- Vergleiche zuerst die Längen der waagerechten und senkrechten Seiten in Kästchen. - Vergleiche, ob alle vier Seiten des Vierecks gleich lang sind.

1. Die waagerechten Seiten sind jeweils \(4\) Kästchen lang, die senkrechten Seiten jeweils \(2\) Kästchen. 2. Die Figur hat vier rechte Winkel und ist damit ein Rechteck. 3. Weil nicht alle vier Seiten gleich lang sind, ist sie kein Quadrat.

Ein Rechteck, das kein Quadrat ist.

- Welche Ecken des Drachenvierecks liegen einander gegenüber? - Welche beschrifteten Strecken verbinden jeweils zwei dieser Ecken? - Seiten liegen am Rand der Figur; Diagonalen verbinden nicht benachbarte Ecken.

1. Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken eines Vierecks. 2. In der Abbildung verbinden die Strecken \(e\) und \(f\) jeweils zwei gegenüberliegende Ecken.

Die Diagonalen sind \(e\) und \(f\).

- Was bedeuten gleiche Strichmarkierungen an Seiten? - Vergleiche, wie viele Seiten in jeder Figur als gleich lang markiert sind. - Welche Bedingung unterscheidet hier die Raute vom anderen Drachenviereck?

1. In a) sind jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang, aber nicht alle vier Seiten. Daher ist a) ein Drachenviereck, das keine Raute ist. 2. In b) sind alle vier Seiten gleich lang. Daher ist b) eine Raute.

a) Drachenviereck, das keine Raute ist b) Raute

- Vergleiche zuerst die Richtung der oberen und unteren Seite jeder Figur. - Prüfe danach auch das zweite Paar gegenüberliegender Seiten. - Für ein Parallelogramm müssen beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sein.

1. Bei Figur a) sind die obere und die untere Seite parallel. Die beiden anderen Gegenseiten sind nicht parallel. 2. Figur a) ist deshalb ein Trapez, aber kein Parallelogramm. 3. Bei Figur b) sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel. Figur b) ist daher ein Parallelogramm.

Figur a). Sie hat genau ein Paar paralleler Gegenseiten und ist deshalb ein Trapez, aber kein Parallelogramm.

- Vergleiche zuerst die Strichmarkierungen an allen vier Seiten jeder Figur. - Bei einer Raute müssen alle vier Seiten gleich lang sein. - Bei einem Drachenviereck reichen zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.

1. In Figur a) tragen alle vier Seiten dieselbe Strichmarkierung. Alle vier Seiten sind also gleich lang. Figur a) ist eine Raute. 2. In Figur b) sind jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang. Die beiden Seitenpaare haben aber unterschiedliche Markierungen und damit unterschiedliche Längen. 3. Figur b) ist deshalb ein Drachenviereck, aber keine Raute.

a) Figur a) ist eine Raute. b) Figur b) ist ein Drachenviereck, aber keine Raute.

- Welche Vierecksart ist durch vier rechte Winkel gekennzeichnet? - Prüfe jede Bezeichnung aus der Liste einzeln gegen die gegebenen Eigenschaften. - Beachte bei „Trapez“ die Definition am Anfang der Aufgabe.

1. Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln ist ein Rechteck. 2. Für ein Quadrat müssten zusätzlich alle vier Seiten gleich lang sein; das ist nicht angegeben. 3. Nach der festgelegten Definition ist das Viereck außerdem ein Trapez, weil es mindestens ein Paar paralleler Seiten besitzt. 4. Drachenviereck, Raute und Quadrat treffen ohne weitere Seitenangaben nicht sicher zu.

Rechteck, Trapez

- Entscheidend ist die zusätzliche Angabe, dass hier alle vier Seiten gleich lang sind. - Welche Vierecksart wird durch vier gleich lange Seiten beschrieben? - Welche zusätzliche Winkeleigenschaft unterscheidet ein Quadrat von einer allgemeinen Raute?

1. Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Daher ist das beschriebene Drachenviereck auch eine Raute. 2. Hat diese Raute zusätzlich vier rechte Innenwinkel, ist sie ein Quadrat.

a) Raute b) Wenn alle vier Innenwinkel rechte Winkel sind, ist die Raute ein Quadrat.

- Welche Vierecksklasse hat zwei Paare paralleler gegenüberliegender Seiten? - Welche zusätzliche Klasse erhältst du, wenn außerdem alle vier Seiten gleich lang und alle vier Winkel recht sind?

1. Wenn beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind, ist das Viereck ein Parallelogramm. 2. Mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln erfüllt das Viereck zusätzlich alle Eigenschaften eines Quadrats.

a) Parallelogramm b) Quadrat

- Welche Vierecksart hat vier gleich lange Seiten? - Überlege, welche weitere Vierecksart jede Raute zugleich ist. - Welche zusätzliche Winkeleigenschaft wäre für ein Quadrat nötig?

1. Vier gleich lange Seiten kennzeichnen eine Raute. 2. Bei einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel. Deshalb ist die Figur auch ein Parallelogramm. 3. Ein Quadrat müsste zusätzlich vier rechte Winkel haben. Diese Bedingung ist nicht erfüllt.

Parallelogramm und Raute passen. Quadrat passt nicht, weil die Winkel nicht recht sind.

- Wie heißt die große Gruppe von Vierecken, bei denen die gegenüberliegenden Seiten parallel sind? - Reicht die Parallelität der Seiten aus, um die Größe der Winkel festzulegen? - Was ist das besondere Merkmal der Winkel in einem Rechteck?

1. Ein Viereck mit zwei Paaren paralleler gegenüberliegender Seiten ist ein Parallelogramm. 2. Ein Rechteck ist ein besonderes Parallelogramm mit vier rechten Winkeln. 3. Ein allgemeines Parallelogramm kann auch Winkel haben, die nicht \(90^\circ\) groß sind.

Das beschriebene Viereck ist ein Parallelogramm. Der entscheidende Unterschied zum Rechteck ist, dass ein Rechteck vier rechte Winkel haben muss. Bei einem allgemeinen Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten zwar parallel, die Winkel müssen aber keine rechten Winkel sein.

- Nutze für a), dass gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks parallel verlaufen. - Bestimme zuerst die Länge der unveränderten Grundseite \([AB]\). - Für b) soll die neue Figur ausdrücklich oberhalb von \([AB]\) liegen.

1. Für das Rechteck muss \(D\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\) haben. Daher ist \(D(2\mid 5)\). 2. Die Grundseite hat die Länge \(|AB|=7-2=5\) Einheiten. 3. Für ein Quadrat oberhalb von \([AB]\) muss die senkrechte Seitenlänge ebenfalls \(5\) Einheiten betragen. Von \(y=2\) aus ergibt sich daher \(2+5=7\). 4. Somit erhalten \(C\) und \(D\) die neue \(y\)-Koordinate \(7\).

a) \(D(2\mid 5)\) b) Die neue \(y\)-Koordinate von \(C\) und \(D\) ist \(7\).

- Vergleiche die vier angegebenen Seitenlängen. - Für eine Raute müssen alle vier Seiten dieselbe Länge haben. - In b) bleiben zwei Seiten schon fest; passe die beiden anderen daran an.

1. Bei einer Raute müssen alle vier Seiten gleich lang sein. 2. Hier sind zwei Seiten \(5\,\text{cm}\) und die beiden anderen \(7\,\text{cm}\) lang. Das Drachenviereck ist daher keine Raute. 3. Wenn \([PQ]\) und \([PS]\) \(5\,\text{cm}\) lang bleiben, müssen auch \([QR]\) und \([RS]\) jeweils \(5\,\text{cm}\) lang sein, damit alle vier Seiten gleich lang sind.

a) Nein. Die vier Seiten sind nicht alle gleich lang. b) \([QR]\) und \([RS]\) müssten jeweils \(5\,\text{cm}\) lang sein.

- Welche Vierecke haben überhaupt parallele gegenüberliegende Seiten? - Welche der genannten Vierecke haben immer vier gleich lange Seiten? - Lies genau, welche Eigenschaft ausgeschlossen wird.

1. Die Eigenschaft „zwei Paare paralleler Seiten“ trifft auf alle genannten Vierecke zu (Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm). 2. Die Bedingung „nicht alle Seiten gleich lang“ schließt das Quadrat und die Raute aus, da bei diesen definitionsgemäß alle vier Seiten gleich lang sein müssen. 3. Übrig bleiben das Rechteck (bei dem nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein müssen) und das allgemeine Parallelogramm.

(2) Rechteck und (4) Parallelogramm kommen infrage.

- Beginne mit einer Eigenschaft, die für jedes Parallelogramm gilt. - Überlege dann, welche stärkere Aussage bei einer Raute über alle vier Seiten gilt. - Achte darauf: Eine Raute gehört selbst zu den Parallelogrammen.

1. Bei jedem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang. 2. Eine Raute ist ein besonderes Parallelogramm. 3. Bei einer Raute sind zusätzlich alle vier Seiten gleich lang.

Bei jedem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang. Bei einer Raute sind alle vier Seiten gleich lang. Eine Raute ist also ein besonderes Parallelogramm.

- Lies bei jedem Punkt zuerst die \(x\)-Koordinate und dann die \(y\)-Koordinate ab. - Prüfe anschließend, welche Seiten waagerecht oder senkrecht verlaufen. - Vergleiche die Längen benachbarter Seiten, wenn du zwischen Rechteck und Quadrat unterscheiden willst.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-4 \mid -1)\), \(B(3 \mid -1)\), \(C(3 \mid 2)\) und \(D(-4 \mid 2)\) ab. 2. Die Seiten \([AB]\) und \([CD]\) sind waagerecht, \([BC]\) und \([DA]\) senkrecht. Daher sind alle vier Winkel rechte Winkel. 3. Es gilt \(|AB|=|CD|=7\) Einheiten und \(|BC|=|DA|=3\) Einheiten. Das Viereck ist daher ein Rechteck und kein Quadrat.

a) \(A(-4 \mid -1)\), \(B(3 \mid -1)\), \(C(3 \mid 2)\), \(D(-4 \mid 2)\) b) Rechteck

- Welche Vierecksklasse entsteht durch die beiden Parallelitäten im Teil \(AECD\)? - Welche gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks sind gleich lang? - Zerlege die lange Grundseite \([AB]\) in \([AE]\) und \([EB]\).

1. Es gilt \([AD]\parallel[CE]\) und \([AE]\parallel[DC]\). Daher ist \(AECD\) ein Parallelogramm. 2. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Somit gilt \(|AE|=|CD|=5\,\text{cm}\). 3. Auf der Grundseite gilt \(|AB|=|AE|+|EB|\). 4. Daher ist \(|EB|=12\,\text{cm}-5\,\text{cm}=7\,\text{cm}\).

\(|EB|=7\,\text{cm}\)

- Lies zuerst die Bedeutung der Strichmarkierungen an den Seiten ab. - Prüfe anschließend, was der eingezeichnete Winkel über rechte Winkel aussagt. - Für ein Quadrat müssen sowohl die passende Seitenlängen-Eigenschaft als auch rechte Winkel vorliegen.

1. Alle vier Seiten tragen dieselbe Strichmarkierung und sind daher gleich lang. Damit ist das Viereck eine Raute. 2. Ein Innenwinkel ist mit \(60^\circ\) angegeben und damit kein rechter Winkel. 3. Deshalb ist das Viereck weder ein Rechteck noch ein Quadrat.

Das Viereck ist eine Raute, aber weder ein Rechteck noch ein Quadrat.

- Prüfe bei jeder Figur zuerst die beiden Paare von Gegenseiten auf Parallelität. - „Genau ein Paar“ schließt Figuren mit zwei parallelen Gegenseitenpaaren aus. - Vergleiche danach bei den verbleibenden Figuren die beiden nicht parallelen Seiten mithilfe des Punktgitters.

1. Bei a) sind die obere und die untere Seite parallel. Die beiden schrägen Seiten sind gleich lang. Damit erfüllt a) beide Bedingungen. 2. Bei b) sind beide Paare von Gegenseiten parallel. Deshalb erfüllt b) die Bedingung „genau ein Paar“ nicht. 3. Bei c) ist zwar genau ein Paar von Gegenseiten parallel, die beiden anderen Seiten sind aber unterschiedlich lang.

Figur a) erfüllt beide Bedingungen. b) hat zwei Paare paralleler Gegenseiten; bei c) sind die beiden nicht parallelen Seiten nicht gleich lang.

- Die Gleichheit aller vier Seiten ist bei beiden Figuren bereits gegeben. - Suche deshalb nach einer Eigenschaft, die nur das Quadrat zusätzlich besitzt. - Vergleiche die Innenwinkel der beiden Figuren im Punktgitter.

1. Figur a) besitzt vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Sie ist daher ein Quadrat. 2. Figur b) besitzt ebenfalls vier gleich lange Seiten, hat aber keine rechten Innenwinkel. Sie ist eine Raute, aber kein Quadrat. 3. Damit widerlegt Figur b) Emils Behauptung. 4. Eine Raute ist genau dann ein Quadrat, wenn sie zusätzlich vier rechte Winkel besitzt.

a) Figur b) b) Die Raute muss zusätzlich vier rechte Winkel haben.

- Prüfe bei jeder Aussage die genannten Eigenschaften der Vierecke. - Eine Figur darf zusätzliche Eigenschaften haben und trotzdem zu einer Vierecksart gehören. - Bei einer falschen Aussage hilft ein mögliches Gegenbeispiel.

1. Ein Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten und damit mindestens ein Paar. Deshalb ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez. 2. Bei einem Drachenviereck können die beiden Paare gleich langer benachbarter Seiten unterschiedlich lang sein. Dann ist es keine Raute. 3. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel, aber nicht immer vier gleich lange Seiten. Deshalb ist nicht jedes Rechteck eine Raute. 4. Nach der angegebenen Definition darf ein Trapez auch zwei Paare paralleler Seiten haben. Dann ist es zugleich ein Parallelogramm.

1. Ja. 2. Ja. 3. Nein. 4. Ja.

- Vergleiche bei Parallelogramm und Raute zuerst die Seitenlängen. - Vergleiche bei Raute und Quadrat anschließend die Innenwinkel. - Für Teil c) kann ein Rechteck mit zwei verschieden langen Seitenpaaren als Gegenbeispiel helfen.

1. Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind. 2. Eine Raute ist ein Quadrat, wenn ihre Innenwinkel rechte Winkel sind. 3. Jedes Quadrat hat vier rechte Winkel und ist deshalb auch ein Rechteck. Ein Rechteck muss aber nicht vier gleich lange Seiten haben.

a) Alle vier Seiten müssen gleich lang sein. b) Die Innenwinkel müssen rechte Winkel sein. c) Jedes Quadrat hat vier rechte Winkel und ist damit auch ein Rechteck; ein Rechteck muss aber nicht vier gleich lange Seiten haben.

- Vergleiche jede Aussage mit den Eigenschaften der genannten Vierecke. - Nutze bei c) die Trapezdefinition aus dem Aufgabentext. - Für eine falsche Aussage reicht ein Gegenbeispiel.

1. Aussage a) ist wahr, weil ein Quadrat vier rechte Winkel hat und damit alle Bedingungen eines Rechtecks erfüllt. 2. Aussage b) ist falsch. Eine Raute ohne rechte Winkel ist ein Gegenbeispiel. 3. Aussage c) ist wahr. Ein Parallelogramm hat zwei Paare paralleler Seiten und damit mindestens ein Paar paralleler Seiten. 4. Aussage d) ist falsch. Eine Raute ohne rechte Winkel hat vier gleich lange Seiten, ist aber kein Rechteck.

a) Wahr. b) Falsch; Gegenbeispiel: eine Raute ohne rechte Winkel. c) Wahr. d) Falsch; Gegenbeispiel: eine Raute ohne rechte Winkel.

- Denke an den Unterschied zwischen Seitenlängen und Winkelgrößen. - Gibt es Formen, die zwar gleiche Seiten, aber keine rechten Winkel haben? - Welche Bedingungen müssen für ein Drachenviereck erfüllt sein? Sind Winkel dabei fest vorgegeben? - Eine kleine Skizze kann dir beim Prüfen eines Gegenbeispiels helfen.

1. a) ist falsch. Vier gleich lange Seiten ergeben eine Raute; für ein Quadrat müssten zusätzlich alle Winkel \(90^\circ\) groß sein. Eine Raute mit Winkeln von \(60^\circ\) und \(120^\circ\) ist ein Gegenbeispiel. 2. b) ist wahr. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und ist deshalb auch eine Raute. 3. c) ist falsch. Bei einem Drachenviereck sind zwei Paare benachbarter Seiten gleich lang; rechte Winkel sind nicht vorgeschrieben. Ein Drachenviereck mit den Winkeln \(100^\circ\), \(110^\circ\), \(110^\circ\) und \(40^\circ\) ist ein Gegenbeispiel. 4. d) ist wahr. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel von jeweils \(90^\circ\).

a) Falsch. Gegenbeispiel: Eine Raute mit Winkeln von \(60^\circ\) und \(120^\circ\) hat vier gleich lange Seiten, ist aber kein Quadrat. b) Wahr. c) Falsch. Gegenbeispiel: Ein Drachenviereck mit den Winkeln \(100^\circ\), \(110^\circ\), \(110^\circ\) und \(40^\circ\) besitzt keinen rechten Winkel. d) Wahr.

- Was ist die wichtigste Eigenschaft eines Parallelogramms? Haben Rauten diese Eigenschaft auch? - Denk an einen Flugdrachen: Sind dort immer alle vier Seiten gleich lang? - Welche Eigenschaft macht ein Parallelogramm zu einem Rechteck?

1. Eine Raute hat vier gleich lange Seiten, woraus folgt, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind. Damit erfüllt sie die Definition eines Parallelogramms. Die Aussage ist wahr. 2. Ein Drachenviereck benötigt lediglich zwei Paare jeweils benachbarter, gleich langer Seiten (zum Beispiel \(a = b = 3\,\text{cm}\) und \(c = d = 5\,\text{cm}\)). Es müssen nicht alle vier Seiten gleich lang sein. Die Aussage ist falsch. 3. Die Definition eines Rechtecks ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Da ein Parallelogramm ein Viereck ist, ist die Aussage wahr.

a) Wahr. b) Falsch. Gegenbeispiel: Ein Drachenviereck mit den Seitenlängen \(a = 3\,\text{cm}\), \(b = 3\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\) und \(d = 5\,\text{cm}\). c) Wahr.

- Achte bei a) besonders auf das Wort „genau“ und auf die Trapezdefinition. - Vergleiche bei b) die Lage der gleich langen Seiten in Parallelogramm und Drachenviereck. - Welche Definition kennzeichnet eine Raute?

1. Aussage a) ist falsch. Nach der festgelegten Definition ist auch ein Parallelogramm ein Trapez; es besitzt zwei Paare paralleler Seiten. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Rechteck mit verschieden langen benachbarten Seiten ist ein Parallelogramm, aber kein Drachenviereck. 3. Aussage c) ist wahr. Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute.

a) Falsch; Gegenbeispiel: ein Parallelogramm. b) Falsch; Gegenbeispiel: ein Rechteck mit unterschiedlichen Seitenlängen. c) Wahr.

- Überlege dir, wie die Seiten \(EF\) und \(HG\) in einem Parallelogramm zueinander verlaufen. - Wie kannst du die Länge einer waagerechten Strecke im Koordinatensystem bestimmen? - Was ist die Mindestanforderung an die Seiten eines Trapezes? - Gibt es für Aufgabenteil b) vielleicht mehrere richtige Lösungen?

1. Die Seite \(EF\) liegt auf \(y = 1\) und ist \(6 - 1 = 5\) Einheiten lang. 2. Für das Parallelogramm muss \(HG\) parallel zu \(EF\) und ebenfalls \(5\) Einheiten lang sein. Daher ist \(H(3 \mid 4)\). 3. Für ein Trapez genügt ein Paar paralleler Seiten. Wählt man zum Beispiel \(H_2(5 \mid 4)\), ist \(H_2G\) parallel zu \(EF\), aber nur \(3\) Einheiten lang. Das Viereck ist daher kein Parallelogramm.

a) \(H(3 \mid 4)\) b) Eine mögliche Lösung ist \(H_2(5 \mid 4)\).

- Bei einer Seite parallel zur \(y\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich. - Die Länge \(4\) kann von den gegebenen Punkten nach oben oder nach unten abgetragen werden. - Prüfe, dass in beiden Fällen gegenüberliegende Seiten parallel sind.

1. Weil \([PS]\) parallel zur \(y\)-Achse verläuft, hat \(S\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(P\). Entsprechend hat \(R\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(Q\). 2. Eine Möglichkeit liegt oberhalb der gegebenen Seite. Dann werden die \(y\)-Koordinaten um \(4\) erhöht: \(S(3 \mid 9)\) und \(R(10 \mid 12)\). 3. Die zweite Möglichkeit liegt unterhalb der gegebenen Seite. Dann werden die \(y\)-Koordinaten um \(4\) verringert: \(S(3 \mid 1)\) und \(R(10 \mid 4)\).

Möglichkeit 1: \(R(10 \mid 12)\) und \(S(3 \mid 9)\) Möglichkeit 2: \(R(10 \mid 4)\) und \(S(3 \mid 1)\)

- Vergleiche zuerst die Koordinaten von \(A\) und \(B\). - Welche zwei Eigenschaften haben gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms? - Übertrage die Länge und Richtung von \([AB]\) auf die Seite durch \(D\).

1. \(A\) und \(B\) haben dieselbe \(y\)-Koordinate. Daher gilt \(|AB|=8-1=7\) Einheiten. 2. In einem Parallelogramm ist die gegenüberliegende Seite \([DC]\) parallel zu \([AB]\) und gleich lang. Deshalb verläuft \([DC]\) ebenfalls waagerecht und hat die Länge \(7\) Einheiten. 3. Von \(D(3 \mid 6)\) geht man daher \(7\) Einheiten nach rechts. So erhält man \(C(10 \mid 6)\).

a) \(|AB|=7\) Einheiten b) \(C(10 \mid 6)\). Die gegenüberliegende Seite \([DC]\) ist parallel zu \([AB]\) und gleich lang.

- Untersuche bei jeder Figur zuerst, welche gegenüberliegenden Seiten in derselben Gitterrichtung verlaufen. - Prüfe für das Rechteck zusätzlich, ob rechte Winkel erkennbar sind. - Vergleiche beim Drachenviereck die benachbarten Seiten paarweise.

1. Viereck B ist ein Parallelogramm, weil jeweils die gegenüberliegenden Seiten in derselben Gitterrichtung verlaufen und damit parallel sind. Rechte Winkel sind nicht vorhanden, also ist B kein Rechteck. 2. Viereck A ist ein Trapez, weil die obere und die untere Seite parallel verlaufen, die beiden anderen Seiten aber nicht parallel sind. Damit ist A kein Parallelogramm. 3. Bei Viereck C sind jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang. Die beiden Seitenpaare sind aber nicht gleich lang. Somit ist C ein Drachenviereck, aber keine Raute.

a) Viereck B ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck. b) Viereck A ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm. c) Viereck C ist ein Drachenviereck, aber keine Raute.

- Lies zuerst die Koordinaten der drei eingezeichneten Punkte ab. - Beschreibe die Verschiebung von \(B\) nach \(A\). - Übertrage dieselbe Verschiebung auf \(C\) und prüfe die Seiten des Quadrats.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(3 \mid 2)\), \(B(8 \mid 3)\) und \(C(7 \mid 8)\) ab. 2. Von \(B\) nach \(A\) geht man \(5\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten. 3. Gegenüberliegende Seiten eines Quadrats sind parallel und gleich lang. Dieselbe Verschiebung von \(C\) aus ergibt \(7-5=2\) und \(8-1=7\). 4. Daher ist \(D(2 \mid 7)\).

\(D(2 \mid 7)\)

- Lies zuerst die Koordinaten der drei eingezeichneten Pfosten ab. - Beschreibe den Weg von \(E\) nach \(F\) durch eine horizontale und eine vertikale Änderung. - Übertrage denselben Weg auf \(H\).

1. Aus der Abbildung liest man \(E(1 \mid 1)\), \(F(6 \mid 2)\) und \(H(2 \mid 5)\) ab. 2. Von \(E\) nach \(F\) geht man \(5\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. 3. Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Dieselbe Verschiebung führt daher von \(H\) nach \(G\). 4. Es gilt \(2+5=7\) und \(5+1=6\). Damit ist \(G(7 \mid 6)\).

\(G(7 \mid 6)\)

- Lies zuerst die vier Koordinaten aus der Abbildung ab. - Vergleiche die Verschiebung von \(A\) nach \(B\) mit der von \(D\) nach \(C\). - Vergleiche danach auch die Verschiebung von \(A\) nach \(D\) mit der von \(B\) nach \(C\).

1. Aus der Abbildung liest man \(A(1\mid1)\), \(B(6\mid1)\), \(C(8\mid4)\) und \(D(3\mid4)\) ab. 2. Von \(A\) nach \(B\) und von \(D\) nach \(C\) geht man jeweils 5 Einheiten nach rechts und 0 Einheiten nach oben. Daher sind \([AB]\) und \([DC]\) parallel. 3. Von \(B\) nach \(C\) und von \(A\) nach \(D\) geht man jeweils 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Daher sind \([BC]\) und \([AD]\) parallel. 4. Beide Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel. Somit ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

Ja. Es gilt \([AB]\parallel[DC]\) und \([BC]\parallel[AD]\); daher ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

- Ein Viereck hat genau vier Ecken und vier Seiten. - Prüfe bei jedem Kandidaten, ob alle vier benötigten Seiten tatsächlich eingezeichnet sind. - Drei aufeinanderfolgende Eckpunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. - Beginne mit der kleinen geschlossenen Fläche um den Punkt \(S\).

1. Erfasse die markierten Punkte \(A, B, C, D, E\) und \(S\). 2. Suche geschlossene Figuren mit genau vier Ecken. Jede ihrer vier Seiten muss auf einer eingezeichneten Strecke liegen; drei aufeinanderfolgende Ecken dürfen nicht auf derselben Geraden liegen. 3. \(ADSE\) ist ein Viereck: \(AD\), \(DS\), \(SE\) und \(EA\) sind vollständig eingezeichnet. 4. Weitere Vierecke gibt es nicht. Insbesondere ist \(BCED\) kein Viereck der Zeichnung, weil die Strecke \(DE\) nicht eingezeichnet ist. Kombinationen mit \(B, S, E\) oder \(C, S, D\) sind wegen der jeweils drei kollinearen Punkte entartet.

Das einzige Viereck in der Zeichnung ist \(ADSE\).

- Verfolge zuerst, welche Seiten der beiden kleinen Parallelogramme parallel zur gemeinsamen Seite \([CD]\) sind. - Nutze dann die gemeinsame Gerade durch \(A\), \(D\) und \(F\) für das zweite Paar gegenüberliegender Seiten. - Setze für den Umfang die lange Seite \([AF]\) aus ihren beiden Teilstrecken zusammen.

1. Aus \(ABCD\) folgt \([AB]\parallel[CD]\), aus \(DCEF\) folgt \([CD]\parallel[EF]\). Daher gilt \([AB]\parallel[EF]\). 2. Weil \(A\), \(D\) und \(F\) auf einer Geraden liegen, haben \([AD]\) und \([DF]\) dieselbe Richtung. Außerdem gilt \([BC]\parallel[AD]\) und \([CE]\parallel[DF]\). Damit liegen \([BC]\) und \([CE]\) auf derselben Geraden und es gilt \([BE]\parallel[AF]\). 3. Beide Paare gegenüberliegender Seiten von \(ABEF\) sind parallel. Daher ist \(ABEF\) ein Parallelogramm. 4. Aus den Beschriftungen folgt \(|AB|=5\,\text{cm}\), \(|AD|=5\,\text{cm}\) und \(|DF|=4\,\text{cm}\). Somit ist \(|AF|=5\,\text{cm}+4\,\text{cm}=9\,\text{cm}\). 5. Für den Umfang gilt \(U=2(5\,\text{cm}+9\,\text{cm})=28\,\text{cm}\).

a) \([AB]\parallel[EF]\) und \([BE]\parallel[AF]\); daher ist \(ABEF\) ein Parallelogramm. b) \(28\,\text{cm}\)

- Überlege getrennt, ob \([AB]\) eine Seite oder eine Diagonale des Quadrats sein kann. - Wenn \([AB]\) eine Seite ist, kann das Quadrat auf zwei verschiedenen Seiten von \([AB]\) liegen. - Beschreibe die Schritte von \(A\) nach \(B\). Wie kannst du gleich viele Schritte in einer senkrechten Richtung ausführen?

1. Aus der Abbildung liest man \(A(2 \mid 2)\) und \(B(5 \mid 3)\) ab. 2. Die Strecke \([AB]\) kann eine Seite des Quadrats sein. Dann gibt es auf jeder Seite von \([AB]\) eine mögliche Lage des Quadrats. 3. Die Strecke \([AB]\) kann außerdem eine Diagonale des Quadrats sein. Damit gibt es insgesamt \(3\) verschiedene Quadrate. 4. Von \(A\) nach \(B\) geht man \(3\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. Für eine gleich lange, senkrechte Seite kann man \(1\) Einheit nach links und \(3\) Einheiten nach oben gehen. Von \(A\) aus erhält man so \(D(1 \mid 5)\), von \(B\) aus \(C(4 \mid 6)\).

a) \(3\) Quadrate b) Zum Beispiel \(C(4 \mid 6)\) und \(D(1 \mid 5)\)

- Bei jedem möglichen Parallelogramm ist ein anderer gegebener Punkt der gemeinsame Eckpunkt zweier Seiten. - Beschreibe einen Seitenweg jeweils als „rechts/links“ und „oben/unten“. - Übertrage denselben Seitenweg auf den gegenüberliegenden gegebenen Punkt; es entstehen drei verschiedene Fälle.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(3 \mid 3)\), \(B(7 \mid 4)\) und \(C(4 \mid 7)\) ab. 2. Erster Fall: Von \(B\) nach \(A\) geht man \(4\) Einheiten nach links und \(1\) nach unten. Geht man von \(C\) genauso, erhält man \(D_1(0 \mid 6)\). 3. Zweiter Fall: Von \(A\) nach \(B\) geht man \(4\) Einheiten nach rechts und \(1\) nach oben. Geht man von \(C\) genauso, erhält man \(D_2(8 \mid 8)\). 4. Dritter Fall: Von \(C\) nach \(A\) geht man \(1\) Einheit nach links und \(4\) nach unten. Geht man von \(B\) genauso, erhält man \(D_3(6 \mid 0)\). 5. Damit gibt es genau die drei Ergänzungen \((0 \mid 6)\), \((8 \mid 8)\) und \((6 \mid 0)\).

\((0 \mid 6)\), \((8 \mid 8)\) und \((6 \mid 0)\)