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- Überlege, welche Rolle die beiden Faktoren einer Multiplikation für das Produkt haben. - Prüfe, welche Zahlen die größere Zahl ohne Rest teilen. - Formuliere dieselbe Beziehung anschließend aus Sicht der größeren Zahl.

1. Aus \(4 \cdot 6 = 24\) folgt, dass sich \(24\) ohne Rest durch \(4\) und durch \(6\) teilen lässt. 2. Deshalb sind \(4\) und \(6\) Teiler von \(24\). 3. Umgekehrt ist \(24\) ein Vielfaches von \(4\) und von \(6\).

\(4\) und \(6\) sind Teiler von \(24\). \(24\) ist ein Vielfaches von \(4\) und \(6\).

- Lies die markierten Zahlen von links nach rechts ab. - Vergleiche die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Markierungen. - Bei den ersten positiven Vielfachen entspricht die erste markierte Zahl der gesuchten Grundzahl.

1. Die markierten Zahlen sind \(5\), \(10\), \(15\) und \(20\). Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Markierungen beträgt jeweils \(5\). 2. Daher sind es die ersten vier positiven Vielfachen von \(5\). 3. Das nächste positive Vielfache ist \(25\).

a) Es sind Vielfache von \(5\). b) Als Nächstes kommt \(25\).

- Überlege dir bei den Teilern immer, welche zwei Zahlen multipliziert das Ergebnis ergeben. - Kannst du die Teilbarkeitsregeln (z. B. für \(2\), \(3\) oder \(5\)) nutzen, um Teiler schneller zu finden? - Vielfache erhältst du, indem du die Zahl nacheinander mit \(1, 2, 3, \dots\) multiplizierst.

1. \(T(56)=\{1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56\}\). 2. \(T(81)=\{1; 3; 9; 27; 81\}\). 3. Die ersten fünf positiven Vielfachen von \(17\) sind \(17, 34, 51, 68, 85\). 4. Die ersten fünf positiven Vielfachen von \(32\) sind \(32, 64, 96, 128, 160\).

a) \(T(56)=\{1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56\}\) b) \(T(81)=\{1; 3; 9; 27; 81\}\) c) \(\{17; 34; 51; 68; 85\}\) d) \(\{32; 64; 96; 128; 160\}\)

- Denke an die Einmaleins-Reihe von \(9\). - Beginne bei dem ersten positiven Vielfachen und gehe schrittweise weiter. - Mit der Umkehroperation kannst du prüfen, ob eine weitere Zahl ein Vielfaches von \(9\) ist.

1. Die ersten fünf positiven Vielfachen erhält man mit \(9 \cdot 1\), \(9 \cdot 2\), \(9 \cdot 3\), \(9 \cdot 4\) und \(9 \cdot 5\): \(9\), \(18\), \(27\), \(36\), \(45\). 2. Prüfe die Zugehörigkeit von \(117\) durch Division: \(117 : 9 = 13\). Die Division geht ohne Rest auf, also gilt \(117 \in V(9)\).

Die ersten fünf positiven Vielfachen von \(9\) sind \(9\), \(18\), \(27\), \(36\) und \(45\). Es gilt \(117 \in V(9)\), denn \(117 : 9 = 13\).

- Eine Zahl ist nur dann ein Vielfaches des Divisors, wenn bei der Division Rest \(0\) entsteht. - Notiere die Division auch bei Zahlen, die nicht ohne Rest aufgehen. - Vergleiche erst nach allen Rechnungen die beiden Ergebnislisten.

1. Bei Division durch \(3\) erhält man \(111 : 3 = 37\), \(234 : 3 = 78\), \(405 : 3 = 135\), \(567 : 3 = 189\), \(810 : 3 = 270\) und \(993 : 3 = 331\). Alle Divisionen gehen ohne Rest auf. 2. Daher sind alle sechs Zahlen Vielfache von \(3\). 3. Bei Division durch \(9\) erhält man \(111 = 9 \cdot 12 + 3\), \(234 : 9 = 26\), \(405 : 9 = 45\), \(567 : 9 = 63\), \(810 : 9 = 90\) und \(993 = 9 \cdot 110 + 3\). 4. Daher sind \(234\), \(405\), \(567\) und \(810\) Vielfache von \(9\); \(111\) und \(993\) nicht.

a) \(111 : 3 = 37\), \(234 : 3 = 78\), \(405 : 3 = 135\), \(567 : 3 = 189\), \(810 : 3 = 270\), \(993 : 3 = 331\). Vielfache von \(3\): \(111\), \(234\), \(405\), \(567\), \(810\), \(993\). b) \(111 = 9 \cdot 12 + 3\), \(234 : 9 = 26\), \(405 : 9 = 45\), \(567 : 9 = 63\), \(810 : 9 = 90\), \(993 = 9 \cdot 110 + 3\). Vielfache von \(9\): \(234\), \(405\), \(567\), \(810\).

- Suche systematisch nach Faktorpaaren, deren Produkt die gegebene Zahl ist. - Beginne mit kleinen möglichen Teilern und arbeite der Größe nach weiter. - Wenn sich die beiden Faktoren eines Paares in ihrer Größe überkreuzen würden, hast du alle Faktorpaare erfasst.

1. Suche die Faktorpaare von \(72\) systematisch: \(1 \cdot 72\), \(2 \cdot 36\), \(3 \cdot 24\), \(4 \cdot 18\), \(6 \cdot 12\) und \(8 \cdot 9\). 2. Fasse alle Faktoren geordnet zusammen: \(T(72) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72\}\).

\(T(72) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72\}\)

- Was bedeutet es, wenn eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist? - Könntest du eine Liste der ersten Vielfachen erstellen? - Achte genau auf die Grenzen, die in der Aufgabe genannt werden. - Welches ist das erste Vielfache, das über der unteren Grenze liegt?

1. Berechnen der Vielfachen von \(18\) durch fortlaufende Multiplikation oder Addition: \(18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, \dots\). 2. Überprüfen der Bedingung \(50 < x < 150\). 3. Die passenden Zahlen sind \(54, 72, 90, 108, 126\) und \(144\).

\(54; 72; 90; 108; 126; 144\)

- Was bedeutet \(V(n)\) für eine Zahl \(n\)? - Kannst du die jeweilige Zahl als Produkt der angegebenen Zahl und einer natürlichen Zahl schreiben? - Für eine Widerlegung genügt es zu zeigen, dass eine solche Multiplikation nicht möglich ist.

1. Es gilt \(63 = 9 \cdot 7\). Daher ist \(63\) ein Vielfaches von \(7\); die Aussage ist wahr. 2. Die Zahl \(19\) lässt sich nicht als \(2\) mal eine natürliche Zahl schreiben; sie ist ungerade. Daher ist \(19 \notin V(2)\); die Aussage ist falsch. 3. Es gilt \(105 = 21 \cdot 5\). Daher ist \(105 \in V(5)\); die Aussage \(105 \notin V(5)\) ist falsch.

a) Wahr, denn \(63 = 9 \cdot 7\). b) Falsch, denn \(19 = 9 \cdot 2 + 1\); bei der Division durch \(2\) bleibt also Rest \(1\). c) Falsch, denn \(105 = 21 \cdot 5\) und damit \(105 \in V(5)\).

- Was gibt die Menge \(T(n)\) an? - Wie kannst du mit einer Division prüfen, ob eine Zahl ein Teiler einer anderen ist? - Was bedeutet es für die Teilbarkeit, wenn bei der Division ein Rest bleibt? - Welche besondere Rolle spielt die Zahl \(1\) bei positiven natürlichen Zahlen?

1. Es gilt \(72 : 6 = 12\). Daher ist \(6\) ein Teiler von \(72\); die Aussage ist wahr. 2. Es gilt \(44 = 5 \cdot 8 + 4\). Die Division durch \(8\) geht nicht ohne Rest auf; die Aussage ist falsch. 3. Es gilt \(39 : 13 = 3\). Also ist \(13 \in T(39)\); die Aussage ist falsch. 4. \(1\) ist Teiler jeder positiven natürlichen Zahl. Daher ist die Aussage wahr. 5. Es gilt \(125 : 25 = 5\). Daher ist \(25\) ein Teiler von \(125\); die Aussage ist wahr.

a) Wahr, denn \(72 : 6 = 12\). b) Falsch, denn bei \(44 : 8\) bleibt ein Rest. c) Falsch, denn \(39 : 13 = 3\), also \(13 \in T(39)\). d) Wahr, denn \(1\) teilt jede positive natürliche Zahl. e) Wahr, denn \(125 : 25 = 5\).

- Übersetze jede Mengenaussage zuerst in die Frage, ob eine Zahl Teiler oder Vielfaches der anderen ist. - Eine Division ohne Rest liefert einen eindeutigen Nachweis. - Achte bei \(T(n)\) und \(V(n)\) darauf, welche Zahl die Grundzahl der Menge ist.

1. Es gilt \(2469 : 3 = 823\). Also ist \(2469\) ein Vielfaches von \(3\); die Aussage ist wahr. 2. Es gilt \(124 = 15 \cdot 8 + 4\). Also ist \(124\) kein Vielfaches von \(8\); die Aussage ist falsch. 3. Es gilt \(8118 : 9 = 902\). Also ist \(9\) ein Teiler von \(8118\); die Aussage ist wahr. 4. Es gilt \(1010 = 252 \cdot 4 + 2\). Also ist \(4\) kein Teiler von \(1010\); die Aussage ist falsch. 5. Es gilt \(144 : 12 = 12\). Also ist \(12\) ein Teiler von \(144\); die Aussage ist wahr.

a) Wahr, denn \(2469 : 3 = 823\). b) Falsch, denn \(124 = 15 \cdot 8 + 4\). c) Wahr, denn \(8118 : 9 = 902\). d) Falsch, denn \(1010 = 252 \cdot 4 + 2\). e) Wahr, denn \(144 : 12 = 12\).

- Bilde zuerst genau die vier Zahlen, die mit den vorgegebenen Ziffernkarten entstehen. - Entscheidend ist bei jeder Division der Rest. - Triff die Entscheidung erst, nachdem du alle vier Kandidaten geprüft hast.

1. Es gilt \(2375 = 9 \cdot 263 + 8\). 2. Es gilt \(3375 : 9 = 375\); hier ist der Rest \(0\). 3. Es gilt \(4375 = 9 \cdot 486 + 1\). 4. Es gilt \(8375 = 9 \cdot 930 + 5\). 5. Nur bei \(3375\) geht die Division ohne Rest auf. Daher muss im Kästchen die Ziffer \(3\) stehen.

\(2375 = 9 \cdot 263 + 8\) \(3375 : 9 = 375\) \(4375 = 9 \cdot 486 + 1\) \(8375 = 9 \cdot 930 + 5\) Daher gilt \(\square = 3\).

- Kannst du ein Produkt finden, das durch \(4\) teilbar ist, obwohl keiner der beiden Faktoren selbst durch \(4\) teilbar ist? - Beginne mit kleinen Faktoren.

Gesucht sind zwei Faktoren, von denen keiner durch \(4\) teilbar ist, deren Produkt jedoch durch \(4\) teilbar ist. Mit \(2\) und \(2\) erhält man \(2 \cdot 2 = 4\). Keiner der beiden Faktoren ist durch \(4\) teilbar, das Produkt aber schon.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(2 \cdot 2 = 4\). Das Produkt ist durch \(4\) teilbar, die beiden Faktoren \(2\) jedoch nicht.

- Wie gehst du am besten vor, um kein Teilerpaar zu vergessen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl ein Element einer Teilermenge ist? - Kannst du eine passende Divisionsaufgabe finden?

1. Systematisches Suchen der Teilerpaare: \(1 \cdot 42\), \(2 \cdot 21\), \(3 \cdot 14\), \(6 \cdot 7\). 2. Zusammenstellen der Teilermenge: \(T(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\). 3. Prüfung der Zugehörigkeit: Da \(42 : 14 = 3\) ohne Rest aufgeht, ist \(14\) ein Teiler von \(42\). Die Aussage ist wahr.

\(T(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}\). Die Aussage \(14 \in T(42)\) ist wahr, da \(42 : 14 = 3\).

- Welche Zahl ist die erste fünfstellige Zahl? - Prüfe, ob diese Zahl selbst ein Vielfaches von \(25\) ist. - Wie gelangst du von einem Vielfachen von \(25\) zum unmittelbar vorherigen Vielfachen?

1. Die kleinste fünfstellige Zahl ist \(10\,000\), und \(10\,000 = 25 \cdot 400\) ist ein Vielfaches von \(25\). 2. Das unmittelbar vorherige Vielfache von \(25\) erhält man durch Subtraktion von \(25\): \(10\,000 - 25 = 9975\). 3. Daher ist \(9975\) das größte vierstellige positive Vielfache von \(25\).

\(9975\), denn \(10\,000\) ist bereits fünfstellig und \(10\,000 - 25 = 9975\).

- Beginne bei \(800\) und gehe in Schritten von \(25\) weiter. - Beende die Liste, sobald das nächste Vielfache größer als \(890\) wäre. - Vergleiche erst danach die Endziffern der gefundenen Vielfachen mit dem Stellenmuster.

1. Die Vielfachen von \(25\) im geforderten Bereich sind \(800 = 25 \cdot 32\), \(825 = 25 \cdot 33\), \(850 = 25 \cdot 34\) und \(875 = 25 \cdot 35\). 2. Von diesen Zahlen haben nur \(800\) und \(850\) die Form \(8\square0\). 3. Daher sind die Ziffern \(0\) und \(5\) möglich.

Vielfache von \(25\) von \(800\) bis \(890\): \(800\), \(825\), \(850\), \(875\). Zur Form \(8\square0\) passen \(800\) und \(850\); daher \(\square \in \{0;5\}\).

- Was ist der größte Teiler einer Zahl? - Erinnere dich an die Definition einer Primzahl: Wie viele Teiler hat sie? - Wie hängen die Teilermenge und die Vielfachenmenge zusammen?

1. Die größte Zahl in einer vollständigen Teilermenge ist die Zahl selbst. Daher ist \(x=48\). 2. Primzahlen haben genau zwei positive Teiler. In \(T(x)\) sind deshalb \(2\) und \(3\) Primzahlen; \(1\) ist keine Primzahl. 3. Es gilt \(96:48=2\) beziehungsweise \(2\cdot48=96\). Daher ist \(96\) ein Element von \(V(48)\).

a) \(x=48\) b) \(2\) und \(3\) c) Ja, denn \(2\cdot48=96\). Also gilt \(96\in V(48)\).

- Suche die Teiler systematisch über passende Faktorpaare. - Beginne mit \(1\) und prüfe nur so lange mögliche Teiler, bis sich die Faktorpaare wiederholen würden. - Achte darauf, jeden Teiler nur einmal in die Tabelle einzutragen.

1. Bestimme für jede Zahl die vollständige Teilermenge und trage ihre Anzahl in eine Tabelle ein. <table> <tr><th>\(n\)</th><th>Teiler</th><th>Anzahl der Teiler</th></tr> <tr><td>\(10\)</td><td>\(\{1; 2; 5; 10\}\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(11\)</td><td>\(\{1; 11\}\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(12\)</td><td>\(\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(13\)</td><td>\(\{1; 13\}\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(14\)</td><td>\(\{1; 2; 7; 14\}\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(15\)</td><td>\(\{1; 3; 5; 15\}\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(16\)</td><td>\(\{1; 2; 4; 8; 16\}\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>\(17\)</td><td>\(\{1; 17\}\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(18\)</td><td>\(\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(19\)</td><td>\(\{1; 19\}\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(20\)</td><td>\(\{1; 2; 4; 5; 10; 20\}\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table> 2. Die größte eingetragene Teileranzahl ist \(6\). 3. Diese Anzahl tritt bei \(12\), \(18\) und \(20\) auf.

a) <table> <tr><th>\(n\)</th><th>Anzahl der Teiler</th></tr> <tr><td>\(10\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(11\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(12\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(13\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(14\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(15\)</td><td>\(4\)</td></tr> <tr><td>\(16\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><td>\(17\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(18\)</td><td>\(6\)</td></tr> <tr><td>\(19\)</td><td>\(2\)</td></tr> <tr><td>\(20\)</td><td>\(6\)</td></tr> </table> b) \(12\), \(18\) und \(20\) haben mit jeweils \(6\) Teilern die größte Teileranzahl.

- Jede weitere volle Packung erhöht die Ballzahl um \(6\). - Schreibe die positiven Vielfachen von \(6\) der Reihe nach auf. - Prüfe anschließend beide Grenzen des vorgegebenen Intervalls.

1. Jede mögliche positive Gesamtzahl ist ein positives Vielfaches von \(6\). Die ersten zehn sind \(6\), \(12\), \(18\), \(24\), \(30\), \(36\), \(42\), \(48\), \(54\) und \(60\). 2. Für \(40<x<60\) bleiben davon \(42\), \(48\) und \(54\).

a) \(\{6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60\}\) b) \(42\), \(48\) und \(54\)

- Schreibe zuerst alle Teiler für die erste Zahl auf und zähle sie. - Mache das Gleiche für die zweite Zahl. - Vergleiche dann einfach die beiden Ergebnisse. - Nutze Teilerpaare, damit du keinen Teiler vergisst.

1. Für \(48\) ergeben sich die Faktorpaare \((1;48)\), \((2;24)\), \((3;16)\), \((4;12)\) und \((6;8)\). Damit ist \(T(48)=\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\) und \(48\) hat \(10\) Teiler. 2. Für \(60\) ergeben sich die Faktorpaare \((1;60)\), \((2;30)\), \((3;20)\), \((4;15)\), \((5;12)\) und \((6;10)\). Damit ist \(T(60)=\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\) und \(60\) hat \(12\) Teiler. 3. Da \(12>10\) gilt, hat \(60\) mehr Teiler als \(48\).

\(60\) hat mehr Teiler. \(T(48)=\{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48\}\) mit \(10\) Teilern. \(T(60)=\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60\}\) mit \(12\) Teilern.

- Suche bei a) die Vielfachen im gesamten kurzen Zahlenbereich, nicht nur einzelne Treffer. - Bei b) und c) unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Kandidaten immer um \(10\). Was bedeutet diese Änderung für den Divisionsrest bei Division durch \(4\)? - Bei d) unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende dreistellige Kandidaten um \(100\). Vergleiche diese Änderung mit einem Vielfachen von \(4\).

1. Für a) sind die Vielfachen von \(4\) im Bereich \(520\) bis \(529\) genau \(520 = 4 \cdot 130\), \(524 = 4 \cdot 131\) und \(528 = 4 \cdot 132\). Daher sind \(0\), \(4\) und \(8\) möglich. 2. Für b) gilt \(706 = 4 \cdot 176 + 2\). Wird die Kästchenziffer um \(1\) erhöht, wächst die Zahl um \(10 = 4 \cdot 2 + 2\). Der Rest wechselt daher abwechselnd zwischen \(2\) und \(0\). Genau bei den ungeraden Ziffern \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\) ist der Rest \(0\). 3. Für c) gilt \(402 = 4 \cdot 100 + 2\). Auch hier erhöht jeder Ziffernschritt die Zahl um \(10\), sodass der Rest wieder zwischen \(2\) und \(0\) wechselt. Möglich sind genau \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\). 4. Für d) gilt \(118 = 4 \cdot 29 + 2\). Jede weitere dreistellige Kandidatenzahl entsteht durch Addition von \(100 = 4 \cdot 25\). Deshalb bleibt der Rest stets \(2\); keine Ziffer funktioniert.

a) Vielfache im Bereich: \(520\), \(524\), \(528\); also \(\square \in \{0;4;8\}\). b) \(706 = 4 \cdot 176 + 2\) und jeder Ziffernschritt addiert \(10 = 4 \cdot 2 + 2\). Die Reste wechseln \(2,0,2,0,\dots\); daher \(\square \in \{1;3;5;7;9\}\). c) \(402 = 4 \cdot 100 + 2\) und derselbe Ziffernschritt von \(10\) lässt die Reste \(2,0,2,0,\dots\) wechseln; daher \(\square \in \{1;3;5;7;9\}\). d) \(118 = 4 \cdot 29 + 2\) und \(100 = 4 \cdot 25\). Deshalb bleibt bei jeder dreistelligen Zahl der Form \(\square18\) der Rest \(2\); keine Ziffer ist möglich.

- Überlege, was du über die Gerade- oder Ungerade-Eigenschaft aller Vielfachen von \(4\) weißt. - Welche Eigenschaft der letzten Ziffer verhindert bei der ursprünglichen Zahl jede Lösung? - Nach der Änderung genügt ein einziges korrektes Beispiel mit einer Multiplikations- oder Divisionsrechnung.

1. Jedes Vielfache von \(4\) ist gerade, weil \(4 = 2 \cdot 2\) gilt. Die Zahl \(3\square7\) endet auf \(7\) und ist daher ungerade. Unabhängig von der Ziffer im Kästchen kann sie kein Vielfaches von \(4\) sein. 2. Man ersetzt die letzte Ziffer durch eine gerade Ziffer und sucht anschließend ein passendes Vielfaches von \(4\). Zum Beispiel kann aus \(3\square7\) die Form \(3\square6\) werden. 3. Mit \(\square = 1\) entsteht \(316\), und es gilt \(316 = 4 \cdot 79\). Damit ist ein mögliches Beispiel gefunden.

Keine Ziffer funktioniert bei \(3\square7\), weil jedes Vielfache von \(4\) gerade ist, die Zahl aber auf \(7\) endet. Ein mögliches geändertes Beispiel ist \(316 = 4 \cdot 79\).

- Was bedeutet es für eine Zahl, wenn sie „nicht durch \(2\) teilbar“ ist? - Suche nach einer Zahl in der Viererreihe, die eine andere Endziffer als \(4\) oder \(8\) hat. - Addiere zwei einfache ungerade Zahlen und schaue dir das Ergebnis an. - Reicht ein einziges Beispiel aus, um eine allgemeine Behauptung zu Fall zu bringen?

1. In Teilaufgabe a) wird eine Zahl gesucht, die durch \(4\) teilbar ist, aber nicht auf \(4\) oder \(8\) endet. Die Zahlen \(12\) und \(20\) sind durch \(4\) teilbar (\(12 : 4 = 3\); \(20 : 4 = 5\)), enden aber auf \(2\) bzw. \(0\). 2. In Teilaufgabe b) müssen zwei ungerade Zahlen addiert werden, um zu prüfen, ob die Summe gerade (durch \(2\) teilbar) sein kann. Wählt man zum Beispiel \(3\) und \(5\), ergibt sich \(3 + 5 = 8\). Da \(8\) durch \(2\) teilbar ist, ist die Aussage widerlegt.

Mögliche Gegenbeispiele sind: a) \(12\) (oder \(20\), \(32\), \(40\) usw.) b) \(3 + 5 = 8\) (oder jede andere Summe zweier ungerader Zahlen)

- Überprüfe jede Zahl zwischen 10 und 20 einzeln. - Denke daran, dass Primzahlen immer nur genau zwei Teiler haben. - Erstelle für jede Zahl eine kleine Liste ihrer Teilerpaare.

1. Überprüfung aller Zahlen von \(11\) bis \(19\) auf ihre Teileranzahl. 2. \(11\), \(13\), \(17\), \(19\) sind Primzahlen und haben nur \(2\) Teiler. 3. \(12\) hat die Teiler \(\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (\(6\) Teiler). 4. \(14\) hat die Teiler \(\{1; 2; 7; 14\}\) (\(4\) Teiler). 5. \(15\) hat die Teiler \(\{1; 3; 5; 15\}\) (\(4\) Teiler). 6. \(16\) hat die Teiler \(\{1; 2; 4; 8; 16\}\) (\(5\) Teiler). 7. \(18\) hat die Teiler \(\{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\) (\(6\) Teiler). 8. Ergebnis: Die Zahlen sind \(14\) und \(15\).

Die Zahlen sind \(14\) mit \(T(14) = \{1; 2; 7; 14\}\) und \(15\) mit \(T(15) = \{1; 3; 5; 15\}\).

- Bestimme zuerst die Teilermenge der gegebenen Zahl systematisch. - Faktorpaare helfen dir dabei, keinen Teiler zu übersehen. - Prüfe anschließend, welche gefundenen Teiler beide Grenzen des Intervalls erfüllen.

1. Ermittle die Teiler von \(72\) über die Faktorpaare \(1 \cdot 72\), \(2 \cdot 36\), \(3 \cdot 24\), \(4 \cdot 18\), \(6 \cdot 12\) und \(8 \cdot 9\). 2. Damit ist \(T(72) = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72\}\). 3. Von diesen Teilern liegen \(8\), \(9\) und \(12\) im Bereich \(7 < x < 15\).

Die gesuchten Teiler sind \(8\), \(9\) und \(12\).

- Bestimme zuerst die wenigen Vielfachen von \(12\), die überhaupt infrage kommen. - Suche die Teiler jeder Kandidatenzahl systematisch in Faktorpaare gegliedert. - Vergleiche erst dann die vollständigen Teilermengen und ihre Größen.

1. Die positiven Vielfachen von \(12\) unter \(50\) sind \(12\), \(24\), \(36\) und \(48\). 2. Es gilt \(T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}\) mit \(6\) Teilern. 3. Es gilt \(T(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\) mit \(8\) Teilern. 4. Es gilt \(T(36)=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}\) mit \(9\) Teilern. 5. Es gilt \(T(48)=\{1;2;3;4;6;8;12;16;24;48\}\) mit \(10\) Teilern. 6. Daher besitzt \(48\) die größte Anzahl an Teilern.

\(T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}\) \(T(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\) \(T(36)=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}\) \(T(48)=\{1;2;3;4;6;8;12;16;24;48\}\) Damit hat \(48\) mit \(10\) Teilern die größte Anzahl an Teilern.

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 40 Fliesen zu einem Rechteck anzuordnen? Nutze Teilerpaare. - Berechne für jede dieser Möglichkeiten zuerst die Länge und Breite in Metern. - Stelle eine kleine Tabelle auf, um die Umfänge aller möglichen Rechtecke zu vergleichen. - Was stellst du fest, wenn du die berechneten Umfänge mit dem Wert \(15\,\text{m}\) vergleichst?

1. Bestimmung der Seitenlänge einer Fliese in Metern: \(0{,}5\,\text{m}\). 2. Auflistung aller möglichen ganzzahligen Faktorpaare von 40 (Anzahl der Fliesen längs und quer): \((1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)\). 3. Berechnung der Seitenlängen in Metern und der zugehörigen Umfänge (\(U = 2 \cdot (a + b)\)): - Anordnung \(1 \times 40\): Seiten \(0{,}5\,\text{m}\) und \(20\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (0{,}5 + 20) = 41\,\text{m}\). - Anordnung \(2 \times 20\): Seiten \(1\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (1 + 10) = 22\,\text{m}\). - Anordnung \(4 \times 10\): Seiten \(2\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (2 + 5) = 14\,\text{m}\). - Anordnung \(5 \times 8\): Seiten \(2{,}5\,\text{m}\) und \(4\,\text{m}\) \(\rightarrow U = 2 \cdot (2{,}5 + 4) = 13\,\text{m}\). 4. Vergleich mit dem Zielwert: Keiner der berechneten Umfänge (\(41\,\text{m}, 22\,\text{m}, 14\,\text{m}, 13\,\text{m}\)) ist gleich \(15\,\text{m}\). 5. Fazit: Es ist nicht möglich, einen Umfang von genau \(15\,\text{m}\) zu erreichen.

Es ist nicht möglich. Die möglichen Umfänge bei der Verwendung von 40 Fliesen sind \(41\,\text{m}\), \(22\,\text{m}\), \(14\,\text{m}\) und \(13\,\text{m}\). Der Wert \(15\,\text{m}\) kommt in dieser Liste nicht vor.

- Schreibe die Teiler möglichst als Faktorpaare auf. - Vergleiche bei \(16\) das Paar \(4\cdot4\) mit den anderen Faktorpaaren. - Überlege, was mit der Anzahl der einzelnen Teiler geschieht, wenn ein Faktorpaar aus zwei gleichen Zahlen besteht.

1. Die Teilermengen sind \(T(4)=\{1; 2; 4\}\), \(T(9)=\{1; 3; 9\}\), \(T(16)=\{1; 2; 4; 8; 16\}\) und \(T(25)=\{1; 5; 25\}\). Ihre Teileranzahlen sind also \(3\), \(3\), \(5\) und \(3\). 2. Es gilt \(T(6)=\{1; 2; 3; 6\}\), \(T(8)=\{1; 2; 4; 8\}\) und \(T(10)=\{1; 2; 5; 10\}\). Jede dieser Zahlen hat \(4\) Teiler. 3. Bei einer Nichtquadratzahl bilden die Teiler verschiedene Faktorpaare: Zu jedem Teiler gehört ein anderer Partner, sodass die Teiler paarweise gezählt werden. 4. Bei einer Quadratzahl gibt es zusätzlich genau ein Faktorpaar aus zwei gleichen Faktoren, zum Beispiel \(4\cdot4=16\). Dieser mittlere Teiler wird nur einmal gezählt. Deshalb ist die Gesamtzahl der Teiler ungerade.

a) \(4\) hat \(3\) Teiler, \(9\) hat \(3\), \(16\) hat \(5\) und \(25\) hat \(3\). b) \(6\), \(8\) und \(10\) haben jeweils \(4\) Teiler. Die Quadratzahlen haben hier eine ungerade, die Nichtquadratzahlen eine gerade Teileranzahl. c) Bei Nichtquadratzahlen treten die Teiler in Paaren aus zwei verschiedenen Faktoren auf. Bei Quadratzahlen gibt es genau ein Paar aus zwei gleichen Faktoren; dieser Faktor wird nur einmal gezählt. Daher ist die Teileranzahl bei Quadratzahlen ungerade.

- Liste die natürlichen Zahlen zwischen \(20\) und \(30\) auf. - Bestimme ihre Teiler systematisch mithilfe von Teilerpaaren. - Welche Zahl besitzt dabei genau drei verschiedene Teiler?

1. Prüfe die natürlichen Zahlen von \(21\) bis \(29\) auf ihre Teileranzahl. 2. Die Primzahlen \(23\) und \(29\) haben jeweils nur \(2\) Teiler. Die zusammengesetzten Zahlen \(21\), \(22\), \(24\), \(26\), \(27\) und \(28\) haben jeweils mindestens \(4\) Teiler. 3. Für \(25\) gilt \(T(25)=\{1; 5; 25\}\). Damit besitzt \(25\) genau \(3\) positive Teiler.

Die gesuchte Zahl ist \(25\) mit \(T(25)=\{1; 5; 25\}\).

- Suche die Teiler jeder untersuchten Zahl systematisch über Faktorpaare. - Zähle erst dann, wenn du sicher bist, dass die Teilermenge vollständig ist. - Überlege, welche Zahlarten eher sehr wenige oder eine ungerade Anzahl von Teilern haben und deshalb weniger geeignet sein könnten.

1. Untersuche die Zahlen zwischen \(10\) und \(30\) systematisch, indem du ihre Faktorpaare bestimmst. 2. Für \(12\) gilt \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\). Die Zahl hat genau \(6\) Teiler. 3. Für \(18\) gilt \(T(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\). Auch diese Zahl hat genau \(6\) Teiler. 4. Weitere mögliche Lösungen sind \(20\) mit \(T(20) = \{1; 2; 4; 5; 10; 20\}\) und \(28\) mit \(T(28) = \{1; 2; 4; 7; 14; 28\}\).

Zum Beispiel: \(T(12) = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) \(T(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}\) Auch \(20\) und \(28\) sind mögliche Zahlen.

- Überlege, welche Gerade- oder Ungerade-Eigenschaften in jedem Block aus vier aufeinanderfolgenden Zahlen zwingend vorkommen. - Betrachte für Teil 2) die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Vielfachen von \(4\). - Für Teil 3) reicht ein einziges korrektes Gegenbeispiel, wenn die Aussage nicht immer gilt.

1. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen gibt es mindestens eine gerade Zahl. Damit enthält das Produkt einen Faktor, der durch \(2\) teilbar ist, und das ganze Produkt ist durch \(2\) teilbar. 2. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt immer genau ein Vielfaches von \(4\). Damit enthält das Produkt einen Faktor, der bereits durch \(4\) teilbar ist, und das ganze Produkt ist durch \(4\) teilbar. 3. Für \(5\) gilt die Aussage nicht. Das Gegenbeispiel \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) zeigt, dass vier aufeinanderfolgende Zahlen kein Vielfaches von \(5\) enthalten müssen.

1) Ja. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt mindestens eine gerade Zahl; deshalb enthält das Produkt einen Faktor \(2\) und ist durch \(2\) teilbar. 2) Ja. Unter vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen liegt immer ein Vielfaches von \(4\); deshalb ist auch das ganze Produkt durch \(4\) teilbar. 3) Nein. Zum Beispiel ist \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\) nicht durch \(5\) teilbar.