- Vergleiche die Richtungen der drei Verbindungen mit der Richtung von \(g\). - Welche Verbindung bildet mit \(g\) einen rechten Winkel? - Erst nachdem du das Lot gefunden hast, zählt die Länge dieser Strecke für den Abstand.

1. Die Gerade \(g\) verläuft waagerecht. Von den drei eingezeichneten Verbindungen verläuft \([PF]\) senkrecht zu \(g\). Deshalb ist \([PF]\) das Lot und \(F\) der Lotfußpunkt. 2. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge der Lotstrecke. 3. Die Strecke \([PF]\) ist im Gitternetz \(3\) Kästchen lang. Bei \(1\,\text{cm}\) pro Kästchen gilt daher \(d(P,g)=3\,\text{cm}\).

a) \([PF]\) ist das Lot; \(F\) ist der Lotfußpunkt. b) \(d(P,g)=3\,\text{cm}\), weil der Abstand entlang der senkrechten Lotstrecke gemessen wird.

- Ein Lot bildet mit der Geraden einen rechten Winkel. - Vergleiche die Richtungen der drei Strecken beim Auftreffen auf \(g\).

1. Ein Lot trifft die Gerade im rechten Winkel. 2. Die Strecke \([PB]\) verläuft senkrecht zur waagerechten Geraden \(g\). 3. Daher ist \([PB]\) das Lot von \(P\) auf \(g\).

\([PB]\)

- Erinnere dich daran, welchen Winkel ein Lot mit der Geraden bildet. - Vergleiche die Richtung jeder der drei Strecken mit der Richtung von \(g\). - Die kürzeste Verbindung zu einer Geraden ist nicht irgendeine schräge Strecke.

1. Ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade trifft die Gerade im rechten Winkel. 2. Die Strecke \([PB]\) steht senkrecht auf \(g\); die Strecken \([PA]\) und \([PC]\) treffen \(g\) schräg. 3. Deshalb ist \([PB]\) das Lot und zugleich die kürzeste Verbindung von \(P\) zu \(g\).

\([PB]\) ist das Lot und die kürzeste Verbindung.

- Prüfe bei a) und b), welche Koordinate jeweils gleich bleibt. - Bestimme für c) zuerst, ob die Gerade \(g\) waagerecht oder senkrecht verläuft. - Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird entlang des Lots, also der kürzesten Verbindung, gemessen.

1. Die Punkte \(A(1 \mid 2)\) und \(B(1 \mid 9)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate. Ihr Abstand beträgt daher \(9 - 2 = 7\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Die Punkte \(A(1 \mid 2)\) und \(C(6 \mid 2)\) haben dieselbe \(y\)-Koordinate. Ihr Abstand beträgt daher \(6 - 1 = 5\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Die Gerade \(g\) durch \(A\) und \(B\) ist die senkrechte Gerade mit \(x=1\). Das Lot von \(D(9 \mid 6)\) auf \(g\) verläuft waagerecht. Seine Länge beträgt \(9 - 1 = 8\,\text{Längeneinheiten}\).

a) \(7\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(5\,\text{Längeneinheiten}\) c) \(8\,\text{Längeneinheiten}\)

- Ein Lot von \(M\) auf eine Seite muss senkrecht zu dieser Seite verlaufen. - Prüfe bei jeder Seite, welche Koordinate des Lotfußpunkts mit \(M\) übereinstimmt. - Der Abstand ist die Länge der jeweiligen Lotstrecke.

1. Auf der Seite \([AB]\) liegt der Lotfußpunkt bei \(F_{AB}(5 \mid 2)\). 2. Auf \([BC]\) liegt er bei \(F_{BC}(8 \mid 5)\), auf \([CD]\) bei \(F_{CD}(5 \mid 8)\) und auf \([DA]\) bei \(F_{DA}(2 \mid 5)\). 3. Jede dieser Lotstrecken verläuft waagerecht oder senkrecht und hat die Länge \(3\) Längeneinheiten. 4. Der Abstand von \(M\) zu jeder der vier Seiten beträgt daher \(3\) Längeneinheiten.

a) \(F_{AB}(5 \mid 2)\), \(F_{BC}(8 \mid 5)\), \(F_{CD}(5 \mid 8)\), \(F_{DA}(2 \mid 5)\) b) Zu jeder Seite \(3\) Längeneinheiten.

- Überlege, welche Koordinate angibt, wie weit ein Punkt von der senkrechten Achse nach rechts verschoben ist. - Welche Koordinate beschreibt die Höhe eines Punktes über der waagerechten Achse? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er direkt auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Der Abstand von \(A\) zur \(y\)-Achse entspricht dem Betrag seines \(x\)-Wertes: \(7\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Der Abstand von \(A\) zur \(x\)-Achse entspricht dem Betrag seines \(y\)-Wertes: \(5\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Ein Punkt auf der \(y\)-Achse hat den \(x\)-Wert \(0\). Da \(B\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und sein Abstand zu ihr \(5\,\text{Längeneinheiten}\) beträgt, ist \(B(0 \mid 5)\). 4. Der Abstand von \(B(0 \mid 5)\) zum Ursprung beträgt \(5\,\text{Längeneinheiten}\).

a) \(7\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(5\,\text{Längeneinheiten}\) c) \(B(0 \mid 5)\); Abstand zum Ursprung: \(5\,\text{Längeneinheiten}\)

- Vergleiche zuerst die \(y\)-Koordinaten von \(C\) und \(D\). - Beim Abstand zur \(y\)-Achse ist die \(x\)-Koordinate wichtig. - Für die Länge von \([CD]\) liegen beide Punkte auf derselben Höhe.

1. Beide Punkte haben die \(y\)-Koordinate \(8\). Die Gerade \(h\) verläuft daher waagerecht und hat von der \(x\)-Achse den Abstand \(8\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Der Punkt \(C(2 \mid 8)\) hat von der \(y\)-Achse den Abstand \(2\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Für die Länge der Strecke \([CD]\) werden die \(x\)-Koordinaten verglichen: \(6-2=4\). Die Länge beträgt \(4\,\text{Längeneinheiten}\).

a) \(8\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(2\,\text{Längeneinheiten}\) c) \(4\,\text{Längeneinheiten}\)

- Skizziere die beiden parallelen Geraden und trage die Punkte ein. - Achte bei Punkt \(Q\) genau darauf, wo er sich im Verhältnis zu den beiden Geraden befindet. - Wie addieren oder subtrahieren sich Abstände bei parallelen Linien?

1. Da \(P\) in der Mitte liegt, halbiert er den Gesamtabstand: \(6\,\text{cm} : 2 = 3\,\text{cm}\). 2. Da \(Q\) außerhalb des Streifens liegt, befindet er sich auf der Seite von \(a\), die von \(b\) abgewandt ist. Sein Abstand zu \(b\) setzt sich somit aus dem Abstand zwischen \(a\) und \(b\) sowie seinem eigenen Abstand zu \(a\) zusammen: \(6\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\).

1. Der Abstand von \(P\) zu \(a\) beträgt \(3\,\text{cm}\). 2. Der Abstand von \(Q\) zu \(b\) beträgt \(7\,\text{cm}\).

- Der Abstand paralleler Geraden wird entlang einer Senkrechten gemessen. - Suche zuerst eine Rechtecksseite, die beide betrachteten Seiten senkrecht verbindet. - Bestimme anschließend die Länge dieser Lotstrecke aus den Koordinaten.

1. Zwischen \([AB]\) und \([CD]\) kann zum Beispiel \([AD]\) als Lotstrecke dienen. Sie steht auf beiden Seiten senkrecht. Ihre Länge ist \(6-1=5\) Längeneinheiten. 2. Zwischen \([AD]\) und \([BC]\) kann zum Beispiel \([AB]\) als Lotstrecke dienen. Ihre Länge ist \(11-2=9\) Längeneinheiten.

a) Zum Beispiel \([AD]\); Abstand \(5\) Längeneinheiten. b) Zum Beispiel \([AB]\); Abstand \(9\) Längeneinheiten.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt „direkt unter“ einem anderen Punkt liegt? - Wie misst man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erinnere dich an das Lot. - Zeichne dir die Situation zur Not skizzenhaft auf, um die Lage der Punkte zu verstehen.

1. Die Gerade \(g\) ist eine Parallele zur \(x\)-Achse im Abstand von \(2\) Einheiten. Der Punkt \(P\) hat die \(y\)-Koordinate \(7\). Der Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(7 - 2 = 5\). 2. Da \(Q\) direkt unter \(P\) auf der Geraden \(g\) liegt, besitzt \(Q\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(P\), also \(4\). Da \(Q\) auf \(g\) liegt, ist seine \(y\)-Koordinate \(2\). Somit gilt \(Q(4 \mid 2)\).

a) Der Abstand beträgt \(5\) Längeneinheiten. b) Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((4 \mid 2)\).

- Alle Wege verlaufen in die gleiche Richtung (parallel). Wie hängen die Abstände zusammen? - Kannst du die Abstände einfach durch Subtraktion der entsprechenden Koordinaten finden? - Überlege, ob man die Abstände addieren kann, um den Gesamtabstand zu erhalten.

1. Die Wege sind senkrechte Linien. Der Abstand zwischen \(w_1\) (\(x=3\)) und \(w_2\) (\(x=8\)) berechnet sich durch \(8 - 3 = 5\). 2. Der Abstand zwischen \(w_2\) (\(x=8\)) und \(w_3\) (\(x=15\)) berechnet sich durch \(15 - 8 = 7\). 3. Der Abstand zwischen den äußeren Wegen \(w_1\) (\(x=3\)) und \(w_3\) (\(x=15\)) berechnet sich durch \(15 - 3 = 12\) (oder durch Addition der Teilabstände: \(5 + 7 = 12\)).

Abstand \(w_1\) zu \(w_2\): \(5\) Längeneinheiten. Abstand \(w_2\) zu \(w_3\): \(7\) Längeneinheiten. Abstand \(w_1\) zu \(w_3\): \(12\) Längeneinheiten.

- Betrachte die Koordinaten der Punkte auf der Geraden. Fällt dir eine Gemeinsamkeit auf? - Überlege, ob die Gerade waagerecht oder senkrecht im Koordinatensystem liegt. - Wie misst man den kürzesten Weg von einem Punkt zu einer Geraden? - Welche Koordinate des Punktes \(P\) ist wichtig, um die Entfernung zur Geraden zu bestimmen?

1. Da beide Punkte \(A(4 \mid 2)\) und \(B(4 \mid 10)\) die gleiche \(x\)-Koordinate \(4\) besitzen, handelt es sich bei \(g\) um eine senkrechte Gerade mit der Gleichung \(x = 4\). 2. Der Abstand eines Punktes von einer senkrechten Geraden entspricht dem Unterschied der \(x\)-Werte. 3. Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P(1 \mid 6)\) ist \(1\). 4. Die Berechnung des Abstands ergibt: \(4 - 1 = 3\). Der Abstand beträgt somit \(3\,\text{LE}\).

Der Abstand beträgt \(3\,\text{LE}\).

- Schau dir die \(y\)-Werte der Punkte \(C\) und \(D\) an. Was bedeutet das für den Verlauf der Geraden? - Ist die Gerade parallel zur \(x\)-Achse oder zur \(y\)-Achse? - Denk an das Lot, das man von einem Punkt auf eine Gerade fällt. Wie lang ist diese Strecke hier?

1. Die Punkte \(C(2 \mid 5)\) und \(D(12 \mid 5)\) haben dieselbe \(y\)-Koordinate \(5\). Die Gerade \(h\) verläuft also waagerecht auf der Höhe \(y = 5\). 2. Der Abstand eines Punktes zu einer waagerechten Geraden ist die Differenz der \(y\)-Koordinaten. 3. Der Punkt \(Q(7 \mid 11)\) hat die \(y\)-Koordinate \(11\). 4. Die Differenz berechnet sich zu \(11 - 5 = 6\). Der Abstand beträgt \(6\,\text{LE}\).

Der Abstand beträgt \(6\,\text{LE}\).

- Was bedeutet der Begriff „Abstand“ bei zwei parallelen Geraden für alle möglichen Verbindungsstrecken? - Kann eine Verbindung zwischen den Geraden kürzer sein als ihr Abstand?

1. Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden ist die Länge ihrer kürzesten Verbindung. 2. Da der Abstand \(6\,\text{cm}\) beträgt, ist jede Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt auf \(k\) und einem Punkt auf \(l\) mindestens \(6\,\text{cm}\) lang. 3. Eine Länge von \(5\,\text{cm}\) ist kleiner als der minimale Abstand und daher unmöglich.

Nein. Die Strecke \([CD]\) kann nicht \(5\,\text{cm}\) lang sein, weil jede Verbindung zwischen den parallelen Geraden mindestens \(6\,\text{cm}\) lang ist.

- Entscheidend ist nicht, welche Strecke am kürzesten aussieht, sondern welche Bedingung ein Lot erfüllen muss. - Vergleiche in jeder Abbildung die Richtung von \([PF]\) mit der Richtung von \(g\). - Ein Lot und die zugehörige Gerade bilden am Lotfußpunkt einen rechten Winkel.

1. Ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade steht senkrecht auf dieser Geraden. 2. Nur in Abbildung b) bildet die Strecke \([PF]\) mit \(g\) einen rechten Winkel. 3. Daher ist \([PF]\) in b) die Lotstrecke und \(F\) dort der Lotfußpunkt.

b); dort gilt \([PF] \perp g\), also ist \(F\) der Lotfußpunkt.

- Suche die Verbindung, die mit \(g\) einen rechten Winkel bildet. - Nutze die Kästchen, um die Richtungen der Geraden und der drei Verbindungen zu vergleichen. - Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird nicht mit einer beliebigen Verbindungsstrecke bestimmt.

1. Die Gerade \(g\) steigt im Gitternetz in derselben Schrittweite nach rechts und nach oben. 2. Die Strecke \([PF]\) verläuft dazu senkrecht. Daher ist \([PF]\) das Lot von \(P\) auf \(g\), und \(F\) ist der Lotfußpunkt. 3. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird durch die Länge des Lots bestimmt. Deshalb ist von den drei eingezeichneten Verbindungen \([PF]\) die kürzeste. 4. Somit liegt \(F\) von den drei Punkten \(A\), \(F\) und \(B\) am nächsten bei \(P\).

a) \([PF]\) ist das Lot; \(F\) ist der Lotfußpunkt. b) \(F\) hat den kleinsten Abstand von \(P\), weil die Lotstrecke die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden ist.

- Welche Richtung hat die Gerade durch \(P\) und \(Q\)? - Welche Koordinate bleibt gleich, wenn zwei Punkte auf derselben senkrechten Gitterlinie liegen? - Derselbe Abstand von einer waagerechten Geraden ist oberhalb und unterhalb der Geraden möglich.

1. Die Gerade \(h\) verläuft waagerecht auf der Höhe \(y=5\). Der Punkt \(R\) hat die \(y\)-Koordinate \(8\). Der Abstand ist \(8-5=3\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Da \(S\) auf derselben senkrechten Gitterlinie wie \(R(6 \mid 8)\) liegt, muss seine \(x\)-Koordinate ebenfalls \(6\) sein. 3. Der Abstand zur Geraden \(y=5\) soll \(2\,\text{Längeneinheiten}\) betragen. Das ist oberhalb mit \(5+2=7\) oder unterhalb mit \(5-2=3\) möglich. Daher sind \(S_1(6 \mid 7)\) und \(S_2(6 \mid 3)\) möglich.

a) \(3\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(S_1(6 \mid 7)\) und \(S_2(6 \mid 3)\)

- Bestimme zuerst nacheinander die beiden Koordinaten des Punktes aus den gegebenen Abständen. - Wie hängen der Abstand zu einer Achse und der jeweilige Koordinatenwert zusammen? - Vergleiche anschließend die Höhe von \(S\) mit der Höhe der waagerechten Geraden \(g\).

1. Die \(x\)-Koordinate entspricht dem Abstand zur \(y\)-Achse: \(x=4\). 2. Die \(y\)-Koordinate entspricht dem Abstand zur \(x\)-Achse: \(y=4+3=7\). 3. Somit ist \(S(4 \mid 7)\). 4. Die Gerade \(g\) verläuft waagerecht auf der Höhe \(y=12\). 5. Der Abstand zwischen \(S\) und \(g\) beträgt \(12-7=5\,\text{cm}\).

a) \(S(4 \mid 7)\) b) \(5\,\text{cm}\)

- Die Punkte liegen auf zwei verschiedenen Parallelen zu \(m\). - Wann ist der Weg zwischen zwei parallelen Geraden am kürzesten? - Überlege, wie sich die Strecke \(RS\) verändert, wenn einer der Punkte entlang seiner Parallelen verschoben wird.

1. Da beide Punkte auf derselben Seite von \(m\) liegen, ist ihr kleinster möglicher Abstand die Differenz ihrer Abstände zu \(m\): \(5\,\text{cm}-2\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 2. Dieser kleinste Abstand wird erreicht, wenn \(R\) und \(S\) auf demselben Lot zu \(m\) liegen. 3. Liegen die Punkte nicht auf demselben Lot, ist \(RS\) länger als \(3\,\text{cm}\). Daher sind auch \(4\,\text{cm}\) möglich.

a) Die Strecke \(RS\) ist mindestens \(3\,\text{cm}\) lang. b) Ja. \(RS\) kann \(4\,\text{cm}\) lang sein, wenn \(R\) und \(S\) nicht auf demselben Lot zu \(m\) liegen.

- Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird entlang eines Lots gemessen. - Überlege bei b), welchen Winkel das Lot mit \(h\) bilden muss. - Prüfe beim Messen, dass du wirklich die Lotstrecke von \(P\) bis \(h\) misst.

1. Die Gerade \(g\) verläuft waagerecht auf der Höhe \(y=2\). Der Abstand von \(R(5 \mid 5)\) zu \(g\) beträgt \(5-2=3\,\text{cm}\). 2. Für das Lot auf \(h\) wird eine Gerade durch \(P\) konstruiert, die senkrecht auf \(h\) steht. Die Lotstrecke misst \(4{,}8\,\text{cm}\).

a) \(3\,\text{cm}\) b) \(4{,}8\,\text{cm}\)

- Was bedeutet der Begriff „Lot“ in der Geometrie? - Wie verläuft eine Linie, die senkrecht auf einer waagerechten Geraden steht? - Der Lotfußpunkt liegt auf \(g\) und auf dem Lot durch \(S\).

1. Die Gerade \(g\) verläuft waagerecht auf der Höhe \(y=1\). Der Abstand von \(S(6 \mid 5)\) zu \(g\) beträgt \(5-1=4\) Längeneinheiten. 2. Das Lot auf eine waagerechte Gerade verläuft senkrecht. Daher hat \(F\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(S\) und liegt auf \(g\). Somit gilt \(F(6 \mid 1)\). 3. \(A(2 \mid 1)\) und \(F(6 \mid 1)\) liegen auf einer waagerechten Linie. Ihr Abstand beträgt \(6-2=4\) Längeneinheiten.

a) Der Abstand beträgt \(4\) Längeneinheiten. b) Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten \(F(6 \mid 1)\). c) Der Abstand beträgt \(4\) Längeneinheiten.

- Der Punkt kann auf beiden Seiten von \(s\) liegen. - Prüfe den Fall zwischen den Geraden und den Fall außerhalb. - Wie hängen die drei Abstände in beiden Fällen zusammen?

1. Fall: Der Punkt \(A\) liegt im Bereich zwischen den beiden parallelen Geraden. Der Abstand zur Geraden \(t\) ergibt sich aus der Differenz des Gesamtabstands und des Abstands zu \(s\): \(8\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 2. Fall: Der Punkt \(A\) liegt außerhalb des Bereichs zwischen den Geraden auf der Seite von \(s\). Der Abstand zur Geraden \(t\) ist die Summe der Abstände: \(8\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\).

\(5\,\text{cm}\) oder \(11\,\text{cm}\)

- Überlege, ob \(P\) zwischen den beiden parallelen Geraden liegen kann. - Betrachte auch den Fall, dass beide Geraden auf derselben Seite von \(P\) liegen. - In welchem Fall werden die beiden gegebenen Abstände addiert, in welchem verglichen?

1. Liegen \(g\) und \(h\) auf verschiedenen Seiten von \(P\), addieren sich die beiden Abstände: \(2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 2. Liegen \(g\) und \(h\) auf derselben Seite von \(P\), ist ihr Abstand die Differenz: \(6\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\).

\(4\,\text{cm}\) oder \(8\,\text{cm}\)

- Der Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindung von \(P\) zur Geraden \(g\). - Vergleiche jede angegebene Länge mit diesem Mindestwert. - Überlege, wann eine Verbindung genau so lang wie der Abstand ist und wann sie länger sein kann.

1. Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist die Länge des Lotes, also der kürzesten Verbindung. Hier gilt \(d(P,g)=4\,\text{cm}\). 2. Für \(X\) ist \(|PX|=4\,\text{cm}\) möglich, wenn \([PX]\) die Lotstrecke ist. 3. Für \(Y\) ist \(|PY|=3\,\text{cm}\) unmöglich, weil diese Länge kleiner als der Abstand ist. 4. Für \(Z\) ist \(|PZ|=5\,\text{cm}\) möglich, wenn \([PZ]\) schräg zur Geraden \(g\) verläuft.

\(X\): möglich. \(Y\): nicht möglich. \(Z\): möglich.

- Welche besondere Bedeutung hat eine senkrechte Verbindung zwischen zwei parallelen Geraden? - Vergleiche die Lotstrecke mit einer schrägen Verbindungsstrecke. - Formuliere den Vergleich anschließend mit den beiden Streckenlängen.

1. Da \(a\parallel b\) und \([AC]\) senkrecht auf \(a\) steht, entspricht \(|AC|\) genau dem Abstand der beiden Geraden. Somit gilt \(|AC|=3\,\text{cm}\). 2. Jede Verbindung zwischen zwei parallelen Geraden, die kein Lot ist, ist länger als der Abstand. 3. Da \([BD]\) nicht senkrecht verläuft, gilt \(|BD|>|AC|\), also \(|BD|>3\,\text{cm}\).

a) \(|AC|=3\,\text{cm}\) b) \(|BD|>|AC|\), also \(|BD|>3\,\text{cm}\).

- Wann darf die Länge einer Verbindung zu \(g\) als Abstand von einem Punkt zu \(g\) verwendet werden? - Die Strichmarkierungen vergleichen die drei Teilstrecken \([PQ]\), \([QF]\) und \([FR]\). - Nutze, dass \([PF]\) aus zwei der gleich markierten Teilstrecken besteht.

1. Die Punkte \(P\), \(Q\), \(F\) und \(R\) liegen auf derselben Geraden, und diese steht in \(F\) senkrecht auf \(g\). Deshalb sind \([QF]\) und \([RF]\) Lotstrecken zu \(g\), und ihre Längen sind die gesuchten Abstände. 2. Die gleichen Strichmarkierungen zeigen \(|PQ|=|QF|=|FR|\). 3. Da \([PF]\) aus den beiden gleich langen Strecken \([PQ]\) und \([QF]\) besteht und \(|PF|=6\,\text{cm}\) gilt, ist \(|QF|=3\,\text{cm}\). 4. Wegen \(|FR|=|QF|\) gilt auch \(|FR|=3\,\text{cm}\). 5. Damit haben \(Q\) und \(R\) denselben Abstand \(3\,\text{cm}\) von \(g\), liegen aber auf verschiedenen Seiten der Geraden.

a) \([QF]\) und \([RF]\) sind Lotstrecken zu \(g\); deshalb geben ihre Längen die jeweiligen Abstände an. b) \(d(Q,g)=3\,\text{cm}\) und \(d(R,g)=3\,\text{cm}\) c) \(Q\) und \(R\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(g\) und haben denselben Abstand zu \(g\).

- Die Punkte liegen auf verschiedenen Seiten von \(g\). Was bedeutet das für jede Verbindung zwischen ihnen? - Wann ist die Verbindung zwischen zwei solchen Punkten am kürzesten? - Vergleiche die Mindestlänge mit den drei Aussagen.

1. Da die Punkte auf verschiedenen Seiten von \(g\) liegen, muss jede Verbindung von \(A\) nach \(B\) die Gerade schneiden. 2. Der kürzeste Weg entsteht entlang eines Lots. Dabei addieren sich die Abstände zu \(g\): \(4\,\text{cm}+2\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 3. Aussage a) ist wahr, weil \(6\,\text{cm}\) die kleinstmögliche Länge ist. 4. Aussage b) ist falsch, weil \(AB\) nicht kürzer als \(6\,\text{cm}\) sein kann. 5. Aussage c) ist wahr, weil die Mindestlänge nur erreicht wird, wenn \(A\) und \(B\) auf demselben Lot zu \(g\) liegen.

a) Wahr. \(AB\) ist mindestens \(6\,\text{cm}\) lang. b) Falsch. \(2\,\text{cm}\) sind nicht möglich. c) Wahr. Bei \(AB=6\,\text{cm}\) liegen \(A\) und \(B\) auf demselben Lot zu \(g\), also steht \(AB\) senkrecht auf \(g\).