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- Bestimme zuerst für jede Woche die gesamte Fahrzeit. - Verwende für jede unbekannte Durchschnittsgeschwindigkeit eine eigene Variable. - Vergleiche die beiden Geschwindigkeiten erst nach dem Lösen der Gleichungen.

1. In Woche 1 beträgt die Fahrzeit insgesamt \(4\cdot8=32\,\text{h}\). Daher gilt \(32v_1=960\). 2. Daraus folgt \(v_1=30\,\text{km/h}\). 3. In Woche 2 beträgt die Fahrzeit insgesamt \(5\cdot6=30\,\text{h}\). Daher gilt \(30v_2=990\). 4. Daraus folgt \(v_2=33\,\text{km/h}\). 5. Somit war die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit in Woche 2 höher.

Woche 1: \(32v_1=960\), also \(v_1=30\,\text{km/h}\). Woche 2: \(30v_2=990\), also \(v_2=33\,\text{km/h}\). In Woche 2 war die durchschnittliche Fahrgeschwindigkeit höher.

- Kannst du Gewichte und Längen einfach zusammenzählen? - Was passiert mit der Einheit, wenn du eine Größe mit einer Zahl multiplizierst? - Prüfe bei jeder Aufgabe, ob die Einheiten zueinander passen.

1. Multiplikation der Maßzahl mit dem Faktor: \(24 \cdot 6 = 144\). Die Einheit \(\text{m}\) bleibt erhalten: \(144\,\text{m}\). 2. Multiplikation des Geldbetrags: \(15{,}80 \cdot 4 = 63{,}20\). Ergebnis: \(63{,}20\,\text{€}\). 3. Addition von Masse (\(\text{kg}\)) und Länge (\(\text{m}\)) ist nicht möglich, da es sich um unterschiedliche Größenarten handelt. 4. Division der Maßzahl durch den Divisor: \(1230 : 6 = 205\). Die Einheit \(\text{m}\) bleibt erhalten: \(205\,\text{m}\).

a) \(144\,\text{m}\) b) \(63{,}20\,\text{€}\) c) Nicht möglich d) \(205\,\text{m}\)

- Rechne zuerst die Aufgaben auf der linken und der rechten Seite getrennt aus. - Achte darauf, dass du beim Rechnen innerhalb einer Seite die gleichen Einheiten verwendest. - Wandle am Ende beide Ergebnisse in dieselbe Einheit um, um sie sicher vergleichen zu können.

1. Teil a: Linke Seite: \(1000\,\text{m} - 450\,\text{m} = 550\,\text{m}\). Rechte Seite: \(500\,\text{m} + 50\,\text{m} = 550\,\text{m}\). Vergleich: \(550\,\text{m} = 550\,\text{m}\). 2. Teil b: Linke Seite: \(38\,\text{cm} + 22\,\text{cm} = 60\,\text{cm}\). Rechte Seite: \(60\,\text{cm} - 5\,\text{cm} = 55\,\text{cm}\). Vergleich: \(60\,\text{cm} > 55\,\text{cm}\).

a) \(=\) b) \(>\)

- Bei a) müssen die zu addierenden Teile zuerst passend zusammengefasst werden. - Vergleiche bei b) und c), ob durch eine reine Zahl oder durch eine Größe geteilt wird. - Prüfe nach jeder Rechnung, welche Art von Ergebnis die Operation liefern muss.

1. \(2\,\text{m}\,30\,\text{cm}+70\,\text{cm}=2\,\text{m}\,100\,\text{cm}=3\,\text{m}\). 2. \(4\,\text{kg}:2=2\,\text{kg}\), weil eine Masse durch eine Anzahl geteilt wird. 3. \(6\,\text{€}:2\,\text{€}=3\). Hier werden zwei gleichartige Größen dividiert; das Ergebnis ist eine reine Zahl ohne Einheit.

a) \(3\,\text{m}\) b) \(2\,\text{kg}\) c) \(3\)

- Achte nicht nur auf die Maßzahlen, sondern auch darauf, was im Divisor oder Faktor steht. - Was bedeutet es, eine Länge auf drei gleiche Teile zu verteilen? - Was bedeutet es dagegen, zu fragen, wie oft \(3\,\text{m}\) in \(12\,\text{m}\) passen?

1. \(12\,\text{m}:3=4\,\text{m}\). Eine Länge wird durch eine reine Zahl geteilt, also bleibt eine Länge. 2. \(12\,\text{m}:3\,\text{m}=4\). Länge wird durch Länge geteilt; das Ergebnis beschreibt, wie oft die kleinere Länge hineinpasst, und hat keine Einheit. 3. \(3\cdot4\,\text{m}=12\,\text{m}\). Eine Länge wird vervielfacht, also bleibt eine Länge.

a) \(4\,\text{m}\), Länge b) \(4\), reine Zahl c) \(12\,\text{m}\), Länge

- Überlege zuerst, wie oft die Länge eines einzelnen Wagens in die gesamte Zuglänge passt. - Wenn du weißt, wie viele Wagen es sind, kannst du die gesamte Ladung ausrechnen. - Welche Rechenart hilft dir, wenn du eine Menge gleichmäßig aufteilst?

1. Berechnung der Anzahl der Wagen durch Division der Gesamtlänge durch die Länge eines Wagens: \(900\,\text{m} : 15\,\text{m} = 60\). Der Zug besteht aus \(60\) Wagen. 2. Berechnung der Gesamtlast durch Multiplikation der Anzahl der Wagen mit der Ladung pro Wagen: \(60 \cdot 25\,\text{t} = 1500\,\text{t}\).

Der Zug besteht aus \(60\) Güterwagen. Er transportiert insgesamt \(1500\,\text{t}\) Kies.

- Wie viele Kilogramm ergeben eine Tonne? - Schau dir die Tabelle genau an: Wird die Tragfähigkeit größer oder kleiner, wenn der Abstand zunimmt? - Vergleiche das Gewicht der Betonplatte mit den in der Tabelle angegebenen Tragfähigkeiten.

1. Umrechnung der Tragfähigkeit bei \(20\,\text{m}\): \(4850\,\text{kg} = 4\,\text{t } 850\,\text{kg}\). 2. Umrechnung der Tragfähigkeit bei \(40\,\text{m}\): \(2150\,\text{kg} = 2\,\text{t } 150\,\text{kg}\). 3. Die Last von \(3\,\text{t } 100\,\text{kg}\) entspricht \(3100\,\text{kg}\). Bei \(30\,\text{m}\) sind laut Tabelle \(3400\,\text{kg}\) zulässig, bei \(40\,\text{m}\) nur \(2150\,\text{kg}\). Damit ist \(30\,\text{m}\) die größte angegebene Ausladung, bei der die Platte gehoben werden darf.

a) \(20\,\text{m}: 4\,\text{t } 850\,\text{kg}\); \(40\,\text{m}: 2\,\text{t } 150\,\text{kg}\) b) Die größte in der Tabelle angegebene zulässige Ausladung ist \(30\,\text{m}\).

- Wie viele Tage haben 3 Monate insgesamt, wenn man von 30 Tagen pro Monat ausgeht? - Überlege zuerst, wie viel das Jungtier insgesamt zunimmt. - Denk daran, dass du für den Vergleich beide Gewichte in derselben Einheit angeben musst. - Wie viele Kilogramm stecken in einer Tonne?

1. Berechnung der Anzahl der Tage: \(3 \cdot 30 = 90\) Tage 2. Berechnung der gesamten Gewichtszunahme: \(90 \cdot 2\,\text{kg} = 180\,\text{kg}\) 3. Berechnung des Gewichts nach 3 Monaten: \(50\,\text{kg} + 180\,\text{kg} = 230\,\text{kg}\) 4. Umrechnung des angesetzten Gewichts des ausgewachsenen Nashorns: \(2\,\text{t} = 2000\,\text{kg}\) 5. Berechnung der Differenz: \(2000\,\text{kg} - 230\,\text{kg} = 1770\,\text{kg}\)

a) Das Jungtier wiegt nach drei Monaten \(230\,\text{kg}\). b) Es fehlen noch \(1770\,\text{kg}\) bis zum in der Modellrechnung angesetzten Gewicht des ausgewachsenen Nashorns.

- Rechne zuerst alle Angaben in die kleinere Einheit Kilogramm um. - Wie viel kommt in den 12 Tagen insgesamt dazu? - Addiere die neue Menge zum ursprünglichen Bestand. - Wie kannst du Kilogramm wieder in Tonnen und Kilogramm zerlegen?

1. Umrechnung des Anfangsbestands: \(8\,\text{t} = 8000\,\text{kg}\) 2. Berechnung der gesamten Neulieferung: \(12 \cdot 600\,\text{kg} = 7200\,\text{kg}\) 3. Berechnung der Gesamtmenge in Kilogramm: \(8000\,\text{kg} + 7200\,\text{kg} = 15\,200\,\text{kg}\) 4. Umrechnung in Tonnen und Kilogramm: \(15\,200\,\text{kg} = 15\,\text{t } 200\,\text{kg}\)

Nach \(12\) Tagen befinden sich insgesamt \(15\,200\,\text{kg}\) Eisen im Lager. Das entspricht \(15\,\text{t } 200\,\text{kg}\).

- Welche Beziehung verbindet Strecke, Geschwindigkeit und Fahrzeit? - Nutze für Hin- und Rückfahrt jeweils die volle Strecke von \(24\,\text{km}\). - Bestimme die Rückfahrgeschwindigkeit erst, nachdem du \(v\) gefunden hast.

1. Für die Hinfahrt gilt \(2v=24\), also \(v=12\,\text{km/h}\). 2. Auf dem Rückweg beträgt die Geschwindigkeit \(12-4=8\,\text{km/h}\). 3. Für die Rückfahrt gilt \(8t=24\), also \(t=3\,\text{h}\). 4. Die Rückfahrt dauert \(3\,\text{h}-2\,\text{h}=1\,\text{h}=60\,\text{min}\) länger.

a) Gleichung: \(2v=24\). Daher \(v=12\,\text{km/h}\). b) Gleichung: \(8t=24\). Daher \(t=3\,\text{h}\). c) Die Rückfahrt dauert \(60\,\text{min}\) länger.

- Wie weit fährt der Laster im ersten Abschnitt? - Welcher Streckenterm beschreibt 2 Stunden mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v\)? - Die beiden Abschnittsstrecken ergeben zusammen die Gesamtstrecke.

1. In der ersten Stunde legt der Laster \(70\,\text{km}\) zurück. 2. Im zweiten Abschnitt legt er in 2 Stunden \(2v\) Kilometer zurück. 3. Beide Abschnitte ergeben zusammen \(180\,\text{km}\): \(70+2v=180\). 4. Daraus folgt \(2v=110\) und \(v=55\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(70+2v=180\). Im zweiten Abschnitt beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit \(55\,\text{km/h}\).

- Bestimme zuerst die Strecke des Lastwagens. - Welcher Streckenterm beschreibt die zweistündige Zugfahrt mit der unbekannten Geschwindigkeit \(v\)? - Beide Abschnittsstrecken ergeben zusammen \(600\,\text{km}\).

1. Der Lastwagen legt \(6\cdot60=360\,\text{km}\) zurück. 2. Der Zug legt in 2 Stunden \(2v\) Kilometer zurück. 3. Daher gilt \(360+2v=600\). 4. Aus \(2v=240\) folgt \(v=120\,\text{km/h}\). 5. Der Unterschied zur Lastwagengeschwindigkeit beträgt \(120-60=60\,\text{km/h}\).

Gleichung: \(360+2v=600\). Der Zug fährt durchschnittlich \(120\,\text{km/h}\) und damit \(60\,\text{km/h}\) schneller als der Lastwagen.

- Beschreibe die längere Strecke mithilfe der kürzeren. - In a) müssen sich beide Weglängen zur bekannten Gesamtlänge ergänzen. - In b) hat jede Gruppe eine eigene Zeitvariable und eine eigene Beziehung \(s=vt\).

1. Gruppe B läuft \(x+4\) Kilometer. Daher gilt \(x+(x+4)=46\). 2. Aus \(2x+4=46\) folgt \(x=21\). Gruppe B läuft also \(25\,\text{km}\). 3. Für Gruppe A gilt \(3t_A=21\), also \(t_A=7\,\text{h}\). 4. Für Gruppe B gilt \(5t_B=25\), also \(t_B=5\,\text{h}\).

a) Gleichung: \(x+(x+4)=46\). Gruppe A läuft \(21\,\text{km}\), Gruppe B \(25\,\text{km}\). b) \(3t_A=21\), also \(t_A=7\,\text{h}\); \(5t_B=25\), also \(t_B=5\,\text{h}\).

- Welche Einheit ist die kleinste in der Aufgabe? Es ist oft leichter, zuerst alles in diese umzurechnen. - Kannst du die gemischten Schreibweisen (wie Meter und Zentimeter) als eine einzige Zahl schreiben? - Vergiss nicht, am Ende die Einheit hinter dein Ergebnis zu schreiben.

1. Umrechnung in Zentimeter: \(12\,\text{m} = 1200\,\text{cm}\) und \(3\,\text{dm} = 30\,\text{cm}\). Addition: \(1200\,\text{cm} + 8\,\text{cm} + 30\,\text{cm} = 1238\,\text{cm}\). 2. Umrechnung in Meter: \(2\,\text{km} = 2000\,\text{m}\). Subtraktion: \(2000\,\text{m} + 45\,\text{m} - 120\,\text{m} = 1925\,\text{m}\). 3. Umrechnung in Millimeter: \(4\,\text{dm} = 400\,\text{mm}\). Multiplikation: \((400\,\text{mm} + 6\,\text{mm}) \cdot 5 = 406\,\text{mm} \cdot 5 = 2030\,\text{mm}\).

a) \(1238\,\text{cm}\) b) \(1925\,\text{m}\) c) \(2030\,\text{mm}\)

- Überlege dir zuerst, ob die Einheiten in der Aufgabe gleich sind oder ob du sie umrechnen musst. - Was passiert mit der Einheit, wenn du eine Größe durch eine andere Größe mit derselben Einheit teilst? - Was passiert mit der Einheit, wenn du eine Größe mit einer Zahl multiplizierst? - Es hilft oft, alles in die kleinere der vorkommenden Einheiten umzurechnen, bevor du rechnest.

1. Umrechnung der Einheiten auf eine gemeinsame Basis: \(1{,}2\,\text{kg} = 1200\,\text{g}\). Addition: \(450\,\text{g} + 1200\,\text{g} = 1650\,\text{g}\). 2. Multiplikation der Maßzahl mit der Zahl: \(3 \cdot 25 = 75\). Das Ergebnis behält die Einheit bei: \(75\,\text{m}\). 3. Division zweier gleichartiger Größen: \(72 : 8 = 9\). Da beide Werte dieselbe Einheit haben, kürzt sich diese weg; das Ergebnis ist die reine Zahl \(9\). 4. Umrechnung in die kleinere Einheit: \(2\,\text{€} = 200\,\text{ct}\). Subtraktion: \(200\,\text{ct} - 45\,\text{ct} = 155\,\text{ct}\).

a) \(1650\,\text{g}\) b) \(75\,\text{m}\) c) \(9\) d) \(155\,\text{ct}\)

- Kannst du die Aufgabe in eine Umkehraufgabe verwandeln? - Achte darauf, ob das \(x\) für eine reine Zahl oder für eine Größe mit Einheit steht. - Wandle größere Einheiten wie Kilogramm oder Liter zuerst in kleinere Einheiten um, um leichter rechnen zu können.

1. In a) wird eine Größe durch eine Zahl geteilt, um eine Größe zu erhalten. Da \(15 : 5 = 3\), ist \(x = 5\). 2. In b) muss die Zielgröße \(1\,\text{kg}\) (\(1000\,\text{g}\)) durch \(4\) geteilt werden: \(1000\,\text{g} : 4 = 250\,\text{g}\). Also ist \(x = 250\,\text{g}\). 3. In c) wird die Differenz zwischen \(1\,\text{l}\) (\(1000\,\text{ml}\)) und \(250\,\text{ml}\) gesucht: \(1000\,\text{ml} - 250\,\text{ml} = 750\,\text{ml}\). Also ist \(x = 750\,\text{ml}\). 4. In d) wird die Ausgangsgröße gesucht. Umkehrung der Division durch Multiplikation: \(12\,\text{ct} \cdot 5 = 60\,\text{ct}\). Also ist \(x = 60\,\text{ct}\).

a) \(x = 5\) b) \(x = 250\,\text{g}\) c) \(x = 750\,\text{ml}\) d) \(x = 60\,\text{ct}\)

- Berechne zuerst das Ergebnis auf der linken Seite. - Stelle sicher, dass beide Seiten des Vergleichs in derselben Einheit stehen. - Prüfe erst danach, welches Relationszeichen passt.

1. a) \(5 \cdot 200\,\text{mg} = 1000\,\text{mg} = 1\,\text{g}\). Daher gilt \(=\). 2. b) \(1\,\text{km} = 1000\,\text{m}\), also \(1000\,\text{m} - 350\,\text{m} = 650\,\text{m} < 700\,\text{m}\). 3. c) \(48\,\text{h} : 2 = 24\,\text{h} = 1\,\text{Tag}\). Daher gilt \(=\). 4. d) \(150\,\text{ct} = 1{,}50\,\text{€}\), also \(3{,}50\,\text{€} + 1{,}50\,\text{€} = 5{,}00\,\text{€}\). Daher gilt \(=\).

a) \(=\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(=\)

- Wandle die Größen in die jeweils kleinere Einheit um, bevor du rechnest. - Wie viele Minuten hat eine Viertelstunde? - Wie viele Kilogramm ergeben eine Tonne? - Achte bei Teil d) darauf, dass du beim Abziehen über den Kilometer-Wechsel rechnen musst.

1. a) Umrechnung in Minuten: \( 120\,\text{min} - 15\,\text{min} - 55\,\text{min} = 50\,\text{min} \). 2. b) Multiplikation der Einheiten: \( 3 \cdot 12\,\text{min} = 36\,\text{min} \) und \( 3 \cdot 45\,\text{s} = 135\,\text{s} \). Umwandlung: \( 135\,\text{s} = 2\,\text{min}\, 15\,\text{s} \). Gesamtergebnis: \( 38\,\text{min}\, 15\,\text{s} \). 3. c) Umrechnung von Tonnen in Kilogramm: \( 5000\,\text{kg} : 125\,\text{kg} = 40 \). 4. d) Umrechnung in Meter: \( 3050\,\text{m} - 1200\,\text{m} = 1850\,\text{m} \). Ergebnis in gemischter Schreibweise: \( 1\,\text{km}\, 850\,\text{m} \).

a) \( 50\,\text{min} \) b) \( 38\,\text{min}\, 15\,\text{s} \) c) \( 40 \) d) \( 1\,\text{km}\, 850\,\text{m} \)

- Berechne zuerst das Ergebnis der linken Seite. - Achte darauf, dass beide Werte die gleiche Einheit haben, bevor du sie vergleichst. - Wie viele Meter sind \( 0{,}5\,\text{km} \)?

1. a) Umrechnung: \( 10\,\text{h} = 600\,\text{min} \). Division: \( 600\,\text{min} : 15 = 40\,\text{min} \). Vergleich: \( 40\,\text{min} < 45\,\text{min} \). 2. b) Umrechnung: \( 0{,}5\,\text{km} = 500\,\text{m} \). Multiplikation: \( 500\,\text{m} \cdot 8 = 4000\,\text{m} = 4\,\text{km} \). Vergleich: \( 4\,\text{km} > 3\,\text{km}\, 900\,\text{m} \). 3. c) Linke Seite: \( 4000\,\text{g} - 1200\,\text{g} = 2800\,\text{g} \). Rechte Seite: \( 14 \cdot 200\,\text{g} = 2800\,\text{g} \). Vergleich: \( 2800\,\text{g} = 2800\,\text{g} \).

a) \( < \) b) \( > \) c) \( = \)

- Ist es einfacher, zuerst alles in die kleinste vorkommende Einheit umzurechnen? - Achte bei Dezimalzahlen genau auf die Stelle des Kommas. - Was bedeutet die Schreibweise mit zwei Einheiten wie „Meter“ und „Zentimeter“ für die Dezimalzahl?

1. a) Umwandlung in die Einheit Kilogramm: \(3400\,\text{kg} + 850\,\text{kg} - 1020\,\text{kg} + 470\,\text{kg}\). Schrittweise Berechnung: \(4250\,\text{kg} - 1020\,\text{kg} + 470\,\text{kg} = 3230\,\text{kg} + 470\,\text{kg} = 3700\,\text{kg}\). Alternativ in Tonnen: \(3{,}7\,\text{t}\). 2. b) Umwandlung in Meter: \(12{,}05\,\text{m} - 4{,}8\,\text{m} + 0{,}72\,\text{m}\). Berechnung: \(7{,}25\,\text{m} + 0{,}72\,\text{m} = 7{,}97\,\text{m}\). 3. c) Umwandlung in Gramm: \((4200\,\text{g} + 580\,\text{g}) \cdot 15 = 4780\,\text{g} \cdot 15\). Multiplikation ergibt \(71\,700\,\text{g}\), was \(71{,}7\,\text{kg}\) entspricht.

a) \(3700\,\text{kg}\) (oder \(3{,}7\,\text{t}\)) b) \(7{,}97\,\text{m}\) (oder \(7\,\text{m}\,97\,\text{cm}\)) c) \(71{,}7\,\text{kg}\) (oder \(71\,700\,\text{g}\))

- Wie viele Minuten hat eine Stunde? - Wenn du eine Größe durch eine Größe mit derselben Einheit teilst, fällt die Einheit im Ergebnis weg. - Kannst du bei Teilaufgabe c) eine Rechenregel anwenden, um die Division zu vereinfachen?

1. a) Umrechnung in Minuten: \(4\,\text{h}\,12\,\text{min} = 252\,\text{min}\) und \(1\,\text{h}\,48\,\text{min} = 108\,\text{min}\). Berechnung: \(252\,\text{min} - 155\,\text{min} + 108\,\text{min} = 97\,\text{min} + 108\,\text{min} = 205\,\text{min}\). Umwandlung in Stunden: \(205\,\text{min} = 3\,\text{h}\,25\,\text{min}\). 2. b) Umwandlung der Kilometer in Meter: \(18\,000\,\text{m} : 25\,\text{m}\). Die Division ergibt den skalaren Wert \(720\). 3. c) Division der einzelnen Terme: \(12\,\text{t} - 3\,\text{t} = 9\,\text{t}\). Alternativ durch Ausklammern: \((144\,\text{t} - 36\,\text{t}) : 12 = 108\,\text{t} : 12 = 9\,\text{t}\).

a) \(3\,\text{h}\,25\,\text{min}\) b) \(720\) c) \(9\,\text{t}\)

- Überlege dir zuerst, welche Einheit die „größere“ ist und wandle alle Werte in diese Einheit um. - Achte bei der Subtraktion in Teilaufgabe b) auf die Klammern – was musst du zuerst rechnen? - Denk daran, dass \(100\,\text{ct} = 1\,\text{€}\) und \(1000\,\text{kg} = 1\,\text{t}\) sind.

1. Umrechnung der Cent-Beträge in Euro: \(475\,\text{ct} = 4{,}75\,\text{€}\). 2. Schrittweise Berechnung: \(18{,}60\,\text{€} - 4{,}75\,\text{€} = 13{,}85\,\text{€}\). 3. Addition des letzten Betrags: \(13{,}85\,\text{€} + 1{,}15\,\text{€} = 15{,}00\,\text{€}\). 4. Zusammenfassung der Kilogramm-Werte in der Klammer: \(2100\,\text{kg} + 850\,\text{kg} = 2950\,\text{kg}\). 5. Umrechnung in Tonnen: \(2950\,\text{kg} = 2{,}95\,\text{t}\). 6. Subtraktion von der Gesamtmasse: \(6{,}3\,\text{t} - 2{,}95\,\text{t} = 3{,}35\,\text{t}\).

a) \(15{,}00\,\text{€}\) b) \(3{,}35\,\text{t}\)

- Rechne bei a) mit Stunden und Minuten; eine Stunde hat \(60\) Minuten. - Beachte in beiden Teilen zuerst die Klammer beziehungsweise Punkt vor Strich. - Wandle bei b) die Teilmassen vor dem Addieren in dieselbe Einheit um.

1. Bei a) ergibt die Klammer \(1\,\text{h}\ 45\,\text{min} + 45\,\text{min} = 2\,\text{h}\ 30\,\text{min}\). 2. Damit ist die gesamte Zeit \(2\,\text{h}\ 30\,\text{min} + 2\,\text{h}\ 30\,\text{min} = 5\,\text{h}\). 3. Bei b) gilt \(4{,}8\,\text{kg} : 8 = 0{,}6\,\text{kg}\). 4. Außerdem ist \(325\,\text{g} \cdot 4 = 1300\,\text{g} = 1{,}3\,\text{kg}\). 5. Insgesamt ergibt sich \(0{,}6\,\text{kg} + 1{,}3\,\text{kg} = 1{,}9\,\text{kg}\).

a) \(5\,\text{h}\) b) \(1{,}9\,\text{kg}\)

- Rechne zuerst die Inhalte der beiden Klammern getrennt aus. - Achte bei der zweiten Klammer darauf, die Sekunden in Minuten umzurechnen. - Welche mathematische Grundregel kennst du für die Division durch die Zahl Null?

1. Berechnung der ersten Klammer: Die Summe der Längen ergibt \(12\,\text{m} + 8\,\text{m} = 20\,\text{m}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Zuerst werden die Einheiten angeglichen. Da \(2700\,\text{s} : 60 = 45\,\text{min}\) gilt, lautet die Rechnung \(45\,\text{min} - 45\,\text{min} = 0\,\text{min}\). 3. Division prüfen: Der gesamte Ausdruck führt zur Rechnung \(20\,\text{m} : 0\,\text{min}\). Eine Division durch den Wert Null ist mathematisch nicht erlaubt und führt zu keinem Ergebnis.

Der Wert kann nicht bestimmt werden, da der Divisor (der Wert der zweiten Klammer) Null ergibt. Eine Division durch Null ist nicht möglich.

- Erinnere dich an die Regel „Punkt vor Strich“. - Wandle die Einheit Ar in Quadratmeter um, damit du alle Werte miteinander verrechnen kannst. - Gehe bei den Strichrechnungen (Minus und Plus) von links nach rechts vor.

1. Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel: Division \(180\,\text{m}^2 : 2 = 90\,\text{m}^2\) und Multiplikation \(12\,\text{m}^2 \cdot 5 = 60\,\text{m}^2\). 2. Umrechnung der ersten Größe in Quadratmeter: \(5\,\text{a}\,20\,\text{m}^2 = 520\,\text{m}^2\). 3. Ausführung der Subtraktion: \(520\,\text{m}^2 - 90\,\text{m}^2 = 430\,\text{m}^2\). 4. Ausführung der abschließenden Addition: \(430\,\text{m}^2 + 60\,\text{m}^2 = 490\,\text{m}^2\).

\(490\,\text{m}^2\) (oder \(4\,\text{a}\,90\,\text{m}^2\))

- Bestimme zuerst die Fläche der Terrasse und einer einzelnen Fliese in der gleichen Einheit. - Wie viele einzelne Fliesen brauchst du für die Terrasse? - Da man die Fliesen nur in Paketen kaufen kann, musst du herausfinden, wie viele Pakete du bestellen musst. - Multipliziere zum Schluss die Anzahl der Pakete mit dem Preis für ein Paket.

1. Umrechnung der Terrassenmaße in Zentimeter: \(600\,\text{cm}\) und \(400\,\text{cm}\) 2. Berechnung des Flächeninhalts der Terrasse: \(600\,\text{cm} \cdot 400\,\text{cm} = 240\,000\,\text{cm}^2\) 3. Berechnung des Flächeninhalts einer Holzfliese: \(50\,\text{cm} \cdot 50\,\text{cm} = 2500\,\text{cm}^2\) 4. Berechnung der Anzahl der benötigten Fliesen: \(240\,000\,\text{cm}^2 : 2500\,\text{cm}^2 = 96\) 5. Berechnung der Anzahl der Pakete: \(96 : 6 = 16\) Pakete 6. Berechnung der Gesamtkosten: \(16 \cdot 24{,}50\,\text{€} = 392\,\text{€}\)

Die Gesamtkosten für die Terrasse betragen \(392\,\text{€}\).

- Wie viel der Gesamtstrecke bleibt übrig, wenn du die ersten beiden Abschnitte abziehst? - Addiere alle Zeitdauern (Wanderzeiten und Pausen) zur Startzeit. - Achte darauf, wie viele volle Stunden in \(75\) oder \(90\,\text{Minuten}\) stecken.

1. Berechnung der Teilstrecke C-A: Von der Gesamtstrecke (\(14\,\text{km}\)) werden die bekannten Teilstrecken abgezogen: \(14\,\text{km} - 5\,\text{km} - 3\,\text{km} = 6\,\text{km}\). 2. Berechnung der Zeitpunkte: - Start: \(08{:}30\,\text{Uhr}\) - Ankunft B: \(08{:}30\,\text{Uhr} + 75\,\text{min} = 09{:}45\,\text{Uhr}\) - Ankunft C: \(09{:}45\,\text{Uhr} + 45\,\text{min} = 10{:}30\,\text{Uhr}\) - Ende der Pause in C: \(10{:}30\,\text{Uhr} + 30\,\text{min} = 11{:}00\,\text{Uhr}\) - Ankunft A: \(11{:}00\,\text{Uhr} + 90\,\text{min} = 12{:}30\,\text{Uhr}\)

a) Das Teilstück von C nach A ist \(6\,\text{km}\) lang. b) Die Gruppe kommt um \(12{:}30\,\text{Uhr}\) wieder an Punkt A an.

- Rechne den Kinderpreis für die Multiplikation zunächst in Cent um. - Berücksichtige Kinder und Begleitpersonen getrennt. - Für b) arbeite die Zeitangaben in der Reihenfolge des Tagesplans ab.

1. Ein Kinderpreis sind \(350\,\text{ct}\). Die Kinder kosten \(24 \cdot 350\,\text{ct} = 8400\,\text{ct} = 84{,}00\,\text{€}\). Die Begleitpersonen kosten \(2 \cdot 6{,}00\,\text{€} = 12{,}00\,\text{€}\). Insgesamt sind es \(96{,}00\,\text{€}\). 2. Der Museumsbesuch endet um \(12{:}00\,\text{Uhr}\). Nach der Pause ist es \(12{:}30\,\text{Uhr}\). 3. Bis \(12{:}45\,\text{Uhr}\) bleiben \(15\,\text{min}\).

a) \(96{,}00\,\text{€}\) b) \(15\,\text{min}\)

- Unterscheide bei a) zwischen der Anzahl der Stationen und der Anzahl der Zwischenräume. - Wie viele Flaschen stehen insgesamt an allen Stationen? - Bringe die gesamte Wassermenge am Ende in die verlangte Einheit Liter.

1. Vier Stationen vom Start bis zum Ziel bilden \(3\) gleich lange Abstände. Daher beträgt ein Abstand \(3\,\text{km} : 3 = 1\,\text{km}\). 2. Insgesamt stehen \(4 \cdot 6 = 24\) Flaschen bereit. 3. Die Wassermenge beträgt \(24 \cdot 750\,\text{ml} = 18\,000\,\text{ml} = 18\,\text{l}\).

a) \(1\,\text{km}\) b) \(18\,\text{l}\)

- Welche verschiedenen Anzahlen großer Eimer kommen überhaupt infrage? - Wie kannst du für jede solche Anzahl die noch fehlende Saftmenge bestimmen? - Wie stellst du sicher, dass du keine günstigere Kombination übersehen hast?

1. Prüfe zunächst die möglichen Anzahlen großer Eimer von \(0\) bis \(5\) systematisch. 2. Bei \(0\) Eimern werden \(23\) Flaschen benötigt: \(23 \cdot 2\,\text{€} = 46\,\text{€}\). 3. Bei \(1\) Eimer werden \(18\) Flaschen benötigt: \(8\,\text{€} + 18 \cdot 2\,\text{€} = 44\,\text{€}\). 4. Bei \(2\) Eimern werden \(13\) Flaschen benötigt: \(2 \cdot 8\,\text{€} + 13 \cdot 2\,\text{€} = 42\,\text{€}\). 5. Bei \(3\) Eimern werden \(8\) Flaschen benötigt: \(3 \cdot 8\,\text{€} + 8 \cdot 2\,\text{€} = 40\,\text{€}\). 6. Bei \(4\) Eimern werden \(3\) Flaschen benötigt: \(4 \cdot 8\,\text{€} + 3 \cdot 2\,\text{€} = 38\,\text{€}\). 7. Bei \(5\) Eimern werden keine Flaschen benötigt: \(5 \cdot 8\,\text{€} = 40\,\text{€}\). 8. Ab \(6\) Eimern kosten schon die Eimer mindestens \(6 \cdot 8\,\text{€} = 48\,\text{€}\). Damit kann keine Kombination mit \(6\) oder mehr Eimern günstiger als \(38\,\text{€}\) sein. 9. Der kleinste aller möglichen Preise ist daher \(38\,\text{€}\).

Der niedrigste Gesamtpreis beträgt \(38\,\text{€}\). Dafür werden \(4\) Eimer und \(3\) Flaschen gekauft; diese Kombination liefert \(46\,\text{l}\).

- Bestimme aus gegebenem Geld und Rückgeld zuerst den tatsächlich bezahlten Betrag. - Rechne die Geldbeträge vor der Division in Cent um. - Arbeite anschließend rückwärts vom vollen Topf zum Anfangszustand.

1. Youssef gibt insgesamt \(2 \cdot 50{,}00\,\text{€} = 100{,}00\,\text{€}\) ab. 2. Der gekaufte Honig kostet \(100{,}00\,\text{€} - 14{,}50\,\text{€} = 85{,}50\,\text{€}\). 3. In Cent gilt \(85{,}50\,\text{€} = 8550\,\text{ct}\) und \(4{,}50\,\text{€} = 450\,\text{ct}\). Daher wurden \(8550 : 450 = 19\) Kilogramm gekauft. 4. Vor dem Auffüllen waren \(25\,\text{kg} - 19\,\text{kg} = 6\,\text{kg}\) im Topf.

Zu Beginn waren \(6\,\text{kg}\) Honig im Topf.

- Bestimme zuerst die gesamte Zeit, die Hanna für die Wanderung benötigt. - Wie lange würde Tom ohne Pausen für die Strecke brauchen? - Wie viel Zeit bleibt für Toms Pausen übrig, wenn beide gleichzeitig ankommen? - Überlege genau, wie viele Pausen Tom auf der gesamten Gehzeit einlegt.

1. Berechnung von Hannas Gesamtzeit: Für die erste Teilstrecke \(4 \cdot 12 = 48\,\text{min}\), für die zweite \(92\,\text{min}\) und für die dritte \(5 \cdot 14 = 70\,\text{min}\). Die Gesamtzeit beträgt \(48 + 92 + 70 = 210\,\text{min}\). 2. Berechnung von Toms reiner Gehzeit: \(15 \cdot 10 = 150\,\text{min}\). 3. Bestimmung der Pausenanzahl: Es gilt \(150 = 3 \cdot 45 + 15\). Tom erreicht während seiner Gehzeit die Marken \(45\), \(90\) und \(135\) Minuten und legt daher genau \(3\) Pausen ein. 4. Berechnung der Pausendauer: Die gesamte Pausenzeit beträgt \(210 - 150 = 60\,\text{min}\). Eine einzelne Pause dauert somit \(60 : 3 = 20\,\text{min}\).

Eine Pause von Tom dauert \( 20 \text{ Minuten} \).

- Fällt dir bei a) eine Gemeinsamkeit bei den Multiplikationen auf? - Denk an die Regel „Klammer zuerst“ und innerhalb der Klammer an „Punkt-vor-Strich“. - Achte darauf, ob das Ergebnis eine Einheit haben muss oder eine reine Zahl ist.

1. a) Anwendung des Distributivgesetzes: \((18{,}45\,\text{€} + 11{,}55\,\text{€}) \cdot 25 = 30\,\text{€} \cdot 25 = 750\,\text{€}\). 2. b) Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel in der Klammer: \(45\,\text{cm} \cdot 8 = 360\,\text{cm}\). Umwandlung: \(10\,\text{m} = 1000\,\text{cm}\). Subtraktion: \(1000\,\text{cm} - 360\,\text{cm} = 640\,\text{cm}\). Division: \(640\,\text{cm} : 20\,\text{cm} = 32\). 3. c) Umwandlung in Kilogramm: \(2\,\text{t} = 2000\,\text{kg}\). Subtraktion in der Klammer: \(2000\,\text{kg} - 1250\,\text{kg} = 750\,\text{kg}\). Division: \(750\,\text{kg} : 25\,\text{kg} = 30\).

a) \(750\,\text{€}\) b) \(32\) c) \(30\)

- Wandle zuerst die Flächeneinheit Ar in Quadratmeter um. - Berechne getrennt die gesamte Mindestmenge und die gesamte Höchstmenge an Samen. - Beachte, dass nur ganze Packungen gekauft werden und ihr gesamter Inhalt verteilt wird.

1. \(15\,\text{a} = 1500\,\text{m}^2\). 2. Die Mindestmenge beträgt \(1500 \cdot 20\,\text{g} = 30\,000\,\text{g} = 30\,\text{kg}\). Das sind \(30 : 2 = 15\) Packungen. 3. Die Höchstmenge beträgt \(1500 \cdot 30\,\text{g} = 45\,000\,\text{g} = 45\,\text{kg}\). 4. \(22\) Packungen enthalten \(44\,\text{kg}\) und liegen noch unter \(45\,\text{kg}\). \(23\) Packungen enthalten \(46\,\text{kg}\) und überschreiten die Höchstmenge. Daher sind höchstens \(22\) Packungen möglich.

Sie muss mindestens \(15\) Packungen kaufen und darf höchstens \(22\) Packungen kaufen.

- Berechne zuerst, wie groß die Fläche des Sportplatzes insgesamt ist. - Wie oft passt die Bezugsfläche von \(100\,\text{m}^2\) in diese Gesamtfläche? - Überlege am Ende genau, wie viele ganze Säcke gekauft werden müssen, damit der Dünger für die gesamte Fläche ausreicht.

1. Berechnung des Flächeninhalts des Sportplatzes: \(105\,\text{m} \cdot 60\,\text{m} = 6300\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung der Anzahl der \(100\text{-m}^2\text{-Einheiten}\): \(6300 : 100 = 63\). 3. Berechnung der benötigten Düngermenge: \(63 \cdot 4\,\text{kg} = 252\,\text{kg}\). 4. Berechnung der Anzahl der benötigten Säcke: \(252\,\text{kg} : 25\,\text{kg/Sack} = 10\) Rest \(2\). Es müssen also \(11\) ganze Säcke gekauft werden. 5. Berechnung der Gesamtkosten: \(11 \cdot 32\,\text{€} = 352\,\text{€}\).

Die Düngung des Sportplatzes kostet insgesamt \(352\,\text{€}\).

- Bringe den Zuschuss und die Hektarfläche in eine Beziehung, die ohne Dezimalzahl auskommt. - Wie viel Fläche gehört bei diesen Angaben zu \(1\,\text{€}\)? - Welche Beziehung gilt zwischen Fläche, Breite und Länge eines Rechtecks?

1. \(1\,\text{ha} = 10\,000\,\text{m}^2\). Bei \(1000\,\text{€}\) für \(10\,000\,\text{m}^2\) entfallen auf \(1\,\text{€}\) genau \(10\,\text{m}^2\). 2. Für \(140\,\text{€}\) beträgt die Fläche daher \(140 \cdot 10\,\text{m}^2 = 1400\,\text{m}^2\). 3. Bei einer Breite von \(4\,\text{m}\) ist die Länge \(1400\,\text{m}^2 : 4\,\text{m} = 350\,\text{m}\).

Der Randstreifen ist \(350\,\text{m}\) lang.

- Welche Fläche gehört zum gefliesten Rand und welche zum Becken selbst? - Achte darauf, dass der Rand an jeder Seite des Beckens liegt. - Welche Größe verbindet die Randfläche mit der benötigten Fliesenmasse? - Sind Gesamtmasse und Ladekapazität bereits in derselben Einheit angegeben?

1. Die Außenmaße der gefliesten Fläche sind \(10\,\text{m} + 2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 13\,\text{m}\) und \(5\,\text{m} + 2 \cdot 1{,}5\,\text{m} = 8\,\text{m}\). 2. Die gesamte Außenfläche beträgt \(13\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} = 104\,\text{m}^2\). 3. Das Schwimmbecken hat den Flächeninhalt \(10\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 50\,\text{m}^2\). 4. Damit beträgt die Randfläche \(104\,\text{m}^2 - 50\,\text{m}^2 = 54\,\text{m}^2\). 5. Die Fliesen für den Rand haben die Gesamtmasse \(54\,\text{m}^2 \cdot 25\,\text{kg}/\text{m}^2 = 1350\,\text{kg}\). 6. Die Ladekapazität beträgt \(1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}\). Da \(1350\,\text{kg} > 1000\,\text{kg}\), reicht eine Fahrt nicht aus.

Die Fliesen haben eine Gesamtmasse von \(1350\,\text{kg}\). Eine Fahrt reicht nicht aus.