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- Beginne bei den Einern und notiere einen Übertrag sofort für die nächste Spalte. - Wird die Summe in einer Spalte zweistellig, gehört nur die Einerziffer in diese Spalte. - Prüfe am Ende, ob beide Überträge in den jeweils nächsten Spalten berücksichtigt wurden.

1. Einer: \(8+5=13\). Schreibe \(3\), Übertrag \(1\). 2. Zehner: \(7+6+1=14\). Schreibe \(4\), Übertrag \(1\). 3. Hunderter: \(2+3+1=6\). 4. Ergebnis: \(278+365=643\).

Überträge nach Einer- und Zehnerspalte: \(1,1\) Ergebnis: \(278+365=643\)

- Vergleiche zuerst die Einerziffern: Reicht die obere Einerziffer aus? - Wenn du einen Zehner entbündelst, verändert sich die Zehnerziffer des Minuenden. - Rechne danach die übrigen Spalten mit den veränderten Ziffern weiter.

1. Einer: \(4-8\) ist nicht möglich. Ein Zehner wird entbündelt; aus \(5\) Zehnern werden \(4\) Zehner und \(14\) Einer. Damit \(14-8=6\). 2. Zehner: \(4-2=2\). 3. Hunderter: \(7-3=4\). 4. Ergebnis: \(754-328=426\).

Für die Einer wird ein Zehner entbündelt; danach wird in der Zehnerspalte mit \(4\) weitergerechnet. Ergebnis: \(754-328=426\)

- Schreibe Einer unter Einer, Zehner unter Zehner und so weiter. - Notiere bei der Addition jeden Übertrag sofort an der nächsten Stelle. - Bei der Subtraktion über mehrere Nullen musst du das Entbündeln Stelle für Stelle weitergeben.

1. a) Stelle die drei Summanden stellengerecht untereinander. Einer: \(3+9+2=14\), schreibe \(4\), Übertrag \(1\). Zehner: \(7+2+0+1=10\), schreibe \(0\), Übertrag \(1\). Hunderter: \(6+4+4+1=15\), schreibe \(5\), Übertrag \(1\). Tausender: \(5+8+0+1=14\), schreibe \(4\), Übertrag \(1\). Zehntausender: \(1+1=2\). Damit ergibt sich \(24\,504\). 2. b) Für die Einer muss über die Nullen hinweg entbündelt werden. Aus \(50\,000\) werden für die stellenweise Subtraktion \(4\) Zehntausender, \(9\) Tausender, \(9\) Hunderter, \(9\) Zehner und \(10\) Einer. Dann: \(10-6=4\), \(9-5=4\), \(9-4=5\), \(9-3=6\), \(4-2=2\). Damit ergibt sich \(26\,544\).

a) Überträge: \(1;\,1;\,1;\,1\); Ergebnis: \(24\,504\) b) Nach dem Entbündeln: \(4\) Zehntausender, \(9\) Tausender, \(9\) Hunderter, \(9\) Zehner, \(10\) Einer; Ergebnis: \(26\,544\)

- Beginne bei den Einern und arbeite dich Stelle für Stelle nach links vor. - Vergiss nicht, die Überträge zu berücksichtigen, wenn eine Summe größer als 9 ist. - Was muss zu einer Zahl addiert werden, um an der nächsten Stelle ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?

1. Einerstelle: \(2+9=11\). Schreibe \(1\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: Die fehlende Ziffer muss mit \(8\) und dem Übertrag \(1\) eine Zahl mit Einerziffer \(4\) ergeben. Daher ist sie \(5\); Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: Die fehlende Ziffer ist \(6\), denn \(6+5+1=12\); Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(4+1+1=6\). Damit lautet die vollständige Rechnung \(4682+1559=6241\).

Vollständige Rechnung: \(4682+1559=6241\) Überträge nach Einer-, Zehner- und Hunderterstelle: \(1;\,1;\,1\)

- Achte darauf, die Zahlen stellengerecht untereinander zu schreiben (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner...). - Vergiss bei der Addition die Überträge nicht. - Bei der Subtraktion musst du an Stellen mit einer Null von der nächstgrößeren Stelle entbündeln.

1. Addition der Einer, Zehner, Hunderter usw. unter Berücksichtigung der Überträge: \(2+4+7=13\) (3, Übertrag 1), \(8+0+5+1=14\) (4, Übertrag 1), \(7+3+5+1=16\) (6, Übertrag 1), \(6+9+1+1=17\) (7, Übertrag 1), \(5+1=6\). Ergebnis: \(67\,643\). 2. Subtraktion von rechts nach links mit Entbündelung: \(10-6=4\), \(9-5=4\), \(9-4=5\), \(9-3=6\), \(9-2=7\), \(3-1=2\). Ergebnis: \(276\,544\).

a) Überträge: \(1;\,1;\,1;\,1\); Ergebnis: \(67\,643\) b) Obere Ziffern nach dem Entbündeln von rechts nach links: \(10;\,9;\,9;\,9;\,9;\,3\); Ergebnis: \(276\,544\)

- Achte darauf, dass die Einer unter den Einern, die Zehner unter den Zehnern usw. stehen. - Vergiss nicht, die Überträge aus der jeweils rechten Spalte mit zu addieren. - Es hilft, die Zahlen von rechts nach links bündig untereinander zu schreiben.

1. Stellengerechtes Untereinanderschreiben der Summanden \(45\,678\), \(123\,094\) und \(9876\). 2. Addition der Einer: \(8 + 4 + 6 = 18\) (Ergebnis 8, Übertrag 1). 3. Addition der Zehner: \(7 + 9 + 7 + 1 = 24\) (Ergebnis 4, Übertrag 2). 4. Addition der Hunderter: \(6 + 0 + 8 + 2 = 16\) (Ergebnis 6, Übertrag 1). 5. Addition der Tausender: \(5 + 3 + 9 + 1 = 18\) (Ergebnis 8, Übertrag 1). 6. Addition der Zehntausender: \(4 + 2 + 1 = 7\). 7. Die Hunderttausenderstelle bleibt bei \(1\). 8. Das Gesamtergebnis lautet \(178\,648\).

Überträge nach Einer-, Zehner-, Hunderter- und Tausenderstelle: \(1;\,2;\,1;\,1\) Ergebnis: \(178\,648\)

- Wie kannst du die Zahlen runden, um das Ergebnis im Kopf grob abzuschätzen? - Denke daran, beim schriftlichen Rechnen die Stellenwerte (Einer, Zehner, Hunderter...) genau untereinander zu schreiben. - Du kannst die große Zahl zeilenweise mit den einzelnen Ziffern der kleineren Zahl malnehmen.

1. Durchführung eines Überschlags: Rundung der Faktoren auf Hunderter bzw. Zehner, zum Beispiel \(4500 \cdot 60 = 270\,000\). 2. Schriftliche Multiplikation: Multiplikation von \(4508\) mit \(60\) ergibt \(270\,480\). Multiplikation von \(4508\) mit \(3\) ergibt \(13\,524\). 3. Addition der Teilergebnisse: \(270\,480 + 13\,524 = 284\,004\).

Überschlag: ca. \(270\,000\) Teilprodukte: \(270\,480\) und \(13\,524\) Ergebnis: \(284\,004\)

- Schreibe gleiche Stellenwerte genau untereinander. - Notiere bei Additionen jeden Übertrag an der nächsten Stelle. - Entbündele bei der Subtraktion nur dort, wo die obere Ziffer für die betreffende Stelle nicht ausreicht. - Bei drei Summanden kannst du alle drei gleichzeitig stellenweise addieren.

1. a) Von rechts nach links: \(2+9=11\), \(9+0+1=10\), \(8+3+1=12\), \(7+4+1=12\), \(6+5+1=12\), \(0+1+1=2\). Ergebnis: \(222\,201\). 2. b) Mit den nötigen Entbündelungen ergibt sich stellenweise: \(10-8=2\), \(9-7=2\), \(10-6=4\), \(11-5=6\), \(9-4=5\), \(2-0=2\). Ergebnis: \(256\,422\). 3. c) Die drei Summanden werden stellengerecht ausgerichtet. Einer: \(0+9+1=10\), schreibe \(0\), Übertrag \(1\). Zehner: \(5+9+6+1=21\), schreibe \(1\), Übertrag \(2\). Hunderter: \(4+9+5+2=20\), schreibe \(0\), Übertrag \(2\). Tausender: \(2+8+3+2=15\), schreibe \(5\), Übertrag \(1\). Zehntausender: \(1+0+0+1=2\). Hunderttausender: \(1\). Ergebnis: \(125\,010\).

a) Überträge: \(1;\,1;\,1;\,1;\,1\); Ergebnis: \(222\,201\) b) Obere Ziffern nach Entbündelung von rechts nach links: \(10;\,9;\,10;\,11;\,9;\,2\); Ergebnis: \(256\,422\) c) Überträge: \(1;\,2;\,2;\,1\); Ergebnis: \(125\,010\)

- Zerlege den zweiten Faktor gedanklich in Zehner und Einer. - Achte darauf, welchen Stellenwert das Teilprodukt zur Zehnerziffer hat. - Kontrolliere, ob das Ergebnis ungefähr zu \(326\cdot50\) passt.

1. Multipliziere entsprechend der einheitlichen Reihenfolge zuerst mit den Zehnern: \(326\cdot40=13\,040\). 2. Multipliziere danach mit den Einern: \(326\cdot7=2282\). 3. Addiere die Teilprodukte stellenrichtig: \(13\,040+2282=15\,322\).

Teilprodukte: \(13\,040\) und \(2282\) Ergebnis: \(326 \cdot 47 = 15\,322\)

- Beginne mit dem kleinsten vorderen Teil des Dividenden, der mindestens so groß wie \(35\) ist. - Nach jeder Teilsubtraktion wird die nächste Ziffer des Dividenden herangeholt. - Jede Quotientenziffer bestimmt genau den Teilsubtrahenden dieses Schritts.

1. \(75:35=2\). Teilsubtrahend: \(70\); Rest \(5\), danach entsteht \(56\). 2. \(56:35=1\). Teilsubtrahend: \(35\); Rest \(21\), danach entsteht \(210\). 3. \(210:35=6\). Teilsubtrahend: \(210\); Rest \(0\). 4. Quotient: \(216\). Probe: \(216\cdot35=7560\).

Quotientenziffern: \(2;\,1;\,6\) Teilsubtrahenden: \(70;\,35;\,210\) Probe: \(216\cdot35=7560\)

- Beachte beim ersten Teilprodukt den Stellenwert der Zehnerziffer des zweiten Faktors. - Berechne danach das Teilprodukt zur Einerziffer. - Addiere die beiden Teilprodukte stellenrichtig.

1. Zuerst wird mit der Zehnerstelle multipliziert: \(347\cdot20=6940\). 2. Danach wird mit der Einerstelle multipliziert: \(347\cdot6=2082\). 3. Die Teilprodukte werden stellenrichtig addiert: \(6940+2082=9022\).

Teilprodukte: \(6940\) und \(2082\) Endergebnis: \(9022\)

- Welche Teilprodukte entstehen bei der Multiplikation aus Zehner- und Einerstelle des Multiplikators? - Welche Ziffer des Quotienten passt jeweils zum gerade betrachteten Teildividenden? - Ist jeder Rest kleiner als der Divisor? - Welche Umkehroperation eignet sich für die Probe der Division?

1. Bei der Multiplikation wird zuerst mit der Zehnerstelle gerechnet: \(254\cdot30=7620\). 2. Danach folgt die Einerstelle: \(254\cdot6=1524\). Stellenrichtig addiert ergibt sich \(7620+1524=9144\). 3. Bei der Division gilt zuerst \(91:24=3\) Rest \(19\). Mit der heruntergeholten \(4\) entsteht \(194\); daraus folgt \(194:24=8\) Rest \(2\). Mit der letzten \(4\) entsteht \(24\); daraus folgt \(24:24=1\) Rest \(0\). 4. Der Quotient ist \(381\). Die Probe \(381\cdot24=9144\) bestätigt das Ergebnis.

a) Teilprodukte: \(7620\) und \(1524\); Ergebnis: \(9144\) b) Quotientenziffern: \(3, 8, 1\); Reste: \(19, 2, 0\); Quotient: \(381\); Probe: \(381\cdot24=9144\)

- Welche Umkehroperation hilft dir, wenn in einer Multiplikation ein Faktor fehlt? - Wie kannst du einen unbekannten Subtrahenden aus Minuend und Differenz bestimmen? - Prüfe jeden gefundenen Wert in der ursprünglichen Gleichung.

1. a) Der fehlende Faktor wird mit der Umkehroperation bestimmt: \(14\,760:123=120\). Probe: \(123\cdot120=14\,760\). 2. b) Der fehlende Subtrahend ergibt sich aus \(4000-1567=2433\). Probe: \(4000-2433=1567\).

a) \(\square=120\) b) \(\triangle=2433\)

- Überlege dir bei jeder Stelle, ob du von der nächsten Stelle entbündeln musst. - Du kannst die Aufgabe auch als Additionsaufgabe von unten nach oben lesen: Ergebnis plus untere Zahl gleich obere Zahl. - Achte besonders auf die Entbündelungen bei der Subtraktion.

1. Einerstelle: \(4-3=1\), also ist die fehlende Einerziffer des Subtrahenden \(3\). 2. Zehnerstelle: Die obere Ziffer ist \(3\). Da \(3<5\), wird ein Hunderter entbündelt: \(13-5=8\). 3. Hunderterstelle: Nach dem Entbündeln bleiben oben \(2\) Hunderter. Da \(2<6\), wird ein Tausender entbündelt: \(12-6=6\). 4. Tausenderstelle: Danach gilt \(7-3=4\). Die vollständige Rechnung lautet \(8334-3653=4681\).

Vollständige Rechnung: \(8334-3653=4681\) Entbündelt wird beim Bearbeiten der Zehnerstelle und anschließend der Hunderterstelle.

- Richte beide Rechnungen stellengerecht aus und bearbeite sie getrennt. - Notiere Überträge beziehungsweise Entbündelungen direkt an der betroffenen Stelle. - Vergleiche erst die vollständig berechneten Ergebnisse von links nach rechts.

1. Rechnung A schriftlich: Einer \(6+4=10\), Zehner \(4+5+1=10\), Hunderter \(2+7+1=10\), Tausender \(5+4+1=10\), Zehntausender \(3+8+1=12\), Hunderttausender \(1+1=2\). Ergebnis: \(220\,000\). 2. Rechnung B schriftlich: Beim Entbündeln über die Nullen erhält man für die unteren Stellen \(10\) Einer, \(9\) Zehner, \(9\) Hunderter und \(9\) Tausender; für die Zehntausender wird anschließend ein Hunderttausender entbündelt. Stellenweise ergibt sich \(10-9=1\), \(9-8=1\), \(9-9=0\), \(9-9=0\), \(10-8=2\), \(2-0=2\). Ergebnis: \(220\,011\). 3. Vergleich: \(220\,011 > 220\,000\). Rechnung B ist größer.

Rechnung A: Überträge von rechts nach links \(1;\,1;\,1;\,1;\,1\); Ergebnis \(220\,000\) Rechnung B: entbündelte obere Ziffern von rechts nach links \(10;\,9;\,9;\,9;\,10;\,2\); Ergebnis \(220\,011\) Vergleich: \(220\,011>220\,000\), also ist Rechnung B größer.

- Bestimme zuerst mit einer schriftlichen Addition die gesamten Ausgaben. - Ziehe danach die Gesamtausgaben schriftlich vom Budget ab. - Achte bei beiden Verfahren darauf, dass gleiche Stellen untereinander stehen.

1. Die Ausgaben werden schriftlich addiert. Einer: \(5+0+8=13\), schreibe \(3\), Übertrag \(1\). Zehner: \(4+2+7+1=14\), schreibe \(4\), Übertrag \(1\). Hunderter: \(8+1+3+1=13\), schreibe \(3\), Übertrag \(1\). Tausender: \(0+1+0+1=2\). Gesamtausgaben: \(2343\,\text{€}\). 2. Nun wird schriftlich subtrahiert: \(2500-2343\). Für die Einer wird über die Zehnerstelle entbündelt: \(10-3=7\), danach \(9-4=5\), \(4-3=1\), \(2-2=0\). Rest: \(157\,\text{€}\).

Gesamtausgaben: \(2343\,\text{€}\); Überträge der Addition: \(1;\,1;\,1\) Bei \(2500-2343\) werden von rechts nach links die oberen Ziffern \(10;\,9;\,4;\,2\) verwendet. Rest: \(157\,\text{€}\)

- Welche Bestandsänderung wird addiert und welche wird subtrahiert? - Rechne zuerst den Bestand nach der Lieferung aus und verwende dieses Ergebnis für den zweiten Schritt. - Richte bei beiden schriftlichen Rechnungen die Stellenwerte genau untereinander aus.

1. Zuerst wird schriftlich addiert: \(15\,480 + 3765\). Einer: \(0+5=5\). Zehner: \(8+6=14\), schreibe \(4\), Übertrag \(1\). Hunderter: \(4+7+1=12\), schreibe \(2\), Übertrag \(1\). Tausender: \(5+3+1=9\). Zehntausender: \(1\). Zwischenergebnis: \(19\,245\). 2. Danach wird schriftlich subtrahiert: \(19\,245-2894\). Einer: \(5-4=1\). Zehner: \(4-9\) erfordert Entbündeln, also \(14-9=5\). Hunderter: nach dem Entbündeln \(1-8\); aus dem Tausender wird entbündelt, also \(11-8=3\). Tausender: \(8-2=6\). Zehntausender: \(1\). Ergebnis: \(16\,351\).

Schriftliche Addition: \(15\,480+3765=19\,245\) Bei \(19\,245-2894\) wird an der Zehnerstelle und anschließend an der Hunderterstelle entbündelt. Neuer Bestand: \(16\,351\) Bücher

- Richte in Ausdruck A alle drei Summanden stellengerecht aus. - Achte bei Ausdruck B auf das Entbündeln über mehrere Nullen hinweg. - Vergleiche erst die beiden vollständigen Ergebnisse und bestimme dann ihren Abstand.

1. Ausdruck A schriftlich: Einer \(9+2+5=16\), schreibe \(6\), Übertrag \(1\). Zehner \(0+1+5+1=7\). Hunderter \(5+8+6=19\), schreibe \(9\), Übertrag \(1\). Tausender \(4+7+0+1=12\), schreibe \(2\), Übertrag \(1\). Zehntausender \(3+1=4\). Ergebnis: \(42\,976\). 2. Ausdruck B schriftlich: Bei \(50\,000-7025\) wird über die Nullen hinweg entbündelt. Einer \(10-5=5\), Zehner \(9-2=7\), Hunderter \(9-0=9\), Tausender \(9-7=2\), Zehntausender \(4-0=4\). Ergebnis: \(42\,975\). 3. Die Ergebnisse unterscheiden sich um \(42\,976-42\,975=1\). Ausdruck A ist größer.

A: Überträge nach Einer-, Hunderter- und Tausenderstelle jeweils \(1\); Ergebnis \(42\,976\) B: obere Ziffern nach dem Entbündeln von rechts nach links \(10;\,9;\,9;\,9;\,4\); Ergebnis \(42\,975\) A ist um \(1\) größer.

- Runde beim Überschlag so, dass die Größenordnung leicht im Kopf bestimmbar ist. - Schreibe bei der Multiplikation die Teilprodukte ihrem Stellenwert entsprechend untereinander. - Bei der Division gehört zu jeder heruntergeholten Ziffer eine Quotientenziffer, auch wenn sie \(0\) ist. - Nutze die Umkehroperation der Division für die Probe.

1. Überschläge: a) \(400\cdot60=24\,000\), b) \(12\,000:12=1000\), c) \(200\cdot400=80\,000\), d) \(9000:15=600\). 2. a) Schriftliche Multiplikation: Zehnerteil \(423\cdot50=21\,150\), Einerteil \(423\cdot6=2538\). Stellenrichtig addiert: \(21\,150+2538=23\,688\). 3. b) Schriftliche Division: \(12:12=1\), Rest \(0\); die nächste Ziffer \(6\) ergibt die Quotientenziffer \(0\); mit der nächsten Ziffer entsteht \(64:12=5\), Rest \(4\); nach dem Herunterholen der \(8\) gilt \(48:12=4\). Quotient: \(1054\). Probe: \(1054\cdot12=12\,648\). 4. c) Schriftliche Multiplikation: \(205\cdot400=82\,000\), \(205\cdot0=0\), \(205\cdot3=615\). Stellenrichtig addiert: \(82\,615\). 5. d) Schriftliche Division: \(94:15=6\), Rest \(4\); heruntergeholte \(3\) ergibt \(43:15=2\), Rest \(13\); heruntergeholte \(5\) ergibt \(135:15=9\). Quotient: \(629\). Probe: \(629\cdot15=9435\). 6. Alle exakten Ergebnisse liegen in der Größenordnung der Überschläge.

a) Ü: \(24\,000\); Teilprodukte: \(21\,150\) und \(2538\); Ergebnis: \(23\,688\) b) Ü: \(1000\); Quotientenziffern: \(1\), \(0\), \(5\), \(4\); zugehörige Reste: \(0\), \(6\), \(4\), \(0\); Ergebnis: \(1054\); Probe: \(1054\cdot12=12\,648\) c) Ü: \(80\,000\); Teilprodukte: \(82\,000\), \(0\), \(615\); Ergebnis: \(82\,615\) d) Ü: \(600\); Quotientenziffern: \(6\), \(2\), \(9\); zugehörige Reste: \(4\), \(13\), \(0\); Ergebnis: \(629\); Probe: \(629\cdot15=9435\)

- Wenn eine Zahl nicht genau aufgeht, bleibt am Ende ein Rest übrig. - Der Rest muss immer kleiner sein als der Teiler (Divisor). - Beim Überschlag hilft es, Vielfache des Teilers zu suchen, die nah an der Zahl liegen. - Wie gehst du vor, wenn eine Teilzahl kleiner ist als der Divisor? Denke an die Null im Ergebnis.

1. Überschläge: a) \(7500 : 25 = 300\) oder \(8000 : 20 = 400\), b) \(16\,000 : 40 = 400\). 2. Schriftliche Division mit Rest: a) \(7843 : 25 = 313\) Rest \(18\), da \(78 : 25 = 3\) (Rest \(3\)), \(34 : 25 = 1\) (Rest \(9\)), \(93 : 25 = 3\) (Rest \(18\)). b) \(15\,000 : 37 = 405\) Rest \(15\), da \(150 : 37 = 4\) (Rest \(2\)), \(20 : 37 = 0\) (Rest \(20\)), \(200 : 37 = 5\) (Rest \(15\)). 3. Proben: a) \(313 \cdot 25 + 18 = 7825 + 18 = 7843\). b) \(405 \cdot 37 + 15 = 14\,985 + 15 = 15\,000\).

a) Ü: ca. \(300\); Teildividenden: \(78\), \(34\), \(93\); zugehörige Reste: \(3\), \(9\), \(18\); Ergebnis: \(313\) Rest \(18\); Probe: \(313\cdot25+18=7843\) b) Ü: ca. \(400\); Teildividenden: \(150\), \(20\), \(200\); zugehörige Reste: \(2\), \(20\), \(15\); Ergebnis: \(405\) Rest \(15\); Probe: \(405\cdot37+15=15\,000\)

- Suche für den Überschlag nach Zahlen in der Nähe, die gut zusammenpassen. - Wie oft passt die \(24\) in die ersten Stellen des Dividenden? - Mit welcher Rechenart kannst du eine Division rückgängig machen, um sie zu prüfen?

1. Überschlag: Rundung auf einfache Zahlen, zum Beispiel \(20\,000 : 25 = 800\) oder \(18\,000 : 20 = 900\). 2. Schriftliche Division: \(188 : 24 = 7\) Rest \(20\); \(201 : 24 = 8\) Rest \(9\); \(96 : 24 = 4\). Das Ergebnis ist \(784\). 3. Probe: Durchführung der Multiplikation \(784 \cdot 24\). \(784 \cdot 20 = 15\,680\) und \(784 \cdot 4 = 3136\). Die Summe \(15\,680 + 3136\) ergibt \(18\,816\).

Überschlag: ca. \(800\) Schritte: \(188:24=7\) Rest \(20\); \(201:24=8\) Rest \(9\); \(96:24=4\) Rest \(0\) Ergebnis: \(784\) Probe: \(784\cdot24=18\,816\)

- Löse die Aufgabe in zwei schriftlichen Schritten und verwende das Ergebnis der Addition als Subtrahenden. - Richte bei der Addition gleiche Stellenwerte untereinander aus. - Beim Subtrahieren von \(1\,000\,000\) musst du das Entbündeln über mehrere Nullen weitergeben.

1. Schriftliche Addition: Einer \(0+6=6\), Zehner \(0+5=5\), Hunderter \(7+4=11\), schreibe \(1\), Übertrag \(1\); Tausender \(6+3+1=10\), schreibe \(0\), Übertrag \(1\); Zehntausender \(5+2+1=8\); Hunderttausender \(4+1=5\). Summe: \(580\,156\). 2. Schriftliche Subtraktion: Bei \(1\,000\,000-580\,156\) wird über die Nullen hinweg entbündelt. Dann ergeben sich von rechts nach links \(10-6=4\), \(9-5=4\), \(9-1=8\), \(9-0=9\), \(9-8=1\), \(9-5=4\). Ergebnis: \(419\,844\).

Zwischensumme: \(580\,156\) Bei \(1\,000\,000-580\,156\) werden von rechts nach links die oberen Ziffern \(10;\,9;\,9;\,9;\,9;\,9;\,0\) verwendet. Endergebnis: \(419\,844\)

- Bearbeite Addition und Subtraktion zunächst unabhängig voneinander schriftlich. - Notiere Überträge beziehungsweise Entbündelungen an den passenden Stellen. - Vergleiche erst die vollständig berechneten Ergebnisse.

1. A schriftlich: Einer \(8+3=11\), schreibe \(1\), Übertrag \(1\); Zehner \(7+3+1=11\), schreibe \(1\), Übertrag \(1\); Hunderter \(6+9+1=16\), schreibe \(6\), Übertrag \(1\); Tausender \(5+8+1=14\), schreibe \(4\), Übertrag \(1\); Zehntausender \(4+2+1=7\); Hunderttausender \(3+1=4\). Damit \(A=474\,611\). 2. B schriftlich: Über die Nullen wird entbündelt. Von rechts nach links: \(10-9=1\), \(9-8=1\), \(9-3=6\), \(9-5=4\), \(9-2=7\), \(5-1=4\). Damit \(B=474\,611\). 3. Beide Ergebnisse sind gleich, also \(A=B\).

A: Überträge von rechts nach links \(1;\,1;\,1;\,1\); \(A=474\,611\) B: obere Ziffern nach Entbündelung von rechts nach links \(10;\,9;\,9;\,9;\,9;\,5\); \(B=474\,611\) Damit \(A=B\).

- Runde für den Überschlag so, dass die Größenordnung leicht erkennbar ist. - Bei der einstelligen schriftlichen Multiplikation arbeitest du stellenweise und nimmst Überträge zur nächsten Stelle mit. - Bei einem zweistelligen zweiten Faktor müssen die Teilprodukte ihrem Stellenwert entsprechend ausgerichtet werden.

1. Überschlag für (1): \(8000\cdot6=48\,000\). 2. Schriftliche Multiplikation (1): Einer \(5\cdot6=30\), schreibe \(0\), Übertrag \(3\). Zehner \(4\cdot6+3=27\), schreibe \(7\), Übertrag \(2\). Hunderter \(2\cdot6+2=14\), schreibe \(4\), Übertrag \(1\). Tausender \(8\cdot6+1=49\). Ergebnis: \(49\,470\). 3. Überschlag für (2): \(500\cdot50=25\,000\). 4. Schriftliche Multiplikation (2): Zehnerteil \(538\cdot40=21\,520\), Einerteil \(538\cdot7=3766\). Stellenrichtig addiert: \(21\,520+3766=25\,286\).

(1) Ü: z. B. \(48\,000\); Überträge nach Einer-, Zehner- und Hunderterstelle: \(3;\,2;\,1\); Ergebnis: \(49\,470\) (2) Ü: z. B. \(25\,000\); Teilprodukte: \(21\,520\) und \(3766\); Ergebnis: \(25\,286\)

- Suche für den Überschlag eine Zahl in der Nähe des Dividenden, die gut durch den Divisor teilbar ist. - Was musst du tun, wenn eine Stelle des Dividenden kleiner ist als der Divisor? - Vergiss nicht, bei jedem Schritt den Rest zu notieren und die nächste Ziffer „herunterzuholen“.

1. Überschlag für (1): \(4800 : 8 = 600\). 2. Schriftliche Division (1): \(46 : 8 = 5\) Rest \(6\); \(65 : 8 = 8\) Rest \(1\); \(16 : 8 = 2\). Das Ergebnis ist \(582\). 3. Überschlag für (2): \(420\,000 : 6 = 70\,000\). 4. Schriftliche Division (2): \(43 : 6 = 7\) Rest \(1\); \(18 : 6 = 3\) Rest \(0\); \(2 : 6 = 0\) Rest \(2\); \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\); \(24 : 6 = 4\). Das Ergebnis ist \(73\,034\).

(1) Ü: z. B. \(600\); Schritte: \(46:8=5\) Rest \(6\), \(65:8=8\) Rest \(1\), \(16:8=2\) Rest \(0\); Ergebnis: \(582\) (2) Ü: z. B. \(70\,000\); Schritte: \(43:6=7\) Rest \(1\), \(18:6=3\) Rest \(0\), \(2:6=0\) Rest \(2\), \(20:6=3\) Rest \(2\), \(24:6=4\) Rest \(0\); Ergebnis: \(73\,034\)

- Suche nach einem Faktor, der sich mit nur einer kleinen Korrektur auf eine Stufenzahl bringen lässt. - Prüfe, ob dieser Rechenvorteil wirklich nur eine kurze Korrektur nach sich zieht. - Beim anderen Produkt kannst du den zweistelligen Multiplikator nach seinen Stellenwerten zerlegen.

1. Für a) ist der Kopfrechenweg besonders kurz, weil \(999=1000-1\) gilt: \(999\cdot8=(1000-1)\cdot8=8000-8=7992\). 2. Bei b) bietet keiner der Faktoren eine vergleichbare Ein-Schritt-Korrektur zu einer Stufenzahl. Das schriftliche Verfahren zerlegt den Multiplikator nach Stellenwerten. 3. Das Zehnerteilprodukt ist \(3684\cdot20=73\,680\), das Einerteilprodukt \(3684\cdot7=25\,788\). 4. Stellenrichtig addiert ergibt sich \(73\,680+25\,788=99\,468\). Damit ist die Zuordnung durch die unterschiedliche Zahlenstruktur begründet.

a) Kopfrechnen: \(999\cdot8=(1000-1)\cdot8=8000-8=7992\) b) Schriftliche Multiplikation: Teilprodukte \(73\,680\) und \(25\,788\); Ergebnis \(99\,468\) Begründung: Bei a) liegt ein Faktor nur \(1\) unter einer Stufenzahl und erlaubt eine einzige Korrektur; bei b) ist die Zerlegung in Zehner- und Einerteilprodukt der passendere strukturierte Weg.

- Beginne mit dem kleinsten Anfangsteil des Dividenden, der mindestens so groß wie der Divisor ist. - Nach jeder Teilsubtraktion wird die nächste Ziffer des Dividenden zum Rest heruntergeholt. - Prüfe den fertigen Quotienten durch die Umkehroperation.

1. Aus \(87\) erhält man die erste Quotientenziffer \(3\), denn \(3\cdot24=72\). Es bleibt \(15\); mit der nächsten Ziffer entsteht \(153\). 2. Die zweite Quotientenziffer ist \(6\), denn \(6\cdot24=144\). Es bleibt \(9\); mit der nächsten Ziffer entsteht \(96\). 3. Die dritte Quotientenziffer ist \(4\), denn \(4\cdot24=96\). Der Rest ist \(0\). 4. Damit ist \(8736:24=364\). Die Probe \(364\cdot24=8736\) bestätigt das Ergebnis.

Quotient: \(364\) Teilsubtraktionen: \(87-72\), \(153-144\), \(96-96\) Probe: \(364\cdot24=8736\)

- Gehe systematisch von rechts nach links vor. - Eine Ergebnisziffer \(0\) kann auch aus einer zweistelligen Spaltensumme entstehen; prüfe dann den Übertrag zur nächsten Stelle. - Notiere jeden Übertrag sofort, bevor du die nächste Spalte untersuchst.

1. Einerstelle: \(7+8=15\), Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(1+8+1=10\), also ist die fehlende Zehnerziffer oben \(1\); Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(4+7+1=12\), also ist die fehlende Hunderterziffer unten \(7\); Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(6+3+1=10\), also ist die fehlende Tausenderziffer oben \(6\); Übertrag \(1\). 5. Zehntausenderstelle: \(2+1+1=4\). Die vollständige Rechnung lautet \(26\,417+13\,788=40\,205\).

Vollständige Rechnung: \(26\,417+13\,788=40\,205\) Überträge: \(1;\,1;\,1;\,1\)

- Diese Aufgabe erfordert systematisches Vorgehen, da fast in jedem Schritt entbündelt werden muss. - Notiere dir die Entbündelungen klein an den Rand oder über die Ziffern, um nicht den Überblick zu verlieren. - Wenn du an einer Stelle nicht weiterkommst, prüfe, welche Ziffer nach dem Entbündeln passen kann.

1. Einerstelle: \(12-5=7\); dafür wird aus den Zehnern entbündelt. 2. Zehnerstelle: Danach gilt \(11-8=3\); dafür wird aus den Hundertern entbündelt. 3. Hunderterstelle: Danach gilt \(13-5=8\); dafür wird aus den Tausendern entbündelt. 4. Tausenderstelle: Danach gilt \(11-7=4\); dafür wird aus den Zehntausendern entbündelt. 5. Zehntausenderstelle: \(6-1=5\). Die vollständige Rechnung lautet \(72\,422-17\,585=54\,837\).

Vollständige Rechnung: \(72\,422-17\,585=54\,837\) Entbündelungskette: Für die Einer wird aus den Zehnern entbündelt; danach für die Zehner aus den Hundertern, für die Hunderter aus den Tausendern und für die Tausender aus den Zehntausendern.

- Bei drei Summanden arbeitest du weiterhin spaltenweise von rechts nach links. - Prüfe nach jeder Spalte, ob ein Übertrag zur nächsten Stelle entsteht. - Nutze Ergebnisziffer und möglichen Übertrag gemeinsam, um die jeweils fehlende Ziffer einzugrenzen.

1. Einerstelle: \(5+7+2=14\), also ist die fehlende Einerziffer oben \(5\); Übertrag \(1\). 2. Zehnerstelle: \(4+4+3+1=12\), also ist die fehlende Zehnerziffer im zweiten Summanden \(4\); Übertrag \(1\). 3. Hunderterstelle: \(8+9+1+1=19\), also ist die fehlende Hunderterziffer im dritten Summanden \(1\); Übertrag \(1\). 4. Tausenderstelle: \(4+4+1=9\), also ist die fehlende Tausenderziffer im ersten Summanden \(4\). Die vollständige Rechnung lautet \(4845+4947+132=9924\).

Vollständige Rechnung: \(4845+4947+132=9924\) Überträge: \(1;\,1;\,1\)

- Beginne bei den Einern und arbeite dich Stelle für Stelle nach links vor. - Vergiss nicht, die Überträge zu berücksichtigen, wenn eine Summe größer als 9 ist. - Bei der Subtraktion hilft es, an das Ergänzen oder Entbündeln zu denken, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere.

1. a) Einer: \(2+9=11\), Übertrag \(1\). Zehner: \(8+5+1=14\), Übertrag \(1\). Hunderter: \(7+5+1=13\), Übertrag \(1\). Tausender: \(4+1+1=6\). Damit \(4782+1559=6341\). 2. b) Einer: Aus einem Zehner wird entbündelt, sodass \(13-8=5\). Für die Zehner muss wegen der \(0\) in der Hunderterstelle zunächst aus dem Tausender entbündelt werden; danach stehen \(13\) Zehner und \(9\) Hunderter zur Verfügung. Es folgt \(13-6=7\), \(9-7=2\), \(7-2=5\). Damit \(8043-2768=5275\).

a) \(4782+1559=6341\); Überträge: \(1;\,1;\,1\) b) \(8043-2768=5275\); für die Zehner muss über die \(0\) in der Hunderterstelle aus dem Tausender entbündelt werden, sodass \(13\) Zehner und danach \(9\) Hunderter zur Verfügung stehen.

- Kontrolliere vor der exakten Rechnung zunächst nur die Größenordnung. - Berücksichtige bei jedem Teilprodukt, welchen Stellenwert die verwendete Ziffer des zweiten Faktors hat. - Bei der schriftlichen Division darf eine Quotientenziffer \(0\) sein; überspringe keine Stelle. - Vergleiche am Ende die Stellenzahl des exakten Ergebnisses mit dem Überschlag.

1. Überschläge: a) \(5000\cdot3000=15\,000\,000\), b) \(10\,000\cdot70=700\,000\), c) \(36\,000:12=3000\). 2. a) Schriftliche Multiplikation nach den Stellenwerten von \(3040\): Tausenderteil \(5020\cdot3000=15\,060\,000\), Hunderterteil \(0\), Zehnerteil \(5020\cdot40=200\,800\), Einerteil \(0\). Stellenrichtig addiert: \(15\,260\,800\). 3. b) Zehnerteil: \(12\,345\cdot60=740\,700\). Einerteil: \(12\,345\cdot7=86\,415\). Stellenrichtig addiert: \(827\,115\). 4. c) Schriftliche Division: \(36:12=3\). Die nächste Ziffer \(0\) ergibt die Quotientenziffer \(0\). Die heruntergeholte \(7\) ist kleiner als \(12\), also folgt nochmals \(0\). Mit der letzten Ziffer entsteht \(72:12=6\). Quotient: \(3006\). 5. Alle Ergebnisse liegen in der Größenordnung der Überschläge.

a) Ü: \(15\,000\,000\); Teilprodukte für Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einerstelle: \(15\,060\,000\), \(0\), \(200\,800\), \(0\); Ergebnis: \(15\,260\,800\) b) Ü: \(700\,000\); Teilprodukte: \(740\,700\) und \(86\,415\); Ergebnis: \(827\,115\) c) Ü: \(3000\); Quotientenziffern: \(3;\,0;\,0;\,6\); Ergebnis: \(3006\)

- Achte bei der Multiplikation mit \(308\) besonders auf die Null an der Zehnerstelle. - Ein Überschlag hilft dir zu erkennen, ob die Anzahl der Stellen im Ergebnis stimmen kann. - Die Probe ist die Umkehroperation der Division.

1. Zu a) Überschlag: \(12\,000 \cdot 300 = 3\,600\,000\). Schriftliche Multiplikation: \(12\,045 \cdot 300 = 3\,613\,500\) und \(12\,045 \cdot 8 = 96\,360\). Summe: \(3\,613\,500 + 96\,360 = 3\,709\,860\). 2. Zu b) Überschlag: \(15\,000 : 50 = 300\). Schriftliche Division: \(149 : 48 = 3\) Rest \(5\); \(57 : 48 = 1\) Rest \(9\); \(96 : 48 = 2\). Quotient: \(312\). 3. Probe zu b): Multiplikation \(312 \cdot 48\). \(312 \cdot 40 = 12\,480\) und \(312 \cdot 8 = 2496\). Summe: \(12\,480 + 2496 = 14\,976\).

a) Ü: ca. \(3\,600\,000\); Teilprodukte: \(3\,613\,500\) und \(96\,360\); Ergebnis: \(3\,709\,860\) b) Ü: ca. \(300\); Schritte: \(149:48=3\) Rest \(5\), \(57:48=1\) Rest \(9\), \(96:48=2\) Rest \(0\); Ergebnis: \(312\); Probe: \(312\cdot48=14\,976\)