- Die drei Hefte sind gleich teuer. - Gesucht ist der Preis für genau ein Heft. - Überlege, welche Rechenart eine Gesamtsumme gleichmäßig auf drei gleiche Teile verteilt.

1. Bei gleichen Heften wird der Gesamtpreis gleichmäßig auf drei Hefte verteilt. 2. \(6{,}00\,\text{€} : 3 = 2{,}00\,\text{€}\).

Ein Heft kostet \(2{,}00\,\text{€}\).

- Der Preis für ein Heft ist schon gegeben. - Wie oft brauchst du diesen Preis für fünf gleiche Hefte?

1. Für jedes Heft gilt derselbe Preis. 2. \(5 \cdot 2\,\text{€} = 10\,\text{€}\).

\(10\,\text{€}\)

- Was passiert mit der zweiten Größe, wenn sich die erste verdoppelt? - Gibt es in einer Situation einen festen Betrag, der unabhängig von der Menge anfällt?

1. Bei a) verdoppelt sich die Zahl der gleichen Flaschen und zugleich die gesamte Füllmenge. Das ist proportional. 2. Bei b) gibt es einen festen Grundpreis. Deshalb wächst der Preis nicht im gleichen Verhältnis wie die Strecke.

a) ist proportional.

- Kannst du zuerst ausrechnen, wie viel Tonnen Sand der Lastwagen bei einer einzigen Fahrt transportiert? - Wenn du weißt, wie viel er pro Fahrt schafft, wie oft muss er dann für die größere Menge fahren? - Hilft es dir, eine kleine Tabelle anzulegen?

1. Pro Fahrt transportiert der Lastwagen \(48\,\text{t} : 6 = 8\,\text{t}\). 2. Für \(72\,\text{t}\) braucht er \(72\,\text{t} : 8\,\text{t} = 9\) Fahrten.

Der Lastwagen muss insgesamt \(9\) Fahrten machen.

- Wie viele Abschnitte zu \(100\,\text{m}\) enthält der gesamte Aufstieg? - Wie stark ändert sich die Temperatur in jedem solchen Abschnitt? - Achte darauf, in welche Richtung sich die Temperatur verändert.

1. \(1800\,\text{m}\) enthalten \(1800 : 100 = 18\) Abschnitte zu je \(100\,\text{m}\). 2. Die Temperatur sinkt insgesamt um \(18 \cdot 1\,^\circ\text{C} = 18\,^\circ\text{C}\). 3. Daher ergibt sich \(7\,^\circ\text{C} - 18\,^\circ\text{C} = -11\,^\circ\text{C}\).

Die Temperatur beträgt \(-11\,^\circ\text{C}\).

- Wie viel Grad Celsius liegen insgesamt zwischen der Start- und der Zieltemperatur? - Wie oft passt die stündliche Abkühlung in diesen gesamten Temperaturunterschied? - Achte darauf, dass der Weg über \(0\,^\circ\text{C}\) führt.

1. Zwischen \(18\,^\circ\text{C}\) und \(-12\,^\circ\text{C}\) liegen \(18 + 12 = 30\,^\circ\text{C}\). 2. Bei \(5\,^\circ\text{C}\) Abkühlung pro Stunde dauert der Vorgang \(30 : 5 = 6\) Stunden.

Der Abkühlvorgang dauert \(6\) Stunden.

- Für einen Längenvergleich müssen beide Angaben dieselbe Einheit haben. - Welche Zahl beschreibt das Verhältnis von Sprungweite zu Gesamtlänge? - Übertrage genau dieses Verhältnis auf die Körpergröße des Kindes.

1. \(5\,\text{m} = 500\,\text{cm}\). 2. \(500\,\text{cm} : 50\,\text{cm} = 10\). Die Sprungweite ist also das \(10\)-Fache der Gesamtlänge. 3. Beim Kind ergibt dasselbe Verhältnis \(1{,}45\,\text{m} \cdot 10 = 14{,}5\,\text{m}\).

a) Das \(10\)-Fache der Gesamtlänge. b) \(14{,}5\,\text{m}\).

- Wie oft passt das Stück, das in 15 Minuten abbrennt, in die gesamte Kerze? - Wenn du weißt, wie viele solcher Stücke in der Kerze stecken, kannst du die Gesamtzeit berechnen. - Vergiss am Ende nicht, dein Ergebnis von Minuten in Stunden umzurechnen.

1. \(144\,\text{mm} : 12\,\text{mm} = 12\). Die Kerze enthält also \(12\) solche Abschnitte. 2. Die gesamte Brenndauer beträgt \(12 \cdot 15\,\text{min} = 180\,\text{min}\). 3. \(180\,\text{min} = 3\,\text{h}\).

Die Kerze brennt insgesamt \(3\,\text{Stunden}\).

- Kannst du den Preis für die doppelte Menge direkt finden? - Rechne den gegebenen Preis für den Schritt auf einen Ball in Cent um. - Mit dem Einzelpreis kannst du anschließend jede andere Ballzahl bestimmen.

1. \(6{,}40\,\text{€} = 640\,\text{ct}\). Für \(8\) Bälle wird die Menge verdoppelt: \(640\,\text{ct} \cdot 2 = 1280\,\text{ct} = 12{,}80\,\text{€}\). 2. Ein Ball kostet \(640\,\text{ct} : 4 = 160\,\text{ct} = 1{,}60\,\text{€}\). 3. Für \(15\) Bälle gilt \(15 \cdot 160\,\text{ct} = 2400\,\text{ct} = 24{,}00\,\text{€}\).

a) \(12{,}80\,\text{€}\) b) \(1{,}60\,\text{€}\) c) \(24{,}00\,\text{€}\)

- Wie oft passen \(4\) Portionen in \(20\) Portionen? - Wenn die Zahl der Portionen mit einem Faktor wächst, was muss mit der Milchmenge geschehen? - Prüfe, ob dein Ergebnis zur fünffachen Portionenzahl passt.

1. Von \(4\) Portionen auf \(20\) Portionen ist der Faktor \(20 : 4 = 5\). 2. Die Milchmenge wird mit demselben Faktor vergrößert: \(1\,\text{l} \cdot 5 = 5\,\text{l}\).

Man braucht \(5\,\text{l}\) Milch.

- Wie verändert sich die Blattzahl von \(500\) auf \(100\)? - Rechne die gegebene Masse zuerst in Gramm um. - Bei einer direkten proportionalen Zuordnung verändert sich die Masse im selben Verhältnis wie die Blattzahl.

1. \(2{,}5\,\text{kg} = 2500\,\text{g}\). 2. Von \(500\) Blatt zu \(100\) Blatt wird durch \(5\) geteilt; daher gilt auch für die Masse \(2500\,\text{g} : 5 = 500\,\text{g}\). 3. Das entspricht \(0{,}5\,\text{kg}\).

\(100\) Blatt haben eine Masse von \(500\,\text{g}\), also \(0{,}5\,\text{kg}\).

- Rechne beide Geldbeträge zuerst in Cent um. - Suche einen Zwischenbetrag, der sowohl zu \(320\,\text{ct}\) als auch zu \(120\,\text{ct}\) gut passt. - Verändere Geldbetrag und Erdbeermenge immer mit demselben Faktor.

1. \(3{,}20\,\text{€} = 320\,\text{ct}\) und \(1{,}20\,\text{€} = 120\,\text{ct}\). 2. Teile Geldbetrag und Erdbeermenge durch \(8\): Für \(40\,\text{ct}\) bekommt man \(50\,\text{g}\). 3. \(120\,\text{ct}\) sind das Dreifache von \(40\,\text{ct}\). Daher bekommt Leon \(3 \cdot 50\,\text{g} = 150\,\text{g}\).

Leon bekommt \(150\,\text{g}\) Erdbeeren.

- Überlege zuerst, wie viele Seiten in einer einzigen Minute gedruckt werden. - Hilft dir eine Tabelle, um die Zeit und die Seitenanzahl gegenüberzustellen? - Wenn du weißt, was in einer Minute passiert, kannst du das Ergebnis leicht vervielfachen.

1. Der Kopierer druckt \(30 : 2 = 15\) Seiten pro Minute. 2. In \(7\) Minuten druckt er \(7 \cdot 15 = 105\) Seiten. 3. Für \(225\) Seiten braucht er \(225 : 15 = 15\) Minuten.

a) In 7 Minuten werden 105 Seiten gedruckt. b) Es dauert 15 Minuten, bis 225 Seiten gedruckt sind.

- Rechne den gegebenen Preis zuerst in Cent um. - Bestimme daraus den Preis für \(1\,\text{kg}\). - Verwende diesen Einzelpreis einmal zum Hochrechnen und einmal zum Rückwärtsrechnen.

1. \(6\,\text{€} = 600\,\text{ct}\). Ein Kilogramm kostet \(600\,\text{ct} : 4 = 150\,\text{ct}\). 2. Für \(7\,\text{kg}\) zahlt Leyla \(7 \cdot 150\,\text{ct} = 1050\,\text{ct} = 10{,}50\,\text{€}\). 3. \(12\,\text{€} = 1200\,\text{ct}\). Dafür erhält sie \(1200 : 150 = 8\) Kilogramm.

a) \(7\,\text{kg}\) Äpfel kosten \(10{,}50\,\text{€}\). b) Für \(12\,\text{€}\) erhält Leyla \(8\,\text{kg}\) Äpfel.

- Überlege zuerst, wie viel die Pizza für eine einzige Person kostet. - Wie kannst du diesen Einzelpreis nutzen, um die Kosten für eine andere Anzahl an Personen zu bestimmen? - Was genau ist in der Frage gesucht: der neue Gesamtbetrag oder nur der zusätzliche Betrag?

1. Pro Person kostet die Pizza \(108\,\text{€} : 18 = 6\,\text{€}\). 2. Die vier zusätzlichen Mitschüler zahlen zusammen \(4 \cdot 6\,\text{€} = 24\,\text{€}\).

Die vier Mitschüler müssen zusammen \(24\,\text{€}\) zusätzlich bezahlen.

- Überlege zuerst, wie viele Meter ein Kilometer hat. - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Wenn du die Gesamtstrecke und die Gesamtzeit kennst, wie berechnest du dann den Anteil für eine einzelne Minute?

1. \(9\,\text{km} = 9000\,\text{m}\) und eine halbe Stunde sind \(30\,\text{min}\). 2. Pro Minute fährt der Radfahrer \(9000\,\text{m} : 30\,\text{min} = 300\,\text{m/min}\).

Der Radfahrer legt durchschnittlich \(300\,\text{Meter}\) pro Minute zurück.

- Bringe zuerst beide angegebenen Raten auf dieselbe Zeitspanne. - Wie viele Sekunden sind \(2\) Minuten? - Verwende für Teil b) die zuvor bestimmten Schläge pro Sekunde.

1. Die Stechmücke schafft \(15\,000 : 30 = 500\) Flügelschläge pro Sekunde. Das ist mehr als \(80\) pro Sekunde. 2. \(2\,\text{min} = 120\,\text{s}\). 3. Der Kolibri schafft in dieser Zeit \(80 \cdot 120 = 9600\) Flügelschläge. 4. Die Stechmücke schafft \(500 \cdot 120 = 60\,000\) Flügelschläge.

a) Die Stechmücke: \(500\) gegenüber \(80\) Flügelschlägen pro Sekunde. b) Kolibri: \(9600\); Stechmücke: \(60\,000\) Flügelschläge.

- Überlege zuerst, wie viel Wasser in einer einzigen Minute in das Becken fließt. - Wenn du weißt, wie viel Wasser pro Minute fließt, kannst du berechnen, wie viele solcher Minuten in das Gesamtvolumen passen. - Denk daran, dass \(60\) Minuten eine volle Stunde ergeben.

1. Pro Minute fließen \(120\,\text{l} : 15\,\text{min} = 8\,\text{l/min}\) in das Becken. 2. Für \(800\,\text{l}\) dauert es \(800\,\text{l} : 8\,\text{l/min} = 100\,\text{min}\). 3. \(100\,\text{min} = 1\,\text{h}\,40\,\text{min}\).

a) Es fließen \(8\,\text{l}\) pro Minute in das Becken. b) Es dauert insgesamt \(1\,\text{h}\,40\,\text{min}\).

- Was musst du zuerst über die gesamte Strecke wissen? - Wie verteilt man eine Gesamtstrecke gleichmäßig auf die verbrauchten Stunden? - Vergleiche am Ende dein Ergebnis mit der Aussage im Text.

1. Insgesamt ist die Gruppe \(14{,}6\,\text{km} + 12{,}9\,\text{km} + 17{,}5\,\text{km} = 45\,\text{km}\) gewandert. 2. Im Durchschnitt sind das \(45\,\text{km} : 9\,\text{h} = 5\,\text{km/h}\). 3. Der Wanderführer hat also recht.

Ja, der Wanderführer hat recht. Insgesamt sind es \(14{,}6\,\text{km}+12{,}9\,\text{km}+17{,}5\,\text{km}=45\,\text{km}\). Damit gilt \(45\,\text{km}:9\,\text{h}=5\,\text{km/h}\).

- Vergleiche, wie sich die Kartoffelmenge von einer Zeile zur nächsten verändert. - Bei einer proportionalen Zuordnung muss der Preis mit demselben Faktor verändert werden. - Prüfe den letzten Schritt noch einmal mit dem passenden Faktor.

1. Von \(20\,\text{kg}\) auf \(2\,\text{kg}\) wurde durch \(10\) geteilt. Auch \(30\,\text{€} : 10 = 3\,\text{€}\). Dieser Schritt ist richtig. 2. Von \(2\,\text{kg}\) auf \(8\,\text{kg}\) wird mit \(4\) multipliziert. Deshalb muss auch der Preis mit \(4\) multipliziert werden. 3. \(3\,\text{€} \cdot 4 = 12\,\text{€}\). Der richtige Preis ist \(12\,\text{€}\).

Im letzten Schritt wurden Menge und Preis nicht mit demselben Faktor verändert. Richtig sind \(12\,\text{€}\) für \(8\,\text{kg}\).

- Welche Strecke gehört zu \(3\) Stunden? - Wie kommst du von \(3\) Stunden auf \(1\) Stunde? - Wie kannst du den Wert für \(1\) Stunde auf \(7\) Stunden übertragen?

1. In \(3\) Stunden werden \(234\,\text{km}\) zurückgelegt. 2. Für \(1\) Stunde teilt man durch \(3\): \(234\,\text{km} : 3 = 78\,\text{km}\). 3. Für \(7\) Stunden gilt \(78\,\text{km} \cdot 7 = 546\,\text{km}\).

a) \(78\,\text{km}\) b) \(546\,\text{km}\)

- Welche Strecke gehört zu \(4\) Lichtjahren? - Wie erhältst du daraus den Wert für \(1\) Lichtjahr? - Wie überträgst du den Wert für \(1\) Lichtjahr auf \(7\) Lichtjahre?

1. Für \(1\) Lichtjahr gilt \(38 : 4 = 9{,}5\). Das sind ungefähr \(9{,}5\) Billionen Kilometer. 2. Für \(7\) Lichtjahre gilt \(9{,}5 \cdot 7 = 66{,}5\). Das sind ungefähr \(66{,}5\) Billionen Kilometer.

a) ungefähr \(9{,}5\) Billionen Kilometer b) ungefähr \(66{,}5\) Billionen Kilometer

- Bestimme zuerst den Preis für genau ein Heft. - Du kannst den gegebenen Preis dafür in Cent umrechnen. - Übertrage den Preis für ein Heft anschließend auf \(15\) Hefte.

1. \(11{,}20\,\text{€} = 1120\,\text{ct}\). Ein Heft kostet \(1120\,\text{ct} : 8 = 140\,\text{ct} = 1{,}40\,\text{€}\). 2. Für \(15\) Hefte gilt \(15 \cdot 140\,\text{ct} = 2100\,\text{ct} = 21{,}00\,\text{€}\).

Ein Heft kostet \(1{,}40\,\text{€}\); \(15\) Hefte kosten \(21{,}00\,\text{€}\).

- Die Gesamtmenge ist direkt proportional zur Flaschenzahl. - Rechne die \(6\,\text{l}\) zunächst in Milliliter um. - Bestimme erst den Inhalt einer Flasche und skaliere dann auf zehn.

1. \(6\,\text{l} = 6000\,\text{ml}\). Eine Flasche fasst \(6000\,\text{ml} : 4 = 1500\,\text{ml}\). 2. Zehn Flaschen fassen \(10 \cdot 1500\,\text{ml} = 15\,000\,\text{ml} = 15\,\text{l}\).

Zehn Flaschen fassen zusammen \(15\,\text{l}\).

- Rechne beide Geldbeträge in Cent um. - Bestimme zuerst den Preis einer einzelnen Karte. - Ermittle danach, wie oft dieser Preis im verfügbaren Geldbetrag enthalten ist.

1. \(27{,}00\,\text{€} = 2700\,\text{ct}\). Eine Karte kostet \(2700\,\text{ct} : 6 = 450\,\text{ct}\). 2. \(45{,}00\,\text{€} = 4500\,\text{ct}\). Damit erhält man \(4500 : 450 = 10\) Karten.

Man erhält \(10\) Karten.

- Prüfe, ob der Preis für ein zusätzliches Päckchen aus Livias Rechnung überhaupt bekannt ist. - Bei gleich teuren Päckchen hilft der Preis für genau ein Päckchen als Zwischenwert. - Kontrolliere, ob dein Ergebnis zur Anzahl der Päckchen proportional wächst.

1. Der Gesamtpreis wächst proportional zur Anzahl der gleich teuren Päckchen; drei zusätzliche Päckchen kosten nicht automatisch \(3{,}00\,\text{€}\). 2. Ein Päckchen kostet \(10{,}00\,\text{€} : 5 = 2{,}00\,\text{€}\). 3. Acht Päckchen kosten \(8 \cdot 2{,}00\,\text{€} = 16{,}00\,\text{€}\).

Livia setzt fälschlich ein zusätzliches Päckchen mit \(1{,}00\,\text{€}\) an. Richtig sind \(16{,}00\,\text{€}\).

- Rechne den gegebenen Preis zunächst in Cent um. - Bestimme damit die Spalte für genau einen Bastelbogen. - Von dort kannst du die letzte Spalte hochrechnen.

1. \(9{,}60\,\text{€} = 960\,\text{ct}\). Ein Bastelbogen kostet \(960\,\text{ct} : 4 = 240\,\text{ct} = 2{,}40\,\text{€}\). 2. Sieben Bastelbögen kosten \(7 \cdot 240\,\text{ct} = 1680\,\text{ct} = 16{,}80\,\text{€}\).

Für \(1\) Bastelbogen: \(2{,}40\,\text{€}\) Für \(7\) Bastelbögen: \(16{,}80\,\text{€}\)

- Was verrät die Wertänderung über die entnommenen \(3\,\text{kg}\)? - Welche Größe bleibt in Teil b) unverändert, obwohl sich der Kilopreis ändert? - Prüfe, ob dein berechneter Kilopreis zu beiden angegebenen Gesamtwerten passt.

1. Die entnommenen \(3\,\text{kg}\) haben einen Wert von \(144\,\text{€} - 108\,\text{€} = 36\,\text{€}\). 2. Der Preis pro Kilogramm beträgt \(36\,\text{€} : 3\,\text{kg} = 12\,\text{€}/\text{kg}\). 3. Die ursprüngliche Masse beträgt \(144\,\text{€} : 12\,\text{€}/\text{kg} = 12\,\text{kg}\). 4. Der neue Kilopreis beträgt \(12\,\text{€}/\text{kg} - 2\,\text{€}/\text{kg} = 10\,\text{€}/\text{kg}\). 5. Der volle Sack würde dann \(12\,\text{kg} \cdot 10\,\text{€}/\text{kg} = 120\,\text{€}\) kosten.

a) Die ursprüngliche Masse beträgt \(12\,\text{kg}\). b) Der volle Sack würde \(120\,\text{€}\) kosten.

- Welche Gesamtzeit in Minuten ergibt sich aus Wortzahl und Lesetempo? - Wie kannst du eine große Minutenzahl schrittweise in Stunden und anschließend in Tage umwandeln? - Welche Reste bleiben bei den Umwandlungen erhalten?

1. Die gesamte Lesezeit beträgt \(1\,000\,000 : 125 = 8000\,\text{min}\). 2. Es gilt \(8000\,\text{min} = 133\,\text{h}\ 20\,\text{min}\), denn \(133 \cdot 60 + 20 = 8000\). 3. Weiter gilt \(133\,\text{h} = 5\,\text{d}\ 13\,\text{h}\). 4. Damit beträgt die reine Lesezeit \(5\,\text{d}\ 13\,\text{h}\ 20\,\text{min}\).

Min-jun benötigt \(5\,\text{d}\ 13\,\text{h}\ 20\,\text{min}\) reine Lesezeit.

- Wie weit kommt jeder der beiden in nur einer einzigen Minute? - Vergleiche die Ergebnisse, um zu sehen, wer in der gleichen Zeit mehr Meter schafft. - Rechne dann mit dem Wert der schnelleren Person weiter, um das Ergebnis für 10 Minuten zu finden.

1. Jonas läuft \(800\,\text{m} : 4 = 200\,\text{m}\) pro Minute. 2. Sarah läuft \(500\,\text{m} : 2 = 250\,\text{m}\) pro Minute. 3. Da \(250\,\text{m} > 200\,\text{m}\), ist Sarah schneller. 4. In \(10\) Minuten würde sie \(250\,\text{m} \cdot 10 = 2500\,\text{m}\) laufen.

Sarah ist schneller gelaufen. In \(10\,\text{Minuten}\) würde sie \(2500\,\text{Meter}\) schaffen.

- Wie viele Meter müssen die Skifahrer insgesamt nach oben fahren? - Wie oft passt der angegebene Höhenschritt in diesen gesamten Höhenunterschied? - Denke daran, dass die Temperatur sinkt, wenn man weiter nach oben kommt.

1. Der Höhenunterschied beträgt \(2250\,\text{m} - 650\,\text{m} = 1600\,\text{m}\). 2. Das sind \(1600 : 200 = 8\) Schritte zu je \(200\,\text{m}\). 3. Die Temperatur sinkt daher um \(8\,^\circ\text{C}\). 4. An der Bergstation sind es \(2\,^\circ\text{C} - 8\,^\circ\text{C} = -6\,^\circ\text{C}\).

An der Bergstation ist mit einer Temperatur von \(-6\,^\circ\text{C}\) zu rechnen.

- Vergleiche nicht die Gesamtpreise, sondern die Preise für genau ein Heft. - Rechne die Eurobeträge vor dem Teilen in Cent um. - Bestimme anschließend die Differenz der beiden Stückpreise.

1. Erstes Angebot: \(4{,}50\,\text{€} = 450\,\text{ct}\). Pro Heft sind das \(450 : 5 = 90\,\text{ct}\). 2. Zweites Angebot: \(9{,}60\,\text{€} = 960\,\text{ct}\). Pro Heft sind das \(960 : 12 = 80\,\text{ct}\). 3. Das zweite Angebot ist pro Heft um \(90\,\text{ct} - 80\,\text{ct} = 10\,\text{ct}\) günstiger.

Das Angebot mit \(12\) Heften ist pro Heft um \(10\,\text{ct}\) günstiger.

- Wie viele Stunden vergehen zwischen den beiden Zeitpunkten? - Überlege dir zuerst, wie stark die Temperatur in der gesamten Zeit insgesamt sinkt. - Für den zweiten Teil: Wie groß ist der Unterschied zwischen der Starttemperatur und dem Wert \(-10\,^\circ\text{C}\)? - Wie oft passt die stündliche Änderung in diesen Unterschied hinein?

1. a) Von 17:00 Uhr bis 22:00 Uhr vergehen \(5\) Stunden. Die Temperatur sinkt um \(5 \cdot 3\,^\circ\text{C} = 15\,^\circ\text{C}\). Daher zeigt das Thermometer um 22:00 Uhr \(-4 - 15 = -19\,^\circ\text{C}\). 2. b) Von \(-4\,^\circ\text{C}\) bis \(-10\,^\circ\text{C}\) sind es \(6\,^\circ\text{C}\). Dafür braucht es \(6 : 3 = 2\) Stunden. Zwei Stunden nach 17:00 Uhr ist es 19:00 Uhr.

a) Um 22:00 Uhr beträgt die Temperatur \(-19\,^\circ\text{C}\). b) Die Temperatur von \(-10\,^\circ\text{C}\) wurde um 19:00 Uhr gemessen.

- Wie viele Stunden liegen zwischen dem Start und dem Ende der Messung? - Berechne den gesamten Temperaturunterschied, den das Thermometer in dieser Zeit durchlaufen hat. - Verteile diesen gesamten Unterschied gleichmäßig auf die Anzahl der Stunden.

1. Von 8:00 Uhr bis 14:00 Uhr vergehen \(6\) Stunden. 2. Die Temperatur sinkt insgesamt um \(5 - (-19) = 24\,^\circ\text{C}\). 3. Pro Stunde sind das \(24 : 6 = 4\,^\circ\text{C}\).

Die Temperatur sinkt pro Stunde um \(4\,^\circ\text{C}\).

- Um welchen Faktor erhöht sich die Anzahl der Flyer? - Du kannst die Minuten und die Sekunden einzeln mit diesem Faktor multiplizieren. - Schau dir dein Ergebnis bei den Sekunden genau an – lässt sich das in Minuten umwandeln?

1. \(1000 : 250 = 4\). Es werden also viermal so viele Flyer gedruckt. 2. Viermal \(6\,\text{min}\) sind \(24\,\text{min}\), und viermal \(15\,\text{s}\) sind \(60\,\text{s} = 1\,\text{min}\). 3. Insgesamt dauert der Druck \(24\,\text{min} + 1\,\text{min} = 25\,\text{min}\).

Der Druckvorgang für \(1000\) Flyer dauert insgesamt \(25\,\text{Minuten}\).

- Bestimme zuerst die Gesamtmasse der Glassteine. - Rechne den Gesamtpreis in Cent um und suche einen passenden Preis für \(100\,\text{g}\) oder \(10\,\text{g}\). - Skaliere diesen Preis auf die Mengen von Mia und Tom.

1. Insgesamt kaufen sie \(120\,\text{g} + 200\,\text{g} + 180\,\text{g} = 500\,\text{g}\). 2. \(12{,}50\,\text{€} = 1250\,\text{ct}\). Für \(100\,\text{g}\) sind das \(1250\,\text{ct} : 5 = 250\,\text{ct}\). 3. Mia hat \(200\,\text{g}\): \(2 \cdot 250\,\text{ct} = 500\,\text{ct} = 5{,}00\,\text{€}\). 4. Für \(10\,\text{g}\) sind es \(250\,\text{ct} : 10 = 25\,\text{ct}\). Tom hat \(180\,\text{g} = 18 \cdot 10\,\text{g}\), also zahlt er \(18 \cdot 25\,\text{ct} = 450\,\text{ct} = 4{,}50\,\text{€}\).

Mia muss Lasse \(5{,}00\,\text{€}\) geben und Tom \(4{,}50\,\text{€}\).

- Wie viel Geld bekommen beide zusammen für eine einzige Woche? - Wie viele Stunden arbeiten sie insgesamt in dieser einen Woche? - Wenn du weißt, wie viel sie pro Woche verdienen und wie viele Stunden sie leisten, wie berechnest du dann den Lohn für eine Stunde? - Rechne den Verdienst für Herrn Weber Schritt für Schritt für den gesamten Zeitraum aus.

1. Zusammen verdienen sie pro Woche \(2240\,\text{€} : 4 = 560\,\text{€}\). 2. Zusammen arbeiten sie pro Woche \(20\,\text{h} + 15\,\text{h} = 35\,\text{h}\). 3. Der Stundenlohn beträgt \(560\,\text{€} : 35\,\text{h} = 16\,\text{€}/\text{h}\). 4. Herr Weber verdient in vier Wochen \(15\,\text{h} \cdot 4 \cdot 16\,\text{€}/\text{h} = 960\,\text{€}\). 5. Da \(960\,\text{€} < 1000\,\text{€}\), hat er nicht recht.

a) In einer Woche verdienen sie zusammen \(560\,\text{€}\). b) Der Stundenlohn beträgt \(16\,\text{€}/\text{h}\). c) Nein. Herr Weber verdient in \(4\) Wochen \(15\,\text{h}\cdot4\cdot16\,\text{€}/\text{h}=960\,\text{€}\). Da \(960\,\text{€}<1000\,\text{€}\), hat er nicht recht.

- Wandle die \(6\,\text{l}\) in eine kleinere Einheit um, sodass du ohne Dezimalzahlen rechnen kannst. - Zerlege die \(120\,\text{km}\) in \(100\,\text{km}\) und \(20\,\text{km}\). - Skaliere erst auf die Strecke und danach auf alle Passagiere.

1. \(6\,\text{l} = 60\,\text{dl}\) pro Passagier für \(100\,\text{km}\). 2. Für weitere \(20\,\text{km}\) sind das \(60\,\text{dl} : 5 = 12\,\text{dl}\). Pro Passagier ergeben sich für \(120\,\text{km}\) also \(72\,\text{dl}\). 3. Für \(850\) Passagiere sind das \(850 \cdot 72\,\text{dl} = 61\,200\,\text{dl} = 6120\,\text{l}\).

Der gesamte Treibstoffverbrauch beträgt nach dieser Rechnung \(6120\,\text{l}\).

- Um die beiden vergleichen zu können, solltest du für beide die gleiche Einheit verwenden (zum Beispiel Meter pro Minute). - Wandle dazu zuerst alle Längenangaben in Meter um. - Teile dann jeweils die Strecke durch die Zeit.

1. Frau Meier legt \(1{,}2\,\text{km} = 1200\,\text{m}\) zurück. Das sind \(1200\,\text{m} : 15\,\text{min} = 80\,\text{m/min}\). 2. Der Hund schafft \(450\,\text{m} : 5\,\text{min} = 90\,\text{m/min}\). 3. Da \(90\,\text{m/min} > 80\,\text{m/min}\), legt der Hund durchschnittlich mehr Meter pro Minute zurück.

Der Hund legt mit \(90\,\text{m/min}\) eine größere Strecke pro Minute zurück als Frau Meier mit \(80\,\text{m/min}\).

- Versuche, beide Angaben auf dieselbe Zeiteinheit zu bringen, zum Beispiel auf eine Minute oder eine Sekunde. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? - Wie viele Minuten hat eine halbe Stunde? - Rechne zuerst aus, wie viele Umdrehungen jeder Ventilator pro Minute macht, um den Rest leichter zu berechnen.

1. „Nordwind“ macht \(1200 : 2 = 600\) Umdrehungen pro Minute. „Sommerwind“ macht \(15 \cdot 60 = 900\) Umdrehungen pro Minute. „Sommerwind“ ist also schneller. 2. Du kannst auch pro Sekunde vergleichen: „Nordwind“ macht \(1200 : 120 = 10\) Umdrehungen pro Sekunde, „Sommerwind“ \(15\) Umdrehungen pro Sekunde. 3. In \(30\) Minuten macht „Nordwind“ \(600 \cdot 30 = 18\,000\) Umdrehungen und „Sommerwind“ \(900 \cdot 30 = 27\,000\) Umdrehungen.

a) „Sommerwind“ dreht sich schneller: \(900\) statt \(600\) Umdrehungen pro Minute beziehungsweise \(15\) statt \(10\) Umdrehungen pro Sekunde. b) In einer halben Stunde macht „Nordwind“ \(18\,000\) Umdrehungen und „Sommerwind“ \(27\,000\) Umdrehungen.

- Vergleiche für a) die beiden Fahrzeiten. - Rechne für b) die Autofahrzeit in Minuten um. - Suche einen Zwischenschritt, mit dem du von \(90\) Minuten auf \(60\) Minuten kommst.

1. Die Zeitersparnis beträgt \(1\,\text{h}\,30\,\text{min} - 1\,\text{h}\,15\,\text{min} = 15\,\text{min}\). 2. Das Auto legt \(120\,\text{km}\) in \(90\,\text{min}\) zurück. In \(30\,\text{min}\) sind das \(120\,\text{km} : 3 = 40\,\text{km}\), also in \(60\,\text{min}\) \(80\,\text{km}\).

a) \(15\,\text{min}\) b) \(80\,\text{km}\) pro Stunde

- Wie viele Meter legt Sarah in einer ganzen Minute zurück, wenn sie pro Sekunde \(3\,\text{m}\) schafft? - Versuche, beide Geschwindigkeiten so umzurechnen, dass du sie direkt vergleichen kannst (zum Beispiel beide in Meter pro Minute). - Wie weit kommt jeder für sich in der angegebenen Zeit?

1. Sarah schafft \(3 \cdot 60 = 180\,\text{m}\) pro Minute. 2. Da \(180\,\text{m/min} > 150\,\text{m/min}\), ist Sarah schneller. 3. Nach \(4\) Minuten ist Sarah \(180 \cdot 4 = 720\,\text{m}\) gelaufen und Lukas \(150 \cdot 4 = 600\,\text{m}\). 4. Sarah hat einen Vorsprung von \(720\,\text{m} - 600\,\text{m} = 120\,\text{m}\).

Sarah ist schneller. Ihr Vorsprung nach \(4\,\text{Minuten}\) beträgt \(120\,\text{m}\).

- Zähle für jeden Arbeitstag Hin- und Rückweg. - Bestimme aus der Wochenstrecke zunächst den gesamten Verbrauch. - Rechne den Literpreis für die letzte Multiplikation in Cent um.

1. Hin- und Rückweg ergeben täglich \(50\,\text{km} \cdot 2 = 100\,\text{km}\). 2. In vier Tagen fährt Herr Weber \(100\,\text{km} \cdot 4 = 400\,\text{km}\). 3. Dafür werden \(4 \cdot 5\,\text{l} = 20\,\text{l}\) benötigt. 4. \(1{,}64\,\text{€} = 164\,\text{ct}\). Die Kosten sind \(20 \cdot 164\,\text{ct} = 3280\,\text{ct} = 32{,}80\,\text{€}\).

Herr Weber bezahlt pro Woche \(32{,}80\,\text{€}\) für Benzin.

- Überlege zuerst, wie lange man für eine bestimmte Strecke braucht, wenn man weiß, wie weit man in einer Minute kommt. - Wie kannst du von einer Ankunftszeit rückwärts rechnen, um die Startzeit zu finden? - Wie berechnet man die Geschwindigkeit, wenn man die Gesamtstrecke und die gebrauchte Zeit kennt?

1. Für den Hinweg braucht Sophia \(1500\,\text{m} : 60\,\text{m/min} = 25\,\text{min}\). 2. Sie muss daher um \(14{:}00\,\text{Uhr} - 25\,\text{min} = 13{:}35\,\text{Uhr}\) losgehen. 3. Der Rückweg dauert von \(17{:}10\,\text{Uhr}\) bis \(17{:}40\,\text{Uhr}\), also \(30\,\text{min}\). 4. Auf dem Rückweg schafft Sophia durchschnittlich \(1500\,\text{m} : 30\,\text{min} = 50\,\text{m/min}\).

a) Sophia muss um \(13{:}35\,\text{Uhr}\) losgehen. b) Sie hat \(50\,\text{m}\) pro Minute zurückgelegt.

- Von \(12\,\text{l}\) auf \(1\,\text{l}\) wird durch \(12\) geteilt. - Was muss dann mit dem Preis geschehen? - Rechne den Preis bei Bedarf zuerst in Cent um.

1. Von \(12\,\text{l}\) auf \(1\,\text{l}\) müssen beide Größen durch \(12\) geteilt werden. \(18\,\text{€} : 12\) sind nicht \(1{,}80\,\text{€}\). 2. \(18\,\text{€} = 1800\,\text{ct}\) und \(1800\,\text{ct} : 12 = 150\,\text{ct} = 1{,}50\,\text{€}\). 3. \(5\,\text{l}\) kosten daher \(5 \cdot 1{,}50\,\text{€} = 7{,}50\,\text{€}\).

Nora hat im ersten Schritt nicht beide Größen mit demselben Faktor verändert. Der richtige Preis für \(5\,\text{l}\) ist \(7{,}50\,\text{€}\).

- Bestimme zuerst die Strecke für genau \(1\) Stunde. - Unter denselben Bedingungen bleibt die Strecke pro Stunde gleich. - Wie oft passt die Strecke einer Stunde in \(595\,\text{km}\)?

1. In \(4\) Stunden werden \(340\,\text{km}\) zurückgelegt. 2. Für \(1\) Stunde gilt \(340\,\text{km} : 4 = 85\,\text{km}\). 3. Für die \(595\,\text{km}\) lange Etappe gilt \(595 : 85 = 7\). 4. Der Bus benötigt \(7\,\text{h}\).

a) \(85\,\text{km}\) b) \(7\,\text{h}\)

- Addiere zuerst die beiden bereits gefahrenen Teilstrecken. - Wandle den erhaltenen Dezimalkilometerwert vor der Division in Meter um. - Wenn drei gleiche Teile bekannt sind, wie findest du einen Teil und anschließend alle vier Teile?

1. Bereits zurückgelegt sind \(14{,}6\,\text{km} + 7{,}9\,\text{km} = 22{,}5\,\text{km}\). 2. \(22{,}5\,\text{km} = 22\,500\,\text{m}\) entsprechen \(\frac{3}{4}\) der Gesamtstrecke. 3. Ein Viertel ist \(22\,500\,\text{m} : 3 = 7500\,\text{m}\). 4. Die ganze Strecke beträgt \(4 \cdot 7500\,\text{m} = 30\,000\,\text{m} = 30\,\text{km}\).

Die Radtour ist insgesamt \(30\,\text{km}\) lang.

- Um die Erträge vergleichen zu können, müssen sie sich auf die gleiche Flächeneinheit beziehen. - Wie viele Quadratmeter sind ein Ar? - Berechne für beide Gärtnereien, wie viele Kilogramm Erdbeeren sie auf genau einem Ar ernten.

1. Gärtnerei „Sonnenschein“ erntet \(480\,\text{kg} : 12 = 40\,\text{kg/a}\). 2. \(2000\,\text{m}^2 = 20\,\text{a}\). 3. Gärtnerei „Frischland“ erntet \(900\,\text{kg} : 20 = 45\,\text{kg/a}\). 4. Es gilt \(45\,\text{kg/a} > 40\,\text{kg/a}\). Daher hat Gärtnerei „Frischland“ den höheren Ertrag pro Ar.

Gärtnerei „Frischland“ hat den höheren Ertrag erzielt (\(45\,\text{kg/a}\) im Vergleich zu \(40\,\text{kg/a}\) bei Gärtnerei „Sonnenschein“).

- Bestimme zuerst, wie groß jedes Wiesenstück insgesamt ist. - Teile dann den Gesamtpreis durch die Anzahl der Quadratmeter. - Achte beim Vergleichen auf die berechneten Werte pro Einheit.

1. Die Nordwiese ist \(40\,\text{m} \cdot 50\,\text{m} = 2000\,\text{m}^2\) groß. Ein Quadratmeter kostet \(12\,000\,\text{€} : 2000\,\text{m}^2 = 6\,\text{€/m}^2\). 2. Die Bachwiese ist \(60\,\text{m} \cdot 30\,\text{m} = 1800\,\text{m}^2\) groß. Ein Quadratmeter kostet \(9000\,\text{€} : 1800\,\text{m}^2 = 5\,\text{€/m}^2\). 3. Die Waldwiese ist \(25\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 2000\,\text{m}^2\) groß. Ein Quadratmeter kostet \(11\,000\,\text{€} : 2000\,\text{m}^2 = 5{,}50\,\text{€/m}^2\). 4. Es gilt \(5\,\text{€} < 5{,}50\,\text{€} < 6\,\text{€}\). Die Reihenfolge ist Bachwiese, Waldwiese, Nordwiese.

Bachwiese mit \(5\,\text{€/m}^2\), Waldwiese mit \(5{,}50\,\text{€/m}^2\), Nordwiese mit \(6\,\text{€/m}^2\)

- Um wie viele Grad hat sich die Temperatur verändert? - Wenn du weißt, wie viel Grad es wärmer geworden ist, kannst du den Höhenunterschied in Metern berechnen. - Wird die Zahl für die Meereshöhe beim Absteigen größer oder kleiner? - Versuche zuerst herauszufinden, wie viele Meter der Bergsteiger insgesamt abgestiegen ist.

1. Die Temperatur ist um \(-6 - (-14) = 8\,^\circ\text{C}\) gestiegen. 2. Das entspricht einem Höhenunterschied von \(8 \cdot 250\,\text{m} = 2000\,\text{m}\). 3. Die Schutzhütte liegt daher auf \(4100\,\text{m} - 2000\,\text{m} = 2100\,\text{m}\) Höhe.

Die Schutzhütte liegt auf einer Höhe von \(2100\,\text{m}\).

- Wie viele Meter schafft der Läufer in nur einer einzigen Sekunde? - Rechne die \(10\,\text{km}\) zuerst in Meter um, um mit dem Ergebnis aus Teil a) weiterzuarbeiten. - Wie viele Sekunden hat eine Minute? Nutze dies für die Umrechnung am Ende. - Denk an den Unterschied zwischen einem kurzen Sprint und einem langen Dauerlauf.

1. a) Der Läufer schafft \(200\,\text{m} : 25\,\text{s} = 8\,\text{m/s}\). 2. b) \(10\,\text{km} = 10\,000\,\text{m}\). Bei \(8\,\text{m/s}\) wären dafür \(10\,000\,\text{m} : 8\,\text{m/s} = 1250\,\text{s} = 20\,\text{min}\,50\,\text{s}\) nötig. Das sind weniger als \(25\) Minuten. 3. c) Ein hohes Sprinttempo lässt sich normalerweise nicht über \(10\,\text{km}\) halten.

a) Der Läufer erreicht \(8\,\text{m/s}\). b) Maras Behauptung ist rechnerisch korrekt; es wären \(20\,\text{min}\,50\,\text{s}\). c) In der Realität kann man ein hohes Sprinttempo normalerweise nicht über eine so lange Strecke halten.

- Prüfe, ob ein Verdoppeln der einen Größe zwingend ein Verdoppeln der anderen Größe bewirkt. - Gibt es in einer Situation einen festen Anteil, der unabhängig von der Anzahl oder Strecke anfällt? - Verwende den Dreisatz nur dort, wo derselbe Preis pro Stück durchgehend gilt.

1. Bei den Heften hängt der Preis direkt von der Anzahl gleicher Hefte ab. Ein Heft kostet \(12\,\text{€} : 4 = 3\,\text{€}\). 2. Sieben Hefte kosten \(7 \cdot 3\,\text{€} = 21\,\text{€}\). 3. Bei der Taxifahrt fällt der Grundpreis von \(4\,\text{€}\) unabhängig von der Strecke an. Deshalb verdoppelt sich der Gesamtpreis nicht, wenn sich die Strecke verdoppelt. 4. Für \(6\,\text{km}\) kostet die Fahrt \(4\,\text{€} + 6 \cdot 2\,\text{€} = 16\,\text{€}\), nicht \(20\,\text{€}\). Ein einfacher proportionaler Dreisatz passt hier nicht.

Bei den Heften passt ein Dreisatz; sieben Hefte kosten \(21\,\text{€}\). Bei der Taxifahrt passt er wegen des festen Grundpreises nicht; \(6\,\text{km}\) kosten \(16\,\text{€}\), nicht \(20\,\text{€}\).