Aimathic
Login | English | Deutsch

Kostenlose Arbeitsblätter

Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Primzahlen

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

5520835
Die vollständige Teilermenge von \(17\) lautet \(T(17)=\{1; 17\}\). Ist \(17\) eine Primzahl? Begründe mit der Definition einer Primzahl.

Denkanstöße

- Erinnere dich daran, wie viele positive Teiler eine Primzahl genau hat. - Vergleiche die angegebene Teilermenge mit dieser Definition. - Prüfe, ob außer \(1\) und der Zahl selbst noch ein weiterer Teiler vorkommt.

Lösung

1. Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: \(1\) und die Zahl selbst. 2. Die angegebene Teilermenge von \(17\) enthält genau die beiden Teiler \(1\) und \(17\). 3. Daher ist \(17\) eine Primzahl.

Antwort

Ja. \(17\) ist eine Primzahl, weil ihre einzigen positiven Teiler \(1\) und \(17\) sind.
5520845
Vergleiche die vollständigen Teilermengen \(T(1)=\{1\}\) und \(T(2)=\{1; 2\}\). Welche der beiden Zahlen ist eine Primzahl? Begründe mit der Definition einer Primzahl.

Denkanstöße

- Vergleiche bei beiden Zahlen die Anzahl ihrer positiven Teiler. - Eine Primzahl muss die Definition mit genau zwei positiven Teilern erfüllen. - Prüfe die beiden angegebenen Teilermengen einzeln gegen diese Definition.

Lösung

1. Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: \(1\) und die Zahl selbst. 2. Die Zahl \(1\) hat nur einen positiven Teiler und ist deshalb keine Primzahl. 3. Die Zahl \(2\) hat genau die beiden positiven Teiler \(1\) und \(2\) und ist deshalb eine Primzahl.

Antwort

\(1\) ist keine Primzahl, weil sie nur einen positiven Teiler hat. \(2\) ist eine Primzahl, weil sie genau die beiden positiven Teiler \(1\) und \(2\) hat.
4173445
Betrachte die ungeraden Zahlen zwischen \(20\) und \(30\). Welche davon sind Primzahlen? Liste sie auf.

Denkanstöße

- Schreibe dir zuerst alle ungeraden Zahlen in diesem Bereich auf. - Kannst du Zahlen direkt streichen, die in einer bekannten Einmaleins-Reihe vorkommen? - Welche Endziffern können Primzahlen (außer \(2\) und \(5\)) überhaupt haben?

Lösung

1. Auflistung der ungeraden Zahlen im Bereich: \(21, 23, 25, 27, 29\). 2. Prüfung der Teilbarkeit: \(21\) ist durch \(3\) teilbar (\(3 \cdot 7\)). \(25\) ist durch \(5\) teilbar (\(5 \cdot 5\)). \(27\) ist durch \(3\) und \(9\) teilbar (\(3 \cdot 9\)). 3. Identifikation der Primzahlen: Für \(23\) und \(29\) lassen sich keine Teiler außer \(1\) und sich selbst finden.

Antwort

Die Primzahlen zwischen \(20\) und \(30\) sind \(23\) und \(29\).
4197755
Beurteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussagen über Primzahlen. a) Es gibt nur eine einzige Primzahl, die gerade ist. b) Wenn man eine Primzahl mit \(2\) multipliziert, ist das Ergebnis immer eine Primzahl.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition einer Primzahl: Wie viele positive Teiler hat sie? - Welche gerade Zahl ist selbst eine Primzahl? - Teste die zweite Aussage mit kleinen Primzahlen.

Lösung

1. Aussage a) ist wahr. Die Zahl \(2\) ist die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist durch \(2\) teilbar und besitzt mehr als zwei Teiler. 2. Aussage b) ist falsch. Für die Primzahl \(2\) erhält man \(2 \cdot 2 = 4\), also keine Primzahl. Für jede Primzahl \(p > 2\) ist \(2p\) durch \(2\) und durch \(p\) teilbar und daher ebenfalls keine Primzahl.

Antwort

a) Wahr b) Falsch
4197835
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz \(2\) beträgt. Welche der folgenden Paare sind Primzahlzwillinge? Untersuche jedes Paar und begründe bei den falschen Paaren, warum sie die Bedingung nicht erfüllen. a) \(5\) und \(7\) b) \(13\) und \(15\) c) \(29\) und \(31\) d) \(37\) und \(39\)

Denkanstöße

- Was genau muss für beide Zahlen eines Paares gelten, damit sie Primzahlen sind? - Wie groß muss der Abstand zwischen Primzahlzwillingen genau sein? - Überprüfe die Teilbarkeit der Zahlen. Hilft dir die Quersummenregel bei einigen Zahlen weiter? - Erinnere dich an die Definition einer Primzahl.

Lösung

1. Überprüfung von Paar a): \(5\) und \(7\) sind beide Primzahlen. Die Differenz beträgt \(2\). Ergebnis: Primzahlzwillinge. 2. Überprüfung von Paar b): \(13\) ist eine Primzahl, aber \(15\) ist durch \(3\) und \(5\) teilbar (\(3 \cdot 5 = 15\)). Ergebnis: Keine Primzahlzwillinge. 3. Überprüfung von Paar c): \(29\) und \(31\) sind beide Primzahlen. Die Differenz beträgt \(2\). Ergebnis: Primzahlzwillinge. 4. Überprüfung von Paar d): \(37\) ist eine Primzahl, aber \(39\) ist durch \(3\) und \(13\) teilbar (\(3 \cdot 13 = 39\)). Ergebnis: Keine Primzahlzwillinge.

Antwort

a) Ja, es sind Primzahlzwillinge. b) Nein, da \(15\) keine Primzahl ist (\(15 = 3 \cdot 5\)). c) Ja, es sind Primzahlzwillinge. d) Nein, da \(39\) keine Primzahl ist (\(39 = 3 \cdot 13\)).
5522865
Das Zahlenfeld enthält die natürlichen Zahlen von \(1\) bis \(30\). <table><tr><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td><td>\(4\)</td><td>\(5\)</td><td>\(6\)</td></tr><tr><td>\(7\)</td><td>\(8\)</td><td>\(9\)</td><td>\(10\)</td><td>\(11\)</td><td>\(12\)</td></tr><tr><td>\(13\)</td><td>\(14\)</td><td>\(15\)</td><td>\(16\)</td><td>\(17\)</td><td>\(18\)</td></tr><tr><td>\(19\)</td><td>\(20\)</td><td>\(21\)</td><td>\(22\)</td><td>\(23\)</td><td>\(24\)</td></tr><tr><td>\(25\)</td><td>\(26\)</td><td>\(27\)</td><td>\(28\)</td><td>\(29\)</td><td>\(30\)</td></tr></table> Führe das Sieb des Eratosthenes schrittweise durch. \(1\) ist keine Primzahl. a) Behalte \(2\) und notiere alle größeren Zahlen, die in diesem Schritt neu gestrichen werden. b) Behalte danach \(3\) und notiere nur die noch nicht gestrichenen Zahlen, die jetzt neu gestrichen werden. c) Behalte danach \(5\) und notiere nur die noch nicht gestrichenen Zahlen, die jetzt neu gestrichen werden. d) Notiere die Zahlen, die anschließend als Primzahlen bis \(30\) übrig bleiben.

Denkanstöße

- Bei jedem Schritt werden nur größere Vielfache der gerade behaltenen Zahl gestrichen. - Eine Zahl, die schon in einem früheren Schritt gestrichen wurde, wird nicht noch einmal als „neu gestrichen“ notiert. - Vergleiche nach jedem Schritt das Zahlenfeld mit deiner bisherigen Streichliste.

Lösung

1. Beim Schritt mit \(2\) werden alle geraden Zahlen größer als \(2\) neu gestrichen: \(4\), \(6\), \(8\), \(10\), \(12\), \(14\), \(16\), \(18\), \(20\), \(22\), \(24\), \(26\), \(28\), \(30\). 2. Beim Schritt mit \(3\) sind die geraden Vielfachen bereits gestrichen. Neu gestrichen werden \(9\), \(15\), \(21\) und \(27\). 3. Beim Schritt mit \(5\) sind \(10\), \(15\), \(20\) und \(30\) bereits gestrichen. Neu gestrichen wird nur \(25\). 4. Übrig bleiben \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), \(23\) und \(29\). Das sind die Primzahlen bis \(30\).

Antwort

a) Neu gestrichen: \(4\), \(6\), \(8\), \(10\), \(12\), \(14\), \(16\), \(18\), \(20\), \(22\), \(24\), \(26\), \(28\), \(30\). b) Neu gestrichen: \(9\), \(15\), \(21\), \(27\). c) Neu gestrichen: \(25\). d) Übrig bleiben \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\), \(19\), \(23\), \(29\).
4173425
Untersuche, welche der folgenden Zahlen Primzahlen sind: \(43\), \(57\), \(61\) und \(81\). Gib für die Zahlen, die keine Primzahlen sind, ein Produkt aus zwei Faktoren an, die beide größer als \(1\) sind.

Denkanstöße

- Was genau zeichnet eine Primzahl aus? - Kennst du die Quersummenregel für die Teilbarkeit durch \(3\)? - Überlege, ob die Zahl in einer der Reihen des kleinen Einmaleins vorkommt. - Reicht es aus, die Teilbarkeit durch kleine Primzahlen wie \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) zu prüfen?

Lösung

1. Überprüfung von \(43\): Für eine Zerlegung von \(43\) müsste einer der beiden Faktoren höchstens \(6\) sein, denn \(6 \cdot 6 < 43 < 7 \cdot 7\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(7\)) oder \(5\) teilbar. Damit besitzt sie keinen Teiler zwischen \(2\) und \(6\) und ist eine Primzahl. 2. Überprüfung von \(57\): Die Quersumme ist \(5 + 7 = 12\). Da \(12\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(57\) durch \(3\) teilbar: \(57 = 3 \cdot 19\). Daher ist \(57\) keine Primzahl. 3. Überprüfung von \(61\): Für eine Zerlegung müsste einer der Faktoren höchstens \(7\) sein, denn \(7 \cdot 7 < 61 < 8 \cdot 8\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\) (Quersumme \(7\)), \(5\) oder \(7\) teilbar. Daher ist \(61\) eine Primzahl. 4. Überprüfung von \(81\): Es gilt \(81 = 9 \cdot 9\). Daher ist \(81\) keine Primzahl.

Antwort

Primzahlen: \(43\) und \(61\). Keine Primzahlen: \(57\) (z. B. \(3 \cdot 19\)) und \(81\) (z. B. \(9 \cdot 9\)).
4173435
Überprüfe die Zahlen \(87\), \(91\) und \(101\). Sind es Primzahlen? Begründe zusammengesetzte Zahlen durch eine Faktorzerlegung. Wenn du eine Zahl für prim hältst, dokumentiere alle möglichen Primteiler, die geprüft werden müssen, und zeige, dass keiner teilt.

Denkanstöße

- Für eine zusammengesetzte Zahl genügt ein echtes Faktorenpaar als Nachweis. - Bei einer vermuteten Primzahl musst du begründen, welche kleinen Primteiler überhaupt geprüft werden müssen. - Überlege, wie groß zwei Faktoren mindestens wären, wenn kein Faktor kleiner als \(11\) vorkäme.

Lösung

1. Es gilt \(87 = 3 \cdot 29\). Daher ist \(87\) zusammengesetzt. 2. Es gilt \(91 = 7 \cdot 13\). Daher ist \(91\) zusammengesetzt. 3. Für \(101\) genügt es, die Primzahlen unter \(11\) zu prüfen: Wären beide Faktoren einer Zerlegung mindestens \(11\), wäre ihr Produkt mindestens \(121\). Die möglichen Primteiler sind daher \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\). 4. Es gilt \(101 = 2 \cdot 50 + 1\), \(101 = 3 \cdot 33 + 2\), \(101 = 5 \cdot 20 + 1\) und \(101 = 7 \cdot 14 + 3\). Keiner dieser Primteiler teilt \(101\), also ist \(101\) prim.

Antwort

\(87 = 3 \cdot 29\): keine Primzahl. \(91 = 7 \cdot 13\): keine Primzahl. Für \(101\) müssen nur die Primteiler \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) geprüft werden. Es gilt \(101 = 2 \cdot 50 + 1\), \(101 = 3 \cdot 33 + 2\), \(101 = 5 \cdot 20 + 1\), \(101 = 7 \cdot 14 + 3\). Daher ist \(101\) eine Primzahl.
4175835
Untersuche die folgenden Aussagen über Primzahlen und finde jeweils ein Gegenbeispiel, um sie zu widerlegen. a) Alle ungeraden natürlichen Zahlen sind Primzahlen. b) Die Summe von zwei beliebigen Primzahlen ist immer eine gerade Zahl.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition einer Primzahl. Wie viele Teiler hat sie? - Gehe die ungeraden Zahlen nacheinander durch: \(1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\) Welche davon ist keine Primzahl? - Gibt es eine Primzahl, die nicht ungerade ist? - Was passiert, wenn du diese besondere Primzahl mit einer anderen addierst?

Lösung

1. In Teilaufgabe a) muss eine ungerade Zahl gefunden werden, die mehr als zwei Teiler besitzt. Die Zahl \(9\) ist ungerade, hat aber die Teiler \(1\), \(3\) und \(9\). Da sie drei Teiler hat, ist sie keine Primzahl. 2. In Teilaufgabe b) wird nach zwei Primzahlen gesucht, deren Summe ungerade ist. Da die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl stets ungerade ist, muss die einzige gerade Primzahl \(2\) verwendet werden. Die Rechnung \(2 + 3 = 5\) ergibt die ungerade Summe \(5\).

Antwort

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(9\) (Die Zahl ist ungerade, aber keine Primzahl, da \(3 \cdot 3 = 9\)). b) \(2 + 3 = 5\) (Die Summe der Primzahlen \(2\) und \(3\) ist \(5\), was eine ungerade Zahl ist).
4179035
Untersuche die Zahlen \(51\), \(52\) und \(53\). Begründe für jede Zahl unabhängig, ob sie prim oder zusammengesetzt ist. Bei einer zusammengesetzten Zahl genügt eine Faktorzerlegung; bei einer Primzahl musst du die erforderlichen kleinen Primteiler vollständig ausschließen.

Denkanstöße

- Beurteile jede Zahl für sich; eine Aussage über die anderen Zahlen ersetzt keinen Primzahlnachweis. - Für zusammengesetzte Zahlen reicht ein echtes Faktorenpaar. - Bei der möglichen Primzahl musst du begründen, warum deine Liste geprüfter Primteiler vollständig ist.

Lösung

1. Es gilt \(51 = 3 \cdot 17\). Daher ist \(51\) zusammengesetzt. 2. Es gilt \(52 = 2 \cdot 26\). Daher ist \(52\) zusammengesetzt. 3. Bei \(53\) genügt die Prüfung der Primteiler \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\), denn \(8 \cdot 8 > 53\). 4. Es gilt \(53 = 2 \cdot 26 + 1\), \(53 = 3 \cdot 17 + 2\), \(53 = 5 \cdot 10 + 3\) und \(53 = 7 \cdot 7 + 4\). Damit teilt keiner der möglichen Primteiler \(53\); die Zahl ist prim.

Antwort

\(51 = 3 \cdot 17\): zusammengesetzt. \(52 = 2 \cdot 26\): zusammengesetzt. Für \(53\) sind \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) die zu prüfenden Primteiler. Es gilt \(53 = 2 \cdot 26 + 1\), \(53 = 3 \cdot 17 + 2\), \(53 = 5 \cdot 10 + 3\), \(53 = 7 \cdot 7 + 4\). Daher ist \(53\) prim.
4179045
Ordne jede der Zahlen \(63\), \(65\), \(67\) und \(69\) unabhängig als Primzahl oder zusammengesetzte Zahl ein. Gib bei jeder zusammengesetzten Zahl ein echtes Faktorenpaar an. Wenn eine Zahl prim ist, zeige durch die vollständige Prüfung der nötigen kleinen Primteiler, warum kein echtes Faktorenpaar möglich ist.

Denkanstöße

- Suche bei jeder Zahl zunächst nach einem echten Faktorenpaar. - Wenn du keines findest, musst du erklären, welche Primteiler du vollständig geprüft hast. - Die Einordnung einer Zahl darf nicht allein daraus folgen, wie die anderen Zahlen eingeordnet wurden.

Lösung

1. Es gilt \(63 = 3 \cdot 21\). Daher ist \(63\) zusammengesetzt. 2. Es gilt \(65 = 5 \cdot 13\). Daher ist \(65\) zusammengesetzt. 3. Für \(67\) müssen nur die Primteiler \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) geprüft werden, denn \(9 \cdot 9 > 67\). Es gilt \(67 = 2 \cdot 33 + 1\), \(67 = 3 \cdot 22 + 1\), \(67 = 5 \cdot 13 + 2\) und \(67 = 7 \cdot 9 + 4\). Keiner dieser Primteiler teilt \(67\); daher ist \(67\) prim. 4. Es gilt \(69 = 3 \cdot 23\). Daher ist \(69\) zusammengesetzt.

Antwort

\(63 = 3 \cdot 21\): zusammengesetzt. \(65 = 5 \cdot 13\): zusammengesetzt. Für \(67\) sind \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) die nötigen Primteiler. Es gilt \(67 = 2 \cdot 33 + 1\), \(67 = 3 \cdot 22 + 1\), \(67 = 5 \cdot 13 + 2\), \(67 = 7 \cdot 9 + 4\). Daher ist \(67\) prim. \(69 = 3 \cdot 23\): zusammengesetzt.
4179055
Untersuche, ob die Zahlen \(77\) und \(93\) Primzahlen sind. Wende dazu passende bekannte Teilbarkeitsregeln an oder versuche, die Zahlen in ein Produkt aus zwei Faktoren zu zerlegen, die beide größer als \(1\) sind.

Denkanstöße

- Prüfe zunächst, ob eine der bekannten Teilbarkeitsregeln sofort einen Teiler liefert. - Wenn diese Regeln nicht helfen, teste weitere kleine mögliche Teiler systematisch. - Sobald du eine Zerlegung in zwei Faktoren größer als \(1\) gefunden hast, ist die Primzahlfrage entschieden.

Lösung

1. Für \(77\) führen die bekannten Regeln für \(2\), \(3\) und \(5\) zu keinem Teiler. Beim weiteren Prüfen kleiner möglicher Teiler findet man \(77 = 7 \cdot 11\). Daher ist \(77\) keine Primzahl. 2. Für \(93\) ist die Quersumme \(9 + 3 = 12\). Da \(12\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(93\) durch \(3\) teilbar. Es gilt \(93 = 3 \cdot 31\). Daher ist auch \(93\) keine Primzahl.

Antwort

Weder \(77\) noch \(93\) sind Primzahlen. Es gilt \(77 = 7 \cdot 11\) und \(93 = 3 \cdot 31\).
4197845
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz \(2\) beträgt. Zwischen zwei Primzahlzwillingen liegt immer genau eine gerade Zahl. Überprüfe für die geraden Zahlen \(12\), \(20\) und \(42\), ob sie jeweils genau in der Mitte eines Primzahlzwillingspaares liegen. Bestimme das zugehörige Paar oder begründe, warum es kein solches Paar gibt.

Denkanstöße

- Welche Zahlen liegen unmittelbar links und rechts neben der gegebenen geraden Zahl? - Für ein Primzahlzwillingspaar müssen beide Nachbarzahlen Primzahlen sein. - Prüfe zusammengesetzte Nachbarzahlen mit kleinen möglichen Teilern, ohne nur auf ihre Endziffer zu schauen.

Lösung

1. Untersuchung der Zahl \(12\): Die benachbarten Zahlen sind \(11\) und \(13\). Da sowohl \(11\) als auch \(13\) Primzahlen sind, bilden sie das Paar \((11;13)\). 2. Untersuchung der Zahl \(20\): Die benachbarten Zahlen sind \(19\) und \(21\). \(19\) ist eine Primzahl, aber \(21\) ist keine Primzahl, denn \(21 = 3 \cdot 7\). 3. Untersuchung der Zahl \(42\): Die benachbarten Zahlen sind \(41\) und \(43\). Da sowohl \(41\) als auch \(43\) Primzahlen sind, bilden sie das Paar \((41;43)\).

Antwort

Für \(12\): \((11;13)\). Für \(20\): kein Primzahlzwillingspaar, denn \(21 = 3 \cdot 7\). Für \(42\): \((41;43)\).
4349535
Finde alle geordneten Paare aus Primzahlen, deren Summe \(14\) beträgt. Wie viele solcher Paare gibt es? Beachte, dass bei geordneten Paaren die Reihenfolge der beiden Zahlen zählt.

Denkanstöße

- Liste zunächst die Primzahlen auf, die überhaupt als Summanden infrage kommen. - Prüfe die möglichen ersten Zahlen systematisch und bestimme jeweils den dazu passenden zweiten Summanden. - Achte darauf, ob vertauschte Zahlen bei einem geordneten Paar als dieselbe oder als verschiedene Möglichkeit zählen.

Lösung

1. Als Primzahlen kleiner als \(14\) kommen \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\) und \(13\) infrage. 2. Prüft man systematisch, welche zwei Primzahlen die Summe \(14\) bilden, erhält man \(3 + 11 = 14\), \(7 + 7 = 14\) und \(11 + 3 = 14\). 3. Wegen der geforderten Reihenfolge sind \((3; 11)\) und \((11; 3)\) verschiedene Paare. Insgesamt gibt es daher \(3\) geordnete Paare.

Antwort

Es gibt \(3\) geordnete Paare: \((3; 11)\), \((7; 7)\) und \((11; 3)\).
4349545
Finde alle geordneten Paare von Primzahlen unter \(20\), bei denen die zweite Primzahl genau um \(2\) größer ist als die erste. Wie viele solche Paare gibt es?

Denkanstöße

- Schreibe die Primzahlen unter der vorgegebenen Grenze geordnet auf. - Vergleiche jeweils zwei Zahlen mit dem geforderten Abstand. - Prüfe bei jeder gefundenen Möglichkeit, ob wirklich beide Zahlen Primzahlen sind.

Lösung

1. Die Primzahlen unter \(20\) sind \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\), \(17\) und \(19\). 2. Vergleiche jede Primzahl mit der um \(2\) größeren Zahl. Beide Zahlen sind prim bei \(3\) und \(5\), bei \(5\) und \(7\), bei \(11\) und \(13\) sowie bei \(17\) und \(19\). 3. Damit gibt es insgesamt \(4\) passende geordnete Paare.

Antwort

Es gibt \(4\) Paare: \((3; 5)\), \((5; 7)\), \((11; 13)\) und \((17; 19)\).
5522875
Lea untersucht, ob \(83\) eine Primzahl ist. Sie hat geprüft, dass \(83\) nicht durch \(2\), \(3\), \(5\) oder \(7\) teilbar ist. Danach hört sie auf. a) Begründe mit \(9\cdot9<83<10\cdot10\), warum bei einer Zerlegung von \(83\) in zwei Faktoren größer als \(1\) mindestens einer der Faktoren höchstens \(9\) sein müsste. b) Entscheide damit, ob \(83\) eine Primzahl ist. c) Erkläre, warum Lea zum Beispiel die Teilbarkeit durch \(11\) nicht mehr prüfen muss.

Denkanstöße

- Überlege, was mit dem Produkt passiert, wenn beide Faktoren mindestens \(10\) wären. - Welche Primzahlen liegen in dem dadurch begrenzten Bereich möglicher kleiner Faktoren? - Verbinde die bereits geprüften Teilbarkeiten mit der Frage, ob überhaupt noch ein Faktor gefunden werden kann.

Lösung

1. Wären beide Faktoren mindestens \(10\), wäre ihr Produkt mindestens \(10\cdot10=100\) und damit größer als \(83\). Also müsste bei einer echten Faktorzerlegung mindestens ein Faktor höchstens \(9\) sein. 2. Jeder zusammengesetzte mögliche Faktor bis \(9\) besitzt selbst einen Primfaktor. Deshalb genügt es, die Primzahlen \(2\), \(3\), \(5\) und \(7\) zu prüfen. 3. Keine dieser vier Primzahlen teilt \(83\) ohne Rest. Damit besitzt \(83\) keinen echten Teiler und ist prim. 4. Ein möglicher Teiler \(11\) liegt bereits über \(9\). Gäbe es einen Faktor \(11\), müsste der zugehörige andere Faktor kleiner als \(10\) sein und wäre bei den vorherigen Prüfungen bereits über einen Primfaktor entdeckt worden.

Antwort

a) Sind beide Faktoren mindestens \(10\), ist ihr Produkt mindestens \(100\). Daher müsste bei einer Faktorzerlegung von \(83\) mindestens ein Faktor höchstens \(9\) sein. b) \(83\) ist eine Primzahl. c) Teiler größer als \(9\) müssen nicht einzeln geprüft werden, weil bei einer echten Faktorzerlegung der andere Faktor höchstens \(9\) wäre.
4176885
Untersuche die Zahlen \(117\), \(131\) und \(161\). Welche dieser Zahlen sind Primzahlen? Gib für jede Zahl, die keine Primzahl ist, ein Produkt aus zwei Faktoren an, die beide größer als \(1\) sind.

Denkanstöße

- Beginne bei jeder Zahl mit den kleinen Primzahlen als möglichen Teilern. - Die Quersummenregel für \(3\) kann bei einzelnen Zahlen einen schnellen Ausschluss liefern. - Bei einer Zahl, für die du noch keinen Teiler gefunden hast, überlege, bis zu welcher Größe mögliche Primteiler überhaupt geprüft werden müssen.

Lösung

1. Für \(117\) ist die Quersumme \(1 + 1 + 7 = 9\). Da \(9\) durch \(3\) teilbar ist, ist auch \(117\) durch \(3\) teilbar. Es gilt \(117 = 3 \cdot 39\). Daher ist \(117\) keine Primzahl. 2. Für \(131\) müssen nur Primteiler bis \(11\) geprüft werden, weil \(11 \cdot 11 = 121 < 131 < 169 = 13 \cdot 13\). Die Zahl ist nicht durch \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) oder \(11\) teilbar. Daher ist \(131\) eine Primzahl. 3. Für \(161\) gilt \(161 = 7 \cdot 23\). Damit ist \(161\) keine Primzahl.

Antwort

Nur \(131\) ist eine Primzahl. Für die anderen Zahlen gilt zum Beispiel \(117 = 3 \cdot 39\) und \(161 = 7 \cdot 23\).
4197855
Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz \(2\) beträgt. Die Summe zweier Primzahlzwillinge ergibt \(36\). Wie heißen die beiden Primzahlen? Untersuche anschließend, ob es auch ein Primzahlzwillingspaar gibt, dessen Summe genau \(28\) ergibt.

Denkanstöße

- Wenn du die Summe von zwei Zahlen kennst, die fast gleich groß sind, wie kannst du die Zahl in ihrer Mitte finden? - Wie hängen die gesuchten Primzahlen mit der Zahl genau in der Mitte zwischen ihnen zusammen? - Prüfe nach dem Finden der Zahlen immer, ob es sich wirklich um Primzahlen handelt.

Lösung

1. Berechnung der mittleren Zahl für die Summe \(36\): \(36 : 2 = 18\). 2. Bestimmung der Nachbarn von \(18\): Die Zahlen sind \(17\) und \(19\). Da sowohl \(17\) als auch \(19\) Primzahlen sind, ist das Paar gefunden. 3. Berechnung der mittleren Zahl für die Summe \(28\): \(28 : 2 = 14\). 4. Bestimmung der Nachbarn von \(14\): Die Zahlen sind \(13\) und \(15\). Da \(15\) keine Primzahl ist (\(3 \cdot 5 = 15\)), gibt es für die Summe \(28\) kein Primzahlzwillingspaar.

Antwort

Das Paar mit der Summe \(36\) besteht aus den Primzahlen \(17\) und \(19\). Für die Summe \(28\) gibt es kein Primzahlzwillingspaar, da die Nachbarn der Mitte (\(14\)) die Zahlen \(13\) und \(15\) sind und \(15\) keine Primzahl ist.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

Kostenlose Mathe-Arbeitsblätter zusammenstellen