- Lies zuerst die Schrittweite der Zahlengeraden ab. - Bestimme dann die Zahl beim Punkt A. - Für den Betrag zählt nur der Abstand von \(0\), nicht die Seite.

1. An der Skala liegt A bei \(-6\). 2. Der Abstand von \(-6\) zu \(0\) beträgt \(6\) Einheiten. 3. Deshalb gilt \(|A|=6\). Der Betrag gibt den Abstand von \(0\) an.

A \(=-6\); \(|A|=6\). Der Betrag ist der Abstand von A zu \(0\).

- Der Betrag sagt, wie weit eine Zahl von \(0\) entfernt ist. - Für den Abstand spielt es keine Rolle, ob die Zahl links oder rechts von \(0\) liegt.

1. Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von \(0\). 2. \(5\) und \(-5\) liegen beide \(5\) Einheiten von \(0\) entfernt. Deshalb gilt \(|5|=5\) und \(|-5|=5\). 3. \(0\) hat den Abstand \(0\) von sich selbst. Daher gilt \(|0|=0\).

a) \(5\) b) \(5\) c) \(0\)

- Bestimme zuerst, wie viel ein Schritt zwischen \(-4\) und \(4\) bedeutet. - Lies dann die Zahlen zu A und B ab und überlege, welche Zahl genau in der Mitte zwischen \(-4\) und \(4\) liegt. - Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von \(0\).

1. Zwischen \(-4\) und \(4\) liegen acht gleich große Schritte. Ein Schritt entspricht \(1\). 2. A liegt bei \(-3\), B bei \(2\) und C genau in der Mitte zwischen \(-4\) und \(4\), also bei \(0\). 3. Der Betrag ist der Abstand von \(0\). Deshalb gilt \(|-3|=3\), \(|2|=2\) und \(|0|=0\).

A: \(-3\), Betrag \(3\) B: \(2\), Betrag \(2\) C: \(0\), Betrag \(0\)

- Deute den Betrag als Abstand von \(0\). - Prüfe positive, negative und die Zahl \(0\) getrennt gegen die Schranke \(4\). - Achte darauf, dass „kleiner als“ die Randwerte mit Abstand \(4\) ausschließt.

1. Gesucht sind alle ganzen Zahlen, deren Abstand von \(0\) kleiner als \(4\) ist. 2. Im nichtnegativen Bereich passen \(0,1,2,3\). 3. Im negativen Bereich passen \(-1,-2,-3\). 4. Insgesamt erhält man \(\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), also \(7\) Zahlen.

Die Zahlen sind \(-3,-2,-1,0,1,2,3\). Es sind insgesamt \(7\) Zahlen.

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden? - Gibt es zu einem positiven Abstand immer nur eine Zahl oder können es mehrere sein? - Denk daran, dass auch die Null eine ganze Zahl ist.

1. Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Für den Betrag \(17\) kommen die Zahlen \(17\) und \(-17\) infrage. 2. Ganze Zahlen mit einem Betrag kleiner als \(3\) haben einen Abstand zur Null von \(0\), \(1\) oder \(2\). Dies sind die Zahlen \(-2, -1, 0, 1, 2\). 3. Nur die Zahl \(0\) hat den Abstand \(0\) zur Null, also ist ihr Betrag \(0\).

a) \(-17\) und \(17\) b) \(-2, -1, 0, 1, 2\) c) \(0\)

- Erinnere dich daran, dass der Abstand zur Null immer dem Betrag der Zahl entspricht. - Lies die Aufgabenstellung genau: Werden alle ganzen Zahlen gesucht oder nur ein bestimmter Teil (z. B. nur negative)? - Es hilft, sich die Zahlen auf einer Zahlengeraden vorzustellen.

1. Der Abstand zur Null entspricht dem Betrag. Gesucht sind Zahlen \(x\) mit \(4 < |x| < 8\). Die möglichen Beträge sind \(5, 6\) und \(7\). Dies ergibt die Zahlen \(\{-7, -6, -5, 5, 6, 7\}\). 2. Der Betrag soll kleiner als \(5\) sein, also \(|x| \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\). Da nur negative ganze Zahlen gesucht sind, kommen nur \(\{-4, -3, -2, -1\}\) infrage.

a) \(-7, -6, -5, 5, 6, 7\) b) \(-4, -3, -2, -1\)

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn man die Gegenzahl einer Zahl bildet? - Überlege dir, welche Bedeutung der Betrag einer Zahl auf der Zahlengeraden hat. - Welche Zahl ist ihre eigene Gegenzahl?

1. Aus der Gegenzahl \(-25\) folgt, dass die gesuchte Zahl \(25\) ist. 2. Eine negative Zahl mit dem Abstand \(14\) zur Null ist \(-14\). 3. Eine positive Zahl mit dem Abstand \(8\) zur Null ist \(8\). 4. Die einzige Zahl, für die \(x = -x\) gilt, ist \(0\).

a) \(25\) b) \(-14\) c) \(8\) d) \(0\)

- Was bedeutet der Betrag einer Zahl auf der Zahlengeraden? - Welche positiven und negativen Zahlen liegen weniger als \(6\) Einheiten von \(0\) entfernt? - Vergiss die Zahl \(0\) nicht. - Die Zahlen mit Betrag \(6\) selbst gehören nicht mehr dazu.

1. Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl von \(0\). 2. Gesucht sind deshalb alle ganzen Zahlen mit einem Abstand von weniger als \(6\) zu \(0\). 3. Das sind \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\).

\(-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\)

- Finde zuerst die möglichen Beträge zwischen \(3\) und \(8\). - Zu jedem positiven Betrag gibt es eine positive und eine negative ganze Zahl. - Wähle anschließend nur die negativen Zahlen aus. - Die Randwerte \(3\) und \(8\) gehören nicht dazu.

1. Die möglichen Beträge sind \(4,5,6\) und \(7\). 2. Gesucht sind nur negative Zahlen. Daher passen \(-7,-6,-5,-4\).

\(-7,-6,-5,-4\)

- Überlege dir zuerst, was der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet. - Wie drückt man „gleich weit“, „näher“ oder „weiter weg“ mathematisch mit Symbolen wie \(=\), \(<\) oder \(>\) aus? - Erinnere dich daran, dass der Betragsstrich den Abstand einer Zahl zur Null angibt.

1. Der Abstand einer Zahl \(z\) von der Null wird durch den Betrag \(|z|\) ausgedrückt. 2. „Derselbe Abstand“ bedeutet Gleichheit: \(|-14| = |+14|\). 3. „Näher an der Null“ bedeutet ein kleinerer Betrag: \(|-5| < |-9|\). 4. „Weniger weit entfernt“ bedeutet ebenfalls ein kleinerer Betrag: \(|+2| < |-3|\).

a) \(|-14| = |+14|\) b) \(|-5| < |-9|\) c) \(|+2| < |-3|\)

- Was gibt der Betrag einer Zahl an? Berechne diesen Wert zuerst für jede der drei Zahlen. - Welche Zahl hat den kleinsten Wert, wenn man nur auf die Entfernung zur Null schaut? - Verwende die Betragsstriche, um diese Entfernungen in einer Kette aufzuschreiben.

1. Die Beträge sind \(|-22| = 22\), \(|+17| = 17\) und \(|-11| = 11\). 2. Für die Abstände gilt \(11 < 17 < 22\). 3. Mit den ursprünglichen Zahlen lautet die Kette \(|-11| < |+17| < |-22|\).

\(|-11| < |+17| < |-22|\)

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, den Abstand einer Temperatur von der Null-Grad-Marke zu bestimmen? - Vergleiche die beiden Abstände miteinander. Welches Zeichen (\(>\) oder \(<\)) passt hier?

1. Die Abstände von \(0\,^\circ\text{C}\) sind \(|-12| = 12\) und \(|+10| = 10\). 2. Weil \(12 > 10\) gilt, ist \(-12\,^\circ\text{C}\) weiter von \(0\,^\circ\text{C}\) entfernt. 3. Mit Betragszeichen lautet der Vergleich \(|-12| > |+10|\).

\(|-12| > |+10|\)

- Überlege dir, wo die Zahlen auf einer Zahlengeraden liegen. Was bedeutet es für die Größe einer Zahl, wenn sie weiter links oder weiter rechts steht? - Erinnere dich daran, dass der Betrag einer Zahl ihr Abstand zur Null ist. Ein Abstand kann niemals negativ sein. - Bei Teilaufgabe b) sortierst du nicht die Werte der Zahlen selbst, sondern schaust nur darauf, wie weit sie von der Null entfernt sind.

1. Auf der Zahlengeraden ergibt sich die Reihenfolge \(-12 < -8 < -5 < 0 < 5 < 7\). 2. Die Beträge sind \(|-12| = 12\), \(|7| = 7\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|5| = 5\) und \(|-8| = 8\). 3. Nach der Größe ihrer Beträge geordnet stehen die ursprünglichen Zahlen so: \(0; 5; -5; 7; -8; -12\). Die Zahlen \(5\) und \(-5\) können dabei auch vertauscht werden.

a) \(-12 < -8 < -5 < 0 < 5 < 7\) b) \(0; 5; -5; 7; -8; -12\) (Hinweis: Die Reihenfolge von \(5\) und \(-5\) kann vertauscht sein, da ihre Beträge gleich sind.)

- Überlege dir, welche Zahl kleiner ist – diese liegt auf der Zahlengeraden weiter links. - Der Abstand zur Null ist immer eine positive Zahl oder Null, egal ob die Zahl selbst positiv oder negativ ist. - Stell dir die Zahlen auf einer Skala vor, wie bei einem Thermometer oder einem Lineal.

1. Bei \(-22\) und \(18\) liegt \(-22\) weiter links, weil \(-22<18\). Außerdem gilt \(|-22|=22>|18|=18\), also hat \(-22\) den größeren Abstand zur Null. 2. Bei \(-45\) und \(-50\) liegt \(-50\) weiter links, weil \(-50<-45\). Außerdem gilt \(|-50|=50>|-45|=45\), also hat \(-50\) den größeren Abstand zur Null. 3. Bei \(15\) und \(-5\) liegt \(-5\) weiter links, weil \(-5<15\). Wegen \(|15|=15>|-5|=5\) hat \(15\) den größeren Abstand zur Null.

a) Weiter links: \(-22\); Größerer Abstand: \(-22\) b) Weiter links: \(-50\); Größerer Abstand: \(-50\) c) Weiter links: \(-5\); Größerer Abstand: \(15\)

- Berechne zuerst die Beträge in den Ausdrücken, bevor du die Seiten vergleichst. - Das Vergleichszeichen öffnet sich zur größeren Zahl; die Spitze zeigt zur kleineren Zahl. - Achte genau darauf, ob Betragsstriche gesetzt sind oder nicht.

1. Auf der Zahlengeraden liegt \(-13\) rechts von \(-15\). Daher gilt \(-13>-15\). 2. Es gilt \(|-18|=18\) und \(|18|=18\). Daher sind beide Seiten gleich. 3. Es gilt \(|-7|=7\). Daher ist \(|-7|>6\). 4. Es gilt \(|-1|=1\). Daher ist \(0<|-1|\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(>\) d) \(<\)

- Überlege dir zuerst, wie weit jede der beiden Zahlen von der Null entfernt ist. - Welche Zahl hat den kleineren Abstand? - Verwende die Betragsstriche, um diese Abstände mathematisch zu benennen.

1. Die Abstände zur Null sind \(|-8|=8\) und \(|-6|=6\). 2. Weil \(6<8\) gilt, liegt \(-6\) näher am Nullpunkt. 3. Der Vergleich mit Betragszeichen lautet \(|-6|<|-8|\).

Die Zahl \(-6\) liegt näher am Nullpunkt. Der Vergleich lautet: \(|-6| < |-8|\).

- Was bedeutet der Begriff „Betrag“ anschaulich auf der Zahlengeraden? - Wenn eine Zahl eine Lösung ist, ist dann auch ihre Gegenzahl eine Lösung? - Achte genau auf die Formulierungen „größer als“ und „kleiner oder gleich“.

1. Der Betrag kann \(8\), \(9\), \(10\) oder \(11\) sein. 2. Zu jedem dieser positiven Beträge gehören eine positive und eine negative ganze Zahl. 3. Daher sind die gesuchten Zahlen \(-11\), \(-10\), \(-9\), \(-8\), \(8\), \(9\), \(10\) und \(11\).

Die Zahlen sind \(-11, -10, -9, -8, 8, 9, 10, 11\).

- Denke beim Betrag an den Abstand von \(0\). - Welche Abstände liegen genau zwischen \(99\) und \(103\)? - Zu einem positiven Abstand von \(0\) gehören zwei ganze Zahlen auf verschiedenen Seiten von \(0\).

1. Die einzige ganze Zahl mit einem Abstand kleiner als \(1\) von \(0\) ist \(0\). Daher gilt für a): \(0\). 2. Für b) kommen die Beträge \(100\), \(101\) und \(102\) infrage. 3. Zu jedem dieser positiven Beträge gehören zwei ganze Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen. Daher sind die gesuchten Zahlen \(-102\), \(-101\), \(-100\), \(100\), \(101\) und \(102\).

a) \(0\) b) \(-102, -101, -100, 100, 101, 102\)

- Was gibt der Betrag einer Zahl über ihre Position auf der Zahlengeraden im Verhältnis zur Null an? - Haben positive und negative Zahlen immer einen positiven Betrag? - Achte darauf, in Aufgabenteil b) die Originalzahlen aus der Liste hinzuschreiben, nicht deren Beträge.

1. Die Beträge sind \(|-34| = 34\), \(|12| = 12\), \(|-5| = 5\), \(|0| = 0\), \(|42| = 42\) und \(|-17| = 17\). 2. Für die Beträge gilt \(0 < 5 < 12 < 17 < 34 < 42\). 3. Daher lautet die Reihenfolge der ursprünglichen Zahlen \(0, -5, 12, -17, -34, 42\).

a) Die Beträge sind: \(34, 12, 5, 0, 42, 17\). b) Die Sortierung nach dem Betrag lautet: \(0, -5, 12, -17, -34, 42\).

- Erinnere dich an die Bedeutung des Betrags auf der Zahlengeraden. - Gibt es auf der Zahlengeraden verschiedene Punkte, die gleich weit von der Null entfernt sind? - Was ist die Gegenzahl einer Zahl?

1. Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand von \(0\) auf der Zahlengeraden an. 2. Eine Zahl und ihre Gegenzahl liegen gleich weit von \(0\) entfernt. 3. Zum Beispiel gilt \(|5|=5\) und \(|-5|=5\), obwohl \(5\) und \(-5\) verschiedene Zahlen sind. 4. Daher können zwei unterschiedliche ganze Zahlen denselben Betrag haben.

Ja, das ist möglich. Jede Zahl und ihre Gegenzahl (außer der Null) haben denselben Betrag. Beispiel: \(|12| = 12\) und \(|-12| = 12\).

- Was ist der Unterschied, wenn man zuerst den Betrag nimmt oder zuerst die Differenz bildet? - Berechne beide Ausdrücke getrennt voneinander. - Überlege dir genau, welche Rechenoperation in welcher Reihenfolge ausgeführt werden muss.

1. Für Ausdruck A gilt \(15-40=-25\) und damit \(|-25|=25\). 2. Für Ausdruck B gilt \(|15|-|40|=15-40=-25\). 3. Weil \(25\neq -25\) gilt, haben die beiden Ausdrücke nicht denselben Wert.

Nein, sie haben nicht denselben Wert. Ausdruck A ergibt \(25\), während Ausdruck B \(-25\) ergibt.

- Stell dir die Zahlengerade vor oder skizziere sie auf Papier. - Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl von \(0\). - Verfolge in Teil c) den angegebenen Abstand als Bewegung auf der Zahlengeraden und beachte, auf welcher Seite von \(0\) das Ziel liegen soll.

1. Die einzige Zahl, die bei der Spiegelung an \(0\) auf sich selbst abgebildet wird, ist \(0\). Somit ist die Gegenzahl von \(0\) ebenfalls \(0\). 2. Die Zahlen \(12\) und \(-12\) liegen jeweils \(12\) Einheiten von \(0\) entfernt. Daher haben beide den Betrag \(12\). 3. Beginne bei \(2\) und gehe auf der Zahlengeraden \(5\) Einheiten nach links. Nach \(2\) Einheiten erreichst du \(0\); die übrigen \(3\) Einheiten führen bis \(-3\). Die gesuchte Zahl ist also \(-3\), ihre Gegenzahl ist \(3\).

a) \(0\) b) \(12\) und \(-12\) c) Die Zahl ist \(-3\), ihre Gegenzahl ist \(3\).

- Wie berechnet man den Betrag einer negativen Zahl? - Was gibt der Betrag über die Lage einer Zahl auf der Zahlengeraden an? - Vergleiche am Ende einfach die beiden Abstände (die Beträge) miteinander.

1. Es gilt \(|-12|=12\) und \(|10|=10\). 2. Weil \(12>10\) ist, hat \(-12\) den größeren Abstand zur Null.

Die Zahl \(-12\) hat den größeren Abstand zur Null, da \(|-12| = 12\) und \(|10| = 10\) gilt und \(12 > 10\) ist.

- Stell dir vor, du misst eine Strecke mit einem Lineal. Kann das Ergebnis eine negative Zahl sein? - Was wissen wir über das Vorzeichen des Ergebnisses, wenn wir den Betrag einer Zahl bilden? - Überlege, was der Betrag anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet.

1. Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von \(0\) auf der Zahlengeraden. 2. Ein Abstand kann nicht negativ sein. 3. Deshalb kann kein Betrag den Wert \(-5\) haben, und es gibt keine passende ganze Zahl \(x\).

Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an. Da ein Abstand niemals negativ sein kann, gibt es keine Zahl \(x\), deren Betrag \(-5\) ist.

- Was bewirken die senkrechten Striche um eine Rechnung? - In welcher Reihenfolge rechnet man, wenn keine Klammern die Priorität ändern? - Erinnere dich daran, wie man den Abstand einer Zahl zur Null nennt.

1. Zuerst gilt \(30-75=-45\). 2. Damit ist \(|-45|=45\). 3. Weiter ergibt sich \(45-20=25\). 4. Schließlich ist \(25+15=40\).

\(40\)

- Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von \(0\). - Bestimme zuerst jeden Betrag einzeln. - Ordne erst danach die erhaltenen nichtnegativen Zahlen.

1. Es gilt \(|24|=24\), \(|-13|=13\), \(|-35|=35\), \(|7|=7\), \(|-2|=2\), \(|0|=0\) und \(|19|=19\). 2. Geordnet ergeben sich die Beträge \(0<2<7<13<19<24<35\).

\(|24|=24\), \(|-13|=13\), \(|-35|=35\), \(|7|=7\), \(|-2|=2\), \(|0|=0\), \(|19|=19\). Geordnet: \(0<2<7<13<19<24<35\).

- Vereinfache zuerst den Ausdruck mit den Betragsstrichen. - Überlege dir, welche Zahlen auf der Zahlengeraden rechts von der einen und links von der anderen Grenze liegen. - Gehören die Randzahlen selbst auch zu den Zahlen, die „dazwischen“ liegen?

1. Zuerst wird der Betrag berechnet: \(|-3| = 3\). 2. Gesucht sind alle ganzen Zahlen \(z\), für die \(-4 < z < 3\) gilt. 3. Diese Zahlen sind \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\).

Die Zahlen sind \(-3, -2, -1, 0, 1, 2\).

- Die beiden Randzahlen gehören ausdrücklich nicht zur ersten Liste. - Übersetze „Abstand von \(0\)“ in den Betrag der Zahl. - Vergleiche die Beträge der aufgelisteten Zahlen mit \(2\).

1. Die ganzen Zahlen mit \(-6<x<2\) sind \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\). 2. Gesucht sind daraus die Zahlen mit Betrag größer als \(2\). 3. Das erfüllen \(-5\), \(-4\) und \(-3\).

Echt zwischen \(-6\) und \(+2\) liegen \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1\). Davon haben \(-5\), \(-4\) und \(-3\) einen größeren Abstand von \(0\) als \(2\).

- Lies zuerst die Zahlenwerte der drei markierten Punkte aus der Skala ab. - Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von \(0\). - Suche zwei verschiedene Punkte, die gleich weit von \(0\) entfernt sind.

1. Die Skala hat die Schrittweite \(1\). Daher liegt P bei \(-4\), Q bei \(4\) und R bei \(1\). 2. Die Zahlen \(-4\) und \(4\) haben beide den Abstand \(4\) von \(0\). Somit gilt \(|-4|=|4|=4\). 3. P und Q liegen auf verschiedenen Seiten von \(0\) und gleich weit von \(0\) entfernt.

P und Q: \(-4\) und \(4\); gemeinsamer Betrag \(4\). Die Punkte liegen auf verschiedenen Seiten von \(0\) und gleich weit von \(0\) entfernt.

- Lies A an der Skala ab. - Bestimme für B, wie viele gleich große Teilstrecken das Band von \(0\) bis zu seinem rechten Ende umfasst. - Vergleiche danach die beiden Abstände von \(0\).

1. Aus der Skala liest man für A den Wert \(-3\) ab. Daher ist \(|A|=3\). 2. Das rechte Band beginnt bei \(0\) und endet fünf Zahleneinheiten rechts davon. Deshalb liegt B bei \(5\). 3. Somit ist \(|B|=5\) und es gilt \(|A|<|B|\).

A \(=-3\), B \(=5\); \(|A|=3<5=|B|\).

- Vergleiche die Längen der drei Bänder; alle Zahlengeraden haben dieselbe Skala. - Für den Betrag ist nur die Entfernung von \(0\) wichtig, nicht die Seite von \(0\). - Ordne zuerst die drei Entfernungen und übertrage diese Reihenfolge auf A, B und C.

1. B liegt \(3\) Einheiten von \(0\) entfernt, C liegt \(6\) Einheiten entfernt und A liegt \(8\) Einheiten entfernt. 2. Daher gilt \(|B|<|C|<|A|\). 3. A liegt am weitesten von \(0\) entfernt.

\(|B|<|C|<|A|\); A liegt am weitesten von \(0\) entfernt.

- Deute jeden Betrag als Abstand von \(0\). - Vergleiche für b) die beiden Abstände. - Bestimme für c) zuerst den mittleren Abstand und überlege dann, welche Zahlen diesen Betrag haben.

1. Es gilt \(|a|=|-7|=7\) und \(|b|=|3|=3\). 2. Da \(3<7\), liegt \(b=3\) näher an \(0\). 3. Die Mitte zwischen den Beträgen \(3\) und \(7\) ist \((3+7):2=5\). 4. Die Zahlen mit Betrag \(5\) sind \(5\) und \(-5\).

a) \(|a|=7\) und \(|b|=3\) b) \(b=3\) liegt näher an \(0\). c) \(5\) und \(-5\)

- Was bedeutet die Formulierung „zwischen“ oder „größer als ... und kleiner als ...“ für die Auswahl der Zahlen? - Achte auf Wörter wie „höchstens“ – gehört die genannte Zahl dann noch dazu? - Bei der Frage nach der Anzahl hilft es, die Zahlen systematisch aufzuschreiben (zuerst die Null, dann die Paare).

1. Für \(9 < |z| < 12\) muss der Betrag \(10\) oder \(11\) sein. Die entsprechenden ganzen Zahlen sind \(-11, -10, 10, 11\). 2. „Höchstens \(2\)“ bedeutet \(|z| \le 2\). Das gilt für die Zahlen \(-2, -1, 0, 1, 2\). 3. Ein Betrag kleiner als \(6\) bedeutet \(|z| \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). Für den Betrag \(0\) gibt es eine Zahl (\(0\)), für jeden der Beträge \(1\) bis \(5\) gibt es jeweils zwei Zahlen (eine positive und eine negative). Das sind \(1 + 5 \cdot 2 = 11\) Zahlen.

a) \(-11, -10, 10, 11\) b) \(-2, -1, 0, 1, 2\) c) \(11\)

- Kannst du eine kleine Tabelle anlegen, um die drei Werte für jeden Fall zu ordnen? - Erinnere dich daran, dass der Betrag immer der Abstand zur Null ist. - Wie hängen Zahl und Gegenzahl zusammen?

1. Für die Zahl \(-31\) ist der Betrag \(|-31| = 31\) und die Gegenzahl \(-(-31) = 31\). 2. Ein Betrag von \(19\) bei einer negativen Zahl führt zur Zahl \(-19\). Ihr Betrag ist \(19\) und ihre Gegenzahl ist \(19\). 3. Ist die Gegenzahl \(50\), so muss die ursprüngliche Zahl \(-50\) sein. Ihr Betrag ist \(|-50| = 50\). 4. Eine Position \(7\) Einheiten rechts der Null entspricht der Zahl \(7\). Ihr Betrag ist \(7\) und ihre Gegenzahl ist \(-7\).

a) Zahl: \(-31\), Betrag: \(31\), Gegenzahl: \(31\) b) Zahl: \(-19\), Betrag: \(19\), Gegenzahl: \(19\) c) Zahl: \(-50\), Betrag: \(50\), Gegenzahl: \(50\) d) Zahl: \(7\), Betrag: \(7\), Gegenzahl: \(-7\)

- Überlege, wie viele Zahlen denselben Abstand von \(0\) haben können. - Unterscheide in Teil b) sorgfältig Zahl, Gegenzahl und Betrag. - Überlege bei Teil c), was der Betrag geometrisch beschreibt. - Prüfe für Teil d) zuerst alle ganzen Zahlen mit Abstand kleiner als \(3\) von \(0\).

1. Die beiden ganzen Zahlen im Abstand \(21\) von \(0\) sind \(21\) und \(-21\). 2. Wenn die Gegenzahl von \(x\) gleich \(-4\) ist, gilt \(x=4\); damit ist \(|x|=4\). 3. Ein Betrag beschreibt einen Abstand von \(0\) und ist deshalb nie negativ. 4. Für die letzte Bedingung kommen zum Beispiel \(0\), \(1\) oder \(2\) infrage.

a) \(21\) und \(-21\) b) \(x=4\), Betrag \(4\) c) Wahr; ein Betrag ist ein Abstand und daher nicht negativ. d) Zum Beispiel \(0\) (auch \(1\) oder \(2\) sind möglich).

- Bestimme zu jedem Punktestand zuerst seinen Abstand von \(0\). - Für Teil a) suchst du den kleinsten dieser Abstände. - Für Teil b) ordnest du die Abstände absteigend und überträgst die Reihenfolge auf die Namen.

1. Die Beträge der Punktestände sind \(25,18,12,22,3\). 2. Der kleinste Betrag ist \(3\). Er gehört zu Mateo Silva. 3. In absteigender Reihenfolge gilt \(25>22>18>12>3\). 4. Dazu gehören Aylin Kaya, Yuna Park, Marek Nowak, Nia Mensah, Mateo Silva.

a) Mateo Silva b) Aylin Kaya, Yuna Park, Marek Nowak, Nia Mensah, Mateo Silva

- Prüfe für jede Zahl einzeln: Wie weit ist sie von der Null entfernt? Wenn dieser Abstand mehr als 15 Einheiten beträgt, gehört die Zahl zur Lösung von Teil a). - Achtung bei Teil b): Hier geht es nicht mehr um den Betrag, sondern um den tatsächlichen Wert der Zahlen. Denke daran, dass eine negative Zahl umso kleiner ist, je größer ihr Betrag ist.

1. Die Beträge sind \(|-22|=22\), \(|14|=14\), \(|-5|=5\), \(|30|=30\), \(|-35|=35\) und \(|9|=9\). 2. Einen Betrag größer als \(15\) haben die Zahlen \(-22\), \(30\) und \(-35\). 3. Nach ihrer Größe absteigend geordnet gilt \(30 > -22 > -35\).

a) \(-22; 30; -35\) b) \(30; -22; -35\)

- Bei negativen Zahlen gilt: Je größer ihr Betrag ist, desto kleiner ist die Zahl. - Der Betrag gibt an, wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist. - Kann ein Betrag jemals kleiner als Null sein?

1. Der Größe nach geordnet gilt \(-17 < -14 < -2 < 0 < 9 < 13\). 2. Die Beträge sind \(|-17|=17\), \(|-14|=14\), \(|-2|=2\), \(|0|=0\), \(|9|=9\) und \(|13|=13\). 3. Der größte Betrag ist \(17\) und gehört zu \(-17\). Der kleinste Betrag ist \(0\) und gehört zu \(0\).

a) \(-17 < -14 < -2 < 0 < 9 < 13\) b) \(-17\) c) \(0\)

- „Absteigend“ bedeutet, dass du mit der größten Zahl anfängst und zur kleinsten gehst. - Prüfe für jede Zahl einzeln, wie weit sie von der Null entfernt ist. - Achte genau darauf, ob die Zahl \(20\) selbst die Bedingung „kleiner als 20“ erfüllt.

1. Von der größten zur kleinsten Zahl lautet die Reihenfolge \(20; 15; 8; -2; -15; -38; -40\). 2. Die Beträge sind \(|-40|=40\), \(|15|=15\), \(|-15|=15\), \(|8|=8\), \(|-2|=2\), \(|-38|=38\) und \(|20|=20\). 3. Einen Betrag kleiner als \(20\) haben \(15; -15; 8; -2\).

a) \(20; 15; 8; -2; -15; -38; -40\) b) \(15; -15; 8; -2\)

- Zwei unterschiedliche Zahlen können denselben Abstand zur Null haben. Welche sind das hier? - Berechne am besten zuerst alle Beträge und schreibe sie dir unter die Zahlen. - Vergleiche dann einfach die positiven Ergebnisse deiner Betragsrechnung.

1. Die Beträge sind \(|-9|=9\), \(|14|=14\), \(|-21|=21\), \(|0|=0\), \(|-14|=14\), \(|5|=5\) und \(|-2|=2\). 2. Die Zahlen \(14\) und \(-14\) haben beide den Betrag \(14\). 3. Nach der Größe ihrer Beträge geordnet stehen die Zahlen so: \(0; -2; 5; -9; 14; -14; -21\). Die Zahlen \(14\) und \(-14\) können dabei vertauscht werden.

a) \(14\) und \(-14\) b) \(0; -2; 5; -9; 14; -14; -21\) (Hinweis: \(14\) und \(-14\) können getauscht werden)

- Schreibe dir zuerst auf, welche Zahlen einen Betrag haben, der größer als \(4997\) ist. - „Echt zwischen“ bedeutet, dass die beiden Randzahlen nicht dazugehören. - Prüfe jede Zahl aus deiner ersten Liste einzeln gegen die zweite Bedingung.

1. Ein Betrag größer als \(4997\) bedeutet, dass nur Zahlen mit dem Betrag \(4998\), \(4999\), \(5000\) oder größer infrage kommen. 2. Gleichzeitig müssen die Zahlen größer als \(-5000\) und kleiner als \(5000\) sein. Die Randzahlen selbst gehören nicht dazu. 3. Beide Bedingungen erfüllen genau \(-4999\), \(-4998\), \(4998\) und \(4999\).

Die Zahlen sind \(-4999, -4998, 4998, 4999\).

- Überlege dir, was der Betrag einer Zahl anschaulich auf der Zahlengeraden bedeutet. - Probiere verschiedene Beispiele aus: eine positive Zahl, eine negative Zahl und die Null. - Vergleiche jeweils den Wert der Zahl mit ihrem Abstand zur Null.

1. Der Betrag beschreibt den Abstand einer Zahl von \(0\). 2. Für \(0\) und alle positiven ganzen Zahlen gilt \(|x|=x\). 3. Ist \(x\) negativ, dann ist \(|x|\) positiv und damit größer als \(x\). 4. Deshalb gilt für jede ganze Zahl entweder \(|x|=x\) oder \(|x|>x\). Der Betrag kann also nie kleiner als die Zahl selbst sein.

a) Dies gilt für alle nicht-negativen ganzen Zahlen (also die \(0\) und alle positiven ganzen Zahlen). b) Der Betrag gibt den Abstand einer Zahl zur Null an und ist daher nie negativ. Für positive Zahlen ist der Betrag gleich der Zahl, für negative Zahlen ist der Betrag (positiv) immer größer als die Zahl selbst. Somit kann der Betrag nie kleiner als die Zahl sein.

- Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung erfüllen, aber die behauptete Schlussfolgerung verletzen. - Überlege, was der Betrag über die Entfernung von \(0\) aussagt und was er nicht über die Reihenfolge zweier Zahlen aussagt. - Welche Rolle könnten die Vorzeichen spielen, obwohl in der Voraussetzung nur die Beträge verglichen werden?

1. Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(a=-10\) und \(b=5\). 2. Die Beträge sind \(|a|=|-10|=10\) und \(|b|=|5|=5\). Damit gilt \(|a|=2\cdot|b|\). 3. Für die ursprünglichen Zahlen gilt jedoch \(-10<5\). 4. Die Voraussetzung ist also erfüllt, die behauptete Schlussfolgerung aber nicht. Damit ist die Regel widerlegt.

Ein mögliches Gegenbeispiel ist \(a=-10\) und \(b=5\). Es gilt \(|a|=10\), \(|b|=5\) und damit \(|a|=2\cdot|b|\), aber \(-10<5\).

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die Gegenzahl einer Zahl bildest? - Denke daran, dass die Gegenzahl von \(0\) wieder \(0\) ist. - Auf der Zahlengeraden liegen Zahlen mit dem gleichen Betrag immer gleich weit von der Null entfernt.

1. Die Gegenzahlen zu \(-12\), \(7\), \(0\) und \(-5\) sind \(12\), \(-7\), \(0\) und \(5\). 2. Damit entstehen die verschiedenen Zahlen \(-12, -7, -5, 0, 5, 7, 12\). 3. Geordnet gilt \(-12 < -7 < -5 < 0 < 5 < 7 < 12\). 4. Gleichen Betrag haben die Paare \(-12\) und \(12\), \(-7\) und \(7\) sowie \(-5\) und \(5\). Die Zahl \(0\) hat keine von ihr verschiedene Gegenzahl.

a) Die Gegenzahlen sind \(12\), \(-7\), \(0\) und \(5\). b) \(-12 < -7 < -5 < 0 < 5 < 7 < 12\) c) Die Paare sind \(\{-12; 12\}\), \(\{-7; 7\}\) und \(\{-5; 5\}\).

- Bestimme zuerst für jede Zahl den Abstand von \(0\). - Welche Zahl liegt am nächsten an \(0\)? - Welche liegt am weitesten von \(0\) entfernt?

1. Die Beträge sind \(|-12|=12\), \(|5|=5\), \(|-8|=8\), \(|2|=2\), \(|-1|=1\) und \(|10|=10\). 2. Der kleinste Betrag ist \(1\); er gehört zu \(-1\). 3. Der größte Betrag ist \(12\); er gehört zu \(-12\). 4. Die Reihenfolge lautet \(1<2<5<8<10<12\).

a) \(-1\) mit Betrag \(1\) b) \(-12\) mit Betrag \(12\) c) \(|-1|<|2|<|5|<|-8|<|10|<|-12|\)

- Berechne für die ersten beiden Teilaufgaben jeweils die Differenz oder nutze die Betragsregel bei unterschiedlichen Vorzeichen. - Erinnere dich daran, was der Betrag einer Zahl über ihre Lage auf der Zahlengeraden aussagt. - Wie bestimmt man mathematisch, wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist?

1. Abstand \( a \) zu \( b \): Da die Vorzeichen verschieden sind, addiert man die Beträge \( |-32| + |12| = 32 + 12 = 44 \). 2. Abstand \( b \) zu \( c \): Da die Vorzeichen verschieden sind, addiert man die Beträge \( |12| + |-58| = 12 + 58 = 70 \). 3. Vergleich der Abstände zur Null: \( |a| = 32 \), \( |b| = 12 \), \( |c| = 58 \). Da \( 58 \) der größte Wert ist, hat \( c \) den größten Abstand zur Null.

a) \( 44 \) b) \( 70 \) c) Die Zahl \( c = -58 \) liegt am weitesten von der Null entfernt, da ihr Betrag \( |-58| = 58 \) am größten ist.

- Bestimme zuerst jeden Betrag vollständig. - Rechne erst danach mit den übrigen positiven und negativen Zahlen weiter. - Prüfe bei b), welche Zahl innerhalb der Betragsstriche entsteht.

1. In a) ist \(|-42|=42\). Damit gilt \(42+58-(-100)=100+100=200\). 2. In b) ist \(15-40=-25\), also \(|15-40|=25\). Außerdem ist \(12-30=-18\). Damit ergibt sich \(25+(-18)=7\).

a) \(200\) b) \(7\)

- Behandle Betragsstriche wie Klammern und berechne zuerst ihren Inhalt. - Achte genau auf die Vorzeichen, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minus steht. - Schrittweises Vorgehen hilft, Rechenfehler zu vermeiden.

1. In a) gilt \(150-210=-60\), also \(|-60|=60\). Außerdem ist \(45-90=-45\). Damit ergibt sich \(60-(-45)=105\). 2. In b) gilt \(-25-15=-40\), also \(|-40|=40\). In der eckigen Klammer ist \(-30-(-50)=20\). Damit ergibt sich \(40+20=60\).

a) \(105\) b) \(60\)

- Denke daran, was der Betrag einer Zahl auf der Zahlengeraden bedeutet. - Prüfe bei Aussagen über Gegenzahlen besonders die Sonderrolle der Zahl \(0\). - Teste allgemeine Aussagen auch mit einer positiven, einer negativen Zahl und mit \(0\).

1. Aussage a) ist wahr. Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von \(0\) und deshalb nie negativ. 2. Aussage b) ist wahr. Eine von \(0\) verschiedene Zahl und ihre Gegenzahl liegen auf entgegengesetzten Seiten von \(0\), aber gleich weit von \(0\) entfernt. Deshalb haben sie denselben Betrag und sind verschieden. 3. Aussage c) ist falsch. Für positive Zahlen und für \(0\) ist der Betrag gleich der Zahl selbst, zum Beispiel \(|5|=5\) und \(|0|=0\). Nur bei negativen Zahlen ist der Betrag größer als die Zahl.

a) Wahr, weil ein Betrag ein Abstand von \(0\) ist. b) Wahr, weil Gegenzahlen außer \(0\) auf verschiedenen Seiten von \(0\) mit gleichem Abstand liegen. c) Falsch, weil zum Beispiel \(|5|=5\) gilt.

- Stell dir die Zahlengerade bildlich vor. Wo stehen die Zahlen, deren „Entfernung“ zur Mitte (Null) klein ist? - Wenn \(|x| > 12\) ist, suchst du Zahlen, die sehr weit außen liegen. In welche zwei Richtungen kann man sich von der Null entfernen? - Überlege dir für die Behauptung ein Beispiel: Vergleiche den Abstand zur Null und den Betrag für die Zahlen \(3\) und \(-10\).

1. Die Bedingung \(|x|<5\) bedeutet, dass der Abstand von \(x\) zur Null kleiner als \(5\) ist. Die ganzen Zahlen sind \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\). 2. Die Bedingung \(|x|>12\) bedeutet, dass der Abstand zur Null größer als \(12\) ist. Für ganze Zahlen gilt daher \(x\leq -13\) oder \(x\geq 13\). 3. Die Aussage ist wahr. Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null; ein größerer Abstand bedeutet einen größeren Betrag.

1. \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\) 2. Alle ganzen Zahlen mit \(x\leq -13\) oder \(x\geq 13\) 3. Die Aussage ist wahr, weil der Betrag den Abstand zur Null angibt.

- Liste zuerst die ganzen Zahlen zwischen den beiden Grenzen auf. - Prüfe dann bei jeder Zahl ihren Abstand von \(0\). - Ein Betrag von genau \(2\) reicht nicht aus.

1. Zwischen \(-3\) und \(5\) liegen die ganzen Zahlen \(-2,-1,0,1,2,3,4\). 2. Davon haben nur \(3\) und \(4\) einen Betrag größer als \(2\).

\(3\) und \(4\)

- Markiere zuerst die ganze Zahl \(4\) und gehe höchstens drei Schritte nach links und rechts. - Überlege getrennt, welche ganzen Zahlen höchstens sechs Schritte von \(0\) entfernt sind. - Suche anschließend nach einer Zahl, die nur in Maries Liste vorkommt.

1. Zu Lukas passen alle ganzen Zahlen von \(-6\) bis \(6\), weil ihr Abstand von \(0\) höchstens \(6\) beträgt. 2. Zu Marie passen die ganzen Zahlen \(1,2,3,4,5,6,7\), weil sie höchstens \(3\) Schritte von \(4\) entfernt sind. 3. Die Zahl \(7\) passt zu Marie, aber nicht zu Lukas, denn ihr Abstand von \(0\) beträgt \(7\).

Lukas: \(-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6\). Marie: \(1,2,3,4,5,6,7\). Nein. \(7\) passt zu Marie, aber nicht zu Lukas.

- Bestimme zuerst, welchen Wert ein einzelner kleiner Teilstrich auf der Zahlengeraden darstellt. Wie viele Teilstriche gibt es zwischen \(0\) und \(10\)? - Achte auf die Richtung: Zahlen links von \(0\) sind negativ, Zahlen rechts von \(0\) sind positiv. - Um den genauen Wert zu finden, kannst du von der nächsten beschrifteten Zahl aus in Schritten des Teilstrichwerts vorwärts oder rückwärts zählen. - Der Abstand einer Zahl zu \(0\) ist immer eine positive Zahl (oder Null) und entspricht dem Betrag dieser Zahl. Wie viele Einheiten ist der Punkt von \(0\) entfernt?

1. Zwischen zwei benachbarten beschrifteten Zehnerzahlen liegen fünf gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(2\). 2. So liest man X \(=-24\), Y \(=-8\) und Z \(=16\) ab. 3. Die Beträge sind \(|-24|=24\), \(|-8|=8\) und \(|16|=16\).

1. X: \(-24\); Y: \(-8\); Z: \(16\) 2. Für X: \(24\); für Y: \(8\); für Z: \(16\)

- Achte darauf, dass Zahlen links von der Null ein negatives Vorzeichen haben. - Der Abstand einer Zahl zur Null ist immer ein positiver Wert, egal ob die Zahl selbst positiv oder negativ ist.

1. Zwischen zwei beschrifteten Fünferzahlen liegen fünf gleich große Abschnitte. Ein kleiner Schritt entspricht daher \(1\). 2. Man liest A \(=-17\), B \(=-8\) und C \(=4\) ab. 3. Die Beträge sind \(|-17|=17\), \(|-8|=8\) und \(|4|=4\). Daher hat A mit \(-17\) den größten Abstand zur Null.

a) A: \(-17\); B: \(-8\); C: \(4\) b) Die Zahl \(-17\) (Markierung A) hat den größten Abstand zur Null.

- Für ein Gegenbeispiel muss \(a<b\) gelten, während die behauptete Beziehung der Beträge gerade nicht gilt. - Vergleiche bei zwei negativen Zahlen ihre Lage links von \(0\) mit ihrem Abstand von \(0\). - Der Betrag beschreibt einen Abstand und enthält allein keine Information darüber, auf welcher Seite von \(0\) ein Punkt liegt.

1. Ein mögliches Gegenbeispiel zu a) ist \(a=-10\) und \(b=2\). Es gilt \(-10<2\), aber \(|-10|=10\) und \(|2|=2\), also \(|a|>|b|\). Damit ist die Behauptung widerlegt. 2. Für b) gilt: Da \(a<b<0\), liegt \(a\) auf der Zahlengeraden weiter links als \(b\). Unter den negativen Zahlen bedeutet das zugleich einen größeren Abstand von \(0\). Daher gilt \(|a|>|b|\). 3. Haben zwei verschiedene Zahlen denselben Betrag, so haben ihre Bildpunkte denselben Abstand von \(0\). Sie liegen auf entgegengesetzten Seiten von \(0\) und damit spiegelsymmetrisch zum Nullpunkt.

a) Zum Beispiel \(a=-10\), \(b=2\): \(-10<2\), aber \(|-10|=10>|2|=2\). b) \(a\) hat den größeren Betrag. Da \(a<b<0\), liegt \(a\) auf der Zahlengeraden weiter links und damit weiter von \(0\) entfernt; also gilt \(|a|>|b|\). c) Die beiden Bildpunkte liegen auf entgegengesetzten Seiten von \(0\) im gleichen Abstand zum Nullpunkt.