Gegeben ist \(g(x)=-3x^4\). Entscheide, ob der Graph von \(g\) zur \(y\)-Achse, zum Ursprung oder zu keinem von beiden symmetrisch ist.

Der Graph einer Potenzfunktion \(h(x)=ax^n\) mit \(a\ne0\) ist zum Ursprung symmetrisch. Entscheide, ob der natürliche Exponent \(n\) gerade oder ungerade ist.

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f(x)=-2x^4\). Entscheide, ob ihr Graph zur \(y\)-Achse symmetrisch ist und ob er für \(x\ne0\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Begründe beide Aussagen mit Exponent und Koeffizient.

Untersuche die folgenden Potenzfunktionen auf ihre Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung. Beschreibe zudem das Verhalten der Funktionswerte für große positive \(x\)-Werte und für negative \(x\)-Werte mit großem Betrag. a) \(f(x)=-5x^8\) b) \(g(x)=0{,}4x^3\)

Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen \(f\) und \(g\) mit den Funktionsgleichungen \(f(x) = x^3\) und \(g(x) = -x^3\). a) Vervollständige die folgende Wertetabelle für beide Funktionen: <table> <tr> <td>\(x\)</td> <td>\(-2\)</td> <td>\(-1\)</td> <td>\(0\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(2\)</td> </tr> <tr> <td>\(f(x)\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> </tr> <tr> <td>\(g(x)\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> <td>\(\square\)</td> </tr> </table> b) Beschreibe, wie man den Graphen von \(g\) durch eine geometrische Abbildung aus dem Graphen von \(f\) erhalten kann. c) Untersuche das Symmetrieverhalten von \(g(x) = -x^3\). Weise rechnerisch nach, ob der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Vergleiche die Potenzfunktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=x^5\). a) Entscheide für jeden Bereich, welche Funktion den größeren Funktionswert hat: i) \(x>1\) ii) \(0<x<1\) iii) \(-1<x<0\) iv) \(x<-1\) b) Berechne die Funktionswerte beider Funktionen für \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). c) Erkläre, warum sich die Reihenfolge der Funktionswerte bei negativen \(x\)-Werten gegenüber den entsprechenden positiven Beträgen umkehrt.

In der Abbildung sind die Graphen von drei verschiedenen Potenzfunktionen der Form \(y=x^n\) mit \(n\in\mathbb{N}_{>0}\) dargestellt: (1) \(y=x^3\) (2) \(y=x^4\) (3) \(y=x^6\) Ordne den Funktionsgleichungen (1), (2) und (3) jeweils den passenden Graphen a, b oder c zu. Begründe deine Zuordnung anhand der Symmetrie und des Verlaufs für \(0<x<1\) und \(x>1\).

In der Abbildung siehst du die Graphen zweier Potenzfunktionen \(f(x)=ax^n\) und \(g(x)=bx^m\) mit jeweils negativem Koeffizienten \(a,b<0\). a) Welcher Graph gehört zu einem geraden Exponenten und welcher zu einem ungeraden? Begründe deine Entscheidung. b) Beschreibe für beide Graphen die Funktionswerte bei großen positiven \(x\)-Werten. c) Nenne für Graph \(f\) drei mögliche Funktionsgleichungen mit unterschiedlichen geraden Exponenten, die den charakteristischen Verlauf besitzen.

Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen auf dem Graphen einer Potenzfunktion der Form \(f(x)=ax^n\). a) Lies die Koordinaten der beiden Punkte ab und begründe damit, warum der Exponent \(n\) eine gerade Zahl sein muss. b) Bestimme die Funktionsgleichung für den Fall, dass \(n\) die kleinstmögliche positive natürliche Zahl ist, die diese Bedingung erfüllt.

In der Abbildung sind zwei Graphen a und b der Funktionen \(f(x)=x^4\) und \(g(x)=x^2\) dargestellt. Beide Graphen verlaufen durch den Koordinatenursprung und den Punkt \((1|1)\). a) Welcher Graph gehört zu welcher Funktion? Begründe deine Entscheidung durch einen Vergleich der Funktionswerte an der Stelle \(x=0{,}5\). b) Welcher Graph liegt für \(x>1\) oberhalb des anderen? Erkläre dies kurz.

Gegeben sind die Funktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=-x^3\). a) Beschreibe, durch welche geometrische Abbildung der Graph von \(g\) aus dem Graphen von \(f\) hervorgeht. b) In welchen Quadranten des Koordinatensystems verläuft der Graph von \(g\)?

Die Abbildung zeigt die Graphen dreier Potenzfunktionen der Form \(f(x)=ax^n\) mit \(n\in\mathbb{N}_{>0}\). a) Entscheide für jeden Graphen allein aufgrund seiner Symmetrie, ob der Exponent \(n\) gerade oder ungerade ist. b) Ordne den Graphen die passenden Funktionsterme zu: \(k(x)=-0{,}5x^2\), \(m(x)=x^4\), \(p(x)=x^3\). Begründe bei den beiden geraden Potenzen zusätzlich mit dem Vorzeichen der Funktionswerte.

Jonas behauptet: „Jede Potenzfunktion \(f(x)=ax^n\) mit \(a\ne0\) und \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist streng monoton steigend.“ Untersuche die Behauptung. Gib ein Gegenbeispiel an, falls sie falsch ist, und formuliere anschließend die korrekte allgemeine Regel für die Monotonie punktsymmetrischer Potenzfunktionen in Abhängigkeit vom Vorzeichen von \(a\).

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f\) mit \(f(x)=0{,}25x^4\). a) Berechne die Funktionswerte \(f(-2)\) und \(f(3)\) auf rechnerischem Weg. b) Bestimme alle reellen Zahlen \(x\), für die \(f(x)=64\) gilt. c) Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung: (1) Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. (2) Es gibt keine reelle Zahl \(x\) mit \(f(x)=-2\).

Gegeben sind vier Potenzfunktionen: \(f_1(x)=1{,}5x^4\) \(f_2(x)=-0{,}5x^6\) \(f_3(x)=0{,}2x^5\) \(f_4(x)=-3x^3\) a) Ordne die Graphen \(p\) und \(q\) jeweils einem Funktionsterm zu. Begründe mit der Symmetrie und damit, wie die Graphen links und rechts verlaufen. b) Beschreibe für die beiden übrigen Funktionen die Symmetrie, den Verlauf von links nach rechts und die Wertemenge.

Gegeben ist die Potenzfunktion \(f\) mit der Funktionsgleichung \(f(x)=0{,}25x^3\). a) Berechne die Funktionswerte \(f(-2)\) und \(f(2)\). b) Für welches \(x\) gilt \(f(x)=54\)? c) Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, und begründe kurz: (1) Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. (2) Es gibt kein reelles \(x\) mit \(f(x)=-128\).

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=-0{,}25x^4\). a) Beschreibe den Verlauf und die Symmetrie des Graphen. b) Gib die Wertemenge von \(f\) an. c) Wie verändern sich Symmetrie und Wertemenge, wenn man stattdessen die Funktion \(g(x)=0{,}25x^3\) betrachtet? Beschreibe die Unterschiede, ohne eine Zeichnung anzufertigen.

Gegeben sind die Potenzfunktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=x^5\). a) Bestimme die Koordinaten der drei Schnittpunkte der beiden Graphen. b) Welcher der beiden Graphen verläuft im Bereich zwischen \(x=0\) und \(x=1\) näher an der \(x\)-Achse? Begründe deine Antwort. c) Beschreibe allgemein, wie sich der Verlauf des Graphen einer Potenzfunktion \(h(x)=x^n\) im Intervall \(]-1;1[\) verändert, wenn der ungerade Exponent \(n\) immer größer gewählt wird.

In der Grafik siehst du drei Graphen a, b und c der Funktionen \(f(x)=x^4\), \(g(x)=x^6\) und \(h(x)=x^2\). a) Ordne die Funktionsgleichungen den Graphen a, b und c zu. Nutze dafür den Verlauf nahe beim Ursprung zur Begründung. b) Zeige rechnerisch, dass der Punkt \(Q(-1|1)\) auf allen drei Graphen liegt. c) Gib die gemeinsame Wertemenge dieser drei Funktionen an. Warum kommen keine negativen Funktionswerte vor?

Betrachte alle Potenzfunktionen \(f(x)=ax^n\) mit \(a\ne0\) und \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\). Untersuche die folgenden vier Kombinationen von Eigenschaften: a) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend b) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und auf \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend c) punktsymmetrisch zum Ursprung und auf \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend d) punktsymmetrisch zum Ursprung und auf \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend Entscheide jeweils, ob die Kombination möglich ist. Gib für jede mögliche Kombination die Bedingungen an die Parität von \(n\) und das Vorzeichen von \(a\) an; begründe bei den unmöglichen Kombinationen, warum sie nicht auftreten können.