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- Prüfe bei jedem Zeichen, ob es zu einer einzelnen Zahl gehört oder zwei Zahlen miteinander verknüpft. - Ein Zeichen direkt bei einer Zahl in Klammern kann ihre Lage relativ zu \(0\) kennzeichnen. - Das Zeichen zwischen zwei vollständigen Zahlenausdrücken beschreibt die auszuführende Rechenoperation.

1. Das erste Minus gehört zur Zahl \(-7\) und ist daher ein Vorzeichen. 2. Das Minus zwischen den beiden Klammern verbindet zwei Zahlen durch eine Subtraktion und ist daher ein Rechenzeichen. 3. Das Plus gehört zur Zahl \(+3\) und ist daher ein Vorzeichen.

Erstes \(-\): Vorzeichen; mittleres \(-\): Rechenzeichen; \(+\): Vorzeichen

- Prüfe, ob das Zeichen zu einer einzelnen Zahl gehört oder zwei Zahlenausdrücke miteinander verbindet. - Betrachte die Klammer \((-4)\) als eine vollständige Zahl.

1. Das Minuszeichen gehört zur Zahl \(-4\) und kennzeichnet deren Vorzeichen. 2. Es ist daher ein Vorzeichen.

Vorzeichen

- Unterscheide bei jedem Minus, ob es eine Zahl kennzeichnet oder eine Rechenoperation angibt. - Prüfe die Antwortmöglichkeiten einzeln, ohne die Terme auszurechnen.

1. In A) verbindet das erste Minus die beiden Zahlenausdrücke und ist ein Rechenzeichen. 2. Das Minus in \((-2)\) gehört zur Zahl und ist ein Vorzeichen. 3. Damit erfüllt nur A) die Bedingung.

A) \(5-(-2)\)

- Gehe die sichtbaren Zeichen einzeln durch. - Frage bei jedem Zeichen, ob es zu einer Zahl gehört oder zwei Zahlenausdrücke verbindet.

1. Die beiden Minuszeichen gehören zu den Zahlen \(-7\) und \(-2\); sie sind Vorzeichen. 2. Das Plus zwischen den beiden Klammern verbindet die Zahlen; es ist ein Rechenzeichen. 3. Es gibt also \(2\) Vorzeichen und \(1\) Rechenzeichen.

\(2\) Vorzeichen und \(1\) Rechenzeichen

- Prüfe beim Minus, ob es unmittelbar die Zahl \(5\) kennzeichnet. - Prüfe beim Plus, ob es zwischen zwei vollständigen Zahlen steht.

1. Das Minus gehört zur Zahl \(-5\) und ist ein Vorzeichen. 2. Das Plus verbindet \(-5\) und \(3\) durch eine Addition und ist ein Rechenzeichen. 3. Daher ist B) richtig.

B) Das Minus ist ein Vorzeichen, das Plus ist ein Rechenzeichen.

- Prüfe bei jedem Kreis, welche der beiden möglichen ganzen Zahlen gemeint sein müsste. - Vergleiche Startwert und Ergebnis: Muss der unbekannte Summand den Wert erhöhen oder verringern? - Kontrolliere jede Wahl, indem du die vollständige Summe berechnest.

1. Für die erste Gleichung muss vor \(75\) ein Minus stehen, denn \(-75+(-25)=-100\). 2. Für die zweite Gleichung muss vor \(120\) ein Minus stehen, denn \(-120+80=-40\). 3. Für die dritte Gleichung muss vor \(50\) ein Plus stehen, denn \(15+50=65\). 4. Für die vierte Gleichung muss vor \(9\) ein Minus stehen, denn \(-9+21=12\).

a) \( - \) b) \( - \) c) \( + \) d) \( - \)

- Prüfe zuerst, ob das Kästchen ein Vorzeichen direkt vor einer Zahl ergänzt. - Vergleiche in jeder Gleichung den bekannten Wert mit dem Ergebnis und entscheide, welche der beiden möglichen Zahlen passen kann. - Setze deine Wahl in die vollständige Gleichung ein und kontrolliere sie.

1. In der ersten Gleichung muss die Zahl \(-14\) sein, denn \(-14+(-26)=-40\). 2. In der zweiten Gleichung muss die Zahl \(-25\) sein, denn \(-55-(-25)=-30\). 3. In der dritten Gleichung muss die Zahl \(-18\) sein, denn \(12+(-18)=-6\).

a) \(-\) b) \(-\) c) \(-\)

- Unterscheide zuerst, ob nach einer Summe oder einer Differenz gefragt ist. - Achte beim Rechnen auf die Vorzeichen der Zahlen. - Eine Zahlengerade oder ein Thermometermodell kann dir helfen, die Richtung zu kontrollieren.

1. Die Summe lautet \(-42+(-18)=-60\). 2. Die Differenz lautet \(-25-35=-60\).

a) \(-60\) b) \(-60\)

- Schreibe dir für jede Aussage die passende Rechnung mit Vor- und Rechenzeichen auf. - Denke daran, dass das Subtrahieren einer negativen Zahl das Gleiche ist wie das Addieren der Gegenzahl. - Prüfe Schritt für Schritt, ob dein berechnetes Ergebnis mit dem Wert in der Aussage übereinstimmt.

1. Aussage a: Die Summe ist \(-15 + 15 = 0\). Die Aussage ist wahr. 2. Aussage b: Die Differenz ist \(-40 - (-10) = -40 + 10 = -30\). Da \(-30 \neq -50\), ist die Aussage falsch. 3. Aussage c: Die Summe ist \(-9 + (-11) = -20\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Unterscheide bei jedem Zeichen, ob es zu einer Zahl gehört oder eine Rechenoperation bezeichnet. - Vereinfache zuerst nur die Zeichenstruktur; rechne noch nicht. - Prüfe danach, ob deine vereinfachte Schreibweise denselben Wert wie der ursprüngliche Term haben muss.

1. Der erste Term vereinfacht sich zu \(56-14\) und hat den Wert \(42\). 2. Der zweite Term vereinfacht sich zu \(-33+17\) und hat den Wert \(-16\). 3. Der dritte Term vereinfacht sich zu \(-120-80\) und hat den Wert \(-200\). 4. Der vierte Term vereinfacht sich zu \(200-45\) und hat den Wert \(155\).

a) \(56 - 14 = 42\) b) \(-33 + 17 = -16\) c) \(-120 - 80 = -200\) d) \(200 - 45 = 155\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine größere Zahl von einer kleineren abziehst? - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer die Werte im Inneren? - Überlege, ob das Subtrahieren einer negativen Zahl dasselbe ist wie das Addieren einer positiven Zahl. - Berechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern.

1. Der erste Term hat den Wert \(24-37=-13\). 2. Der zweite Term hat den Wert \(37-24=13\). 3. Beim dritten Term ist \(37-24=13\), also gilt \(-(37-24)=-13\). 4. Der vierte Term hat den Wert \(-24+37=13\). 5. Der fünfte Term wird zu \(-24+37\) und hat den Wert \(13\). 6. Der sechste Term hat den Wert \(-37+24=-13\). 7. Damit haben der erste, dritte und sechste Term den Wert \(-13\); der zweite, vierte und fünfte Term haben den Wert \(13\).

Terme mit dem Wert \(-13\): a), c), f) Terme mit dem Wert \(13\): b), d), e)

- Überlege dir zuerst, welches Rechenzeichen entsteht, wenn zwei Minuszeichen direkt aufeinanderfolgen. - Stell dir die Aufgabe wie eine Kontobewegung oder ein Thermometer vor: Du startest im Minusbereich und bewegst dich dann in die positive Richtung. - Welche der beiden Zahlen hat den größeren Abstand zur Null? Das bestimmt das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Auflösen der Klammern unter Beachtung der Vorzeichenregeln (Minus und Minus ergibt Plus): \(-432 + 218\). 2. Berechnung der Differenz der Beträge, da die Vorzeichen unterschiedlich sind: \(432 - 218 = 214\). 3. Das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag setzen: \(-214\).

\(-214\)

- Überlege zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein muss. - Das Addieren einer negativen Zahl entspricht dem Subtrahieren ihres Betrags; das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihres Betrags. - Du kannst dir die Rechnungen auch auf einer Zahlengeraden vorstellen.

1. Berechnung von a): Die Addition einer positiven Zahl zu einer betragsmäßig kleineren negativen Zahl entspricht der Subtraktion der Beträge: \(100\,500 - 2500 = 98\,000\). 2. Berechnung von b): Die Subtraktion einer positiven Zahl von einer negativen Zahl entspricht der Addition der Beträge mit negativem Vorzeichen: \(-(340\,000 + 12\,500) = -352\,500\). 3. Berechnung von c): Das Addieren einer negativen Zahl ist gleichbedeutend mit der Subtraktion ihres Betrages: \(50\,200 - 45\,200 = 5000\). 4. Berechnung von d): Das Subtrahieren einer negativen Zahl ist gleichbedeutend mit der Addition ihres Betrages: \(12\,300 + 7700 = 20\,000\).

a) \(98\,000\) b) \(-352\,500\) c) \(5000\) d) \(20\,000\)

- Rechne am besten Schritt für Schritt von links nach rechts. - Achte besonders darauf, ob ein Minuszeichen als Vorzeichen oder als Rechenzeichen steht. - Was passiert, wenn zwei Minuszeichen direkt aufeinanderfolgen?

1. Schrittweise Berechnung von links nach rechts: \(72 - 115 = -43\). Anschließend \(-43 + 43 = 0\). 2. Berechnung der ersten Summe: \(-56 + 88 = 32\). Danach Subtraktion: \(32 - 32 = 0\). 3. Auflösen des doppelten Vorzeichens: \(105 + 45 - 200\). Zusammenfassen: \(150 - 200 = -50\).

a) \(0\) b) \(0\) c) \(-50\)

- Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor einer Klammer steht, in der ein negatives Ergebnis herauskommt? - Wenn du eine negative Zahl und eine positive Zahl addierst, kannst du den Unterschied der Beträge berechnen und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag setzen.

1. Berechnung des Werts in der Klammer: \(62 - 140 = -78\) 2. Einsetzen des Ergebnisses in den Gesamtterm unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel: \(-135 - (-78) = -135 + 78\) 3. Addition der Zahlen: \(-135 + 78 = -57\)

\(-57\)

- Was passiert mit zwei Minuszeichen, die direkt aufeinanderfolgen? - Wie verändert sich das Vorzeichen, wenn ein Plus und ein Minus aufeinandertreffen? - Schreibe den Term ohne die doppelten Vorzeichen neu auf, bevor du rechnest.

1. Auflösen der doppelten Vorzeichen: Aus \(-(-18)\) wird \(+18\) und aus \(+(-25)\) wird \(-25\). 2. Der vereinfachte Term lautet: \(-12 + 18 - 25\). 3. Berechnung von links nach rechts: \(-12 + 18 = 6\). 4. Abschließende Subtraktion: \(6 - 25 = -19\).

\( -19 \)

- Prüfe bei jedem Kästchen zuerst, ob es direkt zu einer Zahl gehört oder zwei vollständige Zahlenausdrücke verbindet. - Teste für das Kästchen nacheinander \(+\) und \(-\) und kontrolliere, welche Wahl die Gleichung erfüllt. - Ordne das eingesetzte Zeichen erst danach als Vorzeichen oder Rechenzeichen ein.

1. Im ersten Kästchen steht das Zeichen direkt vor der Zahl \(4\). Mit \(-\) entsteht \(10-(-4)=14\); das eingesetzte Minus ist ein Vorzeichen. 2. Im zweiten Kästchen steht das Zeichen zwischen zwei vollständigen Zahlenausdrücken. Mit \(+\) entsteht \((-3)+(+5)=2\); das eingesetzte Plus ist ein Rechenzeichen. 3. Im dritten Kästchen steht das Zeichen direkt vor der Zahl \(7\). Mit \(-\) entsteht \(8+(-7)=1\); das eingesetzte Minus ist ein Vorzeichen.

a) \(-\), Vorzeichen: \(10-(-4)=14\) b) \(+\), Rechenzeichen: \((-3)+(+5)=2\) c) \(-\), Vorzeichen: \(8+(-7)=1\)

- Unterscheide bei jedem sichtbaren Plus- oder Minuszeichen, ob es Vorzeichen einer Zahl oder Rechenzeichen ist. - Überlege, wie sich der Wert verändert, wenn eine negative Zahl subtrahiert wird. - Stelle dir die Aufgaben bei Bedarf an einem Thermometer oder auf einer Zahlengeraden vor: Führt die Rechnung nach links oder nach rechts?

1. In a) sind die beiden Minuszeichen Vorzeichen; das Plus zwischen den Klammern ist ein Rechenzeichen. Der Wert ist \(-100\). 2. In b) ist das erste Minus ein Vorzeichen, das mittlere Minus ein Rechenzeichen und das letzte Minus ein Vorzeichen. Der Wert ist \(-50\). 3. In c) ist das Plus ein Rechenzeichen und das Minus bei \(-25\) ein Vorzeichen. Der Wert ist \(50\). 4. In d) ist das erste Minus ein Rechenzeichen und das Minus bei \(-25\) ein Vorzeichen. Der Wert ist \(100\).

a) Vorzeichen \(-\), Rechenzeichen \(+\), Vorzeichen \(-\); Wert \(-100\) b) Vorzeichen \(-\), Rechenzeichen \(-\), Vorzeichen \(-\); Wert \(-50\) c) Rechenzeichen \(+\), Vorzeichen \(-\); Wert \(50\) d) Rechenzeichen \(-\), Vorzeichen \(-\); Wert \(100\)

- Unterscheide zuerst Rechenzeichen und Vorzeichen, bevor du zwei benachbarte Zeichen vereinfachst. - Frage dich bei jeder Klammer, ob darin eine positive oder negative Zahl steht. - Hier soll nur die Schreibweise vereinfacht werden; du musst die Zahlenwerte der Terme nicht berechnen.

1. Im ersten Term wird eine negative Zahl subtrahiert; die vereinfachte Zeichenstruktur ist \(8+5\). 2. Im zweiten Term wird die positive Zahl \(+7\) addiert; vereinfacht lautet der Term \(-3+7\). 3. Im dritten Term wird die negative Zahl \(-2\) addiert; vereinfacht lautet der Term \(6-2\).

a) \(8+5\) b) \(-3+7\) c) \(6-2\)

- Unterscheide das Rechenzeichen zwischen den Klammern vom Vorzeichen der Zahl in der Klammer. - Prüfe für eine Gleichung probeweise beide möglichen Rechenzeichen. - Kontrolliere danach, ob die vollständige Gleichung stimmt.

1. In der ersten Gleichung ist Subtraktion nötig: \(-18-(-7)=-18+7=-11\). 2. In der zweiten Gleichung ist ebenfalls Subtraktion nötig: \(25-(-5)=25+5=30\). 3. In der dritten Gleichung ist Subtraktion nötig: \(-40-(+10)=-50\). 4. In der vierten Gleichung ist Addition nötig: \(12+(-12)=0\).

a) \( - \) b) \( - \) c) \( - \) d) \( + \)

- Betrachte zuerst, welchen Gesamtbeitrag die Zahlen mit fehlendem Vorzeichen liefern müssen. - Teste mögliche Vorzeichen und prüfe die Rechenkette vollständig. - Achte darauf, dass jedes gesuchte Zeichen direkt zu der folgenden Zahl gehört.

1. In der ersten Rechenkette erfüllt die Wahl \(-100\) und \(+40\) die Vorgabe: \(-100+40-20=-80\). 2. In der zweiten Rechenkette müssen die beiden fehlenden Zahlen zusammen \(-40\) beitragen. Mit \(-30\) und \(-10\) gilt \(50-30-10=10\).

a) \( (-100) + (+40) + (-20) = -80 \) b) \( (+50) + (-30) + (-10) = +10 \)

- Entscheide bei jedem Kästchen zuerst, ob dort ein Vorzeichen oder ein Rechenzeichen fehlt. - Teste Kombinationen systematisch und prüfe jeweils die vollständige Gleichung. - Achte bei „alle Möglichkeiten“ darauf, keine zweite gültige Kombination zu übersehen.

1. In der ersten Gleichung erfüllt nur \((+8)-(-12)=20\) die Vorgabe. 2. In der zweiten Gleichung funktionieren zwei Kombinationen: \((-25)+(+15)=-10\) und \((-25)-(-15)=-10\). 3. In der dritten Gleichung erfüllt nur \((+40)-(+60)=-20\) die Vorgabe.

a) Vorzeichen \(+\), Rechenzeichen \(-\) b) Rechenzeichen \(+\), Vorzeichen \(+\), oder Rechenzeichen \(-\), Vorzeichen \(-\) c) Vorzeichen \(+\), Rechenzeichen \(-\)

- Versuche, die Sätze in eine mathematische Gleichung mit einem Platzhalter zu übersetzen. - Du kannst die fehlende Zahl finden, indem du die Umkehroperation nutzt. - Vergiss nicht, dein Ergebnis am Ende noch einmal in den Satz einzusetzen und nachzurechnen.

1. Im Teil a wird eine Zahl \(x\) gesucht, für die gilt: \(x + (-30) = -75\). Durch Umkehren der Rechnung erhält man \(x = -75 - (-30) = -75 + 30 = -45\). 2. Im Teil b wird eine Zahl \(y\) gesucht, für die gilt: \(-20 - y = 10\). Um \(y\) zu finden, rechnet man \(-20 - 10 = -30\). Zur Probe: \(-20 - (-30) = -20 + 30 = 10\).

a) \(-45\) b) \(-30\)

- Vereinfache zuerst die Zeichenstruktur des gesamten Terms, bevor du rechnest. - Achte besonders auf eine negative Zahl, die subtrahiert wird. - Kontrolliere nach dem Vereinfachen, ob jede Zahl weiterhin mit der richtigen Wirkung im Term steht.

1. Der erste Term wird zu \(-15+25+10\); daraus folgt \(20\). 2. Der zweite Term wird zu \(40-60-20\); daraus folgt \(-40\). 3. Der dritte Term wird zu \(-100+30-70\); daraus folgt \(-140\).

a) \(-15 + 25 + 10 = 20\) b) \(40 - 60 - 20 = -40\) c) \(-100 + 30 - 70 = -140\)

- Schreibe dir die Anweisungen Schritt für Schritt als eine lange Kette auf. - Achte darauf, dass „Subtrahiere eine negative Zahl“ zu einer Addition führt. - Gehe beim Rechnen logisch von vorne nach hinten vor.

1. Aufstellen des Terms: \(((-50) - (-30)) + (-45) - (+15)\). 2. Schrittweises Auflösen der Klammern: \(-50 + 30 - 45 - 15\). 3. Berechnung von links nach rechts: \(-50 + 30 = -20\); \(-20 - 45 = -65\); \(-65 - 15 = -80\).

Term: \(-50 - (-30) + (-45) - (+15)\) Vereinfacht: \(-50 + 30 - 45 - 15\) Ergebnis: \(-80\)

- Berechne immer zuerst den Wert auf der linken und auf der rechten Seite separat. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der Klammer. - Denke beim Vergleich an die Zahlengerade: Welche Zahl liegt weiter rechts? - Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl.

1. Im ersten Vergleich gilt links \(18-30=-12\) und rechts \(-18+30=12\); daher ist links kleiner. 2. Im zweiten Vergleich gilt links \(-50-(-20)=-30\) und rechts \(-50+20=-30\); beide Seiten sind gleich. 3. Im dritten Vergleich gilt links \(45-(10+50)=-15\) und rechts \(45-10-50=-15\); beide Seiten sind gleich. 4. Im vierten Vergleich gilt links \(-(25-5)=-20\) und rechts \(-25-5=-30\); daher ist links größer.

a) \(<\) b) \(=\) c) \(=\) d) \(>\)

- Rechne jeden Term sorgfältig von links nach rechts oder unter Beachtung der Klammern aus. - Achte auf die Vorzeichen der Teilergebnisse. - Gibt es einen Term, bei dem die Zahlen anders kombiniert oder verrechnet werden als bei den anderen? - Überprüfe dein Ergebnis für jeden Buchstaben doppelt.

1. Der erste Term ergibt \(-22+10-8=-20\). 2. Der zweite Term ergibt \(-22+(8-10)=-24\). 3. Der dritte Term ergibt \(10-(22+8)=-20\). 4. Der vierte Term ergibt \(-(22-10)-8=-20\). 5. Nur der zweite Term hat einen anderen Wert; er passt daher nicht in die Reihe.

Term B passt nicht in die Reihe, da sein Wert \(-24\) beträgt, während die anderen Terme den Wert \(-20\) haben.

- Schreibe die Aufgabe so um, dass zwischen den Zahlen nur noch ein Plus oder ein Minus steht. - Du kannst die Zahlen, die abgezogen werden, zuerst zusammenzählen und das Gesamtergebnis dann in einem Schritt abziehen. - Achte darauf, wie sich ein Minus vor einer Klammer auf das Vorzeichen in der vereinfachten Schreibweise auswirkt.

1. Vereinfachen der Schreibweise durch Auflösen der Klammern: \(675 - 280 - 145\). 2. Schrittweise Berechnung von links nach rechts: \(675 - 280 = 395\). 3. Abschließende Subtraktion: \(395 - 145 = 250\). Alternativ können die negativen Beträge zuerst addiert werden: \(675 - (280 + 145) = 675 - 425 = 250\).

\(250\)

- Gehe schrittweise vor und ersetze jede Klammer durch das passende Vorzeichen. - Es hilft oft, zuerst alle positiven Zahlen und dann alle negativen Zahlen zusammenzufassen. - Was passiert, wenn du von einer Zahl genau denselben Betrag wieder abziehst?

1. Umwandlung in die vereinfachte Schreibweise: \(1000 + 450 - 1250 - 200\). 2. Zusammenfassen der positiven Summanden: \(1000 + 450 = 1450\). 3. Zusammenfassen der negativen Terme: \(-1250 - 200 = -1450\). 4. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(1450 - 1450 = 0\).

\(0\)

- Berechne jeden Term einzeln Schritt für Schritt. - Achte besonders auf das Zusammentreffen von Rechenzeichen und Vorzeichen, wie bei \(-\,(- \dots)\) oder \(+\,(- \dots)\). - Vergleiche am Ende deine Ergebnisse und sortiere die Buchstaben der Terme.

1. Berechnung der Termwerte: \(A: 45 - (-5) = 45 + 5 = 50\) \(B: 45 + 5 = 50\) \(C: 45 + (-5) = 45 - 5 = 40\) \(D: 45 - 5 = 40\) \(E: 50 - 0 = 50\) \(F: 50 - 10 = 40\) 2. Gruppierung: Gruppe 1 (Wert 50): \(A, B, E\) Gruppe 2 (Wert 40): \(C, D, F\)

Die Terme \(A\), \(B\) und \(E\) haben den gleichen Wert \(50\). Die Terme \(C\), \(D\) und \(F\) haben den gleichen Wert \(40\).

- Überlege dir, welche Zahl du einsetzen musst, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt. - Nutze die Umkehroperationen, um die Unbekannte allein auf eine Seite zu bringen. - Was musst du zu einer negativen Zahl hinzufügen, damit sie „weniger negativ“ wird?

1. Lösung für a): Um \(x\) zu isolieren, wird auf beiden Seiten \(5000\) addiert (Umkehroperation zu \(-5000\)). Rechnung: \(x = -3500 + 5000\). Dies ergibt \(x = 5000 - 3500 = 1500\). 2. Lösung für b): Um \(x\) zu isolieren, wird auf beiden Seiten \(2000\) addiert. Rechnung: \(x = -10\,000 + 2000\). Da der negative Betrag größer ist, ist das Ergebnis negativ: \(-(10\,000 - 2000) = -8000\).

a) \(x = 1500\) b) \(x = -8000\)

- Überlege dir, ob das Vorzeichen der Zahl verändert wird, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. - „Subtrahiere \(x\) von \(y\)“ bedeutet mathematisch \(y - x\). - „Addiere \(x\) zu \(y\)“ bedeutet mathematisch \(y + x\). - Achte genau darauf, in welche Richtung du dich auf der Zahlengeraden bewegst.

1. Berechnung der Werte für die Kategorie \(-25\): (A) \(-40 + 15 = -25\) (B) \(-40 - (-15) = -40 + 15 = -25\) (F) \(-40 + 15 = -25\) (G) \(-40 - (-15) = -40 + 15 = -25\) 2. Berechnung der Werte für die Kategorie \(-55\): (C) \(-40 - 15 = -55\) (D) \(-40 + (-15) = -40 - 15 = -55\) (E) \(-40 - 15 = -55\)

Ergebnis \(-25\): (A), (B), (F), (G) Ergebnis \(-55\): (C), (D), (E)

- Unterscheide bei jeder Darstellung zwischen der Rechenhandlung und den Vorzeichen der beteiligten Zahlen. - Prüfe, ob tatsächlich eine negative Zahl subtrahiert wird oder ob eine andere Rechenidee vorliegt. - Vergleiche bei Teil c) die Rechenhandlung, nicht nur den Endwert.

1. Nur (C) enthält als ursprüngliche Rechenhandlung die Subtraktion der negativen Zahl \(-12\) von \(18\): \(18-(-12)\). 2. Die Gegenzahl von \(-12\) ist \(12\). Deshalb gilt \(18-(-12)=18+12=30\). 3. Zum Beispiel hat auch (A) den Wert \(30\), denn \(|-18|+|-12|=18+12=30\). Dort werden jedoch zwei Beträge addiert; es wird keine negative Zahl subtrahiert.

a) (C) b) \(18-(-12)=18+12=30\) c) Zum Beispiel (A): ebenfalls \(30\), aber dort werden Beträge addiert und keine negative Zahl subtrahiert.

- Kennzeichne gedanklich bei jedem sichtbaren Plus- oder Minuszeichen zuerst seine Rolle: Vorzeichen einer Zahl oder Rechenzeichen zwischen zwei Zahlen. - Bei einem negativen Subtrahenden musst du beide Minuszeichen getrennt interpretieren. - Entscheide erst über die Zeichenstruktur und führe danach die eigentliche Rechnung aus.

1. In a) ist das erste Minus das Vorzeichen von \(-12\,450\), das Plus zwischen den Zahlen ist ein Rechenzeichen. Es gilt \(-12\,450+5670=-6780\). 2. In b) ist das Minus zwischen \(34\,200\) und der Klammer ein Rechenzeichen; das Minus bei \(-8950\) ist ein Vorzeichen. Es gilt \(34\,200-(-8950)=34\,200+8950=43\,150\). 3. In c) ist das erste Minus das Vorzeichen von \(-7300\), das zweite Minus ist das Rechenzeichen der Subtraktion. Es gilt \(-7300-12\,800=-20\,100\). 4. In d) ist das Plus bei \(+10\,000\) ein Vorzeichen, das folgende Minus ein Rechenzeichen. Es gilt \((+10\,000)-100\,000=-90\,000\).

a) Vorzeichen \(-\); Rechenzeichen \(+\); Wert \(-6780\) b) Rechenzeichen \(-\); Vorzeichen \(-\); Wert \(43\,150\) c) Vorzeichen \(-\); Rechenzeichen \(-\); Wert \(-20\,100\) d) Vorzeichen \(+\); Rechenzeichen \(-\); Wert \(-90\,000\)

- Berechne in jeder Zeile beide Seiten getrennt, bevor du sie vergleichst. - Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem Subtrahieren einer positiven und einer negativen Zahl. - Vergleiche negative Ergebnisse anschließend über ihre Lage auf der Zahlengeraden.

1. Bei a) ergeben die beiden Terme \(-2300\) und \(-4700\). Daher gilt \(-2300>-4700\). 2. Bei b) ergibt die linke Seite \(-1250\). Rechts gilt \(-800-(-450)=-350\). Daher gilt \(-1250<-350\). 3. Bei c) ergibt die linke Seite \(-10\,000\), die rechte \(-11\,000\). Daher gilt \(-10\,000>-11\,000\). 4. Bei d) gilt \((-1000)-1=-1001\). Damit ist die linke Seite kleiner als \(0\).

a) \(>\) b) \(<\) c) \(>\) d) \(<\)

- Du kannst diese Aufgaben wie eine Waage betrachten oder die Umkehroperation verwenden. - Überlege dir: Was muss ich zu einer Zahl hinzufügen oder von ihr wegnehmen, um zum Zielergebnis zu gelangen? - Testweise kannst du eine geschätzte Zahl einsetzen und prüfen, ob das Ergebnis zu groß oder zu klein ist. - Achte darauf, wie sich Vorzeichen ändern, wenn du Zahlen von einer Seite der Gleichung auf die andere bringst.

1. Berechnung a): Um die Unbekannte zu finden, rechnet man \(-4000 - (-1500) = -4000 + 1500 = -2500\). 2. Berechnung b): Die gesuchte Zahl erhält man durch \(-2800 - (-1200) = -2800 + 1200 = -1600\). 3. Berechnung c): Subtraktion des Summanden vom Ergebnis: \(2100 - 5400 = -3300\). 4. Berechnung d): Die Gleichung lautet \(\dots + 750 = -250\). Umkehrung: \(-250 - 750 = -1000\).

a) \(-2500\) b) \(-1600\) c) \(-3300\) d) \(-1000\)

- Denke an die Regel „Klammer zuerst“. - Wie verändert ein Minuszeichen vor einer Klammer die Werte innerhalb der Klammer beim Auflösen? - Es hilft oft, zuerst das Ergebnis innerhalb einer Klammer zu bestimmen, bevor man weiterrechnet.

1. Berechnung des Klammerinhalts: \(112 - 250 = -138\). Anwendung der Vorzeichenregel: \(84 - (-138) = 84 + 138 = 222\). 2. Berechnung des Klammerinhalts: \(-44 + 19 = -25\). Einsetzen in den Term: \(-37 - 25 + 60 = -62 + 60 = -2\). 3. Ausrechnen beider Klammern: \((55 - 92) = -37\) und \((18 + 24) = 42\). Zusammenführen: \(-(-37) - 42 = 37 - 42 = -5\).

a) \(222\) b) \(-2\) c) \(-5\)

- Arbeite dich bei geschachtelten Klammern immer von innen nach außen vor. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse der einzelnen Klammern am besten unter die Aufgabe. - Achte genau auf die Vorzeichenregeln, wenn du eine Klammer auflöst.

1. Innere Klammer zuerst: \(14 - 50 = -36\). Eckige Klammer berechnen: \(32 - (-36) = 32 + 36 = 68\). Gesamtergebnis: \(15 - 68 = -53\). 2. Innere runde Klammer berechnen: \(-45 + 18 = -27\). Inhalt der eckigen Klammer bestimmen: \(-27 - (-12) = -27 + 12 = -15\). Letzter Schritt: \(-21 + (-15) = -21 - 15 = -36\).

a) \(-53\) b) \(-36\)

- Achte besonders auf die Vorzeichenregeln bei der Klammerauflösung. - Was ergibt \(15 - 60\)? Ist das Ergebnis positiv oder negativ? - Schrittweises Rechnen hilft, den Überblick bei mehreren Rechenzeichen zu behalten.

1. Zuerst wird der Ausdruck in der Klammer berechnet: \(15 - 60 = -45\). 2. Der Term lautet nun: \(-35 - (-45) + (-20)\). 3. Das Subtrahieren der negativen Zahl wird zur Addition: \(-35 + 45 = 10\). 4. Zum Schluss wird die letzte Zahl verrechnet: \(10 + (-20) = 10 - 20 = -10\).

\(-10\)

- Berechne zuerst die Werte in den beiden Klammern getrennt voneinander. - Achte besonders auf das doppelte Minuszeichen in der zweiten Klammer. - Addiere am Ende die beiden Ergebnisse unter Beachtung der Vorzeichen.

1. Berechnung der ersten Klammer: \(120 - 250 = -130\) 2. Vereinfachung der zweiten Klammer durch die Vorzeichenregel: \(85 - (-15) = 85 + 15\) 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(85 + 15 = 100\) 4. Zusammenführen der Teilergebnisse: \(-130 + 100 = -30\)

\(-30\)

- Arbeite bei verschachtelten Klammern von innen nach außen. - Achte auf jedes Minuszeichen vor einer Klammer. - Das Subtrahieren einer negativen Zahl entspricht dem Addieren ihrer Gegenzahl.

1. Berechnung der innersten runden Klammer: \(25 - 45 = -20\). 2. Einsetzen des Ergebnisses in die eckige Klammer: \(-30 - (-20)\). 3. Vereinfachung der eckigen Klammer durch Vorzeichenregeln: \(-30 + 20 = -10\). 4. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(80 - (-10) = 80 + 10 = 90\).

\(90\)

- Kannst du die Aufgabe in eine Umkehraufgabe verwandeln? - Überlege dir zuerst, ob die gesuchte Zahl positiv oder negativ sein muss, damit das Ergebnis Sinn ergibt. - Klammern können helfen: Schreibe die Rechnung ohne doppelte Vorzeichen um, bevor du löst.

1. Um den ersten Summanden zu finden, rechnet man die Summe minus den zweiten Summanden: \(-60 - (-35) = -60 + 35 = -25\). 2. Um den Subtrahend zu finden, rechnet man Minuend minus Differenz: \(-45 - (-15) = -45 + 15 = -30\). 3. Um den Minuend zu finden, addiert man die Differenz und den Subtrahend: \(5 + (-20) = 5 - 20 = -15\).

a) \(-25\) b) \(-30\) c) \(-15\)

- Berechne zuerst alle vier Ergebnisse einzeln. - Vergleiche die Ergebnisse anschließend auf der Zahlengeraden: Welche Zahl liegt weiter links? - Prüfe zum Schluss, ob deine Reihenfolge vom kleinsten zum größten Wert verläuft.

1. Der erste Term ergibt \(-110+(-40)=-150\). 2. Der zweite Term ergibt \(-110-(-40)=-70\). 3. Der dritte Term ergibt \(110+(-110)=0\). 4. Der vierte Term ergibt \(0-110=-110\). 5. Geordnet gilt \(-150<-110<-70<0\); entsprechend lautet die Reihenfolge der Aufgaben a), d), b), c).

a) \(-150\) b) \(-70\) c) \(0\) d) \(-110\) Reihenfolge: \(-150 < -110 < -70 < 0\) (a, d, b, c).

- Prüfe bei jedem Minuszeichen, was unmittelbar links und rechts davon steht. - Gehört das Zeichen direkt zu einer einzelnen Zahl oder verbindet es zwei Zahlenausdrücke? - Du musst den Term nicht ausrechnen, um die Rollen der Zeichen zu bestimmen.

1. Das erste Minus steht zwischen \(7\) und dem Zahlenausdruck \((-3)\). Es bezeichnet die Subtraktion und ist ein Rechenzeichen. 2. Das zweite Minus steht direkt bei der Zahl \(3\) in der Klammer. Es gehört zur Zahl \(-3\) und ist ihr Vorzeichen. 3. Jonas’ Aussage ist deshalb falsch: Die beiden gleich aussehenden Zeichen haben unterschiedliche Rollen.

Jonas liegt falsch. Das erste \(-\) ist ein Rechenzeichen; das zweite \(-\) ist das Vorzeichen der Zahl \(-3\).

- Unterscheide zuerst die beiden genannten Zahlen von der Rechenhandlung zwischen ihnen. - Ein Vorzeichen gehört direkt zu einer Zahl; ein Rechenzeichen verbindet zwei Zahlenausdrücke. - Kontrolliere nach dem Aufschreiben, ob dein Term wirklich „eine negative Zahl von einer negativen Zahl subtrahieren“ ausdrückt.

1. Die erste Zahl ist \(-4\); das Minus direkt vor der \(4\) ist ihr Vorzeichen. 2. Zwischen der ersten und der zweiten Zahl steht die Subtraktion; dieses Minus ist ein Rechenzeichen. 3. Die zweite Zahl ist \(-3\); das Minus direkt vor der \(3\) ist ihr Vorzeichen. Der Term lautet daher \((-4)-(-3)\). 4. Es gilt \((-4)-(-3)=(-4)+3=-1\).

Term: \((-4)-(-3)\) Erstes Minus: Vorzeichen; mittleres Minus: Rechenzeichen; drittes Minus: Vorzeichen. Wert: \(-1\)

- Überlege dir, wie sich das Ergebnis ändert, wenn du eine positive und eine negative Zahl addierst. - Welche zweistelligen Zahlen kannst du aus den gegebenen Ziffern bilden? - Wann wird ein Ergebnis einer Addition besonders groß oder besonders klein, wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind?

1. Um die Summe zu maximieren, wird die größtmögliche positive zweistellige Zahl mit der betragsmäßig kleinsten negativen zweistelligen Zahl kombiniert. Mit den Ziffern \(4,5,8,9\) ergibt sich \((+98)+(-45)=53\). 2. Um die Summe zu minimieren, werden die Vorzeichen vertauscht: \((-98)+(+45)=-53\).

a) \((+98) + (-45) = 53\) (oder \((-45) + (+98) = 53\)) b) \((-98) + (+45) = -53\) (oder \((+45) + (-98) = -53\))

- Teile die vier Ziffern systematisch in zwei Paare auf. - Bilde aus jedem Paar die möglichen zweistelligen Zahlen und vergleiche die Beträge. - Bei einer positiven und einer negativen Zahl liegt die Summe besonders nah bei \(0\), wenn ihre Beträge möglichst wenig voneinander abweichen.

1. Da die Vorzeichen \(+\) und \(-\) jeweils genau einmal verwendet werden, entsteht die Summe einer positiven und einer negativen zweistelligen Zahl. Der Abstand des Ergebnisses von \(0\) ist daher die Differenz der beiden Beträge. 2. Teile die Ziffern systematisch in zwei Paare und wähle innerhalb jedes Paares die günstigste Reihenfolge: - \(\{1,2\}\) und \(\{3,4\}\): kleinster Abstand \(|21-34|=13\). - \(\{1,3\}\) und \(\{2,4\}\): kleinster Abstand \(|31-24|=7\). - \(\{1,4\}\) und \(\{2,3\}\): kleinster Abstand \(|14-23|=9\). 3. Der kleinste mögliche Abstand von \(0\) ist somit \(7\). Mögliche Einsetzungen sind \((+31)+(-24)=7\) und \((-31)+(+24)=-7\); auch die vertauschte Reihenfolge der Summanden ist möglich.

\((+31) + (-24) = 7\) oder \((-31) + (+24) = -7\) (andere Anordnungen der Summanden sind möglich).

- Bestimme für jedes Beispiel getrennt die Gegenzahl und den Betrag. - Was geschieht beim Bilden der Gegenzahl mit einem Plus- oder Minuszeichen? - Welche besondere Rolle spielt die Zahl \(0\)?

1. Bei \(+7\) würde das Weglassen des Pluszeichens wieder \(7\) ergeben. Die Gegenzahl ist jedoch \(-7\). Leons Regel ist hier falsch. 2. Bei \(-12\) ergibt das Weglassen des Minuszeichens \(12\). Das ist sowohl die Gegenzahl als auch der Betrag von \(-12\). Die Regel funktioniert hier nur zufällig für beide Begriffe. 3. Die Gegenzahl von \(0\) ist \(0\), und auch der Betrag von \(0\) ist \(0\). Es gibt kein Vorzeichen, das man weglassen müsste. 4. Die Gegenzahl erhält man, indem man das Vorzeichen wechselt; bei \(0\) bleibt die Zahl unverändert. Der Betrag ist der Abstand zur Null und daher stets nicht negativ.

Sophie hat recht. Leons Regel ist keine allgemeine Regel für die Gegenzahl. Die Gegenzahl erhält man durch einen Vorzeichenwechsel, wobei \(0\) ihre eigene Gegenzahl ist. Der Betrag gibt den Abstand zur Null an. Nur bei einer negativ geschriebenen Zahl führt das Weglassen des Minuszeichens unmittelbar zu ihrem Betrag.