- Welche Rechenart zeigt das Zeichen \(\cdot\)? - Wie heißen die Zahlen, die miteinander multipliziert werden? - Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?

1. Die Zahlen \(14\) und \(6\) heißen Faktoren. 2. Das Ergebnis \(84\) heißt Produkt.

Die Zahlen \(14\) und \(6\) heißen Faktoren. Das Ergebnis \(84\) heißt Produkt.

- Prüfe jeweils, wie oft der Divisor vollständig in die Zahl passt. - Der Rest muss immer kleiner als der Divisor sein. - Kontrolliere mit \(\text{Quotient} \cdot \text{Divisor} + \text{Rest}\), ob du wieder die Ausgangszahl erhältst.

1. Bei der Division durch \(10\) gilt: \(5420 : 10 = 542\) und \(5427 : 10 = 542\) Rest \(7\). 2. Bei der Division durch \(100\) gilt: \(19\,300 : 100 = 193\), \(19\,306 : 100 = 193\) Rest \(6\) und \(19\,340 : 100 = 193\) Rest \(40\).

a) \(542\) b) \(542\) Rest \(7\) c) \(193\) d) \(193\) Rest \(6\) e) \(193\) Rest \(40\)

- Vergleiche bei jeder Aufgabe die Größenordnung von Ausgangszahl und Ergebnis. - Überlege, wie viele Zehnerfaktoren im Divisor oder Faktor stecken. - Kontrolliere eine Division durch die passende Umkehraufgabe.

1. \(300\,000 : 100 = 3000\). 2. \(30\,000 : 10 = 3000\). 3. \(300\,000 : 1000 = 300\). 4. \(3000 \cdot 100 = 300\,000\).

a) \(3000\) b) \(3000\) c) \(300\) d) \(300\,000\)

- Zähle Reihen und Punkte pro Reihe getrennt. - Welche Multiplikation beschreibt gleich große Reihen? - Kontrolliere das Produkt mit der Gesamtzahl der sichtbaren Punkte.

1. Das Feld hat \(4\) Reihen mit je \(6\) Punkten. 2. Daher passt die Multiplikation \(4 \cdot 6\). 3. \(4 \cdot 6 = 24\).

\(4 \cdot 6 = 24\)

- Zähle zuerst die Reihen und die Punkte in einer Reihe. - Für b) nimmst du die Gesamtzahl als Dividend. - Vergleiche die drei Zahlen in beiden Rechnungen.

1. Im Punktefeld sind \(4\) Reihen mit je \(6\) Punkten zu sehen. Daher passt \(4\cdot6=24\). 2. Teilt man die \(24\) Punkte durch \(6\) Punkte pro Reihe, erhält man \(24:6=4\). 3. Die Division macht die Multiplikation rückgängig. Multiplikation und Division sind hier Umkehroperationen.

a) \(4\cdot6=24\) b) \(24:6=4\) c) Multiplikation und Division sind hier Umkehroperationen.

- Welche Zahl steht im Ergebnis vor dem Wort „Rest“? - Welche Zahl steht direkt hinter „Rest“? - Ordne beide Zahlen den Stapeln und den übrig gebliebenen Karten zu.

1. Der Quotient \(3\) gibt an, wie viele Karten auf jedem Stapel liegen. 2. Der Rest \(2\) gibt an, wie viele Karten nach dem gleichmäßigen Verteilen übrig bleiben.

Die \(3\) bedeutet: Auf jedem Stapel liegen \(3\) Karten. Die \(2\) bedeutet: \(2\) Karten bleiben übrig.

- Rechne zuerst beide Seiten jeder Aufgabe aus. - Notiere dir die Zwischenergebnisse, bevor du vergleichst. - Nutze bei den Mal- und Geteiltaufgaben passende Kopfrechenwege.

1. \(378 : 6 = 63\) und \(14 \cdot 4 = 56\). Also gilt \(>\). 2. \(26 \cdot 11 = 286\) und \(858 : 3 = 286\). Also gilt \(=\). 3. \(168 : 7 = 24\) und \(5 \cdot 5 = 25\). Also gilt \(<\).

a) \(>\) b) \(=\) c) \(<\)

- Zerlege schwierige Zahlen in Teile, mit denen du leichter rechnen kannst. - Nutze bekannte Mal- und Geteiltaufgaben als Hilfe. - Prüfe am Ende, ob die Größenordnung deines Ergebnisses passt.

1. \(156 : 4 = 39\). 2. \(19 \cdot 18 = 342\). 3. \(441 : 9 = 49\). 4. \(24 \cdot 15 = 360\).

a) \(39\) b) \(342\) c) \(49\) d) \(360\)

- Was bedeuten die Klammern in einer Matheaufgabe? - Rechne zuerst aus, was in den Klammern steht. - Nutze dein Wissen aus dem Einmaleins und dem Einsdurcheins. - Multipliziere am Ende die beiden Zwischenergebnisse miteinander.

1. Berechnung von a): \(24 : 3 = 8\) und \(12 : 3 = 4\). Multiplikation: \(8 \cdot 4 = 32\). 2. Berechnung von b): \(42 : 6 = 7\) und \(30 : 6 = 5\). Multiplikation: \(7 \cdot 5 = 35\). 3. Berechnung von c): \(64 : 8 = 8\) und \(40 : 8 = 5\). Multiplikation: \(8 \cdot 5 = 40\). 4. Berechnung von d): \(27 : 9 = 3\) und \(81 : 9 = 9\). Multiplikation: \(3 \cdot 9 = 27\).

a) \(32\) b) \(35\) c) \(40\) d) \(27\)

- Zähle zuerst, wie oft jede Zahl in der langen Plusrechnung vorkommt. - Eine wiederholte Addition derselben Zahl kannst du als Multiplikation schreiben. - Berechne anschließend die Produkte und addiere sie.

1. Die \(14\) kommt \(5\)-mal vor, die \(22\) kommt \(4\)-mal vor. Daher gilt \(5 \cdot 14 + 4 \cdot 22\). 2. \(5 \cdot 14 = 70\) und \(4 \cdot 22 = 88\). 3. \(70 + 88 = 158\).

\(5 \cdot 14 + 4 \cdot 22 = 158\)

- Wie oft kommen die beiden Zahlen jeweils vor? - Haben die beiden Produkte einen gemeinsamen Faktor? - Kannst du die Zahlen so zusammenfassen, dass eine leicht zu rechnende Zahl entsteht?

1. Die \(18\) und die \(12\) kommen jeweils \(5\)-mal vor. Daher gilt \(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12\). 2. Beide Produkte haben den Faktor \(5\): \(5 \cdot (18 + 12) = 5 \cdot 30\). 3. \(5 \cdot 30 = 150\).

\(5 \cdot 18 + 5 \cdot 12 = 150\)

- Achte genau darauf, ob die \(0\) als Dividend oder als Divisor vorkommt. - Berechne zuerst die Ausdrücke in den Klammern. - Prüfe anschließend, ob bei einer Division durch \(0\) geteilt werden müsste.

1. \(0 : 452 = 0\). Null durch eine Zahl ungleich Null ist definiert und ergibt \(0\). 2. \(452 : 0\) ist nicht definiert, weil man nicht durch \(0\) teilen kann. 3. \((12 - 12) : 12 = 0 : 12 = 0\). Hier ist \(0\) der Dividend. 4. \(12 : (12 - 12) = 12 : 0\) ist nicht definiert, weil der Divisor \(0\) ist.

a) Berechenbar, Wert ist \(0\). b) Nicht definiert, da Division durch \(0\) nicht erlaubt ist. c) Berechenbar, Wert ist \(0\). d) Nicht definiert, da der Divisor \(0\) ist.

- Welche Rechenart gehört zum Begriff „Produkt“? - Welche Rechenart gehört zum Begriff „Quotient“? - Führe in b) die beiden Schritte in der angegebenen Reihenfolge aus.

1. \(240 \cdot 5 = 1200\). 2. \(800 : 4 = 200\) und \(200 - 150 = 50\).

a) \(1200\) b) \(50\)

- Welche Rechenart wird durch das Symbol \(\cdot\) dargestellt? - Überlege, ob in den Geschichten etwas dazukommt, weggenommen wird oder ob Mengen vervielfacht werden. - Rechne schrittweise, indem du eine der Zahlen zerlegst.

1. Die Operation \(15 \cdot 12\) beschreibt eine Vervielfachung oder das Bestimmen einer Gesamtmenge aus gleichen Gruppen. 2. Lukas beschreibt eine Anordnung von \(15\) Gruppen zu je \(12\) Objekten, was einer Multiplikation entspricht. Marie beschreibt eine Differenz (Subtraktion). 3. Berechnung des Produkts: \(15 \cdot 12 = 15 \cdot 10 + 15 \cdot 2 = 150 + 30 = 180\).

Lukas hat die passende Geschichte geschrieben. Das Ergebnis ist \(180\).

- Welche Zahl steht bei einer Division vorne? - Welche Zahl steht nach dem Geteiltzeichen? - Wie heißt das Ergebnis einer Division?

1. Die Rechnung lautet \(126 : 9 = 14\). 2. Das Ergebnis einer Division heißt Quotient.

Die Rechnung lautet \(126 : 9 = 14\). Das Ergebnis heißt Quotient.

- Vergleiche \(480\) mit \(120\) und \(40\) mit \(10\). - Mit welchem Faktor wurden Dividend und Divisor verändert? - Überlege, was mit dem Quotienten passiert, wenn beide Zahlen mit demselben Faktor vervielfacht werden.

1. \(480 : 40 = 12\). 2. \(480\) ist das Vierfache von \(120\), und \(40\) ist das Vierfache von \(10\). 3. Werden Dividend und Divisor mit demselben Faktor vervielfacht, bleibt der Quotient gleich.

a) Laras Ergebnis ist \(12\). b) Sowohl der Dividend als auch der Divisor wurden bei Lara im Vergleich zu Jan vervierfacht. c) Wenn man den Dividenden und den Divisor mit derselben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert des Quotienten nicht.

- Bei der Multiplikation mit Zehnerzahlen wie \(60\) kannst du zuerst mit \(6\) rechnen und den Stellenwert anschließend anpassen. - Bei Divisionen durch Zehnerzahlen wie \(70\) kannst du Dividend und Divisor zunächst durch \(10\) teilen. - Prüfe, ob die Größenordnung deiner Ergebnisse zu den Ausgangszahlen passt.

1. \(450 \cdot 8 = 3600\); \(1205 \cdot 8 = 9640\); \(30\,040 \cdot 8 = 240\,320\). 2. \(960 : 4 = 240\); \(4836 : 4 = 1209\); \(56\,008 : 4 = 14\,002\). 3. \(250 \cdot 60 = 15\,000\); \(1500 \cdot 60 = 90\,000\); \(12\,300 \cdot 60 = 738\,000\). 4. \(3500 : 70 = 50\); \(42\,000 : 70 = 600\); \(210\,000 : 70 = 3000\).

a) \(3600\); \(9640\); \(240\,320\) b) \(240\); \(1209\); \(14\,002\) c) \(15\,000\); \(90\,000\); \(738\,000\) d) \(50\); \(600\); \(3000\)

- Berechne zuerst die Werte auf beiden Seiten der Lücke getrennt. - Bei Multiplikationen mit Zehner- oder Hunderterzahlen kannst du auf die Stellenwerte der Faktoren achten. - Bei einer Division darfst du Dividend und Divisor durch denselben Faktor teilen; der Quotient bleibt dann gleich.

1. a) \(400 \cdot 30 = 12\,000\) und \(120\,000 : 100 = 1200\). Daher gilt \(12\,000 > 1200\). 2. b) \(15 \cdot 4000 = 60\,000\) und \(300 \cdot 20 = 6000\). Daher gilt \(60\,000 > 6000\). 3. c) \(81\,000 : 90 = 900\) und \(90 \cdot 10 = 900\). Daher gilt \(900 = 900\). 4. d) \(2500 \cdot 40 = 100\,000\) und \(500\,000 : 5 = 100\,000\). Daher gilt \(100\,000 = 100\,000\).

a) \(>\) b) \(>\) c) \(=\) d) \(=\)

- Jede volle Schachtel enthält \(10\) Bleistifte. Welche Division passt dazu? - Prüfe bei Zahlen, die nicht durch \(10\) teilbar sind, was nach den vollen Schachteln übrig bleibt. - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du volle Schachteln und übrige Bleistifte wieder zusammensetzt.

1. \(860 : 10 = 86\). Es werden \(86\) Schachteln benötigt. 2. \(2400 : 10 = 240\). Es werden \(240\) Schachteln benötigt. 3. \(347 : 10 = 34\,\text{Rest}\,7\). Es werden \(34\) Schachteln voll; \(7\) Bleistifte bleiben übrig. 4. \(1005 : 10 = 100\,\text{Rest}\,5\). Es bleiben \(5\) Bleistifte übrig.

a) \(86\) Schachteln b) \(240\) Schachteln c) \(34\) Schachteln werden voll, \(7\) Bleistifte bleiben übrig d) \(5\) Bleistifte bleiben übrig

- Achte darauf, ob durch \(100\) oder \(1000\) geteilt wird. - Bei einer Division mit Rest muss der Rest kleiner als der Divisor sein. - Für die rückwärts gestellte Aufgabe kannst du Quotient, Divisor und Rest wieder zur Ausgangszahl zusammensetzen.

1. \(34\,500 : 100 = 345\). 2. \(6780 : 100 = 67\) Rest \(80\). 3. \(125\,000 : 1000 = 125\). 4. Für d) wird die Ausgangszahl mit der Umkehraufgabe bestimmt: \(8 \cdot 100 + 15 = 815\). 5. \(89\,432 : 1000 = 89\) Rest \(432\).

a) \(345\) b) \(67\;\text{Rest}\;80\) c) \(125\) d) \(815\) e) \(89\;\text{Rest}\;432\)

- Welche Grundaufgabe steckt in Teil a), und welche Stellenwerte kommen zusätzlich vor? - Bei Teil b): Kannst du Dividend und Divisor durch denselben Stellenwertfaktor teilen? - Bei Teil c): Welche nahe Hunderterzahl macht die Multiplikation leichter?

1. a) \(600\cdot4000=6\cdot4\cdot100\cdot1000=24\cdot100\,000=2\,400\,000\). 2. b) Dividend und Divisor werden beide durch \(100\) geteilt: \(48\,000:800=480:8=60\). 3. c) \(802\cdot300=(800+2)\cdot300=240\,000+600=240\,600\).

a) \(600\cdot4000=6\cdot4\cdot100\cdot1000=2\,400\,000\) b) \(48\,000:800=480:8=60\) c) \(802\cdot300=(800+2)\cdot300=240\,600\)

- Zähle, wie oft derselbe Betrag vorkommt. - Wiederholtes Addieren derselben Zahl kann als Malrechnung geschrieben werden. - Prüfe am Ende, ob dein Produkt denselben Betrag ergibt wie die Summe.

1. Der Betrag \(12\,\text{ct}\) kommt siebenmal vor. 2. Deshalb kann die Summe als \(7\cdot12\,\text{ct}\) geschrieben werden. 3. Es gilt \(7\cdot12\,\text{ct}=84\,\text{ct}\).

\(7\cdot12\,\text{ct}=84\,\text{ct}\)

- Überlege, was bei jedem Faktor \(10\) oder \(100\) mit dem Stellenwert geschieht. - Kannst du die Faktoren \(10\) und \(100\) zuerst zu einem einzigen Faktor zusammenfassen? - Vergleiche am Ende, ob beide Wege zum selben Ergebnis führen.

1. a) Schrittweise: \(52 \cdot 10 = 520\), \(520 \cdot 10 = 5200\), \(5200 \cdot 10 = 52\,000\). Zusammengefasst: \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\), also \(52 \cdot 1000 = 52\,000\). 2. b) Schrittweise: \(81 \cdot 100 = 8100\), \(8100 \cdot 100 = 810\,000\). Zusammengefasst: \(100 \cdot 100 = 10\,000\), also \(81 \cdot 10\,000 = 810\,000\). 3. c) Schrittweise: \(125 \cdot 10 = 1250\), \(1250 \cdot 100 = 125\,000\). Zusammengefasst: \(10 \cdot 100 = 1000\), also \(125 \cdot 1000 = 125\,000\).

a) Schrittweise: \(52 \cdot 10 = 520\), \(520 \cdot 10 = 5200\), \(5200 \cdot 10 = 52\,000\); zusammengefasst: \(52 \cdot 1000 = 52\,000\). b) Schrittweise: \(81 \cdot 100 = 8100\), \(8100 \cdot 100 = 810\,000\); zusammengefasst: \(81 \cdot 10\,000 = 810\,000\). c) Schrittweise: \(125 \cdot 10 = 1250\), \(1250 \cdot 100 = 125\,000\); zusammengefasst: \(125 \cdot 1000 = 125\,000\).

- Rechne zuerst beide Klammern aus. - Welche Zahl steht danach als Divisor da? - Was gilt für eine Division durch \(0\)?

1. Die erste Klammer ergibt \(12+8=20\). 2. Die zweite Klammer ergibt \(45-45=0\). 3. Damit müsste man \(20:0\) rechnen. Eine Division durch \(0\) ist nicht möglich.

Der Term hat keinen Wert, weil der Divisor \(0\) ist. Eine Division durch \(0\) ist nicht möglich.

- Rechne in jeder Tabellenzeile die beiden Divisionen nacheinander aus. - Vergleiche das zweite Ergebnis mit der Ausgangszahl: Welcher Gesamtfaktor wurde durch zweimaliges Teilen durch \(10\) erreicht? - Kontrolliere eine Zeile rückwärts durch zweimaliges Multiplizieren mit \(10\).

1. \(45\,000 : 10 = 4500\), dann \(4500 : 10 = 450\). 2. \(12\,300 : 10 = 1230\), dann \(1230 : 10 = 123\). 3. \(800 : 10 = 80\), dann \(80 : 10 = 8\). 4. \(7000 : 10 = 700\), dann \(700 : 10 = 70\).

Zeile 1: \(4500\), \(450\) Zeile 2: \(1230\), \(123\) Zeile 3: \(80\), \(8\) Zeile 4: \(700\), \(70\)

- Rechne jede Aufgabe einzeln aus und bestimme den Rest. - Ein Rest von \(3\) bedeutet, dass der Dividend um \(3\) größer ist als das größte Vielfache des Divisors, das noch kleiner als der Dividend ist. - Achte besonders auf die letzte Stelle deiner schriftlichen Division.

1. Berechnung von \(59 : 8\): Da \(7 \cdot 8 = 56\) und \(59 - 56 = 3\), ergibt sich \(7 \, \text{Rest} \, 3\). 2. Berechnung von \(115 : 4\): \(11 : 4 = 2\) Rest \(3\); \(35 : 4 = 8\) Rest \(3\). Ergebnis ist \(28 \, \text{Rest} \, 3\). 3. Berechnung von \(83 : 10\): Da \(8 \cdot 10 = 80\) und \(83 - 80 = 3\), ergibt sich \(8 \, \text{Rest} \, 3\). 4. Berechnung von \(200 : 6\): \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\); \(20 : 6 = 3\) Rest \(2\). Ergebnis ist \(33 \, \text{Rest} \, 2\). 5. Vergleich der Ergebnisse: Aufgaben a), b) und c) haben den Rest \(3\).

a) \(7 \, \text{Rest} \, 3\) b) \(28 \, \text{Rest} \, 3\) c) \(8 \, \text{Rest} \, 3\) d) \(33 \, \text{Rest} \, 2\) Die Aufgaben a), b) und c) haben den Rest \(3\).

- Kannst du die Aufgabe auf eine einfachere Aufgabe aus dem kleinen Einmaleins zurückführen? - Welche Stellenwerte stecken in Zahlen wie \(40\) und \(70\)? - Bei einer Division kannst du prüfen, ob sich Dividend und Divisor durch denselben Faktor vereinfachen lassen.

1. \(4 \cdot 7 = 28\), also \(4 \cdot 70 = 280\). 2. \(28 : 4 = 7\), also \(280 : 4 = 70\). 3. \(4 \cdot 7 = 28\); wegen der beiden Zehnerfaktoren gilt \(40 \cdot 70 = 2800\). 4. Dividend und Divisor werden beide durch \(10\) geteilt: \(2800 : 70 = 280 : 7 = 40\). Der Quotient bleibt dabei unverändert.

(1) \(4\cdot7=28\), daher \(4\cdot70=280\) (2) \(28:4=7\), daher \(280:4=70\) (3) \(4\cdot7=28\) und zwei Zehnerfaktoren, daher \(40\cdot70=2800\) (4) \(2800:70=280:7=40\), weil Dividend und Divisor durch \(10\) geteilt werden

- Lies die Gesamtzahl und die Struktur der Reihen direkt aus dem Punktfeld ab. - Welche beiden abgelesenen Größen brauchst du für die Division? - Die gesuchte Anzahl der Gruppen erhältst du mit einer Division.

1. Aus der Abbildung liest du \(30\) Punkte insgesamt und \(5\) Punkte pro Reihe ab. 2. Die Zahl der Reihen erhältst du durch Division der Gesamtzahl durch die Punkte pro Reihe. 3. Daher gilt \(30 : 5 = 6\). Es sind \(6\) Reihen.

Gesamtzahl: \(30\) Punkte Punkte pro Reihe: \(5\) \(30 : 5 = 6\); das Feld hat \(6\) Reihen.

- Markiere gleiche Zahlen oder ordne sie gedanklich zusammen. - Zähle, wie oft jede verschiedene Zahl vorkommt. - Schreibe für jede Zahl ein passendes Produkt und addiere die Produkte.

1. Die \(9\) kommt \(4\)-mal vor, die \(13\) \(3\)-mal und die \(11\) \(2\)-mal. Daher gilt \(4 \cdot 9 + 3 \cdot 13 + 2 \cdot 11\). 2. \(4 \cdot 9 = 36\), \(3 \cdot 13 = 39\) und \(2 \cdot 11 = 22\). 3. \(36 + 39 + 22 = 97\).

\(4 \cdot 9 + 3 \cdot 13 + 2 \cdot 11 = 97\)

- Welche Faktoren kannst du so umordnen und verbinden, dass \(100\) entsteht? - Achte bei Zehnern und Hundertern auf die Stellenwerte. - Kannst du bei der Division Dividend und Divisor durch dieselbe Zahl teilen?

1. \((4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900\). 2. \(80 \cdot 600 = 8 \cdot 6 \cdot 1000 = 48\,000\). 3. \(54\,000 : 90 = 5400 : 9 = 600\). 4. \((2 \cdot 50) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700\).

a) \((4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900\) b) \(80 \cdot 600 = 8 \cdot 6 \cdot 1000 = 48\,000\) c) \(54\,000 : 90 = 5400 : 9 = 600\) d) \((2 \cdot 50) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700\)

- Gehe Schritt für Schritt vor und beachte die Vorrangregeln (Klammern zuerst, Punkt- vor Strichrechnung). - Überprüfe nach jedem Zwischenschritt in der Klammer, ob das Ergebnis der Klammer Null ist. - Erinnerst du dich an die Regel für die Division durch Null?

1. Term a): Klammerinhalt berechnen: \(25 \cdot 2 - 50 = 50 - 50 = 0\). Es müsste \(750 : 0\) gerechnet werden. Ergebnis: nicht definiert, da Division durch Null. 2. Term b): Klammerinhalt berechnen: \(25 \cdot 2 - 50 = 0\). Rechnung: \(0 : 750 = 0\). Ergebnis: \(0\). 3. Term c): Innere Klammer: \(15 - 10 = 5\). Eckige Klammer: \(30 : 5 = 6\). Gesamtrechnung: \(120 : 6 = 20\). Ergebnis: \(20\). 4. Term d): Innere Klammer: \(30 - 10 = 20\). Ausdruck in eckiger Klammer: \(20 : 4 - 5 = 5 - 5 = 0\). Es müsste \(120 : 0\) gerechnet werden. Ergebnis: nicht definiert, da Division durch Null.

a) nicht definiert (Division durch \(0\)) b) \(0\) c) \(20\) d) nicht definiert (Division durch \(0\))

- Rechne die Beispiele erst einmal ganz normal aus. - Schau dir das Ergebnis von Beispiel 1 genau an. Passt es zu einer der beiden Vorhersagen von Lukas? - Denke daran, dass eine Null in einer Summe den Wert des Summanden nicht verändert.

1. Term 1: \((15 + 0) : 3 = 15 : 3 = 5\). Der Term ist definiert und hat den Wert \(5\); damit ist die Behauptung für diesen Fall falsch. 2. Term 2: \(0 : (24 : 6) = 0 : 4 = 0\). Hier ist das Ergebnis \(0\), was zur Behauptung passt. 3. Term 3: Klammer berechnen: \(12 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0\). Der Term \(48 : 0\) ist nicht definiert, da durch \(0\) dividiert würde. Dieser Fall entspricht der Behauptung.

Die Behauptung ist falsch. Beispiel 1 ist definiert und ergibt \(5\). Beispiel 2 ergibt \(0\). Beispiel 3 ist nicht definiert, da der Divisor \(0\) ist.

- Welche Zahl muss mit \(12\) multipliziert werden, damit \(72\) entsteht? - Welche Rolle hat diese gefundene Zahl in der zweiten Rechnung? - Setze die Zahlen anschließend in die Division ein.

1. Der fehlende Faktor ist \(72 : 12 = 6\). 2. Damit lautet die Division \(54 : 6 = 9\).

Der Quotient lautet \(9\).

- Überlege zuerst, was eine Änderung nur des Dividenden bewirkt. - Bei gleichem Dividend: Was passiert mit dem Quotienten, wenn der Divisor kleiner wird? - In c) wirken zwei Änderungen nacheinander auf den Quotienten.

1. a) Wird der Dividend auf ein Viertel verkleinert, wird auch der Quotient auf ein Viertel verkleinert: \(100:4=25\). 2. b) Wird der Divisor auf ein Fünftel verkleinert, wird der Quotient auf das Fünffache vergrößert: \(100\cdot5=500\). 3. c) Das Verdoppeln des Dividenden verdoppelt den Quotienten. Das Halbieren des Divisors verdoppelt ihn noch einmal. Insgesamt wird der Quotient auf das Vierfache vergrößert: \(100\cdot4=400\).

a) Der Quotient wird auf ein Viertel verkleinert und beträgt \(25\). b) Der Quotient wird auf das Fünffache vergrößert und beträgt \(500\). c) Der Quotient wird auf das Vierfache vergrößert und beträgt \(400\).

- Überlege zuerst, wie sich die Änderung nur eines Faktors auf das Produkt auswirkt. - Betrachte in b) beide Änderungen nacheinander. - Mit kleinen geraden Beispielwerten kannst du deine Aussagen prüfen.

1. Wird nur der erste Faktor vervierfacht, vervierfacht sich auch das Produkt. 2. Verzehnfachen und anschließendes Halbieren verändert das Produkt insgesamt mit dem Faktor \(10 : 2 = 5\). Das Produkt verfünffacht sich. 3. Werden beide Faktoren verdreifacht, verändert sich das Produkt mit dem Faktor \(3 \cdot 3 = 9\). Es verneunfacht sich.

a) Das Produkt vervierfacht sich. b) Das Produkt verfünffacht sich. c) Das Produkt verneunfacht sich.

- Vergleiche jeden Faktor mit dem entsprechenden Faktor in \(12 \cdot 15\). - Wenn nur ein Faktor verändert wird, überlege, wie dieselbe Veränderung auf das Produkt wirkt. - Wenn beide Faktoren verändert werden, prüfe, ob sich die Wirkungen verstärken oder ausgleichen.

1. In a) wird der erste Faktor verdoppelt. Daher verdoppelt sich auch das Produkt: \(180 \cdot 2 = 360\). 2. In b) wird der zweite Faktor verdreifacht. Daher verdreifacht sich das Produkt: \(180 \cdot 3 = 540\). 3. In c) wird der erste Faktor halbiert und der zweite verdoppelt. Die Änderungen gleichen sich aus, daher bleibt das Produkt \(180\). 4. In d) wird der erste Faktor durch \(3\) geteilt. Daher wird auch das Produkt durch \(3\) geteilt: \(180 : 3 = 60\).

a) \(360\) (erster Faktor verdoppelt) b) \(540\) (zweiter Faktor verdreifacht) c) \(180\) (erster Faktor halbiert, zweiter verdoppelt) d) \(60\) (erster Faktor durch \(3\) geteilt)

- Wie hängen Dividend, Divisor, Quotient und Rest zusammen? - Kann ein Rest größer oder gleich dem Divisor sein? - Wähle zuerst einen passenden Divisor und arbeite dann rückwärts.

1. Der Divisor muss größer als der Rest \(4\) sein. 2. Mit dem Divisor \(5\) ergibt sich \(5 \cdot 9 + 4 = 49\), also \(49 : 5 = 9\,\text{Rest}\,4\). 3. Mit dem Divisor \(10\) ergibt sich \(10 \cdot 9 + 4 = 94\), also \(94 : 10 = 9\,\text{Rest}\,4\). 4. Mit dem Divisor \(20\) ergibt sich \(20 \cdot 9 + 4 = 184\), also \(184 : 20 = 9\,\text{Rest}\,4\).

Drei mögliche Aufgaben sind: \(49 : 5 = 9\,\text{Rest}\,4\), \(94 : 10 = 9\,\text{Rest}\,4\) und \(184 : 20 = 9\,\text{Rest}\,4\). Der Divisor muss größer als der Rest \(4\) sein.

- Finde zunächst einige Beispiele für Aufgaben, bei denen \(10\) herauskommt. - Wie kannst du zu einem gewählten positiven Divisor den passenden Dividenden bestimmen? - Gibt es eine größte positive natürliche Zahl?

1. Zu jedem positiven Divisor gehört der Dividend, der zehnmal so groß ist. 2. Beispiele sind \(10 : 1 = 10\), \(20 : 2 = 10\), \(50 : 5 = 10\) und \(100 : 10 = 10\). 3. Da es unendlich viele positive natürliche Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele solche Divisionsaufgaben.

Es gibt unendlich viele solche Aufgaben. Zu jedem positiven Divisor passt ein Dividend, der zehnmal so groß ist.

- Gehe Schritt für Schritt vor und nutze das Ergebnis aus dem vorherigen Schritt für die nächste Rechnung. - Bei der Division durch \(400\) kannst du zwei Nullen bei beiden Zahlen streichen, bevor du rechnest. - Überlege dir für die Multiplikation mit \(12\), ob du \(12\) in \(10 + 2\) zerlegen und die beiden Teilprodukte addieren kannst.

1. Division: \(1200 : 6 = 200\). 2. Multiplikation: \(200 \cdot 50 = 10\,000\). 3. Division: \(10\,000 : 400 = 100 : 4 = 25\). 4. Multiplikation: \(25 \cdot 12 = 300\). Das Endergebnis ist \(300\).

\(300\)

- Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie durch \(10\) oder \(100\) teilt? - Rechne Schritt für Schritt von links nach rechts. - Kannst du die Nullen beim Teilen geschickt nutzen? - Zerlege bei der Division durch \(3\) oder \(4\) die Zahl so, dass sich die von null verschiedenen Teile leicht teilen lassen.

1. Bei a) gilt zuerst \(400\,000 : 10 = 40\,000\), dann \(40\,000 : 10 = 4000\) und schließlich \(4000 : 4 = 1000\). 2. Bei b) gilt zuerst \(90\,000 : 10 = 9000\), dann \(9000 : 3 = 3000\) und schließlich \(3000 : 10 = 300\). 3. Bei c) gilt zuerst \(1\,000\,000 : 100 = 10\,000\), dann \(10\,000 : 10 = 1000\) und schließlich \(1000 : 10 = 100\).

a) \(1000\) b) \(300\) c) \(100\)

- Durch welchen gemeinsamen Faktor kannst du Dividend und Divisor teilen, ohne den Quotienten zu verändern? - Welche kleinere Division entsteht dadurch? - Welche Multiplikation muss bei der Probe wieder den ursprünglichen Dividenden ergeben?

1. Dividend und Divisor werden beide durch \(100\) geteilt: \(522\,000:1800=5220:18\). Der Quotient bleibt dadurch unverändert. 2. \(5220:18=290\). 3. Probe: \(290\cdot1800=522\,000\).

Vereinfachung: \(522\,000:1800=5220:18\) Quotient: \(290\) Probe: \(290\cdot1800=522\,000\)

- Achte auf den Unterschied zwischen „vergrößern um“ und „vervielfachen“. - Bestimme für b) zuerst die beiden neuen Faktoren. - Vergleiche anschließend die beiden Produkte.

1. \(120 \cdot 40 = 4800\). 2. Die neuen Faktoren sind \(120 + 20 = 140\) und \(40 - 20 = 20\). Das neue Produkt ist \(140 \cdot 20 = 2800\). 3. \(4800 - 2800 = 2000\). Das neue Produkt ist um \(2000\) kleiner.

a) Das Produkt ist \(4800\). b) Das neue Produkt ist \(2800\). c) Der Wert hat sich um \(2000\) verringert.

- Überlege, wie oft der Divisor in die erste Ziffer oder die ersten zwei Ziffern des Dividenden passt. - Notiere dir bei jedem Schritt den verbleibenden Rest, bevor du die nächste Ziffer „herunterholst“. - Wenn eine Zahl genau teilbar ist, ist der Rest Null.

1. Division von \(148\) durch \(6\): \(14 : 6 = 2\) Rest \(2\); \(28 : 6 = 4\) Rest \(4\). Ergebnis: \(24 \, \text{Rest} \, 4\). 2. Division von \(255\) durch \(5\): \(25 : 5 = 5\); \(5 : 5 = 1\). Ergebnis: \(51\). 3. Division von \(314\) durch \(8\): \(31 : 8 = 3\) Rest \(7\); \(74 : 8 = 9\) Rest \(2\). Ergebnis: \(39 \, \text{Rest} \, 2\). 4. Division von \(1000\) durch \(7\): \(10 : 7 = 1\) Rest \(3\); \(30 : 7 = 4\) Rest \(2\); \(20 : 7 = 2\) Rest \(6\). Ergebnis: \(142 \, \text{Rest} \, 6\).

a) \(24 \, \text{Rest} \, 4\) b) \(51\) c) \(39 \, \text{Rest} \, 2\) d) \(142 \, \text{Rest} \, 6\)

- Suche in jeder Klammer nach einer Division, die du leicht im Kopf rechnen kannst. - Achte in c) darauf, welche Faktoren im Dividend und im Divisor zusammenpassen. - Prüfe nach dem Einsetzen, ob die umgeformte Rechnung denselben Wert wie die Ausgangsaufgabe hat.

1. a) \(100 : 25 = 4\), also \(16 \cdot 4 = 64\). Die fehlenden Zahlen sind \(25\), \(4\) und \(64\). 2. b) \(1000 : 125 = 8\), also \(4 \cdot 8 = 32\). Die fehlenden Zahlen sind \(1000\), \(8\) und \(32\). 3. c) \(15 : 3 = 5\) und \(100 : 25 = 4\), also \(5 \cdot 4 = 20\). Die fehlenden Zahlen sind \(5\), \(4\) und \(20\).

a) \(16 \cdot (100 : 25) = 16 \cdot 4 = 64\) b) \(4 \cdot (1000 : 125) = 4 \cdot 8 = 32\) c) \(5 \cdot 4 = 20\)

- Wie hilft dir die Nähe von \(96\) zu \(100\)? - Wie kannst du \(25\) mithilfe von \(100\) und \(4\) schreiben? - Schreibe beide Umformungen vollständig auf, bevor du die verbleibenden Rechenzeichen zählst.

1. Als Überschlag eignet sich \(100 \cdot 25 = 2500\). Das genaue Ergebnis muss etwas kleiner sein. 2. Mit \(96 = 100 - 4\): \(96 \cdot 25 = (100 - 4) \cdot 25 = 2500 - 100 = 2400\). Nach der ersten Umformung sind zwei Multiplikationen und eine Subtraktion nötig, also drei Operationen. 3. Mit \(25 = 100 : 4\): \(96 \cdot 25 = 96 \cdot 100 : 4 = 9600 : 4 = 2400\). Nach der ersten Umformung sind eine Multiplikation und eine Division nötig, also zwei Operationen. 4. Beide Wege ergeben \(2400\). Nach dem vorgegebenen Zählkriterium braucht der zweite Weg weniger Operationen.

a) Überschlag: etwa \(2500\) b) Mit \(96 = 100 - 4\): \(96 \cdot 25 = (100 - 4) \cdot 25 = 2400\) Mit \(25 = 100 : 4\): \(96 \cdot 25 = 96 \cdot 100 : 4 = 2400\) c) Erster Weg: \(3\) Operationen; zweiter Weg: \(2\) Operationen. Nach diesem Kriterium ist der zweite Weg kürzer.

- Überlege, wie sich ein kleinerer Divisor auf den Quotienten auswirkt, wenn der Dividend gleich bleibt. - Überlege umgekehrt, was ein größerer Divisor bewirkt. - In c) soll die Veränderung des Dividenden ausgeglichen werden.

1. Für den doppelten Quotienten muss der Divisor halbiert werden. 2. Für ein Drittel des Quotienten muss der Divisor verdreifacht werden. 3. Damit der Quotient trotz vervierfachtem Dividenden gleich bleibt, muss auch der Divisor vervierfacht werden.

a) Den Divisor halbieren. b) Den Divisor verdreifachen. c) Den Divisor vervierfachen.