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- Entscheide nach der Bedeutung im Satz und nicht danach, wie die Zahl geschrieben ist. - Eine Anzahl sagt, wie viele Dinge vorhanden sind; eine Positionsangabe sagt, an welcher Stelle etwas steht. - Prüfe jede der fünf Zahlenangaben einzeln mit diesen beiden Fragen.

1. \(15\) beschreibt die Anzahl der Stockwerke, \(4\) die Anzahl der Familien und \(3\) die Anzahl der Kinder. Diese Angaben beantworten „Wie viele?“. 2. \(8\) bezeichnet die Position einer Etage und \(2\) die Position einer Tür von links. Diese Angaben bezeichnen eine Stelle in einer Reihenfolge. 3. Als Ordnungszahlen lauten diese Positionsangaben \(8.\) und \(2.\).

Zählzahl-Verwendung: \(15\), \(4\), \(3\) Ordnungszahl-Verwendung: \(8\) als \(8.\) und \(2\) als \(2.\)

- Welche Rechenart hilft dir dabei, einen Betrag gerecht auf mehrere Personen aufzuteilen? - Überlege, wie oft die Zahl der Kinder in den Gesamtbetrag passt.

1. Teile den Gesamtbetrag durch die Anzahl der Kinder: \(175\,\text{€} : 25 = 7\,\text{€}\).

Jedes Kind muss \(7\,\text{€}\) bezahlen.

- Überlege, ob die Anzahl größer oder kleiner wird. - Verbinde die vorhandenen Tulpen mit den neu hinzukommenden Tulpen.

1. Die vorhandenen und die neu gepflanzten Tulpen werden addiert: \(125 + 38 = 163\).

\(163\) Tulpen

- Gesucht ist die gleich große Anzahl in einer Kiste. - Überlege, welche Rechenart zu einer gleichmäßigen Verteilung passt.

1. Die \(96\) Trainingshütchen werden gleichmäßig auf \(8\) Kisten verteilt: \(96 : 8 = 12\).

\(12\) Trainingshütchen pro Kiste

- Entscheide nicht nach der Schreibweise: In allen drei Angaben steht dieselbe Zahl. - Frage bei jeder Verwendung, ob die Zahl etwas zählt, eine Stelle in einer Reihenfolge angibt oder etwas lediglich bezeichnet. - Formuliere zu jeder Angabe selbst eine passende Frage; daran erkennst du die Bedeutung der Zahl.

1. Bei „Station \(8\)“ dient die Zahl dazu, eine bestimmte Station zu bezeichnen. Sie beantwortet die Frage „Welche Station?“ und wird als Kennzahl verwendet. 2. Bei „\(8\) Treffer“ gibt die Zahl eine Anzahl an. Sie beantwortet die Frage „Wie viele Treffer?“ und wird als Zählzahl verwendet. 3. Bei „Startplatz \(8\)“ gibt die Zahl eine Position in einer geordneten Reihenfolge an. Sie beantwortet die Frage „An welcher Stelle?“ und wird als Ordnungszahl verwendet.

„Station \(8\)“: Kennzahl — „Welche Station?“ „\(8\) Treffer“: Zählzahl — „Wie viele Treffer?“ „Startplatz \(8\)“: Ordnungszahl — „An welcher Stelle?“

- Wie viele Karten hat Leon, nachdem er die zusätzlichen Karten erhalten hat? - Wenn beide am Ende gleich viele Karten haben, wie viele hat Ben dann in diesem Moment? - Arbeite anschließend rückwärts zum Anfangsbestand von Ben.

1. Nach dem Geschenk hat Leon \(25 + 8 = 33\) Karten. 2. Da beide dann gleich viele Karten besitzen, hat Ben zu diesem Zeitpunkt ebenfalls \(33\) Karten. 3. Vor dem Verschenken hatte Ben \(33 + 8 = 41\) Karten.

Ben besitzt zu Beginn \(41\) Sammelkarten.

- Berechne die Wassermenge für kleine und große Beete getrennt. - Achte darauf, welche Anzahl von Beeten zu welcher Wassermenge pro Beet gehört. - Addiere anschließend beide Teilmengen.

1. Wasser für die kleinen Beete: \(24 \cdot 6\,\text{l} = 144\,\text{l}\). 2. Wasser für die großen Beete: \(2 \cdot 14\,\text{l} = 28\,\text{l}\). 3. Gesamtmenge: \(144\,\text{l} + 28\,\text{l} = 172\,\text{l}\).

Insgesamt werden \(172\,\text{l}\) Wasser benötigt.

- Überlege, welche Rechenart eine Menge in gleich große Gruppen zerlegt. - Deute Quotient und Rest getrennt im Sachzusammenhang. - Prüfe, ob volle Netze und übrige Murmeln zusammen wieder die Ausgangsmenge ergeben.

1. Teile die Gesamtzahl durch die Anzahl pro Netz: \(1240 : 15 = 82\) Rest \(10\). 2. Der Quotient \(82\) gibt die Zahl der vollständig gefüllten Netze an. 3. Der Rest \(10\) gibt die Zahl der Murmeln an, die nicht mehr für ein volles Netz reichen.

Es können \(82\) Netze vollständig gefüllt werden. Dabei bleiben \(10\) Murmeln übrig.

- Fasse zuerst die drei Obstmengen einer einzelnen Lieferung in einem Ausdruck zusammen. - Der Gesamtterm soll zusätzlich zeigen, dass dieselbe Tageslieferung an fünf Tagen kommt. - Nutze Klammern so, dass die zusammengehörige Tagesmenge als Einheit erkennbar bleibt.

1. Die Masse einer Lieferung wird durch \(4\cdot8+3\cdot6+2\cdot7\) beschrieben. 2. Für fünf gleiche Lieferungen lautet ein passender Gesamtterm \((4\cdot8+3\cdot6+2\cdot7)\cdot5\). 3. Eine Lieferung hat die Masse \(32+18+14=64\,\text{kg}\). 4. Für die Woche erhält man \(64\cdot5=320\,\text{kg}\).

Gesamtterm: \((4\cdot8+3\cdot6+2\cdot7)\cdot5\) Ergebnis: \(320\,\text{kg}\)

- Fasse zuerst die beiden Bleistiftsorten eines Pakets zusammen. - Zeige im Gesamtterm, dass derselbe Paketinhalt mehrfach vorkommt. - Ergänze danach den Term für die Radiergummis und verbinde beide Mengen passend.

1. In einem Bleistiftpaket liegen \(12+18=30\) Bleistifte. 2. Die \(8\) Pakete enthalten zusammen \(8\cdot30=240\) Bleistifte. 3. Die Radiergummipackungen enthalten zusammen \(5\cdot6=30\) Radiergummis. 4. Insgesamt sind es \(240+30=270\) Artikel. 5. Ein passender Gesamtterm ist \(8\cdot(12+18)+5\cdot6\).

Der Gesamtterm lautet \(8\cdot(12+18)+5\cdot6\). Insgesamt sind es \(270\) Artikel.

- Fasse zuerst die Besucherzahlen aller Vorstellungen zusammen. - Der Eintrittspreis ist für jede Person gleich. - Nutze die Gesamtbesucherzahl, um die Einnahmen für das ganze Wochenende zu berechnen.

1. Gesamtbesucherzahl: \(240 + 310 + 350 + 180 + 320 = 1400\). 2. Gesamteinnahmen: \(1400 \cdot 12\,\text{€} = 16\,800\,\text{€}\).

Die Gesamteinnahmen betragen \(16\,800\,\text{€}\).

- Markiere nur Angaben, die die Anzahl der Holzperlen verändern oder beschreiben. - Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Holzperlen in den gleich gefüllten Schachteln. - Berücksichtige danach die Holzperlen, die nicht in Schachteln liegen.

1. Die Strecke des Lieferwagens wird für die gesuchte Perlenzahl nicht benötigt. 2. In den Schachteln liegen insgesamt \(14 \cdot 18 = 252\) Holzperlen. 3. Mit den einzelnen Holzperlen sind es \(252 + 35 = 287\) Holzperlen.

\(287\) Holzperlen

- Wie viele gleich große Teile bilden in der Darstellung die ganze Menge? - Bestimme zuerst den Wert eines einzigen Teils. - Übertrage diesen Wert anschließend auf die markierten Teile von A und B.

1. Die Darstellung teilt die Gesamtmenge in \(5\) gleich große Teile. 2. Ein Teil entspricht \(45 : 5 = 9\) Büchern. 3. Bei A sind \(2\) Teile markiert: \(2 \cdot 9 = 18\). 4. Bei B sind \(3\) Teile markiert: \(3 \cdot 9 = 27\).

Gruppe A hat \(18\) Bücher und Gruppe B \(27\) Bücher gesammelt.

- Überlege, welche Größe du mit der Zahl der Kinder vergleichen müsstest. - Welche Angabe brauchst du, um aus der Zahl der Busse eine Gesamtzahl von Sitzplätzen zu bestimmen? - Prüfe, ob die vorhandenen Angaben diese Größe eindeutig festlegen.

1. Die Zahl der Kinder und die Zahl der Busse sind bekannt. 2. Um zu entscheiden, ob die Plätze reichen, müsste man die Gesamtzahl der Sitzplätze bestimmen. 3. Dafür fehlt die Angabe, wie viele Kinder in einen Bus passen. 4. Ohne diese Kapazität sind sowohl „ja“ als auch „nein“ möglich; die Frage ist daher mit den gegebenen Angaben nicht eindeutig entscheidbar.

Nein. Es fehlt die Angabe, wie viele Kinder in einen Bus passen. Erst damit lässt sich prüfen, ob die \(5\) Busse zusammen mindestens \(184\) Plätze bieten.

- Bestimme zuerst aus Gesamtwert und Wert pro Marke die Anzahl der Marken. - Nutze dieses Ergebnis anschließend für die Verpackung. - Achte bei der letzten Teilaufgabe auf die Umrechnung von Gramm in Kilogramm.

1. Anzahl der Wertmarken: \(60\,000\,\text{€} : 3\,\text{€} = 20\,000\). 2. Anzahl der Tüten: \(20\,000 : 50 = 400\). 3. Gesamtmasse: \(20\,000 \cdot 4\,\text{g} = 80\,000\,\text{g} = 80\,\text{kg}\).

a) \(20\,000\) Wertmarken b) \(400\) Tüten c) \(80\,\text{kg}\)

- Berechne zuerst die Gesamtzahl der Zuschauer über alle Spiele. - Verwende für Teil b) die ausdrücklich angegebene Modellannahme pro Zuschauer und achte auf die Einheit. - Teile die gesamte Abfallmenge anschließend durch die Kapazität einer Arbeitsschicht.

1. Gesamtzuschauerzahl: \(75\,000 \cdot 12 = 900\,000\). 2. Abfallmenge: \(900\,000 \cdot 200\,\text{g} = 180\,000\,000\,\text{g} = 180\,000\,\text{kg}\). 3. Arbeitsschichten: \(180\,000\,\text{kg} : 1500\,\text{kg} = 120\).

a) \(900\,000\) Zuschauer b) \(180\,000\,\text{kg}\) Abfall c) \(120\) Arbeitsschichten

- Teile die Gesamtzahl der Flyer durch die jeweilige Kartonkapazität. - Für Teil c) bestimme zuerst, wie viele Gruppen zu \(500\) Flyern enthalten sind. - Rechne die Gesamthöhe am Ende von Zentimetern in Meter um.

1. Kleine Kartons: \(1\,500\,000 : 250 = 6000\). 2. Große Kartons: \(1\,500\,000 : 1250 = 1200\). 3. Es gibt \(1\,500\,000 : 500 = 3000\) Stapelgruppen. Ihre Gesamthöhe ist \(3000 \cdot 5\,\text{cm} = 15\,000\,\text{cm} = 150\,\text{m}\).

a) \(6000\) kleine Kartons b) \(1200\) große Kartons c) \(150\,\text{m}\)

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Personen. - Vergleiche die Kosten der beiden Bestellarten vollständig. - Für den Preis pro Person kann eine Umrechnung in Cent die Division vereinfachen.

1. Insgesamt sind es \(22 + 3 = 25\) Personen. 2. Einzelpizzen: \(25 \cdot 7\,\text{€} = 175\,\text{€}\). 3. Familienpizzen: \(25 : 5 = 5\) Pizzen; Kosten \(5 \cdot 32\,\text{€} = 160\,\text{€}\). 4. Ersparnis: \(175\,\text{€} - 160\,\text{€} = 15\,\text{€}\). 5. Pro Person: \(160\,\text{€} = 16\,000\,\text{Cent}\); \(16\,000 : 25 = 640\,\text{Cent} = 6{,}40\,\text{€}\).

a) \(175\,\text{€}\) b) \(5\) Familienpizzen für \(160\,\text{€}\) c) Familienpizzen; Ersparnis \(15\,\text{€}\) d) \(6{,}40\,\text{€}\) pro Person

- Berechne die Gesamtkosten für jede Variante getrennt. - Bei Teil b) musst du zuerst bestimmen, wie viele Personen nach den zwei Gruppenkarten noch Einzelkarten brauchen. - Vergleiche erst am Ende alle drei Gesamtpreise.

1. Einzelkarten: \(30 \cdot 6\,\text{€} = 180\,\text{€}\). 2. Zwei Gruppenkarten kosten \(2 \cdot 52\,\text{€} = 104\,\text{€}\). Für die übrigen \(10\) Personen kosten Einzelkarten \(10 \cdot 6\,\text{€} = 60\,\text{€}\). Zusammen sind das \(164\,\text{€}\). 3. Drei Gruppenkarten kosten \(3 \cdot 52\,\text{€} = 156\,\text{€}\). 4. Vergleich: \(156\,\text{€} < 164\,\text{€} < 180\,\text{€}\). Daher ist Möglichkeit c am günstigsten.

a) \(180\,\text{€}\) b) \(164\,\text{€}\) c) \(156\,\text{€}\) d) Möglichkeit c

- Überlege bei Aufgabe b, wie viele Karten man braucht, damit wirklich niemand ohne Ticket dasteht. - Kombiniere in Aufgabe c die festen Paketpreise mit den Preisen für die restlichen Einzelpersonen. - Vergleiche alle ausgerechneten Gesamtbeträge, um die günstigste Option zu finden.

1. Kosten Einzelfahrten: \(42 \cdot 5\,\text{€} = 210\,\text{€}\). 2. Anzahl Zehnerkarten für \(42\) Personen: \(42 : 10 = 4\) Rest \(2\). Es werden \(5\) Karten benötigt. Kosten: \(5 \cdot 42\,\text{€} = 210\,\text{€}\). 3. Kombination aus \(4\) Zehnerkarten und \(2\) Einzelkarten: \(4 \cdot 42\,\text{€} = 168\,\text{€}\). \(2 \cdot 5\,\text{€} = 10\,\text{€}\). Gesamt: \(168\,\text{€} + 10\,\text{€} = 178\,\text{€}\). 4. Ersparnis berechnen: Günstigste Variante ist die Kombination (\(178\,\text{€}\)). Ersparnis gegenüber Einzelfahrten (\(210\,\text{€}\)): \(210\,\text{€} - 178\,\text{€} = 32\,\text{€}\).

a) \(210\,\text{€}\) b) \(5\) Zehnerkarten für \(210\,\text{€}\) c) \(178\,\text{€}\) d) Die Ersparnis beträgt \(32\,\text{€}\).

- Teile die Gesamtsumme jeweils durch den Wert eines einzelnen Scheins. - Für Teil c) bestimme zuerst die Anzahl der Bündel zu je \(100\) Scheinen. - Da die Bündeldicke nur ungefähr angegeben ist, muss auch die Stapelhöhe als Näherungswert formuliert werden.

1. \(6\,000\,000 : 100 = 60\,000\) Scheine zu \(100\,\text{€}\). 2. \(6\,000\,000 : 20 = 300\,000\) Scheine zu \(20\,\text{€}\). 3. Das sind \(300\,000 : 100 = 3000\) Bündel. Bei etwa \(1\,\text{cm}\) pro Bündel ergibt sich ungefähr \(3000\,\text{cm} = 30\,\text{m}\).

a) \(60\,000\) Scheine b) \(300\,000\) Scheine c) ungefähr \(30\,\text{m}\)

- Gehe vom Fußpunkt aus Schritt für Schritt nach oben. - Achte darauf, welche Höhenangaben relative Zuwächse und welche absolute Höhen sind. - Für Teil b) vergleichst du die beiden absoluten Spitzenhöhen.

1. Untere Plattform: \(485\,\text{m} + 156\,\text{m} = 641\,\text{m}\). 2. Obere Plattform: \(641\,\text{m} + 68\,\text{m} = 709\,\text{m}\). 3. Turmspitze: \(709\,\text{m} + 92\,\text{m} = 801\,\text{m}\). 4. Unterschied: \(801\,\text{m} - 572\,\text{m} = 229\,\text{m}\).

a) \(801\,\text{m}\) über dem Meeresspiegel b) \(229\,\text{m}\)

- Kannst du zuerst bestimmen, wie viel Wasser insgesamt in das Becken geflossen ist? - Überlege, ob das Wasser aus der undichten Stelle die verfügbare Menge vergrößert oder verkleinert. - Wie viel Wasser befindet sich nach dem Abfluss tatsächlich im Becken? - Welche Rechnung hilft dir, den Unterschied zwischen dem aktuellen Stand und dem Ziel von \(15\,000\,\text{l}\) zu finden?

1. Berechnung der gesamten Wassermenge, die in das Becken geflossen ist: \(4250\,\text{l} + 5180\,\text{l} + 3940\,\text{l} = 13\,370\,\text{l}\). 2. Bestimmung der nutzbaren Wassermenge nach Abzug des Verlusts durch das Leck: \(13\,370\,\text{l} - 285\,\text{l} = 13\,085\,\text{l}\). 3. Berechnung der noch fehlenden Menge bis zum Zielwert: \(15\,000\,\text{l} - 13\,085\,\text{l} = 1915\,\text{l}\).

Es fehlen noch \(1915\,\text{l}\) Wasser.

- Überlege für jeden Wochentag, ob der Regalbestand steigt oder sinkt. - Prüfe, welche Information den Bestand gar nicht verändert. - Arbeite Tag für Tag mit einem neuen Zwischenstand.

1. Montag: \(145 - 18 + 22 = 149\). 2. Dienstag: \(10 + 4 + 1 = 15\) neue Bücher; damit \(149 + 15 - 7 = 157\). 3. Mittwoch: Netto kommen \(12\) Bücher hinzu, also \(157 + 12 = 169\). 4. Donnerstag: \(169 - 24 + 3 = 148\). Die \(15\) nur lesenden Kinder ändern den Bestand nicht. 5. Freitag: \(148 + 31 - 19 = 160\).

Am Ende der Woche stehen \(160\) Bücher im Regal.

- Bestimme zuerst die Zahl der Karten im zweiten Vorverkauf. - Addiere danach alle bereits vergebenen Plätze. - Vergleiche diese Summe mit der Gesamtkapazität.

1. Zweiter Vorverkauf: \(845 + 125 = 970\) Karten. 2. Insgesamt vergeben: \(845 + 970 + 210 = 2025\) Plätze. 3. Frei: \(2500 - 2025 = 475\) Plätze.

Es bleiben \(475\) Plätze frei.

- Berechne zuerst den Verkauf am Nachmittag. - Addiere alle verkauften und verschenkten Muffins. - Ziehe die gesamte abgegebene Menge vom Anfangsbestand ab.

1. Am Nachmittag werden \(187 + 115 = 302\) Muffins verkauft. 2. Insgesamt werden \(187 + 302 + 45 = 534\) Muffins abgegeben. 3. Übrig bleiben \(600 - 534 = 66\) Muffins.

Es bleiben \(66\) Muffins übrig.

- Bestimme zuerst die Zahl der Sachbücher. - Addiere alle belegten Plätze. - Ziehe die belegten Plätze von der Gesamtkapazität ab.

1. Sachbücher: \(540 - 125 = 415\). 2. Belegte Plätze: \(540 + 415 + 85 = 1040\). 3. Freie Plätze: \(1500 - 1040 = 460\).

Es gibt \(460\) freie Plätze.

- Was wäre passiert, wenn gar kein Wasser entnommen worden wäre? Wie viel hätte man dann nachfüllen müssen? - Überlege dir, wie viel Platz in der Tonne nach dem ersten Befüllen noch frei war. - Vergleiche die Menge, die tatsächlich nachgefüllt wurde, mit dem Platz, der ursprünglich noch frei war. - Hilft es dir, die gesamte Menge an Wasser zu berechnen, die insgesamt in die Tonne gegossen wurde?

1. Berechnung der gesamten Wassermenge, die in die Tonne gefüllt wurde: \(280\,\text{l} + 230\,\text{l} = 510\,\text{l}\). 2. Bestimmung der entnommenen Menge durch Abzug des Fassungsvermögens der vollen Tonne: \(510\,\text{l} - 400\,\text{l} = 110\,\text{l}\). Alternativer Weg: 1. Berechnung des freien Platzes nach der ersten Füllung: \(400\,\text{l} - 280\,\text{l} = 120\,\text{l}\). 2. Differenz zwischen der Nachfüllmenge und dem ursprünglichen Freiraum berechnen: \(230\,\text{l} - 120\,\text{l} = 110\,\text{l}\).

Es wurden \(110\,\text{l}\) Wasser entnommen.

- Kannst du zuerst ausrechnen, was die Fahrt für eine einzelne Person kostet? - Achte darauf, dass manche Kosten für die ganze Gruppe und manche bereits pro Person angegeben sind. - Wie viele Schritte sind nötig, um alle Kosten für eine Person zusammenzufassen?

1. Die Seilbahnfahrt kostet pro Person \(432\,\text{€} : 18 = 24\,\text{€}\). 2. Mit der Führung sind es \(24\,\text{€} + 5\,\text{€} = 29\,\text{€}\).

Jede Person muss insgesamt \(29\,\text{€}\) bezahlen.

- Ziehe zuerst die Versandkosten vom Gesamtpreis ab. - Danach kennst du den Preis für alle \(15\) Bälle zusammen. - Wie erhältst du daraus den Preis für einen Ball?

1. Preis aller Bälle ohne Versand: \(342\,\text{€} - 12\,\text{€} = 330\,\text{€}\). 2. Preis pro Ball: \(330\,\text{€} : 15 = 22\,\text{€}\).

Ein Fußball kostet \(22\,\text{€}\) ohne Versandkosten.

- Berechne zuerst den Kartonbedarf für alle Schülerinnen und Schüler. - Berücksichtige danach auch die Bögen für die Anschauungsbeispiele. - Vergleiche den gesamten Bedarf mit dem Vorrat und bestimme gegebenenfalls den Rest.

1. Für die Schülerinnen und Schüler werden \(28 \cdot 4 = 112\) Bögen benötigt. 2. Zusammen mit den \(9\) Bögen für die Anschauungsbeispiele sind es \(112 + 9 = 121\) Bögen. 3. Da \(121 \le 150\) gilt, reicht der Vorrat. 4. Übrig bleiben \(150 - 121 = 29\) Bögen.

Ja, der Vorrat reicht. Es bleiben \(29\) Bögen Tonkarton übrig.

- Bestimme die Gesamtkosten für jeden Tarif getrennt. - Achte beim Gruppenpreis auf die gesamte Personenzahl. - Vergleiche anschließend die beiden Gesamtsummen und bestimme ihren Unterschied.

1. Einzelkarten kosten \(25 \cdot 7\,\text{€} + 2 \cdot 12\,\text{€} = 199\,\text{€}\). 2. Die Gruppe besteht aus \(25 + 2 = 27\) Personen. 3. Der Gruppenpreis beträgt \(27 \cdot 6\,\text{€} = 162\,\text{€}\). 4. Da \(162\,\text{€} < 199\,\text{€}\), ist der Gruppenpreis günstiger. 5. Die Ersparnis ist \(199\,\text{€} - 162\,\text{€} = 37\,\text{€}\).

Der Gruppenpreis ist günstiger. Die Gruppe spart \(37\,\text{€}\).

- Stelle die Gewichte beider Kistengrößen mithilfe gleich großer Anteile dar. - Überlege, wie viele kleine Gewichtsanteile die drei großen Kisten zusammen entsprechen. - Bestimme zuerst das Gewicht eines Anteils und daraus das Gewicht einer großen Kiste.

1. Eine große Kiste entspricht zwei gleich schweren kleinen Kisten. Die \(3\) großen Kisten entsprechen daher \(3 \cdot 2 = 6\) kleinen Gewichtsanteilen. 2. Zusammen mit den \(4\) kleinen Kisten sind das \(6 + 4 = 10\) gleich große Anteile. 3. Eine kleine Kiste wiegt \(70\,\text{kg} : 10 = 7\,\text{kg}\). 4. Eine große Kiste wiegt \(2 \cdot 7\,\text{kg} = 14\,\text{kg}\).

Eine kleine Kiste wiegt \(7\,\text{kg}\), eine große Kiste \(14\,\text{kg}\).

- Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, in wie viele gleich große Teile man den Gesamtbetrag zerlegen muss. - Wenn jemand doppelt so viel bekommt, zählt er wie zwei Personen mit einfachem Anteil. - Was bedeutet es für den Anteil einer Person, wenn sie genau die Hälfte der Gesamtsumme bekommt?

1. Berechnung für a): Da der Betrag gleichmäßig auf 4 Personen verteilt wird, rechnet man \(1800\,\text{€} : 4 = 450\,\text{€}\). Jeder erhält \(450\,\text{€}\). 2. Berechnung für b): Lukas erhält 2 Anteile, die anderen drei Freunde jeweils 1 Anteil. Insgesamt sind das \(2 + 1 + 1 + 1 = 5\) Anteile. Ein Anteil entspricht \(1800\,\text{€} : 5 = 360\,\text{€}\). Somit erhalten die drei Freunde jeweils \(360\,\text{€}\) und Lukas erhält \(360\,\text{€} \cdot 2 = 720\,\text{€}\). 3. Berechnung für c): Wenn Lukas so viel bekommt wie die anderen drei zusammen, erhält er genau die Hälfte des Gesamtbetrags: \(1800\,\text{€} : 2 = 900\,\text{€}\). Die anderen \(900\,\text{€}\) werden gleichmäßig auf die drei Freunde verteilt: \(900\,\text{€} : 3 = 300\,\text{€}\). Lukas erhält \(900\,\text{€}\), jeder der drei Freunde \(300\,\text{€}\).

a) Jeder erhält \(450\,\text{€}\). b) Lukas erhält \(720\,\text{€}\), die anderen drei Freunde erhalten jeweils \(360\,\text{€}\). c) Lukas erhält \(900\,\text{€}\), die anderen drei Freunde erhalten jeweils \(300\,\text{€}\).

- Stelle die Flaschenanzahlen in beiden Teilaufgaben als gleich große Anteile dar. - Übersetze in b) die beiden Aussagen „doppelt so viel“ in Anzahlen solcher Anteile. - Prüfe am Ende, ob sich die drei Anzahlen wieder zu \(2100\) Flaschen addieren.

1. Für a) werden die \(2100\) Flaschen gleichmäßig auf drei Abteilungen verteilt: \(2100 : 3 = 700\). 2. Für b) erhält Schach einen Anteil, Tennis zwei Anteile und Fußball vier Anteile. Insgesamt sind das \(1 + 2 + 4 = 7\) Anteile. 3. Ein Anteil umfasst \(2100 : 7 = 300\) Flaschen. 4. Schach erhält \(300\) Flaschen, Tennis \(2 \cdot 300 = 600\) Flaschen und Fußball \(4 \cdot 300 = 1200\) Flaschen.

a) Jede Abteilung erhält \(700\) Flaschen. b) Schach erhält \(300\) Flaschen, Tennis \(600\) Flaschen und Fußball \(1200\) Flaschen.

- Teile die Gesamtmenge zunächst in vollständig belegte Bleche auf. - Entscheide, was ein möglicher Rest für die gesuchte Anzahl an Blechen bedeutet. - Prüfe, ob mit deiner Anzahl wirklich alle Muffins Platz finden.

1. Teile die Zahl der Muffins durch die Kapazität eines Blechs: \(400 : 18 = 22\) Rest \(4\). 2. Mit \(22\) vollständig belegten Blechen sind noch \(4\) Muffins nicht berücksichtigt. 3. Für diese restlichen Muffins wird ein weiteres Blech benötigt: \(22 + 1 = 23\).

Es sind insgesamt \(23\) Backbleche nötig.

- Bestimme zuerst die Zahl der vollständigen Paletten und den Rest. - Vergleiche den Rest anschließend mit der Kapazität einer ganzen Palette. - Gesucht ist bei der zweiten Frage nicht der Rest selbst, sondern seine Ergänzung zu einer vollen Palette.

1. Teile die vorhandenen Setzlinge durch die Anzahl pro Palette: \(1500 : 24 = 62\) Rest \(12\). 2. Damit können \(62\) Paletten vollständig gefüllt werden; \(12\) Setzlinge bleiben übrig. 3. Für eine weitere volle Palette fehlen \(24 - 12 = 12\) Setzlinge.

Es können \(62\) Paletten vollständig gefüllt werden. Für eine weitere volle Palette werden noch \(12\) Setzlinge benötigt.

- Überlege, wie du von einer Minute auf eine Stunde hochrechnest. - Nutze das Ergebnis pro Stunde für die angenommene tägliche Wachzeit. - Übertrage anschließend den Tageswert auf die angegebene Zahl von Tagen.

1. Pro Stunde: \(15 \cdot 60 = 900\) Blinzelvorgänge. 2. Pro Tag: \(900 \cdot 16 = 14\,400\) Blinzelvorgänge. 3. Pro Jahr: \(14\,400 \cdot 365 = 5\,256\,000\) Blinzelvorgänge.

a) \(900\)-mal b) \(14\,400\)-mal c) \(5\,256\,000\)-mal

- Rechne die gleichbleibende Tropfenrate schrittweise auf längere Zeiträume hoch. - Nutze für den ganzen Tag die Zahl der Stunden, die im Text angegeben ist. - Für die Umrechnung in Milliliter brauchst du die Modellannahme zur Zahl der Tropfen pro Milliliter.

1. Tropfen pro Stunde: \(12 \cdot 60 = 720\). 2. Tropfen pro Tag: \(720 \cdot 24 = 17\,280\). 3. Wassermenge pro Tag: \(17\,280 : 20 = 864\,\text{ml}\).

a) \(720\) Tropfen b) \(17\,280\) Tropfen c) \(864\,\text{ml}\)

- Bestimme zuerst die modellierte Seitenzahl für einen Abend. - Rechne diesen Wert auf eine Woche und danach auf die angegebene Jahreszahl von Wochen hoch. - Teile die gesamte Seitenzahl zuletzt durch den Umfang eines Buches.

1. Seiten pro Tag: \(20 \cdot 2 = 40\). 2. Seiten pro Woche: \(40 \cdot 7 = 280\). 3. Seiten pro Jahr: \(280 \cdot 52 = 14\,560\). 4. Zahl vollständiger Bücher: \(14\,560 : 160 = 91\).

a) \(280\) Seiten b) \(91\) vollständige Bücher

- Vergleiche die beiden Zeltarten bei derselben Anzahl an Schlafplätzen. - Überlege danach, wie du mögliche Mischungen systematisch einschränken kannst. - Prüfe nur Kombinationen, die mindestens so viele Plätze wie Mitglieder bieten, und vergleiche ihre Aufbauzeiten.

1. Für \(12\) Schlafplätze braucht man entweder \(3\) kleine oder \(2\) große Zelte. Die kleinen benötigen \(3 \cdot 15\,\text{min} = 45\,\text{min}\), die großen \(2 \cdot 20\,\text{min} = 40\,\text{min}\). Damit benötigt das große Zelt im Verhältnis zur Platzzahl weniger Aufbauzeit. 2. Drei kleine Zelte lassen sich stets durch zwei große Zelte mit gleicher Platzzahl und kürzerer Aufbauzeit ersetzen. Daher müssen in einer optimalen Lösung höchstens zwei kleine Zelte geprüft werden. 3. Ohne kleines Zelt reichen \(54 : 6 = 9\) große Zelte. Die Aufbauzeit beträgt \(9 \cdot 20\,\text{min} = 180\,\text{min}\). 4. Mit einem kleinen Zelt werden zusätzlich \(9\) große Zelte benötigt; das ergibt \(195\,\text{min}\). 5. Mit zwei kleinen Zelten werden noch \(8\) große Zelte benötigt; das ergibt \(190\,\text{min}\). 6. Die kürzeste Aufbauzeit entsteht mit \(9\) großen Zelten und beträgt \(180\,\text{min}\).

a) Das große Zelt benötigt im Verhältnis zur Platzzahl weniger Aufbauzeit. b) \(9\) große Zelte und keine kleinen Zelte; \(180\,\text{min}\)

- Bestimme für jeden Raum zunächst die Kapazität eines Regals. - Rechne daraus die gesamte Kapazität jedes Raums aus. - Vergleiche die beiden Gesamtzahlen und bestimme anschließend ihre Differenz.

1. Kapazität von Raum A: \(15 \cdot 6 \cdot 12 = 1080\) Ordner. 2. Kapazität von Raum B: \(12 \cdot 8 \cdot 10 = 960\) Ordner. 3. Da \(1080 > 960\) gilt, bietet Raum A mehr Platz. 4. Unterschied: \(1080 - 960 = 120\) Ordner.

In Raum A können mehr Ordner untergebracht werden. Der Unterschied beträgt \(120\) Ordner.

- Kannst du das Gewicht des Füllers nur in Radiergummis ausdrücken? - Wie viele Radiergummis sind genauso schwer wie zwei Pakete Bleistifte? - Überlege, aus wie vielen Radiergummis der Füller insgesamt „besteht“.

1. Ersetzen der Bleistiftpakete durch Radiergummis in der ersten Gewichtsangabe: Da ein Paket Bleistifte so viel wie \(4\) Radiergummis wiegt, entsprechen zwei Pakete Bleistifte insgesamt \(8\) Radiergummis. 2. Zusammenrechnen aller Anteile für den Füller: Der Füller wiegt somit so viel wie \(8 + 2 = 10\) Radiergummis. 3. Berechnung des Gewichts eines Radiergummis: \(200\,\text{g} : 10 = 20\,\text{g}\). 4. Berechnung des Gewichts eines Pakets Bleistifte: \(4 \cdot 20\,\text{g} = 80\,\text{g}\).

Ein Radiergummi wiegt \(20\,\text{g}\) und ein Paket Bleistifte wiegt \(80\,\text{g}\).

- Bestimme zuerst aus Paletten, Kisten und Äpfeln pro Kiste die Gesamtzahl der Äpfel. - Überlege für das Maximum, welches mögliche Einzelgewicht jeder Apfel haben müsste. - Gehe für das Minimum entsprechend mit dem kleinsten möglichen Einzelgewicht vor.

1. Gesamtzahl der Äpfel: \(6 \cdot 15 \cdot 12 = 1080\). 2. Für das größtmögliche Gesamtgewicht werden alle Äpfel mit \(160\,\text{g}\) angesetzt: \(1080 \cdot 160\,\text{g} = 172\,800\,\text{g}\). 3. Für das kleinstmögliche Gesamtgewicht werden alle Äpfel mit \(140\,\text{g}\) angesetzt: \(1080 \cdot 140\,\text{g} = 151\,200\,\text{g}\).

a) \(1080\) Äpfel b) \(172\,800\,\text{g}\) c) \(151\,200\,\text{g}\)

- Überlege dir, wie viele Bretter und wie viele Lücken das Regal hat. - Berechne zuerst, wie viel Platz alle Bretter zusammen einnehmen. - Wie viel Platz nehmen alle Zwischenräume zusammen ein?

1. Berechnung der Gesamtdicke aller Holzböden: \(6 \cdot 3\,\text{cm} = 18\,\text{cm}\). 2. Berechnung der Gesamthöhe aller Zwischenräume: \(5 \cdot 32\,\text{cm} = 160\,\text{cm}\). 3. Addition beider Gesamtsummen: \(18\,\text{cm} + 160\,\text{cm} = 178\,\text{cm}\).

Das Regal ist insgesamt \(178\,\text{cm}\) hoch.

- Wie viele Monate hat ein Jahr? - Achte darauf, dass zwei Kinder monatlich Geld einzahlen. - Stelle zuerst alle Einnahmen für das ganze Jahr zusammen. - Ziehe am Ende alle Beträge ab, die wieder aus der Sparbüchse herausgenommen wurden.

1. Einzahlungen der Eltern: \(12 \cdot 35\,\text{€} = 420\,\text{€}\). 2. Einzahlungen beider Kinder: \(12 \cdot 2 \cdot 5\,\text{€} = 120\,\text{€}\). 3. Sonderzahlungen der Großeltern: \(2 \cdot 50\,\text{€} = 100\,\text{€}\). 4. Gesamte Einnahmen: \(420\,\text{€} + 120\,\text{€} + 100\,\text{€} = 640\,\text{€}\). 5. Ausgaben für Eis: \(3 \cdot 20\,\text{€} = 60\,\text{€}\). 6. Endbetrag: \(640\,\text{€} - 60\,\text{€} = 580\,\text{€}\).

Nach einem Jahr befinden sich \(580\,\text{€}\) in der Sparbüchse.

- Erstelle eine Liste mit allem Geld, das Jonas am Ende des Jahres besitzt (einschließlich des Geldes, das er schon hatte). - Vergiss nicht, dass er jeden Monat Geld bekommt, aber auch jeden Monat etwas ausgibt. - Vergleiche am Ende seinen Gesamtbetrag mit dem Preis des Fahrrads. - Wie berechnest du den Unterschied zwischen zwei Beträgen?

1. Startkapital: \(45\,\text{€}\). 2. Jährliches Taschengeld: \(12 \cdot 15\,\text{€} = 180\,\text{€}\). 3. Geldgeschenke: \(60\,\text{€} + 30\,\text{€} = 90\,\text{€}\). 4. Jährliche Ausgaben: \(12 \cdot 4\,\text{€} = 48\,\text{€}\). 5. Betrag nach einem Jahr: \(45\,\text{€} + 180\,\text{€} + 90\,\text{€} - 48\,\text{€} = 267\,\text{€}\). 6. Vergleich: \(267\,\text{€} < 320\,\text{€}\). 7. Fehlbetrag: \(320\,\text{€} - 267\,\text{€} = 53\,\text{€}\).

Nein, das Geld reicht nicht aus. Jonas fehlen nach einem Jahr noch \(53\,\text{€}\).

- Berechne für jede Produktsorte zunächst den Tagesbedarf über alle drei Korbgrößen. - Achte darauf, dass von jeder Korbgröße täglich dieselbe Anzahl gepackt wird. - Übertrage die beiden Tageswerte anschließend auf den gesamten Produktionszeitraum.

1. Schokoladentafeln pro Tag: \(45 \cdot 4 + 45 \cdot 8 + 45 \cdot 12 = 1080\). 2. Schokoladentafeln für \(6\) Tage: \(1080 \cdot 6 = 6480\). 3. Marmeladengläser pro Tag: \(45 \cdot 2 + 45 \cdot 5 + 45 \cdot 8 = 675\). 4. Marmeladengläser für \(6\) Tage: \(675 \cdot 6 = 4050\).

Für \(6\) Tage werden \(6480\) Tafeln Schokolade und \(4050\) Gläser Marmelade benötigt.

- Bestimme die tägliche Gesamtzahl der Fahnen aus beiden Sets. - Gehe für die Aufkleber genauso vor. - Übertrage beide Tagesmengen auf die gesamte Veranstaltungsdauer und vergleiche sie erst danach.

1. Fahnen pro Tag: \(250 \cdot 2 + 180 \cdot 5 = 1400\). 2. Fahnen in \(3\) Tagen: \(1400 \cdot 3 = 4200\). 3. Aufkleber pro Tag: \(250 \cdot 3 + 180 \cdot 8 = 2190\). 4. Aufkleber in \(3\) Tagen: \(2190 \cdot 3 = 6570\). 5. Unterschied: \(6570 - 4200 = 2370\).

Es werden insgesamt \(2370\) Aufkleber mehr als Fahnen hergestellt.

- Fasse zuerst die Mädchenzahlen beider Klassen und die Jungenzahlen beider Klassen jeweils zusammen. - Bestimme für beide Gruppen getrennt, wie viele volle Zelte entstehen und ob ein Rest ein weiteres Zelt nötig macht. - Addiere am Ende die benötigten Zelte beider Gruppen.

1. Insgesamt sind es \(12 + 14 = 26\) Mädchen. 2. Für die Mädchen gilt \(26 : 4 = 6\) Rest \(2\). Daher werden \(7\) Mädchenzelte benötigt. 3. Insgesamt sind es \(13 + 12 = 25\) Jungen. 4. Für die Jungen gilt \(25 : 5 = 5\). Daher werden \(5\) Jungenzelte benötigt. 5. Insgesamt werden \(7 + 5 = 12\) Zelte benötigt.

Es werden insgesamt \(12\) Zelte benötigt.

- Berechne die Zimmerzahl für beide Gruppen getrennt und deute jeweils einen möglichen Divisionsrest. - Bestimme danach, wie viele Betten die tatsächlich gebuchten Zimmer insgesamt bereitstellen. - Vergleiche diese Bettenzahlen mit den jeweiligen Personenzahlen und addiere die freien Plätze.

1. Spielerinnen: \(34 : 4 = 8\) Rest \(2\). Es werden daher \(9\) Zimmer benötigt. 2. Spieler: \(25 : 3 = 8\) Rest \(1\). Es werden daher \(9\) Zimmer benötigt. 3. Die \(9\) Zimmer für Spielerinnen haben \(9 \cdot 4 = 36\) Betten. Davon bleiben \(36 - 34 = 2\) frei. 4. Die \(9\) Zimmer für Spieler haben \(9 \cdot 3 = 27\) Betten. Davon bleiben \(27 - 25 = 2\) frei. 5. Insgesamt bleiben \(2 + 2 = 4\) Betten frei.

a) \(9\) Zimmer für die Spielerinnen und \(9\) Zimmer für die Spieler b) \(4\) freie Betten

- Überlege zuerst, wie hoch die Gesamtkosten für die Hütte ursprünglich waren. - Wie viel Geld wird von den Personen bezahlt, die nicht mitkommen? - Wie viel Geld fehlt noch, um die Gesamtkosten zu decken? - Durch wie viele Personen muss dieser Restbetrag nun geteilt werden? - Vergleiche den neuen Betrag mit dem alten Betrag.

1. Berechnung der Gesamtkosten der Hütte: \(12 \cdot 20 = 240\,\text{€}\) 2. Berechnung des Beitrags der Absager: \(4 \cdot 6 = 24\,\text{€}\) 3. Berechnung der restlichen Kosten für die Teilnehmer: \(240 - 24 = 216\,\text{€}\) 4. Ermittlung der Anzahl der tatsächlichen Teilnehmer: \(12 - 4 = 8\) 5. Berechnung des neuen Beitrags pro Person: \(216 : 8 = 27\,\text{€}\) 6. Berechnung der Differenz zum ursprünglichen Preis: \(27 - 20 = 7\,\text{€}\) Gesamtterm: \((12 \cdot 20 - 4 \cdot 6) : (12 - 4) - 20 = 7\,\text{€}\)

Der Beitrag erhöht sich um \(7\,\text{€}\). Gesamtterm: \((12 \cdot 20 - 4 \cdot 6) : (12 - 4) - 20 = 7\,\text{€}\)

- Beschreibe im Gesamtterm zuerst den ursprünglichen Beitrag pro Person. - Stelle danach den neuen Beitrag mit der veränderten Personenzahl dar. - Der gesuchte Unterschied entsteht aus dem Vergleich dieser beiden Beiträge; die Klammer soll die neue Personenzahl sichtbar machen.

1. Der ursprüngliche Beitrag pro Person beträgt \(600\,\text{€}:15=40\,\text{€}\). 2. Nach den zusätzlichen Anmeldungen teilen \(15+5=20\) Personen die Kosten. 3. Der neue Beitrag beträgt \(600\,\text{€}:20=30\,\text{€}\). 4. Der Beitrag verringert sich um \(40\,\text{€}-30\,\text{€}=10\,\text{€}\). 5. Ein passender Gesamtterm ist \(600:15-600:(15+5)\).

Der Beitrag verringert sich um \(10\,\text{€}\). Gesamtterm: \(600:15-600:(15+5)=10\)

- Verwende für den Überschlag gut rechenbare Näherungswerte für die Kartenzahlen. - Bestimme danach aus Platzanzahl und freien Plätzen die genaue Zahl verkaufter Karten. - Trenne die genauen Einnahmen nach Vorverkauf und Abendkasse und addiere sie anschließend.

1. Für einen Überschlag kann man mit ungefähr \(260\) verkauften Karten rechnen, davon etwa \(190\) im Vorverkauf und \(70\) an der Abendkasse. Damit ergeben sich geschätzte Einnahmen von \(190 \cdot 12\,\text{€} + 70 \cdot 15\,\text{€} \approx 3330\,\text{€}\). 2. Genau wurden \(300 - 42 = 258\) Karten verkauft. 3. An der Abendkasse wurden \(258 - 185 = 73\) Karten verkauft. 4. Einnahmen im Vorverkauf: \(185 \cdot 12\,\text{€} = 2220\,\text{€}\). 5. Einnahmen an der Abendkasse: \(73 \cdot 15\,\text{€} = 1095\,\text{€}\). 6. Gesamteinnahmen: \(2220\,\text{€} + 1095\,\text{€} = 3315\,\text{€}\).

Eine mögliche Schätzung ist \(\approx 3330\,\text{€}\). Der genaue Betrag beträgt \(3315\,\text{€}\).

- Übersetze „jede dritte Person“ in einen Anteil der gesamten Fahrgäste. - Bestimme daraus auch die Zahl der Personen mit Normalpreis. - Berechne die Einnahmen beider Preisgruppen getrennt und addiere sie.

1. Fahrkarten zum Sparpreis: \(54 : 3 = 18\). 2. Fahrkarten zum Normalpreis: \(54 - 18 = 36\). 3. Einnahmen durch Sparpreise: \(18 \cdot 24\,\text{€} = 432\,\text{€}\). 4. Einnahmen durch Normalpreise: \(36 \cdot 30\,\text{€} = 1080\,\text{€}\). 5. Gesamteinnahmen: \(432\,\text{€} + 1080\,\text{€} = 1512\,\text{€}\).

Insgesamt werden \(1512\,\text{€}\) eingenommen.

- In a) wird der Gesamtbetrag gleichmäßig auf alle Personen verteilt. - In b) bestimme zuerst, welchen Teil der Gesamtkosten die Kinder zusammen übernehmen. - Verteile den verbleibenden Betrag anschließend gleichmäßig auf die Erwachsenen.

1. Für a) beträgt der gleichmäßige Beitrag \(4500\,\text{€} : 150 = 30\,\text{€}\). 2. Für b) zahlen die Kinder zusammen \(30 \cdot 10\,\text{€} = 300\,\text{€}\). 3. Die Erwachsenen müssen noch \(4500\,\text{€} - 300\,\text{€} = 4200\,\text{€}\) decken. 4. Pro erwachsene Person sind das \(4200\,\text{€} : 120 = 35\,\text{€}\).

a) Jede Person müsste \(30\,\text{€}\) bezahlen. b) Die Erwachsenen müssen jeweils \(35\,\text{€}\) bezahlen.

- Fasse zuerst die Erwachsenen beider Führungen und die Kinder beider Führungen jeweils zusammen. - Berechne die Einnahmen für beide Preisgruppen getrennt. - Addiere anschließend die beiden Einnahmen.

1. Insgesamt nehmen \(24 + 38 = 62\) Erwachsene teil. 2. Ihre Eintrittseinnahmen betragen \(62 \cdot 9\,\text{€} = 558\,\text{€}\). 3. Insgesamt nehmen \(36 + 22 = 58\) Kinder teil. 4. Ihre Eintrittseinnahmen betragen \(58 \cdot 5\,\text{€} = 290\,\text{€}\). 5. Gesamteinnahmen: \(558\,\text{€} + 290\,\text{€} = 848\,\text{€}\).

Die gesamten Eintrittseinnahmen betragen \(848\,\text{€}\).

- Wer ist die jüngste Person in der Gruppe? - Stell dir das Alter der jüngsten Person als einen Anteil vor. Wie viele solcher Anteile haben dann die anderen? - Wie viele gleich große Anteile ergeben zusammen die \(66\) Jahre?

1. Leos Alter wird als \(1\) Teil festgelegt. 2. Julia ist doppelt so alt und entspricht daher \(2\) Teilen. 3. Der Vater ist viermal so alt wie Julia, also entspricht sein Alter \(4 \cdot 2 = 8\) Teilen. 4. Insgesamt sind das \(1 + 2 + 8 = 11\) Teile. 5. Ein Teil entspricht \(66 : 11 = 6\) Jahren. 6. Der Vater ist daher \(8 \cdot 6 = 48\) Jahre alt.

Der Vater ist \(48\) Jahre alt.

- Überlege, wer am wenigsten gespart hat, und nenne diesen Betrag einen Anteil. - Wie viele Anteile haben dann die anderen beiden im Vergleich dazu? - Wie kannst du aus dem Gesamtbetrag den Wert eines Anteils bestimmen?

1. Felix' Erspartes wird als \(1\) Anteil festgelegt. 2. Clara hat \(3\) Anteile. 3. Paul hat \(5 \cdot 3 = 15\) Anteile. 4. Insgesamt sind das \(1 + 3 + 15 = 19\) Anteile. 5. Ein Anteil ist \(380\,\text{€} : 19 = 20\,\text{€}\) wert. 6. Paul hat \(15 \cdot 20\,\text{€} = 300\,\text{€}\) gespart.

Paul hat \(300\,\text{€}\) gespart.

- Welche Fruchtsorte kommt am seltensten vor? Verwende sie als Basis. - Kannst du die Mengen der anderen Früchte als Vielfache dieser Basis ausdrücken? - Wie viele solcher Basiseinheiten liegen insgesamt im Korb? - Teile die Gesamtzahl durch die Anzahl der Einheiten.

1. Die Anzahl der Pflaumen wird als \(1\) Anteil festgelegt. 2. Die Birnen entsprechen \(2\) Anteilen. 3. Die Äpfel sind dreimal so zahlreich wie die Birnen und entsprechen daher \(3 \cdot 2 = 6\) Anteilen. 4. Insgesamt ergeben sich \(1 + 2 + 6 = 9\) Anteile. 5. Ein Anteil entspricht \(180 : 9 = 20\) Früchten. 6. Daraus folgen \(20\) Pflaumen, \(2 \cdot 20 = 40\) Birnen und \(6 \cdot 20 = 120\) Äpfel.

\(120\) Äpfel, \(40\) Birnen und \(20\) Pflaumen

- Verfolge in der Grafik, wann die Wassermenge steigt und wann sie fällt. - Vergleiche diese Änderungen mit den addierten und subtrahierten Zahlen in den beiden Rechnungen. - Überlege, welche gleichartigen Änderungen durch die beiden Klammern jeweils zusammengefasst werden.

1. Rechnung 1 ergibt schrittweise \(120+30-10+40-20+50=210\). Am Ende sind \(210\,\text{l}\) im Becken. 2. Für Rechnung 2 gilt \(30+40+50=120\) und \(10+20=30\). Daher ist \(120+120-30=210\). Auch diese Rechnung ergibt \(210\,\text{l}\). 3. Der Ausdruck \((30+40+50)\) fasst alle Zuflüsse zusammen. Der Ausdruck \((10+20)\) fasst alle Entnahmen zusammen.

a) Beide Rechnungen ergeben \(210\,\text{l}\). b) \((30+40+50)\) steht für die gesamte zugeflossene Wassermenge, \((10+20)\) für die gesamte entnommene Wassermenge.

- Wenn du von allen Gummibärchen die roten wegnimmst, welche Farbe bleibt übrig? - Zähle im Balkenmodell, wie viele gleich große Abschnitte zur gelben und wie viele zur roten Menge gehören. - Wie viele gleich große Abschnitte stellt die Gesamtmenge dar?

1. Der Unterschied zwischen der Gesamtzahl und der Anzahl der roten Gummibärchen ist die Anzahl der gelben Gummibärchen. Deshalb gibt es \(12\) gelbe Gummibärchen. 2. Im Balkenmodell entspricht der gelben Menge ein Abschnitt. Die rote Menge umfasst drei gleich große Abschnitte. Insgesamt umfasst die Schale also vier solcher Abschnitte. 3. Ein Abschnitt entspricht \(12\) Gummibärchen. Insgesamt sind es daher \(4 \cdot 12 = 48\) Gummibärchen.

Es liegen insgesamt \(48\) Gummibärchen in der Schale.

- Vergleiche in der Darstellung zunächst nur, um wie viele gleich große Teile B größer ist als A. - Der gegebene Unterschied gehört genau zu diesen zusätzlichen Teilen. - Wenn du den Wert eines Teils kennst, kannst du beide Balken bestimmen.

1. In der Darstellung entspricht A \(2\) von \(7\) gleich großen Teilen und B \(5\) von \(7\) Teilen. 2. Der Unterschied zwischen B und A umfasst daher \(5 - 2 = 3\) Teile. 3. Diese \(3\) Teile entsprechen \(24\), also ist ein Teil \(24 : 3 = 8\). 4. Damit ist \(A = 2 \cdot 8 = 16\) und \(B = 5 \cdot 8 = 40\). 5. Die Summe ist \(16 + 40 = 56\).

\(A = 16\), \(B = 40\), Summe \(56\)

- Deute Quotient und Rest im Sachzusammenhang, statt nur das Divisionsergebnis abzulesen. - Was geschieht mit den Personen, die im Rest übrig bleiben? - Vergleiche anschließend die Gesamtkapazität der benötigten Busse mit der Personenzahl.

1. Die Division \(137 : 24 = 5\) Rest \(17\) bedeutet, dass \(5\) Busse vollständig gefüllt werden können und danach noch \(17\) Personen übrig sind. 2. Für diese \(17\) Personen ist ein weiterer Bus nötig. Insgesamt braucht man daher \(6\) Busse. 3. Sechs Busse bieten \(6 \cdot 24 = 144\) Plätze. 4. Frei bleiben \(144 - 137 = 7\) Plätze.

Lucas Aussage ist falsch. Es werden \(6\) Busse benötigt; dabei bleiben \(7\) Plätze frei.

- Du brauchst das genaue Produkt nicht auszurechnen. - Ersetze beide gegebenen Zahlen durch etwas kleinere, leicht zu multiplizierende Zahlen. - Wenn bereits dieses kleinere Produkt deutlich größer als Bens Ergebnis ist, was folgt daraus?

1. Jede Kiste enthält mehr als \(40\) Flaschen. 2. Schon mit der kleineren Zahl \(40\) ergäben \(72\) Kisten mehr als \(70 \cdot 40 = 2800\) Flaschen. 3. Bens Ergebnis \(346\) liegt weit darunter und kann deshalb nicht stimmen.

Bens Ergebnis ist nicht plausibel. Schon \(70 \cdot 40 = 2800\) zeigt, dass die Gesamtzahl im Bereich mehrerer Tausend liegen muss und nicht bei \(346\).

- Bestimme für jede Gruppe nur die Nettoveränderung des Bestands. - Addiere anschließend, wie viele Bücher insgesamt fehlen. - Arbeite vom Endbestand rückwärts zum Anfangsbestand.

1. Die erste Klasse entnimmt netto \(15 - 11 = 4\) Bücher. 2. Die drei Schüler nehmen \(3 \cdot 4 = 12\) Bücher und bringen zusammen \(2\) zurück. Netto fehlen dadurch \(12 - 2 = 10\) weitere Bücher. 3. Insgesamt fehlen am Tagesende gegenüber dem Anfang \(4 + 10 = 14\) Bücher. 4. Rückwärts gerechnet lagen anfangs \(28 + 14 = 42\) Bücher in der Kiste.

Zu Beginn lagen \(42\) Sachbücher in der Kiste.

- Bestimme zuerst die Gesamtlänge der drei Verbindungswege. - Stelle danach Haupt- und Nebenabschnitte als gleich große Längenanteile dar. - Bestimme aus der verbleibenden Strecke zuerst einen Nebenabschnitt und dann einen Hauptabschnitt.

1. Die drei Verbindungswege sind zusammen \(3 \cdot 8\,\text{km} = 24\,\text{km}\) lang. 2. Für Haupt- und Nebenabschnitte bleiben \(80\,\text{km} - 24\,\text{km} = 56\,\text{km}\). 3. Ein Hauptabschnitt entspricht zwei Nebenabschnitt-Anteilen. Die \(3\) Hauptabschnitte entsprechen daher \(6\) Anteilen. Zusammen mit den \(2\) Nebenabschnitten sind es \(8\) gleich große Anteile. 4. Ein Nebenabschnitt ist \(56\,\text{km} : 8 = 7\,\text{km}\) lang. 5. Ein Hauptabschnitt ist \(2 \cdot 7\,\text{km} = 14\,\text{km}\) lang.

Ein Hauptabschnitt ist \(14\,\text{km}\) lang, ein Nebenabschnitt \(7\,\text{km}\).

- Betrachte zuerst nur den Zusammenhang zwischen 5a und den beiden anderen Klassen zusammen. - Nachdem du die gemeinsame Anzahl von 5b und 5c kennst, zerlege sie passend zum Verhältnis zwischen diesen beiden Klassen. - Prüfe sowohl die Gesamtsumme als auch beide Vergleichsaussagen mit deinem Ergebnis.

1. Betrachte die gemeinsame Anzahl von 5b und 5c als einen Anteil. Dann hat 5a diesen Anteil plus \(40\) Setzlinge. 2. Zieht man den Vorsprung ab, bleiben \(120 - 40 = 80\) Setzlinge für zwei gleich große Anteile. 3. Ein Anteil beträgt \(80 : 2 = 40\). Also haben 5b und 5c zusammen \(40\) Setzlinge und 5a \(40 + 40 = 80\) Setzlinge gepflanzt. 4. Für 5b und 5c gilt das Verhältnis \(3{:}1\). Die \(40\) Setzlinge entsprechen \(4\) gleich großen Teilen: \(40 : 4 = 10\). 5. Klasse 5c hat \(10\) Setzlinge und Klasse 5b \(3 \cdot 10 = 30\) Setzlinge gepflanzt.

Klasse 5a hat \(80\) Setzlinge, Klasse 5b \(30\) Setzlinge und Klasse 5c \(10\) Setzlinge gepflanzt.

- Suche zuerst eine Platzzahl, die sich mit beiden Bustypen genau erreichen lässt. - Für b) müssen die gewählten Busse zusammen mindestens so viele Plätze wie Reisende haben. - Ordne die möglichen ausreichenden Kombinationen systematisch und vergleiche ihren Energiebedarf.

1. Für \(60\) Plätze braucht man entweder \(3\) Busse vom Typ A oder \(2\) Busse vom Typ B. Typ A benötigt dann \(3 \cdot 130 = 390\) Energieeinheiten, Typ B \(2 \cdot 180 = 360\). Amirs Aussage stimmt. 2. Für \(0\) Busse vom Typ B braucht man \(5\) Busse vom Typ A: \(5 \cdot 130 = 650\) Energieeinheiten. 3. Für \(1\) Bus vom Typ B braucht man noch \(4\) Busse vom Typ A: \(180 + 4 \cdot 130 = 700\) Energieeinheiten. 4. Für \(2\) Busse vom Typ B reichen noch \(2\) Busse vom Typ A: \(2 \cdot 180 + 2 \cdot 130 = 620\) Energieeinheiten. 5. Für \(3\) Busse vom Typ B reicht noch \(1\) Bus vom Typ A: \(3 \cdot 180 + 130 = 670\) Energieeinheiten. Vier Busse vom Typ B benötigen \(4 \cdot 180 = 720\) Energieeinheiten. 6. Der kleinste ausreichende Gesamtbedarf ist \(620\) Energieeinheiten.

a) Ja. Für \(60\) Plätze benötigt Typ B \(360\) Energieeinheiten, Typ A \(390\). b) \(2\) Busse vom Typ B und \(2\) Busse vom Typ A mit zusammen \(620\) Energieeinheiten

- Vergleiche die Kistentypen zunächst bei einer Apfelzahl, die mit beiden Kapazitäten genau verpackt werden kann. - Ein besseres Verhältnis allein entscheidet b) noch nicht, weil nur ganze Kisten verwendet werden können. - Prüfe ausreichende Kombinationen systematisch und vergleiche die Zahl der benötigten Kartonstreifen.

1. Für \(75\) Äpfel braucht man entweder \(5\) Kisten A oder \(3\) Kisten B. Kiste A benötigt dann \(5 \cdot 3 = 15\) Kartonstreifen, Kiste B \(3 \cdot 4 = 12\). Kiste B benötigt im Verhältnis zur Apfelzahl weniger Material. 2. Für \(0, 1, 2, 3, 4\) und \(5\) Kisten B braucht man mindestens \(8, 6, 5, 3, 1\) beziehungsweise \(0\) Kisten A. Die zugehörigen Anzahlen an Kartonstreifen sind \(24, 22, 23, 21, 19\) und \(20\). 3. Das Minimum sind \(19\) Kartonstreifen. Es entsteht bei \(4\) Kisten B und \(1\) Kiste A; diese fassen genau \(4 \cdot 25 + 15 = 115\) Äpfel.

a) Kiste B; für \(75\) Äpfel benötigt sie \(12\) statt \(15\) Streifen. b) \(4\) Kisten B und \(1\) Kiste A benötigen zusammen \(19\) Kartonstreifen und fassen genau \(115\) Äpfel.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der Bauteile. - Vergleiche das angegebene Gesamtgewicht mit dem kleinstmöglichen Gesamtgewicht aller Bauteile. - Überlege, welche Gewichtsverteilung das zusätzliche Gewicht so nutzt, dass möglichst viele Bauteile die schwerste Sorte sein können. - Prüfe deine vermutete Maximalzahl durch Rückrechnung des Gesamtgewichts.

1. Gesamtzahl der Bauteile: \(10 \cdot 40 = 400\). 2. Wenn alle \(400\) Bauteile \(10\,\text{g}\) wögen, wäre das Gesamtgewicht \(400 \cdot 10\,\text{g} = 4000\,\text{g}\). 3. Gegenüber diesem Mindestfall fehlen \(4300\,\text{g} - 4000\,\text{g} = 300\,\text{g}\). 4. Ein Bauteil mit \(12\,\text{g}\) liefert gegenüber dem Mindestgewicht \(2\,\text{g}\) Zusatzgewicht. Für möglichst viele solcher Bauteile wird kein Zusatzgewicht für \(11\,\text{g}\)-Bauteile verwendet. 5. Daher sind höchstens \(300\,\text{g} : 2\,\text{g} = 150\) Bauteile mit \(12\,\text{g}\) möglich. 6. Kontrolle: \(150 \cdot 12\,\text{g} + 250 \cdot 10\,\text{g} = 4300\,\text{g}\).

a) \(400\) Bauteile b) \(150\) Bauteile mit \(12\,\text{g}\)

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl der beteiligten Schülerinnen und Schüler. - Trenne in b) die bekannte Gruppe von den übrigen Personen und Losen ab. - Vergleiche für die übrige Gruppe einen gleichmäßigen Ausgangsfall mit der tatsächlichen Loszahl. - Überlege, wie sich jede Person mit der höchsten Loszahl gegenüber diesem Ausgangsfall auswirkt.

1. Insgesamt nahmen \(5 \cdot 24 = 120\) Schülerinnen und Schüler teil. 2. Für a) wären bei jeweils \(6\) Losen insgesamt \(120 \cdot 6 = 720\) Lose verkauft worden. 3. Die \(40\) Personen mit jeweils \(5\) Losen verkauften zusammen \(40 \cdot 5 = 200\) Lose. Für die übrigen \(80\) Personen bleiben daher \(740 - 200 = 540\) Lose. 4. Wenn diese \(80\) Personen jeweils \(6\) Lose verkauft hätten, wären es \(80 \cdot 6 = 480\) Lose. 5. Tatsächlich sind es \(540 - 480 = 60\) Lose mehr. Jede Person mit \(7\) statt \(6\) Losen trägt genau ein zusätzliches Los bei. Daher haben \(60\) Personen jeweils \(7\) Lose verkauft. 6. Kontrolle: \(40 \cdot 5 + 20 \cdot 6 + 60 \cdot 7 = 740\).

a) \(720\) Lose b) \(60\) Schülerinnen und Schüler

- Berechne für Haupt- und Nebensaison getrennt zuerst die modellierte Zahl der Fahrgäste. - Multipliziere die jeweilige Fahrgastzahl mit dem Fahrpreis. - Addiere beide Saisonwerte und vergleiche den Modellwert mit der Schätzung. - Formuliere dein Urteil ausdrücklich bezogen auf die gegebenen Modellannahmen.

1. Hauptsaison: \(90 \cdot 12 \cdot 40 = 43\,200\) modellierte Fahrgäste. Die Einnahmen betragen \(43\,200 \cdot 8\,\text{€} = 345\,600\,\text{€}\). 2. Nebensaison: \(120 \cdot 5 \cdot 20 = 12\,000\) modellierte Fahrgäste. Die Einnahmen betragen \(12\,000 \cdot 8\,\text{€} = 96\,000\,\text{€}\). 3. Nach dem Modell ergeben sich insgesamt \(345\,600\,\text{€} + 96\,000\,\text{€} = 441\,600\,\text{€}\). 4. Dieser Modellwert liegt um \(500\,000\,\text{€} - 441\,600\,\text{€} = 58\,400\,\text{€}\) unter \(500\,000\,\text{€}\). Die Schätzung wird daher durch die Modellannahmen nicht gestützt.

Nach dem vereinfachten Modell ergeben sich \(441\,600\,\text{€}\) Jahreseinnahmen. Damit wird die Schätzung von mehr als \(500\,000\,\text{€}\) nicht gestützt.

- Lies aus den Balken zuerst nur das Verhältnis und den Unterschied in gleich großen Teilen ab. - Beim Übertragen von Karten wird eine Person um denselben Betrag reicher, um den die andere ärmer wird. Was bedeutet das für den Abstand zwischen beiden Mengen? - Nutze den Gleichstand nach der Übergabe, um den ursprünglichen Unterschied zu bestimmen.

1. Die Darstellung zeigt für Arda \(3\) gleich große Teile und für Mei \(5\) gleich große Teile. Der ursprüngliche Unterschied beträgt also \(2\) Teile. 2. Wenn Mei \(12\) Karten abgibt und Arda diese \(12\) Karten erhält, wird der Unterschied insgesamt um \(24\) Karten kleiner. 3. Da danach Gleichstand herrscht, entsprechen die ursprünglichen \(2\) Teile Unterschied genau \(24\) Karten. 4. Ein Teil entspricht daher \(24 : 2 = 12\) Karten. 5. Arda hatte ursprünglich \(3 \cdot 12 = 36\) Karten, Mei \(5 \cdot 12 = 60\) Karten. 6. Zusammen besitzen sie \(36 + 60 = 96\) Karten.

Arda hatte ursprünglich \(36\) Karten, Mei \(60\) Karten. Zusammen sind es \(96\) Karten.