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- Du musst die Teiler nicht selbst bestimmen; beide vollständigen Mengen sind bereits gegeben. - Vergleiche die beiden Mengen Zahl für Zahl. - Notiere nur Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

1. Vergleiche die beiden Teilermengen und suche die Zahlen, die in beiden vorkommen. 2. In beiden Mengen stehen \(1\), \(2\), \(3\) und \(6\). 3. Diese Zahlen sind die gemeinsamen Teiler von \(18\) und \(24\).

Die gemeinsamen Teiler sind \(1\), \(2\), \(3\) und \(6\).

- Vergleiche die markierten Zahlen in beiden Zahlenstrahlen. - Beginne links bei den kleinsten positiven Markierungen. - Suche die erste Zahl, die in beiden Markierungsfolgen vorkommt.

1. Lies die markierten Zahlen in beiden Zahlenstrahlen von links nach rechts ab. 2. Die erste positive Zahl, die in beiden Markierungsfolgen vorkommt, ist \(12\). 3. Damit ist \(12\) das kleinste gemeinsame positive Vielfache von \(4\) und \(6\).

Die kleinste positive Zahl, die in beiden Zahlenstrahlen markiert ist, lautet \(12\).

- Prüfe zuerst für jede Zahl, ob sie als \(4 \cdot k\) mit einer natürlichen Zahl \(k\) geschrieben werden kann. - Gehe für die Vielfachen von \(5\) genauso vor. - Für Teil c) brauchst du nur die Zahlen zu vergleichen, die in den beiden vorherigen Listen vorkommen.

1. Vielfache von \(4\) sind \(140\), \(360\), \(500\) und \(624\), denn \(140 : 4 = 35\), \(360 : 4 = 90\), \(500 : 4 = 125\) und \(624 : 4 = 156\). 2. Vielfache von \(5\) sind \(140\), \(255\), \(360\), \(500\) und \(750\), denn \(140 : 5 = 28\), \(255 : 5 = 51\), \(360 : 5 = 72\), \(500 : 5 = 100\) und \(750 : 5 = 150\). 3. In beiden Listen stehen \(140\), \(360\) und \(500\). Diese Zahlen sind gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(5\).

a) \(140 : 4 = 35\), \(360 : 4 = 90\), \(500 : 4 = 125\), \(624 : 4 = 156\) b) \(140 : 5 = 28\), \(255 : 5 = 51\), \(360 : 5 = 72\), \(500 : 5 = 100\), \(750 : 5 = 150\) c) \(140\), \(360\) und \(500\) stehen in beiden Listen und sind daher gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(5\).

- Schreibe zunächst einige positive Vielfache von \(4\) und von \(6\) untereinander. - Suche die erste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. - Prüfe, in welchem regelmäßigen Abstand die weiteren gemeinsamen Zahlen folgen.

1. Die positiven Vielfachen von \(4\) beginnen mit \(4\), \(8\), \(12\), \(16\), \(20\), \(24\), \(28\), \(32\), \(36\), \(\dots\). 2. Die positiven Vielfachen von \(6\) beginnen mit \(6\), \(12\), \(18\), \(24\), \(30\), \(36\), \(\dots\). 3. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache ist \(12\). Alle weiteren positiven gemeinsamen Vielfachen entstehen durch weitere positive Vielfache von \(12\). 4. Die gesuchte Menge lautet daher \(\{12; 24; 36; 48; 60; \dots\}\).

Die gesuchte Menge der positiven gemeinsamen Vielfachen ist \(\{12; 24; 36; 48; 60; \dots\}\).

- Bestimme zuerst das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\). - Prüfe anschließend, welche Zahlen der Liste Vielfache dieses gemeinsamen Vielfachen sind. - Eine Division ohne Rest liefert einen direkten Nachweis.

1. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\) ist \(12\). Jede Zahl, die ein gemeinsames Vielfaches von \(3\) und \(4\) ist, ist daher ein Vielfaches von \(12\). 2. Es gilt \(132 : 12 = 11\), \(744 : 12 = 62\) und \(1008 : 12 = 84\). Diese drei Zahlen sind gemeinsame Vielfache. 3. Die Divisionen \(258 : 12\), \(412 : 12\) und \(630 : 12\) gehen nicht ohne Rest auf. Diese Zahlen sind keine gemeinsamen Vielfachen von \(3\) und \(4\).

\(132\), \(744\) und \(1008\), denn \(132 : 12 = 11\), \(744 : 12 = 62\) und \(1008 : 12 = 84\).

- Berechne zuerst die beiden Steine direkt über der Grundreihe. - Für jeden Stein brauchst du nur die zwei Zahlen unmittelbar darunter. - Beim obersten Stein kannst du die ersten Vielfachen der beiden bereits gefundenen Werte vergleichen.

1. Für den linken Stein der mittleren Reihe gilt \(\text{kgV}(2,3) = 6\). 2. Für den rechten Stein der mittleren Reihe gilt \(\text{kgV}(3,5) = 15\). 3. Für den obersten Stein wird \(\text{kgV}(6,15)\) bestimmt. Die positiven Vielfachen von \(6\) beginnen mit \(6\), \(12\), \(18\), \(24\), \(30\), \(\dots\), die von \(15\) mit \(15\), \(30\), \(45\), \(\dots\). Das erste gemeinsame positive Vielfache ist \(30\).

In der mittleren Reihe stehen \(6\) und \(15\). Der oberste Stein ist \(30\).

- Bestimme die Teilermengen systematisch über passende Faktorpaare. - Vergleiche die beiden vollständigen Mengen und notiere nur Zahlen, die in beiden vorkommen. - Der gesuchte \(\mathrm{ggT}\) ist nicht irgendein gemeinsamer Teiler, sondern der größte davon.

1. Die vollständige Teilermenge von \(42\) ist \(T(42)=\{1;2;3;6;7;14;21;42\}\). 2. Die vollständige Teilermenge von \(56\) ist \(T(56)=\{1;2;4;7;8;14;28;56\}\). 3. Die gemeinsamen Teiler sind \(1\), \(2\), \(7\) und \(14\). 4. Der größte dieser gemeinsamen Teiler ist \(14\). Daher gilt \(\mathrm{ggT}(42,56)=14\).

\(T(42)=\{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\) \(T(56)=\{1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56\}\) Die gemeinsamen Teiler sind \(1\), \(2\), \(7\) und \(14\); somit gilt \(\mathrm{ggT}(42,56)=14\).

- Überlege, welche Eigenschaft die Anzahl der Tüten bezüglich beider Vorratszahlen haben muss. - Vergleiche mehrere mögliche Tütenzahlen und achte darauf, wie die Forderung „möglichst viele“ deine Auswahl einschränkt. - Wenn die Anzahl der Tüten feststeht, verteile jede Aufklebersorte gleichmäßig auf diese Tüten.

1. Die Anzahl der Tüten muss sowohl \(48\) als auch \(60\) ohne Rest teilen. Gesucht ist daher der größte gemeinsame Teiler. 2. Die gemeinsamen Teiler von \(48\) und \(60\) sind \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) und \(12\). Also gilt \(\mathrm{ggT}(48,60)=12\). 3. Es können höchstens \(12\) Tüten gepackt werden. 4. Pro Tüte sind es \(48:12=4\) Apfel-Aufkleber und \(60:12=5\) Stern-Aufkleber.

Es können höchstens \(12\) Tüten gepackt werden. Jede Tüte enthält \(4\) Apfel-Aufkleber und \(5\) Stern-Aufkleber.

- Notiere die Zeitpunkte nach dem Start zunächst als Vielfache der beiden Zeitabstände. - Suche den ersten positiven Zeitabstand, der in beiden Folgen vorkommt. - Addiere diesen gemeinsamen Zeitabstand anschließend zur Startzeit.

1. Die positiven Vielfachen von \(8\) beginnen mit \(8\), \(16\), \(24\), \(32\), \(\dots\). Die positiven Vielfachen von \(12\) beginnen mit \(12\), \(24\), \(36\), \(\dots\). 2. Das kleinste gemeinsame positive Vielfache ist \(24\). Daher gilt \(\mathrm{kgV}(8,12)=24\). 3. Beide Signale ertönen \(24\,\text{min}\) nach 9:00 Uhr wieder gemeinsam, also um 9:24 Uhr.

\(\mathrm{kgV}(8,12)=24\). Beide Signale ertönen um 9:24 Uhr zum nächsten Mal gleichzeitig.

- Bestimme zuerst die vollständigen Teilermengen beider Zahlen und vergleiche sie. - Für das \(\mathrm{kgV}\) kannst du gemeinsame Vielfache suchen oder die Primfaktorzerlegungen vergleichen. - Berechne für c) das Produkt der beiden Ausgangszahlen und vergleiche die beiden Werte.

1. Es gilt \(T(24)=\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\) und \(T(36)=\{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\). 2. Die gemeinsamen Teiler größer als \(1\) sind \(\{2; 3; 4; 6; 12\}\). 3. Mit \(24=2^3\cdot3\) und \(36=2^2\cdot3^2\) erhält man \(\mathrm{kgV}(24,36)=2^3\cdot3^2=72\). 4. Das Produkt ist \(24\cdot36=864\). Da \(72<864\) gilt, ist das \(\mathrm{kgV}\) kleiner als das Produkt.

a) \(\{2; 3; 4; 6; 12\}\) b) \(\mathrm{kgV}(24,36)=72\) c) Ja, denn \(72<864\).

- Welche Zahlen unter \(10\) können überhaupt Teiler von \(12\) sein? - Prüfe für mögliche Paare, wann \(12\) ein gemeinsames Vielfaches ist. - Achte darauf, dass kein kleineres gemeinsames Vielfaches existieren darf.

1. Als mögliche Zahlen kommen nur positive Teiler von \(12\) unter \(10\) infrage: \(1,2,3,4,6\). 2. Prüfe die ungeordneten Paare dieser Zahlen auf ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. 3. Für \(\{3,4\}\) gilt \(\operatorname{kgV}(3,4)=12\). 4. Für \(\{4,6\}\) gilt ebenfalls \(\operatorname{kgV}(4,6)=12\). 5. Bei allen anderen Paaren ist das kgV nicht \(12\).

Die möglichen ungeordneten Paare sind \(\{3,4\}\) und \(\{4,6\}\).

- Schreibe die Reihen beider Zahlen erst einmal untereinander auf. - Gibt es eine Regel für die Endziffern bei Vielfachen von \(5\)? Das könnte die Suche in der anderen Menge erleichtern. - Schreibe so viele Vielfache auf, dass das erste gemeinsame Vielfache in beiden Listen sichtbar ist.

1. Die ersten acht positiven Vielfachen von \(5\) sind \(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40\). 2. Die ersten acht positiven Vielfachen von \(8\) sind \(8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64\). 3. Beim Vergleich der beiden Listen ist \(40\) die erste Zahl, die in beiden vorkommt. Daher ist \(40\) das kleinste gemeinsame positive Vielfache.

a) \(V(5)=\{5;10;15;20;25;30;35;40;\dots\}\) und \(V(8)=\{8;16;24;32;40;48;56;64;\dots\}\) b) Die kleinste gemeinsame positive Zahl ist \(40\).

- Kannst du zuerst alle Zahlen finden, durch die man die größere Zahl ohne Rest teilen kann? - Welche dieser Zahlen kommen in der 5er-Reihe vor? - Überlege dir, welche Endziffern Vielfache von \(5\) immer haben. - Gehe deine Liste der Teiler Schritt für Schritt durch.

1. Bestimmen aller Teiler von \(60\): \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\). 2. Filtern dieser Menge nach Zahlen, die durch \(5\) teilbar sind (Vielfache von \(5\)). 3. Die resultierenden Zahlen sind \(5, 10, 15, 20, 30\) und \(60\).

\(5; 10; 15; 20; 30; 60\)

- Beschränke dich auf den kurzen Zahlenbereich von \(730\) bis \(739\). - Erzeuge jede Vielfachenliste unabhängig und vollständig. - Für c) suchst du nicht neu, sondern den gemeinsamen Eintrag der beiden Listen.

1. Zwischen \(730\) und \(739\) liegen die Vielfachen \(732 = 4 \cdot 183\) und \(736 = 4 \cdot 184\). Daher sind in a) die Ziffern \(2\) und \(6\) möglich. 2. Im selben Bereich liegen die Vielfachen \(732 = 3 \cdot 244\), \(735 = 3 \cdot 245\) und \(738 = 3 \cdot 246\). Daher sind in b) die Ziffern \(2\), \(5\) und \(8\) möglich. 3. Nur \(732\) steht in beiden Vielfachenlisten. Daher ist in c) nur die Ziffer \(2\) möglich.

a) Vielfache von \(4\): \(732\), \(736\); also \(\square \in \{2;6\}\). b) Vielfache von \(3\): \(732\), \(735\), \(738\); also \(\square \in \{2;5;8\}\). c) Gemeinsames Vielfaches in beiden Listen: \(732\); also \(\square = 2\).

- Schreibe die Malreihen der beiden Zahlen auf. - Achte darauf, nur Zahlen aufzuschreiben, die kleiner als 100 sind. - Markiere die Zahlen, die in beiden Malreihen vorkommen. - Gibt es ein Muster bei den gemeinsamen Zahlen?

1. Auflistung der Vielfachen von \(8\), die kleiner als \(100\) sind: \(V(8) = \{8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96\}\). 2. Auflistung der Vielfachen von \(12\), die kleiner als \(100\) sind: \(V(12) = \{12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96\}\). 3. Vergleich der Listen und Auswahl der Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen: \(\{24; 48; 72; 96\}\).

\(\{24; 48; 72; 96\}\)

- Bestimme zuerst den regelmäßigen Abstand zwischen gemeinsamen Vielfachen von \(3\) und \(4\). - Erzeuge die vollständige Liste im vorgegebenen Hunderterbereich. - Filtere erst danach nach dem Stellenmuster \(25\square2\).

1. Die gemeinsamen positiven Vielfachen von \(3\) und \(4\) sind die Vielfachen von \(12\). 2. Zwischen \(2500\) und \(2600\) liegen \(2508\), \(2520\), \(2532\), \(2544\), \(2556\), \(2568\), \(2580\) und \(2592\). 3. Zur Form \(25\square2\) passen \(2532\) und \(2592\). 4. Daher sind die Ziffern \(3\) und \(9\) möglich.

Gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\) zwischen \(2500\) und \(2600\): \(2508\), \(2520\), \(2532\), \(2544\), \(2556\), \(2568\), \(2580\), \(2592\). Zur Form \(25\square2\) passen \(2532\) und \(2592\); daher \(\square \in \{3;9\}\).

- Bestimme zuerst, welches das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(9\) ist. - Schreibe die gemeinsamen Vielfachen nur im durch \(1\square2\) vorgegebenen Zahlenbereich auf. - Vergleiche anschließend die gefundenen Zahlen mit dem Stellenmuster.

1. Die kleinsten positiven gemeinsamen Vielfachen von \(4\) und \(9\) erhält man in Schritten von \(36\). 2. Im Zahlenbereich von \(102\) bis \(192\) liegen die gemeinsamen Vielfachen \(108\), \(144\) und \(180\). 3. Keine dieser Zahlen hat die Form \(1\square2\). 4. Deshalb gibt es keine Ziffer, die die Bedingung erfüllt.

Es gibt keine passende Ziffer: Die gemeinsamen Vielfachen \(108\), \(144\) und \(180\) im möglichen Zahlenbereich haben keines die Form \(1\square2\).

- Prüfe zuerst, ob alle drei Teilbarkeitsbedingungen unabhängig voneinander sind. - Suche die gemeinsamen Vielfachen der beiden entscheidenden Zahlen im angegebenen Bereich vollständig. - Vergleiche anschließend nur noch mit dem Stellenmuster.

1. Jedes Vielfache von \(9\) ist auch durch \(3\) teilbar. Deshalb genügt es, gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) zu betrachten. 2. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) ist \(45\). Zwischen \(400\) und \(500\) liegen die Vielfachen \(405\), \(450\) und \(495\). 3. Zur Form \(4\square5\) passen \(405\) und \(495\). 4. Daher sind die Ziffern \(0\) und \(9\) möglich. Beide Zahlen sind als Vielfache von \(9\) automatisch auch durch \(3\) teilbar.

Gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) zwischen \(400\) und \(500\): \(405\), \(450\), \(495\). Zur Form \(4\square5\) passen \(405\) und \(495\); daher \(\square \in \{0;9\}\). Da jedes Vielfache von \(9\) auch ein Vielfaches von \(3\) ist, ist die dritte Bedingung damit ebenfalls erfüllt.

- Was bedeutet das Wort „Teiler“? - Kannst du für jede Zahl einzeln alle Zahlen finden, durch die sie ohne Rest teilbar ist? - Welche dieser Zahlen kommen in beiden Listen vor? - Überprüfe systematisch von der 1 an aufwärts, ob die Zahl ein Teiler ist.

1. Bestimmung der Teilermenge von 60: \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\) 2. Bestimmung der Teilermenge von 84: \(T(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84\}\) 3. Identifikation der gemeinsamen Elemente beider Mengen: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) 4. Angabe der Schnittmenge: \(T(60) \cap T(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\)

\(\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\)

- Bestimme zuerst die positiven Teiler von \(70\). - Prüfe anschließend, welche davon auch Vielfache von \(14\) sind. - Beachte, dass ein positiver Teiler von \(70\) nicht größer als \(70\) sein kann.

1. Die positiven Vielfachen beginnen mit \(V(14)=\{14; 28; 42; 56; 70; 84; \dots\}\). 2. Die Teilermenge ist \(T(70)=\{1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70\}\). 3. In beiden Mengen liegen \(14\) und \(70\). Weitere Vielfache von \(14\) sind größer als \(70\) und können deshalb keine Teiler von \(70\) sein. 4. Die gesuchte Schnittmenge ist \(\{14; 70\}\).

\(\{14; 70\}\)

- Notiere auch bei einer Division mit Rest die vollständige Form \(n = d \cdot q + r\). - Erstelle die beiden Ergebnislisten erst, nachdem alle fünf Divisionen des jeweiligen Teils durchgeführt sind. - Für c) suchst du den gemeinsamen Eintrag beider Listen.

1. Bei Division durch \(9\) gilt \(132 = 9 \cdot 14 + 6\), \(225 : 9 = 25\), \(316 = 9 \cdot 35 + 1\), \(450 : 9 = 50\) und \(504 : 9 = 56\). Daher sind \(225\), \(450\) und \(504\) Vielfache von \(9\). 2. Bei Division durch \(4\) gilt \(132 : 4 = 33\), \(225 = 4 \cdot 56 + 1\), \(316 : 4 = 79\), \(450 = 4 \cdot 112 + 2\) und \(504 : 4 = 126\). Daher sind \(132\), \(316\) und \(504\) Vielfache von \(4\). 3. Nur \(504\) steht in beiden Ergebnislisten. Daher ist \(504\) das einzige gemeinsame Vielfache in der gegebenen Auswahl.

a) \(132 = 9 \cdot 14 + 6\), \(225 : 9 = 25\), \(316 = 9 \cdot 35 + 1\), \(450 : 9 = 50\), \(504 : 9 = 56\). Vielfache von \(9\): \(225\), \(450\), \(504\). b) \(132 : 4 = 33\), \(225 = 4 \cdot 56 + 1\), \(316 : 4 = 79\), \(450 = 4 \cdot 112 + 2\), \(504 : 4 = 126\). Vielfache von \(4\): \(132\), \(316\), \(504\). c) \(504\), weil die Zahl in beiden Ergebnislisten vorkommt.

- Prüfe die Bedingungen für \(2\) und \(3\) getrennt. - Eine der beiden Bedingungen ist durch die feste letzte Ziffer bereits entschieden. - Beachte bei der Quersumme, dass dieselbe unbekannte Ziffer zweimal vorkommt.

1. Die Zahl endet auf \(2\) und ist deshalb unabhängig von der eingesetzten Ziffer durch \(2\) teilbar. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(1 + \square + \square + 2 = 3 + 2\square\) durch \(3\) teilbar sein. 3. Für \(\square = 0\), \(3\), \(6\) und \(9\) ergeben sich die Quersummen \(3\), \(9\), \(15\) und \(21\). Diese sind durch \(3\) teilbar. Bei den übrigen Ziffern ist die Quersumme nicht durch \(3\) teilbar. 4. Daher erfüllen genau die Ziffern \(0\), \(3\), \(6\) und \(9\) beide Bedingungen gleichzeitig.

\(\square \in \{0; 3; 6; 9\}\)

- Prüfe, welche der genannten Bedingungen automatisch schon durch eine stärkere Vielfachenbedingung mit abgedeckt werden. - Suche danach gemeinsame Vielfache nur noch für die wirklich notwendigen Grundzahlen. - Prüfe die ersten Kandidaten der Reihe, bis auch die letzte noch offene Bedingung erfüllt ist.

1. Jede Zahl, die ein Vielfaches von \(8\) ist, ist bereits ein Vielfaches von \(2\) und \(4\). Jede Zahl, die ein Vielfaches von \(10\) ist, ist bereits ein Vielfaches von \(2\) und \(5\). Deshalb genügt es, gemeinsame Vielfache von \(8\), \(10\) und \(3\) zu betrachten. 2. Die gemeinsamen positiven Vielfachen von \(8\) und \(10\) beginnen mit \(40\), \(80\), \(120\), \(160\), \(\dots\). 3. Von diesen Zahlen ist \(120\) die erste, die zugleich ein Vielfaches von \(3\) ist, denn \(120 : 3 = 40\), während \(40\) und \(80\) nicht ohne Rest durch \(3\) teilbar sind. 4. Somit ist \(120\) die kleinste positive Zahl, die alle sechs Bedingungen erfüllt.

\(120\). Es genügt, gemeinsame Vielfache von \(8\), \(10\) und \(3\) zu prüfen, weil damit die Bedingungen für \(2\), \(4\) und \(5\) bereits erfüllt sind. Von \(40\), \(80\), \(120\), \(\dots\) ist \(120\) das erste Vielfache von \(3\).

- Zerlege zuerst beide Ausgangszahlen vollständig, bevor du die vier Kandidaten betrachtest. - Vergleiche bei jedem Kandidaten nicht nur die vorkommenden Primzahlen, sondern auch ihre Häufigkeiten. - Formuliere für jeden Kandidaten ausdrücklich, welcher Primfaktor ausreicht oder an welcher Stelle einer fehlt.

1. Es gilt \(72 = 2^3 \cdot 3^2\) und \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\). 2. \(6 = 2 \cdot 3\). Beide Ausgangszahlen enthalten mindestens einen Faktor \(2\) und einen Faktor \(3\); daher ist \(6\) gemeinsamer Teiler. 3. \(12 = 2^2 \cdot 3\). Für \(12\) werden zwei Faktoren \(2\) benötigt, \(90\) enthält aber nur einen; daher ist \(12\) kein gemeinsamer Teiler. 4. \(18 = 2 \cdot 3^2\). Beide Ausgangszahlen enthalten mindestens einen Faktor \(2\) und zwei Faktoren \(3\); daher ist \(18\) gemeinsamer Teiler. 5. \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Der Faktor \(5\) fehlt in der Primfaktorzerlegung von \(72\); daher ist \(30\) kein gemeinsamer Teiler.

a) \(72 = 2^3 \cdot 3^2\), \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\) b) \(6 = 2 \cdot 3\): in beiden Zerlegungen vorhanden, also gemeinsamer Teiler. \(12 = 2^2 \cdot 3\): \(90\) enthält nur einen Faktor \(2\), also kein gemeinsamer Teiler. \(18 = 2 \cdot 3^2\): in beiden Zerlegungen mit ausreichender Häufigkeit vorhanden, also gemeinsamer Teiler. \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\): \(72\) enthält keinen Faktor \(5\), also kein gemeinsamer Teiler.

- Zerlege zuerst beide Zahlen vollständig in Primfaktoren und ordne gleiche Primfaktoren untereinander. - Für einen gemeinsamen Teiler darf kein Primfaktor häufiger verwendet werden, als er in einer der beiden Zahlen vorkommt. - Für ein gemeinsames Vielfaches müssen dagegen alle Primfaktoren beider Zahlen in ausreichender Häufigkeit enthalten sein.

1. Die Primfaktorzerlegungen lauten \(54 = 2 \cdot 3^3\) und \(72 = 2^3 \cdot 3^2\). 2. Für den \(\operatorname{ggT}\) werden die gemeinsamen Primfaktoren mit der jeweils kleineren vorkommenden Potenz verwendet. Daher gilt \(\operatorname{ggT}(54;72) = 2 \cdot 3^2 = 18\). 3. Für das \(\operatorname{kgV}\) werden alle vorkommenden Primfaktoren mit der jeweils größeren vorkommenden Potenz verwendet. Daher gilt \(\operatorname{kgV}(54;72) = 2^3 \cdot 3^3 = 216\).

\(54 = 2 \cdot 3^3\), \(72 = 2^3 \cdot 3^2\). Für den \(\operatorname{ggT}\) nimmt man bei \(2\) und \(3\) jeweils die kleinere Potenz: \(\operatorname{ggT}(54;72) = 2 \cdot 3^2 = 18\). Für das \(\operatorname{kgV}\) nimmt man jeweils die größere Potenz: \(\operatorname{kgV}(54;72) = 2^3 \cdot 3^3 = 216\).

- Frage in jeder Situation: Muss das gesuchte Ergebnis die gegebenen Zahlen teilen, oder muss es selbst durch beide gegebenen Zahlen teilbar sein? - Achte darauf, ob „möglichst groß“ oder „kleinstmöglich“ verlangt wird. - Prüfe dein Ergebnis anschließend direkt an beiden Ausgangszahlen.

1. In a) wird eine möglichst große Länge gesucht, die beide Ausgangslängen ohne Rest teilt. Deshalb ist der größte gemeinsame Teiler passend: \(\operatorname{ggT}(84;126)=42\). 2. Jedes Holzstück ist \(42\,\text{cm}\) lang. 3. In b) wird die kleinste positive Kartenanzahl gesucht, die sowohl durch \(12\) als auch durch \(18\) teilbar ist. Deshalb ist das kleinste gemeinsame Vielfache passend: \(\operatorname{kgV}(12;18)=36\). 4. Die kleinste mögliche Sammlung enthält \(36\) Karten.

a) \(\operatorname{ggT}\), weil die gesuchte Stücklänge beide Ausgangslängen teilen und möglichst groß sein muss. \(\operatorname{ggT}(84;126)=42\); jedes Stück ist \(42\,\text{cm}\) lang. b) \(\operatorname{kgV}\), weil die gesuchte Kartenanzahl ein gemeinsames Vielfaches von \(12\) und \(18\) und möglichst klein sein muss. \(\operatorname{kgV}(12;18)=36\); die Sammlung enthält mindestens \(36\) Karten.

- Nutze zuerst die Bedingung an den größten gemeinsamen Teiler, um die möglichen Zahlen im Intervall einzuschränken. - Prüfe bei einem Kandidatenpaar den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache unabhängig voneinander. - Verwirf ein Paar, sobald eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, und ändere dann gezielt einen der beiden Werte.

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler genau \(6\) ist, müssen beide Zahlen Vielfache von \(6\) sein. Im vorgegebenen Bereich kommen \(12\), \(18\), \(24\) und \(30\) infrage. 2. Für das Paar \((12;18)\) gilt \(\operatorname{ggT}(12;18)=6\). 3. Die gemeinsamen Vielfachen von \(12\) und \(18\) beginnen bei \(36\), also ist \(\operatorname{kgV}(12;18)=36<100\). 4. Damit erfüllt \((12;18)\) alle drei Bedingungen. Ebenfalls möglich sind \((12;30)\), \((18;24)\) und \((18;30)\).

Zum Beispiel \((12;18)\), denn \(\operatorname{ggT}(12;18)=6\) und \(\operatorname{kgV}(12;18)=36<100\). Weitere mögliche Paare sind \((12;30)\), \((18;24)\) und \((18;30)\).

- Nutze das gegebene Produkt, um die möglichen Zahlenpaare systematisch einzugrenzen. - Prüfe bei jedem möglichen Paar, welche gemeinsamen Teiler die beiden Zahlen haben. - Für das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du die positiven Vielfachen der beiden Zahlen vergleichen.

1. Die Faktorpaare von \(180\) sind \((1;180)\), \((2;90)\), \((3;60)\), \((4;45)\), \((5;36)\), \((6;30)\), \((9;20)\), \((10;18)\) und \((12;15)\). 2. Prüft man bei jedem Paar den größten gemeinsamen Teiler, erfüllen nur \((3;60)\) und \((12;15)\) die Bedingung, dass er \(3\) ist. 3. Für \(3\) und \(60\) ist \(60\) das kleinste gemeinsame Vielfache, weil \(60\) bereits ein Vielfaches von \(3\) ist. 4. Bei \(12\) und \(15\) ist \(60\) das erste positive gemeinsame Vielfache: Die Vielfachen von \(12\) beginnen mit \(12\), \(24\), \(36\), \(48\), \(60\); die Vielfachen von \(15\) mit \(15\), \(30\), \(45\), \(60\).

a) \((3;60)\) und \((12;15)\) b) Für beide Zahlenpaare ist das kleinste gemeinsame Vielfache \(60\).

- Vergleiche bei den Beispielen aus a) jeweils das kgV mit dem Produkt der beiden Zahlen. - Überlege, was ein gemeinsamer Teiler zweier Zahlen auch über ihre Differenz aussagt. - Wie groß ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen?

1. Es gilt \(\operatorname{kgV}(3,4)=12\), \(\operatorname{kgV}(4,5)=20\) und \(\operatorname{kgV}(7,8)=56\). 2. In jedem Beispiel ist das kgV gleich dem Produkt der beiden Zahlen. 3. Vermutung: Für aufeinanderfolgende natürliche Zahlen \(n\) und \(n+1\) gilt \(\operatorname{kgV}(n,n+1)=n(n+1)\). 4. Teilt eine Zahl \(d\) sowohl \(n\) als auch \(n+1\), dann teilt \(d\) auch die Differenz \((n+1)-n=1\). Deshalb ist der einzige gemeinsame positive Teiler \(1\). 5. Die beiden Zahlen sind also teilerfremd; deshalb ist ihr kgV ihr Produkt.

a) \(12\), \(20\) und \(56\) b) Das kgV zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist ihr Produkt. c) Zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen haben nur den gemeinsamen Teiler \(1\), weil jeder gemeinsame Teiler auch ihre Differenz \(1\) teilen müsste. Daher sind sie teilerfremd und ihr kgV ist ihr Produkt.

- Bestimme für beide vorgegebenen Zahlenpaare zuerst jeweils das \(\mathrm{kgV}\) und das Produkt. - Vergleiche danach die Primfaktoren der beiden Zahlen innerhalb jedes Paares. - Überlege zum Schluss, was zwei einzelne Beispiele über eine Behauptung aussagen können, die für alle positiven natürlichen Zahlen formuliert ist.

1. Für \(3\) und \(5\) gilt \(\mathrm{kgV}(3,5)=15\) und \(3\cdot5=15\). Beide Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor. 2. Für \(4\) und \(6\) gilt \(\mathrm{kgV}(4,6)=12\), während \(4\cdot6=24\) ist. Beide Zahlen enthalten den gemeinsamen Primfaktor \(2\). 3. Beim ersten Zahlenpaar werden für das \(\mathrm{kgV}\) alle Primfaktoren aus beiden Zahlen benötigt. Beim zweiten Zahlenpaar kommt ein gemeinsamer Primfaktor im Produkt mehrfach vor, obwohl er für das \(\mathrm{kgV}\) nicht in derselben Weise doppelt übernommen werden muss. 4. Die beiden Beispiele passen zu Bens Behauptung, beweisen aber keine Aussage über alle positiven natürlichen Zahlen. Für einen allgemeinen Beweis müsste man zusätzlich zeigen, dass beide Richtungen der Behauptung für jedes positive Zahlenpaar gelten.

Für \(3\) und \(5\) gilt \(\mathrm{kgV}(3,5)=15=3\cdot5\). Für \(4\) und \(6\) gilt \(\mathrm{kgV}(4,6)=12<24=4\cdot6\). Der gemeinsame Primfaktor \(2\) erklärt beim zweiten Paar, warum das Produkt größer ist als das \(\mathrm{kgV}\). Die beiden Beispiele stützen Bens Behauptung, beweisen sie aber nicht allgemein.

- Schreibe dir für den ersten Teil beide Mengen ordentlich untereinander auf. - Kannst du bei Teil b) die Vielfachen beider Zahlen nacheinander durchgehen, bis du einen Treffer hast? - Überlege für Teil c), was die größte Zahl in einer Teilermenge und die kleinste Zahl in einer Vielfachenmenge ist.

1. \(T(12)=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) und \(T(18)=\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\). Die gemeinsamen Teiler sind \(\{1; 2; 3; 6\}\). 2. Die positiven Vielfachen beginnen mit \(V(10)=\{10; 20; 30; 40; \dots\}\) und \(V(15)=\{15; 30; 45; \dots\}\). Die kleinste gemeinsame positive Zahl ist \(30\). 3. In \(T(20)\) liegen positive Teiler von \(20\), in \(V(20)\) positive Vielfache von \(20\). Die einzige Zahl, die in beiden Mengen liegt, ist \(20\) selbst.

a) \(T(12)=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\), \(T(18)=\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\); gemeinsam: \(\{1; 2; 3; 6\}\) b) \(30\) c) Ja, \(20\).

- Welche Zahlen unter 100 sind durch 4 und durch 9 teilbar? - Wie viele solcher Zahlen gibt es überhaupt? Liste sie erst einmal auf. - Untersuche dann für diese wenigen Zahlen die Anzahl ihrer Teiler. - Wenn eine Zahl eine ungerade Anzahl an Teilern hat (wie hier 9), was sagt das über die Art der Zahl aus?

1. Bestimmung der gemeinsamen Vielfachen von \(4\) und \(9\), die kleiner als \(100\) sind: Da \(4\) und \(9\) keine gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist das kleinste gemeinsame Vielfache \(4 \cdot 9 = 36\). Das nächste Vielfache ist \(2 \cdot 36 = 72\). Weitere Vielfache (wie \(108\)) sind zu groß. 2. Bestimmung der Teileranzahl von \(36\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Dies sind genau \(9\) Teiler. 3. Bestimmung der Teileranzahl von \(72\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\). Dies sind \(12\) Teiler. 4. Die einzige Zahl, die alle Bedingungen erfüllt, ist \(36\).

Die Zahl heißt \(36\).

- Welche Zahl passt in die Malreihen von 3 und ergibt als kleinstes gemeinsames Vielfaches die 6? - Überprüfe, ob diese Zahl auch mit der 5 das \(\text{kgV}\) 10 ergibt.

1. Wir suchen die mittlere Zahl \(x\) der Basis. Es muss gelten: \(\text{kgV}(3, x) = 6\) und \(\text{kgV}(x, 5) = 10\). 2. Aus \(\text{kgV}(3, x) = 6\) folgt, dass \(x\) ein Teiler von 6 sein muss und die 2 enthalten muss. Mögliche Werte für \(x\) sind \(2\) oder \(6\). 3. Aus \(\text{kgV}(x, 5) = 10\) folgt, dass \(x\) ein Teiler von 10 sein muss. Nur \(x = 2\) erfüllt beide Bedingungen. 4. Den Spitzenstein berechnen: \(\text{kgV}(6, 10) = 30\).

Der fehlende Basisstein ist die \(2\). Der Stein an der Spitze ist die \(30\).