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- Eine Spiegelung lässt sich durch dieselbe Spiegelung rückgängig machen. - Überlege, welche Koordinate bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse unverändert bleibt. - Prüfe, welches Vorzeichen die andere Koordinate vor der Spiegelung haben muss.

1. Bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse wechselt die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen, während die \(y\)-Koordinate unverändert bleibt. 2. Weil \(Q'\) die \(x\)-Koordinate \(-22\) hat, muss \(Q\) die \(x\)-Koordinate \(22\) haben. 3. Die \(y\)-Koordinate bleibt \(14\). Daher ist \(Q(22 \mid 14)\).

\(Q(22 \mid 14)\)

- Die erste Zahl im Koordinatenpaar gehört zur x-Achse. - Die zweite Zahl gehört zur y-Achse. - Suche den Schnittpunkt der beiden zugehörigen Gitterlinien.

1. Suche auf der x-Achse den Wert \(3\). 2. Gehe von dort senkrecht bis zum y-Wert \(2\). 3. Am Positionspunkt \((3 \mid 2)\) befindet sich das Dreieck.

Das Dreieck.

- Suche zuerst die Figur mit genau fünf Ecken. - Verwende den schwarzen Punkt innerhalb dieser Figur als Positionspunkt. - Lies zuerst die waagerechte und danach die senkrechte Koordinate ab.

1. Das Fünfeck ist die Figur mit fünf Ecken im unteren rechten Bereich. 2. Sein schwarzer Positionspunkt liegt bei \(x=7\) und \(y=2\). 3. Das Koordinatenpaar lautet \((7 \mid 2)\).

\((7 \mid 2)\)

- Lies bei jedem Punkt zuerst die x-Koordinate und danach die y-Koordinate ab. - Ein Punkt auf der x-Achse hat die y-Koordinate \(0\); ein Punkt auf der y-Achse hat die x-Koordinate \(0\).

1. Punkt \(D\) liegt auf der x-Achse bei \(-2\). Daher ist \(D(-2\mid0)\). 2. Punkt \(E\) liegt auf der y-Achse bei \(-1\). Daher ist \(E(0\mid-1)\). 3. Punkt \(F\) liegt auf der x-Achse bei \(2\). Daher ist \(F(2\mid0)\).

\(D(-2\mid0)\), \(E(0\mid-1)\), \(F(2\mid0)\)

- Welche Eigenschaften haben die Seiten eines Rechtecks bezüglich ihrer Lage im Koordinatensystem? - Wie kannst du den Punkt finden, der auf halber Strecke zwischen zwei Werten liegt? - Schau dir an, welche Koordinaten bei Punkten, die senkrecht oder waagerecht übereinanderliegen, gleich sind.

1. Für ein Rechteck \(ABCD\) muss die \(x\)-Koordinate von \(D\) mit der von \(A\) übereinstimmen (\(x_D = 2\)) und die \(y\)-Koordinate mit der von \(C\) (\(y_D = 8\)). Somit ist \(D(2 \mid 8)\). 2. Die Mitte zwischen \(A(2 \mid 2)\) und \(B(10 \mid 2)\) wird berechnet, indem man den Mittelwert der \(x\)-Koordinaten bestimmt: \((2 + 10) : 2 = 6\). Da beide Punkte die \(y\)-Koordinate \(2\) haben, bleibt diese gleich. Somit ist \(M(6 \mid 2)\).

a) \(D(2 \mid 8)\) b) \(M(6 \mid 2)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten, wenn ein Punkt „genau zwischen“ zwei anderen Werten liegt? - Wie verändert sich eine Koordinate, wenn man einen Wert um eine bestimmte Anzahl an Einheiten vergrößert oder verkleinert? - Lies die Koordinaten der gegebenen Punkte genau ab, bevor du rechnest.

1. Die \(x\)-Koordinate von \(S\) liegt in der Mitte von \(3\) und \(11\): \((3 + 11) : 2 = 7\). Die \(y\)-Koordinate von \(S\) ist gleich der von \(Q\), also \(10\). Somit ergibt sich \(S(7 \mid 10)\). Diese Koordinaten stimmen genau mit denen von \(Q\) überein; die Bezeichnungen \(S\) und \(Q\) stehen daher für denselben Punkt. 2. Die \(x\)-Koordinate von \(T\) ist gleich der von \(P\), also \(3\). Die \(y\)-Koordinate von \(T\) ist \(10 - 3 = 7\). Somit ergibt sich \(T(3 \mid 7)\).

a) \(S(7 \mid 10)=Q(7 \mid 10)\); \(S\) und \(Q\) sind derselbe Punkt. b) \(T(3 \mid 7)\)

- Prüfe bei jeder Spiegelung getrennt, welche Koordinate unverändert bleibt. - Überlege, welches Vorzeichen sich bei einer Spiegelung an einer Koordinatenachse ändert. - Verwende den ersten Bildpunkt als Ausgangspunkt für die zweite Spiegelung.

1. Bei der Spiegelung an der \(x\)-Achse bleibt die \(x\)-Koordinate gleich und die \(y\)-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(A'(35 \mid -42)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(y\)-Achse bleibt die \(y\)-Koordinate gleich und die \(x\)-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(A''(-35 \mid -42)\).

\(A'(35 \mid -42)\) und \(A''(-35 \mid -42)\)

- Vergleiche in jedem Paar zuerst die beiden Koordinatenstellen. - Welche Koordinate bleibt bei einer Spiegelung an der waagerechten Achse unverändert? - Welche Koordinate bleibt bei einer Spiegelung an der senkrechten Achse unverändert?

1. Bei \(P\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(12\) gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt. 2. Bei \(Q\) bleibt die \(y\)-Koordinate \(20\) gleich, während die \(x\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(y\)-Achse gespiegelt. 3. Bei \(R\) bleibt die \(x\)-Koordinate \(-15\) gleich, während die \(y\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Es wurde an der \(x\)-Achse gespiegelt.

a) \(x\)-Achse b) \(y\)-Achse c) \(x\)-Achse

- Was haben alle Punkte gemeinsam, die auf einer waagerechten Linie im Koordinatensystem liegen? - Überlege, welche der beiden Koordinaten sich ändert, wenn du dich parallel zur \(x\)-Achse bewegst. - Wähle drei beliebige Zahlen für die erste Stelle des Zahlenpaares aus.

1. Eine Gerade, die parallel zur \(x\)-Achse verläuft, zeichnet sich dadurch aus, dass alle ihre Punkte dieselbe \(y\)-Koordinate besitzen. 2. Da der gegebene Punkt \(A(15 \mid 22)\) die \(y\)-Koordinate \(22\) hat, müssen auch alle anderen Punkte auf dieser Parallelen die \(y\)-Koordinate \(22\) haben. 3. Um drei weitere Punkte zu finden, wählt man beliebige \(x\)-Koordinaten (ungleich \(15\)), während die \(y\)-Koordinate fest auf \(22\) bleibt. Mögliche Beispiele sind \(x=0\), \(x=10\) und \(x=30\).

Drei mögliche Punkte sind zum Beispiel \((0 \mid 22)\), \((10 \mid 22)\) und \((30 \mid 22)\). Jede Punktangabe der Form \((x\mid 22)\) mit \(x \neq 15\) ist korrekt.

- Welche Koordinate bleibt gleich, wenn eine Linie genau senkrecht nach oben oder unten verläuft? - Vergleiche die erste Zahl des Punktes \(B\) mit der ersten Zahl der Punkte \(P_1\) bis \(P_5\). - Lass dich nicht von der \(y\)-Koordinate (der zweiten Zahl) ablenken, wenn es um eine Parallele zur \(y\)-Achse geht.

1. Punkte auf einer Parallelen zur \(y\)-Achse haben alle die gleiche \(x\)-Koordinate. 2. Da der Punkt \(B\) die \(x\)-Koordinate \(-10\) besitzt, müssen alle Punkte auf der Geraden \(h\) ebenfalls die \(x\)-Koordinate \(-10\) haben. 3. Durch Prüfung der \(x\)-Koordinaten der gegebenen Punkte ergibt sich: \(P_1\), \(P_3\) und \(P_5\) haben die \(x\)-Koordinate \(-10\).

Die Punkte \(P_1(-10 \mid 0)\), \(P_3(-10 \mid -5)\) und \(P_5(-10 \mid 100)\) liegen auf der Geraden \(h\).

- Überlege dir, welche Koordinate sich ändert, wenn du dich nach rechts oder links bewegst. - Was passiert mit der \(y\)-Koordinate, wenn du dich nach oben oder unten bewegst? - Stell dir das Gitter eines Koordinatensystems vor oder skizziere es kurz auf Karopapier.

1. Berechnung für Aufgabenteil a: Der Startpunkt ist \(E(2 \mid 3)\). Die \(x\)-Koordinate erhöht sich um \(4\) (\(2 + 4 = 6\)) und die \(y\)-Koordinate erhöht sich um \(2\) (\(3 + 2 = 5\)). Der Zielpunkt hat die Koordinaten \((6 \mid 5)\). 2. Berechnung für Aufgabenteil b: Der Ausgangspunkt ist \(H(7 \mid 1)\). „Links“ bedeutet eine Verringerung der \(x\)-Koordinate um \(3\) (\(7 - 3 = 4\)). „Über“ bedeutet eine Erhöhung der \(y\)-Koordinate um \(4\) (\(1 + 4 = 5\)). Der Schatz \(S\) liegt bei \((4 \mid 5)\).

a) Der Punkt liegt bei \((6 \mid 5)\). b) Der Schatz \(S\) hat die Koordinaten \((4 \mid 5)\).

- Schau dir die erste Zahl der Klammer an, um die Position von links nach rechts zu bestimmen. - Die zweite Zahl in der Klammer sagt dir, wie weit oben oder unten jemand wohnt. - Wenn zwei Punkte die gleiche \(y\)-Koordinate haben, liegen sie auf einer waagerechten Linie.

1. Analyse der \(x\)-Koordinaten: Anton (2), Bea (5), Carl (10), Dora (5). Der größte Wert ist \(10\), also wohnt Carl am weitesten rechts. 2. Analyse der \(y\)-Koordinaten: Anton (8), Bea (3), Carl (8), Dora (8). Anton, Carl und Dora haben alle die \(y\)-Koordinate \(8\) und wohnen somit auf der gleichen Höhe. 3. Berechnung für Beas Position: Bea ist bei \(B(5 \mid 3)\). \(5\) Einheiten nördlich bedeutet, dass die \(y\)-Koordinate um \(5\) steigt: \(3 + 5 = 8\). Die neue Position ist \((5 \mid 8)\). Dies entspricht den Koordinaten von Dora.

a) Carl wohnt am weitesten rechts. b) Anton, Carl und Dora wohnen auf der gleichen Höhe (\(y\)-Koordinate \(8\)). c) Dora wohnt genau \(5\) Einheiten nördlich von Bea.

- Ordne zuerst West/Ost der \(x\)-Achse und Süd/Nord der \(y\)-Achse zu. - Für Osten und Norden suchst du jeweils den größeren passenden Koordinatenwert. - Für Westen und Süden suchst du jeweils den kleineren passenden Koordinatenwert.

1. Ost-Richtung entspricht dem größten \(x\)-Wert. Der größte \(x\)-Wert ist \(12\), also liegt \(P_2(12 \mid 7)\) am weitesten im Osten. 2. Nord-Richtung entspricht dem größten \(y\)-Wert. Der größte \(y\)-Wert ist \(9\), also liegt \(P_3(7 \mid 9)\) am weitesten im Norden. 3. West-Richtung entspricht dem kleinsten \(x\)-Wert. Der kleinste \(x\)-Wert ist \(2\), also liegt \(P_4(2 \mid 6)\) am weitesten im Westen. 4. Süd-Richtung entspricht dem kleinsten \(y\)-Wert. Der kleinste \(y\)-Wert ist \(2\), also liegt \(P_1(5 \mid 2)\) am weitesten im Süden.

a) \(P_2(12 \mid 7)\) b) \(P_3(7 \mid 9)\) c) \(P_4(2 \mid 6)\) d) \(P_1(5 \mid 2)\)

- Punkte auf einer waagerechten Seite haben dieselbe \(y\)-Koordinate. - Punkte auf einer senkrechten Seite haben dieselbe \(x\)-Koordinate. - Nutze die Angabe, dass \(B\) rechts von \(A\) liegt, um die beiden möglichen Beschriftungen zu unterscheiden.

1. Weil \(B\) rechts von \(A\) liegt, hat \(B\) dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(C\). Daher ist \(B(9 \mid 1)\). 2. Der Punkt \(D\) hat dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\). Daher ist \(D(2 \mid 6)\). 3. Die waagerechte Seitenlänge beträgt \(9-2=7\,\text{Einheiten}\). 4. Die senkrechte Seitenlänge beträgt \(6-1=5\,\text{Einheiten}\).

a) \(B(9 \mid 1)\) und \(D(2 \mid 6)\) b) \(7\,\text{Einheiten}\) und \(5\,\text{Einheiten}\)

- Überlege, welche Eckpunkte eines achsenparallelen Quadrats dieselbe \(x\)- oder \(y\)-Koordinate haben. - Der vierte Punkt muss gleichzeitig über \(A\) und links von \(C\) liegen. - Vergleiche anschließend die Koordinatendifferenz zweier benachbarter Eckpunkte.

1. \(D\) liegt senkrecht über \(A\) und waagerecht links von \(C\). Daher übernimmt \(D\) die \(x\)-Koordinate \(2\) von \(A\) und die \(y\)-Koordinate \(5\) von \(C\): \(D(2 \mid 5)\). 2. Die Seitenlänge ergibt sich aus \(6-2=4\) bzw. \(5-1=4\). Sie beträgt \(4\) Gittereinheiten.

a) \(D(2 \mid 5)\) b) \(4\) Gittereinheiten

- Für den Mittelpunkt brauchst du die Mitte zwischen den Koordinaten von \(A\) und \(B\). - Vergleiche die \(x\)-Koordinate von \(C\) mit der des Mittelpunkts. - Überlege, was eine Spiegelung an der senkrechten Geraden durch \(C\) und \(M\) mit \(A\) und \(B\) macht.

1. Der Mittelpunkt von \([AB]\) hat die Koordinaten \(M(5 \mid 2)\). 2. \([AB]\) verläuft waagerecht. Der Punkt \(C(5 \mid 6)\) liegt senkrecht über \(M\) auf der Geraden \(x=5\). 3. Die Gerade \(x=5\) ist eine Symmetrieachse der Anordnung: Sie vertauscht \(A\) und \(B\), während \(C\) auf ihr liegt. Daher sind die Strecken \([AC]\) und \([BC]\) gleich lang. 4. Das Dreieck \(ABC\) ist deshalb gleichschenklig.

a) \(M(5 \mid 2)\) b) \(C\) liegt senkrecht über dem Mittelpunkt \(M\) von \([AB]\). c) Wegen der Symmetrie an der Geraden \(x=5\) gilt \(AC=BC\); \(ABC\) ist gleichschenklig.

- Überlege, welche Eigenschaften die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks im Koordinatensystem haben müssen. - Wie hängen die \(x\)- und \(y\)-Werte von Punkten zusammen, die senkrecht oder waagerecht übereinander liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.

1. Um ein Rechteck zu bilden, muss der Punkt \(D\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(A\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(C\) haben. Daraus ergibt sich \(D(2 \mid 4)\). 2. Die Länge der Seite \(AB\) berechnet sich aus der Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(7 - 2 = 5\,\text{cm}\). 3. Die Länge der Seite \(BC\) berechnet sich aus der Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(4 - 1 = 3\,\text{cm}\). 4. Der Flächeninhalt \(A\) des Rechtecks berechnet sich durch Multiplikation der Seitenlängen: \(5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\).

a) \(D(2 \mid 4)\) b) \(15\,\text{cm}^2\)

- Erinnere dich an die Regel für die Reihenfolge der Koordinaten: Welcher Wert wird zuerst genannt, der für die horizontale oder der für die vertikale Richtung? - Die erste Zahl in der Klammer gibt an, wie weit du auf der \(x\)-Achse (horizontale Achse) gehen musst. - Die zweite Zahl in der Klammer gibt an, wie weit du auf der \(y\)-Achse (vertikale Achse) gehen musst. - Gehe für Teilaufgabe a) genau diesen Weg auf dem Plan ab und schaue, welchen Buchstaben du erreichst. - Suche für Teilaufgabe b) den Buchstaben \(G\) und lies die beiden Werte an den Achsen ab.

1. Um die Attraktion bei den Koordinaten \((5 \mid 2)\) zu bestimmen, starten wir im Ursprung \((0 \mid 0)\). Wir gehen zuerst \(5\) Einheiten nach rechts auf der waagerechten Achse (\(x\)-Achse) und anschließend \(2\) Einheiten nach oben parallel zur senkrechten Achse (\(y\)-Achse). Dort befindet sich der Punkt \(A\), der für die Achterbahn steht. 2. Für die Geisterbahn \(G\) lesen wir zuerst den Wert \(3\) auf der waagerechten \(x\)-Achse und dann den Wert \(1\) auf der senkrechten \(y\)-Achse ab. Die Koordinaten lauten \((3 \mid 1)\).

a) Achterbahn (Punkt \(A\)) b) \((3 \mid 1)\)

- Lies zuerst die Koordinaten der drei eingezeichneten Eckpunkte ab. - Prüfe Richtung und Länge der beiden bereits eingezeichneten Seiten. - Welche Koordinaten muss der vierte Punkt mit \(P\) beziehungsweise \(R\) gemeinsam haben?

1. Aus der Abbildung liest man \(P(3 \mid 2)\), \(Q(-2 \mid 2)\) und \(R(-2 \mid -3)\) ab. 2. Die Strecke \(PQ\) ist waagerecht und \(5\) Einheiten lang; \(QR\) ist senkrecht und ebenfalls \(5\) Einheiten lang. 3. Für das Quadrat muss \(S\) dieselbe \(x\)-Koordinate wie \(P\) und dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(R\) haben. 4. Daher ist \(S(3 \mid -3)\).

\(S(3 \mid -3)\)

- Lies bei einem Koordinatenpaar zuerst den Wert auf der x-Achse und danach den Wert auf der y-Achse ab. - Überlege, wie sich die x-Koordinate bei einer Bewegung nach links verändert. - Überlege, wie sich die y-Koordinate bei einer Bewegung nach oben verändert.

1. Lies zuerst die x-Koordinate und danach die y-Koordinate von \(A\) ab. Es gilt \(A(1 \mid 4)\). 2. Bei den Koordinaten \((4 \mid 2)\) liegt der Punkt \(B\). 3. Starte bei \(B(4 \mid 2)\). Zwei Einheiten nach links ergeben \(x = 4 - 2 = 2\), drei Einheiten nach oben ergeben \(y = 2 + 3 = 5\). Der Zielpunkt \((2 \mid 5)\) ist \(D\).

a) \((1 \mid 4)\) b) \(B\) c) \(D\)

- Lies bei jedem Punkt zuerst die \(x\)- und danach die \(y\)-Koordinate ab. - Nutze die Vorzeichen der beiden Koordinaten, um den Quadranten zu bestimmen. - Ist eine Koordinate \(0\), liegt der Punkt auf einer Koordinatenachse.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(4 \mid 3)\), \(B(-3 \mid 2)\), \(C(-2 \mid -4)\), \(D(3 \mid -1)\), \(E(0 \mid 2)\) und \(F(-5 \mid 0)\) ab. 2. Nach den Vorzeichen liegt \(A\) im I., \(B\) im II., \(C\) im III. und \(D\) im IV. Quadranten. \(E\) liegt auf der \(y\)-Achse und \(F\) auf der \(x\)-Achse.

\(A(4 \mid 3)\): I. Quadrant; \(B(-3 \mid 2)\): II. Quadrant; \(C(-2 \mid -4)\): III. Quadrant; \(D(3 \mid -1)\): IV. Quadrant; \(E(0 \mid 2)\): \(y\)-Achse; \(F(-5 \mid 0)\): \(x\)-Achse.

- Lies bei jedem Punkt zuerst die \(x\)- und dann die \(y\)-Koordinate ab. - Prüfe besonders, welche Punkte links oder unterhalb der Achsen liegen. - Verwende für b) die alphabetische Reihenfolge der Punkte und schließe den Umriss wieder bei \(A\).

1. Aus dem Koordinatensystem liest man \(A(-2 \mid -2)\), \(B(2 \mid -2)\), \(C(2 \mid 1)\), \(D(0 \mid 3)\) und \(E(-2 \mid 1)\) ab. 2. Die Verbindung ergibt unten eine waagerechte Seite, zwei senkrechte Seiten und oben zwei schräge Seiten. 3. Der geschlossene Umriss erinnert an ein Haus und ist ein Fünfeck.

a) \(A(-2 \mid -2)\), \(B(2 \mid -2)\), \(C(2 \mid 1)\), \(D(0 \mid 3)\), \(E(-2 \mid 1)\) b) Es entsteht die Umrissform eines Hauses, also ein Fünfeck.

- Die erste Zahl einer Koordinate gibt die Position auf der waagerechten \(x\)-Achse an. - Die zweite Zahl gibt die Position auf der senkrechten \(y\)-Achse an. - Achte auf die Vorzeichen: Werte links von der \(y\)-Achse und unterhalb der \(x\)-Achse sind negativ. - Suche für den zweiten Teil der Aufgabe einen Punkt, der im Bereich oben links liegt.

1. Den Punkt \(A\) ablesen: Gehe vom Ursprung 4 Einheiten nach rechts auf der \(x\)-Achse und 1 Einheit nach oben auf der \(y\)-Achse. Daraus folgt \(A(4 \mid 1)\). 2. Den Punkt \(B\) ablesen: Gehe vom Ursprung 3 Einheiten nach links auf der \(x\)-Achse und 4 Einheiten nach oben auf der \(y\)-Achse. Daraus folgt \(B(-3 \mid 4)\). 3. Den Punkt \(C\) ablesen: Gehe vom Ursprung 2 Einheiten nach links auf der \(x\)-Achse und 5 Einheiten nach unten auf der \(y\)-Achse. Daraus folgt \(C(-2 \mid -5)\). 4. Analyse der Vorzeichen: Punkt \(B\) liegt im zweiten Quadranten (links oben), wo die \(x\)-Werte negativ und die \(y\)-Werte positiv sind.

a) \(A(4 \mid 1)\), \(B(-3 \mid 4)\), \(C(-2 \mid -5)\) b) Punkt \(B\)

- Lies zuerst den Wert auf der waagerechten Achse ab und dann den Wert auf der senkrechten Achse. - Vergiss das Minuszeichen nicht, wenn ein Punkt links von der Mitte oder unterhalb der Mitte liegt. - Schau dir die grüne Gerade genau an: Welche Punkte werden von ihr geschnitten?

1. Koordinaten der Punkte durch Ablesen bestimmen: - Punkt \(A\): Gehe 4 Einheiten nach links und 5 nach oben. Ergebnis: \(A(-4 \mid 5)\). - Punkt \(B\): Gehe 2 Einheiten nach rechts und 2 nach oben. Ergebnis: \(B(2 \mid 2)\). - Punkt \(C\): Gehe 5 Einheiten nach rechts und 3 nach unten. Ergebnis: \(C(5 \mid -3)\). - Punkt \(D\): Gehe 3 Einheiten nach links und 3 nach unten. Ergebnis: \(D(-3 \mid -3)\). 2. Die Lage der Punkte in Bezug auf die grüne Gerade \(g\) prüfen: - Durch visuelle Kontrolle erkennt man, dass die Gerade \(g\) genau durch die Punkte \(B\) und \(D\) verläuft.

a) \(A(-4 \mid 5)\), \(B(2 \mid 2)\), \(C(5 \mid -3)\), \(D(-3 \mid -3)\) b) Die Punkte \(B\) und \(D\) liegen auf der Geraden \(g\).

- Schaue zuerst auf die waagerechte \(x\)-Achse, um den ersten Wert zu finden. - Gehe dann senkrecht zur \(y\)-Achse, um den zweiten Wert abzulesen. - Achte auf die Vorzeichen, wenn du dich links von der \(y\)-Achse oder unterhalb der \(x\)-Achse befindest. - Überlege dir, welche Eigenschaften die Seiten und Winkel des Vierecks haben.

1. Ablesen der Koordinaten: \(A(-4 \mid -1)\), \(B(3 \mid -1)\), \(C(3 \mid 2)\) und \(D(-4 \mid 2)\). 2. Alle Winkel sind rechte Winkel, da die Seiten parallel zu den Achsen verlaufen. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang: \(AB = CD = 7\) Einheiten und \(BC = DA = 3\) Einheiten. Da nicht alle Seiten gleich lang sind, ist \(ABCD\) ein Rechteck.

a) \(A(-4 \mid -1)\), \(B(3 \mid -1)\), \(C(3 \mid 2)\), \(D(-4 \mid 2)\) b) Es handelt sich um ein Rechteck.

- Ein Punkt auf der \(x\)-Achse hat die zweite Koordinate \(0\). - Suche für Teil 2 die senkrechte Gitterlinie mit \(x=4\). - Ein Kreis kann diese senkrechte Linie oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse schneiden.

1. Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x=5\) und \(x=-5\). Die Koordinaten sind \((5\mid 0)\) und \((-5\mid 0)\). 2. Bei \(x=4\) schneidet die senkrechte Linie durch \(x=4\) den Kreis oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse. Aus dem Diagramm liest man \(y=3\) und \(y=-3\) ab.

1. \((5\mid 0)\) und \((-5\mid 0)\) 2. \(3\) und \(-3\)

- Gesucht sind Punkte, die zugleich auf der Kreislinie und auf der gestrichelten Geraden liegen. - Für alle Punkte der Geraden \(y=6\) ist die zweite Koordinate schon festgelegt. - Lies an den beiden Schnittstellen nur noch die erste Koordinate ab.

1. Beide Schnittpunkte liegen auf der Geraden \(y=6\), also haben sie die zweite Koordinate \(6\). 2. Aus dem Diagramm liest man die beiden zugehörigen \(x\)-Koordinaten \(8\) und \(-8\) ab. 3. Damit lauten die Schnittpunkte \((8\mid6)\) und \((-8\mid6)\).

\((8\mid6)\) und \((-8\mid6)\)

- Schaue zuerst auf die horizontale Achse, um den \(x\)-Wert zu finden. - Schaue dann auf die vertikale Achse, um den \(y\)-Wert zu finden. - Wenn ein Punkt genau auf einer Achse liegt, ist eine seiner Koordinaten null.

1. \(P(-2 \mid 0)\): 2 Einheiten nach links auf der \(x\)-Achse. 2. \(Q(2 \mid 0)\): 2 Einheiten nach rechts auf der \(x\)-Achse. 3. \(R(2 \mid 3)\): 2 Einheiten nach rechts, 3 nach oben. 4. \(S(0 \mid 5)\): 0 Einheiten zur Seite, 5 nach oben auf der \(y\)-Achse. 5. \(T(-2 \mid 3)\): 2 Einheiten nach links, 3 nach oben.

\(P(-2 \mid 0)\), \(Q(2 \mid 0)\), \(R(2 \mid 3)\), \(S(0 \mid 5)\), \(T(-2 \mid 3)\)

- Lies für beide Strecken die Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte ab. - Vergleiche zuerst nur die Änderung der \(x\)-Koordinate. - Vergleiche danach unabhängig davon die Änderung der \(y\)-Koordinate.

1. Von \(A(1 \mid 1)\) nach \(B(4 \mid 3)\) geht man \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. 2. Von \(C(3 \mid 2)\) nach \(D(6 \mid 4)\) geht man ebenfalls \(3\) Einheiten nach rechts und \(2\) Einheiten nach oben. 3. Die beiden Koordinatenänderungen stimmen vollständig überein.

Ja. In beiden Fällen ändert sich die \(x\)-Koordinate um \(+3\) und die \(y\)-Koordinate um \(+2\).

- Lies zuerst die drei gegebenen Eckpunkte aus der Abbildung ab. - Nutze für \(B\) die waagerechte und senkrechte Lage der Rechteckseiten. - Der Mittelpunkt von \(BC\) liegt auf halbem Weg zwischen den beiden Endpunkten.

1. Aus der Abbildung liest man \(O(0 \mid 0)\), \(A(8 \mid 0)\) und \(C(0 \mid 6)\) ab. 2. Weil das Rechteck achsenparallel ist, hat \(B\) die \(x\)-Koordinate von \(A\) und die \(y\)-Koordinate von \(C\). Daher ist \(B(8 \mid 6)\). 3. Die Seite \(BC\) reicht waagerecht von \(x=8\) bis \(x=0\) bei \(y=6\). Ihre Mitte liegt bei \(x=4\). 4. Somit ist \(M(4 \mid 6)\).

\(B(8 \mid 6)\) und \(M(4 \mid 6)\)

- Was geschieht bei einer Punktspiegelung am Ursprung mit dem Vorzeichen jeder Koordinate? - Ein Punkt und sein Bildpunkt haben das Symmetriezentrum als Mittelpunkt. - Prüfe die beiden Koordinaten des Mittelpunkts für jedes Bildpaar getrennt.

1. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln beide Koordinaten ihr Vorzeichen. Aus \(A(-6\mid 0)\) wird daher \(C(6\mid 0)\). 2. Der Mittelpunkt von \(A\) und \(C\) ist \((( -6+6):2\mid(0+0):2)=(0\mid0)=M\). 3. Aus \(B(0\mid5)\) wird \(D(0\mid-5)\). 4. Der Mittelpunkt von \(B\) und \(D\) ist \(((0+0):2\mid(5-5):2)=(0\mid0)=M\).

\(C(6\mid0)\) und \(D(0\mid-5)\). Für \(A,C\): Mittelpunkt \((( -6+6):2\mid(0+0):2)=(0\mid0)=M\). Für \(B,D\): Mittelpunkt \(((0+0):2\mid(5-5):2)=(0\mid0)=M\).

- Lies zuerst die drei Eckpunkte des Dreiecks aus der Abbildung ab. - Suche auf der waagerechten Grundseite den Punkt, der senkrecht unter \(C\) liegt. - Vergleiche die Koordinaten von \(P\) mit der inneren Strecke von diesem Punkt zu \(C\).

1. Aus der Abbildung liest man \(A(1 \mid 1)\), \(B(7 \mid 1)\) und \(C(4 \mid 5)\) ab. 2. Die Mitte der waagerechten Seite \([AB]\) ist \(M(4 \mid 1)\). 3. Die Strecke \([MC]\) liegt vollständig im Dreieck und verläuft auf \(x=4\). Der Punkt \(P(4 \mid 2)\) liegt auf dieser Strecke, weil \(1<2<5\). 4. Daher liegt \(P\) innerhalb des Dreiecks.

\(P\) liegt innerhalb des Dreiecks.

- Wie findet man den Mittelpunkt, wenn sich sowohl der \(x\)- als auch der \(y\)-Wert ändern? - Was bedeutet „doppelt so groß“ mathematisch für eine Koordinate? - Überlege dir zuerst die \(x\)-Koordinate und danach die \(y\)-Koordinate Schritt für Schritt.

1. Der Mittelpunkt \(Z\) von \(K(1 \mid 1)\) und \(M(9 \mid 9)\) wird durch die Mittelwerte der Koordinaten bestimmt. \(x_Z = (1 + 9) : 2 = 5\) und \(y_Z = (1 + 9) : 2 = 5\). Somit ist \(Z(5 \mid 5)\). 2. Die \(x\)-Koordinate von \(W\) ist die Mitte von \(1\) und \(9\), also \((1 + 9) : 2 = 5\). Die \(y\)-Koordinate von \(W\) ist das Doppelte der \(y\)-Koordinate von \(M\), also \(9 \cdot 2 = 18\). Somit ist \(W(5 \mid 18)\).

a) \(Z(5 \mid 5)\) b) \(W(5 \mid 18)\)

- Schau dir an, welche der beiden Koordinatenzahlen bei \(R\) und \(S\) identisch ist. - Was bedeutet eine feste \(x\)-Koordinate für den Verlauf einer Geraden? - Wie berechnet man den Wert, der genau zwischen zwei Zahlen liegt?

1. Vergleich der Koordinaten: Beide Punkte \(R(7 \mid 12)\) und \(S(7 \mid 40)\) haben die gleiche \(x\)-Koordinate (\(7\)). 2. Begründung: Wenn die \(x\)-Koordinate für verschiedene y-Werte gleich bleibt, liegen die Punkte auf einer senkrechten Linie. Eine solche Linie verläuft parallel zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung der mittleren \(y\)-Koordinate: Der Mittelwert von \(12\) und \(40\) wird berechnet durch \((12 + 40) : 2 = 52 : 2 = 26\). 4. Da der Punkt \(T\) auf \(g\) liegen muss, übernimmt er die \(x\)-Koordinate \(7\). Somit ergibt sich \(T(7 \mid 26)\).

a) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse, da alle Punkte auf ihr die gleiche \(x\)-Koordinate (\(7\)) besitzen. b) Der Punkt ist \(T(7 \mid 26)\).

- Wenn ein Punkt auf einer senkrechten Geraden liegt, was weißt du dann über seine \(x\)-Koordinate? - Ein Punkt kann in zwei verschiedene Richtungen auf einer Geraden von einem anderen Punkt entfernt sein. - Abstände auf Gitterlinien kannst du einfach durch Abzählen oder Subtrahieren finden.

1. Die Punkte \(P(2 \mid 5)\) und \(Q(2 \mid 10)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate, liegen also auf einer senkrechten Geraden. Die Länge der Strecke \(PQ\) ergibt sich aus der Differenz der \(y\)-Koordinaten: \(10 - 5 = 5\). Die Länge beträgt \(5\,\text{Längeneinheiten}\). 2. Da \(R\) auf der Geraden \(h\) liegt, muss seine \(x\)-Koordinate ebenfalls \(2\) sein. Um einen Abstand von \(3\,\text{Längeneinheiten}\) zum Punkt \(P(2 \mid 5)\) zu haben, muss die \(y\)-Koordinate von \(R\) entweder um \(3\) größer oder um \(3\) kleiner als \(5\) sein. Dies führt zu \(5 + 3 = 8\) und \(5 - 3 = 2\). Die möglichen Koordinaten sind somit \(R_1(2 \mid 8)\) und \(R_2(2 \mid 2)\).

a) Die Länge beträgt \(5\,\text{Längeneinheiten}\). b) Der Punkt \(R\) kann die Koordinaten \((2 \mid 8)\) oder \((2 \mid 2)\) haben.

- Achte darauf, dass dein Koordinatensystem auch Platz für negative Zahlen auf beiden Achsen bietet. - Wo genau liegen Punkte, deren Koordinaten ein Minuszeichen haben? - Zeichne die Gerade besonders sorgfältig, da die Abstände hier größer sein können. - Kannst du ein Muster in den Koordinatenschritten erkennen, wenn du von \(B\) zu \(A\) gehst?

1. Zeichnen eines Koordinatensystems mit vier Quadranten und Eintragen der Punkte \(A(1 \mid -1)\) und \(B(-1 \mid 3)\). Verbinden der Punkte zur Geraden \(k\). 2. Bestimmung von \(M\): Der Schnittpunkt der Geraden mit der \(y\)-Achse (wo \(x = 0\) ist) liegt bei \(y = 1\). Damit ist \(M(0 \mid 1)\). 3. Bestimmung von \(N\): Wenn man die Gerade weiter nach links oben verfolgt, findet man bei der Höhe \(y = 5\) den \(x\)-Wert \(-2\). Damit ist \(N(-2 \mid 5)\).

\(M(0 \mid 1)\) und \(N(-2 \mid 5)\)

- Vergleiche die Koordinaten von \(A\) und \(B\). Was fällt dir auf? - Welche Eigenschaften haben gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm bezüglich ihrer Länge und Richtung? - Wenn du weißt, wie lang die untere Seite ist, wie kannst du dieses Wissen nutzen, um von Punkt \(D\) aus zum Punkt \(C\) zu gelangen?

1. Die Punkte \(A\) und \(B\) haben die gleiche \(y\)-Koordinate (\(y=2\)). Die Länge der horizontalen Seite \(AB\) ist die Differenz der \(x\)-Koordinaten: \(8 - 1 = 7\,\text{Einheiten}\). 2. In einem Parallelogramm ist die gegenüberliegende Seite \(DC\) parallel zu \(AB\) und gleich lang. Da \(AB\) horizontal verläuft, muss auch \(DC\) horizontal verlaufen. 3. Der Punkt \(C\) muss also dieselbe \(y\)-Koordinate wie \(D\) haben (\(y=6\)). 4. Um die Koordinaten von \(C\) zu finden, addiert man die Länge der Seite \(AB\) zur \(x\)-Koordinate von \(D\): \(3 + 7 = 10\). Somit ist \(C(10 \mid 6)\).

a) Die Länge der Seite \(AB\) beträgt \(7\,\text{Einheiten}\). b) \(C(10 \mid 6)\). Da die Seite \(DC\) parallel zu \(AB\) ist und dieselbe Länge (\(7\,\text{Einheiten}\)) hat, addiert man die Länge zur \(x\)-Koordinate von \(D\).

- Für „am höchsten“ ist nur die zweite Koordinate entscheidend. - Auf einer senkrechten Geraden bleibt die erste Koordinate gleich. - Verändere bei c) die beiden Koordinaten getrennt entsprechend der Bewegungsrichtung.

1. Die Höhe wird durch die \(y\)-Koordinate angegeben. Da \(8>5\) und \(8>2\), liegt \(B\) am höchsten. 2. Punkte auf einer senkrechten Geraden haben dieselbe \(x\)-Koordinate. \(A\) und \(C\) haben beide \(x=4\). 3. Nach \(3\) Einheiten nach rechts wird aus \(x=1\) der Wert \(4\). Nach \(3\) Einheiten nach unten wird aus \(y=8\) der Wert \(5\). Damit ist \(B'(4 \mid 5)\), also liegt \(B'\) genau auf \(A\).

a) \(B\) b) \(A\) und \(C\) c) \(B'(4 \mid 5)\); das ist die Position von \(A\).

- Skizziere die Punkte zuerst in einem Koordinatensystem, um dir die Lage des Rechtecks besser vorstellen zu können. - Überlege dir, welche Koordinaten ein Punkt haben muss, damit die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks parallel und gleich lang sind. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man die Länge und die Breite kennt? - Der Mittelpunkt liegt genau zwischen den gegenüberliegenden Ecken.

1. Bestimmung von \(S\): Da \(PQ\) horizontal verläuft und \(QR\) vertikal, muss \(S\) den \(x\)-Wert von \(P\) (\(1\)) und den \(y\)-Wert von \(R\) (\(5\)) haben. Somit ist \(S(1 \mid 5)\). 2. Berechnung des Umfangs: Die Länge \(PQ\) beträgt \(9 - 1 = 8\,\text{cm}\). Die Breite \(QR\) beträgt \(5 - 1 = 4\,\text{cm}\). Der Umfang ist \(2 \cdot (8\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) = 24\,\text{cm}\). 3. Bestimmung des Mittelpunkts \(M\): Der Mittelpunkt liegt in der Mitte der Strecke \(PR\) oder \(QS\). \(x\)-Koordinate: \((1 + 9) : 2 = 5\). \(y\)-Koordinate: \((1 + 5) : 2 = 3\). Der Mittelpunkt ist \(M(5 \mid 3)\).

1. Der vierte Punkt ist \(S(1 \mid 5)\). 2. Der Umfang beträgt \(24\,\text{cm}\). 3. Der Mittelpunkt des Rechtecks liegt bei \(M(5 \mid 3)\).

- Bestimme zuerst die vier Seitenlängen aus den Koordinaten. - Prüfe zusätzlich, welche Seiten waagerecht und welche senkrecht verlaufen. - Bei einer Verschiebung nach oben verändert sich nur die zweite Koordinate.

1. Es gilt \(AB=BC=CD=DA=4\,\text{Einheiten}\). Außerdem sind \(AB\) und \(CD\) waagerecht sowie \(BC\) und \(DA\) senkrecht. Benachbarte Seiten stehen daher senkrecht aufeinander. Das Viereck ist ein Quadrat. 2. Bei einer Verschiebung um \(3\) Einheiten nach oben bleibt die \(x\)-Koordinate gleich und zur \(y\)-Koordinate werden \(3\) addiert. Daher ist \(A'(2 \mid 5)\). 3. Dieselbe Änderung gilt für alle vier Punkte: \(A'(2 \mid 5)\), \(B'(6 \mid 5)\), \(C'(6 \mid 9)\), \(D'(2 \mid 9)\).

a) Quadrat b) \(A'(2 \mid 5)\) c) \(A'(2 \mid 5)\), \(B'(6 \mid 5)\), \(C'(6 \mid 9)\), \(D'(2 \mid 9)\)

- Lies zuerst die Koordinaten von \(A\), \(B\) und \(C\) aus dem Koordinatensystem ab. - Beschreibe die Verschiebung von \(B\) nach \(C\) in horizontaler und vertikaler Richtung. - Übertrage dieselbe Verschiebung auf \(A\) und überprüfe anschließend die gegenüberliegenden Seiten.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(2 \mid 1)\), \(B(6 \mid 3)\) und \(C(5 \mid 5)\) ab. 2. Von \(B\) nach \(C\) geht man \(1\) Einheit nach links und \(2\) Einheiten nach oben. 3. Im Rechteck sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Daher führt dieselbe Verschiebung von \(A\) nach \(D\): \(2-1=1\) und \(1+2=3\). 4. Somit ist \(D(1 \mid 3)\).

\(D(1 \mid 3)\)

- Lies zuerst die x-Koordinate und dann die y-Koordinate jedes Punktes auf den Achsen ab. - Überlege, welche Eigenschaften ein Rechteck bezüglich seiner gegenüberliegenden Seiten hat. Wo muss der Punkt \(D\) liegen, damit die Seiten parallel und gleich lang sind? - Bestimme die Länge der beiden bereits gezeichneten Seiten, indem du die Einheiten auf den Achsen zählst. - Wie berechnet man den Umfang eines Rechtecks, wenn man seine Länge und Breite kennt?

1. Ablesen der Koordinaten der gegebenen Punkte aus dem Koordinatensystem: - Der Punkt \(A\) liegt bei \(x = -2\) und \(y = -3\), also \(A(-2 \mid -3)\). - Der Punkt \(B\) liegt bei \(x = 4\) und \(y = -3\), also \(B(4 \mid -3)\). - Der Punkt \(C\) liegt bei \(x = 4\) und \(y = 1\), also \(C(4 \mid 1)\). 2. Bestimmung der Koordinaten des Punktes \(D\): - Damit die Figur ein Rechteck wird, muss die Seite \(AD\) senkrecht auf \(AB\) stehen und die Seite \(CD\) senkrecht auf \(BC\). - Der Punkt \(D\) muss folglich dieselbe x-Koordinate wie \(A\) (\(-2\)) und dieselbe y-Koordinate wie \(C\) (\(1\)) haben. - Dies ergibt die Koordinaten \(D(-2 \mid 1)\). 3. Berechnung des Umfangs: - Die Breite des Rechtecks (Abstand von \(A\) nach \(B\)) beträgt \(4 - (-2) = 6\,\text{cm}\). - Die Höhe des Rechtecks (Abstand von \(B\) nach \(C\)) beträgt \(1 - (-3) = 4\,\text{cm}\). - Der Umfang beträgt \(U = 2 \cdot (6\,\text{cm} + 4\,\text{cm}) = 20\,\text{cm}\).

a) \(A(-2 \mid -3)\), \(B(4 \mid -3)\), \(C(4 \mid 1)\) b) \(D(-2 \mid 1)\) c) \(20\,\text{cm}\)

- Wie weit muss man senkrecht nach oben oder unten gehen, um von einem Punkt zur x-Achse zu gelangen? - Welcher Teil des Koordinatenpaares gibt die „Höhe“ oder „Tiefe“ eines Punktes an? - Achte darauf, dass ein Abstand immer eine positive Zahl ist, auch wenn der Punkt im negativen Bereich liegt.

1. Koordinaten ablesen: \(P(5 \mid 1)\), \(Q(-4 \mid -3)\), \(R(1 \mid 4)\), \(S(-3 \mid 1)\), \(T(0 \mid -4)\). 2. Abstand zur x-Achse bestimmen: Dies entspricht dem Betrag des y-Wertes. - \(P\): \(1\) - \(Q\): \(3\) - \(R\): \(4\) - \(S\): \(1\) - \(T\): \(4\) 3. Ergebnis: Die Punkte \(R\) und \(T\) haben mit einem Abstand von \(4\) Einheiten den größten Abstand zur x-Achse.

Die Koordinaten sind \(P(5 \mid 1)\), \(Q(-4 \mid -3)\), \(R(1 \mid 4)\), \(S(-3 \mid 1)\) und \(T(0 \mid -4)\). Die Punkte \(R\) und \(T\) liegen mit \(4\) Längeneinheiten am weitesten von der x-Achse entfernt.

- Verfolge die nummerierten Punkte in genau der angegebenen Reihenfolge. - Lies bei den gesuchten Punkten zuerst die \(x\)- und danach die \(y\)-Koordinate ab. - Achte auf die äußeren Spitzen des entstehenden geschlossenen Symbols.

1. Aus der Abbildung liest man für Punkt \(3\) die Koordinaten \((4 \mid 2)\), für Punkt \(6\) die Koordinaten \((0 \mid -1)\) und für Punkt \(9\) die Koordinaten \((-4 \mid 2)\) ab. 2. Verfolgt man die angegebene Punktfolge, entsteht eine geschlossene Linie in Form eines fünfzackigen Sterns.

Es entsteht ein fünfzackiger Stern. Punkt \(3\): \((4 \mid 2)\), Punkt \(6\): \((0 \mid -1)\), Punkt \(9\): \((-4 \mid 2)\).

- Lies zuerst die Koordinaten der drei eingezeichneten Punkte ab. - Beschreibe die Verschiebung von \(B\) nach \(A\). - Übertrage dieselbe Verschiebung auf \(C\) und prüfe die Seiten des Quadrats.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(3 \mid 2)\), \(B(8 \mid 3)\) und \(C(7 \mid 8)\) ab. 2. Von \(B\) nach \(A\) geht man \(5\) Einheiten nach links und \(1\) Einheit nach unten. 3. Gegenüberliegende Seiten eines Quadrats sind parallel und gleich lang. Dieselbe Verschiebung von \(C\) aus ergibt \(7-5=2\) und \(8-1=7\). 4. Daher ist \(D(2 \mid 7)\).

\(D(2 \mid 7)\)

- Lies zuerst die Koordinaten der drei eingezeichneten Pfosten ab. - Beschreibe den Weg von \(E\) nach \(F\) durch eine horizontale und eine vertikale Änderung. - Übertrage denselben Weg auf \(H\).

1. Aus der Abbildung liest man \(E(1 \mid 1)\), \(F(6 \mid 2)\) und \(H(2 \mid 5)\) ab. 2. Von \(E\) nach \(F\) geht man \(5\) Einheiten nach rechts und \(1\) Einheit nach oben. 3. Im Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Dieselbe Verschiebung führt daher von \(H\) nach \(G\). 4. Es gilt \(2+5=7\) und \(5+1=6\). Damit ist \(G(7 \mid 6)\).

\(G(7 \mid 6)\)

- Vergleiche zuerst, wie sich die Koordinaten von \(B\) zu \(C\) ändern. - Übertrage dieselbe Rechts- und Hochbewegung auf \(A\), um \(D\) zu finden. - Für einen Mittelpunkt liegt jede Koordinate genau zwischen den entsprechenden Koordinaten der Endpunkte.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(1 \mid 1)\), \(B(7 \mid 1)\) und \(C(10 \mid 5)\) ab. Von \(B\) nach \(C\) geht man \(3\) Einheiten nach rechts und \(4\) nach oben. Dasselbe von \(A\) aus ergibt \(D(4 \mid 5)\). 2. Der Mittelpunkt von \([AB]\) liegt bei \(P(4 \mid 1)\). 3. Zwischen \(P(4 \mid 1)\) und \(C(10 \mid 5)\) liegt der Mittelpunkt bei \(Q(7 \mid 3)\).

a) \(D(4 \mid 5)\) b) \(P(4 \mid 1)\) c) \(Q(7 \mid 3)\)

- Lies zuerst die vier Eckpunkte aus der Abbildung ab. - Verfolge die rechte Begrenzungsseite \(BC\) von \(B\) nach \(C\): In welche Richtung bewegt sie sich? - Vergleiche diese Lage mit dem Punkt \(Q(8 \mid 3)\), ohne eine genaue Zwischenkoordinate der Seite berechnen zu müssen.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(2 \mid 1)\), \(B(8 \mid 1)\), \(C(7 \mid 5)\) und \(D(3 \mid 5)\) ab. 2. Die rechte Begrenzung ist die Strecke \(BC\). Sie beginnt bei \(B(8 \mid 1)\) und verläuft nach oben links zu \(C(7 \mid 5)\). 3. Für jede Höhe oberhalb von \(y=1\) liegt die Strecke \(BC\) deshalb links von \(x=8\). 4. Der Punkt \(Q(8 \mid 3)\) liegt bei \(y=3\) noch auf \(x=8\) und damit rechts von \(BC\). Also liegt \(Q\) außerhalb des Vierecks.

Der Punkt \(Q\) liegt außerhalb des Vierecks.

- Lies zunächst die vier Eckpunkte aus der Abbildung ab. - Bestimme bei jeder Strecke für beide Koordinaten jeweils den Wert genau zwischen den beiden Endwerten. - Vergleiche am Ende die beiden zuletzt bestimmten Mittelpunkte.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(0 \mid 0)\), \(B(2 \mid 6)\), \(C(8 \mid 6)\) und \(D(10 \mid 0)\) ab. Damit ist \(P\left(\frac{0+2}{2} \middle| \frac{0+6}{2}\right)=P(1 \mid 3)\) und \(Q\left(\frac{8+10}{2} \middle| \frac{6+0}{2}\right)=Q(9 \mid 3)\). 2. Es gilt \(M_1\left(\frac{0+10}{2} \middle| \frac{0+0}{2}\right)=M_1(5 \mid 0)\) und \(M_2\left(\frac{2+8}{2} \middle| \frac{6+6}{2}\right)=M_2(5 \mid 6)\). 3. Der Mittelpunkt von \(PQ\) ist \(\left(\frac{1+9}{2} \middle| \frac{3+3}{2}\right)=(5 \mid 3)\). Der Mittelpunkt von \(M_1M_2\) ist \(\left(\frac{5+5}{2} \middle| \frac{0+6}{2}\right)=(5 \mid 3)\). Beide Mittelpunkte fallen zusammen.

1. \(P(1 \mid 3)\) und \(Q(9 \mid 3)\) 2. \(M_1(5 \mid 0)\) und \(M_2(5 \mid 6)\) 3. Beide Strecken haben den Mittelpunkt \((5 \mid 3)\).

- Wenn eine Strecke parallel zur \(y\)-Achse verläuft, was bedeutet das für die \(x\)-Koordinaten der Endpunkte? - Wie verändern sich die \(y\)-Koordinaten, wenn du eine Strecke einer bestimmten Länge senkrecht nach oben oder unten abträgst? - Gibt es nur eine Richtung, in die man die fehlenden Seiten zeichnen kann?

1. Da \(PS\) parallel zur \(y\)-Achse verläuft, bleibt die \(x\)-Koordinate von \(S\) gleich der von \(P\) (\(x_S = 3\)). Da \(QR\) parallel zur \(y\)-Achse verläuft, bleibt die \(x\)-Koordinate von \(R\) gleich der von \(Q\) (\(x_R = 10\)). 2. Möglichkeit 1 (Verschiebung nach oben): Die \(y\)-Koordinate wird um 4 erhöht. \(S_1(3 \mid 5+4) = (3 \mid 9)\) und \(R_1(10 \mid 8+4) = (10 \mid 12)\). 3. Möglichkeit 2 (Verschiebung nach unten): Die \(y\)-Koordinate wird um 4 verringert. \(S_2(3 \mid 5-4) = (3 \mid 1)\) und \(R_2(10 \mid 8-4) = (10 \mid 4)\).

Lösung 1: \(R(10 \mid 12)\) und \(S(3 \mid 9)\) Lösung 2: \(R(10 \mid 4)\) und \(S(3 \mid 1)\)

- Überlege getrennt, ob \(AB\) eine Seite oder eine Diagonale des Quadrats sein kann. - Betrachte bei der Möglichkeit „\(AB\) ist eine Seite“ beide Seiten der Strecke \(AB\) getrennt. - Für Teil b) suche zu der Verschiebung von \(A\) nach \(B\) eine gleich lange senkrechte Verschiebung.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(2 \mid 2)\) und \(B(5 \mid 3)\) ab. 2. Die Strecke \(AB\) kann eine Seite des Quadrats sein. Dafür gibt es auf den beiden Seiten von \(AB\) je eine Lage. 3. Die Strecke \(AB\) kann außerdem eine Diagonale des Quadrats sein. Damit gibt es insgesamt \(3\) verschiedene Quadrate. 4. Für eine Lösung mit \(AB\) als Seite ist die Verschiebung von \(A\) nach \(B\) \((3 \mid 1)\). Eine dazu senkrechte gleich lange Verschiebung ist \((-1 \mid 3)\). So erhält man \(D(1 \mid 5)\) und \(C(4 \mid 6)\).

a) \(3\) Quadrate b) Zum Beispiel \(C(4 \mid 6)\) und \(D(1 \mid 5)\)

- Bei jedem möglichen Parallelogramm ist ein anderer gegebener Punkt der gemeinsame Eckpunkt zweier Seiten. - Beschreibe einen Seitenweg jeweils als „rechts/links“ und „oben/unten“. - Übertrage denselben Seitenweg auf den gegenüberliegenden gegebenen Punkt; es entstehen drei verschiedene Fälle.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(3 \mid 3)\), \(B(7 \mid 4)\) und \(C(4 \mid 7)\) ab. 2. Erster Fall: Von \(B\) nach \(A\) geht man \(4\) Einheiten nach links und \(1\) nach unten. Geht man von \(C\) genauso, erhält man \(D_1(0 \mid 6)\). 3. Zweiter Fall: Von \(A\) nach \(B\) geht man \(4\) Einheiten nach rechts und \(1\) nach oben. Geht man von \(C\) genauso, erhält man \(D_2(8 \mid 8)\). 4. Dritter Fall: Von \(C\) nach \(A\) geht man \(1\) Einheit nach links und \(4\) nach unten. Geht man von \(B\) genauso, erhält man \(D_3(6 \mid 0)\). 5. Damit gibt es genau die drei Ergänzungen \((0 \mid 6)\), \((8 \mid 8)\) und \((6 \mid 0)\).

\((0 \mid 6)\), \((8 \mid 8)\) und \((6 \mid 0)\)