Kostenlose Arbeitsblätter

- Betrachte nur die Nenner der beiden Brüche. - Prüfe, welcher Nenner bereits eine rationale Zahl ist. - Eine Dezimalnäherung der Wurzel ist für diese Entscheidung nicht erforderlich.

1. Zu a): Der Nenner \(5\) ist bereits rational. Eine Rationalisierung ist nicht nötig. 2. Zu b): Der Nenner \(\sqrt{5}\) ist irrational. Hier ist eine Rationalisierung des Nenners nötig.

b) \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)

- Wähle einen Erweiterungsfaktor, durch den der Wurzelausdruck im Nenner zu einer rationalen Zahl wird. - Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert werden. - Prüfe nach dem Erweitern, ob im Nenner noch eine Wurzel steht.

1. Erweitern mit \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) ergibt \(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\). 2. Der Nenner ist \(3\). Damit folgt \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

- Überlege dir, mit welcher Wurzel du den Bruch erweitern musst, damit im Nenner eine Quadratzahl unter der Wurzel steht. - Manchmal hilft es, eine Wurzel im Nenner zuerst teilweise zu radizieren (Faktoren herauszuziehen). - Denk daran, dass du beim Erweitern eines Bruchs mit einer Summe im Zähler jedes Glied einzeln multiplizieren musst.

1. Bei Teilaufgabe a) wird der Bruch mit \(\sqrt{7}\) erweitert: \(\frac{7 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}\). 2. Bei Teilaufgabe b) wird mit \(\sqrt{6}\) erweitert oder zunächst gekürzt: \(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\). Erweitern mit \(\sqrt{2}\) ergibt \(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}\). 3. Bei Teilaufgabe c) wird der Zähler aufgeteilt oder mit \(\sqrt{2}\) erweitert: \(\frac{(4 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2} - 2}{2} = 2\sqrt{2} - 1\). 4. Bei Teilaufgabe d) wird der Nenner teilweise radiziert: \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\). Der Bruch \(\frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}\) wird mit \(\sqrt{3}\) erweitert zu \(\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\).

a) \(\sqrt{7}\) b) \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) c) \(2\sqrt{2} - 1\) d) \(\sqrt{3}\)

- Prüfe zuerst, ob eine Wurzel teilweise gezogen werden kann, bevor du erweiterst. - Bei einem einzelnen Quadratwurzelterm im Nenner kann Erweitern mit derselben Quadratwurzel helfen. - Bei einem Quotienten zweier Quadratwurzeln kannst du die Radikanden unter einer Wurzel dividieren, sofern der Nenner positiv ist.

1. Zu a): Erweitern mit \(\sqrt{7}\) ergibt \(\frac{14\sqrt{7}}{7}=2\sqrt{7}\). 2. Zu b): \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\). Daher ist \(\frac{\sqrt{32}}{4}=\sqrt{2}\). 3. Zu c): \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). Erweitern mit \(\sqrt{5}\) ergibt \(\frac{\sqrt{5}}{10}\). 4. Zu d): Mit dem Quotientengesetz für Quadratwurzeln gilt \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5\).

a) \(2\sqrt{7}\) b) \(\sqrt{2}\) c) \(\frac{\sqrt{5}}{10}\) d) \(5\)

- Erweitere einen Bruch mit derselben Quadratwurzel, die im Nenner steht. - Nutze \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\), um den Nenner rational zu machen. - Kürze erst nach dem Erweitern vollständig.

1. Zu a): Erweitern mit \(\sqrt{6}\) ergibt \(\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}\). 2. Zu b): Erweitern mit \(\sqrt{10}\) ergibt \(\frac{5\sqrt{10}}{20}=\frac{\sqrt{10}}{4}\).

a) \(2\sqrt{6}\) b) \(\frac{\sqrt{10}}{4}\)

- Wie kannst du einen Bruch umformen, damit im Nenner keine Wurzel mehr steht? - Was ist einfacher: durch eine Kommazahl zu teilen oder mit einer Kommazahl zu multiplizieren? - Achte beim Runden genau auf die dritte Nachkommastelle.

1. Direkte Division durch den Näherungswert: \(10 {:} 1{,}414 \approx 7{,}0721\), gerundet auf zwei Nachkommastellen ergibt sich \(7{,}07\). 2. Rationalmachen des Nenners: Erweiterung mit \(\sqrt{2}\) führt zu \(\frac{10 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\). 3. Berechnung mit dem rationalen Nenner: \(5 \cdot 1{,}414 = 7{,}07\). 4. Vergleich der Wege: Der zweite Weg ist vorteilhafter, da eine Multiplikation mit einer Dezimalzahl (\(5 \cdot 1{,}414\)) im Kopf oder schriftlich wesentlich einfacher und weniger fehleranfällig ist als eine Division durch eine mehrstellige Dezimalzahl (\(10 {:} 1{,}414\)).

Beide Wege führen zum Ergebnis \(7{,}07\). Der zweite Weg ist vorteilhafter, da die Multiplikation einfacher auszuführen ist als die Division durch eine Dezimalzahl.

- Bei einer Summe zweier Wurzeln im Nenner hilft der konjugierte Ausdruck mit einem Minuszeichen. - Nutze im Nenner die dritte binomische Formel. - Prüfe nach dem Rationalisieren, ob sich ein rationaler Faktor kürzen lässt.

1. Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{7}-\sqrt{2}\) ergibt \(\frac{10(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}\). 2. Im Nenner gilt nach der dritten binomischen Formel \(7-2=5\). 3. Kürzen mit \(5\) liefert \(2(\sqrt{7}-\sqrt{2})\).

\(2(\sqrt{7}-\sqrt{2})\)

- Welche Erweiterung könnte den Nenner in Teil a) in eine Differenz von Quadraten verwandeln? - Schreibe bei b) \(a\) als Quadrat von \(\sqrt{a}\) und nutze die Differenz von Quadraten. - Prüfe vor jedem Kürzen, ob der gekürzte Faktor im angegebenen Definitionsbereich null werden kann.

1. Zu a): Erweitern mit \(\sqrt{x+1}+1\) ergibt im Nenner \((x+1)-1=x\). Wegen \(x\ne0\) darf gekürzt werden. Es bleibt \(\sqrt{x+1}+1\). 2. Zu b): Es gilt \(a-16=(\sqrt{a}-4)(\sqrt{a}+4)\). Da \(\sqrt{a}+4>0\), kann dieser Faktor gekürzt werden. Es bleibt \(\sqrt{a}-4\).

a) \(\sqrt{x+1}+1\) b) \(\sqrt{a}-4\)

- Suche eine Erweiterung, durch die das Produkt im Nenner als Differenz zweier Quadrate geschrieben werden kann. - Welche binomische Formel passt dann im Nenner? - Prüfe, warum die Bedingung \(x\ne y\) für die erhaltene Darstellung wichtig ist.

1. Erweitern mit \(\sqrt{x}-\sqrt{y}\) ergibt \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}\). 2. Mit der dritten binomischen Formel wird der Nenner zu \(x-y\). 3. Wegen \(x\ne y\) ist dieser Nenner nicht null. Damit lautet der vereinfachte Term \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}\).

\(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}\)

- Welche binomische Formel hilft dabei, Wurzeln in einer Differenz oder Summe im Nenner zu eliminieren? - Wie verändert sich ein Bruch, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert? - Kannst du nach dem Erweitern Faktoren im Zähler und Nenner kürzen? - Vergiss nicht, beim Ausmultiplizieren von Wurzeln die Wurzelgesetze anzuwenden.

1. Multiplikation des ersten Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{10}+\sqrt{7}\) im Zähler und Nenner: \(\frac{6(\sqrt{10}+\sqrt{7})}{(\sqrt{10}-\sqrt{7})(\sqrt{10}+\sqrt{7})}\). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner: \((\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2 = 10 - 7 = 3\). 3. Kürzen des Faktors \(6\) im Zähler gegen die \(3\) im Nenner ergibt \(2(\sqrt{10}+\sqrt{7}) = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{7}\). 4. Multiplikation des zweiten Bruchs mit \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\): \(\frac{2\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\). 5. Nenner vereinfachen: \(5 - 3 = 2\). 6. Kürzen der \(2\) und Ausmultiplizieren des Zählers: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 5 - \sqrt{15}\).

1) \(2\sqrt{10} + 2\sqrt{7}\) 2) \(5 - \sqrt{15}\)

- Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel in eine Zahl ohne Wurzel umwandeln? - Was passiert, wenn du Zähler und Nenner mit demselben geschickt gewählten Ausdruck multiplizierst? - Erinnere dich an den Zusammenhang \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

1. Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners \( 2\sqrt{3} + 1 \). 2. Anwendung der 3. binomischen Formel im Nenner: \( (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4 \cdot 3 - 1 = 11 \). 3. Ausmultiplizieren des Zählers: \( (\sqrt{3} + 2)(2\sqrt{3} + 1) = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 2 = 6 + 5\sqrt{3} + 2 = 8 + 5\sqrt{3} \). 4. Zusammenfassen des Terms zu \( \frac{8 + 5\sqrt{3}}{11} \).

\( \frac{8 + 5\sqrt{3}}{11} \)

- Wie wird man Wurzeln im Nenner eines Bruchs los? - Kennst du einen Trick, um einen Ausdruck wie \((a - b)\) so zu multiplizieren, dass die Quadratwurzeln verschwinden? - Erinnere dich an die binomischen Formeln.

1. Nenner rational machen durch Erweitern mit der dritten binomischen Formel: Multiplikation mit \((\sqrt{7} + \sqrt{5})\) 2. Zähler ausrechnen: \(\sqrt{7} \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 7 + \sqrt{35}\) 3. Nenner berechnen: \((\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 7 - 5 = 2\) 4. Endergebnis: \(\frac{7 + \sqrt{35}}{2}\)

b) \(\frac{7 + \sqrt{35}}{2}\)

- Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Stelle die Formel zuerst nach der gesuchten Größe um. - Wenn du am Ende einen Bruch mit einer Wurzel im Nenner hast, versuche diesen durch Erweitern zu vereinfachen.

1. Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks: \(A = \frac{1}{2}ab\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot b\). 3. Auflösen nach \(b\): Multiplikation mit \(2\) ergibt \(\frac{12}{\sqrt{2}} = 3b\). Division durch \(3\) ergibt \(b = \frac{4}{\sqrt{2}}\). 4. Nenner rational machen: Erweitern mit \(\sqrt{2}\) führt zu \(b = \frac{4\sqrt{2}}{2}\). 5. Kürzen: \(b = 2\sqrt{2}\). 6. Numerische Berechnung: Mit \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) ergibt sich \(b \approx 2 \cdot 1{,}41 = 2{,}82\,\text{cm}\).

Die Kathete \(b\) ist \(2\sqrt{2}\,\text{cm}\) lang, was etwa \(2{,}82\,\text{cm}\) entspricht.

- Wie kannst du einen Ausdruck der Form \(\sqrt{a} - b\) im Nenner so erweitern, dass die Wurzel verschwindet? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel \((x-y)(x+y) = x^2 - y^2\)? - Achte beim Runden am Ende genau auf die dritte Nachkommastelle.

1. Rationalisieren des Nenners: Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \((\sqrt{11} + 3)\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) = (\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2\). 3. Zähler berechnen: \(4 \cdot (\sqrt{11} + 3)\). 4. Vereinfachen des Bruchs: \(T = \frac{4(\sqrt{11} + 3)}{2} = 2(\sqrt{11} + 3)\). 5. Einsetzen des Näherungswerts: \(T \approx 2(3{,}317 + 3) = 2 \cdot 6{,}317 = 12{,}634\). 6. Runden auf zwei Nachkommastellen: \(12{,}63\).

a) \(2(\sqrt{11} + 3)\) oder \(2\sqrt{11} + 6\) b) \(12{,}63\)

- Kannst du eine Wurzel im Term so umschreiben, dass sie besser zum restlichen Term passt? - Erinnere dich an die Wurzelgesetze für die Division: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). - Um zu zeigen, dass zwei Ausdrücke gleich sind, kannst du einen davon so lange umformen, bis er wie der andere aussieht.

1. In Teilaufgabe a) wird \(\sqrt{12}\) zu \(2\sqrt{3}\) vereinfacht. Der Bruch \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) wird mit \(\sqrt{3}\) erweitert zu \(\frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\). Die Subtraktion ergibt \(2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\). 2. In Teilaufgabe b) wird der Bruch aufgeteilt: \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}\). Unter Anwendung der Wurzelgesetze ergibt sich \(\sqrt{\frac{10}{5}} + \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{2} + \sqrt{4} = \sqrt{2} + 2\). 3. In Teilaufgabe c) wird \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) mit \(\sqrt{2}\) erweitert: \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). Damit ist die Gleichheit gezeigt.

a) \(\sqrt{3}\) b) \(2 + \sqrt{2}\) c) Nachweis durch Erweitern mit \(\sqrt{2}\): \(\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\).

- Bei Summen im Nenner hilft oft das Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck (Differenz statt Summe), um eine binomische Formel zu nutzen. - Um die Größe einer Wurzel abzuschätzen, kannst du sie in die Form \(\sqrt{n}\) bringen und mit bekannten Quadratzahlen vergleichen. - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Wie stellt man sie nach einer Seitenlänge um?

1. In Teilaufgabe a) wird mit der Differenz \(2 - \sqrt{3}\) erweitert: \(\frac{1 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}\). Im Nenner ergibt sich nach der dritten binomischen Formel \(2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1\). Das Ergebnis ist \(2 - \sqrt{3}\). 2. In Teilaufgabe b) wird \(\frac{12}{\sqrt{3}}\) mit \(\sqrt{3}\) erweitert zu \(\frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\). Dies entspricht \(\sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\). Da \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\) gilt, liegt \(\sqrt{48}\) zwischen 6 und 7. 3. In Teilaufgabe c) gilt \(l = \frac{A}{b} = \frac{10}{\sqrt{5}}\). Erweitern mit \(\sqrt{5}\) ergibt \(l = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\,\text{cm}\).

a) \(2 - \sqrt{3}\) b) Zwischen 6 und 7, da \(\frac{12}{\sqrt{3}} = \sqrt{48}\). c) \(l = 2\sqrt{5}\,\text{cm}\)

- Prüfe bei jedem Gleichheitszeichen, ob Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert wurden. - Beim Multiplizieren einer Summe mit einer Wurzel gilt das Distributivgesetz für jeden Summanden. - Vereinfache Wurzeln erst nach dem korrekten Ausmultiplizieren und Kürzen.

1. Zu a): Der Bruch wird korrekt mit \(\sqrt{20}\) erweitert. Danach gilt \(\frac{10\sqrt{20}}{20}=\frac{\sqrt{20}}{2}\) und wegen \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) folgt \(\sqrt{5}\). Laras Rechenweg ist korrekt. 2. Zu b): Das Erweitern mit \(\sqrt{5}\) ist zunächst korrekt. Beim Ausmultiplizieren des Zählers entsteht jedoch \((\sqrt{5}+2)\sqrt{5}=5+2\sqrt{5}\), nicht \(5+2\). 3. Der korrekt rationalisierte Bruch lautet daher \(\frac{5+2\sqrt{5}}{15}\).

a) Laras Rechenweg ist korrekt; das Ergebnis ist \(\sqrt{5}\). b) Bens erster Fehler liegt beim Ausmultiplizieren des Zählers. Korrekt ist \(\frac{5+2\sqrt{5}}{15}\).

- Welche binomische Formel hilft dir dabei, eine Differenz aus einer Zahl und einer Wurzel im Nenner zu eliminieren? - Wie muss der Faktor aussehen, mit dem du erweitern musst, damit im Nenner ein Ausdruck der Form \( x^2 - y^2 \) entsteht? - Multipliziere den Zähler erst einmal nicht aus – vielleicht lässt sich später etwas kürzen.

1. Um den Nenner rational zu machen, wird mit dem konjugierten Ausdruck \( 4 + \sqrt{5} \) erweitert. 2. Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \( (4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 4^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11 \). 3. Der Zähler lautet nach dem Erweitern \( 11 \cdot (4 + \sqrt{5}) \). 4. Der gesamte Bruch ist somit \( \frac{11(4 + \sqrt{5})}{11} \). 5. Durch Kürzen der Zahl 11 ergibt sich das Endergebnis \( 4 + \sqrt{5} \).

\( 4 + \sqrt{5} \)

- Konzentriere dich zuerst nur auf den Bruch und versuche, dort die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen. - Welche binomischen Formeln kannst du im Zähler und im Nenner des Bruchs anwenden? - Was passiert, wenn du das vereinfachte Ergebnis des Bruchs mit dem restlichen Teil des Terms zusammenfügst?

1. Rationalmachen des Nenners von \( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \): Erweitern mit \( \sqrt{3} - 1 \). 2. Nenner berechnen: \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 \). 3. Zähler berechnen: \( (\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} \). 4. Den Bruch vereinfachen: \( \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \). 5. Gesamten Term berechnen: \( T = (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2 \).

\( 2 \)

- Wie kannst du einen Bruch umformen, damit im Nenner keine Wurzel mehr steht? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel für den Nenner? - Kannst du \(\sqrt{48}\) durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen? - Fasse anschließend die gleichartigen Wurzelterme zusammen.

1. Rationalmachen des Nenners: \(\frac{4(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{-2} = -2 - 2\sqrt{3}\). 2. Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\). 3. Zusammenfassen: \((-2 - 2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = -2 + 4\sqrt{3}\).

\(-2 + 4\sqrt{3}\)

- Wenn im Nenner eine Summe oder Differenz mit Wurzeln steht, hilft oft die dritte binomische Formel. - Mit welchem Ausdruck müsste man \((a - b)\) multiplizieren, um \(a^2 - b^2\) zu erhalten? - Achte darauf, dass du beim Erweitern den gesamten Zähler und den gesamten Nenner multiplizierst. - Kannst du das Ergebnis am Ende noch durch teilweises Wurzelziehen oder Kürzen vereinfachen?

1. Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck \((\sqrt{5} + \sqrt{2})\). Anwendung der dritten binomischen Formel im Nenner: \((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3\). Kürzen der \(6\) gegen die \(3\) ergibt \(2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\). 2. Erweitern mit \((\sqrt{3} + 1)\). Im Nenner ergibt sich durch die dritte binomische Formel \(3 - 1 = 2\). Im Zähler wird die erste binomische Formel angewendet: \((\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\). Division durch \(2\) ergibt \(2 + \sqrt{3}\). 3. Erweitern mit \(\sqrt{6}\) ergibt \(\frac{3\sqrt{12}}{6}\). Kürzen führt zu \(\frac{\sqrt{12}}{2}\). Durch teilweises Wurzelziehen (\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)) und anschließendes Kürzen erhält man \(\sqrt{3}\). Alternativ: \(\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = 3\sqrt{\frac{2}{6}} = 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\).

a) \(2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\) b) \(2 + \sqrt{3}\) c) \(\sqrt{3}\)

- Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man ein Produkt aus zwei Klammern wie \((a-b)(a+b)\) vereinfachen kann? - Womit musst du den Nenner multiplizieren, damit die Wurzeln beim Ausmultiplizieren verschwinden? - Setze die Näherungswerte erst ganz am Ende in den vereinfachten Term ein.

1. Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \((\sqrt{5} + \sqrt{3})\), um die dritte binomische Formel im Nenner anzuwenden: \(\frac{2 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})}\). 2. Vereinfachung des Nenners gemäß \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2\). 3. Kürzen des Faktors \(2\) im Zähler und Nenner: \(\frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}\). 4. Einsetzen der Näherungswerte: \(2{,}236 + 1{,}732 = 3{,}968\). 5. Rundung auf zwei Nachkommastellen: \(3{,}97\).

a) Der Term mit rationalem Nenner lautet \(\sqrt{5} + \sqrt{3}\). b) Der Näherungswert ist \(3{,}97\).

- Schreibe \(a\) als \((\sqrt{a})^2\) und untersuche den Zähler auf eine Differenz von Quadraten. - Prüfe, ob nach dem Faktorisieren ein Faktor zum Radikanden im Nenner passt. - Nutze die Bedingung \(0\le a<1\), um sicherzustellen, dass die vorkommenden Wurzeln und der Nenner zulässig sind.

1. Mit der dritten binomischen Formel gilt \(1-a=(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})\). 2. Damit ist \(T=(1-\sqrt{a})\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}\). 3. Wegen \(1+\sqrt{a}>0\) gilt \(\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}=\sqrt{1+\sqrt{a}}\). Somit folgt \(T=(1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}\).

\((1-\sqrt{a})\sqrt{1+\sqrt{a}}\)

- Kannst du den ersten Ausdruck so erweitern, dass im Zähler eine binomische Formel entsteht? - Wie addiert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern? Hilft es hier, erst die einzelnen Nenner rational zu machen? - Schau dir die Nenner im zweiten Teil genau an – sie sind konjugiert zueinander. Was bedeutet das für ihr Produkt?

1. Teilaufgabe a: Erweitern des Bruchs mit \(\sqrt{5}+2\). Im Nenner ergibt sich nach der dritten binomischen Formel \((\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\). Der Zähler wird mit der ersten binomischen Formel berechnet: \((\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}\). 2. Teilaufgabe b: Beide Brüche werden auf den gemeinsamen Nenner \((\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\) gebracht, welcher nach der dritten binomischen Formel \(2 - 1 = 1\) ergibt. Die Addition der erweiterten Zähler ergibt \((\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}\). Alternativ können beide Brüche einzeln rational gemacht werden, was ebenfalls zu \((\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}\) führt.

a) \(9+4\sqrt{5}\) b) \(2\sqrt{2}\)

- Untersuche zuerst, wann die beiden Wurzeln und der Nenner definiert sind. - Schreibe \(b-c\) als Differenz zweier Quadrate mit \(\sqrt{b}\) und \(\sqrt{c}\). - Beim alternativen Weg musst du den Sonderfall \(b=c\) beachten, bevor du einen Faktor \(b-c\) kürzt.

1. Für reelle Quadratwurzeln müssen \(b\ge0\) und \(c\ge0\) gelten. Der Nenner \(\sqrt{b}+\sqrt{c}\) ist genau dann null, wenn \(b=c=0\). Somit gilt zusätzlich \((b,c)\ne(0,0)\). 2. Mit \(b-c=(\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})\) kann im Definitionsbereich der gemeinsame Faktor gekürzt werden. Es folgt \(A=\sqrt{b}-\sqrt{c}\). 3. Alternativ erweitert man mit \(\sqrt{b}-\sqrt{c}\). Für \(b\ne c\) entsteht \(\frac{(b-c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}=\sqrt{b}-\sqrt{c}\). Für \(b=c>0\) ist der ursprüngliche Term bereits \(0\), ebenso das vereinfachte Ergebnis.

a) \(A=\sqrt{b}-\sqrt{c}\) b) Für \(b\ne c\) führt Erweitern mit \(\sqrt{b}-\sqrt{c}\) zu \(\frac{(b-c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})}{b-c}=\sqrt{b}-\sqrt{c}\). Für \(b=c>0\) sind ursprünglicher und vereinfachter Term beide \(0\). c) \(b\ge0\), \(c\ge0\) und \((b,c)\ne(0,0)\)

- Überlege bei 1), wie du das Wurzelzeichen im Nenner durch geeignetes Erweitern beseitigen kannst; danach kann eine bekannte Faktorisierung nützlich werden. - Welche Erweiterung verwandelt bei 2) die Differenz der beiden Wurzeln im Nenner in eine Differenz ohne Wurzelterm? - Nutze die angegebenen Bedingungen, um sicherzustellen, dass Wurzeln und Nenner definiert bleiben.

1. Zu 1): Erweitern mit \(\sqrt{x^2-9}\) ergibt \(\frac{(x-3)\sqrt{x^2-9}}{x^2-9}\). Wegen \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und der gegebenen Bedingung kann \(x-3\) gekürzt werden. Es bleibt \(\frac{\sqrt{x^2-9}}{x+3}\). 2. Zu 2): Erweitern mit \(\sqrt{y+4}+\sqrt{y}\) ergibt im Nenner \((y+4)-y=4\). Nach dem Kürzen folgt \(\sqrt{y+4}+\sqrt{y}\).

1) \(\frac{\sqrt{x^2-9}}{x+3}\) 2) \(\sqrt{y+4}+\sqrt{y}\)

- Erweitere den Bruch zuerst so, dass die Wurzel im Nenner verschwindet. - Nutze für das Quadrieren von \(A\) die binomischen Formeln. - Setze deinen vereinfachten Wert für \(A\) konsequent in den gesamten Ausdruck ein. - Achte auf das Minuszeichen vor der Klammer beim Subtrahieren von \(2A\).

1. Rationalmachen des Nenners von \(A\) durch Erweitern mit \(\sqrt{5}+1\): \(A = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}\). 2. Nenner berechnen: \((\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4\). 3. Kürzen der \(4\) ergibt den vereinfachten Wert \(A = \sqrt{5} + 1\). 4. Berechnung von \(A^2\) unter Verwendung der 1. binomischen Formel: \((\sqrt{5}+1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}\). 5. Einsetzen von \(A\) und \(A^2\) in den Term: \((6 + 2\sqrt{5}) - 2(\sqrt{5}+1) - 4\). 6. Klammern auflösen und zusammenfassen: \(6 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 2 - 4 = 0\).

a) \(A = \sqrt{5} + 1\) b) Der Wert ist \(0\).

- Berechne zuerst nur das Produkt aus jedem Nenner und seinem konjugierten Ausdruck. - Vergleiche die dabei entstehende rationale Zahl mit dem ursprünglichen Zähler. - Achte darauf, die strukturelle Gemeinsamkeit beider Beispiele zu beschreiben, nicht nur die beiden Rechnungen zu wiederholen.

1. Zu a): Erweitern mit \(4+\sqrt{5}\) ergibt \(\frac{22(4+\sqrt{5})}{16-5}=\frac{22(4+\sqrt{5})}{11}=2(4+\sqrt{5})=8+2\sqrt{5}\). 2. Zu b): Erweitern mit \(2\sqrt{6}-3\) ergibt \(\frac{15(2\sqrt{6}-3)}{24-9}=\frac{15(2\sqrt{6}-3)}{15}=2\sqrt{6}-3\). 3. In beiden Fällen liefert das Produkt aus Nenner und konjugiertem Ausdruck eine rationale Zahl, die den gegebenen Zähler teilt: \(11\) teilt \(22\), und \(15\) ist sogar genau der zweite Zähler. Deshalb kürzt sich der neue rationale Nenner vollständig weg.

a) \(8+2\sqrt{5}\) b) \(2\sqrt{6}-3\) Die Zähler sind so gewählt, dass der nach dem Erweitern entstehende rationale Nenner vollständig gekürzt werden kann.

- Konzentriere dich zuerst nur auf den Bruch. Wie kannst du den Nenner wurzelfrei machen? - Was passiert mit dem Term \(\sqrt{7}\), wenn du ihn vom vereinfachten Bruch subtrahierst? - Welche Art von Zahlen gehören zur Menge der ganzen Zahlen?

1. Rationalisieren des Nenners des Bruchs durch Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{7} + 1\). 2. Berechnung des Nenners: \((\sqrt{7})^2 - 1^2 = 7 - 1 = 6\). 3. Vereinfachung des Bruchs durch Kürzen der Zahl 6 im Zähler und Nenner: \(\frac{6(\sqrt{7} + 1)}{6} = \sqrt{7} + 1\). 4. Einsetzen in den Gesamtausdruck: \((\sqrt{7} + 1) - \sqrt{7} = 1\). 5. Da das Ergebnis \(1\) ist, handelt es sich um eine ganze Zahl.

Der Term lässt sich zu \(1\) vereinfachen, was eine ganze Zahl ist.

- Rationalisiere zunächst die beiden Nenner und vergleiche danach die vereinfachten Formen von \(x\) und \(y\). - Berechne lieber \(x+y\) und \(xy\), statt beide Quadrate einzeln auszumultiplizieren. - Nutze \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\), um unnötige Rechnungen zu vermeiden.

1. Nach dem Rationalisieren der Nenner gilt \(x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}\) und \(y=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\). 2. Daraus folgen besonders einfach \(x+y=5\) und \(xy=\frac{25-21}{4}=1\). 3. Mit \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\) erhält man \(x^2+y^2=25-2=23\). 4. Somit ist \(x^2-4xy+y^2=23-4\cdot1=19\).

\(19\)

- Was passiert, wenn du die Nenner der Brüche rational machst, bevor du quadrierst? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten hier beim Quadrieren sehr nützlich sein. - Kannst du den Term so umformen, dass die Wurzeln im Nenner verschwinden? - Manchmal ist es einfacher, erst die Brüche zu vereinfachen und dann die Operationen (wie das Quadrieren) auszuführen.

1. Die Terme in den Klammern einzeln rational machen, indem die Brüche mit dem jeweils konjugierten Ausdruck erweitert werden: \(\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2\). 2. Entsprechend für den zweiten Bruch: \(\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2\). 3. Die quadrierten Ausdrücke berechnen: \((\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4 + 4\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5}\). 4. Den zweiten quadrierten Ausdruck berechnen: \((\sqrt{5}-2)^2 = 5 + 4 - 4\sqrt{5} = 9 - 4\sqrt{5}\). 5. Die beiden Ergebnisse addieren: \((9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 18\).

\(18\)

- Suche in \(50\) nach einem möglichst großen quadratischen Faktor. - Überlege nach dem Vereinfachen, mit welchem Wurzelfaktor du Zähler und Nenner erweitern kannst, damit im Nenner keine Wurzel mehr steht. - Unterscheide zwischen einer exakten Wurzelschreibweise und einer endlichen Dezimalnäherung.

1. Es gilt \(50=25\cdot2\). Daher ist \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). 2. Damit gilt \(T=\frac{10}{5\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\). Erweitern mit \(\sqrt{2}\) ergibt \(T=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\). 3. Der Term \(\sqrt{2}\) bezeichnet einen exakten irrationalen Wert. Seine Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch; eine endliche Dezimalzahl wäre daher nur eine Näherung.

a) \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) b) \(T=\sqrt{2}\) c) \(\sqrt{2}\) ist exakt; nur eine endliche Dezimaldarstellung davon wäre näherungsweise.

- Beachte beim Auflösen von \(\sqrt{u^2}\) den Betrag. - Vergleiche \(\sqrt{7}\) mit \(2\), bevor du den Betrag auflöst. - Für einen Nenner der Form \(\sqrt{7}-2\) ist der konjugierte Ausdruck hilfreich.

1. Mit \(\sqrt{u^2}=|u|\) gilt \(\sqrt{\frac{3}{(2-\sqrt{7})^2}}=\frac{\sqrt{3}}{|2-\sqrt{7}|}\). 2. Da \(\sqrt{7}>2\) ist, gilt \(|2-\sqrt{7}|=\sqrt{7}-2\). Der Term lautet damit \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}-2}\). 3. Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck \(\sqrt{7}+2\) ergibt \(\frac{\sqrt{3}(\sqrt{7}+2)}{7-4}=\frac{\sqrt{21}+2\sqrt{3}}{3}\).

\(\frac{\sqrt{21}+2\sqrt{3}}{3}\)

- Behandle beim Kubieren den rationalen Faktor und den Wurzelfaktor zunächst getrennt. - Zerlege die Potenzen unter der Wurzel so, dass möglichst große Quadrate sichtbar werden. - Nutze die Positivitätsbedingungen, wenn du Quadratfaktoren aus der Wurzel ziehst.

1. Beim Kubieren bleibt das Minuszeichen erhalten: \(\left(-\frac{x}{y}\sqrt{\frac{2y}{x^3}}\right)^3=-\frac{x^3}{y^3}\sqrt{\frac{8y^3}{x^9}}\). 2. Für \(x,y>0\) gilt \(\sqrt{8y^3}=2y\sqrt{2y}\) und \(\sqrt{x^9}=x^4\sqrt{x}\). Damit folgt \(-\frac{2\sqrt{2y}}{xy^2\sqrt{x}}\). 3. Erweitern des Bruchs mit \(\sqrt{x}\) liefert \(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2y^2}\).

\(-\frac{2\sqrt{2xy}}{x^2y^2}\)

- Suche bei jedem Nenner eine Erweiterung, die beim Multiplizieren eine Differenz von Quadraten erzeugt. - Achte bei 1) darauf, den Zähler nach dem Erweitern vollständig auszumultiplizieren. - Nutze die gegebenen Bedingungen, bevor du Faktoren im Nenner kürzt.

1. Zu 1): Erweitern mit \(\sqrt{u+v}+\sqrt{u-v}\) ergibt im Nenner \((u+v)-(u-v)=2v\). Der Zähler wird zu \(2u+2\sqrt{u^2-v^2}\). Nach Kürzen mit \(2\) folgt \(\frac{u+\sqrt{u^2-v^2}}{v}\). 2. Zu 2): Erweitern mit \(\sqrt{x^2+y^2}+x\) ergibt im Nenner \(x^2+y^2-x^2=y^2\). Wegen \(y\ne0\) darf mit \(y^2\) gekürzt werden. Es bleibt \(\sqrt{x^2+y^2}+x\).

1) \(\frac{u+\sqrt{u^2-v^2}}{v}\) 2) \(\sqrt{x^2+y^2}+x\)

- Wie sieht der „Gegenspieler“ zum Nenner aus, um die Differenz von Quadraten zu nutzen? - Achte beim Ausmultiplizieren im Zähler auf Produkte wie \( \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} \). - Kannst du unter der Wurzel Faktoren finden, die Quadratzahlen sind? - Prüfe am Ende, ob du den gesamten Bruch durch eine gemeinsame Zahl kürzen kannst.

1. Erweiterung des Bruchs mit dem konjugierten Ausdruck \( 4\sqrt{3} - \sqrt{15} \). 2. Berechnung des Nenners mittels der 3. binomischen Formel: \( (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 \cdot 3 - 15 = 48 - 15 = 33 \). 3. Ausmultiplizieren des Zählers: \( (2\sqrt{15} - 3\sqrt{3})(4\sqrt{3} - \sqrt{15}) = 8\sqrt{45} - 2 \cdot 15 - 12 \cdot 3 + 3\sqrt{45} = 11\sqrt{45} - 30 - 36 = 11\sqrt{45} - 66 \). 4. Teilweises Wurzelziehen im Zähler: \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} \). Einsetzen ergibt \( 11 \cdot 3\sqrt{5} - 66 = 33\sqrt{5} - 66 \). 5. Kürzen des Bruchs durch 33: \( \frac{33\sqrt{5} - 66}{33} = \sqrt{5} - 2 \).

\( \sqrt{5} - 2 \)

- Suche zunächst eine Erweiterung, durch die der Nenner ohne Wurzelterm geschrieben werden kann. - Bringe nach der Substitution den Ausdruck \(x^2+1\) auf einen gemeinsamen Nenner und suche im Zähler nach einem vollständigen Quadrat. - Nutze \(0<t<1\), um beim Ziehen der Quadratwurzel das richtige Vorzeichen festzulegen.

1. Erweitern mit \(\sqrt{x^2+1}+1\) ergibt \(T(x)=\frac{x(\sqrt{x^2+1}+1)}{x^2}=\frac{\sqrt{x^2+1}+1}{x}\). Da \(0<t<1\), ist der eingesetzte Wert \(x>0\) und damit nicht null. 2. Für \(x=\frac{2t}{1-t^2}\) gilt \(x^2+1=\frac{4t^2+(1-t^2)^2}{(1-t^2)^2}=\frac{(1+t^2)^2}{(1-t^2)^2}\). 3. Wegen \(0<t<1\) sind \(1+t^2\) und \(1-t^2\) positiv. Daher ist \(\sqrt{x^2+1}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\). 4. Einsetzen liefert \(T=\frac{\frac{1+t^2}{1-t^2}+1}{\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\).

\(T=\frac{1}{t}\)