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- Vergleiche die Richtungen der drei Verbindungen mit der Richtung von \(g\). - Welche Verbindung bildet mit \(g\) einen rechten Winkel? - Erst nachdem du das Lot gefunden hast, zählt die Länge dieser Strecke für den Abstand.

1. Die Gerade \(g\) verläuft waagerecht. Von den drei eingezeichneten Verbindungen verläuft \(PF\) senkrecht zu \(g\). Deshalb ist \(PF\) das Lot und \(F\) der Lotfußpunkt. 2. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist die Länge der Lotstrecke. 3. Die Strecke \(PF\) ist im Gitternetz \(3\) Kästchen lang. Bei \(1\,\text{cm}\) pro Kästchen gilt daher \(d(P,g)=3\,\text{cm}\).

a) \(PF\) ist das Lot; \(F\) ist der Lotfußpunkt. b) \(d(P,g)=3\,\text{cm}\), weil der Abstand entlang der senkrechten Lotstrecke gemessen wird.

- Ein Lot bildet mit der Geraden einen rechten Winkel. - Vergleiche die Richtungen der drei Strecken beim Auftreffen auf \(g\).

1. Ein Lot trifft die Gerade im rechten Winkel. 2. Die Strecke \([PB]\) verläuft senkrecht zur waagerechten Geraden \(g\). 3. Daher ist \([PB]\) das Lot von \(P\) auf \(g\).

\([PB]\)

- Erinnere dich daran, welchen Winkel ein Lot mit der Geraden bildet. - Vergleiche die Richtung jeder der drei Strecken mit der Richtung von \(g\). - Die kürzeste Verbindung zu einer Geraden ist nicht irgendeine schräge Strecke.

1. Ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade trifft die Gerade im rechten Winkel. 2. Die Strecke \([PB]\) steht senkrecht auf \(g\); die Strecken \([PA]\) und \([PC]\) treffen \(g\) schräg. 3. Deshalb ist \([PB]\) das Lot und zugleich die kürzeste Verbindung von \(P\) zu \(g\).

\([PB]\) ist das Lot und die kürzeste Verbindung.

- Prüfe bei a) und b), welche Koordinate jeweils gleich bleibt. - Bestimme für c) zuerst, ob die Gerade \(g\) waagerecht oder senkrecht verläuft. - Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird entlang des Lots, also der kürzesten Verbindung, gemessen.

1. Die Punkte \(A(1 \mid 2)\) und \(B(1 \mid 9)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate. Ihr Abstand beträgt daher \(9 - 2 = 7\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Die Punkte \(A(1 \mid 2)\) und \(C(6 \mid 2)\) haben dieselbe \(y\)-Koordinate. Ihr Abstand beträgt daher \(6 - 1 = 5\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Die Gerade \(g\) durch \(A\) und \(B\) ist die senkrechte Gerade mit \(x=1\). Das Lot von \(D(9 \mid 6)\) auf \(g\) verläuft waagerecht. Seine Länge beträgt \(9 - 1 = 8\,\text{Längeneinheiten}\).

a) \(7\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(5\,\text{Längeneinheiten}\) c) \(8\,\text{Längeneinheiten}\)

- Überlege, welche Koordinate angibt, wie weit ein Punkt von der senkrechten Achse nach rechts verschoben ist. - Welche Koordinate beschreibt die Höhe eines Punktes über der waagerechten Achse? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er direkt auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Der Abstand von \(A\) zur \(y\)-Achse entspricht dem Betrag seines \(x\)-Wertes: \(7\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Der Abstand von \(A\) zur \(x\)-Achse entspricht dem Betrag seines \(y\)-Wertes: \(5\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Ein Punkt auf der \(y\)-Achse hat den \(x\)-Wert \(0\). Da \(B\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt und sein Abstand zu ihr \(5\,\text{Längeneinheiten}\) beträgt, ist \(B(0 \mid 5)\). 4. Der Abstand von \(B(0 \mid 5)\) zum Ursprung beträgt \(5\,\text{Längeneinheiten}\).

a) \(7\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(5\,\text{Längeneinheiten}\) c) \(B(0 \mid 5)\); Abstand zum Ursprung: \(5\,\text{Längeneinheiten}\)

- Betrachte die \(y\)-Werte der Punkte \(C\) und \(D\). Was sagt das über den Verlauf der Geraden aus? - Wie liest man den Abstand eines Punktes zur senkrechten Achse direkt aus seinen Koordinaten ab? - Wenn zwei Punkte nebeneinander auf der gleichen Höhe liegen, wie bestimmt man dann ihre Entfernung zueinander?

1. Da beide Punkte denselben \(y\)-Wert \(8\) besitzen, verläuft die Gerade \(h\) waagerecht. Ihr Abstand zur \(x\)-Achse beträgt \(8\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Der Abstand von \(C(2 \mid 8)\) zur \(y\)-Achse beträgt \(2\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Die Länge der Strecke \(CD\) ist \(6 - 2 = 4\,\text{Längeneinheiten}\).

a) \(8\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(2\,\text{Längeneinheiten}\) c) \(4\,\text{Längeneinheiten}\)

- Skizziere die beiden parallelen Geraden und trage die Punkte ein. - Achte bei Punkt \(Q\) genau darauf, wo er sich im Verhältnis zu den beiden Geraden befindet. - Wie addieren oder subtrahieren sich Abstände bei parallelen Linien?

1. Da \(P\) in der Mitte liegt, halbiert er den Gesamtabstand: \(6\,\text{cm} : 2 = 3\,\text{cm}\). 2. Da \(Q\) außerhalb des Streifens liegt, befindet er sich auf der Seite von \(a\), die von \(b\) abgewandt ist. Sein Abstand zu \(b\) setzt sich somit aus dem Abstand zwischen \(a\) und \(b\) sowie seinem eigenen Abstand zu \(a\) zusammen: \(6\,\text{cm} + 1\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\).

1. Der Abstand von \(P\) zu \(a\) beträgt \(3\,\text{cm}\). 2. Der Abstand von \(Q\) zu \(b\) beträgt \(7\,\text{cm}\).

- Überlege, wie die Seiten im Koordinatensystem liegen. Sind sie waagerecht oder senkrecht? - Der Abstand zwischen zwei parallelen Linien im Rechteck entspricht genau der Länge der jeweils anderen Seite. - Wie kannst du die Länge einer Strecke berechnen, wenn die Punkte auf einer gemeinsamen Gitterlinie liegen?

1. Da die Seite \(AB\) auf der Geraden \(y = 1\) und die Seite \(CD\) auf der Geraden \(y = 6\) liegt, sind diese parallel. Der Abstand entspricht der Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(6 - 1 = 5\). 2. Da die Seite \(AD\) auf der Geraden \(x = 2\) und die Seite \(BC\) auf der Geraden \(x = 11\) liegt, sind diese ebenfalls parallel. Der Abstand entspricht der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(11 - 2 = 9\).

Der Abstand zwischen \(AB\) und \(CD\) beträgt \(5\) Längeneinheiten. Der Abstand zwischen \(AD\) und \(BC\) beträgt \(9\) Längeneinheiten.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Punkt „direkt unter“ einem anderen Punkt liegt? - Wie misst man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden? Erinnere dich an das Lot. - Zeichne dir die Situation zur Not skizzenhaft auf, um die Lage der Punkte zu verstehen.

1. Die Gerade \(g\) ist eine Parallele zur \(x\)-Achse im Abstand von \(2\) Einheiten. Der Punkt \(P\) hat die \(y\)-Koordinate \(7\). Der Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(7 - 2 = 5\). 2. Da \(Q\) direkt unter \(P\) auf der Geraden \(g\) liegt, besitzt \(Q\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(P\), also \(4\). Da \(Q\) auf \(g\) liegt, ist seine \(y\)-Koordinate \(2\). Somit gilt \(Q(4 \mid 2)\).

a) Der Abstand beträgt \(5\) Längeneinheiten. b) Der Punkt \(Q\) hat die Koordinaten \((4 \mid 2)\).

- Alle Wege verlaufen in die gleiche Richtung (parallel). Wie hängen die Abstände zusammen? - Kannst du die Abstände einfach durch Subtraktion der entsprechenden Koordinaten finden? - Überlege, ob man die Abstände addieren kann, um den Gesamtabstand zu erhalten.

1. Die Wege sind senkrechte Linien. Der Abstand zwischen \(w_1\) (\(x=3\)) und \(w_2\) (\(x=8\)) berechnet sich durch \(8 - 3 = 5\). 2. Der Abstand zwischen \(w_2\) (\(x=8\)) und \(w_3\) (\(x=15\)) berechnet sich durch \(15 - 8 = 7\). 3. Der Abstand zwischen den äußeren Wegen \(w_1\) (\(x=3\)) und \(w_3\) (\(x=15\)) berechnet sich durch \(15 - 3 = 12\) (oder durch Addition der Teilabstände: \(5 + 7 = 12\)).

Abstand \(w_1\) zu \(w_2\): \(5\) Längeneinheiten. Abstand \(w_2\) zu \(w_3\): \(7\) Längeneinheiten. Abstand \(w_1\) zu \(w_3\): \(12\) Längeneinheiten.

- Betrachte die Koordinaten der Punkte auf der Geraden. Fällt dir eine Gemeinsamkeit auf? - Überlege, ob die Gerade waagerecht oder senkrecht im Koordinatensystem liegt. - Wie misst man den kürzesten Weg von einem Punkt zu einer Geraden? - Welche Koordinate des Punktes \(P\) ist wichtig, um die Entfernung zur Geraden zu bestimmen?

1. Da beide Punkte \(A(4 \mid 2)\) und \(B(4 \mid 10)\) die gleiche \(x\)-Koordinate \(4\) besitzen, handelt es sich bei \(g\) um eine senkrechte Gerade mit der Gleichung \(x = 4\). 2. Der Abstand eines Punktes von einer senkrechten Geraden entspricht dem Unterschied der \(x\)-Werte. 3. Die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P(1 \mid 6)\) ist \(1\). 4. Die Berechnung des Abstands ergibt: \(4 - 1 = 3\). Der Abstand beträgt somit \(3\,\text{LE}\).

Der Abstand beträgt \(3\,\text{LE}\).

- Schau dir die \(y\)-Werte der Punkte \(C\) und \(D\) an. Was bedeutet das für den Verlauf der Geraden? - Ist die Gerade parallel zur \(x\)-Achse oder zur \(y\)-Achse? - Denk an das Lot, das man von einem Punkt auf eine Gerade fällt. Wie lang ist diese Strecke hier?

1. Die Punkte \(C(2 \mid 5)\) und \(D(12 \mid 5)\) haben dieselbe \(y\)-Koordinate \(5\). Die Gerade \(h\) verläuft also waagerecht auf der Höhe \(y = 5\). 2. Der Abstand eines Punktes zu einer waagerechten Geraden ist die Differenz der \(y\)-Koordinaten. 3. Der Punkt \(Q(7 \mid 11)\) hat die \(y\)-Koordinate \(11\). 4. Die Differenz berechnet sich zu \(11 - 5 = 6\). Der Abstand beträgt \(6\,\text{LE}\).

Der Abstand beträgt \(6\,\text{LE}\).

- Was bedeutet der Begriff „Abstand“ bei zwei parallelen Geraden für alle möglichen Verbindungsstrecken? - Kann eine Verbindung zwischen den Geraden kürzer sein als ihr Abstand?

1. Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden ist die Länge ihrer kürzesten Verbindung. 2. Da der Abstand \(6\,\text{cm}\) beträgt, ist jede Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt auf \(k\) und einem Punkt auf \(l\) mindestens \(6\,\text{cm}\) lang. 3. Eine Länge von \(5\,\text{cm}\) ist kleiner als der minimale Abstand und daher unmöglich.

Nein. Die Strecke \([CD]\) kann nicht \(5\,\text{cm}\) lang sein, weil jede Verbindung zwischen den parallelen Geraden mindestens \(6\,\text{cm}\) lang ist.

- Entscheidend ist nicht, welche Strecke am kürzesten aussieht, sondern welche Bedingung ein Lot erfüllen muss. - Vergleiche in jeder Abbildung die Richtung von \([PF]\) mit der Richtung von \(g\). - Ein Lot und die zugehörige Gerade bilden am Lotfußpunkt einen rechten Winkel.

1. Ein Lot von einem Punkt auf eine Gerade steht senkrecht auf dieser Geraden. 2. Nur in Abbildung b) bildet die Strecke \([PF]\) mit \(g\) einen rechten Winkel. 3. Daher ist b) die richtige Lotstrecke und \(F\) dort der Lotfußpunkt.

b); dort gilt \(PF \perp g\), also ist \(F\) der Lotfußpunkt.

- Suche die Verbindung, die mit \(g\) einen rechten Winkel bildet. - Nutze die Kästchen, um die Richtungen der Geraden und der drei Verbindungen zu vergleichen. - Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird nicht mit einer beliebigen Verbindungsstrecke bestimmt.

1. Die Gerade \(g\) steigt im Gitternetz in derselben Schrittweite nach rechts und nach oben. 2. Die Strecke \(PF\) verläuft dazu senkrecht. Daher ist \(PF\) das Lot von \(P\) auf \(g\), und \(F\) ist der Lotfußpunkt. 3. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden wird durch die Länge des Lots bestimmt. Deshalb ist von den drei eingezeichneten Verbindungen \(PF\) die kürzeste. 4. Somit liegt \(F\) von den drei Punkten \(A\), \(F\) und \(B\) am nächsten bei \(P\).

a) \(PF\) ist das Lot; \(F\) ist der Lotfußpunkt. b) \(F\) hat den kleinsten Abstand von \(P\), weil die Lotstrecke die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Geraden ist.

- Skizziere dir die Lage der Punkte im Kopf oder auf einem Schmierblatt. - Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn Punkte auf derselben „senkrechten Gitterlinie“ liegen? - Ein Punkt kann oberhalb oder unterhalb einer waagerechten Geraden liegen und denselben Abstand zu ihr haben.

1. Die Gerade \(h\) verläuft waagerecht auf der Höhe \(y = 5\). Der Punkt \(R\) hat die \(y\)-Koordinate \(8\). Der Abstand ist die Differenz der \(y\)-Werte: \(8 - 5 = 3\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Da \(S\) auf derselben senkrechten Gitterlinie wie \(R(6 \mid 8)\) liegt, muss die \(x\)-Koordinate von \(S\) ebenfalls \(6\) sein. 3. Der Abstand zur Geraden \(y = 5\) soll \(2\,\text{Längeneinheiten}\) betragen. Dies ist nach oben (\(5 + 2 = 7\)) oder nach unten (\(5 - 2 = 3\)) möglich. Die gesuchten Punkte sind \(S_1(6 \mid 7)\) und \(S_2(6 \mid 3)\).

a) \(3\,\text{Längeneinheiten}\) b) \(S_1(6 \mid 7)\) und \(S_2(6 \mid 3)\)

- Wie hängen die Seitenlänge eines Quadrats und der Abstand von der Mitte zu den Seiten zusammen? - Vergleiche die Koordinaten des Mittelpunkts mit den Koordinaten der Eckpunkte. - Rechne für jede Seite einzeln den Unterschied im \(x\)- oder \(y\)-Wert aus.

1. Die Seitenlänge ergibt sich aus dem Abstand von \(A(2 \mid 2)\) zu \(B(8 \mid 2)\): Da die \(y\)-Werte gleich sind, rechnet man \(8 - 2 = 6\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Die untere Seite \(AB\) liegt auf der Geraden \(y = 2\). Der Punkt \(M\) hat die \(y\)-Koordinate \(5\). Der Abstand ist \(5 - 2 = 3\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Die obere Seite \(CD\) liegt auf \(y = 8\). Abstand: \(8 - 5 = 3\,\text{Längeneinheiten}\). 4. Die linke Seite \(AD\) liegt auf \(x = 2\). Der Punkt \(M\) hat die \(x\)-Koordinate \(5\). Abstand: \(5 - 2 = 3\,\text{Längeneinheiten}\). 5. Die rechte Seite \(BC\) liegt auf \(x = 8\). Abstand: \(8 - 5 = 3\,\text{Längeneinheiten}\). Der Abstand zu allen Seiten beträgt somit einheitlich \(3\,\text{Längeneinheiten}\).

a) \(6\,\text{Längeneinheiten}\) b) Der Abstand beträgt zu jeder Seite \(3\,\text{Längeneinheiten}\).

- Bestimme zuerst nacheinander die beiden Koordinaten des Punktes aus den gegebenen Abständen. - Wie hängen der Abstand zu einer Achse und der jeweilige Koordinatenwert zusammen? - Stelle dir die Gerade \(g\) als eine waagerechte Linie vor. Wie weit liegt der Punkt \(S\) unterhalb dieser Linie?

1. Die \(x\)-Koordinate entspricht dem Abstand zur \(y\)-Achse: \(x = 4\). 2. Die \(y\)-Koordinate entspricht dem Abstand zur \(x\)-Achse: \(y = 4 + 3 = 7\). 3. Somit ergeben sich die Koordinaten \(S(4 \mid 7)\). 4. Die Gerade \(g\) verläuft waagerecht auf der Höhe \(y = 12\). 5. Der Abstand zwischen dem Punkt \(S\) (\(y\)-Wert \(7\)) und der Geraden \(g\) (\(y\)-Wert \(12\)) ist die Differenz der Werte: \(12 - 7 = 5\,\text{cm}\).

a) \(S(4 \mid 7)\) b) \(5\,\text{cm}\)

- Stelle dir zwei parallele Linien zur Geraden \(m\) vor, auf denen die Punkte liegen. - Was ist der kürzeste Weg zwischen diesen beiden Linien? - Überlege, was passiert, wenn du einen der Punkte entlang seiner Linie verschiebst. Wird die Strecke dann länger oder kürzer?

1. Da beide Punkte auf derselben Seite von \(m\) liegen, berechnet sich der minimale Abstand durch die Differenz der Abstände zur Geraden: \(5\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\). 2. Dieser minimale Abstand wird erreicht, wenn die Verbindungsstrecke \(RS\) senkrecht auf der Geraden \(m\) steht. 3. Wenn die Punkte \(R\) und \(S\) nicht auf demselben Lot zu \(m\) liegen, ist die Strecke \(RS\) länger als \(3\,\text{cm}\). Daher ist eine Länge von \(4\,\text{cm}\) möglich.

a) Die Strecke \(RS\) ist mindestens \(3\,\text{cm}\) lang. b) Ja, sie kann \(4\,\text{cm}\) lang sein, wenn die Punkte \(R\) und \(S\) „versetzt“ zueinander liegen (also nicht auf derselben Senkrechten zur Geraden \(m\)).

- Der gesuchte Abstand wird immer entlang einer Senkrechten zur gegebenen Geraden gemessen. - Lege beim Geodreieck die Grundlinie an die Gerade \(h\) und verschiebe es so, dass die senkrechte Mittellinie durch \(P\) verläuft. - Prüfe beim Messen, welche Strecke wirklich die kürzeste Verbindung von \(P\) zur Geraden ist.

1. Die Gerade \(g\) verläuft horizontal auf der Höhe \(y=2\). Der Abstand von \(R(5\mid 5)\) zu \(g\) beträgt \(5-2=3\,\text{cm}\). 2. Für das Lot auf \(h\) wird eine Gerade durch \(P\) konstruiert, die senkrecht auf \(h\) steht. Die gemessene Lotstrecke beträgt etwa \(4{,}8\,\text{cm}\).

a) Der Abstand beträgt \(3\,\text{cm}\). b) Der gemessene Abstand beträgt etwa \(4{,}8\,\text{cm}\).

- Wenn ein Punkt auf einer senkrechten Geraden liegt, was weißt du dann über seine \(x\)-Koordinate? - Ein Punkt kann in zwei verschiedene Richtungen auf einer Geraden von einem anderen Punkt entfernt sein. - Abstände auf Gitterlinien kannst du einfach durch Abzählen oder Subtrahieren finden.

1. Die Punkte \(P(2 \mid 5)\) und \(Q(2 \mid 10)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate, liegen also auf einer senkrechten Geraden. Die Länge der Strecke \(PQ\) ergibt sich aus der Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(10 - 5 = 5\). Die Länge beträgt \(5\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Da \(R\) auf der Geraden \(h\) liegt, muss seine \(x\)-Koordinate ebenfalls \(2\) sein. Um einen Abstand von \(3\,\text{Längeneinheiten}\) zum Punkt \(P(2 \mid 5)\) zu haben, muss die \(y\)-Koordinate von \(R\) entweder um \(3\) größer oder um \(3\) kleiner als \(5\) sein. Dies führt zu \(5 + 3 = 8\) und \(5 - 3 = 2\). Die möglichen Koordinaten sind somit \(R_1(2 \mid 8)\) und \(R_2(2 \mid 2)\).

a) Die Länge beträgt \(5\,\text{Längeneinheiten}\). b) Der Punkt \(R\) kann die Koordinaten \((2 \mid 8)\) oder \((2 \mid 2)\) haben.

- Was bedeutet der Begriff „Lot“ in der Geometrie? - Wie verläuft eine Linie, die senkrecht auf einer waagerechten Geraden steht? - Der Lotfußpunkt ist der Punkt auf der Geraden, der dem Punkt \(S\) am nächsten liegt.

1. Die Gerade \(g\) verläuft horizontal auf der Höhe \(y = 1\). Der Abstand des Punktes \(S(6 \mid 5)\) zur Geraden ist der vertikale Abstand zur Höhe \(y = 1\), also \(5 - 1 = 4\). Der Abstand beträgt \(4\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Das Lot von einem Punkt auf eine horizontale Gerade ist eine senkrechte Strecke. Daher hat der Lotfußpunkt \(F\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(S\). Da \(F\) auf der Geraden \(g\) liegen muss, ist seine \(y\)-Koordinate \(1\). Somit gilt \(F(6 \mid 1)\). 3. Der Abstand zwischen \(A(2 \mid 1)\) und \(F(6 \mid 1)\) liegt auf einer horizontalen Linie. Er berechnet sich aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(6 - 2 = 4\). Der Abstand beträgt \(4\,\text{Längeneinheiten}\).

a) Der Abstand beträgt \(4\,\text{Längeneinheiten}\). b) Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten \(F(6 \mid 1)\). c) Der Abstand beträgt \(4\,\text{Längeneinheiten}\).

- Stelle dir vor, wo der Punkt im Verhältnis zu den beiden Geraden liegen kann. - Gibt es nur eine Seite von der Geraden \(s\), auf der der Punkt liegen könnte? - Überlege dir, ob der Punkt zwischen den Geraden oder außerhalb liegen muss.

1. Fall: Der Punkt \(A\) liegt im Bereich zwischen den beiden parallelen Geraden. Der Abstand zur Geraden \(t\) ergibt sich aus der Differenz des Gesamtabstands und des Abstands zu \(s\): \(8\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 5\,\text{cm}\). 2. Fall: Der Punkt \(A\) liegt außerhalb des Bereichs zwischen den Geraden auf der Seite von \(s\). Der Abstand zur Geraden \(t\) ist die Summe der Abstände: \(8\,\text{cm} + 3\,\text{cm} = 11\,\text{cm}\).

\(5\,\text{cm}\) oder \(11\,\text{cm}\)

- Kannst du dir die Lage der Geraden relativ zum Punkt vorstellen? - Versuche, die Situation grob zu skizzieren. - Was passiert mit dem Abstand der Geraden, wenn der Punkt genau dazwischen liegt oder wenn er ganz weit weg von beiden ist?

1. Möglichkeit: Die Geraden \(g\) und \(h\) liegen auf verschiedenen Seiten des Punktes \(P\). Der Abstand der Geraden entspricht der Summe der Einzelabstände: \(2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 8\,\text{cm}\). 2. Möglichkeit: Die Geraden \(g\) und \(h\) liegen auf derselben Seite des Punktes \(P\). Der Abstand der Geraden entspricht der Differenz der Einzelabstände: \(6\,\text{cm} - 2\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\).

\(4\,\text{cm}\) oder \(8\,\text{cm}\)

- Der Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindung von \(P\) zur Geraden \(g\). - Vergleiche jede angegebene Länge mit diesem Mindestwert. - Überlege, wann eine Verbindung genau so lang wie der Abstand ist und wann sie länger sein kann.

1. Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden ist die Länge des Lotes, also der kürzesten Verbindung. Hier gilt \(d(P,g)=4\,\text{cm}\). 2. Für \(X\) ist \(|PX|=4\,\text{cm}\) möglich, wenn \([PX]\) die Lotstrecke ist. 3. Für \(Y\) ist \(|PY|=3\,\text{cm}\) unmöglich, weil diese Länge kleiner als der Abstand ist. 4. Für \(Z\) ist \(|PZ|=5\,\text{cm}\) möglich, wenn \([PZ]\) schräg zur Geraden \(g\) verläuft.

\(X\): möglich. \(Y\): nicht möglich. \(Z\): möglich.

- Welche besondere Bedeutung hat eine senkrechte Verbindung zwischen zwei parallelen Geraden? - Vergleiche die Lotstrecke mit einer schrägen Verbindungsstrecke. - Formuliere den Vergleich anschließend mit den beiden Streckenlängen.

1. Da \(a\parallel b\) und \([AC]\) senkrecht auf \(a\) steht, entspricht \(|AC|\) genau dem Abstand der beiden Geraden. Somit gilt \(|AC|=3\,\text{cm}\). 2. Jede Verbindung zwischen zwei parallelen Geraden, die kein Lot ist, ist länger als der Abstand. 3. Da \([BD]\) nicht senkrecht verläuft, gilt \(|BD|>|AC|\), also \(|BD|>3\,\text{cm}\).

a) \(|AC|=3\,\text{cm}\) b) \(|BD|>|AC|\), also \(|BD|>3\,\text{cm}\).

- Prüfe zuerst, welche besondere Richtung die Gerade \(AB\) hat. - Für den Abstand reicht dann die senkrechte Änderung von \(C\) zur Höhe von \(AB\). - Beschreibe für Teil b) die Verschiebung von \(B\) nach \(C\) und übertrage sie auf \(A\). - Der gesuchte Punkt muss zugleich auf der Parallelen durch \(C\) liegen.

1. Weil \(A\) und \(B\) beide die \(y\)-Koordinate \(2\) haben, ist \(AB\) die waagerechte Gerade \(y=2\). 2. Der Punkt \(C\) hat die \(y\)-Koordinate \(6\). Sein Abstand von \(AB\) beträgt daher \(6-2=4\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Die Parallele zu \(AB\) durch \(C\) ist die waagerechte Gerade \(y=6\). 4. Von \(B(8 \mid 2)\) nach \(C(5 \mid 6)\) geht man \(3\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach oben. Dieselbe Verschiebung von \(A(3 \mid 2)\) aus führt zum Punkt \((0 \mid 6)\). 5. Dieser Punkt liegt auf beiden gesuchten Parallelen und ist daher ihr Schnittpunkt.

a) \(4\,\text{Längeneinheiten}\) b) \((0 \mid 6)\)

- Wann darf die Länge einer Verbindung zu \(g\) als Abstand von einem Punkt zu \(g\) verwendet werden? - Die Strichmarkierungen vergleichen die drei Teilstrecken \(PQ\), \(QF\) und \(FR\). - Nutze, dass \(PF\) aus zwei der gleich markierten Teilstrecken besteht.

1. Die Punkte \(P\), \(Q\), \(F\) und \(R\) liegen auf derselben Geraden, und diese steht in \(F\) senkrecht auf \(g\). Deshalb sind \(QF\) und \(RF\) Lotstrecken zu \(g\) und ihre Längen die gesuchten Abstände. 2. Die gleichen Strichmarkierungen zeigen \(|PQ|=|QF|=|FR|\). 3. Da \(PF\) aus den beiden gleich langen Strecken \(PQ\) und \(QF\) besteht und \(|PF|=6\,\text{cm}\) gilt, ist \(|QF|=3\,\text{cm}\). 4. Wegen \(|FR|=|QF|\) gilt auch \(|FR|=3\,\text{cm}\). 5. Damit haben \(Q\) und \(R\) denselben Abstand \(3\,\text{cm}\) von \(g\), liegen aber auf verschiedenen Seiten der Geraden.

a) \(QF\) und \(RF\) sind Lotstrecken zu \(g\); deshalb geben ihre Längen die jeweiligen Abstände an. b) \(d(Q,g)=3\,\text{cm}\) und \(d(R,g)=3\,\text{cm}\) c) \(Q\) und \(R\) liegen auf verschiedenen Seiten von \(g\) und haben denselben Abstand zu \(g\).

- Was bedeutet es für den Weg zwischen zwei Punkten, wenn sie auf verschiedenen Seiten einer Linie liegen? - Wann ist der Weg zwischen zwei Punkten am kürzesten? - Überlege dir, wie die Abstände zur Geraden gemessen werden.

1. Da die Punkte auf verschiedenen Seiten liegen, muss jede Verbindung die Gerade \(g\) kreuzen. Der kürzeste Weg von \(A\) nach \(g\) ist \(4\,\text{cm}\) (Lot), und von \(g\) nach \(B\) sind es \(2\,\text{cm}\) (Lot). 2. Die minimale Gesamtlänge der Strecke \(AB\) ist die Summe der Abstände: \(4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 3. Aussage a) ist wahr, da die Summe der Lotstrecken die kleinstmögliche Entfernung darstellt. 4. Aussage b) ist falsch, da \(AB\) mindestens \(6\,\text{cm}\) lang sein muss. 5. Aussage c) ist wahr, da die minimale Entfernung nur erreicht wird, wenn beide Punkte auf derselben Senkrechten (Lot) zu \(g\) liegen.

a) Wahr. Da sie auf verschiedenen Seiten liegen, ist die Summe der Abstände (\(6\,\text{cm}\)) die kleinstmögliche Länge. b) Falsch. Die Strecke muss mindestens \(6\,\text{cm}\) lang sein. c) Wahr. Die Mindestlänge von \(6\,\text{cm}\) wird nur erreicht, wenn die Strecke ohne Umwege (also senkrecht) über die Gerade führt.