Für e): Es ist nur die Differenz der Integrale bekannt, nicht die Einzelwerte von \(\int_{0}^{2}\) oder \(\int_{0}^{6}\). Das Integral ist nicht berechenbar.

a) \(12\) b) \(-12\) c) \(12\) d) \(0\) e) Nicht eindeutig bestimmbar

- Beachte zuerst, dass \(g\) bei \(x=0\) nicht definiert ist. - Eine Integralfunktion \(I_a\) erfüllt \(I_a(a)=0\). - Löse daher \(H(a)=0\) und ordne jede Lösung einer zusammenhängenden Komponente des Definitionsbereichs zu. - Bei \(k\) ist der Korrekturfaktor der linearen inneren Funktion zu berücksichtigen.

1. Die Funktion \(g\) ist wegen des Nenners bei \(x=0\) nicht definiert. Es gilt für \(x\neq0\): \(g(x)=x-4x^{-2}\). 2. Auf jedem der beiden Definitionsintervalle ist daher \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) eine Stammfunktion. 3. Für \(H\) gilt \(H'(x)=x-4x^{-2}=g(x)\) für \(x\neq0\). Damit \(H=I_a\) gilt, muss zusätzlich \(H(a)=0\) sein. 4. Aus \(\frac12a^2+\frac4a-4{,}5=0\) folgt \(a^3-9a+8=0\). Die Nullstellen sind \(a=1\) sowie \(a=\frac{-1\pm\sqrt{33}}2\). 5. Für die positiven unteren Grenzen \(1\) und \(\frac{-1+\sqrt{33}}2\) gilt die Integraldarstellung auf Intervallen innerhalb von \((0,\infty)\), die jeweils \(a\) und \(x\) enthalten. Für die negative Grenze \(\frac{-1-\sqrt{33}}2\) gilt sie entsprechend innerhalb von \(( -\infty,0)\). Ein Integrationsweg darf \(0\) nicht überschreiten. 6. Für \(k(x)=5(2x-7)^3\) ist eine Stammfunktion \(K(x)=\frac58(2x-7)^4\).

a) \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) auf jedem der Intervalle \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). b) Ja. Mögliche Grenzen sind \(a=1\), \(a=\frac{-1+\sqrt{33}}2\) auf \((0,\infty)\) sowie \(a=\frac{-1-\sqrt{33}}2\) auf \(( -\infty,0)\). Der Integrationsweg darf \(0\) nicht überschreiten. c) \(K(x)=\frac58(2x-7)^4\).