- Welche Informationen sind in beiden Dreiecken markiert: Seitenlängen oder Winkel? - Wie viele übereinstimmende Winkel genügen bei Dreiecken für Ähnlichkeit?

1. In beiden Dreiecken stimmen zwei entsprechende Winkel überein. 2. Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen.

Die Dreiecke sind ähnlich, weil zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind.

- Ordne in jedem Dreieck die kürzeste, mittlere und längste Seite einander zu. - Prüfe, ob alle drei Quotienten denselben Wert besitzen. - Ein einzelnes passendes Seitenpaar genügt nicht.

1. Bei a) sind die Seitenlängen \(4,6,8\), bei b) \(8,12,16\). 2. Es gilt \(\frac{8}{4}=\frac{12}{6}=\frac{16}{8}=2\). Daher sind a) und b) ähnlich. 3. Bei c) sind die Seiten \(8,11,16\). Der mittlere Wert \(11\) passt nicht zum Längenverhältnis \(2:1\), denn zu \(6\) müsste \(12\) gehören. 4. Entsprechende Längen von a) und b) stehen im Verhältnis \(1:2\).

a) und b) sind ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2\).

- Nutze zuerst das Seitenpaar, dessen beide Längen bekannt sind. - Achte auf die Richtung vom Dreieck \(ABC\) zum Dreieck \(DEF\). - Übertrage denselben Faktor auf das zweite entsprechende Seitenpaar.

1. Die entsprechenden Seiten \(AB\) und \(DE\) zeigen den Ähnlichkeitsfaktor vom ersten zum zweiten Dreieck. 2. Es gilt \(k=6:4=1{,}5\). 3. \(BC\) entspricht \(EF\). Daher ist \(EF=5\,\text{cm}\cdot1{,}5=7{,}5\,\text{cm}\).

\(EF=7{,}5\,\text{cm}\)

- Ordne zuerst die Eckpunkte mit gleich großen Winkeln zu. - Eine Seite wird durch ihre beiden Endpunkte bestimmt. - Übertrage deshalb die Eckpunktzuordnung auf die Seiten.

1. Gleich große Winkel gehören zusammen. Deshalb gilt \(A\leftrightarrow L\), \(B\leftrightarrow M\) und \(C\leftrightarrow K\). 2. Eine Seite entspricht der Seite zwischen den zugeordneten Eckpunkten. 3. Daher gilt \(AB\leftrightarrow LM\), \(BC\leftrightarrow MK\) und \(AC\leftrightarrow LK\).

a) \(A\leftrightarrow L\), \(B\leftrightarrow M\), \(C\leftrightarrow K\) b) \(AB\leftrightarrow LM\), \(BC\leftrightarrow MK\), \(AC\leftrightarrow LK\)

- Ordne zuerst die kürzeste, mittlere und längste Seite der beiden Dreiecke einander zu. - Vergleiche jedes der drei Paare entsprechender Seiten in derselben Richtung. - Reicht die Übereinstimmung nur eines Seitenpaares aus, oder müssen alle entsprechenden Seiten zusammenpassen?

1. Die Seiten werden der Größe nach einander zugeordnet: \(3\leftrightarrow7{,}5\), \(4\leftrightarrow10\) und \(5\leftrightarrow12{,}5\). 2. Es gilt \(\frac{7{,}5}{3}=2{,}5\), \(\frac{10}{4}=2{,}5\) und \(\frac{12{,}5}{5}=2{,}5\). 3. Alle drei Paare entsprechender Seiten haben dasselbe Längenverhältnis. Daher sind die Dreiecke ähnlich. 4. Vom ersten zum zweiten Dreieck stehen entsprechende Seiten im Verhältnis \(1:2{,}5\).

a) Ja. Für alle drei Paare entsprechender Seiten ergibt sich dasselbe Längenverhältnis. b) \(1:2{,}5\)

- Bestimme im ersten Dreieck den Winkel an der Spitze. - Bestimme im zweiten Dreieck aus dem Spitzenwinkel die beiden Basiswinkel. - Vergleiche in b) zuerst die beiden entsprechenden Basen.

1. Im ersten Dreieck sind die beiden Basiswinkel \(70^\circ\) groß. Der Spitzenwinkel ist daher \(180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\). 2. Im zweiten Dreieck ist der Spitzenwinkel \(40^\circ\). Die beiden gleich großen Basiswinkel sind daher jeweils \((180^\circ-40^\circ):2=70^\circ\). 3. Beide Dreiecke haben die Winkel \(70^\circ,70^\circ,40^\circ\) und sind deshalb ähnlich. 4. Von der kleineren zur größeren Basis ist der Ähnlichkeitsfaktor \(7{,}5:5=1{,}5\). 5. Der entsprechende Schenkel ist \(6\,\text{cm}\cdot1{,}5=9\,\text{cm}\) lang.

a) Ja. Beide Dreiecke haben die Winkel \(70^\circ,70^\circ,40^\circ\). b) Der entsprechende Schenkel ist \(9\,\text{cm}\) lang.

- Ergänze in beiden rechtwinkligen Dreiecken jeweils den fehlenden spitzen Winkel. - Welche Ähnlichkeitsbedingung folgt daraus? - Bestimme in b) den Faktor aus den beiden entsprechenden Hypotenusen.

1. Im ersten rechtwinkligen Dreieck ist der dritte Winkel \(180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ\). Im zweiten ist der dritte Winkel entsprechend \(32^\circ\). 2. Beide Dreiecke haben damit die Winkel \(90^\circ,32^\circ,58^\circ\) und sind ähnlich, weil sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen. 3. Der Ähnlichkeitsfaktor vom kleineren zum größeren Dreieck ist \(15:10=1{,}5\). 4. Die entsprechende Kathete ist \(6\,\text{cm}\cdot1{,}5=9\,\text{cm}\) lang.

a) Die Dreiecke sind ähnlich; beide haben die Winkel \(90^\circ,32^\circ,58^\circ\). b) Die entsprechende Kathete ist \(9\,\text{cm}\) lang.

- Berechne in beiden Dreiecken zuerst den jeweils fehlenden Innenwinkel. - Vergleiche in b) die beiden Seiten, die sicher einander entsprechen. - Übertrage denselben Ähnlichkeitsfaktor auf die zweite Seitenlänge.

1. Im ersten Dreieck ist der fehlende Winkel \(180^\circ-40^\circ-80^\circ=60^\circ\). 2. Im zweiten Dreieck ist der fehlende Winkel \(180^\circ-80^\circ-60^\circ=40^\circ\). 3. Beide Dreiecke haben die Winkel \(40^\circ,60^\circ,80^\circ\) und sind deshalb ähnlich. 4. Der Ähnlichkeitsfaktor vom kleineren zum größeren Dreieck ist \(14:10=1{,}4\). 5. Die gesuchte Seite ist \(12\,\text{cm}\cdot1{,}4=16{,}8\,\text{cm}\) lang.

a) Ja. Beide Dreiecke haben die Winkel \(40^\circ,60^\circ,80^\circ\). b) Die entsprechende Seite ist \(16{,}8\,\text{cm}\) lang.

- In welchem Verhältnis stehen die beiden Umfänge? - Wie verhalten sich bei ähnlichen Dreiecken die Umfänge zu den entsprechenden Seitenlängen? - Übertrage das gefundene Verhältnis auf jede der drei Seiten.

1. Der Umfang des ersten Dreiecks beträgt \(U_1=4{,}5\,\text{cm}+6\,\text{cm}+7{,}5\,\text{cm}=18\,\text{cm}\). 2. Bei ähnlichen Dreiecken stehen die Umfänge im selben Verhältnis wie entsprechende Seitenlängen. Hier ist \(U_2:U_1=54:18=3:1\). 3. Daher sind die entsprechenden Seiten des zweiten Dreiecks dreimal so lang: \(a'=13{,}5\,\text{cm}\), \(b'=18\,\text{cm}\) und \(c'=22{,}5\,\text{cm}\).

Die Seitenlängen des zweiten Dreiecks betragen \(13{,}5\,\text{cm}\), \(18\,\text{cm}\) und \(22{,}5\,\text{cm}\).

- Vergleiche zuerst das Verhältnis der beiden bekannten Seiten im zweiten Dreieck. - Welche zwei Seiten des ersten Dreiecks haben dasselbe Verhältnis? - Bestimme danach den Ähnlichkeitsfaktor und übertrage ihn auf die verbleibende Seite.

1. Die beiden bekannten Seiten des zweiten Dreiecks stehen im Verhältnis \(10:20=1:2\). 2. Von den Seiten des ersten Dreiecks haben nur \(8\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\) dasselbe Verhältnis \(1:2\). Daher entsprechen \(8\,\text{cm}\) den \(10\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\) den \(20\,\text{cm}\). 3. Der Ähnlichkeitsfaktor vom ersten zum zweiten Dreieck ist \(10:8=1{,}25\). 4. Die verbleibende Seite \(12\,\text{cm}\) entspricht der gesuchten Seite. Sie ist \(12\,\text{cm}\cdot1{,}25=15\,\text{cm}\) lang.

Im zweiten Dreieck gilt für die bekannten Seiten \(10:20=1:2\). Im ersten Dreieck haben nur \(8\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\) dasselbe Verhältnis \(1:2\). Deshalb entsprechen \(8\,\text{cm}\) den \(10\,\text{cm}\) und \(16\,\text{cm}\) den \(20\,\text{cm}\). Die dritte Seite ist \(15\,\text{cm}\) lang.

- Was weißt du über die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in jedem Dreieck? - Welche Bedingung muss für die Winkel gelten, damit zwei Dreiecke die gleiche Form haben?

1. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(ABC\): In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß, also beträgt der zweite Basiswinkel ebenfalls \(72^\circ\). 2. Berechnung des dritten Winkels (Winkel an der Spitze) über die Innenwinkelsumme: \(180^\circ - 72^\circ - 72^\circ = 36^\circ\). Die Winkelmenge ist \(\{36^\circ; 72^\circ; 72^\circ\}\). 3. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(DEF\): Gegeben sind \(36^\circ\) und \(72^\circ\). 4. Berechnung des fehlenden Winkels: \(180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ\). Die Winkelmenge ist \(\{36^\circ; 72^\circ; 72^\circ\}\). 5. Vergleich der Winkel: Da beide Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich.

Ja, die Dreiecke sind zueinander ähnlich, da sie in allen Innenwinkeln übereinstimmen (\(36^\circ\), \(72^\circ\) und \(72^\circ\)).

- Welche Seite des ersten Dreiecks entspricht der gegebenen Seite des zweiten Dreiecks? - Wie verändert sich eine Seitenlänge, wenn das ganze Dreieck gleichmäßig vergrößert wird? - Kannst du ein Verhältnis zwischen den entsprechenden Seiten aufstellen?

1. Identifikation der längsten Seite im ersten Dreieck: \(c = 9\,\text{cm}\). 2. Die entsprechenden längsten Seiten stehen im Verhältnis \(\frac{13{,}5\,\text{cm}}{9\,\text{cm}}=1{,}5\). 3. Berechnung der entsprechenden Seite \(a'\): \(a' = 1{,}5 \cdot 4{,}5\,\text{cm} = 6{,}75\,\text{cm}\). 4. Berechnung der entsprechenden Seite \(b'\): \(b' = 1{,}5 \cdot 6\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\).

Die beiden anderen Seiten des zweiten Dreiecks sind \(6{,}75\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\) lang.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem Dreieck? - Kannst du für beide Dreiecke alle drei Innenwinkel bestimmen? - Was folgt bei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(ABC\): Gegeben sind \(\gamma = 90^\circ\) und \(\alpha = 40^\circ\). Über die Innenwinkelsumme ergibt sich \(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). 2. Bestimmung aller Winkel im Dreieck \(DEF\): Gegeben sind \(\phi = 90^\circ\) und ein spitzer Winkel (z. B. \(\delta\)) von \(50^\circ\). Der dritte Winkel beträgt \(\epsilon = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\). 3. Vergleich der Winkel: Beide Dreiecke haben die Innenwinkel \(90^\circ\), \(40^\circ\) und \(50^\circ\). 4. Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen.

Die Dreiecke sind ähnlich, da sie in der Größe zweier entsprechender Winkel und damit in allen drei Innenwinkeln übereinstimmen.

- Welche beiden Winkelgrößen sind bei Lukas in jedem Dreieck bereits festgelegt? - Wie kannst du Seitenlängen mit dem festen Verhältnis \(3:4:5\) allgemein darstellen? - Welche der beiden im Unterricht verwendeten Ähnlichkeitsbedingungen passt jeweils zu der Aussage?

1. Bei Lukas' Dreiecken sind zwei Winkel festgelegt: \(90^\circ\) und \(40^\circ\). Der dritte Winkel beträgt \(50^\circ\). Damit stimmen je zwei entsprechende Winkel überein; die Aussage ist wahr. 2. Bei Miras Dreiecken können die Seitenlängen als \(3t\), \(4t\) und \(5t\) mit \(t>0\) beschrieben werden. Für zwei solche Dreiecke mit Parametern \(t_1\) und \(t_2\) haben alle drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Längenverhältnis \(t_1:t_2\). 3. Damit ist auch Miras Aussage wahr.

Beide Aussagen sind wahr. Bei Lukas stimmen zwei entsprechende Winkel überein; bei Mira haben alle drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Längenverhältnis.

- Wie groß ist die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen Dreieck? - Wann genau nennt man zwei Dreiecke „ähnlich“, wenn man nur ihre Winkel betrachtet? - Was bedeutet die Eigenschaft „gleichschenklig“ für die Basiswinkel eines Dreiecks? - Berechne für jedes Dreieck zuerst alle drei Innenwinkel, bevor du sie vergleichst.

1. Berechnung der Winkel des Referenzdreiecks: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt \(180^\circ\). Der dritte Winkel ist \(180^\circ - 48^\circ - 72^\circ = 60^\circ\). Die Winkelmenge ist also \(\{48^\circ, 60^\circ, 72^\circ\}\). 2. Prüfung von a): Der dritte Winkel ist \(180^\circ - 72^\circ - 60^\circ = 48^\circ\). Die Winkel \(\{48^\circ, 60^\circ, 72^\circ\}\) stimmen mit dem Referenzdreieck überein. Das Dreieck ist ähnlich. 3. Prüfung von b): Ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Basiswinkel von \(48^\circ\) hat zwei Winkel von \(48^\circ\). Der dritte Winkel (Spitzenwinkel) beträgt \(180^\circ - 2 \cdot 48^\circ = 84^\circ\). Die Winkelmenge \(\{48^\circ, 48^\circ, 84^\circ\}\) stimmt nicht mit dem Referenzdreieck überein. Das Dreieck ist nicht ähnlich. 4. Prüfung von c): Der dritte Winkel ist \(180^\circ - 48^\circ - 60^\circ = 72^\circ\). Die Winkelmenge \(\{48^\circ, 60^\circ, 72^\circ\}\) stimmt überein. Das Dreieck ist ähnlich.

a) Ähnlich b) Nicht ähnlich c) Ähnlich

- Welches Längenverhältnis ergibt sich aus den beiden kürzesten Seiten? - Prüfe, ob die beiden mittleren Seiten dasselbe Verhältnis bestätigen. - Wie muss sich dann die längste Seite verändern, und wie kannst du das Ergebnis mit allen drei Seitenpaaren kontrollieren?

1. Die kürzesten Seiten stehen im Verhältnis \(\frac{3{,}6}{2{,}4}=1{,}5\); für die mittleren Seiten gilt ebenfalls \(\frac{4{,}8}{3{,}2}=1{,}5\). 2. Die längste Seite von Aussteifung B muss daher \(1{,}5\cdot4{,}0\,\text{m}=6{,}0\,\text{m}\) lang sein. 3. Die Kontrolle ergibt \(\frac{3{,}6}{2{,}4}=\frac{4{,}8}{3{,}2}=\frac{6{,}0}{4{,}0}=1{,}5\). Damit stimmen die Längenverhältnisse aller drei Paare entsprechender Seiten überein.

Die dritte Seite ist \(6{,}0\,\text{m}\) lang. Für alle drei Paare entsprechender Seiten ergibt sich das Verhältnis \(1:1{,}5\).

- Was muss für die Seitenlängen zweier Dreiecke gelten, damit sie ähnlich sind? - Berechne die Verhältnisse der einander entsprechenden Seiten. Sind sie alle gleich? - Stimmen die Dreiecke in den Längenverhältnissen ihrer Seiten überein?

1. Bestimmung der Seitenlängen von \(T_2\): \(a_2 = 6 + 2 = 8\,\text{cm}\) \(b_2 = 8 + 2 = 10\,\text{cm}\) \(c_2 = 10 + 2 = 12\,\text{cm}\) 2. Für die Ähnlichkeit müssten die Dreiecke in den Längenverhältnissen ihrer Seiten übereinstimmen. Daher werden alle drei Verhältnisse entsprechender Seiten verglichen. \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\) \(\frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1{,}25\) \(\frac{c_2}{c_1} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1{,}2\) 3. Schlussfolgerung: Da die Verhältnisse \(\frac{4}{3} \neq \frac{5}{4} \neq \frac{6}{5}\) nicht übereinstimmen, sind die Seiten nicht proportional. Die Dreiecke sind daher nicht ähnlich.

Nein, die Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Verhältnisse der entsprechenden Seitenlängen (\(1{,}33 \neq 1{,}25 \neq 1{,}2\)) nicht gleich sind.

- Betrachte die Winkel in den beiden Dreiecken einzeln. Welchen Winkel teilen sie sich? - Was weißt du über die Winkel an der Stelle, wo die Höhe auf die Grundseite trifft? - Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, was lässt sich dann über ihre Form sagen?

1. Identifikation der Winkel im großen Dreieck \(ABC\): Winkel \(\alpha\) bei \(A\), Winkel \(\beta\) bei \(B\) und \(90^\circ\) bei \(C\). Es gilt \(\alpha + \beta = 90^\circ\). 2. Untersuchung des Teildreiecks \(ADC\): Es besitzt den Winkel \(\alpha\) (gemeinsam mit \(\triangle ABC\)) am Eckpunkt \(A\). Da \(CD\) die Höhe ist, ist der Winkel \(\angle ADC = 90^\circ\). 3. Vergleich der Winkel von \(\triangle ADC\) und \(\triangle ABC\): Beide Dreiecke haben einen Winkel der Größe \(\alpha\) und beide haben einen rechten Winkel (\(90^\circ\)). 4. Da die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich: \(\triangle ADC \sim \triangle ACB\).

Das Dreieck \(ADC\) ist zum Dreieck \(ABC\) ähnlich, da beide den Winkel \(\alpha\) gemeinsam haben und beide einen rechten Winkel besitzen (\(\angle ADC = 90^\circ\) und \(\angle ACB = 90^\circ\)). Damit stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein.

- Wie groß ist die Summe aller Winkel in einem beliebigen Dreieck? - Welche Bedingung muss für die Winkel erfüllt sein, damit zwei Dreiecke die gleiche Form haben? - Was passiert mit der Form einer Figur, wenn man sie gleichmäßig vergrößert?

1. Berechnung des fehlenden Winkels in Dreieck 1: \(180^\circ - (42^\circ + 75^\circ) = 63^\circ\). 2. Vergleich der Winkelsätze: Dreieck 1 hat die Winkel \(\{42^\circ, 75^\circ, 63^\circ\}\); Dreieck 2 hat (da die Winkelsumme \(180^\circ\) beträgt) ebenfalls \(\{75^\circ, 63^\circ, 42^\circ\}\). 3. Da beide Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich. 4. Bei einer maßstäblichen Vergrößerung bleiben die Winkelgrößen unverändert, da das neue Dreieck zum ursprünglichen Dreieck ähnlich ist.

a) Ja, die Dreiecke sind ähnlich, da sie in der Größe zweier entsprechender Winkel und damit in ihren Innenwinkeln \(42^\circ\), \(75^\circ\) und \(63^\circ\) übereinstimmen. b) Die Innenwinkel bleiben gleich, weil eine maßstäbliche Vergrößerung die Winkelgrößen erhält.

- Welche Höhe des ersten Dreiecks entspricht der gegebenen Höhe des zweiten Dreiecks? - Gilt dasselbe Längenverhältnis für die Höhen und die entsprechenden Grundseiten? - Stelle eine Verhältnisgleichung auf, in der \(c'\) die einzige Unbekannte ist.

1. Bei ähnlichen Dreiecken sind die Längenverhältnisse entsprechender Strecken gleich. Daher gilt \(\frac{c'}{c}=\frac{h_{c'}}{h_c}\). 2. Einsetzen ergibt \(\frac{c'}{12{,}5} = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 3. Damit ist \(c' = 12{,}5\,\text{cm} \cdot 0{,}75 = 9{,}375\,\text{cm}\).

\(c' = 9{,}375\,\text{cm}\)

- Welche Seite des ersten Dreiecks entspricht der gegebenen Hypotenuse des zweiten? - In welchem Verhältnis stehen diese beiden Hypotenusen? - Übertrage dasselbe Längenverhältnis auf die beiden Katheten.

1. Für die entsprechenden Hypotenusen gilt \(c':c=25:10=2{,}5:1\). 2. Dasselbe Längenverhältnis gilt für die Katheten. Daher ist \(a'=2{,}5\cdot6\,\text{cm}=15\,\text{cm}\) und \(b'=2{,}5\cdot8\,\text{cm}=20\,\text{cm}\).

\(a'=15\,\text{cm}\), \(b'=20\,\text{cm}\)

- Welche Seiten gehören zusammen, wenn du beide Dreiecke von der kürzesten bis zur längsten Seite ordnest? - Was muss für alle drei Quotienten entsprechender Seiten gelten? - Reicht es, wenn nur zwei der drei Verhältnisse entsprechender Seiten übereinstimmen?

1. Ordne die Seiten nach ihrer Länge: \(6\leftrightarrow4\), \(9\leftrightarrow6\), \(12\leftrightarrow8\). 2. Die drei Verhältnisse sind \(\frac{6}{4} = 1{,}5\), \(\frac{9}{6} = 1{,}5\) und \(\frac{12}{8} = 1{,}5\). 3. Da alle entsprechenden Seitenlängen im gleichen Verhältnis stehen, sind die Dreiecke ähnlich.

Ja. Die Dreiecke stimmen in den Längenverhältnissen ihrer Seiten überein und sind daher ähnlich.

- Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck? - Bestimme jeweils den noch fehlenden Winkel. - Wie viele Paare entsprechender gleich großer Winkel reichen bei Dreiecken für die Ähnlichkeit?

1. Im Dreieck \(PQR\) ist \(\angle R=180^\circ-52^\circ-68^\circ=60^\circ\). 2. Im Dreieck \(STU\) ist \(\angle S=180^\circ-68^\circ-60^\circ=52^\circ\). 3. Damit besitzen beide Dreiecke die Winkel \(52^\circ\), \(68^\circ\) und \(60^\circ\). Sie stimmen in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich.

Ja. Es gilt \(\angle R=60^\circ\) und \(\angle S=52^\circ\); damit stimmen zwei Paare entsprechender Winkel überein und die Dreiecke sind ähnlich.

- Lies für jedes Dreieck alle drei Seitenlängen aus der Abbildung ab. - Ordne die Seiten nach ihrer Länge, bevor du entsprechende Paare vergleichst. - Prüfe bei jedem Paar, ob alle drei Längenverhältnisse übereinstimmen.

1. Dreieck I hat die Seitenlängen \(3\), \(4\) und \(5\); Dreieck II die Seitenlängen \(6\), \(8\) und \(10\). 2. Für I und II gilt \(\frac{6}{3}=2\), \(\frac{8}{4}=2\) und \(\frac{10}{5}=2\). Daher sind I und II ähnlich. 3. Dreieck III hat die Seitenlängen \(5\), \(5\) und \(6\). Diese lassen sich den Seiten von I oder II nicht so zuordnen, dass alle drei Längenverhältnisse gleich sind. 4. Daher ist III zu keinem der beiden anderen Dreiecke ähnlich.

I und II sind ähnlich, denn \(\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\). Dreieck III ist weder zu I noch zu II ähnlich, weil sich für seine Seiten \(5,5,6\) kein gemeinsames Längenverhältnis zu allen drei Seiten von I oder II ergibt.

- Welche Winkelpaare kannst du in der Zeichnung direkt identifizieren? - Welche Eigenschaft haben Winkel, die sich an einer Kreuzung gegenüberliegen? - Was folgt bei zwei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Betrachte die Dreiecke \(ABE\) und \(CDE\). 2. Es ist gegeben, dass \(\angle ABE = \angle CDE\). 3. Die Winkel \(\angle AEB\) und \(\angle CED\) sind Scheitelwinkel und daher gleich groß: \(\angle AEB = \angle CED\). 4. Da die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich: \(\triangle ABE \sim \triangle CDE\).

Die Dreiecke \(ABE\) und \(CDE\) sind ähnlich, da \(\angle ABE = \angle CDE\) gegeben ist und \(\angle AEB = \angle CED\) als Scheitelwinkel gilt.

- Welche Winkel sind durch die „Rechtwinkligkeit“ bereits bekannt? - Wie viele Winkelpaare müssen übereinstimmen, um Ähnlichkeit nachzuweisen? - Schau dir die gegebenen Informationen im Text und in der Zeichnung genau an.

1. In den Dreiecken \(ACE\) und \(EKF\) sind die Winkel bei \(C\) und \(K\) rechte Winkel: \(\angle ACE = \angle EKF = 90^\circ\). Damit ist das erste Paar gleicher Winkel gefunden. 2. Laut Aufgabenstellung gilt zudem \(\angle CAE = \angle FEK\). Dies ist das zweite Paar gleicher Winkel. 3. Zwei Dreiecke sind bereits ähnlich, wenn sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen. 4. Somit gilt \(\triangle ACE \sim \triangle EKF\).

Die Dreiecke sind ähnlich, da sie im rechten Winkel \(90^\circ\) und im gegebenen Winkel \(\angle CAE = \angle FEK\) übereinstimmen.

- Gibt es einen Winkel, der sowohl zum kleinen als auch zum großen Dreieck gehört? - Welche Information über die Winkel wird in der Aufgabe explizit genannt? - Was folgt bei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Betrachte die Dreiecke \(BKP\) und \(BAC\). 2. Der Winkel bei der Ecke \(B\) ist beiden Dreiecken gemeinsam: \(\angle KBP = \angle ABC\). 3. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass \(\angle BKP = \angle BAC\). 4. Da die beiden Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie ähnlich. 5. Ergebnis: \(\triangle BKP \sim \triangle BAC\).

Die Dreiecke \(BKP\) und \(BAC\) sind zueinander ähnlich: Sie teilen sich den Winkel bei \(B\) und es gilt \(\angle BKP = \angle BAC\).

- Überlege zuerst, welche Seite des ersten Dreiecks welcher Seite des zweiten Dreiecks entspricht. - Wenn du das Verhältnis zweier entsprechender Seiten kennst, gilt dieses Verhältnis für alle Paare entsprechender Seiten.

1. Entsprechende Seitenlängen von \(\triangle ABC\) und \(\triangle A_1B_1C_1\) stehen im Verhältnis \(1{,}5:1\). 2. Die Seiten von \(\triangle ABC\) ergeben sich durch \(x=AB=1{,}5\cdot6=9\), \(y=BC=1{,}5\cdot8=12\) und \(z=AC=1{,}5\cdot10=15\).

\(x=9\), \(y=12\), \(z=15\)

- Welche zwei entsprechenden Seiten sind beide mit Zahlenwerten gegeben? - Bestimme daraus das gemeinsame Längenverhältnis der entsprechenden Seiten. - Achte bei den beiden gesuchten Seiten darauf, in welche Richtung du das Verhältnis anwenden musst.

1. Aus den bekannten entsprechenden Seiten folgt \(AB:A_1B_1=12:4=3:1\). 2. Damit ist \(x=BC=3\cdot5=15\). 3. Aus \(AC=3\cdot A_1C_1\) folgt \(18=3y\) und damit \(y=6\).

\(x=15\), \(y=6\)

- Wie verhalten sich die Umfänge von zwei ähnlichen Figuren zueinander? - Berechne zuerst den Umfang des ersten Dreiecks. - Übertrage das daraus gewonnene Längenverhältnis auf die drei entsprechenden Seiten.

1. Der Umfang von \(\triangle ABC\) ist \(U=6+8+10=24\). 2. Bei ähnlichen Figuren entspricht das Verhältnis der Umfänge dem Verhältnis entsprechender Längen. Hier gilt \(\frac{48}{24}=2\). 3. Damit sind \(x=2\cdot6=12\), \(y=2\cdot8=16\) und \(z=2\cdot10=20\).

\(x=12\), \(y=16\), \(z=20\)

- Welche Zahl steht im Längenverhältnis \(3{:}4{:}5\) an der Stelle von \(b_1\)? - Bestimme zuerst die Länge eines Verhältnisanteils. - Übertrage die Länge eines Verhältnisanteils auf die beiden übrigen Seiten.

1. Für \(\triangle A_1B_1C_1\) gilt ebenfalls \(a_1{:}b_1{:}c_1=3{:}4{:}5\). 2. Die Seite \(b_1=16\) entspricht vier Verhältnisanteilen, also ist ein Anteil \(16:4=4\). 3. Damit ist \(x=a_1=3\cdot4=12\) und \(y=c_1=5\cdot4=20\).

\(x=12\), \(y=20\)

- Ordne die Seiten der beiden Dreiecke jeweils von der kürzesten bis zur längsten. - Prüfe die Längenverhältnisse der drei entsprechenden Seitenpaare einzeln. - Genügen zwei übereinstimmende Längenverhältnisse zweier Seitenpaare für den hier verwendeten Ähnlichkeitsnachweis?

1. Die Seiten werden der Größe nach zugeordnet: \(12\leftrightarrow8\), \(15\leftrightarrow10\) und \(18\leftrightarrow13\). 2. Für die ersten beiden Paare gilt \(\frac{12}{8}=1{,}5\) und \(\frac{15}{10}=1{,}5\). 3. Beim dritten Paar ist \(\frac{18}{13}\neq1{,}5\). 4. Damit haben nicht alle drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Längenverhältnis; die Dreiecke sind nicht ähnlich.

Nein. Zwei Seitenpaare haben zwar das Verhältnis \(1{,}5\), das dritte Seitenpaar jedoch nicht.

- Wie groß ist die Winkelsumme in jedem Dreieck? - Wenn die Winkel an der Spitze gleich sind, was bedeutet das für die Basiswinkel in gleichschenkligen Dreiecken? - Was folgt bei zwei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. 2. Für beide Dreiecke ist jeder Basiswinkel \(\frac{180^\circ - 44^\circ}{2} = 68^\circ\) groß. 3. Beide Dreiecke haben somit die Winkel \(44^\circ\), \(68^\circ\) und \(68^\circ\). 4. Die Dreiecke stimmen in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich.

Ja. Beide Dreiecke haben die Winkel \(44^\circ\), \(68^\circ\) und \(68^\circ\) und sind daher ähnlich.

- Welche beiden Dreiecke besitzen den Winkel bei \(A\) gemeinsam? - Welche weiteren Winkel sind wegen der beiden rechten Winkel gleich groß? - Welche Seiten entsprechen einander, wenn du die ähnlichen Dreiecke in derselben Reihenfolge notierst?

1. Die Dreiecke \(\triangle ADE\) und \(\triangle ABC\) haben den Winkel bei \(A\) gemeinsam und jeweils einen rechten Winkel bei \(E\) bzw. \(C\). Damit stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. Entsprechende Seiten liefern \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{DE}{6\,\text{cm}} = \frac{5\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} = \frac{1}{2}\). 4. Somit ist \(DE = 3\,\text{cm}\).

\(DE = 3\,\text{cm}\)

- Welcher Winkel gehört beiden Dreiecken gleichzeitig? - Welche weitere Winkelgleichheit ist ausdrücklich gegeben? - Wie viele Paare entsprechender gleich großer Winkel genügen bei Dreiecken für die Ähnlichkeit?

1. Beide Dreiecke besitzen den Winkel bei \(A\) gemeinsam: \(\angle BAD = \angle CAB\). 2. Nach Aufgabenstellung gilt außerdem \(\angle ABD = \angle ACB\). 3. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein; es gilt \(\triangle ABD \sim \triangle ACB\).

\(\triangle ABD \sim \triangle ACB\), weil \(\angle BAD = \angle CAB\) und \(\angle ABD = \angle ACB\) gilt.

- Was bedeuten die Strichmarkierungen innerhalb jedes Dreiecks für seine Form? - Welche Beziehung besteht in einem gleichschenkligen Dreieck zwischen den beiden Basiswinkeln? - Was folgt für die Basiswinkel beider Dreiecke, wenn die markierten Spitzenwinkel gleich groß sind?

1. Die einfachen Strichmarkierungen zeigen \(AB=AC\), die doppelten Strichmarkierungen \(DE=DF\). Beide Dreiecke sind daher gleichschenklig. 2. Die markierten Winkel bei \(A\) und \(D\) sind gleich groß. Sei ihre gemeinsame Größe \(\alpha\). 3. In beiden gleichschenkligen Dreiecken haben die Basiswinkel deshalb die Größe \(\frac{180^\circ-\alpha}{2}\). Somit ist zum Beispiel \(\angle B=\angle E\). 4. Die Dreiecke stimmen damit in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich.

Ja. Aus den Gleichheitsmarkierungen folgt, dass beide Dreiecke gleichschenklig sind. Zusammen mit den gleich markierten Spitzenwinkeln ergeben sich gleiche entsprechende Basiswinkel; damit sind die Dreiecke ähnlich.

- Vergleiche die Seitenlängen paarweise: die jeweils größte Seite des einen mit der größten des anderen usw. - Prüfe, ob alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben.

1. Berechnung der Verhältnisse der entsprechenden Seiten: Verhältnis der längsten Seiten: \(\frac{11}{8} = 1{,}375\) Verhältnis der mittleren Seiten: \(\frac{9}{6} = 1{,}5\) Verhältnis der kürzesten Seiten: \(\frac{6}{4} = 1{,}5\) 2. Da die Verhältnisse nicht alle identisch sind (\(1{,}375 \neq 1{,}5\)), sind die Dreiecke nicht ähnlich.

Nein, die Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse entsprechender Seiten nicht alle denselben Wert ergeben (\(1{,}5\) und \(1{,}375\)).

- Welcher Winkel entsteht an jedem Lotfußpunkt? - Welche beiden Winkel bei \(A\) sind wegen der Winkelhalbierenden gleich groß? - Was folgt bei zwei Dreiecken, wenn zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind?

1. Die Dreiecke \(ABB'\) und \(ACC'\) haben wegen der Lote jeweils einen rechten Winkel bei \(B'\) beziehungsweise \(C'\). 2. Da \(w_\alpha\) den Winkel bei \(A\) halbiert, gilt \(\angle BAB'=\angle CAC'=\frac{\alpha}{2}\). 3. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich.

Die Dreiecke \(ABB'\) und \(ACC'\) sind ähnlich, weil sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen: Beide besitzen einen rechten Winkel und denselben Winkel \(\frac{\alpha}{2}\) bei \(A\).

- Orientiere dich nicht daran, welcher Punkt links, rechts, oben oder unten liegt. - Suche zuerst die jeweils kürzeste, mittlere und längste Seite. - Welcher Eckpunkt liegt jeweils zwischen den beiden entsprechenden Seitenpaaren?

1. Die Seite \(AC=3\) entspricht der Seite \(DE=6\), \(AB=4\) entspricht \(DF=8\) und \(BC=5\) entspricht \(EF=10\). 2. Daher treffen sich bei \(A\) die Seiten mit Längen \(3\) und \(4\); im zweiten Dreieck treffen sich bei \(D\) die entsprechenden Seiten mit Längen \(6\) und \(8\). Somit gilt \(A\leftrightarrow D\). 3. Entsprechend gilt \(B\leftrightarrow F\) und \(C\leftrightarrow E\). 4. Alle entsprechenden Seiten im zweiten Dreieck sind doppelt so lang; entsprechende Längen stehen also im Verhältnis \(1:2\).

a) \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow F\), \(C\leftrightarrow E\) b) \(1:2\)

- Welche beiden Winkel stimmen in den Dreiecken \(ABC\) und \(CBD\) überein? - Ordne danach die Hypotenusen und die jeweils entsprechenden Katheten einander zu. - Suche eine Verhältnisgleichung, in der \(a\) zweimal vorkommt, bevor du kreuzmultiplizierst.

1. Beide Dreiecke besitzen einen rechten Winkel; außerdem haben sie den Winkel bei \(B\) gemeinsam. Daher sind \(ABC\) und \(CBD\) ähnlich. 2. Dabei entspricht im großen Dreieck die Hypotenuse \(c\) der Hypotenuse \(a\) des kleinen Dreiecks, und die Seite \(a\) des großen Dreiecks entspricht dem Abschnitt \(p\). 3. Deshalb gilt \(\frac{c}{a}=\frac{a}{p}\). 4. Kreuzmultiplizieren liefert \(a^2=cp\). Das ist der Kathetensatz für \(a\). 5. Für \(c=25\,\text{cm}\) und \(p=9\,\text{cm}\) gilt \(a^2=225\,\text{cm}^2\), also \(a=15\,\text{cm}\).

Aus \(ABC\sim CBD\) folgt \(\frac{c}{a}=\frac{a}{p}\), also \(a^2=cp\). Für \(c=25\,\text{cm}\) und \(p=9\,\text{cm}\) ist \(a=15\,\text{cm}\).

- Betrachte nicht nur die Lage der Strecken, sondern welche Winkel in den beiden kleinen Dreiecken einander entsprechen. - Welche Seite des einen Dreiecks übernimmt im anderen die Rolle von \(h_c\)? - Erst nach der korrekten Zuordnung solltest du eine Proportion bilden und kreuzmultiplizieren.

1. In den ähnlichen Dreiecken entspricht die Seite \(q\) der Seite \(h_c\), und \(h_c\) entspricht \(p\). 2. Damit gilt beispielsweise \(\frac{q}{h_c}=\frac{h_c}{p}\). 3. Kreuzmultiplizieren ergibt \(h_c^2=pq\). Das ist der Höhensatz. 4. Für \(p=4\,\text{cm}\) und \(q=9\,\text{cm}\) gilt \(h_c^2=36\,\text{cm}^2\), also \(h_c=6\,\text{cm}\).

Aus der Ähnlichkeit folgt zum Beispiel \(\frac{q}{h_c}=\frac{h_c}{p}\). Daher \(h_c^2=pq\) und für \(p=4\,\text{cm}\), \(q=9\,\text{cm}\) folgt \(h_c=6\,\text{cm}\).

- Welche zwei Bedingungen reichen bei Dreiecken jeweils für einen Ähnlichkeitsnachweis aus? - Prüfe Fall II nicht nur an einem oder zwei, sondern an allen drei Seitenpaaren. - Frage dich bei III, ob sich der Winkel zwischen den bekannten Seiten noch verändern könnte.

1. In I stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. In II gilt \(\frac{DE}{AB}=\frac{8}{4}=2\), \(\frac{EF}{BC}=\frac{12}{6}=2\) und \(\frac{FD}{CA}=\frac{14}{7}=2\). Alle drei entsprechenden Seiten sind proportional; die Ähnlichkeit ist damit nachgewiesen. 3. In III sind nur die Längenverhältnisse zweier Seitenpaare bekannt. Ohne weitere Winkel- oder Seiteninformation ist die Form des Dreiecks nicht eindeutig festgelegt. 4. Sicher nachgewiesen ist die Ähnlichkeit nur in I und II.

Sicher ausreichend sind I und II; III reicht nicht aus.

- Nutze die Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck und suche zwei verschiedene Kathetenpaare mit demselben Flächeninhalt. - Welche Bedingung müssen die Längenverhältnisse entsprechender Seiten bei ähnlichen Dreiecken erfüllen? - Reicht gleicher Flächeninhalt allein aus, um dieselbe Form festzulegen?

1. Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) gilt \(A=\frac{1}{2}ab\). 2. Die Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) ergeben \(A=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6\,\text{cm}^2\). 3. Auch die Katheten \(2\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\) ergeben \(A=\frac{1}{2}\cdot2\cdot6=6\,\text{cm}^2\). 4. Bei ähnlichen Dreiecken müssten die Verhältnisse entsprechender Katheten gleich sein. Hier gilt aber \(3:2\neq4:6\). Daher sind die Dreiecke nicht ähnlich.

Nein. Ein Gegenbeispiel sind rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) beziehungsweise \(2\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). Beide haben \(6\,\text{cm}^2\) Flächeninhalt, sind aber nicht ähnlich.

- Erinnere dich an die Winkelsumme im Dreieck. - Wie hängen die Winkel am Eckpunkt \(C\) zusammen, wenn die Höhe eingezeichnet wird? - Welche Winkel sind in den Teildreiecken durch die Höhe bereits vorgegeben? - Versuche, die Winkel der Teildreiecke durch den Winkel \(\alpha\) auszudrücken.

1. Betrachtung der Winkel in \(\triangle ADC\): Der Winkel bei \(D\) ist \(90^\circ\), der Winkel bei \(A\) ist \(\alpha\). Der dritte Winkel \(\angle ACD\) beträgt \(180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\). 2. Betrachtung der Winkel in \(\triangle CDB\): Der Winkel bei \(D\) ist \(90^\circ\). Da der Gesamtwinkel bei \(C\) im ursprünglichen Dreieck \(90^\circ\) groß ist, berechnet sich \(\angle DCB\) zu \(90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\). Der Winkel bei \(B\) ist dann \(180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha\). 3. Da beide Teildreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich. 4. Berechnung für \(\alpha = 35^\circ\): Im Dreieck \(ADC\) sind die Winkel \(90^\circ, 35^\circ\) und \(90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Im Dreieck \(CDB\) sind die Winkel \(90^\circ, 55^\circ\) und \(35^\circ\).

a) Die Teildreiecke sind ähnlich, da sie in allen drei Innenwinkeln übereinstimmen (\(90^\circ\), \(\alpha\) und \(90^\circ - \alpha\)). b) Die Winkel im Dreieck \(ADC\) sind \(90^\circ, 35^\circ\) und \(55^\circ\). Die Winkel im Dreieck \(CDB\) sind \(90^\circ, 55^\circ\) und \(35^\circ\).

- Welche beiden Winkel sind wegen der senkrechten Höhenstrecken rechte Winkel? - Welche weitere Winkelgleichheit ist im Text gegeben? - Welche entsprechenden Höhen und Bodenstrecken gehören zusammen? - Welche Eigenschaft der Bodenlinie wird in der Dreieckszeichnung vorausgesetzt?

1. Beide Dreiecke haben einen rechten Winkel. Außerdem sind die Winkel an der Spiegelmitte nach der Angabe gleich groß. Deshalb sind die Dreiecke ähnlich. 2. Für entsprechende Seiten gilt \(\frac{h}{45\,\text{m}}=\frac{1{,}70\,\text{m}}{2{,}50\,\text{m}}\). 3. Damit ist \(h=45\,\text{m}\cdot\frac{1{,}70}{2{,}50}=30{,}6\,\text{m}\). 4. Das Modell setzt voraus, dass der Boden zwischen Lukas, Spiegel und Turm eben ist.

a) Die Dreiecke sind wegen der beiden rechten Winkel und der gleich großen Winkel am Spiegel ähnlich. Der Kirchturm ist \(30{,}6\,\text{m}\) hoch. b) Der Boden muss zwischen den Messpunkten eben sein.

- Betrachte die Winkel in den beiden Dreiecken. Haben sie gemeinsame Winkel? - Identifiziere in beiden Dreiecken, welche Seite die Hypotenuse und welche die Katheten sind. - Stelle ein Verhältnis aus einer Kathete und der Hypotenuse für beide Dreiecke auf.

1. Sowohl \(\triangle BDC\) als auch \(\triangle ABC\) besitzen einen rechten Winkel (\(\angle BDC = 90^\circ\) und \(\angle BCA = 90^\circ\)). Zudem teilen sie sich den Winkel \(\beta\) bei Eckpunkt \(B\). Damit stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich. 2. In ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich. Hier werden jeweils die Kathete am Winkel \(\beta\) und die Hypotenuse verglichen. 3. Im großen Dreieck \(ABC\) ist das Verhältnis \(\frac{a}{c}\). Im kleinen Dreieck \(BDC\) ist \(q\) die Kathete an \(\beta\) und \(a\) die Hypotenuse, also \(\frac{q}{a}\). 4. Gleichung: \(\frac{q}{a} = \frac{a}{c} \implies q = \frac{a^2}{c}\). 5. Einsetzen der Werte: \(q = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3{,}6\). 6. Ergebnis: Der Abschnitt \(q\) ist \(3{,}6\,\text{cm}\) lang.

a) Die Dreiecke sind ähnlich, da sie im Winkel \(\beta\) übereinstimmen und beide einen rechten Winkel besitzen. b) Der Hypotenusenabschnitt \(q\) ist \(3{,}6\,\text{cm}\) lang.

- Skizziere die Situation. Wo liegen die Höhen der beiden Teildreiecke im Verhältnis zur Gesamthöhe des Trapezes? - Nutze die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke an den Diagonalen, um die fehlende Teilhöhe zu berechnen. - Welche Strecken in den beiden Dreiecken entsprechen einander?

1. Da \(\triangle ABS \sim \triangle CDS\), gilt für das Verhältnis der entsprechenden Höhen \(h_1\) (von \(S\) auf \(AB\)) und \(h_2\): \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{CD}\). 2. Einsetzen der Werte zur Berechnung von \(h_1\): \(\frac{h_1}{4} = \frac{12}{8}\). 3. Berechnung von \(h_1\): \(\frac{12}{8} = 1{,}5\), also \(h_1 = 1{,}5 \cdot 4 = 6\,\text{cm}\). 4. Da \(AB \parallel CD\), ist der Abstand der beiden parallelen Seiten die Summe der senkrechten Abstände von \(S\) zu \(AB\) und \(CD\): \(H = h_1 + h_2 = 6 + 4 = 10\,\text{cm}\). Die Gesamthöhe des Trapezes beträgt \(10\,\text{cm}\).

Die Gesamthöhe des Trapezes beträgt \(10\,\text{cm}\).

- Welche besonderen Eigenschaften haben die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck? - Wo genau im Dreieck könnte der angegebene Winkel liegen? Gibt es nur eine Möglichkeit? - Wann genau bezeichnen wir zwei Dreiecke als ähnlich? Was muss für ihre Winkel gelten? - Probiere aus, welche anderen Winkel das Dreieck haben könnte, wenn der bekannte Winkel an verschiedenen Stellen liegt.

1. Analyse der möglichen Positionen des \(50^\circ\)-Winkels in einem gleichschenkligen Dreieck: Der Winkel kann entweder der Winkel an der Spitze (zwischen den Schenkeln) oder einer der beiden Basiswinkel sein. 2. Berechnung der übrigen Winkel für Fall 1 (\(50^\circ\) ist der Winkel an der Spitze): Die Basiswinkel sind gleich groß. \(\frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ\). Die Winkelkombination ist \((50^\circ; 65^\circ; 65^\circ)\). 3. Berechnung der übrigen Winkel für Fall 2 (\(50^\circ\) ist ein Basiswinkel): Der zweite Basiswinkel ist ebenfalls \(50^\circ\). Der Winkel an der Spitze ist \(180^\circ - 2 \cdot 50^\circ = 80^\circ\). Die Winkelkombination ist \((50^\circ; 50^\circ; 80^\circ)\). 4. Schlussfolgerung: Da Dreiecke nur dann ähnlich sind, wenn alle ihre entsprechenden Winkel übereinstimmen, und hier zwei unterschiedliche Sätze von Innenwinkeln möglich sind, ist die Ähnlichkeit nicht garantiert.

Die Information reicht nicht aus, da der \(50^\circ\)-Winkel entweder der Winkel an der Spitze oder ein Basiswinkel sein kann. Im ersten Fall ergeben sich die Winkel \(50^\circ, 65^\circ, 65^\circ\), im zweiten Fall jedoch \(50^\circ, 50^\circ, 80^\circ\). Da die Innenwinkel nicht in jedem Fall übereinstimmen, müssen die Dreiecke nicht ähnlich sein.

- Welche beiden Dreiecke an den Diagonalen sind wegen der parallelen Grundseiten ähnlich? - In welchem Verhältnis teilt \(S\) dadurch die Diagonale \(AC\)? - Zeichne durch \(S\) gedanklich eine Parallele zu den Grundseiten bis zur Seite \(AD\). - Welche beiden Dreiecke kannst du dann noch einmal vergleichen?

1. Wegen \(AB \parallel CD\) stimmen die Dreiecke \(ABS\) und \(CDS\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. Deshalb gilt \(AS:SC = AB:CD = 9:6 = 3:2\). 2. Somit ist \(\frac{AS}{AC} = \frac{3}{5}\). 3. Sei \(T\) der Punkt auf \(AD\), der mit \(S\) auf einer Parallelen zu \(AB\) und \(CD\) liegt. Dann ist \(ST\) der gesuchte Abstand. 4. Die Dreiecke \(AST\) und \(ACD\) sind ähnlich. Deshalb gilt \(\frac{ST}{CD} = \frac{AS}{AC} = \frac{3}{5}\). 5. Damit ist \(ST = 6\,\text{cm} \cdot \frac{3}{5} = 3{,}6\,\text{cm}\).

Der Abstand beträgt \(3{,}6\,\text{cm}\).

- Nutze zuerst das Verhältnis der Umfänge, um das Verhältnis entsprechender Längen zwischen den beiden Dreiecken zu bestimmen. - Bestimme damit die entsprechende Seite \(c_1\). - Wie kannst du den verbleibenden Umfang im Verhältnis \(2:3\) aufteilen?

1. Das Längenverhältnis vom größeren zum kleineren Dreieck ist \(\frac{U_1}{U}=\frac{26}{39}=\frac{2}{3}\). 2. Daher ist \(c_1=\frac{2}{3}\cdot15\,\text{cm}=10\,\text{cm}\). 3. Für die beiden übrigen Seiten bleiben \(26\,\text{cm}-10\,\text{cm}=16\,\text{cm}\). 4. Mit \(a_1=2t\) und \(b_1=3t\) gilt \(5t=16\), also \(t=3{,}2\,\text{cm}\). 5. Damit sind \(a_1=6{,}4\,\text{cm}\) und \(b_1=9{,}6\,\text{cm}\).

\(a_1=6{,}4\,\text{cm}\), \(b_1=9{,}6\,\text{cm}\), \(c_1=10\,\text{cm}\)

- Bestimme die Winkel in beiden kleinen Teildreiecken. - Nutze die Tatsache, dass die Summe der Winkel im Dreieck \(180^\circ\) beträgt. - Wie hängen die Winkel an der Spitze \(C\) zusammen?

1. In \(\triangle ACD\) ist \(\angle ADC = 90^\circ\). In \(\triangle CBD\) ist \(\angle CDB = 90^\circ\). 2. Sei \(\angle CAD = \alpha\). Dann ist \(\angle ACD = 90^\circ - \alpha\). 3. Da \(\angle ACB = 90^\circ\), ist \(\angle BCD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\). 4. Somit haben beide Dreiecke die Winkel \(\alpha\) und \(90^\circ\). 5. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich.

Die Dreiecke sind ähnlich, weil sie in der Größe zweier entsprechender Winkel übereinstimmen. Beide sind rechtwinklig und haben einen weiteren gleich großen entsprechenden Winkel, da die Summe der Teilwinkel bei \(C\) \(90^\circ\) ergibt.

- Welche Seiten entsprechen einander in der angegebenen Ähnlichkeit \(ABC\sim CAD\)? - Suche eine Verhältnisgleichung, in der die Diagonale \(AC\) zweimal als entsprechende Seite vorkommt. - Welche Bedingung muss eine Lösung erfüllen, damit sie als Länge infrage kommt?

1. Aus \(ABC\sim CAD\) folgt für entsprechende Seiten \(\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}\). 2. Mit \(AB=9\), \(CD=4\) und \(AC=x\) gilt \(\frac{9}{x}=\frac{x}{4}\). 3. Daraus folgt \(x^2=36\). Da eine Länge positiv ist, gilt \(x=6\).

\(\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}\), also \(x=6\).

- Stelle die Verhältnisgleichungen für die ähnlichen Dreiecke auf. - Achte darauf, welche Seiten einander entsprechen. Die parallelen Seiten geben oft einen Hinweis auf die Orientierung.

1. Aufgrund der Ähnlichkeit \(\triangle PQS \sim \triangle QSR\) gilt für die entsprechenden Seiten: \(\frac{PQ}{QS} = \frac{QS}{RS}\). 2. Einsetzen: \(\frac{8}{x} = \frac{x}{18} \Rightarrow x^2 = 144 \Rightarrow x = 12\). 3. Weiterhin gilt für entsprechende Seiten: \(\frac{PS}{QR} = \frac{PQ}{QS}\). 4. Einsetzen: \(\frac{y}{15} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\). 5. Auflösen nach \(y\): \(y = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10\).

\(x = 12\) und \(y = 10\)

- Welche zwei Dreiecke besitzen den gemeinsamen Winkel bei \(P\)? - Welcher zweite Winkel ist laut Angabe gleich groß? - Achte bei der Verhältnisgleichung auf die Reihenfolge der entsprechenden Eckpunkte. - Wie erhältst du \(SQ\), wenn \(PQ\) bekannt ist?

1. Die Dreiecke \(PRS\) und \(PQR\) haben den Winkel bei \(P\) gemeinsam. Mit \(\angle PRS = \angle PQR\) stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Aus der Zuordnung folgt \(\frac{PQ}{PR}=\frac{PR}{PS}\). 3. Damit gilt \(\frac{x}{12}=\frac{12}{9}\), also \(x=16\). 4. Schließlich ist \(y=SQ=PQ-PS=16-9=7\).

\(x=16\), \(y=7\)

- Welche Eckpunkte entsprechen einander aufgrund der markierten Winkel? - Welches bekannte Seitenpaar liefert das Längenverhältnis der beiden Dreiecke? - Welche Verhältnisgleichungen gehören danach zu \(y\) und zu \(x\)?

1. Aus der Winkelzuordnung folgt \(M\leftrightarrow C\), \(N\leftrightarrow A\) und damit \(K\leftrightarrow B\). 2. Für die entsprechenden Seiten \(KN\) und \(BA\) gilt \(\frac{KN}{BA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 3. Daher ist \(\frac{MN}{CA}=\frac{y}{12}=\frac{1}{2}\), also \(y=6\). 4. Ebenso gilt \(\frac{KM}{BC}=\frac{x}{x+3}=\frac{1}{2}\). Daraus folgt \(x=3\).

\(x=3\), \(y=6\)

- Welche Eigenschaft haben die beiden Dreiecke aufgrund der parallelen Linien? - Kannst du eine Seite im kleineren Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnen? - Nutze das Verhältnis entsprechender Seitenlängen in ähnlichen Dreiecken.

1. Da die Strecken \(EF\) und \(BC\) parallel zueinander stehen und beide senkrecht auf \(AC\) stehen, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(AEF\) zueinander ähnlich. 2. Im kleinen rechtwinkligen Dreieck \(AEF\) berechnen wir die Kathete \(y\) mithilfe des Satzes des Pythagoras: \(y = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\,\text{LE}\). 3. Über das Ähnlichkeitsverhältnis der beiden Dreiecke gilt für die Kathete \(x\): \(\frac{x}{12} = \frac{AC}{y}\). 4. Die Gesamtlänge \(AC\) beträgt \(6 + 9 = 15\,\text{LE}\). 5. Damit ergibt sich \(x = 12 \cdot \frac{15}{9} = 12 \cdot \frac{5}{3} = 20\,\text{LE}\).

\(x = 20\,\text{LE}\), \(y = 9\,\text{LE}\)

- Welche zwei Dreiecke besitzen den Winkel bei \(R\) gemeinsam? - Welche weitere Winkelgleichheit ist gegeben, und was folgt daraus für die beiden Dreiecke? - Ordne anschließend die entsprechenden Seiten in derselben Reihenfolge zu.

1. Die Dreiecke \(RKE\) und \(RTK\) sind ähnlich, da sie den Winkel bei \(R\) gemeinsam haben und zusätzlich \(\angle RKE = \angle RTK\) gilt. 2. Es gilt \(\frac{RE}{RK} = \frac{RK}{RT}\). Mit \(RK=15\) und \(RT=25\) folgt \(\frac{x}{15} = \frac{15}{25}\). 3. Somit ist \(x = \frac{15 \cdot 15}{25} = 9\). 4. Weiterhin gilt \(\frac{KE}{KT} = \frac{RK}{RT}\). 5. Einsetzen ergibt \(\frac{y}{20} = \frac{15}{25} = 0{,}6\), also \(y = 20 \cdot 0{,}6 = 12\).

\(x = 9\), \(y = 12\)

- Wie hängen Außenwinkel und Innenwinkel an derselben Ecke zusammen? - Was weißt du über die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks? - Vergleiche anschließend die Winkel beider Dreiecke.

1. Im linken Dreieck ist der Außenwinkel an der Basis \(120^\circ\). Der Innenwinkel an dieser Ecke ist \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\). 2. Da das Dreieck gleichschenklig ist, beträgt auch der andere Basiswinkel \(60^\circ\). Der Spitzenwinkel ist ebenfalls \(60^\circ\). 3. Im rechten Dreieck ist der Spitzenwinkel \(60^\circ\). Die beiden Basiswinkel sind daher jeweils \((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ\). 4. Beide Dreiecke haben nur Winkel der Größe \(60^\circ\) und sind daher ähnlich.

Ja. Beide Dreiecke sind gleichseitig und damit ähnlich.

- Welche Winkel in den beiden Dreiecken sind sicher gleich groß? - Welche Dreiecke teilen sich den Winkel bei \(A\)? - Ordne nach dem Ähnlichkeitsnachweis die entsprechenden Seiten so, dass \(CD\) in deiner Verhältnisgleichung vorkommt.

1. In \(\triangle ACD\) gilt \(\angle ADC=90^\circ\), in \(\triangle ABC\) gilt \(\angle ACB=90^\circ\). Außerdem haben beide Dreiecke den Winkel bei \(A\) gemeinsam. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{CD}{8\,\text{cm}}=\frac{6\,\text{cm}}{10\,\text{cm}}\). 4. Damit ist \(CD=8\,\text{cm}\cdot\frac{6}{10}=4{,}8\,\text{cm}\).

a) \(\triangle ACD\sim\triangle ABC\), weil beide einen rechten Winkel besitzen und den Winkel bei \(A\) gemeinsam haben. b) \(\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}\), also \(CD=4{,}8\,\text{cm}\).

- Welche rechten Winkel entstehen durch die beiden Höhen? - Welcher Winkel bei \(C\) gehört zu beiden betrachteten Dreiecken? - Welche Seiten entsprechen einander, wenn du die Dreiecke in passender Reihenfolge notierst?

1. In den Dreiecken \(ADC\) und \(BEC\) gilt \(\angle ADC=\angle BEC=90^\circ\). Außerdem ist der Winkel bei \(C\) in beiden Dreiecken der Winkel zwischen den Geraden \(AC\) und \(BC\). Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich: \(\triangle ADC\sim\triangle BEC\). 2. Entsprechend gehören \(AD\) zu \(BE\) und \(AC\) zu \(BC\). Deshalb gilt \(\frac{AD}{AC}=\frac{BE}{BC}\). 3. Einsetzen ergibt \(\frac{AD}{10\,\text{cm}}=\frac{6\,\text{cm}}{15\,\text{cm}}\). 4. Daraus folgt \(AD=4\,\text{cm}\).

a) \(\triangle ADC\sim\triangle BEC\), weil zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind. b) \(\frac{AD}{AC}=\frac{BE}{BC}\), also \(AD=4\,\text{cm}\).

- Welche Seite des Rechtecks ist parallel zu \(AB\)? - Welche Winkelpaare entstehen dadurch in dem kleinen und dem großen Dreieck? - Bestimme die Höhe des Dreiecks oberhalb des Rechtecks, bevor du entsprechende Längen vergleichst.

1. Da \(SR\parallel AB\) gilt, stimmen die Dreiecke \(SRC\) und \(ABC\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein. Daher ist \(\triangle SRC\sim\triangle ABC\). 2. Die Höhe des kleinen Dreiecks ist \(10\,\text{cm}-4\,\text{cm}=6\,\text{cm}\). 3. Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{SR}{AB}=\frac{6}{10}\). 4. Somit ist \(SR=15\,\text{cm}\cdot\frac{6}{10}=9\,\text{cm}\).

a) \(\triangle SRC\sim\triangle ABC\) b) \(SR=9\,\text{cm}\)

- Ordne zunächst die kürzeste, mittlere und längste Seite der beiden Dreiecke einander zu. - Welche beiden Seiten treffen sich jeweils an einem entsprechenden Eckpunkt? - Prüfe Linas Verhältnis mit den Seitenlängen, bevor du eine neue Zuordnung festlegst.

1. Im kleinen Dreieck haben die Seiten die Längen \(5,7,8\), im großen Dreieck \(10,14,16\). Die entsprechenden Seiten erkennt man an demselben Größenrang: \(5\leftrightarrow10\), \(7\leftrightarrow14\), \(8\leftrightarrow16\). 2. Damit entspricht \(AB=8\) der Seite \(DE=16\), \(AC=5\) der Seite \(DF=10\) und \(BC=7\) der Seite \(EF=14\). 3. Folglich ist die korrekte Eckpunktzuordnung \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Lina hat \(E\) und \(F\) vertauscht und dadurch nicht entsprechende Seiten verglichen. 4. Das gemeinsame Längenverhältnis vom kleineren zum größeren Dreieck beträgt \(1:2\).

Lina hat \(E\) und \(F\) vertauscht. Korrekt ist \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Entsprechende Seiten stehen vom kleineren zum größeren Dreieck im Verhältnis \(1:2\).

- Ordne zuerst kürzeste, mittlere und längste Seite in beiden Dreiecken. - Eine Drehung der Zeichnung ändert nicht, welche Seiten einander entsprechen. - Prüfe das gemeinsame Längenverhältnis erst nach einer konsistenten Zuordnung aller drei Seitenpaare.

1. Lara ordnet Seiten nur nach ihrer Lage in den beiden Zeichnungen zu. Bei gedrehten Dreiecken ist das keine sichere Zuordnung. 2. Im ersten Dreieck haben die Seiten die Längen \(4,6,8\), im zweiten \(6,9,12\). 3. Entsprechend gehören deshalb \(AB\leftrightarrow EF\), \(BC\leftrightarrow FD\) und \(AC\leftrightarrow DE\). 4. Für diese Paare gilt \(\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=1{,}5\). 5. Entsprechende Längen des ersten und zweiten Dreiecks stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\).

Lara hat die entsprechenden Seiten falsch zugeordnet. Richtig ist \(AB\leftrightarrow EF\), \(BC\leftrightarrow FD\), \(AC\leftrightarrow DE\); entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\).

- Trenne die beiden verlangten Begründungen konsequent voneinander. - Für den Seitenweg müssen alle drei entsprechenden Seitenpaare denselben Quotienten liefern. - Überlege für c), welche Informationen nach dem Entfernen der Winkelmarkierungen vollständig erhalten bleiben.

1. Die jeweils gleich markierten Winkel liefern zwei Paare entsprechender gleich großer Winkel. Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Die Seitenlängen des ersten Dreiecks sind \(5,7,8\), die des zweiten \(10,14,16\). 3. Es gilt \(\frac{10}{5}=\frac{14}{7}=\frac{16}{8}=2\). Daher folgt die Ähnlichkeit auch aus der Proportionalität aller drei entsprechenden Seiten. 4. Ohne Winkelmarkierungen bleibt der Nachweis über die drei proportionalen Seiten vollständig erhalten.

a) Ähnlich, weil zwei entsprechende Winkel jeweils gleich groß sind. b) Ähnlich, weil alle drei Verhältnisse entsprechender Seiten gleich \(2\) sind. c) Ohne Winkelmarkierungen bleibt der Nachweis über die proportionalen Seiten möglich.

- Betrachte für jedes Seil ein kleines und ein großes rechtwinkliges Dreieck. - Drücke die Kreuzungshöhe einmal mit dem linken und einmal mit dem rechten horizontalen Teilabstand aus. - Wie ergänzen sich diese beiden horizontalen Teilabstände zum gesamten Pfostenabstand?

1. Sei \(d\) der Abstand der Pfosten und \(x\) der waagerechte Abstand des Kreuzungspunkts vom linken Pfosten. 2. Aus den ähnlichen Dreiecken am Seil vom linken Pfosten folgt \(\frac{h}{4}=\frac{d-x}{d}\). 3. Aus den ähnlichen Dreiecken am Seil vom rechten Pfosten folgt \(\frac{h}{12}=\frac{x}{d}\). 4. Addieren liefert \(\frac{h}{4}+\frac{h}{12}=1\). 5. Damit ist \(h\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=1\), also \(h\cdot\frac{1}{3}=1\) und somit \(h=3\,\text{m}\).

Die beiden Seile kreuzen sich in \(3\,\text{m}\) Höhe.

- Welche Seiten der beiden Dreiecke liegen auf parallelen Geraden? - In welchem Verhältnis stehen die entsprechenden Grundseiten \(AB\) und \(FD\)? - Wie hängen die beiden zugehörigen Höhen mit dem Abstand \(a\) zwischen den parallelen Geraden zusammen? - Wie erhältst du aus Grundseite und Höhe den Flächeninhalt des blauen Dreiecks?

1. Es gilt \(AB \parallel FD\). Zusammen mit den Scheitelwinkeln bei \(S\) stimmen die Dreiecke \(ABS\) und \(DFS\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Es ist \(AB=a\) und \(FD=2a\). Entsprechende Längen im größeren Dreieck sind daher doppelt so groß. 3. Sei \(h\) die Höhe von \(S\) über \(AB\). Der Abstand von \(S\) zu \(FD\) ist \(a-h\). Aus der Ähnlichkeit folgt \(\frac{a-h}{h}=2\). 4. Daraus folgt \(a-h=2h\) und somit \(h=\frac{a}{3}\). 5. Daher ist \(A_{ABS}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{a}{3}=\frac{1}{6}a^2\).

a) Ja. \(ABS\) und \(DFS\) stimmen in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. b) \(A_{ABS}=\frac{1}{6}a^2\)

- Forme jede der beiden Produktgleichungen zunächst getrennt in eine Verhältnisgleichung um. - Versuche, in beiden Verhältnisgleichungen denselben Quotienten auf einer Seite zu erhalten. - Welche drei Seitenpaare der Dreiecke \(ABC\) und \(PBK\) ergeben sich daraus als entsprechend?

1. Aus \(AB\cdot BK=CB\cdot BP\) folgt durch Division durch \(BP\cdot BK\): \(\frac{AB}{BP}=\frac{CB}{BK}\). 2. Aus \(AB\cdot PK=AC\cdot BP\) folgt durch Division durch \(BP\cdot PK\): \(\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{PK}\). 3. Damit gilt \(\frac{AB}{BP}=\frac{CB}{BK}=\frac{AC}{PK}\). 4. Alle drei Paare entsprechender Seiten haben dasselbe Längenverhältnis. Daher sind \(\triangle ABC\) und \(\triangle PBK\) ähnlich.

Aus den beiden Produktgleichungen folgt \(\frac{AB}{BP}=\frac{CB}{BK}=\frac{AC}{PK}\). Damit stimmen die Längenverhältnisse aller drei Paare entsprechender Seiten überein, also sind die Dreiecke ähnlich.

- Welche beiden rechten Winkel entstehen durch die Höhe \(PS\)? - Warum ist der Winkel bei \(R\) im rechten Teildreieck derselbe Winkel wie \(\angle PRQ\)? - Ordne nach dem Nachweis über zwei gleich große entsprechende Winkel die entsprechenden Seiten, bevor du eine Verhältnisgleichung aufstellst.

1. Die Dreiecke \(QPS\) und \(PRS\) sind beide rechtwinklig bei \(S\). Da \(S\) auf \(QR\) liegt, ist \(\angle PRS=\angle PRQ\). Mit \(\angle QPS=\angle PRQ\) stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 2. Bei dieser Zuordnung entsprechen \(QS\) und \(PS\) sowie \(PS\) und \(SR\) einander. Daher gilt \(\frac{QS}{PS}=\frac{PS}{SR}\). 3. Mit \(PS=x\) ergibt sich \(\frac{4}{x}=\frac{x}{9}\), also \(x^2=36\). 4. Da \(x\) eine Länge ist, gilt \(x=6\).

\(\triangle QPS\sim\triangle PRS\), weil zwei entsprechende Winkel gleich groß sind; außerdem \(\frac{QS}{PS}=\frac{PS}{SR}\) und \(PS=6\).

- Welche Gesamtlänge erhältst du aus \(BD\) und \(DC\)? - Welche zwei Dreiecke haben den Winkel bei \(B\) gemeinsam? - Welche Seiten entsprechen einander, wenn du die Winkelzuordnung beachtest?

1. Zunächst ist \(BC=BD+DC=12\,\text{cm}\). 2. Die Dreiecke \(ABD\) und \(CBA\) haben den Winkel bei \(B\) gemeinsam. Mit \(\angle BAD = \angle BCA\) stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 3. Daher gilt \(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}\). 4. Einsetzen liefert \(\frac{AB}{12}=\frac{3}{AB}\), also \(AB^2=36\). 5. Als positive Länge ist \(AB=6\,\text{cm}\).

\(AB=6\,\text{cm}\)

- Überlege dir zuerst, welche Winkel in der Zeichnung gleich groß sind. Was bedeutet das für das Dreieck \(ABD\)? - Findest du zwei Dreiecke, die in zwei Winkeln übereinstimmen? Diese müssen ähnlich sein. - Stelle die Verhältnisse der entsprechenden Seitenlängen in den ähnlichen Dreiecken auf. - Denke daran, dass die Gesamtlänge der Seite \(AC\) die Summe der beiden Teilstrecken ist.

1. Da \(BD\) den Winkel \(\angle B\) halbiert, gilt \(\angle ABD = \angle CBD\). Da zudem \(\angle CBD = \angle A\) gegeben ist, folgt \(\angle ABD = \angle A\). Somit ist das Dreieck \(ABD\) gleichschenklig mit \(BD = AD = 5\,\text{cm}\). 2. Die Dreiecke \(BCD\) und \(ACB\) haben den Winkel bei \(C\) gemeinsam. Da außerdem \(\angle CBD = \angle A\) gilt, stimmen sie in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind ähnlich: \(\triangle BCD \sim \triangle ACB\). 3. Aus den Verhältnissen entsprechender Seiten folgt: \(\frac{BC}{AC} = \frac{CD}{BC}\). Mit \(AC = CD + DA = 4 + 5 = 9\,\text{cm}\) ergibt sich die Gleichung \(\frac{x}{9} = \frac{4}{x}\), also \(x^2 = 36\). Da Längen positiv sind, ist \(x = 6\,\text{cm}\). 4. Weiterhin gilt für die dritte Seite: \(\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{BC}\). Einsetzen der bekannten Werte liefert \(\frac{5}{y} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Auflösen nach \(y\) ergibt \(2y = 15\), also \(y = 7{,}5\,\text{cm}\).

Die gesuchten Längen sind \(x = 6\,\text{cm}\) und \(y = 7{,}5\,\text{cm}\).

- Welche zwei Dreiecke enthalten die markierten gleichen Winkel und zusätzlich denselben Winkel bei \(M\)? - Welche gesamte Strecke erhältst du aus \(ML\) und \(LK\)? - Ordne die entsprechenden Seiten der ähnlichen Dreiecke, bevor du eine Gleichung für \(x\) aufstellst.

1. Die Dreiecke \(MNL\) und \(MKN\) haben den Winkel bei \(M\) gemeinsam, weil \(ML\) und \(MK\) auf demselben Strahl liegen. Zusätzlich gilt \(\angle MNL=\angle MKN\). Damit stimmen die Dreiecke in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich: \(\triangle MNL\sim\triangle MKN\). 2. Zunächst ist \(MK=ML+LK=9+7=16\). 3. Aus der Zuordnung folgt \(\frac{MN}{ML}=\frac{MK}{MN}\). Mit \(MN=x\) ergibt sich \(\frac{x}{9}=\frac{16}{x}\), also \(x^2=144\) und damit \(x=12\). 4. Außerdem gilt \(\frac{NL}{KN}=\frac{ML}{MN}\). Daher ist \(\frac{y}{14}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) und somit \(y=10{,}5\).

\(x=12\), \(y=10{,}5\)

- Welche beiden Winkel sind unmittelbar rechte Winkel? - Welche beiden spitzen Winkel ergänzen jeweils denselben Winkel zu \(90^\circ\)? - Welches gegebene Seitenpaar liefert nach dem Ähnlichkeitsnachweis das Verhältnis entsprechender Längen? - Welche Seiten entsprechen dann \(KR\) und \(KO\)?

1. Es gilt \(\angle KRO=\angle OLM=90^\circ\). 2. Wegen \(\angle KOM=90^\circ\) ergänzen sich die Winkel \(\angle KOR\) und \(\angle MOL\) zu \(90^\circ\). Im rechtwinkligen Dreieck \(KRO\) ergänzen sich auch \(\angle RKO\) und \(\angle KOR\) zu \(90^\circ\). Daher ist \(\angle RKO=\angle MOL\). 3. Somit stimmen \(KRO\) und \(OLM\) in der Größe zweier entsprechender Winkel überein und sind daher ähnlich. 4. Aus \(\frac{RO}{LM}=\frac{15}{6}=2{,}5\) folgt, dass entsprechende Längen im größeren Dreieck \(2{,}5\)-mal so groß sind. 5. Daher ist \(x=KR=2{,}5\cdot8=20\) und \(y=KO=2{,}5\cdot10=25\).

\(x=20\), \(y=25\)