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- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Gibt es zu einem positiven Abstand immer nur eine Zahl oder können es mehrere sein? - Denk daran, dass auch die Null eine ganze Zahl ist.

1. Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Für den Betrag \(17\) kommen die Zahlen \(17\) und \(-17\) infrage. 2. Ganze Zahlen mit einem Betrag kleiner als \(3\) haben einen Abstand zur Null von \(0\), \(1\) oder \(2\). Dies sind die Zahlen \(-2, -1, 0, 1, 2\). 3. Nur die Zahl \(0\) hat den Abstand \(0\) zur Null, also ist ihr Betrag \(0\).

a) \(-17\) und \(17\) b) \(-2, -1, 0, 1, 2\) c) \(0\)

- Erinnere dich an die Bedeutung des Betrags auf der Zahlengeraden. - Gibt es auf der Zahlengeraden verschiedene Punkte, die gleich weit von der Null entfernt sind? - Was ist die Gegenzahl einer Zahl?

1. Definition des Betrags: Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Zahl \(0\) auf der Zahlengeraden an. 2. Suche nach Zahlen mit gleichem Abstand: Auf der Zahlengeraden liegen die Zahl \(a\) und ihre Gegenzahl \(-a\) jeweils genau \(|a|\) Einheiten von der Null entfernt. 3. Beispiel wählen: Für die Zahlen \(5\) und \(-5\) gilt \(|5| = 5\) und \(|-5| = 5\). 4. Ergebnis: Da es zu jeder Zahl (außer der Null) eine Gegenzahl mit demselben Abstand zum Nullpunkt gibt, ist die Antwort ja.

Ja, das ist möglich. Jede Zahl und ihre Gegenzahl (außer der Null) haben denselben Betrag. Beispiel: \(|12| = 12\) und \(|-12| = 12\).

- Wie berechnet man den Betrag einer negativen Zahl? - Was gibt der Betrag über die Lage einer Zahl auf der Zahlengeraden an? - Vergleiche am Ende einfach die beiden Abstände (die Beträge) miteinander.

1. Bestimmung des Betrags von \(-12\): Der Abstand von \(-12\) zu \(0\) ist \(12\), also \(|-12| = 12\). 2. Bestimmung des Betrags von \(10\): Der Abstand von \(10\) zu \(0\) ist \(10\), also \(|10| = 10\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(12 > 10\) ist, hat die Zahl \(-12\) den größeren Abstand zur Null.

Die Zahl \(-12\) hat den größeren Abstand zur Null, da \(|-12| = 12\) und \(|10| = 10\) gilt und \(12 > 10\) ist.

- Deute den Betrag als Abstand von \(0\). - Prüfe positive, negative und die Zahl \(0\) getrennt gegen die Schranke \(4\). - Achte darauf, dass „kleiner als“ die Randwerte mit Abstand \(4\) ausschließt.

1. Gesucht sind alle ganzen Zahlen, deren Abstand von \(0\) kleiner als \(4\) ist. 2. Im nichtnegativen Bereich passen \(0,1,2,3\). 3. Im negativen Bereich passen \(-1,-2,-3\). 4. Insgesamt erhält man \(\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), also \(7\) Zahlen.

Die Zahlen sind \(-3,-2,-1,0,1,2,3\). Es sind insgesamt \(7\) Zahlen.

- Erinnere dich daran, dass der Abstand zur Null immer dem Betrag der Zahl entspricht. - Lies die Aufgabenstellung genau: Werden alle ganzen Zahlen gesucht oder nur ein bestimmter Teil (z. B. nur negative)? - Es hilft, sich die Zahlen auf einer Zahlengeraden vorzustellen.

1. Der Abstand zur Null entspricht dem Betrag. Gesucht sind Zahlen \(x\) mit \(4 < |x| < 8\). Die möglichen Beträge sind \(5, 6\) und \(7\). Dies ergibt die Zahlen \(\{-7, -6, -5, 5, 6, 7\}\). 2. Der Betrag soll kleiner als \(5\) sein, also \(|x| \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Da nur negative ganze Zahlen gesucht sind, kommen nur \(\{-4, -3, -2, -1\}\) infrage.

a) \(-7, -6, -5, 5, 6, 7\) b) \(-4, -3, -2, -1\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man die Gegenzahl einer Zahl bildet? - Überlege dir, welche Bedeutung der Betrag einer Zahl auf der Zahlengeraden hat. - Welche Zahl ist ihre eigene Gegenzahl?

1. Aus der Gegenzahl \(-25\) folgt, dass die gesuchte Zahl \(25\) ist. 2. Eine negative Zahl mit dem Abstand \(14\) zur Null ist \(-14\). 3. Eine positive Zahl mit dem Abstand \(8\) zur Null ist \(8\). 4. Die einzige Zahl, für die \(x = -x\) gilt, ist \(0\).

a) \(25\) b) \(-14\) c) \(8\) d) \(0\)

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ einer Zahl anschaulich? - Gibt es zu jedem Betrag (außer der Null) nur eine einzige Zahl oder vielleicht zwei? - Vergiss bei deiner Suche die Null nicht. - „Kleiner als \(6\)“ bedeutet, dass die \(6\) selbst nicht mehr dazugehört.

1. Definition des Betrags: Der Abstand einer Zahl zur Null. 2. Bedingung: \(|z| < 6\). Das bedeutet, der Abstand zur Null muss \(0, 1, 2, 3, 4\) oder \(5\) betragen. 3. Bestimmung der entsprechenden negativen Zahlen: \(-5, -4, -3, -2, -1\). 4. Bestimmung der Null und der entsprechenden positiven Zahlen: \(0, 1, 2, 3, 4, 5\). 5. Zusammenführen und Sortieren: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

\(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\)

- Versuche zuerst, alle Zahlen zu finden, deren Betrag zwischen \(3\) und \(8\) liegt. - Wie viele Zahlen gibt es normalerweise zu einem bestimmten Betrag? - Sortiere am Ende alle Zahlen aus, die nicht negativ sind. - Überprüfe, ob dein Ergebnis die Bedingungen „größer als \(3\)“ und „kleiner als \(8\)“ strikt einhält.

1. Analyse der Betragsbedingung: \(3 < |z| < 8\). Die möglichen ganzzahligen Beträge sind \(4, 5, 6\) und \(7\). 2. Zu diesen Beträgen gehören die positiven Zahlen \(\{4, 5, 6, 7\}\) und die negativen Zahlen \(\{-4, -5, -6, -7\}\). 3. Anwendung der ersten Bedingung: Es werden nur die negativen Zahlen ausgewählt. 4. Ergebnis: \(-7, -6, -5, -4\).

\(-7, -6, -5, -4\)

- Überlege dir zuerst, was der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet. - Wie drückt man „gleich weit“, „näher“ oder „weiter weg“ mathematisch mit Symbolen wie \(=\), \(<\) oder \(>\) aus? - Erinnere dich daran, dass der Betragsstrich den Abstand einer Zahl zur Null angibt.

1. Der Abstand einer Zahl \(z\) von der Null wird durch den Betrag \(|z|\) ausgedrückt. 2. „Derselbe Abstand“ bedeutet Gleichheit: \(|-14| = |+14|\). 3. „Näher an der Null“ bedeutet ein kleinerer Betrag: \(|-5| < |-9|\). 4. „Weniger weit entfernt“ bedeutet ebenfalls ein kleinerer Betrag: \(|+2| < |-3|\).

a) \(|-14| = |+14|\) b) \(|-5| < |-9|\) c) \(|+2| < |-3|\)

- Was gibt der Betrag einer Zahl an? Berechne diesen Wert zuerst für jede der drei Zahlen. - Welche Zahl hat den kleinsten Wert, wenn man nur auf die Entfernung zur Null schaut? - Verwende die Betragsstriche, um diese Entfernungen in einer Kette aufzuschreiben.

1. Bestimmung der Abstände zur Null durch Bildung der Beträge: \(|-22| = 22\), \(|+17| = 17\), \(|-11| = 11\). 2. Vergleich der berechneten Abstände: \(11 < 17 < 22\). 3. Ersetzen der Werte durch die entsprechenden Betragsterme: \(|-11| < |+17| < |-22|\).

\(|-11| < |+17| < |-22|\)

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den Abstand einer Temperatur von der Null-Grad-Marke zu bestimmen? - Vergleiche die beiden Abstände miteinander. Welches Zeichen (\(>\) oder \(<\)) passt hier?

1. Bestimmung des Abstands der ersten Temperatur zur Null: \(|-12| = 12\). 2. Bestimmung des Abstands der zweiten Temperatur zur Null: \(|+10| = 10\). 3. Vergleich der Abstände: Da \(12 > 10\), ist der Abstand von \(-12\) größer als der von \(+10\). 4. Mathematische Formulierung mit Betragszeichen: \(|-12| > |+10|\).

\(|-12| > |+10|\)

- Überlege dir, wo die Zahlen auf einer Zahlengeraden liegen. Was bedeutet es für die Größe einer Zahl, wenn sie weiter links oder weiter rechts steht? - Erinnere dich daran, dass der Betrag einer Zahl ihr Abstand zur Null ist. Ein Abstand kann niemals negativ sein. - Bei Teilaufgabe b) sortierst du nicht die Werte der Zahlen selbst, sondern schaust nur darauf, wie weit sie von der Null entfernt sind.

1. Vergleich der Zahlen auf der Zahlengeraden: Je weiter links eine Zahl steht, desto kleiner ist sie. Negative Zahlen sind kleiner als Null, positive Zahlen sind größer als Null. Ergebnis: \(-12 < -8 < -5 < 0 < 5 < 7\). 2. Berechnung der Beträge (Abstand zur Null): \(|-12| = 12\), \(|7| = 7\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|5| = 5\), \(|-8| = 8\). 3. Sortierung der ursprünglichen Zahlen nach diesen Betragswerten: \(0\) (Betrag \(0\)), \(5\) und \(-5\) (beide Betrag \(5\)), \(7\) (Betrag \(7\)), \(-8\) (Betrag \(8\)), \(-12\) (Betrag \(12\)).

a) \(-12 < -8 < -5 < 0 < 5 < 7\) b) \(0; 5; -5; 7; -8; -12\) (Hinweis: Die Reihenfolge von \(5\) und \(-5\) kann vertauscht sein, da ihre Beträge gleich sind.)

- Überlege dir, welche Zahl kleiner ist – diese liegt auf der Zahlengeraden weiter links. - Der Abstand zur Null ist immer eine positive Zahl oder Null, egal ob die Zahl selbst positiv oder negativ ist. - Stell dir die Zahlen auf einer Skala vor, wie bei einem Thermometer oder einem Lineal.

1. Vergleich der Position auf der Zahlengeraden: Die kleinere Zahl liegt stets weiter links. a) Wegen \(-22 < 18\) liegt \(-22\) weiter links. b) Wegen \(-50 < -45\) liegt \(-50\) weiter links. c) Wegen \(-5 < 15\) liegt \(-5\) weiter links. 2. Vergleich der Abstände zur Null (Beträge): a) \(|-22| = 22\) und \(|18| = 18\); da \(22 > 18\), hat \(-22\) den größeren Abstand. b) \(|-50| = 50\) und \(|-45| = 45\); da \(50 > 45\), hat \(-50\) den größeren Abstand. c) \(|15| = 15\) und \(|-5| = 5\); da \(15 > 5\), hat \(15\) den größeren Abstand.

a) Weiter links: \(-22\); Größerer Abstand: \(-22\) b) Weiter links: \(-50\); Größerer Abstand: \(-50\) c) Weiter links: \(-5\); Größerer Abstand: \(15\)

- Berechne zuerst die Beträge in den Ausdrücken, bevor du die Seiten vergleichst. - Das Vergleichszeichen öffnet sich zur größeren Zahl; die Spitze zeigt zur kleineren Zahl. - Achte genau darauf, ob Betragsstriche gesetzt sind oder nicht.

1. Vergleich der Werte: a) Auf der Zahlengeraden liegt \(-13\) rechts von \(-15\), also ist \(-13 > -15\). b) Die Beträge berechnen: \(|-18| = 18\) und \(|18| = 18\). Da \(18 = 18\), gilt \(|-18| = |18|\). c) Den Betrag berechnen: \(|-7| = 7\). Da \(7 > 6\), gilt \(|-7| > 6\). d) Den Betrag berechnen: \(|-1| = 1\). Da \(0 < 1\), gilt \(0 < |-1|\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\) d) \(<\)

- Überlege dir zuerst, wie weit jede der beiden Zahlen von der Null entfernt ist. - Welche Zahl hat den kleineren Abstand? - Verwende die Betragsstriche, um diese Abstände mathematisch zu benennen.

1. Bestimmung der Abstände zur Null: Der Abstand von \(-8\) zur Null ist \(|-8| = 8\). Der Abstand von \(-6\) zur Null ist \(|-6| = 6\). 2. Vergleich der Zahlenwerte: Da \(6 < 8\) ist, liegt die Zahl \(-6\) näher am Nullpunkt. 3. Formulierung in Kurzschreibweise: Der kleinere Abstand wird zuerst genannt, also \(|-6| < |-8|\).

Die Zahl \(-6\) liegt näher am Nullpunkt. Der Vergleich lautet: \(|-6| < |-8|\).

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ anschaulich auf der Zahlengeraden? - Wenn eine Zahl eine Lösung ist, ist dann auch ihre Gegenzahl eine Lösung? - Achte genau auf die Formulierungen „größer als“ und „kleiner oder gleich“.

1. Bestimmung der möglichen Werte für den Betrag: Die Bedingung \(7 < |z| \le 11\) bedeutet, dass der Betrag der Zahl \(8\), \(9\), \(10\) oder \(11\) sein kann. 2. Bestimmung der zugehörigen ganzen Zahlen: Da sowohl eine positive Zahl als auch ihre Gegenzahl denselben Betrag haben, ergeben sich für jeden Betrag zwei Lösungen. 3. Auflistung aller Zahlen: Die gesuchten Zahlen sind \(-11\), \(-10\), \(-9\), \(-8\), \(8\), \(9\), \(10\) und \(11\).

Die Zahlen sind \(-11, -10, -9, -8, 8, 9, 10, 11\).

- Welche ganze Zahl liegt näher als eine Zahleneinheit bei \(0\)? - Bestimme für Teil b) zuerst die möglichen Beträge zwischen den Grenzen. - Beachte anschließend, dass nur natürliche Zahlen gesucht sind.

1. Die einzige ganze Zahl mit Abstand kleiner als \(1\) von \(0\) ist \(0\), denn \(|0|=0\). 2. Für den zweiten Teil gilt \(99<|n|<103\). Die möglichen Beträge sind \(100\), \(101\) und \(102\). 3. Unter den natürlichen Zahlen erfüllen daher \(100\), \(101\) und \(102\) die Bedingung.

a) \(0\) b) \(100,101,102\)

- Was gibt der Betrag einer Zahl über ihre Position auf der Zahlengeraden im Verhältnis zur Null an? - Haben positive und negative Zahlen immer einen positiven Betrag? - Achte darauf, in Aufgabenteil b) die Originalzahlen aus der Liste hinzuschreiben, nicht deren Beträge.

1. Berechnung der Beträge (Abstand zur Null): \(|-34| = 34\), \(|12| = 12\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|42| = 42\), \(|-17| = 17\). 2. Vergleich der berechneten Betragswerte: \(0 < 5 < 12 < 17 < 34 < 42\). 3. Zuordnung der ursprünglichen Zahlen zu diesen Werten: Die Reihenfolge nach aufsteigendem Betrag ist \(0, -5, 12, -17, -34, 42\).

a) Die Beträge sind: \(34, 12, 5, 0, 42, 17\). b) Die Sortierung nach dem Betrag lautet: \(0, -5, 12, -17, -34, 42\).

- Probiere die Rechnung mit einer positiven Zahl aus. - Überlege, was passiert, wenn du eine negative Zahl für die Rechnung einsetzt. - Denke daran, dass der Betrag einer Zahl immer ihr Abstand zur Null ist und somit nie negativ sein kann.

1. Prüfung für positive Zahlen: Wählt man eine positive Zahl, zum Beispiel \(7\), so ist ihr Betrag \(|7| = 7\). Die Rechnung \(7 - 7 = 0\) bestätigt die Aussage für diesen Fall. 2. Prüfung für negative Zahlen: Wählt man eine negative Zahl, zum Beispiel \(-4\), so ist ihr Betrag \(|-4| = 4\). Die Rechnung \(-4 - 4 = -8\) zeigt ein Ergebnis ungleich \(0\). 3. Schlussfolgerung: Da die Aussage für negative Zahlen nicht zutrifft, ist sie insgesamt falsch.

Die Aussage ist falsch. Bei negativen Zahlen ist das Ergebnis nicht \(0\). Beispiel: \(-5 - |-5| = -5 - 5 = -10\).

- Bestimme zuerst, welche Summe im Betrag steht. - Was ist die Gegenzahl von \(-18\)? - Achte darauf, welcher Wert von welchem subtrahiert wird.

1. Die Summe ist \(-54+21=-33\). 2. Ihr Betrag ist \(|-33|=33\). 3. Die Gegenzahl von \(-18\) ist \(18\). 4. Der gesuchte Term lautet \(|-54+21|-18\) und hat den Wert \(33-18=15\).

Term: \(|-54+21|-18\) Wert: \(15\)

- Stell dir die Zahlengerade vor oder skizziere sie auf Papier. - Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl von \(0\). - Verfolge in Teil c) den angegebenen Abstand als Bewegung auf der Zahlengeraden und beachte, auf welcher Seite von \(0\) das Ziel liegen soll.

1. Die einzige Zahl, die bei der Spiegelung an \(0\) auf sich selbst abgebildet wird, ist \(0\). Somit ist die Gegenzahl von \(0\) ebenfalls \(0\). 2. Die Zahlen \(12\) und \(-12\) liegen jeweils \(12\) Einheiten von \(0\) entfernt. Daher haben beide den Betrag \(12\). 3. Beginne bei \(2\) und gehe auf der Zahlengeraden \(5\) Einheiten nach links. Nach \(2\) Einheiten erreichst du \(0\); die übrigen \(3\) Einheiten führen bis \(-3\). Die gesuchte Zahl ist also \(-3\), ihre Gegenzahl ist \(3\).

a) \(0\) b) \(12\) und \(-12\) c) Die Zahl ist \(-3\), ihre Gegenzahl ist \(3\).

- Stell dir vor, du misst eine Strecke mit einem Lineal. Kann das Ergebnis eine negative Zahl sein? - Was wissen wir über das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn wir den Betrag einer Zahl bilden? - Überlege, was der Betrag anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet.

1. Der Betrag einer Zahl ist definiert als ihr Abstand zur Zahl Null auf der Zahlengeraden. 2. Ein Abstand gibt eine Länge an und kann daher niemals negativ sein. Er ist immer entweder positiv oder null. 3. Da \(-5\) eine negative Zahl ist, kann kein Betrag diesen Wert annehmen.

Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gibt es keine Zahl \(x\), deren Betrag \(-5\) ist.

- Was bewirken die senkrechten Striche um eine Rechnung? - In welcher Reihenfolge rechnet man, wenn keine Klammern die Priorität ändern? - Erinnere dich daran, wie man den Abstand einer Zahl zur Null nennt.

1. Berechnung der Differenz innerhalb der Betragsstriche: \(30 - 75 = -45\). 2. Bestimmung des Betrags: \(|-45| = 45\). 3. Subtraktion der nächsten Zahl: \(45 - 20 = 25\). 4. Addition des letzten Summanden: \(25 + 15 = 40\).

\(40\)

- Was gibt der Betrag einer Zahl an, wenn du an ihren Abstand zur Null auf der Zahlengeraden denkst? - Hat das Vorzeichen einer Zahl einen Einfluss auf ihren Betrag? - Schreibe dir zuerst alle Beträge einzeln auf, bevor du mit dem Sortieren beginnst.

1. Bestimmung der Beträge der einzelnen Zahlen: \(|24| = 24\), \(|-13| = 13\), \(|-35| = 35\), \(|7| = 7\), \(|-2| = 2\), \(|0| = 0\), \(|19| = 19\). 2. Sortieren der berechneten Beträge der Größe nach: \(0 < 2 < 7 < 13 < 19 < 24 < 35\).

Die Beträge sind \(0, 2, 7, 13, 19, 24, 35\).

- Vereinfache zuerst den Ausdruck mit den Betragsstrichen. - Überlege dir, welche Zahlen auf der Zahlengeraden rechts von der einen und links von der anderen Grenze liegen. - Gehören die Randzahlen selbst auch zu den Zahlen, die „dazwischen“ liegen?

1. Zuerst wird der Betrag berechnet: \(|-3| = 3\). 2. Gesucht sind alle ganzen Zahlen \(z\), für die \(-4 < z < 3\) gilt. 3. Diese Zahlen sind \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\).

Die Zahlen sind \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\).

- Die beiden Randzahlen gehören ausdrücklich nicht zur ersten Liste. - Übersetze „Abstand von \(0\)“ in den Betrag der Zahl. - Vergleiche die Beträge der aufgelisteten Zahlen mit \(2\).

1. Die ganzen Zahlen mit \(-6<x<2\) sind \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\). 2. Gesucht sind daraus die Zahlen mit Betrag größer als \(2\). 3. Das erfüllen \(-5\), \(-4\) und \(-3\).

Echt zwischen \(-6\) und \(+2\) liegen \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\). Davon haben \(-5\), \(-4\) und \(-3\) einen größeren Abstand von \(0\) als \(2\).

- Lies zuerst die Zahlenwerte der drei markierten Punkte aus der Skala ab. - Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von \(0\). - Suche zwei verschiedene Punkte, die gleich weit links beziehungsweise rechts vom Nullpunkt liegen.

1. Die Skala hat die Schrittweite \(1\). Daher liegt P bei \(-4\), Q bei \(4\) und R bei \(1\). 2. Die Zahlen \(-4\) und \(4\) haben beide den Abstand \(4\) von \(0\). Somit gilt \(|-4|=|4|=4\). 3. Ihre Bildpunkte liegen auf entgegengesetzten Seiten von \(0\) im gleichen Abstand und sind daher spiegelsymmetrisch zum Nullpunkt.

P und Q: \(-4\) und \(4\); gemeinsamer Betrag \(4\); die Punkte liegen spiegelsymmetrisch zu \(0\).

- Lies zuerst nur die Lage von A relativ zu \(0\) aus der Abbildung ab. - Nutze danach die im Band dargestellte Entfernung. - Der Betrag ist die Entfernung des Punktes von \(0\), unabhängig von der Seite.

1. A liegt links von \(0\). Das Band reicht über \(6\) Einheiten bis \(0\), daher liegt A bei \(-6\). 2. Der Betrag ist der Abstand von \(0\). Deshalb gilt \(|-6|=6\).

A \(=-6\); \(|A|=6\).

- Deute jeden Betrag als Abstand von \(0\). - Vergleiche für b) die beiden Abstände, nicht die Vorzeichen der Zahlen. - Bestimme in c) zuerst den mittleren Abstand und frage dann, welche Zahlen genau diesen Betrag besitzen.

1. Es gilt \(|a|=|-7|=7\) und \(|b|=|3|=3\). 2. Da \(3<7\), ist der Abstand von \(b\) zu \(0\) kleiner. Also liegt \(b=3\) näher an \(0\). 3. Die Mitte zwischen den Beträgen \(3\) und \(7\) ist \(\frac{3+7}{2}=5\). 4. Die Zahlen mit Betrag \(5\) sind \(5\) und \(-5\).

a) \(|a|=7\) und \(|b|=3\). b) \(b=3\) liegt näher an \(0\). c) \(5\) und \(-5\).

- Was bedeutet die Formulierung „zwischen“ oder „größer als ... und kleiner als ...“ für die Auswahl der Zahlen? - Achte auf Wörter wie „höchstens“ – gehört die genannte Zahl dann noch dazu? - Bei der Frage nach der Anzahl hilft es, die Zahlen systematisch aufzuschreiben (zuerst die Null, dann die Paare).

1. Für \(9 < |z| < 12\) muss der Betrag \(10\) oder \(11\) sein. Die entsprechenden ganzen Zahlen sind \(-11, -10, 10, 11\). 2. „Höchstens \(2\)“ bedeutet \(|z| \le 2\). Das gilt für die Zahlen \(-2, -1, 0, 1, 2\). 3. Ein Betrag kleiner als \(6\) bedeutet \(|z| \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Für den Betrag \(0\) gibt es eine Zahl (\(0\)), für jeden der Beträge \(1\) bis \(5\) gibt es jeweils zwei Zahlen (eine positive und eine negative). Das sind \(1 + 5 \cdot 2 = 11\) Zahlen.

a) \(-11, -10, 10, 11\) b) \(-2, -1, 0, 1, 2\) c) \(11\)

- Kannst du eine kleine Tabelle anlegen, um die drei Werte für jeden Fall zu ordnen? - Erinnere dich daran, dass der Betrag immer der Abstand zur Null ist. - Wie hängen Zahl und Gegenzahl zusammen?

1. Für die Zahl \(-31\) ist der Betrag \(|-31| = 31\) und die Gegenzahl \(-(-31) = 31\). 2. Ein Betrag von \(19\) bei einer negativen Zahl führt zur Zahl \(-19\). Ihr Betrag ist \(19\) und ihre Gegenzahl ist \(19\). 3. Ist die Gegenzahl \(50\), so muss die ursprüngliche Zahl \(-50\) sein. Ihr Betrag ist \(|-50| = 50\). 4. Eine Position \(7\) Einheiten rechts der Null entspricht der Zahl \(7\). Ihr Betrag ist \(7\) und ihre Gegenzahl ist \(-7\).

a) Zahl: \(-31\), Betrag: \(31\), Gegenzahl: \(31\) b) Zahl: \(-19\), Betrag: \(19\), Gegenzahl: \(19\) c) Zahl: \(-50\), Betrag: \(50\), Gegenzahl: \(50\) d) Zahl: \(7\), Betrag: \(7\), Gegenzahl: \(-7\)

- Bestimme zu jedem Punktestand zuerst seinen Abstand von \(0\). - Für Teil a) suchst du den kleinsten dieser Abstände. - Für Teil b) ordnest du die Abstände absteigend und überträgst die Reihenfolge auf die Namen.

1. Die Beträge der Punktestände sind \(25,18,12,22,3\). 2. Der kleinste Betrag ist \(3\). Er gehört zu Mateo Silva. 3. In absteigender Reihenfolge gilt \(25>22>18>12>3\). 4. Dazu gehören Aylin Kaya, Yuna Park, Marek Nowak, Nia Mensah, Mateo Silva.

a) Mateo Silva b) Aylin Kaya, Yuna Park, Marek Nowak, Nia Mensah, Mateo Silva

- Prüfe für jede Zahl einzeln: Wie weit ist sie von der Null entfernt? Wenn dieser Abstand mehr als 15 Einheiten beträgt, gehört die Zahl zur Lösung von Teil a). - Achtung bei Teil b): Hier geht es nicht mehr um den Betrag, sondern um den tatsächlichen Wert der Zahlen. Denke daran, dass eine negative Zahl umso kleiner ist, je größer ihr Betrag ist.

1. Berechnung aller Beträge der Menge \(S\): \(|-22|=22\), \(|14|=14\), \(|-5|=5\), \(|30|=30\), \(|-35|=35\), \(|9|=9\). 2. Prüfung der Bedingung „Betrag \(> 15\)“: Die Werte \(22, 30\) und \(35\) sind größer als \(15\). Die dazugehörigen ursprünglichen Zahlen sind \(-22, 30\) und \(-35\). 3. Absteigende Sortierung der gefundenen Zahlen: \(30 > -22 > -35\).

a) \(-22; 30; -35\) b) \(30; -22; -35\)

- Bei negativen Zahlen gilt: Je größer ihr Betrag ist, desto kleiner ist die Zahl. - Der Betrag gibt an, wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist. - Kann ein Betrag jemals kleiner als Null sein?

1. Sortierung der Zahlen nach ihrem Wert: Negative Zahlen sind kleiner als Null, und Null ist kleiner als positive Zahlen. Unter negativen Zahlen ist diejenige mit dem größeren Betrag die kleinere. Ergebnis: \(-17 < -14 < -2 < 0 < 9 < 13\). 2. Bestimmung der Beträge: \(|-17|=17\), \(|-14|=14\), \(|-2|=2\), \(|0|=0\), \(|9|=9\), \(|13|=13\). 3. Vergleich der Beträge: Der größte Wert ist \(17\), der zu \(-17\) gehört. Der kleinste Wert ist \(0\), der zu \(0\) gehört.

a) \(-17 < -14 < -2 < 0 < 9 < 13\) b) \(-17\) c) \(0\)

- „Absteigend“ bedeutet, dass du mit der größten Zahl anfängst und zur kleinsten gehst. - Prüfe für jede Zahl einzeln, wie weit sie von der Null entfernt ist. - Achte genau darauf, ob die Zahl \(20\) selbst die Bedingung „kleiner als 20“ erfüllt.

1. In Aufgabenteil a) erfolgt die absteigende Sortierung (von groß nach klein). Die positiven Zahlen sind größer als die negativen. Unter den negativen Zahlen ist diejenige mit dem kleinsten Betrag am größten. Die Reihenfolge ist: \(20; 15; 8; -2; -15; -38; -40\). 2. In Aufgabenteil b) wird der Betrag jeder Zahl geprüft: \(|-40|=40\), \(|15|=15\), \(|-15|=15\), \(|8|=8\), \(|-2|=2\), \(|-38|=38\), \(|20|=20\). 3. Die Zahlen, deren Betrag echt kleiner als \(20\) ist, sind: \(15; -15; 8; -2\).

a) \(20; 15; 8; -2; -15; -38; -40\) b) \(15; -15; 8; -2\)

- Zwei unterschiedliche Zahlen können denselben Abstand zur Null haben. Welche sind das hier? - Berechne am besten zuerst alle Beträge und schreibe sie dir unter die Zahlen. - Vergleiche dann einfach die positiven Ergebnisse deiner Betragsrechnung.

1. Zuerst werden die Beträge aller Zahlen bestimmt: \(|-9|=9\), \(|14|=14\), \(|-21|=21\), \(|0|=0\), \(|-14|=14\), \(|5|=5\), \(|-2|=2\). 2. Zu a): Die Zahlen \(14\) und \(-14\) haben beide den Betrag \(14\). 3. Zu b): Die berechneten Beträge werden sortiert: \(0 < 2 < 5 < 9 < 14 = 14 < 21\). 4. Die entsprechenden Zahlen in dieser Reihenfolge sind: \(0; -2; 5; -9; 14; -14; -21\).

a) \(14\) und \(-14\) b) \(0; -2; 5; -9; 14; -14; -21\) (Hinweis: \(14\) und \(-14\) können getauscht werden)

- Überlege dir, was der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet. - Probiere verschiedene Beispiele aus: eine positive Zahl, eine negative Zahl und die Null. - Vergleiche jeweils den Wert der Zahl mit ihrem Abstand zur Null.

1. Definition des Betrags als Abstand einer Zahl zur Null auf der Zahlengeraden nutzen. 2. Für positive ganze Zahlen und die Null ist der Abstand zur Null identisch mit dem Wert der Zahl: \(|x| = x\) für \(x \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}\). 3. Für negative ganze Zahlen ist der Abstand zur Null eine positive Zahl, während die Zahl selbst negativ ist. Da eine positive Zahl immer größer als eine negative Zahl ist, gilt hier \(|x| > x\). 4. Da in allen Fällen entweder \(|x| = x\) (für \(x \ge 0\)) oder \(|x| > x\) (für \(x < 0\)) gilt, kann der Betrag niemals kleiner als die Zahl selbst sein.

a) Dies gilt für alle nicht-negativen ganzen Zahlen (also die \(0\) und alle positiven ganzen Zahlen). b) Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an und ist daher nie negativ. Für positive Zahlen ist der Betrag gleich der Zahl, für negative Zahlen ist der Betrag (positiv) immer größer als die Zahl selbst. Somit kann der Betrag nie kleiner als die Zahl sein.

- Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung erfüllen, aber die behauptete Schlussfolgerung verletzen. - Überlege, was der Betrag über die Entfernung von \(0\) aussagt und was er nicht über die Reihenfolge zweier Zahlen aussagt. - Welche Rolle könnten die Vorzeichen spielen, obwohl in der Voraussetzung nur die Beträge verglichen werden?

1. Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(a=-10\) und \(b=5\). 2. Die Beträge sind \(|a|=|-10|=10\) und \(|b|=|5|=5\). Damit gilt \(|a|=2\cdot|b|\). 3. Für die ursprünglichen Zahlen gilt jedoch \(-10<5\). 4. Die Voraussetzung ist also erfüllt, die behauptete Schlussfolgerung aber nicht. Damit ist die Regel widerlegt.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(a=-10\) und \(b=5\). Es gilt \(|a|=10\), \(|b|=5\) und damit \(|a|=2\cdot|b|\), aber \(-10<5\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die Gegenzahl einer Zahl bildest? - Denke daran, dass die Gegenzahl von \(0\) wieder \(0\) ist. - Auf der Zahlengeraden liegen Zahlen mit dem gleichen Betrag immer gleich weit von der Null entfernt.

1. Gegenzahlen bestimmen: Die Gegenzahl von \(-12\) ist \(12\), von \(7\) ist \(-7\), von \(0\) ist \(0\), von \(-5\) ist \(5\). 2. Die verschiedenen Zahlen sind \(-12, 7, 0, -5, 12, -7, 5\). 3. Sortierung: \(-12 < -7 < -5 < 0 < 5 < 7 < 12\). 4. Paare verschiedener Zahlen mit gleichem Betrag sind \(-12\) und \(12\), \(-7\) und \(7\) sowie \(-5\) und \(5\). Die Zahl \(0\) hat keine von ihr verschiedene Gegenzahl.

a) Die Gegenzahlen sind \(12\), \(-7\), \(0\) und \(5\). b) \(-12 < -7 < -5 < 0 < 5 < 7 < 12\) c) Die Paare sind \(\{-12; 12\}\), \(\{-7; 7\}\) und \(\{-5; 5\}\).

- Schreibe dir zuerst für jede Zahl ihren Abstand zur Null auf. - Welche Zahl liegt am nächsten an der Null? - Welche Zahl ist am weitesten von der Null entfernt?

1. Bestimmung aller Beträge: \(|-12|=12, |5|=5, |-8|=8, |2|=2, |-1|=1, |10|=10\). 2. Identifikation des kleinsten Betrags: Der Wert \(1\) ist der kleinste, er gehört zur Zahl \(-1\). 3. Identifikation des größten Betrags: Der Wert \(12\) ist der größte, er gehört zur Zahl \(-12\). 4. Aufstellen der Ordnung der Beträge: \(1 < 2 < 5 < 8 < 10 < 12\). Dies entspricht der Reihenfolge der Beträge von \(-1, 2, 5, -8, 10, -12\).

a) Die Zahl \(-1\) hat den kleinsten Betrag (\(1\)). b) Die Zahl \(-12\) hat den größten Betrag (\(12\)). c) Die Ordnung der Beträge lautet: \(|-1| < |2| < |5| < |-8| < |10| < |-12|\) (bzw. \(1 < 2 < 5 < 8 < 10 < 12\)).

- Was gibt der Betrag einer Zahl an? - Denke daran, dass es zu fast jedem Betrag zwei verschiedene ganze Zahlen gibt. - Welche natürlichen Zahlen liegen zwischen den genannten Grenzen?

1. Analyse der Bedingung für den Betrag: Der Betrag einer Zahl \(z\) muss \(13\), \(14\) oder \(15\) sein, da er eine ganze Zahl zwischen \(12\) und \(16\) sein soll. 2. Bestimmung der positiven Zahlen: Die Zahlen \(13\), \(14\) und \(15\) haben die geforderten Beträge. 3. Bestimmung der negativen Zahlen: Die Zahlen \(-13\), \(-14\) und \(-15\) haben ebenfalls die Beträge \(13\), \(14\) und \(15\). 4. Zusammenstellung aller Lösungen: \(-15, -14, -13, 13, 14, 15\).

Die gesuchten Zahlen sind \(-15, -14, -13, 13, 14\) und \(15\).

- Berechne für die ersten beiden Teilaufgaben jeweils die Differenz oder nutze die Betragsregel bei unterschiedlichen Vorzeichen. - Erinnere dich daran, was der Betrag einer Zahl über ihre Lage auf der Zahlengeraden aussagt. - Wie bestimmt man mathematisch, wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist?

1. Abstand \( a \) zu \( b \): Da die Vorzeichen verschieden sind, addiert man die Beträge \( |-32| + |12| = 32 + 12 = 44 \). 2. Abstand \( b \) zu \( c \): Da die Vorzeichen verschieden sind, addiert man die Beträge \( |12| + |-58| = 12 + 58 = 70 \). 3. Vergleich der Abstände zur Null: \( |a| = 32 \), \( |b| = 12 \), \( |c| = 58 \). Da \( 58 \) der größte Wert ist, hat \( c \) den größten Abstand zur Null.

a) \( 44 \) b) \( 70 \) c) Die Zahl \( c = -58 \) liegt am weitesten von der Null entfernt, da ihr Betrag \( |-58| = 58 \) am größten ist.

- Berechne zuerst die Differenz der beiden Ausgangszahlen. - Vergiss nicht, am Ende die Summe der Gegenzahlen zu bilden. - Gehe schrittweise vor und notiere dir die Zwischenergebnisse.

1. Berechnung der Differenz von \(-125\) und \(75\): \(-125 - 75 = -200\) 2. Bestimmung des Betrags der Differenz: \(|-200| = 200\) 3. Bestimmung der Gegenzahlen von \(-125\) und \(75\): \(125\) und \(-75\) 4. Berechnung der Summe der Gegenzahlen: \(125 + (-75) = 50\) 5. Addition der beiden Zwischenergebnisse: \(200 + 50 = 250\)

Das Ergebnis ist \(250\).

- Denke daran, was der Betrag einer Zahl auf der Zahlengeraden bedeutet. - Prüfe bei Aussagen über Gegenzahlen besonders die Sonderrolle der Zahl \(0\). - Teste allgemeine Aussagen auch mit einer positiven, einer negativen Zahl und mit \(0\).

1. Aussage a) ist wahr. Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von \(0\) und deshalb nie negativ. 2. Aussage b) ist wahr. Eine von \(0\) verschiedene Zahl und ihre Gegenzahl liegen auf entgegengesetzten Seiten von \(0\), aber gleich weit von \(0\) entfernt. Deshalb haben sie denselben Betrag und sind verschieden. 3. Aussage c) ist falsch. Für positive Zahlen und für \(0\) ist der Betrag gleich der Zahl selbst, zum Beispiel \(|5|=5\) und \(|0|=0\). Nur bei negativen Zahlen ist der Betrag größer als die Zahl.

a) Wahr, weil ein Betrag ein Abstand von \(0\) ist. b) Wahr, weil Gegenzahlen außer \(0\) auf verschiedenen Seiten von \(0\) mit gleichem Abstand liegen. c) Falsch, weil zum Beispiel \(|5|=5\) gilt.

- Stell dir die Zahlengerade bildlich vor. Wo stehen die Zahlen, deren „Entfernung“ zur Mitte (Null) klein ist? - Wenn \(|x| > 12\) ist, suchst du Zahlen, die sehr weit außen liegen. In welche zwei Richtungen kann man sich von der Null entfernen? - Überlege dir für die Behauptung ein Beispiel: Vergleiche den Abstand zur Null und den Betrag für die Zahlen \(3\) und \(-10\).

1. Die Bedingung \(|x|<5\) bedeutet, dass der Abstand von \(x\) zur Null kleiner als \(5\) ist. Die ganzen Zahlen sind \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\). 2. Die Bedingung \(|x|>12\) bedeutet, dass der Abstand zur Null größer als \(12\) ist. Für ganze Zahlen gilt daher \(x\leq -13\) oder \(x\geq 13\). 3. Die Aussage ist wahr. Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null; ein größerer Abstand bedeutet einen größeren Betrag.

1. \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\) 2. Alle ganzen Zahlen mit \(x\leq -13\) oder \(x\geq 13\) 3. Die Aussage ist wahr, weil der Betrag den Abstand zur Null angibt.

- Bestimme zuerst, welchen Wert ein einzelner kleiner Teilstrich auf der Zahlengeraden darstellt. Wie viele Teilstriche gibt es zwischen \(0\) und \(10\)? - Achte auf die Richtung: Zahlen links von \(0\) sind negativ, Zahlen rechts von \(0\) sind positiv. - Um den genauen Wert zu finden, kannst du von der nächsten beschrifteten Zahl aus in Schritten des Teilstrichwerts vorwärts oder rückwärts zählen. - Der Abstand einer Zahl zu \(0\) ist immer eine positive Zahl (oder Null) und entspricht dem Betrag dieser Zahl. Wie viele Einheiten ist der Punkt von \(0\) entfernt?

1. Bestimmung der markierten Werte auf der Zahlengeraden durch Ermittlung des Schrittmaßes: Zwischen jeweils zwei benachbarten beschrifteten Zehnerzahlen liegen fünf Intervalle, sodass der Abstand zwischen zwei kleinen Teilstrichen \(2\) beträgt. - Punkt X liegt zwei Teilstriche links von \(-20\) (bzw. drei Teilstriche rechts von \(-30\)), was dem Wert \(-24\) entspricht. - Punkt Y liegt einen Teilstrich rechts von \(-10\), was dem Wert \(-8\) entspricht. - Punkt Z liegt drei Teilstriche rechts von \(10\), was dem Wert \(16\) entspricht. 2. Bestimmung der Abstände zur Null (Beträge): - Der Abstand von X (\(-24\)) zu \(0\) beträgt \(24\), also \(\lvert -24 \rvert = 24\). - Der Abstand von Y (\(-8\)) zu \(0\) beträgt \(8\), also \(\lvert -8 \rvert = 8\). - Der Abstand von Z (\(16\)) zu \(0\) beträgt \(16\), also \(\lvert 16 \rvert = 16\).

1. Die dargestellten Zahlen sind: - X: \(-24\) - Y: \(-8\) - Z: \(16\) 2. Die Abstände zur Zahl \(0\) (die Beträge) lauten: - Für X: \(24\) - Für Y: \(8\) - Für Z: \(16\)

- Achte darauf, dass Zahlen links von der Null ein negatives Vorzeichen haben. - Der Abstand einer Zahl zur Null ist immer ein positiver Wert, egal ob die Zahl selbst positiv oder negativ ist.

1. Bestimmung des Skalenwerts: Die Beschriftung erfolgt in Fünferschritten. Zwischen zwei Beschriftungen liegen 5 Teilstrecken, sodass ein kleiner Teilstrich genau einer Einheit entspricht. 2. Ablesen der Markierungen: Markierung A liegt 2 Einheiten links von \(-15\), also bei \(-17\). Markierung B liegt 3 Einheiten links von \(-5\), also bei \(-8\). Markierung C liegt eine Einheit links von \(5\), also bei \(4\). 3. Vergleich der Abstände zur Null: Der Abstand zur Null entspricht dem Betrag der Zahl. Es gilt \(|-17| = 17\), \(|-8| = 8\) und \(|4| = 4\). Somit hat die Zahl \(-17\) an Position A den größten Abstand zur Null.

a) A: \(-17\); B: \(-8\); C: \(4\) b) Die Zahl \(-17\) (Markierung A) hat den größten Abstand zur Null.

- Lies A ausschließlich an der Skala ab. - Für B ist die Länge und die Seite des rechten Bandes entscheidend. - Vergleiche danach die beiden Abstände von \(0\).

1. Aus der Skala liest man für A den Wert \(-3\) ab. Daher ist \(|A|=3\). 2. Das rechte Band beginnt bei \(0\), liegt rechts von \(0\) und ist mit \(5\) Einheiten beschriftet. Deshalb liegt sein Endpunkt B bei \(5\). 3. Somit ist \(|B|=5\) und es gilt \(|A|<|B|\).

A \(=-3\), B \(=5\); \(|A|=3<5=|B|\).

- Vergleiche die Längen der drei Bänder; alle Zahlengeraden haben dieselbe Skala. - Für den Betrag ist nur die Entfernung von \(0\) wichtig, nicht die Seite von \(0\). - Ordne zuerst die drei Entfernungen und übertrage diese Reihenfolge auf A, B und C.

1. B liegt \(3\) Einheiten von \(0\) entfernt, C liegt \(6\) Einheiten entfernt und A liegt \(8\) Einheiten entfernt. 2. Daher gilt \(|B|<|C|<|A|\). 3. A liegt am weitesten von \(0\) entfernt.

\(|B|<|C|<|A|\); A liegt am weitesten von \(0\) entfernt.

- Für ein Gegenbeispiel genügt ein konkreter Fall, der die jeweilige Aussage verletzt. - Probiere bei Betragsaussagen bewusst positive und negative Zahlen in Kombination. - Denke beim Betrag an den Abstand von \(0\), nicht an die Lage links oder rechts.

1. Zu a): Zum Beispiel gilt \(|2+(-5)|=3\), aber \(|2|+|-5|=7\). 2. Zu b): Für \(4\) gilt \(4+|4|=8\ne0\). 3. Zu c): Es gilt \(-10<2\), aber \(|-10|=10>|2|=2\).

a) Gegenbeispiel: \(2\) und \(-5\). b) Gegenbeispiel: \(4\). c) Gegenbeispiel: \(-10\) und \(2\).

- Überlege, wie viele Zahlen denselben Abstand von \(0\) haben können. - Unterscheide in Teil b) sorgfältig Zahl, Gegenzahl und Betrag. - Überlege bei Teil c), was der Betrag geometrisch beschreibt. - Prüfe für Teil d) zuerst alle ganzen Zahlen mit Abstand kleiner als \(3\) von \(0\).

1. Die beiden ganzen Zahlen im Abstand \(21\) von \(0\) sind \(21\) und \(-21\). 2. Wenn die Gegenzahl von \(x\) gleich \(-4\) ist, gilt \(x=4\); damit ist \(|x|=4\). 3. Ein Betrag beschreibt einen Abstand von \(0\) und ist deshalb nie negativ. 4. Für die letzte Bedingung kommen zum Beispiel \(0\), \(1\) oder \(2\) infrage.

a) \(21\) und \(-21\) b) \(x=4\), Betrag \(4\) c) Wahr; ein Betrag ist ein Abstand und daher nicht negativ. d) Zum Beispiel \(0\) (auch \(1\) oder \(2\) sind möglich).

- Schreibe dir zuerst auf, welche Zahlen einen Betrag haben, der größer als \(4997\) ist. - „Echt zwischen“ bedeutet, dass die beiden Randzahlen nicht dazugehören. - Prüfe jede Zahl aus deiner ersten Liste einzeln gegen die zweite Bedingung.

1. Analyse der Betragsbedingung: Ganze Zahlen mit einem Betrag größer als \(4997\) sind beispielsweise \(\dots, -5001, -5000, -4999, -4998\) sowie \(4998, 4999, 5000, 5001, \dots\). 2. Analyse der Bereichsbedingung: Die Zahlen müssen zwischen \(-5000\) und \(5000\) liegen, das heißt, sie müssen größer als \(-5000\) und kleiner als \(5000\) sein. Die Zahlen \(-5000\) und \(5000\) selbst gehören nicht dazu. 3. Kombination der Bedingungen: Aus der ersten Liste erfüllen nur \(-4999, -4998, 4998\) und \(4999\) die Bedingung, echt zwischen \(-5000\) und \(5000\) zu liegen.

Die Zahlen sind \(-4999, -4998, 4998, 4999\).

- Was ist der Unterschied, wenn man zuerst den Betrag nimmt oder zuerst die Differenz bildet? - Berechne beide Ausdrücke getrennt voneinander. - Überlege dir genau, welche Rechenoperation in welcher Reihenfolge ausgeführt werden muss.

1. Berechnung von Ausdruck A: Die Differenz ist \(15 - 40 = -25\). Der Betrag davon ist \(|-25| = 25\). 2. Berechnung von Ausdruck B: Der Betrag von \(15\) ist \(15\), der Betrag von \(40\) ist \(40\). Die Differenz der Beträge ist \(15 - 40 = -25\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(25 \neq -25\), haben die Ausdrücke unterschiedliche Werte.

Nein, sie haben nicht denselben Wert. Ausdruck A ergibt \(25\), während Ausdruck B \(-25\) ergibt.

- Für ein Gegenbeispiel muss \(a<b\) gelten, während die behauptete Beziehung der Beträge gerade nicht gilt. - Vergleiche bei zwei negativen Zahlen ihre Lage links von \(0\) mit ihrem Abstand von \(0\). - Der Betrag beschreibt einen Abstand und enthält allein keine Information darüber, auf welcher Seite von \(0\) ein Punkt liegt.

1. Ein mögliches Gegenbeispiel zu a) ist \(a=-10\) und \(b=2\). Es gilt \(-10<2\), aber \(|-10|=10\) und \(|2|=2\), also \(|a|>|b|\). Damit ist die Behauptung widerlegt. 2. Für b) gilt: Da \(a<b<0\), liegt \(a\) auf der Zahlengeraden weiter links als \(b\). Unter den negativen Zahlen bedeutet das zugleich einen größeren Abstand von \(0\). Daher gilt \(|a|>|b|\). 3. Haben zwei verschiedene Zahlen denselben Betrag, so haben ihre Bildpunkte denselben Abstand von \(0\). Sie liegen auf entgegengesetzten Seiten von \(0\) und damit spiegelsymmetrisch zum Nullpunkt.

a) Zum Beispiel \(a=-10\), \(b=2\): \(-10<2\), aber \(|-10|=10>|2|=2\). b) \(a\) hat den größeren Betrag: \(|a|>|b|\). c) Die beiden Bildpunkte liegen auf entgegengesetzten Seiten von \(0\) im gleichen Abstand zum Nullpunkt.