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- Was bedeutet der Begriff Quersumme genau? - Welche Ziffern müssen in der Zahl vorkommen, wenn jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal genutzt wird? - Ändert sich das Ergebnis einer Plusrechnung, wenn man die Zahlen vertauscht?

1. Da die Zahl \(10\)-stellig ist und jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal vorkommt, besteht die Menge der Ziffern aus \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). 2. Die Quersumme ist die Summe dieser Ziffern: \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). 3. Da bei der Addition das Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) gilt, spielt die Reihenfolge der Summanden keine Rolle für das Ergebnis. Da es sich immer um dieselben zehn Ziffern handelt, bleibt die Quersumme stets \(45\).

a) Die Quersumme ist \(45\). b) Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl. Da in jeder dieser Zahlen die gleichen zehn Ziffern vorkommen, ist auch ihre Summe immer gleich, da die Reihenfolge der Summanden bei einer Addition das Ergebnis nicht verändert.

- Bestimme zuerst die Einerziffer aus der Beziehung zur Zehnerziffer. - Setze danach beide Ziffern an ihre Stellen.

1. Die Zehnerziffer ist \(3\). 2. Doppelt so groß ist \(6\). Das ist die Einerziffer. 3. Die gesuchte Zahl ist \(36\).

\(36\)

- Bestimme, welche Ziffern an der Hunderter- und Einerstelle stehen. - Die Zehnerziffer wird nicht verändert.

1. Die Hunderterziffer ist \(4\), die Zehnerziffer ist \(8\), die Einerziffer ist \(2\). 2. Nach dem Tausch steht \(2\) an der Hunderterstelle und \(4\) an der Einerstelle. Die \(8\) bleibt an der Zehnerstelle. 3. Es entsteht \(284\).

\(284\)

- Überlege, an welcher Stelle eine große Ziffer den Wert der Zahl am stärksten beeinflusst. - Ordne die drei Ziffern passend zu Hunderter-, Zehner- und Einerstelle.

1. Für die größte Zahl kommt die größte Ziffer an die Hunderterstelle. 2. Die nächstgrößere Ziffer kommt an die Zehnerstelle und die kleinste an die Einerstelle. 3. So entsteht \(852\).

\(852\)

- Um eine Zahl klein zu halten, sollten die vorderen Stellen möglichst kleine Ziffern erhalten. - Beachte, dass die erste Ziffer einer vierstelligen Zahl nicht \(0\) sein darf. - Um eine Zahl groß zu machen, versuche die vorderen Stellen mit den größtmöglichen Ziffern zu besetzen. - Die Summe aller Ziffern muss am Ende genau \(12\) ergeben.

1. Zur Bestimmung der kleinsten vierstelligen Zahl wird die Tausenderstelle so klein wie möglich gewählt (\(1\)). Die Hunderterstelle wird ebenfalls minimiert (\(0\)). Damit verbleibt für die Zehner- und Einerstelle die Summe \(11\). Um die Zahl klein zu halten, muss die Zehnerstelle so klein wie möglich sein, was unter Berücksichtigung der maximalen Ziffer \(9\) an der Einerstelle den Wert \(2\) ergibt. Die kleinste Zahl ist somit \(1029\). 2. Zur Bestimmung der größten vierstelligen Zahl wird die Tausenderstelle maximiert (\(9\)). Die verbleibende Summe für die restlichen Stellen ist \(3\). Um die Zahl zu maximieren, wird die Hunderterstelle so groß wie möglich gewählt (\(3\)), wodurch für Zehner- und Einerstelle jeweils \(0\) verbleibt. Die größte Zahl ist somit \(9300\).

Die kleinste Zahl ist \(1029\), die größte Zahl ist \(9300\).

- Überlege dir zuerst, an welchen Stellenwerten eine Ziffer den größten oder kleinsten Einfluss auf den Gesamtwert der Zahl hat. - Beachte, dass die erste Ziffer einer Zahl niemals eine Null sein darf. - Wie viele Ziffern bleiben übrig, wenn du die vorgegebene Anzahl an Nullen bereits platziert hast?

1. Größte Zahl: Um den Wert zu maximieren, müssen die höchsten Stellen mit den größtmöglichen Ziffern besetzt werden. Da genau vier Nullen vorhanden sind, bleiben zwei Stellen für andere Ziffern. Die größten verfügbaren Ziffern sind \(9\) und \(9\). Diese werden an die Zehntausender- und Hunderttausenderstelle gesetzt. Die restlichen Stellen werden mit Nullen aufgefüllt. Ergebnis: \(990\,000\). 2. Kleinste Zahl: Die erste Stelle (Hunderttausenderstelle) darf keine Null sein. Die kleinstmögliche Ziffer außer Null ist \(1\). Um die Zahl so klein wie möglich zu halten, werden die vier Nullen an die direkt folgenden Stellen gesetzt. Die letzte verbleibende Stelle (Einerstelle) muss ebenfalls mit der kleinsten verfügbaren Ziffer außer Null besetzt werden, also wieder eine \(1\). Ergebnis: \(100\,001\).

Größte Zahl: \(990\,000\); kleinste Zahl: \(100\,001\).

- Wie viele Stellen hat die Zahl insgesamt? - Wie oft muss jede Ziffer in der Zahl vorkommen? - Versuche, die Positionen der Ziffern Schritt für Schritt zu verändern, damit du keine Kombination vergisst. - Es hilft, die Liste nach der Größe der Zahlen zu ordnen.

1. Systematisches Auflisten aller Anordnungen von zwei Dreien und zwei Siebenen. 2. Start mit \(3\) an der Tausenderstelle: \(3377\), \(3737\), \(3773\). 3. Start mit \(7\) an der Tausenderstelle: \(7337\), \(7373\), \(7733\). 4. Es ergeben sich insgesamt \(6\) verschiedene Zahlen.

Die Zahlen sind: \(3377\), \(3737\), \(3773\), \(7337\), \(7373\), \(7733\).

- Kann eine Zahl mit der Ziffer 0 beginnen? - Überlege dir zuerst, welche Ziffern an der ersten Stelle stehen dürfen. - Wenn du die erste Stelle festlegst, wie viele Möglichkeiten bleiben dann für die restlichen zwei Karten? - Vergleiche am Ende deine Liste, um die kleinste und größte Zahl zu finden.

1. Bestimmung der möglichen Hunderterstellen: Da eine Zahl nicht mit \(0\) beginnen darf, kommen nur \(5\) und \(9\) infrage. 2. Kombinationen mit der Hunderterstelle \(5\): \(509\) und \(590\). 3. Kombinationen mit der Hunderterstelle \(9\): \(905\) und \(950\). 4. Anzahl bestimmen: Es gibt insgesamt \(4\) Zahlen. 5. Vergleich der Werte: Die kleinste Zahl ist \(509\), die größte Zahl ist \(950\).

a) Es gibt \(4\) solche Zahlen: \(509\), \(590\), \(905\), \(950\). b) Die kleinste Zahl ist \(509\), die größte Zahl ist \(950\).

- Beginne bei möglichen Einerziffern und beachte, dass eine Ziffer höchstens \(9\) sein kann. - Bestimme zu jeder Einerziffer die um \(2\) größere Hunderterziffer. - Setze anschließend die feste Zehnerziffer zwischen beide Ziffern.

1. Die Einerziffer kann höchstens \(7\) sein, weil die Hunderterziffer um \(2\) größer sein muss und höchstens \(9\) sein kann. 2. Für die Einerziffern \(0,1,2,3,4,5,6,7\) ergeben sich die Hunderterziffern \(2,3,4,5,6,7,8,9\). 3. Mit der festen Zehnerziffer \(5\) entstehen die Zahlen \(250, 351, 452, 553, 654, 755, 856, 957\).

\(250, 351, 452, 553, 654, 755, 856, 957\)

- Versuche, die Kette von Rechenschritten rückwärts aufzulösen. - Was musst du tun, um eine Subtraktion von \(10\) rückgängig zu machen? - Wenn du den Vorgänger des Vorgängers kennst, wie oft musst du anschließend um \(1\) weitergehen?

1. Löse die Rechenschritte rückwärts auf. Vor dem Subtrahieren von \(10\) stand \(88 + 10 = 98\). 2. \(98\) ist der Vorgänger des Vorgängers von \(n\). Der nächste Wert ist daher \(99\), danach folgt \(100\). Also ist \(n = 100\). 3. Der Nachfolger von \(100\) ist \(101\).

Die Zahl ist \(n = 100\); ihr Nachfolger ist \(101\).

- Überlege dir ein System, damit du keine Kombination vergisst. Du könntest zum Beispiel mit allen Codes beginnen, die eine \(2\) an der ersten Stelle haben. - Wie viele Ziffern darfst du insgesamt benutzen? - Was bedeutet „der Größe nach ordnen“?

1. Alle verschiedenen Anordnungen der Ziffern \(2, 2, 9, 9\) sind \(2299, 2929, 2992, 9229, 9292, 9922\). 2. Damit gibt es insgesamt \(6\) Möglichkeiten. 3. Das Minimum ist \(2299\), das Maximum \(9922\). 4. Aufsteigend geordnet gilt \(2299 < 2929 < 2992 < 9229 < 9292 < 9922\).

a) \(6\) Möglichkeiten: \(2299, 2929, 2992, 9229, 9292, 9922\) b) Kleinster Code: \(2299\); größter Code: \(9922\) c) \(2299, 2929, 2992, 9229, 9292, 9922\)

- Welche Ziffern kommen für die Einerstelle überhaupt infrage? - Überlege dir, was passiert, wenn die Einerziffer \(5\) oder größer ist. - Kann die Zehnerziffer \(0\) sein, wenn die Zahl zweistellig sein soll? - Probiere systematisch alle Möglichkeiten für die Einerziffer durch.

1. Als Einerziffern kommen \(1, 2, 3, 4\) infrage. Die Ziffer \(0\) würde zur nicht zweistelligen Zahl \(00\) führen; ab \(5\) wäre das Doppelte mindestens \(10\) und damit keine einzelne Ziffer mehr. 2. Die zugehörigen Zehnerziffern sind \(2, 4, 6, 8\). 3. Daraus entstehen die Zahlen \(21, 42, 63, 84\).

\(21, 42, 63, 84\)

- Was bedeutet der Begriff Quersumme? - Wie kannst du sicherstellen, dass du kein Ziffernpaar vergisst? - Woran erkennst du sofort, ob eine Zahl ungerade ist? - Schreibe dir am besten zuerst alle Zahlen aus Teil a) untereinander auf.

1. Alle Ziffernpaare finden, die in der Summe \(10\) ergeben: \((1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)\). 2. Die entsprechenden zweistelligen Zahlen bilden: \(19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91\). 3. Ungerade Zahlen identifizieren (Zahlen mit den Einerziffern \(1, 3, 5, 7, 9\)): \(19, 37, 55, 73, 91\). 4. Die Anzahl der ungeraden Zahlen zählen: \(5\).

a) \(19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91\) b) \(5\)

- Welche ungeraden Ziffern gibt es, die größer als \(6\) sind? - Berechne für jede mögliche Zehnerziffer die dazugehörige Einerziffer. - Prüfe am Ende beide Bedingungen für jede gefundene Zahl.

1. Die ungeraden Ziffern größer als \(6\) sind \(7\) und \(9\). 2. Für die Zehnerziffer \(7\) ist die Einerziffer \(7 - 2 = 5\). Die Zahl lautet \(75\). 3. Für die Zehnerziffer \(9\) ist die Einerziffer \(9 - 2 = 7\). Die Zahl lautet \(97\). 4. Damit sind die gesuchten Zahlen \(75\) und \(97\).

\(75, 97\)

- Welche Ziffern stehen dir insgesamt zur Verfügung? - Wie beeinflusst der Stellenwert einer Ziffer (zum Beispiel Zehntausender oder Einer) die Größe der Gesamtzahl? - Wenn eine Zahl möglichst groß sein soll, welche Ziffern sollten dann auf den vorderen Stellen stehen? - Was bedeutet es für die Wahl der Ziffern, wenn diese „verschieden“ sein müssen?

1. Für die größte fünfstellige Zahl mit verschiedenen Ziffern werden die größten verfügbaren Ziffern in absteigender Reihenfolge auf die höchsten Stellenwerte gesetzt: \(9\) auf die Zehntausenderstelle, \(8\) auf die Tausenderstelle, \(7\) auf die Hunderterstelle, \(6\) auf die Zehnerstelle und \(5\) auf die Einerstelle. Ergebnis: \(98\,765\). 2. Die kleinste fünfstellige Zahl beginnt mit der kleinsten Ziffer ungleich Null an der Zehntausenderstelle, also \(1\). Da keine \(0\) erlaubt ist, muss auch auf allen anderen Stellen die kleinstmögliche Ziffer \(1\) stehen. Ergebnis: \(11\,111\). 3. Um die größte Zahl aus den Ziffern \(1\), \(4\) und \(7\) zu bilden, muss an jeder Stelle die größtmögliche dieser Ziffern gewählt werden, also die \(7\). Ergebnis: \(77\,777\).

a) \(98\,765\) b) \(11\,111\) c) \(77\,777\)

- Bearbeite die drei vorgegebenen Merkmale getrennt voneinander. - Lies für Teil b) bei jeder Zahl dieselbe Stellenwertposition ab. - Für Teil c) musst du bei jeder Zahl alle Ziffern addieren und die Ergebnisse vergleichen.

1. Jede Zahl hat vier Stellen. Alle fünf Zahlen sind daher vierstellig. 2. Bei jeder Zahl steht an der Hunderterstelle die Ziffer \(4\). 3. Die Quersummen sind \(2 + 4 + 3 + 3 = 12\), \(5 + 4 + 1 + 2 = 12\), \(1 + 4 + 6 + 1 = 12\), \(8 + 4 + 0 + 0 = 12\) und \(3 + 4 + 4 + 1 = 12\).

a) Alle Zahlen sind vierstellig. b) Die Hunderterziffer ist immer \(4\). c) Die Quersumme ist immer \(12\).

- Prüfe die drei angegebenen Bedingungen nacheinander, statt nach einer eigenen „Außenseiter“-Eigenschaft zu suchen. - Die Stellenanzahl und die Zehnerziffer lassen sich direkt ablesen. - Berechne anschließend nur noch die Quersummen und vergleiche sie mit der vorgegebenen Bedingung.

1. Alle fünf Zahlen sind dreistellig und haben an der Zehnerstelle die Ziffer \(5\). 2. Für die ersten vier Zahlen gilt \(1 + 5 + 6 = 12\), \(4 + 5 + 3 = 12\), \(7 + 5 + 0 = 12\) und \(2 + 5 + 5 = 12\). 3. Bei \(355\) ist die Quersumme \(3 + 5 + 5 = 13\). Damit verletzt nur \(355\) die dritte Bedingung.

\(355\); die Zahl verletzt die Bedingung „Quersumme \(12\)“.

- Du hast einen festen Vorrat an Ziffern. Sortiere sie nach ihrer Größe. - Was passiert mit dem Wert der Zahl, wenn du eine kleine Ziffer wie die Null möglichst weit nach vorne schreibst? - Beachte, dass die Zahl siebenstellig sein muss. Was bedeutet das für die erste Ziffer?

1. Die Zahl besteht aus sieben Stellen. Zur Verfügung stehen die Ziffern \(3, 3, 3, 3, 0, 0, 0\). 2. Für die größte Zahl stehen die Dreien auf den höchsten Stellenwerten und die Nullen hinten. Ergebnis: \(3\,333\,000\). 3. Für die kleinste Zahl darf die erste Stelle nicht \(0\) sein. Deshalb steht dort eine \(3\); danach folgen die drei Nullen und anschließend die restlichen Dreien. Ergebnis: \(3\,000\,333\).

Die größte Zahl ist \(3\,333\,000\) und die kleinste Zahl ist \(3\,000\,333\).

- Überlege zuerst, wie viele Ziffern eine \(12\)-stellige Zahl hat und wie viele verschiedene Ziffern es überhaupt gibt. - Wenn jede Ziffer mindestens einmal vorkommen muss, welche Summe ergibt sich allein aus diesen zehn Ziffern? - Wie viele Plätze in der Zahl sind dann noch „frei“ und mit welchen Ziffern solltest du sie füllen, um das Ergebnis zu verändern?

1. Da jede der \(10\) Ziffern (\(0\) bis \(9\)) mindestens einmal vorkommen muss, sind \(10\) Stellen der \(12\)-stelligen Zahl bereits festgelegt. Die Summe dieser \(10\) Ziffern ist \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). 2. Für die verbleibenden \(12 - 10 = 2\) Stellen können beliebige Ziffern gewählt werden, um die Quersumme zu beeinflussen. 3. Um die maximale Quersumme zu erhalten, wählt man für die zwei freien Stellen die größtmögliche Ziffer \(9\). Die Quersumme beträgt dann \(45 + 9 + 9 = 63\). 4. Um die minimale Quersumme zu erhalten, wählt man für die zwei freien Stellen die kleinstmögliche Ziffer \(0\). Die Quersumme beträgt dann \(45 + 0 + 0 = 45\).

Die maximale Quersumme beträgt \(63\). Die minimale Quersumme beträgt \(45\).

- Überlege zuerst, was der Begriff Quersumme bedeutet. - Wie muss eine Zahl beginnen, damit sie möglichst klein ist? - Woran erkennst du eine ungerade Zahl? - Notiere dir beide Zahlen einzeln, bevor du sie addierst.

1. Die kleinste vierstellige Zahl mit Quersumme \(5\) beginnt mit \(1\) und enthält danach möglichst viele Nullen. Die letzte Ziffer liefert die restliche Quersumme: \(1 + 0 + 0 + 4 = 5\). Die Zahl ist \(1004\). 2. Die größte dreistellige ungerade Zahl ist \(999\). 3. Die Summe ist \(1004 + 999 = 2003\).

\(2003\)

- Welche Hunderterziffern sind zwischen den beiden Grenzen möglich? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zehnerziffer? - Die Einerziffer ist bereits festgelegt. Wie kombinierst du die unabhängigen Möglichkeiten?

1. Zwischen \(300\) und \(600\) liegen hier die Zahlen von \(301\) bis \(599\). 2. Die Hunderterziffer kann \(3, 4\) oder \(5\) sein. Das sind \(3\) Möglichkeiten. 3. Die Zehnerziffer kann jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) sein. Das sind \(10\) Möglichkeiten. 4. Die Einerziffer ist fest \(5\). 5. Insgesamt gibt es \(3 \cdot 10 \cdot 1 = 30\) passende Zahlen.

\(30\)

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Stellenwerttafel ab. - Vergleiche den Wert eines einzelnen Plättchens an den verschiedenen Stellen. - Suche zwei Stellenwerte, deren Differenz genau der geforderten Zunahme entspricht.

1. Aus der Stellenwerttafel liest man \(24\,167\) ab. 2. Gesucht ist eine Verschiebung, deren Wertänderung \(9000\) beträgt. Ein Plättchen ist an der Tausenderstelle \(1000\) und an der Zehntausenderstelle \(10\,000\) wert. 3. Die Verschiebung von T nach ZT verändert den Wert daher um \(10\,000 - 1000 = 9000\). 4. Die neue Zahl ist \(24\,167 + 9000 = 33\,167\).

Ein Plättchen wird von T nach ZT verschoben. Die neue Zahl ist \(33\,167\).

- Lies die Ausgangszahl zuerst aus der Tafel ab. - Vergleiche den Wert von zwei Plättchen an der Hunderter- und an der Tausenderstelle. - Die neue Zahl muss sowohl die entfernten Hunderter als auch die hinzugefügten Tausender berücksichtigen.

1. Die dargestellte Ausgangszahl ist \(42\,517\). 2. Zwei Hunderter-Plättchen verlieren zusammen \(2 \cdot 100 = 200\) an ihrer bisherigen Stelle und erhalten in der Tausenderspalte den Wert \(2 \cdot 1000 = 2000\). 3. Die Wertänderung ist \(2000 - 200 = 1800\). 4. Die neue Zahl ist \(42\,517 + 1800 = 44\,317\).

Neue Zahl: \(44\,317\); Zunahme: \(1800\)

- Lies zuerst die Zahl aus der Stellenwerttafel ab. - Welche beiden Stellen ändern sich durch die beschriebene Bewegung? - Vergleiche den Wert eines Plättchens an der Hunderter- und an der Tausenderstelle.

1. Die dargestellte Ausgangszahl ist \(123\,456\). 2. Ein Plättchen wird von H nach T verschoben. Dadurch fällt der Wert um \(100\) und steigt zugleich um \(1000\). 3. Die Gesamtänderung ist \(1000 - 100 = 900\). 4. Die neue Zahl ist \(123\,456 + 900 = 124\,356\).

Neue Zahl: \(124\,356\); der Gesamtwert steigt um \(900\).

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Stellenwerttafel ab. - Vergleiche die Werte eines Plättchens an den verschiedenen Stellen. - Suche zwei Stellenwerte, deren Differenz genau der geforderten Zunahme entspricht, und prüfe, ob an der Ausgangsstelle ein Plättchen liegt.

1. Aus der Stellenwerttafel liest man \(111\,111\) ab. 2. Gesucht ist eine Verschiebung mit der Wertänderung \(990\). Ein Plättchen an der Tausenderstelle ist \(1000\) wert, eines an der Zehnerstelle \(10\). 3. Die Verschiebung von Z nach T verändert den Wert um \(1000 - 10 = 990\). 4. Die neue Zahl ist \(111\,111 - 10 + 1000 = 112\,101\).

Ein Plättchen wird von Z nach T verschoben. Die neue Zahl ist \(112\,101\).

- Gehe am besten schrittweise vor und beginne mit der kleinstmöglichen Hunderterstelle. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zehner- und Einerstelle, wenn die erste Ziffer feststeht? - Schreibe dir die Zahlen am besten in einer Liste auf, damit du keine vergisst.

Die Zahlen werden systematisch nach der Hunderterstelle geordnet: 1. Hunderterstelle \(1\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(4\) ergeben. Dies sind \(104, 113, 122, 131, 140\) (\(5\) Zahlen). 2. Hunderterstelle \(2\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(3\) ergeben. Dies sind \(203, 212, 221, 230\) (\(4\) Zahlen). 3. Hunderterstelle \(3\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(2\) ergeben. Dies sind \(302, 311, 320\) (\(3\) Zahlen). 4. Hunderterstelle \(4\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(1\) ergeben. Dies sind \(401, 410\) (\(2\) Zahlen). 5. Hunderterstelle \(5\): Die restlichen zwei Stellen müssen die Summe \(0\) ergeben. Dies ist nur die \(500\) (\(1\) Zahl). 6. Gesamtzahl: \(5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15\).

Es gibt insgesamt \(15\) solche Zahlen.

- Welche Ziffern außer der \(3\) helfen dir dabei, eine besonders große oder eine besonders kleine Zahl zu bilden? - Denke daran, dass an der höchsten Stelle keine Null stehen darf. - Prüfe bei jedem Vergleichskandidaten, ob die Ziffer \(3\) wirklich genau fünfmal vorkommt.

1. Größte Zahl: Drei Stellen dürfen andere Ziffern als \(3\) enthalten. Für den größtmöglichen Wert wählt man dort jeweils \(9\) und setzt diese Ziffern an die höchsten Stellen. So entsteht \(99\,933\,333\). 2. Kleinste Zahl: Für die drei anderen Ziffern sind \(1\), \(0\) und \(0\) am günstigsten. Die erste Stelle darf nicht \(0\) sein. Beginnt die Zahl mit \(1\), können danach die beiden Nullen stehen: \(10\,033\,333\). Beginnt sie stattdessen mit \(3\), ist die kleinste zulässige Form \(30\,013\,333\). Da \(10\,033\,333 < 30\,013\,333\), ist \(10\,033\,333\) die kleinste Zahl.

Größte Zahl: \(99\,933\,333\); kleinste Zahl: \(10\,033\,333\).

- Wie viele Stellen bleiben für Ziffern ungleich Null frei, wenn die Anzahl der Nullen feststeht? - Wo müssen die Nullen stehen, damit eine Zahl besonders groß wird? Wo müssen sie stehen, damit sie besonders klein wird? - Welche Ziffern ungleich Null sind am besten geeignet, um den Wert einer Zahl zu minimieren?

1. Teilaufgabe a): Bei sieben Stellen und fünf Nullen bleiben zwei Stellen für Ziffern von \(1\) bis \(9\). Die größte Zahl entsteht durch zwei Neunen an den höchsten Stellen: \(9\,900\,000\). Die kleinste Zahl entsteht durch eine \(1\) an der Millionenstelle, gefolgt von fünf Nullen und einer \(1\) an der Einerstelle: \(1\,000\,001\). 2. Teilaufgabe b): Hier bleiben drei Stellen für Ziffern von \(1\) bis \(9\). Die größte Zahl nutzt drei Neunen an den höchsten Stellen: \(9\,990\,000\). Die kleinste Zahl nutzt drei Einsen an der Millionen-, Zehner- und Einerstelle, dazwischen liegen die vier Nullen: \(1\,000\,011\).

a) Größte: \(9\,900\,000\), kleinste: \(1\,000\,001\) b) Größte: \(9\,990\,000\), kleinste: \(1\,000\,011\)

- Wie viele verschiedene Ziffern braucht man für eine \(5\)-stellige Zahl, wenn eine doppelt und die anderen einfach vorkommen? - Welche Ziffern solltest du wählen, um eine möglichst kleine Summe zu erhalten? - Welche Ziffer sollte man doppelt nehmen, um das Ergebnis klein oder groß zu machen? - Denk daran, dass eine Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf.

1. Eine \(5\)-stellige Zahl mit genau einer doppelten Ziffer benötigt insgesamt vier verschiedene Ziffern (eine doppelt, drei einfach). 2. Für die kleinste Quersumme wählt man die vier kleinsten verfügbaren Ziffern: \(0, 1, 2, 3\). Um die Summe minimal zu halten, muss die kleinste dieser Ziffern (\(0\)) verdoppelt werden. Die Ziffern sind also \(0, 0, 1, 2, 3\). Die Quersumme ist \(1 + 0 + 0 + 2 + 3 = 6\). Eine mögliche Zahl ist \(10\,023\). 3. Für die größte Quersumme wählt man die vier größten Ziffern: \(9, 8, 7, 6\). Um die Summe maximal zu halten, muss die größte Ziffer (\(9\)) verdoppelt werden. Die Ziffern sind \(9, 9, 8, 7, 6\). Die Quersumme ist \(9 + 9 + 8 + 7 + 6 = 39\). Eine mögliche Zahl ist \(99\,876\).

a) Die kleinste Quersumme ist \(6\) (Beispiel: \(10\,023\)). b) Die größte Quersumme ist \(39\) (Beispiel: \(99\,876\)).

- Die erste Ziffer einer vierstelligen Zahl darf niemals eine Null sein. - Notiere dir alle Gruppen von vier Ziffern, die zusammen 4 ergeben (zum Beispiel 2, 1, 1, 0). - Bilde aus jeder Gruppe alle möglichen Zahlen und achte darauf, keine zu vergessen. - Gehe strukturiert vor, zum Beispiel indem du mit der kleinstmöglichen Zahl beginnst oder nach der ersten Ziffer sortierst.

1. Zerlegung der Zahl \(4\) in vier Summanden (Ziffern \(a, b, c, d\)), wobei die erste Ziffer \(a \geq 1\) sein muss. 2. Fallunterscheidung nach den verwendeten Ziffernkombinationen: - Kombination \(\{4, 0, 0, 0\}\): Nur \(4000\) ist möglich. - Kombination \(\{3, 1, 0, 0\}\): Mögliche Zahlen sind \(3100, 3010, 3001, 1300, 1030, 1003\). - Kombination \(\{2, 2, 0, 0\}\): Mögliche Zahlen sind \(2200, 2020, 2002\). - Kombination \(\{2, 1, 1, 0\}\): Mögliche Zahlen sind \(2110, 2101, 2011, 1210, 1201, 1021, 1120, 1102, 1012\). - Kombination \(\{1, 1, 1, 1\}\): Nur \(1111\) ist möglich. 3. Abzählen der gefundenen Zahlen: \(1 + 6 + 3 + 9 + 1 = 20\).

Es gibt insgesamt \(20\) solche Zahlen: \(1003, 1012, 1021, 1030, 1102, 1111, 1120, 1201, 1210, 1300, 2002, 2011, 2020, 2101, 2110, 2200, 3001, 3010, 3100, 4000\).

- Wie viele Möglichkeiten hast du für die erste Stelle, wie viele dann noch für die zweite? - Versuche die Zahlen systematisch aufzuschreiben, zum Beispiel indem du mit der kleinsten Tausenderziffer beginnst. - Wie viele Zahlen beginnen jeweils mit der gleichen Ziffer?

1. Da es vier verschiedene Ziffern gibt, gibt es \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) Möglichkeiten. 2. Mit der Startziffer \(1\): \(1357, 1375, 1537, 1573, 1735, 1753\). Mit \(3\): \(3157, 3175, 3517, 3571, 3715, 3751\). Mit \(5\): \(5137, 5173, 5317, 5371, 5713, 5731\). Mit \(7\): \(7135, 7153, 7315, 7351, 7513, 7531\). 3. Die ersten beiden Blöcke enthalten zusammen \(6 + 6 = 12\) Zahlen. Im nächsten Block steht \(5137\) an Position \(13\) und \(5173\) an Position \(14\).

a) \(24\) b) \(1357, 1375, 1537, 1573, 1735, 1753, 3157, 3175, 3517, 3571, 3715, 3751, 5137, 5173, 5317, 5371, 5713, 5731, 7135, 7153, 7315, 7351, 7513, 7531\) c) Position \(14\)

- Denk daran, dass die Null an der ersten Stelle keine vierstellige Zahl ergibt. - Teile die Zahlen in Gruppen ein, je nachdem, welche Ziffer ganz vorne steht. - Wie viele Zahlen gehören zu jeder Gruppe?

1. Für die Tausenderstelle gibt es drei Möglichkeiten: \(4, 5\) oder \(9\). Für die restlichen Stellen gibt es jeweils \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten. Insgesamt sind es \(3 \cdot 6 = 18\) Zahlen. 2. Die ersten sechs Zahlen beginnen mit \(4\): \(4059, 4095, 4509, 4590, 4905, 4950\). 3. Danach folgen \(5049, 5094, 5409, 5490\). Damit steht \(5490\) an Position \(10\).

a) \(18\) b) \(5490\)

- Welche Ziffern müssen an der Tausenderstelle stehen, damit die Zahl größer als \(6000\) ist? - Wenn du die Zahlen absteigend sortierst, beginnst du mit der größten Tausenderziffer und der jeweils größten verfügbaren Ziffer für die folgenden Stellen.

1. Insgesamt gibt es \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) verschiedene Anordnungen. 2. Größer als \(6000\) sind genau die Zahlen mit \(6\) oder \(8\) an der Tausenderstelle. Pro Startziffer gibt es \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Anordnungen, also insgesamt \(12\). 3. Absteigend geordnet sind sie \(8642, 8624, 8462, 8426, 8264, 8246, 6842, 6824, 6482, 6428, 6284, 6248\).

a) \(24\) b) \(12\) c) \(8642, 8624, 8462, 8426, 8264, 8246, 6842, 6824, 6482, 6428, 6284, 6248\)

- Bestimme zuerst den Abstand zwischen der kleineren und der größeren Zahl. - Gehe vom kleineren Wert über seinen Nachfolger und den Vorgänger der größeren Zahl bis zur größeren Zahl. - Wie kannst du eine bekannte Summe auf zwei Zahlen verteilen, wenn ihr Unterschied bekannt ist?

1. Vom kleineren Wert bis zu seinem Nachfolger ist es \(1\) Schritt. Dieser Nachfolger liegt \(5\) unter dem Vorgänger der größeren Zahl; bis dorthin sind es weitere \(5\) Schritte. Vom Vorgänger bis zur größeren Zahl ist es noch \(1\) Schritt. Die größere Zahl ist daher insgesamt \(1 + 5 + 1 = 7\) größer als die kleinere. 2. Von der Summe \(27\) wird dieser Unterschied abgezogen: \(27 - 7 = 20\). 3. Die verbleibenden \(20\) werden gleichmäßig auf beide Zahlen verteilt: \(20 : 2 = 10\). Das ist die kleinere Zahl. 4. Die größere Zahl ist \(10 + 7 = 17\). 5. Kontrolle: \(10 + 17 = 27\), und der Nachfolger \(11\) ist um \(5\) kleiner als der Vorgänger \(16\).

Die beiden Zahlen sind \(10\) und \(17\).

- Wie groß ist der Abstand zwischen zwei Zahlen, wenn der Nachfolger der ersten zugleich der Vorgänger der zweiten ist? - An welcher Stelle wechselt eine Zahl von zweistellig zu dreistellig? - Prüfe die zweistelligen Zahlen unmittelbar vor diesem Übergang.

1. Liegen Nachfolger der kleineren Zahl und Vorgänger der größeren Zahl auf derselben Zahl, dann unterscheiden sich die beiden gesuchten Zahlen um \(2\). 2. Eine zweistellige Zahl ist höchstens \(99\), eine dreistellige Zahl ist mindestens \(100\). 3. Nur die zweistelligen Zahlen direkt vor diesem Stellenübergang kommen infrage: - \(98 + 2 = 100\), also \((98, 100)\). - \(99 + 2 = 101\), also \((99, 101)\). 4. Für kleinere zweistellige Zahlen wäre die um \(2\) größere Zahl noch zweistellig; größere zweistellige Zahlen gibt es nicht.

Die möglichen Zahlenpaare sind \((98, 100)\) und \((99, 101)\).

- Gehe beim Aufschreiben der Zahlen schrittweise vor. Beginne zum Beispiel mit der \(6\) an der vordersten Stelle und rücke die zweite \(6\) immer eine Stelle nach rechts. - Wie viele Stellen hat eine fünfstellige Zahl? - Achte beim Vergleichen der Zahlen immer zuerst auf die vorderste Stelle (den höchsten Stellenwert).

1. Systematisches Auflisten aller Kombinationen der Ziffern \(6, 6, 1, 1, 1\) führt zu 10 möglichen Zahlen: \(66\,111\), \(61\,611\), \(61\,161\), \(61\,116\), \(16\,611\), \(16\,161\), \(16\,116\), \(11\,661\), \(11\,616\) und \(11\,166\). 2. Vergleich der Stellenwerte (Zehntausender, Tausender, Hunderter, Zehner, Einer) zur Bestimmung der Rangfolge. 3. Erstellung der absteigenden Kette: \(66\,111 > 61\,611 > 61\,161 > 61\,116 > 16\,611 > 16\,161 > 16\,116 > 11\,661 > 11\,616 > 11\,166\).

a) \(66\,111\), \(61\,611\), \(61\,161\), \(61\,116\), \(16\,611\), \(16\,161\), \(16\,116\), \(11\,661\), \(11\,616\), \(11\,166\) b) \(66\,111 > 61\,611 > 61\,161 > 61\,116 > 16\,611 > 16\,161 > 16\,116 > 11\,661 > 11\,616 > 11\,166\)

- An welcher Stelle muss eine große Ziffer stehen, damit die gesamte Zahl möglichst groß wird? - Was musst du tun, um den Unterschied zwischen zwei Zahlen zu finden? - Schreibe die Zahlen untereinander, um die Differenz leichter berechnen zu können.

1. Um die kleinste Zahl zu erhalten, stehen die kleineren Ziffern \(4\) auf den höchsten Stellenwerten: \(44\,477\). 2. Um die größte Zahl zu erhalten, stehen die größeren Ziffern \(7\) auf den höchsten Stellenwerten: \(77\,444\). 3. Die Differenz ist \(77\,444 - 44\,477 = 32\,967\).

a) \(44\,477\) b) \(77\,444\) c) \(32\,967\)

- Gehe die Hinweise Schritt für Schritt durch und notiere dir die Ziffer für jede Stelle. - Erinnere dich daran, welche Ziffer für „keine“ an einer bestimmten Stelle steht. - Was bedeutet „halb so groß“ mathematisch?

1. Zehntausenderstelle (ZT) festlegen: \(4\). 2. Tausenderstelle (T) berechnen: \(4 + 3 = 7\). 3. Hunderter (H) und Zehner (Z) festlegen: Beide sind \(0\). 4. Einerstelle (E) berechnen: \(4 : 2 = 2\). 5. Zusammensetzen der Zahl: \(47\,002\). 6. Kurzschreibweise bilden: \(4\,\text{ZT}\,7\,\text{T}\,2\,\text{E}\).

Ziffernschreibweise: \(47\,002\); Kurzschreibweise: \(4\,\text{ZT}\,7\,\text{T}\,2\,\text{E}\)

- Was versteht man unter der Quersumme einer Zahl? - Wenn eine Zahl klein sein soll, welche Ziffer sollte dann an der Tausenderstelle stehen? - Probiere für Teilaufgabe c) aus, was die kleinstmögliche Quersumme einer vierstelligen Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern ist.

1. Kleinste vierstellige Zahl mit Quersumme \(8\): Die Tausenderstelle muss so klein wie möglich sein (\(1\)). Um die Zahl klein zu halten, sollten die Hunderter- und Zehnerstellen ebenfalls minimal sein (\(0\)). Die restliche Summe (\(8 - 1 - 0 - 0 = 7\)) entfällt auf die Einerstelle. Ergebnis: \(1007\). 2. Größte vierstellige Zahl mit Quersumme \(8\) und verschiedenen Ziffern: Wir suchen vier verschiedene Ziffern, die \(8\) ergeben. Die kleinstmöglichen verschiedenen Ziffern sind \(0, 1, 2, 3\) (Summe \(6\)). Für die Summe \(8\) kommen die Mengen \(\{0, 1, 2, 5\}\) oder \(\{0, 1, 3, 4\}\) infrage. Um die größte Zahl zu bilden, wählen wir die Menge mit der größten Einzelziffer (\(5\)) und ordnen sie absteigend an: \(5210\). 3. Die vier kleinsten verschiedenen Ziffern sind \(0, 1, 2\) und \(3\). Ihre Summe beträgt \(0 + 1 + 2 + 3 = 6\). Da jede andere Kombination von vier verschiedenen Ziffern eine noch größere Summe ergibt, ist es unmöglich, mit vier verschiedenen Ziffern eine Quersumme von nur \(5\) zu erreichen.

a) \(1007\) b) \(5210\) c) Die kleinsten vier verschiedenen Ziffern (\(0, 1, 2, 3\)) haben bereits die Summe \(6\). Eine Quersumme von \(5\) ist daher mit vier verschiedenen Ziffern nicht möglich.

- Welche Ziffern sind gerade und welche sind ungerade? - Darf eine vierstellige Zahl mit der Ziffer \(0\) beginnen? - Überlege dir bei Teil c), welche Ziffern für die Zehnerstelle überhaupt infrage kommen, damit das Vierfache davon noch eine einstellige Ziffer ist.

1. Ungerade Ziffern sind \(1, 3, 5, 7, 9\). Für die größte Zahl wird an jede Stelle die größte verfügbare ungerade Ziffer gesetzt. Ergebnis: \(9999\). 2. Gerade Ziffern sind \(0, 2, 4, 6, 8\). Die kleinste vierstellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen, also ist die kleinste Tausenderziffer \(2\). Um die Zahl klein zu halten, setzen wir die kleinsten verbleibenden Ziffern auf die nächsten Stellen: \(0\) auf die Hunderterstelle, \(4\) auf die Zehnerstelle und \(6\) auf die Einerstelle. Ergebnis: \(2046\). 3. Die Zahl hat die Form \(T0Z0\). Es gilt \(T = 4Z\). Mögliche Paare für \((T, Z)\) sind \((4, 1)\) und \((8, 2)\). Da die größte Zahl gesucht ist, wählen wir \(T=8\) und \(Z=2\). Ergebnis: \(8020\).

a) \(9999\) b) \(2046\) c) \(8020\)

- Bestimme zuerst die ersten beiden Ziffern der Zahl mithilfe der ersten beiden Hinweise. - Wie viel fehlt noch von der Summe der ersten beiden Ziffern bis zur Quersumme \(10\)? - Welche Ziffernkombinationen ergeben an der Zehner- und Einerstelle diese restliche Summe? - Denk daran, dass eine Zahl nur dann gerade ist, wenn sie auf eine bestimmte Ziffer endet.

1. Ziffern für Tausender (\(T\)) und Hunderter (\(H\)) festlegen: \(T = 2\), \(H = 2 \cdot 2 = 4\). Die Zahl beginnt also mit \(24\ldots\). 2. Restsumme für die Quersumme ermitteln: \(T + H = 2 + 4 = 6\). Da die Gesamtquersumme \(10\) sein soll, müssen die Zehnerziffer (\(Z\)) und die Einerziffer (\(E\)) zusammen \(10 - 6 = 4\) ergeben. 3. Mögliche Paare \((Z, E)\) finden, deren Summe \(4\) ist: \((0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)\). 4. Bedingung „gerade Zahl“ prüfen: Die Einerziffer \(E\) muss \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) sein. Dies trifft auf die Paare \((0, 4), (2, 2)\) und \((4, 0)\) zu. 5. Zahlen zusammensetzen: \(2404, 2422, 2440\).

Die gesuchten Zahlen sind \(2404\), \(2422\) und \(2440\).

- Gehe am besten geordnet vor, indem du mit der kleinstmöglichen Hunderterziffer beginnst. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Zehner- und Einerstelle, wenn die Hunderterstelle feststeht? - Denke daran, dass die Hunderterstelle bei einer dreistelligen Zahl nicht \(0\) sein darf.

1. Bestimmung der Zahlen mit Quersumme \(3\): - Hunderterstelle \(1\): \(102, 111, 120\) - Hunderterstelle \(2\): \(201, 210\) - Hunderterstelle \(3\): \(300\) Das sind insgesamt \(6\) Zahlen. 2. Bestimmung der Zahlen mit Quersumme \(4\): - Hunderterstelle \(1\): \(103, 112, 121, 130\) - Hunderterstelle \(2\): \(202, 211, 220\) - Hunderterstelle \(3\): \(301, 310\) - Hunderterstelle \(4\): \(400\) Das sind insgesamt \(10\) Zahlen. 3. Vergleich der Anzahlen: Da \(10 > 6\) ist, gibt es mehr Zahlen mit der Quersumme \(4\).

Es gibt mehr dreistellige Zahlen mit der Quersumme \(4\) (insgesamt \(10\) Stück) als mit der Quersumme \(3\) (insgesamt \(6\) Stück).

- Welche Ziffernpaare ergeben zusammen die restliche Summe, wenn du die Hunderterziffer bereits kennst? - Streiche nacheinander alle Möglichkeiten durch, die den Bedingungen widersprechen. - Achte genau auf den Unterschied zwischen der Zehner- und der Einerstelle.

1. Festlegung der Hunderterstelle: Die Zahl beginnt mit der Ziffer \(4\). 2. Bestimmung der restlichen Summe: Da die Quersumme \(10\) ist, müssen die Zehner- und die Einerziffer zusammen \(10 - 4 = 6\) ergeben. 3. Mögliche Ziffernpaare \((Zehner, Einer)\) für die Summe \(6\): \((0,6), (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)\). 4. Ausschluss durch Bedingungen: „Verschiedene Ziffern“ schließt \((2,4), (4,2)\) (wegen der \(4\) im Hunderter) und \((3,3)\) aus. „Gerade Zahl“ bedeutet, die Einerziffer muss \(0, 2, 4, 6\) oder \(8\) sein. Es bleiben \((0,6)\) und \((6,0)\). 5. Letzte Bedingung prüfen: Da die Einerziffer kleiner als die Zehnerziffer sein muss, ist nur das Paar \((6,0)\) korrekt, da \(0 < 6\). Die Zahl lautet somit \(460\).

Die gesuchte Zahl ist \(460\).

- Wie viele Ziffern der Zahl sind nicht Null? - Finde zuerst alle Paare von Ziffern, deren Summe \(12\) ergibt. - Wie musst du diese Ziffern und die Nullen anordnen, damit die Zahl so groß wie möglich wird? - Wie verhinderst du bei der kleinsten Zahl, dass sie mit einer Null beginnt?

1. Eine sechsstellige Zahl mit vier Nullen hat genau zwei Ziffern ungleich Null. Deren Summe muss \(12\) ergeben. Ohne Beachtung der Reihenfolge sind die möglichen Paare \((3, 9), (4, 8), (5, 7)\) und \((6, 6)\). 2. Für die kleinste Zahl steht die kleinste mögliche erste Ziffer \(3\) vorne. Danach folgen die vier Nullen; die \(9\) steht ganz hinten. Ergebnis: \(300\,009\). 3. Für die größte Zahl steht \(9\) vorne und \(3\) direkt dahinter. Die Nullen folgen. Ergebnis: \(930\,000\).

Die größte Zahl ist \(930\,000\) und die kleinste Zahl ist \(300\,009\).

- Wie groß ist die Summe, wenn du alle Ziffern von \(0\) bis \(9\) addierst? - Was passiert mit dieser Summe, wenn du eine kleine Ziffer gegen eine große Ziffer austauschst? - Was passiert, wenn du eine große Ziffer weglässt und stattdessen eine kleine Ziffer doppelt nimmst?

1. Die Summe aller zehn verschiedenen Ziffern ist \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\). Daher hat jede solche erste Zahl die Quersumme \(45\). 2. Wird eine Ziffer \(x\) entfernt und eine Ziffer \(y\) zusätzlich verwendet, lautet die neue Quersumme \(45 - x + y\). 3. Minimal wird sie für \(x = 9\) und \(y = 0\): \(45 - 9 + 0 = 36\). 4. Maximal wird sie für \(x = 0\) und \(y = 9\): \(45 - 0 + 9 = 54\).

Die Quersumme der ersten Zahl ist \(45\). Die kleinstmögliche Quersumme der zweiten Zahl ist \(36\), die größtmögliche ist \(54\).

- Überlege dir zuerst, welche Ziffer an der Tausenderstelle stehen muss, damit die Zahl möglichst klein ist. - Wie viele verschiedene Zahlen beginnen mit der Ziffer \(2\)? - Gehe systematisch vor, indem du die Zahlen nach ihrer Größe sortierst.

1. Mit der kleinsten Tausenderziffer \(2\) entstehen \(2259, 2295, 2529, 2592, 2925, 2952\). Das sind \(6\) Zahlen. 2. Danach folgen die Zahlen mit Tausenderziffer \(5\). Die kleinste davon ist \(5229\) an Position \(7\); danach kommt \(5292\) an Position \(8\).

An der \(8.\) Stelle.

- Da die Liste von groß nach klein sortiert ist, solltest du mit der größten Ziffer an der Tausenderstelle beginnen. - Wie viele Zahlen kannst du bilden, die mit einer \(7\) beginnen? - Wenn du die Gruppen von Zahlen (z. B. alle mit \(7\) am Anfang) zählst, kommst du schneller ans Ziel.

1. Ermittlung aller Zahlen mit der größten Tausenderziffer \(7\): \(7741, 7714, 7471, 7417, 7174, 7147\) (Positionen \(1\) bis \(6\)). 2. Ermittlung der Zahlen mit der Tausenderziffer \(4\) in absteigender Folge: \(4771, 4717, 4177\) (Positionen \(7\) bis \(9\)). 3. Bestimmung der größten Zahl mit der Tausenderziffer \(1\): Die Ziffern \(7, 7, 4\) werden absteigend hinter der \(1\) angeordnet, was \(1774\) ergibt. Dies ist die \(10.\) Zahl der Liste.

\(1774\)

- Welche Ziffern an der Tausenderstelle machen eine Zahl automatisch größer als \(6500\)? - Bei welcher Tausenderziffer musst du genauer hinschauen und die Hunderterstelle prüfen? - Versuche, alle möglichen Zahlen für eine Tausenderziffer aufzuschreiben, um keine zu vergessen.

1. Untersuchung der Zahlen mit Tausenderziffer \(8\): Die Permutationen sind \(8366, 8636, 8663\). Alle \(3\) Zahlen sind größer als \(6500\). 2. Untersuchung der Zahlen mit Tausenderziffer \(6\): Die möglichen Zahlen sind \(6368, 6386, 6638, 6683, 6836, 6863\). Davon haben \(4\) Zahlen eine Hunderterstelle größer als \(5\) (\(6638, 6683, 6836, 6863\)). 3. Zahlen mit Tausenderziffer \(3\) sind grundsätzlich kleiner als \(6500\). 4. Gesamtzahl berechnen: \(3 + 4 = 7\).

\(7\)

- Welche Ziffer darf bei einer mehrstelligen Zahl nicht ganz vorne stehen? - Für die kleinste Zahl sollten kleine Ziffern möglichst weit links stehen, ohne die Bedingungen zu verletzen. - Bei Teil b) ist die Hunderterstelle besonders wichtig für die Größe der Zahl. - Welche geraden Einerziffern lassen die Quersumme \(15\) zu?

1. Für Teil a) darf die Zahl nicht mit \(0\) beginnen. Die kleinste mögliche erste Ziffer ist \(3\). Danach setzt man möglichst viele Nullen und erfüllt die Bedingung mit der \(7\) an der letzten Stelle. So entsteht \(30\,007\). 2. Für Teil b) soll die Hunderterstelle möglichst groß sein, also zunächst \(9\). Dann müssen Zehner- und Einerziffer zusammen \(6\) ergeben. Damit die Zahl möglichst groß ist und die Einerziffer gerade bleibt, wählt man \(6\) als Zehnerziffer und \(0\) als Einerziffer. So entsteht \(960\).

a) \(30\,007\) b) \(960\)

- Was ist die größtmögliche Ziffer, die du an den Stellen einsetzen darfst, für die es keine Vorgabe gibt? - Darf eine Zahl mit der Ziffer \(0\) beginnen? - Achte darauf, dass bei der zweiten Zahl keine Ziffer doppelt vorkommen darf. - „Differenz“ bedeutet, dass du eine Subtraktion durchführen musst.

1. Für die größte fünfstellige Zahl mit einer \(7\) an der Hunderterstelle werden alle anderen Stellen mit \(9\) besetzt. Die Zahl ist \(99\,799\). 2. Die kleinste fünfstellige Zahl mit verschiedenen Ziffern beginnt mit \(1\), danach folgt \(0\), dann \(2, 3, 4\). Die Zahl ist \(10\,234\). 3. Die Differenz ist \(99\,799 - 10\,234 = 89\,565\).

\(89\,565\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, die erste Ziffer zu wählen? - Versuche, die Zahlen systematisch aufzuschreiben, zum Beispiel beginnend mit der kleinsten Hunderterziffer. - Schau dir die Spalten Einer, Zehner und Hunderter genau an, wenn du die Zahlen untereinander schreibst. - Gibt es ein Muster, wie oft eine Ziffer an einer bestimmten Stelle steht?

1. Es entstehen \(123, 132, 213, 231, 312, 321\). 2. Ihre Summe ist \(123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 = 1332\). 3. Jede der Ziffern \(1, 2, 3\) erscheint genau zweimal an jeder Stelle. 4. Die Summe der drei Ziffern ist \(1 + 2 + 3 = 6\). Deshalb tragen die Einer \(2 \cdot 6 = 12\), die Zehner \(12 \cdot 10 = 120\) und die Hunderter \(12 \cdot 100 = 1200\) zur Gesamtsumme bei. Also \(1200 + 120 + 12 = 1332\).

a) \(123, 132, 213, 231, 312, 321\) b) \(1332\) c) Jede Ziffer kommt an jeder Stelle genau zweimal vor. Daher gilt \(2 \cdot (1 + 2 + 3) \cdot (100 + 10 + 1) = 1332\).

- Vergleiche die Summe der drei Ziffern von Lukas mit der Summe der drei Ziffern von Sophie. - Überlege dir, wie oft jede Ziffer in der Hunderter-, Zehner- und Einerstelle vorkommt, wenn man alle Kombinationen bildet. - Hängt das Endergebnis von der Reihenfolge der Ziffern ab oder nur von ihrer Gesamtsumme?

1. Lukas' Ziffernsumme ist \(1 + 4 + 6 = 11\). Sophies Ziffernsumme ist \(2 + 3 + 6 = 11\). 2. In allen Permutationen erscheint jede Ausgangsziffer gleich oft an jeder Stelle. Weil die Ziffernsummen gleich sind, müssen auch die Gesamtsummen gleich sein. 3. Für Lukas entstehen \(146, 164, 416, 461, 614, 641\). Die Summe ist \(11 \cdot 222 = 2442\). 4. Für Sophie entstehen \(236, 263, 326, 362, 623, 632\). Auch hier ist die Summe \(11 \cdot 222 = 2442\). 5. Beide erhalten daher die gleiche Summe.

Beide erhalten die gleiche Summe \(2442\). Bei beiden ist die Summe der Ausgangsziffern \(11\), und jede Ziffer kommt in allen Permutationen gleich oft an jeder Stelle vor.

- Überlege dir, welchen Einfluss eine Ziffer auf den Gesamtwert der Zahl hat, wenn sie an der Hunderter- statt an der Einerstelle steht. - Wie musst du die Ziffern verteilen, damit das Ergebnis einer Plusaufgabe besonders groß oder besonders klein wird? - Macht es für das Endergebnis der Summe einen Unterschied, ob du \(850 + 740\) oder \(840 + 750\) rechnest?

1. Zur Maximierung der Summe werden die größten verfügbaren Ziffern den höchsten Stellenwerten zugewiesen: Die Hunderterstellen erhalten \(8\) und \(7\), die Zehnerstellen \(5\) und \(4\) und die Einerstellen \(2\) und \(1\). 2. Berechnung der maximalen Summe: \(852 + 741 = 1593\). 3. Zur Minimierung der Summe werden die kleinsten verfügbaren Ziffern den höchsten Stellenwerten zugewiesen: Die Hunderterstellen erhalten \(1\) und \(2\), die Zehnerstellen \(4\) und \(5\) und die Einerstellen \(7\) und \(8\). 4. Berechnung der minimalen Summe: \(147 + 258 = 405\).

a) Die maximale Summe beträgt \(1593\). b) Die minimale Summe beträgt \(405\).

- Überlege dir, wie viele Zehner und wie viele Einer du insgesamt zur Verfügung hast. - Welche Ziffern bewirken an der Zehnerstelle die größte Veränderung? - Verteile die Ziffern systematisch auf die drei Zehnerstellen und die drei Einerstellen.

1. Zur Maximierung der Gesamtsumme müssen die größten Ziffern (\(6\), \(5\) und \(4\)) an die Zehnerstellen gesetzt werden. Die verbleibenden Ziffern (\(3\), \(2\) und \(1\)) kommen an die Einerstellen. 2. Berechnung: \((6 + 5 + 4) \cdot 10 + (3 + 2 + 1) = 150 + 6 = 156\). 3. Zur Minimierung der Gesamtsumme müssen die kleinsten Ziffern (\(1\), \(2\) und \(3\)) an die Zehnerstellen gesetzt werden. Die verbleibenden Ziffern (\(4\), \(5\) und \(6\)) kommen an die Einerstellen. 4. Berechnung: \((1 + 2 + 3) \cdot 10 + (4 + 5 + 6) = 60 + 15 = 75\).

a) Die maximale Summe ist \(156\). b) Die minimale Summe ist \(75\).

- Überlege zuerst, welche Ziffern du für die kleinste fünfstellige Zahl verwenden musst. - Beachte, dass an der ersten Stelle keine Null stehen darf, wenn die Zahl fünfstellig sein soll. - Ordne die restlichen Ziffern so an, dass die Zahl insgesamt so klein wie möglich wird.

1. Bestimmung der kleinsten fünfstelligen Zahl mit verschiedenen Ziffern: Die Ziffern müssen so klein wie möglich gewählt werden, wobei die erste Ziffer nicht \(0\) sein darf. Dies ergibt \(10\,234\). 2. Durchführung der Subtraktion: \(10\,234 - 2489 = 7745\).

Das Ergebnis lautet \(7745\).

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, drei Ziffern anzuordnen? - Schreibe dir am besten alle Kombinationen systematisch auf, damit du keine vergisst. - Addiere im letzten Schritt dein Zwischenergebnis zu der in der Aufgabe genannten Zahl.

1. Auflistung aller möglichen dreistelligen Zahlen aus den Ziffern \(4\), \(5\) und \(6\): \(456\), \(465\), \(546\), \(564\), \(645\) und \(654\). 2. Berechnung der Summe dieser sechs Zahlen: \(456 + 465 + 546 + 564 + 645 + 654 = 3330\). 3. Addition der Summe zur Zahl \(730\): \(3330 + 730 = 4060\).

Das Endergebnis ist \(4060\).

- Was ist die kleinstmögliche ungerade Zahl, die drei Stellen hat? - Welche Ziffern musst du wählen, um eine möglichst große vierstellige Zahl zu erhalten, wenn keine Ziffer doppelt vorkommen darf? - Berechne zuerst den Wert der Summe, bevor du ihn von der großen Zahl abziehst.

1. Bestimmung der größten vierstelligen Zahl mit verschiedenen Ziffern: Um die Zahl so groß wie möglich zu machen, werden die größten Ziffern absteigend sortiert: \(9876\). 2. Bestimmung der vier kleinsten ungeraden dreistelligen Zahlen: Dies sind \(101\), \(103\), \(105\) und \(107\). 3. Berechnung der Summe dieser vier Zahlen: \(101 + 103 + 105 + 107 = 416\). 4. Durchführung der Subtraktion: \(9876 - 416 = 9460\).

Das Ergebnis ist \(9460\).

- Überlege, welche Ziffer an der vordersten Stelle stehen kann, ohne dass dir für die restlichen Stellen zu wenige Ziffern bleiben. - Wie viele Ziffern darfst du von links überspringen, wenn am Ende noch fünf Stellen übrig sein müssen? - Die Reihenfolge der nicht gestrichenen Ziffern bleibt unverändert.

1. Für die größtmögliche Zahl ist die \(9\) an Position \(4\) die größte Ziffer, die noch genügend nachfolgende Ziffern lässt. Danach wird aus \(1, 5, 3, 8, 6\) die \(1\) gestrichen. Es entsteht \(95\,386\). 2. Für die kleinstmögliche Zahl ist die \(1\) an Position \(5\) die kleinste mögliche erste Ziffer. Damit sind bereits die vier vorherigen Ziffern gestrichen; die restlichen Ziffern bleiben erhalten. Es entsteht \(15\,386\). 3. Die Differenz ist \(95\,386 - 15\,386 = 80\,000\).

1. \(95\,386\) 2. \(15\,386\) 3. \(80\,000\)

- Welche Stelle hat bei einer zweistelligen Zahl den größeren Einfluss auf ihren Wert? - Für eine große Differenz sollten die beiden Zahlen möglichst weit auseinanderliegen. - Für eine kleine positive Differenz sollten die beiden Zahlen möglichst nahe beieinanderliegen.

1. Für die größte Differenz werden die Stellenwerte möglichst gegensätzlich besetzt: \(86 - 13 = 73\). 2. Für die kleinste positive Differenz müssen die beiden Zahlen möglichst nahe beieinanderliegen. Die optimale Anordnung ist \(61 - 58 = 3\). 3. Ein Vergleich der möglichen Anordnungen bestätigt, dass keine positive Differenz kleiner als \(3\) entsteht.

a) \(86 - 13 = 73\) b) \(61 - 58 = 3\)

- Darf die \(0\) an jeder Stelle stehen? Lies die Bedingung genau. - Für eine kleine Summe sollten kleine Ziffern an den Zehnerstellen stehen. - Betrachte für Teil b) zuerst die Zehnerstellen und prüfe danach den Einfluss der Einerstellen.

1. Für die kleinste Summe müssen die kleinsten möglichen Ziffern an den Zehnerstellen stehen. Die \(0\) darf nur an einer Einerstelle stehen. So erhält man zum Beispiel \(20 + 47 = 67\); auch \(27 + 40 = 67\) ist optimal. 2. Für eine Summe nahe \(100\) liefern die Anordnungen \(20 + 79 = 99\) und \(29 + 70 = 99\) den Abstand \(1\). Eine Summe von genau \(100\) ist mit vier verschiedenen Ziffern aus der gegebenen Menge nicht möglich.

a) \(67\), zum Beispiel \(20 + 47\) b) \(99\), zum Beispiel \(20 + 79\)

- Betrachte zuerst nur die Einerstelle des Produkts. - Welche Einerziffern des ersten Faktors können beim Multiplizieren mit \(4\) auf \(2\) enden? - Prüfe die verbleibenden Möglichkeiten anschließend mit der vollständigen Multiplikation.

1. Die letzte Ziffer des Produkts ist \(2\). Deshalb kommen für die Einerziffer des ersten Faktors nur Ziffern infrage, deren Produkt mit \(4\) auf \(2\) endet: \(3\) oder \(8\). 2. Für \(3\) gilt \(23 \cdot 14 = 322\); die geforderte Form stimmt. 3. Für \(8\) gilt \(28 \cdot 14 = 392\); die geforderte Form stimmt nicht. 4. In beide Kästchen gehört daher die Ziffer \(3\).

\(23 \cdot 14 = 322\)

- Nutze zuerst die vorgegebenen Zehner- und Einerstellen, um die möglichen Faktoren einzugrenzen. - Kann ein Faktor mit \(27\) am Ende zusammen mit einer Zahl zwischen \(20\) und \(29\) schon \(851\) erreichen? - Prüfe einen passenden Kandidaten anschließend mit der Umkehroperation.

1. Der zweite Faktor liegt zwischen \(20\) und \(29\). Mit \(27\) als erstem Faktor wäre selbst \(27 \cdot 29 = 783\) zu klein. Daher muss der erste Faktor \(37\) sein. 2. Teile \(851\) durch \(37\): \(851 : 37 = 23\). 3. \(23\) hat die verlangte Form \(2\square\). 4. Probe: \(37 \cdot 23 = 851\). Beide fehlenden Ziffern sind \(3\).

\(37 \cdot 23 = 851\)

- Überlege, wie sich der Wert einer Ziffer ändert, wenn sie von der Einer- an die Hunderterstelle oder umgekehrt wandert. - Welche zwei Ziffern können gleichzeitig den angegebenen Unterschied und die angegebene Summe haben? - Prüfe deine Zahl, indem du die beiden Ziffern wirklich vertauschst und die Differenz bildest.

1. Beim Vertauschen von Hunderter- und Einerziffer ändert sich der Wert um ein Vielfaches von \(99\). Da \(297 : 99 = 3\), muss die spätere Einerziffer um \(3\) größer sein als die Hunderterziffer der gesuchten Zahl. 2. Zwei Ziffern mit Summe \(9\) und Unterschied \(3\) sind \(3\) und \(6\). Weil die Zahl beim Vertauschen größer wird, steht zuerst \(3\) bei den Hundertern und \(6\) bei den Einern. 3. Mit Tausenderziffer \(7\) und Zehnerziffer \(0\) lautet die gesuchte Zahl \(7306\). 4. Nach dem Vertauschen entsteht \(7603\). Kontrolle: \(7603 - 7306 = 297\).

Gesuchte Zahl: \(7306\) Nach dem Vertauschen: \(7603\)

- Überlege, welche Ziffer an der höchsten Stelle stehen muss, damit die Zahl möglichst klein wird. - Beachte, dass die erste Ziffer einer Zahl nicht Null sein darf. - Gehe die Stellen von links nach rechts durch und setze jeweils die kleinstmögliche, noch nicht verwendete Ziffer ein. - Vergiss nicht die feste Vorgabe für die Zehnerstelle.

1. An der Zehntausenderstelle steht die kleinste mögliche Ziffer ungleich Null, also \(1\). 2. An der Tausenderstelle steht die kleinste noch verfügbare Ziffer \(0\). 3. An der Hunderterstelle folgt \(2\). 4. Die Zehnerstelle ist mit \(8\) vorgegeben. 5. Für die Einerstelle bleibt als kleinste noch nicht verwendete Ziffer \(3\). Die gesuchte Zahl ist \(10\,283\).

\(10\,283\)

- Beginne bei der Stelle mit dem größten Stellenwert und versuche dort die größtmögliche zulässige Ziffer zu setzen. - Berücksichtige danach gemeinsam die Bedingung für Tausender- und Hunderterziffer. - Prüfe bei jeder Wahl, ob alle fünf Ziffern verschieden bleiben.

1. Für eine möglichst große fünfstellige Zahl muss die Zehntausenderziffer so groß wie möglich sein. Die \(9\) kann dort stehen. 2. Tausender- und Hunderterziffer müssen aufeinanderfolgen, wobei die Hunderterziffer um \(1\) größer ist. Da die \(9\) bereits verwendet wird und alle Ziffern verschieden sein müssen, ist die größte mögliche Tausenderziffer \(7\); dazu gehört die Hunderterziffer \(8\). 3. Mit der vorgegebenen Zehnerziffer \(1\) und Einerziffer \(0\) entsteht \(97\,810\). 4. Eine größere Zahl müsste entweder eine größere Zehntausenderziffer als \(9\) besitzen oder bei gleicher Zehntausenderziffer eine größere zulässige Tausenderziffer als \(7\). Beides ist unmöglich.

\(97\,810\)

- Lies zuerst die Ausgangszahl aus der Stellenwerttafel ab. - Zerlege die gewünschte Verringerung in zwei Stellenwerte. - Prüfe, ob an beiden benötigten Stellen überhaupt ein Plättchen entfernt werden kann.

1. Aus der Stellenwerttafel liest man \(52\,184\) ab. 2. Die Verringerung \(1010\) setzt sich aus einem Tausender und einem Zehner zusammen: \(1000 + 10 = 1010\). 3. Deshalb entfernt man ein Plättchen bei T und eines bei Z. 4. Die neue Zahl ist \(52\,184 - 1010 = 51\,174\).

Ein Plättchen wird bei T und eines bei Z entfernt. Die neue Zahl ist \(51\,174\).

- Lies zuerst die dargestellte Ausgangszahl ab. - Welche Einerziffer braucht die fertige Zahl, damit sie ungerade ist? - Lege danach das zweite Plättchen systematisch in jede noch mögliche Spalte und prüfe, ob dadurch neue Lösungen entstehen.

1. Aus der Tafel liest man die Ausgangszahl \(2000\) ab. 2. Damit die neue Zahl ungerade ist, muss nach dem Hinzufügen genau ein Einer-Plättchen vorhanden sein. Also wird eines der beiden neuen Plättchen bei E abgelegt. 3. Das zweite Plättchen kann bei Z, H oder T liegen. Dadurch entstehen \(2011\), \(2101\) und \(3001\). 4. Werden beide neuen Plättchen bei E abgelegt, entsteht \(2002\), also keine ungerade Zahl. Damit ist die Liste vollständig.

\(2011\), \(2101\) und \(3001\)

- Prüfe systematisch mögliche Zehnerziffern und bestimme jeweils die dazugehörige Einerziffer. - Beachte gleichzeitig die Bedingung, dass alle drei Ziffern verschieden sein müssen. - Eine Behauptung über Eindeutigkeit ist erst bestätigt, wenn nur eine Möglichkeit übrig bleibt.

1. Für die Zehnerziffer kommen zunächst nur die Ziffern \(0\) bis \(4\) infrage, weil ihr Doppeltes noch eine einzelne Ziffer sein muss. 2. Bei Zehnerziffer \(0\) wäre auch die Einerziffer \(0\); damit wären nicht alle Ziffern verschieden. Für Zehnerziffer \(1\) entsteht \(412\). 3. Bei Zehnerziffer \(2\) wäre die Einerziffer \(4\) und damit gleich der Hunderterziffer. Für Zehnerziffer \(3\) entsteht \(436\). Bei Zehnerziffer \(4\) wäre die Zehnerziffer gleich der Hunderterziffer. 4. Zehnerziffern von \(5\) bis \(9\) scheiden aus, weil ihr Doppeltes keine einzelne Ziffer mehr ist. 5. Es passen also genau zwei Zahlen: \(412\) und \(436\). Die Hinweise bestimmen die Zahl nicht eindeutig.

Fatimas Behauptung ist falsch. Es passen \(412\) und \(436\).

- Überlege zuerst, welche drei verschiedenen Ziffern zusammen die Summe \(6\) ergeben können. - Denke daran, dass eine dreistellige Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf. - Vertausche bei jeder gefundenen Zifferngruppe die Stellen, um alle möglichen Zahlen zu finden. - Achte darauf, dass in deiner Liste keine Ziffer doppelt in einer Zahl vorkommt.

Zuerst werden die Ziffernkombinationen bestimmt, die die Summe \(6\) ergeben und aus drei verschiedenen Ziffern bestehen: 1. Kombination \(\{0, 1, 5\}\): Da die erste Ziffer nicht \(0\) sein darf, ergeben sich die Zahlen \(105, 150, 501, 510\). 2. Kombination \(\{0, 2, 4\}\): Hier ergeben sich analog die Zahlen \(204, 240, 402, 420\). 3. Kombination \(\{1, 2, 3\}\): Da keine \(0\) enthalten ist, sind alle sechs Vertauschungen möglich: \(123, 132, 213, 231, 312, 321\). Andere Kombinationen wie \(\{0, 0, 6\}\) oder \(\{2, 2, 2\}\) entfallen, da sie doppelte Ziffern enthalten.

Die Zahlen sind: \(105, 123, 132, 150, 204, 213, 231, 240, 312, 321, 402, 420, 501, 510\).

- Wie viele Ziffern aus dem Vorrat von \(0\) bis \(9\) bleiben übrig, wenn du neun verschiedene Ziffern auswählen musst? - Welche Ziffernwahl führt zur kleinstmöglichen Summe der neun Grundziffern? - Welche Ziffer aus deiner Auswahl solltest du dreifach zählen, um die Summe so klein oder so groß wie möglich zu machen? - Überlege dir zur Sicherheit, ob man mit diesen Ziffern wirklich eine \(11\)-stellige Zahl bilden kann.

1. Eine \(11\)-stellige Zahl mit einer dreifachen Ziffer und acht einfachen Ziffern nutzt insgesamt neun verschiedene Ziffern aus dem Bereich \(0\) bis \(9\). 2. Kleinste Quersumme: Wähle die neun kleinsten Ziffern \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Die Summe dieser Ziffern ist \(36\). Um die Gesamtsumme minimal zu halten, muss die kleinste Ziffer (\(0\)) dreimal verwendet werden. Die Quersumme bleibt \(36 + 0 + 0 = 36\). 3. Größte Quersumme: Wähle die neun größten Ziffern \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Die Summe dieser Ziffern ist \(45\). Um die Gesamtsumme maximal zu halten, muss die größte Ziffer (\(9\)) dreimal verwendet werden. Die Quersumme ist \(45 + 9 + 9 = 63\).

Die kleinste Quersumme ist \(36\). Die größte Quersumme ist \(63\).

- Eine Quersumme von 43 ist sehr nah am Maximum für fünf Stellen. Welche Zahl hat die größte Quersumme? - Überlege, wie du die Ziffern der größten Zahl \(99\,999\) verringern musst, um auf 43 zu kommen. - Wie viele Einer fehlen dir insgesamt bis zur 45? - Verteile diese fehlenden Einer auf die verschiedenen Stellen der Zahl.

1. Berechnung der maximalen Quersumme einer fünfstelligen Zahl: \(5 \cdot 9 = 45\). 2. Die Differenz zur Zielquersumme \(43\) beträgt \(45 - 43 = 2\). Das bedeutet, die Summe der Ziffern muss um \(2\) kleiner sein als bei der Zahl \(99\,999\). 3. Analyse der Möglichkeiten, den Wert \(2\) auf die fünf Stellen zu verteilen: - Abzug von \(2\) an einer Stelle: Eine Ziffer ist eine \(7\), die anderen vier sind \(9\). Dies ergibt die Zahlen: \(79\,999, 97\,999, 99\,799, 99\,979, 99\,997\). - Abzug von jeweils \(1\) an zwei Stellen: Zwei Ziffern sind \(8\), die anderen drei sind \(9\). Dies ergibt die Zahlen: \(88\,999, 89\,899, 89\,989, 89\,998, 98\,899, 98\,989, 98\,998, 99\,889, 99\,898, 99\,988\). 4. Insgesamt gibt es \(5 + 10 = 15\) solche Zahlen.

Es gibt \(15\) solche Zahlen: \(79\,999, 97\,999, 99\,799, 99\,979, 99\,997, 88\,999, 89\,899, 89\,989, 89\,998, 98\,899, 98\,989, 98\,998, 99\,889, 99\,898, 99\,988\).

- Suche zunächst nach zwei fünfstelligen Zahlen, deren Zehntausenderstellen zusammen ungefähr \(8\) ergeben. - Kontrolliere bei einem sehr nahen Treffer, ob tatsächlich jede Ziffer genau einmal benutzt wurde. - Für die Optimalität musst du nur noch untersuchen, ob der noch kleinere Abstand \(0\) überhaupt möglich ist.

1. Eine gültige Wahl ist \(10\,243\) und \(69\,758\). In beiden Zahlen zusammen kommt jede Ziffer von \(0\) bis \(9\) genau einmal vor. 2. Addition: \(10\,243 + 69\,758 = 80\,001\). 3. Der Abstand zu \(80\,000\) beträgt \(1\). 4. Genau \(80\,000\) ist nicht möglich: In der schriftlichen Addition müsste die Einerstelle durch eine Ziffernsumme von \(10\) entstehen. Wegen der jeweiligen Überträge müssten die Ziffernpaare an der Zehner-, Hunderter- und Tausenderstelle jeweils die Summe \(9\) haben. An der Zehntausenderstelle müssten die beiden Ziffern zusammen \(7\) ergeben. Damit wäre die Summe aller verwendeten Ziffern \(10 + 9 + 9 + 9 + 7 = 44\). Die Ziffern von \(0\) bis \(9\) haben zusammen aber die Summe \(45\). Also ist ein Ergebnis von genau \(80\,000\) unmöglich. 5. Da der Abstand \(0\) unmöglich und der Abstand \(1\) erreicht ist, ist diese Annäherung optimal.

Beispielzahlen: \(10\,243\) und \(69\,758\). Summe: \(80\,001\). Abstand zu \(80\,000\): \(1\).

- Suche zunächst nach zwei fünfstelligen Zahlen, deren Summe unmittelbar unter oder über \(100\,000\) liegen könnte. - Kontrolliere bei einem sehr nahen Treffer, ob jede Ziffer genau einmal vorkommt. - Für die Optimalität genügt es anschließend zu klären, ob eine Summe von genau \(100\,000\) möglich wäre.

1. Ein passender Versuch ist \(49\,876 + 50\,123 = 99\,999\). Dabei werden alle Ziffern \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) genau einmal verwendet. 2. Das Ergebnis \(99\,999\) hat einen Unterschied von genau \(1\) zu \(100\,000\). 3. Genau \(100\,000\) ist nicht möglich: In der schriftlichen Addition müsste die Einerstelle durch eine Ziffernsumme von \(10\) entstehen. Wegen der jeweiligen Überträge müssten die Ziffernpaare an der Zehner-, Hunderter-, Tausender- und Zehntausenderstelle jeweils die Summe \(9\) haben. Damit wäre die Summe aller verwendeten Ziffern \(10 + 9 + 9 + 9 + 9 = 46\). Die Ziffern von \(0\) bis \(9\) haben zusammen aber nur die Summe \(45\). 4. Ein Unterschied von \(0\) ist daher unmöglich; ein Unterschied von \(1\) ist erreicht und somit optimal.

Eine mögliche Aufgabe ist \(49\,876 + 50\,123 = 99\,999\). Der Unterschied zu \(100\,000\) beträgt \(1\).

- Erinnere dich daran, dass eine Zahl nicht mit der Ziffer \(0\) beginnen darf. - Wenn du viele Nullen haben willst, was bedeutet das für den Wert der anderen Ziffern? - Untersuche die Summe der kleinsten verschiedenen Ziffern \(0, 1, 2, 3, \ldots\). Was folgt daraus für Teil b)? - Welche Ziffern möchtest du möglichst weit vorne haben, wenn die Zahl klein werden soll?

1. Eine sechsstellige Zahl darf nicht mit \(0\) beginnen. Für möglichst viele Nullen kann die erste Ziffer die ganze Quersumme \(5\) liefern. Dann sind die übrigen fünf Ziffern \(0\). Beispiel: \(500\,000\). Es sind also höchstens \(5\) Nullen möglich. 2. Vier verschiedene Ziffern sind unmöglich, denn schon die vier kleinsten verschiedenen Ziffern haben die Summe \(0 + 1 + 2 + 3 = 6\). Drei verschiedene Ziffern sind möglich, zum Beispiel \(0, 1, 4\) in \(100\,004\). 3. Für die kleinstmögliche Zahl steht vorne die kleinste mögliche Ziffer ungleich Null, also \(1\). Die restliche Quersumme \(5 - 1 = 4\) steht möglichst weit rechts. So entsteht \(100\,004\).

a) Höchstens \(5\) Nullen, zum Beispiel bei \(500\,000\) b) Höchstens \(3\) verschiedene Ziffern, zum Beispiel \(0, 1, 4\) c) \(100\,004\)

- Darf eine Schreibweise wie \(047\) als dreistellige Zahl gezählt werden? - Vergleiche, wie oft jede Ziffer bei sechs vollständigen Anordnungen an jeder Stelle vorkommt. - Welche beiden Anordnungen fehlen bei \(0,4,7\), und welchen Zahlenwert hätten sie ohne die führende Null?

1. Mit \(0\), \(4\) und \(7\) entstehen als dreistellige Zahlen \(407\), \(470\), \(704\) und \(740\). Die Anordnungen \(047\) und \(074\) sind keine dreistelligen Zahlen. 2. Die Summe ist \(407 + 470 + 704 + 740 = 2321\). 3. Mit \(1\), \(4\) und \(6\) sind alle sechs Anordnungen dreistellig. Dabei steht jede der drei Ziffern genau zweimal an der Hunderter-, zweimal an der Zehner- und zweimal an der Einerstelle; ihre Summe ist \(2442\). Bei \(0\), \(4\), \(7\) würden die beiden fehlenden Anordnungen als \(47\) und \(74\) nur zweistellig sein. Genau diese Beiträge fehlen: \(2442 - 47 - 74 = 2321\). Deshalb ist die Summe kleiner.

a) \(4\) Zahlen: \(407, 470, 704, 740\) b) \(2321\) c) Bei \(0,4,7\) fallen die beiden Anordnungen mit führender Null als dreistellige Zahlen weg. Ihre Beiträge \(47\) und \(74\) fehlen gegenüber dem vollständigen Sechser-Satz; daher ist die Summe kleiner.

- Wann ist der Abstand zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl besonders groß? - Wann liegen zwei dreistellige Zahlen besonders nah beieinander? Achte dabei besonders auf die Hunderterstelle. - Wenn die Hunderterstellen zweier Zahlen direkt aufeinanderfolgen, wie müssen dann die restlichen Ziffern gewählt werden, damit die Zahlen fast gleich sind?

1. Für die maximale Differenz wird die größtmögliche Zahl gebildet und davon die kleinstmögliche Zahl abgezogen. Das ergibt \(985 - 304 = 681\). 2. Für die minimale positive Differenz müssen die beiden Zahlen möglichst nahe beieinanderliegen. Geeignete benachbarte Hunderterziffern werden mit den übrigen Ziffern so ergänzt, dass sich der Abstand weiter verkleinert. 3. Die Kombination \(503 - 498 = 5\) verwendet alle sechs Ziffern genau einmal. Andere mögliche Anordnungen liefern keine kleinere positive Differenz.

a) \(681\) b) \(5\)

- Denke daran, dass bei der kleinsten Zahl die erste Ziffer keine Null sein darf. - Um eine Zahl groß zu machen, versuche, hohe Ziffern so weit wie möglich nach vorne zu bringen. - Wenn du eine Ziffer weit hinten in der Folge wählst, prüfe, ob danach noch genügend Ziffern für die restlichen Stellen übrig sind.

1. Für die größtmögliche Zahl ist die \(8\) an Position \(4\) die größte mögliche erste Ziffer, nach der noch vier Ziffern folgen können. Aus \(4, 2, 7, 3, 9\) wird anschließend die \(2\) gestrichen. Es entsteht \(84\,739\). 2. Für die kleinstmögliche Zahl bleibt zuerst die \(1\), danach die \(0\). Aus dem Rest werden \(6, 8, 4, 7\) gestrichen, sodass \(10\,239\) entsteht. 3. Die Differenz ist \(84\,739 - 10\,239 = 74\,500\).

1. \(84\,739\) 2. \(10\,239\) 3. \(74\,500\)

- Welche Stelle beeinflusst die Größenordnung der Differenz am stärksten? - Wähle zunächst Hunderterstellen, die einen Unterschied in der Nähe des Zielwerts erwarten lassen. - Verteile danach die übrigen Ziffern so, dass die beiden letzten Stellen den Abstand zum Ziel möglichst verkleinern. - Vergleiche mehrere aussichtsreiche Fälle systematisch.

1. Damit die Differenz nahe bei \(200\) liegt, müssen zuerst passende Hunderterstellen gewählt werden; anschließend werden Zehner- und Einerstellen so verteilt, dass der verbleibende Abstand möglichst klein wird. 2. Zum Beispiel gilt \(475 - 281 = 194\). Der Abstand zu \(200\) beträgt \(6\). 3. Ebenfalls möglich ist \(481 - 275 = 206\), wiederum mit Abstand \(6\). 4. Der systematische Vergleich aller zulässigen Anordnungen zeigt, dass kein Ergebnis näher als \(6\) an \(200\) liegt. Optimale Ergebnisse sind daher \(194\) oder \(206\).

Zum Beispiel \(475 - 281 = 194\) oder \(481 - 275 = 206\). Auch andere zulässige Anordnungen mit Ergebnis \(194\) oder \(206\) sind richtig.

- Welche Probe gehört zu einer Division mit Rest? - Berücksichtige den Rest, bevor du die fehlenden Ziffern vergleichst. - Welche Einerziffer des Divisors kann zusammen mit \(23\) die passende Einerstelle des Produkts erzeugen? - Prüfe die gefundenen Zahlen wieder in der ursprünglichen Division.

1. Nutze die Probe zur Division mit Rest: \(23 \cdot 1\square + 6 = 3\square5\). 2. Nach Abzug des Restes muss das Produkt auf \(9\) enden, denn die Einerstelle erfüllt \(5 - 6\) mit Entbündelung. 3. Damit \(23 \cdot 1\square\) auf \(9\) endet, muss die Einerziffer des Divisors \(3\) sein. 4. Berechne \(23 \cdot 13 = 299\) und addiere den Rest: \(299 + 6 = 305\). 5. Die fehlende Zehnerziffer im Dividenden ist daher \(0\), die fehlende Einerziffer im Divisor \(3\).

\(305 : 13 = 23\) Rest \(6\)