- Prüfe in einem Ausschnitt, um wie viel der Zahlenwert von einem kleinen Strich zum nächsten steigt. - Nutze jeweils den nächstgelegenen beschrifteten Wert als Ausgangspunkt. - Kontrolliere jeden Marker unabhängig; die drei Ausschnitte verwenden dieselbe Schrittweite.

1. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegt jeweils ein Schritt; die Schrittweite beträgt \(1\). 2. Im ersten Ausschnitt liegen \(A\) bei \(6\) und \(B\) bei \(18\). 3. Im zweiten Ausschnitt liegt \(C\) bei \(25\). 4. Im dritten Ausschnitt liegen \(D\) bei \(42\) und \(E\) bei \(53\).

\(A = 6\), \(B = 18\), \(C = 25\), \(D = 42\), \(E = 53\)

- Beginne beim beschrifteten Wert \(200\). - Gehe auf dem Zahlenstrahl Schritt für Schritt nach rechts und erhöhe jeweils um die angegebene Schrittweite.

1. Von \(200\) aus geht es in \(50\)-er-Schritten weiter: \(250, 300, 350\). 2. Der Strich für \(350\) liegt daher drei Schritte rechts von \(200\).

\(350\) liegt auf dem dritten Strich rechts von \(200\).

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen zwei beschrifteten Werten. - Zähle die gleich großen Abschnitte zwischen diesen Werten und bestimme daraus die Schrittweite. - Gehe für jeden Marker vom nächstgelegenen beschrifteten Wert aus.

1. Zwischen \(3000\) und \(4000\) liegen \(10\) gleich große Abschnitte. Daher entspricht ein kleiner Schritt \((4000 - 3000) : 10 = 100\). 2. Für \(A\) gilt \(3000 + 4 \cdot 100 = 3400\). 3. Für \(B\) gilt \(4000 + 9 \cdot 100 = 4900\). 4. Für \(C\) gilt \(6000 + 1 \cdot 100 = 6100\). 5. Für \(D\) gilt \(7000 + 6 \cdot 100 = 7600\).

\(A = 3400\), \(B = 4900\), \(C = 6100\), \(D = 7600\)

- Schau dir die Beschriftungen am Zahlenstrahl an. Wie weit ist es von einer beschrifteten Zahl zur nächsten? - Zähle die Abstände zwischen zwei beschrifteten Zahlen. Wie kannst du damit den Wert eines kleinen Schritts berechnen? - Wenn du den Wert eines kleinen Schritts kennst, kannst du von einer bekannten Zahl aus zu den Markierungen weiterzählen.

1. Zwischen \(200\) und \(250\) liegen \(5\) gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt hat daher den Wert \(50 : 5 = 10\). 2. \(A\) liegt \(3\) Schritte rechts von \(200\): \(200 + 3 \cdot 10 = 230\). 3. \(B\) liegt \(3\) Schritte rechts von \(250\): \(250 + 3 \cdot 10 = 280\). 4. \(C\) liegt \(2\) Schritte rechts von \(350\): \(350 + 2 \cdot 10 = 370\). 5. \(D\) liegt \(4\) Schritte rechts von \(400\): \(400 + 4 \cdot 10 = 440\).

\(A = 230\), \(B = 280\), \(C = 370\), \(D = 440\)

- Bestimme aus den beschrifteten Tausendern zuerst die Schrittweite. - Lies jeden Marker vom linken Rand seines Ausschnitts aus ab. - Die Nachbartausender liegen unmittelbar unterhalb und oberhalb des jeweiligen Markerwerts.

1. Zwischen zwei benachbarten Tausendern liegen jeweils \(10\) gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(1000 : 10 = 100\). 2. \(A\) liegt drei Schritte rechts von \(721\,000\): \(721\,000 + 3 \cdot 100 = 721\,300\). 3. \(B\) liegt sieben Schritte rechts von \(723\,000\): \(723\,000 + 7 \cdot 100 = 723\,700\). 4. Die Nachbartausender von \(721\,300\) sind \(721\,000\) und \(722\,000\); die Nachbartausender von \(723\,700\) sind \(723\,000\) und \(724\,000\).

a) \(A = 721\,300\), \(B = 723\,700\) b) Für \(A\): \(721\,000\) und \(722\,000\); für \(B\): \(723\,000\) und \(724\,000\)

- Zähle zuerst die gleich großen Abschnitte zwischen den beiden beschrifteten Zahlen. - Welche Schrittweite ergibt sich, wenn der gesamte Zahlenunterschied gleichmäßig auf diese Abschnitte verteilt wird? - Bestimme erst danach, wie viele Schritte \(A\) und \(B\) von \(0\) entfernt liegen.

1. Zwischen \(0\) und \(50\) liegen fünf gleich große Abschnitte. Daher beträgt die Schrittweite \(50 : 5 = 10\). 2. \(A\) liegt zwei Schritte rechts von \(0\): \(2 \cdot 10 = 20\). 3. \(B\) liegt vier Schritte rechts von \(0\): \(4 \cdot 10 = 40\).

Schrittweite: \(10\) \(A = 20\) \(B = 40\)

- Prüfe bei jeder vorgeschlagenen Schrittweite zuerst, wie viele gleich große Schritte der gesamte dargestellte Bereich hätte. - Kontrolliere danach, ob jede der drei Zahlen genau auf einen solchen Schrittwert fällt. - Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein.

1. Bei Schrittweite \(100\) hat der Bereich von \(3000\) bis \(5000\) genau \(20\) Schritte. Alle drei Zahlen liegen auf Strichen. 2. Bei Schrittweite \(10\) wären \(200\) Schritte nötig. Das sind mehr als erlaubt. 3. Bei Schrittweite \(1000\) lägen nur volle Tausender auf Strichen. Die drei vorgegebenen Zahlen könnten nicht passend markiert werden.

Geeignet ist die Schrittweite \(100\). Bei \(10\) entstehen zu viele Schritte; bei \(1000\) liegen die vorgegebenen Zahlen nicht auf Strichen.

- Zähle nicht nur die Striche, sondern die Abstände zwischen den beschrifteten Werten. - Überlege, wie viele gleich große Abschnitte vier Zwischenstriche erzeugen. - Prüfe anschließend, auf welchem Schritt der Marker \(A\) liegt.

1. Vier Zwischenstriche teilen den Abschnitt von \(0\) bis \(500\) in fünf gleich große Abschnitte, nicht in vier. 2. Daher beträgt die Schrittweite \(500 : 5 = 100\). 3. \(A\) liegt auf dem vierten Schritt rechts von \(0\), also bei \(400\).

Noah verwechselt die Zahl der Zwischenstriche mit der Zahl der gleich großen Abschnitte. Die Schrittweite ist \(100\), und \(A\) liegt bei \(400\).

- Nutze für jede Zahl den näheren beschrifteten Ausgangspunkt. - Ein kleiner Schritt verändert den Wert um \(100\). - Vergleiche für c) die Abstände beider Zahlen zum mittleren beschrifteten Strich.

1. Von \(3000\) bis \(3300\) sind es \(300\). Das sind \(3\) kleine Schritte. 2. Von \(3800\) bis \(4000\) sind es \(200\). Das sind \(2\) kleine Schritte. 3. \(3300\) liegt \(2\) Schritte von \(3500\) entfernt; \(3800\) liegt \(3\) Schritte von \(3500\) entfernt. 4. Deshalb liegt \(3800\) weiter von \(3500\) entfernt. Die beiden Abstände unterscheiden sich um \(1\) kleinen Schritt.

a) \(3\) kleine Schritte b) \(2\) kleine Schritte c) \(3800\); die Abstände unterscheiden sich um \(1\) kleinen Schritt.

- Zeichne die Zahl \(150\) und zwei gleich weit entfernte Punkte auf einen Zahlenstrahl. - Wenn der gesamte Weg zwischen den beiden äußeren Zahlen bekannt ist, wie weit ist es dann von der Mitte zu jeder Zahl? - Wie kannst du von der mittleren Zahl aus die Positionen der beiden gesuchten Zahlen finden?

1. Da die beiden Zahlen denselben Abstand zur Zahl \(150\) haben, liegt die Zahl \(150\) genau in der Mitte zwischen ihnen. 2. Der Gesamtabstand zwischen den Zahlen beträgt \(64\). Der Abstand jeder Zahl zur Mitte ist also die Hälfte: \(64 : 2 = 32\). 3. Die kleinere Zahl berechnet sich durch \(150 - 32 = 118\). 4. Die größere Zahl berechnet sich durch \(150 + 32 = 182\).

Die Zahlen lauten \(118\) und \(182\).

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen kleinen Teilstücks auf dem Zahlenstrahl. - Schau dir dafür den Abstand zwischen zwei beschrifteten Zahlen an und zähle die Teilstücke dazwischen. - Lies die Werte von \(Y\) und \(Z\) ab. - Welche Rechenoperation hilft dir, den Abstand zwischen zwei Werten zu bestimmen?

1. Zwischen \(160\) und \(180\) liegen \(4\) gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt hat daher den Wert \(20 : 4 = 5\). 2. \(Y\) liegt einen Schritt links von \(180\), also bei \(180 - 5 = 175\). \(Z\) liegt bei \(260\). 3. Der Abstand zwischen \(Y\) und \(Z\) beträgt \(260 - 175 = 85\).

Die Länge der Strecke zwischen den Punkten \(Y\) und \(Z\) beträgt \(85\).

- Vergleiche zwei benachbarte beschriftete Tausenderwerte und zähle die Abschnitte dazwischen. - Nutze die so bestimmte Schrittweite zum Ablesen der drei Marker. - Suche in c) einen Wert, der von \(A\) und \(B\) gleich weit entfernt ist.

1. Zwischen \(30\,000\) und \(31\,000\) liegen \(5\) gleich große Abschnitte. Ein kleiner Teilschritt entspricht daher \(1000 : 5 = 200\). 2. \(A\) liegt einen Schritt rechts von \(31\,000\): \(31\,000 + 200 = 31\,200\). 3. \(B\) liegt drei Schritte rechts von \(33\,000\): \(33\,000 + 3 \cdot 200 = 33\,600\). 4. \(C\) liegt vier Schritte rechts von \(34\,000\): \(34\,000 + 4 \cdot 200 = 34\,800\). 5. Die Zahl in der Mitte zwischen \(A\) und \(B\) ist \((31\,200 + 33\,600) : 2 = 64\,800 : 2 = 32\,400\).

a) \(200\) b) \(A = 31\,200\), \(B = 33\,600\), \(C = 34\,800\) c) \(32\,400\)

- Bestimme aus einem Ausschnitt die Schrittweite; sie gilt in allen vier Ausschnitten. - Nutze jeweils einen beschrifteten Randwert als Ausgangspunkt. - Prüfe, ob dein Markerwert zwischen den beiden Randwerten des zugehörigen Ausschnitts liegt.

1. In jedem Ausschnitt liegen zwischen zwei beschrifteten Werten mit Abstand \(50\,000\) genau \(20\) gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(50\,000 : 20 = 2500\). 2. Für \(A\) gilt \(400\,000 + 5 \cdot 2500 = 412\,500\). 3. Für \(B\) gilt \(450\,000 + 11 \cdot 2500 = 477\,500\). 4. Für \(C\) gilt \(500\,000 + 10 \cdot 2500 = 525\,000\). 5. Für \(D\) gilt \(600\,000 - 3 \cdot 2500 = 592\,500\).

\(A = 412\,500\), \(B = 477\,500\), \(C = 525\,000\), \(D = 592\,500\)

- Wie weit ist es von einer beschrifteten Zahl zur nächsten? - In wie viele gleich große Abschnitte ist dieser Abstand geteilt? - Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Schritts und lies dann die Punkte ab.

1. Zwischen zwei benachbarten beschrifteten Zahlen liegen \(2000\), zum Beispiel von \(12\,000\) bis \(14\,000\). Dieser Bereich ist in \(4\) gleich große Abschnitte geteilt. Ein kleiner Schritt entspricht deshalb \(2000 : 4 = 500\). 2. Punkt P liegt am dritten kleinen Schritt nach \(10\,000\): \(10\,000 + 3 \cdot 500 = 11\,500\). 3. Punkt Q liegt genau bei \(14\,000\). 4. Punkt R liegt am dritten kleinen Schritt nach \(14\,000\): \(14\,000 + 3 \cdot 500 = 15\,500\). 5. Punkt S liegt am zweiten kleinen Schritt nach \(16\,000\): \(16\,000 + 2 \cdot 500 = 17\,000\). 6. Punkt T liegt am dritten kleinen Schritt nach \(18\,000\): \(18\,000 + 3 \cdot 500 = 19\,500\).

P: \(11\,500\); Q: \(14\,000\); R: \(15\,500\); S: \(17\,000\); T: \(19\,500\)

- Bestimme zuerst, welchen Wert ein kleiner Teilstrich darstellt. - Lies die Lage jedes Pfostens von der nächstliegenden beschrifteten Tausenderzahl aus ab. - Für Teil b) suche jeweils die nächste Tausenderzahl rechts vom Pfosten.

1. Zwischen zwei Tausendern, zum Beispiel \(12\,000\) und \(13\,000\), liegen \(5\) gleich große Teilschritte. Ein Teilstrich entspricht \(1000 : 5 = 200\,\text{m}\). 2. Pfosten \(A\) liegt drei Teilstriche nach \(12\,000\): \(12\,000 + 3 \cdot 200 = 12\,600\,\text{m}\). Pfosten \(B\) liegt zwei Teilstriche nach \(15\,000\): \(15\,000 + 2 \cdot 200 = 15\,400\,\text{m}\). Pfosten \(C\) liegt einen Teilstrich nach \(17\,000\): \(17\,000 + 200 = 17\,200\,\text{m}\). 3. Bis zum nächsten vollen Kilometer fehlen bei \(A\): \(13\,000 - 12\,600 = 400\,\text{m}\); bei \(B\): \(16\,000 - 15\,400 = 600\,\text{m}\); bei \(C\): \(18\,000 - 17\,200 = 800\,\text{m}\).

a) \(A = 12\,600\,\text{m}\), \(B = 15\,400\,\text{m}\), \(C = 17\,200\,\text{m}\) b) Von \(A\) fehlen \(400\,\text{m}\), von \(B\) \(600\,\text{m}\), von \(C\) \(800\,\text{m}\).

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Teilstrichs mithilfe zweier beschrifteter Hunderterwerte. - Zähle bei jeder Markierung vom nächstkleineren beschrifteten Wert aus. - Für die Länge von \(S\) brauchst du die Werte an seinen beiden Endpunkten.

1. Zwischen zwei Hunderterschritten, zum Beispiel \(600\) und \(700\), liegen \(5\) gleich große Teilabschnitte. Ein kleiner Teilstrich entspricht daher \(100 : 5 = 20\) Einheiten. 2. \(K\): \(500 + 2 \cdot 20 = 540\). \(L\): \(600 + 3 \cdot 20 = 660\). \(M\): \(800 + 1 \cdot 20 = 820\). \(N\): \(900 + 3 \cdot 20 = 960\). 3. Das Teilstück \(S\) reicht von \(L\) bis \(N\). Seine Länge ist \(960 - 660 = 300\).

a) \(K = 540\), \(L = 660\), \(M = 820\), \(N = 960\) b) \(960 - 660 = 300\). Das Teilstück \(S\) ist \(300\) Einheiten lang.

- Zähle getrennt die sichtbaren Teilstriche und die Zwischenräume zwischen ihnen. - Die gesamte Zahlendifferenz wird auf gleich große Zwischenräume verteilt. - Bestimme erst die Schrittweite und gehe dann vom linken beschrifteten Wert bis A.

1. Zwischen fünf Teilstrichen liegen nur vier gleich große Abschnitte. 2. Der gesamte Abstand ist \(40\,000 - 20\,000 = 20\,000\). Daher ist ein Abschnitt \(20\,000 : 4 = 5000\) groß. 3. A liegt drei Abschnitte rechts von \(20\,000\): \(20\,000 + 3 \cdot 5000 = 35\,000\). 4. Milan hat Teilstriche statt Zwischenräume gezählt.

Milans Fehler ist das Zählen der Teilstriche statt der Abschnitte. Die Schrittweite ist \(5000\), und A steht bei \(35\,000\).

- Schau zuerst auf den Abstand zwischen \(47\,250\) und \(48\,000\). Was sagt dieser Abstand über die größtmögliche Schrittweite aus? - Prüfe danach, ob diese Schrittweite vom linken bis zum rechten Rand ohne Rest passt. - Denke daran: Die Zahl der Striche ist um eins größer als die Zahl der gleich großen Abschnitte.

1. Zwischen \(47\,250\) und dem Randwert \(48\,000\) liegen nur \(750\). Da beide Werte auf Strichen liegen sollen, kann die Schrittweite nicht größer als \(750\) sein. 2. Die größtmögliche Schrittweite, die deshalb noch infrage kommt, ist \(750\). Sie passt auch zum gesamten Bereich, denn \(48\,000 - 42\,000 = 6000\) und \(6000 : 750 = 8\). 3. Damit entstehen \(8\) gleich große Abschnitte und also \(9\) Striche. Die Bedingung „höchstens neun Striche“ ist erfüllt. 4. Die Strichwerte sind \(42\,000\), \(42\,750\), \(43\,500\), \(44\,250\), \(45\,000\), \(45\,750\), \(46\,500\), \(47\,250\) und \(48\,000\). 5. Weil keine Schrittweite größer als \(750\) möglich ist, verwendet diese Einteilung die kleinstmögliche Zahl an Strichen.

Schrittweite: \(750\) Strichwerte: \(42\,000\), \(42\,750\), \(43\,500\), \(44\,250\), \(45\,000\), \(45\,750\), \(46\,500\), \(47\,250\), \(48\,000\)