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- Überlege, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert unter der Wurzel zu ergeben. - Achte bei Dezimalzahlen auf die Anzahl der Nachkommastellen beim Quadrieren. - Kannst du die Aufgabe vereinfachen, indem du die Zahl erst ohne Komma betrachtest?

1. Berechnung von \(\sqrt{900}\): Da \(30^2 = 900\), ist \(\sqrt{900} = 30\). 2. Berechnung von \(\sqrt{0{,}01}\): Da \(0{,}1^2 = 0{,}01\), ist \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\). 3. Berechnung von \(\sqrt{1{,}96}\): Da \(1{,}4^2 = 1{,}96\), ist \(\sqrt{1{,}96} = 1{,}4\). 4. Berechnung von \(\sqrt{6{,}25}\): Da \(2{,}5^2 = 6{,}25\), ist \(\sqrt{6{,}25} = 2{,}5\).

a) \(30\) b) \(0{,}1\) c) \(1{,}4\) d) \(2{,}5\)

- Wie hängen der Flächeninhalt und die Seitenlänge bei einem Quadrat zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt das Quadrieren einer Zahl um? - Denk an die Umrechnung von Metern in Zentimeter.

1. Berechnung der Seitenlänge in Metern durch Ziehen der Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt: \(s = \sqrt{0{,}49\,\text{m}^2} = 0{,}7\,\text{m}\). 2. Umrechnung der Seitenlänge von Metern in Zentimeter: \(0{,}7\,\text{m} = 70\,\text{cm}\).

Die Seitenlänge der Glasplatte beträgt \(70\,\text{cm}\).

- Unterscheide zwischen der Zahl unter dem Zeichen, dem Zeichen selbst und dem Ergebnis. - Der Fachbegriff für die Zahl unter einer Wurzel beginnt mit „Radi…“. - Überlege bei „radizieren“, welche Rechenoperation zum Quadrieren umgekehrt wird.

1. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. In diesem Beispiel ist der Radikand \(49\). 2. Das Symbol \(\sqrt{\phantom{a}}\) heißt Wurzelzeichen. 3. Das Ergebnis der Wurzelrechnung heißt Wurzelwert. Hier ist der Wurzelwert \(7\). 4. Radizieren bedeutet, die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl zu bestimmen, also die nichtnegative Zahl zu suchen, deren Quadrat den Radikanden ergibt.

a) Radikand b) Wurzelzeichen c) Wurzelwert d) Radizieren bedeutet, die Quadratwurzel zu bestimmen.

- Rufe dir die Quadratzahlen von \(1^2\) bis mindestens \(15^2\) ins Gedächtnis. - Wurzelziehen und Quadrieren sind in diesem Zusammenhang Umkehroperationen. - Für eine Abschätzung suchst du die nächstkleinere und die nächstgrößere Quadratzahl.

1. Es gilt \(8^2=64\). 2. Da \(11^2=121\), ist \(\sqrt{121}=11\). 3. Aus \(\sqrt{n}=13\) folgt durch Quadrieren \(n=13^2=169\). 4. Die benachbarten Quadratzahlen sind \(9^2=81\) und \(10^2=100\). Weil \(81<90<100\), gilt \(9<\sqrt{90}<10\).

a) \(64\) b) \(11\) c) \(n=169\) d) \(9<\sqrt{90}<10\)

- Prüfe jede Aussage mithilfe der Definition der Quadratwurzel. - Welche Vorzeichen kann ein Quadrat einer reellen Zahl haben? - Unterscheide den Wert eines Wurzelterms von den Lösungen einer quadratischen Gleichung.

1. Aussage a) ist wahr, denn \(12^2 = 144\). 2. Aussage b) ist falsch. Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel nur für nichtnegative Radikanden definiert. 3. Aussage c) ist wahr, denn \(0{,}2^2 = 0{,}04\). 4. Aussage d) ist falsch. Der Term \(\sqrt{49}\) bezeichnet genau die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(49\) ist, also \(7\). Die Zahlen \(7\) und \(-7\) sind dagegen die beiden Lösungen der Gleichung \(x^2=49\).

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den jeweiligen nichtnegativen Radikanden zu erhalten. - Achte genau darauf, ob ein Minuszeichen innerhalb oder außerhalb der Wurzel steht. - Bei Dezimalzahlen kann es helfen, den Zusammenhang mit bekannten Quadratzahlen zu nutzen. - Bei Zehnerpotenzen kannst du den Wert der Potenz zuerst ausrechnen und anschließend die Quadratwurzel bestimmen.

1. Berechnung von \(\sqrt{1{,}69}\): Da \(1{,}3^2 = 1{,}69\), ist \(\sqrt{1{,}69} = 1{,}3\). 2. Berechnung von \(\sqrt{(-7)^2}\): Zuerst wird das Quadrat berechnet: \((-7)^2 = 49\). Dann ist \(\sqrt{49} = 7\). 3. Untersuchung von \(\sqrt{-0{,}04}\): Der Ausdruck ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, da der Radikand \(-0{,}04\) negativ ist. 4. Berechnung von \(-\sqrt{\frac{25}{144}}\): Es gilt \(\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{5}{12}\). Mit dem negativen Vorzeichen ergibt sich \(-\frac{5}{12}\). 5. Berechnung von \(\sqrt{10^4}\): Es ist \(10^4 = 10\,000\) und \(100^2 = 10\,000\). Daher gilt \(\sqrt{10^4} = 100\).

a) \(1{,}3\) b) \(7\) c) Nicht definiert, da der Radikand negativ ist. d) \(-\frac{5}{12}\) e) \(100\)

- Überlege dir zuerst, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um die Grundzahl (ohne Komma oder Nullen) zu ergeben. - Wie viele Nullen oder Nachkommastellen kommen hinzu, wenn du eine Zahl wie \(10\) oder \(0{,}1\) quadrierst? - Was passiert mit der Anzahl der Nachkommastellen beim Wurzelziehen? - Kannst du ein Muster erkennen, wie sich das Ergebnis verändert, wenn das Komma im Radikanden um zwei Stellen wandert?

1. Bestimmung der Quadratwurzeln für Teil a): Da \(15^2 = 225\), ist \(\sqrt{225} = 15\). Eine Verschiebung des Kommas im Radikanden um zwei Stellen nach rechts oder links bewirkt eine Verschiebung des Kommas im Ergebnis um eine Stelle. Somit ist \(\sqrt{2{,}25} = 1{,}5\) und \(\sqrt{22\,500} = 150\). 2. Bestimmung der Quadratwurzeln für Teil b): Da \(12^2 = 144\), ist \(\sqrt{144} = 12\). Durch die Verschiebung des Kommas um zwei Stellen nach links ergibt sich \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Eine weitere Verschiebung um zwei Stellen nach links im Radikanden führt zu \(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\).

a) \(1{,}5\); \(15\); \(150\) b) \(0{,}12\); \(1{,}2\); \(12\)

- Kannst du die Dezimalzahlen als Brüche schreiben, deren Nenner eine Zehnerpotenz wie \(100\) oder \(10\,000\) ist? - Helfen dir die Quadratzahlen von 1 bis 20 bei der Lösung? - Wie viele Nullen hat das Quadrat einer Zahl im Vergleich zur Zahl selbst? - Überlege, wie sich das Komma beim Quadrieren einer Dezimalzahl verschiebt.

1. Berechnung von \( \sqrt{2{,}25} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \). 2. Berechnung von \( \sqrt{0{,}0004} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{4}{10000}} = \frac{2}{100} = 0{,}02 \). 3. Berechnung von \( \sqrt{12\,100} \): Zerlegung in Faktoren ergibt \( \sqrt{121 \cdot 100} = 11 \cdot 10 = 110 \). 4. Berechnung von \( \sqrt{0{,}0169} \): Umwandlung in einen Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{169}{10000}} = \frac{13}{100} = 0{,}13 \). 5. Berechnung von \( \sqrt{90\,000} \): Zerlegung in Faktoren ergibt \( \sqrt{9 \cdot 10\,000} = 3 \cdot 100 = 300 \).

a) \( 1{,}5 \) b) \( 0{,}02 \) c) \( 110 \) d) \( 0{,}13 \) e) \( 300 \)

- Berechne zuerst die Seitenlänge des bekannten Quadrats. - Wie groß ist der Flächeninhalt des zweiten Quadrats? - Bestimme dann die neue Seitenlänge und vergleiche beide Ergebnisse.

1. Berechnung der Seitenlänge des ersten Grundstücks: \(s_1 = \sqrt{225\,\text{m}^2} = 15\,\text{m}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts des zweiten Grundstücks: \(A_2 = 4 \cdot 225\,\text{m}^2 = 900\,\text{m}^2\). 3. Berechnung der Seitenlänge des zweiten Grundstücks: \(s_2 = \sqrt{900\,\text{m}^2} = 30\,\text{m}\). 4. Berechnung der Differenz der Seitenlängen: \(30\,\text{m} - 15\,\text{m} = 15\,\text{m}\).

Die Seitenlänge des größeren Grundstücks ist um \(15\,\text{m}\) länger als die des kleineren.

- Berechne in jedem Ausdruck zuerst die Quadrate unter den Wurzelzeichen. - Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl bezeichnet immer den nichtnegativen Wurzelwert. - Achte besonders darauf, ob ein Minuszeichen mitquadriert wird oder außerhalb der Wurzel stehen bleibt.

1. Teil a): \(\sqrt{12^2} = \sqrt{144} = 12\) und \(\sqrt{(-12)^2} = \sqrt{144} = 12\). Die Differenz ist \(12 - 12 = 0\). 2. Teil b): \((\sqrt{15})^2 = 15\) und \((-\sqrt{15})^2 = 15\). Die Summe ist \(15 + 15 = 30\). 3. Teil c): \(\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8\) und \(-\sqrt{8^2} = -\sqrt{64} = -8\). Das Produkt ist \(8 \cdot (-8) = -64\).

a) \(0\) b) \(30\) c) \(-64\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fläche eines Quadrats und seiner Seitenlänge? - Wie viele gleich lange Seiten begrenzen ein Quadrat? - Achte beim Wurzelziehen besonders auf die Anzahl der Nachkommastellen.

1. Berechnung der Seitenlänge \(a\) durch Ziehen der Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt: \(a = \sqrt{A}\). 2. Berechnung des Umfangs \(U\) durch Multiplikation der Seitenlänge mit 4: \(U = 4a\). 3. Fall (1): \(a = \sqrt{1{,}44\,\text{m}^2} = 1{,}2\,\text{m}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 1{,}2\,\text{m} = 4{,}8\,\text{m}\). 4. Fall (2): \(a = \sqrt{0{,}0025\,\text{km}^2} = 0{,}05\,\text{km}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 0{,}05\,\text{km} = 0{,}2\,\text{km}\). 5. Fall (3): \(a = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = 13\,\text{cm}\). Damit ergibt sich \(U = 4 \cdot 13\,\text{cm} = 52\,\text{cm}\).

(1) \(a = 1{,}2\,\text{m}\); \(U = 4{,}8\,\text{m}\) (2) \(a = 0{,}05\,\text{km}\); \(U = 0{,}2\,\text{km}\) (3) \(a = 13\,\text{cm}\); \(U = 52\,\text{cm}\)

- Unterscheide zwischen dem Wert des Ausdrucks \(\sqrt{0{,}0144}\) und den Lösungen einer Gleichung der Form \(x^2 = 0{,}0144\). - Nutze die bekannte Quadratzahl \(12^2 = 144\), um die passende Dezimalzahl zu finden. - Überlege für die Gleichung, ob zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen dasselbe positive Quadrat haben können.

1. Zur Berechnung von \(\sqrt{0{,}0144}\) betrachte die zugrunde liegende Quadratzahl: \(12^2 = 144\). 2. Da \(0{,}12^2 = 0{,}0144\), gilt \(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\). 3. Für die zweite Frage werden alle reellen Zahlen \(x\) mit \(x^2 = 0{,}0144\) gesucht. Sowohl \(0{,}12\) als auch \(-0{,}12\) haben das Quadrat \(0{,}0144\).

\(\sqrt{0{,}0144} = 0{,}12\). Die Zahlen, deren Quadrat \(0{,}0144\) ergibt, sind \(0{,}12\) und \(-0{,}12\).

- Welche Zahl muss mit sich selbst multipliziert werden, um \(169\) zu ergeben? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Kann ein Quadrat in den reellen Zahlen jemals einen negativen Wert annehmen?

1. Für \(a = 1{,}69\) lautet die Gleichung \(x^2 = 1{,}69\). Da \(13^2 = 169\) ist, folgt \(\sqrt{1{,}69} = 1{,}3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1{,}3\) und \(x_2 = -1{,}3\). 2. Das Quadrat einer jeden reellen Zahl \(x\) ist stets größer oder gleich Null (\(x^2 \geq 0\)). 3. Da \(a = -1{,}69\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl \(x\), deren Quadrat diesen Wert ergibt. Die Tatsache, dass \((-1{,}3)^2 = 1{,}69\) positiv ist, bestätigt lediglich, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist.

a) Die Lösungen sind \(1{,}3\) und \(-1{,}3\). b) Quadrate reeller Zahlen sind niemals negativ, daher hat \(x^2 = -1{,}69\) keine Lösung.

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert auf der rechten Seite zu ergeben. - Was weißt du über das Vorzeichen eines Ergebnisses, wenn du eine Zahl quadrierst? - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese kurzzeitig als Brüche zu betrachten (z. B. \(1{,}44 = \frac{144}{100}\)). - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = a\) (mit \(a > 0\)) immer zwei Lösungen hat.

1. a) Die Gleichung \( x^2 = 1{,}44 \) hat zwei Lösungen: \( x_1 = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \) und \( x_2 = -1{,}2 \). 2. b) Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, hat \( y^2 = -0{,}16 \) keine reelle Lösung. 3. c) Ziehen der Wurzel aus dem Bruch: \( z = \pm\sqrt{\frac{49}{100}} = \pm\frac{7}{10} \). Die Lösungen sind \( z_1 = 0{,}7 \) und \( z_2 = -0{,}7 \). 4. d) Umstellen der Gleichung: \( w^2 = 2500 \). Ziehen der Wurzel ergibt \( w_1 = 50 \) und \( w_2 = -50 \).

a) \( x = 1{,}2 \) oder \( x = -1{,}2 \) b) keine reelle Lösung c) \( z = 0{,}7 \) oder \( z = -0{,}7 \) d) \( w = 50 \) oder \( w = -50 \)

- Isoliere zuerst den Term mit dem Quadrat auf einer Seite der Gleichung. - Achte genau auf die Vorzeichen, wenn du Zahlen von einer Seite auf die andere bringst. - Kannst du eine Zahl finden, deren Quadrat negativ ist?

1. a) Division durch 4 ergibt \( x^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 4 \) und \( x_2 = -4 \). 2. b) Subtraktion von \( 0{,}7 \) ergibt \( x^2 = 0{,}09 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 0{,}3 \) und \( x_2 = -0{,}3 \). 3. c) Addition von 5 ergibt \( y^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( y_1 = 4 \) und \( y_2 = -4 \). 4. d) Subtraktion von 10 ergibt \( z^2 = -6 \). Da \( -6 < 0 \), gibt es keine reelle Lösung.

a) \( x = 4 \) oder \( x = -4 \) b) \( x = 0{,}3 \) oder \( x = -0{,}3 \) c) \( y = 4 \) oder \( y = -4 \) d) keine reelle Lösung

- Achte auf den Unterschied zwischen \( (-a)^2 \) und \( -a^2 \). Wo genau steht das Minuszeichen? - Rechne zuerst die Werte auf den Seiten aus, bevor du versuchst, die Wurzel zu ziehen. - Bei Brüchen hilft es, alles auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. a) Berechnung der rechten Seite: \( (-12)^2 = 144 \). Die Gleichung \( x^2 = 144 \) hat die Lösungen \( x_1 = 12 \) und \( x_2 = -12 \). 2. b) Beachtung der Priorität (Potenz vor Vorzeichen): \( -8^2 = -(8 \cdot 8) = -64 \). Die Gleichung \( x^2 = -64 \) hat keine reelle Lösung. 3. c) Umformung: \( 3x^2 = 27 \), dann \( x^2 = 9 \). Die Lösungen sind \( x_1 = 3 \) und \( x_2 = -3 \). 4. d) Umformung: \( x^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} \). Die Wurzeln sind \( x_1 = \frac{3}{4} \) (oder \( 0{,}75 \)) und \( x_2 = -\frac{3}{4} \) (oder \( -0{,}75 \)).

a) \( x = 12 \) oder \( x = -12 \) b) keine reelle Lösung c) \( x = 3 \) oder \( x = -3 \) d) \( x = 0{,}75 \) oder \( x = -0{,}75 \)

- Was ist die Umkehroperation zum Wurzelziehen? - Wie berechnet man das Quadrat einer Dezimalzahl im Kopf? - Überlege, wie viele Nachkommastellen das Quadrat einer Zahl mit einer Nachkommastelle hat.

1. Berechnung der Quadrate der rechten Seiten: a) \(14^2 = 196\). Die Platzhalter sind \(9\) und \(6\). b) \(0{,}6^2 = 0{,}36\). Die Platzhalter sind \(3\) und \(6\). c) \(25^2 = 625\). Die Platzhalter sind \(2\) und \(5\). d) \(1{,}1^2 = 1{,}21\). Die Platzhalter sind \(2\) und \(1\).

a) \(\sqrt{196} = 14\) b) \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\) c) \(\sqrt{625} = 25\) d) \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)

- Berechne zunächst jeweils den Wert auf der rechten Seite beziehungsweise isoliere den Quadratterm. - Bei b) wandle die gemischte Zahl in einen Bruch um und suche einen Bruch, dessen Quadrat diesen Wert ergibt. - Entscheide erst nach dem Vereinfachen, ob ein positiver, nuller oder negativer Wert als Quadrat vorgegeben ist.

1. Für a): \(0{,}01 \cdot 0{,}25 = 0{,}0025\). Da \(0{,}05^2 = 0{,}0025\), gibt es die zwei Lösungen \(x = 0{,}05\) und \(x = -0{,}05\). 2. Für b): \(3\frac{1}{16} = \frac{49}{16}\). Da \(\left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}\), sind die zwei Lösungen \(y = \frac{7}{4}\) und \(y = -\frac{7}{4}\). 3. Für c): Umformen ergibt \(z^2 = 0{,}01 - 0{,}1 = -0{,}09\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung. 4. Für d): Zuerst gilt \(\sqrt{625} = 25\). Damit lautet die Gleichung \(w^2 = 25\), also \(w = 5\) oder \(w = -5\).

a) Zwei Lösungen: \(x = 0{,}05\) oder \(x = -0{,}05\) b) Zwei Lösungen: \(y = \frac{7}{4}\) oder \(y = -\frac{7}{4}\) c) Keine reelle Lösung d) Zwei Lösungen: \(w = 5\) oder \(w = -5\)

- Was bezeichnet das Wurzelzeichen als Rechenoperation? - Welche Vorzeichen können Zahlen haben, deren Quadrat positiv ist? - Vergleiche die Frage „Welchen Wert hat der Term?“ mit „Welche Zahlen erfüllen die Gleichung?“.

1. Für \(a \ge 0\) bezeichnet \(\sqrt a\) die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(a\) ist. Der Term \(\sqrt5\) hat daher genau einen positiven Wert. 2. In der Gleichung \(x^2=5\) werden dagegen alle reellen Zahlen gesucht, deren Quadrat \(5\) ist. 3. Sowohl \((\sqrt5)^2=5\) als auch \((-\sqrt5)^2=5\) gilt. 4. Daher besitzt die Gleichung die beiden Lösungen \(\sqrt5\) und \(-\sqrt5\). Lukas verwechselt den eindeutigen Wert eines Wurzelterms mit der Lösungsmenge einer Gleichung.

Lukas hat nicht recht. Der Term \(\sqrt5\) bezeichnet nur den nichtnegativen Wert. Die Gleichung \(x^2=5\) hat dagegen die Lösungsmenge \(L=\{-\sqrt5;\sqrt5\}\).

- Bestimme zuerst jeweils die einzelnen Wurzelwerte, bevor du die Grundrechenart ausführst. - Wandle bei c) die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um und suche einen Bruch, dessen Quadrat diesen Wert ergibt. - Achte bei Dezimalzahlen darauf, welcher bekannte Dezimalwert beim Quadrieren den Radikanden liefert.

1. Teil a): \(\sqrt{0{,}81} = 0{,}9\), also \(0{,}9 - 0{,}2 = 0{,}7\). 2. Teil b): \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\) und \(\sqrt{0{,}49} = 0{,}7\). Daher ist die Summe \(0{,}8\). 3. Teil c): \(1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}\). Da \(\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\), gilt \(\sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}\). Somit ist \(\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1\). 4. Teil d): \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\). Daher gilt \(0{,}5 \cdot 1{,}2 = 0{,}6\).

a) \(0{,}7\) b) \(0{,}8\) c) \(1\) d) \(0{,}6\)

- Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\) im Vergleich zum Wert des Terms \(\sqrt{a}\)? - Überlege, welche Vorzeichen die Zahlen haben können, deren Quadrat eine bestimmte positive Zahl ergibt. - Was besagt die Definition der Quadratwurzel über das Vorzeichen des Ergebnisses? - Schreibe dir alle Kombinationen der gefundenen Einzelwerte für die Summenbildung systematisch auf.

1. Bestimmung der Lösungen für \(x^2 = 36\): \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -6\). 2. Bestimmung der Lösungen für \(y^2 = 4\): \(y_1 = 2\) und \(y_2 = -2\). 3. Berechnung aller möglichen Summenkombinationen: \(6 + 2 = 8\), \(6 + (-2) = 4\), \(-6 + 2 = -4\) und \(-6 + (-2) = -8\). Es gibt somit vier verschiedene Werte für \(x + y\). 4. Anwendung der Definition der arithmetischen Quadratwurzel: Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist als diejenige nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat \(a\) ergibt. 5. Berechnung des Terms: \(\sqrt{36} = 6\) und \(\sqrt{4} = 2\). Die Summe ist \(6 + 2 = 8\). Da die Wurzelwerte eindeutig als nichtnegativ festgelegt sind, ergibt sich nur ein einziger Wert für den Term.

a) Die möglichen Werte für \(x+y\) sind \(-8\), \(-4\), \(4\) und \(8\). b) Der Wert ist \(8\). Im Mathematikunterricht ist die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) als die eindeutige, nichtnegative Zahl definiert, deren Quadrat \(a\) ist (arithmetische Wurzel).

- Welchen kleinsten Wert kann \(x^2\) für eine reelle Zahl annehmen? - Welche untere Schranke folgt daraus für den Radikanden \(x^2+25\)? - Vergleiche den daraus folgenden kleinsten Wurzelwert mit der rechten Seite der Gleichung.

1. Für jede reelle Zahl gilt \(x^2\ge0\). Daher ist \(x^2+25\ge25\). 2. Für nichtnegative Zahlen bleibt die Größenordnung beim Ziehen der Quadratwurzel erhalten. Also gilt \(\sqrt{x^2+25}\ge\sqrt{25}=5\). 3. Die linke Seite kann somit niemals den Wert \(4\) annehmen. Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung.

Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung, weil \(\sqrt{x^2+25}\ge5\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt.

- Prüfe zuerst, welche Werte eine Quadratwurzel überhaupt annehmen kann. - Bei mehreren Wurzeln müssen alle Definitionsbedingungen gleichzeitig erfüllt sein. - Isoliere eine Wurzel nur so weit, wie es für eine Unmöglichkeitsbegründung nötig ist.

1. Zu a): Eine reelle Quadratwurzel ist stets nichtnegativ. Deshalb kann \(\sqrt{x+12}\) niemals den Wert \(-5\) annehmen. 2. Zu b): Für die erste Wurzel muss \(x\ge8\) gelten, für die zweite zugleich \(x\le2\). Diese Bedingungen haben keine gemeinsame reelle Zahl. Die Gleichung ist daher schon wegen ihres Definitionsbereichs unlösbar. 3. Zu c): Nach Subtraktion von \(10\) folgt \(\sqrt{x-1}=-7\). Eine reelle Quadratwurzel kann keinen negativen Wert annehmen, also gibt es keine Lösung.

a) Keine reelle Lösung, weil eine Quadratwurzel nicht negativ sein kann. b) Keine reelle Lösung, weil die Bedingungen \(x\ge8\) und \(x\le2\) unvereinbar sind. c) Keine reelle Lösung, weil die Gleichung auf \(\sqrt{x-1}=-7\) führt.

- Setze die gegebenen Werte zuerst vollständig unter das Wurzelzeichen ein. - Prüfe, ob der Radikand eine Quadratzahl ist. - Für die Einheitenumrechnung multiplizierst du den Wert in \(\text{m}/\text{s}\) mit \(3{,}6\).

1. Einsetzen ergibt \(v=\sqrt{2\cdot4\cdot18}\,\text{m}/\text{s}=\sqrt{144}\,\text{m}/\text{s}=12\,\text{m}/\text{s}\). 2. Umrechnung in Kilometer pro Stunde: \(12\cdot3{,}6=43{,}2\). Damit ist \(v=43{,}2\,\text{km}/\text{h}\). 3. Die Geschwindigkeit wird hier als Betrag einer Geschwindigkeit betrachtet und ist daher nichtnegativ. Die Quadratwurzel \(\sqrt{144}\) liefert definitionsgemäß den nichtnegativen Wert \(12\).

a) \(12\,\text{m}/\text{s}\) b) \(43{,}2\,\text{km}/\text{h}\) c) Die gesuchte Geschwindigkeit ist ein nichtnegativer Betrag; deshalb wird die nichtnegative Quadratwurzel verwendet.

- Setze beispielhaft positive Zahlen, negative Zahlen und die Null für die Variable ein. - Denk an die Definition der Quadratwurzel: Welches Vorzeichen hat das Ergebnis einer Wurzel immer? - Wann ist eine Wurzelrechnung im Bereich der reellen Zahlen überhaupt erlaubt?

1. Analyse von \( \sqrt{x^2} = x \): Die Quadratwurzel ist per Definition immer nichtnegativ. Für negative \( x \) (z. B. \( x = -3 \)) gilt \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \), was nicht \( x \) entspricht. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 2. Analyse von \( (\sqrt{x})^2 = x \): Der Ausdruck \( \sqrt{x} \) ist nur definiert, wenn der Radikand nicht negativ ist, also \( x \geq 0 \). Für alle diese Werte gilt die Identität tatsächlich. Die Aussage ist daher nur für \( x \geq 0 \) wahr. 3. Analyse von \( \sqrt{-x} \): Damit die Wurzel im reellen Bereich definiert ist, muss der Radikand \( -x \geq 0 \) sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn \( x \leq 0 \) ist. Die Aussage ist daher nur für \( x \leq 0 \) wahr.

a) Nur wahr für \( x \geq 0 \). b) Nur wahr für \( x \geq 0 \). c) Nur wahr für \( x \leq 0 \).

- Rechne zuerst die Flächeneinheit Ar in Quadratmeter um. - Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn die Fläche bekannt ist? - Wenn die Fläche 100-mal größer ist, ist dann auch die Seite 100-mal länger? - Welche Rechenoperation verbindet die Fläche mit der Seite? - Was passiert mit der Wurzel, wenn der Wert unter der Wurzel mit 100 multipliziert wird?

1. Umrechnung und Seitenlänge 1: Der Flächeninhalt \(A_1 = 0{,}64\,\text{a} = 64\,\text{m}^2\). Die Seitenlänge ist \(s_1 = \sqrt{64\,\text{m}^2} = 8\,\text{m}\). 2. Umrechnung und Seitenlänge 2: Der Flächeninhalt \(A_2 = 64\,\text{m}^2 \cdot 100 = 6400\,\text{m}^2\). Die Seitenlänge ist \(s_2 = \sqrt{6400\,\text{m}^2} = 80\,\text{m}\). 3. Verhältnis der Seitenlängen: \(s_2 {:} s_1 = 80\,\text{m} {:} 8\,\text{m} = 10\). 4. Mathematischer Zusammenhang: Wenn sich die Fläche um den Faktor \(k\) vergrößert, vergrößert sich die Seitenlänge um den Faktor \(\sqrt{k}\). Hier ist \(k = 100\), also ist der Seitenfaktor \(\sqrt{100} = 10\). Die kleine Seitenlänge passt 10-mal in die große.

a) \(s_1 = 8\,\text{m}\); \(s_2 = 80\,\text{m}\) b) Die Seitenlänge passt 10-mal hinein. Wenn die Fläche um den Faktor 100 wächst, wächst die Seitenlänge um den Faktor \(\sqrt{100} = 10\).

- Wie geht man mit gemischten Zahlen unter der Wurzel um? Kann man sie in eine andere Form bringen? - Was bedeutet ein Minuszeichen vor der Wurzel im Gegensatz zu einem Minuszeichen unter der Wurzel? - Erinnerst du dich an die Quadratzahlen bis 20?

1. Berechnung von \( \sqrt{\frac{144}{289}} \): Da \( 12^2 = 144 \) und \( 17^2 = 289 \), ist das Ergebnis \( \frac{12}{17} \). 2. Berechnung von \( \sqrt{1\frac{13}{36}} \): Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{36+13}{36}} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6} \). 3. Berechnung von \( -\sqrt{\frac{1}{10000}} \): Die Wurzel aus dem Bruch ist \( \frac{1}{100} \), mit dem Minuszeichen davor ergibt sich \( -0{,}01 \). 4. Untersuchung von \( \sqrt{-1{,}44} \): Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. 5. Berechnung von \( \sqrt{3\frac{1}{16}} \): Umwandlung in einen unechten Bruch ergibt \( \sqrt{\frac{48+1}{16}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \).

a) \( \frac{12}{17} \) b) \( \frac{7}{6} \) (oder \( 1\frac{1}{6} \)) c) \( -0{,}01 \) (oder \( -\frac{1}{100} \)) d) Nicht definiert (in \( \mathbb{R} \)) e) \( \frac{7}{4} \) (oder \( 1{,}75 \))

- Welche Größe bleibt beim Umformen des Blechs unverändert? - Welche Angaben kannst du direkt aus der Abbildung entnehmen? - Wie findest du die Seitenlänge eines Quadrats, wenn du seinen Flächeninhalt kennst?

1. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt \(A = 2\,\text{cm} \cdot 18\,\text{cm} = 36\,\text{cm}^2\). 2. Für die Seitenlänge des flächengleichen Quadrats gilt \(s = \sqrt{36\,\text{cm}^2} = 6\,\text{cm}\). 3. Der Umfang des Rechtecks ist \(U_{\text{Rechteck}} = 2(2\,\text{cm} + 18\,\text{cm}) = 40\,\text{cm}\). 4. Der Umfang des Quadrats ist \(U_{\text{Quadrat}} = 4 \cdot 6\,\text{cm} = 24\,\text{cm}\). 5. Die Differenz beträgt \(40\,\text{cm} - 24\,\text{cm} = 16\,\text{cm}\).

Der Umfang des Quadrats ist mit \(24\,\text{cm}\) um \(16\,\text{cm}\) kürzer als der Umfang des Rechtecks mit \(40\,\text{cm}\).

- Suche bei a) nach einer Dezimalzahl, deren Quadrat \(5{,}29\) ergibt. - Überlege bei b), welche Zahlen quadriert \(144\) und \(289\) ergeben, und setze daraus einen Bruch zusammen. - Rechne bei c) zuerst Ar in Quadratmeter um und bestimme dann die nichtnegative Seitenlänge.

1. Teilaufgabe a): Da \(2{,}3^2 = 5{,}29\), ist die Seitenlänge \(a = 2{,}3\,\text{cm}\). 2. Teilaufgabe b): Es gilt \(12^2 = 144\) und \(17^2 = 289\). Daher ist \(\left(\frac{12}{17}\right)^2 = \frac{144}{289}\). Weil eine Seitenlänge nichtnegativ ist, gilt \(a = \frac{12}{17}\,\text{dm}\). 3. Teilaufgabe c): \(0{,}0121\,\text{a} = 1{,}21\,\text{m}^2\). Da \(1{,}1^2 = 1{,}21\), beträgt die Seitenlänge \(a = 1{,}1\,\text{m}\).

a) \(a = 2{,}3\,\text{cm}\) b) \(a = \frac{12}{17}\,\text{dm}\) c) \(a = 1{,}1\,\text{m}\)

- Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn man den Flächeninhalt kennt? - Wenn der Umfang eines Quadrats doppelt so groß ist, was bedeutet das für seine Seitenlänge? - Wie ändert sich der Flächeninhalt, wenn sich die Seitenlänge verdoppelt?

1. Berechnung der Seitenlänge des ersten Quadrats: \(a_1 = \sqrt{7{,}84\,\text{m}^2} = 2{,}8\,\text{m}\) (da \(28^2 = 784\)). 2. Bestimmung des Zusammenhangs zwischen Umfang und Seitenlänge: Da der Umfang \(U = 4a\) proportional zur Seitenlänge ist, führt eine Verdopplung des Umfangs zu einer Verdopplung der Seitenlänge. 3. Berechnung der neuen Seitenlänge: \(a_2 = 2 \cdot 2{,}8\,\text{m} = 5{,}6\,\text{m}\). 4. Berechnung des neuen Flächeninhalts: \(A_2 = (5{,}6\,\text{m})^2 = 31{,}36\,\text{m}^2\).

Die Seitenlänge des zweiten Plakats beträgt \(5{,}6\,\text{m}\) und der Flächeninhalt beträgt \(31{,}36\,\text{m}^2\).

- Wandle den gemischten Bruch zuerst in einen unechten Bruch um. - Was passiert mit der Wurzel eines Wertes, wenn man den Wert unter der Wurzel durch 4 teilt? - Versuche, die Seitenlänge erst als Bruch und dann als Dezimalzahl anzugeben.

1. Umwandlung des gemischten Bruchs in einen unechten Bruch: \(6\frac{19}{25} = \frac{6 \cdot 25 + 19}{25} = \frac{150 + 19}{25} = \frac{169}{25}\). 2. Berechnung der Seitenlänge durch Wurzelziehen: \(a = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}\,\text{cm} = 2{,}6\,\text{cm}\). 3. Analyse der Flächenänderung: Da \(A = a^2\) gilt, führt eine Reduktion der Fläche auf ein Viertel (\(\frac{1}{4} \cdot A\)) zu einer neuen Seitenlänge von \(\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a\). Die Seitenlänge halbiert sich also. 4. Berechnung der neuen Seitenlänge: \(a_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot 2{,}6\,\text{cm} = 1{,}3\,\text{cm}\).

a) \(a = 2{,}6\,\text{cm}\) b) Die Seitenlänge halbiert sich (Faktor \(\frac{1}{2}\)). Die neue Seitenlänge beträgt \(1{,}3\,\text{cm}\).

- Berechne für jeden Term Schritt für Schritt den Wert. - Überlege dir, welche Operationen (Quadrieren, Wurzelziehen) sich gegenseitig aufheben und unter welchen Bedingungen das gilt. - Achte darauf, an welcher Stelle das Minuszeichen steht und ob es durch ein Quadrat beeinflusst wird.

1. Berechnung von \( A \): \( \sqrt{(\frac{4}{9})^2} = \frac{4}{9} \). 2. Berechnung von \( B \): \( (\sqrt{\frac{4}{9}})^2 = \frac{4}{9} \). 3. Berechnung von \( C \): Da \( (-\frac{4}{9})^2 = (\frac{4}{9})^2 \), gilt \( \sqrt{(-\frac{4}{9})^2} = \frac{4}{9} \). 4. Berechnung von \( D \): Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv, also \( (-\sqrt{\frac{4}{9}})^2 = \frac{4}{9} \). 5. Berechnung von \( E \): Das Minuszeichen steht außerhalb der Wurzel und wird nicht mitquadriert, daher \( -\sqrt{(\frac{4}{9})^2} = -\frac{4}{9} \). 6. Ergebnis: Der gemeinsame Wert ist \( \frac{4}{9} \); Term \( E \) passt nicht.

Der gemeinsame Wert ist \( \frac{4}{9} \). Der Term \( E \) passt nicht zu den anderen.

- Aus wie vielen kongruenten Quadratflächen besteht die Oberfläche eines Würfels? - Wenn du den Flächeninhalt einer Seitenfläche kennst, welche Rechenoperation liefert die Kantenlänge? - Welche Formel verbindet die Kantenlänge eines Würfels mit seinem Volumen?

1. Berechnung des Flächeninhalts einer einzelnen Quadratseite des Würfels: \(A_{\text{Seite}} = O {:} 6 = 486\,\text{cm}^2 {:} 6 = 81\,\text{cm}^2\). 2. Berechnung der Kantenlänge \(a\) durch Ziehen der Quadratwurzel: \(a = \sqrt{81\,\text{cm}^2} = 9\,\text{cm}\). 3. Berechnung des Volumens \(V\) mit der Formel \(V = a^3\): \(V = (9\,\text{cm})^3 = 729\,\text{cm}^3\).

Das Volumen des Würfels beträgt \(V = 729\,\text{cm}^3\).

- Berechne zunächst die beiden konkreten Kantenlängen. - Welche Beziehung besteht zwischen \(a^2\) und dem Oberflächeninhalt \(O\)? - Vergleiche \(a^2\) und \(a_{\text{neu}}^2\), wenn die Oberfläche mit \(4\) multipliziert wird.

1. Es gilt \(a_1 = \sqrt{150 {:} 6} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}\) und \(a_2 = \sqrt{600 {:} 6} = \sqrt{100} = 10\,\text{cm}\). 2. Damit ist \(a_2 {:} a_1 = 10 {:} 5 = 2 {:} 1\). 3. Allgemein gilt \(a^2=\frac{O}{6}\). Wird die Oberfläche vervierfacht, so ist \(a_{\text{neu}}^2=\frac{4O}{6}=4a^2=(2a)^2\). 4. Da eine Kantenlänge positiv ist, folgt \(a_{\text{neu}}=2a\). Die Kantenlänge verdoppelt sich.

a) \(a_1 = 5\,\text{cm}\); \(a_2 = 10\,\text{cm}\) b) \(a_2 {:} a_1 = 2 {:} 1\) c) Die Kantenlänge verdoppelt sich.

- Achte bei a) auf die Reihenfolge: Berechne zuerst das Quadrat unter der Wurzel. - Welche Bedingung muss der Radikand erfüllen, damit eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert ist? - Welche Gleichung erhältst du bei c), wenn du beide Seiten quadrierst? Prüfe anschließend die gefundenen Werte in der Ausgangsgleichung.

1. Berechnung von \(A\): Zuerst wird der Term unter der Wurzel berechnet: \((-8)^2 = 64\). Dann gilt \(\sqrt{64} = 8\). 2. Untersuchung von \(B\): Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist im Bereich der reellen Zahlen nur für \(a \ge 0\) definiert. Da \(-8 < 0\) ist, ist \(\sqrt{-8}\) keine reelle Zahl; daher ist auch \((\sqrt{-8})^2\) im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. 3. Lösung von c): Aus \(\sqrt{x^2} = 11\) folgt durch Quadrieren \(x^2 = 121\). Die reellen Lösungen sind \(x = 11\) und \(x = -11\). Beide erfüllen die Ausgangsgleichung.

a) \(A = 8\) b) \(B\) ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. c) \(x = 11\) oder \(x = -11\)

- Wie kannst du eine große Zahl systematisch in kleine Teiler zerlegen? - Was passiert mit den Exponenten einer Potenz, wenn man die Quadratwurzel zieht? - Erinnere dich an die Teilbarkeitsregeln, um Primfaktoren wie 2, 3 oder 5 schnell zu finden.

1. Durchführung der Primfaktorzerlegung für \( 1764 \): \( 1764 = 2 \cdot 882 = 2^2 \cdot 441 = 2^2 \cdot 3 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \). Da alle Exponenten gerade sind, ist die Wurzel das Produkt der Faktoren mit halbierten Exponenten: \( \sqrt{1764} = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 7^1 = 42 \). 2. Durchführung der Primfaktorzerlegung für \( 3136 \): \( 3136 = 2 \cdot 1568 = 2^2 \cdot 784 = 2^3 \cdot 392 = 2^4 \cdot 196 = 2^5 \cdot 98 = 2^6 \cdot 49 = 2^6 \cdot 7^2 \). Berechnung der Wurzel: \( \sqrt{3136} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56 \). 3. Eine natürliche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung jeder vorkommende Primfaktor einen geraden Exponenten besitzt.

a) \( 1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \); \( \sqrt{1764} = 42 \) b) \( 3136 = 2^6 \cdot 7^2 \); \( \sqrt{3136} = 56 \) c) Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung gerade sind.

- Schau dir die Hochzahlen (Exponenten) der Primfaktoren genau an. - Was muss für die Exponenten gelten, damit man die Wurzel glatt ziehen kann? - Überlege dir, wie die Primfaktorzerlegung einer Primzahl aussieht.

1. Prüfung der Exponenten: Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn alle Exponenten in der Primfaktorzerlegung gerade sind. Bei \( a \) sind die Exponenten \( 4, 2, 2 \) (alle gerade). Bei \( b \) ist der Exponent der Basis \( 2 \) ungerade (\( 3 \)). Somit ist \( a \) eine Quadratzahl. 2. Berechnung der Wurzel von \( a \): \( \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 2^{\frac{4}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot 5^{\frac{2}{2}} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \). 3. Eine Primzahl \( p \) hat die Primfaktorzerlegung \( p^1 \). Da der Exponent \( 1 \) ungerade ist, kann \( p \) keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein. Wäre \( \sqrt{p} = n \) (\( n \in \mathbb{N} \)), müsste \( n^2 = p \) gelten, was bedeutet, dass in der Primfaktorzerlegung von \( p \) nur gerade Exponenten vorkommen dürften.

a) \( a \) ist eine Quadratzahl, da alle Exponenten (\( 4, 2, 2 \)) gerade sind. Bei \( b \) ist der Exponent \( 3 \) ungerade. b) \( \sqrt{a} = 60 \) c) Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl \( p \) ist \( p^1 \). Da der Exponent \( 1 \) ungerade ist, kann die Wurzel keine natürliche Zahl sein.

- Zerlege \(4356\) schrittweise in Primfaktoren und achte darauf, ob die Faktoren paarweise auftreten. - Wie wird aus dem Flächeninhalt eines Quadrats seine Seitenlänge bestimmt? - Vergleiche für den Überschlag \(4356\) mit den Quadraten der benachbarten Zehnerzahlen.

1. Primfaktorzerlegung: \(4356 = 2 \cdot 2178 = 2^2 \cdot 1089 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 121 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2\). 2. Berechnung der Seitenlänge: \(s = \sqrt{4356\,\text{m}^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11\,\text{m} = 66\,\text{m}\). 3. Überschlagsrechnung: \(60^2 = 3600\) und \(70^2 = 4900\). Da \(3600 < 4356 < 4900\), muss \(\sqrt{4356}\) zwischen \(60\) und \(70\) liegen. Das Ergebnis \(66\) ist daher plausibel.

a) \(s = 66\,\text{m}\) b) \(60^2 < 4356 < 70^2\), also liegt \(\sqrt{4356}\) zwischen \(60\) und \(70\); \(66\) ist plausibel.

- Wie hängen die Ungleichungen für die Wurzel und die Ungleichungen für die Quadrate zusammen? - Betrachte nur die letzte Ziffer, wenn du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst. - Welche Ziffern kommen in deiner Liste aus b) gar nicht vor?

1. Für Teil a): Die Ungleichung \(4 < \sqrt{n} < 5\) ist äquivalent zu \(4^2 < n < 5^2\), also \(16 < n < 25\). Die natürlichen Zahlen sind \(17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\). 2. Für Teil b): Die Quadrate der Ziffern sind \(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81\). Die Endziffern sind somit \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). 3. Für Teil c): Da Quadratzahlen nur auf \(0, 1, 4, 5, 6\) oder \(9\) enden können, kann eine Zahl mit der Endziffer \(7\) (wie \(157\)) niemals eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein.

a) \(n \in \{17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\}\) b) Mögliche Endziffern sind \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). c) \(157\) endet auf \(7\). Da keine Quadratzahl einer natürlichen Zahl auf \(7\) enden kann (siehe b), ist \(157\) keine Quadratzahl.

- Zu a): Prüfe die zweistelligen Quadratzahlen systematisch und vergleiche jeweils Wurzelwert und Ziffernsumme. - Zu b): Überlege, welche Veränderung an einer nichtnegativen Zahl beim Quadrieren einen Faktor \(4\) erzeugt, und nutze die Definition der Quadratwurzel. - Zu c): Nutze die Umkehroperation zum Wurzelziehen und quadriere \(0{,}09\).

1. Zu a): Zweistellige Quadratzahlen sind \(16, 25, 36, 49, 64\) und \(81\). Nur bei \(81\) stimmt der Wurzelwert mit der Ziffernsumme überein: \(\sqrt{81} = 9\) und \(8+1 = 9\). 2. Zu b): Setze \(r = \sqrt{x}\). Dann gilt \(r^2 = x\). Für die doppelte Zahl \(2r\) gilt \((2r)^2 = 4r^2 = 4x\). Da \(2r \ge 0\) ist, ist \(2r\) die Quadratwurzel von \(4x\). Der Wurzelwert verdoppelt sich also. 3. Zu c): Quadriere die rechte Seite: \(0{,}09^2 = 0{,}0081\). Daher sind die gesuchten Ziffern \(8\) und \(1\).

a) Die Zahl ist \(81\). b) Der Wurzelwert verdoppelt sich. c) Die Platzhalter sind \(8\) und \(1\), denn \(\sqrt{0{,}0081} = 0{,}09\).

- Achte genau auf die Position des Minuszeichens und der Klammern. - Was passiert zuerst: das Quadrieren oder das Vorzeichen setzen? - Überlege, ob der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) positiv, null oder negativ ist.

1. Analyse von Term (1): \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36}\). Da \(36 > 0\), ist die Wurzel definiert. Das Ergebnis ist \(6\). 2. Analyse von Term (2): \(-\sqrt{6^2} = -\sqrt{36}\). Die Wurzel aus \(36\) ist \(6\). Das Minuszeichen davor macht das Gesamtergebnis zu \(-6\). 3. Analyse von Term (3): \(\sqrt{-6^2} = \sqrt{-(6 \cdot 6)} = \sqrt{-36}\). In den reellen Zahlen ist die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert, da kein Quadrat einer reellen Zahl negativ sein kann.

(1) \(\sqrt{(-6)^2} = 6\) (2) \(-\sqrt{6^2} = -6\) (3) \(\sqrt{-6^2}\) ist nicht definiert, da der Radikand \(-36\) negativ ist. Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat \(-36\) ergibt.

- Berechne zuerst alle Wurzeln, die keine Unbekannte enthalten. - Bei c) muss der Radikand \(x\) nichtnegativ sein; bei d) steht \(\sqrt{x}\) zusätzlich im Nenner. - Isoliere anschließend \(x\) beziehungsweise \(\sqrt{x}\) und prüfe den gefundenen Wert im zulässigen Bereich.

1. Teil a): \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) und \(\sqrt{0{,}81} = 0{,}9\). Damit gilt \(0{,}5 + x = 0{,}9\), also \(x = 0{,}4\). 2. Teil b): \(\sqrt{\frac{1}{4}} = 0{,}5\) und \(\sqrt{\frac{9}{16}} = 0{,}75\). Damit gilt \(0{,}5x = 0{,}75\), also \(x = 1{,}5\). 3. Teil c): Wegen \(\sqrt{x}\) muss \(x \ge 0\) gelten. Aus \(1{,}1 - \sqrt{x} = 0{,}6\) folgt \(\sqrt{x} = 0{,}5\), also \(x = 0{,}25\). Dieser Wert ist zulässig. 4. Teil d): Wegen des Nenners \(\sqrt{x}\) muss \(x > 0\) gelten. Mit \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\) folgt \(0{,}2 {:} \sqrt{x} = 0{,}1\), also \(\sqrt{x} = 2\) und damit \(x = 4\). Dieser Wert liegt im Definitionsbereich.

a) \(x = 0{,}4\) b) \(x = 1{,}5\) c) \(x = 0{,}25\) d) \(x = 4\)

- Bestimme die Definitionsbedingung für jede Wurzel getrennt. - Schneide anschließend die beiden zulässigen Mengen. - Eine durch Umformen erhaltene Zahl ist nur dann eine Lösung, wenn sie auch in der ursprünglichen Gleichung zulässig ist.

1. Für \(\sqrt{x-3}\) muss \(x-3\ge0\), also \(x\ge3\), gelten. 2. Für \(\sqrt{1-x}\) muss zugleich \(1-x\ge0\), also \(x\le1\), gelten. 3. Es gibt keine reelle Zahl, die beide Bedingungen erfüllt. Die Definitionsmenge der ursprünglichen Gleichung ist leer. 4. Deshalb kann \(x=2\) keine Lösung sein. Beim Einsetzen entstünde zudem \(\sqrt{-1}\), was in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist.

\(x=2\) ist keine Lösung. Die ursprüngliche Gleichung hat die leere Definitionsmenge, weil gleichzeitig \(x\ge3\) und \(x\le1\) gelten müsste.

- Zu (1): Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Aussage über alle \(a,b\) zu widerlegen. - Zu (2): Unterscheide die Fälle \(x \le 0\) und \(x > 0\) und beachte, dass eine Quadratwurzel nie negativ ist. - Zu (3): Überlege, welche Werte ein Quadrat annehmen kann und wann sein negatives Gegenstück noch nichtnegativ ist.

1. Aussage (1) ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(a = 9\) und \(b = 16\): \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\), aber \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). 2. Aussage (2) ist wahr. Für \(x \le 0\) gilt \(-x \ge 0\) und \((-x)^2 = x^2\). Damit ist die nichtnegative Zahl \(-x\) genau die Quadratwurzel von \(x^2\), also \(\sqrt{x^2} = -x\). Für \(x > 0\) ist die linke Seite nichtnegativ, während \(-x < 0\) gilt. Somit sind genau alle \(x \le 0\) Lösungen; davon gibt es unendlich viele. 3. Aussage (3) ist wahr. Für eine reelle Quadratwurzel muss \(-(x-5)^2 \ge 0\) gelten. Da \((x-5)^2 \ge 0\) ist, kann sein negatives Gegenstück nur dann nichtnegativ sein, wenn \((x-5)^2 = 0\). Das gilt genau für \(x = 5\).

(1) Falsch; zum Beispiel gilt für \(a = 9\) und \(b = 16\): \(7 \ne 5\). (2) Wahr; genau alle \(x \le 0\) sind Lösungen. (3) Wahr; der Term ist genau für \(x = 5\) definiert.