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- Welche Rechenart wird durch den Punkt zwischen den Zahlen dargestellt? - Wie nennt man die Zahlen, die bei einer Malaufgabe kombiniert werden? - Hast du einen speziellen Namen für das Ergebnis einer Multiplikation gelernt?

1. Identifikation der Rechenart: Es handelt sich um eine Multiplikation. 2. Benennung der Zahlen vor dem Gleichheitszeichen: Die Zahlen \(14\) und \(6\), die miteinander multipliziert werden, heißen Faktoren (im Speziellen 1. Faktor und 2. Faktor). 3. Benennung des Ergebnisses: Das Ergebnis der Multiplikation, die Zahl \(84\), heißt Produkt.

Die Zahlen \(14\) und \(6\) heißen Faktoren. Das Ergebnis \(84\) heißt Produkt.

- Prüfe jeweils, wie oft der Divisor vollständig in die Zahl passt. - Der Rest muss immer kleiner als der Divisor sein. - Kontrolliere mit \(\text{Quotient} \cdot \text{Divisor} + \text{Rest}\), ob du wieder die Ausgangszahl erhältst.

1. Bei der Division durch \(10\) gilt: \(5420 : 10 = 542\) und \(5427 : 10 = 542\) Rest \(7\). 2. Bei der Division durch \(100\) gilt: \(19\,300 : 100 = 193\), \(19\,306 : 100 = 193\) Rest \(6\) und \(19\,340 : 100 = 193\) Rest \(40\).

a) \(542\) b) \(542\) Rest \(7\) c) \(193\) d) \(193\) Rest \(6\) e) \(193\) Rest \(40\)

- Vergleiche bei jeder Aufgabe die Größenordnung von Ausgangszahl und Ergebnis. - Überlege, wie viele Zehnerfaktoren im Divisor oder Faktor stecken. - Kontrolliere eine Division durch die passende Umkehraufgabe.

1. \(300\,000 : 100 = 3000\). 2. \(30\,000 : 10 = 3000\). 3. \(300\,000 : 1000 = 300\). 4. \(3000 \cdot 100 = 300\,000\).

a) \(3000\) b) \(3000\) c) \(300\) d) \(300\,000\)

- Zähle Reihen und Punkte pro Reihe getrennt. - Welche Multiplikation beschreibt gleich große Reihen? - Kontrolliere das Produkt mit der Gesamtzahl der sichtbaren Punkte.

1. Das Feld hat \(4\) Reihen mit je \(6\) Punkten. 2. Daher passt die Multiplikation \(4 \cdot 6\). 3. \(4 \cdot 6 = 24\).

\(4 \cdot 6 = 24\)

- Kannst du die Zahlen in kleinere, leichtere Teile zerlegen? - Bei der Division durch 4 kannst du zum Beispiel zweimal hintereinander halbieren. - Bei der Multiplikation mit 15 hilft es, erst mit 10 und dann mit 5 zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren.

1. Division: \(156 : 4 = 39\). 2. Multiplikation: \(19 \cdot 18 = 342\). 3. Division: \(441 : 9 = 49\). 4. Multiplikation: \(24 \cdot 15 = 360\).

a) \(39\) b) \(342\) c) \(49\) d) \(360\)

- Was bedeuten die Klammern in einer Matheaufgabe? - Rechne zuerst aus, was in den Klammern steht. - Nutze dein Wissen aus dem Einmaleins und dem Einsdurcheins. - Multipliziere am Ende die beiden Zwischenergebnisse miteinander.

1. Berechnung von a): \(24 : 3 = 8\) und \(12 : 3 = 4\). Multiplikation: \(8 \cdot 4 = 32\). 2. Berechnung von b): \(42 : 6 = 7\) und \(30 : 6 = 5\). Multiplikation: \(7 \cdot 5 = 35\). 3. Berechnung von c): \(64 : 8 = 8\) und \(40 : 8 = 5\). Multiplikation: \(8 \cdot 5 = 40\). 4. Berechnung von d): \(27 : 9 = 3\) und \(81 : 9 = 9\). Multiplikation: \(3 \cdot 9 = 27\).

a) \(32\) b) \(35\) c) \(40\) d) \(27\)

- Zähle zuerst, wie oft jede Zahl in der langen Plusrechnung vorkommt. - Erinnere dich daran, dass man eine wiederholte Addition derselben Zahl als Multiplikation schreiben kann. - Berechne zuerst die Malrechnungen und addiere dann die Ergebnisse.

1. Bestimmung der Häufigkeit der Summanden: Die Zahl \(14\) tritt 5-mal auf, die Zahl \(22\) tritt 4-mal auf. 2. Umwandlung in Produkte: \(5 \cdot 14\) und \(4 \cdot 22\). 3. Aufstellen der Summe aus Produkten: \(5 \cdot 14 + 4 \cdot 22\). 4. Berechnung der Teilprodukte: \(5 \cdot 14 = 70\) und \(4 \cdot 22 = 88\). 5. Addition der Ergebnisse: \(70 + 88 = 158\).

\(5 \cdot 14 + 4 \cdot 22 = 158\)

- Was passiert, wenn du versuchst, Äpfel an null Personen zu verteilen? - Achte genau darauf, an welcher Stelle in der Divisionsaufgabe die Null steht. - Berechne immer zuerst die Ausdrücke in den Klammern, bevor du die Division ausführst. - Gibt es einen Unterschied, ob die Null vorne (Dividend) oder hinten (Divisor) steht?

1. Term a): \(0 : 452 = 0\). Die Division von Null durch eine Zahl ungleich Null ist erlaubt und ergibt immer Null. 2. Term b): Nicht berechenbar. Die Division durch die Zahl Null ist in der Mathematik nicht definiert. 3. Term c): \((12 - 12) : 12 = 0 : 12 = 0\). Da zuerst die Klammer berechnet wird, steht im Dividenden eine Null. Dies ist zulässig. 4. Term d): Nicht berechenbar. Die Klammer ergibt \(12 - 12 = 0\). Damit müsste durch Null dividiert werden, was nicht erlaubt ist.

a) Berechenbar, Wert ist \(0\). b) Nicht berechenbar, da Division durch \(0\) nicht erlaubt ist. c) Berechenbar, Wert ist \(0\). d) Nicht berechenbar, da der Divisor \(0\) ergibt.

- Weißt du noch, welche Rechenart mit dem Begriff Produkt gemeint ist? - Erinnerst du dich an die Fachbezeichnung für das Ergebnis einer Division? - Führe die Rechenschritte nacheinander aus, so wie sie im Text stehen.

1. Berechnung des Produkts für Aufgabenteil a): \(240 \cdot 5 = 1200\). 2. Berechnung des Quotienten für Aufgabenteil b): \(800 : 4 = 200\). 3. Durchführung der Subtraktion: \(200 - 150 = 50\).

a) \(1200\) b) \(50\)

- Kannst du die Sätze in eine Rechenaufgabe mit einem Platzhalter übersetzen? - Überlege, wie man eine Malaufgabe mit einer Geteiltaufgabe überprüfen oder umkehren kann. - Wenn \(420 : \square = 6\) gilt, welche Zahl passt dann in das Kästchen?

1. Um den gesuchten Faktor in Aufgabenteil a) zu finden, wird die Umkehroperation angewendet: \(960 : 8 = 120\). 2. Um den Divisor in Aufgabenteil b) zu finden, wird der Dividend durch den Quotienten geteilt: \(420 : 6 = 70\).

a) \(120\) b) \(70\)

- Welche Rechenart wird durch das Symbol \(\cdot\) dargestellt? - Überlege, ob in den Geschichten etwas dazukommt, weggenommen wird oder ob Mengen vervielfacht werden. - Rechne schrittweise, indem du eine der Zahlen zerlegst.

1. Die Operation \(15 \cdot 12\) beschreibt eine Vervielfachung oder das Bestimmen einer Gesamtmenge aus gleichen Gruppen. 2. Lukas beschreibt eine Anordnung von \(15\) Gruppen zu je \(12\) Objekten, was einer Multiplikation entspricht. Marie beschreibt eine Differenz (Subtraktion). 3. Berechnung des Produkts: \(15 \cdot 12 = 15 \cdot 10 + 15 \cdot 2 = 150 + 30 = 180\).

Lukas hat die passende Geschichte geschrieben. Das Ergebnis ist \(180\).

- In welcher Reihenfolge stehen Dividend und Divisor in einer Geteiltaufgabe? - Welcher Fachbegriff gehört zu welcher Stelle in der Division? - Wie nennt man das Ergebnis, wenn man zwei Zahlen dividiert?

1. Aufstellen der Rechnung: Der Dividend steht vorne, der Divisor nach dem Geteiltzeichen, also \(126 : 9\). 2. Durchführung der Division: \(126 : 9 = 14\). 3. Bestimmung des Fachbegriffs: Das Ergebnis einer Division heißt Quotient.

Die Rechnung lautet \(126 : 9 = 14\). Das Ergebnis heißt Quotient.

- Rechne zuerst beide Aufgaben aus und schaue dir die Ergebnisse an. - Wie oft passt die \(120\) in die \(480\)? Und wie oft die \(10\) in die \(40\)? - Was bedeutet es für ein Ergebnis, wenn man sowohl das, was man verteilt, als auch die Anzahl der Anteile im gleichen Maße vergrößert?

1. Laras Ergebnis berechnen: \(480 : 40 = 12\). 2. Vergleich: Laras Dividend (\(480\)) ist das Vierfache von Jans Dividend (\(120 \cdot 4 = 480\)). Laras Divisor (\(40\)) ist ebenfalls das Vierfache von Jans Divisor (\(10 \cdot 4 = 40\)). 3. Erklärung: Wenn sowohl der Dividend als auch der Divisor mit derselben Zahl multipliziert werden (hier mit \(4\)), bleibt der Quotient unverändert. Dies nennt man die Konstanz des Quotienten.

a) Laras Ergebnis ist \(12\). b) Sowohl der Dividend als auch der Divisor wurden bei Lara im Vergleich zu Jan vervierfacht. c) Wenn man den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert des Quotienten nicht.

- Bei der Multiplikation mit Zehnerzahlen wie \(60\) kannst du zuerst mit \(6\) multiplizieren und dann eine Null anhängen. - Bei der Division durch Zehnerzahlen wie \(70\) kannst du im ersten Schritt bei beiden Zahlen eine Null streichen. - Achte beim schriftlichen Rechnen genau auf den Übertrag.

1. Multiplikation mit \(8\): \(450 \cdot 8 = 3600\); \(1205 \cdot 8 = 9640\); \(30\,040 \cdot 8 = 240\,320\). 2. Division durch \(4\): \(960 : 4 = 240\); \(4836 : 4 = 1209\); \(56\,008 : 4 = 14\,002\). 3. Multiplikation mit \(60\): \(250 \cdot 60 = 15\,000\); \(1500 \cdot 60 = 90\,000\); \(12\,300 \cdot 60 = 738\,000\). 4. Division durch \(70\): \(3500 : 70 = 50\); \(42\,000 : 70 = 600\); \(210\,000 : 70 = 3000\).

a) \(3600\); \(9640\); \(240\,320\) b) \(240\); \(1209\); \(14\,002\) c) \(15\,000\); \(90\,000\); \(738\,000\) d) \(50\); \(600\); \(3000\)

- Stelle dir vor, du bildest immer Gruppen zu \(10\). Wie hängt die Anzahl voller Gruppen mit der Division zusammen? - Prüfe bei Zahlen, die nicht glatt durch \(10\) teilbar sind, was nach den vollständigen Gruppen übrig bleibt. - Kontrolliere deine Ergebnisse, indem du volle Schachteln und übrige Bleistifte wieder zusammensetzt.

1. Berechnung der Schachtelanzahl für \(860\) Bleistifte: \(860 : 10 = 86\). 2. Berechnung der Schachtelanzahl für \(2400\) Bleistifte: \(2400 : 10 = 240\). 3. Division mit Rest für \(347\) Bleistifte: \(347 : 10 = 34\) Rest \(7\). Es können \(34\) Schachteln gefüllt werden, \(7\) Stifte bleiben übrig. 4. Bestimmung des Rests für \(1005\) Bleistifte: \(1005 : 10 = 100\) Rest \(5\). Es bleiben \(5\) Bleistifte übrig.

a) \(86\) Schachteln b) \(240\) Schachteln c) \(34\) Schachteln werden voll, \(7\) Bleistifte bleiben übrig d) \(5\) Bleistifte bleiben übrig

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie durch \(10\) oder \(100\) teilt? - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts. - Kannst du die Nullen beim Teilen geschickt nutzen? - Zerlege bei der Division durch \(3\) oder \(4\) die Zahl so, dass sich die von null verschiedenen Teile leicht teilen lassen.

1. Bei a) gilt zuerst \(400\,000 : 10 = 40\,000\), dann \(40\,000 : 10 = 4000\) und schließlich \(4000 : 4 = 1000\). 2. Bei b) gilt zuerst \(90\,000 : 10 = 9000\), dann \(9000 : 3 = 3000\) und schließlich \(3000 : 10 = 300\). 3. Bei c) gilt zuerst \(1\,000\,000 : 100 = 10\,000\), dann \(10\,000 : 10 = 1000\) und schließlich \(1000 : 10 = 100\).

a) \(1000\) b) \(300\) c) \(100\)

- Rechne zuerst alle bereits festgelegten Schritte aus. - Wenn eine Lücke vor einem bekannten Endwert steht, kannst du auch vom Endwert rückwärts denken. - Prüfe jede eingesetzte Zahl anschließend in der vollständigen Kettenrechnung.

1. Bei a) gilt zuerst \(280\,000 : 10 = 28\,000\). Von \(28\,000\) zu \(2800\) wird noch einmal durch \(10\) geteilt. 2. Bei b) kann rückwärts gerechnet werden: Vor der letzten Division durch \(10\) muss \(4500\) stehen. Damit gilt \(450\,000 : 100 = 4500\). 3. Bei c) gilt \(1\,000\,000 : 10 : 10 = 10\,000\). Von \(10\,000\) zu \(100\) wird durch \(100\) geteilt.

a) \(10\) b) \(100\) c) \(100\)

- Vergleiche Ausgangswert und Zielwert: Um welchen Faktor unterscheiden sie sich? - Prüfe, ob der gesuchte Faktor die Zahl vergrößern oder verkleinern muss. - Setze deinen Kandidaten in die vollständige Rechnung ein und kontrolliere das Ergebnis.

1. \(50\,000 : 100 = 500\). 2. \(500 \cdot 1000 = 500\,000\). 3. \(500\,000 : 10 = 50\,000\). 4. \(5000 \cdot 10 = 50\,000\).

a) \(100\) b) \(1000\) c) \(10\) d) \(10\)

- Achte darauf, ob durch \(100\) oder \(1000\) geteilt wird. - Bei einer Division mit Rest muss der Rest kleiner als der Divisor sein. - Für die rückwärts gestellte Aufgabe kannst du Quotient, Divisor und Rest wieder zur Ausgangszahl zusammensetzen.

1. \(34\,500 : 100 = 345\). 2. \(6780 : 100 = 67\) Rest \(80\). 3. \(125\,000 : 1000 = 125\). 4. Für d) wird die Ausgangszahl mit der Umkehraufgabe bestimmt: \(8 \cdot 100 + 15 = 815\). 5. \(89\,432 : 1000 = 89\) Rest \(432\).

a) \(345\) b) \(67\;\text{Rest}\;80\) c) \(125\) d) \(815\) e) \(89\;\text{Rest}\;432\)

- Welche Grundaufgabe steckt in Teil a), und welche Stellenwerte kommen zusätzlich vor? - Bei Teil b): Kannst du Dividend und Divisor durch denselben Stellenwertfaktor teilen? - Bei Teil c): Welche nahe Hunderterzahl macht die Multiplikation leichter?

1. a) \(600\cdot4000=6\cdot4\cdot100\cdot1000=24\cdot100\,000=2\,400\,000\). 2. b) Dividend und Divisor werden beide durch \(100\) geteilt: \(48\,000:800=480:8=60\). 3. c) \(802\cdot300=(800+2)\cdot300=240\,000+600=240\,600\).

a) \(600\cdot4000=6\cdot4\cdot100\cdot1000=2\,400\,000\) b) \(48\,000:800=480:8=60\) c) \(802\cdot300=(800+2)\cdot300=240\,600\)

- Wie viel Cent sind \(0{,}12\,\text{€}\)? - Zähle nach, wie oft der Betrag von \(12\,\text{ct}\) insgesamt in der Aufgabe vorkommt. - Kannst du die ganze Aufgabe mit einer einzigen Malrechnung lösen?

1. Umrechnung der Euro-Beträge in Cent: \(0{,}12\,\text{€} = 12\,\text{ct}\). 2. Zählen der Summanden mit dem Wert \(12\,\text{ct}\): Es sind insgesamt \(5 + 2 = 7\) Summanden. 3. Aufstellen des Produkts: \(7 \cdot 12\,\text{ct}\). 4. Berechnung des Endbetrags: \(84\,\text{ct}\).

\(7 \cdot 12\,\text{ct} = 84\,\text{ct}\) (oder \(0{,}84\,\text{€}\))

- Überlege, was bei jedem einzelnen Faktor \(10\) oder \(100\) mit dem Stellenwert geschieht. - Kannst du die Stufenzahlen zuerst zu einem einzigen Faktor zusammenfassen? - Vergleiche am Ende, ob beide Wege zum selben Ergebnis führen.

1. Schrittweise ergibt sich \(52 \cdot 10 = 520\), dann \(520 \cdot 10 = 5200\) und schließlich \(5200 \cdot 10 = 52\,000\). Zusammengefasst gilt \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\), also \(52 \cdot 1000 = 52\,000\). 2. Schrittweise ergibt sich \(81 \cdot 100 = 8100\) und \(8100 \cdot 100 = 810\,000\). Zusammengefasst gilt \(100 \cdot 100 = 10\,000\), also \(81 \cdot 10\,000 = 810\,000\). 3. Schrittweise ergibt sich \(125 \cdot 10 = 1250\) und \(1250 \cdot 100 = 125\,000\). Zusammengefasst gilt \(10 \cdot 100 = 1000\), also \(125 \cdot 1000 = 125\,000\).

a) Schrittweise: \(52 \cdot 10 = 520\), \(520 \cdot 10 = 5200\), \(5200 \cdot 10 = 52\,000\); zusammengefasst: \(52 \cdot 1000 = 52\,000\). b) Schrittweise: \(81 \cdot 100 = 8100\), \(8100 \cdot 100 = 810\,000\); zusammengefasst: \(81 \cdot 10\,000 = 810\,000\). c) Schrittweise: \(125 \cdot 10 = 1250\), \(1250 \cdot 100 = 125\,000\); zusammengefasst: \(125 \cdot 1000 = 125\,000\).

- Rechne in jeder Tabellenzeile die beiden Divisionen nacheinander aus. - Vergleiche das zweite Ergebnis mit der Ausgangszahl: Welcher Gesamtfaktor wurde durch zweimaliges Teilen durch \(10\) erreicht? - Kontrolliere eine Zeile rückwärts durch zweimaliges Multiplizieren mit \(10\).

1. \(45\,000 : 10 = 4500\), dann \(4500 : 10 = 450\). 2. \(12\,300 : 10 = 1230\), dann \(1230 : 10 = 123\). 3. \(800 : 10 = 80\), dann \(80 : 10 = 8\). 4. \(7000 : 10 = 700\), dann \(700 : 10 = 70\).

Zeile 1: \(4500\), \(450\) Zeile 2: \(1230\), \(123\) Zeile 3: \(80\), \(8\) Zeile 4: \(700\), \(70\)

- Kannst du die Aufgabe auf eine einfachere Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins zurückführen? - Welche Stellenwerte stecken in Zahlen wie \(40\) und \(70\)? - Bei einer Division kannst du prüfen, ob sich Dividend und Divisor durch denselben Faktor vereinfachen lassen.

1. \(4 \cdot 7 = 28\), also \(4 \cdot 70 = 280\). 2. \(28 : 4 = 7\), also \(280 : 4 = 70\). 3. \(4 \cdot 7 = 28\); wegen der beiden Zehnerfaktoren gilt \(40 \cdot 70 = 2800\). 4. Dividend und Divisor werden beide durch \(10\) geteilt: \(2800 : 70 = 280 : 7 = 40\). Der Quotient bleibt dabei unverändert.

(1) \(4\cdot7=28\), daher \(4\cdot70=280\) (2) \(28:4=7\), daher \(280:4=70\) (3) \(4\cdot7=28\) und zwei Zehnerfaktoren, daher \(40\cdot70=2800\) (4) \(2800:70=280:7=40\), weil Dividend und Divisor durch \(10\) geteilt werden

- Lies die Gesamtzahl und die Struktur der Reihen direkt aus dem Punktfeld ab. - Welche beiden abgelesenen Größen brauchst du für die Division? - Die gesuchte Anzahl der Gruppen erhältst du mit einer Division.

1. Aus der Abbildung liest du \(30\) Punkte insgesamt und \(5\) Punkte pro Reihe ab. 2. Die Zahl der Reihen erhältst du durch Division der Gesamtzahl durch die Punkte pro Reihe. 3. Daher gilt \(30 : 5 = 6\). Es sind \(6\) Reihen.

Gesamtzahl: \(30\) Punkte Punkte pro Reihe: \(5\) \(30 : 5 = 6\); das Feld hat \(6\) Reihen.

- Rechne zuerst beide Seiten der Aufgabe einzeln aus. - Notiere dir die Zwischenergebnisse, um sie besser vergleichen zu können. - Überlege dir bei der Multiplikation mit 11 einen Rechentrick.

1. Berechnung von \(378 : 6 = 63\) und \(14 \cdot 4 = 56\). Da \(63 > 56\), ist das Ergebnis \(>\). 2. Berechnung von \(26 \cdot 11 = 286\) und \(858 : 3 = 286\). Da \(286 = 286\), ist das Ergebnis \(=\). 3. Berechnung von \(168 : 7 = 24\) und \(5 \cdot 5 = 25\). Da \(24 < 25\), ist das Ergebnis \(<\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(<\)

- Es hilft, wenn du die gleichen Zahlen in der Liste markierst oder sie erst einmal sortiert untereinander schreibst. - Achte darauf, dass du beim Zählen keine Zahl vergisst oder doppelt nimmst. - Wie viele verschiedene Zahlen kommen in der Rechnung vor? Für jede dieser Zahlen erhältst du ein Produkt.

1. Sortieren und Zählen der gleichen Zahlen: Die \(9\) kommt 4-mal vor, die \(13\) kommt 3-mal vor und die \(11\) kommt 2-mal vor. 2. Formulierung als Summe von Produkten: \(4 \cdot 9 + 3 \cdot 13 + 2 \cdot 11\). 3. Berechnung der einzelnen Produkte: \(4 \cdot 9 = 36\), \(3 \cdot 13 = 39\) und \(2 \cdot 11 = 22\). 4. Summieren der Teilwerte: \(36 + 39 + 22 = 75 + 22 = 97\).

\(4 \cdot 9 + 3 \cdot 13 + 2 \cdot 11 = 97\)

- Fällt dir bei der Anzahl der beiden Zahlen etwas Besonderes auf? - Wenn zwei Produkte den gleichen Faktor haben, kannst du die anderen beiden Zahlen zuerst addieren. - Gibt es eine Zahl, die in der 5er-Reihe besonders einfach zu rechnen ist, wenn du die Summanden kombinierst?

1. Identifikation der Anzahlen: Die \(18\) kommt 5-mal vor, die \(12\) kommt ebenfalls 5-mal vor. 2. Darstellung als Summe von Produkten: \(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12\). 3. Anwendung eines Rechenvorteils (Distributivgesetz): Da beide Faktoren gleich sind, kann man rechnen \(5 \cdot (18 + 12)\). 4. Berechnung der Klammer: \(18 + 12 = 30\). 5. Finales Ergebnis: \(5 \cdot 30 = 150\). Alternativ durch Einzelberechnung: \(90 + 60 = 150\).

\(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12 = 150\)

- Welche Faktoren kannst du so umordnen und verbinden, dass \(100\) entsteht? - Nutze bei Zehner- und Hunderterfaktoren ihr Stellenwertmuster. - Prüfe bei einer Division, ob Dividend und Divisor durch denselben Faktor geteilt werden können.

1. a) \((4\cdot25)\cdot19=100\cdot19=1900\). 2. b) \(8\cdot6=48\); mit den Stellenwerten der Faktoren folgt \(80\cdot600=48\,000\). 3. c) Dividend und Divisor werden beide durch \(10\) geteilt: \(54\,000:90=5400:9=600\). Der Quotient bleibt beim gemeinsamen Teilen unverändert. 4. d) \((2\cdot50)\cdot37=100\cdot37=3700\).

a) \((4\cdot25)\cdot19=100\cdot19=1900\) b) \(8\cdot6=48\), daher \(80\cdot600=48\,000\) c) \(54\,000:90=5400:9=600\) d) \((2\cdot50)\cdot37=100\cdot37=3700\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, Punkt- vor Strichrechnung). - Überprüfe nach jedem Zwischenschritt in der Klammer, ob das Ergebnis der Klammer Null ist. - Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch Null?

1. Term a): Klammerinhalt berechnen: \(25 \cdot 2 - 50 = 50 - 50 = 0\). Es müsste \(750 : 0\) gerechnet werden. Ergebnis: nicht definiert, da Division durch Null. 2. Term b): Klammerinhalt berechnen: \(25 \cdot 2 - 50 = 0\). Rechnung: \(0 : 750 = 0\). Ergebnis: \(0\). 3. Term c): Innere Klammer: \(15 - 10 = 5\). Eckige Klammer: \(30 : 5 = 6\). Gesamtrechnung: \(120 : 6 = 20\). Ergebnis: \(20\). 4. Term d): Innere Klammer: \(30 - 10 = 20\). Ausdruck in eckiger Klammer: \(20 : 4 - 5 = 5 - 5 = 0\). Es müsste \(120 : 0\) gerechnet werden. Ergebnis: nicht definiert, da Division durch Null.

a) nicht definiert (Division durch \(0\)) b) \(0\) c) \(20\) d) nicht definiert (Division durch \(0\))

- Rechne die Beispiele erst einmal ganz normal aus. - Schau dir das Ergebnis von Beispiel 1 genau an. Passt es zu einer der beiden Vorhersagen von Lukas? - Denke daran, dass eine Null in einer Summe den Wert des Summanden nicht verändert.

1. Term 1: \((15 + 0) : 3 = 15 : 3 = 5\). Der Term ist definiert und hat den Wert \(5\); damit ist die Behauptung für diesen Fall falsch. 2. Term 2: \(0 : (24 : 6) = 0 : 4 = 0\). Hier ist das Ergebnis \(0\), was zur Behauptung passt. 3. Term 3: Klammer berechnen: \(12 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0\). Der Term \(48 : 0\) ist nicht definiert, da durch \(0\) dividiert würde. Dieser Fall entspricht der Behauptung.

Die Behauptung ist falsch. Beispiel 1 ist definiert und ergibt \(5\). Beispiel 2 ergibt \(0\). Beispiel 3 ist nicht definiert, da der Divisor \(0\) ist.

- Welche Rechenart verbirgt sich hinter dem Wort Differenz? - Berechne zuerst die beiden Teile der Aufgabe einzeln. - Verknüpfe am Ende deine beiden Zwischenergebnisse mit der im Text genannten Rechenoperation.

1. Berechnung der Differenz (Subtraktion): \(45 - 37 = 8\). 2. Berechnung des Quotienten (Division): \(120 : 3 = 40\). 3. Multiplikation der beiden Teilergebnisse: \(8 \cdot 40 = 320\).

\(320\)

- Was bedeutet das Geteilt-Zeichen in einer Erzählung? Geht es um das Aufteilen oder Verteilen? - Wie hängen Division und Multiplikation zusammen? - Kennst du eine Quadratzahl, die dir hier weiterhelfen könnte?

1. Eine passende Sachaufgabe könnte das Verteilen einer Gesamtmenge beschreiben, zum Beispiel: „144 Eier werden gleichmäßig auf Kartons verteilt, sodass in jedem Karton 12 Eier liegen. Wie viele Kartons werden benötigt?“ 2. Um den Platzhalter zu berechnen, wird die Umkehroperation oder die Division \(144 : 12\) durchgeführt. 3. Rechnung: \(144 : 12 = 12\), da \(12 \cdot 12 = 144\).

Beispiel für eine Sachaufgabe: „Herr Carvalho verteilt \(144\) Arbeitsblätter so, dass jedes Kind \(12\) Blätter erhält. Wie viele Kinder sind in der Klasse?“ Die gesuchte Zahl ist \(12\).

- Kannst du zuerst die Zahl finden, die mit \(12\) multipliziert \(72\) ergibt? - Welche Rolle spielt die gefundene Zahl in der zweiten Rechnung? - Erinnere dich an den Aufbau einer Division, um den Quotienten zu bestimmen.

1. Berechnung des fehlenden Faktors: Da \(12 \cdot \text{Faktor} = 72\) ist, berechnet man \(72 : 12 = 6\). Der gesuchte Faktor ist \(6\). 2. Aufstellen der Divisionsaufgabe: Die Zahl \(54\) ist der Dividend und die \(6\) ist der Divisor, also \(54 : 6\). 3. Berechnung des Quotienten: \(54 : 6 = 9\).

Der Quotient lautet \(9\).

- Was passiert mit dem Quotienten, wenn nur der Dividend durch einen festen Faktor kleiner wird? - Was passiert bei gleichem Dividend, wenn der Divisor kleiner wird? - Probiere die Änderungen an einer einfachen Division aus, bei der alle Zwischenschritte natürliche Zahlen bleiben.

1. Wird bei gleichbleibendem Divisor der Dividend durch \(4\) geteilt, wird der Quotient ein Viertel so groß: \(100 : 4 = 25\). Der Wert viertelt sich. 2. Wird bei gleichbleibendem Dividend der Divisor durch \(5\) geteilt, wird der Quotient fünfmal so groß: \(100 \cdot 5 = 500\). Der Wert verfünffacht sich. 3. Die Verdopplung des Dividenden verdoppelt den Quotienten. Die Halbierung des Divisors verdoppelt ihn nochmals. Insgesamt gilt \(100 \cdot 2 \cdot 2 = 400\). Der Wert vervierfacht sich.

a) Der Quotient wird ein Viertel so groß; er beträgt \(25\). b) Der Quotient wird fünfmal so groß; er beträgt \(500\). c) Der Quotient wird viermal so groß; er beträgt \(400\).

- Überlege zuerst, wie sich eine Veränderung nur eines Faktors auf das Produkt auswirkt. - Betrachte in b) die Verzehnfachung und die Halbierung nacheinander. - Mit kleinen geraden Beispielwerten kannst du prüfen, ob deine allgemeine Aussage passt.

1. Da nur der erste Faktor mit \(4\) multipliziert wird, vervierfacht sich das Produkt. 2. Die Verzehnfachung des ersten Faktors verzehnfacht das Produkt. Die gleichzeitige Halbierung des zweiten Faktors halbiert es wieder. Da \(10 : 2 = 5\), verfünffacht sich das Produkt insgesamt. 3. Werden beide Faktoren verdreifacht, wird das Produkt mit \(3 \cdot 3 = 9\) vervielfacht. Es verneunfacht sich.

a) Das Produkt vervierfacht sich. b) Das Produkt verfünffacht sich. c) Das Produkt verneunfacht sich.

- Vergleiche jeden Faktor mit dem entsprechenden Faktor in \(12 \cdot 15\). - Wenn nur ein Faktor verändert wird und der andere gleich bleibt, überlege, wie sich dieselbe Vervielfachung oder Teilung auf das Produkt auswirkt. - Wenn beide Faktoren verändert werden, betrachte beide Wirkungen nacheinander und prüfe, ob sie sich verstärken oder ausgleichen.

1. a) Der erste Faktor wird verdoppelt, der zweite bleibt gleich. Daher verdoppelt sich das Produkt: \(180 \cdot 2 = 360\). 2. b) Der zweite Faktor wird verdreifacht, der erste bleibt gleich. Daher verdreifacht sich das Produkt: \(180 \cdot 3 = 540\). 3. c) Der erste Faktor wird halbiert und der zweite verdoppelt. Diese beiden Änderungen gleichen sich aus, daher bleibt das Produkt \(180\). 4. d) Der erste Faktor wird durch \(3\) geteilt, der zweite bleibt gleich. Daher wird auch das Produkt durch \(3\) geteilt: \(180 : 3 = 60\).

a) \(360\) (erster Faktor verdoppelt) b) \(540\) (zweiter Faktor verdreifacht) c) \(180\) (erster Faktor halbiert, zweiter verdoppelt) d) \(60\) (erster Faktor durch \(3\) geteilt)

- Wie hängen Dividend, Divisor, Quotient und Rest zusammen? - Kann ein Rest größer oder gleich dem Divisor sein? - Überlege dir zuerst eine Zahl für den Divisor und rechne dann rückwärts.

1. Bedingung für den Rest prüfen: Der Divisor \(b\) muss immer größer als der Rest sein, also \(b > 4\). 2. Mögliche Divisoren wählen, zum Beispiel \(5\), \(10\) und \(20\). 3. Dividenden \(a\) berechnen mit der Formel \(a = \text{Divisor} \cdot \text{Quotient} + \text{Rest}\). 4. Für \(b = 5\): \(5 \cdot 9 + 4 = 49\). Die Aufgabe lautet \(49 : 5 = 9\,\text{Rest}\,4\). 5. Für \(b = 10\): \(10 \cdot 9 + 4 = 94\). Die Aufgabe lautet \(94 : 10 = 9\,\text{Rest}\,4\). 6. Für \(b = 20\): \(20 \cdot 9 + 4 = 184\). Die Aufgabe lautet \(184 : 20 = 9\,\text{Rest}\,4\). 7. Begründung: Der Divisor muss größer als der Rest \(4\) sein, da der Rest sonst mindestens noch einmal durch den Divisor geteilt werden könnte.

Drei mögliche Aufgaben sind: \(49 : 5 = 9\,\text{Rest}\,4\), \(94 : 10 = 9\,\text{Rest}\,4\) und \(184 : 20 = 9\,\text{Rest}\,4\). Der Divisor muss immer größer als der Rest (hier \(4\)) sein.

- Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt das Zielergebnis? - Was passiert mit einem Produkt, wenn du beide Faktoren verdoppelst? - Schreibe die neue Rechnung Schritt für Schritt auf.

1. Teilaufgabe a): Gesucht ist eine Zahl \(x\), für die gilt \(x \cdot x = 64\). Da \(8 \cdot 8 = 64\), ist der Divisor \(8\) und der Quotient \(8\). Die Aufgabe lautet \(64 : 8 = 8\). 2. Teilaufgabe b): Verdopplung von Divisor und Quotient ergibt \(8 \cdot 2 = 16\). 3. Berechnung des neuen Dividenden: \(16 \cdot 16 = 256\). 4. Vergleich der Dividenden: \(256 : 64 = 4\). Der Dividend vervierfacht sich.

a) Die Aufgabe lautet \(64 : 8 = 8\). b) Der neue Dividend ist \(256\). Er ist viermal so groß wie der ursprüngliche Dividend.

- Finde zunächst einige Beispiele für Aufgaben, bei denen \(10\) herauskommt. - Wie kannst du zu einem gewählten positiven Divisor den passenden Dividenden bestimmen? - Gibt es eine größte positive natürliche Zahl?

1. Wähle eine beliebige positive natürliche Zahl als Divisor. 2. Der passende Dividend entsteht, indem du diesen Divisor mit \(10\) multiplizierst. 3. Beispiele: \(10 : 1 = 10\), \(20 : 2 = 10\), \(50 : 5 = 10\), \(100 : 10 = 10\). 4. Da es unendlich viele positive natürliche Zahlen gibt, kann man immer weitere Divisoren wählen. Deshalb gibt es unendlich viele solche Divisionsaufgaben.

Es gibt unendlich viele solche Aufgaben. Zu jedem positiven Divisor passt ein Dividend, der zehnmal so groß ist.

- Berechne zuerst die Werte auf beiden Seiten der Lücke getrennt. - Bei Multiplikationen mit Zehner- oder Hunderterzahlen kannst du auf die Stellenwerte der Faktoren achten. - Bei einer Division darfst du Dividend und Divisor durch denselben Faktor teilen; der Quotient bleibt dann gleich.

1. a) \(400 \cdot 30 = 12\,000\) und \(120\,000 : 100 = 1200\). Daher gilt \(12\,000 > 1200\). 2. b) \(15 \cdot 4000 = 60\,000\) und \(300 \cdot 20 = 6000\). Daher gilt \(60\,000 > 6000\). 3. c) \(81\,000 : 90 = 900\) und \(90 \cdot 10 = 900\). Daher gilt \(900 = 900\). 4. d) \(2500 \cdot 40 = 100\,000\) und \(500\,000 : 5 = 100\,000\). Daher gilt \(100\,000 = 100\,000\).

a) \(>\) b) \(>\) c) \(=\) d) \(=\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und nutze das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt für die nächste Rechnung. - Bei der Division durch \(400\) kannst du zwei Nullen bei beiden Zahlen streichen, bevor du rechnest. - Überlege dir für die Multiplikation mit \(12\), ob du \(12\) in \(10 + 2\) zerlegen und die beiden Teilprodukte addieren kannst.

1. Division: \(1200 : 6 = 200\). 2. Multiplikation: \(200 \cdot 50 = 10\,000\). 3. Division: \(10\,000 : 400 = 100 : 4 = 25\). 4. Multiplikation: \(25 \cdot 12 = 300\). Das Endergebnis ist \(300\).

\(300\)

- Durch welchen gemeinsamen Faktor kannst du Dividend und Divisor teilen, ohne den Quotienten zu verändern? - Welche kleinere Division entsteht dadurch? - Welche Multiplikation muss bei der Probe wieder den ursprünglichen Dividenden ergeben?

1. Dividend und Divisor werden beide durch \(100\) geteilt: \(522\,000:1800=5220:18\). Der Quotient bleibt dadurch unverändert. 2. \(5220:18=290\). 3. Probe: \(290\cdot1800=522\,000\).

Vereinfachung: \(522\,000:1800=5220:18\) Quotient: \(290\) Probe: \(290\cdot1800=522\,000\)

- Schau dir die Einheiten genau an. Kannst du sie alle in dieselbe Einheit umrechnen? - Was fällt dir auf, wenn du alle Zahlenwerte in der gleichen Einheit vergleichst? - Wie oft kommt derselbe Wert in der Rechnung vor? - Erinnere dich daran, wie man eine wiederholte Plusrechnung mit derselben Zahl kürzer aufschreiben kann.

1. Umwandlung aller Summanden in die Einheit Gramm: \(250\,000\,\text{mg} = 250\,\text{g}\) und \(0{,}25\,\text{kg} = 250\,\text{g}\). 2. Feststellen, dass alle 5 Summanden den gleichen Wert haben: \(250\,\text{g} + 250\,\text{g} + 250\,\text{g} + 250\,\text{g} + 250\,\text{g}\). 3. Aufstellen des Produkts: \(5 \cdot 250\,\text{g}\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(1250\,\text{g}\) (entspricht \(1{,}25\,\text{kg}\)).

\(5 \cdot 250\,\text{g} = 1250\,\text{g}\) (oder \(1{,}25\,\text{kg}\))

- Rechne zunächst den Teil aus, dessen Faktoren schon feststehen. - Vergleiche danach den erreichten Wert mit dem Zielwert. - Prüfe in d), ob sich nur die Reihenfolge derselben Faktoren geändert hat.

1. Bei a) gilt \(37 \cdot 10 \cdot 10 = 3700\). Deshalb ist \(\Box = 10\). 2. Bei b) gilt \(5 \cdot 100 = 500\). Deshalb ist \(\Box = 100\). 3. Bei c) gilt \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000\). Deshalb ist \(\Box = 10\,000\). 4. Bei d) ergeben beide Rechnungen \(22\,000\), weil nur die Reihenfolge der Faktoren \(10\) und \(100\) vertauscht wird.

a) \(\Box = 10\) b) \(\Box = 100\) c) \(\Box = 10\,000\) d) Ja. Beide Ergebnisse sind \(22\,000\).

- Achte genau auf den Unterschied zwischen „vergrößern um“ (Plusrechnung) und „vervielfachen“ (Malrechnung). - Schreibe dir die neuen Zahlen für den zweiten Schritt zuerst einzeln auf. - Subtrahiere am Ende das kleinere vom größeren Ergebnis, um den Unterschied zu finden.

1. Berechnung des ursprünglichen Produkts: \(120 \cdot 40 = 4800\). 2. Bestimmung der neuen Faktoren: \(120 + 20 = 140\) und \(40 - 20 = 20\). 3. Berechnung des neuen Produkts: \(140 \cdot 20 = 2800\). 4. Differenzbildung zum Vergleich: \(4800 - 2800 = 2000\).

a) Das Produkt ist \(4800\). b) Das neue Produkt ist \(2800\). c) Der Wert hat sich um \(2000\) verringert.

- Rechne zuerst die Inhalte der beiden Klammern getrennt aus. - Achte bei der zweiten Klammer darauf, die Sekunden in Minuten umzurechnen. - Welche mathematische Grundregel kennst du für die Division durch die Zahl Null?

1. Berechnung der ersten Klammer: Die Summe der Längen ergibt \(12\,\text{m} + 8\,\text{m} = 20\,\text{m}\). 2. Berechnung der zweiten Klammer: Zuerst werden die Einheiten angeglichen. Da \(2700\,\text{s} : 60 = 45\,\text{min}\) gilt, lautet die Rechnung \(45\,\text{min} - 45\,\text{min} = 0\,\text{min}\). 3. Division prüfen: Der gesamte Ausdruck führt zur Rechnung \(20\,\text{m} : 0\,\text{min}\). Eine Division durch den Wert Null ist mathematisch nicht erlaubt und führt zu keinem Ergebnis.

Der Wert kann nicht bestimmt werden, da der Divisor (der Wert der zweiten Klammer) Null ergibt. Eine Division durch Null ist nicht möglich.

- Überlege, wie oft der Divisor in die erste Ziffer oder die ersten zwei Ziffern des Dividenden passt. - Notiere dir bei jedem Schritt den verbleibenden Rest, bevor du die nächste Ziffer „herunterholst“. - Wenn eine Zahl genau teilbar ist, ist der Rest Null.

1. Division von \(148\) durch \(6\): \(14 : 6 = 2\) Rest \(2\); \(28 : 6 = 4\) Rest \(4\). Ergebnis: \(24 \, \text{Rest} \, 4\). 2. Division von \(255\) durch \(5\): \(25 : 5 = 5\); \(5 : 5 = 1\). Ergebnis: \(51\). 3. Division von \(314\) durch \(8\): \(31 : 8 = 3\) Rest \(7\); \(74 : 8 = 9\) Rest \(2\). Ergebnis: \(39 \, \text{Rest} \, 2\). 4. Division von \(1000\) durch \(7\): \(10 : 7 = 1\) Rest \(3\); \(30 : 7 = 4\) Rest \(2\); \(20 : 7 = 2\) Rest \(6\). Ergebnis: \(142 \, \text{Rest} \, 6\).

a) \(24 \, \text{Rest} \, 4\) b) \(51\) c) \(39 \, \text{Rest} \, 2\) d) \(142 \, \text{Rest} \, 6\)

- Rechne jede Aufgabe einzeln aus und bestimme den Rest. - Ein Rest von \(3\) bedeutet, dass der Dividend um \(3\) größer ist als das größte Vielfache des Divisors, das noch kleiner als der Dividend ist. - Achte besonders auf die letzte Stelle deiner schriftlichen Division.

1. Berechnung von \(59 : 8\): Da \(7 \cdot 8 = 56\) und \(59 - 56 = 3\), ergibt sich \(7 \, \text{Rest} \, 3\). 2. Berechnung von \(115 : 4\): \(11 : 4 = 2\) Rest \(3\); \(35 : 4 = 8\) Rest \(3\). Ergebnis ist \(28 \, \text{Rest} \, 3\). 3. Berechnung von \(83 : 10\): Da \(8 \cdot 10 = 80\) und \(83 - 80 = 3\), ergibt sich \(8 \, \text{Rest} \, 3\). 4. Berechnung von \(200 : 6\): \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\); \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\). Ergebnis ist \(33 \, \text{Rest} \, 2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Aufgaben a), b) und c) haben den Rest \(3\).

a) \(7 \, \text{Rest} \, 3\) b) \(28 \, \text{Rest} \, 3\) c) \(8 \, \text{Rest} \, 3\) d) \(33 \, \text{Rest} \, 2\) Die Aufgaben a), b) und c) haben den Rest \(3\).

- Schau dir an, welche Zahlen in der Klammer Sinn ergeben, um die Division im Kopf zu lösen. - Überlege bei Teil c, wie die Faktoren der ersten Zahl (\(15\) und \(100\)) zu den Faktoren der zweiten Zahl (\(3\) und \(25\)) passen könnten.

1. Vervollständigung für \(1600 : 25\): \(100 : 25 = 4\). Dann \(16 \cdot 4 = 64\). 2. Vervollständigung für \(4000 : 125\): Die fehlende Zahl in der Klammer ist \(1000\). Es gilt \(1000 : 125 = 8\). Dann \(4 \cdot 8 = 32\). 3. Vervollständigung für \(1500 : 75\): \(15 : 3 = 5\) und \(100 : 25 = 4\). Dann \(5 \cdot 4 = 20\).

a) \(16 \cdot (100 : 25) = 16 \cdot 4 = 64\) b) \(4 \cdot (1000 : 125) = 4 \cdot 8 = 32\) c) \(5 \cdot 4 = 20\)

- Wenn ein Winkel doppelt so groß ist wie der andere, aus wie vielen gleich großen Teilen besteht der Gesamtwinkel? - Teile den Gesamtwinkel zunächst in diese gleich großen Teile, bevor du die beiden Winkel zuordnest.

1. Die beiden Winkel ergeben zusammen \(135^\circ\), also gilt \(\alpha+\beta=135^\circ\). 2. Wegen \(\beta=2\alpha\) besteht der Gesamtwinkel aus drei gleich großen Teilen. 3. Ein Teil ist \(135^\circ:3=45^\circ\). Daher ist \(\alpha=45^\circ\). 4. Somit ist \(\beta=2\cdot45^\circ=90^\circ\).

\(\alpha=45^\circ\) und \(\beta=90^\circ\)

- Beginne bei der inneren Rechenoperation, deren beide Eingaben schon bekannt sind. - Nutze das erste Teilergebnis anschließend in der nächsten Operation. - Behalte die Einheit bei jedem Schritt im Blick.

1. Berechne zuerst die Division: \(500\,\text{m} : 5 = 100\,\text{m}\). 2. Multipliziere dieses Ergebnis mit \(3\): \(100\,\text{m} \cdot 3 = 300\,\text{m}\).

Der Wert des Rechenbaums beträgt \(300\,\text{m}\).

- Welche Differenz mit \(100\) ergibt genau \(96\)? - Wie kannst du \(25\) als einen Anteil von \(100\) beschreiben? - Schreibe beide Umformungen erst vollständig auf, bevor du die verbleibenden Rechenzeichen zählst.

1. Als Überschlag eignet sich \(100\cdot25=2500\); das genaue Ergebnis muss etwas kleiner sein. 2. Weg A: \(96\cdot25=(100-4)\cdot25=100\cdot25-4\cdot25=2500-100=2400\). Nach der ersten Umformung sind zwei Multiplikationen und eine Subtraktion nötig, also drei Operationen. 3. Weg B: \(96\cdot25=96\cdot(100:4)=96\cdot100:4=9600:4=2400\). Nach der ersten Umformung sind eine Multiplikation und eine Division nötig, also zwei Operationen. 4. Beide Wege liefern denselben Wert; nach dem vorgegebenen Zählkriterium ist Weg B kürzer.

a) Überschlag: etwa \(2500\) b) Weg A: \(96\cdot25=(100-4)\cdot25=2400\) Weg B: \(96\cdot25=96\cdot100:4=2400\) c) Weg A: \(3\) Operationen; Weg B: \(2\) Operationen. Nach diesem Kriterium ist Weg B kürzer.

- Bei gleichem Dividend führt ein kleinerer Divisor zu einem größeren Quotienten. - Probiere die Veränderung an einer einfachen Division aus, bei der der Divisor ohne Rest halbiert werden kann. - Überlege bei c), welche gleichartige Veränderung von Dividend und Divisor den Quotienten unverändert lässt.

1. Damit der Quotient bei gleichbleibendem Dividenden doppelt so groß wird, muss durch eine halb so große Zahl geteilt werden. Der Divisor muss also halbiert werden. 2. Damit der Quotient nur noch ein Drittel so groß ist, muss durch eine dreimal so große Zahl geteilt werden. Der Divisor muss also verdreifacht werden. 3. Damit der Quotient gleich bleibt, muss eine Änderung am Dividenden durch dieselbe Vervielfachung des Divisors ausgeglichen werden. Da der Dividend vervierfacht wurde, muss auch der Divisor vervierfacht werden.

a) Man muss den Divisor halbieren. b) Man muss den Divisor verdreifachen. c) Man muss den Divisor ebenfalls vervierfachen.

- Nutze die im Text angegebene Formel für die Probe, um die Gleichungen aufzustellen. - Überlege dir, wie du die Rechnung umkehren kannst, um an die gesuchte Zahl zu kommen. - Wenn der Dividend gesucht ist, musst du multiplizieren und den Rest addieren. - Wenn der Divisor gesucht ist, ziehe zuerst den Rest vom Dividenden ab.

1. Bestimmung von \(x\) in a): Anwendung der Formel \(\text{Dividend} = 24 \cdot 5 + 2\). Berechnung: \(120 + 2 = 122\). Also \(x = 122\). 2. Bestimmung von \(x\) in b): Umstellen der Formel zu \(130 = 18 \cdot x + 4\). Subtraktion des Rests: \(130 - 4 = 126\). Division durch den Quotienten: \(126 : 18 = 7\). Also \(x = 7\). 3. Bestimmung von \(x\) in c): Umstellen der Formel zu \(212 = 30 \cdot 7 + x\). Berechnung des Produkts: \(30 \cdot 7 = 210\). Subtraktion vom Dividenden: \(212 - 210 = 2\). Also \(x = 2\).

a) \(x = 122\) b) \(x = 7\) c) \(x = 2\)