- Welche Zahl fehlt in einer Addition? - Den fehlenden Summanden kannst du mit der Umkehroperation bestimmen. - Prüfe deinen Wert in der ursprünglichen Gleichung.

1. Gesucht ist der fehlende Summand. 2. Nutze die Umkehroperation: \(90 - 37 = 53\). 3. Damit ist \(x = 53\).

\(x = 53\)

- Welche Zahl fehlt in einer Multiplikation? - Den fehlenden Faktor kannst du mit der Umkehroperation bestimmen. - Setze deinen Wert probeweise für \(x\) ein.

1. Gesucht ist der fehlende Faktor. 2. Nutze die Umkehroperation: \(56 : 8 = 7\). 3. Damit ist \(x = 7\).

\(x = 7\)

- Welche Zahl ist in der Subtraktion unbekannt? - Wie erhältst du den Subtrahenden aus Minuend und Differenz? - Überlege, welche Rechnung die fehlende Zahl direkt liefert.

1. Gesucht ist der Subtrahend. 2. Deshalb gilt \(x=52-19=33\).

\(x=33\)

- Welche Zahl ist bei der Division unbekannt? - Welche Multiplikation gehört als Umkehraufgabe zu der Division? - Welche Zahl mal \(8\) ergibt \(72\)?

1. Gesucht ist der Divisor. 2. Die passende Umkehraufgabe ist \(8\cdot x=72\). 3. Daher ist \(x=9\).

\(x=9\)

- Überlege bei jeder Gleichung zuerst, welche Zahl gesucht ist. - Welche Umkehroperation macht den gegebenen Rechenschritt rückgängig? - Setze deine gefundene Zahl zur Kontrolle in die ursprüngliche Gleichung ein.

1. In a) ist ein Summand gesucht. Deshalb gilt \(x=3100-1250=1850\). 2. In b) ist der Minuend gesucht. Deshalb gilt \(\square=1425+875=2300\). 3. In c) ist der Subtrahend gesucht. Deshalb gilt \(x=4005-2347=1658\).

a) \(x=1850\) b) \(\square=2300\) c) \(x=1658\)

- Welche Zahl steht bei einer Subtraktion vorne? - Welche Umkehroperation hilft dir, wenn Minuend minus Subtrahend bekannt ist? - Prüfe deine Zahl, indem du den gegebenen Subtrahenden davon abziehst.

1. Bei einer Subtraktion gilt: Minuend minus Subtrahend gleich Differenz. 2. Den fehlenden Minuenden erhältst du, indem du Differenz und Subtrahend addierst. 3. \(5450+14\,550=20\,000\).

Der Minuend ist \(20\,000\).

- Wie hängen Multiplikation und Division als Umkehroperationen zusammen? - Welche Operation macht eine Multiplikation mit einem bekannten Faktor rückgängig? - Prüfe bei einer Division genau, ob der Dividend oder der Divisor unbekannt ist.

1. a) Mit der Umkehroperation gilt \(a=126:14=9\). 2. b) Mit der Umkehroperation gilt \(b=9\cdot12=108\). 3. c) Der unbekannte Divisor ergibt sich aus \(c=165:11=15\).

a) \(a=9\) b) \(b=108\) c) \(c=15\)

- Welche Operation wurde unmittelbar vor dem Ergebnis ausgeführt? - Welche Umkehroperation macht diesen Rechenschritt rückgängig? - Wiederhole dieses Rückwärtsrechnen Schritt für Schritt, bis du beim Platzhalter angekommen bist.

1. Rechne vom Ergebnis aus rückwärts. Die letzte Operation \(+120\) wird durch \(-120\) rückgängig gemacht: \(500-120=380\). 2. Die vorherige Operation \(-45\) wird durch \(+45\) rückgängig gemacht: \(380+45=425\). 3. Daher ist \(\square=425\).

\(\square=425\)

- Wenn du eine Zahl zu etwas addierst, wie kommst du dann zurück zum Ursprung? - Bei einer Subtraktion wie in b): Was musst du von \(1500\) abziehen, damit \(634\) übrig bleibt? - Kannst du die Aufgabe in eine einfachere Form mit kleineren Zahlen umschreiben, um den Rechenweg zu finden?

1. In Gleichung a) wird die Umkehroperation der Addition genutzt: \(x = 2000 - 857\). Das Ergebnis der Subtraktion ist \(x = 1143\). 2. In Gleichung b) wird der Subtrahend gesucht. Man rechnet Minuend minus Differenz: \(\square = 1500 - 634\). Dies ergibt \(\square = 866\).

a) \(x = 1143\) b) \(\square = 866\)

- Kannst du die Faktoren in einer anderen Reihenfolge multiplizieren, um die Rechnung zu vereinfachen? - Welche zwei bekannten Faktoren ergeben zusammen ein besonders leichtes Zwischenergebnis? - Welche Umkehroperation hilft dir anschließend beim fehlenden Faktor?

1. Mit dem Kommutativgesetz dürfen die Faktoren vertauscht werden. Rechne zuerst \(125\cdot4=500\). 2. Damit lautet die Gleichung \(500\cdot\square=1500\). 3. Durch die Umkehroperation erhältst du \(1500:500=3\).

\(\square=3\)

- Welche Umkehroperation hilft dir bei der jeweiligen Gleichung? - Prüfe bei einer Subtraktion, ob der Minuend oder der Subtrahend gesucht ist. - Setze deinen Wert zur Kontrolle in die ursprüngliche Gleichung ein.

1. a) \(x=1000-450=550\). 2. b) \(x=820-540=280\). 3. c) \(x=720+280=1000\). 4. d) \(x=2350-1500=850\).

a) \(x = 550\) b) \(x = 280\) c) \(x = 1000\) d) \(x = 850\)

- Löse die Rechenkette von hinten nach vorne. - Welche Rechenart macht eine Division wieder rückgängig? - Was musst du tun, um „minus \(24\)“ rückgängig zu machen? - Prüfe deine Zahl anschließend in der ursprünglichen Rechenkette.

1. Rechne vom Ergebnis aus rückwärts: \(10\cdot4=40\). 2. Mache das Subtrahieren von \(24\) rückgängig: \(40+24=64\). 3. Mache das Multiplizieren mit \(8\) rückgängig: \(64:8=8\).

Die eingegebene Zahl war \(8\).

- Gehe die Rechenkette vom Ende zum Anfang zurück. - Welche Umkehroperation gehört jeweils zum letzten Rechenschritt? - Prüfe deine gefundene Zahl anschließend von vorne.

1. Rechne von \(11\) aus rückwärts: \(11\cdot12=132\). 2. Mache das Subtrahieren von \(28\) rückgängig: \(132+28=160\). 3. Mache das Multiplizieren mit \(4\) rückgängig: \(160:4=40\). 4. Mache das Addieren von \(17\) rückgängig: \(40-17=23\).

Linas Zahl lautet \(23\).

- Kann eine Summe kleiner sein als einer ihrer Summanden, wenn du nur natürliche Zahlen verwendest? - Welche Rechenart macht eine Subtraktion rückgängig? - Setze deinen gefundenen Wert zur Probe in die zweite Gleichung ein.

1. Für \(x+345=210\) gibt es keine Lösung in den natürlichen Zahlen: Schon \(345\) ist größer als \(210\), und durch das Addieren einer natürlichen Zahl wird die Summe nicht kleiner. 2. Bei \(x-345=210\) machst du das Subtrahieren durch Addieren rückgängig: \(x=210+345=555\).

Die Gleichung \(x + 345 = 210\) hat keine Lösung in den natürlichen Zahlen, da das Ergebnis der Addition kleiner ist als einer der Summanden. Die Lösung für \(x - 345 = 210\) ist \(x = 555\).

- Welche Zahl ist die kleinste fünfstellige Zahl? - Gehe die Rechenschritte des Zauberers vom Ende her zurück. - Nutze zu jedem Schritt die passende Umkehroperation.

1. Die kleinste fünfstellige Zahl ist \(10\,000\). 2. Rechne von dort rückwärts: \(10\,000-325=9675\). 3. Mache das Subtrahieren von \(1100\) rückgängig: \(9675+1100=10\,775\). 4. Mache das Addieren von \(2450\) rückgängig: \(10\,775-2450=8325\).

Die geheime Zahl lautet \(8325\).

- Betrachte die Klammer zuerst als eine einzige unbekannte Zahl. - Wie viel muss von \(1200\) abgezogen werden, damit \(700\) übrig bleiben? - Wenn du den Wert der Klammer kennst, kannst du \(x\) bestimmen.

1. In der Klammer muss \(500\) stehen, denn \(1200-500=700\). 2. Damit gilt \(x+150=500\). 3. Ziehe \(150\) ab: \(x=500-150=350\).

\(x = 350\)

- Arbeite bei verschachtelten Gleichungen von der äußeren Operation zur inneren unbekannten Stelle. - Welche Umkehroperation macht jeweils den nächsten bekannten Rechenschritt rückgängig? - Prüfe bei Divisionen, ob \(x\) als Dividend oder Divisor vorkommt.

1. a) \(40:4=10\), also \(x+8=10\) und \(x=2\). 2. b) Der Divisor muss \(60:10=6\) sein. Daher \(x-2=6\) und \(x=8\). 3. c) \(45-15=30\), also \(3\cdot x=30\) und \(x=10\). 4. d) \(11-7=4\), also \(24:x=4\) und damit \(x=6\).

a) \(x=2\) b) \(x=8\) c) \(x=10\) d) \(x=6\)

- Rechne zuerst die Seite aus, die keinen Platzhalter enthält. - Welche einfache Gleichung bleibt danach übrig? - Prüfe deinen Wert in der ursprünglichen Gleichung.

1. a) \(25+35=60\). Damit gilt \(60=\square\cdot4\), also \(\square=60:4=15\). 2. b) \(81:9=9\). Damit gilt \(9=63:\square\), also \(\square=63:9=7\). 3. c) \(6\cdot15=90\). Damit gilt \(120-\square=90\), also \(\square=120-90=30\).

a) \(\square = 15\) b) \(\square = 7\) c) \(\square = 30\)

- Was passiert, wenn man eine Zahl mit Null multipliziert? - Darf man durch jede beliebige Zahl teilen? - Rechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern aus. - Überlege dir bei jeder Gleichung, ob die Rechnung mathematisch überhaupt erlaubt oder möglich ist.

1. Fall a): Der Ausdruck in der Klammer ergibt \(12 - 12 = 0\). Die Gleichung lautet also \(x \cdot 0 = 8\). Da das Produkt einer beliebigen Zahl mit \(0\) immer \(0\) ist, kann das Ergebnis niemals \(8\) sein. Es gibt keine Lösung. 2. Fall b): Die Klammer ergibt \(1\). Die Gleichung \(x : 1 = 10\) führt durch die Umkehroperation \(10 \cdot 1\) zur Lösung \(x = 10\). 3. Fall c): Die Rechnung in der Klammer lautet \(10 - 10 = 0\). Es müsste also \(x = 7 : 0\) gerechnet werden. Da die Division durch Null mathematisch nicht erlaubt und nicht definiert ist, kann kein Wert für \(x\) bestimmt werden. 4. Fall d): Durch die Umkehroperation ergibt sich \(x + 3 = 12 : 2 = 6\). Daraus folgt \(x = 6 - 3 = 3\). Es gibt eine Lösung.

In den Fällen a) und c) kann man keine passende Zahl für \(x\) finden. Begründung: In a) führt die Rechnung zu \(x \cdot 0 = 8\), was unmöglich ist, da \(x \cdot 0\) immer \(0\) ergibt. In c) müsste man durch Null dividieren (\(7 : 0\)), was mathematisch nicht erlaubt ist.

- Wie hängen Multiplikation und Division als Umkehroperationen zusammen? - In a) suchst du die Zahl, durch die geteilt wird. - Prüfe beide Werte in der ursprünglichen Gleichung.

1. a) Der gesuchte Divisor ist \(x=2352:42=56\). 2. b) Der gesuchte Faktor ist \(x=8820:105=84\).

a) \(x = 56\) b) \(x = 84\)

- Rechne bei verschachtelten Aufgaben von außen nach innen rückwärts. - Welche Umkehroperation macht jeweils den äußersten Rechenschritt rückgängig? - Prüfe deine Werte in den ursprünglichen Gleichungen.

1. a) Teile zuerst durch \(2\): \(18+\square=25\). Danach gilt \(\square=25-18=7\). 2. b) Rechne von außen nach innen rückwärts: \(\square:4-3=16:8=2\), also \(\square:4=5\) und schließlich \(\square=20\). 3. c) Teile zuerst durch \(10\): \(45:\square=5\). Daher ist \(\square=45:5=9\).

a) \(\square = 7\) b) \(\square = 20\) c) \(\square = 9\)

- Welche Gesamtwirkung haben die beiden Multiplikationen hintereinander? - Wie verändert die anschließende Division durch \(2\) diese Gesamtwirkung? - Du kannst den gesamten Vorwärtsweg zu einem einzigen Faktor zusammenfassen. - Rechne danach vom Endergebnis mit der Umkehroperation zurück.

1. Die ersten beiden Schritte entsprechen insgesamt einer Multiplikation mit \(4 \cdot 5 = 20\). 2. Danach wird durch \(2\) geteilt. Insgesamt wird die Ausgangszahl also mit \(20 : 2 = 10\) vervielfacht. 3. Das Endergebnis \(70\) ist daher das Zehnfache der Ausgangszahl. 4. Rückwärts gerechnet gilt \(70 : 10 = 7\).

Die gedachte Zahl war \(7\).

- Beginne beim letzten bekannten Stand im Bus. - Welche Rechenart macht „\(5\) Fahrgäste steigen aus“ rückgängig? - Wie machst du eine Verdopplung rückgängig?

1. Rechne von den \(15\) Fahrgästen aus rückwärts: \(15+5=20\). 2. Mache das Verdoppeln rückgängig: \(20:2=10\). 3. Mache das Einsteigen von \(8\) Fahrgästen rückgängig: \(10-8=2\).

An der Starthaltestelle saßen \(2\) Fahrgäste im Bus.

- Beginne beim letzten bekannten Zustand und mache jeden Schritt rückgängig. - Wenn jemand die Hälfte nimmt, wie viele waren dann vorher da? - Wenn jemand eine feste Anzahl wegnimmt, musst du diese beim Rückwärtsrechnen wieder hinzufügen.

1. Rückwärtsrechnen vom Endbestand \(10\). 2. Vor dem dritten Kunden (Hälfte genommen): \(10 \cdot 2 = 20\). 3. Vor dem zweiten Kunden (\(15\) gekauft): \(20 + 15 = 35\). 4. Vor dem ersten Kunden (Hälfte genommen): \(35 \cdot 2 = 70\). Ursprünglich waren \(70\) Brezeln im Korb.

Es lagen ursprünglich \(70\) Brezeln im Korb.

- Welche Rechenoperation macht eine Multiplikation rückgängig? - Was passiert mit dem Produkt, wenn ein Faktor gleich bleibt und der andere verdoppelt wird? - Nutze dein Ergebnis aus a), ohne die ganze Gleichung neu auszurechnen.

1. a) \(z=182:13=14\). 2. b) Das Produkt wird verdoppelt, während der Faktor \(13\) gleich bleibt. Deshalb muss sich auch \(z\) verdoppeln: aus \(14\) wird \(28\).

a) \(z = 14\) b) Der Wert von \(z\) verdoppelt sich auf \(28\), weil bei gleichbleibendem Faktor \(13\) ein doppelt so großes Produkt einen doppelt so großen anderen Faktor braucht.

- Nutze bei der ersten Gleichung die Umkehroperation. - Was passiert mit einem Produkt, wenn ein Faktor halbiert wird und der andere gleich bleibt? - Wie findest du einen unbekannten Divisor aus Dividend und Quotient?

1. \(y=8\cdot25=200\). 2. Wird der Quotient auf \(4\) halbiert, gilt \(y=4\cdot25=100\). Also halbiert sich auch \(y\). 3. Für \(200:m=8\) gilt \(m=200:8=25\).

1. \(y = 200\) 2. Der Wert von \(y\) halbiert sich auf \(100\). 3. \(m = 25\)

- Berechne zuerst den Klammerausdruck. - Wenn eine Summe und ein Summand bekannt sind, wie findest du den anderen Summanden? - Überlege bei 3., welcher Summand gleich bleibt.

1. \(130-45=85\). Damit lautet die Gleichung \(x+85=210\). 2. Ziehe \(85\) ab: \(x=210-85=125\). 3. Wenn die Summe größer wird und \(85\) gleich bleibt, muss auch \(x\) größer werden.

1. Vereinfachte Gleichung: \(x + 85 = 210\) 2. Lösung: \(x = 125\) 3. Der Wert von \(x\) würde größer werden, weil bei einer größeren Summe und dem gleichbleibenden Summanden \(85\) der andere Summand zunehmen muss.

- Überlege dir zu jeder Division die passende Multiplikation als Umkehraufgabe. - Wie heißen Dividend, Divisor und Quotient in der Aufgabe? - Welche Zahl muss mit dem Quotienten multipliziert werden, um den Dividenden zu erhalten?

1. Für a) gilt \(96:8=12\), also ist \(\square=12\). 2. Für b) gilt \(144:12=12\), also ist \(\square=12\). 3. Für c) gilt \(225:15=15\), also ist \(\square=15\). 4. Allgemein gilt: Divisor \(=\) Dividend \(:\) Quotient.

a) \(\square=12\) b) \(\square=12\) c) \(\square=15\) Regel: Divisor \(=\) Dividend \(:\) Quotient.

- Vergleiche die Ergebnisse aus a) und b). - Schreibe die Division als passende Malaufgabe auf. - Wie findest du bei einer Multiplikation einen fehlenden Faktor?

1. a) \(240:10=24\). 2. b) \(240:30=8\). 3. c) Der Quotient wird verdreifacht, der Divisor sinkt von \(24\) auf \(8\), also auf ein Drittel. 4. d) Zur Division gehört die Malaufgabe \(\text{Divisor}\cdot\text{Quotient}=240\). Einen fehlenden Faktor findest du, indem du das Produkt durch den bekannten Faktor teilst.

a) Der Divisor ist \(24\). b) Der Divisor ist \(8\). c) Der Divisor wird gedrittelt. d) Da \(\text{Divisor} \cdot \text{Quotient} = \text{Dividend}\) gilt, findest du den Divisor durch \(\text{Dividend} : \text{Quotient}\).

- Berechne zuerst den Wert der Differenz aus \(150\) und \(38\). - Welche Gleichung beschreibt danach die gesuchte Zahl? - Welche Umkehroperation macht das Addieren von \(45\) rückgängig?

1. Berechne zuerst die Differenz: \(150-38=112\). 2. Damit gilt \(x+45=112\). 3. Ziehe \(45\) ab: \(x=112-45=67\).

\(67\)

- Beginne beim bekannten Endwert. - Mache jeden Rechenschritt mit der passenden Umkehroperation rückgängig. - Prüfe deinen Wert anschließend von der Startzahl bis zum Endwert.

1. Mache zuerst die Addition von \(18\) rückgängig: \(68-18=50\). 2. Mache danach die Multiplikation mit \(5\) rückgängig: \(50:5=10\). 3. Mache zuletzt die Subtraktion von \(12\) rückgängig: \(10+12=22\). 4. Probe: \((22-12)\cdot5+18=68\).

\(?=22\)

- In a) gehst du im Rechenbaum von unten nach oben. - In b) beginnst du bei \(10\,200\) und gehst den Baum rückwärts. - Nutze beim Rückwärtsrechnen die passende Umkehroperation.

1. a) Für \(x=400\) gilt \(400\cdot30=12\,000\). Danach \(12\,000+1200=13\,200\). 2. b) Rückwärts: \(10\,200-1200=9000\). Danach \(9000:30=300\). Also ist \(x=300\).

a) \(13\,200\) Hefte b) \(x=300\)

- Berechne zuerst den Teilzweig, in dem alle Zahlen bekannt sind. - Welcher zweite Teilwert wird benötigt, damit die Addition den gegebenen Endwert ergibt? - Welche Umkehroperation löst anschließend \(x-25\) rückwärts auf?

1. Der vollständig bekannte Teilzweig ergibt \(15\cdot8=120\). 2. Damit die Addition insgesamt \(150\) ergibt, muss der andere Teilwert \(150-120=30\) sein. 3. Dieser Teilwert entsteht durch \(x-25=30\). 4. Mit der Umkehroperation folgt \(x=30+25=55\).

\(x=55\)

- Arbeite von der äußersten Rechenoperation rückwärts. - Verwende bei jedem Rückwärtsschritt die passende Umkehroperation. - Für die Probe setzt du deinen gefundenen Wert für \(x\) ein.

1. Mache zuerst die Addition rückgängig: \(51 - 15 = 36\). Damit gilt \(4 \cdot x = 36\). 2. Mache danach die Multiplikation rückgängig: \(36 : 4 = 9\). Also ist \(x = 9\). 3. Probe: \(4 \cdot 9 + 15 = 36 + 15 = 51\).

\(x = 9\) Probe: \(4 \cdot 9 + 15 = 51\)

- Ersetze beim Einsetzen nur \(x\) durch den zu prüfenden Wert. - Ein Wert ist nur dann eine Lösung, wenn links genau \(42\) herauskommt. - Beim Rückwärtslösen machst du die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge rückgängig.

1. Für \(x=6\) gilt \(7\cdot6-14=42-14=28\). Der Wert erfüllt die Gleichung nicht. 2. Für \(x=8\) gilt \(7\cdot8-14=56-14=42\). Der Wert erfüllt die Gleichung. 3. Mit Umkehroperationen: \(42+14=56\) und \(56:7=8\). Also ist \(x=8\).

a) \(x=6\) ergibt links \(28\); \(x=8\) ergibt links \(42\). b) \(x=8\) erfüllt die Gleichung. c) Mit Umkehroperationen erhältst du ebenfalls \(x=8\).