Kostenlose Arbeitsblätter

- Vergleiche bei jeder Geraden, wie viele gemeinsame Punkte sie mit der Kreislinie hat. - Eine Tangente berührt die Kreislinie genau einmal.

1. Eine Tangente hat mit der Kreislinie genau einen gemeinsamen Punkt. 2. Die Gerade \(s\) schneidet den Kreis in zwei Punkten, die Gerade \(p\) verläuft außerhalb des Kreises. 3. Nur \(t\) berührt die Kreislinie in genau einem Punkt. Daher ist \(t\) die Tangente.

Die Gerade \(t\).

- Welche Lage haben Radius und Tangente am Berührpunkt zueinander? - Welche Winkelweite hat ein rechter Winkel?

1. Im Berührpunkt steht die Tangente senkrecht auf dem Radius. 2. Senkrechte Geraden bilden einen rechten Winkel. 3. Der Winkel zwischen \([MB]\) und \(t\) beträgt daher \(90^\circ\).

\(90^\circ\)

- Zähle nur Punkte, die auf beiden Kreislinien liegen. - Unterscheide zwischen keinem gemeinsamen Punkt, genau einem gemeinsamen Punkt und zwei gemeinsamen Punkten. - Achte darauf, ob eine Kreislinie innerhalb der anderen liegt oder ob die Kreise von verschiedenen Seiten zusammentreffen.

1. Die beiden Kreislinien treffen sich an genau einer Stelle. 2. Keine Kreislinie liegt innerhalb der anderen; sie treffen sich von außen. 3. Zwei Kreislinien mit genau einem gemeinsamen Punkt in dieser Lage berühren sich von außen.

a) Einen gemeinsamen Punkt. b) Die Kreislinien berühren sich von außen.

- Was bedeutet der Begriff "Lot" in der Geometrie? - Suche in der Zeichnung nach dem Symbol für einen rechten Winkel. - Welcher Punkt liegt genau dort, wo die Senkrechte und die Berührlinie (Tangente) aufeinandertreffen?

1. Identifikation der geometrischen Objekte im Bild: Sekante durch die Punkte B und C, Tangente (vertikale Linie) durch Punkt D. 2. Bestimmung des Lots: Die Linie, die senkrecht (gekennzeichnet durch das Quadrat-Symbol) auf der Sekante steht. 3. Verfolgen des Verlaufs des Lots bis zum Schnittpunkt mit der Tangente: Der Schnittpunkt ist mit A beschriftet.

a) A

- Stelle dir zwei parallele Geraden vor, die den Kreis auf gegenüberliegenden Seiten gerade berühren. - Welche Strecken verbinden den Mittelpunkt mit den beiden Berührpunkten? - Welche Gesamtlänge entsteht aus diesen beiden Radien?

1. Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius zu diesem Berührpunkt. 2. Bei zwei parallelen Tangenten liegen die beiden zugehörigen Radien auf derselben Geraden durch den Mittelpunkt; zusammen bilden sie einen Durchmesser. 3. Der Abstand der parallelen Tangenten ist deshalb gleich dem Durchmesser des Kreises. 4. Es gilt \(d=2r=2\cdot4\,\text{cm}=8\,\text{cm}\).

Der Abstand beträgt \(8\,\text{cm}\). Die beiden Berührpunkte liegen auf einer Geraden durch den Mittelpunkt; ihr Abstand und damit der Abstand der parallelen Tangenten ist der Durchmesser \(2r\).

- Wie weit liegen die Punkte \(C\) und \(D\) voneinander entfernt? - Was gilt für die Summe der Radien, wenn sich zwei Kreise von außen berühren? - Stelle dir vor, der zweite Kreis wächst, bis er den ersten gerade berührt.

1. Der Abstand der Mittelpunkte beträgt \(7\,\text{cm} - 1\,\text{cm} = 6\,\text{cm}\). 2. Bei äußerer Berührung ist der Mittelpunktabstand gleich der Summe der Radien: \(r_C + r_D = 6\,\text{cm}\). 3. Daher gilt \(r_D = 6\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 3\,\text{cm}\).

Der Radius \(r_D\) muss \(3\,\text{cm}\) betragen.

- Ein gemeinsamer Punkt mit der Kreislinie allein reicht nicht aus. - Welche besondere Lagebeziehung besteht im Berührpunkt zwischen Tangente und Radius? - Überlege, was bei einer anderen Geraden durch \(B\) passieren kann: Kann sie die Kreislinie noch in einem zweiten Punkt treffen?

1. Durch einen Punkt auf der Kreislinie können viele verschiedene Geraden verlaufen. 2. Viele davon schneiden die Kreislinie noch in einem zweiten Punkt. 3. Eine Gerade ist im Punkt \(B\) nur dann Tangente, wenn sie dort senkrecht auf der Radiusstrecke \([MB]\) steht. 4. Linas Aussage ist deshalb ohne diese Zusatzbedingung falsch.

Nein. Die Gerade muss im Punkt \(B\) senkrecht auf der Radiusstrecke \([MB]\) stehen; erst dann ist sie Tangente.

- Vergleiche jeden angegebenen Abstand mit dem Radius \(3\,\text{cm}\). - Überlege getrennt, was bei „kleiner“, „gleich“ und „größer als der Radius“ geometrisch passiert. - Eine Tangente entspricht genau dem Grenzfall zwischen Schneiden und Vorbeilaufen.

1. Ist der Abstand der Geraden vom Mittelpunkt kleiner als der Radius, verläuft die Gerade durch den Kreis und hat zwei Schnittpunkte. 2. Ist der Abstand gleich dem Radius, berührt die Gerade den Kreis in genau einem Punkt und ist Tangente. 3. Ist der Abstand größer als der Radius, liegt die Gerade außerhalb des Kreises. 4. Daher schneidet \(g\) den Kreis in zwei Punkten, \(h\) ist Tangente und \(j\) hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie.

\(g\): zwei Schnittpunkte \(h\): Tangente \(j\): kein gemeinsamer Punkt

- Bestimme zuerst aus dem Durchmesser den Radius des Reifens. - Der Boden berührt die Kreislinie nur in \(B\). Welche Beziehung gilt deshalb zwischen Boden und Radiusstrecke \([MB]\)? - Die gesuchte Höhe ist der senkrechte Abstand des Mittelpunkts vom Boden.

1. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers: \(70\,\text{cm}:2=35\,\text{cm}\). 2. Weil der Boden den Reifen nur im Punkt \(B\) berührt, ist er dort eine Tangente. 3. Die Radiusstrecke \([MB]\) steht im Berührpunkt senkrecht auf der Tangente. Daher beträgt der Winkel \(90^\circ\).

a) \(35\,\text{cm}\) b) \(90^\circ\)

- Vergleiche die Abstände der beiden Kreislinien vom gemeinsamen Mittelpunkt. - Für eine Berührung müssten die Kreislinien mindestens einen gemeinsamen Punkt besitzen.

1. Beide Kreislinien liegen in jedem Winkel vom Mittelpunkt aus in unterschiedlichen Abständen von \(M\). 2. Deshalb treffen sich die beiden Kreislinien an keiner Stelle. 3. Ohne gemeinsamen Punkt können sie sich auch nicht berühren.

Sie haben keine gemeinsamen Punkte und berühren sich nicht.

- Zähle nur Stellen, die auf beiden Kreislinien liegen. - Vergleiche die gefundene Anzahl mit dem Kennzeichen einer Berührung: genau ein gemeinsamer Punkt. - Entscheide danach zwischen „berühren“ und „schneiden“.

1. In der Abbildung treffen sich die beiden Kreislinien an zwei verschiedenen Stellen. 2. Sie haben daher zwei gemeinsame Punkte. 3. Bei einer Berührung gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Mit zwei gemeinsamen Punkten schneiden sich die Kreislinien und berühren sich nicht nur.

a) Zwei gemeinsame Punkte. b) Die Kreislinien schneiden sich; sie berühren sich nicht nur.

- Betrachte bei jedem Paar nur die Kreislinien, nicht die Kreisflächen. - Zähle zuerst die gemeinsamen Punkte, bevor du die Lagebeziehung benennst. - Ein gemeinsamer Punkt bedeutet eine Berührung; achte dann darauf, ob ein Kreis außerhalb oder innerhalb des anderen liegt.

1. In a) schneiden sich die beiden Kreislinien in zwei Punkten. Sie haben also zwei gemeinsame Punkte. 2. In b) treffen sich die Kreislinien genau in einem Punkt von außen. Sie berühren sich außen. 3. In c) liegt der kleinere Kreis im größeren und beide Kreislinien treffen sich genau in einem Punkt. Sie berühren sich innen. 4. In d) liegt der kleinere Kreis vollständig im größeren, ohne dessen Kreislinie zu treffen. Die Kreislinien haben keinen gemeinsamen Punkt.

a) Zwei gemeinsame Punkte; die Kreislinien schneiden sich. b) Ein gemeinsamer Punkt; die Kreislinien berühren sich außen. c) Ein gemeinsamer Punkt; die Kreislinien berühren sich innen. d) Kein gemeinsamer Punkt; eine Kreislinie liegt innerhalb der anderen, ohne sie zu berühren.

- Welche besondere Lage hat die Gerade \(g\) im Koordinatensystem? - Wie stehen der Radius zum Berührpunkt und die Tangente immer zueinander? - Wenn zwei Geraden beide senkrecht auf einer dritten Geraden stehen, wie liegen sie dann zueinander? - Wo müssen die Berührpunkte liegen, wenn die Tangente eine bestimmte Richtung haben soll?

1. Da die Tangenten senkrecht auf der Geraden \(g\) stehen sollen und die Gerade \(g\) selbst durch den Mittelpunkt verläuft (sie ist eine Vertikale mit \(x = 5\)), müssen die Tangenten waagerechte Linien sein. Da eine Tangente immer senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt steht, müssen die Berührpunkte auf der Geraden \(g\) liegen, jeweils im Abstand des Radius \(r = 3\) vom Mittelpunkt \(M\) entfernt. 2. Die Berührpunkte liegen auf der Geraden \(g\), also bei \(x = 5\). Man addiert und subtrahiert den Radius zum y-Wert des Mittelpunkts: \(5 + 3 = 8\) und \(5 - 3 = 2\). Die Berührpunkte sind \(B_1(5 \mid 8)\) und \(B_2(5 \mid 2)\).

1. Die Tangenten müssen waagerecht verlaufen. Die Berührpunkte findet man, indem man vom Mittelpunkt \(M\) aus den Radius \(r = 3\,\text{cm}\) entlang der Geraden \(g\) nach oben und nach unten abträgt. 2. Die Berührpunkte sind \(B_1(5 \mid 8)\) und \(B_2(5 \mid 2)\).

- Wie groß ist der Abstand zweier Punkte mit gleicher \(y\)-Koordinate? - Welche Lage haben Radius und Tangente im Berührpunkt zueinander? - Wo liegt auf einer Kreislinie der Punkt, der \(P\) genau gegenüberliegt?

1. Der Radius ist der Abstand von \(M(6\mid 4)\) zu \(P(10\mid 4)\): \(r=10-6=4\,\text{cm}\). 2. Die Strecke \([MP]\) verläuft waagerecht. Im Berührpunkt steht die Tangente senkrecht auf dem Radius. Daher verläuft \(t_1\) senkrecht und parallel zur \(y\)-Achse. 3. Der gegenüberliegende Berührpunkt liegt \(4\) Einheiten links vom Mittelpunkt: \(6-4=2\). Daher ist \(Q(2\mid 4)\).

a) \(r=4\,\text{cm}\) b) \([MP]\) verläuft waagerecht; \(t_1\) steht senkrecht darauf und ist daher parallel zur \(y\)-Achse. c) \(Q(2\mid 4)\)

- Stelle dir vor, wie die Kreise auf einer Linie liegen. Was passiert mit den Rändern, wenn du die Mittelpunkte näher zusammenrückst? - Überlege dir, wie lang die Strecke vom einen Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Rand des eigenen Kreises ist. - Wie hängen die Radien und der Abstand zusammen, wenn sich die Kreise gerade noch berühren?

1. Für eine Berührung von außen muss der Abstand der Mittelpunkte genau der Summe der beiden Radien entsprechen: \(d = r_1 + r_2 = 2\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\). 2. Damit der kleinere Kreis vollständig im größeren liegt, darf der von \(B\) am weitesten entfernte Punkt des kleinen Kreises (in Richtung weg von \(B\)) nicht über den Rand des großen Kreises hinausgehen. Das ist der Fall, wenn der Abstand der Mittelpunkte plus der kleine Radius höchstens so groß ist wie der große Radius: \(d + r_1 \leq r_2\). 3. Einsetzen der Werte ergibt: \(d + 2\,\text{cm} \leq 5\,\text{cm}\), also \(d \leq 3\,\text{cm}\).

a) Der Abstand muss \(d = 7\,\text{cm}\) betragen. b) Der Abstand darf höchstens \(3\,\text{cm}\) betragen, denn \(d + 2\,\text{cm} \leq 5\,\text{cm}\).

- Überlege, wie viele Punkte einer Geraden durch den Mittelpunkt auf der Kreislinie liegen. - Entscheidend ist nicht nur die Richtung der Geraden, sondern auch ihre Lage zum Mittelpunkt. - Vergleiche die Anzahl der Schnittpunkte von \(h\) mit der Definition einer Tangente.

1. Eine Tangente berührt die Kreislinie nur in einem Punkt und verläuft nicht durch den Kreismittelpunkt. 2. Die Gerade \(h\) verläuft durch \(M\). Von \(M\) aus trifft sie die Kreislinie in zwei entgegengesetzten Richtungen. 3. Damit hat \(h\) zwei gemeinsame Punkte mit der Kreislinie und ist keine Tangente. 4. Dass \(h\) parallel zu \(t\) ist, ändert daran nichts.

Nein. Weil \(h\) durch den Mittelpunkt verläuft, schneidet sie die Kreislinie in zwei Punkten und kann keine Tangente sein.

- Vergleiche den Abstand der Mittelpunkte mit den beiden Radien. - Überlege, ob die kleinere Kreislinie vollständig innerhalb der größeren liegen kann. - Wann erreicht eine innen liegende Kreislinie die äußere Kreislinie in genau einem Punkt?

1. Die Radien unterscheiden sich um \(5\,\text{cm}-2\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 2. Dieser Unterschied ist genau so groß wie der Abstand \(|MN|=3\,\text{cm}\) der Mittelpunkte. 3. Damit liegt die kleinere Kreislinie innerhalb der größeren und erreicht sie genau in einem Punkt. 4. Die Kreislinien berühren sich von innen.

Die Kreislinien haben genau einen gemeinsamen Punkt und berühren sich von innen.

- Betrachte die Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte und denke daran, wo der gemeinsame Berührpunkt liegen kann. - Unterscheide den Fall, dass die Kreise nebeneinander liegen, vom Fall, dass der kleinere Kreis im größeren liegt. - Prüfe bei c), wo der genannte Abstand im Vergleich zu den beiden Berührungsabständen liegt.

1. Bei einer äußeren Berührung liegen die beiden Radien auf der Verbindung der Mittelpunkte hintereinander. Der Mittelpunktabstand ist dann \(5\,\text{cm}+2\,\text{cm}=7\,\text{cm}\). 2. Bei einer inneren Berührung liegt der kleinere Kreis im größeren. Der Mittelpunktabstand ist dann die Differenz der Radien: \(5\,\text{cm}-2\,\text{cm}=3\,\text{cm}\). 3. Bei einem Mittelpunktabstand von \(5\,\text{cm}\) gilt \(3\,\text{cm}<5\,\text{cm}<7\,\text{cm}\). Der Abstand liegt also zwischen den beiden Berührungsfällen. 4. Daher schneiden sich die Kreislinien bei \(5\,\text{cm}\) in zwei Punkten; die Behauptung ist falsch.

a) \(3\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\) b) Bei \(7\,\text{cm}\) berühren sich die Kreise außen; bei \(3\,\text{cm}\) berühren sie sich innen. c) Die Behauptung ist falsch. Bei \(5\,\text{cm}\) Mittelpunktabstand schneiden sich die Kreislinien in zwei Punkten.