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Die Zahlenfolge wurde so gebildet, dass von einem Glied zum nächsten immer dieselbe natürliche Zahl subtrahiert wird: \(70, 60, 50, 40, \ldots\) a) Bestimme diese Zahl. b) Gib die nächsten drei Glieder an.

Die Zahlenfolge wurde so gebildet, dass jedes neue Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit derselben natürlichen Zahl entsteht: \(3, 6, 12, 24, \ldots\) a) Bestimme den Faktor. b) Gib die nächsten zwei Glieder an.

Die Zahlenfolge wurde mit einer festen Regel gebildet: Von einem Glied zum nächsten wird immer dieselbe natürliche Zahl subtrahiert. a) Bestimme die Zahl, die in jedem Schritt subtrahiert wird. b) Setze die Folge um fünf Glieder fort: \(92; 84; 76; 68; 60; \dots\) c) Begründe an mindestens zwei Übergängen, dass deine Regel zu den gegebenen Gliedern passt.

Eine Zahlenfolge wird nach einer bestimmten Regel aufgebaut: Die ersten beiden Zahlen sind \(2\) und \(3\). Jede weitere Zahl erhält man, indem man die beiden direkt vorangegangenen Zahlen addiert. Bestimme die ersten zehn Zahlen dieser Folge.

Eine mathematische Zahlenfolge wird nach einer festen Regel gebildet. Man beginnt mit einer Startzahl: - Ist die aktuelle Zahl ungerade, so berechnet man \(3 \cdot \text{Zahl} + 1\). - Ist die aktuelle Zahl gerade, so teilt man sie durch \(2\). Beginne mit der Startzahl \(13\). Notiere alle Zahlen der Folge, bis du zum ersten Mal bei der Zahl \(1\) ankommst. Wie viele Schritte (Rechenoperationen) sind dafür insgesamt notwendig?

In einer Zahlenfolge ist jede neue Zahl (ab der zweiten) genau doppelt so groß wie die vorherige Zahl, vermindert um \(5\). Die Folge beginnt mit der Startzahl \(10\). Schreibe die ersten sechs Zahlen dieser Folge auf.

Die Reihe von Rechenausdrücken wird nach einer festen Bauvorschrift fortgesetzt: In Zeile \(1\) steht \(1\). In jeder nächsten Zeile wird am Ende genau die nächste natürliche Zahl addiert. 1. \(1\) 2. \(1 + 2\) 3. \(1 + 2 + 3\) 4. \(1 + 2 + 3 + 4\) a) Schreibe die Rechenausdrücke für Zeile \(5\) und \(6\) und berechne die Ergebnisse der Zeilen \(1\) bis \(6\). b) Welches Ergebnis hat Zeile \(10\)? c) In welcher Zeile wird das Ergebnis erstmals größer als \(40\)?

Bei einer besonderen Zahlen-Verwandlung multipliziert man jede Ziffer einer Zahl mit sich selbst und addiert dann die Ergebnisse. Aus der Zahl \(13\) wird so zum Beispiel die Zahl \(10\), da \(1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = 10\) ist. Aus der \(10\) wird im nächsten Schritt die \(1\), da \(1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1\) ist. Starte mit der Zahl \(49\) und führe diese Verwandlung so lange durch, bis du bei der Zahl \(1\) ankommst. Wie viele Schritte benötigst du und wie lautet die Zahlenkette?

Zähle von der Ausgangszahl \(8970\) aus jeweils fünf Schritte weit. a) Zähle in Zehnerschritten vorwärts. b) Zähle in Hunderterschritten rückwärts. c) Zähle in Fünferschritten vorwärts.

Die Folge \(2, 5, 4, 7, 6, 9, \ldots\) wurde mit zwei festen Rechenschritten gebildet, die sich abwechselnd wiederholen: In einem Schritt wird immer dieselbe natürliche Zahl addiert, im anderen immer dieselbe natürliche Zahl subtrahiert. Samir sagt: „Die Regel ist immer \(+3\).“ a) Erkläre, warum Samirs Aussage nicht zur ganzen Folge passt. b) Bestimme die beiden sich wiederholenden Additionsschritte. c) Gib die nächsten zwei Glieder an.

Der Zahlenstrahl zeigt eine Folge gleich großer Sprünge. a) Trage die fehlenden Zahlenwerte gedanklich in die roten Fragezeichen ein und gib sie der Reihe nach an. b) Welche Zahl würde als Nächstes folgen, wenn derselbe Sprung noch einmal ausgeführt wird?

Die Zahlenfolge wurde mit einer Zweischrittregel gebildet, die sich immer wiederholt. Ein Schritt ist eine Multiplikation mit derselben natürlichen Zahl, im anderen Schritt wird immer dieselbe natürliche Zahl subtrahiert. \(5; 15; 10; 30; 25; 75; \dots\) a) Bestimme die beiden Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge und prüfe sie an den gegebenen Gliedern. b) Setze die Folge um fünf Glieder fort.

Bei dieser Zahlenfolge bilden die Differenzen zwischen benachbarten Gliedern selbst eine arithmetische Folge: Von einer Differenz zur nächsten wird immer dieselbe ganze Zahl addiert. \(2; 3; 6; 11; 18; \dots\) a) Bestimme die bisherigen Differenzen. b) Bestimme die feste Änderung von einer Differenz zur nächsten. c) Setze die ursprüngliche Zahlenfolge um fünf Glieder fort.

Betrachte die folgende Vorschrift für eine Zahlenfolge: - Wenn die Zahl kleiner als \(20\) ist, verdopple sie (\(\cdot 2\)). - Wenn die Zahl \(20\) oder größer ist, subtrahiere \(7\) (\(- 7\)). Beginne mit der Startzahl \(5\) und führe die Folge so lange fort, bis sich eine Zahl zum ersten Mal wiederholt. Notiere die Folge bis zu dieser Wiederholung. Welche Zahl erscheint doppelt?

Eine „Rechenschlange“ funktioniert nach diesen Regeln: - Regel A: Wenn die Zahl auf die Ziffer \(0\) endet, streiche die letzte Null (das entspricht dem Teilen durch \(10\)). - Regel B: Wenn die Zahl nicht auf die Ziffer \(0\) endet, addiere \(6\). a) Berechne die ersten 8 Zahlen der Folge, wenn du mit der Zahl \(14\) beginnst. b) Was fällt dir nach einiger Zeit auf? Beschreibe das Muster.

Die Reihe wird nach einer festen Bauvorschrift gebildet: In jeder neuen Zeile wird links das nächste Paar aus zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ergänzt. Die größere Zahl des neuen Paares wird addiert, die kleinere subtrahiert. 1. \(2 - 1\) 2. \(4 - 3 + 2 - 1\) 3. \(6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1\) 4. \(8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1\) a) Berechne die Ergebnisse der ersten vier Zeilen und erkläre, warum die Bauvorschrift zu diesem Ergebnismuster führt. b) Wie lautet der Rechenausdruck für die sechste Zeile und was ist sein Ergebnis? c) In welcher Zeile steht das Ergebnis \(25\)?

Die Reihe wird nach einer festen Bauvorschrift gebildet: In jeder neuen Zeile kommt in der Klammer genau die nächste natürliche Zahl hinzu. 1. \(100 - 1 = 99\) 2. \(100 - (1 + 2) = 97\) 3. \(100 - (1 + 2 + 3) = 94\) 4. \(100 - (1 + 2 + 3 + 4) = 90\) a) Berechne das Ergebnis für die fünfte und sechste Zeile. b) In welcher Zeile ist das Ergebnis zum ersten Mal kleiner als \(80\)? c) Wie lautet das Ergebnis in Zeile \(10\)?

Manche Zahlen führen bei der Verwandlung (Ziffern mit sich selbst multiplizieren und addieren) nicht zur \(1\), sondern kehren irgendwann zu einer Zahl zurück, die schon einmal vorkam. Man sagt, die Zahlenkette bildet einen Kreislauf. Untersuche die Zahlenkette, die mit der Zahl \(20\) beginnt. Führe die Verwandlung achtmal hintereinander durch. Was stellst du am Ende fest?

Lukas baut Treppen aus Holzwürfeln. Jede Stufe ist zwei Würfel breit. Die Abbildung zeigt die Treppe der Höhe \(3\); zusätzlich hat Lukas seine Beobachtungen in einer Tabelle festgehalten: <table> <tr><td>Höhe der Treppe</td><td>1</td><td>2</td></tr> <tr><td>Würfel in der untersten Reihe</td><td>2</td><td>4</td></tr> <tr><td>Gesamtanzahl der Würfel</td><td>2</td><td>6</td></tr> </table> a) Lukas möchte eine Treppe der Höhe \(10\) bauen. Wie viele Würfel liegen dann in der untersten Reihe und wie viele Würfel benötigt er insgesamt? b) Beschreibe, wie man die Anzahl der Würfel in der untersten Reihe und die Gesamtzahl der Würfel aus der Höhe der Treppe bestimmen kann.

Ina legt eine Kette aus Dreiecken mit Streichhölzern. In der Abbildung siehst du den Anfang der Kette. Benachbarte Dreiecke teilen jeweils eine Seite. a) Wie viele Streichhölzer benötigt Ina für eine Kette aus \(25\) Dreiecken? b) Ina hat \(61\) Streichhölzer und verbraucht alle für eine solche Kette. Aus wie vielen Dreiecken besteht die Kette? c) Beschreibe eine Regel, mit der man die Anzahl der Hölzer für jede beliebige Anzahl an Dreiecken bestimmen kann.

Ein quadratisches Blumenbeet soll mit einer Reihe quadratischer Steinplatten umrandet werden. Die Seitenlänge des Beets wird in Plattenlängen gemessen. Die Abbildung zeigt als Beispiel ein Beet mit Seitenlänge \(3\); ein Kästchen entspricht einer Plattenfläche. <table> <tr><td>Seitenlänge des Beets</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>Anzahl der Steinplatten</td><td>8</td><td>12</td><td>16</td></tr> </table> a) Wie viele Steinplatten werden für ein Beet mit der Seitenlänge \(12\) benötigt? b) Erläutere allgemein, wie man die Anzahl der Steinplatten berechnet, wenn man die Seitenlänge des Beets kennt.

Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle. Zähle von der Startzahl aus jeweils fünf Schritte in die angegebene Richtung. <table> <tr> <th>Startzahl</th> <th>Richtung</th> <th>Schrittweite</th> <th>1. Schritt</th> <th>2. Schritt</th> <th>3. Schritt</th> <th>4. Schritt</th> <th>5. Schritt</th> </tr> <tr> <td>\(24\,500\)</td> <td>vorwärts</td> <td>\(250\)</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>\(10\,200\)</td> <td>rückwärts</td> <td>\(40\)</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> </table>

Eine Zahlenfolge beginnt bei der Zahl \(15\,000\). Wenn man fünf gleich große Schritte vorwärts zählt, landet man genau bei der Zahl \(17\,500\). a) Bestimme die Größe eines einzelnen Schritts. b) Schreibe die fünf Zahlen auf, die man bei den Schritten vorwärts nacheinander erreicht. c) Welche fünf Zahlen erreicht man, wenn man von der Startzahl \(15\,000\) aus fünf Schritte der gleichen Größe rückwärts zählt?

Beginne mit \(2\) und verdopple immer wieder. Die Endziffern der ersten acht Zahlen dieser Folge lauten: \(2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6\). a) Beschreibe das Muster der Endziffern. b) Welche Endziffer hat die \(50.\) Zahl dieser Verdopplungsfolge? Nutze das Muster, ohne alle \(50\) Zahlen auszurechnen.

Die Abbildung zeigt die Draufsichten der ersten drei Bauphasen eines Musters aus gleich großen Würfeln. In jedem belegten Feld liegt genau ein Würfel. Jede Bauphase ist eine vollständig gefüllte quadratische Schicht; von einer Phase zur nächsten wächst die Seitenlänge um genau einen Würfel. a) Wie viele Würfel werden für die vierte Bauphase benötigt? b) Wie viele neue Würfel kommen von der dritten zur vierten Bauphase hinzu? Erkläre, wie du das Wachstum erkannt hast.

In einer Zahlenfolge ist jede Zahl die Summe der beiden vorangegangenen Zahlen. Zwei aufeinanderfolgende Zahlen in der Mitte dieser Folge sind \(7\) und \(11\). Bestimme die beiden Glieder, die in der Folge vor der \(7\) stehen, und berechne die beiden Glieder, die nach der \(11\) folgen.

Zahlen, die bei der beschriebenen Verwandlung (Ziffern quadrieren und addieren) nach einigen Schritten bei der Zahl \(1\) landen, nennt man „fröhliche Zahlen“. Untersuche die drei Zahlen \(13\), \(14\) und \(15\). Welche dieser Zahlen ist eine „fröhliche Zahl“? Begründe deine Entscheidung durch das Aufschreiben der Ketten.

Gegeben ist die Zahlenfolge \(2, 3, 5, 8, \ldots\). Mina sagt, die nächste Zahl müsse \(13\) sein. Jonas sagt, auch \(12\) sei als nächste Zahl begründbar. Finde für beide Aussagen eine einfache Regel, die zu allen vier gegebenen Zahlen passt. Erkläre anschließend, warum die vier Anfangszahlen allein die Fortsetzung nicht eindeutig festlegen.