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- Überlege, was das Ergebnis einer Differenz ist und wie du es mit der anderen Zahl verbindest. - Achte darauf, welcher Teil der Rechnung zuerst ausgeführt werden muss und ob du dafür eine Klammer benötigst. - Was bedeutet das Wort „Differenz“ für die Rechenart?

1. Differenz bilden: \(420 - 150 = 270\). 2. Addition zum Summanden \(230\) durchführen: \(230 + 270 = 500\). 3. Gesamter Term: \(230 + (420 - 150) = 500\).

Term: \(230 + (420 - 150)\) Ergebnis: \(500\)

- Welche Rechenart macht eine Addition wieder rückgängig? - Schau dir die Zahlen in der Aufgabe genau an – fällt dir eine Besonderheit auf? - Was passiert, wenn du eine Zahl erst dazuzählst und dann genau die gleiche Menge wieder wegnimmst?

1. Identifikation der Struktur: In dem Term wird zuerst die Zahl \(123\) addiert und anschließend dieselbe Zahl wieder subtrahiert. 2. Anwendung der Umkehroperation: Da Addition und Subtraktion Umkehroperationen sind, heben sich diese beiden Rechenschritte gegenseitig auf. 3. Ergebnisbestimmung: Das Endergebnis entspricht der ursprünglichen Zahl vor der ersten Rechenoperation, also \(456\).

Das Ergebnis ist \(456\). Man kann es ohne Rechnung angeben, weil die Subtraktion von \(123\) die vorherige Addition von \(123\) genau rückgängig macht (Umkehroperationen).

- Welche Klammern müssen zuerst aufgelöst werden? - Achte auf die Vorzeichen, besonders wenn ein Minus vor einer Klammer steht. - Kannst du die Rechnung in kleinere Etappen unterteilen?

1. Berechnung der Werte in den inneren Klammern: \(291 - 144 = 147\) und \(123 - 95 = 28\). 2. Berechnung des Werts in der äußeren eckigen Klammer: \(147 - 28 = 119\). 3. Finale Subtraktion vom Ausgangswert: \(672 - 119 = 553\).

\(553\)

- Welche Rechenoperation musst du laut der Vorrangregeln zuerst ausführen? - Hilft es dir, die Zwischenergebnisse unter den Term zu schreiben? - Achte darauf, den Rest des Terms unverändert mitzuschreiben. - In welcher Reihenfolge rechnest du, wenn keine Klammern mehr vorhanden sind?

1. Fortlaufende Rechnung: \(248-(56+79)+42=248-135+42=113+42=155\).

\(248-(56+79)+42=248-135+42=113+42=155\)

- Welche Rechenoperation wird zuletzt ausgeführt? Das bestimmt den Namen des Terms. - Was steht in der Klammer? Benenne diesen Teil separat. - Denk an die Vorrangregeln: Was musst du zuerst ausrechnen?

1. Bestimmung der Termstruktur: Da die letzte Rechenoperation eine Addition ist, handelt es sich um eine Summe. Der erste Summand ist die Zahl \(4200\), der zweite Summand ist die Differenz aus \(150\) und \(75\). 2. Berechnung der Klammer: \(150 - 75 = 75\). 3. Ausführung der Addition: \(4200 + 75 = 4275\).

Struktur: Summe aus der Zahl \(4200\) und der Differenz der Zahlen \(150\) und \(75\). Ergebnis: \(4275\)

- Welche Rechenregel gilt für Ausdrücke in Klammern? - In welcher Reihenfolge rechnest du, wenn keine Klammern mehr da sind? - Beim Überschlagen hilft es oft, auf die nächste Zehner- oder Hunderterstelle zu runden.

1. Sinnvoller Überschlag (z. B. auf Hunderter): \(1200 + 3800 - (600 + 1200)\). 2. Berechnung des Überschlags: \(5000 - 1800 = 3200\). 3. Exakte Berechnung der Klammer: \(567 + 1233 = 1800\). 4. Exakte Berechnung der Summe am Anfang: \(1245 + 3782 = 5027\). 5. Endgültiges exaktes Ergebnis: \(5027 - 1800 = 3227\).

Überschlag (Beispiel): \(3200\); Exaktes Ergebnis: \(3227\)

- Was bedeutet der Begriff „Summe“ für die Rechenoperation? - Überlege, welche Zahlen zusammengehören und ob du Klammern setzen musst, um diese Zusammengehörigkeit zu zeigen. - Achte darauf, in welcher Reihenfolge die Zahlen im Text genannt werden und wie sie im Term stehen müssen.

1. Aufstellen des Terms für a): \(350 + (234 + 416)\). Berechnung der Klammer: \(234 + 416 = 650\). Addition zum ersten Summanden: \(350 + 650 = 1000\). 2. Aufstellen des Terms für b): \((310 + 190) + (145 + 255)\). Berechnung der ersten Klammer: \(310 + 190 = 500\). Berechnung der zweiten Klammer: \(145 + 255 = 400\). Addition der Ergebnisse: \(500 + 400 = 900\).

a) \(350 + (234 + 416) = 1000\) b) \((310 + 190) + (145 + 255) = 900\)

- Welche Rechenregel gilt für Ausdrücke mit Klammern? - Überlege, welchen Teil des Terms du zuerst ausrechnen musst. - Schreibe die Rechnung so auf, dass in jeder Zeile ein Rechenschritt vereinfacht wird.

1. Zuerst wird die Summe innerhalb der Klammer berechnet: \(367 + 233 = 600\). 2. Im zweiten Schritt wird das Ergebnis der Klammer vom Minuenden \(1245\) subtrahiert: \(1245 - 600 = 645\).

\(1245 - (367 + 233) = 1245 - 600 = 645\)

- Das Wort „von“ gibt dir einen Hinweis darauf, welcher Teil des Terms vorne stehen muss. - Setze die Begriffe „Summe“ und „Differenz“ jeweils in Klammern, um die Struktur klar zu halten. - Berechne erst die Werte in den Klammern, bevor du die letzte Subtraktion durchführst.

1. Summe im Subtrahenden berechnen: \(85 + 115 = 200\). 2. Differenz im Minuenden berechnen: \(740 - 220 = 520\). 3. Subtraktion der Ergebnisse: \(520 - 200 = 320\). 4. Gesamter Term: \((740 - 220) - (85 + 115) = 320\).

Term: \((740 - 220) - (85 + 115)\) Ergebnis: \(320\)

- Was bedeutet es, einen Überschlag zu machen? - In welcher Reihenfolge löst man Aufgaben mit Klammern? - Berechne zuerst die Werte innerhalb der runden Klammern, bevor du weiterrechnest.

1. Durchführung des Überschlags durch Rundung auf Hunderter: \(800 + 200 - (500 - 100) = 1000 - 400 = 600\). 2. Berechnung der ersten Klammer: \(765 + 235 = 1000\). 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(482 - 118 = 364\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(1000 - 364 = 636\).

Überschlag: zum Beispiel \(600\); exaktes Ergebnis: \(636\)

- Denk an die Regel: Rechnungen in Klammern werden zuerst gelöst. - Berechne erst die Ergebnisse der Mal- oder Geteiltaufgaben. - Addiere oder subtrahiere dann die beiden Zwischenergebnisse.

1. Erste Teilrechnung: \(5 \cdot 8 = 40\), zweite Teilrechnung: \(3 \cdot 7 = 21\). Gesamtergebnis: \(40 + 21 = 61\). 2. Erste Teilrechnung: \(9 \cdot 4 = 36\), zweite Teilrechnung: \(2 \cdot 8 = 16\). Gesamtergebnis: \(36 - 16 = 20\). 3. Erste Teilrechnung: \(6 \cdot 6 = 36\), zweite Teilrechnung: \(15 : 3 = 5\). Gesamtergebnis: \(36 + 5 = 41\). 4. Erste Teilrechnung: \(7 \cdot 3 = 21\), zweite Teilrechnung: \(12 : 4 = 3\). Gesamtergebnis: \(21 - 3 = 18\).

a) \(61\) b) \(20\) c) \(41\) d) \(18\)

- Berechne in jeder Klammer zuerst die Multiplikationen. - Bilde danach jeweils die Differenz. - Vergleiche erst am Ende die drei Ergebnisse.

1. a): \(6 \cdot 9 = 54\), \(4 \cdot 8 = 32\), also \(54 - 32 = 22\). 2. b): \(7 \cdot 7 = 49\), \(3 \cdot 9 = 27\), also \(49 - 27 = 22\). 3. c): \(8 \cdot 5 = 40\), \(2 \cdot 9 = 18\), also \(40 - 18 = 22\). 4. Alle drei Ergebnisse sind gleich groß.

Alle Ergebnisse sind gleich groß; sie ergeben jeweils \(22\).

- Was passiert mit dem Ergebnis einer Minusaufgabe, wenn du beide Zahlen um den gleichen Betrag erhöhst? - Was passiert mit dem Ergebnis einer Plusaufgabe, wenn du beide Zahlen erhöhst? - Untersuche jede Klammer einzeln, bevor du das Gesamtergebnis betrachtest.

1. Berechnung des ursprünglichen Werts: \((560 - 140) + (320 + 180) = 420 + 500 = 920\). 2. Analyse der Änderungen in den Klammern: In der ersten Klammer \((560 - 140)\) werden Minuend und Subtrahend um \(15\) erhöht. Da die Differenz gleich bleibt, wenn beide Zahlen um denselben Betrag wachsen, ändert sich der Wert der ersten Klammer nicht (\(420\)). 3. In der zweiten Klammer \((320 + 180)\) werden beide Summanden um \(15\) erhöht. Die Summe vergrößert sich also um \(15 + 15 = 30\) auf \(530\). 4. Gesamte Änderung: Da die unveränderte erste Klammer und die um \(30\) vergrößerte zweite Klammer addiert werden, steigt der Gesamtwert um \(30\).

Ausgangswert: \(920\). In \(560-140\) heben sich die beiden Erhöhungen um \(15\) auf; die Differenz bleibt gleich. In \(320+180\) erhöhen zwei zusätzliche \(15\) die Summe um \(30\). Daher wächst der gesamte Termwert um \(30\).

- Rechne jeden Term Schritt für Schritt aus. - Bei Multiplikationen mit vielen Nullen kannst du erst die Grundzahlen multiplizieren und die Nullen später anhängen. - Schau dir die Ergebnisse in einer Liste an, um sie besser vergleichen zu können.

1. Berechnung der einzelnen Termwerte: (1) \(60 \cdot 40 = 2400\), (2) \(12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 10 = 60 \cdot 40 = 2400\), (3) \(20\,000 : 8 = 2500\), (4) \(15 \cdot 150 = 2250\). 2. Vergleich der Ergebnisse: Die Werte sind \(2400\), \(2400\), \(2500\) und \(2250\). 3. Der Wert \(2500\) ist die größte Zahl, somit hat Term (3) den größten Wert.

Der Term (3) hat mit einem Wert von \(2500\) den größten Wert.

- Kannst du die Terme vereinfachen, indem du dir ansiehst, welche Operationen nacheinander ausgeführt werden? - Musst du die \(77\) überhaupt in deine Rechnung einbeziehen, um den Wert der Terme zu erkennen? - Vergleiche die „Startzahlen“ der beiden Terme, nachdem du die gegensätzlichen Rechenschritte weggelassen hast.

1. Vereinfachung von Term \(A\): Multiplikation und Division mit \(77\) heben sich als Umkehroperationen auf. Der Wert des Terms ist somit \(333\). 2. Vereinfachung von Term \(B\): Addition und Subtraktion von \(77\) heben sich ebenfalls auf. Der Wert des Terms ist somit \(330\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(333 > 330\), liefert Term \(A\) das größere Ergebnis.

Term \(A\) ist größer. Begründung: In beiden Termen heben sich die Rechenschritte mit der Zahl \(77\) gegenseitig auf. Term \(A\) ergibt somit \(333\) und Term \(B\) ergibt \(330\). Da \(333 > 330\), ist Term \(A\) größer.

- Rechne zuerst die Aufgabe auf der Startkarte [P] aus. - Denke an die Regel „Klammern zuerst“. - Suche das Ergebnis deiner Rechnung als erste Zahl in einer der anderen Aufgaben. - Notiere dir die Buchstaben der Karten in der Reihenfolge, in der du sie löst.

1. Karte [P]: \((100 - 40) : 12 = 60 : 12 = 5\). 2. Suche Karte mit Anfangszahl \(5\): Karte [A]: \((5 \cdot 8) + 12 = 40 + 12 = 52\). 3. Suche Karte mit Anfangszahl \(52\): Karte [U]: \((52 - 4) : 8 = 48 : 8 = 6\). 4. Suche Karte mit Anfangszahl \(6\): Karte [S]: \(6 \cdot 15 - 50 = 90 - 50 = 40\). 5. Suche Karte mit Anfangszahl \(40\): Karte [E]: \(40 : 4 + 90 = 10 + 90 = 100\). Die Buchstabenfolge ergibt das Wort PAUSE.

PAUSE

- Schau dir zuerst den Inhalt der Klammer genau an. - Musst du die große Zahl am Anfang wirklich multiplizieren? - Was passiert, wenn ein Faktor in einer Multiplikation Null ergibt?

1. Auswertung der inneren Klammer: \(25 \cdot 4 = 100\). 2. Berechnung der Differenz in der Klammer: \(100 - 100 = 0\). 3. Multiplikation des gesamten Terms mit Null: \(54\,321 \cdot 0 = 0\).

\(0\)

- Überlege dir zuerst, welche Rechenart mit welchem Fachbegriff gemeint ist. - Achte bei längeren Aufgaben darauf, Teilergebnisse einzeln zu notieren. - In welcher Reihenfolge musst du die Rechenschritte ausführen, wenn die Aufgabe so formuliert ist?

1. Berechnung des Produkts: \(25 \cdot 14 = 350\). 2. Berechnung des Quotienten: \(1200 : 30 = 40\). 3. Addition der beiden Ergebnisse: \(350 + 40 = 390\). 4. Berechnung des Divisors für Teil b): \(13 \cdot 4 = 52\). 5. Division zur Bestimmung des Endergebnisses: \(15\,600 : 52 = 300\).

a) \(390\) b) \(300\)

- Welche Rechenregel musst du beachten, wenn keine Klammern gesetzt sind? - Was bewirkt eine Klammer in einem Rechenausdruck? - Überlege dir, welche Rechenoperation du ganz am Ende ausführst, um das Ergebnis zu erhalten.

1. Berechnung von a): Gemäß der Punkt-vor-Strich-Regel wird zuerst multipliziert: \(5 \cdot 8 = 40\). Anschließend erfolgt die Addition: \(25 + 40 = 65\). Da die Addition der letzte Rechenschritt ist, handelt es sich um eine Summe. 2. Berechnung von b): Zuerst wird die Klammer berechnet: \(25 + 5 = 30\). Danach folgt die Multiplikation: \(30 \cdot 8 = 240\). Da die Multiplikation der letzte Rechenschritt ist, handelt es sich um ein Produkt.

a) Ergebnis: \(65\); Termart: Summe b) Ergebnis: \(240\); Termart: Produkt

- Gibt es einen Unterschied in der Reihenfolge, wenn eine Klammer vorhanden ist? - Erinnere dich an die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. - Die Benennung des Terms richtet sich immer nach der Rechenart, die zuletzt ausgeführt wird.

1. Berechnung von a): Zuerst wird die Division durchgeführt: \(40 : 4 = 10\). Danach folgt die Subtraktion: \(120 - 10 = 110\). Der Term ist eine Differenz. 2. Berechnung von b): Zuerst wird der Wert in der Klammer bestimmt: \(120 - 40 = 80\). Danach wird durch \(4\) dividiert: \(80 : 4 = 20\). Der Term ist ein Quotient.

a) Ergebnis: \(110\); Termart: Differenz b) Ergebnis: \(20\); Termart: Quotient

- Welche Rechenregel bestimmt, was du zuerst rechnen musst? - Überlege, welche Rechenoperation (Plus, Minus, Mal oder Geteilt) ganz am Ende ausgeführt wird. - Vergleiche, wie die Klammer die Reihenfolge der Rechnungen verändert.

1. Berechnung von Term a): Zuerst wird die Klammer addiert (\(6 + 9 = 15\)), danach dividiert (\(90 : 15 = 6\)). Da die Division die letzte ausgeführte Operation ist, handelt es sich um einen Quotienten. 2. Berechnung von Term b): Nach der Regel „Punkt vor Strich“ wird zuerst dividiert (\(90 : 6 = 15\)) und anschließend addiert (\(15 + 9 = 24\)). Da die Addition die letzte Operation ist, handelt es sich um eine Summe.

a) Wert: \(6\); Termart: Quotient b) Wert: \(24\); Termart: Summe

- Beachte die Regel „Klammern zuerst“. - Vergiss nicht die Punkt-vor-Strich-Regel bei Termen ohne Klammern oder innerhalb von Klammern. - Rechne bei gleichrangigen Strichrechnungen oder Punktrechnungen von links nach rechts.

1. Berechnung unter Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel: \(40 + 6 - 2 = 44\). 2. Zuerst wird die Klammer berechnet, dann die Division: \(64 : 4 - 2 = 16 - 2 = 14\). 3. Zuerst wird die Klammer berechnet, dann die Division: \(40 + 24 : 2 = 40 + 12 = 52\). 4. Beide Klammern werden zuerst berechnet, dann folgt die Division: \(64 : 2 = 32\). Der größte Wert ist \(52\) (Term 3), der kleinste Wert ist \(14\) (Term 2).

Größter Wert: \(52\) (Term 3); kleinster Wert: \(14\) (Term 2).

- Welche Rechenregel musst du bei Term \(A\) beachten, da keine Klammern vorhanden sind? - Was bewirkt die Klammer in Term \(B\) im Vergleich zu Term \(A\)? - „Unterschied“ bedeutet in der Mathematik, dass du das kleinere vom größeren Ergebnis abziehst.

1. Berechnung von Term \(A\): Hier gilt die Punkt-vor-Strich-Regel, also \(15 + 20 = 35\). 2. Berechnung von Term \(B\): Hier wird zuerst die Klammer berechnet, also \(20 \cdot 4 = 80\). 3. Berechnung der Differenz: \(80 - 35 = 45\).

Der Wert von \(A\) ist \(35\), der Wert von \(B\) ist \(80\). Der Unterschied beträgt \(45\).

- Welche Rechenart gehört zu welchem Fachbegriff? - Überlege, welche Teile des Satzes zusammengehören und in Klammern gesetzt werden müssen. - Beachte die Regel: Klammern werden immer zuerst berechnet.

1. Aufstellen des Terms: Die Summe von \(14\) und \(6\) wird als \((14 + 6)\) geschrieben, die Differenz von \(25\) und \(15\) als \((25 - 15)\). Das Wort „multipliziere“ verknüpft beide Teile: \((14 + 6) \cdot (25 - 15)\). 2. Berechnung der Klammern: \(14 + 6 = 20\) und \(25 - 15 = 10\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: \(20 \cdot 10 = 200\).

Der Term lautet \((14 + 6) \cdot (25 - 15)\). Das Ergebnis ist \(200\).

- Welche Rechenoperationen müssen laut der „Punkt-vor-Strich“-Regel zuerst ausgeführt werden? - Wenn nur noch Strichrechnungen übrig sind, in welcher Reihenfolge gehst du dann vor? - Die Termart richtet sich immer nach der Rechenoperation, die du ganz am Schluss ausführst.

1. Anwendung der Vorrangregel „Punkt vor Strich“: \(5 \cdot 15 = 75\) und \(32 : 4 = 8\). Der Term vereinfacht sich zu \(125 - 75 + 8\). 2. Anwendung der Regel „von links nach rechts“ bei gleichrangigen Operationen: Zuerst wird die Subtraktion \(125 - 75 = 50\) durchgeführt. 3. Der letzte Rechenschritt ist die Addition: \(50 + 8 = 58\). Da eine Addition als letztes ausgeführt wird, handelt es sich um eine Summe.

Der Wert des Terms ist \(58\). Die Termart ist eine Summe.

- Rechne zuerst die linke Seite und dann die rechte Seite getrennt aus. - Achte genau darauf, ob ein Malzeichen oder ein Pluszeichen in der Aufgabe steht. - Vergleiche die beiden Ergebnisse am Ende miteinander.

1. Berechnung beider Seiten für a): \(0 \cdot 6 = 0\) und \(0 + 6 = 6\). Da \(0 < 6\), ist das Zeichen \(<\). 2. Berechnung für b): \(4 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2\) und \(2 \cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4\). Da \(2 < 4\), ist das Zeichen \(<\). 3. Berechnung für c): \(0 \cdot 8 + 8 = 0 + 8 = 8\) und \(8 \cdot 1 + 0 = 8 + 0 = 8\). Da \(8 = 8\), ist das Zeichen \(=\). 4. Berechnung für d): \(15 \cdot 0 = 0\) und \(0 \cdot 25 = 0\). Da \(0 = 0\), ist das Zeichen \(=\).

a) \(<\) b) \(<\) c) \(=\) d) \(=\)

- Überlege dir zuerst, ob das Ergebnis eher groß oder klein ist. Davon hängt ab, ob du eher multiplizieren oder addieren solltest. - Denk an die Punkt-vor-Strich-Regel. - Mit Klammern kannst du festlegen, welche Rechnung zuerst ausgeführt werden muss. - Probiere verschiedene Kombinationen aus, wenn du nicht sofort auf die Lösung kommst.

Um die Zielwerte zu erreichen, werden die Punkt-vor-Strich-Regel sowie Klammern angewendet: 1. Für das Ergebnis \(4\): Die Summe der ersten drei Zahlen bilden und die letzte subtrahieren: \(2 + 4 + 6 - 8 = 12 - 8 = 4\). 2. Für das Ergebnis \(10\): Multiplikation der ersten beiden Zahlen, Subtraktion der dritten und Addition der vierten: \(2 \cdot 4 - 6 + 8 = 8 - 6 + 8 = 10\). 3. Für das Ergebnis \(18\): Addition der ersten Zahl zum Produkt der zweiten und dritten, dann Subtraktion der letzten: \(2 + 4 \cdot 6 - 8 = 2 + 24 - 8 = 18\). 4. Für das Ergebnis \(20\): Einfache Addition aller vier Zahlen: \(2 + 4 + 6 + 8 = 20\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(2 + 4 + 6 - 8 = 4\) b) \(2 \cdot 4 - 6 + 8 = 10\) c) \(2 + 4 \cdot 6 - 8 = 18\) d) \(2 + 4 + 6 + 8 = 20\)

- Überlege zuerst, welche Rechenart mit dem Wort „Summe“ und welche mit „Differenz“ gemeint ist. - Es hilft, die beiden Teile der Aufgabe zuerst getrennt in Klammern zu schreiben. - Das Wort „von“ zeigt dir oft an, welcher Teil des Terms vorne stehen muss.

1. Aufstellen des Terms nach der Textbeschreibung: \((156 + 234) - (189 - 76)\) 2. Berechnung der Summe in der ersten Klammer: \(156 + 234 = 390\) 3. Berechnung der Differenz in der zweiten Klammer: \(189 - 76 = 113\) 4. Subtraktion der beiden Teilergebnisse: \(390 - 113 = 277\)

Das Ergebnis ist \(277\).

- Runde für den Überschlag jede Zahl auf Hunderter. - Welche Rechnung muss wegen der Klammer zuerst ausgeführt werden? - Schreibe die genaue Rechnung als Kette gleichwertiger Terme mit Gleichheitszeichen weiter.

1. Überschlag: \(4300-(1100+900)=4300-2000=2300\). 2. Genaue Rechnung in fortlaufender Form: \(4285-(1134+867)=4285-2001=2284\).

Überschlag: \(4300-(1100+900)=2300\) Fortlaufende Rechnung: \(4285-(1134+867)=4285-2001=2284\)

- Welche Rechenoperation wird als Letztes ausgeführt? - Wie heißt ein Term, dessen letzte Operation eine Division ist? - Beschreibe anschließend den Divisor genauer, ohne ihn auszurechnen. - Achte darauf, Zahlen und Teilterme fachsprachlich zu unterscheiden.

1. Die letzte Rechenoperation ist die Division; der gesamte Term ist also ein Quotient. 2. Der Dividend ist \(120\). Der Divisor ist das Produkt aus \(4\) und \(6\). 3. Textform: „Der Quotient aus \(120\) und dem Produkt der Zahlen \(4\) und \(6\).“

Der Quotient aus \(120\) und dem Produkt der Zahlen \(4\) und \(6\).

- Beginne bei einer Operation, deren beide Eingabewerte bereits feststehen. - Verfolge anschließend, in welche weitere Operation dieses Zwischenergebnis eingeht. - Setze im Term genau dort Klammern, wo eine zusammengesetzte Teilrechnung als Ganzes weiterverwendet wird. - Prüfe am Ende, ob dein Term dieselben Verknüpfungen wie der Baum enthält.

1. Die Operation, die \(15\) und \(25\) verbindet, liefert \(15+25=40\). 2. Dieses Zwischenergebnis wird mit \(12\) verknüpft: \(40\cdot12=480\). 3. Der dadurch gebildete Wert wird mit \(340\) durch Subtraktion verbunden: \(480-340=140\). 4. Der zugehörige Term lautet \((15+25)\cdot12-340\).

a) \((15+25)\cdot12-340\) b) Zwischenergebnisse: \(40\) und \(480\); Endwert: \(140\)

- Suche zuerst Teiloperationen, deren Eingabewerte direkt gegeben sind. - Prüfe, welche dieser Teilergebnisse anschließend als Eingabe einer weiteren Operation dienen. - Setze Klammern dort, wo eine Teilrechnung als Ganzes weiterverwendet werden muss.

1. Der linke Teilzweig ist \(24\cdot(15-8)\), der rechte Teilzweig ist \((42+18):5\). Beide werden addiert. 2. Der passende Term lautet \(24\cdot(15-8)+(42+18):5\). 3. Teilwerte: \(15-8=7\) und \(42+18=60\). 4. Danach \(24\cdot7=168\) und \(60:5=12\). 5. Endwert: \(168+12=180\).

a) \(24\cdot(15-8)+(42+18):5\) b) Zwischenergebnisse: \(15-8=7\), \(24\cdot7=168\), \(42+18=60\), \(60:5=12\); Endwert: \(168+12=180\)

- Beginne mit Teiloperationen, deren beide Zahlen bereits feststehen. - Verfolge, welche Ergebnisse anschließend weiterverwendet werden. - Klammern müssen die im Baum gezeigten Teilrechnungen als Einheiten erhalten.

1. Aus \(28\) und \(14\) wird zunächst die Summe \(28+14=42\) gebildet; dieses Ergebnis wird durch \(7\) geteilt: \(42:7=6\). 2. Ein anderer Teilzweig bildet \(15-9=6\). 3. Die beiden Teilwerte werden multipliziert: \(6\cdot6=36\). 4. Der passende Term ist \(((28+14):7)\cdot(15-9)\); die äußeren Klammern können weggelassen werden.

Term: \((28+14):7\cdot(15-9)\) Wert: \(36\)

- Vergleiche, welche zwei Zahlen in A beziehungsweise B zuerst miteinander verknüpft werden. - Wann muss eine Addition eingeklammert werden, damit sie vor einer Multiplikation ausgeführt wird? - Vergleiche die beiden so entstandenen Termstrukturen, nicht die Position der Bilder.

1. Rechenbaum A verknüpft zuerst \(12\) und \(8\) durch Addition und multipliziert die Summe mit \(5\). Term: \((12+8)\cdot5\). Wert: \(100\). 2. Rechenbaum B bildet zuerst das Produkt \(8\cdot5=40\) und addiert anschließend \(12\). Term: \(12+8\cdot5\). Wert: \(52\). 3. In A zwingt die Klammer die Addition vor der Multiplikation. In B gilt ohne solche Gruppierung Punkt vor Strich, daher wird nur \(8\) mit \(5\) multipliziert.

a) A: \((12+8)\cdot5\); B: \(12+8\cdot5\) b) A: \(100\); B: \(52\) c) In A wird zuerst addiert; in B wird wegen Punkt vor Strich zuerst multipliziert.

- Welche leeren Kästchen gehören zu Operationen, deren Eingaben bereits feststehen? - Berechne zuerst solche Teiloperationen und verwende ihre Ergebnisse anschließend weiter. - Prüfe jedes Zwischenergebnis, bevor du die Operation ausführst, die davon abhängt.

1. a) \(120-45=75\) und \(14+6=20\). Diese beiden Teilwerte werden multipliziert: \(75\cdot20=1500\). 2. b) \(250:5=50\) und \(18\cdot4=72\). Diese beiden Teilwerte werden addiert: \(50+72=122\). 3. c) \(12\cdot8=96\), danach \(96+34=130\). Dieser Teilwert wird von \(400\) subtrahiert: \(400-130=270\).

a) Zwischenergebnisse: \(75\) und \(20\); Endwert: \(1500\) b) Zwischenergebnisse: \(50\) und \(72\); Endwert: \(122\) c) Zwischenergebnisse: \(96\) und \(130\); Endwert: \(270\)

- Welche Teilrechnungen stehen für die Kosten der beiden Warenarten? - Welche Größe muss aus diesen beiden Kosten zuerst gebildet werden? - Welche der beiden Baumstrukturen zieht genau diese Gesamtkosten vom bezahlten Betrag ab?

1. a) Baum A ist richtig: Die beiden Einkaufskosten müssen zunächst zu Gesamtkosten zusammengefasst und diese Gesamtkosten anschließend von \(100\,\text{€}\) abgezogen werden. Baum B würde die Kosten der Pinselsets nach einer ersten Subtraktion wieder addieren. 2. b) Kreide: \(5\cdot8=40\,\text{€}\). Pinselsets: \(3\cdot12=36\,\text{€}\). Gesamtkosten: \(40+36=76\,\text{€}\). Wechselgeld: \(100-76=24\,\text{€}\). 3. c) Der Term lautet \(100-(5\cdot8+3\cdot12)\) und hat den Wert \(24\,\text{€}\).

a) Baum A b) \(24\,\text{€}\) c) \(100-(5\cdot8+3\cdot12)=24\)

- Beginne bei den innersten Ästen des Baumes. - Jede Verzweigung im Rechenbaum entspricht einer Rechenoperation. - Überlege dir, welche Zahlen zuerst zusammengerechnet werden müssen und setze dort Klammern.

1. Den innersten Teilbaum berechnen: \(320 + 450 = 770\). 2. Die Differenz im rechten Zweig bestimmen: \(980 - 770 = 210\). 3. Die abschließende Summe berechnen: \(540 + 210 = 750\). Der zugehörige Term lautet: \(540 + (980 - (320 + 450))\).

Der Term lautet \(540 + (980 - (320 + 450))\). Das Ergebnis ist \(750\).

- Berechne zunächst die beiden Teiloperationen mit direkt gegebenen Zahlen. - Welche Operation verbindet anschließend genau diese beiden Teilwerte? - Erhalte beim Aufschreiben des Terms beide Teilterme durch passende Klammern.

1. Ein Teilzweig liefert \(800+200=1000\). 2. Der andere Teilzweig liefert \(350+150=500\). 3. Diese Teilwerte werden subtrahiert: \(1000-500=500\). 4. Der Term lautet \((800+200)-(350+150)\).

Der Term lautet \((800+200)-(350+150)\). Das Ergebnis ist \(500\).

- Achte auf die Rechenzeichen in den Knoten. - Punktrechnung wird hier durch die Struktur des Baumes vorgegeben.

1. Das Produkt links berechnen: \(7 \cdot 9 = 63\). 2. Den Quotienten rechts berechnen: \(100 : 5 = 20\). 3. Die Differenz berechnen: \(63 - 20 = 43\). Term: \((7 \cdot 9) - (100 : 5)\).

Der Term lautet \((7 \cdot 9) - (100 : 5)\). Das Ergebnis ist \(43\).

- Welche Operation hat zwei direkt gegebene Zahlen als Eingaben? - Welche weitere Operation verwendet dieses Ergebnis? - Die im Baum nacheinander abhängigen Teilrechnungen müssen im Term durch passende Klammern erhalten bleiben.

1. Das Produkt \(25\cdot4\) ergibt \(100\). 2. Dieses Ergebnis wird um \(60\) vermindert: \(100-60=40\). 3. Der Teilwert \(40\) wird zu \(140\) addiert: \(140+40=180\). 4. Der Term lautet \(140+(25\cdot4-60)\).

Der Term lautet \(140+(25\cdot4-60)\). Sein Wert ist \(180\).

- Suche zuerst eine Operation im Baum, deren beide Eingaben bereits bekannte Zahlen sind. - Überlege, welches Teilergebnis anschließend in die nächste Operation eingeht. - Beim Aufschreiben des Terms muss die Klammer zeigen, dass \(45 + 35\) vor der Subtraktion berechnet wird.

1. Aus der Baumstruktur entsteht der Term \(150 - (45 + 35)\). 2. Berechne zuerst den rechten Zweig: \(45 + 35 = 80\). 3. Führe danach die letzte Subtraktion aus: \(150 - 80 = 70\).

Term: \(150 - (45 + 35)\) Ergebnis: \(70\)

- Welche Operation kann sofort ausgeführt werden, weil beide Eingaben Zahlen sind? - Verwende ihr Ergebnis als Eingabe der Operation, die davon abhängt. - Wie muss der Term geklammert werden, damit die Addition als Einheit weiterverwendet wird?

1. Die Operation mit den Eingaben \(18\) und \(7\) ergibt \(18+7=25\). 2. Dieses Zwischenergebnis wird mit \(4\) multipliziert: \(25\cdot4=100\). 3. Der Term lautet \((18+7)\cdot4\).

Zwischenwert: \(18+7=25\) Endwert: \(25\cdot4=100\) Term: \((18+7)\cdot4\)

- Jede Ebene im Rechenbaum entspricht einem Schritt in deiner Rechnung. - Wenn eine Subtraktion vor einer Division ausgeführt wird, musst du Klammern verwenden.

1. Zwischenschritt: \(32 - 14 = 18\) 2. Endergebnis: \(18 : 3 = 6\) 3. Term: \((32 - 14) : 3\)

Zwischenwert: \(32-14=18\) Endwert: \(18:3=6\) Term: \((32-14):3\)

- Schau dir an, welche Zahlen durch das Multiplikationszeichen verbunden sind. - Das Ergebnis dieser ersten Rechnung wird dann mit der \(26\) addiert.

1. Erste Operation: \(9 \cdot 6 = 54\) 2. Zweite Operation: \(54 + 26 = 80\) 3. Aufgestellter Term: \((9 \cdot 6) + 26\)

Zwischenwert: \(9\cdot6=54\) Endwert: \(54+26=80\) Term: \((9\cdot6)+26\)

- Die Anordnung im Baum zeigt dir, dass du das Produkt von \(60\) abziehen musst. - Denke an die Regel „Punkt vor Strich“ oder verwende Klammern zur Verdeutlichung.

1. Multiplikation rechts: \(8 \cdot 4 = 32\) 2. Subtraktion vom linken Wert: \(60 - 32 = 28\) 3. Termschreibweise: \(60 - (8 \cdot 4)\)

Zwischenwert: \(8\cdot4=32\) Endwert: \(60-32=28\) Term: \(60-(8\cdot4)\)

- Was wird durch was geteilt? - Die Klammer im Term stellt sicher, dass die Subtraktion vor der Division erfolgt.

1. Berechne den rechten Teilbaum: \(25 - 5 = 20\) 2. Führe die Division durch: \(100 : 20 = 5\) 3. Term: \(100 : (25 - 5)\)

Term: \(100 : (25 - 5)\) Ergebnis: \(5\)

- Welche beiden Zahlen werden im Baum direkt durch Addition verbunden? - Welcher Antwortterm behandelt genau diese Summe als einen gemeinsamen Subtrahenden? - Prüfe die Struktur der drei Terme, bevor du ihre Werte berechnest.

1. Im Baum werden \(30\) und \(20\) durch Addition zu einem Teilwert verbunden. 2. Dieser Teilwert wird als Ganzes von \(100\) subtrahiert. Deshalb passt nur Term B: \(100-(30+20)\). 3. \(30+20=50\), also \(100-50=50\).

Richtig ist B: \(100-(30+20)\). Das Ergebnis ist \(50\).

- Welche Rechnung steht links im Baum und wird zuerst ausgeführt? - Gilt hier „Punkt vor Strich“ automatisch, oder musst du eine Klammer setzen?

1. Auswertung des Baums: Zuerst wird die Multiplikation \(12 \cdot 8\) berechnet. 2. Zwischenschritt: \(12 \cdot 8 = 96\). 3. Letzter Schritt: Vom Ergebnis wird \(46\) subtrahiert. 4. Endergebnis: \(96 - 46 = 50\). 5. Termbildung: Da Punktrechnung vor Strichrechnung geht, sind Klammern hier optional, aber \((12 \cdot 8) - 46\) verdeutlicht die Struktur.

Der Term lautet \((12 \cdot 8) - 46\) (oder einfach \(12 \cdot 8 - 46\)). Das Ergebnis ist \(50\).

- Beginne mit Operationen, deren Eingaben bereits als Zahlen gegeben sind. - Ein leeres Kästchen steht für das Ergebnis der Operation, die seine Eingaben verknüpft. - Verwende einen Teilwert erst dann weiter, wenn die zugehörige Teilrechnung feststeht.

1. Ein Teilzweig liefert \(25\cdot4=100\). 2. Ein weiterer Teilzweig liefert \(150:3=50\). 3. Diese beiden Ergebnisse werden addiert: \(100+50=150\). 4. Der entstandene Wert wird mit \(2\) multipliziert: \(150\cdot2=300\).

Teilwerte: \(25\cdot4=100\), \(150:3=50\), \(100+50=150\) Endwert: \(150\cdot2=300\)

- Welche Operation hat zwei direkt gegebene Zahlen als Eingaben? - Verwende ihr Ergebnis anschließend in der davon abhängigen Addition.

1. Die Teilrechnung \(1250-750\) ergibt \(500\). 2. Dieses Zwischenergebnis wird mit \(400\) durch Addition verknüpft: \(500+400=900\).

Der Endwert des Rechenbaums ist \(900\).

- Kannst du beide Klammern in einem ersten Schritt vereinfachen? - Was passiert mit den Minuszeichen vor den Klammern? - Vergiss nicht, von links nach rechts zu rechnen, sobald die Klammern aufgelöst sind.

1. Berechnung der ersten Klammer: \(340 + 160 = 500\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(480 - 120 = 360\). 3. Einsetzen der Ergebnisse: \(1500 - 500 - 360\). 4. Erste Subtraktion von links nach rechts: \(1500 - 500 = 1000\). 5. Zweite Subtraktion: \(1000 - 360 = 640\).

\(640\)

- Was machst du, wenn eine Klammer innerhalb einer anderen Klammer steht? - Arbeite dich von innen nach außen vor. - Notiere dir jeden Zwischenschritt einzeln, um keine Zahl zu vergessen. - Welches Vorzeichen steht ganz am Ende des Terms?

1. Berechnung der inneren Klammer: \(340 - 160 = 180\). 2. Berechnung der äußeren Klammer mit dem Zwischenergebnis: \(120 + 180 = 300\). 3. Einsetzen in den Hauptterm: \(980 - 300 + 45\). 4. Subtraktion von links nach rechts: \(980 - 300 = 680\). 5. Addition des letzten Summanden: \(680 + 45 = 725\).

\(725\)

- Schau dir die beiden Klammern an. Welche Rechenart verbindet sie? - Wie nennt man das Ergebnis einer Minusaufgabe und wie das einer Plusaufgabe? - Berechne erst die Werte in den Klammern, bevor du die letzte Operation ausführst.

1. Bestimmung der Termstruktur: Da die Subtraktion zwischen den Klammern als letztes ausgeführt wird, ist der Gesamterm eine Differenz. Der Minuend ist die Summe aus \(780\) und \(220\), der Subtrahend ist die Differenz aus \(150\) und \(60\). 2. Berechnung des Minuenden (erste Klammer): \(780 + 220 = 1000\). 3. Berechnung des Subtrahenden (zweite Klammer): \(150 - 60 = 90\). 4. Berechnung des Gesamtergebnisses: \(1000 - 90 = 910\).

Struktur: Differenz aus der Summe von \(780\) und \(220\) und der Differenz von \(150\) und \(60\). Ergebnis: \(910\)

- Identifiziere zuerst das Rechenzeichen, das nicht in einer Klammer steht. - Wie heißen die Bestandteile einer Differenz? - Gehe beim Rechnen schrittweise vor und notiere dir die Zwischenergebnisse der Klammern.

1. Bestimmung der Termstruktur: Die Hauptoperation ist eine Subtraktion, daher ist der Term eine Differenz. Der Minuend ist die Differenz aus \(3400\) und \(1200\), der Subtrahend ist die Differenz aus \(500\) und \(150\). 2. Berechnung des Minuenden: \(3400 - 1200 = 2200\). 3. Berechnung des Subtrahenden: \(500 - 150 = 350\). 4. Finale Subtraktion: \(2200 - 350 = 1850\).

Struktur: Differenz aus der Differenz von \(3400\) und \(1200\) und der Differenz von \(500\) und \(150\). Ergebnis: \(1850\)

- Denke daran, die Klammern von innen nach außen aufzulösen. - Was bedeutet es, eine Zahl auf Hunderter zu runden? - Vergleiche am Ende, ob dein genaues Ergebnis in der Nähe deiner Schätzung liegt.

1. Rundung auf Hunderter für den Überschlag: \(4900 - [(1200 + 800) + (700 - 400)]\). 2. Berechnung des Überschlags: \(4900 - [2000 + 300] = 4900 - 2300 = 2600\). 3. Exakte Berechnung der inneren Klammern: \(1214 + 786 = 2000\) und \(654 - 354 = 300\). 4. Exakte Berechnung der eckigen Klammer: \(2000 + 300 = 2300\). 5. Endgültiges exaktes Ergebnis: \(4873 - 2300 = 2573\). 6. Vergleich: Das exakte Ergebnis \(2573\) liegt nah am Überschlag von \(2600\).

Überschlag: \(2600\); Exaktes Ergebnis: \(2573\)

- Wie gehst du vor, wenn eine Klammer innerhalb einer anderen Klammer steht? - Schau dir die Zahlen genau an: Gibt es Stellen, die sich besonders leicht verrechnen lassen? - Achte auf das Minuszeichen vor den Klammern.

1. Überschlag (auf Zehner): \(870 - [250 - (130 - 90)] = 870 - [250 - 40] = 870 - 210 = 660\). 2. Exakte Berechnung der inneren Klammer: \(134 - 89 = 45\). 3. Exakte Berechnung der eckigen Klammer: \(245 - 45 = 200\). 4. Endgültiges exaktes Ergebnis: \(872 - 200 = 672\).

Überschlag (Beispiel): \(660\); Exaktes Ergebnis: \(672\)

- Was ist der Unterschied zwischen einer „Summe“ und einer „Differenz“? - Wenn du eine Differenz von einer Zahl abziehst, muss die Differenz zuerst berechnet werden. Wie kennzeichnest du das im Term? - Lies genau, welche Zahl von welcher abgezogen werden soll.

1. Term für a): \(1000 - 285\). Ergebnis: \(715\). 2. Term für b): \(150 - (92 - 38)\). Berechnung der Klammer: \(92 - 38 = 54\). Subtraktion: \(150 - 54 = 96\). 3. Term für c): \((120 - 45) + (18 + 32)\). Berechnung der ersten Klammer: \(120 - 45 = 75\). Berechnung der zweiten Klammer: \(18 + 32 = 50\). Addition: \(75 + 50 = 125\).

a) \(1000 - 285 = 715\) b) \(150 - (92 - 38) = 96\) c) \((120 - 45) + (18 + 32) = 125\)

- Wie viel ist \(10^4\) als normale Zahl geschrieben? - „Sowie“ im Text bedeutet hier, dass ein weiterer Teil vom Gesamten abgezogen wird. - Setze Klammern um die Ausdrücke, die zuerst berechnet werden müssen (Summen oder Differenzen).

1. Term für a): \((245 + 355) - (100 - 40)\). Berechnung der ersten Klammer: \(245 + 355 = 600\). Berechnung der zweiten Klammer: \(100 - 40 = 60\). Subtraktion: \(600 - 60 = 540\). 2. Term für b): \(10^4 - (1200 + 800) - (50 - 20)\). Potenz berechnen: \(10^4 = 10\,000\). Erste Klammer: \(1200 + 800 = 2000\). Zweite Klammer: \(50 - 20 = 30\). Nacheinander subtrahieren: \(10\,000 - 2000 = 8000\), dann \(8000 - 30 = 7970\).

a) \((245 + 355) - (100 - 40) = 540\) b) \(10^4 - (1200 + 800) - (50 - 20) = 7970\)

- Welche Klammern musst du zuerst auflösen? - Kannst du den Term Schritt für Schritt von innen nach außen vereinfachen? - Notiere dir die Zwischenergebnisse der einzelnen Klammern.

1. Berechnung der inneren runden Klammern: \(1200 + 800 = 2000\) und \(450 + 150 = 600\). 2. Einsetzen der Ergebnisse in die eckige Klammer: \([2000 - 600]\). 3. Berechnung des Werts der eckigen Klammer: \(2000 - 600 = 1400\). 4. Durchführung der letzten Subtraktion: \(7500 - 1400 = 6100\).

\(6100\)

- Welche Rechenoperationen verbergen sich hinter den Begriffen „Summe“ und „Differenz“? - Achte darauf, welche Zahl von welcher abgezogen werden soll. - Setze Klammern um die Teilschritte, die zuerst berechnet werden müssen.

1. Aufstellen des Terms: Die Summe aus \(450\) und \(550\) wird als \((450 + 550)\) geschrieben. Die Differenz aus \(800\) und \(200\) als \((800 - 200)\). 2. Zusammensetzen des Gesamtausdrucks: \((3000 - (450 + 550)) + (800 - 200)\). 3. Berechnung der Klammern: \(450 + 550 = 1000\) und \(800 - 200 = 600\). 4. Berechnung des verbleibenden Terms: \((3000 - 1000) + 600 = 2000 + 600 = 2600\).

Term: \((3000 - (450 + 550)) + (800 - 200)\); Ergebnis: \(2600\)

- Wenn mehrere Zahlen in einer Klammer stehen, rechnest du diese von links nach rechts aus. - Was passiert mit der Zahl außerhalb der Klammer, während du den Klammerinhalt berechnest? - Versuche, den Term Zeile für Zeile zu verkürzen.

1. Innerhalb der Klammer wird von links nach rechts gerechnet: Zuerst \(321 - 105 = 216\). 2. Danach wird die letzte Subtraktion in der Klammer durchgeführt: \(216 - 66 = 150\). 3. Zum Schluss wird das Ergebnis der Klammer zur Zahl außerhalb addiert: \(456 + 150 = 606\).

\(456 + (321 - 105 - 66) = 456 + (216 - 66) = 456 + 150 = 606\)

- Erinnere dich an die Vorrangregeln für Klammern. - In welcher Reihenfolge gehst du vor, wenn in der Klammer Plus und Minus gemischt sind? - Achte darauf, die \(2100\) in jedem Schritt korrekt mitzuführen.

1. Zuerst wird die Addition innerhalb der Klammer ausgeführt: \(850 + 450 = 1300\). 2. Danach wird die Subtraktion innerhalb der Klammer berechnet: \(1300 - 300 = 1000\). 3. Schließlich wird das Gesamtergebnis der Klammer von der Zahl \(2100\) subtrahiert: \(2100 - 1000 = 1100\).

\(2100 - (850 + 450 - 300) = 2100 - (1300 - 300) = 2100 - 1000 = 1100\)

- Der Ausdruck „Differenz aus A und B“ bedeutet allgemein \(A - B\). Ersetze A und B durch die im Text genannten Rechenoperationen. - Verwende Klammern, um die Summe und die Differenz voneinander zu trennen. - Gehe schrittweise vor und berechne zuerst die Inhalte der Klammern.

1. Ersten Teilwert (Summe) berechnen: \(2500 + 1350 = 3850\). 2. Zweiten Teilwert (Differenz) berechnen: \(1800 - 650 = 1150\). 3. Gesamtdifferenz berechnen: \(3850 - 1150 = 2700\). 4. Struktur des Terms: \((2500 + 1350) - (1800 - 650) = 2700\).

Term: \((2500 + 1350) - (1800 - 650)\) Ergebnis: \(2700\)

- Erinnerst du dich an die Vorrangregeln bei Klammern? Welche Klammer rechnet man zuerst aus? - Wie kannst du die Zahlen runden, um den Überschlag im Kopf leicht auszurechnen? - Notiere dir die Zwischenergebnisse der einzelnen Klammern.

1. Durchführung eines Überschlags: \(25\,000 - [(8000 - 3000) + 2000] = 25\,000 - 7000 = 18\,000\). 2. Berechnung der inneren runden Klammern: \(8420 - 3120 = 5300\) und \(1550 + 450 = 2000\). 3. Berechnung des Werts innerhalb der eckigen Klammer: \(5300 + 2000 = 7300\). 4. Finale Subtraktion vom Gesamtwert: \(25\,000 - 7300 = 17\,700\).

Überschlag: zum Beispiel \(18\,000\); exaktes Ergebnis: \(17\,700\)

- Rechne zuerst die linke Seite und die rechte Seite getrennt voneinander aus. - Vergleiche die beiden Endergebnisse miteinander. - Welches Zeichen passt, wenn die linke Zahl kleiner, größer oder gleich der rechten Zahl ist?

1. Vergleich a: Linke Seite berechnen: \(6 \cdot 4 = 24\), dann \(24 - 9 = 15\). Da \(15 = 15\), ist das Zeichen \(=\). 2. Vergleich b: Linke Seite berechnen: \(48 : 8 = 6\), dann \(6 + 15 = 21\). Rechte Seite berechnen: \(3 \cdot 6 = 18\). Da \(21 > 18\), ist das Zeichen \(>\). 3. Vergleich c: Linke Seite berechnen: \(7 \cdot 7 = 49\) und \(4 \cdot 8 = 32\), dann \(49 - 32 = 17\). Rechte Seite berechnen: \(3 \cdot 9 = 27\), dann \(27 + 2 = 29\). Da \(17 < 29\), ist das Zeichen \(<\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(<\)

- Gibt es in der Aufgabe Klammern? Dann berechne diese immer zuerst. - Achte genau darauf, ob in der Mitte ein Plus, Minus oder Mal steht. - Kennst du die Ergebnisse aus dem kleinen Einmaleins auswendig? Das hilft dir hier sehr.

1. Erste Zeile: Lösen der Divisionen in den Klammern ergibt \(9\) und \(8\). Multiplikation: \(9 \cdot 8 = 72\). 2. Zweite Zeile: Lösen der Klammern ergibt \(8\) und \(28\). Addition: \(8 + 28 = 36\). 3. Dritte Zeile: Berechnen der Produkte in den Klammern ergibt \(81\) und \(64\). Subtraktion: \(81 - 64 = 17\). 4. Vierte Zeile: Lösen der Divisionen in den Klammern ergibt \(8\) und \(9\). Multiplikation: \(8 \cdot 9 = 72\).

\(72\); \(36\); \(17\); \(72\)

- Rechne die linke Seite und die rechte Seite der Aufgabe getrennt aus. - Denke an die Regel: Klammern werden zuerst berechnet. - Vergleiche am Ende die beiden Endergebnisse.

1. Vergleich a): Linke Seite \(8 \cdot 3 = 24\); rechte Seite \(8 \cdot 3 = 24\). Ergebnis: \(24 = 24\). 2. Vergleich b): Linke Seite \(6 \cdot 7 = 42\); rechte Seite \(8 \cdot 5 = 40\). Ergebnis: \(42 > 40\). 3. Vergleich c): Linke Seite \(5 \cdot 6 = 30\); rechte Seite \(4 \cdot 7 = 28\). Ergebnis: \(30 > 28\).

a) \(=\) b) \(>\) c) \(>\)

- Bearbeite die Aufgaben Schritt für Schritt von innen nach außen. - Was musst du innerhalb einer Klammer beachten, wenn dort mehrere Rechenzeichen stehen? - Vergiss nicht: Die Punkt-vor-Strich-Regel gilt auch dann, wenn keine Klammern da sind. - Kannst du Zwischenergebnisse kurz im Kopf behalten oder „zwischenspeichern“?

1. Schritt für a): Zuerst beide Klammern berechnen: \(15 + 25 = 40\) und \(12 - 8 = 4\). Dann Multiplikation: \(40 \cdot 4 = 160\). 2. Schritt für b): Zuerst den Ausdruck in der Klammer von links nach rechts berechnen: \(2 \cdot 10 = 20\), dann \(20 : 4 = 5\). Zuletzt \(100 : 5 = 20\). 3. Schritt für c): Zuerst die beiden Punktrechnungen ausführen: \(7 \cdot 8 = 56\) und \(4 \cdot 11 = 44\). Dann die Ergebnisse addieren: \(56 + 44 = 100\).

a) \(160\) b) \(20\) c) \(100\)

- Welche Rechenart verbirgt sich hinter dem Wort Differenz? - Berechne zuerst die beiden Teile der Aufgabe einzeln. - Verknüpfe am Ende deine beiden Zwischenergebnisse mit der im Text genannten Rechenoperation.

1. Berechnung der Differenz (Subtraktion): \(45 - 37 = 8\). 2. Berechnung des Quotienten (Division): \(120 : 3 = 40\). 3. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(8 \cdot 40 = 320\).

\(320\)

- Berechne für jeden Term den exakten Wert. - Nutze Rechenvorteile, indem du zum Beispiel Zahlen zuerst multiplizierst, die ein einfaches Zwischenergebnis wie 60 ergeben. - Achte genau darauf, ob nach dem kleinsten oder größten Wert gefragt ist.

1. Berechnung der Termwerte: (1) \(130 \cdot 4 = 520\), (2) \(3500 : 7 = 500\), (3) \(12 \cdot 5 \cdot 8 = 60 \cdot 8 = 480\), (4) \(240 + 180 + 90 = 420 + 90 = 510\). 2. Vergleich der berechneten Werte: \(520\), \(500\), \(480\) und \(510\). 3. Das kleinste Ergebnis ist \(480\), was dem Term (3) entspricht.

Der Term (3) hat mit dem Wert \(480\) das kleinste Ergebnis.

- Berechne zuerst alle Ergebnisse der vier Terme. - Überlege dir für jedes Ergebnis, wie weit es von der Zielzahl entfernt ist. - Die Differenz zwischen dem Ergebnis und der Zielzahl hilft dir zu entscheiden, was „am nächsten“ bedeutet.

1. Berechnung der Termwerte: (1) \(16 \cdot 15 = 240\), (2) \(1024 : 4 = 256\), (3) \(7 \cdot 6 \cdot 6 = 42 \cdot 6 = 252\), (4) \(500 - 243 = 257\). 2. Bestimmung der Abstände zur Zahl \(250\): (1) \(250 - 240 = 10\) (2) \(256 - 250 = 6\) (3) \(252 - 250 = 2\) (4) \(257 - 250 = 7\) 3. Der kleinste Abstand ist \(2\), daher liegt der Term (3) am nächsten bei \(250\).

Der Term (3) liegt mit dem Wert \(252\) am nächsten bei \(250\).

- Berechne jeden Term einzeln und achte dabei genau auf die Rechenregeln. - Schreibe dir die Zwischenergebnisse auf, damit du sie am Ende leichter vergleichen kannst. - Was bewirkt die Klammer im Vergleich zur Rechnung ohne Klammer?

1. Berechnung von \(A\): Nach der Punkt-vor-Strich-Regel ergibt sich \(36 + 3 = 39\). 2. Berechnung von \(B\): Klammer zuerst ergibt \(48 : 4 = 12\). 3. Berechnung von \(C\): Nach der Punkt-vor-Strich-Regel ergibt sich \(144 - 12 = 132\). 4. Berechnung von \(D\): Klammer zuerst ergibt \(36 \cdot 8 = 288\). 5. Vergleich der Ergebnisse: \(12 < 39 < 132 < 288\). Die Reihenfolge ist somit \(B, A, C, D\).

\(B = 12\), \(A = 39\), \(C = 132\), \(D = 288\). Die Reihenfolge ist: \(B < A < C < D\).

- Berechne die beiden Klammern nacheinander. - Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch 1? - Rechne in der rechten Klammer unbedingt von links nach rechts.

1. Berechnung der ersten Klammer (Dividend): \(17\,400 + 2600 = 20\,000\). 2. Schrittweise Berechnung der zweiten Klammer (Divisor) von links nach rechts: \(125 : 5 = 25\) und anschließend \(25 : 25 = 1\). 3. Endberechnung durch Division durch Eins: \(20\,000 : 1 = 20\,000\).

\(20\,000\)

- Überlege dir zuerst für jedes Ergebnis eine einfache Aufgabe mit einer der Rechenarten. - Streiche die verwendeten Rechenarten in einer Liste ab, um den Überblick zu behalten. - Wenn eine Rechenart schon zweimal vorkommt, musst du für die restlichen Ergebnisse andere Wege finden. - Es gibt viele verschiedene richtige Lösungen für diese Aufgabe.

Um die Bedingung zu erfüllen, dass jede Rechenart genau zweimal vorkommt, können folgende Aufgaben gewählt werden: 1. Ergebnis \(2\): \(1 + 1 = 2\) und \(4 : 2 = 2\) 2. Ergebnis \(4\): \(2 + 2 = 4\) und \(8 : 2 = 4\) 3. Ergebnis \(6\): \(10 - 4 = 6\) und \(2 \cdot 3 = 6\) 4. Ergebnis \(8\): \(10 - 2 = 8\) und \(2 \cdot 4 = 8\) In dieser Auswahl wird die Addition (\(+\)) bei den Ergebnissen \(2\) und \(4\) verwendet, die Division (\(:\)) ebenfalls bei \(2\) und \(4\), die Subtraktion (\(-\)) bei \(6\) und \(8\) sowie die Multiplikation (\(\cdot\)) bei \(6\) und \(8\). Jede Rechenart tritt somit genau zweimal auf.

Eine mögliche Lösung ist: Ergebnis \(2\): \(1 + 1\) und \(4 : 2\) Ergebnis \(4\): \(2 + 2\) und \(8 : 2\) Ergebnis \(6\): \(10 - 4\) und \(2 \cdot 3\) Ergebnis \(8\): \(10 - 2\) und \(2 \cdot 4\)

- Welche Rechenoperation musst du laut der „Punkt-vor-Strich“-Regel zuerst ausführen? - Was bedeuten Klammern für die Reihenfolge der Rechnung? - Rechne Schritt für Schritt und schreibe dir die Zwischenergebnisse auf.

1. Punkt-vor-Strich-Regel anwenden: a) \(1200 - 750 = 450\) 2. Klammer zuerst berechnen: b) \(720 : 12 = 60\) c) \(14 \cdot 97 = 1358\) 3. Klammerinhalt zuerst multiplizieren, dann dividieren: d) \(640 : 64 = 10\)

a) \(450\) b) \(60\) c) \(1358\) d) \(10\)

- Bei mehreren Multiplikationen darfst du Faktoren geschickt verbinden oder vertauschen. - Eine Division darfst du nicht beliebig umordnen; prüfe, ob ein Faktor zuerst exakt durch den Divisor geteilt werden kann. - Klammern geben weiterhin verbindlich vor, welcher Teilterm zuerst berechnet wird.

1. a) \((42 \cdot 54) : 9 = 42 \cdot (54 : 9) = 42 \cdot 6 = 252\). 2. b) \(15 \cdot 12 \cdot 5 = 15 \cdot (12 \cdot 5) = 15 \cdot 60 = 900\). 3. c) Zuerst die Klammer: \(5 \cdot 20 = 100\), danach \(800 : 100 = 8\). 4. d) \(12 \cdot 11 \cdot 5 = (12 \cdot 5) \cdot 11 = 60 \cdot 11 = 660\).

a) \(252\) b) \(900\) c) \(8\) d) \(660\)

- Weißt du noch, welche Rollen Minuend und Subtrahend bei einer Minusaufgabe spielen? - Berechne bei Teil b) erst die Werte der Klammerinhalte (Summe und Quotient), bevor du sie verknüpfst. - Lies genau, welche Zahlen miteinander verrechnet werden sollen.

1. Berechnung des Subtrahenden in Teil a): \(48 \cdot 75 = 3600\). 2. Subtraktion vom Minuenden: \(5000 - 3600 = 1400\). 3. Berechnung der Summe in Teil b): \(145 + 55 = 200\). 4. Berechnung des Quotienten: \(168 : 14 = 12\). 5. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(200 \cdot 12 = 2400\).

a) \(1400\) b) \(2400\)

- Welche Zahl steht bei einer Division vorne (Dividend) und welche hinten (Divisor)? - Notiere dir die Teilergebnisse für den Dividenden und den Divisor separat. - Achte darauf, dass du beim Subtrahieren die richtige Reihenfolge einhältst: „Subtrahiere von...“ bedeutet, dass dieser Wert vorne steht.

1. Bestimmung des Dividenden in Teil a): \(32 \cdot 15 = 480\). 2. Bestimmung des Divisors: \(94 - 78 = 16\). 3. Division der Teilergebnisse: \(480 : 16 = 30\). 4. Berechnung des Produkts in Teil b): \(125 \cdot 8 = 1000\). 5. Berechnung der Summe: \(347 + 253 = 600\). 6. Finale Subtraktion: \(1000 - 600 = 400\).

a) \(30\) b) \(400\)

- Bearbeite die Aufgaben Schritt für Schritt nach den Vorrangregeln. - Wie verändert die Klammer in Aufgabe b) die Reihenfolge der Rechenschritte im Vergleich zu Aufgabe a)? - Achte darauf, welches Rechenzeichen außerhalb der Klammern oder nach der Punktrechnung als Letztes übrig bleibt.

1. Berechnung von a): Zuerst werden beide Produkte berechnet: \(9 \cdot 6 = 54\) und \(4 \cdot 3 = 12\). Danach wird die Differenz gebildet: \(54 - 12 = 42\). Die Termart ist eine Differenz. 2. Berechnung von b): Zuerst wird die Klammer berechnet: \(6 - 4 = 2\). Danach wird von links nach rechts multipliziert: \(9 \cdot 2 = 18\) und \(18 \cdot 3 = 54\). Die Termart ist ein Produkt. 3. Vergleich: Da \(54 > 42\), liefert Term b) das größere Ergebnis.

a) Ergebnis: \(42\); Termart: Differenz b) Ergebnis: \(54\); Termart: Produkt Term b) liefert das größere Ergebnis.

- Gibt es hier Klammern? Wenn nicht, welche Regel gilt für Punkt- und Strichrechnungen? - Wenn nur noch Strichrechnungen (Plus und Minus) übrig sind, in welcher Reihenfolge gehst du vor? - Die Bezeichnung der Termart richtet sich immer nach der Rechenart, die du als Letztes ausführst.

1. Anwendung der Regel „Punkt vor Strich“: Zuerst wird die Multiplikation berechnet (\(50 \cdot 3 = 150\)). Der Term lautet nun \(200 - 150 + 12\). 2. Anwendung der Regel „von links nach rechts“: Zuerst wird die Subtraktion durchgeführt (\(200 - 150 = 50\)). 3. Letzter Schritt: Die Addition wird berechnet (\(50 + 12 = 62\)). 4. Bestimmung der Termart: Da die Addition der letzte Rechenschritt ist, ist der Term eine Summe.

Wert: \(62\); Termart: Summe

- Klammern werden immer zuerst berechnet. Was passiert innerhalb der zweiten Klammer? - Wenn du beide Klammern vereinfacht hast, welche Operation verbindet sie? - Wie nennt man das Ergebnis einer Geteiltrechnung?

1. Berechnung der ersten Klammer: \(24 + 36 = 60\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Innerhalb der Klammer gilt „Punkt vor Strich“, also \(3 \cdot 3 = 9\). Danach folgt die Subtraktion \(15 - 9 = 6\). 3. Letzter Rechenschritt: Die Ergebnisse der beiden Klammern werden dividiert (\(60 : 6 = 10\)). 4. Termart: Da die Division der abschließende Rechenschritt ist, handelt es sich um einen Quotienten.

Wert: \(10\); Termart: Quotient

- Was passiert in dem Term zuerst? - Wie nennt man das Ergebnis einer Plusaufgabe und wie das einer Geteiltaufgabe? - Versuche den Satz so zu bauen, dass klar ist, was durch was geteilt wird.

1. Wortformulierung: Da die Summe in Klammern steht und den Divisor bildet, lautet eine mögliche Beschreibung: „Dividiere \(80\) durch die Summe von \(12\) und \(8\)“ oder „Der Quotient aus \(80\) und der Summe von \(12\) und \(8\)“. 2. Berechnung der Klammer: \(12 + 8 = 20\). 3. Division durchführen: \(80 : 20 = 4\).

a) Beispiel: „Dividiere \(80\) durch die Summe von \(12\) und \(8\).“ b) Das Ergebnis ist \(4\).

- Achte genau darauf, worauf sich „das Vierfache“ jeweils bezieht. - Musst du bei beiden Texten eine Klammer setzen? - Denke an die Vorrangregel „Punkt-vor-Strich“.

1. Analyse Text 1: „Das Vierfache“ bedeutet \(4 \cdot \dots\). Die Differenz muss zuerst berechnet werden, also Klammern: \(4 \cdot (20 - 5)\). Rechnung: \(4 \cdot 15 = 60\). 2. Analyse Text 2: Zuerst wird das Vierfache von \(20\) gebildet (\(4 \cdot 20\)), davon wird \(5\) abgezogen: \(4 \cdot 20 - 5\). Rechnung: \(80 - 5 = 75\). 3. Vergleich: Die Ergebnisse \(60\) und \(75\) sind unterschiedlich.

Nein, sie führen nicht zum gleichen Ergebnis. Term 1: \(4 \cdot (20 - 5) = 60\). Term 2: \(4 \cdot 20 - 5 = 75\).

- Was hat in der Mathematik Vorrang: Klammern oder die Rechnungen außerhalb? - Untersuche die Klammer genau – gibt es dort auch eine Rangfolge der Rechenzeichen? - Wie nennt man das Ergebnis einer Malaufgabe?

1. Berechnung des Klammerinhalts unter Beachtung von „Punkt vor Strich“: \(6 \cdot 7 = 42\). 2. Abschluss der Klammerrechnung: \(48 - 42 = 6\). 3. Letzter Rechenschritt außerhalb der Klammer: \(6 \cdot 6 = 36\). Da eine Multiplikation der letzte Schritt ist, ist die Termart ein Produkt.

Der Wert des Terms ist \(36\). Die Termart ist ein Produkt.

- Hier hast du zwei Klammern. Berechne diese am besten zuerst getrennt voneinander. - Vergiss nicht, auch innerhalb der Klammern auf die Vorrangregeln zu achten. - Welches Rechenzeichen verbindet die beiden Klammerausdrücke ganz am Ende?

1. Berechnung der ersten Klammer: Zuerst \(6 \cdot 11 = 66\), dann \(14 + 66 = 80\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Zuerst \(2 \cdot 12 = 24\), dann \(24 - 4 = 20\). 3. Letzter Rechenschritt: Division der beiden Teilergebnisse \(80 : 20 = 4\). Die Termart ist somit ein Quotient.

Der Wert des Terms ist \(4\). Die Termart ist ein Quotient.

- Welche Rechenoperationen müssen wegen der Klammern zuerst ausgeführt werden? - Welche Produkte müssen in b) wegen „Punkt vor Strich“ zuerst berechnet werden? - Wie heißen Ergebnis und Bestandteile einer Plus-, Minus-, Mal- oder Geteiltrechnung fachsprachlich?

1. Teilaufgabe a): \(45 + 15 = 60\), \(20 - 10 = 10\) und \(60 : 10 = 6\). Wortform: „Der Quotient aus der Summe von \(45\) und \(15\) und der Differenz von \(20\) und \(10\).“ 2. Teilaufgabe b): \(8 \cdot 7 = 56\), \(3 \cdot 9 = 27\) und \(56 - 27 = 29\). Wortform: „Die Differenz aus dem Produkt von \(8\) und \(7\) und dem Produkt von \(3\) und \(9\).“

a) Wortform: Der Quotient aus der Summe von \(45\) und \(15\) und der Differenz von \(20\) und \(10\). Ergebnis: \(6\) b) Wortform: Die Differenz aus dem Produkt von \(8\) und \(7\) und dem Produkt von \(3\) und \(9\). Ergebnis: \(29\)

- Welches Rechenzeichen gehört zu welchem Fachbegriff? - Überlege, welche Teile des Satzes zusammengehören und zuerst berechnet werden müssen. - Wo musst du Klammern setzen, damit die Addition und Subtraktion vor der Division erfolgen?

1. Aufstellen des Terms: Die Begriffe Summe und Differenz verlangen Klammern, da sie vor der Division (dem Quotienten) berechnet werden müssen: \((64 + 16) : (15 - 7)\). 2. Berechnung der Klammerinhalte: \(64 + 16 = 80\) und \(15 - 7 = 8\). 3. Division der Zwischenergebnisse: \(80 : 8 = 10\).

Term: \((64 + 16) : (15 - 7)\) Ergebnis: \(10\)

- Welche Rechenart hat innerhalb der Klammer Vorrang? - Welche Rechenoperation wird im gesamten Term zuletzt ausgeführt? - Beschreibe zuerst die Hauptstruktur und danach die Bestandteile der Klammer.

1. Wortform: „Die Differenz aus \(150\) und der Summe aus \(40\) und dem Produkt von \(5\) und \(8\).“ 2. Innerhalb der Klammer gilt zuerst \(5 \cdot 8 = 40\). 3. Danach ist \(40 + 40 = 80\). 4. Schließlich ergibt sich \(150 - 80 = 70\).

Wortform: Die Differenz aus \(150\) und der Summe aus \(40\) und dem Produkt von \(5\) und \(8\). Ergebnis: \(70\)

- Was bedeuten die verschiedenen Klammerformen? - Wo beginnt man bei verschachtelten Klammern mit der Rechnung? - Welche Rechenregel gilt innerhalb der runden Klammer?

1. Innere Klammer unter Beachtung von Punkt-vor-Strich: \(12 - 3 \cdot 2 = 12 - 6 = 6\) 2. Eckige Klammer: \(15 - 6 = 9\) 3. Multiplikation für das Endergebnis: \(8 \cdot 9 = 72\)

\(72\)

- In welcher Reihenfolge wertest du die Klammern aus? - Beachte die Vorrangregeln für Punkt- und Strichrechnung. - Welcher Teil des Terms muss als Erstes berechnet werden?

1. Innere Klammer unter Beachtung der Vorrangregeln: \(48 : 8 + 2 = 6 + 2 = 8\) 2. Eckige Klammer: \(42 + 8 = 50\) 3. Division des Ergebnisses der eckigen Klammer: \(50 : 5 = 10\) 4. Finale Addition: \(10 + 17 = 27\)

\(27\)

- Welcher Teil des Terms bildet den Kern der Rechnung? - Gehe schrittweise von der innersten zur äußersten Klammer vor. - Welche Rechenoperation führst du ganz zuletzt aus?

1. Innere Klammer: \(7 + 13 = 20\) 2. Multiplikation innerhalb der eckigen Klammer: \(20 \cdot 4 = 80\) 3. Subtraktion innerhalb der eckigen Klammer: \(80 - 55 = 25\) 4. Multiplikation mit dem Faktor vor der Klammer: \(3 \cdot 25 = 75\) 5. Finale Subtraktion: \(140 - 75 = 65\)

\(65\)

- Erinnere dich an die Regel „Klammer vor Punkt vor Strich“. - Berechne zuerst die Werte innerhalb der Klammern einzeln. - Achte bei der Punktrechnung in der Klammer darauf, diese vor der Strichrechnung auszuführen.

1. Berechnung der ersten Klammer: \(14 \cdot 5 = 70\), dann \(70 - 62 = 8\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: \(33 : 3 = 11\), dann \(11 + 4 = 15\). 3. Multiplikation der Ergebnisse: \(8 \cdot 15 = 120\). 4. Subtraktion des letzten Terms: \(120 - 80 = 40\).

\(40\)

- Bei geschachtelten Klammern rechnest du von innen nach außen. - Welche Rechenart musst du innerhalb der eckigen Klammer zuerst ausführen? - Vergiss nicht, dass die Division am Ende Vorrang vor der Subtraktion von der Zahl \(200\) hat.

1. Innere Klammer auflösen: \(18 + 7 = 25\). 2. Ausdruck in der eckigen Klammer berechnen: \(4 \cdot 25 = 100\), dann \(100 - 30 = 70\). 3. Division durchführen: \(70 : 5 = 14\). 4. Letzter Schritt (Strichrechnung): \(200 - 14 = 186\).

\(186\)

- Wenn das Ergebnis klein ist, wie bei der \(1\), könnte am Ende eine Division oder Subtraktion stehen. - Um größere Zahlen wie \(36\) oder \(50\) zu erreichen, ist es oft hilfreich, Summen in Klammern miteinander zu multiplizieren. - Überprüfe bei jedem Schritt, ob du die Reihenfolge \(1, 2, 3, 4, 5\) eingehalten hast. - Manchmal hilft es, von hinten nach vorne zu denken: Was müsste vor der letzten Zahl passieren, um auf das Ergebnis zu kommen?

Die Lösungen erfordern eine geschickte Kombination von Klammern und Operatoren: 1. Zielwert \(1\): Zuerst wird die Summe von \(1\) und \(2\) mit \(3\) multipliziert, davon \(4\) abgezogen und das Ergebnis durch \(5\) geteilt: \(((1 + 2) \cdot 3 - 4) : 5 = (9 - 4) : 5 = 1\). 2. Zielwert \(15\): Alle Zahlen werden addiert: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\). 3. Zielwert \(36\): Die Summe der ersten beiden Zahlen wird mit der Summe der restlichen drei Zahlen multipliziert: \((1 + 2) \cdot (3 + 4 + 5) = 3 \cdot 12 = 36\). 4. Zielwert \(50\): Das Produkt der ersten drei Zahlen wird mit der vierten addiert und die Summe mit der fünften multipliziert: \((1 \cdot 2 \cdot 3 + 4) \cdot 5 = (6 + 4) \cdot 5 = 50\).

Mögliche Lösungen sind: a) \(((1 + 2) \cdot 3 - 4) : 5 = 1\) b) \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\) c) \((1 + 2) \cdot (3 + 4 + 5) = 36\) d) \((1 \cdot 2 \cdot 3 + 4) \cdot 5 = 50\)

- Welche einzelnen Massen gehören nach dem Beladen zur Gesamtmasse? - Wie wird die Masse mehrerer gleich schwerer Gegenstände bestimmt? - Der geforderte Gesamtterm muss die komplette künftige Ladung von der Höchstmasse abziehen.

1. Ein passender Gesamtterm ist \(80\,000 - (52\,650 + 45 \cdot 420 + 18 \cdot 315 + 950)\). 2. Die Container haben zusammen die Masse \(45 \cdot 420\,\text{kg} = 18\,900\,\text{kg}\), die Maschinen \(18 \cdot 315\,\text{kg} = 5670\,\text{kg}\). 3. Nach dem Beladen beträgt die Masse \(52\,650\,\text{kg} + 18\,900\,\text{kg} + 5670\,\text{kg} + 950\,\text{kg} = 78\,170\,\text{kg}\). 4. Es bleiben \(80\,000\,\text{kg} - 78\,170\,\text{kg} = 1830\,\text{kg}\) mögliche Zuladung.

Es können noch \(1830\,\text{kg}\) zugeladen werden.

- Gehe schrittweise vor und markiere dir die einzelnen Bestandteile des Terms. - Wenn in einem Bestandteil (wie dem zweiten Summanden) eine weitere Rechnung versteckt ist, benötigst du dort eine zusätzliche Klammer. - Erinnere dich an die Fachbegriffe: Summand gehört zur Addition, Minuend und Subtrahend zur Subtraktion.

1. Aufstellen des Terms: \((412 - 255) + (63 + (124 - 88))\) 2. Berechnung der ersten Differenz: \(412 - 255 = 157\) 3. Berechnung der inneren Differenz des zweiten Teils: \(124 - 88 = 36\) 4. Berechnung der Summe des zweiten Teils: \(63 + 36 = 99\) 5. Addition der beiden Hauptergebnisse: \(157 + 99 = 256\)

Das Ergebnis ist \(256\).

- In welcher Reihenfolge berechnet man einen Term mit mehreren Klammern? - Hilft es dir, die Zwischenergebnisse der Klammern zuerst einzeln zu notieren? - Vergleiche am Ende dein genaues Ergebnis mit deinem Überschlag – liegen sie nah beieinander?

1. Überschlag durch Rundung: \((6700 - 3500) + (1300 - 500) = 3200 + 800 = 4000\). 2. Berechnung der ersten Klammer: \(6721 - 3456 = 3265\). 3. Berechnung der zweiten Klammer: \(1289 - 544 = 745\). 4. Addition der beiden Teilergebnisse: \(3265 + 745 = 4010\).

Überschlag: \(4000\) Genaues Ergebnis: \(4010\)

- Welche Rechenart bestimmt den Namen des gesamten Terms? - Welche Teilterme stehen links und rechts von diesem Hauptrechenzeichen? - Wie heißen Mal- und Geteiltterme fachsprachlich?

1. Die letzte Rechenoperation ist die Subtraktion zwischen den Klammern; der gesamte Term ist eine Differenz. 2. Der Minuend ist das Produkt aus \(15\) und \(4\). Der Subtrahend ist der Quotient aus \(80\) und \(2\). 3. Textform: „Die Differenz aus dem Produkt von \(15\) und \(4\) und dem Quotienten von \(80\) und \(2\).“

Die Differenz aus dem Produkt von \(15\) und \(4\) und dem Quotienten von \(80\) und \(2\).

- Beziehe dich auf die Beschriftungen a) und b), nicht auf ihre mögliche Position in der Darstellung. - Erkenne zuerst Teiloperationen, deren Eingabewerte direkt gegeben sind. - Prüfe, welche Klammern wegen der üblichen Vorrangregeln wirklich nötig sind.

1. a) Ein Teilzweig liefert \(15\cdot8=120\), der andere \(130-45=85\). Beide Ergebnisse werden addiert. Term: \(15\cdot8+(130-45)\), Wert: \(205\). 2. b) Der Teilwert \(80:5=16\) wird von \(240\) subtrahiert. Term: \(240-80:5\), Wert: \(224\).

a) Term: \(15\cdot8+(130-45)\); Wert: \(205\) b) Term: \(240-80:5\); Wert: \(224\)

- Suche zuerst Operationen mit zwei direkt gegebenen Eingaben. - Überlege dann, welche dieser Teilergebnisse erneut in einer Operation verwendet werden. - Der vollständige Term muss dieselben Abhängigkeiten wie der Baum enthalten.

1. Der Baum beschreibt den Quotienten \((25\cdot6-30):(4\cdot5)\). 2. Linkes Produkt: \(25\cdot6=150\). 3. Linke Differenz: \(150-30=120\). 4. Rechtes Produkt: \(4\cdot5=20\). 5. Quotient: \(120:20=6\).

a) \((25\cdot6-30):(4\cdot5)\) b) Teilwerte: \(150\), \(120\), \(20\); Endwert: \(6\)

- Welche Operation hat zwei direkt gegebene Zahlen als Eingaben? - Verfolge, wie dieses Teilergebnis anschließend weiterverwendet wird. - Die Klammern im Term müssen genau diese Abhängigkeiten erhalten.

1. Die innerste Summe ist \(80+40=120\). 2. Dieser Wert wird von \(200\) subtrahiert: \(200-120=80\). 3. Das Ergebnis wird mit \(15\) multipliziert: \(15\cdot80=1200\). 4. Der Term lautet \(15\cdot(200-(80+40))\).

Der Term lautet \(15\cdot(200-(80+40))\). Das Ergebnis ist \(1200\).

- Beginne mit einer Operation, deren beide Eingaben direkt als Zahlen gegeben sind. - Verfolge anschließend, welche weitere Operation dieses Ergebnis verwendet. - Eine Verbindung im Baum zeigt, welches Teilergebnis in die nächste Rechnung eingeht.

1. Die direkt verbundenen Zahlen \(600\) und \(400\) ergeben \(1000\). 2. Dieser Teilwert wird mit \(500\) durch Subtraktion verknüpft: \(1000-500=500\). 3. Der entstandene Wert wird von \(2000\) subtrahiert: \(2000-500=1500\). 4. Der Term lautet \(2000-((600+400)-500)\).

Der Term lautet \(2000-((600+400)-500)\). Das Ergebnis ist \(1500\).

- Bearbeite die linke und die rechte Seite zunächst getrennt. - Setze Klammern im Term so, dass sie die Struktur der Verzweigungen widerspiegeln. - Kontrolliere deine Zwischenergebnisse sorgfältig, da sie für den nächsten Schritt wichtig sind.

1. Aufstellen des Terms: \((200 + 300) - (600 - (150 + 250))\) 2. Linken Teilbaum berechnen: \(200 + 300 = 500\) 3. Rechten inneren Teilbaum berechnen: \(150 + 250 = 400\) 4. Rechten äußeren Teilbaum berechnen: \(600 - 400 = 200\) 5. Letzte Differenz bilden: \(500 - 200 = 300\)

Der Term lautet \((200 + 300) - (600 - (150 + 250))\). Sein Wert ist \(300\).

- Der Baum hat zwei unabhängige Produktzweige; berechne beide zuerst. - Welche Operation verbindet anschließend die beiden Produktwerte? - Beim Term kannst du die beiden Produkte mit Klammern als getrennte Teilterme sichtbar machen.

1. \(8 \cdot 5 = 40\). 2. \(6 \cdot 7 = 42\). 3. \(40 + 42 = 82\). 4. Der Term lautet \((8 \cdot 5) + (6 \cdot 7)\).

Zwischenwerte: \(8\cdot5=40\) und \(6\cdot7=42\) Endwert: \(40+42=82\) Term: \((8\cdot5)+(6\cdot7)\)

- Berechne den linken und den rechten Zweig zunächst getrennt. - Überlege, welcher Zweig den Dividend und welcher den Divisor liefert. - Beim Term brauchen beide Zweige Klammern, damit ihre Werte vor der Division entstehen.

1. Linke Seite: \(200 - 80 = 120\). 2. Rechte Seite: \(4 + 6 = 10\). 3. Division: \(120 : 10 = 12\). 4. Der Term lautet \((200 - 80) : (4 + 6)\).

Term: \((200 - 80) : (4 + 6)\) Ergebnis: \(12\)

- Beginne mit der innersten Rechnung \(45 + 35\). - Du benötigst hier eine Klammer innerhalb einer Klammer im Term.

1. Innerste Rechnung: \(45 + 35 = 80\) 2. Nächster Schritt links: \(120 - 80 = 40\) 3. Letzter Schritt: \(40 \cdot 2 = 80\) 4. Term: \((120 - (45 + 35)) \cdot 2\)

Term: \((120 - (45 + 35)) \cdot 2\) Ergebnis: \(80\)

- Welche beiden Teiloperationen können unabhängig voneinander berechnet werden? - Welche Operation verbindet anschließend ihre Ergebnisse? - Wie müssen die beiden Strichrechnungen im Term geklammert werden, damit sie als ganze Teilwerte in die Division eingehen?

1. Ein Teilzweig liefert \(24+36=60\). 2. Der andere Teilzweig liefert \(15-5=10\). 3. Diese beiden Teilwerte bilden Dividend und Divisor: \(60:10=6\). 4. Der vollständige Term lautet \((24+36):(15-5)\).

Der Term lautet \((24+36):(15-5)\). Das Ergebnis ist \(6\).

- Welche zwei Teiloperationen können unabhängig voneinander berechnet werden? - Welche Operation verknüpft anschließend genau diese beiden Teilergebnisse?

1. Ein Teilzweig ergibt \(60+40=100\). 2. Der andere Teilzweig ergibt \(25-15=10\). 3. Beide Teilwerte werden multipliziert: \(100\cdot10=1000\).

Der Endwert ist \(1000\).

- Beginne bei der inneren Rechenoperation, deren beide Eingaben schon bekannt sind. - Nutze das erste Teilergebnis anschließend in der nächsten Operation. - Behalte die Einheit bei jedem Schritt im Blick.

1. Berechne zuerst die Division: \(500\,\text{m} : 5 = 100\,\text{m}\). 2. Multipliziere dieses Ergebnis mit \(3\): \(100\,\text{m} \cdot 3 = 300\,\text{m}\).

Der Wert des Rechenbaums beträgt \(300\,\text{m}\).

- Was bedeutet die Schreibweise \(10^5\)? Wie viele Nullen hat diese Zahl? - Achte auf die Schachtelung der Klammern: Arbeite dich von innen nach außen vor. - Kannst du den Term Schritt für Schritt vereinfachen und jeweils die neue Zeile aufschreiben?

1. Bestimmung von \(10^5 = 100\,000\). 2. Überschlag durch grobe Rundung: \(100\,000 - [(50\,000 - 10\,000) + (20\,000 - 7000)] = 100\,000 - 53\,000 = 47\,000\). 3. Berechnung der ersten runden Klammer: \(52\,340 - 12\,140 = 40\,200\). 4. Berechnung der zweiten runden Klammer: \(18\,500 - 7200 = 11\,300\). 5. Addition der Ergebnisse in der eckigen Klammer: \(40\,200 + 11\,300 = 51\,500\). 6. Endgültige Subtraktion: \(100\,000 - 51\,500 = 48\,500\).

Überschlag: zum Beispiel \(47\,000\); exaktes Ergebnis: \(48\,500\)

- Berechne den Term von innen nach außen. - Achte bei Minuszeichen vor Klammern besonders darauf, wie sich eine Änderung der Zahlen im Inneren auf das Gesamtergebnis auswirkt. - Was passiert, wenn bei einer Subtraktion sowohl die vordere als auch die hintere Zahl um denselben Betrag größer werden?

1. Schrittweise Berechnung des Originalwerts: Innerste Klammer \((150 - 50) = 100\). Eckige Klammer \([750 - 100] = 650\). Gesamtwert \(2500 - 650 = 1850\). 2. Analyse der Erhöhung um \(d = 10\) für jede Zahl: In der innersten Klammer \((150 - 50)\) heben sich die Änderungen auf (\(160 - 60 = 100\)), der Wert bleibt gleich. 3. In der eckigen Klammer \([750 - 100]\) wird der Minuend um \(10\) größer, während der Subtrahend (die innerste Klammer) gleich bleibt. Der Wert der eckigen Klammer steigt also um \(10\) auf \(660\). 4. Für den gesamten Term gilt: Der Minuend \(2500\) wird um \(10\) größer (\(2510\)) und der Subtrahend (die eckige Klammer) wird ebenfalls um \(10\) größer (\(660\)). 5. Da Minuend und Subtrahend des Hauptterms um denselben Betrag (\(10\)) wachsen, bleibt die Gesamtdifferenz unverändert: \(2510 - 660 = 1850\).

Ausgangswert: \(1850\). Die innerste Differenz bleibt beim Erhöhen beider Zahlen um \(10\) unverändert. Dadurch steigt der Wert der eckigen Klammer um \(10\). Gleichzeitig steigt auch der äußere Minuend um \(10\). Da Minuend und Subtrahend des Hauptterms gleich stark wachsen, bleibt der Gesamtwert \(1850\).

- Untersuche die innerste Klammer ganz rechts zuerst. - Welche Auswirkung hat das Ergebnis dieser kleinen Klammer auf die gesamte eckige Klammer? - Musst du die Summe \(123 + 456\) wirklich ausrechnen?

1. Berechnung der innersten runden Klammer unter Beachtung von Punkt-vor-Strich: \(2 \cdot 5 = 10\), also \(10 - 10 = 0\). 2. Auswertung der eckigen Klammer: Da ein Faktor \(0\) ist, ergibt das gesamte Produkt innerhalb der eckigen Klammer \(0\), also \((123 + 456) \cdot 0 = 0\). 3. Subtraktion vom ersten Wert: \(45\,678 - 0 = 45\,678\).

\(45\,678\)

- Du musst jede der vier Zahlen in jedem Teil der Aufgabe genau einmal benutzen. - Für kleine Ergebnisse wie \(1\) hilft es oft, zwei etwa gleich große Werte voneinander abzuziehen oder zu dividieren. - Für große Ergebnisse wie \(50\) solltest du versuchen, eine Zahl am Ende mit einem Ergebnis nahe \(10\) zu multiplizieren. - Probiere verschiedene Klammersetzungen aus, um die Reihenfolge der Rechnung zu steuern.

1. Für das Ergebnis \(1\): Man kombiniert die Zahlen so, dass Dividend und Divisor einer Division gleich sind oder eine Subtraktion \(0\) oder \(1\) ergibt. Eine Lösung ist \((5 + 3) : (4 \cdot 2) = 8 : 8 = 1\). Eine andere Möglichkeit ist \((5 - 4) \cdot (3 - 2) = 1 \cdot 1 = 1\). 2. Für das Ergebnis \(12\): Man sucht eine Kombination, die \(12\) liefert, zum Beispiel \((5 + 4 - 3) \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12\). 3. Für das Ergebnis \(50\): Hier ist ein hoher Wert durch Multiplikation nötig. Ein Weg ist \(5 \cdot (3 \cdot 4 - 2) = 5 \cdot (12 - 2) = 5 \cdot 10 = 50\).

Mögliche Lösungen sind: a) \((5 + 3) : (4 \cdot 2) = 1\) b) \((5 + 4 - 3) \cdot 2 = 12\) c) \(5 \cdot (3 \cdot 4 - 2) = 50\)

- Achte darauf, welche Operationen ohne Klammern automatisch Vorrang haben. - Überlege für jeden Zielwert, welche Größenordnung ein nützlicher Zwischenwert haben müsste. - Prüfe systematisch verschiedene Operationszeichen, ohne die Reihenfolge der vier Zahlen zu verändern. - Falls die normale Rechenreihenfolge nicht zum Ziel führt, untersuche, ob eine Klammer die gewünschte Gruppierung erzeugt.

1. a) \(10-5\cdot2+1=1\). 2. b) \(10:5+2\cdot1=4\). 3. c) \(10-5+2\cdot1=7\). 4. d) \(10+5-2\cdot1=13\). 5. e) \(10\cdot(5-2)+1=31\).

a) \(10-5\cdot2+1=1\) b) \(10:5+2\cdot1=4\) c) \(10-5+2\cdot1=7\) d) \(10+5-2\cdot1=13\) e) \(10\cdot(5-2)+1=31\)

- Übersetze den Text Stück für Stück in mathematische Zeichen. - Achte besonders auf die Schachtelung: Eine Differenz kann selbst wieder eine Summe als Bestandteil haben. - Welche Zahl wird von welcher abgezogen? Achte auf die Begriffe Minuend und Subtrahend.

1. Aufstellen des Terms: \((800 - 345) - (150 - (45 + 23))\) 2. Berechnung der ersten Differenz (Minuend \(800\), Subtrahend \(345\)): \(800 - 345 = 455\) 3. Berechnung der inneren Summe im zweiten Teil: \(45 + 23 = 68\) 4. Berechnung der zweiten Differenz: \(150 - 68 = 82\) 5. Endgültige Subtraktion der Teilergebnisse: \(455 - 82 = 373\)

Das Ergebnis ist \(373\).

- Was bedeuten die verschiedenen Klammerformen (rund und eckig) für die Reihenfolge deiner Rechnung? - Arbeite dich bei verschachtelten Klammern immer von innen nach außen vor. - Achte beim Überschlag darauf, die eckige Klammer wie eine normale Klammer zu behandeln.

1. Überschlag: \(8100 - [4600 - (2100 - 900)] = 8100 - [4600 - 1200] = 8100 - 3400 = 4700\). 2. Berechnung der inneren runden Klammer: \(2134 - 899 = 1235\). 3. Berechnung der äußeren eckigen Klammer unter Verwendung des ersten Zwischenergebnisses: \(4567 - 1235 = 3332\). 4. Finale Subtraktion: \(8123 - 3332 = 4791\).

Überschlag: \(4700\) Genaues Ergebnis: \(4791\)

- Lies den Rechenbaum zuerst nur als Folge von Operationen mit der Eingabe \(x\). - Setze für a) den gegebenen Verbrauch erst ein, nachdem du den Term aus dem Baum notiert hast. - Rechne innerhalb des Baums nur mit Cent; wandle erst das fertige Ergebnis in Euro um. - Bei b) beginne beim Endbetrag in Cent und mache die Baumoperationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig.

1. Der Rechenbaum entspricht dem Term \(x \cdot 30 + 1200\). 2. Für \(x = 400\) gilt \(400 \cdot 30 = 12\,000\) und anschließend \(12\,000 + 1200 = 13\,200\). Das sind \(132\,\text{€}\). 3. Rückwärts von \(10\,200\) Cent wird zuerst die Grundgebühr rückgängig gemacht: \(10\,200 - 1200 = 9000\). 4. Danach wird die Multiplikation mit \(30\) rückgängig gemacht: \(9000 : 30 = 300\). Der Verbrauch beträgt \(300\,\text{kWh}\).

a) Term: \(x \cdot 30 + 1200\) Für \(x = 400\): \(13\,200\) Cent = \(132\,\text{€}\) b) \(300\,\text{kWh}\)

- Beginne in jedem Teil des Baums mit einer Operation, deren Eingaben bereits Zahlen sind. - Berechne voneinander unabhängige Teilzweige getrennt. - Führe eine Operation erst aus, wenn die dafür benötigten Teilwerte feststehen. - Erhalte die verschachtelten Teilrechnungen im Term durch Klammern.

1. Im ersten Hauptteil gilt \(250-50=200\) und danach \(600-200=400\). 2. Im zweiten Hauptteil gilt \(80-30=50\) und danach \(120+50=170\). 3. Die beiden Hauptwerte werden subtrahiert: \(400-170=230\). 4. Der Term lautet \((600-(250-50))-(120+(80-30))\).

Der Term lautet \((600-(250-50))-(120+(80-30))\). Das Ergebnis ist \(230\).

- Berechne zuerst Teiloperationen, deren Eingaben bereits feststehen. - Notiere die beiden Teilwerte, die anschließend durch die Division verbunden werden. - Setze Klammern so, dass jeder zusammengesetzte Teilwert als Ganzes erhalten bleibt.

1. Ein Teilzweig liefert \(12\cdot5=60\). 2. Im anderen Teilzweig gilt zunächst \(2\cdot30=60\) und danach \(80-60=20\). 3. Die beiden Teilwerte bilden Dividend und Divisor: \(60:20=3\). 4. Der vollständige Term lautet \((12\cdot5):(80-(2\cdot30))\).

Endwert: \(3\) Term: \((12\cdot5):(80-(2\cdot30))\)