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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Dreisatz bei einfachen Sachaufgaben

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Schwierigkeit: 1 – 5

5528465

Drei gleiche Hefte kosten zusammen \(6{,}00\,\text{€}\). Wie viel kostet ein Heft?

Denkanstöße

- Die drei Hefte sind gleich teuer. - Gesucht ist der Preis für genau ein Heft. - Überlege, welche Rechenart eine Gesamtsumme gleichmäßig auf drei gleiche Teile verteilt.

Lösung

1. Bei gleichen Heften wird der Gesamtpreis gleichmäßig auf drei Hefte verteilt. 2. \(6{,}00\,\text{€} : 3 = 2{,}00\,\text{€}\).

Antwort

Ein Heft kostet \(2{,}00\,\text{€}\).

4183315

Für diese Aufgabe gilt das vereinfachte Modell: Beim Aufstieg eines Heißluftballons sinkt die Lufttemperatur um \(1\,^\circ\text{C}\) je \(100\,\text{m}\). Am Boden beträgt die Temperatur \(7\,^\circ\text{C}\). Der Ballon steigt um \(1800\,\text{m}\). Welche Temperatur ergibt sich nach diesem Modell?

Denkanstöße

- Wie viele Abschnitte zu \(100\,\text{m}\) enthält der gesamte Aufstieg? - Was sagt das Modell über die Temperaturänderung in jedem solchen Abschnitt? - Achte darauf, in welche Richtung sich die Temperatur verändert.

Lösung

1. \(1800\,\text{m}\) enthalten \(1800 : 100 = 18\) Abschnitte zu je \(100\,\text{m}\). 2. Nach dem Modell sinkt die Temperatur insgesamt um \(18 \cdot 1\,^\circ\text{C} = 18\,^\circ\text{C}\). 3. Daher ergibt sich \(7\,^\circ\text{C} - 18\,^\circ\text{C} = -11\,^\circ\text{C}\).

Antwort

Nach dem angegebenen Modell beträgt die Temperatur \(-11\,^\circ\text{C}\).

4188517

Mia und Jonas machen eine Radtour. Mia fährt 3 Stunden mit durchschnittlich \(12\,\text{km/h}\), Jonas 4 Stunden mit durchschnittlich \(8\,\text{km/h}\). Bezeichne ihre Strecken mit \(s_M\) und \(s_J\). Stelle für beide Personen je eine lineare Gleichung auf, die Fahrzeit, Geschwindigkeit und Strecke verknüpft. Löse die Gleichungen und bestimme, wer weiter fährt und um wie viele Kilometer.

Denkanstöße

- Verwende für jede unbekannte Strecke eine eigene Variable. - Wie hängen Strecke, Fahrzeit und Geschwindigkeit zusammen? - Vergleiche die beiden Strecken erst, nachdem du beide Gleichungen gelöst hast.

Lösung

1. Für Mia gilt \(s_M:3=12\), also \(s_M=36\,\text{km}\). 2. Für Jonas gilt \(s_J:4=8\), also \(s_J=32\,\text{km}\). 3. Mia fährt \(36-32=4\,\text{km}\) weiter.

Antwort

Mia: \(s_M:3=12\), also \(s_M=36\,\text{km}\). Jonas: \(s_J:4=8\), also \(s_J=32\,\text{km}\). Mia fährt \(4\,\text{km}\) weiter.

4189967

Ein Auto und ein Motorrad starten gleichzeitig am selben Ort und fahren 4 Stunden lang in dieselbe Richtung. Das Auto fährt durchschnittlich \(85\,\text{km/h}\), das Motorrad \(92\,\text{km/h}\). Bezeichne ihren Abstand nach 4 Stunden mit \(d\). Stelle eine lineare Gleichung auf, die die beiden nach 4 Stunden zurückgelegten Strecken und den Abstand \(d\) miteinander verknüpft. Bestimme \(d\).

Denkanstöße

- Bestimme die beiden Strecken nach derselben Fahrzeit. - Welche der beiden Strecken ist größer? - Schreibe die größere Strecke als kleinere Strecke plus Abstand.

Lösung

1. Das Auto legt in 4 Stunden \(85\cdot4=340\,\text{km}\) zurück, das Motorrad \(92\cdot4=368\,\text{km}\). 2. Die Strecke des Motorrads ist die Autostrecke plus Abstand: \(340+d=368\). 3. Daraus folgt \(d=28\,\text{km}\).

Antwort

Gleichung: \(340+d=368\). Nach 4 Stunden beträgt der Abstand \(28\,\text{km}\).

4203415

Ein Gefrierschrank wird neu in Betrieb genommen. Die Innentemperatur sinkt dabei von \(18\,^\circ\text{C}\) auf \(-12\,^\circ\text{C}\). Jede Stunde verringert sich die Temperatur gleichmäßig um \(5\,^\circ\text{C}\). Berechne, wie viele Stunden dieser Abkühlvorgang insgesamt dauert.

Denkanstöße

- Stelle dir ein Thermometer vor und überlege, wie viele Schritte es von der Start- zur Zieltemperatur sind. - Wie viel Grad Celsius liegen insgesamt zwischen dem positiven und dem negativen Wert? - Wenn du den Gesamtweg kennst, kannst du ihn in die stündlichen Schritte aufteilen.

Lösung

1. Bestimmung des gesamten Temperaturunterschieds: Der Abstand von \(18\,^\circ\text{C}\) bis zum Nullpunkt beträgt \(18\,^\circ\text{C}\), vom Nullpunkt bis \(-12\,^\circ\text{C}\) sind es weitere \(12\,^\circ\text{C}\). Die Gesamtdifferenz beträgt also \(18\,^\circ\text{C} + 12\,^\circ\text{C} = 30\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung der Dauer: Da die Temperatur pro Stunde um \(5\,^\circ\text{C}\) sinkt, wird der gesamte Unterschied durch die stündliche Änderung geteilt: \(30 : 5 = 6\). Der Vorgang dauert somit \(6\) Stunden.

Antwort

Der Abkühlvorgang dauert \(6\) Stunden.

4207025

Für diese Aufgabe verwenden wir ein vereinfachtes Modell: Ein Eichhörnchen ist einschließlich Schwanz \(50\,\text{cm}\) lang und überspringt \(5\,\text{m}\). a) Das Wievielfache seiner Gesamtlänge entspricht dieser Sprungweite? b) Ein Kind ist \(1{,}45\,\text{m}\) groß. Wie weit müsste es springen, wenn seine Sprungweite im selben Verhältnis zu seiner Körpergröße stünde?

Denkanstöße

- Für einen Längenvergleich müssen beide Angaben dieselbe Einheit haben. - Welche Zahl beschreibt das Verhältnis von Sprungweite zu Gesamtlänge im Modell? - Übertrage genau dieses Verhältnis auf die Körpergröße des Kindes.

Lösung

1. \(5\,\text{m} = 500\,\text{cm}\). 2. Das Verhältnis beträgt \(500\,\text{cm} : 50\,\text{cm} = 10\). 3. Beim Kind ergibt dasselbe Verhältnis \(1{,}45\,\text{m} \cdot 10 = 14{,}5\,\text{m}\).

Antwort

a) Das \(10\)-Fache der Gesamtlänge. b) \(14{,}5\,\text{m}\).

4207445

Eine gleichmäßig abbrennende Kerze wird angezündet. Nach \(15\,\text{Minuten}\) ist sie um genau \(12\,\text{mm}\) kürzer geworden. Die Kerze war zu Beginn \(144\,\text{mm}\) hoch. Wie viele Stunden brennt die Kerze insgesamt, bis sie vollständig aufgebraucht ist?

Denkanstöße

- Wie oft passt das Stück, das in 15 Minuten abbrennt, in die gesamte Kerze? - Wenn du weißt, wie viele solcher Stücke in der Kerze stecken, kannst du die Gesamtzeit berechnen. - Vergiss am Ende nicht, dein Ergebnis von Minuten in Stunden umzurechnen.

Lösung

1. Berechnung, wie oft die \(12\,\text{mm}\) in der Gesamthöhe enthalten sind: \(144\,\text{mm} : 12\,\text{mm} = 12\). Es gibt also 12 Abschnitte von jeweils \(15\,\text{Minuten}\). 2. Berechnung der Gesamtzeit in Minuten: \(12 \cdot 15\,\text{Minuten} = 180\,\text{Minuten}\). 3. Umrechnung der Gesamtzeit in Stunden: \(180\,\text{Minuten} : 60 = 3\,\text{Stunden}\).

Antwort

Die Kerze brennt insgesamt \(3\,\text{Stunden}\).

4207465

Vier neue Tennisbälle kosten zusammen \(6{,}40\,\text{€}\). Berechne den Preis für: a) \(8\) Bälle, b) \(1\) Ball, c) \(15\) Bälle.

Denkanstöße

- Kannst du den Preis für die doppelte Menge direkt finden? - Rechne den gegebenen Preis für den Schritt auf einen Ball in Cent um. - Mit dem Einzelpreis kannst du anschließend jede andere Ballzahl bestimmen.

Lösung

1. \(6{,}40\,\text{€} = 640\,\text{ct}\). Für \(8\) Bälle wird die Menge verdoppelt: \(640\,\text{ct} \cdot 2 = 1280\,\text{ct} = 12{,}80\,\text{€}\). 2. Ein Ball kostet \(640\,\text{ct} : 4 = 160\,\text{ct} = 1{,}60\,\text{€}\). 3. Für \(15\) Bälle gilt \(15 \cdot 160\,\text{ct} = 2400\,\text{ct} = 24{,}00\,\text{€}\).

Antwort

a) \(12{,}80\,\text{€}\) b) \(1{,}60\,\text{€}\) c) \(24{,}00\,\text{€}\)

4207595

Für die Zubereitung von \(4\,\text{Portionen}\) Milchreis benötigt man genau \(1\,\text{Liter}\) Milch. Berechne, wie viel Milch man einkaufen muss, wenn man Milchreis für \(20\,\text{Personen}\) kochen möchte.

Denkanstöße

- Wie oft passt die kleine Personenzahl in die große Personenzahl? - Wenn du für mehr Leute kochst, brauchst du dann mehr oder weniger Milch? - Überlege dir, mit welcher Zahl du die Portionen multiplizieren musst, um auf 20 zu kommen.

Lösung

1. Gegebene Zuordnung erfassen: \(4\,\text{Portionen} \mathrel{\widehat{=}} 1\,\text{l}\) Milch. 2. Faktor für die Vergrößerung bestimmen: \(20 : 4 = 5\). Die Personenanzahl verfünffacht sich. 3. Proportionalitätsfaktor auf die Milchmenge anwenden: \(1\,\text{l} \cdot 5 = 5\,\text{l}\).

Antwort

Man benötigt \(5\,\text{Liter}\) Milch.

4207605

Ein Paket mit \(500\) Blatt Kopierpapier hat eine Masse von \(2{,}5\,\text{kg}\). Welche Masse haben \(100\) Blatt dieses Papiers?

Denkanstöße

- Wie verändert sich die Blattzahl von \(500\) auf \(100\)? - Rechne die gegebene Masse zuerst in Gramm um. - Bei einer direkten proportionalen Zuordnung verändert sich die Masse im selben Verhältnis wie die Blattzahl.

Lösung

1. \(2{,}5\,\text{kg} = 2500\,\text{g}\). 2. Von \(500\) Blatt zu \(100\) Blatt wird durch \(5\) geteilt; daher gilt auch für die Masse \(2500\,\text{g} : 5 = 500\,\text{g}\). 3. Das entspricht \(0{,}5\,\text{kg}\).

Antwort

\(100\) Blatt haben eine Masse von \(500\,\text{g}\), also \(0{,}5\,\text{kg}\).

4207615

An einem Marktstand kosten \(400\,\text{g}\) lose Erdbeeren \(3{,}20\,\text{€}\). Leon hat genau \(1{,}20\,\text{€}\) dabei. Berechne, welche Menge an Erdbeeren er für sein gesamtes Geld bekommt.

Denkanstöße

- Rechne beide Geldbeträge zuerst in Cent um. - Suche einen Zwischenbetrag, der sowohl zu \(320\,\text{ct}\) als auch zu \(120\,\text{ct}\) gut passt. - Verändere Geldbetrag und Erdbeermenge immer mit demselben Faktor.

Lösung

1. In Cent lautet die Zuordnung \(320\,\text{ct} \mathrel{\widehat{=}} 400\,\text{g}\). 2. Durch Division beider Größen durch \(8\) erhält man \(40\,\text{ct} \mathrel{\widehat{=}} 50\,\text{g}\). 3. \(120\,\text{ct}\) sind das Dreifache von \(40\,\text{ct}\). Deshalb erhält Leon \(3 \cdot 50\,\text{g} = 150\,\text{g}\).

Antwort

Leon bekommt für \(1{,}20\,\text{€}\) genau \(150\,\text{g}\) Erdbeeren.

4207715

Ein Kopierer in der Schule druckt 30 Seiten in 2 Minuten. a) Wie viele Seiten schafft der Kopierer in einer Zeit von 7 Minuten? b) Wie lange dauert es insgesamt, bis 225 Seiten gedruckt sind?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Seiten in einer einzigen Minute gedruckt werden. - Hilft dir eine Tabelle, um die Zeit und die Seitenanzahl gegenüberzustellen? - Wenn du weißt, was in einer Minute passiert, kannst du das Ergebnis leicht vervielfachen.

Lösung

1. Berechnung der Druckleistung pro Minute (Einzelschritt): \(30 : 2 = 15\,\text{Seiten pro Minute}\). 2. Berechnung für 7 Minuten: \(7 \cdot 15 = 105\,\text{Seiten}\). 3. Berechnung der Zeit für 225 Seiten: \(225 : 15 = 15\,\text{Minuten}\).

Antwort

a) In 7 Minuten werden 105 Seiten gedruckt. b) Es dauert 15 Minuten, bis 225 Seiten gedruckt sind.

4207775

Für die gesunde Pause kauft Frau Weber \(15\) Äpfel und \(5\) Netze Orangen ein. Sie hat zwei Angebote zur Auswahl: Angebot 1: \(3\) Äpfel kosten \(1{,}20\,\text{€}\) und ein Netz Orangen kostet \(2{,}45\,\text{€}\). Angebot 2: \(5\) Äpfel kosten \(1{,}90\,\text{€}\) und \(5\) Netze Orangen kosten im Sparpack \(12{,}00\,\text{€}\). Welches Angebot ist für den gesamten Einkauf preiswerter? Berechne den Preisunterschied für die gesamte Menge.

Denkanstöße

- Rechne für jedes Angebot getrennt aus, was 15 Äpfel und 5 Netze Orangen kosten würden. - Wie oft passt die Packungsgröße der Äpfel in die gewünschte Menge von 15 Stück? - Vergleiche am Ende die beiden Gesamtsummen miteinander.

Lösung

1. Kosten Angebot 1: Für \(15\) Äpfel müssen \(5\) Portionen zu je \(3\) Stück gekauft werden (\(5 \cdot 1{,}20\,\text{€} = 6{,}00\,\text{€}\)). Die \(5\) Netze Orangen kosten \(5 \cdot 2{,}45\,\text{€} = 12{,}25\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(18{,}25\,\text{€}\). 2. Kosten Angebot 2: Für \(15\) Äpfel müssen \(3\) Portionen zu je \(5\) Stück gekauft werden (\(3 \cdot 1{,}90\,\text{€} = 5{,}70\,\text{€}\)). Die \(5\) Netze Orangen kosten pauschal \(12{,}00\,\text{€}\). Gesamtsumme: \(17{,}70\,\text{€}\). 3. Preisunterschied: \(18{,}25\,\text{€} - 17{,}70\,\text{€} = 0{,}55\,\text{€}\).

Antwort

Angebot 2 ist preiswerter. Der gesamte Einkauf kostet dort \(17{,}70\,\text{€}\), während er bei Angebot 1 \(18{,}25\,\text{€}\) kosten würde. Der Preisunterschied beträgt \(0{,}55\,\text{€}\).

4207815

An einem Marktstand kosten \(4\,\text{kg}\) Äpfel insgesamt \(6\,\text{€}\). a) Berechne, wie viel eine Kundin für \(7\,\text{kg}\) Äpfel bezahlen muss. b) Ermittle, wie viele Kilogramm Äpfel man für \(12\,\text{€}\) erhält.

Denkanstöße

- Rechne den gegebenen Preis zuerst in Cent um. - Bestimme daraus den Preis für \(1\,\text{kg}\). - Verwende diesen Einzelpreis einmal zum Hochrechnen und einmal zum Rückwärtsrechnen.

Lösung

1. \(6\,\text{€} = 600\,\text{ct}\). Ein Kilogramm kostet \(600\,\text{ct} : 4 = 150\,\text{ct}\). 2. Für \(7\,\text{kg}\) gilt \(7 \cdot 150\,\text{ct} = 1050\,\text{ct} = 10{,}50\,\text{€}\). 3. \(12\,\text{€} = 1200\,\text{ct}\). Damit erhält man \(1200 : 150 = 8\) Kilogramm.

Antwort

a) \(7\,\text{kg}\) Äpfel kosten \(10{,}50\,\text{€}\). b) Für \(12\,\text{€}\) erhält man \(8\,\text{kg}\) Äpfel.

4207865

Für eine Klassenfeier bestellen \(18\) Schüler Pizza und zahlen dafür insgesamt \(108\,\text{€}\). Kurz vor der Feier entscheiden sich noch \(4\) weitere Mitschüler, ebenfalls mitzuessen. Berechne, wie viel Geld diese \(4\) Personen zusammen zusätzlich bezahlen müssen, wenn der Preis pro Person für alle gleich ist.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel die Pizza für eine einzige Person kostet. - Wie kannst du diesen Einzelpreis nutzen, um die Kosten für eine andere Anzahl an Personen zu bestimmen? - Was genau ist in der Frage gesucht: der neue Gesamtbetrag oder nur der zusätzliche Betrag?

Lösung

1. Berechnung des Preises für eine einzelne Person durch Division des Gesamtbetrags durch die Anzahl der Schüler: \(108\,\text{€} : 18 = 6\,\text{€}\). 2. Berechnung des zusätzlichen Betrags für die neuen Gäste durch Multiplikation des Einzelpreises mit der Anzahl der zusätzlichen Personen: \(4 \cdot 6\,\text{€} = 24\,\text{€}\).

Antwort

Die \(4\) Personen müssen zusammen \(24\,\text{€}\) zusätzlich bezahlen.

4209945

Ein Radfahrer legt in einer halben Stunde eine Strecke von \(9\,\text{km}\) zurück. Berechne, wie viele Meter er durchschnittlich in einer Minute fährt.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Meter ein Kilometer hat. - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Wenn du die Gesamtstrecke und die Gesamtzeit kennst, wie berechnest du dann den Anteil für eine einzelne Minute?

Lösung

1. Umrechnung der Strecke von Kilometer in Meter: \(9\,\text{km} = 9000\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Zeit von einer halben Stunde in Minuten: \(30\,\text{min}\). 3. Berechnung der Strecke pro Minute durch Division: \(9000\,\text{m} : 30\,\text{min} = 300\,\text{m/min}\).

Antwort

Der Radfahrer legt durchschnittlich \(300\,\text{Meter}\) pro Minute zurück.

4210345

Für einen Modellvergleich werden folgende Flügelschlagraten angenommen: Ein Kolibri schlägt \(80\)-mal pro Sekunde mit den Flügeln. Eine Stechmücke schafft \(15\,000\) Flügelschläge in \(30\) Sekunden. a) Welches Tier hat nach diesen Angaben mehr Flügelschläge pro Sekunde? b) Wie viele Flügelschläge ergeben sich jeweils in \(2\) Minuten, wenn die jeweilige Rate konstant bleibt?

Denkanstöße

- Bringe zuerst beide angegebenen Raten auf dieselbe Zeitspanne. - Wie viele Sekunden sind \(2\) Minuten? - Verwende für Teil b) die zuvor bestimmten Schläge pro Sekunde.

Lösung

1. Für die Stechmücke gilt \(15\,000 : 30 = 500\) Flügelschläge pro Sekunde. Damit ist ihre angegebene Rate größer als \(80\) pro Sekunde. 2. \(2\,\text{min} = 120\,\text{s}\). 3. Beim Kolibri ergeben sich \(80 \cdot 120 = 9600\) Flügelschläge. 4. Bei der Stechmücke ergeben sich \(500 \cdot 120 = 60\,000\) Flügelschläge.

Antwort

a) Nach den angegebenen Modellraten die Stechmücke: \(500\) gegenüber \(80\) Flügelschlägen pro Sekunde. b) Kolibri: \(9600\); Stechmücke: \(60\,000\) Flügelschläge.

4210625

Lukas läuft in einer Minute durchschnittlich \(150\,\text{m}\). Sarah schafft beim Sprinten in einer Sekunde \(3\,\text{m}\). Wer von beiden ist schneller? Berechne außerdem, wie groß der Vorsprung der schnelleren Person nach \(4\,\text{Minuten}\) ist, wenn beide gleichzeitig starten.

Denkanstöße

- Wie viele Meter legt Sarah in einer ganzen Minute zurück, wenn sie pro Sekunde \(3\,\text{m}\) schafft? - Versuche, beide Geschwindigkeiten so umzurechnen, dass du sie direkt vergleichen kannst (zum Beispiel beide in Meter pro Minute). - Wie weit kommt jeder für sich in der angegebenen Zeit?

Lösung

1. Umrechnung der Geschwindigkeiten auf eine gemeinsame Einheit: Sarah legt in einer Sekunde \(3\,\text{m}\) zurück, das entspricht \(3 \cdot 60 = 180\,\text{m}\) pro Minute. 2. Vergleich: Da Sarah \(180\,\text{m/min}\) läuft und Lukas nur \(150\,\text{m/min}\), ist Sarah schneller. 3. Berechnung der Wegstrecken nach \(4\,\text{Minuten}\): Sarah legt \(180 \cdot 4 = 720\,\text{m}\) zurück, Lukas legt \(150 \cdot 4 = 600\,\text{m}\) zurück. 4. Bestimmung des Vorsprungs: Die Differenz beträgt \(720\,\text{m} - 600\,\text{m} = 120\,\text{m}\).

Antwort

Sarah ist schneller. Ihr Vorsprung nach \(4\,\text{Minuten}\) beträgt \(120\,\text{m}\).

4210675

Ein kleiner Brunnen füllt ein Auffangbecken. In \(15\) Minuten fließen \(120\,\text{l}\) Wasser hinein. a) Wie viele Liter Wasser fließen pro Minute in das Becken? b) Das Auffangbecken hat ein Fassungsvermögen von \(800\,\text{l}\). Wie lange dauert es insgesamt, bis das leere Becken vollständig gefüllt ist? Gib das Ergebnis in Stunden und Minuten an.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viel Wasser in einer einzigen Minute in das Becken fließt. - Wenn du weißt, wie viel Wasser pro Minute fließt, kannst du berechnen, wie viele solcher Minuten in das Gesamtvolumen passen. - Denk daran, dass \(60\) Minuten eine volle Stunde ergeben.

Lösung

1. Berechnung der Durchflussmenge pro Minute: \(120\,\text{l} : 15\,\text{min} = 8\,\text{l/min}\). 2. Berechnung der Gesamtdauer für die Füllung von \(800\,\text{l}\): \(800\,\text{l} : 8\,\text{l/min} = 100\,\text{min}\). 3. Umrechnung der Zeit in Stunden und Minuten: \(100\,\text{min} = 1\,\text{h } 40\,\text{min}\).

Antwort

a) Es fließen \(8\,\text{l}\) pro Minute in das Becken. b) Es dauert insgesamt \(1\,\text{h } 40\,\text{min}\).

4210885

Ein Forschungs-U-Boot befindet sich in einer Tiefe von \(1200\,\text{m}\). Es beginnt mit dem Aufstieg zur Meeresoberfläche. Der gesamte Aufstieg dauert \(40\,\text{Minuten}\). In den ersten \(10\,\text{Minuten}\) steigt das U-Boot mit einer konstanten, aber unbekannten Geschwindigkeit auf. In der restlichen Zeit steigt es gleichmäßig mit \(25\,\text{Metern}\) pro Minute. Berechne, wie viele Meter das U-Boot in den ersten \(10\,\text{Minuten}\) zurückgelegt hat.

Denkanstöße

- Wie lange dauert der zweite Teil des Aufstiegs? - Kannst du berechnen, welche Strecke das U-Boot im zweiten Teil zurücklegt? - Wenn du die gesamte Strecke und die Strecke des zweiten Teils kennst, wie findest du den Rest?

Lösung

1. Berechnung der Zeit für den zweiten Teil des Aufstiegs: \(40\,\text{min} - 10\,\text{min} = 30\,\text{min}\). 2. Berechnung der Strecke im zweiten Teil: \(30\,\text{min} \cdot 25\,\text{m/min} = 750\,\text{m}\). 3. Berechnung der Strecke im ersten Teil durch Subtraktion von der Gesamttiefe: \(1200\,\text{m} - 750\,\text{m} = 450\,\text{m}\).

Antwort

Das U-Boot hat in den ersten \(10\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(450\,\text{m}\) zurückgelegt.

4211715

Eine Wandergruppe legte an drei Tagen folgende Strecken zurück: \(14{,}6\,\text{km}\), \(12{,}9\,\text{km}\) und \(17{,}5\,\text{km}\). Die reine Wanderzeit betrug insgesamt \(9\) Stunden. Der Wanderführer behauptet: „Wir sind im Durchschnitt \(5\,\text{km}\) pro Stunde gewandert.“ Hat er recht? Begründe deine Antwort mit einer Rechnung.

Denkanstöße

- Was musst du zuerst über die gesamte Strecke wissen? - Wie verteilt man eine Gesamtstrecke gleichmäßig auf die verbrauchten Stunden? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis mit der Aussage im Text.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtwegstrecke durch Addition der Tagesstrecken: \(14{,}6\,\text{km} + 12{,}9\,\text{km} + 17{,}5\,\text{km} = 45{,}0\,\text{km}\). 2. Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit pro Stunde durch Division der Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit: \(45{,}0\,\text{km} : 9\,\text{h} = 5\,\text{km/h}\). 3. Da das berechnete Ergebnis von \(5\,\text{km/h}\) mit der Behauptung des Wanderführers übereinstimmt, hat er recht.

Antwort

Ja, der Wanderführer hat recht. Die Gesamtwegstrecke beträgt \(45\,\text{km}\). Teilt man diese durch die \(9\) Stunden Wanderzeit, ergibt sich eine durchschnittliche Geschwindigkeit von \(5\,\text{km}\) pro Stunde.

4211765

In einem Supermarkt kosten \(20\,\text{kg}\) Kartoffeln \(30\,\text{€}\). Leon möchte den Preis für \(8\,\text{kg}\) berechnen und schreibt folgende Rechnung auf: \(20\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 30\,\text{€}\) \(2\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 3\,\text{€}\) \(8\,\text{kg} \mathrel{\widehat{=}} 9\,\text{€}\) Überprüfe die Rechnung. Wo liegt der Fehler? Berechne den richtigen Preis für \(8\,\text{kg}\).

Denkanstöße

- Schau dir an, mit welcher Zahl man die zweite Zeile multiplizieren muss, um auf die Werte der dritten Zeile zu kommen. - Rechne die Multiplikation auf der rechten Seite noch einmal genau nach. - Prüfe, ob auf beiden Seiten der Gleichung mit derselben Zahl gerechnet wurde.

Lösung

1. Der erste Schritt der Rechnung ist korrekt: Um von \(20\,\text{kg}\) auf \(2\,\text{kg}\) zu kommen, wird durch \(10\) dividiert (\(20 : 10 = 2\) und \(30 : 10 = 3\)). 2. Der zweite Schritt ist fehlerhaft: Um von \(2\,\text{kg}\) auf \(8\,\text{kg}\) zu kommen, muss mit \(4\) multipliziert werden (\(2 \cdot 4 = 8\)). 3. Die Multiplikation auf der rechten Seite wurde falsch ausgeführt: \(3\,\text{€} \cdot 4 = 12\,\text{€}\), nicht \(9\,\text{€}\).

Antwort

Der Fehler liegt im letzten Schritt: \(3\,\text{€} \cdot 4\) ist \(12\,\text{€}\) und nicht \(9\,\text{€}\). Der richtige Preis für \(8\,\text{kg}\) Kartoffeln beträgt \(12\,\text{€}\).

4212415

Ein Lieferwagen legt bei gleichbleibender durchschnittlicher Geschwindigkeit in \(3\) Stunden \(234\,\text{km}\) zurück. a) Wie viele Kilometer legt er in \(1\) Stunde zurück? b) Wie weit kommt er unter denselben Bedingungen in \(7\) Stunden? Löse mit einer Schlussrechnung über \(1\) Stunde.

Denkanstöße

- Welche Zuordnung zwischen Zeit und Strecke ist gegeben? - Wie kommst du von \(3\) Stunden auf genau \(1\) Stunde? - Wie kannst du den Wert für \(1\) Stunde anschließend auf \(7\) Stunden übertragen?

Lösung

1. Gegeben ist die Zuordnung \(3\,\text{h}\mathrel{\widehat{=}}234\,\text{km}\). 2. Für \(1\) Stunde teilt man durch \(3\): \(234\,\text{km}:3=78\,\text{km}\). 3. Für \(7\) Stunden vervielfacht man den Ein-Stunden-Wert mit \(7\): \(78\,\text{km}\cdot7=546\,\text{km}\).

Antwort

a) \(78\,\text{km}\) b) \(546\,\text{km}\)

4213005

Für diese Aufgabe gilt das vereinfachte Rechenmodell: \(4\) Lichtjahre entsprechen ungefähr \(38\) Billionen Kilometern. a) Wie vielen Billionen Kilometern entspricht nach diesem Modell \(1\) Lichtjahr? b) Wie vielen Billionen Kilometern entsprechen \(7\) Lichtjahre? Löse mit einer Schlussrechnung über \(1\) Lichtjahr.

Denkanstöße

- Welche zwei Größen werden im Rechenmodell einander zugeordnet? - Wie erhältst du aus dem Wert für \(4\) Lichtjahre den Wert für \(1\) Lichtjahr? - Wie nutzt du anschließend den Ein-Lichtjahr-Wert für \(7\) Lichtjahre?

Lösung

1. Gegeben ist \(4\,\text{Lichtjahre}\mathrel{\widehat{=}}38\) Billionen Kilometer. 2. Für \(1\) Lichtjahr gilt \(38:4=9{,}5\). Ein Lichtjahr entspricht im Modell also ungefähr \(9{,}5\) Billionen Kilometern. 3. Für \(7\) Lichtjahre gilt \(9{,}5\cdot7=66{,}5\).

Antwort

a) ungefähr \(9{,}5\) Billionen Kilometer b) ungefähr \(66{,}5\) Billionen Kilometer

4213555

Übertrage die folgende Dreisatztabelle in dein Heft und vervollständige die fehlenden Werte. Es geht um den Kauf von Schreibheften für eine Schule. <table> <tr><td>Anzahl (Stück)</td><td></td><td>Preis (in €)</td></tr> <tr><td>\(8\)</td><td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td><td>\(11{,}20\)</td></tr> <tr><td>\(1\)</td><td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td><td></td></tr> <tr><td>\(15\)</td><td>\(\mathrel{\widehat{=}}\)</td><td></td></tr> </table>

Denkanstöße

- Rechne den gegebenen Gesamtpreis zuerst in Cent um. - Bestimme den Preis für genau ein Heft. - Skaliere diesen Preis anschließend auf \(15\) Hefte.

Lösung

1. \(11{,}20\,\text{€} = 1120\,\text{ct}\). Ein Heft kostet \(1120\,\text{ct} : 8 = 140\,\text{ct} = 1{,}40\,\text{€}\). 2. Für \(15\) Hefte gilt \(15 \cdot 140\,\text{ct} = 2100\,\text{ct} = 21{,}00\,\text{€}\).

Antwort

Ein Heft kostet \(1{,}40\,\text{€}\); \(15\) Hefte kosten \(21{,}00\,\text{€}\).

4228656

Frau Weber bereitet \(2\,\text{l}\) Sommerbowle zu. Die Bowle besteht zu \(\frac{1}{2}\) aus Apfelsaft, zu \(\frac{3}{10}\) aus Mineralwasser und zu \(\frac{1}{5}\) aus Johannisbeersaft. Wie viele Milliliter werden von jeder Zutat benötigt?

Denkanstöße

- Bringe das Gesamtvolumen zuerst in Milliliter. - Bestimme jeden angegebenen Bruchteil des Ganzen getrennt. - Prüfe am Ende, ob die drei Teilmengen wieder das Ganze ergeben.

Lösung

1. Das Gesamtvolumen beträgt \(2\,\text{l} = 2000\,\text{ml}\). 2. Apfelsaft: \(\frac{1}{2}\) von \(2000\,\text{ml}\) sind \(1000\,\text{ml}\). 3. Mineralwasser: \(\frac{3}{10}\) von \(2000\,\text{ml}\) sind \(600\,\text{ml}\). 4. Johannisbeersaft: \(\frac{1}{5}\) von \(2000\,\text{ml}\) sind \(400\,\text{ml}\). 5. Die Anteile ergeben zusammen \(1000 + 600 + 400 = 2000\,\text{ml}\).

Antwort

Apfelsaft: \(1000\,\text{ml}\) Mineralwasser: \(600\,\text{ml}\) Johannisbeersaft: \(400\,\text{ml}\)

5528475

Vier gleiche Flaschen fassen zusammen \(6\,\text{l}\). Wie viele Liter fassen zehn solche Flaschen zusammen?

Denkanstöße

- Die Gesamtmenge ist direkt proportional zur Flaschenzahl. - Rechne die \(6\,\text{l}\) zunächst in Milliliter um. - Bestimme erst den Inhalt einer Flasche und skaliere dann auf zehn.

Lösung

1. \(6\,\text{l} = 6000\,\text{ml}\). Eine Flasche fasst \(6000\,\text{ml} : 4 = 1500\,\text{ml}\). 2. Zehn Flaschen fassen \(10 \cdot 1500\,\text{ml} = 15\,000\,\text{ml} = 15\,\text{l}\).

Antwort

Zehn Flaschen fassen zusammen \(15\,\text{l}\).

5528485

Sechs Eintrittskarten kosten zusammen \(27{,}00\,\text{€}\). Alle Karten kosten gleich viel. Wie viele Karten erhält man für \(45{,}00\,\text{€}\)?

Denkanstöße

- Rechne beide Geldbeträge in Cent um. - Bestimme zuerst den Preis einer einzelnen Karte. - Ermittle danach, wie oft dieser Preis im verfügbaren Geldbetrag enthalten ist.

Lösung

1. \(27{,}00\,\text{€} = 2700\,\text{ct}\). Eine Karte kostet \(2700\,\text{ct} : 6 = 450\,\text{ct}\). 2. \(45{,}00\,\text{€} = 4500\,\text{ct}\). Damit erhält man \(4500 : 450 = 10\) Karten.

Antwort

Man erhält \(10\) Karten.

5528495

Fünf gleiche Saftpäckchen kosten zusammen \(10{,}00\,\text{€}\). Für acht Päckchen rechnet Livia: „Es sind drei Päckchen mehr, also kosten sie \(10{,}00\,\text{€} + 3{,}00\,\text{€} = 13{,}00\,\text{€}\).“ Erkläre den Fehler und bestimme den richtigen Preis mit einem Dreisatz.

Denkanstöße

- Prüfe, ob der Preis für ein zusätzliches Päckchen aus Livias Rechnung überhaupt bekannt ist. - Bei gleich teuren Päckchen hilft der Preis für genau ein Päckchen als Zwischenwert. - Kontrolliere, ob dein Ergebnis zur Anzahl der Päckchen proportional wächst.

Lösung

1. Der Gesamtpreis wächst proportional zur Anzahl der gleich teuren Päckchen; drei zusätzliche Päckchen kosten nicht automatisch \(3{,}00\,\text{€}\). 2. Ein Päckchen kostet \(10{,}00\,\text{€} : 5 = 2{,}00\,\text{€}\). 3. Acht Päckchen kosten \(8 \cdot 2{,}00\,\text{€} = 16{,}00\,\text{€}\).

Antwort

Livia setzt fälschlich ein zusätzliches Päckchen mit \(1{,}00\,\text{€}\) an. Richtig sind \(16{,}00\,\text{€}\).

5528615

Vervollständige die Tabelle mit einem Dreisatz. Alle Bastelbögen kosten gleich viel. <table><tr><th>Anzahl Bastelbögen</th><th>\(4\)</th><th>\(1\)</th><th>\(7\)</th></tr><tr><th>Preis</th><td>\(9{,}60\,\text{€}\)</td><td>?</td><td>?</td></tr></table>

Denkanstöße

- Rechne den gegebenen Preis zunächst in Cent um. - Bestimme damit die Spalte für genau einen Bastelbogen. - Von dort kannst du die letzte Spalte hochrechnen.

Lösung

1. \(9{,}60\,\text{€} = 960\,\text{ct}\). Ein Bastelbogen kostet \(960\,\text{ct} : 4 = 240\,\text{ct} = 2{,}40\,\text{€}\). 2. Sieben Bastelbögen kosten \(7 \cdot 240\,\text{ct} = 1680\,\text{ct} = 16{,}80\,\text{€}\).

Antwort

Für \(1\) Bastelbogen: \(2{,}40\,\text{€}\) Für \(7\) Bastelbögen: \(16{,}80\,\text{€}\)

4107815

Ein Sack Kaffeebohnen hat einen Wert von \(144\,\text{€}\). Wenn \(3\,\text{kg}\) Bohnen entnommen werden, verringert sich der Gesamtwert auf \(108\,\text{€}\). a) Berechne die ursprüngliche Masse der Bohnen im Sack. b) Wie viel würde der volle Sack kosten, wenn der Preis pro Kilogramm um \(2\,\text{€}\) gesenkt würde?

Denkanstöße

- Was verrät die Wertänderung über die entnommenen \(3\,\text{kg}\)? - Welche Größe bleibt in Teil b) unverändert, obwohl sich der Kilopreis ändert? - Prüfe, ob dein berechneter Kilopreis zu beiden angegebenen Gesamtwerten passt.

Lösung

1. Die entnommenen \(3\,\text{kg}\) haben einen Wert von \(144\,\text{€} - 108\,\text{€} = 36\,\text{€}\). 2. Der Preis pro Kilogramm beträgt \(36\,\text{€} : 3\,\text{kg} = 12\,\text{€}/\text{kg}\). 3. Die ursprüngliche Masse beträgt \(144\,\text{€} : 12\,\text{€}/\text{kg} = 12\,\text{kg}\). 4. Der neue Kilopreis beträgt \(12\,\text{€}/\text{kg} - 2\,\text{€}/\text{kg} = 10\,\text{€}/\text{kg}\). 5. Der volle Sack würde dann \(12\,\text{kg} \cdot 10\,\text{€}/\text{kg} = 120\,\text{€}\) kosten.

Antwort

a) Die ursprüngliche Masse beträgt \(12\,\text{kg}\). b) Der volle Sack würde \(120\,\text{€}\) kosten.

4179785

Zwei Freunde, Jonas und Sarah, laufen auf dem Sportplatz. Jonas schafft in \(4\,\text{Minuten}\) genau \(800\,\text{Meter}\). Sarah läuft in \(2\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(500\,\text{Metern}\). Wer von beiden ist schneller gelaufen? Wie weit würde diese schnellere Person in \(10\,\text{Minuten}\) kommen, wenn sie das Tempo beibehält?

Denkanstöße

- Wie weit kommt jeder der beiden in nur einer einzigen Minute? - Vergleiche die Ergebnisse, um zu sehen, wer in der gleichen Zeit mehr Meter schafft. - Rechne dann mit dem Wert der schnelleren Person weiter, um das Ergebnis für 10 Minuten zu finden.

Lösung

1. Berechnung der Geschwindigkeit von Jonas: \(800\,\text{m} : 4 = 200\,\text{m}\) pro Minute. 2. Berechnung der Geschwindigkeit von Sarah: \(500\,\text{m} : 2 = 250\,\text{m}\) pro Minute. 3. Vergleich der Geschwindigkeiten: Da \(250\,\text{m} > 200\,\text{m}\), ist Sarah schneller gelaufen. 4. Berechnung der Strecke für \(10\,\text{Minuten}\) (Sarah): \(250\,\text{m} \cdot 10 = 2500\,\text{m}\).

Antwort

Sarah ist schneller gelaufen. In \(10\,\text{Minuten}\) würde sie \(2500\,\text{Meter}\) schaffen.

4181125

Ein kleiner Lastwagen transportiert Sand für eine Baustelle. Mit \(6\) Fahrten kann er insgesamt \(48\,\text{t}\) Sand liefern, wenn er jedes Mal voll beladen ist. Heute sollen insgesamt \(72\,\text{t}\) Sand zur Baustelle gebracht werden. Wie viele Fahrten muss der Lastwagen dafür insgesamt machen?

Denkanstöße

- Kannst du zuerst ausrechnen, wie viel Tonnen Sand der Lastwagen bei einer einzigen Fahrt transportiert? - Wenn du weißt, wie viel er pro Fahrt schafft, wie oft muss er dann für die größere Menge fahren? - Hilft es dir, eine kleine Tabelle anzulegen?

Lösung

1. Berechnung der Lademenge pro Fahrt: \(48\,\text{t} : 6 = 8\,\text{t}\). 2. Berechnung der benötigten Fahrten für die neue Gesamtmenge: \(72\,\text{t} : 8\,\text{t} = 9\).

Antwort

Der Lastwagen muss insgesamt \(9\) Fahrten machen.

4183325

In einem Skigebiet liegt die Talstation auf \( 650\,\text{m} \) Höhe, wo eine Temperatur von \( 2\,^\circ\text{C} \) gemessen wird. Die Bergstation befindet sich auf \( 2250\,\text{m} \) Höhe. Die Temperatur sinkt je \( 200\,\text{m} \) Höhenunterschied um genau \( 1\,^\circ\text{C} \). Mit welcher Temperatur müssen Skifahrer an der Bergstation rechnen?

Denkanstöße

- Wie viele Meter müssen die Skifahrer insgesamt nach oben fahren? - Wie oft passt der angegebene Höhenschritt in diesen gesamten Höhenunterschied? - Denke daran, dass die Temperatur sinkt, wenn man weiter nach oben kommt.

Lösung

1. Berechnung des Höhenunterschieds zwischen Tal- und Bergstation: \( 2250\,\text{m} - 650\,\text{m} = 1600\,\text{m} \). 2. Bestimmung der Anzahl der Temperaturstufen: \( 1600 : 200 = 8 \). 3. Berechnung der Temperaturabnahme: \( 8 \cdot 1\,^\circ\text{C} = 8\,^\circ\text{C} \). 4. Berechnung der Zieltemperatur: \( 2 - 8 = -6 \). An der Bergstation herrscht eine Temperatur von \( -6\,^\circ\text{C} \).

Antwort

An der Bergstation ist mit einer Temperatur von \( -6\,^\circ\text{C} \) zu rechnen.

4195445

Im Schreibwarenladen kosten \(5\) gleiche Hefte zusammen \(4{,}50\,\text{€}\). Ein anderes Angebot enthält \(12\) gleiche Hefte für \(9{,}60\,\text{€}\). Welches Angebot ist pro Heft günstiger und um wie viel?

Denkanstöße

- Vergleiche nicht die Gesamtpreise, sondern die Preise für genau ein Heft. - Rechne die Eurobeträge vor dem Teilen in Cent um. - Bestimme anschließend die Differenz der beiden Stückpreise.

Lösung

1. Erstes Angebot: \(4{,}50\,\text{€} = 450\,\text{ct}\). Pro Heft sind das \(450 : 5 = 90\,\text{ct}\). 2. Zweites Angebot: \(9{,}60\,\text{€} = 960\,\text{ct}\). Pro Heft sind das \(960 : 12 = 80\,\text{ct}\). 3. Das zweite Angebot ist pro Heft um \(90\,\text{ct} - 80\,\text{ct} = 10\,\text{ct}\) günstiger.

Antwort

Das Angebot mit \(12\) Heften ist pro Heft um \(10\,\text{ct}\) günstiger.

4203425

An einem Winterabend wird die Temperatur an einer Wetterstation gemessen. Um 17:00 Uhr beträgt sie \(-4\,^\circ\text{C}\). Bis 22:00 Uhr sinkt die Temperatur jede Stunde gleichmäßig um \(3\,^\circ\text{C}\). a) Welche Temperatur zeigt das Thermometer um 22:00 Uhr an? b) Zu welcher Uhrzeit wurde eine Temperatur von genau \(-10\,^\circ\text{C}\) gemessen?

Denkanstöße

- Wie viele Stunden vergehen zwischen den beiden Zeitpunkten? - Überlege dir zuerst, wie stark die Temperatur in der gesamten Zeit insgesamt sinkt. - Für den zweiten Teil: Wie groß ist der Unterschied zwischen der Starttemperatur und dem Wert \(-10\,^\circ\text{C}\)? - Wie oft passt die stündliche Änderung in diesen Unterschied hinein?

Lösung

1. Berechnung für Teil a: Der Zeitraum von 17:00 Uhr bis 22:00 Uhr beträgt \(5\) Stunden. Die gesamte Temperaturabsenkung berechnet sich aus \(5 \cdot 3\,^\circ\text{C} = 15\,^\circ\text{C}\). Ausgehend von \(-4\,^\circ\text{C}\) sinkt die Temperatur um \(15\,^\circ\text{C}\) auf \(-4 - 15 = -19\,^\circ\text{C}\). 2. Berechnung für Teil b: Der Unterschied zwischen der Starttemperatur \(-4\,^\circ\text{C}\) und der Zieltemperatur \(-10\,^\circ\text{C}\) beträgt \(6\,^\circ\text{C}\). Da die Temperatur um \(3\,^\circ\text{C}\) pro Stunde sinkt, dauert dies \(6 : 3 = 2\) Stunden. Ausgehend von 17:00 Uhr ist es somit 19:00 Uhr.

Antwort

a) Um 22:00 Uhr beträgt die Temperatur \(-19\,^\circ\text{C}\). b) Die Temperatur von \(-10\,^\circ\text{C}\) wurde um 19:00 Uhr gemessen.

4203435

In einem Labor wird eine biologische Probe in einem Spezialkühlschrank abgekühlt. Um 8:00 Uhr morgens zeigt das Thermometer eine Temperatur von \(5\,^\circ\text{C}\) an. Bis um 14:00 Uhr sinkt die Temperatur jede Stunde um den gleichen Betrag. Um 14:00 Uhr wird schließlich eine Temperatur von \(-19\,^\circ\text{C}\) erreicht. Berechne, um wie viele Grad Celsius die Temperatur pro Stunde gesunken ist.

Denkanstöße

- Wie viele Stunden liegen zwischen dem Start und dem Ende der Messung? - Berechne den gesamten Temperaturunterschied, den das Thermometer in dieser Zeit durchlaufen hat. - Verteile diesen gesamten Unterschied gleichmäßig auf die Anzahl der Stunden.

Lösung

1. Bestimmung der Zeitdauer: Von 8:00 Uhr bis 14:00 Uhr vergehen \(6\) Stunden. 2. Berechnung des gesamten Temperaturunterschieds: Die Temperatur sinkt von \(5\,^\circ\text{C}\) auf \(-19\,^\circ\text{C}\). Der Gesamtabstand beträgt \(5 - (-19) = 24\,^\circ\text{C}\). 3. Berechnung der stündlichen Änderung: Der gesamte Unterschied von \(24\,^\circ\text{C}\) wird gleichmäßig auf die \(6\) Stunden verteilt: \(24 : 6 = 4\). Die Temperatur ist also pro Stunde um \(4\,^\circ\text{C}\) gesunken.

Antwort

Die Temperatur ist pro Stunde um \(4\,^\circ\text{C}\) gesunken.

4207455

Ein Kopierer benötigt für den Druck von \(250\) Flyern genau \(6\,\text{Minuten}\) und \(15\,\text{Sekunden}\). Die Schule möchte für ein Schulfest insgesamt \(1000\) Flyer drucken lassen. Wie lange dauert dieser Druckvorgang insgesamt? Gib das Ergebnis in Minuten an.

Denkanstöße

- Um welchen Faktor erhöht sich die Anzahl der Flyer? - Du kannst die Minuten und die Sekunden einzeln mit diesem Faktor multiplizieren. - Schau dir dein Ergebnis bei den Sekunden genau an – lässt sich das in Minuten umwandeln?

Lösung

1. Bestimmung des Faktors für die Anzahl der Flyer: \(1000 : 250 = 4\). Die Anzahl der Flyer ist viermal so groß. 2. Berechnung der Zeit für die Minuten: \(4 \cdot 6\,\text{Minuten} = 24\,\text{Minuten}\). 3. Berechnung der Zeit für die Sekunden: \(4 \cdot 15\,\text{Sekunden} = 60\,\text{Sekunden}\). 4. Umrechnung und Addition: \(60\,\text{Sekunden} = 1\,\text{Minute}\). Gesamtdauer: \(24\,\text{Minuten} + 1\,\text{Minute} = 25\,\text{Minuten}\).

Antwort

Der Druckvorgang für \(1000\) Flyer dauert insgesamt \(25\,\text{Minuten}\).

4207685

Lasse, Mia und Tom kaufen gemeinsam bunte Glassteine zum Basteln. Alle Steine haben denselben Preis pro Gramm. Lasse nimmt \(120\,\text{g}\), Mia \(200\,\text{g}\) und Tom \(180\,\text{g}\). Lasse bezahlt an der Kasse den Gesamtbetrag von \(12{,}50\,\text{€}\). Berechne, wie viel Geld Mia und Tom ihrem Freund Lasse jeweils zurückgeben müssen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Gesamtmasse der Glassteine. - Rechne den Gesamtpreis in Cent um und suche einen passenden Preis für \(100\,\text{g}\) oder \(10\,\text{g}\). - Skaliere diesen Preis auf die Mengen von Mia und Tom.

Lösung

1. Insgesamt kaufen sie \(120\,\text{g} + 200\,\text{g} + 180\,\text{g} = 500\,\text{g}\). 2. \(12{,}50\,\text{€} = 1250\,\text{ct}\). Für \(100\,\text{g}\) sind das \(1250\,\text{ct} : 5 = 250\,\text{ct}\). 3. Mia hat \(200\,\text{g}\): \(2 \cdot 250\,\text{ct} = 500\,\text{ct} = 5{,}00\,\text{€}\). 4. Für \(10\,\text{g}\) sind es \(250\,\text{ct} : 10 = 25\,\text{ct}\). Tom hat \(180\,\text{g} = 18 \cdot 10\,\text{g}\), also zahlt er \(18 \cdot 25\,\text{ct} = 450\,\text{ct} = 4{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Mia muss Lasse \(5{,}00\,\text{€}\) geben und Tom \(4{,}50\,\text{€}\).

4207765

Lukas möchte für einen Kochabend \(12\) Packungen Nudeln und \(4\) Gläser Tomatensauce kaufen. Er vergleicht die Preise in drei verschiedenen Geschäften: <table> <tr> <th>Geschäft</th> <th>Nudeln</th> <th>Preis Nudeln</th> <th>Sauce</th> <th>Preis Sauce</th> </tr> <tr> <td>Frischemarkt</td> <td>\(3\) Packungen</td> <td>\(2{,}40\,\text{€}\)</td> <td>\(2\) Gläser</td> <td>\(2{,}50\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Cityshop</td> <td>\(4\) Packungen</td> <td>\(3{,}12\,\text{€}\)</td> <td>\(4\) Gläser</td> <td>\(4{,}80\,\text{€}\)</td> </tr> <tr> <td>Super-Spar</td> <td>\(6\) Packungen</td> <td>\(4{,}68\,\text{€}\)</td> <td>\(1\) Glas</td> <td>\(1{,}29\,\text{€}\)</td> </tr> </table> Berechne für jedes Geschäft den Gesamtpreis für den Einkauf. Wo ist es am günstigsten?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie oft die angebotenen Mengen in den gewünschten Einkauf passen. - Berechne die Kosten für Nudeln und Sauce in jedem Geschäft getrennt. - Addiere anschließend die beiden Teilbeträge und vergleiche die drei Gesamtsummen.

Lösung

1. Berechnung Frischemarkt: \(12 : 3 = 4\) Einheiten Nudeln, also \(4 \cdot 2{,}40\,\text{€} = 9{,}60\,\text{€}\). Für die Sauce gilt \(4 : 2 = 2\), also \(2 \cdot 2{,}50\,\text{€} = 5{,}00\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}60\,\text{€}\). 2. Berechnung Cityshop: \(12 : 4 = 3\) Einheiten Nudeln, also \(3 \cdot 3{,}12\,\text{€} = 9{,}36\,\text{€}\). Die \(4\) Gläser Sauce kosten \(4{,}80\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}16\,\text{€}\). 3. Berechnung Super-Spar: \(12 : 6 = 2\) Einheiten Nudeln, also \(2 \cdot 4{,}68\,\text{€} = 9{,}36\,\text{€}\). Für die Sauce gilt \(4 \cdot 1{,}29\,\text{€} = 5{,}16\,\text{€}\). Gesamt: \(14{,}52\,\text{€}\). 4. Vergleich: Der Cityshop ist mit \(14{,}16\,\text{€}\) am günstigsten.

Antwort

Frischemarkt: \(14{,}60\,\text{€}\); Cityshop: \(14{,}16\,\text{€}\); Super-Spar: \(14{,}52\,\text{€}\). Am günstigsten ist der Cityshop.

4208165

Frau Schmidt und Herr Weber reinigen ein Bürogebäude. Frau Schmidt arbeitet \(20\) Stunden pro Woche und Herr Weber \(15\) Stunden pro Woche. Bei gleichem Stundenlohn verdienen sie in \(4\) Wochen zusammen \(2240\,\text{€}\). a) Wie viel verdienen die beiden zusammen in einer Woche? b) Wie hoch ist der Stundenlohn? c) Herr Weber behauptet, dass er in \(4\) Wochen mehr als \(1000\,\text{€}\) verdient. Hat er recht? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Wie viel Geld bekommen beide zusammen für eine einzige Woche? - Wie viele Stunden arbeiten sie insgesamt in dieser einen Woche? - Wenn du weißt, wie viel sie pro Woche verdienen und wie viele Stunden sie leisten, wie berechnest du dann den Lohn für eine Stunde? - Rechne den Verdienst für Herrn Weber Schritt für Schritt für den gesamten Zeitraum aus.

Lösung

1. Berechnung des gemeinsamen Verdienstes pro Woche durch Division des Gesamtbetrags durch die Wochenanzahl: \(2240\,\text{€} : 4 = 560\,\text{€}\). 2. Ermittlung der gesamten Arbeitsstunden pro Woche durch Addition der Einzelstunden: \(20\,\text{h} + 15\,\text{h} = 35\,\text{h}\). 3. Berechnung des Stundenlohns durch Division des Wochenverdienstes durch die Gesamtstunden: \(560\,\text{€} : 35\,\text{h} = 16\,\text{€}/\text{h}\). 4. Berechnung des Verdienstes von Herrn Weber für 4 Wochen: \(15\,\text{h} \cdot 4 \cdot 16\,\text{€}/\text{h} = 960\,\text{€}\). 5. Vergleich des Ergebnisses mit der Behauptung: \(960\,\text{€} < 1000\,\text{€}\).

Antwort

a) In einer Woche verdienen sie zusammen \(560\,\text{€}\). b) Der Stundenlohn beträgt \(16\,\text{€}/\text{h}\). c) Nein, er hat nicht recht. Sein Verdienst in \(4\) Wochen beträgt \(960\,\text{€}\), was weniger als \(1000\,\text{€}\) ist.

4209255

Für diese Aufgabe wird folgendes Verbrauchsmodell verwendet: Ein Fährschiff fährt \(120\,\text{km}\) mit \(850\) Passagieren. Pro Passagier werden für \(100\,\text{km}\) Fahrt \(6\,\text{l}\) Treibstoff angesetzt. Berechne nach diesem Modell den gesamten Treibstoffverbrauch für die Fahrt.

Denkanstöße

- Wandle die \(6\,\text{l}\) in eine kleinere Einheit um, sodass du ohne Dezimalzahlen rechnen kannst. - Zerlege die \(120\,\text{km}\) in \(100\,\text{km}\) und \(20\,\text{km}\). - Skaliere erst auf die Strecke und danach auf alle Passagiere.

Lösung

1. \(6\,\text{l} = 60\,\text{dl}\) gelten pro Passagier für \(100\,\text{km}\). 2. Für \(20\,\text{km}\) sind das \(60\,\text{dl} : 5 = 12\,\text{dl}\). Für \(120\,\text{km}\) ergibt sich pro Passagier \(60\,\text{dl} + 12\,\text{dl} = 72\,\text{dl}\). 3. Für \(850\) Passagiere sind das \(850 \cdot 72\,\text{dl} = 61\,200\,\text{dl}\). 4. \(61\,200\,\text{dl} = 6120\,\text{l}\).

Antwort

Nach dem angegebenen Modell beträgt der gesamte Treibstoffverbrauch \(6120\,\text{l}\).

4209955

Frau Meier geht spazieren und legt in \(15\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(1{,}2\,\text{km}\) zurück. Ihr Hund läuft auf einer Wiese in \(5\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(450\,\text{m}\). Bestimme durch Rechnung, wer von beiden durchschnittlich mehr Meter pro Minute zurücklegt.

Denkanstöße

- Um die beiden vergleichen zu können, solltest du für beide die gleiche Einheit verwenden (zum Beispiel Meter pro Minute). - Wandle dazu zuerst alle Längenangaben in Meter um. - Teile dann jeweils die Strecke durch die Zeit.

Lösung

1. Berechnung für Frau Meier: Umrechnung der Strecke in Meter (\(1{,}2\,\text{km} = 1200\,\text{m}\)). Division durch die Zeit: \(1200\,\text{m} : 15\,\text{min} = 80\,\text{m/min}\). 2. Berechnung für den Hund: Division der gegebenen Werte: \(450\,\text{m} : 5\,\text{min} = 90\,\text{m/min}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(90\,\text{m/min} > 80\,\text{m/min}\), ist der Hund schneller.

Antwort

Der Hund legt mit \(90\,\text{m/min}\) eine größere Strecke pro Minute zurück als Frau Meier mit \(80\,\text{m/min}\).

4210365

Zwei Ventilatoren werden auf ihre Geschwindigkeit geprüft. Modell A schafft \(1200\) Umdrehungen in 2 Minuten. Modell B dreht sich 15-mal pro Sekunde. a) Welches Modell dreht sich schneller? Begründe durch Rechnung. b) Wie viele Umdrehungen macht jedes Modell in einer halben Stunde?

Denkanstöße

- Versuche, beide Angaben auf dieselbe Zeiteinheit zu bringen, zum Beispiel auf eine Minute oder eine Sekunde. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Rechne zuerst aus, wie viele Umdrehungen jedes Modell pro Minute macht, um den Rest leichter zu berechnen.

Lösung

1. Vergleich der Geschwindigkeiten pro Minute: Modell A macht \(1200 : 2 = 600\) Umdrehungen pro Minute. Modell B macht \(15 \cdot 60 = 900\) Umdrehungen pro Minute. Modell B ist also schneller. Alternativer Vergleich pro Sekunde: Modell A macht \(1200 : 120 = 10\) Umdrehungen pro Sekunde. Modell B macht 15 Umdrehungen pro Sekunde. 2. Berechnung für eine halbe Stunde (\(30\,\text{min}\)): Modell A: \(600 \cdot 30 = 18\,000\) Umdrehungen. Modell B: \(900 \cdot 30 = 27\,000\) Umdrehungen.

Antwort

a) Modell B dreht sich schneller. Es macht 900 Umdrehungen pro Minute (oder 15 pro Sekunde), während Modell A nur 600 Umdrehungen pro Minute (oder 10 pro Sekunde) macht. b) In einer halben Stunde macht Modell A \(18\,000\) Umdrehungen und Modell B \(27\,000\) Umdrehungen.

4210495

Für eine Reiseplanung wird mit folgenden Modellwerten gerechnet: Die Strecke zwischen Berlin und Magdeburg wird mit \(120\,\text{km}\) angesetzt. Für einen Regionalexpress werden \(1\,\text{h}\ 15\,\text{min}\) Fahrzeit angenommen, für eine Autofahrt \(1\,\text{h}\ 30\,\text{min}\). a) Wie viel Zeit spart man nach diesen Modellwerten mit dem Zug? b) Berechne, wie viele Kilometer das Auto im Modell durchschnittlich pro Stunde zurücklegt.

Denkanstöße

- Vergleiche für a) die beiden angenommenen Fahrzeiten. - Rechne für b) die Autofahrzeit in Minuten um. - Suche einen Zwischenschritt, mit dem du von \(90\) Minuten auf \(60\) Minuten kommst.

Lösung

1. Die Zeitersparnis beträgt \(1\,\text{h}\ 30\,\text{min} - 1\,\text{h}\ 15\,\text{min} = 15\,\text{min}\). 2. Das Auto legt \(120\,\text{km}\) in \(90\,\text{min}\) zurück. 3. In \(30\,\text{min}\) sind das \(120\,\text{km} : 3 = 40\,\text{km}\); in \(60\,\text{min}\) entsprechend \(80\,\text{km}\).

Antwort

a) \(15\,\text{min}\) b) \(80\,\text{km}\) pro Stunde

4210737

Anton und Boris fahren mit dem Fahrrad von Neustadt nach Altdorf. Die Strecke ist \(48\,\text{km}\) lang; beide starten um 14:00 Uhr. Anton fährt gleichmäßig \(12\,\text{km/h}\). Boris fährt die ersten \(24\,\text{km}\) mit \(16\,\text{km/h}\) und die restlichen \(24\,\text{km}\) mit \(8\,\text{km/h}\). Stelle für Antons Fahrzeit \(t_A\) sowie für Boris' Teilzeiten \(t_1\) und \(t_2\) jeweils eine lineare Gleichung aus Strecke, Geschwindigkeit und Zeit auf. Löse die drei Gleichungen und bestimme daraus die beiden Ankunftszeiten.

Denkanstöße

- Anton benötigt eine Gleichung für die gesamte Strecke. - Boris' zwei Abschnitte brauchen zwei verschiedene Zeitvariablen. - Addiere Boris' Teilzeiten erst, nachdem du beide Gleichungen gelöst hast.

Lösung

1. Für Anton gilt \(12t_A=48\), also \(t_A=4\,\text{h}\). Er kommt um 18:00 Uhr an. 2. Für Boris' ersten Abschnitt gilt \(16t_1=24\), also \(t_1=1{,}5\,\text{h}\). 3. Für den zweiten Abschnitt gilt \(8t_2=24\), also \(t_2=3\,\text{h}\). 4. Boris fährt insgesamt \(4{,}5\,\text{h}\) und kommt um 18:30 Uhr an.

Antwort

Anton: \(12t_A=48\), also \(t_A=4\,\text{h}\); Ankunft 18:00 Uhr. Boris: \(16t_1=24\) und \(8t_2=24\), also \(t_1=1{,}5\,\text{h}\), \(t_2=3\,\text{h}\); Ankunft 18:30 Uhr.

4210745

Herr Weber fährt an vier Tagen pro Woche mit seinem Auto zur Arbeit und wieder zurück. Eine einfache Fahrtstrecke beträgt \(50\,\text{km}\). Sein Auto verbraucht genau \(5\,\text{l}\) Benzin auf \(100\,\text{km}\). Berechne, wie viel Geld Herr Weber pro Woche für das Benzin bezahlen muss, wenn ein Liter Benzin \(1{,}64\,\text{€}\) kostet.

Denkanstöße

- Zähle für jeden Arbeitstag Hin- und Rückweg. - Bestimme aus der Wochenstrecke zunächst den gesamten Verbrauch. - Rechne den Literpreis für die letzte Multiplikation in Cent um.

Lösung

1. Hin- und Rückweg ergeben täglich \(50\,\text{km} \cdot 2 = 100\,\text{km}\). 2. In vier Tagen fährt Herr Weber \(100\,\text{km} \cdot 4 = 400\,\text{km}\). 3. Dafür werden \(4 \cdot 5\,\text{l} = 20\,\text{l}\) benötigt. 4. \(1{,}64\,\text{€} = 164\,\text{ct}\). Die Kosten sind \(20 \cdot 164\,\text{ct} = 3280\,\text{ct} = 32{,}80\,\text{€}\).

Antwort

Herr Weber bezahlt pro Woche \(32{,}80\,\text{€}\) für Benzin.

4210757

Fahrer Tobias Keller vergleicht zwei Routen über jeweils \(120\,\text{km}\). Auf Route A beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit \(60\,\text{km/h}\). Auf Route B fährt er die ersten \(60\,\text{km}\) mit \(40\,\text{km/h}\) und die zweiten \(60\,\text{km}\) mit \(80\,\text{km/h}\). Er startet um 08:00 Uhr. Stelle für die Fahrzeit \(t_A\) auf Route A sowie die Teilzeiten \(t_1\) und \(t_2\) auf Route B jeweils eine lineare Gleichung auf. Löse sie und bestimme die Ankunftszeit für jede Route.

Denkanstöße

- Für jede unbekannte Fahrzeit brauchst du eine eigene Gleichung. - Route B besteht aus zwei Abschnitten mit gleicher Länge, aber verschiedenen Geschwindigkeiten. - Addiere die beiden Teilzeiten von Route B vor der Bestimmung der Uhrzeit.

Lösung

1. Route A: \(60t_A=120\), also \(t_A=2\,\text{h}\). Ankunft ist um 10:00 Uhr. 2. Route B, erster Abschnitt: \(40t_1=60\), also \(t_1=1{,}5\,\text{h}\). 3. Route B, zweiter Abschnitt: \(80t_2=60\), also \(t_2=0{,}75\,\text{h}\). 4. Route B dauert insgesamt \(2{,}25\,\text{h}=2\,\text{h}\,15\,\text{min}\). Ankunft ist um 10:15 Uhr.

Antwort

Route A: \(60t_A=120\), also \(t_A=2\,\text{h}\); Ankunft 10:00 Uhr. Route B: \(40t_1=60\) und \(80t_2=60\), also insgesamt \(2\,\text{h}\,15\,\text{min}\); Ankunft 10:15 Uhr.

4211275

Sophia besucht ihre Großmutter, die \(1500\,\text{m}\) entfernt wohnt. Den Weg legt sie zu Fuß zurück. Sie möchte pünktlich um \(14{:}00\,\text{Uhr}\) bei ihrer Großmutter ankommen. a) Berechne, um wie viel Uhr Sophia zu Hause losgehen muss, wenn sie durchschnittlich \(60\,\text{m}\) in einer Minute schafft. b) Auf dem Rückweg trödelt Sophia ein wenig. Sie startet um \(17{:}10\,\text{Uhr}\) bei ihrer Großmutter und kommt erst um \(17{:}40\,\text{Uhr}\) zu Hause an. Wie viele Meter hat sie in diesem Fall durchschnittlich pro Minute zurückgelegt?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie lange man für eine bestimmte Strecke braucht, wenn man weiß, wie weit man in einer Minute kommt. - Wie kannst du von einer Ankunftszeit rückwärts rechnen, um die Startzeit zu finden? - Wie berechnet man die Geschwindigkeit, wenn man die Gesamtstrecke und die gebrauchte Zeit kennt?

Lösung

1. Berechnung der Gehzeit für den Hinweg: \(1500\,\text{m} : 60\,\text{m/min} = 25\,\text{min}\). 2. Bestimmung der Abfahrtszeit: \(14{:}00\,\text{Uhr} - 25\,\text{min} = 13{:}35\,\text{Uhr}\). 3. Berechnung der Zeitdauer für den Rückweg: \(17{:}40\,\text{Uhr} - 17{:}10\,\text{Uhr} = 30\,\text{min}\). 4. Berechnung der Geschwindigkeit auf dem Rückweg: \(1500\,\text{m} : 30\,\text{min} = 50\,\text{m/min}\).

Antwort

a) Sophia muss um \(13{:}35\,\text{Uhr}\) losgehen. b) Sie hat \(50\,\text{m}\) pro Minute zurückgelegt.

4211775

Ein ferngesteuertes Auto fährt in \(4\,\text{Minuten}\) eine Strecke von \(12\,\text{Metern}\). Um die Strecke für eine Zeit von \(30\,\text{Sekunden}\) zu bestimmen, wurde so gerechnet: \(4\,\text{min} \mathrel{\widehat{=}} 12\,\text{m}\) \(1\,\text{min} \mathrel{\widehat{=}} 3\,\text{m}\) \(30\,\text{s} \mathrel{\widehat{=}} 1{,}5\,\text{m}\) \(30\,\text{s} \mathrel{\widehat{=}} 15\,\text{cm}\) In welcher Zeile ist ein Fehler passiert? Erkläre den Fehler und gib das richtige Ergebnis in Zentimetern an.

Denkanstöße

- Überprüfe die Umrechnung von Metern in Zentimeter in der letzten Zeile. - Wie viele Zentimeter sind ein ganzer Meter? - Überlege, ob \(15\,\text{cm}\) für eine halbe Minute realistisch sind, wenn das Auto in einer ganzen Minute \(3\,\text{m}\) schafft.

Lösung

1. Schritt 1 (\(4\,\text{min}\) zu \(1\,\text{min}\)): Division durch \(4\) ist korrekt (\(12 : 4 = 3\)). 2. Schritt 2 (\(1\,\text{min}\) zu \(30\,\text{s}\)): Da \(30\,\text{Sekunden}\) eine halbe Minute sind, ist die Division durch \(2\) korrekt (\(3 : 2 = 1{,}5\)). 3. Schritt 3 (Umrechnung von \(\text{m}\) in \(\text{cm}\)): Hier liegt der Fehler. Es gilt \(1\,\text{m} = 100\,\text{cm}\). 4. Berechnung: \(1{,}5\,\text{m} \cdot 100 = 150\,\text{cm}\). In der Rechnung wurde fälschlicherweise nur mit \(10\) multipliziert oder das Komma falsch verschoben.

Antwort

Der Fehler liegt in der letzten Zeile bei der Umrechnung der Einheiten. \(1{,}5\,\text{m}\) entsprechen \(150\,\text{cm}\), nicht \(15\,\text{cm}\). Das richtige Ergebnis ist \(150\,\text{cm}\).

4211785

Für eine Klassenfeier werden \(12\,\text{l}\) Saft für insgesamt \(18\,\text{€}\) eingekauft. Jemand möchte den Preis für \(5\,\text{l}\) wissen und rechnet: \(12\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 18\,\text{€}\) \(1\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 1{,}80\,\text{€}\) \(5\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 9\,\text{€}\) Erkläre, welcher Fehler im ersten Rechenschritt gemacht wurde, und berechne den korrekten Preis für \(5\,\text{l}\).

Denkanstöße

- Bei einem Dreisatz muss auf beiden Seiten derselbe Rechenfaktor verwendet werden. - Rechne den Gesamtpreis in Cent um und suche einen gut teilbaren Zwischenwert. - Prüfe am Ende, ob der Preis für \(5\,\text{l}\) kleiner als der für \(12\,\text{l}\) ist.

Lösung

1. Von \(12\,\text{l}\) auf \(1\,\text{l}\) müsste man beide zugeordneten Größen durch \(12\) teilen. Der angegebene Preis \(1{,}80\,\text{€}\) entsteht nicht durch denselben Rechenschritt und ist daher falsch. 2. Für eine Grade-5-gerechte Rechnung wird \(18\,\text{€} = 1800\,\text{ct}\) verwendet. Durch Division beider Größen durch \(6\) gilt \(2\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 300\,\text{ct}\). 3. Halbieren ergibt \(1\,\text{l} \mathrel{\widehat{=}} 150\,\text{ct}\). 4. Für \(5\,\text{l}\) gilt \(5 \cdot 150\,\text{ct} = 750\,\text{ct} = 7{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Im fehlerhaften Schritt wurden die beiden zugeordneten Größen nicht mit demselben Faktor verändert. Der korrekte Preis für \(5\,\text{l}\) beträgt \(7{,}50\,\text{€}\).

4212425

Ein Reisebus legt bei gleichbleibender durchschnittlicher Geschwindigkeit in \(4\) Stunden \(340\,\text{km}\) zurück. Die nächste Etappe ist \(595\,\text{km}\) lang. a) Wie viele Kilometer legt der Bus in \(1\) Stunde zurück? b) Wie viele Stunden benötigt er unter denselben Bedingungen für die nächste Etappe? Löse mit einer Schlussrechnung über \(1\) Stunde.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Strecke, die zu genau \(1\) Stunde gehört. - Welcher Zusammenhang bleibt bei gleichbleibender durchschnittlicher Geschwindigkeit erhalten? - Wenn der Ein-Stunden-Wert bekannt ist: Welche Rechnung liefert die Zahl der benötigten Stunden für die neue Strecke?

Lösung

1. Gegeben ist \(4\,\text{h}\mathrel{\widehat{=}}340\,\text{km}\). 2. Für \(1\) Stunde gilt \(340\,\text{km}:4=85\,\text{km}\). 3. Für die \(595\,\text{km}\) lange Etappe wird bestimmt, wie oft \(85\,\text{km}\) in \(595\,\text{km}\) enthalten sind: \(595:85=7\). 4. Der Bus benötigt daher \(7\) Stunden.

Antwort

a) \(85\,\text{km}\) b) \(7\,\text{h}\)

4213327

Ein Güterzug fährt zunächst 6 Stunden mit \(80\,\text{km/h}\) und danach 4 Stunden mit \(50\,\text{km/h}\). Nach diesen 10 Stunden ist die verbleibende Strecke ein Viertel so lang wie die bis dahin gefahrene Strecke. Bezeichne die gesamte Streckenlänge mit \(x\). Bestimme zuerst die bereits gefahrene Strecke. Stelle anschließend eine lineare Gleichung auf, in der \(x\) und die Reststrecke vorkommen, und bestimme die gesamte Streckenlänge.

Denkanstöße

- Berechne die beiden bereits gefahrenen Teilstrecken getrennt. - Wie groß ist ein Viertel der bisher gefahrenen Strecke? - Drücke die Reststrecke auch als Gesamtlänge minus bereits gefahrene Strecke aus.

Lösung

1. Im ersten Abschnitt fährt der Zug \(6\cdot80=480\,\text{km}\), im zweiten \(4\cdot50=200\,\text{km}\). 2. Bisher sind damit \(680\,\text{km}\) gefahren. 3. Die Reststrecke ist ein Viertel davon, also \(170\,\text{km}\). 4. Mit der Gesamtlänge \(x\) gilt \(x-680=170\). 5. Daraus folgt \(x=850\,\text{km}\).

Antwort

Bereits gefahren: \(680\,\text{km}\). Gleichung: \(x-680=170\). Die gesamte Strecke ist \(850\,\text{km}\) lang.

4213575

Eine Radtour führt von Neustadt nach Altdorf. Familie Müller fährt zuerst \(14{,}6\,\text{km}\) bis zu einem Rastplatz und dann noch einmal \(7{,}9\,\text{km}\) bis zu einer alten Brücke. An der Brücke stellen sie fest, dass sie bereits drei Viertel der gesamten Strecke geschafft haben. Berechne die Gesamtlänge der Radtour.

Denkanstöße

- Addiere zuerst die beiden bereits gefahrenen Teilstrecken. - Wandle den erhaltenen Dezimalkilometerwert vor der Division in Meter um. - Wenn drei gleiche Teile bekannt sind, wie findest du einen Teil und anschließend alle vier Teile?

Lösung

1. Bereits zurückgelegt sind \(14{,}6\,\text{km} + 7{,}9\,\text{km} = 22{,}5\,\text{km}\). 2. \(22{,}5\,\text{km} = 22\,500\,\text{m}\) entsprechen \(\frac{3}{4}\) der Gesamtstrecke. 3. Ein Viertel ist \(22\,500\,\text{m} : 3 = 7500\,\text{m}\). 4. Die ganze Strecke beträgt \(4 \cdot 7500\,\text{m} = 30\,000\,\text{m} = 30\,\text{km}\).

Antwort

Die Radtour ist insgesamt \(30\,\text{km}\) lang.

4215015

Frau Weber kauft ein Baugrundstück mit einer Größe von \(7\,\text{a } 20\,\text{m}^2\). Der Preis pro \(\text{m}^2\) liegt bei \(160\,\text{€}\). Hinzu kommen Gebühren für die Wasserversorgung in Höhe von \(40\,\text{€}\) pro \(\text{m}^2\). Vor dem Kauf betrug ihr Kontostand \(155\,250{,}50\,\text{€}\). Wie viel Geld befindet sich nach dem Kauf noch auf ihrem Konto?

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele Quadratmeter das Grundstück insgesamt hat. - Fasse die Kosten pro Quadratmeter zusammen, bevor du weiterrechnest. - Wie viel Geld muss Frau Weber insgesamt für das Grundstück bezahlen? - Achte beim Abziehen der Kosten vom Kontostand genau auf die Kommastellen.

Lösung

1. Umrechnung der Grundstücksfläche in Quadratmeter: \(7\,\text{a } 20\,\text{m}^2 = 720\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Gesamtkosten pro Quadratmeter: \(160\,\text{€} + 40\,\text{€} = 200\,\text{€}\). 3. Berechnung des Gesamtkaufpreises: \(720 \cdot 200\,\text{€} = 144\,000\,\text{€}\). 4. Berechnung des Endkontostands: \(155\,250{,}50\,\text{€} - 144\,000\,\text{€} = 11\,250{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Nach dem Kauf befinden sich noch \(11\,250{,}50\,\text{€}\) auf dem Konto.

4215215

Zwei Gärtnereien vergleichen ihre Erdbeerernte. Gärtnerei „Sonnenschein“ erntet \(480\,\text{kg}\) auf einer Fläche von \(12\,\text{a}\). Gärtnerei „Frischland“ erntet \(900\,\text{kg}\) auf einer Fläche von \(2000\,\text{m}^2\). Welche Gärtnerei hat den höheren Ertrag pro Ar (\(\text{a}\)) erzielt? Begründe deine Antwort durch eine Rechnung.

Denkanstöße

- Um die Erträge vergleichen zu können, müssen sie sich auf die gleiche Flächeneinheit beziehen. - Wie viele Quadratmeter sind ein Ar? - Berechne für beide Gärtnereien, wie viele Kilogramm Erdbeeren sie auf genau einem Ar ernten.

Lösung

1. Ertrag von Gärtnerei „Sonnenschein“ pro Ar: \(480\,\text{kg} : 12 = 40\,\text{kg/a}\). 2. Umrechnung der Fläche von Gärtnerei „Frischland“: \(2000\,\text{m}^2 = 20\,\text{a}\). 3. Ertrag von Gärtnerei „Frischland“ pro Ar: \(900\,\text{kg} : 20 = 45\,\text{kg/a}\). 4. Vergleich der Ergebnisse: \(45\,\text{kg/a} > 40\,\text{kg/a}\).

Antwort

Gärtnerei „Frischland“ hat den höheren Ertrag erzielt (\(45\,\text{kg/a}\) im Vergleich zu \(40\,\text{kg/a}\) bei Gärtnerei „Sonnenschein“).

4215995

Ein Landwirt verkauft drei Wiesenstücke: (1) \(40\,\text{m} \times 50\,\text{m}\) für \(12\,000\,\text{€}\). (2) \(60\,\text{m} \times 30\,\text{m}\) für \(9000\,\text{€}\). (3) \(25\,\text{m} \times 80\,\text{m}\) für \(11\,000\,\text{€}\). Berechne für jedes Stück den Preis für einen Quadratmeter und ordne die Wiesen nach diesem Preis (beginnend mit der günstigsten).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, wie groß jedes Wiesenstück insgesamt ist. - Teile dann den Gesamtpreis durch die Anzahl der Quadratmeter. - Achte beim Vergleichen auf die berechneten Werte pro Einheit.

Lösung

1. Flächeninhalte bestimmen: Wiese 1: \(40\,\text{m} \cdot 50\,\text{m} = 2000\,\text{m}^2\) Wiese 2: \(60\,\text{m} \cdot 30\,\text{m} = 1800\,\text{m}^2\) Wiese 3: \(25\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 2000\,\text{m}^2\) 2. Quadratmeterpreise berechnen: Preis 1: \(12\,000\,\text{€} : 2000\,\text{m}^2 = 6\,\text{€/m}^2\) Preis 2: \(9000\,\text{€} : 1800\,\text{m}^2 = 5\,\text{€/m}^2\) Preis 3: \(11\,000\,\text{€} : 2000\,\text{m}^2 = 5{,}50\,\text{€/m}^2\) 3. Sortierung: \(5\,\text{€} < 5{,}50\,\text{€} < 6\,\text{€}\). Die Reihenfolge ist Wiese (2), Wiese (3), Wiese (1).

Antwort

Die Reihenfolge lautet: Wiese (2) mit \(5\,\text{€/m}^2\), Wiese (3) mit \(5{,}50\,\text{€/m}^2\) und Wiese (1) mit \(6\,\text{€/m}^2\).

4228666

Die Gärtnerei Blütenhof mischt Erde aus Kompost, Mutterboden und Sand. Die Mischung besteht zu \(\frac{1}{2}\) aus Kompost, zu \(\frac{3}{8}\) aus Mutterboden und zu \(\frac{1}{8}\) aus Sand. a) Wie viele Kilogramm jeder Zutat sind in \(120\,\text{kg}\) Mischung enthalten? b) Es sind noch \(18\,\text{kg}\) Sand vorhanden. Wie viele Kilogramm Mischung lassen sich herstellen, wenn Sand genau \(\frac{1}{8}\) der Gesamtmasse ausmachen soll?

Denkanstöße

- Bestimme in a) jeden Bruchteil von \(120\,\text{kg}\) getrennt. - In b) ist die Sandmasse gegeben und stellt genau einen bestimmten Bruchteil des Ganzen dar. - Prüfe, wie oft ein Achtel in einem Ganzen enthalten ist.

Lösung

1. In \(120\,\text{kg}\) sind \(\frac{1}{2} \cdot 120\,\text{kg} = 60\,\text{kg}\) Kompost. 2. Mutterboden: \(\frac{3}{8} \cdot 120\,\text{kg} = 45\,\text{kg}\). 3. Sand: \(\frac{1}{8} \cdot 120\,\text{kg} = 15\,\text{kg}\). 4. Für b) entsprechen \(18\,\text{kg}\) Sand einem Achtel der gesamten Mischung. 5. Die Gesamtmasse beträgt deshalb \(8 \cdot 18\,\text{kg} = 144\,\text{kg}\).

Antwort

a) \(60\,\text{kg}\) Kompost, \(45\,\text{kg}\) Mutterboden und \(15\,\text{kg}\) Sand b) \(144\,\text{kg}\) Mischung

4228726

Für eine Gartenmauer werden \(540\,\text{kg}\) Beton benötigt. Die Mischung besteht zu \(\frac{1}{9}\) aus Zement, zu \(\frac{1}{3}\) aus Sand und zu \(\frac{5}{9}\) aus Kies. a) Wie viele Kilogramm Sand und Kies werden benötigt? b) Zement wird in Säcken zu je \(20\,\text{kg}\) verkauft. Wie viele Säcke werden mindestens benötigt?

Denkanstöße

- Bestimme die angegebenen Bruchteile der Gesamtmasse. - Für b) brauchst du zuerst die Zementmasse. - Vergleiche die benötigte Zementmasse mit der Masse eines Sacks.

Lösung

1. Sand: \(\frac{1}{3} \cdot 540\,\text{kg} = 180\,\text{kg}\). 2. Kies: \(\frac{5}{9} \cdot 540\,\text{kg} = 300\,\text{kg}\). 3. Zement: \(\frac{1}{9} \cdot 540\,\text{kg} = 60\,\text{kg}\). 4. Für \(60\,\text{kg}\) Zement werden \(60\,\text{kg} : 20\,\text{kg} = 3\) Säcke benötigt.

Antwort

a) \(180\,\text{kg}\) Sand und \(300\,\text{kg}\) Kies b) \(3\) Säcke Zement

4183335

Ein Bergsteiger befindet sich auf einem Gipfel in \( 4100\,\text{m} \) Höhe. Sein Thermometer zeigt dort \( -14\,^\circ\text{C} \) an. Er steigt zu einer Schutzhütte ab, die tiefer am Berg liegt. Er weiß, dass die Temperatur beim Abstieg pro \( 250\,\text{m} \) Höhenunterschied um \( 1\,^\circ\text{C} \) ansteigt. In der Hütte angekommen, zeigt sein Thermometer \( -6\,^\circ\text{C} \) an. Auf welcher Höhe liegt die Schutzhütte?

Denkanstöße

- Um wie viele Grad hat sich die Temperatur verändert? - Wenn du weißt, wie viel Grad es wärmer geworden ist, kannst du den Höhenunterschied in Metern berechnen. - Wird die Zahl für die Meereshöhe beim Absteigen größer oder kleiner? - Versuche zuerst herauszufinden, wie viele Meter der Bergsteiger insgesamt abgestiegen ist.

Lösung

1. Berechnung des Temperaturunterschieds zwischen Gipfel und Hütte: \( -6 - (-14) = 8 \). Die Temperatur ist um \( 8\,^\circ\text{C} \) gestiegen. 2. Da die Temperatur pro \( 250\,\text{m} \) um \( 1\,^\circ\text{C} \) steigt, entspricht ein Anstieg von \( 8\,^\circ\text{C} \) einem Höhenunterschied von: \( 8 \cdot 250\,\text{m} = 2000\,\text{m} \). 3. Berechnung der Höhe der Schutzhütte durch Subtraktion des Höhenunterschieds von der Gipfelhöhe: \( 4100\,\text{m} - 2000\,\text{m} = 2100\,\text{m} \). Die Schutzhütte liegt auf \( 2100\,\text{m} \) Höhe.

Antwort

Die Schutzhütte liegt auf einer Höhe von \( 2100\,\text{m} \).

4195695

Beim Sportfest verkauft die Elternpflegschaft Pizza. Es gibt \(8\) große Pizzen mit jeweils \(8\) gleich großen Stücken. Für den Teig wurden \(14{,}50\,\text{€}\), für den Belag \(26{,}80\,\text{€}\) und für Servietten \(3{,}50\,\text{€}\) ausgegeben. Wenn alle Stücke verkauft werden, sollen nach Abzug dieser Kosten \(51{,}20\,\text{€}\) Gewinn bleiben. Wie viel muss ein Pizzastück kosten?

Denkanstöße

- Welche Gesamteinnahme muss am Ende vorhanden sein, damit nach den Ausgaben der gewünschte Gewinn übrig bleibt? - Wie viele gleich teure Stücke werden insgesamt verkauft? - Welche Rechnung verbindet eine Gesamteinnahme mit gleich teuren Einzelstücken?

Lösung

1. Insgesamt können \(8 \cdot 8 = 64\) Pizzastücke verkauft werden. 2. Die Ausgaben betragen \(14{,}50\,\text{€} + 26{,}80\,\text{€} + 3{,}50\,\text{€} = 44{,}80\,\text{€}\). 3. Für Ausgaben und gewünschten Gewinn werden Einnahmen von \(44{,}80\,\text{€} + 51{,}20\,\text{€} = 96{,}00\,\text{€}\) benötigt. 4. Der Preis pro Stück ist \(96{,}00\,\text{€} : 64 = 1{,}50\,\text{€}\).

Antwort

Ein Pizzastück muss \(1{,}50\,\text{€}\) kosten.

4209965

Ein Läufer absolviert ein Training über \(200\,\text{m}\) in genau \(25\,\text{Sekunden}\). a) Berechne seine durchschnittliche Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde. b) Jemand behauptet: „Wenn der Läufer dieses Tempo genau so beibehält, schafft er eine \(10\,\text{km}\) lange Strecke in weniger als \(25\,\text{Minuten}\).“ Überprüfe diese Behauptung rechnerisch. c) Erkläre kurz, warum es in der Realität unwahrscheinlich ist, dass der Läufer für \(10\,\text{km}\) nur die in b) berechnete Zeit benötigt.

Denkanstöße

- Wie viele Meter schafft der Läufer in nur einer einzigen Sekunde? - Rechne die \(10\,\text{km}\) zuerst in Meter um, um mit dem Ergebnis aus Teil a) weiterzuarbeiten. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? Nutze dies für die Umrechnung am Ende. - Denk an den Unterschied zwischen einem kurzen Sprint und einem langen Dauerlauf.

Lösung

1. Teil a): Berechnung der Geschwindigkeit durch Division: \(200\,\text{m} : 25\,\text{s} = 8\,\text{m/s}\). 2. Teil b): Umrechnung der Zielstrecke in Meter: \(10\,\text{km} = 10\,000\,\text{m}\). Berechnung der benötigten Sekunden: \(10\,000\,\text{m} : 8\,\text{m/s} = 1250\,\text{s}\). Umrechnung in Minuten: \(1250 : 60 = 20\) Rest \(50\), also \(20\,\text{min}\) \(50\,\text{s}\). Da dies weniger als \(25\,\text{Minuten}\) sind, ist die Behauptung rechnerisch korrekt. 3. Teil c): Ein Mensch kann ein hohes Sprinttempo nicht über eine so lange Distanz wie \(10\,\text{km}\) aufrechterhalten; Ermüdung und fehlende Ausdauer führen zu einer deutlich längeren Zeit.

Antwort

a) Der Läufer erreicht \(8\,\text{m/s}\). b) Die Behauptung ist korrekt, da er rechnerisch nur \(20\,\text{min}\) \(50\,\text{s}\) benötigen würde. c) In der Realität nimmt die Kraft über eine lange Strecke ab, sodass man das Sprinttempo nicht halten kann.

4212367

Sarah und Tom laufen vom Schultor zu einem Springbrunnen und zurück. Sarah läuft mit \(4\,\text{m/s}\), Tom mit \(3\,\text{m/s}\). Nach 50 Sekunden begegnen sie sich; Sarah ist zu diesem Zeitpunkt bereits am Springbrunnen umgekehrt. a) Bestimme Toms bis dahin zurückgelegte Strecke. b) Bezeichne die einfache Entfernung vom Schultor zum Springbrunnen mit \(x\). Stelle eine lineare Gleichung auf, die Sarahs und Toms in 50 Sekunden zurückgelegte Strecken mit \(2x\) verknüpft, und bestimme \(x\).

Denkanstöße

- Bestimme zunächst die Wege beider Personen in 50 Sekunden. - Skizziere gedanklich Sarahs Hin- und Rückweg bis zur Begegnung. - Warum entspricht die Summe beider gelaufenen Strecken zweimal der einfachen Entfernung?

Lösung

1. Tom legt in 50 Sekunden \(3\,\text{m/s}\cdot50\,\text{s}=150\,\text{m}\) zurück. 2. Sarah legt in derselben Zeit \(4\,\text{m/s}\cdot50\,\text{s}=200\,\text{m}\) zurück. 3. Da Sarah bereits umgekehrt ist, ergeben beide insgesamt zurückgelegten Strecken zusammen zweimal die einfache Entfernung: \(2x=150+200\). 4. Daraus folgt \(2x=350\) und \(x=175\,\text{m}\).

Antwort

a) Tom ist \(150\,\text{m}\) gelaufen. b) Gleichung: \(2x=150+200\). Der Springbrunnen ist \(175\,\text{m}\) vom Schultor entfernt.

4215205

Frau Müller möchte ihren neuen Garten mit Rasen besäen. Die Fläche ist \(15\,\text{a}\) groß. Auf der Packung der Grassamen steht die Empfehlung: „\(20\) bis \(30\,\text{g}\) Rasensamen pro \(1\,\text{m}^2\)“. Die Samen werden in \(2\text{-kg-Packungen}\) verkauft. Frau Müller verteilt den gesamten Inhalt aller gekauften Packungen gleichmäßig auf der Fläche. Berechne, wie viele Packungen sie mindestens und wie viele sie höchstens kaufen kann, damit die ausgebrachte Menge innerhalb der Empfehlung liegt.

Denkanstöße

- Wandle zuerst die Flächeneinheit Ar in Quadratmeter um. - Berechne getrennt die gesamte Mindestmenge und die gesamte Höchstmenge an Samen. - Beachte, dass nur ganze Packungen gekauft werden und ihr gesamter Inhalt verteilt wird.

Lösung

1. \(15\,\text{a} = 1500\,\text{m}^2\). 2. Die Mindestmenge beträgt \(1500 \cdot 20\,\text{g} = 30\,000\,\text{g} = 30\,\text{kg}\). Das sind \(30 : 2 = 15\) Packungen. 3. Die Höchstmenge beträgt \(1500 \cdot 30\,\text{g} = 45\,000\,\text{g} = 45\,\text{kg}\). 4. \(22\) Packungen enthalten \(44\,\text{kg}\) und liegen noch unter \(45\,\text{kg}\). \(23\) Packungen enthalten \(46\,\text{kg}\) und überschreiten die Höchstmenge. Daher sind höchstens \(22\) Packungen möglich.

Antwort

Sie muss mindestens \(15\) Packungen kaufen und darf höchstens \(22\) Packungen kaufen.

4215225

Ein rechteckiger Sportplatz ist \(105\,\text{m}\) lang und \(60\,\text{m}\) breit. Zur Pflege soll Spezialdünger auf der gesamten Fläche verteilt werden. Man benötigt \(4\,\text{kg}\) Dünger für jeweils \(100\,\text{m}^2\). Ein Sack Dünger wiegt \(25\,\text{kg}\) und kostet \(32\,\text{€}\). Wie viel kostet es insgesamt, den notwendigen Dünger für den Sportplatz zu kaufen?

Denkanstöße

- Berechne zuerst, wie groß die Fläche des Sportplatzes insgesamt ist. - Wie oft passt die Bezugsfläche von \(100\,\text{m}^2\) in diese Gesamtfläche? - Überlege am Ende genau, wie viele ganze Säcke gekauft werden müssen, damit der Dünger für die gesamte Fläche ausreicht.

Lösung

1. Berechnung des Flächeninhalts des Sportplatzes: \(105\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 6300\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Anzahl der \(100\text{-m}^2\text{-Einheiten}\): \(6300 : 100 = 63\). 3. Berechnung der benötigten Düngermenge: \(63 \cdot 4\,\text{kg} = 252\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Anzahl der benötigten Säcke: \(252\,\text{kg} : 25\,\text{kg/Sack} = 10\) Rest \(2\). Es müssen also \(11\) ganze Säcke gekauft werden. 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(11 \cdot 32\,\text{€} = 352\,\text{€}\).

Antwort

Die Düngung des Sportplatzes kostet insgesamt \(352\,\text{€}\).

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Landwirt Ádám Nagy erhält für einen \(4\,\text{m}\) breiten Ackerrandstreifen einen jährlichen Zuschuss von \(1000\,\text{€}\) pro Hektar. Insgesamt werden für den Streifen \(140\,\text{€}\) überwiesen. Berechne die Länge des rechteckigen Randstreifens in Metern.

Denkanstöße

- Bringe den Zuschuss und die Hektarfläche in eine Beziehung, die ohne Dezimalzahl auskommt. - Wie viel Fläche gehört bei diesen Angaben zu \(1\,\text{€}\)? - Welche Beziehung gilt zwischen Fläche, Breite und Länge eines Rechtecks?

Lösung

1. \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\). Bei \(1000\,\text{€}\) für \(10\,000\,\text{m}^2\) entfallen auf \(1\,\text{€}\) genau \(10\,\text{m}^2\). 2. Für \(140\,\text{€}\) beträgt die Fläche daher \(140 \cdot 10\,\text{m}^2 = 1400\,\text{m}^2\). 3. Bei einer Breite von \(4\,\text{m}\) ist die Länge \(1400\,\text{m}^2 : 4\,\text{m} = 350\,\text{m}\).

Antwort

Der Randstreifen ist \(350\,\text{m}\) lang.

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Zwei Situationen sehen auf den ersten Blick ähnlich aus. **Situation A:** Vier gleiche Hefte kosten zusammen \(12\,\text{€}\). Wie viel kosten sieben solcher Hefte? **Situation B:** Eine Taxifahrt kostet \(4\,\text{€}\) Grundpreis und zusätzlich \(2\,\text{€}\) pro gefahrenem Kilometer. Eine Fahrt über \(3\,\text{km}\) kostet also \(10\,\text{€}\). Darf man daraus mit einem einfachen Dreisatz schließen, dass \(6\,\text{km}\) genau \(20\,\text{€}\) kosten? Entscheide, in welcher Situation ein einfacher Dreisatz passt. Löse Situation A und begründe deine Entscheidung zu B.

Denkanstöße

- Prüfe, ob ein Verdoppeln der einen Größe zwingend ein Verdoppeln der anderen Größe bewirkt. - Gibt es in einer Situation einen festen Anteil, der unabhängig von der Anzahl oder Strecke anfällt? - Verwende den Dreisatz nur dort, wo derselbe Preis pro Stück durchgehend gilt.

Lösung

1. Bei A hängt der Preis direkt von der Anzahl gleicher Hefte ab. Ein Heft kostet \(12\,\text{€}:4=3\,\text{€}\). 2. Sieben Hefte kosten \(7\cdot3\,\text{€}=21\,\text{€}\). 3. Bei B ist der Grundpreis von \(4\,\text{€}\) unabhängig von der Strecke. Verdoppelt man die Strecke, verdoppelt sich deshalb nicht der Gesamtpreis. 4. Für \(6\,\text{km}\) wären es \(4\,\text{€}+6\cdot2\,\text{€}=16\,\text{€}\), nicht \(20\,\text{€}\). Ein einfacher proportionaler Dreisatz ist hier nicht passend.

Antwort

Situation A ist proportional und ergibt \(21\,\text{€}\). Situation B ist wegen des festen Grundpreises nicht proportional; \(6\,\text{km}\) kosten \(16\,\text{€}\), nicht \(20\,\text{€}\).

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