- Du musst die Teiler nicht selbst bestimmen; beide vollständigen Mengen sind bereits gegeben. - Vergleiche die beiden Mengen Zahl für Zahl. - Notiere nur Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

1. Vergleiche die beiden Teilermengen und suche die Zahlen, die in beiden vorkommen. 2. In beiden Mengen stehen \(1\), \(2\), \(3\) und \(6\). 3. Diese Zahlen sind die gemeinsamen Teiler von \(18\) und \(24\).

Die gemeinsamen Teiler sind \(1\), \(2\), \(3\) und \(6\).

- Vergleiche die markierten Zahlen in beiden Zahlenstrahlen. - Beginne links bei den kleinsten positiven Markierungen. - Suche die erste Zahl, die in beiden Markierungsfolgen vorkommt.

1. Lies die markierten Zahlen in beiden Zahlenstrahlen von links nach rechts ab. 2. Die erste positive Zahl, die in beiden Markierungsfolgen vorkommt, ist \(12\). 3. Damit ist \(12\) das kleinste gemeinsame positive Vielfache von \(4\) und \(6\).

Die kleinste positive Zahl, die in beiden Zahlenstrahlen markiert ist, lautet \(12\).

- Die gemeinsamen Teiler sind schon gegeben; du musst sie nicht neu bestimmen. - Vergleiche nur ihre Größe. - Der \(\operatorname{ggT}\) ist der größte gemeinsame Teiler.

1. Von den gemeinsamen Teilern \(1\), \(2\), \(5\) und \(10\) ist \(10\) der größte. 2. Daher gilt \(\operatorname{ggT}(20;30)=10\).

\(\operatorname{ggT}(20;30)=10\)

- Schreibe die Reihen beider Zahlen erst einmal untereinander auf. - Gibt es eine Regel für die Endziffern bei Vielfachen von \(5\)? Das könnte die Suche in der anderen Menge erleichtern. - Schreibe so viele Vielfache auf, dass das erste gemeinsame Vielfache in beiden Listen sichtbar ist.

1. Die ersten acht positiven Vielfachen von \(5\) sind \(5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40\). 2. Die ersten acht positiven Vielfachen von \(8\) sind \(8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64\). 3. Beim Vergleich der beiden Listen ist \(40\) die erste Zahl, die in beiden vorkommt. Daher ist \(40\) das kleinste gemeinsame positive Vielfache.

a) \(V(5)=\{5;10;15;20;25;30;35;40;\dots\}\) und \(V(8)=\{8;16;24;32;40;48;56;64;\dots\}\) b) Die kleinste gemeinsame positive Zahl ist \(40\).

- Prüfe zuerst für jede Zahl, ob sie als \(4 \cdot k\) mit einer natürlichen Zahl \(k\) geschrieben werden kann. - Gehe für die Vielfachen von \(5\) genauso vor. - Für Teil c) brauchst du nur die Zahlen zu vergleichen, die in den beiden vorherigen Listen vorkommen.

1. Vielfache von \(4\) sind \(140\), \(360\), \(500\) und \(624\), denn \(140 : 4 = 35\), \(360 : 4 = 90\), \(500 : 4 = 125\) und \(624 : 4 = 156\). 2. Vielfache von \(5\) sind \(140\), \(255\), \(360\), \(500\) und \(750\), denn \(140 : 5 = 28\), \(255 : 5 = 51\), \(360 : 5 = 72\), \(500 : 5 = 100\) und \(750 : 5 = 150\). 3. In beiden Listen stehen \(140\), \(360\) und \(500\). Diese Zahlen sind gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(5\).

a) \(140 : 4 = 35\), \(360 : 4 = 90\), \(500 : 4 = 125\), \(624 : 4 = 156\) b) \(140 : 5 = 28\), \(255 : 5 = 51\), \(360 : 5 = 72\), \(500 : 5 = 100\), \(750 : 5 = 150\) c) \(140\), \(360\) und \(500\) stehen in beiden Listen und sind daher gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(5\).

- Schreibe die Malreihen der beiden Zahlen auf. - Achte darauf, nur Zahlen aufzuschreiben, die kleiner als 100 sind. - Markiere die Zahlen, die in beiden Malreihen vorkommen. - Gibt es ein Muster bei den gemeinsamen Zahlen?

1. Die Vielfachen von \(8\) unter \(100\) sind \(V(8) = \{8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96\}\). 2. Die Vielfachen von \(12\) unter \(100\) sind \(V(12) = \{12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96\}\). 3. In beiden Listen stehen \(24\), \(48\), \(72\) und \(96\).

\(\{24; 48; 72; 96\}\)

- Was bedeutet das Wort „Teiler“? - Kannst du für jede Zahl einzeln alle Zahlen finden, durch die sie ohne Rest teilbar ist? - Welche dieser Zahlen kommen in beiden Listen vor? - Überprüfe systematisch von der 1 an aufwärts, ob die Zahl ein Teiler ist.

1. Es gilt \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\). 2. Es gilt \(T(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84\}\). 3. In beiden Mengen kommen \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) und \(12\) vor. 4. Daher gilt \(T(60) \cap T(84) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\).

\(\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\)

- Schreibe zunächst einige positive Vielfache von \(4\) und von \(6\) untereinander. - Suche die erste Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. - Prüfe, in welchem regelmäßigen Abstand die weiteren gemeinsamen Zahlen folgen.

1. Die positiven Vielfachen von \(4\) beginnen mit \(4\), \(8\), \(12\), \(16\), \(20\), \(24\), \(28\), \(32\), \(36\), \(\dots\). 2. Die positiven Vielfachen von \(6\) beginnen mit \(6\), \(12\), \(18\), \(24\), \(30\), \(36\), \(\dots\). 3. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache ist \(12\). Alle weiteren positiven gemeinsamen Vielfachen entstehen durch weitere positive Vielfache von \(12\). 4. Die gesuchte Menge lautet daher \(\{12; 24; 36; 48; 60; \dots\}\).

Die gesuchte Menge der positiven gemeinsamen Vielfachen ist \(\{12; 24; 36; 48; 60; \dots\}\).

- Bestimme zuerst das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\). - Prüfe anschließend, welche Zahlen der Liste Vielfache dieses gemeinsamen Vielfachen sind. - Eine Division ohne Rest liefert einen direkten Nachweis.

1. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\) ist \(12\). Jede Zahl, die ein gemeinsames Vielfaches von \(3\) und \(4\) ist, ist daher ein Vielfaches von \(12\). 2. Es gilt \(132 : 12 = 11\), \(744 : 12 = 62\) und \(1008 : 12 = 84\). Diese drei Zahlen sind gemeinsame Vielfache. 3. Die Divisionen \(258 : 12\), \(412 : 12\) und \(630 : 12\) gehen nicht ohne Rest auf. Diese Zahlen sind keine gemeinsamen Vielfachen von \(3\) und \(4\).

\(132\), \(744\) und \(1008\), denn \(132 : 12 = 11\), \(744 : 12 = 62\) und \(1008 : 12 = 84\).

- Berechne zuerst die beiden Steine direkt über der Grundreihe. - Für jeden Stein brauchst du nur die zwei Zahlen unmittelbar darunter. - Beim obersten Stein kannst du die ersten Vielfachen der beiden bereits gefundenen Werte vergleichen.

1. Für den linken Stein der mittleren Reihe gilt \(\operatorname{kgV}(2;3)=6\). 2. Für den rechten Stein der mittleren Reihe gilt \(\operatorname{kgV}(3;5)=15\). 3. Für den obersten Stein wird \(\operatorname{kgV}(6;15)\) bestimmt. Die positiven Vielfachen von \(6\) beginnen mit \(6\), \(12\), \(18\), \(24\), \(30\), \(\dots\), die von \(15\) mit \(15\), \(30\), \(45\), \(\dots\). Das erste gemeinsame positive Vielfache ist \(30\).

In der mittleren Reihe stehen \(6\) und \(15\). Der oberste Stein ist \(30\).

- Bestimme die Teilermengen systematisch über passende Faktorpaare. - Vergleiche die beiden vollständigen Mengen und notiere nur Zahlen, die in beiden vorkommen. - Der gesuchte \(\operatorname{ggT}\) ist nicht irgendein gemeinsamer Teiler, sondern der größte davon.

1. Die vollständige Teilermenge von \(42\) ist \(T(42)=\{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\). 2. Die vollständige Teilermenge von \(56\) ist \(T(56)=\{1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56\}\). 3. Die gemeinsamen Teiler sind \(1\), \(2\), \(7\) und \(14\). 4. Der größte dieser gemeinsamen Teiler ist \(14\). Daher gilt \(\operatorname{ggT}(42;56)=14\).

\(T(42)=\{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\) \(T(56)=\{1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56\}\) Die gemeinsamen Teiler sind \(1\), \(2\), \(7\) und \(14\); somit gilt \(\operatorname{ggT}(42;56)=14\).

- Überlege, durch welche Zahlen sich sowohl \(48\) als auch \(60\) ohne Rest teilen lassen. - Gesucht ist die größte Zahl, mit der beide Aufklebermengen gleichmäßig verteilt werden können. - Wenn du die Zahl der Tüten kennst, teile beide Aufklebermengen durch diese Zahl.

1. Die Anzahl der Tüten muss sowohl \(48\) als auch \(60\) ohne Rest teilen. Gesucht ist daher der größte gemeinsame Teiler. 2. Die gemeinsamen Teiler von \(48\) und \(60\) sind \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\) und \(12\). Also gilt \(\operatorname{ggT}(48;60)=12\). 3. Mila kann höchstens \(12\) Tüten packen. 4. In jede Tüte kommen \(48:12=4\) Apfel-Aufkleber und \(60:12=5\) Stern-Aufkleber.

Mila kann höchstens \(12\) Tüten packen. In jeder Tüte sind \(4\) Apfel-Aufkleber und \(5\) Stern-Aufkleber.

- Schreibe einige Vielfache von \(8\) und von \(12\) auf. - Suche die kleinste positive Zahl, die in beiden Reihen vorkommt. - Rechne diese Anzahl von Minuten zu 9:00 Uhr dazu.

1. Die positiven Vielfachen von \(8\) beginnen mit \(8\), \(16\), \(24\), \(32\), \(\dots\). Die positiven Vielfachen von \(12\) beginnen mit \(12\), \(24\), \(36\), \(\dots\). 2. Das kleinste gemeinsame positive Vielfache ist \(24\). Daher gilt \(\operatorname{kgV}(8;12)=24\). 3. Nach \(24\,\text{min}\) fahren beide Linien wieder gleichzeitig ab. Das ist um 9:24 Uhr.

\(\operatorname{kgV}(8;12)=24\). Beide Linien fahren um 9:24 Uhr wieder gleichzeitig ab.

- Vergleiche die Exponenten gleicher Primfaktoren in beiden Zerlegungen. - Beim \(\operatorname{ggT}\) dürfen nur Faktoren vorkommen, die beide Zahlen teilen. - Beim \(\operatorname{kgV}\) muss die Zerlegung ausreichen, damit beide Ausgangszahlen darin enthalten sind.

1. Für den \(\operatorname{ggT}\) werden nur gemeinsame Primfaktoren mit der kleineren Potenz verwendet: \(2^2\cdot3=12\). 2. Daher gilt \(\operatorname{ggT}(48;180)=12\). 3. Für das \(\operatorname{kgV}\) werden alle vorkommenden Primfaktoren mit der größeren Potenz verwendet: \(2^4\cdot3^2\cdot5=720\). 4. Daher gilt \(\operatorname{kgV}(48;180)=720\). 5. Der Primfaktor \(5\) kommt nur in \(180\) vor. Deshalb kann er kein gemeinsamer Teilerfaktor sein, wird für ein gemeinsames Vielfaches aber benötigt.

a) \(\operatorname{ggT}(48;180)=12\) b) \(\operatorname{kgV}(48;180)=720\) c) \(5\) ist kein gemeinsamer Primfaktor, muss aber im gemeinsamen Vielfachen enthalten sein.

- Vergleiche bei jedem Paar nur die Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen. - Für „teilerfremd“ darf außer \(1\) kein weiterer gemeinsamer Teiler vorhanden sein. - Prüfe die beiden Paare getrennt.

1. Die Teilermengen von \(8\) und \(15\) haben nur den Teiler \(1\) gemeinsam. Deshalb sind \(8\) und \(15\) teilerfremd. 2. Die Teilermengen von \(14\) und \(21\) enthalten beide \(1\) und \(7\). Deshalb sind diese beiden Zahlen nicht teilerfremd.

a) \(8\) und \(15\) sind teilerfremd. b) \(14\) und \(21\) haben den gemeinsamen Teiler \(7\).

- Bestimme zuerst die vollständigen Teilermengen beider Zahlen und vergleiche sie. - Für das \(\operatorname{kgV}\) kannst du gemeinsame Vielfache suchen oder die Primfaktorzerlegungen vergleichen. - Berechne für c) das Produkt der beiden Ausgangszahlen und vergleiche die beiden Werte.

1. Es gilt \(T(24)=\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\) und \(T(36)=\{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}\). 2. Die gemeinsamen Teiler größer als \(1\) sind \(\{2; 3; 4; 6; 12\}\). 3. Mit \(24=2^3\cdot3\) und \(36=2^2\cdot3^2\) erhält man \(\operatorname{kgV}(24;36)=2^3\cdot3^2=72\). 4. Das Produkt ist \(24\cdot36=864\). Da \(72<864\) gilt, ist das \(\operatorname{kgV}\) kleiner als das Produkt.

a) \(\{2; 3; 4; 6; 12\}\) b) \(\operatorname{kgV}(24;36)=72\) c) Ja, denn \(72<864\).

- Überlege zuerst, welche Zahlen von \(1\) bis \(9\) überhaupt Teiler von \(12\) sind. - Prüfe die möglichen Paare darauf, ob \(12\) ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist. - Vertausche ein bereits geprüftes Paar nicht noch einmal.

1. Beide Zahlen müssen Teiler von \(12\) sein. Unter \(10\) kommen daher \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(6\) infrage. 2. Prüft man die verschiedenen Paare, gilt \(\operatorname{kgV}(3;4)=12\) und \(\operatorname{kgV}(4;6)=12\). 3. Bei allen anderen Paaren aus der Kandidatenliste ist das kleinste gemeinsame Vielfache kleiner als \(12\) oder nicht \(12\). 4. Daher sind genau die Paare \(3\) und \(4\) sowie \(4\) und \(6\) möglich.

Die Paare sind \(3\) und \(4\) sowie \(4\) und \(6\).

- Schreibe dir für den ersten Teil beide Mengen ordentlich untereinander auf. - Kannst du bei Teil b) die Vielfachen beider Zahlen nacheinander durchgehen, bis du einen Treffer hast? - Prüfe bei Teil c) die positiven Teiler von \(20\) darauf, ob sie zugleich zur Vielfachenmenge von \(20\) gehören.

1. \(T(12)=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) und \(T(18)=\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\). Die gemeinsamen Teiler sind \(\{1; 2; 3; 6\}\). 2. Die positiven Vielfachen beginnen mit \(V(10)=\{10; 20; 30; 40; \dots\}\) und \(V(15)=\{15; 30; 45; \dots\}\). Die kleinste gemeinsame positive Zahl ist \(30\). 3. In \(T(20)\) liegen positive Teiler von \(20\), in \(V(20)\) positive Vielfache von \(20\). Die einzige Zahl, die in beiden Mengen liegt, ist \(20\) selbst.

a) \(T(12)=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\), \(T(18)=\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\); gemeinsam: \(\{1; 2; 3; 6\}\) b) \(30\) c) Ja, \(20\).

- Kannst du zuerst alle Zahlen finden, durch die man die größere Zahl ohne Rest teilen kann? - Welche dieser Zahlen kommen in der 5er-Reihe vor? - Überlege dir, welche Endziffern Vielfache von \(5\) immer haben. - Gehe deine Liste der Teiler Schritt für Schritt durch.

1. Die Teiler von \(60\) sind \(T(60) = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\). 2. Davon sind \(5\), \(10\), \(15\), \(20\), \(30\) und \(60\) durch \(5\) teilbar. 3. Diese sechs Zahlen sind daher gleichzeitig Teiler von \(60\) und Vielfache von \(5\).

\(5; 10; 15; 20; 30; 60\)

- Beschränke dich auf den kurzen Zahlenbereich von \(730\) bis \(739\). - Erzeuge jede Vielfachenliste unabhängig und vollständig. - Für c) suchst du nicht neu, sondern den gemeinsamen Eintrag der beiden Listen.

1. Zwischen \(730\) und \(739\) liegen die Vielfachen \(732 = 4 \cdot 183\) und \(736 = 4 \cdot 184\). Daher sind in a) die Ziffern \(2\) und \(6\) möglich. 2. Im selben Bereich liegen die Vielfachen \(732 = 3 \cdot 244\), \(735 = 3 \cdot 245\) und \(738 = 3 \cdot 246\). Daher sind in b) die Ziffern \(2\), \(5\) und \(8\) möglich. 3. Nur \(732\) steht in beiden Vielfachenlisten. Daher ist in c) nur die Ziffer \(2\) möglich.

a) Vielfache von \(4\): \(732\), \(736\); also \(\square \in \{2;6\}\). b) Vielfache von \(3\): \(732\), \(735\), \(738\); also \(\square \in \{2;5;8\}\). c) Gemeinsames Vielfaches in beiden Listen: \(732\); also \(\square = 2\).

- Bestimme zuerst den regelmäßigen Abstand zwischen gemeinsamen Vielfachen von \(3\) und \(4\). - Erzeuge die vollständige Liste im vorgegebenen Hunderterbereich. - Filtere erst danach nach dem Stellenmuster \(25\square2\).

1. Die gemeinsamen positiven Vielfachen von \(3\) und \(4\) sind die Vielfachen von \(12\). 2. Zwischen \(2500\) und \(2600\) liegen \(2508\), \(2520\), \(2532\), \(2544\), \(2556\), \(2568\), \(2580\) und \(2592\). 3. Zur Form \(25\square2\) passen \(2532\) und \(2592\). 4. Daher sind die Ziffern \(3\) und \(9\) möglich.

Gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\) zwischen \(2500\) und \(2600\): \(2508\), \(2520\), \(2532\), \(2544\), \(2556\), \(2568\), \(2580\), \(2592\). Zur Form \(25\square2\) passen \(2532\) und \(2592\); daher \(\square \in \{3;9\}\).

- Bestimme zuerst, welches das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(9\) ist. - Schreibe die gemeinsamen Vielfachen nur im durch \(1\square2\) vorgegebenen Zahlenbereich auf. - Vergleiche anschließend die gefundenen Zahlen mit dem Stellenmuster.

1. Die kleinsten positiven gemeinsamen Vielfachen von \(4\) und \(9\) erhält man in Schritten von \(36\). 2. Im Zahlenbereich von \(102\) bis \(192\) liegen die gemeinsamen Vielfachen \(108\), \(144\) und \(180\). 3. Keine dieser Zahlen hat die Form \(1\square2\). 4. Deshalb gibt es keine Ziffer, die die Bedingung erfüllt.

Es gibt keine passende Ziffer: Die gemeinsamen Vielfachen \(108\), \(144\) und \(180\) im möglichen Zahlenbereich haben keines die Form \(1\square2\).

- Prüfe zuerst, ob alle drei Teilbarkeitsbedingungen unabhängig voneinander sind. - Suche die gemeinsamen Vielfachen der beiden entscheidenden Zahlen im angegebenen Bereich vollständig. - Vergleiche anschließend nur noch mit dem Stellenmuster.

1. Jedes Vielfache von \(9\) ist auch durch \(3\) teilbar. Deshalb genügt es, gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) zu betrachten. 2. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) ist \(45\). Zwischen \(400\) und \(500\) liegen die Vielfachen \(405\), \(450\) und \(495\). 3. Zur Form \(4\square5\) passen \(405\) und \(495\). 4. Daher sind die Ziffern \(0\) und \(9\) möglich. Beide Zahlen sind als Vielfache von \(9\) automatisch auch durch \(3\) teilbar.

Gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) zwischen \(400\) und \(500\): \(405\), \(450\), \(495\). Zur Form \(4\square5\) passen \(405\) und \(495\); daher \(\square \in \{0;9\}\). Da jedes Vielfache von \(9\) auch ein Vielfaches von \(3\) ist, ist die dritte Bedingung damit ebenfalls erfüllt.

- Bestimme zuerst die positiven Teiler von \(70\). - Prüfe anschließend, welche davon auch Vielfache von \(14\) sind. - Beachte, dass ein positiver Teiler von \(70\) nicht größer als \(70\) sein kann.

1. Die positiven Vielfachen beginnen mit \(V(14)=\{14; 28; 42; 56; 70; 84; \dots\}\). 2. Die Teilermenge ist \(T(70)=\{1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70\}\). 3. In beiden Mengen liegen \(14\) und \(70\). Weitere Vielfache von \(14\) sind größer als \(70\) und können deshalb keine Teiler von \(70\) sein. 4. Die gesuchte Schnittmenge ist \(\{14; 70\}\).

\(\{14; 70\}\)

- Notiere auch bei einer Division mit Rest die vollständige Form \(n = d \cdot q + r\). - Erstelle die beiden Ergebnislisten erst, nachdem alle fünf Divisionen des jeweiligen Teils durchgeführt sind. - Für c) suchst du den gemeinsamen Eintrag beider Listen.

1. Bei Division durch \(9\) gilt \(132 = 9 \cdot 14 + 6\), \(225 : 9 = 25\), \(316 = 9 \cdot 35 + 1\), \(450 : 9 = 50\) und \(504 : 9 = 56\). Daher sind \(225\), \(450\) und \(504\) Vielfache von \(9\). 2. Bei Division durch \(4\) gilt \(132 : 4 = 33\), \(225 = 4 \cdot 56 + 1\), \(316 : 4 = 79\), \(450 = 4 \cdot 112 + 2\) und \(504 : 4 = 126\). Daher sind \(132\), \(316\) und \(504\) Vielfache von \(4\). 3. Nur \(504\) steht in beiden Ergebnislisten. Daher ist \(504\) das einzige gemeinsame Vielfache in der gegebenen Auswahl.

a) \(132 = 9 \cdot 14 + 6\), \(225 : 9 = 25\), \(316 = 9 \cdot 35 + 1\), \(450 : 9 = 50\), \(504 : 9 = 56\). Vielfache von \(9\): \(225\), \(450\), \(504\). b) \(132 : 4 = 33\), \(225 = 4 \cdot 56 + 1\), \(316 : 4 = 79\), \(450 = 4 \cdot 112 + 2\), \(504 : 4 = 126\). Vielfache von \(4\): \(132\), \(316\), \(504\). c) \(504\), weil die Zahl in beiden Ergebnislisten vorkommt.

- Prüfe, welche der genannten Bedingungen automatisch schon durch eine stärkere Vielfachenbedingung mit abgedeckt werden. - Suche danach gemeinsame Vielfache nur noch für die wirklich notwendigen Grundzahlen. - Prüfe die ersten Kandidaten der Reihe, bis auch die letzte noch offene Bedingung erfüllt ist.

1. Jede Zahl, die ein Vielfaches von \(8\) ist, ist bereits ein Vielfaches von \(2\) und \(4\). Jede Zahl, die ein Vielfaches von \(10\) ist, ist bereits ein Vielfaches von \(2\) und \(5\). Deshalb genügt es, gemeinsame Vielfache von \(8\), \(10\) und \(3\) zu betrachten. 2. Die gemeinsamen positiven Vielfachen von \(8\) und \(10\) beginnen mit \(40\), \(80\), \(120\), \(160\), \(\dots\). 3. Von diesen Zahlen ist \(120\) die erste, die zugleich ein Vielfaches von \(3\) ist, denn \(120 : 3 = 40\), während \(40\) und \(80\) nicht ohne Rest durch \(3\) teilbar sind. 4. Somit ist \(120\) die kleinste positive Zahl, die alle sechs Bedingungen erfüllt.

\(120\). Es genügt, gemeinsame Vielfache von \(8\), \(10\) und \(3\) zu prüfen, weil damit die Bedingungen für \(2\), \(4\) und \(5\) bereits erfüllt sind. Von \(40\), \(80\), \(120\), \(\dots\) ist \(120\) das erste Vielfache von \(3\).

- Zerlege zuerst beide Ausgangszahlen vollständig, bevor du die vier Zahlen prüfst. - Achte bei jedem möglichen Teiler nicht nur auf die Primzahlen, sondern auch darauf, wie oft sie vorkommen. - Sage bei jeder Zahl, welcher Primfaktor passt oder welcher fehlt.

1. Es gilt \(72 = 2^3 \cdot 3^2\) und \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\). 2. \(6 = 2 \cdot 3\). Beide Ausgangszahlen enthalten mindestens einen Faktor \(2\) und einen Faktor \(3\); daher ist \(6\) gemeinsamer Teiler. 3. \(12 = 2^2 \cdot 3\). Für \(12\) werden zwei Faktoren \(2\) benötigt, \(90\) enthält aber nur einen; daher ist \(12\) kein gemeinsamer Teiler. 4. \(18 = 2 \cdot 3^2\). Beide Ausgangszahlen enthalten mindestens einen Faktor \(2\) und zwei Faktoren \(3\); daher ist \(18\) gemeinsamer Teiler. 5. \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). Der Faktor \(5\) fehlt in der Primfaktorzerlegung von \(72\); daher ist \(30\) kein gemeinsamer Teiler.

a) \(72 = 2^3 \cdot 3^2\), \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\) b) \(6 = 2 \cdot 3\): in beiden Zerlegungen vorhanden, also gemeinsamer Teiler. \(12 = 2^2 \cdot 3\): \(90\) enthält nur einen Faktor \(2\), also kein gemeinsamer Teiler. \(18 = 2 \cdot 3^2\): in beiden Zerlegungen mit ausreichender Häufigkeit vorhanden, also gemeinsamer Teiler. \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\): \(72\) enthält keinen Faktor \(5\), also kein gemeinsamer Teiler.

- Zerlege zuerst beide Zahlen vollständig in Primfaktoren und ordne gleiche Primfaktoren untereinander. - Für einen gemeinsamen Teiler darfst du keinen Primfaktor öfter verwenden, als er in beiden Zahlen vorkommt. - Für ein gemeinsames Vielfaches musst du von jedem Primfaktor so viele Faktoren verwenden, dass beide Zahlen darin enthalten sind.

1. Die Primfaktorzerlegungen lauten \(54 = 2 \cdot 3^3\) und \(72 = 2^3 \cdot 3^2\). 2. Für den \(\operatorname{ggT}\) werden die gemeinsamen Primfaktoren mit der jeweils kleineren vorkommenden Potenz verwendet. Daher gilt \(\operatorname{ggT}(54;72) = 2 \cdot 3^2 = 18\). 3. Für das \(\operatorname{kgV}\) werden alle vorkommenden Primfaktoren mit der jeweils größeren vorkommenden Potenz verwendet. Daher gilt \(\operatorname{kgV}(54;72) = 2^3 \cdot 3^3 = 216\).

\(54 = 2 \cdot 3^3\), \(72 = 2^3 \cdot 3^2\). Für den \(\operatorname{ggT}\) nimmt man bei \(2\) und \(3\) jeweils die kleinere Potenz: \(\operatorname{ggT}(54;72) = 2 \cdot 3^2 = 18\). Für das \(\operatorname{kgV}\) nimmt man jeweils die größere Potenz: \(\operatorname{kgV}(54;72) = 2^3 \cdot 3^3 = 216\).

- Frage in jeder Situation: Muss das gesuchte Ergebnis die gegebenen Zahlen teilen, oder muss es selbst durch beide gegebenen Zahlen teilbar sein? - Achte darauf, ob „möglichst groß“ oder „kleinstmöglich“ verlangt wird. - Prüfe dein Ergebnis anschließend direkt an beiden Ausgangszahlen.

1. In a) wird eine möglichst große Länge gesucht, die beide Ausgangslängen ohne Rest teilt. Deshalb ist der größte gemeinsame Teiler passend: \(\operatorname{ggT}(84;126)=42\). 2. Jedes Holzstück ist \(42\,\text{cm}\) lang. 3. In b) wird die kleinste positive Kartenanzahl gesucht, die sowohl durch \(12\) als auch durch \(18\) teilbar ist. Deshalb ist das kleinste gemeinsame Vielfache passend: \(\operatorname{kgV}(12;18)=36\). 4. Die kleinste mögliche Sammlung enthält \(36\) Karten.

a) \(\operatorname{ggT}\), weil die gesuchte Stücklänge beide Ausgangslängen teilen und möglichst groß sein muss. \(\operatorname{ggT}(84;126)=42\); jedes Stück ist \(42\,\text{cm}\) lang. b) \(\operatorname{kgV}\), weil die gesuchte Kartenanzahl ein gemeinsames Vielfaches von \(12\) und \(18\) und möglichst klein sein muss. \(\operatorname{kgV}(12;18)=36\); die Sammlung enthält mindestens \(36\) Karten.

- Nutze zuerst die Bedingung an den größten gemeinsamen Teiler, um die möglichen Zahlen im Intervall einzuschränken. - Prüfe bei einem Kandidatenpaar den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache unabhängig voneinander. - Verwirf ein Paar, sobald eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, und ändere dann gezielt einen der beiden Werte.

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler genau \(6\) ist, müssen beide Zahlen Vielfache von \(6\) sein. Im vorgegebenen Bereich kommen \(12\), \(18\), \(24\) und \(30\) infrage. 2. Für das Paar \((12;18)\) gilt \(\operatorname{ggT}(12;18)=6\). 3. Die gemeinsamen Vielfachen von \(12\) und \(18\) beginnen bei \(36\), also ist \(\operatorname{kgV}(12;18)=36<100\). 4. Damit erfüllt \((12;18)\) alle drei Bedingungen. Ebenfalls möglich sind \((12;30)\), \((18;24)\) und \((18;30)\).

Zum Beispiel \((12;18)\), denn \(\operatorname{ggT}(12;18)=6\) und \(\operatorname{kgV}(12;18)=36<100\). Weitere mögliche Paare sind \((12;30)\), \((18;24)\) und \((18;30)\).

- Nutze das gegebene Produkt, um die möglichen Zahlenpaare systematisch einzugrenzen. - Prüfe bei jedem möglichen Paar, welche gemeinsamen Teiler die beiden Zahlen haben. - Für das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du die positiven Vielfachen der beiden Zahlen vergleichen.

1. Die Faktorpaare von \(180\) sind \((1;180)\), \((2;90)\), \((3;60)\), \((4;45)\), \((5;36)\), \((6;30)\), \((9;20)\), \((10;18)\) und \((12;15)\). 2. Prüft man bei jedem Paar den größten gemeinsamen Teiler, erfüllen nur \((3;60)\) und \((12;15)\) die Bedingung, dass er \(3\) ist. 3. Für \(3\) und \(60\) ist \(60\) das kleinste gemeinsame Vielfache, weil \(60\) bereits ein Vielfaches von \(3\) ist. 4. Bei \(12\) und \(15\) ist \(60\) das erste positive gemeinsame Vielfache: Die Vielfachen von \(12\) beginnen mit \(12\), \(24\), \(36\), \(48\), \(60\); die Vielfachen von \(15\) mit \(15\), \(30\), \(45\), \(60\).

a) \((3;60)\) und \((12;15)\) b) Für beide Zahlenpaare ist das kleinste gemeinsame Vielfache \(60\).

- Vergleiche in a) jedes \(\operatorname{kgV}\) mit dem Produkt der beiden Zahlen. - Überlege für c), was ein gemeinsamer Teiler auch über die Differenz der beiden Zahlen aussagt. - Wie groß ist die Differenz zweier direkt aufeinanderfolgender Zahlen?

1. Es gilt \(\operatorname{kgV}(3;4)=12\), \(\operatorname{kgV}(4;5)=20\) und \(\operatorname{kgV}(7;8)=56\). 2. In jedem Beispiel ist das \(\operatorname{kgV}\) gleich dem Produkt der beiden Zahlen. 3. Daher liegt die Vermutung nahe: Bei zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist das \(\operatorname{kgV}\) gleich ihrem Produkt. 4. Ein gemeinsamer Teiler beider Zahlen müsste auch ihre Differenz teilen. Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist \(1\). Deshalb ist \(1\) ihr einziger gemeinsamer positiver Teiler. 5. Die beiden Zahlen sind also teilerfremd. Deshalb ist ihr \(\operatorname{kgV}\) gleich ihrem Produkt.

a) \(12\), \(20\), \(56\) b) Vermutung: Das \(\operatorname{kgV}\) zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist ihr Produkt. c) Ein gemeinsamer Teiler müsste auch die Differenz \(1\) teilen. Daher ist \(1\) der einzige gemeinsame positive Teiler; die Zahlen sind teilerfremd und ihr \(\operatorname{kgV}\) ist ihr Produkt.

- Bestimme zuerst für beide Paare jeweils \(\operatorname{kgV}\) und Produkt. - Vergleiche danach die Primfaktoren innerhalb jedes Zahlenpaares. - Überlege bei c), ob zwei einzelne Beispiele schon etwas über alle möglichen Zahlenpaare beweisen können.

1. Für \(3\) und \(5\) gilt \(\operatorname{kgV}(3;5)=15\) und \(3\cdot5=15\). Die beiden Zahlen haben keinen gemeinsamen Primfaktor. 2. Für \(4\) und \(6\) gilt \(\operatorname{kgV}(4;6)=12\), aber \(4\cdot6=24\). Beide Zahlen enthalten den Primfaktor \(2\). 3. Beim zweiten Paar wird der gemeinsame Primfaktor im Produkt öfter mitgezählt, als es für das \(\operatorname{kgV}\) nötig ist. Deshalb ist das Produkt dort größer. 4. Die beiden Beispiele passen zu Bens Aussage. Zwei Beispiele zeigen aber noch nicht, dass sie für alle Zahlenpaare gilt. Dafür braucht man eine Begründung, die jedes Zahlenpaar erfasst.

a) \(\operatorname{kgV}(3;5)=15=3\cdot5\). Für \(4\) und \(6\) gilt \(\operatorname{kgV}(4;6)=12<24=4\cdot6\). b) \(4\) und \(6\) haben den gemeinsamen Primfaktor \(2\); \(3\) und \(5\) haben keinen gemeinsamen Primfaktor. c) Nein. Zwei Beispiele zeigen noch nicht, dass die Aussage für alle Zahlenpaare gilt.

- Welche Zahlen unter 100 sind durch 4 und durch 9 teilbar? - Wie viele solcher Zahlen gibt es überhaupt? Liste sie erst einmal auf. - Untersuche dann für diese wenigen Zahlen die Anzahl ihrer Teiler. - Wenn eine Zahl eine ungerade Anzahl an Teilern hat (wie hier 9), was sagt das über die Art der Zahl aus?

1. Bestimmung der gemeinsamen Vielfachen von \(4\) und \(9\), die kleiner als \(100\) sind: Da \(4\) und \(9\) keine gemeinsamen Teiler außer \(1\) haben, ist das kleinste gemeinsame Vielfache \(4 \cdot 9 = 36\). Das nächste Vielfache ist \(2 \cdot 36 = 72\). Weitere Vielfache (wie \(108\)) sind zu groß. 2. Bestimmung der Teileranzahl von \(36\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Dies sind genau \(9\) Teiler. 3. Bestimmung der Teileranzahl von \(72\): Die Teiler sind \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\). Dies sind \(12\) Teiler. 4. Die einzige Zahl, die alle Bedingungen erfüllt, ist \(36\).

Die Zahl heißt \(36\).

- Überlege, welche Werte für den fehlenden Basisstein zum linken mittleren Stein passen können. - Prüfe diese Werte anschließend am rechten mittleren Stein. - Berechne erst danach den Spitzenstein aus den beiden mittleren Steinen.

1. Der fehlende Basisstein wird mit \(x\) bezeichnet. Dann muss \(\operatorname{kgV}(3;x)=6\) und \(\operatorname{kgV}(x;5)=10\) gelten. 2. Aus \(\operatorname{kgV}(3;x)=6\) folgt, dass \(x\) ein Teiler von \(6\) sein muss und den Faktor \(2\) enthalten muss. Mögliche Werte für \(x\) sind \(2\) oder \(6\). 3. Aus \(\operatorname{kgV}(x;5)=10\) folgt, dass \(x\) ein Teiler von \(10\) sein muss. Nur \(x=2\) erfüllt beide Bedingungen. 4. Für den Spitzenstein gilt \(\operatorname{kgV}(6;10)=30\).

Der fehlende Basisstein ist \(2\). Der Stein an der Spitze ist \(30\).