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- Betrachte besonders die innere Ecke der L-Form. - Überlege, ob die ganze Figur bereits ein einziges Rechteck ist. - Suche einen geraden Schnitt, nach dem beide Teilflächen Rechtecke sind.

1. Die L-Form ist selbst kein Rechteck. 2. Entlang der inneren Ecke kann sie mit einem geraden Schnitt in zwei Rechtecke zerlegt werden. 3. Weniger als zwei Rechtecke sind daher nicht möglich.

Mindestens \(2\) Rechtecke.

- Kannst du die komplizierte Form in zwei einfache Formen unterteilen? - Wie berechnest du die Fläche für jedes dieser Teilstücke einzeln? - Was musst du am Ende mit den beiden Einzelergebnissen tun?

1. Berechnung des Flächeninhalts des ersten Rechtecks: \(5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Rechtecks: \(3\,\text{m} \cdot 1\,\text{m} = 3\,\text{m}^2\). 3. Addition der beiden Teilflächen, um die Gesamtfläche zu erhalten: \(10\,\text{m}^2 + 3\,\text{m}^2 = 13\,\text{m}^2\).

Der gesamte Flächeninhalt des Fußbodens beträgt \(13\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke unterteilen? - Welche Maße haben die einzelnen Teilflächen, wenn du eine Trennlinie ziehst? - Gibt es eine Möglichkeit, die Figur zu einem großen Rechteck zu ergänzen und nicht benötigte Teile abzuziehen? - Überlege, wie hoch und wie breit die einzelnen Abschnitte sind.

1. Zerlegung in zwei Rechtecke: Die T-förmige Terrasse kann durch eine horizontale Trennlinie in ein oberes horizontales Rechteck und ein unteres vertikales Rechteck zerlegt werden. 2. Berechnung des oberen Rechtecks: Das obere Rechteck hat eine Länge von \(12\,\text{m}\) und eine Breite von \(4\,\text{m}\). Der Flächeninhalt beträgt: \(A_1 = 12\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\) 3. Berechnung des unteren Rechtecks: Das untere Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Länge von \(6\,\text{m}\). Der Flächeninhalt beträgt: \(A_2 = 4\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: Die Summe der beiden Teilflächen ergibt den Gesamtflächeninhalt: \(A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 = 48\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 72\,\text{m}^2\) Alternativer Lösungsweg durch Ergänzung: Die Figur kann zu einem großen Rechteck der Maße \(12\,\text{m} \times 10\,\text{m}\) ergänzt werden. Davon werden die beiden fehlenden Ecken (jeweils mit den Maßen \(4\,\text{m} \times 6\,\text{m}\)) abgezogen: \(A_{\text{gesamt}} = 12\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} - 2 \cdot (4\,\text{m} \cdot 6\,\text{m}) = 120\,\text{m}^2 - 48\,\text{m}^2 = 72\,\text{m}^2\)

Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(72\,\text{m}^2\).

- Suche nach einer senkrechten Linie, die den Pfeil in einen viereckigen Körper und eine dreieckige Spitze aufteilt. - Bestimme zuerst den Flächeninhalt des viereckigen Teils. - Bestimme danach den Flächeninhalt der dreieckigen Spitze. Du kannst das Dreieck gedanklich zu einem Rechteck verdoppeln. - Wie kannst du aus den beiden Teilflächen den gesamten Flächeninhalt berechnen?

1. Zerlegung des Pfeils durch eine vertikale Linie bei \(x = 4\) in ein Rechteck und ein Dreieck. 2. Berechnung des Flächeninhalts des linken Rechtecks: Breite von \(4\,\text{Längeneinheiten}\) und Höhe von \(2\,\text{Längeneinheiten}\) ergeben \(4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts des rechten Dreiecks: Vertikale Grundseite der Länge \(4\,\text{Längeneinheiten}\) (von \(y = 0\) bis \(y = 4\)) und Höhe von \(2\,\text{Längeneinheiten}\) (von \(x = 4\) bis \(x = 6\)) ergeben \(\frac{4 \cdot 2}{2} = 4\,\text{FE}\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts durch Addition der Teilflächen: \(8\,\text{FE} + 4\,\text{FE} = 12\,\text{FE}\).

\(12\,\text{FE}\)

- Welches kleinste Rechteck umschließt die jeweilige Figur vollständig? - Welche Teile dieses Rechtecks gehören nicht zur gesuchten Figur? - Berechne erst die Fläche des umschließenden Rechtecks und ziehe dann die fehlenden Teile ab.

1. Figur a) wird zu einem Rechteck \(4\times3\) ergänzt. Dieses hat den Flächeninhalt \(12\). Es fehlt ein Rechteck \(2\times2\) mit dem Flächeninhalt \(4\). Daher ist die gesuchte Fläche \(12-4=8\,\text{FE}\). 2. Figur b) wird zu einem Quadrat \(3\times3\) ergänzt. Dieses hat den Flächeninhalt \(9\). Es fehlen vier Eckquadrate \(1\times1\) mit zusammen \(4\,\text{FE}\). Daher ist die gesuchte Fläche \(9-4=5\,\text{FE}\).

a) \(4\times3-2\times2=8\,\text{FE}\) b) \(3\times3-4\cdot(1\times1)=5\,\text{FE}\)

- Welche waagerechte Hilfslinie trennt unten ein Rechteck ab? - Bestimme Breite und Höhe dieses Rechtecks in Gitterabständen. - Der übrige Teil ist die Hälfte eines passenden Rechtecks.

1. Eine waagerechte Linie durch den linken oberen Eckpunkt zerlegt die Figur in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Das Rechteck ist \(4\) Einheiten breit und \(1\) Einheit hoch. Seine Fläche beträgt \(4\,\text{FE}\). 3. Das Dreieck hat Grundseite \(4\) und Höhe \(2\). Seine Fläche beträgt \((4\cdot2):2=4\,\text{FE}\). 4. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(4\,\text{FE}+4\,\text{FE}=8\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Trenne den Pfeil in zwei bekannte Grundformen auf. - Wo genau fängt die Spitze an und wo hört der Schaft auf? Bestimme die Maße an dieser Trennlinie. - Nutze für die Spitze die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\).

1. Berechnung des Rechtecks (Schaft): - Breite = \(4\), Höhe = \(2\). - \(A_{\text{Schaft}} = 4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\). 2. Berechnung des Dreiecks (Pfeilspitze): - Die vertikale Grundseite der Spitze ist \(6\) Einheiten lang (von \(y=0\) bis \(y=6\)). - Die horizontale Höhe der Spitze (von der Grundseite bis zur Spitze bei \(x=8\)) beträgt \(8 - 4 = 4\) Einheiten. - \(A_{\text{Spitze}} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\,\text{FE}\). 3. Gesamter Flächeninhalt: - \(A_{\text{Gesamt}} = 8 + 12 = 20\,\text{FE}\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(20\) Flächeneinheiten.

- Kannst du die Figur mit einer geraden Linie so teilen, dass zwei einfache Rechtecke entstehen? - Gibt es mehr als eine Möglichkeit, diese Linie zu zeichnen? - Wie berechnest du den Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks? - Was musst du am Ende mit den beiden Teilflächen machen?

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: - Möglichkeit A (vertikaler Schnitt): Ein linkes Rechteck mit \(2\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\) und ein rechtes Rechteck mit \(3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). - Möglichkeit B (horizontaler Schnitt): Ein unteres Rechteck mit \(5\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\) und ein oberes Rechteck mit \(2\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 8\,\text{m}^2\). 2. Berechnung der Gesamtfläche durch Addition: - \(12\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 18\,\text{m}^2\) bzw. \(10\,\text{m}^2 + 8\,\text{m}^2 = 18\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Küche beträgt \(18\,\text{m}^2\).

- Zu welchem Rechteck kannst du das Dreieck ergänzen? - Wie groß ist die Fläche dieses Rechtecks? - Welchen Anteil des Rechtecks nimmt das Dreieck ein?

1. Das ergänzte Rechteck hat den Flächeninhalt \(8\,\text{cm}\cdot5\,\text{cm}=40\,\text{cm}^2\). 2. Das Dreieck ist genau die Hälfte dieses Rechtecks. 3. Daher beträgt sein Flächeninhalt \(40\,\text{cm}^2:2=20\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(20\,\text{cm}^2\).

- Welches dreieckige Stück kannst du an einer schrägen Seite abschneiden? - Wo kannst du dieses Stück wieder ansetzen, sodass ein Rechteck entsteht? - Lies die Grundseite aus der Zeichnung ab und verwende die im Text angegebene senkrechte Höhe.

1. Man schneidet das dreieckige Stück an einer schrägen Seite gedanklich entlang einer senkrechten Linie ab und setzt es an der gegenüberliegenden schrägen Seite an. 2. Durch das reine Verschieben wird keine Fläche hinzugefügt oder entfernt. Es entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen \(10\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). 3. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt \(10\,\text{cm}\cdot6\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2\). Daher hat auch das Parallelogramm den Flächeninhalt \(60\,\text{cm}^2\).

Das seitliche Dreieck wird abgeschnitten und an die gegenüberliegende Seite verschoben. Dadurch entsteht ein Rechteck mit \(10\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei Rechtecke zerlegen? - Überlege, wie lang die Seiten der Teilrechtecke sind. - Berechne erst die Flächen der kleinen Rechtecke und zähle sie dann zusammen.

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: Ein unteres Rechteck mit \(5\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 15\,\text{m}^2\) und ein oberes Rechteck mit \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\). 2. Addition der Teilflächen: \(15\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 = 19\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt \(19\,\text{m}^2\).

- Wo kannst du die T-Form in zwei Rechtecke zerlegen? - Welche Maße sind für das untere und das obere Rechteck direkt in der Abbildung angegeben? - Addiere die beiden Teilflächen erst, nachdem du sie einzeln bestimmt hast.

1. Der untere Teil ist ein Rechteck mit \(8\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{m}^2\). 2. Der obere Teil ist ein Rechteck mit der in der Abbildung angegebenen Breite \(2\,\text{m}\) und der Höhe \(4\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{m}^2\). 3. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(24\,\text{m}^2 + 8\,\text{m}^2 = 32\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Bühne beträgt \(32\,\text{m}^2\).

- Du kannst die Figur in drei gleich breite Rechtecke zerlegen. - Schau dir an, wie hoch jedes der drei Rechtecke ist. - Es gibt mehrere Wege: Du kannst von oben nach unten oder von links nach rechts zerlegen.

1. Zerlegung in drei vertikale Streifen: Ein linker Streifen (\(2\,\text{dm} \cdot 6\,\text{dm} = 12\,\text{dm}^2\)), ein mittlerer Streifen (\(2\,\text{dm} \cdot 4\,\text{dm} = 8\,\text{dm}^2\)) und ein rechter Streifen (\(2\,\text{dm} \cdot 2\,\text{dm} = 4\,\text{dm}^2\)). 2. Gesamtfläche: \(12 + 8 + 4 = 24\,\text{dm}^2\). 3. Alternativ: Zerlegung in drei horizontale Schichten (\(6 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 24\)).

Der Flächeninhalt der Seitenwand beträgt \(24\,\text{dm}^2\).

- Wo kannst du die L-Form in zwei Rechtecke zerlegen? - Welche Seitenlängen der Teilrechtecke lassen sich direkt aus der Skizze ablesen? - Prüfe, dass sich deine beiden Teilrechtecke nicht überlappen und zusammen genau die L-Form bilden.

1. Die Figur lässt sich in ein linkes Rechteck mit \(3\,\text{cm} \times 8\,\text{cm}\) und ein rechtes unteres Rechteck mit \(5\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) zerlegen. 2. Die beiden Teilflächen betragen \(3\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\) und \(5\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2\). 3. Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{cm}^2 + 15\,\text{cm}^2 = 39\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt des Bauteils beträgt \(39\,\text{cm}^2\).

- Kannst du die Figur in zwei einfache Rechtecke zerteilen? - Überlege, wie groß das Rechteck wäre, wenn die Ecke nicht fehlen würde. Was müsstest du dann abziehen? - Achte darauf, dass du nur die Flächen addierst oder subtrahierst, die tatsächlich zum Balkon gehören.

1. Berechnung über Ergänzung zu einem großen Rechteck: Die Gesamtfläche des Rechtecks beträgt \(6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). Davon wird die Fläche des Blumenbeets mit \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\) abgezogen. Das ergibt \(24\,\text{m}^2 - 4\,\text{m}^2 = 20\,\text{m}^2\). 2. Berechnung durch Zerlegung in zwei Teilrechtecke: Die Fläche kann in ein Rechteck von \(4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\) und ein Rechteck von \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\) zerlegt werden. Die Gesamtfläche beträgt \(16\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 = 20\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Balkonbodens beträgt \(20\,\text{m}^2\).

- Findest du eine Linie, mit der du das Zimmer in zwei Rechtecke teilen kannst? - Welche Seitenlängen haben diese beiden Rechtecke? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks?

1. Zerlegung der Figur in zwei Rechtecke: Ein Rechteck mit den Maßen \(4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m}\) und ein zweites Rechteck mit den Maßen \(2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Addition der Teilflächen: \(A_{\text{ges}} = 20\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\).

Die gesamte Bodenfläche des Zimmers beträgt \(26\,\text{m}^2\).

- Du kannst die Fläche durch Ergänzen zu einem großen Rechteck oder durch Zerteilen in kleinere Rechtecke finden. - Welche Maße hat das fehlende Stück in der Mitte?

1. Die Fläche kann als großes Rechteck (\(30\,\text{m} \cdot 15\,\text{m}\)) minus ein kleineres Rechteck (\(10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m}\)) berechnet werden. 2. \(30 \cdot 15 = 450\,\text{m}^2\). 3. \(10 \cdot 5 = 50\,\text{m}^2\). 4. Gesamte Fläche: \(450\,\text{m}^2 - 50\,\text{m}^2 = 400\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Mehrzweckhalle beträgt \(400\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur in einfache Rechtecke unterteilen? - Überlege, wie lang die fehlenden Seitenstücke sind. - Der Umfang ist die Summe aller Außenkanten der Figur.

1. Zerlegung der Fläche in zwei Teilrechtecke: Ein großes Rechteck mit den Maßen \(6\,\text{m} \times 4\,\text{m}\) und ein kleineres Rechteck mit den Maßen \(2\,\text{m} \times 3\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Gesamte Fläche: \(A_{\text{gesamt}} = 24\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 30\,\text{m}^2\). 4. Umfang: \(6\,\text{m} + 7\,\text{m} + 2\,\text{m} + 3\,\text{m} + 4\,\text{m} + 4\,\text{m} = 26\,\text{m}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(30\,\text{m}^2\) und der Umfang beträgt \(26\,\text{m}\).

- Berechne die Fläche des großen Rechtecks und ziehe die fehlende Ecke ab. - Überprüfe beim Umfang genau, welche Kanten zur Figur gehören.

1. Das ursprüngliche Rechteck war \(9\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\) groß. Sein Flächeninhalt wäre \(54\,\text{cm}^2\). 2. Das entfernte Eckstück ist \(3\,\text{cm} \times 2\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2\) groß. 3. Der Flächeninhalt des Logos ist \(54\,\text{cm}^2 - 6\,\text{cm}^2 = 48\,\text{cm}^2\). 4. Der Umfang berechnet sich aus: \(9 + 4 + 3 + 2 + 6 + 6 = 30\,\text{cm}\). Dies entspricht dem Umfang des ursprünglichen Rechtecks (\(2 \cdot (9+6) = 30\)).

Der Flächeninhalt beträgt \(48\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(30\,\text{cm}\).

- Welche beiden Flächen musst du zunächst getrennt bestimmen? - Welche dieser Flächen wird von der anderen abgezogen? - Prüfe, ob die freie Fläche kleiner als die gesamte Zimmerfläche ist.

1. Die Bodenfläche des Zimmers beträgt \(8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). 2. Die Teppichfläche beträgt \(4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\). 3. Nicht bedeckt sind \(40\,\text{m}^2 - 16\,\text{m}^2 = 24\,\text{m}^2\).

Es sind \(24\,\text{m}^2\) des Bodens nicht bedeckt.

- Kannst du die Figur in einfachere Rechtecke oder Quadrate unterteilen? - Lies die Seitenlängen der Teilbereiche aus der Abbildung ab. - Addiere die Flächeninhalte der Teilfiguren.

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke: Ein großes Rechteck links und ein kleineres Quadrat, das rechts angesetzt ist. 2. Das linke Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(5\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(4\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\). 3. Das rechte Quadrat hat eine Seitenlänge von \(2\,\text{m}\). Sein Flächeninhalt beträgt: \(2\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 4\,\text{m}^2\). 4. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich durch die Summe der Teilflächen: \(20\,\text{m}^2 + 4\,\text{m}^2 = 24\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt des Grundrisses beträgt \(24\,\text{m}^2\).

- Der Weg liegt auf beiden Seiten jeder Abmessung. - Wie verändern sich Länge und Breite des inneren Rechtecks? - Ziehe die innere Fläche von der äußeren Fläche ab.

1. Das äußere Rechteck hat die Fläche \(10\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=80\,\text{m}^2\). 2. Der Weg nimmt an jeder Seite \(1\,\text{m}\) weg. Das innere Rechteck ist daher \(8\,\text{m}\) lang und \(6\,\text{m}\) breit. 3. Die Innenfläche beträgt \(8\,\text{m}\cdot6\,\text{m}=48\,\text{m}^2\). 4. Die Wegfläche ist \(80\,\text{m}^2-48\,\text{m}^2=32\,\text{m}^2\).

Die Fläche des Weges beträgt \(32\,\text{m}^2\).

- Welche Formel beschreibt den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks? - Welche Beziehung besteht zwischen Quadratmetern und Ar? - Wie verändern sich Länge und Breite der inneren Nutzfläche durch einen Rand auf allen vier Seiten? - Welche Flächendifferenz entspricht dem Schutzstreifen?

1. Der Gesamtflächeninhalt beträgt \(220\,\text{m} \cdot 90\,\text{m} = 19\,800\,\text{m}^2\). 2. In Ar sind das \(19\,800\,\text{m}^2 : 100 = 198\,\text{a}\). 3. Wegen des \(5\,\text{m}\) breiten Randes auf beiden Seiten sind die inneren Maße \(210\,\text{m}\) und \(80\,\text{m}\). 4. Die innere Fläche beträgt \(210\,\text{m} \cdot 80\,\text{m} = 16\,800\,\text{m}^2\). 5. Der Schutzstreifen hat damit den Flächeninhalt \(19\,800\,\text{m}^2 - 16\,800\,\text{m}^2 = 3000\,\text{m}^2\).

a) Der Acker ist \(198\,\text{a}\) groß. b) Der Schutzstreifen hat einen Flächeninhalt von \(3000\,\text{m}^2\).

- Wie groß ist die Fläche des gesamten Quadrats? - Wenn man von einer Seite \(1\,\text{m}\) am linken und \(1\,\text{m}\) am rechten Rand wegnimmt, wie lang ist dann das Stück in der Mitte? - Kannst du die Fläche des Beetes finden, indem du die Fläche des kleinen Quadrats von der des großen Quadrats abziehst? - Wie viele Blumen kommen auf die berechnete Fläche?

1. Berechnung des Flächeninhalts des gesamten Rasens: \(10\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} = 100\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Seitenlänge der verbleibenden Rasenfläche im Inneren: Da der Rand \(1\,\text{m}\) breit ist, verringert sich die Seitenlänge auf beiden Seiten um \(1\,\text{m}\) (\(10\,\text{m} - 1\,\text{m} - 1\,\text{m} = 8\,\text{m}\)). 3. Berechnung des Flächeninhalts der inneren Rasenfläche: \(8\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 64\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Beetfläche durch Subtraktion: \(100\,\text{m}^2 - 64\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Gesamtzahl der Blumen: \(36\,\text{m}^2 \cdot 8\,\text{Blumen}/\text{m}^2 = 288\,\text{Blumen}\).

Es müssen insgesamt \(288\) Blumen gekauft werden.

- Überlege dir, wie lang und breit die gesamte Fläche inklusive des Weges ist. Denke daran, dass der Weg auf jeder Seite der Terrasse dazukommt. - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks? - Wenn du die Fläche der Terrasse von der Gesamtfläche abziehst, was bleibt dann übrig? - Wie rechnet man von der Fläche auf den Preis um?

1. Berechnung der Maße der gesamten Fläche (Terrasse plus Weg): Die Länge beträgt \(8\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} = 12\,\text{m}\), die Breite beträgt \(5\,\text{m} + 2\,\text{m} + 2\,\text{m} = 9\,\text{m}\). 2. Berechnung des gesamten Flächeninhalts: \(12\,\text{m} \cdot 9\,\text{m} = 108\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts der Terrasse: \(8\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Flächeninhalts des Weges: \(108\,\text{m}^2 - 40\,\text{m}^2 = 68\,\text{m}^2\). 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(68\,\text{m}^2 \cdot 15\,\text{€}/\text{m}^2 = 1020\,\text{€}\).

Die Gesamtkosten für die Steinplatten betragen \(1020\,\text{€}\).

- Kannst du die L-Form in zwei einfache Rechtecke zerlegen? Es gibt dafür zwei verschiedene Möglichkeiten. - Alternativ kannst du dir vorstellen, dass die Figur ein großes Rechteck ist, aus dem eine Ecke herausgeschnitten wurde. - Welche Längen haben die Seiten, für die keine Maße angegeben sind? Nutze die bekannten Seitenlängen, um sie zu berechnen. - Berechne die Flächen der einzelnen Teile und füge sie passend zusammen.

Es gibt verschiedene Wege, den Flächeninhalt der L-förmigen Terrasse zu berechnen: Weg 1: Zerlegung durch eine vertikale Linie 1. Zerlege die Figur in ein linkes und ein rechtes Rechteck. 2. Das linke Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\) und eine Höhe von \(8\,\text{m}\): \(A_1 = 4\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 32\,\text{m}^2\) 3. Das rechte Rechteck hat eine Höhe von \(4\,\text{m}\). Seine Breite ergibt sich aus der Gesamtbreite abzüglich der oberen Breite: \(b = 10\,\text{m} - 4\,\text{m} = 6\,\text{m}\) \(A_2 = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) 4. Der Gesamtflächeninhalt ist die Summe der beiden Teilflächen: \(A = 32\,\text{m}^2 + 24\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\) Weg 2: Zerlegung durch eine horizontale Linie 1. Zerlege die Figur in ein unteres und ein oberes Rechteck. 2. Das untere Rechteck hat eine Breite von \(10\,\text{m}\) und eine Höhe von \(4\,\text{m}\): \(A_1 = 10\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\) 3. Das obere Rechteck hat eine Breite von \(4\,\text{m}\). Seine Höhe ergibt sich aus der Gesamthöhe abzüglich der rechten Höhe: \(h = 8\,\text{m} - 4\,\text{m} = 4\,\text{m}\) \(A_2 = 4\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 16\,\text{m}^2\) 4. Der Gesamtflächeninhalt ist die Summe der beiden Teilflächen: \(A = 40\,\text{m}^2 + 16\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\) Weg 3: Ergänzung zu einem großen Rechteck 1. Ergänze die Figur zu einem großen Rechteck mit den Maßen \(10\,\text{m} \times 8\,\text{m}\): \(A_{\text{groß}} = 10\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 80\,\text{m}^2\) 2. Berechne den Flächeninhalt der fehlenden Ecke mit den Maßen \(6\,\text{m} \times 4\,\text{m}\): \(A_{\text{Ecke}} = (10\,\text{m} - 4\,\text{m}) \cdot (8\,\text{m} - 4\,\text{m}) = 6\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) 3. Subtrahiere die Ecke vom großen Rechteck: \(A = 80\,\text{m}^2 - 24\,\text{m}^2 = 56\,\text{m}^2\)

\(56\,\text{m}^2\)

- Kannst du die Figur in einfachere Formen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst? - Welche bekannten geometrischen Formen wie Rechtecke kannst du in der Zeichnung erkennen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines einzelnen Rechtecks? - Um den Umfang zu bestimmen, musst du alle äußeren Begrenzungslinien zusammenzählen. Hast du alle Seitenlängen berücksichtigt?

1. Zerlegung der L-Figur in zwei Teilrechtecke: Ein unteres Rechteck mit den Maßen \(8\,\text{m} \times 3\,\text{m}\) und ein oberes Rechteck mit den Maßen \(3\,\text{m} \times 4\,\text{m}\) (da \(7\,\text{m} - 3\,\text{m} = 4\,\text{m}\)). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 8\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 3\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). 3. Addition der Flächeninhalte zum Gesamtflächeninhalt: \(A = 24\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 36\,\text{m}^2\). 4. Berechnung des Umfangs durch Aufsummieren aller sechs Seitenlängen: \(U = 8\,\text{m} + 3\,\text{m} + 5\,\text{m} + 4\,\text{m} + 3\,\text{m} + 7\,\text{m} = 30\,\text{m}\).

a) Der Flächeninhalt des Spielplatzes beträgt \(36\,\text{m}^2\). b) Der Umfang des Spielplatzes beträgt \(30\,\text{m}\).

- Kannst du die Figur in einfachere Formen wie Rechtecke aufteilen, deren Flächen du leicht berechnen kannst? - Überlege, wie groß ein großes Rechteck wäre, das die gesamte Figur umschließt. Welchen Teil müsstest du davon abziehen? - Um den Umfang zu bestimmen, fahre die gesamte Begrenzungslinie der Figur mit dem Finger ab und addiere alle Teilstrecken. - Achte darauf, dass du keine Seite vergisst, besonders die inneren Kanten des Ausschnitts.

1. **Flächeninhalt durch Ergänzen (Methode 1):** Man ergänzt die Figur zu einem großen Rechteck mit den Maßen \(10\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\). Dessen Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 60\,\text{cm}^2\). Von diesem zieht man den Flächeninhalt des ausgeschnittenen Teils (ein Quadrat mit der Seitenlänge \(4\,\text{cm}\)) ab: \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\). Der Flächeninhalt der Schablone beträgt somit \(60\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 44\,\text{cm}^2\). 2. **Flächeninhalt durch Zerlegen (Methode 2):** Man zerlegt die Schablone in drei Teilrechtecke: - Zwei vertikale Streifen an den Seiten mit den Maßen \(3\,\text{cm} \times 6\,\text{cm}\). Deren Flächeninhalt ist jeweils \(3\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}^2\). - Ein horizontales Verbindungsstück unten. Die Breite beträgt \(10\,\text{cm} - 3\,\text{cm} - 3\,\text{cm} = 4\,\text{cm}\). Die Höhe beträgt \(6\,\text{cm} - 4\,\text{cm} = 2\,\text{cm}\). Der Flächeninhalt ist \(4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). - Der Gesamtflächeninhalt ist \(18\,\text{cm}^2 + 18\,\text{cm}^2 + 8\,\text{cm}^2 = 44\,\text{cm}^2\). 3. **Umfang berechnen:** Der Umfang ist die Summe aller äußeren und inneren Begrenzungslinien: \(10\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 40\,\text{cm}\).

a) Der Flächeninhalt der Schablone beträgt \(44\,\text{cm}^2\). b) Der Umfang der Schablone beträgt \(40\,\text{cm}\).

- Der Umfang ist der gesamte Weg einmal um die Figur herum. Addiere dazu einfach die Längen aller Begrenzungslinien. - Um den Flächeninhalt zu berechnen, kannst du das U-förmige Beet in mehrere kleinere Rechtecke zerlegen. - Finde eine geschickte Zerlegung (zum Beispiel in zwei große äußere Balken und ein kleines Mittelstück oder in einen breiten Bodenbalken und zwei kleine Spitzen) und bestimme deren Maße. - Berechne die Flächen der einzelnen Rechtecke und addiere sie zusammen.

1. Berechnung des Umfangs: - Der Umfang ist die Summe aller Außen- und Innenseiten des U-förmigen Beetes: \(U = 7\,\text{m} + 5\,\text{m} + 2\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 3\,\text{m} + 2\,\text{m} + 5\,\text{m} = 30\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts durch Zerlegung in drei Rechtecke: - Zerlegung in zwei vertikale äußere Rechtecke und ein horizontales Verbindungsstück: - Zwei äußere Rechtecke mit jeweils \(2\,\text{m}\) Breite und \(5\,\text{m}\) Höhe: \(A_1 = A_2 = 2\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 10\,\text{m}^2\). - Ein mittleres Verbindungsstück mit \(3\,\text{m}\) Breite und \(2\,\text{m}\) Höhe: \(A_3 = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 + A_3 = 10\,\text{m}^2 + 10\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\). - Alternativer Lösungsweg durch horizontale Zerlegung: - Ein großes unteres Rechteck mit \(7\,\text{m}\) Breite und \(2\,\text{m}\) Höhe: \(A_{\text{unten}} = 7\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 14\,\text{m}^2\). - Zwei obere Rechtecke mit jeweils \(2\,\text{m}\) Breite und \(3\,\text{m}\) Höhe: \(A_{\text{oben}} = 2 \cdot (2\,\text{m} \cdot 3\,\text{m}) = 12\,\text{m}^2\). - Gesamtflächeninhalt: \(A = 14\,\text{m}^2 + 12\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\).

a) Der Umfang des Beetes beträgt \(30\,\text{m}\). b) Der Flächeninhalt des Beetes beträgt \(26\,\text{m}^2\).

- Welche beiden Rechtecke erkennst du in der Zeichnung? - Die Poolfläche gehört nicht zur zu fliesenden Fläche. - Berechne erst die verbleibende Fläche und verwende danach den Preis pro Quadratmeter.

1. Die gesamte Terrasse hat den Flächeninhalt \(12\,\text{m}\cdot8\,\text{m}=96\,\text{m}^2\). 2. Der Pool hat den Flächeninhalt \(6\,\text{m}\cdot4\,\text{m}=24\,\text{m}^2\). 3. Zu fliesen sind \(96\,\text{m}^2-24\,\text{m}^2=72\,\text{m}^2\). 4. Die Kosten betragen \(72\cdot35\,\text{€}=2520\,\text{€}\).

a) \(72\,\text{m}^2\) b) \(2520\,\text{€}\)

- Suche bei jeder Figur nach Rechtecken und Dreiecken, die du leicht zählen kannst. - Bei einer Figur kann Ergänzen zu einem Rechteck oder Quadrat günstiger sein als Zerlegen. - Vergleiche schräge Teilflächen mit passenden halben Rechtecken.

1. Figur D besteht aus einem Rechteck mit \(5\cdot3=15\,\text{FE}\) und einem Dreieck mit \((5\cdot2):2=5\,\text{FE}\). Insgesamt sind es \(20\,\text{FE}\). 2. Figur E lässt sich zu einem \(4\times4\)-Quadrat ergänzen. Vom Flächeninhalt \(16\,\text{FE}\) wird ein Dreieck mit \((4\cdot2):2=4\,\text{FE}\) abgezogen. Es bleiben \(12\,\text{FE}\). 3. Figur F besteht aus einem Rechteck mit \(2\cdot3=6\,\text{FE}\) und zwei gleich großen halben Einheitsstreifen mit zusammen \(3\,\text{FE}\). Damit hat F \(9\,\text{FE}\).

Figur D: \(20\,\text{FE}\) Figur E: \(12\,\text{FE}\) Figur F: \(9\,\text{FE}\)

- Suche nach waagerechten oder senkrechten Schnitten, die nur Rechtecke entstehen lassen. - Versuche, mit möglichst wenigen Teilflächen auszukommen. - Notiere zu jeder Teilfläche zuerst ihre beiden Seitenlängen und erst danach ihren Flächeninhalt.

1. Figur A lässt sich zum Beispiel in ein Rechteck \(5\times2\) und zwei Quadrate \(2\times2\) zerlegen. 2. Der Flächeninhalt ist \(5\cdot2+2\cdot(2\cdot2)=10+8=18\,\text{FE}\). 3. Figur B lässt sich zum Beispiel in ein Rechteck \(5\times2\) und zwei Rechtecke \(3\times1\) zerlegen. 4. Der Flächeninhalt ist \(5\cdot2+2\cdot(3\cdot1)=10+6=16\,\text{FE}\).

a) Eine mögliche Zerlegung ist \(5\times2\), \(2\times2\), \(2\times2\); Flächeninhalt \(18\,\text{FE}\). b) Eine mögliche Zerlegung ist \(5\times2\), \(3\times1\), \(3\times1\); Flächeninhalt \(16\,\text{FE}\).

- In welche bekannten Rechtecke oder Dreiecke kannst du Figur A zerlegen? - Welche rechteckigen Teilflächen erkennst du in Figur B? - Vergleiche die Summe der Teilflächen beider Figuren.

1. Figur A lässt sich in ein Rechteck der Größe \(4 \times 2\) mit dem Flächeninhalt \(4 \cdot 2 = 8\,\text{FE}\) und ein Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\) zerlegen. Das Dreieck ist die Hälfte eines \(4 \times 2\)-Rechtecks und hat deshalb \(4\,\text{FE}\). Insgesamt sind das \(8\,\text{FE} + 4\,\text{FE} = 12\,\text{FE}\). 2. Figur B besteht aus einem unteren \(4 \times 2\)-Rechteck mit \(8\,\text{FE}\) und zwei oberen \(1 \times 2\)-Rechtecken mit je \(2\,\text{FE}\). Insgesamt ergibt sich \(8\,\text{FE} + 2\,\text{FE} + 2\,\text{FE} = 12\,\text{FE}\). 3. Damit haben beide Figuren denselben Flächeninhalt von \(12\,\text{FE}\).

Beide Figuren haben jeweils den Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\).

- Kannst du eine senkrechte oder waagerechte Linie ziehen, um die Figur in bekanntere Formen aufzuteilen? - Welche Formel hilft dir, den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen? - Manchmal ist es einfacher, ein großes Rechteck zu betrachten und nicht benötigte Ecken abzuziehen. - Addiere am Ende die Flächeninhalte beider Einzelfiguren, um die Gesamtfläche zu erhalten.

1. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur A durch Zerlegung: Eine senkrechte Trennlinie bei \(x = 2\) teilt die Figur in ein rechtes Rechteck der Größe \(2 \times 3\) und ein linkes rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite 2 und der Höhe 3. - Flächeninhalt des Rechtecks: \(2 \cdot 3 = 6\) Flächeneinheiten (FE). - Flächeninhalt des Dreiecks: \(\frac{2 \cdot 3}{2} = 3\) FE. - Gesamtfläche von Figur A: \(6 + 3 = 9\) FE. 2. Bestimmung des Flächeninhalts von Figur B durch Ergänzung: Figur B lässt sich zu einem großen Rechteck der Größe \(4 \times 3\) ergänzen, von dem oben links ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 1 und 2 abgezogen wird. - Flächeninhalt des großen Rechtecks: \(4 \cdot 3 = 12\) FE. - Flächeninhalt des abgezogenen Dreiecks: \(\frac{1 \cdot 2}{2} = 1\) FE. - Gesamtfläche von Figur B: \(12 - 1 = 11\) FE. (Alternativ führt eine Zerlegung in zwei Rechtecke der Größen \(4 \times 1\) und \(3 \times 2\) sowie ein Dreieck der Größe \(\frac{1 \cdot 2}{2}\) ebenfalls zu \(4 + 6 + 1 = 11\) FE). 3. Gesamtfläche beider Figuren berechnen: \(9 + 11 = 20\) FE.

a) Figur A hat einen Flächeninhalt von \(9\) Flächeneinheiten. Figur B hat einen Flächeninhalt von \(11\) Flächeneinheiten. b) Zusammen haben die beiden Figuren einen Flächeninhalt von \(20\) Flächeneinheiten.

- Wenn eine Figur eine unregelmäßige Form hat, hilft es oft, sie in kleinere, bekannte Formen wie Rechtecke oder Dreiecke aufzuteilen. - Schau dir bei der ersten Figur die Spitze und den Schaft getrennt voneinander an. - Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks und wie die eines Dreiecks? - Bei der zweiten Figur kannst du eine Trennlinie auf verschiedene Weisen zeichnen – probiere einmal eine waagerechte und einmal eine senkrechte Linie aus. - Wenn du eine Figur auf unterschiedliche Weisen zerlegst, sollte sich der Gesamtflächeninhalt dann verändern oder gleich bleiben?

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts von Figur A (Pfeil) durch Zerlegung in einen rechteckigen Schaft (Breite \(2\), Höhe \(3\)) mit der Fläche \(2 \cdot 3 = 6\) und eine dreieckige Spitze (Grundseite \(6\), Höhe \(3\)) mit der Fläche \(\frac{6 \cdot 3}{2} = 9\). Gesamte Fläche: \(6 + 9 = 15\) Einheitsquadrate. 2. Erste Zerlegung von Figur B (Stiefel) durch einen vertikalen Schnitt in ein linkes Rechteck (\(2 \times 5\), Fläche \(10\)) und ein rechtes Quadrat (\(2 \times 2\), Fläche \(4\)). Gesamte Fläche: \(10 + 4 = 14\) Einheitsquadrate. 3. Zweite Zerlegung von Figur B durch einen horizontalen Schnitt in ein unteres Rechteck (\(4 \times 2\), Fläche \(8\)) und ein oberes Rechteck (\(2 \times 3\), Fläche \(6\)). Gesamte Fläche: \(8 + 6 = 14\) Einheitsquadrate. 4. Vergleich der beiden Zerlegungen von Figur B zeigt, dass beide Ansätze denselben Gesamtflächeninhalt von \(14\) Einheitsquadraten liefern.

a) Der Flächeninhalt des Pfeils beträgt \(15\) Einheitsquadrate (Rechteck: \(6\), Dreieck: \(9\)). b) Beide Zerlegungen des Stiefels führen zu einem Gesamtflächeninhalt von \(14\) Einheitsquadraten (Zerlegung 1: \(10 + 4 = 14\); Zerlegung 2: \(8 + 6 = 14\)).

- Versuche, die beiden Figuren jeweils in kleinere, einfachere Teilflächen zu unterteilen. - Welche Grundformen wie Rechtecke oder rechtwinklige Dreiecke helfen dir dabei, den Inhalt Schritt für Schritt zu berechnen? - Denke daran, dass du schräge Seiten oft als Grenzen von Dreiecken betrachten kannst. - Wenn du die Teilflächen berechnet hast, wie kommst du dann zum gesamten Flächeninhalt einer Figur? - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse direkt miteinander.

1. Figur a) lässt sich in ein mittleres Rechteck mit Breite \(3\) und Höhe \(2\) sowie zwei äußere rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) zerlegen. 2. Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \((3 \cdot 2) + 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2\right) = 6 + 2 = 8\,\text{FE}\). 3. Figur b) wird durch die senkrechte Symmetrieachse in zwei rechtwinklige Dreiecke mit Grundseite \(2\) und Höhe \(4\) zerlegt. 4. Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4\right) = 8\,\text{FE}\). 5. Beide Figuren haben trotz ihrer unterschiedlichen Form denselben Flächeninhalt von \(8\,\text{FE}\).

1. Der Flächeninhalt von Figur a) beträgt \(8\,\text{FE}\). 2. Der Flächeninhalt von Figur b) beträgt \(8\,\text{FE}\). 3. Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt von \(8\,\text{FE}\).

- Wo könntest du eine Linie ziehen, um die Figur in zwei Rechtecke zu teilen? - Bestimme die Länge und Breite der Teilrechtecke durch Abzählen der Abstände zwischen den Stiften. - Für den zweiten Teil der Aufgabe: Welche zwei Zahlen ergeben multipliziert das Ergebnis aus Teil a?

1. Zerlegung der Figur: Die Figur besteht aus einem senkrechten „Stamm“ und einem waagerechten „Balken“ oben. 2. Fläche des Stamms: Das untere Rechteck geht von \(x=2\) bis \(x=4\) und von \(y=0\) bis \(y=4\). Breite \(2\), Höhe \(4\). Fläche: \(2 \cdot 4 = 8\) Einheitsquadrate. 3. Fläche des Balkens: Das obere Rechteck geht von \(x=0\) bis \(x=8\) und von \(y=4\) bis \(y=6\). Breite \(8\), Höhe \(2\). Fläche: \(8 \cdot 2 = 16\) Einheitsquadrate. 4. Gesamtflächeninhalt: \(8 + 16 = 24\) Einheitsquadrate. 5. Mögliche Rechtecke mit Fläche \(24\): Geeignete Seitenlängen sind zum Beispiel \(3 \times 8\), \(4 \times 6\) oder \(2 \times 12\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\) Einheitsquadrate. b) Mögliche Seitenlängen für ein flächengleiches Rechteck sind zum Beispiel \(4\) und \(6\) oder \(3\) und \(8\).

- Zerlege die Figuren in einfachere Formen wie Rechtecke oder Dreiecke. - Ein Dreieck, das genau in ein Rechteck passt, ist halb so groß wie dieses Rechteck. - Zähle die Kästchenseiten entlang der Gitterlinien, um die Längen für deine Rechnung zu finden.

1. Figur a) besteht aus einem unteren Rechteck mit \(4 \cdot 2 = 8\) Einheitsquadraten und einem oberen Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\). Das Dreieck hat den Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\) Einheitsquadrate. Insgesamt gilt: \(8 + 4 = 12\) Einheitsquadrate. 2. Figur b) lässt sich in ein unteres Rechteck der Größe \(5 \times 3\), ein oberes Rechteck der Größe \(2 \times 2\) und ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(2\) zerlegen. Die Teilflächen betragen \(15\), \(4\) und \(1\) Einheitsquadrat. Insgesamt gilt: \(15 + 4 + 1 = 20\) Einheitsquadrate. 3. Figur b) ist größer. Der Unterschied beträgt \(20 - 12 = 8\) Einheitsquadrate.

a) Figur a) hat einen Flächeninhalt von \(12\) Einheitsquadraten, Figur b) von \(20\) Einheitsquadraten. b) Figur b) ist um \(8\) Einheitsquadrate größer als Figur a).

- Du kannst Figur 1 in drei stehende oder liegende Rechtecke unterteilen, um die Fläche leichter zu berechnen. - Gehe beim Umfang mit dem Finger einmal ganz um die Figur herum und zähle jeden Gitterabstand, auch die im „Inneren“ der U-Form. - Vergleiche die „Kompaktheit“ der beiden Formen. Welche Form hat mehr „Ecken“ und „Einbuchtungen“?

1. Zerlegung von Figur 1 (U-Form) in drei Rechtecke: - Zwei vertikale Balken (je \(1 \times 4\)) und ein verbindendes Bodenstück (\(2 \times 1\)). - Flächeninhalt: \((1 \cdot 4) + (1 \cdot 4) + (2 \cdot 1) = 4 + 4 + 2 = 10\) Einheitsquadrate. 2. Flächeninhalt von Figur 2 (Rechteck): - \(5 \cdot 2 = 10\) Einheitsquadrate. 3. Umfangsberechnung: - Figur 1: \(4 (\text{links}) + 4 (\text{unten}) + 4 (\text{rechts}) + 1 (\text{oben rechts}) + 3 (\text{innen rechts}) + 2 (\text{innen unten}) + 3 (\text{innen links}) + 1 (\text{oben links}) = 22\) Längeneinheiten. - Figur 2: \(2 \cdot (5 + 2) = 14\) Längeneinheiten. 4. Erklärung: Figur 1 ist „zerklüftet“ bzw. hat einen Innenrand. Dadurch entstehen zusätzliche Grenzlinien, die zum Umfang zählen, ohne die Fläche zu vergrößern.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(10\) Einheitsquadrate. Die Figur kann zum Beispiel in zwei \(1 \times 4\)-Rechtecke und ein \(2 \times 1\)-Rechteck zerlegt werden. b) Figur 1 hat einen Umfang von \(22\) Längeneinheiten, Figur 2 von \(14\) Längeneinheiten. c) Figur 1 hat durch ihre Einbuchtung zusätzliche Randstrecken. Das kompakte Rechteck hat deshalb bei gleichem Flächeninhalt einen kleineren Umfang.

- Bestimme den Flächeninhalt jeder Figur anhand ihrer Teilrechtecke. - Beim Umfang zählen nur die Strecken am äußeren Rand der jeweiligen Figur. - Kann derselbe Flächeninhalt bei unterschiedlich angeordneten Teilflächen zu verschieden langen Außenrändern führen?

1. Figur 1 ist ein Rechteck mit den Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). Ihr Flächeninhalt beträgt \(4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} = 8\,\text{cm}^2\). 2. Der Umfang von Figur 1 beträgt \(2 \cdot (4\,\text{cm} + 2\,\text{cm}) = 12\,\text{cm}\). 3. Figur 2 lässt sich in ein \(5\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)-Rechteck und ein \(3\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)-Rechteck zerlegen. Ihr Flächeninhalt beträgt \(5\,\text{cm}^2 + 3\,\text{cm}^2 = 8\,\text{cm}^2\). 4. Die äußeren Seitenlängen von Figur 2 sind \(5\,\text{cm}\), \(1\,\text{cm}\), \(2\,\text{cm}\), \(1\,\text{cm}\), \(3\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). Ihr Umfang beträgt daher \(14\,\text{cm}\). 5. Beide Figuren haben denselben Flächeninhalt, aber unterschiedliche Umfänge. Leos Behauptung ist falsch.

Figur 1: Flächeninhalt \(8\,\text{cm}^2\), Umfang \(12\,\text{cm}\). Figur 2: Flächeninhalt \(8\,\text{cm}^2\), Umfang \(14\,\text{cm}\). Leo hat nicht recht.

- Welches einfache Rechteck umschließt die ganze Figur? - Welche kleinen Formen fehlen oben gegenüber diesem Rechteck? - Alternativ: In welche bekannten Teilflächen lässt sich die Figur zerlegen?

1. Bei der Ergänzungsmethode liegt die Figur in einem Rechteck der Größe \(4 \times 3\). Dieses Rechteck hat den Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\). 2. Oben fehlen zwei rechtwinklige Dreiecke. Jedes ist die Hälfte eines \(2 \times 1\)-Rechtecks und hat daher den Flächeninhalt \(1\,\text{FE}\). 3. Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(12\,\text{FE} - 1\,\text{FE} - 1\,\text{FE} = 10\,\text{FE}\). 4. Auch durch Zerlegung erhält man unten ein \(4 \times 2\)-Rechteck mit \(8\,\text{FE}\) und zwei Dreiecke mit je \(1\,\text{FE}\), also insgesamt \(10\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{FE}\).

- Welche drei Rechtecke kannst du in der Figur erkennen? - Vergiss beim Umfang nicht die Kanten im Inneren der U-Form. - Überprüfe deine Zerlegung, indem du die gesamte Fläche mit dem umschließenden Rechteck vergleichst.

1. Zerlegung der Figur in drei Rechtecke: zwei senkrechte Rechtecke der Größe \(1 \times 3\) und ein waagerechtes Rechteck der Größe \(4 \times 1\) am Boden (zwischen \(x=1\) und \(x=5\)). 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(2 \cdot (1 \cdot 3) + 4 \cdot 1 = 6 + 4 = 10\,\text{FE}\). 3. Berechnung des Umfangs durch Addition aller Teilstrecken: \(6 + 3 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 3 = 22\,\text{LE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(10\,\text{FE}\) und der Umfang beträgt \(22\,\text{LE}\).

- Teile die Figur in ein großes Rechteck und ein Dreieck auf, um den Inhalt leichter zu bestimmen. - Berechne erst den Inhalt des Rechtecks und dann den des Dreiecks und addiere beide Ergebnisse. - Vergleiche dein Ergebnis mit der Zielgröße von \(15\) Einheitsquadraten.

1. Zerlegung der Figur: Der untere Teil ist ein Rechteck mit einer Breite von \(5\) und einer Höhe von \(2\), also \(5 \cdot 2 = 10\) Einheitsquadrate. Der obere Teil ist ein Dreieck mit einer Grundseite von \(5\) und einer Höhe von \(1\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(0{,}5 \cdot 5 \cdot 1 = 2{,}5\) Einheitsquadrate. 2. Gesamtinhalt der Figur: Addiere beide Teilflächen: \(10 + 2{,}5 = 12{,}5\) Einheitsquadrate. 3. Berechnung der Differenz: Um auf \(15\) Einheitsquadrate zu kommen, fehlen noch \(15 - 12{,}5 = 2{,}5\) Einheitsquadrate.

1. Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(12{,}5\) Einheitsquadrate. 2. Es müssen noch \(2{,}5\) Einheitsquadrate hinzugefügt werden.

- Bestimme Umfang und Fläche zuerst in Gittereinheiten. - Wie lang ist ein einzelner Randabschnitt in Dezimetern? - Wie groß ist ein Gitterquadrat in Quadratdezimetern?

1. Der Rand besteht aus \(12\) Gitterabschnitten, die Figur aus \(5\) Einheitsquadraten. 2. Der Umfang ist \(12\cdot3\,\text{dm}=36\,\text{dm}\). 3. Ein Einheitsquadrat hat die Fläche \(3\,\text{dm}\cdot3\,\text{dm}=9\,\text{dm}^2\). 4. Die Gesamtfläche beträgt \(5\cdot9\,\text{dm}^2=45\,\text{dm}^2\).

Der Umfang beträgt \(36\,\text{dm}\), der Flächeninhalt \(45\,\text{dm}^2\).

- Ziehe gedanklich senkrechte Linien durch die Endpunkte der oberen Seite. - Welche Rechtecke und rechtwinkligen Dreiecke entstehen? - Addiere die Flächeninhalte der Teilflächen.

1. Zerlege die Figur in ein mittleres Rechteck mit Breite \(2\,\text{cm}\) und Höhe \(4\,\text{cm}\), ein linkes rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\,\text{cm}\) und Höhe \(4\,\text{cm}\) sowie ein rechtes rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{cm}\) und Höhe \(4\,\text{cm}\). 2. Die Teilflächen betragen \(2 \cdot 4 = 8\,\text{cm}^2\), \(\frac{1 \cdot 4}{2} = 2\,\text{cm}^2\) und \(\frac{2 \cdot 4}{2} = 4\,\text{cm}^2\). 3. Insgesamt gilt: \(8 + 2 + 4 = 14\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(14\,\text{cm}^2\).

- Zerlege die Figur durch eine senkrechte Linie in ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck. - Bestimme die Maße beider Teilflächen. - Addiere die beiden Flächeninhalte.

1. Zerlege die Figur in ein Rechteck mit Breite \(4\,\text{cm}\) und Höhe \(3\,\text{cm}\) sowie ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1\,\text{cm}\) und Höhe \(3\,\text{cm}\). 2. Das Rechteck hat den Flächeninhalt \(4 \cdot 3 = 12\,\text{cm}^2\). 3. Das Dreieck hat den Flächeninhalt \(\frac{1 \cdot 3}{2} = 1{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(12 + 1{,}5 = 13{,}5\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(13{,}5\,\text{cm}^2\).

- Wie lang sind Grundseite und senkrechte Höhe in Gitterabständen? - Welcher dreieckige Teil steht links über? - Wo passt genau dieser Teil auf der rechten Seite hin?

1. Die Grundseite ist \(4\,\text{cm}\) lang, die senkrechte Höhe \(3\,\text{cm}\). 2. Schneidet man den links überstehenden dreieckigen Teil entlang einer senkrechten Gitterlinie ab und setzt ihn rechts an, entsteht ein Rechteck. 3. Dieses Rechteck ist \(4\,\text{cm}\) breit und \(3\,\text{cm}\) hoch. Sein Flächeninhalt und damit der des Parallelogramms beträgt \(4\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}=12\,\text{cm}^2\).

a) \(12\,\text{cm}^2\) b) Das linke Dreieck wird rechts angesetzt. Es entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\).

- Sieht die Figur aus wie ein großes Quadrat, aus dem ein Teil herausgeschnitten wurde? - Du kannst die Figur auch waagerecht in der Mitte teilen. Welche Formen entstehen dann? - Zähle zuerst alle ganzen Kästchen im unteren Teil.

1. Methode Ergänzung: Die Figur liegt innerhalb eines Quadrats der Größe \(4\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\) (Fläche \(16\,\text{cm}^2\)). 2. Abzuziehende Fläche: Oben in der Mitte fehlt ein Dreieck mit der Grundseite \(4\,\text{cm}\) und der Höhe \(2\,\text{cm}\). 3. Berechnung Fehlfläche: \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{cm}^2\). 4. Gesamtergebnis: \(A = 16\,\text{cm}^2 - 4\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\). 5. Alternativ durch Zerlegung: Ein unteres Rechteck (\(4 \times 2\)) ergibt \(8\,\text{cm}^2\). Zwei seitliche Dreiecke oben (jeweils \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\,\text{cm}^2\)) ergeben zusammen \(4\,\text{cm}^2\). Summe: \(8 + 4 = 12\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der Figur beträgt \(12\,\text{cm}^2\).

- Kannst du das Trapez in ein Rechteck und zwei Dreiecke zerlegen? - Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Teile und addiere sie. - Wie breit und wie hoch sind die einzelnen Teilfiguren?

1. Zerlegung des Trapezes in ein zentrales Rechteck und zwei rechtwinklige Dreiecke an den Seiten. 2. Das Rechteck hat eine Breite von \(3\) und eine Höhe von \(3\), also einen Flächeninhalt von \(9\,\text{FE}\). 3. Das linke Dreieck hat eine Grundseite von \(1\) und eine Höhe von \(3\). Sein Flächeninhalt ist \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1{,}5\,\text{FE}\). 4. Das rechte Dreieck hat ebenfalls eine Grundseite von \(1\) und eine Höhe von \(3\), also auch \(1{,}5\,\text{FE}\). 5. Gesamter Flächeninhalt: \(9 + 1{,}5 + 1{,}5 = 12\,\text{FE}\).

\(12\,\text{FE}\)

- Berechne zuerst den Flächeninhalt von Fläche A. - Zerlege Fläche B in zwei einfache Rechtecke. - Vergleiche die beiden Flächeninhalte am Ende.

1. Flächeninhalt von A berechnen: \(8\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 48\,\text{m}^2\). 2. Flächeninhalt von B durch Zerlegung berechnen: Das untere Rechteck hat \(10\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 40\,\text{m}^2\), das obere Rechteck \(4\,\text{m} \cdot 3\,\text{m} = 12\,\text{m}^2\). Zusammen sind das \(52\,\text{m}^2\). 3. Vergleich: \(52\,\text{m}^2 > 48\,\text{m}^2\).

Fläche B ist mit \(52\,\text{m}^2\) größer als Fläche A mit \(48\,\text{m}^2\) und benötigt daher mehr Rasensamen.

- Überlege dir, wie du die Figur in einfache Formen wie Rechtecke zerteilen kannst. - Wie berechnet man die Breite der mittleren und rechten Stufe aus der Gesamtbreite? - Addiere alle Teilflächen für das Endergebnis.

1. Zerlegung in drei Rechtecke: - Linker Bereich: \(5\,\text{m}\) breit, \(8\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_L = 5 \cdot 8 = 40\,\text{m}^2\). - Mittlerer Bereich: \(9\,\text{m} - 5\,\text{m} = 4\,\text{m}\) breit, \(4\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_M = 4 \cdot 4 = 16\,\text{m}^2\). - Rechter Bereich: \(12\,\text{m} - 9\,\text{m} = 3\,\text{m}\) breit, \(2\,\text{m}\) hoch \(\rightarrow A_R = 3 \cdot 2 = 6\,\text{m}^2\). 2. Gesamtfläche: \(40\,\text{m}^2 + 16\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 62\,\text{m}^2\).

Die gesamte Lagerfläche beträgt \(62\,\text{m}^2\).

- Rechne die Längen zunächst in Dezimeter um. - Bestimme die Fläche der ganzen Platte und die Fläche der Aussparung getrennt. - Welche Fläche bleibt nach dem Abziehen übrig?

1. In Dezimetern misst die äußere Platte \(25\,\text{dm}\times18\,\text{dm}\). Ihre Fläche ist \(25\cdot18=450\,\text{dm}^2\). 2. Die quadratische Aussparung hat die Seitenlänge \(4\,\text{dm}\). Ihre Fläche ist \(4\cdot4=16\,\text{dm}^2\). 3. Die Betonoberfläche hat damit \(450\,\text{dm}^2-16\,\text{dm}^2=434\,\text{dm}^2\). 4. \(434\,\text{dm}^2=4{,}34\,\text{m}^2\).

Der Flächeninhalt der Betonoberfläche beträgt \(4{,}34\,\text{m}^2\).

- Wo kannst du die T-Form durch eine waagerechte Linie in zwei Rechtecke zerlegen? - Welche Seitenlängen der beiden Rechtecke sind in der Zeichnung markiert? - Wie erhältst du aus den beiden Teilflächen den Gesamtflächeninhalt?

1. Das untere Rechteck ist \(12\,\text{m}\) breit und \(5\,\text{m}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 60\,\text{m}^2\). 2. Das obere Rechteck ist laut Abbildung \(4\,\text{m}\) breit und \(7\,\text{m}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(4\,\text{m} \cdot 7\,\text{m} = 28\,\text{m}^2\). 3. Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(60\,\text{m}^2 + 28\,\text{m}^2 = 88\,\text{m}^2\).

a) Die beiden Teilflächen sind \(60\,\text{m}^2\) und \(28\,\text{m}^2\) groß. b) Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(88\,\text{m}^2\).

- Kannst du die Figur so in zwei Rechtecke teilen, dass du für beide alle Seitenlängen kennst? - Berechne die Flächeninhalte der beiden Rechtecke einzeln und addiere sie dann. - Achte darauf, dass du keine Teilfläche doppelt zählst oder vergisst.

1. Zerlegung der Fläche in zwei Teilrechtecke: Ein großes Rechteck mit \(5\,\text{m} \cdot 4\,\text{m}\) und ein kleineres, angesetztes Rechteck mit \(3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m}\). 2. Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = 5\,\text{m} \cdot 4\,\text{m} = 20\,\text{m}^2\) und \(A_2 = 3\,\text{m} \cdot 2\,\text{m} = 6\,\text{m}^2\). 3. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{ges} = 20\,\text{m}^2 + 6\,\text{m}^2 = 26\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Reinigungskosten: \(26\,\text{m}^2 \cdot 4{,}50\,\text{€}/\text{m}^2 = 117{,}00\,\text{€}\).

Die Reinigung des Bodens kostet insgesamt \(117{,}00\,\text{€}\).

- Berechne zuerst den Flächeninhalt des großen Rechtecks und ziehe das fehlende Stück ab. - Zähle für den Umfang alle sichtbaren Außenkanten zusammen. - Überlege: Hat sich der Umfang durch das Aussägen der Ecke im Vergleich zum vollen Rechteck verändert?

1. Berechnung des Flächeninhalts: Die ursprüngliche Platte war \(10\,\text{cm} \times 8\,\text{cm}\) groß (\(A_{gesamt} = 80\,\text{cm}^2\)). Das ausgesägte Stück ist \(3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\) groß (\(A_{ausgesägt} = 9\,\text{cm}^2\)). Der Rest ist \(80\,\text{cm}^2 - 9\,\text{cm}^2 = 71\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung des Umfangs: \(U = 10\,\text{cm} + 5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 3\,\text{cm} + 7\,\text{cm} + 8\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\). Hinweis: Der Umfang eines Rechtecks mit einer ausgesägten Ecke entspricht dem Umfang des ursprünglichen vollständigen Rechtecks (\(2 \cdot (10 + 8) = 36\)).

Der Umfang der Holzplatte beträgt \(36\,\text{cm}\) und der Flächeninhalt beträgt \(71\,\text{cm}^2\).

- Stell dir vor, die Platte wäre noch ganz. Wie groß wäre die Fläche dann? - Was passiert mit dem Umfang, wenn eine Kerbe hineingeschnitten wird? Wird er länger oder kürzer? - Zähle alle acht Kanten der Figur einzeln zusammen.

1. Flächeninhalt: Vom ursprünglichen Rechteck (\(20\,\text{cm} \times 12\,\text{cm}\)) wird das Rechteck der Kerbe (\(6\,\text{cm} \times 4\,\text{cm}\)) abgezogen. \(A = 20\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} - 6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 240\,\text{cm}^2 - 24\,\text{cm}^2 = 216\,\text{cm}^2\). 2. Umfang: Die Außenlinie besteht aus den ursprünglichen Kanten und den Innenkanten der Kerbe. \(U = 20 + 4 + 6 + 4 + 6 + 4 + 20 + 12 = 76\,\text{cm}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(216\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(76\,\text{cm}\).

- Gehe gedanklich einmal um die Figur herum und addiere alle Teilstrecken. - Wie lang sind die Kanten, bei denen keine Zahl steht? Nutze die gegenüberliegenden Seiten zur Hilfe.

1. Der Umfang ist die Summe aller Außenkanten. 2. Gegebene Kanten: unten \(10\,\text{m}\), rechts \(5\,\text{m}\), oben links \(4\,\text{m}\), links außen \(8\,\text{m}\). 3. Fehlende horizontale Kante: \(10\,\text{m} - 4\,\text{m} = 6\,\text{m}\). 4. Fehlende vertikale Kante: \(8\,\text{m} - 5\,\text{m} = 3\,\text{m}\). 5. Summe: \(10 + 5 + 6 + 3 + 4 + 8 = 36\,\text{m}\).

Der Umfang der Figur beträgt \(36\,\text{m}\).

- Hilft es dir, die Figur als ein großes Rechteck zu betrachten, aus dem ein kleineres Stück herausgeschnitten wurde? - Wie berechnet man den Umfang einer Figur mit Ecken, die nach innen gehen?

1. Berechnung des Flächeninhalts durch Ergänzen zum großen Rechteck: - Äußeres Rechteck: \(8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\) - Aussparung (Lücke): \(4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2\) - Gesamtfläche: \(48\,\text{cm}^2 - 16\,\text{cm}^2 = 32\,\text{cm}^2\) 2. Berechnung des Umfangs: - \(U = 8\,\text{cm} + 6\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 6\,\text{cm} = 36\,\text{cm}\)

Der Flächeninhalt beträgt \(32\,\text{cm}^2\) und der Umfang beträgt \(36\,\text{cm}\).

- Kannst du die Figur mit einem geraden Schnitt in zwei einfache Rechtecke teilen? - Es gibt zwei Möglichkeiten für die Zerlegung. Probiere eine davon aus. - Berechne die Flächeninhalte der beiden entstandenen Rechtecke einzeln und addiere sie.

1. Zerlegung der Figur in zwei Teilrechtecke. Möglichkeit A (horizontal): Ein unteres Rechteck (\(10\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 40\,\text{cm}^2\)) und ein oberes Rechteck (\(4\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^2\)). Möglichkeit B (vertikal): Ein linkes Rechteck (\(4\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2\)) und ein rechtes Rechteck (\(6\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2\)). 2. Addition der Teilflächen: \(40 + 32 = 72\,\text{cm}^2\) bzw. \(48 + 24 = 72\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(72\,\text{cm}^2\).

- Nutze die angegebenen Maße und bestimme fehlende Seitenlängen aus der Zeichnung. - Für den Umfang musst du die gesamte äußere Begrenzung berücksichtigen. - Prüfe, ob gleicher Flächeninhalt automatisch gleichen Umfang bedeutet.

1. Figur 1 ist ein Rechteck mit den Seitenlängen \(4\,\text{cm}\) und \(3\,\text{cm}\). Ihr Flächeninhalt ist \(4\,\text{cm} \cdot 3\,\text{cm} = 12\,\text{cm}^2\). 2. Figur 2 kann als \(4 \times 4\)-Quadrat betrachtet werden, aus dem ein \(2 \times 2\)-Quadrat entfernt wurde. Ihr Flächeninhalt ist \(16\,\text{cm}^2 - 4\,\text{cm}^2 = 12\,\text{cm}^2\). 3. Beide Figuren haben damit denselben Flächeninhalt. 4. Für Figur 1 gilt \(U_1 = 2(4\,\text{cm} + 3\,\text{cm}) = 14\,\text{cm}\). 5. Für Figur 2 ergibt die Summe der Außenkanten \(4\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 2\,\text{cm} + 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\). 6. Figur 2 hat den größeren Umfang.

a) Beide Figuren haben einen Flächeninhalt von \(12\,\text{cm}^2\). b) Figur 1 hat den Umfang \(14\,\text{cm}\), Figur 2 den Umfang \(16\,\text{cm}\). Figur 2 hat den größeren Umfang.

- Überlege dir, wie viele der kleinen Eckdreiecke in das große Quadrat passen würden. - Kannst du die Fläche der vier gleich großen Eckdreiecke bestimmen? - Vergleiche anschließend die Gesamtfläche der Eckdreiecke mit der Fläche des großen Quadrats.

1. Das ursprüngliche Quadrat hat die Seitenlänge \(10\,\text{cm}\). 2. Die Verbindung der Mittelpunkte erzeugt vier rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke in den Ecken mit Kathetenlänge \(5\,\text{cm}\). 3. Die Fläche eines solchen Dreiecks ist \(\frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 12{,}5\,\text{cm}^2\). 4. Die Gesamtfläche der vier Dreiecke ist \(4 \cdot 12{,}5\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\). 5. Die Fläche des inneren Quadrats ist die Differenz: \(100\,\text{cm}^2 - 50\,\text{cm}^2 = 50\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(50\,\text{cm}^2\).

- Betrachte Länge und Breite des inneren Rechtecks getrennt. - Welche Randbreite fällt jeweils an beiden gegenüberliegenden Seiten weg? - Berechne äußere und innere Fläche und bilde ihre Differenz.

1. Das äußere Rechteck hat die Fläche \(12\,\text{m}\cdot9\,\text{m}=108\,\text{m}^2\). 2. Innen bleiben in der Länge \(12\,\text{m}-2\cdot2\,\text{m}=8\,\text{m}\). 3. Innen bleiben in der Breite \(9\,\text{m}-2\cdot1\,\text{m}=7\,\text{m}\). 4. Die Innenfläche beträgt \(8\,\text{m}\cdot7\,\text{m}=56\,\text{m}^2\). 5. Die Rahmenfläche ist \(108\,\text{m}^2-56\,\text{m}^2=52\,\text{m}^2\).

Die Rahmenfläche beträgt \(52\,\text{m}^2\).

- Welche Seitenlänge eines Quadrats gehört zum gegebenen Flächeninhalt? - Wie verändert ein innen liegender Rand die Seitenlänge der verbleibenden quadratischen Fläche? - Wie kannst du aus Gesamtfläche und Innenfläche die Heckenfläche bestimmen? - Welche Größe muss mit dem Ertragsverlust pro Quadratmeter verknüpft werden?

1. Aus \(a \cdot a = 2500\,\text{m}^2\) folgt \(a = 50\,\text{m}\). 2. Der Rand ist auf beiden Seiten jeder Richtung je \(2\,\text{m}\) breit. Die innere Seitenlänge beträgt daher \(50\,\text{m} - 4\,\text{m} = 46\,\text{m}\). 3. Die verbleibende Wiesenfläche beträgt \(46\,\text{m} \cdot 46\,\text{m} = 2116\,\text{m}^2\). 4. Die Heckenfläche beträgt \(2500\,\text{m}^2 - 2116\,\text{m}^2 = 384\,\text{m}^2\). 5. Der finanzielle Verlust beträgt \(384 \cdot 0{,}20\,\text{€} = 76{,}80\,\text{€}\).

a) Die Seitenlänge beträgt \(50\,\text{m}\). b) Es bleiben \(2116\,\text{m}^2\) als Wiese übrig. c) Der finanzielle Verlust beträgt \(76{,}80\,\text{€}\).

- Wandle zuerst alle Flächenangaben in Quadratmeter um. - Wie findet man die Breite eines Rechtecks heraus, wenn man die Länge und den Flächeninhalt kennt? - Überlege dir für beide Felder einzeln, wie groß die Fläche ist, die nach Abzug des Randes im Inneren übrig bleibt. - Warum könnte ein langes, schmales Feld mehr Rand haben als ein kompaktes Quadrat?

1. Umrechnung der Fläche: \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\). 2. Maße von Feld A (Quadrat): Da \(100\,\text{m} \cdot 100\,\text{m} = 10\,000\,\text{m}^2\), beträgt die Seitenlänge \(100\,\text{m}\). Innere Fläche: \((100 - 2) \cdot (100 - 2) = 98 \cdot 98 = 9604\,\text{m}^2\). Randfläche A: \(10\,000 - 9604 = 396\,\text{m}^2\). 3. Maße von Feld B (Rechteck): Breite \(b = 10\,000 : 250 = 40\,\text{m}\). Innere Fläche: \((250 - 2) \cdot (40 - 2) = 248 \cdot 38 = 9424\,\text{m}^2\). Randfläche B: \(10\,000 - 9424 = 576\,\text{m}^2\). 4. Vergleich: Feld B verliert mehr Fläche (\(576\,\text{m}^2 > 396\,\text{m}^2\)).

a) Feld B ist \(40\,\text{m}\) breit. b) Der Randstreifen von Feld A ist \(396\,\text{m}^2\) groß, der von Feld B ist \(576\,\text{m}^2\) groß. Feld B verliert somit mehr Nutzfläche.

- Welche Fläche gehört zum gefliesten Rand und welche zum Becken selbst? - Achte darauf, dass der Rand an jeder Seite des Beckens liegt. - Welche Größe verbindet die Randfläche mit der benötigten Fliesenmasse? - Sind Gesamtmasse und Ladekapazität bereits in derselben Einheit angegeben?

1. Die Außenmaße der gefliesten Fläche sind \(10\,\text{m} + 2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 13\,\text{m}\) und \(5\,\text{m} + 2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 8\,\text{m}\). 2. Die gesamte Außenfläche beträgt \(13\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 104\,\text{m}^2\). 3. Das Schwimmbecken hat den Flächeninhalt \(10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 50\,\text{m}^2\). 4. Damit beträgt die Randfläche \(104\,\text{m}^2 - 50\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 5. Die Fliesen für den Rand haben die Gesamtmasse \(54\,\text{m}^2 \cdot 25\,\text{kg}/\text{m}^2 = 1350\,\text{kg}\). 6. Die Ladekapazität beträgt \(1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}\). Da \(1350\,\text{kg} > 1000\,\text{kg}\), reicht eine Fahrt nicht aus.

Die Fliesen haben eine Gesamtmasse von \(1350\,\text{kg}\). Eine Fahrt reicht nicht aus.

- Welche Rechtecke und rechtwinkligen Dreiecke kannst du innerhalb der Figur erkennen? - Wie kannst du den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks als Hälfte eines passenden Rechtecks bestimmen? - Welches einfache Rechteck umschließt die ganze Figur bei der Ergänzungsmethode? - Vergleiche, welche Teilflächen du bei den beiden Methoden addierst beziehungsweise abziehst.

1. Bei einer Zerlegung entsteht ein mittleres Rechteck mit \(3\,\text{cm} \times 3\,\text{cm}\), also \(9\,\text{cm}^2\). 2. Die beiden oberen rechtwinkligen Dreiecke sind jeweils die Hälfte eines \(2\,\text{cm} \times 2\,\text{cm}\)-Rechtecks und haben daher jeweils \(2\,\text{cm}^2\). 3. Die beiden unteren rechtwinkligen Dreiecke sind jeweils die Hälfte eines \(2\,\text{cm} \times 1\,\text{cm}\)-Rechtecks und haben daher jeweils \(1\,\text{cm}^2\). 4. Damit beträgt der Flächeninhalt \(9\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 2\,\text{cm}^2 + 2 \cdot 1\,\text{cm}^2 = 15\,\text{cm}^2\). 5. Das umschreibende Rechteck ist \(7\,\text{cm}\) breit und \(3\,\text{cm}\) hoch. Sein Flächeninhalt beträgt \(21\,\text{cm}^2\). 6. Außerhalb der Figur liegen dieselben vier Dreiecke mit zusammen \(6\,\text{cm}^2\). Deshalb ergibt die Ergänzungsmethode \(21\,\text{cm}^2 - 6\,\text{cm}^2 = 15\,\text{cm}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(15\,\text{cm}^2\). b) Auch mit der Ergänzungsmethode erhält man \(15\,\text{cm}^2\).

- Welche Grundseite und Höhe kannst du für jedes der beiden Dreiecke am Gitter abzählen? - Ein solches Dreieck lässt sich als Hälfte eines passenden Rechtecks auffassen. - Wie wird die Anzahl der Gitterkästchen in Quadrat­zentimeter übertragen?

1. Das untere Dreieck hat in Gittereinheiten die Grundseite \(12\) und die Höhe \(3\). Sein Flächeninhalt entspricht der Hälfte eines \(12 \times 3\)-Rechtecks, also \(18\) Gitterkästchen. 2. Das obere linke Dreieck hat die Grundseite \(6\) und die Höhe \(3\). Sein Flächeninhalt entspricht der Hälfte eines \(6 \times 3\)-Rechtecks, also \(9\) Gitterkästchen. 3. Zusammen sind das \(18 + 9 = 27\) Gitterkästchen. 4. Da ein Gitterkästchen \(2\,\text{cm}^2\) entspricht, beträgt die markierte Fläche \(27 \cdot 2\,\text{cm}^2 = 54\,\text{cm}^2\).

Der Flächeninhalt der beiden markierten Dreiecke zusammen beträgt \(54\,\text{cm}^2\).