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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 5

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Primzahlen

Lernziele

  • Erklärt Primzahlen anhand ihrer positiven Teiler.
  • Prüft überschaubare Zahlen auf Primalität.
  • Unterscheidet Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.
  • Erklärt, warum 1 keine Primzahl ist.
  • Begründet, warum 2 die einzige gerade Primzahl ist.

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5520835
Die vollständige Teilermenge von \(17\) lautet \(T(17)=\{1; 17\}\). Ist \(17\) eine Primzahl? Begründe mit der Definition einer Primzahl.

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, wie viele positive Teiler eine Primzahl genau hat. - Vergleiche die angegebene Teilermenge mit dieser Definition. - Prüfe, ob außer \(1\) und der Zahl selbst noch ein weiterer Teiler vorkommt.

Lösung

1. Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: \(1\) und die Zahl selbst. 2. Die angegebene Teilermenge von \(17\) enthält genau die beiden Teiler \(1\) und \(17\). 3. Daher ist \(17\) eine Primzahl.

Antwort

Ja. \(17\) ist eine Primzahl, weil ihre einzigen positiven Teiler \(1\) und \(17\) sind.
5520845
Vergleiche die vollständigen Teilermengen \(T(1)=\{1\}\) und \(T(2)=\{1; 2\}\). Welche der beiden Zahlen ist eine Primzahl? Begründe mit der Definition einer Primzahl.

Denkanstöße

- Vergleiche bei beiden Zahlen die Anzahl ihrer positiven Teiler. - Eine Primzahl muss die Definition mit genau zwei positiven Teilern erfüllen. - Prüfe die beiden angegebenen Teilermengen einzeln gegen diese Definition.

Lösung

1. Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: \(1\) und die Zahl selbst. 2. Die Zahl \(1\) hat nur einen positiven Teiler und ist deshalb keine Primzahl. 3. Die Zahl \(2\) hat genau die beiden positiven Teiler \(1\) und \(2\) und ist deshalb eine Primzahl.

Antwort

\(1\) ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat. \(2\) ist eine Primzahl, weil sie genau die beiden positiven Teiler \(1\) und \(2\) hat.
4173445
Welche ungeraden Zahlen zwischen \(20\) und \(30\) sind Primzahlen? Liste sie auf.

Denkanstöße

- Schreibe dir zuerst alle ungeraden Zahlen in diesem Bereich auf. - Kannst du Zahlen direkt streichen, die in einer bekannten Einmaleins-Reihe vorkommen? - Welche Endziffern können Primzahlen (außer \(2\) und \(5\)) überhaupt haben?

Lösung

1. Auflistung der ungeraden Zahlen im Bereich: \(21, 23, 25, 27, 29\). 2. Prüfung der Teilbarkeit: \(21\) ist durch \(3\) teilbar (\(3 \cdot 7\)). \(25\) ist durch \(5\) teilbar (\(5 \cdot 5\)). \(27\) ist durch \(3\) und \(9\) teilbar (\(3 \cdot 9\)). 3. Identifikation der Primzahlen: Für \(23\) und \(29\) lassen sich keine Teiler außer \(1\) und sich selbst finden.

Antwort

Die Primzahlen zwischen \(20\) und \(30\) sind \(23\) und \(29\).
4197755
Entscheide, ob die folgenden Aussagen über Primzahlen wahr oder falsch sind. a) Es gibt nur eine einzige Primzahl, die gerade ist. b) Wenn man eine Primzahl mit \(2\) multipliziert, ist das Ergebnis immer eine Primzahl.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition einer Primzahl: Wie viele positive Teiler hat sie? - Welche gerade Zahl ist selbst eine Primzahl? - Teste die zweite Aussage mit kleinen Primzahlen.

Lösung

1. Aussage a) ist wahr. Die Zahl \(2\) ist die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist durch \(2\) teilbar und besitzt mehr als zwei Teiler. 2. Aussage b) ist falsch. Für die Primzahl \(2\) erhält man \(2\cdot2=4\), also keine Primzahl. Für jede Primzahl \(p>2\) ist \(2p\) durch \(2\) und durch \(p\) teilbar und daher ebenfalls keine Primzahl.

Antwort

a) Wahr b) Falsch
4197835
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz \(2\) beträgt. Welche der folgenden Paare sind Primzahlzwillinge? Untersuche jedes Paar und begründe bei den falschen Paaren, warum sie die Bedingung nicht erfüllen. a) \(5\) und \(7\) b) \(13\) und \(15\) c) \(29\) und \(31\) d) \(37\) und \(39\)

Denkanstöße

- Was genau muss für beide Zahlen eines Paares gelten, damit sie Primzahlen sind? - Wie groß muss der Abstand zwischen Primzahlzwillingen genau sein? - Überprüfe die Teilbarkeit der Zahlen. Hilft dir die Quersummenregel bei einigen Zahlen weiter? - Erinnere dich an die Definition einer Primzahl.

Lösung

1. \(5\) und \(7\) sind beide Primzahlen und unterscheiden sich um \(2\). Sie sind Primzahlzwillinge. 2. \(13\) ist eine Primzahl, aber \(15 = 3 \cdot 5\) ist keine Primzahl. Daher sind \(13\) und \(15\) keine Primzahlzwillinge. 3. \(29\) und \(31\) sind beide Primzahlen und unterscheiden sich um \(2\). Sie sind Primzahlzwillinge. 4. \(37\) ist eine Primzahl, aber \(39 = 3 \cdot 13\) ist keine Primzahl. Daher sind \(37\) und \(39\) keine Primzahlzwillinge.

Antwort

a) Ja, es sind Primzahlzwillinge. b) Nein, da \(15\) keine Primzahl ist (\(15 = 3 \cdot 5\)). c) Ja, es sind Primzahlzwillinge. d) Nein, da \(39\) keine Primzahl ist (\(39 = 3 \cdot 13\)).
5522865
Das Zahlenfeld enthält die natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(30\). <table><tr><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5\)</td><td>\(6\)</td></tr><tr><td>\(7\)</td><td>\(8\)</td><td>\(9\)</td><td>\(10\)</td><td>\(11\)</td><td>\(12\)</td></tr><tr><td>\(13\)</td><td>\(14\)</td><td>\(15\)</td><td>\(16\)</td><td>\(17\)</td><td>\(18\)</td></tr><tr><td>\(19\)</td><td>\(20\)</td><td>\(21\)</td><td>\(22\)</td><td>\(23\)</td><td>\(24\)</td></tr><tr><td>\(25\)</td><td>\(26\)</td><td>\(27\)</td><td>\(28\)</td><td>\(29\)</td><td>\(30\)</td></tr></table> Führe das Sieb des Eratosthenes schrittweise durch. \(1\) ist keine Primzahl. a) Behalte \(2\) und notiere alle größeren Zahlen, die in diesem Schritt neu gestrichen werden. b) Behalte danach \(3\) und notiere nur die noch nicht gestrichenen Zahlen, die jetzt neu gestrichen werden. c) Behalte danach \(5\) und notiere nur die noch nicht gestrichenen Zahlen, die jetzt neu gestrichen werden. d) Notiere die Zahlen, die anschließend als Primzahlen bis \(30\) übrig bleiben.

Denkanstöße

- Bei jedem Schritt werden nur größere Vielfache der gerade behaltenen Zahl gestrichen. - Eine Zahl, die schon in einem früheren Schritt gestrichen wurde, wird nicht noch einmal als „neu gestrichen“ notiert. - Vergleiche nach jedem Schritt das Zahlenfeld mit deiner bisherigen Streichliste.

Lösung

1. Beim Schritt mit \(2\) werden alle geraden Zahlen größer als \(2\) neu gestrichen: \(4\), \(6\), \(8\), \(10\), \(12\), \(14\), \(16\), \(18\), \(20\), \(22\), \(24\), \(26\), \(28\), \(30\). 2. Beim Schritt mit \(3\) sind die geraden Vielfachen bereits gestrichen. Neu gestrichen werden \(9\), \(15\), \(21\) und \(27\). 3. Beim Schritt mit \(5\) sind \(10\), \(15\), \(20\) und \(30\) bereits gestrichen. Neu gestrichen wird nur \(25\). 4. Übrig bleiben \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), \(23\) und \(29\). Das sind die Primzahlen bis \(30\).

Antwort

a) Neu gestrichen: \(4\), \(6\), \(8\), \(10\), \(12\), \(14\), \(16\), \(18\), \(20\), \(22\), \(24\), \(26\), \(28\), \(30\). b) Neu gestrichen: \(9\), \(15\), \(21\), \(27\). c) Neu gestrichen: \(25\). d) Übrig bleiben \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), \(23\), \(29\).
5575265
Untersuche, ob \(59\) eine Primzahl ist. Prüfe dazu die Teilbarkeit durch \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\). Begründe anschließend, warum du keine größere Zahl als möglichen Teiler mehr prüfen musst. Nutze dabei \(7\cdot7<59<8\cdot8\).

Denkanstöße

- Bei einer zusammengesetzten Zahl bilden zwei Faktoren ein Produkt. - Überlege, was passieren müsste, wenn beide Faktoren mindestens \(8\) wären. - Prüfe nur Primzahlen als mögliche kleine Teiler.

Lösung

1. \(59\) ist ungerade und daher nicht durch \(2\) teilbar. 2. Die Quersumme ist \(5+9=14\), also ist \(59\) nicht durch \(3\) teilbar. 3. Die Zahl endet weder auf \(0\) noch auf \(5\), also ist sie nicht durch \(5\) teilbar. 4. Bei der Division durch \(7\) bleibt ein Rest, denn \(59=7\cdot8+3\). 5. Wäre \(59\) zusammengesetzt, hätte sie eine Zerlegung in zwei Faktoren, von denen mindestens einer kleiner als \(8\) wäre. Die möglichen Primteiler \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) sind ausgeschlossen. Daher ist \(59\) prim.

Antwort

\(59\) ist eine Primzahl. Sie ist durch keinen der möglichen Primteiler \(2\), \(3\), \(5\) oder \(7\) teilbar; wegen \(59<8\cdot8\) genügt diese Prüfung.
5575275
Nina sagt: „\(91\) ist eine Primzahl. Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) oder \(5\) teilbar, also bin ich fertig.“ a) Erkläre, warum Ninas Prüfung noch nicht vollständig ist. b) Prüfe den noch fehlenden kleinen Primteiler und entscheide, ob \(91\) prim oder zusammengesetzt ist.

Denkanstöße

- Vergleiche \(91\) mit zwei benachbarten Quadratzahlen. - Welche Primzahlen liegen unter der kleineren passenden Grenze? - Prüfe, ob in Ninas Liste noch eine dieser Primzahlen fehlt.

Lösung

1. Es gilt \(9\cdot9<91<10\cdot10\). Für einen vollständigen Primzahltest müssen deshalb die Primteiler kleiner als \(10\) geprüft werden: \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\). 2. Nina hat \(7\) noch nicht geprüft. 3. Es gilt \(91:7=13\), also \(91=7\cdot13\). Damit ist \(91\) zusammengesetzt.

Antwort

a) Nina hat den möglichen Primteiler \(7\) noch nicht geprüft. b) \(91=7\cdot13\). Daher ist \(91\) zusammengesetzt.
4173425
Untersuche, welche der folgenden Zahlen Primzahlen sind: \(43\), \(57\), \(61\) und \(81\). Gib für die Zahlen, die keine Primzahlen sind, ein Produkt aus zwei Faktoren an, die beide größer als \(1\) sind.

Denkanstöße

- Was genau zeichnet eine Primzahl aus? - Kennst du die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch \(3\)? - Überlege, ob die Zahl in einer der Reihen des kleinen Einmaleins vorkommt. - Reicht es aus, die Teilbarkeit durch kleine Primzahlen wie \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) zu prüfen?

Lösung

1. Überprüfung von \(43\): Für eine Zerlegung von \(43\) müsste einer der beiden Faktoren höchstens \(6\) sein, denn \(6 \cdot 6 < 43 < 7 \cdot 7\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(7\)) oder \(5\) teilbar. Damit besitzt sie keinen Teiler zwischen \(2\) und \(6\) und ist eine Primzahl. 2. Überprüfung von \(57\): Die Quersumme ist \(5 + 7 = 12\). Da \(12\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(57\) durch \(3\) teilbar: \(57 = 3 \cdot 19\). Daher ist \(57\) keine Primzahl. 3. Überprüfung von \(61\): Für eine Zerlegung müsste einer der Faktoren höchstens \(7\) sein, denn \(7 \cdot 7 < 61 < 8 \cdot 8\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(7\)), \(5\) oder \(7\) teilbar. Daher ist \(61\) eine Primzahl. 4. Überprüfung von \(81\): Es gilt \(81 = 9 \cdot 9\). Daher ist \(81\) keine Primzahl.

Antwort

Primzahlen: \(43\) und \(61\). Keine Primzahlen: \(57\) (z. B. \(3 \cdot 19\)) und \(81\) (z. B. \(9 \cdot 9\)).
4173435
Prüfe die Zahlen \(87\), \(91\) und \(101\). Sind sie Primzahlen? Begründe bei einer zusammengesetzten Zahl mit einem Faktorenpaar. Wenn du eine Zahl für prim hältst, notiere alle Primzahlen, die du als mögliche Teiler prüfen musst, und zeige, dass keine davon teilt.

Denkanstöße

- Für eine zusammengesetzte Zahl reicht ein echtes Faktorenpaar als Nachweis. - Bei einer vermuteten Primzahl musst du begründen, welche kleinen Primzahlen als Teiler infrage kommen. - Überlege, wie groß zwei Faktoren mindestens wären, wenn beide mindestens \(11\) wären.

Lösung

1. Es gilt \(87=3\cdot29\). Daher ist \(87\) zusammengesetzt. 2. Es gilt \(91=7\cdot13\). Daher ist \(91\) zusammengesetzt. 3. Für \(101\) genügt es, die Primzahlen unter \(11\) zu prüfen: Wären beide Faktoren mindestens \(11\), wäre ihr Produkt mindestens \(121\). Zu prüfen sind also \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\). 4. \(101\) ist durch keine dieser Primzahlen teilbar: \(101=2\cdot50+1\), \(101=3\cdot33+2\), \(101=5\cdot20+1\), \(101=7\cdot14+3\). Daher ist \(101\) prim.

Antwort

\(87=3\cdot29\): keine Primzahl. \(91=7\cdot13\): keine Primzahl. Bei \(101\) müssen nur \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) geprüft werden. Keine dieser Primzahlen teilt \(101\). Daher ist \(101\) eine Primzahl.
4175835
Untersuche die folgenden Aussagen über Primzahlen und finde jeweils ein Gegenbeispiel, um sie zu widerlegen. a) Alle ungeraden natürlichen Zahlen sind Primzahlen. b) Die Summe von zwei beliebigen Primzahlen ist immer eine gerade Zahl.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition einer Primzahl. Wie viele Teiler hat sie? - Gehe die ungeraden Zahlen nacheinander durch: \(1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\) Welche davon ist keine Primzahl? - Gibt es eine Primzahl, die nicht ungerade ist? - Was passiert, wenn du diese besondere Primzahl mit einer anderen addierst?

Lösung

1. In Teilaufgabe a) muss eine ungerade Zahl gefunden werden, die mehr als zwei Teiler besitzt. Die Zahl \(9\) ist ungerade, hat aber die Teiler \(1\), \(3\) und \(9\). Da sie drei Teiler hat, ist sie keine Primzahl. 2. In Teilaufgabe b) wird nach zwei Primzahlen gesucht, deren Summe ungerade ist. Da die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl stets ungerade ist, muss die einzige gerade Primzahl \(2\) verwendet werden. Die Rechnung \(2 + 3 = 5\) ergibt die ungerade Summe \(5\).

Antwort

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(9\) (Die Zahl ist ungerade, aber keine Primzahl, da \(3 \cdot 3 = 9\)). b) \(2 + 3 = 5\) (Die Summe der Primzahlen \(2\) und \(3\) ist \(5\), was eine ungerade Zahl ist).
4179035
Untersuche die Zahlen \(51\), \(52\) und \(53\) jeweils für sich. Entscheide, ob die Zahl prim oder zusammengesetzt ist. Bei einer zusammengesetzten Zahl genügt ein echtes Faktorenpaar. Wenn du eine Zahl für prim hältst, prüfe alle kleinen Primzahlen, die als Teiler infrage kommen, und erkläre, warum diese Prüfung vollständig ist.

Denkanstöße

- Prüfe jede Zahl für sich. - Bei einer zusammengesetzten Zahl reicht ein echtes Faktorenpaar als Nachweis. - Wenn du kein echtes Faktorenpaar findest, prüfe die kleinen Primzahlen, die als Teiler infrage kommen, und überlege, warum diese Liste vollständig ist.

Lösung

1. Es gilt \(51 = 3 \cdot 17\). Daher ist \(51\) zusammengesetzt. 2. Es gilt \(52 = 2 \cdot 26\). Daher ist \(52\) zusammengesetzt. 3. Bei \(53\) genügt die Prüfung der Primteiler \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\), denn \(8 \cdot 8 > 53\). 4. Es gilt \(53 = 2 \cdot 26 + 1\), \(53 = 3 \cdot 17 + 2\), \(53 = 5 \cdot 10 + 3\) und \(53 = 7 \cdot 7 + 4\). Damit teilt keiner der möglichen Primteiler \(53\); die Zahl ist prim.

Antwort

\(51 = 3 \cdot 17\): zusammengesetzt. \(52 = 2 \cdot 26\): zusammengesetzt. Für \(53\) sind \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) die zu prüfenden Primteiler. Es gilt \(53 = 2 \cdot 26 + 1\), \(53 = 3 \cdot 17 + 2\), \(53 = 5 \cdot 10 + 3\), \(53 = 7 \cdot 7 + 4\). Daher ist \(53\) prim.
4179045
Entscheide für jede der Zahlen \(63\), \(65\), \(67\) und \(69\), ob sie prim oder zusammengesetzt ist. Gib bei jeder zusammengesetzten Zahl ein echtes Faktorenpaar an. Wenn du eine Zahl für prim hältst, prüfe alle kleinen Primzahlen, die als Teiler infrage kommen, und erkläre, warum diese Prüfung vollständig ist.

Denkanstöße

- Suche bei jeder Zahl zuerst nach einem echten Faktorenpaar. - Findest du keines, prüfe die kleinen Primzahlen, die als Teiler infrage kommen. - Erkläre bei einer Primzahl, warum du damit alle nötigen Primteiler geprüft hast.

Lösung

1. Es gilt \(63 = 3 \cdot 21\). Daher ist \(63\) zusammengesetzt. 2. Es gilt \(65 = 5 \cdot 13\). Daher ist \(65\) zusammengesetzt. 3. Für \(67\) müssen nur die Primteiler \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) geprüft werden, denn \(9 \cdot 9 > 67\). Es gilt \(67 = 2 \cdot 33 + 1\), \(67 = 3 \cdot 22 + 1\), \(67 = 5 \cdot 13 + 2\) und \(67 = 7 \cdot 9 + 4\). Keiner dieser Primteiler teilt \(67\); daher ist \(67\) prim. 4. Es gilt \(69 = 3 \cdot 23\). Daher ist \(69\) zusammengesetzt.

Antwort

\(63 = 3 \cdot 21\): zusammengesetzt. \(65 = 5 \cdot 13\): zusammengesetzt. Für \(67\) sind \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) die nötigen Primteiler. Es gilt \(67 = 2 \cdot 33 + 1\), \(67 = 3 \cdot 22 + 1\), \(67 = 5 \cdot 13 + 2\), \(67 = 7 \cdot 9 + 4\). Daher ist \(67\) prim. \(69 = 3 \cdot 23\): zusammengesetzt.
4179055
Untersuche, ob die Zahlen \(77\) und \(93\) Primzahlen sind. Wende dazu passende bekannte Teilbarkeitsregeln an oder versuche, die Zahlen in ein Produkt aus zwei Faktoren zu zerlegen, die beide größer als \(1\) sind.

Denkanstöße

- Prüfe zunächst, ob eine der bekannten Teilbarkeitsregeln sofort einen Teiler liefert. - Wenn diese Regeln nicht helfen, teste weitere kleine mögliche Teiler systematisch. - Sobald du eine Zerlegung in zwei Faktoren größer als \(1\) gefunden hast, ist die Primzahlfrage entschieden.

Lösung

1. Für \(77\) führen die bekannten Regeln für \(2\), \(3\) und \(5\) zu keinem Teiler. Beim weiteren Prüfen kleiner möglicher Teiler findet man \(77 = 7 \cdot 11\). Daher ist \(77\) keine Primzahl. 2. Für \(93\) ist die Quersumme \(9 + 3 = 12\). Da \(12\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(93\) durch \(3\) teilbar. Es gilt \(93 = 3 \cdot 31\). Daher ist auch \(93\) keine Primzahl.

Antwort

Weder \(77\) noch \(93\) sind Primzahlen. Es gilt \(77 = 7 \cdot 11\) und \(93 = 3 \cdot 31\).
4197845
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz \(2\) beträgt. Zwischen zwei Primzahlzwillingen liegt immer genau eine gerade Zahl. Überprüfe für die geraden Zahlen \(12\), \(20\) und \(42\), ob sie jeweils genau in der Mitte eines Primzahlzwillingspaares liegen. Bestimme das zugehörige Paar oder begründe, warum es kein solches Paar gibt.

Denkanstöße

- Welche Zahlen liegen unmittelbar links und rechts neben der gegebenen geraden Zahl? - Für ein Primzahlzwillingspaar müssen beide Nachbarzahlen Primzahlen sein. - Prüfe zusammengesetzte Nachbarzahlen mit kleinen möglichen Teilern, ohne nur auf ihre Endziffer zu schauen.

Lösung

1. Neben \(12\) liegen \(11\) und \(13\). Beide sind Primzahlen, also bilden sie das Primzahlzwillingspaar \((11;13)\). 2. Neben \(20\) liegen \(19\) und \(21\). \(19\) ist prim, aber \(21 = 3 \cdot 7\) ist keine Primzahl. Daher gibt es hier kein Primzahlzwillingspaar. 3. Neben \(42\) liegen \(41\) und \(43\). Beide sind Primzahlen, also bilden sie das Primzahlzwillingspaar \((41;43)\).

Antwort

Für \(12\): \((11;13)\). Für \(20\): kein Primzahlzwillingspaar, denn \(21 = 3 \cdot 7\). Für \(42\): \((41;43)\).
5522875
Lea untersucht, ob \(83\) eine Primzahl ist. Sie hat geprüft, dass \(83\) nicht durch \(2\), \(3\), \(5\) oder \(7\) teilbar ist. Danach hört sie auf. a) Begründe mit \(9\cdot9<83<10\cdot10\), warum bei einer Zerlegung von \(83\) in zwei Faktoren größer als \(1\) mindestens einer der Faktoren höchstens \(9\) sein müsste. b) Entscheide damit, ob \(83\) eine Primzahl ist. c) Erkläre, warum Lea zum Beispiel die Teilbarkeit durch \(11\) nicht mehr prüfen muss.

Denkanstöße

- Überlege, was mit dem Produkt passiert, wenn beide Faktoren mindestens \(10\) wären. - Welche Primzahlen liegen in dem dadurch begrenzten Bereich möglicher kleiner Faktoren? - Verbinde die bereits geprüften Teilbarkeiten mit der Frage, ob überhaupt noch ein Faktor gefunden werden kann.

Lösung

1. Wären beide Faktoren mindestens \(10\), wäre ihr Produkt mindestens \(10\cdot10=100\) und damit größer als \(83\). Also müsste bei einer echten Faktorzerlegung mindestens ein Faktor höchstens \(9\) sein. 2. Jeder zusammengesetzte mögliche Faktor bis \(9\) besitzt selbst einen Primfaktor. Deshalb genügt es, die Primzahlen \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) zu prüfen. 3. Keine dieser vier Primzahlen teilt \(83\) ohne Rest. Damit besitzt \(83\) keinen echten Teiler und ist prim. 4. Ein möglicher Teiler \(11\) liegt bereits über \(9\). Gäbe es einen Faktor \(11\), müsste der zugehörige andere Faktor kleiner als \(10\) sein und wäre bei den vorherigen Prüfungen bereits über einen Primfaktor entdeckt worden.

Antwort

a) Sind beide Faktoren mindestens \(10\), ist ihr Produkt mindestens \(100\). Daher müsste bei einer Faktorzerlegung von \(83\) mindestens ein Faktor höchstens \(9\) sein. b) \(83\) ist eine Primzahl. c) Teiler größer als \(9\) müssen nicht einzeln geprüft werden, weil bei einer echten Faktorzerlegung der andere Faktor höchstens \(9\) wäre.
4176885
Untersuche die Zahlen \(117\), \(131\) und \(161\). Welche dieser Zahlen sind Primzahlen? Gib für jede Zahl, die keine Primzahl ist, ein Produkt aus zwei Faktoren an, die beide größer als \(1\) sind.

Denkanstöße

- Beginne bei jeder Zahl mit den kleinen Primzahlen als möglichen Teilern. - Die Quersummenregel für \(3\) kann bei einzelnen Zahlen einen schnellen Ausschluss liefern. - Bei einer Zahl, für die du noch keinen Teiler gefunden hast, überlege, bis zu welcher Größe mögliche Primteiler überhaupt geprüft werden müssen.

Lösung

1. Für \(117\) ist die Quersumme \(1 + 1 + 7 = 9\). Da \(9\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(117\) durch \(3\) teilbar. Es gilt \(117 = 3 \cdot 39\). Daher ist \(117\) keine Primzahl. 2. Für \(131\) müssen nur Primteiler bis \(11\) geprüft werden, weil \(11 \cdot 11 = 121 < 131 < 169 = 13 \cdot 13\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) oder \(11\) teilbar. Daher ist \(131\) eine Primzahl. 3. Für \(161\) gilt \(161 = 7 \cdot 23\). Damit ist \(161\) keine Primzahl.

Antwort

Nur \(131\) ist eine Primzahl. Für die anderen Zahlen gilt zum Beispiel \(117 = 3 \cdot 39\) und \(161 = 7 \cdot 23\).
4197855
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz \(2\) beträgt. Die Summe zweier Primzahlzwillinge ergibt \(36\). Wie heißen die beiden Primzahlen? Untersuche anschließend, ob es auch ein Primzahlzwillingspaar gibt, dessen Summe genau \(28\) ergibt.

Denkanstöße

- Wenn du die Summe von zwei Zahlen kennst, die fast gleich groß sind, wie kannst du die Zahl in ihrer Mitte finden? - Wie hängen die gesuchten Primzahlen mit der Zahl genau in der Mitte zwischen ihnen zusammen? - Prüfe nach dem Finden der Zahlen immer, ob es sich wirklich um Primzahlen handelt.

Lösung

1. Für die Summe \(36\) ist die mittlere Zahl \(36 : 2 = 18\). 2. Die Nachbarn von \(18\) sind \(17\) und \(19\). Da beide Primzahlen sind, ist das gesuchte Paar \((17;19)\). 3. Für die Summe \(28\) ist die mittlere Zahl \(28 : 2 = 14\). 4. Die Nachbarn von \(14\) sind \(13\) und \(15\). Da \(15\) keine Primzahl ist (\(3 \cdot 5 = 15\)), gibt es für die Summe \(28\) kein Primzahlzwillingspaar.

Antwort

Das Paar mit der Summe \(36\) besteht aus den Primzahlen \(17\) und \(19\). Für die Summe \(28\) gibt es kein Primzahlzwillingspaar, da die Nachbarn der Mitte (\(14\)) die Zahlen \(13\) und \(15\) sind und \(15\) keine Primzahl ist.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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