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- Schau auf die Einerziffer. - Entscheide, ob die Zahl näher am kleineren oder am größeren Zehner liegt.

1. Die Einerziffer ist \(7\). Deshalb wird zum nächsten Zehner aufgerundet. 2. Es gilt \(67 \approx 70\).

\(70\)

- Vergleiche die Abstände zu den beiden benachbarten Hunderterzahlen. - Die nähere Hunderterzahl ist das Rundungsergebnis.

1. Von \(349\) bis \(300\) sind es \(49\). 2. Von \(349\) bis \(400\) sind es \(51\). 3. Deshalb liegt \(300\) näher und es gilt \(349 \approx 300\).

\(300\) liegt näher. Auf Hunderter gerundet: \(349 \approx 300\).

- Lies zuerst den Wert der Markierung aus der Schrittweite ab. - Zwischen welchen beiden Zehnern liegt dieser Wert? - Vergleiche seine Abstände zu diesen beiden Zehnern.

1. A liegt beim Wert \(746\). 2. Die benachbarten Zehner sind \(740\) und \(750\). 3. Der Abstand zu \(750\) ist kleiner als der Abstand zu \(740\). Daher wird auf \(750\) gerundet.

A markiert \(746\). Auf Zehner gerundet ergibt das \(750\).

- Schau dir für das Runden auf Zehner immer die Einerstelle an. - Für das Runden auf Hunderter ist die Zehnerstelle entscheidend. - Überlege: Bei welchen Ziffern wird abgerundet und bei welchen aufgerundet?

1. \(432\): Auf Zehner entscheidet die Einerstelle \(2\), also \(430\). Auf Hunderter entscheidet die Zehnerstelle \(3\), also \(400\). 2. \(758\): Auf Zehner entscheidet die Einerstelle \(8\), also \(760\). Auf Hunderter entscheidet die Zehnerstelle \(5\), also \(800\). 3. \(945\): Auf Zehner entscheidet die Einerstelle \(5\), also \(950\). Auf Hunderter entscheidet die Zehnerstelle \(4\), also \(900\).

<table> <thead> <tr><th>Zahl</th><th>auf Zehner</th><th>auf Hunderter</th></tr> </thead> <tbody> <tr><td>\(432\)</td><td>\(430\)</td><td>\(400\)</td></tr> <tr><td>\(758\)</td><td>\(760\)</td><td>\(800\)</td></tr> <tr><td>\(945\)</td><td>\(950\)</td><td>\(900\)</td></tr> </tbody> </table>

- Was passiert, wenn du bei einer Zahl wie \(9\) aufrunden musst? - Achte darauf, welche Stelle für die Rundungsentscheidung wichtig ist. - Manchmal verändert sich durch das Aufrunden auch die nächsthöhere Stelle.

1. \(2996\) auf Zehner runden: Die Einerstelle ist \(6\), also wird aufgerundet. Aus \(299\) Zehnern werden \(300\) Zehner, was \(3000\) entspricht. Ergebnis: \(3000\). 2. \(8049\) auf Hunderter runden: Die Zehnerstelle ist \(4\), also wird abgerundet. Ergebnis: \(8000\). 3. \(14\,995\) auf Zehner runden: Die Einerstelle ist \(5\), also wird aufgerundet. Aus \(1499\) Zehnern werden \(1500\) Zehner. Ergebnis: \(15\,000\).

a) \(3000\) b) \(8000\) c) \(15\,000\)

- Überlege zuerst, wie viele Einheiten der kleineren Sorte (z. B. Zentimeter) in die größere Sorte (z. B. Meter) passen. - Bestimme die Stelle, auf die du runden musst, indem du dir das Umrechnungsverhältnis ansiehst. - Erinnere dich an die Rundungsregel: Bei 0, 1, 2, 3 und 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8 und 9 wird aufgerundet.

1. Um auf Meter zu runden, betrachte die Zentimeter. Da \(100\,\text{cm} = 1\,\text{m}\) sind, wird auf die Hunderterstelle gerundet. Bei \(932\) ist die Zehnerziffer eine \(3\), also wird abgerundet: \(900\,\text{cm} = 9\,\text{m}\). 2. Für Kilogramm wird auf die Tausenderstelle gerundet (\(1000\,\text{g} = 1\,\text{kg}\)). Bei \(15\,480\) ist die Hunderterziffer eine \(4\), also wird abgerundet: \(15\,000\,\text{g} = 15\,\text{kg}\). 3. Für Zentimeter wird auf die Zehnerstelle gerundet (\(10\,\text{mm} = 1\,\text{cm}\)). Bei \(57\) ist die Einerziffer eine \(7\), also wird aufgerundet: \(60\,\text{mm} = 6\,\text{cm}\). 4. Für Kilometer wird auf die Tausenderstelle gerundet (\(1000\,\text{m} = 1\,\text{km}\)). Bei \(12\,500\) ist die Hunderterziffer eine \(5\), also wird aufgerundet: \(13\,000\,\text{m} = 13\,\text{km}\).

a) \(9\,\text{m}\) b) \(15\,\text{kg}\) c) \(6\,\text{cm}\) d) \(13\,\text{km}\)

- Schau dir immer die Stelle rechts von der Zielstelle an. - Wann musst du aufrunden und wann abrunden? - Achte besonders auf die Ziffer 9, wenn du aufrunden musst.

1. Für \(34\,274\): Bei Rundung auf Zehner (Z) ist die Einerstelle \(4 < 5\), also wird abgerundet auf \(34\,270\). Bei Rundung auf Tausender (T) ist die Hunderterstelle \(2 < 5\), also wird abgerundet auf \(34\,000\). 2. Für \(8\,451\,903\): Auf Hunderter (H) ergibt sich \(8\,451\,900\) (Zehnerstelle \(0 < 5\)). Auf Zehntausender (ZT) ergibt sich \(8\,450\,000\) (Tausenderstelle \(1 < 5\)). Auf Millionen (M) ergibt sich \(8\,000\,000\) (Hunderttausenderstelle \(4 < 5\)). 3. Für \(99\,996\): Auf Zehner (Z) führt die Einerstelle \(6 \ge 5\) zu einem Übertrag über alle Stellen bis \(100\,000\). Auf Hunderter (H) führt die Zehnerstelle \(9 \ge 5\) ebenfalls zu \(100\,000\). Auf Tausender (T) führt die Hunderterstelle \(9 \ge 5\) ebenso zu \(100\,000\).

a) Z: \(34\,270\); T: \(34\,000\) b) H: \(8\,451\,900\); ZT: \(8\,450\,000\); M: \(8\,000\,000\) c) Z: \(100\,000\); H: \(100\,000\); T: \(100\,000\)

- Betrachte immer die Ziffer rechts neben der Stelle, auf die du runden möchtest. - Bei den Ziffern \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) wird abgerundet. - Bei den Ziffern \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) und \(9\) wird aufgerundet. - Denk daran, dass Aufrunden bei einer \(9\) einen Übertrag auf die nächste Stelle bedeutet.

1. \(4382\): Die Zehnerstelle ist eine \(8\), daher wird bei den Hundertern aufgerundet (\(4400\)). Die Hunderterstelle ist eine \(3\), daher wird bei den Tausendern abgerundet (\(4000\)). 2. \(12\,549\): Die Zehnerstelle ist eine \(4\), daher wird bei den Hundertern abgerundet (\(12\,500\)). Die Hunderterstelle ist eine \(5\), daher wird bei den Tausendern aufgerundet (\(13\,000\)). 3. \(99\,950\): Die Zehnerstelle ist eine \(5\), daher wird bei den Hundertern aufgerundet (\(100\,000\)). Die Hunderterstelle ist eine \(9\), daher wird bei den Tausendern aufgerundet (\(100\,000\)). 4. \(456\): Die Zehnerstelle ist eine \(5\), daher wird bei den Hundertern aufgerundet (\(500\)). Die Hunderterstelle ist eine \(4\), daher wird bei den Tausendern abgerundet (\(0\)).

a) Hunderter: \(4400\); Tausender: \(4000\) b) Hunderter: \(12\,500\); Tausender: \(13\,000\) c) Hunderter: \(100\,000\); Tausender: \(100\,000\) d) Hunderter: \(500\); Tausender: \(0\)

- Welche Stelle musst du anschauen, wenn du auf Tausender rundest? - Welche Stelle ist entscheidend, wenn du auf Zehntausender rundest? - Vergleiche diese entscheidenden Ziffern bei beiden Zahlen.

1. Auf Tausender runden: Bei \(245\,499\) ist die Hunderterstelle eine \(4\), also wird abgerundet auf \(245\,000\). Bei \(245\,500\) ist die Hunderterstelle eine \(5\), also wird aufgerundet auf \(246\,000\). 2. Auf Zehntausender runden: Bei beiden Zahlen ist die Tausenderstelle eine \(5\). Daher wird in beiden Fällen aufgerundet auf \(250\,000\).

a) \(245\,499 \rightarrow 245\,000\); \(245\,500 \rightarrow 246\,000\) b) \(245\,499 \rightarrow 250\,000\); \(245\,500 \rightarrow 250\,000\)

- Überlege dir, ob die Anzahl der Sekunden näher an der aktuellen Minute oder an der nächsten Minute liegt. - Was ist die genaue Mitte einer Minute in Sekunden ausgedrückt? - Erinnere dich an die allgemeinen Rundungsregeln: Ab welcher Ziffer rundest du normalerweise auf?

1. Bei Sekundenwerten von \(0\) bis \(29\) wird abgerundet, bei \(30\) bis \(59\) wird aufgerundet. 2. a) \(15 < 30 \rightarrow\) abrunden auf \(12\,\text{min}\). 3. b) \(54 \ge 30 \rightarrow\) aufrunden auf \(8\,\text{min}\). 4. c) \(38 \ge 30 \rightarrow\) aufrunden auf \(1\,\text{min}\). 5. d) \(30 \ge 30 \rightarrow\) aufrunden auf \(26\,\text{min}\). 6. e) \(4 < 30 \rightarrow\) abrunden auf \(4\,\text{min}\).

a) \(12\,\text{min}\) b) \(8\,\text{min}\) c) \(1\,\text{min}\) d) \(26\,\text{min}\) e) \(4\,\text{min}\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir zuerst die gerundeten Werte für jeden einzelnen Lauf. - Achte bei jedem Lauf darauf, ob die Sekundenanzahl den Schwellenwert für das Aufrunden erreicht. - Addiere am Ende die Minuten, die du durch das Runden erhalten hast.

1. Runden der Einzelzeiten: Lauf 1 (\(18\,\text{s} < 30\,\text{s}\)) ergibt \(2\,\text{min}\). 2. Lauf 2 (\(42\,\text{s} \ge 30\,\text{s}\)) ergibt \(2\,\text{min}\). 3. Lauf 3 (\(35\,\text{s} \ge 30\,\text{s}\)) ergibt \(3\,\text{min}\). 4. Summe der gerundeten Werte: \(2\,\text{min} + 2\,\text{min} + 3\,\text{min} = 7\,\text{min}\).

Die Summe der gerundeten Zeiten beträgt \(7\,\text{min}\).

- Suche für die Schätzung eine Zahl nahe bei \(68\), die sich leicht durch \(3\) teilen lässt. - Prüfe, ob dein Stockwerk-Schätzwert zur Turmhöhe passt. - Welche Ziffer entscheidet beim Runden von \(68\) auf Zehner?

1. Für die Schätzung betrachtet man \(68 : 3\). Da \(66 : 3 = 22\) und \(69 : 3 = 23\), entspricht die Turmhöhe ungefähr \(23\) Stockwerken. 2. Beim Runden von \(68\) auf Zehner entscheidet die Einerstelle \(8\). Daher wird auf \(70\,\text{m}\) aufgerundet.

1. Etwa \(23\) Stockwerke 2. \(70\,\text{m}\)

- Schau jeweils auf die Stelle direkt rechts von der Rundungsstelle. - Bei den Ziffern \(0, 1, 2, 3, 4\) wird abgerundet. - Bei den Ziffern \(5, 6, 7, 8, 9\) wird aufgerundet.

1. Bei \(124\,812\) ist die Tausenderstelle \(4\); auf Zehntausender gerundet ergibt sich \(120\,000\). 2. Bei \(9827\) ist die Zehnerstelle \(2\); auf Hunderter gerundet ergibt sich \(9800\). Bei \(12\,305\) ist die Zehnerstelle \(0\); es ergibt sich \(12\,300\). 3. Bei \(512\) ist die Einerstelle \(2\); auf Zehner gerundet ergibt sich \(510\).

a) \(120\,000\) b) Romane: \(9800\); Sachbücher: \(12\,300\) c) \(510\)

- Erinnere dich an die Umrechnungszahlen für Gewichte: Wie viele Gramm sind ein Kilogramm? Wie viele Kilogramm sind eine Tonne? - Bestimme den Wert für die „Hälfte“ der Zieleinheit. - Vergleiche den Restwert mit dieser Hälfte, um zu entscheiden, ob du auf- oder abrundest.

1. Da \(1\,\text{kg} = 1000\,\text{g}\) ist, liegt die Grenze zum Aufrunden bei \(500\,\text{g}\). Wegen \(610\,\text{g} \ge 500\,\text{g}\) wird bei \(8\,\text{kg}\, 610\,\text{g}\) auf \(9\,\text{kg}\) aufgerundet. 2. Da \(1\,\text{t} = 1000\,\text{kg}\) ist, liegt die Grenze bei \(500\,\text{kg}\). Wegen \(490\,\text{kg} < 500\,\text{kg}\) wird bei \(12\,\text{t}\, 490\,\text{kg}\) auf \(12\,\text{t}\) abgerundet. 3. Da \(500\,\text{g}\) genau die Hälfte eines Kilogramms sind, wird nach der kaufmännischen Rundungsregel auf \(4\,\text{kg}\) aufgerundet. 4. Bei \(550\,\text{g}\) (entspricht \(0\,\text{kg}\, 550\,\text{g}\)) sind \(550\,\text{g}\) mehr als \(500\,\text{g}\), daher wird auf \(1\,\text{kg}\) aufgerundet.

a) \(9\,\text{kg}\) b) \(12\,\text{t}\) c) \(4\,\text{kg}\) d) \(1\,\text{kg}\)

- Überlege dir, wie viele Meter in einen Kilometer passen und wie viele Zentimeter in einen Meter. - Was ist jeweils der Schwellenwert für das Aufrunden (die Hälfte der größeren Einheit)? - Schau dir die kleinere Einheit genau an und vergleiche sie mit diesem Schwellenwert.

1. Ein Kilometer entspricht \(1000\,\text{m}\), der Schwellenwert ist \(500\,\text{m}\). Da \(800\,\text{m} \ge 500\,\text{m}\), wird auf \(13\,\text{km}\) aufgerundet. 2. Ein Meter entspricht \(100\,\text{cm}\), der Schwellenwert ist \(50\,\text{cm}\). Da \(45\,\text{cm} < 50\,\text{cm}\), wird auf \(4\,\text{m}\) abgerundet. 3. Da \(500\,\text{m}\) genau die Hälfte eines Kilometers sind, wird die Angabe auf \(10\,\text{km}\) aufgerundet. 4. Da \(90\,\text{cm}\) mehr als die Hälfte eines Meters (\(50\,\text{cm}\)) sind, wird auf \(2\,\text{m}\) aufgerundet.

a) \(13\,\text{km}\) b) \(4\,\text{m}\) c) \(10\,\text{km}\) d) \(2\,\text{m}\)

- Welche Stelle entscheidet beim Runden auf Hunderter? - Runde \(12\,452\) selbst auf Hunderter. - Vergleiche dein Rundungsergebnis mit Lukas Angabe.

1. Beim Runden auf Hunderter entscheidet die Zehnerstelle. 2. Bei \(12\,452\) ist die Zehnerstelle \(5\), daher wird aufgerundet. 3. Es gilt \(12\,452 \approx 12\,500\) auf Hunderter. Das stimmt nicht mit \(12\,400\) überein.

Nein. \(12\,452\,\text{m}\) wird auf Hunderter zu \(12\,500\,\text{m}\) gerundet, nicht zu \(12\,400\,\text{m}\).

- Wähle für jede Rechnung nahe, leicht zu rechnende Zahlen; die Art der Rundung muss zur Rechenart passen. - Dein Überschlag soll die Größenordnung ausreichend genau eingrenzen, nicht das exakte Ergebnis liefern. - Ordne erst nach dem notierten Überschlag den passenden Bereich zu.

1. Für a) eignet sich \(19 \cdot 300 = 5700\). Damit passt Bereich IV. 2. Für b) eignet sich \(4800 : 8 = 600\). Damit passt Bereich I. 3. Für c) eignet sich \(2500 + 2500 = 5000\). Damit passt Bereich II. 4. Für d) eignet sich \(9900 - 4600 = 5300\). Damit passt Bereich III.

a) Überschlag \(19 \cdot 300 = 5700\); Bereich IV b) Überschlag \(4800 : 8 = 600\); Bereich I c) Überschlag \(2500 + 2500 = 5000\); Bereich II d) Überschlag \(9900 - 4600 = 5300\); Bereich III

- Versuche, die Zahlen auf den nächsten Zehner oder Hunderter zu runden. - Rechne mit den gerundeten Werten im Kopf. - Vergleiche deinen Überschlag mit den drei Auswahlmöglichkeiten.

1. Teilaufgabe a): Überschlag \(40 \cdot 50 = 2000\). Das Ergebnis muss in der Nähe von \(2000\) liegen, also \(2142\). 2. Teilaufgabe b): Überschlag \(3500 : 7 = 500\). Das Ergebnis muss in der Nähe von \(500\) liegen, also \(504\). 3. Teilaufgabe c): Überschlag \(13\,000 - 6000 = 7000\). Das Ergebnis muss in der Nähe von \(7000\) liegen, also \(6980\).

a) \(2142\) b) \(504\) c) \(6980\)

- Bestimme zuerst die Schrittweite des Zahlenstrahls. - Welche Zahl liegt genau in der Mitte zwischen zwei benachbarten Hundertern? - Vergleiche die Lage von A und B mit dieser Mitte.

1. A markiert \(3440\), B markiert \(3450\). 2. \(3440\) liegt näher bei \(3400\) und wird daher auf \(3400\) gerundet. 3. \(3450\) liegt genau in der Mitte zwischen \(3400\) und \(3500\). Nach der Rundungsregel wird in diesem Fall auf \(3500\) aufgerundet. 4. B liegt genau an der Rundungsgrenze; A liegt noch darunter.

a) A: \(3440\); B: \(3450\) b) A: \(3400\); B: \(3500\) c) B liegt genau an der Rundungsgrenze, A noch darunter.

- Runde beide Faktoren auf Zahlen, mit denen du leicht im Kopf rechnen kannst. - Für eine Größenordnung muss der Überschlag nicht exakt sein. - Vergleiche dein überschlagenes Ergebnis anschließend mit den drei angebotenen Größenordnungen.

1. Für den Überschlag kann man \(198\) auf etwa \(200\) und \(49\) auf etwa \(50\) runden. 2. Dann ergibt sich \(200 \cdot 50 = 10\,000\). 3. Die Gesamtzahl liegt daher in der Größenordnung \(10\,000\), nicht bei \(1000\) oder \(100\,000\).

Größenordnung \(10\,000\), zum Beispiel mit dem Überschlag \(200 \cdot 50 = 10\,000\).

- Bringe zuerst beide Massen auf dieselbe Einheit, um sie vergleichen zu können. - Wo liegt die genaue Mitte zwischen \(2\,\text{kg}\) und \(3\,\text{kg}\)? - Überlege, was mit Werten passiert, die ganz knapp unter oder über dieser Mitte liegen.

1. Umrechnung von Paket A in Kilogramm: \(2450\,\text{g} = 2{,}45\,\text{kg}\). 2. Rundung von \(2{,}45\,\text{kg}\) auf ganze Kilogramm: Da die erste Dezimalstelle eine \(4\) ist, wird abgerundet: \(2\,\text{kg}\). 3. Rundung von Paket B (\(2{,}55\,\text{kg}\)) auf ganze Kilogramm: Da die erste Dezimalstelle eine \(5\) ist, wird aufgerundet: \(3\,\text{kg}\). 4. Vergleich: Die gerundeten Werte unterscheiden sich (\(2\,\text{kg}\) und \(3\,\text{kg}\)). 5. Begründung: Die beiden Massen liegen auf unterschiedlichen Seiten der Rundungsgrenze von \(2{,}5\,\text{kg}\).

a) Paket A: \(2\,\text{kg}\); Paket B: \(3\,\text{kg}\) b) Ja, sie unterscheiden sich. Paket A liegt knapp unter \(2{,}5\,\text{kg}\) und wird abgerundet; Paket B liegt knapp darüber und wird aufgerundet.

- Runde jede der drei Zahlen erst einmal auf beide Arten und notiere dir die Ergebnisse. - Vergleiche dann deine Rundungsergebnisse mit den Zielwerten in der Aufgabe. - Für Teilaufgabe c) musst du nur in deiner Liste nachschauen, wo zwei gleiche Werte stehen.

1. Untersuchung für Zehnerrundung: \(645 \rightarrow 650\) (aufrunden), \(654 \rightarrow 650\) (abrunden), \(704 \rightarrow 700\) (abrunden). Ergebnis für a): \(645\) und \(654\). 2. Untersuchung für Hunderterrundung: \(645 \rightarrow 600\) (abrunden), \(654 \rightarrow 700\) (aufrunden), \(704 \rightarrow 700\) (abrunden). Ergebnis für b): \(654\) und \(704\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Bei \(704\) ist die Rundung auf Zehner (\(700\)) und auf Hunderter (\(700\)) identisch.

a) \(645\) und \(654\) b) \(654\) und \(704\) c) \(704\) (beide Male ergibt sich \(700\))

- Achte auf die Wörter „rund“ und „genau“. Passen sie in derselben Schlussfolgerung zusammen? - Was geschieht mit der Genauigkeit eines Ergebnisses, wenn eine verwendete Zahl nur näherungsweise bekannt ist?

1. Die Angabe „rund \(2000\)“ ist nur ein Näherungswert und keine exakte Differenz. 2. Wird von einer exakten Zahl ein Näherungswert abgezogen, ist auch das Ergebnis nur näherungsweise bekannt. 3. Die Formulierung „genau \(32\,562\)“ behauptet daher eine Genauigkeit, die aus den Angaben nicht folgt.

Die Angabe ist nicht sinnvoll, weil mit dem Näherungswert „rund \(2000\)“ gerechnet wurde. Deshalb kann die Besucherzahl vom Donnerstag nicht als exakt \(32\,562\) angegeben werden.

- Wandle die Kilogramm-Angabe gedanklich in Gramm um, um zu sehen, in welchem Bereich die Zahlen liegen müssen. - Schau dir bei jeder Zahl die Hunderterstelle an, um zu entscheiden, ob die Tausenderstelle gleich bleibt oder um eins erhöht wird.

1. Da \(1000\,\text{g} = 1\,\text{kg}\) sind, muss auf die Tausenderstelle gerundet werden. 2. \(5500\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(5\), es wird auf \(6000\,\text{g}\) aufgerundet. Das sind \(6\,\text{kg}\). 3. \(6490\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(4\), es wird auf \(6000\,\text{g}\) abgerundet. Das sind \(6\,\text{kg}\). 4. \(5495\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(4\), es wird auf \(5000\,\text{g}\) abgerundet. Das sind \(5\,\text{kg}\). 5. \(6505\,\text{g}\): Die Hunderterziffer ist \(5\), es wird auf \(7000\,\text{g}\) aufgerundet. Das sind \(7\,\text{kg}\).

\(5500\,\text{g}\) und \(6490\,\text{g}\)

- Schreibe die Werte zuerst komplett in der kleineren Einheit auf (z. B. alles in Cent oder alles in Gramm). - Überlege dann, welche Stelle der kleineren Einheit dem Ganzen der größeren Einheit entspricht. - Achte bei Teilaufgabe c) besonders darauf, ob der Wert näher an \(0\,\text{km}\) oder an \(1\,\text{km}\) liegt.

1. \(18{,}60\,\text{€}\) entspricht \(1860\,\text{ct}\). Gerundet auf ganze Euro ergibt sich wegen der \(6\) an der Zehnerstelle \(1900\,\text{ct} = 19\,\text{€}\). 2. \(4\,\text{kg}\,501\,\text{g}\) entspricht \(4501\,\text{g}\). Gerundet auf die Tausenderstelle ergibt sich wegen der \(5\) an der Hunderterstelle \(5000\,\text{g} = 5\,\text{kg}\). 3. \(250\,\text{m}\) gerundet auf Kilometer (Tausenderstelle): Die Hunderterstelle ist \(2\), also wird auf \(0\,\text{m}\) abgerundet. Das Ergebnis ist \(0\,\text{km}\). 4. \(12\,\text{cm}\,4\,\text{mm}\) entspricht \(124\,\text{mm}\). Gerundet auf die Zehnerstelle (da \(10\,\text{mm} = 1\,\text{cm}\)) ergibt sich wegen der \(4\) an der Einerstelle \(120\,\text{mm} = 12\,\text{cm}\).

a) \(19\,\text{€}\) b) \(5\,\text{kg}\) c) \(0\,\text{km}\) d) \(12\,\text{cm}\)

- Gehe Zeile für Zeile vor und bestimme für jede Spalte die entscheidende Ziffer rechts der Rundungsstelle. - Überlege dir für jede Spalte neu, welche Stelle betrachtet werden muss. - Vergleiche die Ergebnisse innerhalb einer Zeile: Werden die Zahlen mit größeren Rundungsstellen „gröber“?

1. Für \(237\,845\): H: \(237\,800\) (Zehner \(4 < 5\)); T: \(238\,000\) (Hunderter \(8 \ge 5\)); ZT: \(240\,000\) (Tausender \(7 \ge 5\)); HT: \(200\,000\) (Zehntausender \(3 < 5\)). 2. Für \(1\,045\,298\): H: \(1\,045\,300\) (Zehner \(9 \ge 5\)); T: \(1\,045\,000\) (Hunderter \(2 < 5\)); ZT: \(1\,050\,000\) (Tausender \(5 \ge 5\)); HT: \(1\,000\,000\) (Zehntausender \(4 < 5\)).

<table> <tr><th>Zahl</th><th>H</th><th>T</th><th>ZT</th><th>HT</th></tr> <tr><td>\(237\,845\)</td><td>\(237\,800\)</td><td>\(238\,000\)</td><td>\(240\,000\)</td><td>\(200\,000\)</td></tr> <tr><td>\(1\,045\,298\)</td><td>\(1\,045\,300\)</td><td>\(1\,045\,000\)</td><td>\(1\,050\,000\)</td><td>\(1\,000\,000\)</td></tr> </table>

- Was passiert mit den benachbarten Stellen, wenn eine Stelle durch Aufrunden den Wert 10 erreicht? - Führe die Rundung für jede Teilaufgabe ganz sorgfältig Schritt für Schritt durch.

1. Auf Zehner runden: Die Einerstelle ist \(5\), also wird aufgerundet. Aus \(9\) Zehnern werden \(10\) Zehner, was zu einem Übertrag führt: \(80\,000\). 2. Auf Hunderter runden: Die Zehnerstelle ist \(9\), also wird aufgerundet. Dies führt erneut zu einem Übertrag durch alle Stellen: \(80\,000\). 3. Auf Tausender runden: Die Hunderterstelle ist \(9\), also wird aufgerundet: \(80\,000\). 4. Auf Zehntausender runden: Die Tausenderstelle ist \(9\), also wird aufgerundet: \(80\,000\). 5. Feststellung: Alle gerundeten Werte sind identisch.

a) \(80\,000\) b) \(80\,000\) c) \(80\,000\) d) \(80\,000\) Feststellung: Alle Ergebnisse sind gleich.

- Überlege, ab welcher Zahl die Hunderterstelle bewirkt, dass die Tausenderstelle um \(1\) erhöht wird. - Überlege, bis zu welcher Zahl die Hunderterstelle bewirkt, dass die Tausenderstelle gleich bleibt. - Was ist die kleinste Ziffer, bei der man aufrundet? - Was ist die größte Ziffer, bei der man abrundet?

1. Kleinstmögliche Zahl: Um auf \(45\,000\) aufzurunden, muss die Tausenderstelle eine \(4\) und die Hunderterstelle mindestens eine \(5\) sein. Die kleinsten Werte für die weiteren Stellen sind jeweils \(0\). Ergebnis: \(44\,500\). 2. Größtmögliche Zahl: Um auf \(45\,000\) abzurunden, muss die Tausenderstelle eine \(5\) und die Hunderterstelle höchstens eine \(4\) sein. Die größten Werte für die weiteren Stellen sind jeweils \(9\). Ergebnis: \(45\,499\).

Kleinstmögliche Zahl: \(44\,500\) Größtmögliche Zahl: \(45\,499\)

- Überlege dir zuerst, an welcher Stelle die Ziffer für den Zehntausender oder Hunderttausender steht. - Schau dir die rechts danebenstehende Ziffer an, um zu entscheiden, ob du auf- oder abrunden musst. - Was passiert bei einer Rundung, wenn an der Zielstelle eine 9 steht und aufgerundet wird?

1. Zahl in Ziffern: \(475\,832\). Rundung auf Zehntausender (nächste Stelle ist 5): aufrunden zu \(480\,000\). Rundung auf Hunderttausender (nächste Stelle ist 7): aufrunden zu \(500\,000\). 2. Zahl in Ziffern: \(1\,099\,417\). Rundung auf Zehntausender (nächste Stelle ist 9): aufrunden zu \(1\,100\,000\). Rundung auf Hunderttausender (nächste Stelle ist 9): aufrunden zu \(1\,100\,000\).

a) \(475\,832\); auf Zehntausender: \(480\,000\); auf Hunderttausender: \(500\,000\) b) \(1\,099\,417\); auf Zehntausender: \(1\,100\,000\); auf Hunderttausender: \(1\,100\,000\)

- Bestimme für jede Teilaufgabe die relevante Stelle für die Rundungsentscheidung. - Denk daran: Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet; bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. - Achte besonders auf den Übertrag, wenn du eine 9 aufrunden musst.

1. Tausender: Die Hunderterstelle ist 5, also aufrunden: \(8\,496\,000\). 2. Zehntausender: Die Tausenderstelle ist 5, also aufrunden. Da an der Zehntausenderstelle eine 9 steht, erhöht sich auch die Hunderttausenderstelle: \(8\,500\,000\). 3. Hunderttausender: Die Zehntausenderstelle ist 9, also aufrunden: \(8\,500\,000\). 4. Millionen: Die Hunderttausenderstelle ist 4, also abrunden: \(8\,000\,000\).

a) \(8\,496\,000\) b) \(8\,500\,000\) c) \(8\,500\,000\) d) \(8\,000\,000\)

- Welche Stelle musst du betrachten, wenn du auf Zehntausender rundest? - Was ist die kleinste Ziffer, bei der man aufrundet? - Was ist die größte Ziffer, bei der man noch abrundet? - Denke daran, dass alle Stellen nach der Rundungsstelle bei der größten Zahl so groß wie möglich sein müssen.

1. Beim Runden auf Zehntausender ist die Tausenderstelle entscheidend. 2. Die kleinste Zahl, die auf \(40\,000\) gerundet wird, ist \(35\,000\). 3. Die größte Zahl, die noch auf \(40\,000\) gerundet wird, ist \(44\,999\).

Es waren mindestens \(35\,000\) Besucher und höchstens \(44\,999\) Besucher.

- Überprüfe für jede Option einzeln, ob sie nach den Rundungsregeln zum Ergebnis \(15\,\text{min}\) führt. - Denk daran, dass man sowohl von unten aufrunden als auch von oben abrunden kann, um bei \(15\,\text{min}\) zu landen. - Welcher Bereich von Sekunden führt dazu, dass die Minutenzahl gleich bleibt, und welcher Bereich führt zur nächsten Minute?

1. Prüfung von A: \(25 < 30 \rightarrow 14\,\text{min}\) (falsch). 2. Prüfung von B: \(40 \ge 30 \rightarrow 15\,\text{min}\) (korrekt). 3. Prüfung von C: \(5 < 30 \rightarrow 15\,\text{min}\) (korrekt). 4. Prüfung von D: \(30 \ge 30 \rightarrow 16\,\text{min}\) (falsch). 5. Prüfung von E: \(59 \ge 30 \rightarrow 15\,\text{min}\) (korrekt).

B, C und E

- Wie berechnest du die Gesamtzahl aus der Anzahl der Klassen und der durchschnittlichen Klassengröße? - Überlege, wie genau eine Zahl in einem kurzen Überblick sein soll. - Vergleiche eine Rundung auf Zehner mit einer Rundung auf Hunderter.

1. Wenn der Durchschnitt genau zutrifft, ergibt sich \(22 \cdot 26 = 572\). 2. Je nach gewünschter Genauigkeit sind zum Beispiel \(570\) auf Zehner oder \(600\) auf Hunderter sinnvoll. Für einen groben Überblick über die Schulgröße ist \(600\) passend; \(570\) ist genauer.

1. \(572\) Kinder 2. Zum Beispiel \(600\) Kinder, auf Hunderter gerundet; mit Begründung ist auch \(570\) auf Zehner sinnvoll.

- Welche Stelle rechts neben der Rundungsstelle entscheidet jeweils? - Verwende in Teil 2 ausdrücklich den auf Tausender gerundeten Wert. - Was bedeutet „jeder zehnte“ rechnerisch?

1. Auf Tausender gerundet ergibt \(45\,812\) den Wert \(46\,000\). Auf Zehntausender gerundet ergibt sich \(50\,000\). 2. Grundlage ist \(46\,000\). Ein Zehntel davon ist \(46\,000 : 10 = 4600\).

1. Auf Tausender: \(46\,000\); auf Zehntausender: \(50\,000\) 2. \(4600\) erwartete Besucher

- Eine Schlagzeile braucht meist gröbere Werte als eine genaue Tabelle. - Überlege für jede Größe getrennt, ob Zehner oder Hunderter sinnvoller sind. - Deine Rundung sollte die Größenordnung gut wiedergeben, ohne unnötig genau zu wirken.

1. Für die Zuschauerzahl ist für einen groben Überblick zum Beispiel \(412 \approx 400\) auf Hunderter sinnvoll. 2. Für die Bratwürste ist zum Beispiel \(187 \approx 190\) auf Zehner sinnvoll; für eine sehr grobe Schlagzeile wäre auch \(200\) vertretbar. 3. Für die Einnahmen sind je nach gewünschter Genauigkeit \(592\,\text{€} \approx 590\,\text{€}\) oder \(592\,\text{€} \approx 600\,\text{€}\) sinnvoll. 4. Für die Dauer ist zum Beispiel \(92\,\text{min} \approx 90\,\text{min}\) auf Zehner sinnvoll.

Eine mögliche sinnvolle Auswahl ist: Zuschauer etwa \(400\), Bratwürste etwa \(190\), Einnahmen etwa \(600\,\text{€}\), Dauer etwa \(90\,\text{min}\). Andere begründete Rundungsstellen, die zum Zweck des Berichts passen, sind möglich.

- Welche Einerziffer führt gerade noch zum Aufrunden auf \(1200\)? - Welche Einerziffer ist die größte, bei der noch auf \(1200\) abgerundet wird? - Suche zuerst die beiden Randwerte des möglichen Bereichs.

1. Beim Runden auf Zehner ist die Einerstelle entscheidend. 2. Die kleinste Zahl, die auf \(1200\) gerundet wird, ist \(1195\). 3. Die größte Zahl, die noch auf \(1200\) gerundet wird, ist \(1204\).

Es kommen alle natürlichen Zahlen von \(1195\) bis \(1204\) infrage.

- Bestimme die untere Grenze, ab der auf \(14\,600\,000\) aufgerundet wird. - Bestimme die obere Grenze, bis zu der noch auf \(14\,600\,000\) abgerundet wird. - Beachte, dass die gesuchten Werte natürliche Zahlen sind.

1. Die kleinste Zahl, die auf Hunderttausender gerundet \(14\,600\,000\) ergibt, ist \(14\,550\,000\). 2. Die größte Zahl, die noch auf \(14\,600\,000\) gerundet wird, ist \(14\,649\,999\).

Die kleinste mögliche Zahl ist \(14\,550\,000\), die größte mögliche Zahl ist \(14\,649\,999\).

- Beim Runden auf Hunderter entscheidet die Zehnerstelle. - Addiere die exakten und die gerundeten Werte getrennt. - Vergleiche anschließend die beiden Summen.

1. Auf Hunderter gerundet gilt \(1244 \approx 1200\), \(876 \approx 900\) und \(1055 \approx 1100\). 2. Die exakte Summe ist \(1244 + 876 + 1055 = 3175\). 3. Die Summe der gerundeten Werte ist \(1200 + 900 + 1100 = 3200\). 4. Der Unterschied beträgt \(3200 - 3175 = 25\).

a) Sommerfest: \(1200\); Winterbasar: \(900\); Sportfest: \(1100\) b) Exakte Summe: \(3175\); Summe der gerundeten Werte: \(3200\); Unterschied: \(25\)

- Vergleiche, wie viele Endnullen die drei gerundeten Angaben haben. - Prüfe die Abstände der gerundeten Werte zu \(4837\). - Überlege, warum eine Zeitung manchmal eine gröbere Rundung bevorzugt.

1. „Uferblick“ rundet \(4837\) auf Tausender zu \(5000\). „Stadtfenster“ rundet auf Hunderter zu \(4800\). „Abendstern“ rundet auf Zehner zu \(4840\). 2. Die Rundung auf Zehner liegt am nächsten am exakten Wert; daher ist „Abendstern“ am genauesten. 3. Eine glatte Zahl wie \(5000\) ist für eine Schlagzeile besonders schnell erfassbar, wenn eine grobe Größenordnung genügt.

a) „Uferblick“: Tausender; „Stadtfenster“: Hunderter; „Abendstern“: Zehner b) „Abendstern“ ist am genauesten. c) \(5000\) ist eine besonders glatte, leicht erfassbare Schlagzeilenzahl.

- Überlege dir zuerst, wie viele Sekunden eine halbe Minute bzw. wie viele Minuten eine halbe Stunde sind. - Wenn der kleinere Teil genau die Hälfte oder mehr ist, rundest du auf die nächste ganze Einheit auf. - Ist der Teil kleiner als die Hälfte, rundest du ab. - Bei Aufgaben mit drei Einheiten rechnest du am besten zuerst alles außer der kleinsten Einheit in die Zieleinheit um.

1. Bei \(14\,\text{min}\, 42\,\text{s}\) sind \(42\,\text{s}\) mehr als die Hälfte einer Minute (\(30\,\text{s}\)), daher wird auf \(15\,\text{min}\) aufgerundet. 2. Bei \(7\,\text{h}\, 15\,\text{min}\) sind \(15\,\text{min}\) weniger als die Hälfte einer Stunde (\(30\,\text{min}\)), daher wird auf \(7\,\text{h}\) abgerundet. 3. Für \(1\,\text{h}\, 25\,\text{min}\, 50\,\text{s}\) erfolgt zuerst die Umrechnung der Stundenanteile in Minuten: \(1\,\text{h} = 60\,\text{min}\), also insgesamt \(60\,\text{min} + 25\,\text{min} = 85\,\text{min}\). Da die verbleibenden \(50\,\text{s}\) mehr als \(30\,\text{s}\) sind, wird auf \(86\,\text{min}\) aufgerundet. 4. Bei \(5\,\text{min}\, 28\,\text{s}\) sind \(28\,\text{s}\) weniger als \(30\,\text{s}\), daher wird auf \(5\,\text{min}\) abgerundet.

a) \(15\,\text{min}\) b) \(7\,\text{h}\) c) \(86\,\text{min}\) d) \(5\,\text{min}\)

- Überlege dir, welche Stelle beim Runden auf Hunderter entscheidend ist. - Was passiert mit der Zehnerstelle, wenn man eine Zahl wie \(447\) zuerst auf Zehner rundet? - Gibt es eine Regel, die besagt, wie viele Schritte man beim Runden machen darf?

1. Vergleich der Methoden: Sarah wendet die korrekte Rundungsregel an. Beim Runden auf Hunderter wird ausschließlich die Zehnerstelle betrachtet. Da die Zehnerstelle von \(447\) eine \(4\) ist, muss abgerundet werden. Das richtige Ergebnis ist \(400\). 2. Fehleranalyse: Lukas begeht den Fehler des „schrittweisen Rundens“. Durch das erste Runden auf Zehner wird aus der \(4\) eine \(5\), was beim anschließenden Runden auf Hunderter fälschlicherweise zum Aufrunden führt. 3. Beispiel für b): Jede Zahl, deren Zehnerstelle eine \(4\) und deren Einerstelle eine \(5, 6, 7, 8\) oder \(9\) ist, führt zu diesem Problem (z. B. \(145, 248, 649\)).

a) Sarah hat recht. Man betrachtet beim Runden auf Hunderter nur die Zehnerstelle. Da dort eine \(4\) steht, wird auf \(400\) abgerundet. Lukas' schrittweises Runden ist mathematisch nicht korrekt. b) Ein mögliches Beispiel ist die Zahl \(145\) (oder jede andere Zahl von \(145\) bis \(149\)).

- Vergleiche die Endnullen von \(4300\) und \(4000\). - Welche Stellen der Ausgangszahl wurden jeweils durch Nullen ersetzt? - Überlege, wie genau die Information für den jeweiligen Zweck sein muss.

1. \(4328\) wird auf Hunderter zu \(4300\) gerundet. 2. \(4328\) wird auf Tausender zu \(4000\) gerundet. 3. Eine allgemeine Info-Seite kann bewusst eine gröbere Größenordnung nennen, während eine lokale Zeitung eine genauere Angabe verwenden kann.

a) „Tannfelder Bote“: auf Hunderter; „Talblick“: auf Tausender b) Zum Beispiel: Die Info-Seite will nur eine grobe, länger brauchbare Größenordnung angeben.

- Ab welcher Ziffer an der Tausenderstelle rundest du auf \(80\,000\) auf? - Welche Ziffer an der Tausenderstelle sorgt dafür, dass du auf \(80\,000\) abrundest? - Überlege dir, wie viele Einer-Schritte zwischen der kleinsten und der größten Zahl liegen.

1. Für das Runden auf Zehntausender betrachtet man die Tausenderstelle. Damit \(80\,000\) entsteht, muss die Zahl mindestens \(75\,000\) sein (Aufrunden ab 5) und darf höchstens \(84\,999\) sein (Abrunden bis 4). 2. Für das Runden auf Tausender betrachtet man die Hunderterstelle. Der Bereich liegt zwischen \(79\,500\) (kleinste Zahl, die aufgerundet wird) und \(80\,499\) (größte Zahl, die abgerundet wird). 3. Die Anzahl der Zahlen im Bereich von \(79\,500\) bis \(80\,499\) berechnet man durch die Differenz plus 1: \(80\,499 - 79\,500 + 1 = 1000\).

a) Kleinste Zahl: \(75\,000\), größte Zahl: \(84\,999\) b) Kleinste Zahl: \(79\,500\), größte Zahl: \(80\,499\) c) \(1000\) Zahlen

- Bestimme zuerst den ganzen Bereich der Zahlen, die auf Zehner zu \(640\) gerundet werden. - Welche Einerziffern kennzeichnen Zahlen, die durch \(5\) teilbar sind? - Schneide anschließend beide Bedingungen miteinander.

1. Auf Zehner gerundet ergeben die Zahlen von \(635\) bis \(644\) den Wert \(640\). 2. Durch \(5\) teilbar sind davon genau die Zahlen, deren Einerziffer \(0\) oder \(5\) ist. 3. Das sind \(635\) und \(640\).

\(635\) und \(640\)

- Welche Faktoren lassen sich für einen Überschlag zu besonders einfachen Zahlen runden? - Berechne für das genaue Ergebnis zuerst die Hefte in einem Karton. - Vergleiche am Ende Überschlag und exaktes Ergebnis.

1. Ein möglicher Überschlag ist \(220 \approx 200\), \(15 \approx 20\) und \(12 \approx 10\). Damit ergibt sich \(200 \cdot 20 \cdot 10 = 40\,000\). 2. Genau enthält ein Karton \(15 \cdot 12 = 180\) Hefte. 3. Insgesamt sind es \(220 \cdot 180 = 39\,600\) Hefte.

Überschlag: etwa \(40\,000\) Hefte Genau: \(39\,600\) Hefte

- Runde die Zahlen so, dass die Rechnungen im Kopf einfach werden. - Bei a) liegen beide Faktoren sehr nahe an glatten Zehner- beziehungsweise Hunderterzahlen. - Bei d) kann eine Rundung beider Zahlen auf Hunderter einen der vorgegebenen Werte ergeben.

1. a) \(59 \approx 60\) und \(101 \approx 100\): \(60 \cdot 100 = 6000\). 2. b) \(15\,075 \approx 15\,000\): \(15\,000 : 15 = 1000\). 3. c) \(1495 \approx 1500\), \(2505 \approx 2500\), \(999 \approx 1000\): \(1500 + 2500 + 1000 = 5000\). 4. d) Auf Hunderter gerundet gilt \(8050 \approx 8100\) und \(3950 \approx 4000\). Daher ist \(8100 - 4000 = 4100\) der passende ungefähre Wert.

a) \(6000\) b) \(1000\) c) \(5000\) d) \(4100\)

- Wähle für den Überschlag nahe, leicht multiplizierbare Zahlen. - Berechne danach das exakte Produkt der beiden gegebenen Faktoren. - Vergleiche das exakte Ergebnis mit der Grenze aus Teil c).

1. Ein sinnvoller Überschlag ist \(50 \cdot 200 = 10\,000\). 2. Genau gilt \(48 \cdot 196 = 9408\). 3. Weil \(9408 < 9500\), ist die Aussage falsch. Der Überschlag lag in der richtigen Größenordnung, war aber für die knappe Grenze allein nicht genau genug.

a) Zum Beispiel \(50 \cdot 200 = 10\,000\) b) \(9408\) Blätter c) Nein, denn \(9408 < 9500\).

- Wird bei der Rundung die Ziffer an der Zielstelle größer oder bleibt sie gleich? - Welche Ziffern an der nächstkleineren Stelle führen zum Aufrunden? - Welche Ziffern an der nächstkleineren Stelle führen zum Abrunden?

1. Beim Runden auf Zehntausender entscheidet die Tausenderstelle. Damit aus \(43\square\,567\) der Wert \(440\,000\) wird, muss aufgerundet werden. Daher kann \(\square\) eine der Ziffern \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) oder \(9\) sein. 2. Beim Runden auf Hunderttausender entscheidet die Zehntausenderstelle. Sie ist hier \(4\), also wird abgerundet. Damit das Ergebnis \(1\,500\,000\) lautet, muss an der Hunderttausenderstelle \(\square = 5\) stehen.

a) \(\square \in \{5; 6; 7; 8; 9\}\) b) \(\square = 5\)

- Bestimme zuerst alle Zahlen, die die erste Bedingung erfüllen. - Bestimme dann alle Zahlen, die die zweite Bedingung erfüllen. - Welche Zahlen kommen in beiden Listen vor? - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Ab \(5\) wird aufgerundet, bis \(4\) wird abgerundet.

1. Alle natürlichen Zahlen, die auf Zehner gerundet \(150\) ergeben, liegen im Bereich von \(145\) bis \(154\). 2. Alle natürlichen Zahlen, die auf Hunderter gerundet \(200\) ergeben, liegen im Bereich von \(150\) bis \(249\). 3. Die Zahlen müssen beide Bedingungen erfüllen. Die Schnittmenge der beiden Bereiche besteht aus \(150, 151, 152, 153\) und \(154\).

Die Zahlen sind \(150, 151, 152, 153\) und \(154\).

- Überlege, ab welcher Ziffer an der Hunderterstelle eine Zahl auf den nächsten Tausender aufgerundet wird. - Welches ist die größte Ziffer an der Hunderterstelle, bei der noch auf den aktuellen Tausender abgerundet wird? - Wie viele Zahlen liegen in einem Bereich, wenn du die kleinste von der größten Zahl abziehst? Denke daran, die erste Zahl mitzuzählen. - Hängt die Anzahl der Zahlen, die in einen Rundungsbereich fallen, von der Größe der Tausenderstelle selbst ab?

1. Bestimmung der Grenzen für das Runden auf Tausender bei \(8000\): Die kleinste Zahl, die aufgerundet wird, ist \(7500\). Die größte Zahl, die abgerundet wird, ist \(8499\). 2. Berechnung der Anzahl: Die Zahlen von \(7500\) bis \(8499\) sind insgesamt \(8499 - 7500 + 1 = 1000\) Zahlen. 3. Vergleich mit \(25\,000\): Beim Runden auf Tausender ist der Bereich der Zahlen, die auf einen Zielwert gerundet werden, immer gleich groß, sofern der Zielwert groß genug ist. Für \(25\,000\) liegen die Zahlen im Bereich von \(24\,500\) bis \(25\,499\). Dies sind ebenfalls genau \(1000\) Zahlen. Die Begründung liegt in der Rundungsregel für die Hunderterstelle (Ziffern 0–4 führen zum Abrunden, 5–9 zum Aufrunden), die unabhängig vom Tausenderwert immer denselben Zahlenbereich abdeckt.

a) Kleinste Zahl: \(7500\); größte Zahl: \(8499\) b) Es sind \(1000\) Zahlen. c) Ja, es sind ebenfalls \(1000\) Zahlen, da der Rundungsbereich von \(24\,500\) bis \(25\,499\) reicht und damit genau \(1000\) natürliche Zahlen umfasst.

- Schau dir den Zielwert \(70\) und die Randwerte \(65\) und \(74\) an. Welche Rundungsstelle passt dazu? - Für die Anzahl einer Folge aufeinanderfolgender Zahlen brauchst du beide Randwerte. - Überlege für Teil c), wie breit der vollständige Bereich um einen auf Zehntausender gerundeten Zielwert sein muss. - Bestimme anschließend die kleinste und die größte Zahl dieses Bereichs.

1. Da die Zahlen im Bereich um \(70\) liegen und die Einerstelle über das Runden entscheidet, wurde auf Zehner gerundet. 2. Von \(65\) bis \(74\) sind es \(74 - 65 + 1 = 10\) Zahlen. 3. Auf Zehntausender gerundet ergibt jede Zahl von \(55\,000\) bis \(64\,999\) den Wert \(60\,000\). Das sind \(64\,999 - 55\,000 + 1 = 10\,000\) Zahlen.

a) Auf Zehner. b) \(10\) Zahlen. c) \(10\,000\) Zahlen.

- Bestimme für beide Fälle zuerst die kleinste und die größte mögliche Zahl. - Wie berechnest du, wie viele Zahlen in einem Bereich (von ... bis ...) liegen? - Überlege dir, ob ein gröberes Rundungsziel (wie Hunderter statt Zehner) die Menge der möglichen Ursprungszahlen vergrößert oder verkleinert.

1. Fall a (Zehner): Die Zahlen reichen von \(795\) bis \(804\). Das sind die Zahlen \(\{795, 796, 797, 798, 799, 800, 801, 802, 803, 804\}\). Es gibt insgesamt \(10\) Zahlen. 2. Fall b (Hunderter): Die Zahlen reichen von \(750\) bis \(849\). Die Anzahl berechnet sich durch \(849 - 750 + 1 = 100\). Es gibt insgesamt \(100\) Zahlen. 3. Vergleich: Da \(100 > 10\), gibt es beim Runden auf Hunderter deutlich mehr Möglichkeiten.

Beim Runden auf Zehner gibt es \(10\) Möglichkeiten (\(795\) bis \(804\)). Beim Runden auf Hunderter gibt es \(100\) Möglichkeiten (\(750\) bis \(849\)). Somit gibt es beim Runden auf Hunderter mehr Möglichkeiten.

- Überlege dir für jedes Rundungsergebnis einzeln, welche Zahlen darauf gerundet werden könnten. - Welche Ziffer an der Tausenderstelle sorgt dafür, dass auf \(60\,000\) auf- oder abgerundet wird? - Suche eine Zahl, die in allen drei berechneten Zahlenbereichen liegt.

1. Bestimmung des Bereichs für die Rundung auf Zehntausender: Für das Ergebnis \(60\,000\) muss die Zahl im Bereich von \(55\,000\) bis \(64\,999\) liegen. 2. Bestimmung des Bereichs für die Rundung auf Tausender: Für das Ergebnis \(62\,000\) muss die Zahl im Bereich von \(61\,500\) bis \(62\,499\) liegen. 3. Bestimmung des Bereichs für die Rundung auf Hunderter: Für das Ergebnis \(61\,800\) muss die Zahl im Bereich von \(61\,750\) bis \(61\,849\) liegen. 4. Schnittmenge bilden: Alle Zahlen von \(61\,750\) bis \(61\,849\) erfüllen alle drei Bedingungen. Eine mögliche Zahl ist zum Beispiel \(61\,800\).

Eine mögliche Zahl ist \(61\,800\) (auch jede andere Zahl von \(61\,750\) bis \(61\,849\) ist korrekt).

- Bestimme die Untergrenze und die Obergrenze für jede der Rundungen. - Kann eine Zahl gleichzeitig auf \(5000\) (T) und auf \(5600\) (H) gerundet werden? Schau dir die Ziffer an der Hunderterstelle genau an. - Wenn sich zwei Bereiche komplett ausschließen, gibt es keine gemeinsame Lösung.

1. Analyse der Tausender-Rundung: Eine Zahl, die auf Tausender gerundet \(5000\) ergibt, muss kleiner als \(5500\) sein (Bereich \([4500; 5499]\)). 2. Analyse der Hunderter-Rundung: Eine Zahl, die auf Hunderter gerundet \(5600\) ergibt, muss mindestens \(5550\) groß sein (Bereich \([5550; 5649]\)). 3. Vergleich der Bedingungen: Die erste Bedingung verlangt \(x < 5500\), während die zweite Bedingung \(x \ge 5550\) verlangt. 4. Schlussfolgerung: Da es keine Zahl gibt, die gleichzeitig kleiner als \(5500\) und größer oder gleich \(5550\) ist, existiert keine solche Zahl. Die Zehner-Bedingung muss gar nicht mehr geprüft werden.

Es gibt keine solche Zahl. Eine Zahl, die auf Tausender gerundet \(5000\) ergibt, darf höchstens \(5499\) sein. Eine Zahl, die auf Hunderter gerundet \(5600\) ergibt, muss jedoch mindestens \(5550\) sein. Diese Bedingungen widersprechen sich.

- Bestimme für jede Rundungsstelle den vollständigen Bereich, der zu \(10\,000\) gerundet wird. - Gesucht sind nur Zahlen, die in allen drei Bereichen gleichzeitig liegen. - Zähle die natürlichen Zahlen in der gemeinsamen Schnittmenge einschließlich beider Randwerte.

1. Für die Rundung auf Tausender sind alle natürlichen Zahlen von \(9500\) bis \(10\,499\) möglich. 2. Für die Rundung auf Hunderter sind alle natürlichen Zahlen von \(9950\) bis \(10\,049\) möglich. 3. Für die Rundung auf Zehner sind alle natürlichen Zahlen von \(9995\) bis \(10\,004\) möglich. 4. Gemeinsam in allen drei Bereichen liegen daher die Zahlen von \(9995\) bis \(10\,004\). 5. Das sind \(10\,004 - 9995 + 1 = 10\) Zahlen.

Eine mögliche Zahl ist \(9998\). Insgesamt gibt es \(10\) solche Zahlen, nämlich alle natürlichen Zahlen von \(9995\) bis \(10\,004\).

- Was passiert, wenn du \(3510\) auf Tausender rundest? Schau dir die Hunderterstelle an. - Bestimme für jede Bedingung einzeln den Bereich (von ... bis ...). - Welche Zahlen liegen in beiden Bereichen gleichzeitig?

1. Prüfung von \(3510\): Beim Runden auf Tausender betrachtet man die Hunderterstelle. Da diese 5 ist, wird auf \(4000\) aufgerundet. Somit ergibt sich nicht \(3000\). 2. Bereich für Bedingung 1 (Runden auf Tausender zu \(3000\)): Zahlen von \(2500\) bis \(3499\). 3. Bereich für Bedingung 2 (Runden auf Hunderter zu \(3500\)): Zahlen von \(3450\) bis \(3549\). 4. Schnittmenge beider Bereiche finden: Die Zahlen müssen zwischen \(3450\) und \(3499\) liegen. 5. Die kleinste Zahl ist \(3450\), die größte Zahl ist \(3499\).

a) Weil \(3510\) an der Hunderterstelle eine 5 hat und somit auf Tausender gerundet \(4000\) ergibt. b) Kleinste Zahl: \(3450\), größte Zahl: \(3499\)

- Gehe die Zahlen nacheinander durch oder teile sie in Gruppen ein. - Überlege dir: Welche Zahlen werden beim Runden auf Zehner auf \(350\) aufgerundet? - Was passiert, wenn diese \(350\) danach auf Hunderter gerundet wird? - Welches Ergebnis hättest du erhalten, wenn du die ursprüngliche Zahl (mit einer \(4\) an der Zehnerstelle) direkt auf Hunderter gerundet hättest?

1. Direktes Runden auf Hunderter: Die Zahlen \(340\) bis \(349\) werden auf \(300\) abgerundet (Zehnerstelle ist \(4\)). Die Zahl \(350\) wird auf \(400\) aufgerundet (Zehnerstelle ist \(5\)). 2. Schrittweises Runden für \(340\) bis \(344\): Diese werden auf Zehner abgerundet zu \(340\). Das Runden von \(340\) auf Hunderter ergibt \(300\). (Gleiches Ergebnis wie direkt). 3. Schrittweises Runden für \(345\) bis \(349\): Diese werden auf Zehner aufgerundet zu \(350\). Das Runden von \(350\) auf Hunderter ergibt \(400\). (Anderes Ergebnis als direkt, da direkt \(300\) war). 4. Schrittweises Runden für \(350\): Bleibt beim Runden auf Zehner \(350\). Das Runden auf Hunderter ergibt \(400\). (Gleiches Ergebnis wie direkt). 5. Identifikation der Differenzen: Die Zahlen \(345, 346, 347, 348\) und \(349\) liefern unterschiedliche Ergebnisse.

Es sind die Zahlen \(345, 346, 347, 348\) und \(349\). Bei diesen ergibt das schrittweise Runden \(400\), das direkte Runden jedoch \(300\).

- Runde die beiden unbequemeren Faktoren auf nahe, leicht rechenbare Zahlen. - Vergleiche zunächst nur die Größenordnung des Überschlags mit Janas Zahl. - Rechne erst danach exakt und prüfe, ob der Überschlag dazu passt.

1. Für einen Überschlag kann man \(49 \approx 50\) und \(198 \approx 200\) setzen. Dann ergibt sich \(6 \cdot 50 \cdot 200 = 60\,000\). 2. Janas Ergebnis \(5820\) ist damit schon vor der exakten Rechnung unplausibel, weil es ungefähr um eine Zehnerpotenz zu klein ist. 3. Genau gilt \(6 \cdot 49 \cdot 198 = 58\,212\). 4. Der Überschlag \(60\,000\) liegt nahe am exakten Ergebnis und bestätigt die Größenordnung.

Janas Ergebnis ist unplausibel. Ein Überschlag ergibt etwa \(60\,000\); genau sind es \(58\,212\) Becher.