- Was bedeutet Quersumme? - Welche zehn Ziffern kommen genau einmal vor? - Überlege, ob sich eine Summe ändert, wenn du nur die Reihenfolge der Summanden vertauschst.

1. In der Zahl kommen genau die Ziffern \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) vor. 2. Die Quersumme ist \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). 3. Beim Addieren ändert sich das Ergebnis nicht, wenn die Summanden in einer anderen Reihenfolge stehen. Deshalb ist die Quersumme bei jeder Anordnung dieser zehn Ziffern \(45\).

a) Die Quersumme ist \(45\). b) Es werden immer dieselben zehn Ziffern addiert. Ihre Reihenfolge ändert die Summe nicht.

- Bestimme zuerst die Einerziffer aus der Beziehung zur Zehnerziffer. - Setze danach beide Ziffern an ihre Stellen.

1. Die Zehnerziffer ist \(3\). 2. Doppelt so groß ist \(6\). Das ist die Einerziffer. 3. Die gesuchte Zahl ist \(36\).

\(36\)

- Bestimme, welche Ziffern an der Hunderter- und Einerstelle stehen. - Die Zehnerziffer wird nicht verändert.

1. Die Hunderterziffer ist \(4\), die Zehnerziffer ist \(8\), die Einerziffer ist \(2\). 2. Nach dem Tausch steht \(2\) an der Hunderterstelle und \(4\) an der Einerstelle. Die \(8\) bleibt an der Zehnerstelle. 3. Es entsteht \(284\).

\(284\)

- Überlege, an welcher Stelle eine große Ziffer den Wert der Zahl am stärksten beeinflusst. - Ordne die drei Ziffern passend zu Hunderter-, Zehner- und Einerstelle.

1. Für die größte Zahl kommt die größte Ziffer an die Hunderterstelle. 2. Die nächstgrößere Ziffer kommt an die Zehnerstelle und die kleinste an die Einerstelle. 3. So entsteht \(852\).

\(852\)

- Um eine Zahl klein zu halten, sollten die vorderen Stellen möglichst kleine Ziffern erhalten. - Beachte, dass die erste Ziffer einer vierstelligen Zahl nicht \(0\) sein darf. - Um eine Zahl groß zu machen, versuche die vorderen Stellen mit den größtmöglichen Ziffern zu besetzen. - Die Summe aller Ziffern muss am Ende genau \(12\) ergeben.

1. Für die kleinste vierstellige Zahl muss die erste Ziffer möglichst klein sein, also \(1\). Die Hunderterziffer kann \(0\) sein. Für Zehner und Einer bleiben zusammen \(11\). Damit die Zahl möglichst klein bleibt, wählt man für die Zehnerziffer \(2\) und für die Einerziffer \(9\). So entsteht \(1029\). 2. Für die größte Zahl soll die erste Ziffer möglichst groß sein, also \(9\). Zur Quersumme \(12\) fehlen noch \(3\). Diese \(3\) kommt an die Hunderterstelle; Zehner und Einer sind \(0\). So entsteht \(9300\).

Die kleinste Zahl ist \(1029\), die größte Zahl ist \(9300\).

- Überlege dir zuerst, an welchen Stellenwerten eine Ziffer den größten oder kleinsten Einfluss auf den Gesamtwert der Zahl hat. - Beachte, dass die erste Ziffer einer Zahl niemals eine Null sein darf. - Wie viele Ziffern bleiben übrig, wenn du die vorgegebene Anzahl an Nullen bereits platziert hast?

1. Für die größte Zahl müssen die beiden von \(0\) verschiedenen Ziffern möglichst weit vorne stehen und möglichst groß sein. Mit zwei Neunen entsteht \(990\,000\). 2. Für die kleinste sechsstellige Zahl muss vorne mindestens eine \(1\) stehen. Danach setzt man die vier Nullen so weit nach vorne wie möglich. Die letzte übrige Stelle bekommt wieder die kleinste mögliche Ziffer \(1\). So entsteht \(100\,001\).

Größte Zahl: \(990\,000\); kleinste Zahl: \(100\,001\).

- Beginne bei möglichen Einerziffern und beachte, dass eine Ziffer höchstens \(9\) sein kann. - Bestimme zu jeder Einerziffer die um \(2\) größere Hunderterziffer. - Setze anschließend die feste Zehnerziffer zwischen beide Ziffern.

1. Die Einerziffer kann höchstens \(7\) sein, weil die Hunderterziffer um \(2\) größer sein muss und höchstens \(9\) sein kann. 2. Für die Einerziffern \(0,1,2,3,4,5,6,7\) ergeben sich die Hunderterziffern \(2,3,4,5,6,7,8,9\). 3. Mit der festen Zehnerziffer \(5\) entstehen die Zahlen \(250, 351, 452, 553, 654, 755, 856, 957\).

\(250, 351, 452, 553, 654, 755, 856, 957\)

- Versuche, die Kette von Rechenschritten rückwärts aufzulösen. - Was musst du tun, um eine Subtraktion von \(10\) rückgängig zu machen? - Wenn du den Vorgänger des Vorgängers kennst, wie oft musst du anschließend um \(1\) weitergehen?

1. Löse die Rechenschritte rückwärts auf. Vor dem Subtrahieren von \(10\) stand \(88 + 10 = 98\). 2. \(98\) ist der Vorgänger des Vorgängers von \(n\). Der nächste Wert ist daher \(99\), danach folgt \(100\). Also ist \(n = 100\). 3. Der Nachfolger von \(100\) ist \(101\).

Die Zahl ist \(n = 100\); ihr Nachfolger ist \(101\).

- Welche Ziffern kommen für die Einerstelle überhaupt infrage? - Überlege dir, was passiert, wenn die Einerziffer \(5\) oder größer ist. - Kann die Zehnerziffer \(0\) sein, wenn die Zahl zweistellig sein soll? - Probiere systematisch alle Möglichkeiten für die Einerziffer durch.

1. Als Einerziffern kommen \(1, 2, 3, 4\) infrage. Die Ziffer \(0\) würde zur nicht zweistelligen Zahl \(00\) führen; ab \(5\) wäre das Doppelte mindestens \(10\) und damit keine einzelne Ziffer mehr. 2. Die zugehörigen Zehnerziffern sind \(2, 4, 6, 8\). 3. Daraus entstehen die Zahlen \(21, 42, 63, 84\).

\(21, 42, 63, 84\)

- Was bedeutet der Begriff Quersumme? - Wie kannst du sicherstellen, dass du kein Ziffernpaar vergisst? - Woran erkennst du sofort, ob eine Zahl ungerade ist? - Schreibe dir am besten zuerst alle Zahlen aus Teil a) untereinander auf.

1. Die möglichen Ziffernpaare mit der Summe \(10\) sind \((1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)\). 2. Daraus entstehen die Zahlen \(19,28,37,46,55,64,73,82,91\). 3. Ungerade sind davon \(19,37,55,73,91\), weil ihre Einerziffer ungerade ist. 4. Das sind \(5\) Zahlen.

a) \(19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91\) b) \(5\)

- Welche ungeraden Ziffern gibt es, die größer als \(6\) sind? - Berechne für jede mögliche Zehnerziffer die dazugehörige Einerziffer. - Prüfe am Ende beide Bedingungen für jede gefundene Zahl.

1. Die ungeraden Ziffern größer als \(6\) sind \(7\) und \(9\). 2. Für die Zehnerziffer \(7\) ist die Einerziffer \(7 - 2 = 5\). Die Zahl lautet \(75\). 3. Für die Zehnerziffer \(9\) ist die Einerziffer \(9 - 2 = 7\). Die Zahl lautet \(97\). 4. Damit sind die gesuchten Zahlen \(75\) und \(97\).

\(75, 97\)

- Welche Ziffern stehen dir insgesamt zur Verfügung? - Wie beeinflusst der Stellenwert einer Ziffer die Größe der gesamten Zahl? - Wenn eine Zahl möglichst groß sein soll, welche Ziffern sollten dann auf den vorderen Stellen stehen? - Was bedeutet es für die Wahl der Ziffern, wenn diese „verschieden“ sein müssen?

1. Für die größte Zahl mit fünf verschiedenen Ziffern setzt man die größten Ziffern von links nach rechts: \(9,8,7,6,5\). So entsteht \(98\,765\). 2. Die kleinste fünfstellige Zahl ohne \(0\) erhält man, wenn an jeder Stelle die kleinste erlaubte Ziffer \(1\) steht: \(11\,111\). 3. Für die größte Zahl aus den Ziffern \(1,4,7\) wählt man an jeder Stelle die größte mögliche Ziffer \(7\). So entsteht \(77\,777\).

a) \(98\,765\) b) \(11\,111\) c) \(77\,777\)

- Bearbeite die drei vorgegebenen Merkmale getrennt voneinander. - Lies für Teil b) bei jeder Zahl dieselbe Stellenwertposition ab. - Für Teil c) musst du bei jeder Zahl alle Ziffern addieren und die Ergebnisse vergleichen.

1. Jede Zahl hat vier Stellen. Alle fünf Zahlen sind daher vierstellig. 2. Bei jeder Zahl steht an der Hunderterstelle die Ziffer \(4\). 3. Die Quersummen sind \(2 + 4 + 3 + 3 = 12\), \(5 + 4 + 1 + 2 = 12\), \(1 + 4 + 6 + 1 = 12\), \(8 + 4 + 0 + 0 = 12\) und \(3 + 4 + 4 + 1 = 12\).

a) Alle Zahlen sind vierstellig. b) Die Hunderterziffer ist immer \(4\). c) Die Quersumme ist immer \(12\).

- Prüfe jede Zahl Bedingung für Bedingung. - Achte darauf, dass jede der drei Bedingungen wirklich gebraucht wird. - Berechne die Quersumme erst, nachdem du Stellenanzahl und Zehnerziffer geprüft hast.

1. \(156\) ist dreistellig, hat die Zehnerziffer \(5\) und die Quersumme \(1 + 5 + 6 = 12\). Diese Zahl erfüllt alle drei Bedingungen. 2. \(57\) hat die Zehnerziffer \(5\) und die Quersumme \(12\), ist aber nicht dreistellig. 3. \(246\) ist dreistellig und hat die Quersumme \(12\), aber die Zehnerziffer ist \(4\) statt \(5\). 4. \(155\) ist dreistellig und hat die Zehnerziffer \(5\), aber die Quersumme ist \(11\).

\(156\) erfüllt alle drei Bedingungen. \(57\) verletzt die Bedingung „dreistellig“. \(246\) verletzt die Bedingung „Zehnerziffer \(5\)“. \(155\) verletzt die Bedingung „Quersumme \(12\)“.

- Du hast einen festen Vorrat an Ziffern. Sortiere sie nach ihrer Größe. - Was passiert mit dem Wert der Zahl, wenn du eine kleine Ziffer wie die Null möglichst weit nach vorne schreibst? - Beachte, dass die Zahl siebenstellig sein muss. Was bedeutet das für die erste Ziffer?

1. Zur Verfügung stehen die Ziffern \(3,3,3,3,0,0,0\). 2. Für die größte Zahl stehen die Dreien möglichst weit vorne und die Nullen hinten: \(3\,333\,000\). 3. Für die kleinste siebenstellige Zahl muss vorne eine \(3\) stehen. Danach setzt man die drei Nullen und anschließend die restlichen Dreien: \(3\,000\,333\).

Die größte Zahl ist \(3\,333\,000\) und die kleinste Zahl ist \(3\,000\,333\).

- Überlege zuerst, wie viele Ziffern eine \(12\)-stellige Zahl hat und wie viele verschiedene Ziffern es gibt. - Wenn jede Ziffer mindestens einmal vorkommen muss, welche Summe ergibt sich allein aus diesen zehn Ziffern? - Wie viele Stellen sind danach noch frei und welche Ziffern machen die Quersumme besonders groß oder besonders klein?

1. Die Ziffern \(0\) bis \(9\) müssen alle mindestens einmal vorkommen. Zusammen haben sie die Summe \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). 2. Damit sind \(10\) der \(12\) Stellen belegt. Für zwei weitere Stellen kann man noch Ziffern wählen. 3. Für die größtmögliche Quersumme setzt man dort zweimal die \(9\): \(45 + 9 + 9 = 63\). 4. Für die kleinstmögliche Quersumme setzt man dort zweimal die \(0\): \(45 + 0 + 0 = 45\).

Die größte mögliche Quersumme beträgt \(63\). Die kleinste mögliche Quersumme beträgt \(45\).

- Überlege zuerst, was der Begriff Quersumme bedeutet. - Wie muss eine Zahl beginnen, damit sie möglichst klein ist? - Woran erkennst du eine ungerade Zahl? - Notiere dir beide Zahlen einzeln, bevor du sie addierst.

1. Die kleinste vierstellige Zahl mit Quersumme \(5\) beginnt mit \(1\) und enthält danach möglichst viele Nullen. Die letzte Ziffer liefert die restliche Quersumme: \(1 + 0 + 0 + 4 = 5\). Die Zahl ist \(1004\). 2. Die größte dreistellige ungerade Zahl ist \(999\). 3. Die Summe ist \(1004 + 999 = 2003\).

\(2003\)

- Überlege, welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss, damit die Zahl möglichst klein wird. - Beachte, dass die erste Ziffer einer Zahl nicht Null sein darf. - Gehe die Stellen von links nach rechts durch und setze jeweils die kleinstmögliche, noch nicht verwendete Ziffer ein. - Vergiss nicht die feste Vorgabe für die Zehnerstelle.

1. An der Zehntausenderstelle steht die kleinste mögliche Ziffer ungleich Null, also \(1\). 2. An der Tausenderstelle steht die kleinste noch verfügbare Ziffer \(0\). 3. An der Hunderterstelle folgt \(2\). 4. Die Zehnerstelle ist mit \(8\) vorgegeben. 5. Für die Einerstelle bleibt als kleinste noch nicht verwendete Ziffer \(3\). Die gesuchte Zahl ist \(10\,283\).

\(10\,283\)

- Welche Hunderterziffern sind zwischen den beiden Grenzen möglich? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zehnerziffer? - Die Einerziffer ist bereits festgelegt. Wie kombinierst du die unabhängigen Möglichkeiten?

1. Zwischen \(300\) und \(600\) liegen hier die Zahlen von \(301\) bis \(599\). 2. Die Hunderterziffer kann \(3, 4\) oder \(5\) sein. Das sind \(3\) Möglichkeiten. 3. Die Zehnerziffer kann jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) sein. Das sind \(10\) Möglichkeiten. 4. Die Einerziffer ist fest \(5\). 5. Insgesamt gibt es \(3 \cdot 10 \cdot 1 = 30\) passende Zahlen.

\(30\)

- Prüfe Mias Zahl Bedingung für Bedingung und nicht nur die Quersumme. - Wenn die Hunderterziffer schon feststeht, wie groß muss die Summe aus Zehner- und Einerziffer sein? - Suche dann zwei Ziffern mit dieser Summe und dem verlangten Abstand.

1. Bei \(462\) ist die Hunderterziffer \(4\), und die Quersumme ist \(4 + 6 + 2 = 12\). 2. Die Zehnerziffer \(6\) ist aber um \(4\) größer als die Einerziffer \(2\). Die zweite Bedingung ist also nicht erfüllt. 3. Mit der Hunderterziffer \(4\) müssen Zehner- und Einerziffer zusammen \(8\) ergeben. 4. Gesucht sind zwei Ziffern mit Summe \(8\), bei denen die Zehnerziffer um \(2\) größer ist. Das sind \(5\) und \(3\). 5. Die gesuchte Zahl ist \(453\). Probe: \(4 + 5 + 3 = 12\) und \(5 = 3 + 2\).

Mias Vorschlag \(462\) ist falsch. Die richtige Zahl ist \(453\).

- Gehe am besten schrittweise vor und beginne mit der kleinstmöglichen Hunderterstelle. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zehner- und Einerstelle, wenn die erste Ziffer feststeht? - Schreibe dir die Zahlen am besten in einer Liste auf, damit du keine vergisst.

Die Zahlen werden systematisch nach der Hunderterstelle geordnet: 1. Hunderterstelle \(1\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(4\) ergeben. Dies sind \(104, 113, 122, 131, 140\) (\(5\) Zahlen). 2. Hunderterstelle \(2\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(3\) ergeben. Dies sind \(203, 212, 221, 230\) (\(4\) Zahlen). 3. Hunderterstelle \(3\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(2\) ergeben. Dies sind \(302, 311, 320\) (\(3\) Zahlen). 4. Hunderterstelle \(4\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(1\) ergeben. Dies sind \(401, 410\) (\(2\) Zahlen). 5. Hunderterstelle \(5\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(0\) ergeben. Dies ist nur die \(500\) (\(1\) Zahl). 6. Gesamtzahl: \(5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15\).

Es gibt insgesamt \(15\) solche Zahlen.

- Welche Ziffern außer der \(3\) helfen dir dabei, eine besonders große oder eine besonders kleine Zahl zu bilden? - Denke daran, dass an der höchsten Stelle keine Null stehen darf. - Prüfe bei jedem Vergleichskandidaten, ob die Ziffer \(3\) wirklich genau fünfmal vorkommt.

1. Für die größte Zahl dürfen drei Stellen andere Ziffern als \(3\) enthalten. Dort wählt man jeweils \(9\) und setzt diese Ziffern möglichst weit nach vorne. So entsteht \(99\,933\,333\). 2. Für die kleinste Zahl sind für die drei anderen Stellen \(1\), \(0\) und \(0\) am günstigsten. Die Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen, also setzt man zuerst die \(1\), danach die beiden Nullen und anschließend die fünf Dreien. So entsteht \(10\,033\,333\).

Größte Zahl: \(99\,933\,333\); kleinste Zahl: \(10\,033\,333\).

- Wie viele Stellen bleiben für Ziffern ungleich Null frei, wenn die Anzahl der Nullen feststeht? - Wo müssen die Nullen stehen, damit eine Zahl besonders groß wird? Wo müssen sie stehen, damit sie besonders klein wird? - Welche Ziffern ungleich Null eignen sich, damit die Zahl möglichst klein wird?

1. Bei fünf Nullen bleiben zwei Stellen für Ziffern von \(1\) bis \(9\). Die größte Zahl erhält man mit zwei Neunen vorne: \(9\,900\,000\). Für die kleinste Zahl steht vorne eine \(1\), danach folgen fünf Nullen und am Ende noch eine \(1\): \(1\,000\,001\). 2. Bei vier Nullen bleiben drei Stellen für Ziffern von \(1\) bis \(9\). Die größte Zahl ist \(9\,990\,000\). Für die kleinste Zahl setzt man eine \(1\) vorne, dann die vier Nullen und anschließend zwei weitere Einsen: \(1\,000\,011\).

a) Größte: \(9\,900\,000\), kleinste: \(1\,000\,001\) b) Größte: \(9\,990\,000\), kleinste: \(1\,000\,011\)

- Wie viele verschiedene Ziffern braucht man für eine \(5\)-stellige Zahl, wenn eine doppelt und die anderen einfach vorkommen? - Welche Ziffern solltest du wählen, um eine möglichst kleine Summe zu erhalten? - Welche Ziffer sollte man doppelt nehmen, um das Ergebnis klein oder groß zu machen? - Denk daran, dass eine Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf.

1. Insgesamt braucht man vier verschiedene Ziffern: eine davon zweimal und drei weitere jeweils einmal. 2. Für die kleinste Quersumme nimmt man \(0,1,2,3\) und verwendet die kleinste Ziffer \(0\) zweimal. Die Ziffern sind also \(0,0,1,2,3\). Ihre Summe ist \(6\). Eine mögliche fünfstellige Zahl ist \(10\,023\). 3. Für die größte Quersumme nimmt man \(9,8,7,6\) und verwendet die größte Ziffer \(9\) zweimal. Die Summe ist \(9 + 9 + 8 + 7 + 6 = 39\). Eine mögliche Zahl ist \(99\,876\).

a) Die kleinste Quersumme ist \(6\) (Beispiel: \(10\,023\)). b) Die größte Quersumme ist \(39\) (Beispiel: \(99\,876\)).

- Die erste Ziffer einer vierstelligen Zahl darf niemals eine Null sein. - Notiere dir alle Gruppen von vier Ziffern, die zusammen \(4\) ergeben, zum Beispiel \(2,1,1,0\). - Bilde aus jeder Gruppe alle möglichen Zahlen und achte darauf, keine zu vergessen. - Gehe geordnet vor, zum Beispiel nach der ersten Ziffer.

1. Die vier Ziffern müssen zusammen \(4\) ergeben. Dabei darf die erste Ziffer nicht \(0\) sein. 2. Mit den Ziffern \(4,0,0,0\) ist nur \(4000\) möglich. 3. Mit \(3,1,0,0\) entstehen \(3100,3010,3001,1300,1030,1003\). 4. Mit \(2,2,0,0\) entstehen \(2200,2020,2002\). 5. Mit \(2,1,1,0\) entstehen \(2110,2101,2011,1210,1201,1021,1120,1102,1012\). 6. Mit \(1,1,1,1\) ist nur \(1111\) möglich. 7. Insgesamt sind das \(1 + 6 + 3 + 9 + 1 = 20\) Zahlen.

Es gibt insgesamt \(20\) solche Zahlen: \(1003, 1012, 1021, 1030, 1102, 1111, 1120, 1201, 1210, 1300, 2002, 2011, 2020, 2101, 2110, 2200, 3001, 3010, 3100, 4000\).

- Vergleiche die beiden Zahlen von links nach rechts. - Suche die Stelle, an der das Kästchen steht. - Muss die gesuchte Ziffer dort größer oder kleiner als die andere Ziffer sein? - Denke daran, dass auch \(0\) eingesetzt werden kann.

1. In a) sind alle Stellen außer der Hunderterstelle gleich. Die Ziffer im Kästchen muss größer als \(3\) sein. Möglich sind \(4, 5, 6, 7, 8, 9\). 2. In b) sind alle Stellen außer der Zehnerstelle gleich. Die Ziffer im Kästchen muss kleiner als \(8\) sein. Möglich sind \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\). 3. In c) entscheidet die Tausenderstelle. Die Ziffer im Kästchen muss kleiner als \(2\) sein. Möglich sind \(0\) und \(1\).

a) \(4, 5, 6, 7, 8, 9\) b) \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) c) \(0, 1\)

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen der kleineren und der größeren Zahl. - Gehe vom kleineren Wert über seinen Nachfolger und den Vorgänger der größeren Zahl bis zur größeren Zahl. - Wie kannst du eine bekannte Summe auf zwei Zahlen verteilen, wenn ihr Unterschied bekannt ist?

1. Vom kleineren Wert bis zu seinem Nachfolger ist es \(1\) Schritt. Dieser Nachfolger liegt \(5\) unter dem Vorgänger der größeren Zahl; bis dorthin sind es weitere \(5\) Schritte. Vom Vorgänger bis zur größeren Zahl ist es noch \(1\) Schritt. Die größere Zahl ist daher insgesamt \(1 + 5 + 1 = 7\) größer als die kleinere. 2. Von der Summe \(27\) wird dieser Unterschied abgezogen: \(27 - 7 = 20\). 3. Die verbleibenden \(20\) werden gleichmäßig auf beide Zahlen verteilt: \(20 : 2 = 10\). Das ist die kleinere Zahl. 4. Die größere Zahl ist \(10 + 7 = 17\). 5. Kontrolle: \(10 + 17 = 27\), und der Nachfolger \(11\) ist um \(5\) kleiner als der Vorgänger \(16\).

Die beiden Zahlen sind \(10\) und \(17\).

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei Zahlen, wenn der Nachfolger der ersten zugleich der Vorgänger der zweiten ist? - An welcher Stelle wechselt eine Zahl von zweistellig zu dreistellig? - Prüfe die zweistelligen Zahlen unmittelbar vor diesem Übergang.

1. Liegen Nachfolger der kleineren Zahl und Vorgänger der größeren Zahl auf derselben Zahl, dann unterscheiden sich die beiden gesuchten Zahlen um \(2\). 2. Eine zweistellige Zahl ist höchstens \(99\), eine dreistellige Zahl ist mindestens \(100\). 3. Nur die zweistelligen Zahlen direkt vor diesem Stellenübergang kommen infrage: - \(98 + 2 = 100\), also \((98, 100)\). - \(99 + 2 = 101\), also \((99, 101)\). 4. Für kleinere zweistellige Zahlen wäre die um \(2\) größere Zahl noch zweistellig; größere zweistellige Zahlen gibt es nicht.

Die möglichen Zahlenpaare sind \((98, 100)\) und \((99, 101)\).

- An welcher Stelle muss eine große Ziffer stehen, damit die gesamte Zahl möglichst groß wird? - Was musst du tun, um den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu finden? - Schreibe die Zahlen untereinander, um die Differenz leichter berechnen zu können.

1. Um die kleinste Zahl zu erhalten, stehen die kleineren Ziffern \(4\) auf den höchsten Stellenwerten: \(44\,477\). 2. Um die größte Zahl zu erhalten, stehen die größeren Ziffern \(7\) auf den höchsten Stellenwerten: \(77\,444\). 3. Die Differenz ist \(77\,444 - 44\,477 = 32\,967\).

a) \(44\,477\) b) \(77\,444\) c) \(32\,967\)

- Gehe die Hinweise Schritt für Schritt durch und notiere dir die Ziffer für jede Stelle. - Erinnere dich daran, welche Ziffer für „keine“ an einer bestimmten Stelle steht. - Was bedeutet „halb so groß“ mathematisch?

1. An der Zehntausenderstelle steht die \(4\). 2. Die Tausenderstelle ist um \(3\) größer: \(4 + 3 = 7\). 3. An der Hunderter- und Zehnerstelle steht jeweils \(0\). 4. Die Einerstelle ist halb so groß wie \(4\): \(4 : 2 = 2\). 5. Damit lautet die Zahl \(47\,002\). In Kurzschreibweise ist das \(4\,\text{ZT}\,7\,\text{T}\,2\,\text{E}\).

Ziffernschreibweise: \(47\,002\); Kurzschreibweise: \(4\,\text{ZT}\,7\,\text{T}\,2\,\text{E}\)

- Was versteht man unter der Quersumme einer Zahl? - Wenn eine Zahl klein sein soll, welche Ziffer sollte dann an der Tausenderstelle stehen? - Probiere für Teil c) aus, wie klein die Quersumme mit vier verschiedenen Ziffern überhaupt sein kann.

1. Für die kleinste Zahl muss vorne die kleinste mögliche Ziffer stehen, also \(1\). Danach können zwei Nullen folgen. Für die Einerstelle bleibt \(7\). So entsteht \(1007\). 2. Für Teil b) braucht man vier verschiedene Ziffern mit der Summe \(8\). Möglich sind zum Beispiel \(0,1,2,5\) und \(0,1,3,4\). Die größte Zahl erhält man mit der größten möglichen Tausenderziffer und absteigender Anordnung: \(5210\). 3. Die vier kleinsten verschiedenen Ziffern sind \(0,1,2,3\). Schon ihre Summe ist \(6\). Mit vier verschiedenen Ziffern kann die Quersumme daher nicht nur \(5\) sein.

a) \(1007\) b) \(5210\) c) Die kleinsten vier verschiedenen Ziffern \(0,1,2,3\) haben bereits die Summe \(6\). Eine Quersumme von \(5\) ist daher nicht möglich.

- Welche Ziffern sind gerade und welche sind ungerade? - Darf eine vierstellige Zahl mit der Ziffer \(0\) beginnen? - Überlege dir bei Teil c), welche Ziffern für die Zehnerstelle überhaupt infrage kommen, damit das Vierfache davon noch eine einstellige Ziffer ist.

1. Ungerade Ziffern sind \(1, 3, 5, 7, 9\). Für die größte Zahl wird an jede Stelle die größte verfügbare ungerade Ziffer gesetzt. Ergebnis: \(9999\). 2. Gerade Ziffern sind \(0, 2, 4, 6, 8\). Die kleinste vierstellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen, also ist die kleinste Tausenderziffer \(2\). Um die Zahl klein zu halten, setzen wir die kleinsten verbleibenden Ziffern auf die nächsten Stellen: \(0\) auf die Hunderterstelle, \(4\) auf die Zehnerstelle und \(6\) auf die Einerstelle. Ergebnis: \(2046\). 3. Die Zahl hat die Form \(T0Z0\). Es gilt \(T = 4Z\). Mögliche Paare für \((T, Z)\) sind \((4, 1)\) und \((8, 2)\). Da die größte Zahl gesucht ist, wählen wir \(T=8\) und \(Z=2\). Ergebnis: \(8020\).

a) \(9999\) b) \(2046\) c) \(8020\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Ziffern der Zahl mithilfe der ersten beiden Hinweise. - Wie viel fehlt noch von der Summe der ersten beiden Ziffern bis zur Quersumme \(10\)? - Welche Ziffernpaare ergeben an der Zehner- und Einerstelle diese restliche Summe? - Denk daran, woran du an der Einerziffer erkennst, ob eine Zahl gerade ist.

1. Die Zahl beginnt mit \(24\), denn die Hunderterziffer ist doppelt so groß wie \(2\). 2. Die ersten beiden Ziffern haben zusammen die Summe \(2 + 4 = 6\). Für Zehner und Einer bleiben also zusammen \(10 - 6 = 4\). 3. Dafür sind die Paare \((0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)\) möglich. 4. Die Zahl soll gerade sein, also muss die Einerziffer gerade sein. Übrig bleiben \((0,4), (2,2)\) und \((4,0)\). 5. Daraus entstehen \(2404, 2422\) und \(2440\).

Die gesuchten Zahlen sind \(2404\), \(2422\) und \(2440\).

- Gehe geordnet vor und beginne mit der kleinstmöglichen Hunderterziffer. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für Zehner- und Einerziffer, wenn die Hunderterziffer feststeht? - Denke daran, dass die Hunderterziffer bei einer dreistelligen Zahl nicht \(0\) sein darf.

1. Mit der Quersumme \(3\) gibt es: - bei Hunderterziffer \(1\): \(102,111,120\) - bei Hunderterziffer \(2\): \(201,210\) - bei Hunderterziffer \(3\): \(300\) Das sind insgesamt \(6\) Zahlen. 2. Mit der Quersumme \(4\) gibt es: - bei Hunderterziffer \(1\): \(103,112,121,130\) - bei Hunderterziffer \(2\): \(202,211,220\) - bei Hunderterziffer \(3\): \(301,310\) - bei Hunderterziffer \(4\): \(400\) Das sind insgesamt \(10\) Zahlen. 3. Weil \(10 > 6\) gilt, gibt es mehr dreistellige Zahlen mit der Quersumme \(4\).

Es gibt mehr dreistellige Zahlen mit der Quersumme \(4\) (insgesamt \(10\)) als mit der Quersumme \(3\) (insgesamt \(6\)).

- Welche Ziffernpaare ergeben zusammen die restliche Summe, wenn du die Hunderterziffer bereits kennst? - Streiche nacheinander alle Möglichkeiten, die den Bedingungen widersprechen. - Achte genau auf den Unterschied zwischen der Zehner- und der Einerstelle.

1. Die Zahl beginnt mit \(4\). Für Zehner- und Einerziffer bleiben daher zusammen \(10 - 4 = 6\). 2. Dafür sind die Paare \((0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)\) möglich. 3. Weil alle Ziffern verschieden sein müssen, fallen \((2,4), (4,2)\) und \((3,3)\) weg. 4. Die Zahl soll gerade sein. Damit bleiben nur \((0,6)\) und \((6,0)\). 5. Die Einerziffer soll kleiner als die Zehnerziffer sein. Das trifft nur auf \((6,0)\) zu. Die Zahl ist also \(460\).

Die gesuchte Zahl ist \(460\).

- Wie viele Ziffern der Zahl sind nicht Null? - Finde zuerst alle Paare von Ziffern, deren Summe \(12\) ergibt. - Wie musst du diese Ziffern und die Nullen anordnen, damit die Zahl so groß wie möglich wird? - Wie verhinderst du bei der kleinsten Zahl, dass sie mit einer Null beginnt?

1. Eine sechsstellige Zahl mit vier Nullen hat genau zwei Ziffern ungleich Null. Deren Summe muss \(12\) ergeben. Ohne Beachtung der Reihenfolge sind die möglichen Paare \((3, 9), (4, 8), (5, 7)\) und \((6, 6)\). 2. Für die kleinste Zahl steht die kleinste mögliche erste Ziffer \(3\) vorne. Danach folgen die vier Nullen; die \(9\) steht ganz hinten. Ergebnis: \(300\,009\). 3. Für die größte Zahl steht \(9\) vorne und \(3\) direkt dahinter. Die Nullen folgen. Ergebnis: \(930\,000\).

Die größte Zahl ist \(930\,000\) und die kleinste Zahl ist \(300\,009\).

- Wie groß ist die Summe, wenn du alle Ziffern von \(0\) bis \(9\) addierst? - Was passiert mit dieser Summe, wenn du eine kleine Ziffer gegen eine große Ziffer austauschst? - Was passiert, wenn du eine große Ziffer weglässt und stattdessen eine kleine Ziffer doppelt nimmst?

1. Die Summe aller zehn verschiedenen Ziffern ist \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). Daher hat jede solche erste Zahl die Quersumme \(45\). 2. Wird eine Ziffer \(x\) entfernt und eine Ziffer \(y\) zusätzlich verwendet, lautet die neue Quersumme \(45 - x + y\). 3. Minimal wird sie für \(x = 9\) und \(y = 0\): \(45 - 9 + 0 = 36\). 4. Maximal wird sie für \(x = 0\) und \(y = 9\): \(45 - 0 + 9 = 54\).

Die Quersumme der ersten Zahl ist \(45\). Die kleinstmögliche Quersumme der zweiten Zahl ist \(36\), die größtmögliche ist \(54\).

- Welche Ziffer darf bei einer mehrstelligen Zahl nicht ganz vorne stehen? - Für die kleinste Zahl sollten kleine Ziffern möglichst weit links stehen, ohne die Bedingungen zu verletzen. - Bei Teil b) ist die Hunderterstelle besonders wichtig für die Größe der Zahl. - Welche geraden Einerziffern lassen die Quersumme \(15\) zu?

1. Für Teil a) darf die Zahl nicht mit \(0\) beginnen. Die kleinste mögliche erste Ziffer ist \(3\). Danach setzt man möglichst viele Nullen und erfüllt die Bedingung mit der \(7\) an der letzten Stelle. So entsteht \(30\,007\). 2. Für Teil b) soll die Hunderterstelle möglichst groß sein, also zunächst \(9\). Dann müssen Zehner- und Einerziffer zusammen \(6\) ergeben. Damit die Zahl möglichst groß ist und die Einerziffer gerade bleibt, wählt man \(6\) als Zehnerziffer und \(0\) als Einerziffer. So entsteht \(960\).

a) \(30\,007\) b) \(960\)

- Was ist die größtmögliche Ziffer, die du an den Stellen einsetzen darfst, für die es keine Vorgabe gibt? - Darf eine Zahl mit der Ziffer \(0\) beginnen? - Achte darauf, dass bei der zweiten Zahl keine Ziffer doppelt vorkommen darf. - „Differenz“ bedeutet, dass du eine Subtraktion durchführen musst.

1. Für die größte fünfstellige Zahl mit einer \(7\) an der Hunderterstelle werden alle anderen Stellen mit \(9\) besetzt. Die Zahl ist \(99\,799\). 2. Die kleinste fünfstellige Zahl mit verschiedenen Ziffern beginnt mit \(1\), danach folgt \(0\), dann \(2, 3, 4\). Die Zahl ist \(10\,234\). 3. Die Differenz ist \(99\,799 - 10\,234 = 89\,565\).

\(89\,565\)

- Überlege dir, welchen Einfluss eine Ziffer auf den Gesamtwert der Zahl hat, wenn sie an der Hunderter- statt an der Einerstelle steht. - Wie musst du die Ziffern verteilen, damit die Summe besonders groß oder besonders klein wird? - Musst du jede mögliche Anordnung ausprobieren, oder reicht es, die Ziffern passend auf Hunderter-, Zehner- und Einerstellen zu verteilen?

1. Für die größte Summe setzt man die größten Ziffern an die Hunderterstellen: \(8\) und \(7\). Danach kommen \(5\) und \(4\) an die Zehnerstellen und \(2\) und \(1\) an die Einerstellen. Zum Beispiel gilt \(852 + 741 = 1593\). 2. Für die kleinste Summe setzt man die kleinsten Ziffern an die Hunderterstellen: \(1\) und \(2\). Danach kommen \(4\) und \(5\) an die Zehnerstellen und \(7\) und \(8\) an die Einerstellen. Zum Beispiel gilt \(147 + 258 = 405\).

a) Die größte mögliche Summe ist \(1593\). b) Die kleinste mögliche Summe ist \(405\).

- Überlege dir, wie viele Zehner und wie viele Einer du insgesamt zur Verfügung hast. - Welche Ziffern bewirken an der Zehnerstelle die größte Veränderung? - Verteile die Ziffern geordnet auf die drei Zehnerstellen und die drei Einerstellen.

1. Für die größte Summe müssen die größten Ziffern \(6,5,4\) an den Zehnerstellen stehen. Die übrigen Ziffern \(3,2,1\) stehen an den Einerstellen. 2. Damit ist die Summe \((6 + 5 + 4) \cdot 10 + (3 + 2 + 1) = 150 + 6 = 156\). 3. Für die kleinste Summe stehen \(1,2,3\) an den Zehnerstellen und \(4,5,6\) an den Einerstellen. 4. Damit ist die Summe \((1 + 2 + 3) \cdot 10 + (4 + 5 + 6) = 60 + 15 = 75\).

a) Die größte mögliche Summe ist \(156\). b) Die kleinste mögliche Summe ist \(75\).

- Überlege zuerst, welche Ziffern du für die kleinste fünfstellige Zahl verwenden musst. - Beachte, dass an der ersten Stelle keine Null stehen darf, wenn die Zahl fünfstellig sein soll. - Ordne die restlichen Ziffern so an, dass die Zahl insgesamt so klein wie möglich wird.

1. Die kleinste fünfstellige Zahl mit fünf verschiedenen Ziffern beginnt mit \(1\). Danach setzt man die kleinste noch mögliche Ziffer \(0\) und anschließend \(2,3,4\). So entsteht \(10\,234\). 2. Nun wird subtrahiert: \(10\,234 - 2489 = 7745\).

Das Ergebnis lautet \(7745\).

- Was ist die kleinste ungerade Zahl mit drei Stellen? - Welche Ziffern musst du wählen, um eine möglichst große vierstellige Zahl zu erhalten, wenn keine Ziffer doppelt vorkommen darf? - Berechne zuerst die Summe der vier kleinen Zahlen, bevor du sie von der großen Zahl abziehst.

1. Die größte vierstellige Zahl mit vier verschiedenen Ziffern ist \(9876\). 2. Die vier kleinsten ungeraden dreistelligen Zahlen sind \(101,103,105,107\). 3. Ihre Summe ist \(101 + 103 + 105 + 107 = 416\). 4. Damit gilt \(9876 - 416 = 9460\).

Das Ergebnis ist \(9460\).

- Überlege, welche Ziffer an der vordersten Stelle stehen kann, ohne dass dir für die restlichen Stellen zu wenige Ziffern bleiben. - Wie viele Ziffern darfst du von links überspringen, wenn am Ende noch fünf Stellen übrig sein müssen? - Die Reihenfolge der nicht gestrichenen Ziffern bleibt unverändert.

1. Für die größtmögliche Zahl ist die \(9\) an Position \(4\) die größte Ziffer, die noch genügend nachfolgende Ziffern lässt. Danach wird aus \(1, 5, 3, 8, 6\) die \(1\) gestrichen. Es entsteht \(95\,386\). 2. Für die kleinstmögliche Zahl ist die \(1\) an Position \(5\) die kleinste mögliche erste Ziffer. Damit sind bereits die vier vorherigen Ziffern gestrichen; die restlichen Ziffern bleiben erhalten. Es entsteht \(15\,386\). 3. Die Differenz ist \(95\,386 - 15\,386 = 80\,000\).

1. \(95\,386\) 2. \(15\,386\) 3. \(80\,000\)

- Welche Stelle hat bei einer zweistelligen Zahl den größeren Einfluss auf ihren Wert? - Für eine große Differenz sollten die beiden Zahlen möglichst weit auseinanderliegen. - Für eine sehr kleine positive Differenz müssen zuerst die Zehnerziffern möglichst nah beieinanderliegen.

1. Für die größte Differenz werden die Zehnerstellen möglichst weit auseinander gewählt und die Einer passend ergänzt: \(86 - 13 = 73\). 2. Für eine positive Differenz kleiner als \(3\) müssten die Zehnerziffern der beiden Zahlen direkt aufeinanderfolgen. Unter den gegebenen Ziffern ist dafür nur \(5\) und \(6\) geeignet. 3. Mit \(6\) als Zehnerziffer der größeren Zahl und \(5\) als Zehnerziffer der kleineren Zahl wird der Abstand am kleinsten, wenn die kleine Einerziffer zur größeren Zahl und die große Einerziffer zur kleineren Zahl kommt: \(61 - 58 = 3\). 4. Eine kleinere positive Differenz ist daher nicht möglich.

a) \(86 - 13 = 73\) b) \(61 - 58 = 3\)

- Darf die \(0\) an jeder Stelle stehen? Lies die Bedingung genau. - Für eine kleine Summe sollten kleine Ziffern an den Zehnerstellen stehen. - Überlege für b), welche Einerziffern bei einer Summe von genau \(100\) zusammenpassen müssten.

1. Für die kleinste Summe müssen die beiden kleinsten möglichen Zehnerziffern verwendet werden: \(2\) und \(4\). Die \(0\) darf nur an einer Einerstelle stehen. Mit den kleinsten übrigen Einerziffern ergibt sich zum Beispiel \(20 + 47 = 67\). 2. Für eine Summe nahe \(100\) gilt zum Beispiel \(20 + 79 = 99\). Der Abstand zu \(100\) beträgt \(1\). 3. Genau \(100\) ist nicht möglich: Dafür müssten die beiden Einerziffern zusammen \(10\) ergeben, damit die Einerstelle der Summe \(0\) wird. Unter \(0, 2, 4, 7, 9\) gibt es kein Ziffernpaar mit der Summe \(10\). 4. Deshalb ist \(99\) so nah wie möglich an \(100\).

a) \(67\), zum Beispiel \(20 + 47\) b) \(99\), zum Beispiel \(20 + 79\)

- Überlege, wie sich der Wert einer Ziffer ändert, wenn sie von der Einer- an die Hunderterstelle oder umgekehrt wandert. - Welche zwei Ziffern können gleichzeitig den angegebenen Unterschied und die angegebene Summe haben? - Prüfe deine Zahl, indem du die beiden Ziffern wirklich vertauschst und die Differenz bildest.

1. Beim Vertauschen von Hunderter- und Einerziffer ändert sich der Wert um ein Vielfaches von \(99\). Da \(297 : 99 = 3\), muss die Einerziffer der gesuchten Zahl um \(3\) größer sein als ihre Hunderterziffer. 2. Zwei Ziffern mit Summe \(9\) und Unterschied \(3\) sind \(3\) und \(6\). Weil die Zahl beim Vertauschen größer wird, steht zuerst \(3\) bei den Hundertern und \(6\) bei den Einern. 3. Mit Tausenderziffer \(7\) und Zehnerziffer \(0\) lautet die gesuchte Zahl \(7306\). 4. Nach dem Vertauschen entsteht \(7603\). Kontrolle: \(7603 - 7306 = 297\).

Gesuchte Zahl: \(7306\) Nach dem Vertauschen: \(7603\)

- Beginne bei der Stelle mit dem größten Stellenwert und versuche dort die größtmögliche zulässige Ziffer zu setzen. - Berücksichtige danach gemeinsam die Bedingung für Tausender- und Hunderterziffer. - Prüfe bei jeder Wahl, ob alle fünf Ziffern verschieden bleiben.

1. Für eine möglichst große fünfstellige Zahl muss die Zehntausenderziffer so groß wie möglich sein. Die \(9\) kann dort stehen. 2. Tausender- und Hunderterziffer müssen aufeinanderfolgen, wobei die Hunderterziffer um \(1\) größer ist. Da die \(9\) bereits verwendet wird und alle Ziffern verschieden sein müssen, ist die größte mögliche Tausenderziffer \(7\); dazu gehört die Hunderterziffer \(8\). 3. Mit der vorgegebenen Zehnerziffer \(1\) und Einerziffer \(0\) entsteht \(97\,810\). 4. Eine größere Zahl müsste entweder eine größere Zehntausenderziffer als \(9\) besitzen oder bei gleicher Zehntausenderziffer eine größere zulässige Tausenderziffer als \(7\). Beides ist unmöglich.

\(97\,810\)

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Stellenwerttafel ab. - Zerlege die gewünschte Verringerung in zwei Stellenwerte. - Prüfe, ob an beiden benötigten Stellen überhaupt ein Plättchen entfernt werden kann.

1. Aus der Stellenwerttafel liest man \(52\,184\) ab. 2. Die Verringerung \(1010\) setzt sich aus einem Tausender und einem Zehner zusammen: \(1000 + 10 = 1010\). 3. Deshalb entfernt man ein Plättchen bei T und eines bei Z. 4. Die neue Zahl ist \(52\,184 - 1010 = 51\,174\).

Ein Plättchen wird bei T und eines bei Z entfernt. Die neue Zahl ist \(51\,174\).

- Lies zuerst die dargestellte Ausgangszahl ab. - Welche Einerziffer braucht die fertige Zahl, damit sie ungerade ist? - Lege danach das zweite Plättchen systematisch in jede noch mögliche Spalte und prüfe, ob dadurch neue Lösungen entstehen.

1. Aus der Tafel liest man die Ausgangszahl \(2000\) ab. 2. Damit die neue Zahl ungerade ist, muss nach dem Hinzufügen genau ein Einer-Plättchen vorhanden sein. Also wird eines der beiden neuen Plättchen bei E abgelegt. 3. Das zweite Plättchen kann bei Z, H oder T liegen. Dadurch entstehen \(2011\), \(2101\) und \(3001\). 4. Werden beide neuen Plättchen bei E abgelegt, entsteht \(2002\), also keine ungerade Zahl. Damit ist die Liste vollständig.

\(2011\), \(2101\) und \(3001\)

- Prüfe systematisch mögliche Zehnerziffern und bestimme jeweils die dazugehörige Einerziffer. - Beachte gleichzeitig die Bedingung, dass alle drei Ziffern verschieden sein müssen. - Eine Behauptung über Eindeutigkeit ist erst bestätigt, wenn nur eine Möglichkeit übrig bleibt.

1. Für die Zehnerziffer kommen zunächst nur die Ziffern \(0\) bis \(4\) infrage, weil ihr Doppeltes noch eine einzelne Ziffer sein muss. 2. Bei Zehnerziffer \(0\) wäre auch die Einerziffer \(0\); damit wären nicht alle Ziffern verschieden. Für Zehnerziffer \(1\) entsteht \(412\). 3. Bei Zehnerziffer \(2\) wäre die Einerziffer \(4\) und damit gleich der Hunderterziffer. Für Zehnerziffer \(3\) entsteht \(436\). Bei Zehnerziffer \(4\) wäre die Zehnerziffer gleich der Hunderterziffer. 4. Zehnerziffern von \(5\) bis \(9\) scheiden aus, weil ihr Doppeltes keine einzelne Ziffer mehr ist. 5. Es passen also genau zwei Zahlen: \(412\) und \(436\). Die Hinweise bestimmen die Zahl nicht eindeutig.

Fatimas Behauptung ist falsch. Es passen \(412\) und \(436\).

- Überlege zuerst, welche drei verschiedenen Ziffern zusammen die Summe \(6\) ergeben können. - Denke daran, dass eine dreistellige Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf. - Vertausche bei jeder gefundenen Zifferngruppe die Stellen, um alle möglichen Zahlen zu finden. - Achte darauf, dass in deiner Liste keine Ziffer doppelt in einer Zahl vorkommt.

1. Drei verschiedene Ziffern mit der Summe \(6\) können \(0,1,5\), \(0,2,4\) oder \(1,2,3\) sein. 2. Aus \(0,1,5\) entstehen die dreistelligen Zahlen \(105,150,501,510\). Die \(0\) darf nicht vorne stehen. 3. Aus \(0,2,4\) entstehen \(204,240,402,420\). 4. Aus \(1,2,3\) sind alle sechs Anordnungen möglich: \(123,132,213,231,312,321\). 5. Damit sind alle Möglichkeiten erfasst.

Die Zahlen sind: \(105, 123, 132, 150, 204, 213, 231, 240, 312, 321, 402, 420, 501, 510\).

- Du brauchst neun verschiedene Ziffern aus \(0\) bis \(9\). Welche Auswahl macht ihre Summe möglichst klein, welche möglichst groß? - Welche Ziffer aus deiner Auswahl solltest du dreimal verwenden, damit die Quersumme möglichst klein oder möglichst groß wird? - Prüfe zum Schluss, ob sich mit den gewählten Ziffern wirklich eine \(11\)-stellige Zahl bilden lässt.

1. Für die kleinste Quersumme nimmt man die neun kleinsten Ziffern \(0,1,2,3,4,5,6,7,8\). Ihre Summe ist \(36\). Wenn die \(0\) dreimal vorkommt, kommen zwei weitere Nullen hinzu und die Quersumme bleibt \(36\). 2. Für die größte Quersumme nimmt man die neun größten Ziffern \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Ihre Summe ist \(45\). Wenn die \(9\) dreimal vorkommt, kommen zwei weitere Neunen hinzu: \(45 + 9 + 9 = 63\). 3. In beiden Fällen lassen sich die Ziffern so anordnen, dass vorne keine Null steht und tatsächlich eine \(11\)-stellige Zahl entsteht.

Die kleinste Quersumme ist \(36\). Die größte Quersumme ist \(63\).

- Eine Quersumme von \(43\) ist sehr nah am Maximum für fünf Stellen. Welche Zahl hat die größte Quersumme? - Überlege, wie du die Ziffern von \(99\,999\) verändern musst, damit die Quersumme um \(2\) sinkt. - Kann die fehlende Summe \(2\) an einer Stelle liegen oder auf zwei Stellen verteilt sein?

1. Die größte mögliche Quersumme bei fünf Stellen ist \(5 \cdot 9 = 45\), also die Quersumme von \(99\,999\). 2. Für die Quersumme \(43\) müssen insgesamt \(2\) von diesen \(45\) fehlen. 3. Möglichkeit 1: An einer Stelle fehlen beide Einer. Dann steht dort eine \(7\), an den anderen vier Stellen jeweils eine \(9\): \(79\,999, 97\,999, 99\,799, 99\,979, 99\,997\). 4. Möglichkeit 2: An zwei Stellen fehlt jeweils ein Einer. Dann stehen dort zwei Achten und an den übrigen drei Stellen Neunen: \(88\,999, 89\,899, 89\,989, 89\,998, 98\,899, 98\,989, 98\,998, 99\,889, 99\,898, 99\,988\). 5. Insgesamt gibt es \(5 + 10 = 15\) solche Zahlen.

Es gibt \(15\) solche Zahlen: \(79\,999, 97\,999, 99\,799, 99\,979, 99\,997, 88\,999, 89\,899, 89\,989, 89\,998, 98\,899, 98\,989, 98\,998, 99\,889, 99\,898, 99\,988\).

- Suche zuerst zwei fünfstellige Zahlen, deren Summe sehr nahe bei \(80\,000\) liegt. - Prüfe bei einem guten Treffer, ob wirklich jede Ziffer genau einmal benutzt wurde. - Wenn du den Abstand \(1\) erreichst, musst du nur noch prüfen, ob der Abstand \(0\) möglich ist.

1. Eine mögliche Wahl ist \(10\,243\) und \(69\,758\). In beiden Zahlen zusammen kommt jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal vor. 2. Es gilt \(10\,243 + 69\,758 = 80\,001\). Der Abstand zu \(80\,000\) beträgt \(1\). 3. Genau \(80\,000\) ist nicht möglich: In der schriftlichen Addition müsste die Einerstelle durch eine Ziffernsumme von \(10\) entstehen. Wegen der Überträge müssten die Ziffernpaare an der Zehner-, Hunderter- und Tausenderstelle jeweils die Summe \(9\) haben. An der Zehntausenderstelle müssten die beiden Ziffern zusammen \(7\) ergeben. 4. Dann wäre die Summe aller verwendeten Ziffern \(10 + 9 + 9 + 9 + 7 = 44\). Die Ziffern von \(0\) bis \(9\) haben zusammen aber die Summe \(45\). Deshalb ist \(80\,000\) unmöglich. 5. Ein Abstand von \(0\) ist also unmöglich, ein Abstand von \(1\) wird erreicht. Ein kleinerer Abstand ist damit nicht möglich.

Eine mögliche Wahl ist \(10\,243\) und \(69\,758\). Ihre Summe ist \(80\,001\). Der Abstand zu \(80\,000\) beträgt \(1\).

- Suche zuerst zwei fünfstellige Zahlen, deren Summe unmittelbar unter oder über \(100\,000\) liegen könnte. - Prüfe bei einem guten Treffer, ob jede Ziffer genau einmal vorkommt. - Wenn du den Abstand \(1\) erreichst, musst du nur noch klären, ob der Abstand \(0\) möglich ist.

1. Eine mögliche Wahl ist \(49\,876 + 50\,123 = 99\,999\). Dabei werden alle Ziffern von \(0\) bis \(9\) genau einmal verwendet. 2. Der Abstand von \(99\,999\) zu \(100\,000\) beträgt \(1\). 3. Genau \(100\,000\) ist nicht möglich: In der schriftlichen Addition müsste die Einerstelle durch eine Ziffernsumme von \(10\) entstehen. Wegen der Überträge müssten die Ziffernpaare an der Zehner-, Hunderter-, Tausender- und Zehntausenderstelle jeweils die Summe \(9\) haben. 4. Dann wäre die Summe aller verwendeten Ziffern \(10 + 9 + 9 + 9 + 9 = 46\). Die Ziffern von \(0\) bis \(9\) haben zusammen aber nur die Summe \(45\). Deshalb ist \(100\,000\) unmöglich. 5. Ein Abstand von \(0\) ist also unmöglich, ein Abstand von \(1\) wird erreicht. Ein kleinerer Abstand ist damit nicht möglich.

Eine mögliche Aufgabe ist \(49\,876 + 50\,123 = 99\,999\). Der Abstand zu \(100\,000\) beträgt \(1\).

- Erinnere dich daran, dass eine Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf. - Wenn du viele Nullen haben willst, was bedeutet das für den Wert der anderen Ziffern? - Untersuche die Summe der kleinsten verschiedenen Ziffern \(0, 1, 2, 3, \dots\). Was folgt daraus für Teil b)? - Welche Ziffern möchtest du möglichst weit vorne haben, wenn die Zahl klein werden soll?

1. Eine sechsstellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen. Für möglichst viele Nullen kann die erste Ziffer die ganze Quersumme \(5\) liefern. Dann sind die übrigen fünf Ziffern \(0\). Beispiel: \(500\,000\). Es sind also höchstens \(5\) Nullen möglich. 2. Vier verschiedene Ziffern sind unmöglich, denn schon die vier kleinsten verschiedenen Ziffern haben die Summe \(0 + 1 + 2 + 3 = 6\). Drei verschiedene Ziffern sind möglich, zum Beispiel \(0, 1, 4\) in \(100\,004\). 3. Für die kleinstmögliche Zahl steht vorne die kleinste mögliche Ziffer ungleich Null, also \(1\). Die restliche Quersumme \(5 - 1 = 4\) steht möglichst weit rechts. So entsteht \(100\,004\).

a) Höchstens \(5\) Nullen, zum Beispiel bei \(500\,000\) b) Höchstens \(3\) verschiedene Ziffern, zum Beispiel \(0, 1, 4\) c) \(100\,004\)

- Für a): Welche Ziffern sollten möglichst weit links in der größeren und in der kleineren Zahl stehen? - Für b): Wenn zwei dreistellige Zahlen sehr nah beieinanderliegen, wie können sich ihre Hunderterziffern unterscheiden? - Prüfe die möglichen benachbarten Hunderterziffern getrennt und ordne die übrigen Ziffern jeweils so, dass der Abstand möglichst klein wird.

1. Für die größtmögliche Differenz wird die größere Zahl möglichst groß und die kleinere aus den übrigen Ziffern möglichst klein gebildet: \(985 - 304 = 681\). 2. Für eine sehr kleine positive Differenz müssen die Hunderterziffern benachbart sein. Mit den vorhandenen Ziffern kommen dafür die Paare \(3\) und \(4\), \(4\) und \(5\) sowie \(8\) und \(9\) infrage. 3. Beim Paar \(3\) und \(4\) erhält man den kleinsten Abstand mit \(405 - 398 = 7\). 4. Beim Paar \(4\) und \(5\) erhält man \(503 - 498 = 5\). 5. Beim Paar \(8\) und \(9\) ist selbst \(903 - 854 = 49\). Damit ist \(5\) die kleinste mögliche positive Differenz.

a) \(681\) b) \(5\)

- Überlege dir, wie sich das Ergebnis ändert, wenn du eine positive und eine negative Zahl addierst. - Welche zweistelligen Zahlen kannst du aus den gegebenen Ziffern bilden? - Wann wird ein Ergebnis einer Addition besonders groß oder besonders klein, wenn die Vorzeichen unterschiedlich sind?

1. Um die Summe zu maximieren, wird die größtmögliche positive zweistellige Zahl mit der betragsmäßig kleinsten negativen zweistelligen Zahl kombiniert. Mit den Ziffern \(4,5,8,9\) ergibt sich \((+98)+(-45)=53\). 2. Um die Summe zu minimieren, werden die Vorzeichen vertauscht: \((-98)+(+45)=-53\).

a) \((+98) + (-45) = 53\) (oder \((-45) + (+98) = 53\)) b) \((-98) + (+45) = -53\) (oder \((+45) + (-98) = -53\))

- Die übrig gebliebenen Ziffern dürfen ihre Reihenfolge nicht tauschen. - Für eine große Zahl sollte eine möglichst große Ziffer möglichst weit vorne stehen. - Wenn du eine Ziffer auswählst, prüfe, ob danach noch genug Ziffern für die restlichen Stellen übrig sind.

1. Für die größtmögliche Zahl ist die \(8\) die größte mögliche erste Ziffer, nach der noch vier Ziffern folgen. Danach wird aus \(4, 2, 7, 3, 9\) die \(2\) gestrichen. Es entsteht \(84\,739\). 2. Für die kleinstmögliche Zahl bleibt zuerst die \(1\), danach die \(0\). Aus dem Rest werden \(6, 8, 4, 7\) gestrichen. Es entsteht \(10\,239\). 3. Die Differenz ist \(84\,739 - 10\,239 = 74\,500\).

1. \(84\,739\) 2. \(10\,239\) 3. \(74\,500\)

- Welche Stelle beeinflusst die Größenordnung der Differenz am stärksten? - Prüfe zuerst, um wie viel sich die Hunderterziffern unterscheiden müssen, damit ein Ergebnis nahe bei \(200\) überhaupt möglich ist. - Untersuche danach nur noch die wenigen passenden Hunderterpaare und verteile die restlichen Ziffern möglichst ausgleichend.

1. Die letzten beiden Stellen zweier Zahlen aus diesen Ziffern können sich höchstens um \(87 - 12 = 75\) unterscheiden. Unterscheiden sich die Hunderterziffern nur um \(1\), ist die ganze Differenz daher höchstens \(100 + 75 = 175\). Unterscheiden sie sich um \(3\), ist sie mindestens \(300 - 75 = 225\). Für ein Ergebnis möglichst nahe bei \(200\) müssen sich die Hunderterziffern also um \(2\) unterscheiden. 2. Dafür kommen mit den gegebenen Ziffern nur die Paare \(2\) und \(4\) sowie \(5\) und \(7\) infrage. 3. Beim Paar \(2\) und \(4\) bleiben \(1,5,7,8\) übrig. Damit die letzten beiden Stellen den Unterschied von \(200\) möglichst wenig verändern, müssen die Zehnerziffern möglichst nah beieinanderliegen. Nur \(7\) und \(8\) sind benachbart; mit den verbleibenden Einerziffern \(1\) und \(5\) entstehen als beste Werte \(194\) und \(206\), zum Beispiel \(475 - 281 = 194\) und \(481 - 275 = 206\). 4. Beim Paar \(5\) und \(7\) bleiben \(1,2,4,8\) übrig. Wieder sind nur \(1\) und \(2\) als Zehnerziffern benachbart; die Einerziffern \(4\) und \(8\) führen ebenfalls zu den besten Werten \(194\) und \(206\). 5. Der kleinste Abstand zu \(200\) ist daher \(6\).

Zum Beispiel \(475 - 281 = 194\) oder \(481 - 275 = 206\). Der kleinste Abstand zu \(200\) beträgt \(6\).