- Was bedeutet die Hochzahl \(2\) bei einer Quadratzahl? - Schreibe die Potenz zuerst als Multiplikation gleicher Faktoren. - Prüfe anschließend das Produkt.

1. \(14^2\) bedeutet, dass \(14\) mit sich selbst multipliziert wird. 2. \(14 \cdot 14 = 196\).

\(14^2 = 14 \cdot 14 = 196\)

- Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine natürliche Zahl mit sich selbst multiplizierst. - Überlege bei jeder Lücke, welche natürliche Zahl an dieser Stelle quadriert wird. - Prüfe jede Ergänzung mit einer Malaufgabe aus zwei gleichen Faktoren.

1. Nach \(9=3^2\) folgt \(16=4^2\). 2. Zwischen \(36=6^2\) und \(64=8^2\) liegt \(49=7^2\). 3. Nach \(81=9^2\) folgt \(100=10^2\).

Die fehlenden Quadratzahlen sind \(16=4^2\), \(49=7^2\) und \(100=10^2\).

- Suche in der Reihe der bekannten Quadratzahlen. - Gesucht sind zwei gleiche Faktoren mit dem Produkt \(169\). - Prüfe deinen Vorschlag durch Multiplikation.

1. Gesucht ist eine natürliche Zahl \(n\) mit \(n \cdot n = 169\). 2. Es gilt \(13 \cdot 13 = 169\), also ist \(n = 13\).

Die gesuchte Zahl ist \(13\).

- Bearbeite jede Tabellenzeile getrennt. - Eine Quadratzahl entsteht durch Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. - Kontrolliere jeden Eintrag mit der zugehörigen Multiplikation.

1. \(8^2 = 64\). 2. \(12^2 = 144\). 3. \(17^2 = 289\).

Die Einträge sind \(64\), \(144\) und \(289\).

- Bestimme zuerst, welche natürliche Zahl quadriert \(225\) ergibt. - Gehe dann zur nächsten natürlichen Zahl weiter. - Berechne anschließend ihr Quadrat.

1. \(225=15^2\). 2. Die nächste natürliche Zahl ist \(16\). 3. \(16^2=256\).

Es folgt \(256=16^2\). Quadriert wird die Zahl \(16\).

- Übersetze die quadratische Anordnung in eine Multiplikation. - Bei einem Quadrat sind Reihen- und Spaltenzahl gleich. - Schreibe die Multiplikation auch als Quadratzahl.

1. Die Anordnung hat \(13\) Reihen mit je \(13\) Pflastersteinen. 2. \(13^2 = 13 \cdot 13 = 169\).

Insgesamt sind es \(169\) Pflastersteine.

- Beschreibe zuerst die Anordnung des Punktfelds. - Vergleiche Zeilen- und Spaltenzahl. - Verbinde die quadratische Anordnung mit einer Quadratzahl.

1. Das Feld hat \(8\) Zeilen und \(8\) Spalten. 2. \(8 \cdot 8 = 64\). 3. Die Punktzahl ist \(64 = 8^2\).

Das Feld enthält \(64\) Punkte; die Seitenlänge beträgt \(8\) Punkte.

- Bearbeite eine Zuordnung nach der anderen. - Berechne bei Unsicherheit die passende Quadratzahl. - Kontrolliere, ob jede Zahl genau einmal verwendet wird.

1. Jede der Zahlen \(6, 11, 13\) und \(15\) wird mit sich selbst multipliziert. 2. Es gilt \(6^2=36\), \(11^2=121\), \(13^2=169\) und \(15^2=225\).

\(6\leftrightarrow36\), \(11\leftrightarrow121\), \(13\leftrightarrow169\), \(15\leftrightarrow225\)

- Bei einem quadratischen Mosaik sind Anzahl der Reihen und Anzahl der Fliesen pro Reihe gleich. - Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt \(81\)? - Nutze bekannte Quadratzahlen oder das Einmaleins.

1. Bei einem Quadrat gibt es gleich viele Reihen wie Fliesen pro Reihe. 2. Deshalb gilt \(\square\cdot\square=81\). 3. \(9\cdot9=81\). Also liegen auf jeder Seite \(9\) Fliesen.

a) \(\square\cdot\square=81\) b) Es liegen \(9\) Fliesen in einer Reihe.

- Vergleiche die Zahlen mit bekannten Quadratzahlen. - Prüfe bei Unsicherheit die benachbarten Quadrate. - Eine Quadratzahl muss sich als \(n \cdot n\) schreiben lassen.

1. Quadratzahlen lassen sich als Produkt zweier gleicher natürlicher Zahlen schreiben. 2. Es gilt \(64 = 8^2\), \(81 = 9^2\), \(121 = 11^2\) und \(196 = 14^2\). 3. Die übrigen angegebenen Zahlen sind keine Quadratzahlen.

Quadratzahlen sind \(64\), \(81\), \(121\) und \(196\).

- Berechne zuerst jeden Quadratwert. - Eine Quadratzahl entsteht, indem eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. - Ordne erst danach die vier berechneten Werte.

1. \(18^2=324\), \(7^2=49\), \(12^2=144\) und \(19^2=361\). 2. Aufsteigend geordnet gilt \(49<144<324<361\).

\(7^2=49<12^2=144<18^2=324<19^2=361\)

- Suche nach zwei gleichen Faktoren von \(361\). - Vergleiche \(361\) mit bekannten Quadratzahlen in seiner Nähe. - Eine vollständige Begründung braucht eine passende Multiplikation.

1. \(361\) lässt sich als Produkt zweier gleicher natürlicher Zahlen schreiben. 2. Es gilt \(19\cdot19=361\). Daher ist \(361\) eine Quadratzahl.

Ja. \(361=19^2=19\cdot19\).

- Bestimme beide benachbarten Quadratzahlen. - Berechne ihren Abstand. - Vergleiche die Differenz mit Maras Aussage.

1. \(16^2=256\) und \(17^2=289\). 2. \(289-256=33\). Die Behauptung ist richtig.

Die Behauptung stimmt, denn \(17^2-16^2=33\).

- Berechne die beiden Quadratzahlen getrennt. - Bilde danach ihre Differenz. - Prüfe anschließend die Teilbarkeit des Ergebnisses durch \(2\).

1. \(12^2 = 144\) und \(11^2 = 121\). 2. \(144 - 121 = 23\). 3. \(23\) ist ungerade.

Die Differenz ist \(23\); sie ist ungerade.

- Suche zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, deren Quadrate knapp unter und über \(300\) liegen. - Berechne beide Quadratzahlen. - Vergleiche danach die beiden Abstände zu \(300\).

1. \(17^2=289\) und \(18^2=324\). Damit gilt \(289<300<324\). 2. Der Abstand zu \(289\) ist \(11\), der Abstand zu \(324\) ist \(24\). 3. Daher liegt \(289\) näher an \(300\).

\(17^2=289<300<324=18^2\). Näher an \(300\) liegt \(289\).

- Suche zunächst eine Quadratzahl knapp unter \(350\). - Bestimme dann die unmittelbar folgende Quadratzahl. - Prüfe die beiden Ungleichungen.

1. \(18^2=324\). 2. Die nächste Quadratzahl ist \(19^2=361\). 3. Es gilt \(324<350<361\).

\(350\) liegt zwischen \(324=18^2\) und \(361=19^2\).

- Welche Aussage erfüllt die Definition einer Quadratzahl vollständig? - Eine Eigenschaft wie „ungerade“ oder eine Endziffer allein beweist noch kein Quadrat. - Suche nach einem Produkt aus zwei gleichen Faktoren.

1. Eine Quadratzahl muss als Produkt zweier gleicher natürlicher Zahlen darstellbar sein. 2. Aussage B zeigt genau dies: \(17\cdot17=289\). 3. Die Aussagen A und C reichen allein nicht als Begründung aus.

Begründung B ist sicher.

- Ordne die Punktzahl zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen ein. - Gesucht ist die größere dieser beiden Quadratzahlen. - Vergleiche anschließend den vorhandenen und den gewünschten Gesamtwert.

1. \(8^2 = 64 < 72 < 81 = 9^2\). 2. Die nächstgrößere Quadratzahl ist \(81\). 3. Es fehlen \(81 - 72 = 9\) Punkte.

Es müssen \(9\) Punkte ergänzt werden; dann sind es \(81 = 9^2\).

- Prüfe jede Punktmenge einzeln. - Vergleiche Zeilen- und Spaltenstruktur der Gruppen. - Suche bei jeder Gesamtzahl nach zwei gleichen Faktoren.

1. a) hat \(36=6^2\) Punkte und ist eine Quadratzahl. 2. b) hat \(42\) Punkte; dieser Wert liegt zwischen \(6^2=36\) und \(7^2=49\) und ist keine Quadratzahl. 3. c) hat \(49=7^2\) Punkte und ist eine Quadratzahl.

Quadratzahlen sind a) \(36=6^2\) und c) \(49=7^2\).

- Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt \(64\)? - Was passiert mit einem Produkt, wenn beide Faktoren verdoppelt werden? - Vergleiche den neuen mit dem ursprünglichen Dividenden.

1. a) Gesucht ist eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert \(64\) ergibt. Weil \(8\cdot8=64\), lautet die Division \(64:8=8\). 2. b) Verdoppelt man \(8\), erhält man \(16\). Der neue Dividend ist daher \(16\cdot16=256\). 3. \(256:64=4\). Der Dividend ist also viermal so groß wie vorher.

a) \(64:8=8\) b) Der neue Dividend ist \(256\). Er ist viermal so groß wie der ursprüngliche Dividend.

- Schreibe die Abstände zwischen jeweils zwei benachbarten Folgengliedern auf. - Untersuche, wie sich diese Abstände verändern. - Übertrage das Abstandsmuster auf den nächsten Schritt.

1. Die Unterschiede sind \(7, 9, 11, 13\). 2. Die Unterschiede steigen jeweils um \(2\), daher folgt als nächster Unterschied \(15\). 3. \(49 + 15 = 64 = 8^2\).

Die Unterschiede sind \(7, 9, 11, 13\); die nächste Quadratzahl ist \(64\).

- Berechne zuerst \(19^2\) und \(20^2\). - Bestimme den Abstand zwischen den beiden Quadratzahlen. - Denke daran, dass die beiden Randwerte nicht mitgezählt werden.

1. \(19^2=361\) und \(20^2=400\). 2. Von \(361\) bis \(400\) beträgt der Abstand \(39\). 3. Da die beiden Randwerte nicht mitgezählt werden, liegen \(39-1=38\) natürliche Zahlen dazwischen.

Es liegen \(38\) natürliche Zahlen dazwischen.

- Prüfe Milas Aussage zuerst an zwei ungeraden Zahlen. - Für die allgemeine Begründung reicht es nicht, nur Beispiele zu nennen. - Was entsteht, wenn du zwei ungerade Zahlen miteinander multiplizierst?

1. Zum Beispiel gilt \(9^2=81\) und \(13^2=169\). Beide Ergebnisse sind ungerade. 2. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen. 3. Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist wieder ungerade. Deshalb stimmt Milas Aussage für jede ungerade natürliche Zahl.

Beispiele: \(9^2=81\) und \(13^2=169\); beide Quadratzahlen sind ungerade. Allgemein gilt: Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade. Deshalb ist auch das Quadrat jeder ungeraden Zahl ungerade.

- Vergleiche die beiden benachbarten Quadratzahlen \(19^2\) und \(20^2\). - Bestimme ihren Abstand. - Nutze diesen Abstand rückwärts vom bekannten Wert \(20^2\).

1. \(20^2=400\). 2. Von \(19^2\) zu \(20^2\) kommen \(19+20=39\) hinzu. 3. Deshalb gilt rückwärts \(19^2=400-39=361\).

Von \(20^2\) werden \(39\) abgezogen. Es gilt \(19^2=361\).

- Suche nach zwei gleichen Faktoren von \(361\). - Vergleiche mit den bekannten Quadratzahlen bis \(20^2\). - Prüfe, ob die gefundene Seitenlänge alle \(361\) Punkte erfasst.

1. Gesucht ist eine natürliche Zahl \(n\) mit \(n^2 = 361\). 2. Es gilt \(19^2 = 361\). 3. Daher liegen \(19\) Punkte in jeder Zeile.

Es liegen \(19\) Punkte in jeder Zeile.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der alten quadratischen Anordnung. - Bestimme danach die Gesamtzahl der neuen Anordnung. - Vergleiche beide Gesamtzahlen durch Subtraktion.

1. Zuerst sind es \(20^2 = 400\) Elemente. 2. Danach sind es \(18^2 = 324\) Elemente. 3. Die Abnahme beträgt \(400 - 324 = 76\).

Es sind \(76\) Elemente weniger.

- Berechne die beiden Quadratzahlen getrennt. - Addiere ihre Werte. - Vergleiche die Summe anschließend mit bekannten Quadratzahlen.

1. \(9^2 = 81\) und \(12^2 = 144\). 2. \(81 + 144 = 225\). 3. \(225 = 15^2\), also ist das Ergebnis eine Quadratzahl.

Die Summe ist \(225 = 15^2\); sie ist eine Quadratzahl.

- Welche Umkehroperation entfernt die Addition von \(25\)? - Bestimme zuerst den Wert von \(n^2\). - Welche natürliche Zahl ergibt quadriert diesen Wert?

1. Ziehe \(25\) ab: \(n^2=169-25=144\). 2. Es gilt \(12^2=144\). 3. Daher ist \(n=12\).

\(n=12\)

- Bestimme zuerst den bekannten Quadratwert. - Welche Quadratzahl muss um \(31\) größer sein? - Welche natürliche Zahl ergibt quadriert den gefundenen Quadratwert?

1. \(15^2=225\). 2. Die gesuchte Quadratzahl ist \(225+31=256\). 3. \(256=16^2\), also ist die gesuchte natürliche Zahl \(16\).

Die fehlende Zahl ist \(16\).

- Berechne zuerst den bekannten Quadratwert. - Bestimme die fehlende Ergänzung durch Subtraktion. - Welche natürliche Zahl ergibt quadriert diesen Quadratwert?

1. \(13^2=169\). 2. Die fehlende Zahl ist \(425-169=256\). 3. \(256=16^2\).

Es fehlt \(256=16^2\). Quadriert wird die Zahl \(16\).

- Berechne zuerst die bekannte Quadratzahl. - Bestimme danach den unbekannten Quadratwert durch Umkehren der Subtraktion. - Welche natürliche Zahl ergibt quadriert den gefundenen Wert?

1. \(20^2=400\). 2. Daraus folgt \(n^2=400-111=289\). 3. Weil \(17^2=289\), gilt \(n=17\).

\(n=17\)

- Grenze die mögliche natürliche Zahl mit benachbarten Quadratzahlen ein. - Prüfe die Kandidaten innerhalb des Intervalls. - Kontrolliere, ob mehr als ein Wert passen kann.

1. \(17^2=289<300\). 2. \(18^2=324\) liegt im Intervall. 3. \(19^2=361>330\). Daher ist \(324\) die einzige passende Quadratzahl.

Gesucht ist \(324=18^2\). Quadriert wird die Zahl \(18\).

- Bestimme zuerst, welche Quadratzahlen überhaupt zwischen \(200\) und \(300\) liegen. - Vergleiche anschließend nur ihre Endziffern. - Für die Begründung musst du zeigen, dass du alle Quadratzahlen im Bereich geprüft hast.

1. Zwischen \(200\) und \(300\) liegen als Quadratzahlen \(15^2=225\), \(16^2=256\) und \(17^2=289\). 2. Von diesen Zahlen endet nur \(256\) auf \(6\). 3. Daher ist \(256=16^2\) die einzige passende Quadratzahl.

Gesucht ist \(256=16^2\). Im Bereich von \(200\) bis \(300\) gibt es keine weitere Quadratzahl mit der Endziffer \(6\).

- Liste zuerst alle Quadratzahlen im angegebenen Bereich auf. - Prüfe anschließend ihre Einerziffern. - Achte darauf, dass die Intervallgrenzen eingehalten werden.

1. Im Intervall liegen \(11^2 = 121\), \(12^2 = 144\), \(13^2 = 169\) und \(14^2 = 196\). 2. Nur \(121\) endet auf \(1\).

Gesucht ist \(121 = 11^2\).

- Erstelle zuerst eine vollständige Liste aller zweistelligen Quadratzahlen. - Prüfe die Ziffernsumme bei jedem Kandidaten systematisch. - Kontrolliere, dass keine passende Quadratzahl ausgelassen wurde.

1. Die zweistelligen Quadratzahlen sind \(16, 25, 36, 49, 64, 81\). 2. Die Ziffernsummen sind \(7, 7, 9, 13, 10, 9\). 3. Damit erfüllen \(36 = 6^2\) und \(81 = 9^2\) die Bedingung.

Die gesuchten Zahlen sind \(36\) und \(81\).

- Bestimme zunächst alle Quadratzahlen im Bereich. - Betrachte danach die natürlichen Zahlen, die quadriert werden. - Wähle nur die Kandidaten aus, bei denen diese Zahl ungerade ist.

1. Im Intervall liegen \(15^2=225\), \(16^2=256\) und \(17^2=289\). 2. Die ungeraden natürlichen Zahlen sind \(15\) und \(17\). 3. Daher passen \(225\) und \(289\).

Gesucht sind \(225=15^2\) und \(289=17^2\).

- Suche Quadratzahlen in der Nähe von \(350\). - Vergleiche zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen an dieser Grenze. - Die letzte Quadratzahl unter \(350\) ist gesucht.

1. \(18^2=324\) ist kleiner als \(350\). 2. Die nächste Quadratzahl ist \(19^2=361\) und damit bereits größer als \(350\). 3. Daher ist \(324\) die größte Quadratzahl unter \(350\).

Die größte Quadratzahl unter \(350\) ist \(324=18^2\). Quadriert wird die Zahl \(18\).

- Finde die erste und die letzte natürliche Zahl, deren Quadrat im Bereich liegt. - Beide Grenzen sollen mitgezählt werden. - Zähle anschließend die natürlichen Zahlen von der ersten bis zur letzten einschließlich.

1. \(10^2=100\) ist die erste Quadratzahl im Bereich. 2. \(20^2=400\) ist die letzte Quadratzahl im Bereich. 3. Die natürlichen Zahlen von \(10\) bis \(20\) ergeben \(11\) Quadratzahlen.

Es sind \(11\) Quadratzahlen.

- Finde zuerst die kleinste natürliche Zahl, deren Quadrat größer als \(150\) ist. - Finde danach die größte natürliche Zahl, deren Quadrat kleiner als \(350\) ist. - Gehe dann ohne Lücken durch alle natürlichen Zahlen dazwischen.

1. \(12^2=144\) ist noch kleiner als \(150\). Die erste passende Quadratzahl ist deshalb \(13^2=169\). 2. \(19^2=361\) ist schon größer als \(350\). Die letzte passende Quadratzahl ist deshalb \(18^2=324\). 3. Damit sind die gesuchten Werte \(13^2=169\), \(14^2=196\), \(15^2=225\), \(16^2=256\), \(17^2=289\) und \(18^2=324\).

Die Quadratzahlen sind \(169, 196, 225, 256, 289\) und \(324\).

- Finde die direkt kleinere und die direkt größere Quadratzahl. - Ordne \(250\) zwischen diesen beiden Werten ein. - Berechne die beiden Abstände getrennt.

1. \(15^2 = 225\) und \(16^2 = 256\). 2. Es gilt \(225 < 250 < 256\). 3. Die Abstände sind \(250 - 225 = 25\) und \(256 - 250 = 6\).

\(225 < 250 < 256\); die Abstände sind \(25\) und \(6\).

- Bestimme die vorhandene Gesamtzahl aus Zeilen und Spalten. - Bestimme danach die Gesamtzahl des Zielquadrats. - Vergleiche beide Anordnungen durch eine Differenz.

1. Das vorhandene Feld hat \(9 \cdot 13 = 117\) Kästchen. 2. Das Zielquadrat hat \(13^2 = 169\) Kästchen. 3. Es fehlen \(169 - 117 = 52\) Kästchen.

Es fehlen \(52\) Kästchen.

- Finde die direkt kleinere und die direkt größere Quadratzahl. - Berechne den Abstand von \(86\) zu beiden Quadratwerten. - Vergleiche die beiden notwendigen Änderungen.

1. Die benachbarten Quadratzahlen sind \(9^2=81\) und \(10^2=100\). 2. Bis \(81\) müssen \(86-81=5\) abgezogen werden. 3. Bis \(100\) müssen \(100-86=14\) ergänzt werden. 4. Abziehen ist der kürzere Weg, weil \(5<14\).

Man kann \(5\) bis \(81=9^2\) abziehen oder \(14\) bis \(100=10^2\) ergänzen. Abziehen ist der kürzere Weg.

- Teste einige Paare aufeinanderfolgender Quadratzahlen und beobachte ihre Abstände. - Welche Information steckt in der Bedingung „aufeinanderfolgend“? - Prüfe die Differenz der beiden Quadratwerte, wenn du ein mögliches Paar gefunden hast.

1. Bei zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen entspricht der Abstand ihrer Quadratzahlen der Summe dieser beiden Zahlen. 2. Es gilt \(18+19=37\). 3. \(18^2=324\) und \(19^2=361\), und \(361-324=37\).

Gesucht sind \(324=18^2\) und \(361=19^2\).

- Bestimme zuerst alle Quadratzahlen im angegebenen Bereich. - Prüfe danach, bei welchen Kandidaten eine ungerade natürliche Zahl quadriert wird. - Wende zuletzt die Bedingung zur Einerziffer an.

1. Im Bereich liegen \(16^2=256\), \(17^2=289\), \(18^2=324\) und \(19^2=361\). 2. Bei \(17^2\) und \(19^2\) wird eine ungerade natürliche Zahl quadriert. 3. Von \(289\) und \(361\) endet nur \(361\) auf \(1\).

Gesucht ist \(361=19^2\).