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- Welche Zahl fehlt in einer Addition? - Den fehlenden Summanden kannst du mit der Umkehroperation bestimmen. - Prüfe deinen Wert in der ursprünglichen Gleichung.

1. Gesucht ist der fehlende Summand. 2. Nutze die Umkehroperation: \(90 - 37 = 53\). 3. Damit ist \(x = 53\).

\(x = 53\)

- Welche Zahl fehlt in einer Multiplikation? - Den fehlenden Faktor kannst du mit der Umkehroperation bestimmen. - Setze deinen Wert probeweise für \(x\) ein.

1. Gesucht ist der fehlende Faktor. 2. Nutze die Umkehroperation: \(56 : 8 = 7\). 3. Damit ist \(x = 7\).

\(x = 7\)

- Überlege dir zuerst die Fachbegriffe: Welche Zahl wird gesucht? - Kannst du eine kleine Beispielaufgabe mit einfachen Zahlen finden, um die Formel zu prüfen? - Wenn du eine Zahl abziehst und ein Ergebnis erhältst, muss die Startzahl dann größer oder kleiner als das Ergebnis sein? - Nutze die Umkehroperation, um die fehlende Zahl zu finden.

1. Aufstellen der Grundgleichung für die Subtraktion: \(\text{Minuend} - \text{Subtrahend} = \text{Differenz}\). 2. Umstellen der Gleichung nach dem Minuenden: \(\text{Minuend} = \text{Differenz} + \text{Subtrahend}\). 3. Einsetzen der Werte und Berechnung: \(5450 + 14\,550 = 20\,000\).

Der Minuend ist \(20\,000\).

- Welche Operation wurde unmittelbar vor dem Ergebnis ausgeführt? - Welche Umkehroperation macht diesen Rechenschritt rückgängig? - Wiederhole dieses Rückwärtsrechnen Schritt für Schritt, bis du beim Platzhalter angekommen bist.

1. Rechne vom Ergebnis aus rückwärts. Die letzte Operation \(+120\) wird durch \(-120\) rückgängig gemacht: \(500-120=380\). 2. Die vorherige Operation \(-45\) wird durch \(+45\) rückgängig gemacht: \(380+45=425\). 3. Daher ist \(\square=425\).

\(\square=425\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit \(0\) multipliziert? - Wann kommt bei einer Division als Ergebnis genau \(1\) heraus? - Überlege, welche Zahl bei der Multiplikation den Wert einer anderen Zahl nicht verändert. - Was muss am Anfang einer Geteiltaufgabe stehen, damit das Ergebnis \(0\) ist?

1. Ein Produkt ist \(0\), wenn einer der Faktoren \(0\) ist. Da \(12 \cdot 9 \neq 0\), muss \(x = 0\) sein. 2. Eine Division ergibt \(1\), wenn Dividend und Divisor gleich sind: \(x = 48 \cdot 1 = 48\). 3. Eine Multiplikation mit \(1\) verändert die Zahl nicht: \(x = 75 : 75 = 1\). 4. Eine Division ergibt \(0\), wenn der Dividend \(0\) ist: \(x = 0 \cdot 15 = 0\).

a) \(x = 0\) b) \(x = 48\) c) \(x = 1\) d) \(x = 0\)

- Wenn du eine Zahl zu etwas addierst, wie kommst du dann zurück zum Ursprung? - Bei einer Subtraktion wie in b): Was musst du von \(1500\) abziehen, damit \(634\) übrig bleibt? - Kannst du die Aufgabe in eine einfachere Form mit kleineren Zahlen umschreiben, um den Rechenweg zu finden?

1. In Gleichung a) wird die Umkehroperation der Addition genutzt: \(x = 2000 - 857\). Das Ergebnis der Subtraktion ist \(x = 1143\). 2. In Gleichung b) wird der Subtrahend gesucht. Man rechnet Minuend minus Differenz: \(\square = 1500 - 634\). Dies ergibt \(\square = 866\).

a) \(x = 1143\) b) \(\square = 866\)

- Kannst du die Zahlen in einer anderen Reihenfolge multiplizieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Gibt es zwei Zahlen in der Aufgabe, deren Produkt eine Stufenzahl (wie 10, 100 oder 1000) ergibt? - Überlege, mit welcher Zahl du das Zwischenergebnis multiplizieren musst, um auf das Endergebnis zu kommen.

1. Anwendung des Vertauschungsgesetzes (Kommutativgesetz) zur Vereinfachung: \(125 \cdot 4 = 500\) 2. Einsetzen des Zwischenergebnisses in die Gleichung: \(500 \cdot \square = 1500\) 3. Bestimmung des Platzhalters durch Division: \(1500 : 500 = 3\)

\(\square = 3\)

- Überlege dir, mit welcher Rechenart du die gesuchte Zahl aus den gegebenen Zahlen finden kannst. - Kannst du die Aufgabe in eine Umkehraufgabe verwandeln? - Was musst du tun, um einen fehlenden Summanden oder einen fehlenden Subtrahenden zu finden?

1. Zur Lösung von a wird die Summe um den bekannten Summanden verringert: \(1000 - 450 = 550\). Somit ist \(x = 550\). 2. In Teil b wird der Subtrahend gesucht. Man berechnet die Differenz von Minuend und Ergebnis: \(820 - 540 = 280\). Somit ist \(x = 280\). 3. In Teil c wird der Minuend gesucht. Man addiert Subtrahend und Differenz: \(720 + 280 = 1000\). Somit ist \(x = 1000\). 4. In Teil d wird der fehlende Summand berechnet: \(2350 - 1500 = 850\). Somit ist \(x = 850\).

a) \(x = 550\) b) \(x = 280\) c) \(x = 1000\) d) \(x = 850\)

- Berechne zuerst den Wert, der nach dem Wort „genauso groß wie“ beschrieben wird. - Wie sieht die Gleichung aus, wenn du die gesuchte Zahl \(x\) nennst? - Welche Zahl muss man zu \(45\) addieren, um dein Zwischenergebnis zu erreichen? - Nutze die Umkehroperation der Addition.

1. Berechnung des Zielwerts durch Subtraktion: \(150 - 38 = 112\) 2. Aufstellen der Gleichung für die gesuchte Zahl \(x\): \(x + 45 = 112\) 3. Anwendung der Umkehroperation zur Bestimmung von \(x\): \(x = 112 - 45\) 4. Ermittlung des Endergebnisses: \(112 - 45 = 67\)

\(67\)

- Beim Einsetzen ersetzt du nur \(x\) durch den zu prüfenden Wert und lässt den restlichen Term unverändert. - Ein Kandidat ist nur dann Lösung, wenn nach dem Einsetzen genau die rechte Seite entsteht. - Beim Rückwärtslösen machst du die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge rückgängig.

1. Für \(x=6\) ergibt die linke Seite \(7\cdot6-14=42-14=28\). Dieser Wert erfüllt die Gleichung nicht. 2. Für \(x=8\) ergibt die linke Seite \(7\cdot8-14=56-14=42\). Dieser Wert erfüllt die Gleichung. 3. Mit Umkehroperationen wird zuerst die Subtraktion von \(14\) rückgängig gemacht: \(42+14=56\). 4. Danach wird die Multiplikation mit \(7\) rückgängig gemacht: \(56:7=8\). Somit ist \(x=8\).

a) \(x=6\) ergibt links \(28\); \(x=8\) ergibt links \(42\). b) \(x=8\) erfüllt die Gleichung. c) Mit Umkehroperationen erhält man ebenfalls \(x=8\).

- Versuche, die Aufgabe schrittweise von hinten nach vorne zu lösen. - Welche Rechenart macht eine Division wieder rückgängig? - Überlege dir, was das Gegenteil von „minus \(24\)“ ist. - Prüfe dein Ergebnis, indem du die Rechnung von vorne mit deiner gefundenen Zahl durchgehst.

1. Umkehrung der letzten Operation (Division durch \(4\)): \(10 \cdot 4 = 40\) 2. Umkehrung der vorletzten Operation (Subtraktion von \(24\)): \(40 + 24 = 64\) 3. Umkehrung der ersten Operation (Multiplikation mit \(8\)): \(64 : 8 = 8\)

Die eingegebene Zahl war \(8\).

- Kannst du die Kette der Rechenbefehle nacheinander umkehren? - Was musst du mit dem Endergebnis \(11\) zuerst tun, um den Schritt „geteilt durch \(12\)“ rückgängig zu machen? - Achte darauf, bei jedem Schritt die genau entgegengesetzte Rechenart zu verwenden.

1. Multiplikation des Endergebnisses mit dem letzten Divisor: \(11 \cdot 12 = 132\) 2. Addition des zuvor subtrahierten Wertes: \(132 + 28 = 160\) 3. Division durch den Multiplikator: \(160 : 4 = 40\) 4. Subtraktion des zuerst addierten Wertes: \(40 - 17 = 23\)

Linas Zahl lautet \(23\).

- Achte bei der Addition auf Überträge und bei der Subtraktion auf Entbündelungen. - Welche Rechenart macht das Gegenteil von dem, was in der Aufgabe steht? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du es für den Platzhalter einsetzt.

1. In Aufgabe a) subtrahiert man den Summanden vom Ergebnis: \(3100 - 1250 = 1850\). 2. In Aufgabe b) addiert man die Differenz und den Subtrahenden, um den Minuenden zu erhalten: \(1425 + 875 = 2300\). 3. In Aufgabe c) subtrahiert man die Differenz vom Minuenden, um den Subtrahenden zu finden: \(4005 - 2347 = 1658\).

a) \(x = 1850\) b) \(\square = 2300\) c) \(x = 1658\)

- Kann eine Summe kleiner sein als einer der beiden Summanden, wenn wir nur natürliche Zahlen verwenden? - Was ist das Gegenteil von „etwas abziehen“? - Stell dir vor, du hast eine unbekannte Menge Murmeln, gibst welche weg und hast noch einen Rest. Wie viele hattest du am Anfang?

1. Prüfung der ersten Gleichung: Da \(210\) kleiner als \(345\) ist, kann keine natürliche Zahl \(x\) addiert werden, um \(210\) zu erhalten. Es gibt keine Lösung in den natürlichen Zahlen. 2. Lösung der zweiten Gleichung: Anwendung der Umkehroperation Addition. 3. Berechnung: \(210 + 345 = 555\).

Die Gleichung \(x + 345 = 210\) hat keine Lösung in den natürlichen Zahlen, da das Ergebnis der Addition kleiner ist als einer der Summanden. Die Lösung für \(x - 345 = 210\) ist \(x = 555\).

- Wie hängen Multiplikation und Division als Umkehroperationen zusammen? - Welche Operation macht eine Multiplikation mit einem bekannten Faktor rückgängig? - Prüfe bei einer Division genau, ob der Dividend oder der Divisor unbekannt ist.

1. a) Mit der Umkehroperation gilt \(a=126:14=9\). 2. b) Mit der Umkehroperation gilt \(b=9\cdot12=108\). 3. c) Der unbekannte Divisor ergibt sich aus \(c=165:11=15\).

a) \(a=9\) b) \(b=108\) c) \(c=15\)

- Welche Zahl ist die kleinste fünfstellige Zahl? Schreibe sie dir zuerst auf. - Gehe die Rechenschritte des Zauberers vom Ende her durch und kehre jede Rechenart um. - Achte beim Rechnen genau auf die Stellenwerte der großen Zahlen.

1. Identifikation der kleinsten fünfstelligen Zahl: \(10\,000\). 2. Anwendung der Umkehroperationen in rückläufiger Reihenfolge. 3. Erster Rückschritt (Subtraktion statt Addition): \(10\,000 - 325 = 9675\). 4. Zweiter Rückschritt (Addition statt Subtraktion): \(9675 + 1100 = 10\,775\). 5. Dritter Rückschritt (Subtraktion statt Addition): \(10\,775 - 2450 = 8325\).

Die geheime Zahl lautet \(8325\).

- Betrachte die Klammer zunächst als eine einzige unbekannte Zahl. - Wie viel muss man von \(1200\) abziehen, um \(700\) zu erhalten? - Wenn du weißt, was in der Klammer stehen muss, kannst du \(x\) leicht berechnen.

1. Bestimmung des Werts des gesamten Klammerausdrucks durch Subtraktion des Ergebnisses vom Minuenden: \(1200 - 700 = 500\). 2. Aufstellen der neuen Gleichung für den Klammerinhalt: \(x + 150 = 500\). 3. Berechnung von \(x\) durch die Umkehroperation Subtraktion: \(500 - 150 = 350\).

\(x = 350\)

- Arbeite bei verschachtelten Gleichungen von der äußeren Operation zur inneren unbekannten Stelle. - Welche Umkehroperation macht jeweils den nächsten bekannten Rechenschritt rückgängig? - Prüfe bei Divisionen, ob \(x\) als Dividend oder Divisor vorkommt.

1. a) \(40:4=10\), also \(x+8=10\) und \(x=2\). 2. b) Der Divisor muss \(60:10=6\) sein. Daher \(x-2=6\) und \(x=8\). 3. c) \(45-15=30\), also \(3\cdot x=30\) und \(x=10\). 4. d) \(11-7=4\), also \(24:x=4\) und damit \(x=6\).

a) \(x=2\) b) \(x=8\) c) \(x=10\) d) \(x=6\)

- Kannst du zuerst eine Seite der Gleichung komplett ausrechnen? - Behandle das Ergebnis der fertigen Seite wie das Ergebnis einer einfachen Gleichung. - Was musst du tun, um den Platzhalter alleine auf eine Seite zu bringen?

1. Teilaufgabe a: Linke Seite berechnen (\(25 + 35 = 60\)). Gleichung: \(60 = \square \cdot 4\). Umkehroperation: \(\square = 60 : 4 = 15\). 2. Teilaufgabe b: Linke Seite berechnen (\(81 : 9 = 9\)). Gleichung: \(9 = 63 : \square\). Umkehroperation: \(\square = 63 : 9 = 7\). 3. Teilaufgabe c: Rechte Seite berechnen (\(6 \cdot 15 = 90\)). Gleichung: \(120 - \square = 90\). Umkehroperation: \(\square = 120 - 90 = 30\).

a) \(\square = 15\) b) \(\square = 7\) c) \(\square = 30\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit Null multipliziert? - Darf man durch jede beliebige Zahl teilen? - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus. - Überlege dir bei jeder Gleichung, ob die Rechnung mathematisch überhaupt erlaubt oder möglich ist.

1. Fall a): Der Ausdruck in der Klammer ergibt \(12 - 12 = 0\). Die Gleichung lautet also \(x \cdot 0 = 8\). Da das Produkt einer beliebigen Zahl mit \(0\) immer \(0\) ist, kann das Ergebnis niemals \(8\) sein. Es gibt keine Lösung. 2. Fall b): Die Klammer ergibt \(1\). Die Gleichung \(x : 1 = 10\) führt durch die Umkehroperation \(10 \cdot 1\) zur Lösung \(x = 10\). 3. Fall c): Die Rechnung in der Klammer lautet \(10 - 10 = 0\). Es müsste also \(x = 7 : 0\) gerechnet werden. Da die Division durch Null mathematisch nicht erlaubt und nicht definiert ist, kann kein Wert für \(x\) bestimmt werden. 4. Fall d): Durch die Umkehroperation ergibt sich \(x + 3 = 12 : 2 = 6\). Daraus folgt \(x = 6 - 3 = 3\). Es gibt eine Lösung.

In den Fällen a) und c) kann man keine passende Zahl für \(x\) finden. Begründung: In a) führt die Rechnung zu \(x \cdot 0 = 8\), was unmöglich ist, da \(x \cdot 0\) immer \(0\) ergibt. In c) müsste man durch Null dividieren (\(7 : 0\)), was mathematisch nicht erlaubt ist.

- Erinnerst du dich an den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation? - In Teil a) suchst du die Zahl, durch die geteilt wird. Überlege dir an einem einfachen Beispiel wie \(10 : \square = 2\), wie du vorgehen musst. - Führe eine schriftliche Division durch, um die großen Zahlen sicher zu bewältigen.

1. Um den Divisor \(x\) in Gleichung a) zu berechnen, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten: \(x = 2352 : 42\). Die Rechnung ergibt \(x = 56\). 2. Um den Faktor \(x\) in Gleichung b) zu finden, wird das Produkt durch den bekannten Faktor geteilt: \(x = 8820 : 105\). Die Division ergibt \(x = 84\).

a) \(x = 56\) b) \(x = 84\)

- Welche Gesamtwirkung haben die beiden Multiplikationen hintereinander? - Wie verändert die anschließende Division durch \(2\) diese Gesamtwirkung? - Du kannst den gesamten Vorwärtsweg zu einem einzigen Faktor zusammenfassen. - Rechne danach vom Endergebnis mit der Umkehroperation zurück.

1. Die ersten beiden Schritte entsprechen insgesamt einer Multiplikation mit \(4 \cdot 5 = 20\). 2. Danach wird durch \(2\) geteilt. Insgesamt wird die Ausgangszahl also mit \(20 : 2 = 10\) vervielfacht. 3. Das Endergebnis \(70\) ist daher das Zehnfache der Ausgangszahl. 4. Rückwärts gerechnet gilt \(70 : 10 = 7\).

Die gedachte Zahl war \(7\).

- Versuche, die Geschichte vom Ende her aufzurollen. - Überlege dir, welche Rechenart das Gegenteil von „aussteigen“ oder „verdoppeln“ ist. - Was muss unmittelbar vor der letzten Haltestelle im Bus passiert sein?

1. Rückwärtsrechnen ab dem Endzustand (\(15\) Personen). 2. Umkehrung des Aussteigens an der dritten Haltestelle: \(15 + 5 = 20\). 3. Umkehrung der Verdopplung an der zweiten Haltestelle: \(20 : 2 = 10\). 4. Umkehrung des Einsteigens an der ersten Haltestelle: \(10 - 8 = 2\). An der Starthaltestelle saßen \(2\) Personen im Bus.

An der Starthaltestelle saßen \(2\) Personen im Bus.

- Beginne beim letzten bekannten Zustand und mache jeden Schritt rückgängig. - Wenn jemand die Hälfte nimmt, wie viele waren dann vorher da? - Wenn jemand eine feste Anzahl wegnimmt, musst du diese beim Rückwärtsrechnen wieder hinzufügen.

1. Rückwärtsrechnen vom Endbestand \(10\). 2. Vor dem dritten Kunden (Hälfte genommen): \(10 \cdot 2 = 20\). 3. Vor dem zweiten Kunden (\(15\) gekauft): \(20 + 15 = 35\). 4. Vor dem ersten Kunden (Hälfte genommen): \(35 \cdot 2 = 70\). Ursprünglich waren \(70\) Brezeln im Korb.

Es lagen ursprünglich \(70\) Brezeln im Korb.

- Welche Rechenoperation kehrt die Multiplikation um? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Malrechnung, wenn du eine der beteiligten Zahlen vergrößerst? - Stell dir vor, du hast doppelt so viele Tüten, aber in jeder Tüte sind immer noch 13 Bonbons.

1. Berechnung des unbekannten Faktors \(z\) durch Division: \(z = 182 : 13 = 14\). 2. Analyse der proportionalen Änderung: Das Produkt \(182\) wird verdoppelt (\(182 \cdot 2 = 364\)), während einer der Faktoren (\(13\)) konstant bleibt. 3. Schlussfolgerung: Da das Produkt das Ergebnis der Multiplikation beider Faktoren ist, muss sich bei gleichbleibendem ersten Faktor der zweite Faktor \(z\) ebenfalls verdoppeln, um das doppelte Produkt zu erreichen. Der neue Wert wäre \(z = 28\).

a) \(z = 14\) b) Der Wert von \(z\) würde sich ebenfalls auf \(28\) verdoppeln, da bei einem doppelt so großen Produkt und gleichbleibendem Faktor \(13\) auch der andere Faktor doppelt so groß sein muss.

- Nutze für den ersten Teil die Umkehroperation. - Was passiert mit dem Ergebnis einer Multiplikation, wenn man eine der beiden Zahlen halbiert? - Wie findest du die Zahl, durch die man teilen muss, um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten?

1. Berechnung von \(y\) durch Multiplikation: \(y = 8 \cdot 25 = 200\). 2. Wenn der Quotient halbiert wird (auf \(4\)), lautet die Rechnung \(y_{\text{neu}} = 4 \cdot 25 = 100\). Der Wert von \(y\) halbiert sich also ebenfalls. 3. Um den Divisor \(m\) zu finden, teilt man den Dividenden durch den Quotienten: \(m = 200 : 8 = 25\).

1. \(y = 200\) 2. Der Wert von \(y\) halbiert sich (er wird \(100\)). 3. \(m = 25\)

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Minuend \(-\) Subtrahend \(=\) Differenz. - Überlege dir ein einfaches Beispiel mit kleinen Zahlen, zum Beispiel \(10 - x = 7\). Was musst du tun, um \(x\) zu finden? - Welche Rechenart hilft dir, den Teil zu finden, der abgezogen wurde?

1. Aufstellen der Gleichung basierend auf der Definition der Subtraktion: \(m - x = d\). 2. Umstellen der Formel nach dem Subtrahenden durch Subtraktion der Differenz vom Minuenden: \(x = m - d\). 3. Anwendung der Regel: Um den Subtrahenden zu finden, subtrahiert man die Differenz vom Minuenden. 4. Einsetzen der Werte: \(x = 502 - 168\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(x = 334\).

1. Formel: \(x = m - d\) 2. Regel: Man berechnet den Subtrahenden, indem man die Differenz vom Minuenden subtrahiert. 3. Rechnung: \(x = 334\)

- Kannst du einen Teil der Gleichung direkt ausrechnen, um sie einfacher zu machen? - Wenn eine Summe und ein Summand bekannt sind, wie findet man den anderen Summanden? - Stell dir eine Waage vor: Wenn die rechte Seite schwerer wird, was muss links passieren, damit sie im Gleichgewicht bleibt?

1. Berechnung des Klammerausdrucks: \(130 - 45 = 85\). 2. Einsetzen in die Gleichung: \(x + 85 = 210\). 3. Anwendung der Umkehroperation (Subtraktion), um den Summanden \(x\) zu isolieren: \(x = 210 - 85\). 4. Berechnung des Werts für \(x\): \(x = 125\). 5. Analyse der Veränderung: Da \(x\) die Differenz aus dem Gesamtergebnis und \(85\) ist, führt ein größeres Ergebnis bei gleichbleibendem Summanden (\(85\)) zu einem größeren Wert für \(x\).

1. Vereinfachte Gleichung: \(x + 85 = 210\) 2. Lösung: \(x = 125\) 3. Begründung: Der Wert von \(x\) würde größer werden, da bei einer größeren Summe und dem gleichbleibenden Summanden \(85\) der andere Summand zunehmen muss.

- Überlege dir eine passende Multiplikationsaufgabe als Umkehraufgabe. - Wie heißen die drei Zahlen in einer Divisionsaufgabe? - Welche Zahl muss mit dem Ergebnis malgenommen werden, um die vordere Zahl zu erhalten?

1. Berechnung des Platzhalters für a): \(96 : 8 = 12\) 2. Berechnung des Platzhalters für b): \(144 : 12 = 12\) 3. Berechnung des Platzhalters für c): \(225 : 15 = 15\) 4. Formulierung der Regel: Um den unbekannten Divisor zu finden, dividiert man den Dividenden durch den Quotienten.

a) \(\square = 12\) b) \(\square = 12\) c) \(\square = 15\) Regel: Divisor \(=\) Dividend \(:\) Quotient.

- Vergleiche deine Ergebnisse aus a) und b) direkt miteinander. - Was passiert mit der Größe der Stücke, wenn du eine Pizza unter mehr Leuten aufteilst? - Schreibe die Division als Malaufgabe auf.

1. Berechnung für a): \(240 : 10 = 24\). 2. Berechnung für b): \(240 : 30 = 8\). 3. Vergleich für c): Wenn der Quotient verdreifacht wird (von \(10\) auf \(30\)), verringert sich der Divisor auf ein Drittel (von \(24\) auf \(8\)). 4. Begründung für d): Die Gleichung \(240 : \text{Divisor} = \text{Quotient}\) entspricht der Umkehraufgabe \(\text{Divisor} \cdot \text{Quotient} = 240\). Um einen der beiden Faktoren der Multiplikation zu finden, muss man das Produkt (\(240\)) durch den anderen bekannten Faktor (\(\text{Quotient}\)) teilen.

a) Der Divisor ist \(24\). b) Der Divisor ist \(8\). c) Der Divisor wird gedrittelt (er wird durch \(3\) geteilt). d) Da \(\text{Divisor} \cdot \text{Quotient} = \text{Dividend}\) gilt, findet man den Divisor durch die Rechnung \(\text{Dividend} : \text{Quotient}\).

- Erinnere dich an die Fachbegriffe: Minuend \(-\) Subtrahend \(=\) Differenz. - Welche Rechenart macht eine Subtraktion rückgängig? - Was passiert mit der Differenz, wenn der Subtrahend größer wird, das Ergebnis aber gleich bleiben soll?

1. Anwendung des Zusammenhangs \(\text{Minuend} - \text{Subtrahend} = \text{Differenz}\) 2. Bestimmung des Terms für den Minuenden durch die Umkehroperation: \(72 + s\) 3. Berechnung des konkreten Wertes für \(s = 38\): \(72 + 38 = 110\) 4. Formulierung der Regel: Um den Minuenden zu finden, addiert man den Subtrahenden zur Differenz.

a) Der Term lautet \(72 + s\). b) Für \(s = 38\) ist der Minuend \(110\). c) Man findet den Minuenden, indem man die Differenz und den Subtrahenden addiert.

- Wie erhältst du einen fehlenden Summanden aus Gesamtsumme und den beiden bekannten Summanden? - Wie verändert sich eine Summe, wenn genau ein Summand um \(15\) wächst? - Welche gleich große Gegenänderung hält die Gesamtsumme unverändert?

1. Bezeichne die dritte Zahl mit \(z\). Dann gilt \(a+b+z=150\), also \(z=150-a-b\). 2. Wird \(a\) um \(15\) erhöht, steigt die Summe zunächst um \(15\). 3. Damit die Summe \(150\) bleibt, muss \(z\) um \(15\) verringert werden. Wegen der Zusatzbedingung bleibt \(z-15\) eine natürliche Zahl.

a) \(150-a-b\) b) Die dritte Zahl muss um \(15\) verringert werden.

- Überlege dir zuerst eine Beispielrechnung mit einfachen Zahlen. - Welche Rechenart macht eine Addition rückgängig? - Wie hängen die Begriffe Summand und Summe zusammen?

1. Aufstellen der Gleichung mit dem Platzhalter \(x\) für den unbekannten Summanden: \(15 + x = s\). 2. Umstellen nach \(x\) durch Anwendung der Umkehroperation: \(x = s - 15\). 3. Einsetzen von \(s = 42\) in den Term: \(42 - 15 = 27\). 4. Regel formulieren: Man subtrahiert den bekannten Summanden von der Summe.

1. Der Term lautet \(s - 15\). 2. Für \(s = 42\) ist der Summand \(27\). 3. Man berechnet den unbekannten Summanden, indem man den bekannten Summanden von der Summe subtrahiert.

- Schreibe zuerst „Dividend : Divisor = Quotient“ mit den gegebenen Zeichen. - Welche Umkehroperation macht die Division rückgängig? - Setze erst nach dem allgemeinen Term den Wert \(d=13\) ein.

1. Die Division lautet \(x:d=7\). 2. Mit der Umkehroperation folgt \(x=7\cdot d\). 3. Für \(d=13\) gilt \(x=7\cdot13=91\). 4. Allgemein ist der Dividend das Produkt aus Quotient und Divisor.

1. \(x=7\cdot d\) 2. \(x=91\) 3. Dividend = Quotient \(\cdot\) Divisor.

- Beginne beim bekannten Endwert und frage, welche Operation ihn unmittelbar erzeugt. - Mache jede Operation mit ihrer Umkehroperation rückgängig. - Wiederhole dies entlang der abhängigen Rechenschritte bis zur unbekannten Startzahl. - Prüfe den gefundenen Wert anschließend in Vorwärtsrichtung.

1. Der Endwert \(68\) entsteht durch Addition von \(18\). Rückwärts ergibt sich \(68-18=50\). 2. Der Wert \(50\) entsteht durch Multiplikation mit \(5\). Rückwärts ergibt sich \(50:5=10\). 3. Der Wert \(10\) entsteht durch Subtraktion von \(12\). Rückwärts ergibt sich \(10+12=22\). 4. Die gesuchte Startzahl ist \(22\). Probe: \((22-12)\cdot5+18=68\).

\(?=22\)

- Berechne zuerst den Teilzweig, in dem alle Zahlen bekannt sind. - Welcher zweite Teilwert wird benötigt, damit die Addition den gegebenen Endwert ergibt? - Welche Umkehroperation löst anschließend \(x-25\) rückwärts auf?

1. Der vollständig bekannte Teilzweig ergibt \(15\cdot8=120\). 2. Damit die Addition insgesamt \(150\) ergibt, muss der andere Teilwert \(150-120=30\) sein. 3. Dieser Teilwert entsteht durch \(x-25=30\). 4. Mit der Umkehroperation folgt \(x=30+25=55\).

\(x=55\)

- Welche Umkehroperation entfernt die Addition von \(25\)? - Bestimme zuerst den Wert von \(n^2\). - Ordne diesem Quadratwert anschließend die passende natürliche Grundzahl zu.

1. Stelle den unbekannten Quadratwert frei: \(n^2 = 169 - 25 = 144\). 2. Es gilt \(12^2 = 144\). 3. Daher ist \(n = 12\).

\(n = 12\)

- Berechne zuerst die bekannte Quadratzahl. - Bestimme danach den unbekannten Quadratwert durch Umkehren der Subtraktion. - Prüfe die gefundene Grundzahl in der Ausgangsgleichung.

1. \(25^2 = 625\). 2. Daraus folgt \(n^2 = 625 - 264 = 361\). 3. Weil \(19^2 = 361\), gilt \(n = 19\).

\(n = 19\)

- Arbeite von der äußersten Rechenoperation rückwärts. - Verwende bei jedem Rückwärtsschritt die passende Umkehroperation. - Für die Probe setzt du deinen gefundenen Wert anstelle von \(x\) in die ursprüngliche Gleichung ein.

1. Mache zuerst die Addition rückgängig: \(51 - 15 = 36\). Damit gilt \(4 \cdot x = 36\). 2. Mache danach die Multiplikation rückgängig: \(36 : 4 = 9\). Also ist \(x = 9\). 3. Probe durch Einsetzen: \(4 \cdot 9 + 15 = 36 + 15 = 51\). Die linke Seite stimmt mit der rechten Seite überein.

\(x = 9\) Probe: \(4 \cdot 9 + 15 = 51\)

- Gehe wie bei einer Zwiebel von außen nach innen vor. - Welche Zahl muss in der Klammer stehen, damit die gesamte Rechnung aufgeht? - Mache eine Probe, indem du dein Ergebnis in den ursprünglichen Term einsetzt.

1. In Teilaufgabe a) dividiert man zuerst durch 2: \(18 + \square = 50 : 2 = 25\). Dann subtrahiert man 18: \(\square = 25 - 18 = 7\). 2. In Teilaufgabe b) kehrt man die Operationen von außen nach innen um: Zuerst Division durch 8 ergibt \(\square : 4 - 3 = 16 : 8 = 2\). Dann Addition von 3 ergibt \(\square : 4 = 2 + 3 = 5\). Schließlich Multiplikation mit 4 ergibt \(\square = 5 \cdot 4 = 20\). 3. In Teilaufgabe c) dividiert man zuerst durch 10: \(45 : \square = 50 : 10 = 5\). Um \(\square\) zu finden, rechnet man \(45 : 5 = 9\).

a) \(\square = 7\) b) \(\square = 20\) c) \(\square = 9\)

- Nutze die im Text angegebene Formel für die Probe, um die Gleichungen aufzustellen. - Überlege dir, wie du die Rechnung umkehren kannst, um an die gesuchte Zahl zu kommen. - Wenn der Dividend gesucht ist, musst du multiplizieren und den Rest addieren. - Wenn der Divisor gesucht ist, ziehe zuerst den Rest vom Dividenden ab.

1. Bestimmung von \(x\) in a): Anwendung der Formel \(\text{Dividend} = 24 \cdot 5 + 2\). Berechnung: \(120 + 2 = 122\). Also \(x = 122\). 2. Bestimmung von \(x\) in b): Umstellen der Formel zu \(130 = 18 \cdot x + 4\). Subtraktion des Rests: \(130 - 4 = 126\). Division durch den Quotienten: \(126 : 18 = 7\). Also \(x = 7\). 3. Bestimmung von \(x\) in c): Umstellen der Formel zu \(212 = 30 \cdot 7 + x\). Berechnung des Produkts: \(30 \cdot 7 = 210\). Subtraktion vom Dividenden: \(212 - 210 = 2\). Also \(x = 2\).

a) \(x = 122\) b) \(x = 7\) c) \(x = 2\)

- Lies den Rechenbaum zuerst nur als Folge von Operationen mit der Eingabe \(x\). - Setze für a) den gegebenen Verbrauch erst ein, nachdem du den Term aus dem Baum notiert hast. - Rechne innerhalb des Baums nur mit Cent; wandle erst das fertige Ergebnis in Euro um. - Bei b) beginne beim Endbetrag in Cent und mache die Baumoperationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig.

1. Der Rechenbaum entspricht dem Term \(x \cdot 30 + 1200\). 2. Für \(x = 400\) gilt \(400 \cdot 30 = 12\,000\) und anschließend \(12\,000 + 1200 = 13\,200\). Das sind \(132\,\text{€}\). 3. Rückwärts von \(10\,200\) Cent wird zuerst die Grundgebühr rückgängig gemacht: \(10\,200 - 1200 = 9000\). 4. Danach wird die Multiplikation mit \(30\) rückgängig gemacht: \(9000 : 30 = 300\). Der Verbrauch beträgt \(300\,\text{kWh}\).

a) Term: \(x \cdot 30 + 1200\) Für \(x = 400\): \(13\,200\) Cent = \(132\,\text{€}\) b) \(300\,\text{kWh}\)