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Ganze Zahlen vergleichen

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Schwierigkeit: 1 – 5

4174895

Wie viele ganze Zahlen erfüllen gleichzeitig \(-6<x\) und \(x<3\)? Liste alle diese Zahlen auf.

Denkanstöße

- Welche Zahlen liegen rechts von \(-6\) und zugleich links von \(3\)? - Prüfe, ob die Null im gesuchten Bereich liegt. - Die beiden Randzahlen gehören ausdrücklich nicht dazu.

Lösung

1. Gesucht sind alle ganzen Zahlen, die größer als \(-6\) und kleiner als \(3\) sind: \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\). 2. Das sind insgesamt \(8\) ganze Zahlen.

Antwort

Es liegen \(8\) ganze Zahlen echt dazwischen: \(-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\).

4174945

Welche ganzen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden zwischen \(-103\) und \(-97\)? Gib alle diese Zahlen an.

Denkanstöße

- Stell dir den Ausschnitt der Zahlengeraden von \(-103\) bis \(-97\) vor. - Beginne einen Schritt rechts von \(-103\) und gehe in Einerschritten weiter. - Stoppe, bevor du \(-97\) erreichst.

Lösung

1. Gesucht sind ganze Zahlen, die rechts von \(-103\), aber links von \(-97\) liegen. 2. Die beiden Randzahlen selbst gehören wegen „zwischen“ nicht dazu. 3. Die gesuchten Zahlen sind \(-102,-101,-100,-99,-98\).

Antwort

\(-102,-101,-100,-99,-98\)

4175045

Bestimme für die ganzen Zahlen \(-15\), \(-1\) und \(0\) jeweils den Vorgänger und den Nachfolger.

Denkanstöße

- Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. - Welche Zahl liegt direkt links von der gegebenen Zahl? - Welche Zahl liegt direkt rechts von der gegebenen Zahl? - Überlege, was passiert, wenn du eins abziehst oder eins dazuzählst.

Lösung

1. Der Vorgänger einer ganzen Zahl \(x\) liegt auf der Zahlengeraden unmittelbar links von ihr und wird durch \(x - 1\) berechnet. 2. Für \(-15\) ist der Vorgänger \(-16\). Für \(-1\) ist der Vorgänger \(-2\). Für \(0\) ist der Vorgänger \(-1\). 3. Der Nachfolger einer ganzen Zahl \(x\) liegt auf der Zahlengeraden unmittelbar rechts von ihr und wird durch \(x + 1\) berechnet. 4. Für \(-15\) ist der Nachfolger \(-14\). Für \(-1\) ist der Nachfolger \(0\). Für \(0\) ist der Nachfolger \(1\).

Antwort

Zu \(-15\): Vorgänger \(-16\), Nachfolger \(-14\). Zu \(-1\): Vorgänger \(-2\), Nachfolger \(0\). Zu \(0\): Vorgänger \(-1\), Nachfolger \(1\).

4176775

Betrachte die beiden Zahlen \(-450\) und \(-405\). Welche der beiden Zahlen ist kleiner? Begründe deine Antwort mithilfe ihrer Lage auf einer waagerechten Zahlengeraden.

Denkanstöße

- Stell dir einen Ausschnitt der Zahlengeraden mit beiden Zahlen vor. - Welche der beiden Positionen liegt weiter links? - Die weiter links liegende Zahl ist die kleinere.

Lösung

1. Auf der Zahlengeraden liegt \(-450\) links von \(-405\). 2. Eine Zahl, die weiter links liegt, ist kleiner. 3. Daher gilt \(-450<-405\).

Antwort

\(-450\) ist kleiner als \(-405\), weil \(-450\) auf der Zahlengeraden weiter links liegt.

5528665

Auf der Zahlengeraden sind die Punkte A und B markiert. Lies ihre Zahlenwerte ab und entscheide, welcher Wert größer ist. Schreibe außerdem das passende Vergleichszeichen zwischen die beiden Werte.

Denkanstöße

- Nutze die beschrifteten Teilstriche als Anker und zähle die gleich großen Schritte zu A und B. - Auf der Zahlengeraden ist die weiter rechts liegende Zahl größer. - Setze das Vergleichszeichen erst ein, nachdem du beide Punktwerte bestimmt hast.

Lösung

1. Aus der Skala folgt \(A=-4\) und \(B=-1\). 2. Punkt B liegt weiter rechts als Punkt A. 3. Daher ist der Wert bei B größer und es gilt \(-4<-1\).

Antwort

A: \(-4\), B: \(-1\); B ist größer und \(-4<-1\).

4174395

An einem Wintertag wurden in fünf verschiedenen Städten die folgenden Tiefsttemperaturen gemessen: \(3\,^\circ\text{C}\), \(-7\,^\circ\text{C}\), \(0\,^\circ\text{C}\), \(-2\,^\circ\text{C}\) und \(-12\,^\circ\text{C}\). Ordne diese Temperaturen der Größe nach. Beginne mit der kältesten Temperatur und verwende das Zeichen \(<\).

Denkanstöße

- Stell dir die Werte auf einem Thermometer vor. - Bei negativen Temperaturen ist die weiter unten liegende Zahl die kleinere. - Ordne zuerst die Minusgrade und füge danach \(0\) und die positive Temperatur ein.

Lösung

1. Auf einem Thermometer liegt \(-12\) weiter unten als \(-7\), und \(-7\) weiter unten als \(-2\). Daher gilt \(-12<-7<-2\). 2. \(0\) liegt über allen negativen Temperaturen, und \(3\) liegt über \(0\). 3. Insgesamt gilt \(-12\,^\circ\text{C}<-7\,^\circ\text{C}<-2\,^\circ\text{C}<0\,^\circ\text{C}<3\,^\circ\text{C}\).

Antwort

\(-12\,^\circ\text{C}<-7\,^\circ\text{C}<-2\,^\circ\text{C}<0\,^\circ\text{C}<3\,^\circ\text{C}\)

4174415

Gegeben sind die folgenden ganzen Zahlen: \(-22, -17, -35, -9, -21, 2\). Welche dieser Zahlen liegen auf der Zahlengeraden weiter links als die Zahl \(-20\)? Schreibe nur diese Zahlen auf und ordne sie, beginnend mit der kleinsten Zahl, mithilfe des Zeichens \(<\).

Denkanstöße

- „Weiter links liegen“ bedeutet in der Mathematik dasselbe wie „kleiner sein“. - Wähle alle Zahlen aus, die kleiner als \(-20\) sind. - Sortiere am Ende nur die ausgewählten Zahlen.

Lösung

1. Identifikation der Zahlen, die kleiner als \(-20\) sind: Eine Zahl liegt weiter links als \(-20\), wenn ihr Wert kleiner ist. Das trifft auf \(-22, -35\) und \(-21\) zu. 2. Vergleich dieser drei Zahlen: Von diesen Zahlen hat \(-35\) den größten Abstand zur Null (liegt am weitesten links), gefolgt von \(-22\) und dann \(-21\). 3. Ordnung festlegen: \(-35 < -22 < -21\).

Antwort

\(-35 < -22 < -21\)

4174425

Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. \(-110; -101; -111; -10; -11; -100; -1\)

Denkanstöße

- Ordne die Zahlen gedanklich auf einer Zahlengeraden. - Welche Zahl liegt am weitesten links? - Arbeite von links nach rechts weiter, bis alle Zahlen eingeordnet sind.

Lösung

1. Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. Unter den negativen Zahlen liegt die Zahl weiter links, die weiter von \(0\) in negativer Richtung entfernt ist. 2. Daher liegt \(-111\) links von \(-110\), danach folgen \(-101\), \(-100\), \(-11\), \(-10\) und \(-1\). 3. Somit gilt \(-111<-110<-101<-100<-11<-10<-1\).

Antwort

\(-111<-110<-101<-100<-11<-10<-1\)

4174435

Setze das passende Zeichen \(<\), \(>\) oder \(=\) in die Lücken ein, sodass eine wahre Aussage entsteht. a) \(-45\;\dots\;-54\) b) \(-12\;\dots\;0\) c) \(-100\;\dots\;-99\) d) \(7\;\dots\;-70\) e) \(-1\;\dots\;-1\) f) \(-18\;\dots\;-19\)

Denkanstöße

- Stelle dir beide Zahlen jedes Vergleichs auf einer Zahlengeraden vor. - Die weiter rechts liegende Zahl ist die größere. - Prüfe bei gleichen Zahlen, ob das Gleichheitszeichen passt.

Lösung

1. \(-45>-54\), weil \(-45\) auf der Zahlengeraden rechts von \(-54\) liegt. 2. \(-12<0\), weil negative Zahlen links von \(0\) liegen. 3. \(-100<-99\), weil \(-100\) links von \(-99\) liegt. 4. \(7>-70\), weil positive Zahlen rechts von negativen Zahlen liegen. 5. \(-1=-1\), weil beide Werte gleich sind. 6. \(-18>-19\), weil \(-18\) rechts von \(-19\) liegt.

Antwort

a) \(>\) b) \(<\) c) \(<\) d) \(>\) e) \(=\) f) \(>\)

4174445

Gesucht sind ganze Zahlen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. a) Nenne alle ganzen Zahlen, die größer als \(-5\) und kleiner als \(1\) sind. b) Welche der folgenden Zahlen liegen echt zwischen \(-12\) und \(-7\), also ohne die beiden Randzahlen? \(-13;-11;-10;-9;-8;-7;-6\)

Denkanstöße

- Übersetze die Wörter „größer als“ und „kleiner als“ in eine Lage auf der Zahlengeraden. - Bei b) gehören die beiden Randzahlen ausdrücklich nicht zum gesuchten Bereich. - Prüfe jede angebotene Zahl gegen beide Grenzen.

Lösung

1. Für die erste Bedingung gilt \(-5<x<1\). Daher kommen \(-4,-3,-2,-1,0\) infrage. 2. Für die zweite Bedingung gilt \(-12<x<-7\). Aus der gegebenen Liste erfüllen \(-11,-10,-9,-8\) diese Bedingung.

Antwort

a) \(-4;-3;-2;-1;0\) b) \(-11;-10;-9;-8\)

4174615

Für ein vereinfachtes mathematisches Modell einer historischen Zeitleiste werden Jahreszahlen v. Chr. als negative und Jahreszahlen n. Chr. als positive ganze Zahlen dargestellt. Das Modell dient nur dem Zahlenvergleich; der historische Kalender besitzt kein Jahr \(0\). Gegeben sind die Zeitmarken: A: \(520\) v. Chr. B: \(85\) v. Chr. C: \(240\) v. Chr. D: \(40\) n. Chr. E: \(310\) n. Chr. a) Schreibe zu jeder Zeitmarke den Vergleichswert als ganze Zahl. b) Ordne die fünf Vergleichswerte mit \(<\) vom kleinsten zum größten und gib damit die Zeitmarken von der frühesten zur spätesten an.

Denkanstöße

- Übersetze zuerst jede Angabe v. Chr. beziehungsweise n. Chr. in den festgelegten Vergleichswert. - Vergleiche die drei negativen Werte besonders sorgfältig: Welche davon liegt auf der Zahlengeraden am weitesten links? - Füge danach die positiven Werte in die aufsteigende Reihenfolge ein.

Lösung

1. Die Vergleichswerte sind A: \(-520\), B: \(-85\), C: \(-240\), D: \(40\), E: \(310\). 2. Beim Vergleichen der negativen Werte ist \(-520<-240<-85\). Danach folgen die positiven Werte \(40<310\). 3. Insgesamt gilt \(-520<-240<-85<40<310\). Daher lautet die zeitliche Reihenfolge A, C, B, D, E.

Antwort

a) A: \(-520\), B: \(-85\), C: \(-240\), D: \(40\), E: \(310\). b) \(-520<-240<-85<40<310\); Reihenfolge: A, C, B, D, E.

4174645

Setze die folgenden Zahlen in eine aufsteigende Reihenfolge. Beginne mit der kleinsten Zahl. \(12; -18; -3; 7; -25; 0; 4\)

Denkanstöße

- Ordne die Zahlen gedanklich von links nach rechts auf einer Zahlengeraden. - Negative Zahlen liegen links von \(0\), positive rechts davon. - Vergleiche die negativen Zahlen ebenfalls nur nach ihrer Position auf der Zahlengeraden.

Lösung

1. Auf der Zahlengeraden liegen die negativen Zahlen links von \(0\). Von links nach rechts stehen dort \(-25,-18,-3\). 2. Rechts von \(0\) folgen die positiven Zahlen in der Reihenfolge \(4,7,12\). 3. Insgesamt gilt \(-25<-18<-3<0<4<7<12\).

Antwort

\(-25<-18<-3<0<4<7<12\)

4174665

Gegeben sind die Zahlen \(-105,-210,105,-120,201\) und \(0\). Schreibe sie so in die Kästchen, dass eine korrekte Kleiner-Kette entsteht: \(\square<\square<\square<\square<\square<\square\)

Denkanstöße

- Beginne mit der Zahl, die auf der Zahlengeraden am weitesten links liegt. - Ordne zuerst die negativen Zahlen, dann \(0\), dann die positiven Zahlen. - Kontrolliere am Ende, ob jede Zahl rechts von ihrer Vorgängerin größer ist.

Lösung

1. Auf der Zahlengeraden liegt \(-210\) am weitesten links, danach folgen \(-120\) und \(-105\). 2. Danach kommt \(0\). 3. Rechts von \(0\) liegen \(105\) und danach \(201\). 4. Somit gilt \(-210<-120<-105<0<105<201\).

Antwort

\(-210<-120<-105<0<105<201\)

4174835

Vervollständige die folgende Tabelle, indem du die fehlenden ganzen Zahlen einträgst. <table border="1"> <tr> <th>Vorgänger</th> <th>Zahl</th> <th>Nachfolger</th> </tr> <tr> <td> </td> <td>\(-45\)</td> <td> </td> </tr> <tr> <td>\(-101\)</td> <td> </td> <td> </td> </tr> <tr> <td> </td> <td> </td> <td>\(1\)</td> </tr> </table>

Denkanstöße

- Stelle dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. - Was passiert mit dem Wert einer negativen Zahl, wenn du einen Schritt nach links (Vorgänger) gehst? - Kannst du die Tabelle Zeile für Zeile ausfüllen, indem du von der bekannten Zahl ausgehst?

Lösung

1. In der ersten Zeile ist die Zahl \(-45\) gegeben. Der Vorgänger liegt auf der Zahlengeraden eins weiter links (\(-46\)), der Nachfolger eins weiter rechts (\(-44\)). 2. In der zweiten Zeile ist der Vorgänger \(-101\) gegeben. Die Zahl selbst liegt eins rechts davon (\(-100\)), ihr Nachfolger wiederum eins rechts von der Zahl (\(-99\)). 3. In der dritten Zeile ist der Nachfolger \(1\) gegeben. Die Zahl liegt eins links davon (\(0\)), ihr Vorgänger wiederum eins links von der Zahl (\(-1\)).

Antwort

Zeile 1: Vorgänger \(-46\), Nachfolger \(-44\) Zeile 2: Zahl \(-100\), Nachfolger \(-99\) Zeile 3: Zahl \(0\), Vorgänger \(-1\)

4174845

Ordne die folgenden fünf Werte der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende \(<\). - der Vorgänger von \(-10\) - die Zahl \(-10\) - der Nachfolger von \(-10\) - der Vorgänger von \(-12\) - die Zahl \(0\)

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die drei beschriebenen Nachbarzahlen. - Ordne anschließend alle fünf Werte auf einer Zahlengeraden von links nach rechts. - Die weiter links liegende Zahl ist jeweils die kleinere.

Lösung

1. Der Vorgänger von \(-10\) ist \(-11\), der Nachfolger ist \(-9\), und der Vorgänger von \(-12\) ist \(-13\). 2. Zu ordnen sind also \(-11,-10,-9,-13,0\). 3. Auf der Zahlengeraden von links nach rechts ergibt sich \(-13<-11<-10<-9<0\).

Antwort

\(-13<-11<-10<-9<0\)

4174875

Vergleiche die folgenden Zahlenpaare jeweils untereinander und mit der Zahl \(0\). Schreibe deine Ergebnisse als Kette mit dem Zeichen \(<\) auf (in der Form \(a < b < c\)). a) \(-25\) und \(-17\) b) \(14\) und \(-4\) c) \(-1\) und \(1\)

Denkanstöße

- Negative Zahlen liegen links von der Null, positive Zahlen rechts davon. - Wenn du zwei negative Zahlen vergleichst, ist diejenige kleiner, die weiter von der Null entfernt ist. - Achte darauf, dass die Spitzen der Kleiner-Zeichen immer auf die jeweils kleinere Zahl zeigen.

Lösung

1. Zu a): Beide Zahlen sind negativ. Da \(-25\) einen größeren Abstand zur Null hat und links von \(-17\) liegt, gilt \(-25 < -17\). Beide sind kleiner als \(0\), also \(-25 < -17 < 0\). 2. Zu b): Eine Zahl ist negativ, eine positiv. Die negative Zahl ist kleiner als \(0\), die positive größer. Es ergibt sich \(-4 < 0 < 14\). 3. Zu c): Die negative Zahl \(-1\) ist kleiner als \(0\), und \(0\) ist kleiner als die positive Zahl \(1\). Somit gilt \(-1 < 0 < 1\).

Antwort

a) \(-25 < -17 < 0\) b) \(-4 < 0 < 14\) c) \(-1 < 0 < 1\)

4174915

Gegeben sind zwei Paare von ganzen Zahlen: Paar A: \(-10\) und \(-7\) Paar B: \(-2\) und \(2\) Bei welchem Paar liegen mehr ganze Zahlen echt zwischen den beiden Randzahlen, also ohne die Randzahlen selbst? Bestimme für beide Paare die Anzahl.

Denkanstöße

- Bestimme für jedes Paar getrennt die ganzen Zahlen im offenen Zwischenraum. - Die beiden genannten Randzahlen gehören ausdrücklich nicht dazu. - Vergleiche anschließend die beiden Anzahlen.

Lösung

1. Zwischen \(-10\) und \(-7\) liegen \(-9\) und \(-8\). Das sind \(2\) ganze Zahlen. 2. Zwischen \(-2\) und \(2\) liegen \(-1,0,1\). Das sind \(3\) ganze Zahlen. 3. Da \(3>2\), liegen bei Paar B mehr ganze Zahlen echt dazwischen.

Antwort

Bei Paar B liegen mehr ganze Zahlen echt dazwischen. Bei Paar A sind es \(2\), bei Paar B \(3\) Zahlen.

4204405

Gegeben sind die Zahlen \(-10;4;-1;6;-5;3\). a) Welche dieser Zahlen liegen strikt zwischen \(-6\) und \(4\)? b) Ordne alle sechs Zahlen der Größe nach und verwende \(<\). c) Welche Zahl der Liste ist die größte negative Zahl?

Denkanstöße

- Prüfe bei Teil a), welche Werte beide strikten Grenzen erfüllen. - Ordne für Teil b) von links nach rechts auf einer Zahlengeraden. - Die größte negative Zahl liegt von den negativen gegebenen Zahlen am weitesten rechts.

Lösung

1. Strikt zwischen \(-6\) und \(4\) liegen \(-5,-1,3\). 2. Die vollständige Reihenfolge lautet \(-10<-5<-1<3<4<6\). 3. Unter den negativen Zahlen liegt \(-1\) am weitesten rechts. Daher ist \(-1\) die größte negative Zahl.

Antwort

a) \(-5;-1;3\) b) \(-10<-5<-1<3<4<6\) c) \(-1\)

4217425

Gegeben sind die folgenden Zahlen: \(12\); \(-18\); \(5\); \(-3\); \(0\); \(-25\) a) Bestimme zu jeder dieser Zahlen die zugehörige Gegenzahl. b) Ordne die ursprünglichen Zahlen aus der Liste der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl und verwende das Zeichen \(<\). c) Ordne nun die in Teilaufgabe a) gefundenen Gegenzahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.

Denkanstöße

- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die Gegenzahl einer Zahl bildest? - Stell dir die Zahlen auf einer Zahlengeraden vor. Welche Zahl liegt weiter links? - Wie verändert sich die Reihenfolge einer Zahlenliste, wenn man von allen Zahlen die Gegenzahl bildet?

Lösung

1. Bestimmung der Gegenzahlen durch Vorzeichenumkehr: \(-12\); \(18\); \(-5\); \(3\); \(0\); \(25\). 2. Sortierung der ursprünglichen Zahlen auf der Zahlengeraden von links nach rechts: \(-25 < -18 < -3 < 0 < 5 < 12\). 3. Sortierung der Gegenzahlen auf der Zahlengeraden: \(-12 < -5 < 0 < 3 < 18 < 25\).

Antwort

a) Gegenzahlen: \(-12\); \(18\); \(-5\); \(3\); \(0\); \(25\) b) \(-25 < -18 < -3 < 0 < 5 < 12\) c) \(-12 < -5 < 0 < 3 < 18 < 25\)

4217435

Betrachte die Positionen ganzer Zahlen auf der Zahlengeraden. a) Ordne die Zahlen \(-1\), \(-50\) und \(-199\) von klein nach groß. b) Setze jeweils \(<\), \(>\) oder \(=\) ein: \(-45\;\square\;-54\) \(-12\;\square\;2\) \(0\;\square\;-7\) \(-101\;\square\;-100\)

Denkanstöße

- Nutze in beiden Teilen dieselbe Idee: Die weiter rechts liegende Zahl ist größer. - Ordne bei Teil a) zuerst die drei Positionen auf einer gedachten Zahlengeraden. - Prüfe bei Teil b) jedes Zahlenpaar getrennt.

Lösung

1. Auf der Zahlengeraden liegt \(-199\) am weitesten links, danach \(-50\) und dann \(-1\). Also gilt \(-199<-50<-1\). 2. \(-45>-54\), weil \(-45\) weiter rechts liegt. 3. \(-12<2\), weil negative Zahlen links von positiven Zahlen liegen. 4. \(0>-7\), weil \(0\) rechts von allen negativen Zahlen liegt. 5. \(-101<-100\), weil \(-101\) weiter links liegt.

Antwort

a) \(-199<-50<-1\) b) \(-45>-54\); \(-12<2\); \(0>-7\); \(-101<-100\)

4227015

An einer Wetterstation in den Alpen wurden in einer Winterwoche täglich um Mitternacht die folgenden Temperaturen gemessen: Mo: \(-4\,^\circ\text{C}\), Di: \(-1\,^\circ\text{C}\), Mi: \(3\,^\circ\text{C}\), Do: \(5\,^\circ\text{C}\), Fr: \(-2\,^\circ\text{C}\), Sa: \(-6\,^\circ\text{C}\), So: \(0\,^\circ\text{C}\). a) Bestimme die höchste und die niedrigste gemessene Temperatur dieser Woche. b) Wie groß ist der Temperaturunterschied zwischen dem wärmsten und dem kältesten Tag? c) Sortiere die Wochentage nach ihrer Temperatur, beginnend mit dem kältesten Tag.

Denkanstöße

- Stelle dir die Temperaturen auf einem Thermometer vor. Welche Zahl liegt am weitesten unten? - Um den Unterschied zwischen einer positiven und einer negativen Zahl zu finden, kannst du die Abstände zur Null addieren. - Achte beim Sortieren darauf, dass bei negativen Zahlen diejenige kleiner ist, die weiter von der Null entfernt ist.

Lösung

1. Vergleich der gemessenen Werte: \(-6, -4, -2, -1, 0, 3, 5\). 2. Die niedrigste Temperatur beträgt \(-6\,^\circ\text{C}\) (Samstag), die höchste Temperatur beträgt \(5\,^\circ\text{C}\) (Donnerstag). 3. Berechnung der Differenz: \(5\,^\circ\text{C} - (-6\,^\circ\text{C}) = 11\,^\circ\text{C}\). 4. Sortierung der Tage: Samstag (\(-6\,^\circ\text{C}\)), Montag (\(-4\,^\circ\text{C}\)), Freitag (\(-2\,^\circ\text{C}\)), Dienstag (\(-1\,^\circ\text{C}\)), Sonntag (\(0\,^\circ\text{C}\)), Mittwoch (\(3\,^\circ\text{C}\)), Donnerstag (\(5\,^\circ\text{C}\)).

Antwort

a) Höchste: \(5\,^\circ\text{C}\), Niedrigste: \(-6\,^\circ\text{C}\) b) Der Unterschied beträgt \(11\,^\circ\text{C}\). c) Samstag, Montag, Freitag, Dienstag, Sonntag, Mittwoch, Donnerstag.

4227135

Bestimme alle ganzen Zahlen \(z\), für die die folgende Bedingung gilt: \(-7 < z \le -2\)

Denkanstöße

- Überlege dir, welche Zahlen auf der Zahlengeraden rechts von \(-7\) liegen. - Achte genau auf die Symbole: Was ist der Unterschied zwischen \(<\) und \(\le\)? - Gehört die \(-7\) zur Lösung? Gehört die \(-2\) zur Lösung? - Schreibe dir am besten alle ganzen Zahlen zwischen \(-10\) und \(0\) auf und kreise die passenden ein.

Lösung

1. Analyse der Bedingung: Gesucht sind ganze Zahlen, die größer als \(-7\) und gleichzeitig kleiner oder gleich \(-2\) sind. 2. Bestimmung der unteren Grenze: Da \(z > -7\), ist die kleinste mögliche ganze Zahl \(-6\). 3. Bestimmung der oberen Grenze: Da \(z \le -2\), ist die größte mögliche ganze Zahl \(-2\). 4. Auflistung aller ganzzahligen Werte im Bereich \([-6; -2]\): \(-6, -5, -4, -3, -2\).

Antwort

\(-6, -5, -4, -3, -2\)

4227145

Gegeben ist die Liste \(-12,-8,-5,-2,0,3\). Welche dieser Zahlen \(n\) erfüllen \(-9<n<-1\)?

Denkanstöße

- Stelle dir das offene Intervall zwischen \(-9\) und \(-1\) auf der Zahlengeraden vor. - Prüfe jede Zahl aus der Liste gegen beide Grenzen. - Die Randwerte selbst würden wegen der strikten Zeichen \(<\) nicht dazugehören.

Lösung

1. \(-12\) liegt links von \(-9\) und erfüllt die Bedingung nicht. 2. \(-8\), \(-5\) und \(-2\) liegen jeweils rechts von \(-9\) und links von \(-1\). 3. \(0\) und \(3\) liegen rechts von \(-1\) und erfüllen die Bedingung nicht. 4. Damit sind \(-8,-5,-2\) die gesuchten Zahlen.

Antwort

\(-8,-5,-2\)

5528675

Vier Punkte sind auf der Zahlengeraden markiert. Bestimme ihre Zahlenwerte und ordne anschließend die Punkte von links nach rechts. Gib die zugehörige Zahlenkette mit \(<\) an.

Denkanstöße

- Nutze die beschrifteten Teilstriche, um die Schrittweite der Skala zu erkennen. - Bestimme die Werte der vier Marker einzeln, bevor du sie ordnest. - Für die aufsteigende Reihenfolge liest du die Zahlengerade von links nach rechts.

Lösung

1. Die Skala steigt von Teilstrich zu Teilstrich um \(1\). 2. Die markierten Werte sind A bei \(-8\), B bei \(-3\), C bei \(2\) und D bei \(-6\). 3. Von links nach rechts liegen die Punkte in der Reihenfolge A, D, B, C. 4. Die Zahlenkette lautet \(-8<-6<-3<2\).

Antwort

A: \(-8\), B: \(-3\), C: \(2\), D: \(-6\); Reihenfolge A, D, B, C; \(-8<-6<-3<2\)

4175065

Gesucht ist eine ganze Zahl \(z\). Sie erfüllt zwei Bedingungen: 1. Sie liegt auf der Zahlengeraden echt zwischen \(-45\) und \(-39\), also ohne die beiden Randzahlen. 2. Sie ist eine gerade Zahl. Gib alle Zahlen an, auf die diese Beschreibung zutrifft.

Denkanstöße

- Schreibe zuerst alle ganzen Zahlen auf, die beide strikten Grenzen erfüllen. - Die Randzahlen \(-45\) und \(-39\) gehören nicht dazu. - Prüfe anschließend, welche Zahlen aus deiner Liste gerade sind.

Lösung

1. Die ganzen Zahlen mit \(-45<z<-39\) sind \(-44,-43,-42,-41,-40\). 2. Davon sind \(-44\), \(-42\) und \(-40\) gerade.

Antwort

\(-44,-42,-40\)

4204395

Gegeben sind die Zahlen \(-12;7;-3;0;-8;2\). a) Ordne alle Zahlen der Größe nach. Verwende \(>\). b) Welche Zahl ist die zweitkleinste? c) Welche der gegebenen Zahlen erfüllen gleichzeitig \(-9<x<3\)?

Denkanstöße

- Ordne die gegebenen Zahlen zunächst vollständig auf einer gedachten Zahlengeraden. - Für Teil b) hilft die Reihenfolge vom kleinsten Wert aus. - Prüfe für Teil c) bei jeder Zahl beide Grenzen der Ungleichung.

Lösung

1. Von der größten zur kleinsten Zahl ergibt sich \(7>2>0>-3>-8>-12\). 2. Die beiden kleinsten Werte sind \(-12\) und danach \(-8\); die zweitkleinste Zahl ist also \(-8\). 3. Beide Grenzen \(-9<x<3\) erfüllen \(-8,-3,0,2\).

Antwort

a) \(7>2>0>-3>-8>-12\) b) \(-8\) c) \(-8;-3;0;2\)

4204415

Gegeben sind die Zahlen \(-14;9;-6;11;-3;2\). a) Welche dieser Zahlen sind kleiner als \(-4\)? b) Ordne alle Zahlen der Größe nach und verwende \(<\). c) Welche beiden gegebenen Zahlen liegen direkt links und rechts von \(-5\), wenn nur diese sechs Zahlen betrachtet werden?

Denkanstöße

- Ordne die gegebenen Zahlen zuerst vollständig. - Für Teil a) suchst du nur Werte, die links von \(-4\) liegen. - Für Teil c) prüfst du, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen \(-5\) eingeordnet würde.

Lösung

1. Kleiner als \(-4\) sind \(-14\) und \(-6\). 2. Die vollständige Reihenfolge lautet \(-14<-6<-3<2<9<11\). 3. In dieser geordneten Liste würde \(-5\) zwischen \(-6\) und \(-3\) liegen. Daher sind \(-6\) und \(-3\) die gesuchten Nachbarn innerhalb der gegebenen Auswahl.

Antwort

a) \(-14\) und \(-6\) b) \(-14<-6<-3<2<9<11\) c) \(-6\) und \(-3\)

4217445

In vier erfundenen Städten wurden an einem Wintermorgen folgende Temperaturen gemessen: Nordhafen: \(-11\,^\circ\text{C}\) Tannenried: \(-14\,^\circ\text{C}\) Sonnenfeld: \(2\,^\circ\text{C}\) Bergtal: \(-3\,^\circ\text{C}\) a) Ordne die Städte nach ihren Temperaturen, beginnend mit der kältesten Stadt. b) In Eisbruck ist es wärmer als in Tannenried, aber kälter als in Nordhafen. Gib alle möglichen ganzzahligen Temperaturen für Eisbruck an. c) Welche der vier zuerst genannten Städte haben eine Temperatur unter \(-10\,^\circ\text{C}\)?

Denkanstöße

- Kälter bedeutet auf der Zahlengeraden weiter links. - Für Teil b) suchst du ganze Zahlen strikt zwischen zwei negativen Temperaturen. - Vergleiche für Teil c) jede Temperatur direkt mit \(-10\,^\circ\text{C}\).

Lösung

1. Es gilt \(-14<-11<-3<2\). Die Reihenfolge lautet Tannenried, Nordhafen, Bergtal, Sonnenfeld. 2. Zwischen \(-14\) und \(-11\) liegen als ganze Zahlen \(-13\) und \(-12\). Das sind die beiden möglichen Temperaturen für Eisbruck. 3. Unter \(-10\,^\circ\text{C}\) liegen \(-14\,^\circ\text{C}\) und \(-11\,^\circ\text{C}\), also Tannenried und Nordhafen.

Antwort

a) Tannenried, Nordhafen, Bergtal, Sonnenfeld b) \(-13\,^\circ\text{C}\) oder \(-12\,^\circ\text{C}\) c) Tannenried und Nordhafen

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Hana Sato behauptet: „\(-9\) ist größer als \(-4\), weil \(9\) größer als \(4\) ist.“ Erkläre den Denkfehler und gib den richtigen Vergleich mit \(<\) oder \(>\) an.

Denkanstöße

- Stelle dir die beiden negativen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden vor. - Für den Größenvergleich zählt, welcher Punkt weiter rechts liegt. - Prüfe, ob die Reihenfolge der positiven Zahlen nach dem Setzen eines Minuszeichens unverändert bleibt.

Lösung

1. Hana vergleicht die positiven Zahlen \(9\) und \(4\), überträgt deren Reihenfolge aber falsch auf die negativen Zahlen. 2. Auf der Zahlengeraden liegt \(-9\) weiter links als \(-4\). 3. Deshalb ist \(-9\) kleiner als \(-4\), also \(-9<-4\).

Antwort

Der Denkfehler ist die falsche Übertragung der Reihenfolge positiver Zahlen auf negative Zahlen. Richtig ist \(-9<-4\).

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Ben behauptet: „\(-18\) ist größer als \(-7\), weil \(18>7\) gilt.“ Beurteile Bens Aussage. Vergleiche sowohl die beiden ganzen Zahlen als auch ihre Beträge und erkläre, warum daraus unterschiedliche Ordnungen entstehen.

Denkanstöße

- Trenne zwei Fragen: Welche Zahl ist größer, und welche Zahl liegt weiter von \(0\) entfernt? - Stelle dir die Positionen von \(-18\) und \(-7\) auf der Zahlengeraden vor. - Vergleiche erst danach die beiden Beträge.

Lösung

1. Auf der Zahlengeraden liegt \(-18\) links von \(-7\). Deshalb gilt \(-18<-7\). 2. Die Beträge sind \(|-18|=18\) und \(|-7|=7\); daher gilt \(|-18|>|-7|\). 3. Ben verwechselt die Größe einer negativen Zahl mit ihrer Entfernung von \(0\). Bei negativen Zahlen bedeutet der größere Betrag, dass die Zahl weiter links liegt und damit kleiner ist.

Antwort

Bens Aussage ist falsch: \(-18<-7\), aber \(|-18|>|-7|\). Er verwechselt Zahlenordnung und Abstand von \(0\).

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Gesucht sind ganze Zahlen \(x\), die zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen: 1. Der Nachfolger von \(x\) ist größer als \(-3\). 2. Der Vorgänger von \(x\) ist kleiner als \(-2\). Welche Zahlen erfüllen diese Bedingungen?

Denkanstöße

- Untersuche jede Bedingung zunächst einzeln. - Welche ganzen Zahlen haben einen Nachfolger, der größer als \(-3\) ist? - Welche ganzen Zahlen haben einen Vorgänger, der kleiner als \(-2\) ist? - Suche anschließend die Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen.

Lösung

1. Wenn der Nachfolger von \(x\) größer als \(-3\) ist, muss \(x\) größer als \(-4\) sein. Für ganze Zahlen gilt also \(x \ge -3\). 2. Wenn der Vorgänger von \(x\) kleiner als \(-2\) ist, muss \(x\) kleiner als \(-1\) sein. Für ganze Zahlen gilt also \(x \le -2\). 3. Beide Bedingungen erfüllen genau die Zahlen \(-3\) und \(-2\). 4. Überprüfung: Für \(-3\) ist der Nachfolger \(-2 > -3\) und der Vorgänger \(-4 < -2\). Für \(-2\) ist der Nachfolger \(-1 > -3\) und der Vorgänger \(-3 < -2\).

Antwort

Die Zahlen sind \(-3\) und \(-2\).

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Gegeben sind die vier Zahlen: \(-10\), \(5\), \(-2\) und \(0\). Bilde alle möglichen Ketten aus jeweils genau drei dieser Zahlen, die das Zeichen \(<\) verwenden. In jeder Kette muss die Zahl \(0\) vorkommen.

Denkanstöße

- Suche zuerst alle Kombinationen von drei Zahlen, bei denen die Null dabei ist. - Überlege dir für jede Kombination, welche Zahl die kleinste, die mittlere und die größte ist. - Wie viele negative Zahlen gibt es in deiner Auswahl? Das hilft dir zu entscheiden, ob die Null am Ende oder in der Mitte der Kette steht.

Lösung

1. Auswahl der Dreiergruppen, die die \(0\) enthalten: \(\{-10; -2; 0\}\), \(\{-10; 5; 0\}\) und \(\{-2; 5; 0\}\). 2. Ordnen der ersten Gruppe: \(-10\) ist kleiner als \(-2\), und \(-2\) ist kleiner als \(0\). Kette: \(-10 < -2 < 0\). 3. Ordnen der zweiten Gruppe: \(-10\) ist negativ (kleiner als \(0\)), \(5\) ist positiv (größer als \(0\)). Kette: \(-10 < 0 < 5\). 4. Ordnen der dritten Gruppe: \(-2\) ist negativ, \(5\) ist positiv. Kette: \(-2 < 0 < 5\).

Antwort

\(-10 < -2 < 0\) \(-10 < 0 < 5\) \(-2 < 0 < 5\)

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