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- Welche Gesamtgröße hat der Winkel zwischen \(g\) und \(h\)? - Die beiden Teilwinkel füllen diesen Gesamtwinkel gemeinsam aus. - Suche den fehlenden Teil, ohne die beiden markierten Teilwinkel als gleich groß anzunehmen.

1. Ein rechter Winkel hat \(90^\circ\). 2. Der Strahl \(s\) teilt ihn in \(35^\circ\) und \(\alpha\). 3. Daher gilt \(\alpha=90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

\(\alpha=55^\circ\)

- Entscheide zuerst, ob die Drehung den Winkel zur Waagerechten vergrößert oder verkleinert. - Der Ausgangswinkel und die zusätzliche Drehung liegen hier in derselben Drehrichtung. - Der gesuchte Winkel reicht von der Waagerechten bis zur neuen Richtung des Lasers.

1. Der Ausgangswinkel beträgt \(40^\circ\). 2. Die Drehung gegen den Uhrzeigersinn vergrößert den Winkel um \(25^\circ\). 3. Daher gilt \(\alpha=40^\circ+25^\circ=65^\circ\).

\(65^\circ\)

- Überlege, welcher Punkt der Scheitelpunkt des Winkels ist. - Wo muss der Buchstabe des Scheitelpunkts stehen, wenn man drei Buchstaben verwendet? - Spielt die Reihenfolge der Punkte auf den beiden Schenkeln eine Rolle?

1. Ein Winkel kann durch seinen Scheitelpunkt benannt werden: \(\angle K\). 2. Ein Winkel kann auch durch drei Punkte benannt werden, wobei der Scheitelpunkt in der Mitte steht. Die Reihenfolge der Punkte auf den Schenkeln ist dabei umkehrbar: \(\angle MKN\) oder \(\angle NKM\).

Der Winkel kann als \(\angle MKN\), \(\angle NKM\) oder einfach als \(\angle K\) bezeichnet werden.

- Erinnere dich an die Fachbegriffe für die Teile eines Winkels. - Wie heißen die „Arme“ des Winkels? - Wie nennt man die „Ecke“, an der sie sich treffen?

1. Der gemeinsame Anfangspunkt \(S\), von dem die Strahlen ausgehen, wird als Scheitelpunkt bezeichnet. 2. Die beiden Strahlen \(g\) und \(h\), die den Winkel begrenzen, nennt man Schenkel des Winkels.

a) Der Punkt \(S\) heißt Scheitelpunkt. b) Die Strahlen \(g\) und \(h\) heißen Schenkel.

- Vergleiche die Öffnung jedes Winkels mit einem rechten Winkel. - Ein spitzer Winkel ist enger, ein stumpfer Winkel weiter geöffnet als ein rechter Winkel. - Beurteile nur die Öffnung der beiden Schenkel, nicht ihre Länge.

1. Der Winkel in a) ist kleiner als \(90^\circ\) und damit spitz. 2. Der Winkel in b) ist \(90^\circ\) groß und damit recht. 3. Der Winkel in c) ist größer als \(90^\circ\), aber kleiner als \(180^\circ\), und damit stumpf.

a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel

- Wie groß ist der Gesamtwinkel auf einer geraden Linie? - Wenn ein Winkel doppelt so groß wie der andere ist, wie kannst du das mathematisch ausdrücken? - Kannst du den bekannten Winkel von der Gesamtsumme abziehen, bevor du den Rest aufteilst?

1. Analyse des Diagramms: Die Winkel \(\alpha\), \(\beta\) und 60° bilden zusammen einen gestreckten Winkel von 180°. 2. Aufstellen der Gleichung: \(\alpha + \beta + 60^\circ = 180^\circ\). 3. Einsetzen der gegebenen Beziehung \(\beta = 2\alpha\): \(\alpha + 2\alpha + 60^\circ = 180^\circ\). 4. Vereinfachen und Lösen der Gleichung: \(3\alpha = 120^\circ\), woraus folgt \(\alpha = 40^\circ\).

c) 40°

- Welchen Winkel hat ein ganzer Kreis? - Wie verteilt sich dieser Gesamtwinkel, wenn man ihn gerecht aufteilt? - Welche Rechenoperation hilft dir beim Aufteilen einer Zahl?

1. Ein voller Kreis entspricht einem Winkel von \(360^\circ\). 2. Für a) wird die Gesamtsumme durch 4 geteilt: \(360^\circ : 4 = 90^\circ\). 3. Für b) wird durch 6 geteilt: \(360^\circ : 6 = 60^\circ\). 4. Für c) wird durch 9 geteilt: \(360^\circ : 9 = 40^\circ\). 5. Für d) wird durch 15 geteilt: \(360^\circ : 15 = 24^\circ\).

a) \(90^\circ\) b) \(60^\circ\) c) \(40^\circ\) d) \(24^\circ\)

- Stell dir das Riesenrad wie eine Torte vor, die in gleich große Stücke zerschnitten ist. - Wenn du die Gesamtgradzahl kennst und wissen willst, wie oft ein bestimmter Winkel hineinpasst, welche Rechnung hilft dir? - Überlege bei b), wie oft \(45^\circ\) in \(360^\circ\) enthalten sind.

1. Ein Vollkreis hat \(360^\circ\). 2. Teilaufgabe a): Der Vollwinkel wird durch die Anzahl der Gondeln (12) dividiert: \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). 3. Teilaufgabe b): Um die Anzahl der Gondeln zu finden, wird der Vollwinkel durch den Winkel eines Abschnitts (\(45^\circ\)) geteilt: \(360^\circ : 45^\circ = 8\). Das Rad hat also 8 Gondeln.

a) \(30^\circ\) b) 8 Gondeln

- In wie viele gleich große Abschnitte ist eine Uhr unterteilt? - Berechne zuerst den Winkel für einen einzigen Stundenabschnitt (z. B. von 12 bis 1). - Wie oft musst du diesen kleinen Winkel nehmen, um zu den anderen Zahlen zu gelangen? - Erinnerst du dich an die Namen für Winkel mit \(90^\circ\), \(180^\circ\) oder \(360^\circ\)?

1. Ein voller Kreis hat \(360^\circ\). Das Ziffernblatt ist in 12 gleiche Abschnitte unterteilt. 2. Schrittweite berechnen: \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). Ein Schritt von einer Zahl zur nächsten entspricht also \(30^\circ\). 3. Teilaufgabe a): Von 12 bis 1 ist es genau ein Schritt: \(1 \cdot 30^\circ = 30^\circ\). 4. Teilaufgabe b): Von 12 bis 4 sind es vier Schritte: \(4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\). 5. Teilaufgabe c): Von 12 bis 6 sind es sechs Schritte: \(6 \cdot 30^\circ = 180^\circ\). Ein Winkel von \(180^\circ\) wird als gestreckter Winkel bezeichnet.

a) \(30^\circ\) b) \(120^\circ\) c) \(180^\circ\); es handelt sich um einen gestreckten Winkel.

- Welche Winkelgröße gehört zu einer vollständigen Drehung? - Der markierte Winkel \(\beta\) und der restliche Winkel \(\alpha\) ergeben zusammen den Vollwinkel. - Ordne das Ergebnis anschließend anhand seiner Größe einer Winkelart zu.

1. Ein Vollwinkel hat \(360^\circ\). 2. Für den restlichen Winkel gilt \(\alpha=360^\circ-75^\circ=285^\circ\). 3. Da \(180^\circ<285^\circ<360^\circ\) gilt, ist \(\alpha\) ein überstumpfer Winkel.

\(\alpha=285^\circ\); \(\alpha\) ist ein überstumpfer Winkel.

- Welche Winkelgröße hat eine gerade Linie? - Lukas hat den Winkel in zwei Teile zerlegt. Wie hängen diese zusammen?

1. Identifikation des Winkels der Geraden (gestreckter Winkel) als \(180^\circ\). 2. Addition des gemessenen Zusatzwinkels zum gestreckten Winkel: \(180^\circ + 42^\circ = 222^\circ\).

Der gesamte Winkel ist \(222^\circ\) groß.

- Überlege dir, in wie viele gleich große Abschnitte das Zifferblatt durch die Zahlen 1 bis 12 geteilt wird. - Wie viel Grad entspricht ein solcher Abschnitt, wenn ein ganzer Kreis \(360^\circ\) hat? - Zähle die Schritte zwischen den beiden Zeigern. - Erinnere dich an die Definitionen der Winkelarten: Wann ist ein Winkel spitz, stumpf oder ein rechter Winkel?

1. Ein Zifferblatt ist in 12 Stundenabschnitte unterteilt, wobei jeder Abschnitt \(360^\circ : 12 = 30^\circ\) entspricht. 2. Um 02:00 Uhr steht der Stundenzeiger auf der 2 und der Minutenzeiger auf der 12. Der Abstand beträgt 2 Stundenabschnitte: \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Dies ist ein spitzer Winkel. 3. Um 05:00 Uhr steht der Stundenzeiger auf der 5 und der Minutenzeiger auf der 12. Der Abstand beträgt 5 Abschnitte: \(5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). Dies ist ein stumpfer Winkel. 4. Um 09:00 Uhr steht der Stundenzeiger auf der 9 und der Minutenzeiger auf der 12. Der Abstand im Uhrzeigersinn beträgt 9 Abschnitte (\(270^\circ\)), der kleinere Winkel gegen den Uhrzeigersinn beträgt 3 Abschnitte: \(3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\). Dies ist ein rechter Winkel.

a) \(60^\circ\) (spitzer Winkel) b) \(150^\circ\) (stumpfer Winkel) c) \(90^\circ\) (rechter Winkel)

- Zeichne dir die Punkte in ein Koordinatensystem ein. - Überlege, wie die Schenkel im Vergleich zu den Kästchenlinien verlaufen. - Ein Winkel, der genau entlang der Kästchenlinien (horizontal und vertikal) verläuft, ist oft leicht zu bestimmen. - Verläuft ein Schenkel genau diagonal durch die Kästchen? - Verwende jeweils den kleineren der beiden möglichen Winkel zwischen den Strahlen.

Gesucht ist in jeder Teilaufgabe der kleinere Winkel zwischen den beiden Schenkeln. 1. Der erste Schenkel verläuft vom Scheitelpunkt \(S(1 \mid 2)\) horizontal nach rechts durch \(A(5 \mid 2)\). 2. Für Punkt \(B(1 \mid 6)\): Der zweite Schenkel verläuft von \(S(1 \mid 2)\) vertikal nach oben. Da der erste Schenkel horizontal und der zweite vertikal ist, beträgt der Winkel \(\alpha = 90^\circ\). 3. Für Punkt \(C(5 \mid 6)\): Die Steigung von \(S(1 \mid 2)\) zu \(C(5 \mid 6)\) entspricht einer Diagonalen durch ein Quadrat im Gitternetz (4 Einheiten rechts, 4 Einheiten hoch). Dies entspricht einem Winkel von \(45^\circ\) zur Horizontalen. Somit ist \(\alpha = 45^\circ\). 4. Für Punkt \(D(1 \mid 0)\): Der zweite Schenkel verläuft von \(S(1 \mid 2)\) vertikal nach unten. Da der erste Schenkel horizontal nach rechts verläuft, bildet sich ein rechter Winkel. Somit ist \(\alpha = 90^\circ\).

a) \(\alpha = 90^\circ\) b) \(\alpha = 45^\circ\) c) \(\alpha = 90^\circ\)

- Wie viele Stunden vergehen in diesem Zeitraum? - Wie lange braucht der Stundenzeiger für eine komplette Umdrehung von \(360^\circ\)? - Kannst du ausrechnen, um wie viel Grad sich der Stundenzeiger in genau einer Stunde dreht?

1. Berechnung der Zeitspanne: Von \(13{:}00\) Uhr bis \(18{:}00\) Uhr vergehen genau \(5\) Stunden. 2. Bestimmung des Winkels pro Stunde: Der Stundenzeiger benötigt für eine volle Umdrehung (\(360^\circ\)) insgesamt \(12\) Stunden. Pro Stunde legt er also einen Winkel von \(360^\circ : 12 = 30^\circ\) zurück. 3. Berechnung des Gesamtwinkels: \(5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\).

Der Stundenzeiger überstreicht einen Winkel von \(150^\circ\).

- Ordne den markierten Winkel zuerst in einen Bereich zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\) ein. - Innenwinkel und zugehöriger äußerer Winkel füllen zusammen einen vollständigen Kreis um \(S\).

1. Der markierte äußere Winkel ist größer als \(180^\circ\) und kleiner als \(360^\circ\). Er ist daher überstumpf. 2. Innenwinkel und äußerer Winkel ergeben zusammen den Vollwinkel. Daher gilt \(\alpha=360^\circ-135^\circ=225^\circ\).

1. überstumpfer Winkel 2. \(\alpha=225^\circ\)

- Erinnerst du dich an die Namen der verschiedenen Winkelarten und wie sie definiert sind? - Welcher Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel (\(90^\circ\))? - Welche Winkel liegen zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\)? - Welcher Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel (\(180^\circ\))? - Versuche, die Winkel zunächst grob abzuschätzen, bevor du sie vergleichst.

1. Bestimmung der Winkelarten anhand der Winkelgrößen: - Der Winkel \(\alpha\) misst \(60^\circ\). Da dieser Wert größer als \(0^\circ\) und kleiner als \(90^\circ\) ist, handelt es sich um einen **spitzen Winkel**. - Der Winkel \(\beta\) misst \(130^\circ\). Da dieser Wert zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\) liegt, handelt es sich um einen **stumpfen Winkel**. - Der Winkel \(\gamma\) misst \(250^\circ\). Da dieser Wert zwischen \(180^\circ\) und \(360^\circ\) liegt, handelt es sich um einen **überstumpfen Winkel**. 2. Ordnung nach der Größe: - Ein Vergleich der Werte zeigt: \(60^\circ < 130^\circ < 250^\circ\). - Daraus folgt die Reihenfolge: \(\alpha < \beta < \gamma\).

1. \(\alpha\) ist ein spitzer Winkel, \(\beta\) ist ein stumpfer Winkel und \(\gamma\) ist ein überstumpfer Winkel. 2. Die sortierte Reihenfolge lautet: \(\alpha < \beta < \gamma\).

- Nutze waagerechte, senkrechte und diagonale Gitterrichtungen als Orientierung. - Eine Diagonale eines quadratischen Gitters halbiert einen rechten Winkel. - Ordne nach dem Bestimmen der Größen jeden Winkel dem passenden Größenbereich zu.

1. In a) liegt der zweite Schenkel auf der Diagonalen der Gitterquadrate. Das ist die Hälfte eines rechten Winkels, also \(\alpha=45^\circ\). In b) ergibt sich \(90^\circ+45^\circ=135^\circ\), also \(\beta=135^\circ\). In c) wird gegen den Uhrzeigersinn bis zur senkrechten Richtung nach unten gemessen; das sind drei Viertel eines Vollwinkels, also \(\gamma=270^\circ\). 2. \(45^\circ\) ist spitz, \(135^\circ\) ist stumpf und \(270^\circ\) ist überstumpf.

1. a) \(\alpha=45^\circ\); b) \(\beta=135^\circ\); c) \(\gamma=270^\circ\) 2. a) spitzer Winkel; b) stumpfer Winkel; c) überstumpfer Winkel

- Bestimme zuerst die Größe von \(\beta\) aus der beschriebenen Beziehung zu \(\alpha\). - Anschließend bilden die beiden anliegenden Winkel gemeinsam den gesuchten Gesamtwinkel. - Die unterschiedlichen Winkelmarkierungen bedeuten nicht, dass die Teilwinkel gleich groß sind.

1. \(\beta=3\cdot36^\circ=108^\circ\). 2. Da die Winkel aneinanderliegen, beträgt der Gesamtwinkel \(36^\circ+108^\circ=144^\circ\).

\(144^\circ\)

- Überlege zuerst, was „ein Fünftel so groß“ als Rechenoperation bedeutet. - Bestimme den kleineren Teilwinkel, bevor du den Gesamtwinkel suchst. - Aneinanderliegende Teilwinkel können zum Gesamtwinkel addiert werden.

1. Da \(\delta\) ein Fünftel von \(\gamma\) ist, gilt \(\delta=125^\circ:5=25^\circ\). 2. Die aneinanderliegenden Teilwinkel ergeben zusammen \(125^\circ+25^\circ=150^\circ\).

\(150^\circ\)

- Achte auf die angegebene Drehrichtung. - Überlege, ob sich der Winkel zur nach rechts gerichteten Horizontalen dadurch vergrößert oder verkleinert. - Der gesuchte Winkel wird nach der Drehung von derselben Horizontalen aus gemessen wie der Ausgangswinkel.

1. Der Ausgangswinkel beträgt \(155^\circ\). 2. Die Drehung im Uhrzeigersinn verkleinert diesen Winkel um \(60^\circ\). 3. Daher gilt \(\beta=155^\circ-60^\circ=95^\circ\).

\(95^\circ\)

- Vergleiche jeden markierten Winkel mit einem rechten Winkel. - Ein spitzer Winkel ist kleiner als \(90^\circ\), ein stumpfer größer als \(90^\circ\) und kleiner als \(180^\circ\). - Achte bei \(\gamma\) auf die beiden Schenkel, zwischen denen die Markierung liegt.

1. \(\alpha\) umfasst \(40^\circ\) und ist damit spitz. 2. \(\beta\) umfasst \(130^\circ\) und ist damit stumpf. 3. \(\gamma\) umfasst von \(130^\circ\) bis \(240^\circ\) insgesamt \(110^\circ\) und ist ebenfalls stumpf.

\(\alpha\): spitz \(\beta\): stumpf \(\gamma\): stumpf

- Wähle systematisch jeweils zwei der vier Strahlen aus. - Achte darauf, kein Strahlenpaar doppelt zu zählen.

Je zwei der vier Strahlen bestimmen den kleineren Winkel zwischen ihnen. Die möglichen Paare sind \((a, b)\), \((a, c)\), \((a, d)\), \((b, c)\), \((b, d)\) und \((c, d)\). Insgesamt werden also sechs Winkel bestimmt.

Es werden \(6\) Winkel bestimmt.

- Betrachte zunächst die beiden Paare benachbarter Strahlen. - Prüfe danach auch das Paar der beiden äußeren Strahlen. - Gezählt werden nur Winkel, deren Bereich innerhalb des vorgegebenen Gesamtwinkels liegt.

1. Zwischen den benachbarten Strahlen liegen die Teilwinkel \(\angle(x,y)\) und \(\angle(y,z)\). 2. Die beiden äußeren Strahlen bilden außerdem den gesamten Winkel \(\angle(x,z)\). 3. Damit liegen genau drei solche Winkel innerhalb des genannten Gesamtwinkels.

\(3\) Winkel: \(\angle(x,y)\), \(\angle(y,z)\) und \(\angle(x,z)\)

- Konzentriere dich auf die Aussage „um \(25^\circ\) größer“. - Überlege, welcher Teil des Gesamtwinkels genau diesen Unterschied ausmacht. - Prüfe erst danach, ob du den Wert \(40^\circ\) überhaupt verwenden musstest.

1. Der Gesamtwinkel ist um genau \(25^\circ\) größer als \(\angle(a,c)\). 2. Dieser Unterschied ist genau der zweite Teilwinkel \(\angle(c,b)\). Daher gilt \(\angle(c,b)=25^\circ\). 3. Der konkrete Wert \(40^\circ\) ist für diese Differenz nicht nötig; er dient nur als zusätzliche Information.

\(\angle(c,b)=25^\circ\). Die Angabe \(\angle(a,c)=40^\circ\) ist für die Bestimmung der Differenz nicht nötig.

- Bestimme zuerst die Größe des gesamten Winkels aus „doppelt so groß“. - Danach kennst du den Gesamtwinkel und einen seiner beiden Teilwinkel. - Der fehlende Teil ergibt sich als Rest des Gesamtwinkels.

1. Der Gesamtwinkel beträgt \(2\cdot30^\circ=60^\circ\). 2. Der zweite Teilwinkel ist der Rest: \(60^\circ-30^\circ=30^\circ\).

\(\angle(s_2,s_3)=30^\circ\)

- Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel. - Ein stumpfer Winkel ist größer als ein rechter, aber kleiner als ein gestreckter Winkel. - Schaue dir an, welche Strahlen die Schenkel der jeweiligen Winkel bilden.

1. Winkel 1 hat eine Größe von \(55^\circ\). Da \(55^\circ < 90^\circ\), ist er spitz. 2. Winkel 2 ergibt sich aus der Differenz \(140^\circ - 55^\circ = 85^\circ\). Da \(85^\circ < 90^\circ\), ist er ebenfalls spitz. 3. Winkel 3 hat eine Größe von \(140^\circ\). Da \(90^\circ < 140^\circ < 180^\circ\), ist er ein stumpfer Winkel.

1) Winkel 3 ist ein stumpfer Winkel. 2) Die Winkel 1 und 2 sind spitze Winkel.

- Vergleiche jeden Innenwinkel mit einem rechten Winkel. - Achte bei \(B\) und \(C\) darauf, auf welcher Seite die schräge Seite liegt. - Beurteile die Winkel direkt an den vier Ecken; eine besondere Markierung ist nicht gegeben.

1. Der Innenwinkel bei \(A\) ist \(90^\circ\) groß und damit ein rechter Winkel. 2. Der Innenwinkel bei \(B\) ist größer als \(90^\circ\) und damit ein stumpfer Winkel. 3. Der Innenwinkel bei \(C\) ist kleiner als \(90^\circ\) und damit ein spitzer Winkel. 4. Der Innenwinkel bei \(D\) ist \(90^\circ\) groß und damit ein rechter Winkel.

\(A\): rechter Winkel \(B\): stumpfer Winkel \(C\): spitzer Winkel \(D\): rechter Winkel

- Ein überstumpfer Winkel ist größer als ein gestreckter Winkel und kleiner als ein Vollwinkel. - Suche zuerst die nach innen eingezogene Ecke des Vierecks. - Vergleiche die übrigen markierten Winkel mit einem rechten Winkel.

1. Der Winkel \(\phi_2\) am Eckpunkt \(Q\) ist größer als \(180^\circ\) und damit überstumpf. 2. Die Winkel \(\phi_1\), \(\phi_3\) und \(\phi_4\) sind jeweils kleiner als \(90^\circ\) und damit spitz.

1) \(\phi_2\) ist ein überstumpfer Winkel. 2) \(\phi_1\), \(\phi_3\) und \(\phi_4\) sind spitze Winkel.

- Vergleiche die vier Öffnungen zunächst grob miteinander, bevor du misst. - Nutze einen rechten Winkel als Vergleichsgröße für die Winkelart. - Wenn zwei Winkel ähnlich wirken, miss sie mit dem Geodreieck und vergleiche die Messwerte.

1. Durch Betrachten oder Messen erhält man für a) \(45^\circ\), für b) \(105^\circ\), für c) \(15^\circ\) und für d) \(90^\circ\). Daher gilt für die Winkelgrößen: c) \(<\) a) \(<\) d) \(<\) b). 2. a) und c) sind spitze Winkel, d) ist ein rechter Winkel und b) ist ein stumpfer Winkel.

1. Reihenfolge: c), a), d), b). 2. a) spitz; b) stumpf; c) spitz; d) recht.

- Der Mittelpunkt des Geodreiecks gehört genau auf den Scheitelpunkt des Winkels. - Lege die Nulllinie an einen der beiden Schenkel an. - Achte darauf, die Skala zu wählen, die am angelegten Schenkel bei \(0^\circ\) beginnt.

1. Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks auf den Scheitelpunkt \(S\). 2. Richte die Nulllinie an einem Schenkel aus und lies am zweiten Schenkel die passende Skala ab. 3. Die beiden Schenkel unterscheiden sich in ihrer Richtung um \(73^\circ\).

Der Winkel misst \(73^\circ\).

- Achte darauf, welche Skala am ersten Schenkel mit \(0^\circ\) beginnt. - Ein Winkel von \(128^\circ\) ist stumpf. - Verwechsle die gesuchte Markierung nicht mit dem zu \(180^\circ\) ergänzenden Wert.

1. Vom ersten Schenkel aus muss die Öffnung gegen den Uhrzeigersinn \(128^\circ\) betragen. 2. In a) beträgt die Öffnung nur \(52^\circ\); das ist der Ergänzungswinkel zu \(180^\circ\). 3. In b) liegt der zweite Schenkel bei \(128^\circ\). Diese Skizze ist richtig. 4. In c) beträgt die Öffnung \(102^\circ\) und ist daher ebenfalls nicht korrekt.

b)

- Überlege, wie groß beide Winkel zwischen denselben Schenkeln zusammen sind. - Gesucht ist zunächst ein Winkel, den Lea direkt mit dem Geodreieck zeichnen kann. - Prüfe, wie der kleinere und der größere Winkel zwischen denselben Schenkeln zusammenhängen.

1. Die beiden Winkel zwischen denselben Schenkeln ergeben zusammen einen Vollwinkel von \(360^\circ\). 2. Daher muss der kleinere Winkel \(360^\circ-250^\circ=110^\circ\) groß sein. 3. Lea zeichnet mit dem Geodreieck einen Winkel von \(110^\circ\). 4. Dieselben beiden Schenkel begrenzen auf der anderen Seite den größeren Winkel von \(250^\circ\).

a) \(110^\circ\) b) Lea zeichnet den kleineren Winkel von \(110^\circ\). Der andere Winkel zwischen denselben Schenkeln ist dann \(360^\circ-110^\circ=250^\circ\) groß.

- Überlege dir, wie viel an einem vollen Kreis noch fehlt. - Stell dir vor, du zeichnest zuerst eine gerade Linie und überlegst, wie viel du dann noch hinzufügen musst.

1. Rest zum Vollwinkel: \(360^\circ - 215^\circ = 145^\circ\). Man kann also den kleineren Restwinkel von \(145^\circ\) zeichnen. 2. Anteil über den gestreckten Winkel hinaus: \(215^\circ - 180^\circ = 35^\circ\). Alternativ zeichnet man zuerst \(180^\circ\) und trägt anschließend \(35^\circ\) ab.

Man kann entweder den Restwinkel von \(145^\circ\) zum Vollwinkel oder den zusätzlichen Hilfswinkel von \(35^\circ\) nach einem gestreckten Winkel verwenden.

- Überlege zuerst, wie viele Grad der Zeiger in einer einzigen Minute zurücklegt. - Ein komplettes Zifferblatt stellt einen Vollwinkel dar. - Wie viele Minuten liegen zwischen den einzelnen Zahlen auf einer Uhr?

1. Ein voller Kreis entspricht \(360^\circ\). In einer Stunde (\(60\,\text{Minuten}\)) legt der Minutenzeiger diesen Winkel zurück. Pro Minute ergibt sich ein Winkel von \(360^\circ : 60 = 6^\circ\). 2. Für \(10\,\text{Minuten}\) rechnet man \(10 \cdot 6^\circ = 60^\circ\). 3. Um die Zeit für \(150^\circ\) zu finden, teilt man den Winkel durch den Wert pro Minute: \(150^\circ : 6^\circ = 25\). Es sind \(25\,\text{Minuten}\) vergangen. 4. Der Abstand von der Ziffer „2“ zur „6“ entspricht \(4\) Abschnitten zu je \(5\,\text{Minuten}\), also insgesamt \(20\,\text{Minuten}\). Der Winkel beträgt \(20 \cdot 6^\circ = 120^\circ\).

a) \(60^\circ\) b) \(25\,\text{Minuten}\) c) \(120^\circ\)

- Nutze die Abbildungen, um die tatsächliche Lage des Stundenzeigers bei „halb“ zu sehen. - Zwischen zwei benachbarten Stundenmarken liegen \(30^\circ\). - Bestimme für beide Zeiger ihre Richtung von der 12 aus und vergleiche anschließend die beiden Richtungen.

1. Um \(16{:}30\) Uhr steht der Minutenzeiger bei \(180^\circ\). Der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 bei \(4\cdot30^\circ+15^\circ=135^\circ\). 2. Der kleinere Winkel beträgt \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\). 3. Um \(22{:}30\) Uhr steht der Minutenzeiger wieder bei \(180^\circ\). Der Stundenzeiger steht zwischen 10 und 11 bei \(10\cdot30^\circ+15^\circ=315^\circ\). 4. Der kleinere Winkel beträgt \(315^\circ-180^\circ=135^\circ\).

a) \(45^\circ\) b) \(135^\circ\)

- Schau auf die tatsächliche Stellung des Stundenzeigers in der Abbildung. - Ein vollständiger Stundenabschnitt auf dem Zifferblatt entspricht \(30^\circ\). - Bestimme, welchen Anteil einer Stunde 20 Minuten ausmachen, bevor du den Winkelabstand der Zeiger vergleichst.

1. In 20 Minuten bewegt sich auch der Stundenzeiger von der 12 in Richtung 1 weiter. 2. Der Minutenzeiger steht auf der 4, also bei \(4\cdot30^\circ=120^\circ\). 3. Der Stundenzeiger legt in einer Stunde \(30^\circ\) zurück. In 20 Minuten, also einem Drittel einer Stunde, sind das \(30^\circ:3=10^\circ\). 4. Der kleinere Winkel zwischen den Zeigern beträgt daher \(120^\circ-10^\circ=110^\circ\).

a) Der Stundenzeiger bleibt während der 20 Minuten nicht auf der 12 stehen, sondern bewegt sich in Richtung 1. b) \(110^\circ\)

- Überlege dir zuerst, wie viel Grad ein einzelner Stundenabschnitt auf der Uhr hat. - Stelle dir die Uhr vor und zähle die Abschnitte vom Stundenzeiger zum Minutenzeiger in der angegebenen Richtung. - Erinnere dich an die Definitionen der Winkelarten: Wann ist ein Winkel spitz, recht oder stumpf? - Was passiert, wenn der Winkel genau eine halbe Drehung oder mehr als eine halbe Drehung umfasst?

1. Ein Vollkreis hat \(360^\circ\). Da das Zifferblatt in 12 Stundenabschnitte unterteilt ist, entspricht ein Abschnitt \(360^\circ : 12 = 30^\circ\). 2. Bei der Messung gegen den Uhrzeigersinn vom Stundenzeiger (auf der jeweiligen Zahl) zum Minutenzeiger (auf der 12) ergeben sich folgende Winkelweiten: - a) 2:00 Uhr: 2 Abschnitte \(\rightarrow 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Da \(0^\circ < 60^\circ < 90^\circ\), ist der Winkel spitz. - b) 3:00 Uhr: 3 Abschnitte \(\rightarrow 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\). Dies ist ein rechter Winkel. - c) 5:00 Uhr: 5 Abschnitte \(\rightarrow 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\). Da \(90^\circ < 150^\circ < 180^\circ\), ist der Winkel stumpf. - d) 6:00 Uhr: 6 Abschnitte \(\rightarrow 6 \cdot 30^\circ = 180^\circ\). Dies ist ein gestreckter Winkel. - e) 8:00 Uhr: 8 Abschnitte \(\rightarrow 8 \cdot 30^\circ = 240^\circ\). Da \(180^\circ < 240^\circ < 360^\circ\), ist der Winkel überstumpf.

a) spitzer Winkel b) rechter Winkel c) stumpfer Winkel d) gestreckter Winkel e) überstumpfer Winkel

- Vergleiche die Öffnung des Winkels, wenn \(P\) näher an \([AB]\) liegt und wenn \(P\) weiter entfernt liegt. - Miss jeweils am Scheitelpunkt \(P\), nicht an \(A\) oder \(B\). - Suche für Teil b) nach der Position, an der die beiden Winkelschenkel einen rechten Winkel bilden.

1. Bei \(P(3\mid 2)\) misst man ungefähr \(127^\circ\); der Winkel ist stumpf. 2. Bei \(P(3\mid 3)\) beträgt \(\angle APB=90^\circ\); der Winkel ist recht. 3. Bei \(P(3\mid 5)\) misst man ungefähr \(53^\circ\); der Winkel ist spitz. 4. Je weiter sich \(P\) von \([AB]\) nach oben entfernt, desto kleiner wird \(\angle APB\). Der rechte Winkel entsteht bei \(P(3\mid 3)\).

a) Bei \(P(3\mid 2)\) stumpf, bei \(P(3\mid 3)\) recht, bei \(P(3\mid 5)\) spitz; der Winkel wird kleiner. b) Ja, bei \(P(3\mid 3)\).

- Wähle mehrere Positionen auf der Laufstrecke und vergleiche die Öffnung zwischen den Blickrichtungen zu \(A\) und \(B\). - Vergleiche auch Positionen, die gleich weit vom linken und rechten Ende der Laufstrecke entfernt sind. - Nutze die Symmetrie der Anordnung, um die Suche nach der größten Öffnung einzugrenzen. - Miss erst dann an deiner vermuteten Position die Winkelweite.

1. Die Laufstrecke liegt auf \(y=6\) zwischen \(x=2\) und \(x=10\). 2. Vergleicht man symmetrisch liegende Positionen und misst mehrere Winkel, wird der Blickwinkel bis zur Mitte größer und danach wieder kleiner. Die Mitte liegt bei \((2+10):2=6\). Daher ist die gesuchte Position \(P(6\mid 6)\). 3. Misst man dort den Winkel zwischen \(PA\) und \(PB\), erhält man \(90^\circ\). 4. Der größte Blickwinkel ist damit ein rechter Winkel.

a) \(P(6\mid 6)\) b) rechter Winkel mit \(90^\circ\)

- Skizziere die Punkte \(S\), \(A\), \(Q\) und \(P\) in ein Koordinatensystem. - Was bedeutet es für die Größe eines Winkels, wenn die Schenkel eine gerade Linie bilden? - Achte darauf, ob die Schenkel senkrecht zueinander stehen. - Nutze dein Geodreieck, um die Winkel in deiner Zeichnung zu überprüfen.

1. Der erste Schenkel verläuft von \(S(4 \mid 1)\) vertikal nach oben durch \(A(4 \mid 5)\). 2. Zu a): Wenn der zweite Schenkel genau entgegengesetzt verläuft, zeigt er vertikal nach unten. Ein gestreckter Winkel entsteht, also \(\beta = 180^\circ\). 3. Zu b): Der Punkt \(Q(0 \mid 5)\) liegt 4 Einheiten links und 4 Einheiten oberhalb von \(S(4 \mid 1)\). Der Schenkel \(SQ\) verläuft also diagonal durch das Gitternetz. Da der erste Schenkel vertikal ist, bildet die Diagonale dazu einen Winkel von \(45^\circ\). 4. Zu c): Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liegt auf der gleichen Höhe wie \(S(4 \mid 1)\), also horizontal links davon. Da der erste Schenkel vertikal nach oben verläuft und der zweite horizontal nach links, beträgt der Winkel \(\beta = 90^\circ\).

a) \(\beta = 180^\circ\) b) \(\beta = 45^\circ\) c) \(\beta = 90^\circ\)

- In einem Koordinatensystem kannst du Winkel oft durch das Abzählen von Kästchen bestimmen (z. B. bei Diagonalen). - „Senkrecht“ ist ein anderes Wort für einen ganz bestimmten Winkel. - Wenn du die Punkte verbindest, siehst du, ob der Winkel spitz, stumpf, recht oder gestreckt ist. - Wo genau liegt die \(x\)-Achse im Koordinatensystem? (Dort ist der \(y\)-Wert immer 0).

1. Der erste Schenkel \(SA\) liegt auf der horizontalen Linie \(y = 2\) und zeigt nach rechts. 2. Zu a): Der Punkt \(P(0 \mid 4)\) liegt 2 Einheiten links und 2 Einheiten oberhalb von \(S(2 \mid 2)\). Der Schenkel \(SP\) bildet somit einen Winkel von \(135^\circ\) zum ersten Schenkel (\(90^\circ\) bis zur Vertikalen plus \(45^\circ\) für die Diagonale). 3. Zu b): „Senkrecht und nach unten“ bedeutet ein Winkel von \(\gamma = 90^\circ\). Der Schenkel verläuft von \((2 \mid 2)\) vertikal nach unten und trifft die \(x\)-Achse bei \(x = 2\), also im Punkt \((2 \mid 0)\). 4. Zu c): Der Punkt \(Q(0 \mid 2)\) liegt auf derselben horizontalen Linie wie \(S\) und \(A\), aber links vom Scheitelpunkt. Die beiden Schenkel bilden zusammen eine Gerade, was einem gestreckten Winkel von \(\gamma = 180^\circ\) entspricht.

a) \(\gamma = 135^\circ\) b) \(\gamma = 90^\circ\); er trifft den Punkt \((2 \mid 0)\). c) \(\gamma = 180^\circ\)

- Wenn ein Winkel doppelt so groß ist wie der andere, aus wie vielen gleich großen Teilen besteht der Gesamtwinkel? - Teile den Gesamtwinkel zunächst in diese gleich großen Teile, bevor du die beiden Winkel zuordnest.

1. Die beiden Winkel ergeben zusammen \(135^\circ\), also gilt \(\alpha+\beta=135^\circ\). 2. Wegen \(\beta=2\alpha\) besteht der Gesamtwinkel aus drei gleich großen Teilen. 3. Ein Teil ist \(135^\circ:3=45^\circ\). Daher ist \(\alpha=45^\circ\). 4. Somit ist \(\beta=2\cdot45^\circ=90^\circ\).

\(\alpha=45^\circ\) und \(\beta=90^\circ\)

- Richte beim Messen die Nulllinie des Geodreiecks an einem Schenkel aus und lies am anderen Schenkel ab. - Bei c) zeigt die Winkelmarkierung, dass nicht der kleinere Winkel zwischen den Schenkeln gesucht ist. - Wenn du den kleineren Winkel bei c) gemessen hast, überlege, wie er mit dem Vollwinkel zusammenhängt.

1. Beim Winkel \(\alpha\) ergibt die Messung \(55^\circ\). Damit ist \(\alpha\) spitz. 2. Beim Winkel \(\beta\) ergibt die Messung \(135^\circ\). Damit ist \(\beta\) stumpf. 3. Bei \(\gamma\) misst der kleinere Winkel zwischen den Schenkeln \(140^\circ\). 4. Der markierte Winkel ist der andere, überstumpfe Winkel. Daher gilt \(\gamma=360^\circ-140^\circ=220^\circ\). 5. Somit ist \(\gamma\) überstumpf.

a) \(\alpha=55^\circ\), \(\beta=135^\circ\) b) Kleiner Winkel: \(140^\circ\); daher \(\gamma=220^\circ\) c) \(\alpha\): spitz; \(\beta\): stumpf; \(\gamma\): überstumpf

- Überlege dir, aus welchen kleineren Teilwinkeln sich die Winkel in den Antwortmöglichkeiten zusammensetzen. - Wenn du zwei gleiche Bausteine hast und zu jedem den gleichen dritten Baustein hinzufügst, sind die Ergebnisse dann immer noch gleich?

1. Gegeben ist, dass die Teilwinkel gleich sind: \(\angle(a, b) = \angle(b, c) = \angle(c, d)\). 2. Der Winkel \(\angle(a, c)\) setzt sich aus \(\angle(a, b) + \angle(b, c)\) zusammen. 3. Der Winkel \(\angle(b, d)\) setzt sich aus \(\angle(b, c) + \angle(c, d)\) zusammen. 4. Da die einzelnen Summanden jeweils gleich groß sind, sind auch die Summen gleich: \(\angle(a, c) = \angle(b, d)\). Somit ist Antwort B korrekt.

Korrekt ist Antwort B: \(\angle(a, c) = \angle(b, d)\).

- Bestimme zuerst, wie groß der Winkel zwischen \(p\) und \(q\) sein muss. - Nutze dabei, dass der gesamte Winkel zwischen \(p\) und \(s\) ein rechter Winkel ist. - Vergleiche anschließend die Lage von \(q\) und \(r\) innerhalb dieses rechten Winkels.

1. Aus \(\angle (p,s)=90^\circ\) und \(\angle (q,s)=55^\circ\) folgt \(\angle (p,q)=90^\circ-55^\circ=35^\circ\). 2. Damit ist \(\gamma=68^\circ-35^\circ=33^\circ\). 3. Zur Kontrolle gilt auch \(68^\circ+55^\circ-90^\circ=33^\circ\).

Der Winkel \(\gamma\) ist \(33^\circ\) groß.

- Beziehe beide Schnitte auf denselben Rand des Kuchenstücks. - Einer der markierten Winkel wird vom linken Rand aus gemessen; überlege, wie du daraus die Lage des Schnitts vom rechten Rand aus bestimmst. - Der gesuchte Winkel ist der Unterschied zwischen den beiden Schnittlagen.

1. Vom rechten Rand bis zum Schnitt \(b\) sind es \(75^\circ\). 2. Schnitt \(a\) liegt vom rechten Rand aus bei \(120^\circ-85^\circ=35^\circ\). 3. Daher ist \(\delta=75^\circ-35^\circ=40^\circ\).

Der Winkel \(\delta\) zwischen den Schnitten beträgt \(40^\circ\).

- Beginne am Schnittpunkt der beiden Diagonalen. - Vergleiche die Innenwinkel an \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) jeweils mit einem rechten Winkel. - Der mittlere Buchstabe in einer Winkelbezeichnung ist immer der Scheitelpunkt.

1. Die Diagonalen \(AC\) und \(BD\) stehen senkrecht aufeinander. Daher sind zum Beispiel \(\angle ASB\) und \(\angle BSC\) rechte Winkel. 2. An den Eckpunkten \(A\) und \(C\) sind die Innenwinkel spitz. Zwei Beispiele sind \(\angle DAB\) und \(\angle BCD\). 3. An den Eckpunkten \(B\) und \(D\) sind die Innenwinkel deutlich größer als \(90^\circ\). Daher sind \(\angle ABC\) und \(\angle CDA\) stumpf.

a) Rechte Winkel: \(\angle ASB\), \(\angle BSC\) b) Spitze Winkel: \(\angle DAB\), \(\angle BCD\) c) Stumpfe Winkel: \(\angle ABC\), \(\angle CDA\)

- Der kleinere und der größere Winkel zwischen denselben Schenkeln ergeben zusammen einen Vollwinkel. - Bestimme zuerst, welchen kleineren Winkel du mit dem Geodreieck abtragen müsstest. - Prüfe anschließend, ob \(\alpha\) in der Skizze wirklich den größeren der beiden Winkel bezeichnet.

1. Der kleinere Winkel zwischen denselben Schenkeln ist \(360^\circ-245^\circ=115^\circ\). 2. In a) beträgt der kleinere Winkel \(115^\circ\), und \(\alpha\) markiert den außen herum verlaufenden größeren Winkel. Das ist korrekt. 3. In b) ist bei denselben Schenkeln der kleinere Winkel als \(\alpha\) markiert. 4. In c) haben die Schenkel nicht den erforderlichen kleineren Winkel von \(115^\circ\).

a)

- Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks auf den Scheitelpunkt und richte die Grundlinie an einem Schenkel aus. - Der markierte Bogen ist nicht der kleinere der beiden Winkel zwischen den Schenkeln. - Überlege, zu welchem Gesamtwinkel sich der kleinere und der markierte Winkel ergänzen.

1. Der kleinere Winkel zwischen den beiden Schenkeln misst \(129^\circ\). 2. Beide Winkel zusammen ergeben einen Vollwinkel von \(360^\circ\). 3. Daher ist der markierte Winkel \(360^\circ-129^\circ=231^\circ\). 4. Ein Winkel zwischen \(180^\circ\) und \(360^\circ\) ist überstumpf.

a) \(129^\circ\) b) \(231^\circ\); überstumpfer Winkel

- Zeichne die drei angegebenen Positionen von \(P\) sorgfältig ein und miss jeweils am Scheitelpunkt \(P\). - Vergleiche die Winkelart am Rand der Strecke mit der Winkelart in ihrer Mitte. - Überlege, welche Winkelart beim Übergang von spitz zu stumpf durchlaufen werden muss. - Nutze anschließend die Symmetrie der Situation zur rechten und linken Hälfte von \([CD]\).

1. Zeichne \(A(0\mid 0)\), \(B(8\mid 0)\) sowie die Strecke \([CD]\) von \(C(0\mid 3)\) bis \(D(8\mid 3)\). 2. Beim Messen erhält man bei \(P_1(0\mid 3)\) etwa \(69^\circ\), also einen spitzen Winkel, bei \(P_2(4\mid 3)\) etwa \(106^\circ\), also einen stumpfen Winkel, und bei \(P_3(8\mid 3)\) wieder etwa \(69^\circ\), also einen spitzen Winkel. 3. Auf dem Weg von \(C\) zur Mitte ändert sich der Winkel von spitz zu stumpf; da sich seine Größe beim Verschieben von \(P\) fortlaufend ändert, wird dabei ein rechter Winkel durchlaufen. 4. Wegen der Symmetrie geschieht dies auf dem Weg von der Mitte nach \(D\) ein zweites Mal.

a) Bei \(P_1\) ist der Winkel spitz, bei \(P_2\) stumpf und bei \(P_3\) spitz; die Messwerte liegen ungefähr bei \(69^\circ\), \(106^\circ\) und \(69^\circ\). b) Zwischen spitz und stumpf wird jeweils ein rechter Winkel durchlaufen; wegen der Symmetrie geschieht das mindestens zweimal.