- Vergleiche die Richtung der drei Geraden. - Parallele Geraden würden sich auch bei Verlängerung nicht schneiden.

1. Die Geraden \(g\) und \(h\) verlaufen in derselben Richtung. 2. Die Gerade \(k\) hat eine andere Richtung. Daher gilt \(g \parallel h\).

\(g \parallel h\)

- Überlege, welchen Winkel eine waagerechte und eine senkrechte Richtung miteinander bilden. - Welches der beiden Zeichen beschreibt Geraden, die sich im rechten Winkel schneiden?

1. Eine waagerechte und eine senkrechte Gerade bilden beim Schnitt einen rechten Winkel. 2. Daher stehen \(g\) und \(h\) senkrecht aufeinander.

\(g \perp h\)

- Welche Koordinate bleibt bei einer waagerechten Geraden gleich? - Welche Koordinate bleibt bei einer senkrechten Geraden gleich? - Welchen Winkel bilden eine waagerechte und eine senkrechte Gerade miteinander?

1. Die Geraden \(AB\) und \(CD\) verlaufen waagerecht, weil ihre jeweiligen Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate haben. Daher gilt \(AB \parallel CD\). 2. Die Geraden \(BC\) und \(DA\) verlaufen senkrecht, weil ihre jeweiligen Punkte dieselbe \(x\)-Koordinate haben. Daher gilt \(BC \parallel DA\). 3. Eine waagerechte und eine senkrechte Gerade bilden einen rechten Winkel. Deshalb gilt \(AB \perp BC\), \(BC \perp CD\), \(CD \perp DA\) und \(DA \perp AB\).

Parallel sind: \(AB \parallel CD\) und \(BC \parallel DA\). Senkrecht stehen: \(AB \perp BC\), \(BC \perp CD\), \(CD \perp DA\) und \(DA \perp AB\).

- Achte beim Zeichnen darauf, dass du die Punkte genau an den Gitterkreuzungen einträgst. - Schau dir an, wie viele Kästchen man von einem Punkt zum nächsten nach rechts und nach oben gehen muss. - Benutze die Mittellinie deines Geodreiecks, um auf Senkrechtstehen zu prüfen.

1. Eintragen der Punkte \(P, Q, R, S\) und Zeichnen der Geraden. 2. Analyse der waagerechten Geraden: \(PQ\) liegt auf der Höhe \(y=1\) und \(RS\) auf der Höhe \(y=5\). Da beide waagerecht verlaufen, sind sie parallel zueinander (\(PQ \parallel RS\)). 3. Analyse der schrägen Geraden: Die Gerade \(SP\) steigt um \(4\) Einheiten nach oben bei \(2\) Einheiten nach rechts. Die Gerade \(QR\) steigt ebenfalls um \(4\) Einheiten nach oben bei \(2\) Einheiten nach rechts. Somit sind auch diese parallel zueinander (\(QR \parallel SP\)). 4. Überprüfung der Winkel: Mit dem Geodreieck wird festgestellt, dass an den Schnittpunkten keine rechten Winkel (\(90^\circ\)) vorliegen. Es gibt also keine senkrechten Geraden.

Parallel sind: \(PQ \parallel RS\) und \(QR \parallel SP\). Senkrecht steht keine der Geraden auf einer anderen.

- Welche Koordinate ist bei \(C\) und \(D\) gleich? - Wie liegen zwei Punkte übereinander, wenn ihre \(x\)-Koordinaten gleich sind? - Vergleiche diese Richtung mit der \(y\)-Achse.

1. \(C\) und \(D\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate \(120\). 2. Die Gerade durch zwei Punkte mit gleicher \(x\)-Koordinate verläuft senkrecht nach oben und unten. 3. Daher ist \(g\) parallel zur \(y\)-Achse.

Die Gerade \(g\) ist parallel zur \(y\)-Achse, weil \(C\) und \(D\) dieselbe \(x\)-Koordinate \(120\) haben.

- Woran erkennst du an den Koordinaten, dass zwei Punkte auf der exakt gleichen Höhe liegen? - Überlege, welche Koordinate den Abstand zur \(x\)-Achse angibt. - Vergleiche die Punkte paarweise: \(P\) mit \(Q\), \(Q\) mit \(R\) und \(P\) mit \(R\).

1. Untersuchung der \(y\)-Koordinaten: \(P\) und \(Q\) haben beide den Wert \(30\). 2. Untersuchung der \(x\)-Koordinaten: \(Q\) und \(R\) haben beide den Wert \(45\). 3. Definition: Eine Gerade ist parallel zur \(x\)-Achse, wenn alle ihre Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate haben. 4. Ergebnis: Das Paar \(P\) und \(Q\) erfüllt diese Bedingung, da beide Punkte auf der Höhe \(30\) liegen.

Die Gerade durch die Punkte \(P\) und \(Q\) verläuft parallel zur \(x\)-Achse. Begründung: Beide Punkte haben dieselbe \(y\)-Koordinate \(30\), liegen also auf derselben horizontalen Linie.

- Was fällt dir an den Koordinaten von \(P\) und \(Q\) auf? Und bei \(P\) und \(R\)? - Was bedeutet es für eine Strecke, wenn die \(y\)-Koordinaten ihrer Endpunkte gleich sind? - Wie stehen waagerechte und senkrechte Gitterlinien zueinander?

1. Die Verbindung der drei Punkte ergibt ein Dreieck. 2. Die Strecke \(PQ\) verläuft waagerecht, da beide Punkte den gleichen \(y\)-Wert \(2\) haben. 3. Die Strecke \(PR\) verläuft senkrecht, da beide Punkte den gleichen \(x\)-Wert \(2\) haben. 4. Da eine waagerechte und eine senkrechte Linie im Koordinatensystem immer einen Winkel von \(90^\circ\) bilden, ist das Dreieck rechtwinklig. 5. Der rechte Winkel liegt am gemeinsamen Punkt \(P\), da dort die waagerechte und die senkrechte Seite zusammentreffen.

a) Es entsteht ein Dreieck, genauer: ein rechtwinkliges Dreieck. b) Die Strecke \(PQ\) ist waagerecht und die Strecke \(PR\) senkrecht. Sie stehen daher senkrecht aufeinander. Der rechte Winkel liegt bei \(P\).

- Welche Geraden verlaufen in derselben Richtung? - Suche bei den waagerechten und senkrechten Geraden nach rechten Winkeln. - Vergleiche auch die beiden Diagonalen im quadratischen Gitter.

1. Die Geraden \(a\) und \(b\) verlaufen beide waagerecht. Daher gilt \(a \parallel b\). 2. Die Gerade \(c\) verläuft senkrecht, während \(a\) und \(b\) waagerecht verlaufen. Daher gilt \(a \perp c\) und \(b \perp c\). 3. Die Geraden \(d\) und \(e\) verlaufen auf dem quadratischen Gitter in zueinander rechtwinkligen Diagonalrichtungen. Daher gilt \(d \perp e\).

1) \(a \parallel b\) 2) \(a \perp c\), \(b \perp c\) und \(d \perp e\)

- Vergleiche zuerst, welche Strecken in genau derselben Richtung verlaufen. - Suche danach eine waagerechte und eine senkrechte Strecke, die sich treffen. - Nutze die Lage der Strecken selbst; es gibt keine Winkelmarkierung, die die Entscheidung vorwegnimmt.

1. Die Strecken \([AB]\) und \([CD]\) verlaufen beide waagerecht. Daher gilt \([AB] \parallel [CD]\). 2. Die Strecke \([AD]\) verläuft senkrecht, während \([AB]\) waagerecht verläuft. Daher gilt \([AD] \perp [AB]\). 3. Weil \([CD]\) ebenfalls waagerecht verläuft, gilt auch \([AD] \perp [CD]\).

\([AB] \parallel [CD]\); außerdem \([AD] \perp [AB]\) und \([AD] \perp [CD]\).

- Vergleiche in jeder Abbildung die Richtung der beiden Geraden. - Eine Gerade durch \(P\) ist nicht schon deshalb parallel zu \(g\), weil sie \(g\) in der sichtbaren Ausschnittsfläche nicht schneidet. - Suche die Abbildung, in der beide Geraden exakt gleich geneigt sind.

1. Parallele Geraden haben dieselbe Richtung und schneiden sich nicht. 2. In Abbildung b) haben \(g\) und \(h\) dieselbe Richtung. 3. Daher ist b) richtig und es gilt \(h \parallel g\).

b); \(h \parallel g\)

- Alle drei Kandidaten gehen durch \(Q\); entscheidend ist deshalb der Winkel zwischen den Geraden. - Suche nach einem rechten Winkel, ohne dich nur an „waagerecht“ oder „senkrecht“ zum Blattrand zu orientieren. - Die beiden Geraden dürfen gemeinsam gedreht sein und trotzdem senkrecht zueinander stehen.

1. Senkrechte Geraden bilden am Schnittpunkt einen rechten Winkel. 2. In Abbildung c) unterscheiden sich die Richtungen von \(k\) und \(l\) um \(90^\circ\). 3. Daher ist c) richtig und es gilt \(l \perp k\).

c); \(l \perp k\)

- Zuerst muss eine Kante des Geodreiecks genau die Richtung von \(g\) haben. - Das Lineal dient beim Verschieben als feste Führung. - Die Zeichenkante soll anschließend durch \(P\) gehen, ohne ihre Richtung geändert zu haben.

1. Zuerst wird eine Kante des Geodreiecks an \(g\) gelegt und das Lineal als feste Führung angelegt: Schritt B. 2. Dann wird das Geodreieck am festgehaltenen Lineal entlang verschoben, bis die erste Kante durch \(P\) verläuft: Schritt C. 3. Danach wird an dieser Kante die Gerade durch \(P\) gezeichnet: Schritt A. 4. Das feste Lineal verhindert, dass sich die Richtung des Geodreiecks beim Verschieben ändert. Deshalb ist die neue Gerade parallel zu \(g\).

B – C – A. Das Lineal wird festgehalten, damit sich die Richtung des Geodreiecks beim Verschieben nicht ändert. So entsteht durch \(P\) eine Parallele zu \(g\).

- Eine Senkrechte muss mit \(g\) einen rechten Winkel bilden. - Welche Kante des Geodreiecks zeigt die Richtung von \(90^\circ\) zur Grundkante? - Beim Verschieben soll die Grundkante weiterhin an \(g\) liegen.

1. Wenn Amira wieder an der Grundkante zeichnet, entsteht eine Gerade mit derselben Richtung wie \(g\). Sie zeichnet also keine Senkrechte. 2. Die Grundkante bleibt an \(g\). Das Geodreieck wird entlang von \(g\) verschoben, bis die Kante durch die \(90^\circ\)-Markierung durch \(P\) verläuft. 3. An dieser \(90^\circ\)-Kante zeichnet sie die Gerade durch \(P\). Diese Gerade steht senkrecht auf \(g\).

Amira zeichnet an der falschen Kante. Sie muss die Grundkante an \(g\) lassen, das Geodreieck entlang von \(g\) bis \(P\) verschieben und dann durch \(P\) an der \(90^\circ\)-Kante zeichnen.

- Vergleiche die Schritte nach rechts oder links und nach oben zwischen den jeweiligen Punktpaaren. - Gleiche Richtungen sprechen für parallele Geraden. - Prüfe für das Senkrechtstehen, ob die beiden Richtungen einen rechten Winkel bilden.

1. Von \(K\) nach \(L\) geht man \(4\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. Von \(N\) nach \(M\) geht man \(2\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. Beide Geraden haben damit dieselbe Richtung. Es gilt \(KL \parallel MN\). 2. Von \(L\) nach \(M\) geht man \(2\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach oben. Diese Richtung steht senkrecht auf der Richtung von \(KL\); mit dem Geodreieck lässt sich der rechte Winkel prüfen. Daher gilt \(KL \perp LM\). 3. Weil \(MN\) parallel zu \(KL\) ist, steht \(LM\) auch senkrecht auf \(MN\). Also gilt \(LM \perp MN\). 4. Die Gerade \(NK\) verläuft senkrecht im Koordinatensystem, ist aber zu keiner der drei anderen Geraden parallel oder senkrecht.

Parallel sind: \(KL \parallel MN\). Senkrecht stehen: \(KL \perp LM\) und \(LM \perp MN\).

- Prüfe zuerst, welche besondere Richtung die Gerade \(AB\) hat. - Für den Abstand reicht dann die senkrechte Änderung von \(C\) zur Höhe von \(AB\). - Beschreibe für Teil b) die Verschiebung von \(B\) nach \(C\) und übertrage sie auf \(A\). - Der gesuchte Punkt muss zugleich auf der Parallelen durch \(C\) liegen.

1. Weil \(A\) und \(B\) beide die \(y\)-Koordinate \(2\) haben, ist \(AB\) die waagerechte Gerade \(y=2\). 2. Der Punkt \(C\) hat die \(y\)-Koordinate \(6\). Sein Abstand von \(AB\) beträgt daher \(6-2=4\,\text{Längeneinheiten}\). 3. Die Parallele zu \(AB\) durch \(C\) ist die waagerechte Gerade \(y=6\). 4. Von \(B(8 \mid 2)\) nach \(C(5 \mid 6)\) geht man \(3\) Einheiten nach links und \(4\) Einheiten nach oben. Dieselbe Verschiebung von \(A(3 \mid 2)\) aus führt zum Punkt \((0 \mid 6)\). 5. Dieser Punkt liegt auf beiden gesuchten Parallelen und ist daher ihr Schnittpunkt.

a) \(4\,\text{Längeneinheiten}\) b) \((0 \mid 6)\)

- Denk an die Definition von parallelen Geraden. Wie viele Schnittpunkte haben sie? - Was passiert, wenn sich alle Geraden wie die Speichen eines Rades in der Mitte treffen? - Wenn eine neue Gerade parallel zu einer vorhandenen ist, mit wie vielen der alten Geraden kann sie dann noch Schnittpunkte bilden?

1. Drei Geraden haben genau zwei Schnittpunkte, wenn zwei der Geraden parallel zueinander verlaufen und die dritte Gerade beide Parallelen schneidet. Jeder Schnitt der dritten Geraden mit einer Parallelen ergibt einen Punkt. 2. Damit vier Geraden genau einen Schnittpunkt haben, müssen sie alle durch denselben Punkt verlaufen (ein sogenanntes Geradenbüschel). Da sie alle verschieden sind, gibt es außer diesem gemeinsamen Punkt keine weiteren Schnittpunkte. 3. Die ersten drei Geraden haben \(3\) Schnittpunkte. Die vierte Gerade ist parallel zu einer Geraden (\(0\) neue Schnittpunkte mit dieser) und schneidet die anderen beiden (maximal \(2\) neue Schnittpunkte). 4. Die Gesamtzahl der Schnittpunkte ist \(3 + 2 = 5\).

a) Ja, das ist möglich, wenn zwei Geraden parallel sind und die dritte beide schneidet. b) Alle vier Geraden müssen durch denselben Punkt verlaufen (Schnittpunkt). c) Es gibt dann insgesamt höchstens \(5\) Schnittpunkte.