- Prüfe zuerst diejenige Teilbarkeitsbedingung, die sich unmittelbar an der Endziffer erkennen lässt. - Überlege, ob das Kästchen die letzte Ziffer überhaupt verändert. - Wenn eine notwendige Bedingung für jede mögliche Einsetzung scheitert, ist keine weitere Prüfung nötig.

1. Eine Zahl ist nur dann durch \(2\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. 2. Die Zahl \(5\square7\) endet unabhängig vom Kästchen auf \(7\). Damit ist sie für keine eingesetzte Ziffer durch \(2\) teilbar. 3. Deshalb kann keine Ziffer beide geforderten Bedingungen gleichzeitig erfüllen; die Teilbarkeit durch \(3\) muss nicht mehr geprüft werden.

Nein. Die Zahl endet immer auf \(7\) und ist deshalb nie durch \(2\) teilbar.

- Für diese Teilbarkeitsregel musst du nicht die ganze Zahl untersuchen. - Betrachte jeweils nur die letzte Ziffer. - Überlege, welche Endziffern zu geraden Zahlen gehören.

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) genügt es, die letzte Ziffer zu betrachten. 2. \(317\) endet auf \(7\), \(428\) auf \(8\) und \(551\) auf \(1\). 3. Nur \(8\) ist eine gerade Endziffer. Daher ist nur \(428\) durch \(2\) teilbar.

Nur \(428\) ist durch \(2\) teilbar, denn die Zahl endet auf der geraden Ziffer \(8\).

- Betrachte bei jeder Zahl nur die Einerziffer. - Prüfe die Zahlen zuerst mit der Regel für \(5\). - Prüfe sie danach getrennt mit der Regel für \(10\).

1. \(135\) endet auf \(5\) und \(420\) auf \(0\). Deshalb sind beide durch \(5\) teilbar. 2. \(782\) endet weder auf \(0\) noch auf \(5\) und ist daher nicht durch \(5\) teilbar. 3. Nur \(420\) endet auf \(0\) und ist deshalb durch \(10\) teilbar.

a) \(135\) und \(420\) b) \(420\)

- Addiere bei jeder Zahl zuerst ihre Ziffern. - Prüfe danach nur die erhaltene Quersumme auf Teilbarkeit durch \(3\). - Übertrage das Ergebnis der Quersumme auf die ursprüngliche Zahl.

1. Die Quersumme von \(123\) ist \(1+2+3=6\). Da \(6\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(123\) durch \(3\) teilbar. 2. Die Quersumme von \(241\) ist \(2+4+1=7\). Da \(7\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist \(241\) nicht durch \(3\) teilbar. 3. Die Quersumme von \(516\) ist \(5+1+6=12\). Da \(12\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(516\) durch \(3\) teilbar.

Durch \(3\) teilbar sind \(123\) und \(516\). \(241\) ist nicht durch \(3\) teilbar.

- Prüfe die Bedingungen nacheinander und streiche ungeeignete Antwortmöglichkeiten. - Für welche Teilbarkeitsregeln reicht die Endziffer aus? - Bei welcher Bedingung hilft dir die Quersumme?

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) muss die Zahl gerade sein. Damit bleiben \(414\), \(424\) und \(450\). 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme durch \(3\) teilbar sein. Bei \(414\) ist die Quersumme \(4 + 1 + 4 = 9\), bei \(424\) ist sie \(4 + 2 + 4 = 10\), bei \(450\) ist sie \(4 + 5 + 0 = 9\). Damit bleiben \(414\) und \(450\). 3. Eine durch \(5\) teilbare Zahl endet auf \(0\) oder \(5\). Deshalb scheidet \(450\) aus. 4. Somit erfüllt nur \(414\) alle Bedingungen.

b) \(414\)

- Untersuche bei a) nur die letzte Ziffer jeder Zahl und erinnere dich an die Regel für \(5\). - Vergleiche damit bei b) die strengere Endziffernbedingung für \(10\). - Prüfe zum Schluss, ob jede Zahl aus b) auch in deiner Liste aus a) vorkommt.

1. Eine Zahl ist durch \(5\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\) oder \(5\) ist. Das trifft auf \(105\), \(230\), \(600\), \(875\) und \(990\) zu. 2. Eine Zahl ist durch \(10\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\) ist. Das trifft auf \(230\), \(600\) und \(990\) zu.

a) \(105\), \(230\), \(600\), \(875\), \(990\) b) \(230\), \(600\), \(990\)

- Überlege dir zuerst, woran man erkennt, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist. - Welche Bedingung muss die letzte Ziffer erfüllen, damit eine Zahl durch 5 teilbar ist? - Wenn eine Zahl durch beide Zahlen teilbar sein soll, welche Ziffer muss dann am Ende stehen? - Schau dir jede Zahl in der Liste einzeln an und prüfe die Endziffer.

1. Durch \(2\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) oder \(8\). Das trifft auf \(150\), \(432\), \(60\) und \(80\) zu. 2. Durch \(5\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\) oder \(5\). Das trifft auf \(150\), \(275\), \(60\), \(105\) und \(80\) zu. 3. Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen, müssen auf \(0\) enden. 4. Daher sind \(150\), \(60\) und \(80\) durch \(2\) und \(5\) teilbar.

Die Zahlen \(150\), \(60\) und \(80\) sind sowohl durch \(2\) als auch durch \(5\) teilbar, da sie alle auf die Ziffer \(0\) enden.

- Berechne für jede Zahl die Summe ihrer Ziffern. - Entscheide anschließend für jede Quersumme, ob sie durch \(3\) teilbar ist. - Übertrage diese Entscheidung mit der Quersummenregel auf die zugehörige Zahl.

1. Für \(214\) ist die Quersumme \(2 + 1 + 4 = 7\). Da \(7\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist \(214\) nicht durch \(3\) teilbar. 2. Für \(333\) ist die Quersumme \(3 + 3 + 3 = 9\). Da \(9\) durch \(3\) teilbar ist, ist \(333\) durch \(3\) teilbar. 3. Für \(1002\) ist die Quersumme \(1 + 0 + 0 + 2 = 3\). Da \(3\) durch \(3\) teilbar ist, ist \(1002\) durch \(3\) teilbar. 4. Für \(56\) ist die Quersumme \(5 + 6 = 11\). Da \(11\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist \(56\) nicht durch \(3\) teilbar. 5. Für \(918\) ist die Quersumme \(9 + 1 + 8 = 18\). Da \(18\) durch \(3\) teilbar ist, ist \(918\) durch \(3\) teilbar. 6. Damit sind genau \(333\), \(1002\) und \(918\) durch \(3\) teilbar.

\(214\): Quersumme \(7\), also nicht durch \(3\) teilbar. \(333\): Quersumme \(9\), also durch \(3\) teilbar. \(1002\): Quersumme \(3\), also durch \(3\) teilbar. \(56\): Quersumme \(11\), also nicht durch \(3\) teilbar. \(918\): Quersumme \(18\), also durch \(3\) teilbar. Durch \(3\) teilbar sind genau \(333\), \(1002\) und \(918\).

- Für eine der beiden Regeln brauchst du die Quersumme. - Für die andere Regel reicht es, die letzte Ziffer anzusehen. - Prüfe jede Zahl getrennt für beide Spalten der Tabelle.

1. Für die Teilbarkeit durch \(3\) werden die Quersummen geprüft: \(1 + 0 + 2 = 3\), \(3 + 3 + 3 = 9\), \(4 + 0 + 9 = 13\), \(1 + 2 + 6 + 0 = 9\) und \(5 + 0 + 0 + 1 = 6\). Daher sind \(102\), \(333\), \(1260\) und \(5001\) durch \(3\) teilbar. 2. Für die Teilbarkeit durch \(5\) genügt die Endziffer. Nur \(1260\) endet auf \(0\) oder \(5\) und ist deshalb durch \(5\) teilbar.

<table> <tr><th>Zahl</th><th>durch \(3\) teilbar</th><th>durch \(5\) teilbar</th></tr> <tr><td>\(102\)</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(333\)</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(409\)</td><td>nein</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(1260\)</td><td>ja</td><td>ja</td></tr> <tr><td>\(5001\)</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> </table>

- Schau bei jeder Zahl auf die Endziffer. - Nutze nacheinander die Endziffernregeln für \(2\), \(5\) und \(10\). - Eine Zahl kann mehrere der drei Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Durch \(2\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) oder \(8\). Das trifft auf \(156\), \(480\) und \(912\) zu. 2. Durch \(5\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\) oder \(5\). Das trifft auf \(275\), \(480\) und \(1005\) zu. 3. Durch \(10\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\). Das trifft nur auf \(480\) zu.

Durch \(2\) teilbar: \(156\), \(480\), \(912\), weil ihre Endziffer gerade ist. Durch \(5\) teilbar: \(275\), \(480\), \(1005\), weil ihre Endziffer \(0\) oder \(5\) ist. Durch \(10\) teilbar: \(480\), weil die Zahl auf \(0\) endet.

- Überlege zuerst, was die letzte Ziffer über die Teilbarkeit durch \(2\) aussagt. - Für die Teilbarkeit durch \(3\) hilft dir die Quersumme mit der noch unbekannten Ziffer. - Vergleiche für Teil c) die beiden zuvor gefundenen Ziffernmengen.

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) muss die letzte Ziffer gerade sein. Daher sind \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) und \(8\) möglich. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(2 + 0 + 2 + \square = 4 + \square\) durch \(3\) teilbar sein. Das gilt für \(\square = 2\), \(\square = 5\) und \(\square = 8\). 3. Für beide Bedingungen muss die Ziffer in beiden Ergebnismengen vorkommen. Das trifft auf \(2\) und \(8\) zu.

a) \(\square \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\) b) \(\square \in \{2; 5; 8\}\) c) \(\square \in \{2; 8\}\)

- Ein Gegenbeispiel muss die Aussage mit einem einzigen passenden Fall widerlegen. - Suche bei a) eine kleine Zahl, die auf \(6\) endet, und prüfe die Division durch \(6\). - Vergleiche bei b) die Quersumme mit der Endziffernregel für \(5\).

1. Für a) genügt eine Zahl, die auf \(6\) endet, aber nicht durch \(6\) teilbar ist. Zum Beispiel gilt \(16=6\cdot2+4\). Also ist \(16\) nicht durch \(6\) teilbar. 2. Für b) genügt eine Zahl mit einer durch \(5\) teilbaren Quersumme, die selbst nicht durch \(5\) teilbar ist. Bei \(14\) ist die Quersumme \(1+4=5\), aber \(14\) endet weder auf \(0\) noch auf \(5\).

a) Zum Beispiel \(16\): Die Zahl endet auf \(6\), ist aber nicht durch \(6\) teilbar. b) Zum Beispiel \(14\): Die Quersumme ist \(5\), aber \(14\) ist nicht durch \(5\) teilbar.

- Für a) reicht ein einziges Vielfaches von \(4\) mit einer anderen Endziffer. - Zahlen, die nicht durch \(2\) teilbar sind, sind ungerade. - Probiere bei b) zwei kleine ungerade Zahlen.

1. Für a) reicht eine durch \(4\) teilbare Zahl mit einer anderen Endziffer. Zum Beispiel gilt \(12:4=3\). Die Zahl \(12\) endet auf \(2\), ist aber durch \(4\) teilbar. 2. Für b) wählt man zwei ungerade Zahlen. Zum Beispiel gilt \(3+5=8\). Die Zahlen \(3\) und \(5\) sind nicht durch \(2\) teilbar, ihre Summe \(8\) aber schon.

a) Zum Beispiel \(12\): \(12\) ist durch \(4\) teilbar, endet aber nicht auf \(4\) oder \(8\). b) Zum Beispiel \(3+5=8\): \(3\) und \(5\) sind nicht durch \(2\) teilbar, \(8\) aber schon.

- Suche für jede Aussage nur ein Beispiel, das nicht dazu passt. - Bei a) brauchst du ein Vielfaches von \(3\), das kein Vielfaches von \(9\) ist. - Bei b) prüfst du, ob wirklich die Zehnerziffer über die Teilbarkeit durch \(3\) entscheidet.

1. Für a) genügt eine Zahl, die durch \(3\), aber nicht durch \(9\) teilbar ist. Zum Beispiel gilt \(12:3=4\), aber \(12\) ist nicht durch \(9\) teilbar. 2. Für b) genügt eine durch \(3\) teilbare Zahl mit einer anderen Zehnerziffer. Zum Beispiel gilt \(12:3=4\), obwohl die Zehnerziffer \(1\) ist. 3. Damit sind beide Aussagen durch ein Gegenbeispiel widerlegt.

a) Zum Beispiel \(12\): durch \(3\) teilbar, aber nicht durch \(9\). b) Zum Beispiel \(12\): durch \(3\) teilbar, obwohl die Zehnerziffer \(1\) ist.

- Prüfe zuerst, ob die bereits feststehende letzte Ziffer die Bedingung für Teilbarkeit durch \(2\) erfüllt. - Addiere danach die bekannten Ziffern für die Quersummenregel. - Beachte bei der Suche zusätzlich, dass die erste Ziffer nicht \(0\) sein darf.

1. Die Zahl endet auf \(2\). Daher ist sie unabhängig von der ersten Ziffer durch \(2\) teilbar. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme durch \(3\) teilbar sein. Die bekannten Ziffern ergeben \(1+5+2=8\). 3. Als erste Ziffer sind nur \(1\) bis \(9\) möglich. Von ihnen machen \(1\), \(4\) und \(7\) die Quersummen \(9\), \(12\) beziehungsweise \(15\), also Vielfache von \(3\). 4. Damit erfüllen \(1\), \(4\) und \(7\) beide Bedingungen.

\(1\), \(4\) und \(7\)

- Suche zwei kleine Faktoren, die selbst nicht durch \(4\) teilbar sind. - Prüfe anschließend, ob ihr Produkt ohne Rest durch \(4\) teilbar ist.

1. Gesucht sind zwei Faktoren, von denen keiner durch \(4\) teilbar ist, deren Produkt aber durch \(4\) teilbar ist. 2. Mit \(2\) und \(2\) erhält man \(2\cdot2=4\). Keiner der beiden Faktoren ist durch \(4\) teilbar, das Produkt aber schon.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(2\cdot2=4\). Das Produkt ist durch \(4\) teilbar, die beiden Faktoren \(2\) aber nicht.

- Bei allen drei Regeln genügt es, die Endziffer zu betrachten. - Prüfe jede Zahl nacheinander für \(2\), \(5\) und \(10\). - Vergleiche anschließend die Spalten: Welche Zusammenhänge zwischen den drei Regeln erkennst du?

1. Durch \(2\) teilbar sind die geraden Zahlen \(250\), \(1020\) und \(884\). 2. Durch \(5\) teilbar sind die Zahlen mit Endziffer \(0\) oder \(5\): \(250\), \(475\), \(1020\) und \(915\). 3. Durch \(10\) teilbar sind die Zahlen mit Endziffer \(0\): \(250\) und \(1020\). 4. Die Ergebnisse werden in einer Übersicht zusammengefasst.

<table> <tr><th>Zahl</th><th>durch \(2\)</th><th>durch \(5\)</th><th>durch \(10\)</th></tr> <tr><td>\(250\)</td><td>ja</td><td>ja</td><td>ja</td></tr> <tr><td>\(475\)</td><td>nein</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(1020\)</td><td>ja</td><td>ja</td><td>ja</td></tr> <tr><td>\(884\)</td><td>ja</td><td>nein</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(915\)</td><td>nein</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> </table>

- Prüfe bei a), ob für die Teilbarkeit durch \(3\) wirklich die letzte Ziffer entscheidet. - Vergleiche bei b) die Endziffernregeln für \(10\) und \(5\). - Suche bei c) eine Endziffer, die gleichzeitig zur Regel für \(2\) und zur Regel für \(5\) passt.

1. Aussage a) ist falsch. Zum Beispiel endet \(13\) auf \(3\), aber die Quersumme ist \(1+3=4\). Daher ist \(13\) nicht durch \(3\) teilbar. 2. Aussage b) ist wahr. Eine durch \(10\) teilbare Zahl endet auf \(0\). Damit erfüllt sie auch die Endziffernregel für \(5\). 3. Aussage c) ist wahr. Eine durch \(5\) teilbare Zahl endet auf \(0\) oder \(5\). Soll sie zugleich durch \(2\) teilbar sein, muss die Endziffer gerade sein. Von \(0\) und \(5\) ist nur \(0\) gerade. Damit ist die Zahl durch \(10\) teilbar.

a) Falsch; zum Beispiel endet \(13\) auf \(3\), ist wegen der Quersumme \(4\) aber nicht durch \(3\) teilbar. b) Wahr; jede durch \(10\) teilbare Zahl endet auf \(0\) und erfüllt damit auch die Endziffernregel für \(5\). c) Wahr; eine durch \(5\) teilbare Zahl endet auf \(0\) oder \(5\). Davon ist nur \(0\) gerade. Deshalb ist die Zahl durch \(10\) teilbar.

- Nutze für Teil a) die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch \(3\). - Schreibe für Teil b) einige Vielfache von \(6\) auf und betrachte ihre Endziffern.

1. Aussage a) ist falsch. Die Quersumme von \(11\,111\) ist \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\). Da \(5\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(11\,111\) nicht durch \(3\) teilbar. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(12\): Es gilt \(12 : 6 = 2\), obwohl die Zahl auf \(2\) endet.

a) Falsch, denn die Quersumme von \(11\,111\) ist \(5\) und nicht durch \(3\) teilbar. b) Falsch; \(12\) ist ein Gegenbeispiel, denn \(12 : 6 = 2\), obwohl die Zahl nicht auf \(6\) endet.

- Sind zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen gerade oder ungerade? - Was erhältst du, wenn du eine gerade und eine ungerade Zahl addierst? - Formuliere dein Argument so, dass es für jedes Paar aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen gilt.

1. Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer eine Zahl gerade und die andere ungerade. 2. Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade. 3. Daher ist die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen nie durch \(2\) teilbar.

Nein. Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer eine gerade und die andere ungerade. Die Summe „gerade + ungerade“ ist ungerade und deshalb nicht durch \(2\) teilbar.

- Denke daran, wie eine Zahl aus vollen Zehnern und Einern aufgebaut ist. - Prüfe, welche Eigenschaft jeder volle Zehner bezüglich der Zahl \(5\) hat. - Überlege anschließend nur noch, welche Einerziffern selbst durch \(5\) teilbar sind.

1. Es gilt \(3475=347\cdot10+5\). 2. Jeder volle Zehner ist durch \(5\) teilbar, weil \(10:5=2\) gilt. Auch der Rest \(5\) ist durch \(5\) teilbar. Daher ist \(3475\) durch \(5\) teilbar. 3. Bei jeder natürlichen Zahl bestehen alle Stellen außer der Einerstelle aus vollen Zehnern und sind deshalb durch \(5\) teilbar. 4. Von den möglichen Einerziffern sind genau \(0\) und \(5\) durch \(5\) teilbar. Deshalb entscheidet allein die Einerziffer über die Teilbarkeit durch \(5\).

a) \(3475=347\cdot10+5\). Beide Summanden sind durch \(5\) teilbar, also auch \(3475\). b) Alle vollen Zehner sind durch \(5\) teilbar. Deshalb muss nur die Einerziffer betrachtet werden; genau \(0\) und \(5\) sind mögliche durch \(5\) teilbare Einerziffern.

- Prüfe zuerst, ob \(99\) und \(9\) durch \(3\) teilbar sind. - Streiche gedanklich die Teile, die bei Division durch \(3\) keinen Rest lassen. - Welche Summe bleibt dann übrig?

1. \(99\) und \(9\) sind durch \(3\) teilbar. Deshalb sind auch \(2\cdot99\) und \(3\cdot9\) durch \(3\) teilbar. 2. Für den Rest bleiben nur \(2\cdot1+3\cdot1+4=2+3+4\). Deshalb haben \(234\) und seine Quersumme bei Division durch \(3\) denselben Rest. 3. Dasselbe gilt an jeder Stelle: \(9\), \(99\), \(999\) und so weiter sind durch \(3\) teilbar. Daher ist eine natürliche Zahl genau dann durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist.

a) Die Teile mit \(99\) und \(9\) sind durch \(3\) teilbar. b) Für den Rest bleiben nur die Ziffern \(2+3+4\). c) Eine natürliche Zahl ist genau dann durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist.

- Betrachte zuerst nur den Teil \(47\cdot10\) im Beispiel. - Überlege, welcher Teil der Zahl bei einer Division durch \(2\) noch einen Rest verändern kann. - Für die Teilbarkeit durch \(10\): Wie viele einzelne Einer dürfen neben den vollen Zehnern übrig bleiben?

1. Volle Zehner haben die Form „eine natürliche Zahl mal \(10\)“. Sie sind deshalb durch \(10\) teilbar. Da \(10\) auch durch \(2\) teilbar ist, sind volle Zehner ebenfalls durch \(2\) teilbar. 2. Bei der Teilbarkeit durch \(2\) kann der Teil mit den vollen Zehnern keinen Rest verursachen. Entscheidend bleibt nur die Einerziffer. Ist sie gerade, ist die ganze Zahl durch \(2\) teilbar. 3. Bei der Teilbarkeit durch \(10\) darf zu den vollen Zehnern kein Einer mehr hinzukommen. Deshalb muss die Einerziffer \(0\) sein.

a) Volle Zehner sind Vielfache von \(10\) und damit auch Vielfache von \(2\). b) Deshalb entscheidet bei der Teilbarkeit durch \(2\) nur, ob die Einerziffer gerade ist. c) Durch \(10\) ist eine Zahl genau dann teilbar, wenn die Einerziffer \(0\) ist.

- Vergleiche, welche Information die Regeln für \(2\), \(3\) und \(5\) jeweils aus der Zahl verwenden. - Bei der Regel für \(3\) kannst du die Quersumme zunächst mit dem Kästchen stehen lassen. - Für Teil d) suchst du eine Ziffer, die zwei bereits geprüfte Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) muss die Endziffer gerade sein. Daher gilt \(\square \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\). 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(4 + 7 + \square = 11 + \square\) durch \(3\) teilbar sein. Das gilt für die Quersummen \(12\), \(15\) und \(18\), also für \(\square \in \{1; 4; 7\}\). 3. Für die Teilbarkeit durch \(5\) muss die Endziffer \(0\) oder \(5\) sein. Daher gilt \(\square \in \{0; 5\}\). 4. Für die gleichzeitige Teilbarkeit durch \(2\) und \(3\) muss die Ziffer sowohl in der Ergebnismenge aus a) als auch in der Ergebnismenge aus b) liegen. Nur \(4\) erfüllt beide Bedingungen.

a) \(\square \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\) b) \(\square \in \{1; 4; 7\}\) c) \(\square \in \{0; 5\}\) d) \(\square = 4\)

- Wie lautet die Regel für die Teilbarkeit durch 3? - Welche Ziffern kommen an der Einerstelle für die Teilbarkeit durch 5 infrage? - Wenn alle Ziffern gleich sein sollen, reicht es, die Quersumme für Ziffern von 1 bis 9 zu prüfen.

1. Für Teilaufgabe a): Die Zahl hat die Form \(aaaa\). Eine Zahl ist durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist. Die Quersumme ist \(a + a + a + a = 4a\). Wir prüfen die Ziffern \(a\) von \(1\) bis \(9\): \(4 \cdot 1 = 4, 4 \cdot 2 = 8, 4 \cdot 3 = 12\) (durch \(3\) teilbar). Die kleinste Ziffer ist also \(3\), und die Zahl lautet \(3333\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Zahl hat die Form \(a50b\). Damit sie durch \(5\) teilbar ist, muss die Einerziffer \(b\) entweder \(0\) oder \(5\) sein. Um die größte Zahl zu erhalten, wählen wir für die Tausenderstelle \(a = 9\) und für die Einerstelle \(b = 5\). Die Zahl lautet \(9505\).

a) \(3333\) b) \(9505\)

- Prüfe die Bedingungen für \(2\) und \(3\) getrennt. - Eine der beiden Bedingungen ist durch die feste letzte Ziffer bereits entschieden. - Beachte bei der Quersumme, dass dieselbe unbekannte Ziffer zweimal vorkommt.

1. Die Zahl endet auf \(2\) und ist deshalb unabhängig von der eingesetzten Ziffer durch \(2\) teilbar. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(1 + \square + \square + 2 = 3 + 2\square\) durch \(3\) teilbar sein. 3. Für \(\square = 0\), \(3\), \(6\) und \(9\) ergeben sich die Quersummen \(3\), \(9\), \(15\) und \(21\). Diese sind durch \(3\) teilbar. Bei den übrigen Ziffern ist die Quersumme nicht durch \(3\) teilbar. 4. Daher erfüllen genau die Ziffern \(0\), \(3\), \(6\) und \(9\) beide Bedingungen gleichzeitig.

\(\square \in \{0; 3; 6; 9\}\)

- Addiere zunächst die Werte aller zehn Ziffernkarten und achte darauf, was daran für die Teilbarkeit besonders ist. - Vergleiche diese feste Ziffernsumme mit den Quersummen deiner verschiedenen Ergebnisse. - Überlege bei einem einzelnen Übertrag, wie sich die Ziffernsumme vor und nach dem Übertrag verändert.

1. Mögliche Beispiele sind \(10\,234 + 98\,765 = 108\,999\) mit Quersumme \(36\), \(50\,246 + 13\,789 = 64\,035\) mit Quersumme \(18\) und \(24\,680 + 13\,579 = 38\,259\) mit Quersumme \(27\). 2. In allen drei Beispielen ist die Quersumme des Ergebnisses durch \(9\) teilbar. 3. Die Summe aller verwendeten Ziffern von \(0\) bis \(9\) ist \(45\), also ein Vielfaches von \(9\). Bei einem Übertrag sinkt die Ziffernsumme um ein Vielfaches von \(9\). Deshalb bleibt die Quersumme der Summe ein Vielfaches von \(9\).

a) Zum Beispiel: \(10\,234 + 98\,765 = 108\,999\), Quersumme \(36\); \(50\,246 + 13\,789 = 64\,035\), Quersumme \(18\); \(24\,680 + 13\,579 = 38\,259\), Quersumme \(27\). b) Die Quersumme des Ergebnisses ist immer ein Vielfaches von \(9\). c) Die Ziffern \(0\) bis \(9\) haben zusammen die Summe \(45\). Überträge verändern eine Ziffernsumme nur um Vielfache von \(9\). Daher bleibt die Quersumme des Ergebnisses durch \(9\) teilbar.

- Überlege, was bei vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen über gerade und ungerade Zahlen sicher gilt. - Wie weit liegen zwei aufeinanderfolgende Vielfache von \(4\) auseinander? - Für Teil 3) reicht ein Gegenbeispiel, falls die Aussage nicht immer stimmt.

1. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gibt es mindestens eine gerade Zahl. Damit enthält das Produkt einen Faktor, der durch \(2\) teilbar ist, und das ganze Produkt ist durch \(2\) teilbar. 2. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt immer genau ein Vielfaches von \(4\). Damit enthält das Produkt einen Faktor, der bereits durch \(4\) teilbar ist, und das ganze Produkt ist durch \(4\) teilbar. 3. Für \(5\) gilt die Aussage nicht. Das Gegenbeispiel \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) zeigt, dass vier aufeinanderfolgende Zahlen kein Vielfaches von \(5\) enthalten müssen.

1) Ja. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt mindestens eine gerade Zahl; deshalb enthält das Produkt einen Faktor \(2\) und ist durch \(2\) teilbar. 2) Ja. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt immer ein Vielfaches von \(4\); deshalb ist auch das ganze Produkt durch \(4\) teilbar. 3) Nein. Zum Beispiel ist \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) nicht durch \(5\) teilbar.