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- Lies die Zahlen an den äußersten Enden des Rechenbaums ab. - Prüfe, welche dieser Endzahlen Primzahlen sind. - Zähle anschließend, wie oft jede Primzahl vorkommt.

1. An den Enden des Rechenbaums stehen \(2\), \(2\), \(3\) und \(3\). 2. Damit kommen die Primzahlen \(2\) und \(3\) jeweils zweimal vor.

Die Primfaktoren sind \(2\) und \(3\). Beide kommen jeweils zweimal vor.

- Gruppiere gleiche Primfaktoren. - Der Exponent gibt an, wie oft derselbe Faktor in der Multiplikation vorkommt. - Schreibe für jede Gruppe genau eine Potenz.

1. Der Primfaktor \(2\) kommt dreimal vor und wird zu \(2^3\) zusammengefasst. 2. Der Primfaktor \(3\) kommt zweimal vor und wird zu \(3^2\) zusammengefasst. 3. Damit lautet die Primfaktorzerlegung \(72 = 2^3 \cdot 3^2\).

\(72 = 2^3 \cdot 3^2\)

- In einer Primfaktorzerlegung dürfen als Faktoren nur Primzahlen vorkommen. - Prüfe bei jeder Antwortmöglichkeit sowohl die verwendeten Faktoren als auch ihr Produkt. - Vergleiche das Ergebnis schließlich mit \(720\).

1. Zerlege \(720\) zunächst zum Beispiel als \(720=72\cdot10\). 2. Es gilt \(72=8\cdot9=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\) und \(10=2\cdot5\). 3. Zusammengefasst ergibt das \(720=2^4\cdot3^2\cdot5\). Damit ist d) korrekt.

d) \(2^4\cdot3^2\cdot5\)

- Was ist eine Primzahl? - Kannst du die Zahlen schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen übrig sind? - Wie oft kommt jede Primzahl in der Zerlegung vor? - Schau dir die Listen der Primfaktoren nebeneinander an.

1. \(60=2\cdot30=2\cdot2\cdot15=2^2\cdot3\cdot5\). 2. \(126=2\cdot63=2\cdot3\cdot21=2\cdot3^2\cdot7\). 3. \(270=2\cdot135=2\cdot3\cdot45=2\cdot3^3\cdot5\). 4. In allen drei Zerlegungen kommen die Primfaktoren \(2\) und \(3\) vor.

\(60=2^2\cdot3\cdot5\) \(126=2\cdot3^2\cdot7\) \(270=2\cdot3^3\cdot5\) Gemeinsame Primfaktoren: \(2\) und \(3\).

- Lies in jedem Baum nur die Zahlen an den Enden der Äste ab. - Gruppiere gleiche Primfaktoren und schreibe Wiederholungen als Potenz. - Vergleiche anschließend nicht die Zwischenknoten, sondern die Primfaktoren an den Enden beider Bäume.

1. Im ersten Baum enden die Äste bei drei Faktoren \(2\) und zwei Faktoren \(3\). Daher gilt \(72=2^3\cdot3^2\). 2. Im zweiten Baum enden die Äste ebenfalls bei drei Faktoren \(2\) und zwei Faktoren \(3\). Daher ergibt sich wieder \(72=2^3\cdot3^2\). 3. Bei \(72\) kann die erste Zerlegung verschieden gewählt werden. In den beiden gezeigten Bäumen erhält man nach vollständigem Weiterzerlegen dieselben Primfaktoren.

a) Beide Bäume ergeben \(72=2^3\cdot3^2\). b) Bei \(72\) führen die beiden gezeigten ersten Faktorzerlegungen nach vollständigem Weiterzerlegen zu denselben Primfaktoren.

- Prüfe bei der aktuellen Zahl die kleinen Primzahlen der Reihe nach und wähle die erste, die ohne Rest teilt. - Wiederhole dieses Vorgehen mit jedem neuen Quotienten, bis \(1\) erreicht ist. - Die Primfaktorzerlegung enthält genau die Primzahlen, durch die du auf dem Weg bis \(1\) geteilt hast.

1. \(180 : 2 = 90\). 2. \(90 : 2 = 45\). 3. \(45 : 3 = 15\). 4. \(15 : 3 = 5\). 5. \(5 : 5 = 1\). 6. Die verwendeten Primteiler sind \(2\), \(2\), \(3\), \(3\) und \(5\). Daher gilt \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\).

\(180 : 2 = 90\) \(90 : 2 = 45\) \(45 : 3 = 15\) \(15 : 3 = 5\) \(5 : 5 = 1\) \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\)

- Berechne in a) das Produkt der gegebenen Primfaktoren. - Überlege in b), welcher neue Primfaktor beim Multiplizieren mit \(5\) hinzukommt. - Verbinde in c) die Endstellenregel für \(5\) mit der Definition einer Primzahl.

1. Es gilt \(n=2^2\cdot3\cdot7=4\cdot3\cdot7=84\). 2. Das Fünffache von \(n\) erhält einen zusätzlichen Primfaktor \(5\). Seine Primfaktorzerlegung lautet daher \(2^2\cdot3\cdot5\cdot7\). 3. Jede Zahl mit Endziffer \(5\) ist durch \(5\) teilbar. Ist sie größer als \(5\), dann sind mindestens \(1\), \(5\) und die Zahl selbst verschiedene positive Teiler. Sie kann deshalb keine Primzahl sein.

a) \(n=84\) b) \(2^2\cdot3\cdot5\cdot7\) c) Eine Zahl mit Endziffer \(5\), die größer als \(5\) ist, ist durch \(5\) teilbar und besitzt daher außer \(1\) und sich selbst noch den Teiler \(5\). Sie ist nicht prim.

- Nach der Primfaktorzerlegung entscheidest du für jeden der drei verschiedenen Primfaktoren, ob er in einem Teiler vorkommt oder nicht. - Ordne deine Produkte danach, ob du keinen, einen, zwei oder drei Primfaktoren verwendest. - Prüfe, ob jede mögliche Auswahl genau einmal vorkommt.

1. Die Primfaktorzerlegung lautet \(130 = 2 \cdot 5 \cdot 13\). 2. Aus keiner gewählten Primzahl entsteht der Teiler \(1\). 3. Aus genau einem Primfaktor entstehen \(2\), \(5\) und \(13\). 4. Aus zwei Primfaktoren entstehen \(2 \cdot 5 = 10\), \(2 \cdot 13 = 26\) und \(5 \cdot 13 = 65\). 5. Aus allen drei Primfaktoren entsteht \(2 \cdot 5 \cdot 13 = 130\). 6. Damit ist \(T(130)=\{1;2;5;10;13;26;65;130\}\), also hat \(130\) insgesamt \(8\) Teiler.

a) \(130 = 2 \cdot 5 \cdot 13\) b) \(1\); \(2\); \(5\); \(13\); \(2 \cdot 5 = 10\); \(2 \cdot 13 = 26\); \(5 \cdot 13 = 65\); \(2 \cdot 5 \cdot 13 = 130\). Also \(T(130)=\{1;2;5;10;13;26;65;130\}\). c) \(8\) Teiler

- Schreibe für beide Zahlen die vollständige Teilermenge auf. - Vergleiche die Primfaktoren der beiden Zahlen. Was fällt dir auf? - Überlege, was passiert, wenn man zwei gleiche Zahlen miteinander multipliziert im Vergleich zu zwei verschiedenen.

1. Bestimmung der Teiler von \(6\): Die Faktoren sind \(2\) und \(3\). Teiler sind \(1, 2, 3, 6\). Das sind \(4\) Teiler. 2. Bestimmung der Teiler von \(9\): Die Faktoren sind \(3\) und \(3\). Teiler sind \(1, 3, 9\). Das sind \(3\) Teiler. 3. Vergleich: Bei der \(6\) sind die Primfaktoren verschieden. Dadurch entstehen durch Kombination zwei unterschiedliche „mittlere“ Teiler (\(2\) und \(3\)). Bei der \(9\) sind die Primfaktoren identisch. Die Kombination \(3 \cdot 3\) ergibt nur die Zahl selbst, und es gibt keinen weiteren unterschiedlichen Primfaktor außer der \(3\).

a) \(6\) hat \(4\) Teiler: \(1, 2, 3, 6\). b) \(9\) hat \(3\) Teiler: \(1, 3, 9\). c) Bei der \(6\) gibt es zwei verschiedene Primfaktoren, die jeweils eigene Teiler bilden. Bei der \(9\) ist der Primfaktor zweimal derselbe, sodass weniger verschiedene Kombinationen möglich sind.

- Wie kannst du eine Zahl systematisch in Primfaktoren zerlegen? - Welche Produkte aus den gefundenen Primfaktoren können Teiler der Zahl ergeben? - Beachte bei wiederholten Primfaktoren, dass du jeden Faktor höchstens so oft verwenden kannst, wie er in der Zerlegung vorkommt. - Prüfe am Ende die vorgegebenen Grenzen.

1. Die schrittweise Zerlegung ergibt \(72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\). 2. Aus passenden Produkten der Primfaktoren erhält man \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\), \(2 \cdot 3 \cdot 3 = 18\) und \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24\). 3. Die übrigen Produkte liegen nicht zwischen \(10\) und \(30\). Damit sind \(12\), \(18\) und \(24\) die gesuchten Teiler.

a) \(72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\) b) \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\), \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)

- Was muss für die Primfaktoren eines Teilers gelten, damit er in die ursprüngliche Zahl „passt“? - Zerlege die Zahlen \(15\), \(20\) und \(25\) ebenfalls in ihre Primfaktoren. - Vergleiche, ob alle benötigten Faktoren in der Zerlegung von \(150\) in ausreichender Anzahl vorhanden sind.

1. Untersuchung von \(15\): Die Primfaktorzerlegung von \(15\) ist \(3 \cdot 5\). Da sowohl eine \(3\) als auch mindestens eine \(5\) in der Zerlegung von \(150\) vorkommen, ist die Aussage wahr. 2. Untersuchung von \(20\): Die Primfaktorzerlegung von \(20\) ist \(2 \cdot 2 \cdot 5\). Damit \(20\) ein Teiler ist, müsste die Primzahl \(2\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommen. Da sie dort nur einmal vorhanden ist, ist die Aussage falsch. 3. Untersuchung von \(25\): Die Primfaktorzerlegung von \(25\) ist \(5 \cdot 5\). Da die Primzahl \(5\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommt, ist die Aussage wahr.

a) Wahr, da \(15 = 3 \cdot 5\) und diese Faktoren in \(150\) enthalten sind. b) Falsch, da \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\), aber in der Zerlegung von \(150\) die \(2\) nur einmal vorkommt. c) Wahr, da \(25 = 5 \cdot 5\) und die \(5\) zweimal in der Zerlegung von \(150\) vorkommt.

- Rechne die Faktoren Schritt für Schritt zusammen, um \(n\) zu finden. - Welche einzelnen Primfaktoren oder Kombinationen von Faktoren ergeben ein Ergebnis zwischen \(10\) und \(20\)? - Schau dir die Primfaktorzerlegung von \(9\) an. - Vergleiche, wie oft die Primzahl \(3\) in der Zerlegung von \(n\) vorkommt und wie oft sie für die \(9\) nötig wäre.

1. Berechnung von \(n\): Durch Multiplikation ergibt sich \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132\). 2. Bestimmung eines Teilers im Bereich: Der Primfaktor \(11\) selbst liegt zwischen \(10\) und \(20\). Eine weitere Möglichkeit ist das Produkt \(2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\). 3. Analyse der Zahl \(9\): Die Primfaktorzerlegung von \(9\) ist \(3 \cdot 3\). Damit \(9\) ein Teiler von \(n\) sein kann, müsste der Primfaktor \(3\) mindestens zweimal in der Zerlegung von \(n\) vorkommen. In der gegebenen Zerlegung \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11\) kommt die \(3\) jedoch nur einfach vor. Somit kann \(9\) kein Teiler sein.

a) \(n = 132\) b) Mögliche Teiler sind \(11\) oder \(12\). c) Die \(9\) benötigt als Primfaktoren \(3 \cdot 3\). In der Zerlegung von \(n\) kommt die \(3\) aber nur einmal vor.

- Kannst du eine Zahl Schritt für Schritt in kleinere Faktoren zerlegen, bis nur noch Primzahlen übrig sind? - Wie lässt sich ein mehrfach vorkommender gleicher Primfaktor als Potenz schreiben? - Erinnere dich an die kleinsten Primzahlen.

1. \(81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4\); \(125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3\); \(64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6\). 2. \(200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2\); \(450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\).

1. \(81 = 3^4\); \(125 = 5^3\); \(64 = 2^6\). 2. \(200 = 2^3 \cdot 5^2\); \(450 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2\).

- Zerlege zuerst beide Ausgangszahlen vollständig, bevor du die vier Kandidaten betrachtest. - Vergleiche bei jedem Kandidaten nicht nur die vorkommenden Primzahlen, sondern auch ihre Häufigkeiten. - Formuliere für jeden Kandidaten ausdrücklich, welcher Primfaktor ausreicht oder an welcher Stelle einer fehlt.

1. Es gilt \(72 = 2^3 \cdot 3^2\) und \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\). 2. \(6 = 2 \cdot 3\). Beide Ausgangszahlen enthalten mindestens einen Faktor \(2\) und einen Faktor \(3\); daher ist \(6\) gemeinsamer Teiler. 3. \(12 = 2^2 \cdot 3\). Für \(12\) werden zwei Faktoren \(2\) benötigt, \(90\) enthält aber nur einen; daher ist \(12\) kein gemeinsamer Teiler. 4. \(18 = 2 \cdot 3^2\). Beide Ausgangszahlen enthalten mindestens einen Faktor \(2\) und zwei Faktoren \(3\); daher ist \(18\) gemeinsamer Teiler. 5. \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Der Faktor \(5\) fehlt in der Primfaktorzerlegung von \(72\); daher ist \(30\) kein gemeinsamer Teiler.

a) \(72 = 2^3 \cdot 3^2\), \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\) b) \(6 = 2 \cdot 3\): in beiden Zerlegungen vorhanden, also gemeinsamer Teiler. \(12 = 2^2 \cdot 3\): \(90\) enthält nur einen Faktor \(2\), also kein gemeinsamer Teiler. \(18 = 2 \cdot 3^2\): in beiden Zerlegungen mit ausreichender Häufigkeit vorhanden, also gemeinsamer Teiler. \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\): \(72\) enthält keinen Faktor \(5\), also kein gemeinsamer Teiler.

- Berechne in a) die beiden gegebenen Produkte von Primfaktoren. - Beim Multiplizieren zweier Primfaktorzerlegungen kannst du gleiche Primfaktoren zusammenfassen. - Gehe für c) die Primzahlen der Größe nach durch und vergleiche sie mit beiden Zerlegungen. - Überlege für d), was es für die Summe bedeutet, wenn beide Summanden denselben Primfaktor besitzen.

1. \(A=4\cdot3\cdot5=60\) und \(B=2\cdot9\cdot5=90\). 2. Beim Produkt werden die Exponenten gleicher Primfaktoren addiert: \((2^2\cdot3\cdot5)(2\cdot3^2\cdot5)=2^3\cdot3^3\cdot5^2\). 3. Die Primzahlen \(2\), \(3\) und \(5\) kommen vor. Die nächste Primzahl ist \(7\), und sie kommt in keiner der beiden Zerlegungen vor. 4. Beide Zahlen enthalten den Primfaktor \(5\), sind also Vielfache von \(5\). Die Summe zweier Vielfacher von \(5\) ist ebenfalls durch \(5\) teilbar.

a) \(A=60\), \(B=90\) b) \(2^3\cdot3^3\cdot5^2\) c) \(7\) d) Ja. Beide Zahlen sind durch \(5\) teilbar, also auch ihre Summe.

- Versuche, die Teiler nach der Anzahl der verwendeten Primfaktoren zu sortieren. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, keinen, einen, zwei, drei oder alle vier Buchstaben miteinander zu multiplizieren? - Ein Baumdiagramm oder eine Tabelle könnte helfen, alle Kombinationen der Buchstaben zu finden.

1. Systematische Auflistung der Teiler von \(n = abcd\): - Ohne Primfaktor: \(1\) - Ein Faktor: \(a, b, c, d\) (4 Stück) - Zwei Faktoren: \(ab, ac, ad, bc, bd, cd\) (6 Stück) - Drei Faktoren: \(abc, abd, acd, bcd\) (4 Stück) - Vier Faktoren: \(abcd\) (1 Stück) 2. Addition der Anzahlen: \(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16\). 3. Für \(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\) ergibt die Liste: \(1, 2, 3, 5, 7, 6, 10, 14, 15, 21, 35, 30, 42, 70, 105, 210\). Dies sind genau \(16\) Teiler.

a) Teiler: \(1\); \(a, b, c, d\); \(ab, ac, ad, bc, bd, cd\); \(abc, abd, acd, bcd\); \(abcd\). b) Es sind insgesamt \(16\) Teiler. c) Teiler von \(210\): \(1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210\).