- Lies die Zahlen an den äußersten Enden des Rechenbaums ab. - Prüfe, welche dieser Endzahlen Primzahlen sind. - Zähle anschließend, wie oft jede Primzahl vorkommt.

1. An den Enden des Rechenbaums stehen \(2\), \(2\), \(3\) und \(3\). 2. Damit kommen die Primzahlen \(2\) und \(3\) jeweils zweimal vor.

Die Primfaktoren sind \(2\) und \(3\). Beide kommen jeweils zweimal vor.

- Gruppiere gleiche Primfaktoren. - Der Exponent gibt an, wie oft derselbe Faktor in der Multiplikation vorkommt. - Schreibe für jede Gruppe genau eine Potenz.

1. Der Primfaktor \(2\) kommt dreimal vor und wird zu \(2^3\) zusammengefasst. 2. Der Primfaktor \(3\) kommt zweimal vor und wird zu \(3^2\) zusammengefasst. 3. Damit lautet die Primfaktorzerlegung \(72 = 2^3 \cdot 3^2\).

\(72 = 2^3 \cdot 3^2\)

- Beginne mit irgendeinem Faktorenpaar von \(18\), bei dem beide Faktoren größer als \(1\) sind. - Prüfe jeden entstandenen Faktor: Ist er prim oder musst du ihn weiter zerlegen? - Fertig bist du erst, wenn nur noch Primzahlen als Faktoren stehen.

1. Zum Beispiel kann man mit \(18=3\cdot6\) beginnen. 2. \(3\) ist prim, aber \(6\) ist zusammengesetzt. Es gilt \(6=2\cdot3\). 3. Nun sind alle Faktoren prim. Daher lautet die vollständige Primfaktorzerlegung \(18=2\cdot3\cdot3=2\cdot3^2\). 4. Auch ein anderer erster Zerlegungsschritt führt zu denselben Primfaktoren.

Zum Beispiel: \(18=3\cdot6=3\cdot2\cdot3=2\cdot3^2\). Andere Rechenwege sind möglich.

- Prüfe die beiden Faktoren \(5\) und \(6\) darauf, ob sie Primzahlen sind. - Nur ein zusammengesetzter Faktor muss noch weiter zerlegt werden. - Fertig bist du, wenn jeder Faktor prim ist.

1. Die Zerlegung ist noch nicht fertig, weil \(6\) keine Primzahl ist. 2. Es gilt \(6=2\cdot3\). 3. Nun sind \(5\), \(2\) und \(3\) alle prim. Daher lautet die vollständige Primfaktorzerlegung \(30=2\cdot3\cdot5\).

a) \(6\) ist zusammengesetzt. b) \(6=2\cdot3\) c) \(30=2\cdot3\cdot5\)

- In einer Primfaktorzerlegung dürfen als Faktoren nur Primzahlen vorkommen. - Prüfe bei jeder Antwortmöglichkeit sowohl die verwendeten Faktoren als auch ihr Produkt. - Vergleiche das Ergebnis schließlich mit \(720\).

1. Zerlege \(720\) zunächst zum Beispiel als \(720=72\cdot10\). 2. Es gilt \(72=8\cdot9=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\) und \(10=2\cdot5\). 3. Zusammengefasst ergibt das \(720=2^4\cdot3^2\cdot5\). Damit ist d) korrekt.

d) \(2^4\cdot3^2\cdot5\)

- Was ist eine Primzahl? - Kannst du die Zahlen schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen übrig sind? - Wie oft kommt jede Primzahl in der Zerlegung vor? - Schau dir die Listen der Primfaktoren nebeneinander an.

1. \(60=2\cdot30=2\cdot2\cdot15=2^2\cdot3\cdot5\). 2. \(126=2\cdot63=2\cdot3\cdot21=2\cdot3^2\cdot7\). 3. \(270=2\cdot135=2\cdot3\cdot45=2\cdot3^3\cdot5\). 4. In allen drei Zerlegungen kommen die Primfaktoren \(2\) und \(3\) vor.

\(60=2^2\cdot3\cdot5\) \(126=2\cdot3^2\cdot7\) \(270=2\cdot3^3\cdot5\) Gemeinsame Primfaktoren: \(2\) und \(3\).

- Lies in jedem Faktorbaum nur die Zahlen an den Enden der Äste ab. - Gruppiere gleiche Primfaktoren und schreibe Wiederholungen als Potenz. - Vergleiche anschließend nicht die Zwischenknoten, sondern die Primfaktoren an den Enden beider Faktorbäume.

1. Im ersten Faktorbaum enden die Äste bei drei Faktoren \(2\) und zwei Faktoren \(3\). Daher gilt \(72=2^3\cdot3^2\). 2. Im zweiten Faktorbaum enden die Äste ebenfalls bei drei Faktoren \(2\) und zwei Faktoren \(3\). Daher ergibt sich wieder \(72=2^3\cdot3^2\). 3. Bei \(72\) kann die erste Zerlegung verschieden gewählt werden. In den beiden gezeigten Faktorbäumen erhält man nach vollständigem Weiterzerlegen dieselben Primfaktoren.

a) Beide Faktorbäume ergeben \(72=2^3\cdot3^2\). b) Bei \(72\) führen die beiden gezeigten ersten Faktorzerlegungen nach vollständigem Weiterzerlegen zu denselben Primfaktoren.

- Prüfe bei der aktuellen Zahl die kleinen Primzahlen der Reihe nach und wähle die erste, die ohne Rest teilt. - Wiederhole dieses Vorgehen mit jedem neuen Quotienten, bis \(1\) erreicht ist. - Die Primfaktorzerlegung enthält genau die Primzahlen, durch die du auf dem Weg bis \(1\) geteilt hast.

1. \(180 : 2 = 90\). 2. \(90 : 2 = 45\). 3. \(45 : 3 = 15\). 4. \(15 : 3 = 5\). 5. \(5 : 5 = 1\). 6. Die verwendeten Primteiler sind \(2\), \(2\), \(3\), \(3\) und \(5\). Daher gilt \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\).

\(180 : 2 = 90\) \(90 : 2 = 45\) \(45 : 3 = 15\) \(15 : 3 = 5\) \(5 : 5 = 1\) \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\)

- Multipliziere die Faktoren in jeder Zeile wieder zusammen. - Prüfe anschließend jeden einzelnen Faktor darauf, ob er prim ist. - Vergleiche nicht die Reihenfolge, sondern welche Primfaktoren wie oft vorkommen.

1. Für Tom gilt \(2\cdot2\cdot3\cdot7=84\). 2. Für Lea gilt \(7\cdot3\cdot2\cdot2=84\). 3. In beiden Produkten sind alle Faktoren Primzahlen. Deshalb sind beide Primfaktorzerlegungen vollständig. 4. Beide Zerlegungen enthalten dieselben Primfaktoren mit denselben Häufigkeiten. Nur ihre Reihenfolge ist verschieden. Die Reihenfolge verändert die Primfaktorzerlegung nicht.

a) Beide Produkte ergeben \(84\). b) Beide Zerlegungen sind vollständig, weil alle Faktoren Primzahlen sind. c) Die Reihenfolge der Primfaktoren ändert die Zerlegung nicht.

- Berechne in a) das Produkt der gegebenen Primfaktoren. - Überlege in b), welcher neue Primfaktor beim Multiplizieren mit \(5\) hinzukommt. - Verbinde in c) die Endziffernregel für \(5\) mit der Definition einer Primzahl.

1. Es gilt \(n=2^2\cdot3\cdot7=4\cdot3\cdot7=84\). 2. Das Fünffache von \(n\) erhält einen zusätzlichen Primfaktor \(5\). Seine Primfaktorzerlegung lautet daher \(2^2\cdot3\cdot5\cdot7\). 3. Jede Zahl mit Endziffer \(5\) ist durch \(5\) teilbar. Ist sie größer als \(5\), dann sind mindestens \(1\), \(5\) und die Zahl selbst verschiedene positive Teiler. Sie kann deshalb keine Primzahl sein.

a) \(n=84\) b) \(2^2\cdot3\cdot5\cdot7\) c) Eine Zahl mit Endziffer \(5\), die größer als \(5\) ist, ist durch \(5\) teilbar und besitzt daher außer \(1\) und sich selbst noch den Teiler \(5\). Sie ist nicht prim.

- Nach der Primfaktorzerlegung entscheidest du für jeden der drei verschiedenen Primfaktoren, ob er in einem Teiler vorkommt oder nicht. - Ordne deine Produkte danach, ob du keinen, einen, zwei oder drei Primfaktoren verwendest. - Prüfe, ob jede mögliche Auswahl genau einmal vorkommt.

1. Die Primfaktorzerlegung lautet \(130 = 2 \cdot 5 \cdot 13\). 2. Aus keiner gewählten Primzahl entsteht der Teiler \(1\). 3. Aus genau einem Primfaktor entstehen \(2\), \(5\) und \(13\). 4. Aus zwei Primfaktoren entstehen \(2 \cdot 5 = 10\), \(2 \cdot 13 = 26\) und \(5 \cdot 13 = 65\). 5. Aus allen drei Primfaktoren entsteht \(2 \cdot 5 \cdot 13 = 130\). 6. Damit ist \(T(130)=\{1;2;5;10;13;26;65;130\}\), also hat \(130\) insgesamt \(8\) Teiler.

a) \(130 = 2 \cdot 5 \cdot 13\) b) \(1\); \(2\); \(5\); \(13\); \(2 \cdot 5 = 10\); \(2 \cdot 13 = 26\); \(5 \cdot 13 = 65\); \(2 \cdot 5 \cdot 13 = 130\). Also \(T(130)=\{1;2;5;10;13;26;65;130\}\). c) \(8\) Teiler

- Schreibe für beide Zahlen die vollständige Teilermenge auf. - Vergleiche die Primfaktoren der beiden Zahlen. Was fällt dir auf? - Überlege, was passiert, wenn man zwei gleiche Zahlen miteinander multipliziert im Vergleich zu zwei verschiedenen.

1. Bestimmung der Teiler von \(6\): Die Faktoren sind \(2\) und \(3\). Teiler sind \(1, 2, 3, 6\). Das sind \(4\) Teiler. 2. Bestimmung der Teiler von \(9\): Die Faktoren sind \(3\) und \(3\). Teiler sind \(1, 3, 9\). Das sind \(3\) Teiler. 3. Vergleich: Bei der \(6\) sind die Primfaktoren verschieden. Dadurch entstehen durch Kombination zwei unterschiedliche „mittlere“ Teiler (\(2\) und \(3\)). Bei der \(9\) sind die Primfaktoren identisch. Die Kombination \(3 \cdot 3\) ergibt nur die Zahl selbst, und es gibt keinen weiteren unterschiedlichen Primfaktor außer der \(3\).

a) \(6\) hat \(4\) Teiler: \(1, 2, 3, 6\). b) \(9\) hat \(3\) Teiler: \(1, 3, 9\). c) Bei der \(6\) gibt es zwei verschiedene Primfaktoren, die jeweils eigene Teiler bilden. Bei der \(9\) ist der Primfaktor zweimal derselbe, sodass weniger verschiedene Kombinationen möglich sind.

- Zerlege \(72\) so lange weiter, bis nur noch Primzahlen als Faktoren stehen. - Baue die gesuchten Teiler nur aus den Primfaktoren auf, die in deiner Zerlegung vorkommen. - Verwende keinen Primfaktor öfter, als er in der Zerlegung vorhanden ist.

1. Eine mögliche Zerlegung ist \(72=2\cdot36=2\cdot2\cdot18=2\cdot2\cdot2\cdot9=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\). 2. Damit gilt \(72=2^3\cdot3^2\). 3. Zwischen \(10\) und \(30\) liegen die Teiler \(12=2\cdot2\cdot3\), \(18=2\cdot3\cdot3\) und \(24=2\cdot2\cdot2\cdot3\). 4. Andere Produkte aus höchstens drei Zweiern und zwei Dreiern liegen nicht im geforderten Bereich.

a) \(72=2^3\cdot3^2\) b) \(12=2\cdot2\cdot3\), \(18=2\cdot3\cdot3\), \(24=2\cdot2\cdot2\cdot3\)

- Zerlege \(15\), \(20\) und \(25\) ebenfalls in Primfaktoren. - Vergleiche, welche Primfaktoren dafür benötigt werden. - Achte auch darauf, wie oft jeder Primfaktor vorkommen muss.

1. \(15 = 3 \cdot 5\). Beide benötigten Primfaktoren kommen in der Zerlegung von \(150\) vor. Daher ist \(15\) ein Teiler von \(150\). 2. \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\). Dafür müsste der Primfaktor \(2\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommen. Dort steht er aber nur einmal. Daher ist \(20\) kein Teiler von \(150\). 3. \(25 = 5 \cdot 5\). Der Primfaktor \(5\) kommt zweimal in der Zerlegung von \(150\) vor. Daher ist \(25\) ein Teiler von \(150\).

a) Wahr, da \(15 = 3 \cdot 5\) und diese Faktoren in \(150\) enthalten sind. b) Falsch, da \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\), aber in der Zerlegung von \(150\) die \(2\) nur einmal vorkommt. c) Wahr, da \(25 = 5 \cdot 5\) und die \(5\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommt.

- Rechne die Faktoren Schritt für Schritt zusammen, um \(n\) zu finden. - Welche einzelnen Primfaktoren oder Kombinationen von Faktoren ergeben ein Ergebnis zwischen \(10\) und \(20\)? - Schau dir die Primfaktorzerlegung von \(9\) an. - Vergleiche, wie oft die Primzahl \(3\) in der Zerlegung von \(n\) vorkommt und wie oft sie für die \(9\) nötig wäre.

1. Multipliziert man die Primfaktoren, erhält man \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132\). Daher ist \(n=132\). 2. Der Primfaktor \(11\) liegt zwischen \(10\) und \(20\). Eine weitere Möglichkeit ist \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). 3. Für \(9\) gilt \(9=3\cdot3\). Damit \(9\) ein Teiler von \(n\) sein kann, müsste der Primfaktor \(3\) mindestens zweimal in der Zerlegung von \(n\) vorkommen. In \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11\) kommt die \(3\) aber nur einmal vor. Deshalb ist \(9\) kein Teiler von \(n\).

a) \(n = 132\) b) Mögliche Teiler sind \(11\) oder \(12\). c) Die \(9\) benötigt als Primfaktoren \(3 \cdot 3\). In der Zerlegung von \(n\) kommt die \(3\) aber nur einmal vor.

- Kannst du eine Zahl Schritt für Schritt in kleinere Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen übrig sind? - Wie lässt sich ein mehrfach vorkommender gleicher Primfaktor als Potenz schreiben? - Erinnere dich an die kleinsten Primzahlen.

1. \(81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4\); \(125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3\); \(64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6\). 2. \(200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2\); \(450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\).

1. \(81 = 3^4\); \(125 = 5^3\); \(64 = 2^6\). 2. \(200 = 2^3 \cdot 5^2\); \(450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\).

- Berechne in a) die beiden gegebenen Produkte von Primfaktoren. - Beim Multiplizieren zweier Primfaktorzerlegungen kannst du gleiche Primfaktoren zusammenfassen. - Gehe für c) die Primzahlen der Größe nach durch und vergleiche sie mit beiden Zerlegungen. - Überlege für d), was es für die Summe bedeutet, wenn beide Summanden denselben Primfaktor besitzen.

1. \(A=4\cdot3\cdot5=60\) und \(B=2\cdot9\cdot5=90\). 2. Beim Produkt werden die Exponenten gleicher Primfaktoren addiert: \((2^2\cdot3\cdot5)(2\cdot3^2\cdot5)=2^3\cdot3^3\cdot5^2\). 3. Die Primzahlen \(2\), \(3\) und \(5\) kommen vor. Die nächste Primzahl ist \(7\), und sie kommt in keiner der beiden Zerlegungen vor. 4. Beide Zahlen enthalten den Primfaktor \(5\), sind also Vielfache von \(5\). Die Summe zweier Vielfacher von \(5\) ist ebenfalls durch \(5\) teilbar.

a) \(A=60\), \(B=90\) b) \(2^3\cdot3^3\cdot5^2\) c) \(7\) d) Ja. Beide Zahlen sind durch \(5\) teilbar, also auch ihre Summe.