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- Wie viel fehlt von der Summe der drei rechten Winkel noch bis zur gesamten Innenwinkelsumme? - Welchen Namen haben Winkel mit genau \(90^\circ\)? - Was müsste passieren, damit einer der Winkel stumpf wird? Würde die Gesamtsumme dann noch stimmen?

1. Die Summe der Innenwinkel beträgt \(360^\circ\). Die Summe der drei bekannten Winkel ist \(90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ\). 2. Die Größe des vierten Winkels berechnet sich durch \(360^\circ - 270^\circ = 90^\circ\). 3. Ein Winkel von \(90^\circ\) wird als rechter Winkel bezeichnet. 4. Da der vierte Winkel zwingend \(90^\circ\) groß sein muss, kann er nicht stumpf sein (da stumpfe Winkel größer als \(90^\circ\) sind). Somit kann das Viereck keinen stumpfen Winkel haben.

a) Der vierte Winkel ist \(90^\circ\) groß. b) Es ist ein rechter Winkel. c) Nein, da der vierte Winkel genau \(90^\circ\) groß sein muss, bleibt kein Spielraum für einen stumpfen Winkel.

- Welche Wirkung hat die Symmetrieachse auf die beiden Endpunkte \(Q\) und \(S\)? - Was folgt daraus für die beiden Teilstrecken \([QM]\) und \([MS]\)? - Lies die benötigte Teilstreckenlänge aus der Abbildung ab und setze die gesamte Diagonale daraus zusammen.

1. Die Symmetrieachse \([PR]\) halbiert die Diagonale \([QS]\) im Punkt \(M\). 2. Aus der Abbildung liest man \(|QM| = 3{,}5\,\text{cm}\) ab. Daher gilt auch \(|MS| = 3{,}5\,\text{cm}\). 3. Somit ist \(|QS| = 3{,}5\,\text{cm} + 3{,}5\,\text{cm} = 7\,\text{cm}\).

Die Spiegelung an \([PR]\) vertauscht \(Q\) und \(S\). Daher ist \(M\) der Mittelpunkt von \([QS]\) und \(|QM|=|MS|\). Aus \(|QM|=3{,}5\,\text{cm}\) folgt \(|QS|=7\,\text{cm}\).

- Vergleiche zuerst die Längen der waagerechten und senkrechten Seiten in Kästchen. - Vergleiche, ob alle vier Seiten des Vierecks gleich lang sind.

1. Die waagerechten Seiten sind jeweils \(4\) Kästchen lang, die senkrechten Seiten jeweils \(2\) Kästchen. 2. Die Figur hat vier rechte Winkel und ist damit ein Rechteck. 3. Weil nicht alle vier Seiten gleich lang sind, ist sie kein Quadrat.

Ein Rechteck, das kein Quadrat ist.

- Was weißt du über die Größe eines stumpfen Winkels? - Wie groß ist die Summe aller vier Winkel in einem Viereck? - Rechne doch einmal aus, was passiert, wenn du vier Winkel zusammenzählst, die alle größer als ein rechter Winkel sind.

1. Ein stumpfer Winkel ist größer als \(90^\circ\). 2. Sind alle vier Innenwinkel stumpf, ist jeder der vier Winkel größer als \(90^\circ\). 3. Ihre Summe ist deshalb größer als \(4 \cdot 90^\circ = 360^\circ\). 4. Das widerspricht der Innenwinkelsumme eines Vierecks. Paul hat nicht recht.

Nein, Paul hat nicht recht. Da ein stumpfer Winkel größer als \(90^\circ\) ist, wäre die Summe von vier stumpfen Winkeln immer größer als \(360^\circ\).

- Überlege dir, wie groß ein spitzer Winkel sein darf. - Wähle drei spitze Winkel und berechne, welcher vierte Winkel bis zur Innenwinkelsumme von \(360^\circ\) noch fehlt. - Prüfe anschließend, ob dieser vierte Winkel als Innenwinkel eines Vierecks zulässig ist.

1. Ein spitzer Winkel ist kleiner als \(90^\circ\). 2. Man wählt beispielhaft drei spitze Winkel aus, zum Beispiel drei Winkel mit jeweils \(80^\circ\). Deren Summe beträgt \(3 \cdot 80^\circ = 240^\circ\). 3. Um die Innenwinkelsumme von \(360^\circ\) zu erreichen, muss der vierte Winkel \(360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\) groß sein. 4. Da \(120^\circ\) ein gültiger Winkel für ein Viereck ist (ein stumpfer Winkel), ist ein solches Viereck möglich. Emma hat somit nicht recht.

Nein, Emma hat nicht recht. Ein Viereck kann drei spitze Winkel haben, zum Beispiel drei Winkel von je \(80^\circ\) und einen vierten Winkel von \(120^\circ\).

- Welche Vierecksklasse ist durch vier rechte Winkel gekennzeichnet? - Prüfe jede Bezeichnung aus der Liste einzeln gegen die gegebenen Eigenschaften. - Beachte bei „Trapez“ die Definition, die am Anfang der Aufgabe festgelegt wurde.

1. Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln ist ein Rechteck. 2. Für ein Quadrat müssten zusätzlich alle vier Seiten gleich lang sein; das ist nicht angegeben. 3. Nach der festgelegten Definition ist das Viereck außerdem ein Trapez, weil es mindestens ein Paar paralleler Seiten besitzt. 4. Drachenviereck, Raute und Quadrat treffen ohne weitere Seitenangaben nicht sicher zu.

Rechteck, Trapez

- Entscheidend ist die zusätzliche Angabe, dass hier alle vier Seiten gleich lang sind. - Welche Vierecksart wird durch vier gleich lange Seiten beschrieben? - Welche zusätzliche Winkeleigenschaft unterscheidet ein Quadrat von einer allgemeinen Raute?

1. Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Daher ist das beschriebene Drachenviereck auch eine Raute. 2. Hat diese Raute zusätzlich vier rechte Innenwinkel, ist sie ein Quadrat.

a) Raute b) Wenn alle vier Innenwinkel rechte Winkel sind, ist die Raute ein Quadrat.

- Welche Vierecksklasse hat zwei Paare paralleler gegenüberliegender Seiten? - Welche zusätzliche Klasse erhältst du, wenn außerdem alle vier Seiten gleich lang und alle vier Winkel recht sind?

1. Wenn beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind, ist das Viereck ein Parallelogramm. 2. Mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln erfüllt das Viereck zusätzlich alle Eigenschaften eines Quadrats.

a) Parallelogramm b) Quadrat

- Welche Vierecke kennst du, bei denen alle Seiten gleich lang sind? - Grenze die Auswahl ein, indem du die Bedingung mit den Winkeln prüfst. - Denk an die Linien, an denen man eine Form spiegeln kann.

1. Da gegenüberliegende Seiten parallel sind, handelt es sich um ein Parallelogramm. 2. Da zusätzlich alle vier Seiten gleich lang sind, ist es eine Raute (auch Rhombus genannt). 3. Da keine rechten Winkel vorhanden sind, ist es kein Quadrat. 4. Eine Raute besitzt zwei Symmetrieachsen, welche genau auf den Diagonalen des Vierecks liegen.

Das Viereck ist eine Raute (oder ein Rhombus). Es besitzt zwei Symmetrieachsen (die Diagonalen).

- Stell dir vor, die Figur wird entlang einer Geraden gefaltet: Wann decken sich beide Hälften genau? - Prüfe Achsen durch Seitenmitten und Achsen durch gegenüberliegende Ecken getrennt. - Vergleiche, welche zusätzliche Eigenschaft das Quadrat gegenüber einem nichtquadratischen Rechteck hat.

1. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, besitzt \(2\) Symmetrieachsen. Sie verlaufen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten. 2. Ein Quadrat besitzt \(4\) Symmetrieachsen. 3. Zusätzlich zu den beiden Achsen durch gegenüberliegende Seitenmitten sind beim Quadrat auch die beiden Diagonalen Symmetrieachsen. Das ist möglich, weil im Quadrat alle Seiten gleich lang sind.

a) \(2\) Symmetrieachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. b) \(4\) Symmetrieachsen. c) Beim Quadrat sind zusätzlich beide Diagonalen Symmetrieachsen.

- Wie heißt die große Gruppe von Vierecken, bei denen die gegenüberliegenden Seiten parallel sind? - Reicht die Parallelität der Seiten aus, um die Größe der Winkel festzulegen? - Was ist das besondere Merkmal der Winkel in einem Rechteck?

1. Eigenschaft „gegenüberliegende Seiten parallel“ zuordnen: Diese Definition beschreibt ein Parallelogramm. 2. Bedingung für ein Rechteck prüfen: Ein Rechteck ist ein spezielles Parallelogramm, das zusätzlich vier rechte Winkel besitzen muss. 3. Unterschied formulieren: Ein allgemeines Parallelogramm kann „schiefe“ Winkel (ungleich \(90^\circ\)) haben, während beim Rechteck alle Winkel genau \(90^\circ\) betragen müssen.

Das beschriebene Viereck ist ein Parallelogramm. Der entscheidende Unterschied zum Rechteck ist, dass ein Rechteck vier rechte Winkel haben muss. Bei einem allgemeinen Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten zwar parallel, die Winkel müssen aber keine rechten Winkel sein.

- Nutze die Bedeutung der Symmetrieachse für Punkte, die spiegelbildlich zueinander liegen. - Welche Lage hat die Verbindungsstrecke zweier Spiegelpunkte zur Symmetrieachse? - Was folgt daraus für den Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecke mit der Achse?

1. Die Diagonale \(e\) steht senkrecht auf der Diagonalen \(f\), also \(e\perp f\). 2. Die Diagonale \(e\) halbiert \(f\). Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist daher der Mittelpunkt von \([BD]\).

\(e\perp f\), und \(e\) halbiert die Diagonale \(f\).

- Welche Lage muss die Verbindung der spiegelbildlichen Punkte \(B\) und \(D\) zur vorgesehenen Symmetrieachse haben? - Wo müssen \(B\) und \(D\) liegen, damit sie zur Achse \([AC]\) spiegelbildlich sind? - Achte darauf, dass der Schnittpunkt nicht mit \(A\) oder \(C\) zusammenfällt.

1. Zeichne eine Gerade, die senkrecht zu \([AC]\) verläuft und \([AC]\) an einer Stelle zwischen \(A\) und \(C\) schneidet. 2. Markiere auf dieser Senkrechten zwei Punkte \(B\) und \(D\), die denselben Abstand vom Schnittpunkt mit \([AC]\) haben. 3. Verbinde \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) nacheinander zu einem Viereck.

Zeichne eine Senkrechte zu \([AC]\). Wähle darauf zwei Punkte \(B\) und \(D\) mit gleichem Abstand vom Schnittpunkt mit \([AC]\) und verbinde die vier Eckpunkte in der Reihenfolge \(A-B-C-D\).

- Nutze für a), dass gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks parallel verlaufen. - Bestimme zuerst die Länge der unveränderten Grundseite \([AB]\). - Für b) soll die neue Figur ausdrücklich oberhalb von \([AB]\) liegen.

1. Für das Rechteck muss \(D\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\) haben. Daher ist \(D(2\mid 5)\). 2. Die Grundseite hat die Länge \(|AB|=7-2=5\) Einheiten. 3. Für ein Quadrat oberhalb von \([AB]\) muss die senkrechte Seitenlänge ebenfalls \(5\) Einheiten betragen. Von \(y=2\) aus ergibt sich daher \(2+5=7\). 4. Somit erhalten \(C\) und \(D\) die neue \(y\)-Koordinate \(7\).

a) \(D(2\mid 5)\) b) Die neue \(y\)-Koordinate von \(C\) und \(D\) ist \(7\).

- Welche Vierecke haben überhaupt parallele gegenüberliegende Seiten? - Welche der genannten Vierecke haben immer vier gleich lange Seiten? - Lies genau, welche Eigenschaft ausgeschlossen wird.

1. Die Eigenschaft „zwei Paare paralleler Seiten“ trifft auf alle genannten Vierecke zu (Quadrat, Rechteck, Raute und Parallelogramm). 2. Die Bedingung „nicht alle Seiten gleich lang“ schließt das Quadrat und die Raute aus, da bei diesen definitionsgemäß alle vier Seiten gleich lang sein müssen. 3. Übrig bleiben das Rechteck (bei dem nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein müssen) und das allgemeine Parallelogramm.

(2) Rechteck und (4) Parallelogramm kommen infrage.

- Was haben beide Vierecksarten gemeinsam? - Schau dir an, wie viele Seiten bei einer Raute gleich lang sein müssen. - Wie sieht es im Vergleich dazu bei einem Parallelogramm aus, das kein Quadrat und keine Raute ist?

1. Gemeinsamkeit feststellen: Sowohl das Parallelogramm als auch die Raute haben zwei Paare paralleler gegenüberliegender Seiten. 2. Unterschied bei den Seitenlängen: Bei einem allgemeinen Parallelogramm sind nur die gegenüberliegenden Seiten zwingend gleich lang (\(a = c\) und \(b = d\)). 3. Spezifische Eigenschaft der Raute: Bei einer Raute müssen alle vier Seiten die gleiche Länge besitzen (\(a = b = c = d\)). Jede Raute ist also ein spezielles Parallelogramm.

In einem allgemeinen Parallelogramm sind jeweils nur die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Bei einer Raute hingegen müssen alle vier Seiten gleich lang sein.

- Was ist die Summe von zwei benachbarten Winkeln in einem Parallelogramm? - Wenn du einen Winkel als „Teil“ betrachtest, aus wie vielen solchen Teilen besteht dann der andere Winkel? - Wie viele dieser „Teile“ ergeben zusammen die Summe der benachbarten Winkel? - Welche Winkel im Parallelogramm sind immer gleich groß?

1. In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu \(180^\circ\). Es gilt also \(\angle K + \angle L = 180^\circ\). 2. Da \(\angle K\) viermal so groß wie \(\angle L\) ist, bestehen die beiden benachbarten Winkel zusammen aus fünf gleich großen Teilen. 3. Ein Teil ist \(180^\circ : 5 = 36^\circ\) groß. Daher gilt \(\angle L = 36^\circ\) und \(\angle K = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ\). 4. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Somit ist \(\angle M = 144^\circ\) und \(\angle N = 36^\circ\).

\(\angle K = 144^\circ\), \(\angle L = 36^\circ\), \(\angle M = 144^\circ\) und \(\angle N = 36^\circ\).

- Welche Vierecksklasse entsteht durch die beiden Parallelitäten im Teil \(AECD\)? - Welche gegenüberliegenden Seiten dieses Vierecks sind gleich lang? - Zerlege die lange Grundseite \([AB]\) in \([AE]\) und \([EB]\).

1. Es gilt \([AD]\parallel[CE]\) und \([AE]\parallel[DC]\). Daher ist \(AECD\) ein Parallelogramm. 2. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Somit gilt \(|AE|=|CD|=5\,\text{cm}\). 3. Auf der Grundseite gilt \(|AB|=|AE|+|EB|\). 4. Daher ist \(|EB|=12\,\text{cm}-5\,\text{cm}=7\,\text{cm}\).

\(|EB|=7\,\text{cm}\)

- Welche Strecken des Vierecks werden von den beiden Stäben dargestellt? - Die Verbindung liegt jeweils genau in der Mitte beider Stäbe. Welches Parallelogrammkriterium beschreibt genau diese Situation? - Erst nach der Begründung von a) darfst du die Seitenlängeneigenschaft des Parallelogramms verwenden.

1. Die beiden Holzstäbe sind die Diagonalen des Vierecks. 2. Weil sie genau in ihren Mittelpunkten verbunden sind, halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. 3. Kehrsatz zur Diagonaleneigenschaft des Parallelogramms: Halbieren sich die Diagonalen eines Vierecks gegenseitig, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 4. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. 5. Daher ist die gegenüberliegende Seite ebenfalls \(14\,\text{cm}\) lang.

a) Die Stäbe sind die Diagonalen und halbieren sich gegenseitig. Nach dem Kehrsatz „Halbieren sich die Diagonalen eines Vierecks gegenseitig, so ist es ein Parallelogramm“ ist das Viereck ein Parallelogramm. b) \(14\,\text{cm}\), weil gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms gleich lang sind.

- Welche gegenüberliegenden Eckpunkte vertauscht die Punktspiegelung am Zentrum eines Parallelogramms? - Was bedeutet das für die Lage von \(S\) auf jeder Diagonale? - Nutze erst diese Streckengleichheiten und danach die Zahlen aus der Abbildung.

1. Die Punktspiegelung am Symmetriezentrum \(S\) bildet \(A\) auf \(C\) und \(B\) auf \(D\) ab. 2. Daher ist \(S\) Mittelpunkt beider Diagonalen und es gilt \(|AS|=|SC|\) sowie \(|BS|=|SD|\). 3. Aus \(|AS|=6\,\text{cm}\) folgt \(|AC|=|AS|+|SC|=12\,\text{cm}\). 4. Aus \(|BD|=10\,\text{cm}\) und \(|BS|=|SD|\) folgt \(|DS|=5\,\text{cm}\).

Bildpaare: \(A\leftrightarrow C\) und \(B\leftrightarrow D\). Deshalb \(|AS|=|SC|\) und \(|BS|=|SD|\). Damit \(|AC|=12\,\text{cm}\) und \(|DS|=5\,\text{cm}\).

- Lies zuerst die Bedeutung der Strichmarkierungen an den Seiten ab. - Prüfe anschließend, was der eingezeichnete Winkel über rechte Winkel aussagt. - Für ein Quadrat müssen sowohl die passende Seitenlängen-Eigenschaft als auch rechte Winkel vorliegen.

1. Alle vier Seiten tragen dieselbe Strichmarkierung und sind daher gleich lang. Damit ist das Viereck eine Raute. 2. Ein Innenwinkel ist mit \(60^\circ\) angegeben und damit kein rechter Winkel. 3. Deshalb ist das Viereck weder ein Rechteck noch ein Quadrat.

Das Viereck ist eine Raute, aber weder ein Rechteck noch ein Quadrat.

- Prüfe bei jeder Figur zuerst die beiden Paare von Gegenseiten auf Parallelität. - „Genau ein Paar“ schließt Figuren mit zwei parallelen Gegenseitenpaaren aus. - Vergleiche danach bei den verbleibenden Figuren die beiden nicht parallelen Seiten mithilfe des Punktgitters.

1. Bei a) sind die obere und die untere Seite parallel. Die beiden schrägen Seiten sind gleich lang. Damit erfüllt a) beide Bedingungen. 2. Bei b) sind beide Paare von Gegenseiten parallel. Deshalb erfüllt b) die Bedingung „genau ein Paar“ nicht. 3. Bei c) ist zwar genau ein Paar von Gegenseiten parallel, die beiden anderen Seiten sind aber unterschiedlich lang.

Figur a) erfüllt beide Bedingungen. b) hat zwei Paare paralleler Gegenseiten; bei c) sind die beiden nicht parallelen Seiten nicht gleich lang.

- Die Gleichheit aller vier Seiten ist bei beiden Figuren bereits gegeben. - Suche deshalb nach einer Eigenschaft, die nur das Quadrat zusätzlich besitzt. - Vergleiche die Innenwinkel der beiden Figuren im Punktgitter.

1. Figur a) besitzt vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Sie ist daher ein Quadrat. 2. Figur b) besitzt ebenfalls vier gleich lange Seiten, hat aber keine rechten Innenwinkel. Sie ist eine Raute, aber kein Quadrat. 3. Damit widerlegt Figur b) Emils Behauptung. 4. Eine Raute ist genau dann ein Quadrat, wenn sie zusätzlich vier rechte Winkel besitzt.

a) Figur b) b) Die Raute muss zusätzlich vier rechte Winkel haben.

- Überlege dir die Definitionen der Begriffe: Was ist die Mindestanforderung an ein Trapez? - Kannst du eine Figur zeichnen, die die erste Bedingung erfüllt, aber nicht die zweite? - Erinnere dich an das „Haus der Vierecke“.

1. Ein Trapez ist definiert als ein Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten. Da ein Parallelogramm zwei Paare paralleler Seiten hat, erfüllt es die Bedingung. Ergebnis: Ja. 2. Ein Drachenviereck benötigt zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten. Eine Raute benötigt vier gleich lange Seiten. Ein Drachenviereck, bei dem die beiden Paare unterschiedlich lang sind, ist keine Raute. Ergebnis: Ja. 3. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel, aber nicht zwingend vier gleich lange Seiten. Nur ein Quadrat ist sowohl Rechteck als auch Raute. Ergebnis: Nein. 4. Die Definition eines Trapezes verlangt mindestens ein Paar paralleler Seiten. Zwei Paare sind also erlaubt (dies ist dann ein Parallelogramm). Ergebnis: Ja.

1. Ja. 2. Ja. 3. Nein. 4. Ja.

- Vergleiche bei Parallelogramm und Raute zuerst die Seitenlängen. - Vergleiche bei Raute und Quadrat anschließend die Innenwinkel. - Zeichne für Teil c) ein Rechteck mit zwei verschieden langen Seitenpaaren als Gegenbeispiel.

1. Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind. 2. Eine Raute ist ein Quadrat, wenn sie rechte Innenwinkel hat. Da bei einem Quadrat alle Innenwinkel \(90^\circ\) groß sind, erfüllt es zugleich die Eigenschaften eines Rechtecks. 3. Ein Rechteck muss dagegen nicht vier gleich lange Seiten haben. Deshalb ist nicht jedes Rechteck ein Quadrat.

a) Alle vier Seiten müssen gleich lang sein. b) Die Innenwinkel müssen rechte Winkel sein. c) Jedes Quadrat hat vier rechte Winkel und ist damit auch ein Rechteck; ein Rechteck muss aber nicht vier gleich lange Seiten haben.

- Vergleiche bei jeder Aussage die genannten Eigenschaften mit den Eigenschaften der behaupteten Vierecksklasse. - Nutze für c) ausdrücklich die im Aufgabentext festgelegte Trapezdefinition. - Bei einer falschen Aussage reicht ein einziges Viereck, das die Voraussetzung erfüllt, aber nicht die Behauptung.

1. Aussage a) ist wahr, da ein Quadrat alle Bedingungen eines Rechtecks erfüllt. 2. Aussage b) ist falsch. Eine Raute ohne rechte Winkel ist ein Gegenbeispiel. 3. Aussage c) ist wahr. Ein Parallelogramm besitzt zwei Paare paralleler Seiten und erfüllt damit insbesondere die hier verwendete Trapezdefinition. 4. Aussage d) ist falsch. Eine Raute ohne rechte Winkel hat vier gleich lange Seiten, ist aber kein Rechteck.

a) Wahr. b) Falsch; Gegenbeispiel: eine Raute ohne rechte Winkel. c) Wahr. d) Falsch; Gegenbeispiel: eine Raute ohne rechte Winkel.

- Frage bei jeder wahren Aussage: Welche Symmetrie vertauscht passende Eckpunkte oder Streckenenden? - Bei einem Drachenviereck liegt eine Diagonale auf der Symmetrieachse. Wird sie dadurch auf die andere Diagonale abgebildet? - Eine Spiegelachse, die die Endpunkte einer Strecke vertauscht, ist deren Mittelsenkrechte.

1. a) Wahr. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt. Die Punktspiegelung vertauscht die gegenüberliegenden Eckpunkte, also ist der Schnittpunkt Mittelpunkt beider Diagonalen. 2. b) Falsch. Die Achsensymmetrie eines allgemeinen Drachenvierecks bildet nicht die beiden Diagonalen aufeinander ab; eine Diagonale liegt auf der Symmetrieachse, die andere wird auf sich selbst abgebildet. Ein nicht-rhombisches Drachenviereck kann daher unterschiedlich lange Diagonalen besitzen. 3. c) Wahr. In einer Raute ist jede Diagonale eine Symmetrieachse. Eine Diagonale vertauscht die Endpunkte der anderen und ist deshalb deren Mittelsenkrechte. Somit stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

a) Wahr: Die Punktsymmetrie des Parallelogramms macht den Diagonalenschnittpunkt zum Mittelpunkt beider Diagonalen. b) Falsch: Die Achsensymmetrie eines allgemeinen Drachenvierecks erzwingt keine gleich langen Diagonalen; ein nicht-rhombisches Drachenviereck ist ein Gegenbeispiel. c) Wahr: In der Raute ist eine Diagonale Symmetrieachse und damit Mittelsenkrechte der anderen; daher stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

- Prüfe für a), ob ein Rechteck mit verschieden langen Seiten genauso viele Faltachsen wie ein Quadrat haben kann. - Vergleiche bei b) die Seitenlängen-Eigenschaften von Quadrat und Raute. - Suche für c) nach einem Trapez, dessen linke und rechte Seite deutlich verschieden verlaufen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, besitzt genau \(2\) Symmetrieachsen; nur ein Quadrat als spezielles Rechteck besitzt \(4\). 2. Aussage b) ist wahr. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und erfüllt damit die Eigenschaften einer Raute. 3. Aussage c) ist falsch. Ein allgemeines Trapez muss keine Symmetrieachse besitzen; ein nichtgleichschenkliges Trapez liefert ein Gegenbeispiel.

a) Falsch. Ein nichtquadratisches Rechteck hat \(2\) Symmetrieachsen; ein Quadrat hat \(4\). b) Wahr. c) Falsch. Ein allgemeines Trapez muss nicht achsensymmetrisch sein.

- Denke an den Unterschied zwischen Seitenlängen und Winkelgrößen. - Gibt es Formen, die zwar gleiche Seiten, aber keine rechten Winkel haben? - Welche Bedingungen müssen für ein Drachenviereck erfüllt sein? Sind Winkel dabei fest vorgegeben? - Stell dir die Form im Kopf vor oder skizziere sie kurz auf Schmierpapier.

1. Überprüfung von a: Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Damit es ein Quadrat ist, müssten zusätzlich alle Winkel \(90^\circ\) groß sein. Gegenbeispiel: Eine Raute mit den Winkeln \(60^\circ\) und \(120^\circ\). Die Aussage ist falsch. 2. Überprüfung von b: Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Da ein Quadrat diese Bedingung erfüllt, ist es auch eine Raute. Die Aussage ist wahr. 3. Überprüfung von c: Ein Drachenviereck benötigt lediglich zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten. Rechte Winkel sind nicht vorgeschrieben. Gegenbeispiel: Ein Drachenviereck mit den Winkeln \(100^\circ\), \(110^\circ\), \(110^\circ\) und \(40^\circ\). Die Aussage ist falsch. 4. Überprüfung von d: Ein Rechteck hat per Definition vier rechte Winkel (\(90^\circ\)). Die Aussage ist wahr.

a) Falsch. Gegenbeispiel: Eine Raute mit Winkeln von \(60^\circ\) und \(120^\circ\) hat vier gleich lange Seiten, ist aber kein Quadrat. b) Wahr. c) Falsch. Gegenbeispiel: Ein Drachenviereck mit den Winkeln \(100^\circ\), \(110^\circ\), \(110^\circ\) und \(40^\circ\) besitzt keinen rechten Winkel. d) Wahr.

- Vergleiche, was beim Drachenviereck nur für eine Diagonale und bei der Raute für beide Diagonalen gilt. - Welche zusätzliche Mittelpunktseigenschaft entsteht bei einer Raute? - Formuliere die Bedingung so, dass genau diese zusätzliche Eigenschaft ausgeschlossen wird.

1. In einem Drachenviereck auf dieser Symmetrieachse halbiert \([AC]\) die Diagonale \([BD]\) senkrecht. 2. Bei einer Raute halbieren sich die beiden Diagonalen gegenseitig. 3. Damit das Drachenviereck keine Raute ist, darf der Schnittpunkt der Diagonalen nicht der Mittelpunkt von \([AC]\) sein. Dann halbiert \([BD]\) die Diagonale \([AC]\) nicht.

Der Schnittpunkt der Diagonalen darf nicht der Mittelpunkt von \([AC]\) sein; \([BD]\) darf \([AC]\) also nicht halbieren.

- Was ist die wichtigste Eigenschaft eines Parallelogramms? Haben Rauten diese Eigenschaft auch? - Denk an einen Flugdrachen: Sind dort immer alle vier Seiten gleich lang? - Welche Eigenschaft macht ein Parallelogramm zu einem Rechteck?

1. Eine Raute hat vier gleich lange Seiten, woraus folgt, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind. Damit erfüllt sie die Definition eines Parallelogramms. Die Aussage ist wahr. 2. Ein Drachenviereck benötigt lediglich zwei Paare jeweils benachbarter, gleich langer Seiten (zum Beispiel \(a = b = 3\,\text{cm}\) und \(c = d = 5\,\text{cm}\)). Es müssen nicht alle vier Seiten gleich lang sein. Die Aussage ist falsch. 3. Die Definition eines Rechtecks ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Da ein Parallelogramm ein Viereck ist, ist die Aussage wahr.

a) Wahr. b) Falsch. Gegenbeispiel: Ein Drachenviereck mit den Seitenlängen \(a = 3\,\text{cm}\), \(b = 3\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\) und \(d = 5\,\text{cm}\). c) Wahr.

- Achte bei a) besonders auf das Wort „genau“ und auf die festgelegte Trapezdefinition. - Vergleiche bei b) die Lage der gleich langen Seiten in Parallelogramm und Drachenviereck. - Welche Definition kennzeichnet eine Raute?

1. Aussage a) ist falsch. Nach der festgelegten Definition ist auch ein Parallelogramm ein Trapez; es besitzt zwei Paare paralleler Seiten. 2. Aussage b) ist falsch. Ein Rechteck mit verschieden langen benachbarten Seiten ist ein Parallelogramm, aber kein Drachenviereck. 3. Aussage c) ist wahr. Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute.

a) Falsch; Gegenbeispiel: ein Parallelogramm. b) Falsch; Gegenbeispiel: ein Rechteck mit unterschiedlichen Seitenlängen. c) Wahr.

- Überlege dir, wie die Seiten \(EF\) und \(HG\) in einem Parallelogramm zueinander verlaufen. - Wie kannst du die Länge einer waagerechten Strecke im Koordinatensystem bestimmen? - Was ist die Mindestanforderung an die Seiten eines Trapezes? - Gibt es für Aufgabenteil b) vielleicht mehrere richtige Lösungen?

1. Die Seite \(EF\) liegt auf \(y = 1\) und ist \(6 - 1 = 5\) Einheiten lang. 2. Für das Parallelogramm muss \(HG\) parallel zu \(EF\) und ebenfalls \(5\) Einheiten lang sein. Daher ist \(H(3 \mid 4)\). 3. Für ein Trapez genügt ein Paar paralleler Seiten. Wählt man zum Beispiel \(H_2(5 \mid 4)\), ist \(H_2G\) parallel zu \(EF\), aber nur \(3\) Einheiten lang. Das Viereck ist daher kein Parallelogramm.

a) \(H(3 \mid 4)\) b) Eine mögliche Lösung ist \(H_2(5 \mid 4)\).

- Untersuche bei jeder Figur zuerst, welche gegenüberliegenden Seiten in derselben Gitterrichtung verlaufen. - Prüfe für das Rechteck zusätzlich, ob rechte Winkel erkennbar sind. - Vergleiche beim Drachenviereck die Gitterverschiebungen der benachbarten Seiten paarweise, statt schräge Längen auszurechnen.

1. Teilaufgabe a): Viereck B ist ein Parallelogramm, weil jeweils die gegenüberliegenden Seiten in derselben Gitterrichtung verlaufen und damit parallel sind. Rechte Winkel sind nicht vorhanden, also ist B kein Rechteck. 2. Teilaufgabe b): Viereck A ist ein Trapez, weil die obere und die untere Seite parallel verlaufen, die beiden anderen Seiten aber nicht parallel sind. Damit ist A kein Parallelogramm. 3. Teilaufgabe c): Bei Viereck C haben die beiden unteren Nachbarseiten jeweils dieselbe waagerechte und senkrechte Gitterverschiebung; sie sind daher gleich lang. Dasselbe gilt für die beiden oberen Nachbarseiten. Die oberen Seiten haben jedoch eine andere Gitterverschiebung als die unteren und sind deshalb anders lang. Somit ist C ein Drachenviereck, aber keine Raute.

a) Viereck B ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck. b) Viereck A ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm. c) Viereck C ist ein Drachenviereck, aber keine Raute.

- Zeichne gedanklich auch die Höhe von \(C\) auf die längere Grundseite. - Welche Länge hat das mittlere Stück zwischen den beiden Höhen? - Wie verteilt sich der verbleibende Längenunterschied bei einem gleichschenkligen Trapez auf die beiden Randstücke?

1. Zeichnet man auch die Höhe von \(C\) auf \([AB]\), entstehen wegen der Symmetrie zwei gleich lange Randstücke an der längeren Grundseite. 2. Das mittlere Stück ist so lang wie die kürzere Grundseite \([CD]\). 3. Die beiden Randstücke haben zusammen die Länge \(20\,\text{cm}-12\,\text{cm}=8\,\text{cm}\). 4. Daher gilt \(|AE|=8\,\text{cm}:2=4\,\text{cm}\).

\(|AE|=4\,\text{cm}\)

- Lies zuerst die vier Koordinaten aus der Abbildung ab. - Vergleiche die Verschiebung von \(A\) nach \(B\) mit der von \(D\) nach \(C\). - Vergleiche danach auch die Verschiebung von \(A\) nach \(D\) mit der von \(B\) nach \(C\).

1. Aus der Abbildung liest man \(A(1 \mid 1)\), \(B(6 \mid 1)\), \(C(8 \mid 4)\) und \(D(3 \mid 4)\) ab. 2. Von \(A\) nach \(B\) und von \(D\) nach \(C\) geht man jeweils \(5\) Einheiten nach rechts und \(0\) Einheiten nach oben. Daher sind \(AB\) und \(DC\) parallel. 3. Von \(B\) nach \(C\) und von \(A\) nach \(D\) geht man jeweils \(2\) Einheiten nach rechts und \(3\) Einheiten nach oben. Daher sind \(BC\) und \(AD\) parallel. 4. Beide Paare gegenüberliegender Seiten sind parallel. Somit ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

Ja. Es gilt \(AB \parallel DC\) und \(BC \parallel AD\); daher ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.

- Nutze für a) die rechten Innenwinkel des Rechtecks. - Vergleiche für b) die beiden Winkelpaare am Schnittpunkt der Diagonalen. - Welche beiden Eigenschaften der Rechteckdiagonalen liefern für c) gleiche Teilstrecken vom Schnittpunkt zu den Ecken?

1. Jede Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Es entstehen \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\) und \(\triangle NKL\). 2. Am Schnittpunkt \(S\) sind \(\angle KSL\) und \(\angle MSN\) stumpf. Daher sind \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\) stumpfwinklig. 3. Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang und halbieren einander. Deshalb gilt \(|SK| = |SL| = |SM| = |SN|\). Jedes der vier kleinen Dreiecke besitzt damit zwei gleich lange Seiten und ist gleichschenklig.

a) \(\triangle KLM\), \(\triangle LMN\), \(\triangle MNK\), \(\triangle NKL\) b) \(\triangle KLS\) und \(\triangle MNS\) c) Es gilt \(|SK| = |SL| = |SM| = |SN|\); daher hat jedes kleine Dreieck zwei gleich lange Seiten.

- Ein Viereck hat genau vier Ecken und vier Seiten. - Prüfe bei jedem Kandidaten, ob alle vier benötigten Seiten tatsächlich eingezeichnet sind. - Drei aufeinanderfolgende Eckpunkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen. - Beginne mit der kleinen geschlossenen Fläche um den Punkt \(S\).

1. Erfasse die markierten Punkte \(A, B, C, D, E\) und \(S\). 2. Suche geschlossene Figuren mit genau vier Ecken. Jede ihrer vier Seiten muss auf einer eingezeichneten Strecke liegen; drei aufeinanderfolgende Ecken dürfen nicht auf derselben Geraden liegen. 3. \(ADSE\) ist ein Viereck: \(AD\), \(DS\), \(SE\) und \(EA\) sind vollständig eingezeichnet. 4. Weitere Vierecke gibt es nicht. Insbesondere ist \(BCED\) kein Viereck der Zeichnung, weil die Strecke \(DE\) nicht eingezeichnet ist. Kombinationen mit \(B, S, E\) oder \(C, S, D\) sind wegen der jeweils drei kollinearen Punkte entartet.

Das einzige Viereck in der Zeichnung ist \(ADSE\).

- Ein Drachenviereck hat eine Symmetrieachse. Wo könnte diese hier liegen? - Spiegle den Punkt \(Q\) an der Geraden, die durch \(P\) und \(R\) geht. - Wann genau wird ein Drachenviereck zu einer Raute? - Vergleiche bei \(PQ\) und \(QR\) die waagerechten und senkrechten Abstände getrennt.

1. Ein Drachenviereck ist achsensymmetrisch zu einer Diagonale. Hier liegen \(P(5 \mid 2)\) und \(R(5 \mid 12)\) auf der vertikalen Linie \(x = 5\). Diese bildet die Symmetrieachse. 2. Der Punkt \(Q(9 \mid 6)\) liegt 4 Einheiten rechts von dieser Achse. Sein Spiegelpunkt \(S\) muss also 4 Einheiten links von der Achse auf derselben Höhe (\(y = 6\)) liegen. Somit ist \(S(5 - 4 \mid 6) = S(1 \mid 6)\). 3. Um zu prüfen, ob es eine Raute ist, müssen alle Seiten gleich lang sein. Wir vergleichen die Seiten \(PQ\) und \(QR\). 4. Die Strecke \(PQ\) verläuft vom Punkt \((5 \mid 2)\) zum Punkt \((9 \mid 6)\): 4 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben. 5. Die Strecke \(QR\) verläuft vom Punkt \((9 \mid 6)\) zum Punkt \((5 \mid 12)\): 4 Einheiten nach links und 6 Einheiten nach oben. 6. Beide Strecken haben denselben waagerechten Anteil von 4 Einheiten. Bei \(QR\) ist der senkrechte Anteil mit 6 Einheiten jedoch größer als bei \(PQ\) mit 4 Einheiten. Daher ist \(QR\) länger als \(PQ\), und das Viereck ist keine Raute.

a) \(S(1 \mid 6)\) b) Nein, es ist keine Raute. Beide Seiten überbrücken waagerecht 4 Einheiten, aber \(QR\) überbrückt senkrecht 6 Einheiten statt 4 Einheiten und ist deshalb länger als \(PQ\).

- Verfolge zuerst, welche Seiten der beiden kleinen Parallelogramme parallel zur gemeinsamen Seite \([CD]\) sind. - Nutze dann die gemeinsame Gerade durch \(A\), \(D\) und \(F\) für das zweite Paar gegenüberliegender Seiten. - Setze für den Umfang die lange Seite \([AF]\) aus ihren beiden Teilstrecken zusammen.

1. Aus \(ABCD\) folgt \([AB]\parallel[CD]\), aus \(DCEF\) folgt \([CD]\parallel[EF]\). Daher gilt \([AB]\parallel[EF]\). 2. Weil \(A\), \(D\) und \(F\) auf einer Geraden liegen, haben \([AD]\) und \([DF]\) dieselbe Richtung. Außerdem gilt \([BC]\parallel[AD]\) und \([CE]\parallel[DF]\). Damit liegen \([BC]\) und \([CE]\) auf derselben Geraden und es gilt \([BE]\parallel[AF]\). 3. Beide Paare gegenüberliegender Seiten von \(ABEF\) sind parallel. Daher ist \(ABEF\) ein Parallelogramm. 4. Aus den Beschriftungen folgt \(|AB|=5\,\text{cm}\), \(|AD|=5\,\text{cm}\) und \(|DF|=4\,\text{cm}\). Somit ist \(|AF|=5\,\text{cm}+4\,\text{cm}=9\,\text{cm}\). 5. Für den Umfang gilt \(U=2(5\,\text{cm}+9\,\text{cm})=28\,\text{cm}\).

a) \([AB]\parallel[EF]\) und \([BE]\parallel[AF]\); daher ist \(ABEF\) ein Parallelogramm. b) \(28\,\text{cm}\)