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- Prüfe zuerst diejenige Teilbarkeitsbedingung, die sich unmittelbar an der Endziffer erkennen lässt. - Überlege, ob das Kästchen die letzte Ziffer überhaupt verändert. - Wenn eine notwendige Bedingung für jede mögliche Einsetzung scheitert, ist keine weitere Prüfung nötig.

1. Eine Zahl ist nur dann durch \(2\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist. 2. Die Zahl \(5\square7\) endet unabhängig vom Kästchen auf \(7\). Damit ist sie für keine eingesetzte Ziffer durch \(2\) teilbar. 3. Deshalb kann keine Ziffer beide geforderten Bedingungen gleichzeitig erfüllen; die Teilbarkeit durch \(3\) muss nicht mehr geprüft werden.

Nein. Die Zahl endet immer auf \(7\) und ist deshalb nie durch \(2\) teilbar.

- Für diese Teilbarkeitsregel musst du nicht die ganze Zahl untersuchen. - Betrachte jeweils nur die letzte Ziffer. - Überlege, welche Endziffern zu geraden Zahlen gehören.

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) genügt es, die letzte Ziffer zu betrachten. 2. \(317\) endet auf \(7\), \(428\) auf \(8\) und \(551\) auf \(1\). 3. Nur \(8\) ist eine gerade Endziffer. Daher ist nur \(428\) durch \(2\) teilbar.

Nur \(428\) ist durch \(2\) teilbar, denn die Zahl endet auf der geraden Ziffer \(8\).

- Prüfe die Bedingungen nacheinander und streiche ungeeignete Antwortmöglichkeiten. - Für welche Teilbarkeitsregeln reicht die Endziffer aus? - Bei welcher Bedingung hilft dir die Quersumme?

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) muss die Zahl gerade sein. Damit bleiben \(414\), \(424\) und \(450\). 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme durch \(3\) teilbar sein. Bei \(414\) ist die Quersumme \(4 + 1 + 4 = 9\), bei \(424\) ist sie \(4 + 2 + 4 = 10\), bei \(450\) ist sie \(4 + 5 + 0 = 9\). Damit bleiben \(414\) und \(450\). 3. Eine durch \(5\) teilbare Zahl endet auf \(0\) oder \(5\). Deshalb scheidet \(450\) aus. 4. Somit erfüllt nur \(414\) alle Bedingungen.

b) \(414\)

- Vereinfache einen Term, wenn dadurch seine Struktur leichter erkennbar wird. - Bei einer Aussage über alle natürlichen Zahlen kann ein einziges Gegenbeispiel zum Widerlegen genügen. - Prüfe, was ein Faktor vor einer Variablen über mögliche Termwerte aussagt.

1. Für a) gilt \(n + (n + 1) = 2n + 1\). Da \(2n\) für jede natürliche Zahl \(n\) gerade ist, ist \(2n + 1\) immer ungerade. Die Aussage ist wahr. 2. Für b) genügt ein Gegenbeispiel: Für \(n = 1\) ist \(5 \cdot 1 + 2 = 7\). Die Aussage ist daher falsch. 3. Für c) gilt \(4n - n = 3n\). Dieser Term ist für jede natürliche Zahl \(n\) ein Vielfaches von \(3\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, denn \(n + (n + 1) = 2n + 1\) ist immer ungerade. b) Falsch; zum Beispiel ergibt \(n = 1\) den Wert \(7\). c) Wahr, denn \(4n - n = 3n\) ist immer ein Vielfaches von \(3\).

- Untersuche, welche Struktur eines Terms unabhängig vom eingesetzten Wert erhalten bleibt. - Zum Widerlegen einer Aussage über alle natürlichen Zahlen genügt ein passendes Gegenbeispiel. - Bei Aussagen über Endziffern kann die Form des Terms wichtiger sein als das Ausrechnen vieler Beispiele.

1. In a) besitzt \(2(x + 4)\) den Faktor \(2\). Deshalb ist jeder mögliche Termwert gerade. Die Aussage ist wahr. 2. Für b) reicht ein Gegenbeispiel: Für \(x = 3\) ist \(x^2 + 1 = 3^2 + 1 = 10\). Da \(10\) keine Primzahl ist, ist die Aussage falsch. 3. In c) ist \(10x\) stets ein Vielfaches von \(10\) und endet daher auf \(0\). Nach dem Subtrahieren von \(5\) endet das Ergebnis auf \(5\). Die Aussage ist wahr.

a) Wahr, wegen des Faktors \(2\). b) Falsch; ein Gegenbeispiel ist \(x = 3\), denn \(3^2 + 1 = 10\). c) Wahr; \(10x - 5\) endet immer auf \(5\).

- Eine Aussage über jeden möglichen Wert ist schon widerlegt, wenn du einen einzigen Gegenfall findest. - Überlege, wie du gleiche Summanden als Produkt schreiben kannst. - Achte darauf, ob du für Teil a) wirklich alle Werte untersuchen musst oder ob ein Gegenbeispiel genügt.

1. Für a) genügt es, die allgemeine Aussage mit einem Gegenbeispiel zu prüfen. Bei \(k = 1\) haben beide Terme den Wert \(4\). Also ist Term A nicht für jeden Wert von \(k\) größer als Term B. 2. Für b) kann man gleiche Summanden zusammenfassen: \(k + k + k = 3k\). Der Termwert besitzt damit immer den Faktor \(3\) und ist folglich ein Vielfaches von \(3\).

a) Nein. Für \(k = 1\) sind beide Terme gleich groß: \(4 = 4\). b) Es gilt \(k + k + k = 3k\). Deshalb ist der Termwert immer ein Vielfaches von \(3\).

- Untersuche bei a) nur die letzte Ziffer jeder Zahl und erinnere dich an die Regel für \(5\). - Vergleiche damit bei b) die strengere Endziffernbedingung für \(10\). - Prüfe zum Schluss, ob jede Zahl aus b) auch in deiner Liste aus a) vorkommt.

1. Eine Zahl ist durch \(5\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\) oder \(5\) ist. Das trifft auf \(105\), \(230\), \(600\), \(875\) und \(990\) zu. 2. Eine Zahl ist durch \(10\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\) ist. Das trifft auf \(230\), \(600\) und \(990\) zu.

a) \(105\), \(230\), \(600\), \(875\), \(990\) b) \(230\), \(600\), \(990\)

- Eine Zahl ist nur dann ein Vielfaches des Divisors, wenn bei der Division Rest \(0\) entsteht. - Notiere die Division auch bei Zahlen, die nicht ohne Rest aufgehen. - Vergleiche erst nach allen Rechnungen die beiden Ergebnislisten.

1. Bei Division durch \(3\) erhält man \(111 : 3 = 37\), \(234 : 3 = 78\), \(405 : 3 = 135\), \(567 : 3 = 189\), \(810 : 3 = 270\) und \(993 : 3 = 331\). Alle Divisionen gehen ohne Rest auf. 2. Daher sind alle sechs Zahlen Vielfache von \(3\). 3. Bei Division durch \(9\) erhält man \(111 = 9 \cdot 12 + 3\), \(234 : 9 = 26\), \(405 : 9 = 45\), \(567 : 9 = 63\), \(810 : 9 = 90\) und \(993 = 9 \cdot 110 + 3\). 4. Daher sind \(234\), \(405\), \(567\) und \(810\) Vielfache von \(9\); \(111\) und \(993\) nicht.

a) \(111 : 3 = 37\), \(234 : 3 = 78\), \(405 : 3 = 135\), \(567 : 3 = 189\), \(810 : 3 = 270\), \(993 : 3 = 331\). Vielfache von \(3\): \(111\), \(234\), \(405\), \(567\), \(810\), \(993\). b) \(111 = 9 \cdot 12 + 3\), \(234 : 9 = 26\), \(405 : 9 = 45\), \(567 : 9 = 63\), \(810 : 9 = 90\), \(993 = 9 \cdot 110 + 3\). Vielfache von \(9\): \(234\), \(405\), \(567\), \(810\).

- Prüfe zuerst für jede Zahl, ob sie als \(4 \cdot k\) mit einer natürlichen Zahl \(k\) geschrieben werden kann. - Gehe für die Vielfachen von \(5\) genauso vor. - Für Teil c) brauchst du nur die Zahlen zu vergleichen, die in den beiden vorherigen Listen vorkommen.

1. Vielfache von \(4\) sind \(140\), \(360\), \(500\) und \(624\), denn \(140 : 4 = 35\), \(360 : 4 = 90\), \(500 : 4 = 125\) und \(624 : 4 = 156\). 2. Vielfache von \(5\) sind \(140\), \(255\), \(360\), \(500\) und \(750\), denn \(140 : 5 = 28\), \(255 : 5 = 51\), \(360 : 5 = 72\), \(500 : 5 = 100\) und \(750 : 5 = 150\). 3. In beiden Listen stehen \(140\), \(360\) und \(500\). Diese Zahlen sind gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(5\).

a) \(140 : 4 = 35\), \(360 : 4 = 90\), \(500 : 4 = 125\), \(624 : 4 = 156\) b) \(140 : 5 = 28\), \(255 : 5 = 51\), \(360 : 5 = 72\), \(500 : 5 = 100\), \(750 : 5 = 150\) c) \(140\), \(360\) und \(500\) stehen in beiden Listen und sind daher gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(5\).

- Überlege dir zuerst, woran man erkennt, dass eine Zahl durch 2 teilbar ist. - Welche Bedingung muss die letzte Ziffer erfüllen, damit eine Zahl durch 5 teilbar ist? - Wenn eine Zahl durch beide Zahlen teilbar sein soll, welche Ziffer muss dann am Ende stehen? - Schau dir jede Zahl in der Liste einzeln an und prüfe die Endziffer.

1. Anwendung der Teilbarkeitsregel für \(2\): Eine Zahl ist durch \(2\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) oder \(8\) ist. Dies trifft auf \(150\), \(432\), \(60\) und \(80\) zu. 2. Anwendung der Teilbarkeitsregel für \(5\): Eine Zahl ist durch \(5\) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer \(0\) oder \(5\) ist. Dies trifft auf \(150\), \(275\), \(60\), \(105\) und \(80\) zu. 3. Schnittmenge bilden: Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen, müssen auf die Ziffer \(0\) enden. 4. Ergebnis: Die Zahlen \(150\), \(60\) und \(80\) sind durch \(2\) und \(5\) teilbar.

Die Zahlen \(150\), \(60\) und \(80\) sind sowohl durch \(2\) als auch durch \(5\) teilbar, da sie alle auf die Ziffer \(0\) enden.

- Berechne für jede Zahl die Summe ihrer Ziffern. - Entscheide anschließend für jede Quersumme, ob sie durch \(3\) teilbar ist. - Übertrage diese Entscheidung mit der Quersummenregel auf die zugehörige Zahl.

1. Für \(214\) ist die Quersumme \(2 + 1 + 4 = 7\). Da \(7\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist \(214\) nicht durch \(3\) teilbar. 2. Für \(333\) ist die Quersumme \(3 + 3 + 3 = 9\). Da \(9\) durch \(3\) teilbar ist, ist \(333\) durch \(3\) teilbar. 3. Für \(1002\) ist die Quersumme \(1 + 0 + 0 + 2 = 3\). Da \(3\) durch \(3\) teilbar ist, ist \(1002\) durch \(3\) teilbar. 4. Für \(56\) ist die Quersumme \(5 + 6 = 11\). Da \(11\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist \(56\) nicht durch \(3\) teilbar. 5. Für \(918\) ist die Quersumme \(9 + 1 + 8 = 18\). Da \(18\) durch \(3\) teilbar ist, ist \(918\) durch \(3\) teilbar. 6. Damit sind genau \(333\), \(1002\) und \(918\) durch \(3\) teilbar.

\(214\): Quersumme \(7\), also nicht durch \(3\) teilbar. \(333\): Quersumme \(9\), also durch \(3\) teilbar. \(1002\): Quersumme \(3\), also durch \(3\) teilbar. \(56\): Quersumme \(11\), also nicht durch \(3\) teilbar. \(918\): Quersumme \(18\), also durch \(3\) teilbar. Durch \(3\) teilbar sind genau \(333\), \(1002\) und \(918\).

- Für eine der beiden Regeln brauchst du die Quersumme. - Für die andere Regel reicht es, die letzte Ziffer anzusehen. - Prüfe jede Zahl getrennt für beide Spalten der Tabelle.

1. Für die Teilbarkeit durch \(3\) werden die Quersummen geprüft: \(1 + 0 + 2 = 3\), \(3 + 3 + 3 = 9\), \(4 + 0 + 9 = 13\), \(1 + 2 + 6 + 0 = 9\) und \(5 + 0 + 0 + 1 = 6\). Daher sind \(102\), \(333\), \(1260\) und \(5001\) durch \(3\) teilbar. 2. Für die Teilbarkeit durch \(5\) genügt die Endziffer. Nur \(1260\) endet auf \(0\) oder \(5\) und ist deshalb durch \(5\) teilbar.

<table> <tr><th>Zahl</th><th>durch \(3\) teilbar</th><th>durch \(5\) teilbar</th></tr> <tr><td>\(102\)</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(333\)</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(409\)</td><td>nein</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(1260\)</td><td>ja</td><td>ja</td></tr> <tr><td>\(5001\)</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> </table>

- Übersetze jede Mengenaussage zuerst in die Frage, ob eine Zahl Teiler oder Vielfaches der anderen ist. - Eine Division ohne Rest liefert einen eindeutigen Nachweis. - Achte bei \(T(n)\) und \(V(n)\) darauf, welche Zahl die Grundzahl der Menge ist.

1. Es gilt \(2469 : 3 = 823\). Also ist \(2469\) ein Vielfaches von \(3\); die Aussage ist wahr. 2. Es gilt \(124 = 15 \cdot 8 + 4\). Also ist \(124\) kein Vielfaches von \(8\); die Aussage ist falsch. 3. Es gilt \(8118 : 9 = 902\). Also ist \(9\) ein Teiler von \(8118\); die Aussage ist wahr. 4. Es gilt \(1010 = 252 \cdot 4 + 2\). Also ist \(4\) kein Teiler von \(1010\); die Aussage ist falsch. 5. Es gilt \(144 : 12 = 12\). Also ist \(12\) ein Teiler von \(144\); die Aussage ist wahr.

a) Wahr, denn \(2469 : 3 = 823\). b) Falsch, denn \(124 = 15 \cdot 8 + 4\). c) Wahr, denn \(8118 : 9 = 902\). d) Falsch, denn \(1010 = 252 \cdot 4 + 2\). e) Wahr, denn \(144 : 12 = 12\).

- Betrachte jeweils nur die letzte Ziffer und ordne ihr die passende Endstellenregel zu. - Vergleiche besonders die Bedingungen für Teilbarkeit durch \(5\) und durch \(10\). - Prüfe, ob eine Zahl gleichzeitig mehrere der drei Bedingungen erfüllen kann.

1. Durch \(2\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) oder \(8\). Das trifft auf \(156\), \(480\) und \(912\) zu. 2. Durch \(5\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\) oder \(5\). Das trifft auf \(275\), \(480\) und \(1005\) zu. 3. Durch \(10\) teilbar sind Zahlen mit der Endziffer \(0\). Das trifft nur auf \(480\) zu.

Durch \(2\) teilbar: \(156\), \(480\), \(912\), denn ihre Endziffer ist gerade. Durch \(5\) teilbar: \(275\), \(480\), \(1005\), denn ihre Endziffer ist \(0\) oder \(5\). Durch \(10\) teilbar: \(480\), denn die Zahl endet auf \(0\).

- Überlege zuerst, was die letzte Ziffer über die Teilbarkeit durch \(2\) aussagt. - Für die Teilbarkeit durch \(3\) hilft dir die Quersumme mit der noch unbekannten Ziffer. - Vergleiche für Teil c) die beiden zuvor gefundenen Ziffernmengen.

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) muss die letzte Ziffer gerade sein. Daher sind \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) und \(8\) möglich. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(2 + 0 + 2 + \square = 4 + \square\) durch \(3\) teilbar sein. Das gilt für \(\square = 2\), \(\square = 5\) und \(\square = 8\). 3. Für beide Bedingungen muss die Ziffer in beiden Ergebnismengen vorkommen. Das trifft auf \(2\) und \(8\) zu.

a) \(\square \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\) b) \(\square \in \{2; 5; 8\}\) c) \(\square \in \{2; 8\}\)

- Bilde zuerst genau die vier Zahlen, die mit den vorgegebenen Ziffernkarten entstehen. - Entscheidend ist bei jeder Division der Rest. - Triff die Entscheidung erst, nachdem du alle vier Kandidaten geprüft hast.

1. Es gilt \(2375 = 9 \cdot 263 + 8\). 2. Es gilt \(3375 : 9 = 375\); hier ist der Rest \(0\). 3. Es gilt \(4375 = 9 \cdot 486 + 1\). 4. Es gilt \(8375 = 9 \cdot 930 + 5\). 5. Nur bei \(3375\) geht die Division ohne Rest auf. Daher muss im Kästchen die Ziffer \(3\) stehen.

\(2375 = 9 \cdot 263 + 8\) \(3375 : 9 = 375\) \(4375 = 9 \cdot 486 + 1\) \(8375 = 9 \cdot 930 + 5\) Daher gilt \(\square = 3\).

- Zum Widerlegen einer allgemeinen Aussage genügt ein einziges Gegenbeispiel. - Bei a) kannst du eine kleine Zahl mit der geforderten Endziffer durch \(6\) teilen und den Rest prüfen. - Bei b) vergleiche die behauptete Quersummenbedingung mit der tatsächlich bekannten Endziffernregel für \(5\).

1. Für a) genügt eine Zahl, die auf \(6\) endet, sich aber nicht ohne Rest durch \(6\) teilen lässt. Zum Beispiel gilt \(16 : 6 = 2\) Rest \(4\). Damit ist die Aussage widerlegt. 2. Für b) wird eine Zahl gesucht, deren Quersumme durch \(5\) teilbar ist, deren Endziffer aber weder \(0\) noch \(5\) ist. Bei \(14\) ist die Quersumme \(1 + 4 = 5\), aber \(14\) ist nicht durch \(5\) teilbar. Damit ist auch diese Aussage widerlegt.

a) Zum Beispiel \(16\): Die Zahl endet auf \(6\), ist aber nicht durch \(6\) teilbar. b) Zum Beispiel \(14\): Die Quersumme ist \(5\), aber \(14\) ist nicht durch \(5\) teilbar.

- Nutze zuerst die Endstellenregel für die Teilbarkeit durch \(2\), um die möglichen Ziffern einzuschränken. - Prüfe anschließend bei diesen Ziffern die Quersumme auf Teilbarkeit durch \(3\). - Gesucht sind nur Ziffern, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen.

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) kommen als letzte Ziffer nur \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) oder \(8\) infrage. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme durch \(3\) teilbar sein. Die bekannten Ziffern ergeben \(7+4=11\). 3. Prüfe die geraden Endziffern: \(11+0=11\), \(11+2=13\), \(11+4=15\), \(11+6=17\), \(11+8=19\). Nur \(15\) ist durch \(3\) teilbar. 4. Daher passt nur die Ziffer \(4\).

\(4\)

- Kannst du ein Produkt finden, das durch \(4\) teilbar ist, obwohl keiner der beiden Faktoren selbst durch \(4\) teilbar ist? - Beginne mit kleinen Faktoren.

Gesucht sind zwei Faktoren, von denen keiner durch \(4\) teilbar ist, deren Produkt jedoch durch \(4\) teilbar ist. Mit \(2\) und \(2\) erhält man \(2 \cdot 2 = 4\). Keiner der beiden Faktoren ist durch \(4\) teilbar, das Produkt aber schon.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(2 \cdot 2 = 4\). Das Produkt ist durch \(4\) teilbar, die beiden Faktoren \(2\) jedoch nicht.

- Bestimme zuerst das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\). - Prüfe anschließend, welche Zahlen der Liste Vielfache dieses gemeinsamen Vielfachen sind. - Eine Division ohne Rest liefert einen direkten Nachweis.

1. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\) ist \(12\). Jede Zahl, die ein gemeinsames Vielfaches von \(3\) und \(4\) ist, ist daher ein Vielfaches von \(12\). 2. Es gilt \(132 : 12 = 11\), \(744 : 12 = 62\) und \(1008 : 12 = 84\). Diese drei Zahlen sind gemeinsame Vielfache. 3. Die Divisionen \(258 : 12\), \(412 : 12\) und \(630 : 12\) gehen nicht ohne Rest auf. Diese Zahlen sind keine gemeinsamen Vielfachen von \(3\) und \(4\).

\(132\), \(744\) und \(1008\), denn \(132 : 12 = 11\), \(744 : 12 = 62\) und \(1008 : 12 = 84\).

- Bei allen drei Regeln genügt es, die Endziffer zu betrachten. - Prüfe jede Zahl nacheinander für \(2\), \(5\) und \(10\). - Vergleiche anschließend die Spalten: Welche Zusammenhänge zwischen den drei Regeln erkennst du?

1. Durch \(2\) teilbar sind die geraden Zahlen \(250\), \(1020\) und \(884\). 2. Durch \(5\) teilbar sind die Zahlen mit Endziffer \(0\) oder \(5\): \(250\), \(475\), \(1020\) und \(915\). 3. Durch \(10\) teilbar sind die Zahlen mit Endziffer \(0\): \(250\) und \(1020\). 4. Die Ergebnisse werden in einer Übersicht zusammengefasst.

<table> <tr><th>Zahl</th><th>durch \(2\)</th><th>durch \(5\)</th><th>durch \(10\)</th></tr> <tr><td>\(250\)</td><td>ja</td><td>ja</td><td>ja</td></tr> <tr><td>\(475\)</td><td>nein</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(1020\)</td><td>ja</td><td>ja</td><td>ja</td></tr> <tr><td>\(884\)</td><td>ja</td><td>nein</td><td>nein</td></tr> <tr><td>\(915\)</td><td>nein</td><td>ja</td><td>nein</td></tr> </table>

- Prüfe bei a), ob die letzte Ziffer für die Teilbarkeit durch \(3\) überhaupt entscheidend ist. - Vergleiche bei b) die möglichen Endziffern für die Teilbarkeit durch \(10\) und durch \(5\). - Suche bei c) nach einer Endziffer, die beide ersten Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

1. Aussage a) ist falsch. Zum Beispiel endet \(13\) auf \(3\), aber die Quersumme ist \(1 + 3 = 4\) und daher nicht durch \(3\) teilbar. 2. Aussage b) ist wahr. Eine durch \(10\) teilbare Zahl endet auf \(0\). Damit erfüllt sie zugleich die Endziffernregel für die Teilbarkeit durch \(5\). 3. Aussage c) ist wahr. Eine durch \(5\) teilbare Zahl endet auf \(0\) oder \(5\). Soll sie zugleich durch \(2\) teilbar sein, muss die Endziffer gerade sein. Von \(0\) und \(5\) ist nur \(0\) gerade. Damit endet die Zahl auf \(0\) und ist durch \(10\) teilbar.

a) Falsch; zum Beispiel endet \(13\) auf \(3\), ist wegen der Quersumme \(4\) aber nicht durch \(3\) teilbar. b) Wahr; jede durch \(10\) teilbare Zahl endet auf \(0\) und erfüllt damit auch die Endstellenregel für \(5\). c) Wahr; eine durch \(5\) teilbare Zahl endet auf \(0\) oder \(5\), und von diesen Endziffern ist nur \(0\) zugleich gerade. Daher ist die Zahl durch \(10\) teilbar.

- Welche Zahl ist die erste fünfstellige Zahl? - Prüfe, ob diese Zahl selbst ein Vielfaches von \(25\) ist. - Wie gelangst du von einem Vielfachen von \(25\) zum unmittelbar vorherigen Vielfachen?

1. Die kleinste fünfstellige Zahl ist \(10\,000\), und \(10\,000 = 25 \cdot 400\) ist ein Vielfaches von \(25\). 2. Das unmittelbar vorherige Vielfache von \(25\) erhält man durch Subtraktion von \(25\): \(10\,000 - 25 = 9975\). 3. Daher ist \(9975\) das größte vierstellige positive Vielfache von \(25\).

\(9975\), denn \(10\,000\) ist bereits fünfstellig und \(10\,000 - 25 = 9975\).

- Beginne bei \(800\) und gehe in Schritten von \(25\) weiter. - Beende die Liste, sobald das nächste Vielfache größer als \(890\) wäre. - Vergleiche erst danach die Endziffern der gefundenen Vielfachen mit dem Stellenmuster.

1. Die Vielfachen von \(25\) im geforderten Bereich sind \(800 = 25 \cdot 32\), \(825 = 25 \cdot 33\), \(850 = 25 \cdot 34\) und \(875 = 25 \cdot 35\). 2. Von diesen Zahlen haben nur \(800\) und \(850\) die Form \(8\square0\). 3. Daher sind die Ziffern \(0\) und \(5\) möglich.

Vielfache von \(25\) von \(800\) bis \(890\): \(800\), \(825\), \(850\), \(875\). Zur Form \(8\square0\) passen \(800\) und \(850\); daher \(\square \in \{0;5\}\).

- Nutze für Teil a) die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch \(3\). - Schreibe für Teil b) einige Vielfache von \(6\) auf und betrachte ihre Endziffern.

1. Aussage a) ist falsch. Die Quersumme von \(11\,111\) ist \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5\). Da \(5\) nicht durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(11\,111\) nicht durch \(3\) teilbar. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(12\): Es gilt \(12 : 6 = 2\), obwohl die Zahl auf \(2\) endet.

a) Falsch, denn die Quersumme von \(11\,111\) ist \(5\) und nicht durch \(3\) teilbar. b) Falsch; \(12\) ist ein Gegenbeispiel, denn \(12 : 6 = 2\), obwohl die Zahl nicht auf \(6\) endet.

- Welche Parität haben zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen? - Was entsteht, wenn du eine gerade und eine ungerade Zahl addierst? - Formuliere dein Argument so, dass es für jedes Paar aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen gilt.

1. Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer eine Zahl gerade und die andere ungerade. 2. Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade. 3. Daher ist die Summe zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen nie durch \(2\) teilbar.

Nein. Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer eine gerade und die andere ungerade. Die Summe „gerade + ungerade“ ist ungerade und deshalb nicht durch \(2\) teilbar.

- Denke daran, wie eine Zahl aus vollen Zehnern und Einern aufgebaut ist. - Prüfe, welche Eigenschaft jeder volle Zehner bezüglich der Zahl \(5\) hat. - Überlege anschließend nur noch, welche Einerziffern selbst durch \(5\) teilbar sind.

1. Es gilt \(3475=347\cdot10+5\). 2. Jeder volle Zehner ist durch \(5\) teilbar, weil \(10:5=2\) gilt. Auch der Rest \(5\) ist durch \(5\) teilbar. Daher ist \(3475\) durch \(5\) teilbar. 3. Bei jeder natürlichen Zahl bestehen alle Stellen außer der Einerstelle aus vollen Zehnern und sind deshalb durch \(5\) teilbar. 4. Von den möglichen Einerziffern sind genau \(0\) und \(5\) durch \(5\) teilbar. Deshalb entscheidet allein die Einerziffer über die Teilbarkeit durch \(5\).

a) \(3475=347\cdot10+5\). Beide Summanden sind durch \(5\) teilbar, also auch \(3475\). b) Alle vollen Zehner sind durch \(5\) teilbar. Deshalb muss nur die Einerziffer betrachtet werden; genau \(0\) und \(5\) sind mögliche durch \(5\) teilbare Einerziffern.

- Beschränke dich auf den kurzen Zahlenbereich von \(730\) bis \(739\). - Erzeuge jede Vielfachenliste unabhängig und vollständig. - Für c) suchst du nicht neu, sondern den gemeinsamen Eintrag der beiden Listen.

1. Zwischen \(730\) und \(739\) liegen die Vielfachen \(732 = 4 \cdot 183\) und \(736 = 4 \cdot 184\). Daher sind in a) die Ziffern \(2\) und \(6\) möglich. 2. Im selben Bereich liegen die Vielfachen \(732 = 3 \cdot 244\), \(735 = 3 \cdot 245\) und \(738 = 3 \cdot 246\). Daher sind in b) die Ziffern \(2\), \(5\) und \(8\) möglich. 3. Nur \(732\) steht in beiden Vielfachenlisten. Daher ist in c) nur die Ziffer \(2\) möglich.

a) Vielfache von \(4\): \(732\), \(736\); also \(\square \in \{2;6\}\). b) Vielfache von \(3\): \(732\), \(735\), \(738\); also \(\square \in \{2;5;8\}\). c) Gemeinsames Vielfaches in beiden Listen: \(732\); also \(\square = 2\).

- Suche bei a) die Vielfachen im gesamten kurzen Zahlenbereich, nicht nur einzelne Treffer. - Bei b) und c) unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Kandidaten immer um \(10\). Was bedeutet diese Änderung für den Divisionsrest bei Division durch \(4\)? - Bei d) unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende dreistellige Kandidaten um \(100\). Vergleiche diese Änderung mit einem Vielfachen von \(4\).

1. Für a) sind die Vielfachen von \(4\) im Bereich \(520\) bis \(529\) genau \(520 = 4 \cdot 130\), \(524 = 4 \cdot 131\) und \(528 = 4 \cdot 132\). Daher sind \(0\), \(4\) und \(8\) möglich. 2. Für b) gilt \(706 = 4 \cdot 176 + 2\). Wird die Kästchenziffer um \(1\) erhöht, wächst die Zahl um \(10 = 4 \cdot 2 + 2\). Der Rest wechselt daher abwechselnd zwischen \(2\) und \(0\). Genau bei den ungeraden Ziffern \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\) ist der Rest \(0\). 3. Für c) gilt \(402 = 4 \cdot 100 + 2\). Auch hier erhöht jeder Ziffernschritt die Zahl um \(10\), sodass der Rest wieder zwischen \(2\) und \(0\) wechselt. Möglich sind genau \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\). 4. Für d) gilt \(118 = 4 \cdot 29 + 2\). Jede weitere dreistellige Kandidatenzahl entsteht durch Addition von \(100 = 4 \cdot 25\). Deshalb bleibt der Rest stets \(2\); keine Ziffer funktioniert.

a) Vielfache im Bereich: \(520\), \(524\), \(528\); also \(\square \in \{0;4;8\}\). b) \(706 = 4 \cdot 176 + 2\) und jeder Ziffernschritt addiert \(10 = 4 \cdot 2 + 2\). Die Reste wechseln \(2,0,2,0,\dots\); daher \(\square \in \{1;3;5;7;9\}\). c) \(402 = 4 \cdot 100 + 2\) und derselbe Ziffernschritt von \(10\) lässt die Reste \(2,0,2,0,\dots\) wechseln; daher \(\square \in \{1;3;5;7;9\}\). d) \(118 = 4 \cdot 29 + 2\) und \(100 = 4 \cdot 25\). Deshalb bleibt bei jeder dreistelligen Zahl der Form \(\square18\) der Rest \(2\); keine Ziffer ist möglich.

- Überlege, was du über die Gerade- oder Ungerade-Eigenschaft aller Vielfachen von \(4\) weißt. - Welche Eigenschaft der letzten Ziffer verhindert bei der ursprünglichen Zahl jede Lösung? - Nach der Änderung genügt ein einziges korrektes Beispiel mit einer Multiplikations- oder Divisionsrechnung.

1. Jedes Vielfache von \(4\) ist gerade, weil \(4 = 2 \cdot 2\) gilt. Die Zahl \(3\square7\) endet auf \(7\) und ist daher ungerade. Unabhängig von der Ziffer im Kästchen kann sie kein Vielfaches von \(4\) sein. 2. Man ersetzt die letzte Ziffer durch eine gerade Ziffer und sucht anschließend ein passendes Vielfaches von \(4\). Zum Beispiel kann aus \(3\square7\) die Form \(3\square6\) werden. 3. Mit \(\square = 1\) entsteht \(316\), und es gilt \(316 = 4 \cdot 79\). Damit ist ein mögliches Beispiel gefunden.

Keine Ziffer funktioniert bei \(3\square7\), weil jedes Vielfache von \(4\) gerade ist, die Zahl aber auf \(7\) endet. Ein mögliches geändertes Beispiel ist \(316 = 4 \cdot 79\).

- Was bedeutet es für eine Zahl, wenn sie „nicht durch \(2\) teilbar“ ist? - Suche nach einer Zahl in der Viererreihe, die eine andere Endziffer als \(4\) oder \(8\) hat. - Addiere zwei einfache ungerade Zahlen und schaue dir das Ergebnis an. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine allgemeine Behauptung zu Fall zu bringen?

1. In Teilaufgabe a) wird eine Zahl gesucht, die durch \(4\) teilbar ist, aber nicht auf \(4\) oder \(8\) endet. Die Zahlen \(12\) und \(20\) sind durch \(4\) teilbar (\(12 : 4 = 3\); \(20 : 4 = 5\)), enden aber auf \(2\) bzw. \(0\). 2. In Teilaufgabe b) müssen zwei ungerade Zahlen addiert werden, um zu prüfen, ob die Summe gerade (durch \(2\) teilbar) sein kann. Wählt man zum Beispiel \(3\) und \(5\), ergibt sich \(3 + 5 = 8\). Da \(8\) durch \(2\) teilbar ist, ist die Aussage widerlegt.

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(12\) (oder \(20\), \(32\), \(40\) usw.) b) \(3 + 5 = 8\) (oder jede andere Summe zweier ungerader Zahlen)

- Ist jede Zahl aus der Dreierreihe auch automatisch in der Neunerreihe? - Überlege dir, ob die Zehnerziffer allein überhaupt etwas über die Teilbarkeit durch \(3\) aussagt. - Welche Zahl aus der Dreierreihe kennst du, die eine ganz andere Zehnerziffer hat? - Schreibe dir die ersten Vielfachen von \(3\) auf und prüfe die Bedingungen.

1. Für Teilaufgabe a) suchen wir ein Vielfaches von \(3\), das kein Vielfaches von \(9\) ist. Die Zahl \(6\) (oder \(12\), \(15\), \(21\)) ist durch \(3\) teilbar, aber nicht durch \(9\), da sie nicht in der Neunerreihe vorkommt. 2. Für Teilaufgabe b) muss eine Zahl gefunden werden, die durch \(3\) teilbar ist, deren Zehnerziffer jedoch nicht \(3\), \(6\) oder \(9\) ist. Die Zahl \(12\) ist durch \(3\) teilbar (\(12 : 3 = 4\)), ihre Zehnerziffer ist jedoch \(1\). Damit ist die Bedingung widerlegt.

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(6\) (oder \(12\), \(15\), \(21\) usw.) b) \(12\) (oder \(15\), \(18\), \(21\), \(24\), \(27\) usw.)

- Prüfe zuerst, ob die bereits feststehende letzte Ziffer die Bedingung für Teilbarkeit durch \(2\) erfüllt. - Addiere danach die bekannten Ziffern für die Quersummenregel. - Beachte bei der Suche zusätzlich, dass die erste Ziffer nicht \(0\) sein darf.

1. Die Zahl endet auf \(2\). Daher ist sie unabhängig von der ersten Ziffer durch \(2\) teilbar. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme durch \(3\) teilbar sein. Die bekannten Ziffern ergeben \(1+5+2=8\). 3. Als erste Ziffer sind nur \(1\) bis \(9\) möglich. Von ihnen machen \(1\), \(4\) und \(7\) die Quersummen \(9\), \(12\) beziehungsweise \(15\), also Vielfache von \(3\). 4. Damit erfüllen \(1\), \(4\) und \(7\) beide Bedingungen.

\(1\), \(4\) und \(7\)

- Bestimme zuerst den regelmäßigen Abstand zwischen gemeinsamen Vielfachen von \(3\) und \(4\). - Erzeuge die vollständige Liste im vorgegebenen Hunderterbereich. - Filtere erst danach nach dem Stellenmuster \(25\square2\).

1. Die gemeinsamen positiven Vielfachen von \(3\) und \(4\) sind die Vielfachen von \(12\). 2. Zwischen \(2500\) und \(2600\) liegen \(2508\), \(2520\), \(2532\), \(2544\), \(2556\), \(2568\), \(2580\) und \(2592\). 3. Zur Form \(25\square2\) passen \(2532\) und \(2592\). 4. Daher sind die Ziffern \(3\) und \(9\) möglich.

Gemeinsame Vielfache von \(3\) und \(4\) zwischen \(2500\) und \(2600\): \(2508\), \(2520\), \(2532\), \(2544\), \(2556\), \(2568\), \(2580\), \(2592\). Zur Form \(25\square2\) passen \(2532\) und \(2592\); daher \(\square \in \{3;9\}\).

- Bestimme zuerst, welches das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(4\) und \(9\) ist. - Schreibe die gemeinsamen Vielfachen nur im durch \(1\square2\) vorgegebenen Zahlenbereich auf. - Vergleiche anschließend die gefundenen Zahlen mit dem Stellenmuster.

1. Die kleinsten positiven gemeinsamen Vielfachen von \(4\) und \(9\) erhält man in Schritten von \(36\). 2. Im Zahlenbereich von \(102\) bis \(192\) liegen die gemeinsamen Vielfachen \(108\), \(144\) und \(180\). 3. Keine dieser Zahlen hat die Form \(1\square2\). 4. Deshalb gibt es keine Ziffer, die die Bedingung erfüllt.

Es gibt keine passende Ziffer: Die gemeinsamen Vielfachen \(108\), \(144\) und \(180\) im möglichen Zahlenbereich haben keines die Form \(1\square2\).

- Prüfe zuerst, ob alle drei Teilbarkeitsbedingungen unabhängig voneinander sind. - Suche die gemeinsamen Vielfachen der beiden entscheidenden Zahlen im angegebenen Bereich vollständig. - Vergleiche anschließend nur noch mit dem Stellenmuster.

1. Jedes Vielfache von \(9\) ist auch durch \(3\) teilbar. Deshalb genügt es, gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) zu betrachten. 2. Das kleinste positive gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) ist \(45\). Zwischen \(400\) und \(500\) liegen die Vielfachen \(405\), \(450\) und \(495\). 3. Zur Form \(4\square5\) passen \(405\) und \(495\). 4. Daher sind die Ziffern \(0\) und \(9\) möglich. Beide Zahlen sind als Vielfache von \(9\) automatisch auch durch \(3\) teilbar.

Gemeinsame Vielfache von \(9\) und \(5\) zwischen \(400\) und \(500\): \(405\), \(450\), \(495\). Zur Form \(4\square5\) passen \(405\) und \(495\); daher \(\square \in \{0;9\}\). Da jedes Vielfache von \(9\) auch ein Vielfaches von \(3\) ist, ist die dritte Bedingung damit ebenfalls erfüllt.

- Vergleiche, welche Information die Regeln für \(2\), \(3\) und \(5\) jeweils aus der Zahl verwenden. - Bei der Regel für \(3\) kannst du die Quersumme zunächst mit dem Kästchen stehen lassen. - Für Teil d) suchst du eine Ziffer, die zwei bereits geprüfte Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

1. Für die Teilbarkeit durch \(2\) muss die Endziffer gerade sein. Daher gilt \(\square \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\). 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(4 + 7 + \square = 11 + \square\) durch \(3\) teilbar sein. Das gilt für die Quersummen \(12\), \(15\) und \(18\), also für \(\square \in \{1; 4; 7\}\). 3. Für die Teilbarkeit durch \(5\) muss die Endziffer \(0\) oder \(5\) sein. Daher gilt \(\square \in \{0; 5\}\). 4. Für die gleichzeitige Teilbarkeit durch \(2\) und \(3\) muss die Ziffer sowohl in der Ergebnismenge aus a) als auch in der Ergebnismenge aus b) liegen. Nur \(4\) erfüllt beide Bedingungen.

a) \(\square \in \{0; 2; 4; 6; 8\}\) b) \(\square \in \{1; 4; 7\}\) c) \(\square \in \{0; 5\}\) d) \(\square = 4\)

- Notiere auch bei einer Division mit Rest die vollständige Form \(n = d \cdot q + r\). - Erstelle die beiden Ergebnislisten erst, nachdem alle fünf Divisionen des jeweiligen Teils durchgeführt sind. - Für c) suchst du den gemeinsamen Eintrag beider Listen.

1. Bei Division durch \(9\) gilt \(132 = 9 \cdot 14 + 6\), \(225 : 9 = 25\), \(316 = 9 \cdot 35 + 1\), \(450 : 9 = 50\) und \(504 : 9 = 56\). Daher sind \(225\), \(450\) und \(504\) Vielfache von \(9\). 2. Bei Division durch \(4\) gilt \(132 : 4 = 33\), \(225 = 4 \cdot 56 + 1\), \(316 : 4 = 79\), \(450 = 4 \cdot 112 + 2\) und \(504 : 4 = 126\). Daher sind \(132\), \(316\) und \(504\) Vielfache von \(4\). 3. Nur \(504\) steht in beiden Ergebnislisten. Daher ist \(504\) das einzige gemeinsame Vielfache in der gegebenen Auswahl.

a) \(132 = 9 \cdot 14 + 6\), \(225 : 9 = 25\), \(316 = 9 \cdot 35 + 1\), \(450 : 9 = 50\), \(504 : 9 = 56\). Vielfache von \(9\): \(225\), \(450\), \(504\). b) \(132 : 4 = 33\), \(225 = 4 \cdot 56 + 1\), \(316 : 4 = 79\), \(450 = 4 \cdot 112 + 2\), \(504 : 4 = 126\). Vielfache von \(4\): \(132\), \(316\), \(504\). c) \(504\), weil die Zahl in beiden Ergebnislisten vorkommt.

- Wie lautet die Regel für die Teilbarkeit durch 3? - Welche Ziffern kommen an der Einerstelle für die Teilbarkeit durch 5 infrage? - Wenn alle Ziffern gleich sein sollen, reicht es, die Quersumme für Ziffern von 1 bis 9 zu prüfen.

1. Für Teilaufgabe a): Die Zahl hat die Form \(aaaa\). Eine Zahl ist durch \(3\) teilbar, wenn ihre Quersumme durch \(3\) teilbar ist. Die Quersumme ist \(a + a + a + a = 4a\). Wir prüfen die Ziffern \(a\) von \(1\) bis \(9\): \(4 \cdot 1 = 4, 4 \cdot 2 = 8, 4 \cdot 3 = 12\) (durch \(3\) teilbar). Die kleinste Ziffer ist also \(3\), und die Zahl lautet \(3333\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Zahl hat die Form \(a50b\). Damit sie durch \(5\) teilbar ist, muss die Einerziffer \(b\) entweder \(0\) oder \(5\) sein. Um die größte Zahl zu erhalten, wählen wir für die Tausenderstelle \(a = 9\) und für die Einerstelle \(b = 5\). Die Zahl lautet \(9505\).

a) \(3333\) b) \(9505\)

- Bestimme zuerst den ganzen Bereich der Zahlen, die auf Zehner zu \(640\) gerundet werden. - Welche Einerziffern kennzeichnen Zahlen, die durch \(5\) teilbar sind? - Schneide anschließend beide Bedingungen miteinander.

1. Auf Zehner gerundet ergeben die Zahlen von \(635\) bis \(644\) den Wert \(640\). 2. Durch \(5\) teilbar sind davon genau die Zahlen, deren Einerziffer \(0\) oder \(5\) ist. 3. Das sind \(635\) und \(640\).

\(635\) und \(640\)

- Prüfe die Bedingungen für \(2\) und \(3\) getrennt. - Eine der beiden Bedingungen ist durch die feste letzte Ziffer bereits entschieden. - Beachte bei der Quersumme, dass dieselbe unbekannte Ziffer zweimal vorkommt.

1. Die Zahl endet auf \(2\) und ist deshalb unabhängig von der eingesetzten Ziffer durch \(2\) teilbar. 2. Für die Teilbarkeit durch \(3\) muss die Quersumme \(1 + \square + \square + 2 = 3 + 2\square\) durch \(3\) teilbar sein. 3. Für \(\square = 0\), \(3\), \(6\) und \(9\) ergeben sich die Quersummen \(3\), \(9\), \(15\) und \(21\). Diese sind durch \(3\) teilbar. Bei den übrigen Ziffern ist die Quersumme nicht durch \(3\) teilbar. 4. Daher erfüllen genau die Ziffern \(0\), \(3\), \(6\) und \(9\) beide Bedingungen gleichzeitig.

\(\square \in \{0; 3; 6; 9\}\)

- Addiere zunächst die Werte aller zehn Ziffernkarten und achte darauf, was daran für die Teilbarkeit besonders ist. - Vergleiche diese feste Ziffernsumme mit den Quersummen deiner verschiedenen Ergebnisse. - Überlege bei einem einzelnen Übertrag, wie sich die Ziffernsumme vor und nach dem Übertrag verändert.

1. Mögliche Beispiele sind \(10\,234 + 98\,765 = 108\,999\) mit Quersumme \(36\), \(50\,246 + 13\,789 = 64\,035\) mit Quersumme \(18\) und \(24\,680 + 13\,579 = 38\,259\) mit Quersumme \(27\). 2. In allen drei Beispielen ist die Quersumme des Ergebnisses durch \(9\) teilbar. 3. Die Summe aller verwendeten Ziffern von \(0\) bis \(9\) ist \(45\), also ein Vielfaches von \(9\). Bei einem Übertrag sinkt die Ziffernsumme um ein Vielfaches von \(9\). Deshalb bleibt die Quersumme der Summe ein Vielfaches von \(9\).

a) Zum Beispiel: \(10\,234 + 98\,765 = 108\,999\), Quersumme \(36\); \(50\,246 + 13\,789 = 64\,035\), Quersumme \(18\); \(24\,680 + 13\,579 = 38\,259\), Quersumme \(27\). b) Die Quersumme des Ergebnisses ist immer ein Vielfaches von \(9\). c) Die Ziffern \(0\) bis \(9\) haben zusammen die Summe \(45\). Überträge verändern eine Ziffernsumme nur um Vielfache von \(9\). Daher bleibt die Quersumme des Ergebnisses durch \(9\) teilbar.

- Überlege, welche Gerade- oder Ungerade-Eigenschaften in jedem Block aus vier aufeinanderfolgenden Zahlen zwingend vorkommen. - Betrachte für Teil 2) die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Vielfachen von \(4\). - Für Teil 3) reicht ein einziges korrektes Gegenbeispiel, wenn die Aussage nicht immer gilt.

1. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gibt es mindestens eine gerade Zahl. Damit enthält das Produkt einen Faktor, der durch \(2\) teilbar ist, und das ganze Produkt ist durch \(2\) teilbar. 2. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt immer genau ein Vielfaches von \(4\). Damit enthält das Produkt einen Faktor, der bereits durch \(4\) teilbar ist, und das ganze Produkt ist durch \(4\) teilbar. 3. Für \(5\) gilt die Aussage nicht. Das Gegenbeispiel \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) zeigt, dass vier aufeinanderfolgende Zahlen kein Vielfaches von \(5\) enthalten müssen.

1) Ja. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt mindestens eine gerade Zahl; deshalb enthält das Produkt einen Faktor \(2\) und ist durch \(2\) teilbar. 2) Ja. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt immer ein Vielfaches von \(4\); deshalb ist auch das ganze Produkt durch \(4\) teilbar. 3) Nein. Zum Beispiel ist \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) nicht durch \(5\) teilbar.