- Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. - Welche Zahl liegt direkt links von der gegebenen Zahl? - Welche Zahl liegt direkt rechts von der gegebenen Zahl?

1. Bei \(-15\) liegt direkt davor \(-16\) und direkt danach \(-14\). 2. Bei \(-1\) liegt direkt davor \(-2\) und direkt danach \(0\). 3. Bei \(0\) liegt direkt davor \(-1\) und direkt danach \(1\).

Zu \(-15\): Vorgänger \(-16\), Nachfolger \(-14\). Zu \(-1\): Vorgänger \(-2\), Nachfolger \(0\). Zu \(0\): Vorgänger \(-1\), Nachfolger \(1\).

- Beginne bei \(0\) und beachte das Vorzeichen der zu markierenden Zahl. - Überlege, auf welcher Seite von \(0\) negative Zahlen liegen.

1. Jeder Teilstrich entspricht \(1\). 2. Die Zahl \(-3\) liegt \(3\) Teilstriche links von \(0\).

\(3\) Teilstriche links von \(0\)

- Orientiere dich zuerst an den beiden beschrifteten negativen Zahlen in der Nähe der gesuchten Zahl. - Bestimme die Schrittweite der kleinen Teilstriche. - Prüfe, ob du dich vom näheren beschrifteten Wert nach links oder nach rechts bewegen musst.

1. Die Zahl \(-5\) liegt zwischen \(-8\) und \(-4\). 2. Die Teilstriche haben den Abstand \(1\). Von \(-4\) aus liegt \(-5\) genau einen Teilstrich nach links.

\(-5\) liegt zwischen \(-8\) und \(-4\), genau einen Teilstrich links von \(-4\).

- Schau zuerst, welche Zahlen an der Zahlengeraden schon beschriftet sind. - Bestimme, wie viel ein Schritt auf der Zahlengeraden bedeutet. - Zähle von einer beschrifteten Zahl bis zum gesuchten Punkt.

1. Zwischen \(-4\) und \(4\) liegen acht gleich große Schritte. Ein Schritt entspricht also \(1\). 2. A liegt einen Schritt rechts von \(-4\), also bei \(-3\). 3. B liegt vier Schritte rechts von \(-4\), also bei \(0\). 4. C liegt zwei Schritte links von \(4\), also bei \(2\).

A: \(-3\) B: \(0\) C: \(2\)

- Bestimme auf der Zahlengeraden die gesamte Zahl der Schritte zwischen den Endpunkten. - Die Mitte muss von beiden Endpunkten gleich weit entfernt sein. - Gehe vom linken Endpunkt genau die Hälfte der gesamten Schrittzahl nach rechts.

1. Zwischen \(-14\) und \(-2\) liegen \(12\) Schritte. Die Hälfte sind \(6\) Schritte; sechs Schritte rechts von \(-14\) liegt \(-8\). 2. Zwischen \(-3\) und \(+9\) liegen \(12\) Schritte. Sechs Schritte rechts von \(-3\) liegt \(3\). 3. \(-1\) und \(+1\) liegen gleich weit links und rechts von \(0\). Die Mitte ist \(0\). 4. Zwischen \(-10\) und \(+20\) liegen \(30\) Schritte. Die Hälfte sind \(15\) Schritte; fünfzehn Schritte rechts von \(-10\) liegt \(5\).

a) \(-8\) b) \(3\) c) \(0\) d) \(5\)

- Eine Mitte ist von beiden Endpunkten gleich weit entfernt. - Zähle für jedes Paar die Schritte von \(-5\) zum linken und zum rechten Endpunkt. - Nur wenn beide Schrittzahlen gleich sind, passt das Paar.

1. Bei Paar A liegt \(-5\) sieben Schritte von \(-12\), aber nur fünf Schritte von \(0\) entfernt. Daher ist \(-5\) nicht die Mitte. 2. Bei Paar B liegt \(-5\) vier Schritte von \(-9\) und vier Schritte von \(-1\) entfernt. Daher ist \(-5\) genau die Mitte. 3. Bei Paar C liegt \(-5\) zwei Schritte von \(-7\), aber vier Schritte von \(-1\) entfernt. Daher ist \(-5\) nicht die Mitte.

Paar A: nein; die Abstände von \(-5\) sind \(7\) und \(5\). Paar B: ja; die Abstände von \(-5\) sind jeweils \(4\). Paar C: nein; die Abstände von \(-5\) sind \(2\) und \(4\). Damit ist Paar B richtig.

- Zerlege die Strecke an der Null in zwei Teilstrecken. - Übersetze die Zahl der Schritte mithilfe des Maßstabs in Zentimeter. - Die Mitte liegt nach der Hälfte aller Schritte zwischen den beiden Endpunkten.

1. Von \(-14\) bis \(0\) sind es \(14\) Schritte und von \(0\) bis \(+6\) weitere \(6\). Insgesamt sind es \(20\) Schritte, also \(20\,\text{cm}\). 2. Die Hälfte von \(20\) Schritten sind \(10\) Schritte. Geht man von \(-14\) zehn Schritte nach rechts, landet man bei \(-4\). Dort liegt die Mitte.

a) \(20\,\text{cm}\) b) \(-4\)

- Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. - Was passiert mit dem Wert einer negativen Zahl, wenn du einen Schritt nach links (Vorgänger) gehst? - Kannst du die Tabelle Zeile für Zeile ausfüllen, indem du von der bekannten Zahl ausgehst?

1. In der ersten Zeile ist die Zahl \(-45\) gegeben. Der Vorgänger liegt auf der Zahlengeraden eins weiter links (\(-46\)), der Nachfolger eins weiter rechts (\(-44\)). 2. In der zweiten Zeile ist der Vorgänger \(-101\) gegeben. Die Zahl selbst liegt eins rechts davon (\(-100\)), ihr Nachfolger wiederum eins rechts von der Zahl (\(-99\)). 3. In der dritten Zeile ist der Nachfolger \(1\) gegeben. Die Zahl liegt eins links davon (\(0\)), ihr Vorgänger wiederum eins links von der Zahl (\(-1\)).

Zeile 1: Vorgänger \(-46\), Nachfolger \(-44\) Zeile 2: Zahl \(-100\), Nachfolger \(-99\) Zeile 3: Zahl \(0\), Vorgänger \(-1\)

- Schreibe für a) die ganzen Zahlen zwischen den beiden Grenzen auf. - Die Mitte muss von beiden Randzahlen gleich weit entfernt sein. - Überlege für b), was es bedeutet, wenn zwei ganze Zahlen direkt nebeneinander auf der Zahlengeraden liegen.

1. Zwischen \(-5\) und \(1\) liegen die Zahlen \(-4,-3,-2,-1,0\). Genau in der Mitte liegt \(-2\). 2. \(-40\) und \(-39\) sind benachbarte ganze Zahlen. Deshalb liegt keine weitere ganze Zahl zwischen ihnen.

a) Die Zahl \(-2\). b) Nein, denn \(-40\) und \(-39\) sind benachbarte ganze Zahlen.

- Stelle dir jedes Zahlenpaar als zwei Punkte auf einer Zahlengeraden vor. - Bei Punkten auf verschiedenen Seiten der Null kannst du den Weg an der Null zerlegen. - Zähle die gleich großen Zahlenschritte zwischen den beiden Positionen.

1. Von \(-22\) bis \(-7\) sind es \(15\) Schritte. 2. Von \(-12\) bis \(0\) sind es \(12\) Schritte und von \(0\) bis \(+18\) weitere \(18\). Der Abstand beträgt \(30\). 3. Von \(-55\) bis \(0\) und von \(0\) bis \(+55\) sind es jeweils \(55\) Schritte. Insgesamt beträgt der Abstand \(110\). 4. Von \(-140\) bis \(-95\) sind es \(45\) Schritte.

a) \(15\) b) \(30\) c) \(110\) d) \(45\)

- Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Teilschritts auf der Zahlengeraden. - Achte darauf, ob ein Punkt links oder rechts von \(0\) liegt. - Zähle von einer nahegelegenen beschrifteten Zahl bis zum markierten Punkt.

1. Zwischen \(0\) und \(5\) liegen fünf gleich große Schritte. Ein Schritt entspricht deshalb \(1\). 2. \(P\) liegt zwei Schritte links von \(-10\), also bei \(-12\). 3. \(Q\) liegt einen Schritt rechts von \(-5\), also bei \(-4\). 4. \(R\) liegt drei Schritte rechts von \(0\), also bei \(3\). 5. \(S\) liegt einen Schritt rechts von \(10\), also bei \(11\).

\(P=-12\), \(Q=-4\), \(R=3\), \(S=11\)

- Schau zuerst, wie viele gleich große Schritte zwischen zwei beschrifteten Zahlen liegen. - Bestimme daraus den Wert eines kleinen Schritts. - Achte darauf, ob der gesuchte Punkt links oder rechts von \(0\) liegt.

1. Zwischen \(0\) und \(5\) liegen fünf gleich große Schritte. Ein Schritt entspricht also \(1\). 2. A liegt sieben Schritte links von \(0\), also bei \(-7\). 3. B liegt drei Schritte rechts von \(0\), also bei \(3\).

A liegt bei \(-7\), B bei \(3\).

- Bei einer festen Schrittweite müssen alle gewünschten Zahlen nach einer ganzen Anzahl von Schritten von \(0\) erreichbar sein. - Prüfe die drei vorgeschlagenen Schrittweiten nacheinander an allen vier Zahlen. - Eine einzige Zahl, die nicht auf einen Teilstrich fällt, reicht aus, um eine Schrittweite auszuschließen.

1. Bei Schrittweite \(4\) liegt \(18\) nicht auf einem Vielfachen von \(4\). 2. Bei Schrittweite \(9\) liegen \(30\) und \(42\) nicht auf Vielfachen von \(9\). 3. Bei Schrittweite \(6\) erreicht man von \(0\) aus \(-18\) nach drei Schritten nach links, \(30\) nach fünf Schritten nach rechts und \(42\) nach sieben Schritten nach rechts. Auch \(0\) selbst liegt auf einem Teilstrich. 4. Daher ist die Schrittweite \(6\) geeignet.

Schrittweite \(6\). Mit dieser Schrittweite liegen \(-18\), \(0\), \(30\) und \(42\) auf Teilstrichen. Bei Schrittweite \(4\) liegt \(-18\) nicht auf einem Teilstrich; bei Schrittweite \(9\) liegen \(30\) und \(42\) nicht auf Teilstrichen.

- Lies zuerst ab, wie viele kleine Schritte zwischen \(-8\) und \(0\) liegen. - Wie viele Zahleneinheiten muss dann ein kleiner Schritt darstellen? - Nutze dieselbe Schrittweite für alle drei gesuchten Zahlen.

1. Von \(-8\) bis \(0\) sind es vier kleine Schritte. Deshalb entspricht ein kleiner Schritt \(2\) Zahleneinheiten. 2. \(-6\) liegt drei kleine Schritte links von \(0\). 3. \(4\) liegt zwei kleine Schritte rechts von \(0\). 4. \(10\) liegt fünf kleine Schritte rechts von \(0\).

\(-6\): 3 kleine Schritte links von \(0\) \(4\): 2 kleine Schritte rechts von \(0\) \(10\): 5 kleine Schritte rechts von \(0\)

- Lies zuerst die drei markierten Zahlen ab. - Vergleiche ihre Abstände von \(0\). - Gesucht sind zwei Zahlen auf verschiedenen Seiten von \(0\).

1. An der Skala liest man für A die Zahl \(-4\), für B die Zahl \(4\) und für C die Zahl \(2\) ab. 2. \(-4\) und \(4\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(0\) und gleich weit von \(0\) entfernt. 3. Daher gehören A und B zu Gegenzahlen.

A und B. Die Zahlen sind \(-4\) und \(4\). Gegenzahlen liegen gleich weit von \(0\) entfernt, aber auf verschiedenen Seiten von \(0\).

- Lies in jedem Teilbild zuerst die beiden markierten Zahlenwerte an der Skala ab. - Bestimme dann die Zahl der Einheiten zwischen den beiden Punkten. - Vergleiche erst zum Schluss die vier Abstände miteinander.

1. In a) liest man \(-12\) und \(1\) ab; der Abstand beträgt \(13\) Einheiten. 2. In b) liest man \(-13\) und \(-1\) ab; der Abstand beträgt \(12\) Einheiten. 3. In c) liest man \(-10\) und \(2\) ab; der Abstand beträgt \(12\) Einheiten. 4. In d) liest man \(-5\) und \(7\) ab; der Abstand beträgt \(12\) Einheiten. 5. Damit hat das Punktepaar in a) mit \(13\) Einheiten den größten Abstand.

a) \(13\) Einheiten b) \(12\) Einheiten c) \(12\) Einheiten d) \(12\) Einheiten Den größten Abstand hat das Punktepaar in a) mit \(13\) Einheiten.

- Bestimme zuerst, wie viele gleich große Zahlenschritte zwischen den beiden Punkten liegen. - Bei Punkten auf verschiedenen Seiten der Null kann die Null als Zwischenstation helfen. - Erst danach übersetzt du die Zahlenschritte mit dem angegebenen Maßstab in Zentimeter.

1. Von \(-5\) bis \(0\) sind es \(5\) Zahlenschritte und von \(0\) bis \(+8\) weitere \(8\). Das sind \(13\) Schritte. Die Strecke ist \(13 \cdot 2\,\text{cm}=26\,\text{cm}\) lang. 2. Von \(-12\) bis \(-3\) sind es \(9\) Zahlenschritte. Die Strecke ist \(9 \cdot 2\,\text{cm}=18\,\text{cm}\) lang.

a) \(26\,\text{cm}\) b) \(18\,\text{cm}\)

- \(Q\) kann rechts oder links von \(P\) liegen. - Trage denselben Abstand auf der Zahlengeraden in beide Richtungen ab. - Prüfe am Ende, ob beide Zahlen wirklich gleich weit von \(-14\) entfernt sind.

1. Rechts von \(P\) liegt \(Q\) bei \(-14+25=11\). 2. Links von \(P\) liegt \(Q\) bei \(-14-25=-39\).

\(+11\) und \(-39\)

- Betrachte für Teil a) die beiden Strecken mit dem gemeinsamen Punkt \(S\). - Zerlege eine Strecke an der Null, wenn ihre Endpunkte auf verschiedenen Seiten liegen. - Für Teil b) verbinden \(R\) und \(T\) die beiden äußeren Positionen.

1. Von \(R(-18)\) bis \(0\) sind es \(18\) Einheiten und von \(0\) bis \(S(+4)\) weitere \(4\). Daher ist \(RS=22\) Einheiten lang. 2. Von \(S(+4)\) bis \(T(+22)\) sind es \(18\) Einheiten. Also liegt \(R\) weiter von \(S\) entfernt. 3. Von \(R(-18)\) bis \(0\) sind es \(18\) und von \(0\) bis \(T(+22)\) \(22\) Einheiten. Daher beträgt der Abstand \(40\) Einheiten.

a) \(R\); die Abstände sind \(22\) und \(18\) Einheiten. b) \(40\) Einheiten

- Wenn \(M\) die Mitte ist, wie verhalten sich dann die Abstände \(AM\) und \(MB\) zueinander? - Wie viele Schritte musst du auf der Zahlengeraden von \(A\) gehen, um zu \(M\) zu gelangen? - In welche Richtung musst du von \(M\) aus weitergehen, um zu \(B\) zu kommen?

1. Von \(-6\) bis \(0\) sind es \(6\) Einheiten und von \(0\) bis \(2\) weitere \(2\). Der Abstand von \(A\) zu \(M\) beträgt also \(8\) Einheiten. 2. Weil \(M\) genau in der Mitte liegt, muss \(B\) ebenfalls \(8\) Einheiten von \(M\) entfernt sein. 3. Rechts von \(M\) liegt \(B\) deshalb bei \(2+8=10\).

\(10\)

- Bestimme zuerst die Schrittweite der abgebildeten Zahlengeraden. - Lies die beiden markierten Werte an den Teilstrichen ab. - Für die Mitte brauchst du die Hälfte der Zahlenschritte zwischen A und B.

1. An der Skala liest man A bei \(-9\,^\circ\text{C}\) und B bei \(3\,^\circ\text{C}\) ab. 2. Von \(-9\) bis \(3\) sind es \(12\) Zahlenschritte. Die Temperatur ist um \(12\,^\circ\text{C}\) gestiegen. 3. Die Hälfte von \(12\) Schritten sind \(6\) Schritte. Sechs Schritte rechts von \(-9\) liegt \(-3\). Die mittlere Temperatur ist \(-3\,^\circ\text{C}\).

a) A: \(-9\,^\circ\text{C}\); B: \(3\,^\circ\text{C}\) b) \(12\,^\circ\text{C}\) c) \(-3\,^\circ\text{C}\)

- Lies zuerst die Skala und dann die beiden markierten Werte ab. - Zähle die Zahlenschritte zwischen A und B und halbiere diese Zahl für die Mitte. - Für Teil c) gehören A und B selbst ausdrücklich nicht zur gesuchten Menge.

1. Aus der Skala liest man A \(=-8\) und B \(=4\) ab. 2. Zwischen \(-8\) und \(4\) liegen \(12\) Zahlenschritte. Nach \(6\) Schritten liegt die Mitte bei \(-2\). 3. Strikt zwischen den beiden Randzahlen liegen \(-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3\). Das sind \(11\) ganze Zahlen.

a) A \(=-8\), B \(=4\) b) \(-2\) c) \(11\)

- Bestimme zuerst den Wert eines kleinen Schritts auf jeder Zahlengeraden. - Gehe von einer beschrifteten Zahl aus nach links oder rechts bis zum gesuchten Punkt. - Auch ein längerer Teilstrich kann unbeschriftet sein; seinen Wert musst du dann aus den Nachbarzahlen bestimmen.

1. In a) liegen zwischen zwei beschrifteten Zehnerzahlen jeweils fünf gleich große Schritte. Ein kleiner Schritt entspricht deshalb \(2\). 2. Daraus folgt: \(A=-46\), \(B=-18\), \(C=4\) und \(D=32\). 3. In b) liegen zum Beispiel zwischen \(-750\) und \(-700\) fünf gleich große Schritte. Ein kleiner Schritt entspricht deshalb \(10\). 4. Daraus folgt: \(E=-730\), \(F=-610\), \(G=-550\) und \(H=-480\). Der Wert von G muss zwischen den beschrifteten Werten \(-600\) und \(-500\) aus der Skala bestimmt werden.

a) \(A=-46\), \(B=-18\), \(C=4\), \(D=32\) b) \(E=-730\), \(F=-610\), \(G=-550\), \(H=-480\)

- Lies zuerst die Koordinaten von \(P\), \(Q\) und \(R\) an der Zahlengeraden ab. - Bestimme die Zahl der Einheiten zwischen den jeweiligen Endpunkten. - Eine Zahleneinheit entspricht hier \(1\,\text{cm}\).

1. Aus der Zahlengeraden liest man \(P=-12\), \(Q=-4\) und \(R=9\) ab. 2. Zwischen \(-12\) und \(-4\) liegen \(8\) Zahleneinheiten, also ist \(PQ=8\,\text{cm}\). 3. Zwischen \(-4\) und \(9\) liegen \(13\) Zahleneinheiten, also ist \(QR=13\,\text{cm}\). 4. Der Unterschied beträgt \(13\,\text{cm}-8\,\text{cm}=5\,\text{cm}\).

\(QR\) ist um \(5\,\text{cm}\) größer als \(PQ\).

- Schau zuerst, wie viele gleich große Schritte zwischen den beschrifteten Zahlen liegen. - Bestimme daraus den Wert eines Schritts. - Zahlen links von \(0\) sind negativ; je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.

1. In a) liegen zwischen \(0\) und \(3\) drei gleich große Schritte. Ein Schritt entspricht also \(1\). 2. Damit gilt: \(A=-7\), \(B=-2\), \(C=5\) und \(D=9\). 3. In b) liegen zwischen \(0\) und \(20\) zwei gleich große Schritte. Ein Schritt entspricht also \(10\). 4. Damit gilt: \(E=-50\), \(F=-30\), \(G=10\) und \(H=40\). 5. Der kleinste Zahlenwert ist \(-50\). Er gehört zu Punkt E.

a) \(A=-7\); \(B=-2\); \(C=5\); \(D=9\) b) \(E=-50\); \(F=-30\); \(G=10\); \(H=40\) c) Punkt E hat mit \(-50\) den kleinsten Zahlenwert.

- Bestimme zuerst den gesamten Abstand zwischen \(-18\) und \(24\). - Teile diesen Abstand in \(7\) gleich große Teilstrecken. - Geh für b) von \(24\) genau eine Schrittweite nach rechts weiter.

1. Von \(-18\) bis \(0\) beträgt der Abstand \(18\), von \(0\) bis \(24\) weitere \(24\). Insgesamt liegen die beiden Zahlen \(42\) Einheiten auseinander. 2. Diese \(42\) Einheiten verteilen sich auf \(7\) gleich große Teilstrecken. Eine Teilstrecke ist daher \(6\) Einheiten lang. 3. Die Schrittweite ist \(6\). Der nächste Teilstrich rechts von \(24\) trägt deshalb die Zahl \(30\).

a) \(6\) b) \(30\)

- Bestimme zuerst die Schrittweite der Skala aus zwei beschrifteten Werten. - Zähle, in wie viele gleich große Teilstrecken der bekannte Zahlenabstand zerlegt ist. - Prüfe erst danach Leas Aussage über den einen Teilstrich links von \(0\).

1. Zwischen \(-12\) und \(0\) liegen vier gleich große Teilstrecken. Daher entspricht ein Teilstrich \(3\) Einheiten. 2. A liegt einen Teilstrich links von \(0\). Sein Wert ist deshalb \(-3\). 3. Leas Fehler besteht darin, einen Teilstrich automatisch als eine Einheit zu deuten, ohne die Skala zu bestimmen.

Lea hat nicht recht. Ein Teilstrich entspricht \(3\) Einheiten, daher gilt A \(=-3\).

- Achte darauf, dass eine Länge in Zentimetern hier nicht dasselbe ist wie der Unterschied zwischen den Zahlen. Rechne zuerst die Zentimeter in Einheiten um. - Wenn du die gesamte Länge in Einheiten kennst, wie weit ist dann jeder Endpunkt von der Mitte entfernt? - Gehe von der Mitte aus einmal nach links und einmal nach rechts, um die beiden Zahlen zu finden.

1. \(1\,\text{cm}\) entspricht \(2\) Einheiten. Deshalb entsprechen \(6\,\text{cm}\) insgesamt \(6\cdot2=12\) Einheiten. 2. Von der Mitte bis zu jedem Endpunkt ist es die Hälfte davon: \(12:2=6\) Einheiten. 3. Der linke Endpunkt liegt bei \(-5-6=-11\), der rechte bei \(-5+6=1\).

Die Endpunkte der Strecke sind die Zahlen \(-11\) und \(1\).