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Mengendiagramme

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Schwierigkeit: 1 – 5

4386529

Im Mengendiagramm markieren \(P\), \(Q\), \(R\) und \(S\) die vier Bereiche innerhalb von \(\Omega\). Ordne zu: „nur \(A\)“, „\(A \cap B\)“, „nur \(B\)“, „außerhalb von \(A \cup B\)“.

Denkanstöße

- Beschreibe die Lage jedes Buchstabens relativ zu beiden Kreisen. - Welche Region liegt in beiden Kreisen gleichzeitig? - Welche Region liegt innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise?

Lösung

1. \(P\) liegt nur im Kreis \(A\). 2. \(Q\) liegt in der Überlappung und damit in \(A \cap B\). 3. \(R\) liegt nur im Kreis \(B\). 4. \(S\) liegt in \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise und damit außerhalb von \(A \cup B\).

Antwort

\(P\): nur \(A\); \(Q\): \(A \cap B\); \(R\): nur \(B\); \(S\): außerhalb von \(A \cup B\).

4386629

Zwei Mengendiagramme sind abgebildet. In welchem Diagramm können beim Würfeln die Ereignisse \(A\): „Die Augenzahl ist \(1\) oder \(2\).“ und \(B\): „Die Augenzahl ist \(5\) oder \(6\).“ dargestellt werden? Begründe.

Denkanstöße

- Schreibe die Ergebnisse der beiden Ereignisse als Mengen auf. - Prüfe, ob ein Würfelergebnis gleichzeitig zu \(A\) und \(B\) gehört. - Vergleiche genau diese Eigenschaft mit der Lage der beiden Kreise.

Lösung

1. Es gilt \(A=\{1;2\}\) und \(B=\{5;6\}\). 2. Kein Würfelergebnis liegt in beiden Ereignissen, also ist \(A\cap B=\emptyset\). 3. Deshalb müssen die Kreise für \(A\) und \(B\) getrennt sein. Das ist in Diagramm b) der Fall.

Antwort

Diagramm b), weil \(A\cap B=\emptyset\) gilt und die Ereignisse daher durch getrennte Kreise dargestellt werden müssen.

4147279

Das Mengendiagramm zeigt zwei disjunkte Ereignisse \(A\) und \(B\) innerhalb der Ergebnismenge \(\Omega\). Die markierten Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) stehen für mögliche Ergebnisse aus \(\Omega\). a) Welcher markierte Punkt gehört zu \(\overline{A \cup B}\)? Begründe kurz. b) Gib \(A \cap B\) an. c) Vereinfache für diese Situation \(A \cap \overline{B}\) und begründe dein Ergebnis mithilfe des Diagramms.

Denkanstöße

- Ordne die markierten Punkte danach ein, ob sie innerhalb oder außerhalb der beiden Kreise liegen. - Was bedeutet „disjunkt“ für einen gemeinsamen Bereich von \(A\) und \(B\)? - Prüfe bei c), ob irgendein Ergebnis aus \(A\) zugleich in \(B\) liegen kann.

Lösung

1. Der Punkt \(R\) liegt innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise. Daher gehört \(R\) zu \(\overline{A \cup B}\). 2. Die Kreise von \(A\) und \(B\) überschneiden sich nicht. Deshalb ist \(A \cap B=\emptyset\). 3. Weil \(A\) und \(B\) disjunkt sind, liegt jedes Ergebnis aus \(A\) außerhalb von \(B\). Daher gilt \(A \cap \overline{B}=A\).

Antwort

a) \(R\), denn \(R\) liegt in \(\Omega\), aber außerhalb von \(A\) und \(B\). b) \(A \cap B=\emptyset\) c) \(A \cap \overline{B}=A\)

4147349

Im Mengendiagramm markieren \(P\), \(Q\), \(R\) und \(S\) die vier Bereiche zu zwei sich überschneidenden Ereignissen \(A\) und \(B\) innerhalb von \(\Omega\). Gib für jede Menge an, welche der markierten Regionen dazugehören: a) \(\overline{A} \cap B\) b) \(A \cup \overline{B}\) c) \(\overline{A \cup B}\)

Denkanstöße

- Ordne jedem Regionspunkt zuerst seine Lage zu: nur \(A\), beide, nur \(B\) oder weder noch. - Bei einer Schnittmenge müssen alle genannten Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. - Ein Gegenereignis umfasst innerhalb von \(\Omega\) genau die Bereiche, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören.

Lösung

1. \(\overline{A} \cap B\) enthält die Region in \(B\), aber außerhalb von \(A\): \(R\). 2. \(A \cup \overline{B}\) enthält die Regionen \(P\) und \(Q\) von \(A\) sowie die Region \(S\) außerhalb von \(B\). Nur \(R\) gehört nicht dazu. 3. \(\overline{A \cup B}\) enthält die Region innerhalb von \(\Omega\), die weder zu \(A\) noch zu \(B\) gehört: \(S\).

Antwort

a) \(R\) b) \(P\), \(Q\), \(S\) c) \(S\)

4386539

Die Kreise stehen für \(A\): „singt im Chor“ und \(B\): „spielt in der Schulband“. Im Mengendiagramm stehen in den vier Bereichen die jeweiligen Personenzahlen. Erkläre, was jede eingetragene Zahl bedeutet, und bestimme die Gesamtzahl der erfassten Personen.

Denkanstöße

- Lies jede Zahl an ihrer Position relativ zu den beiden Kreisen ab. - Welche Zahl steht in der Überlappung? - Für die Gesamtzahl muss jeder der vier disjunkten Bereiche genau einmal gezählt werden.

Lösung

1. Die \(11\) im Bereich nur von \(A\) bedeutet: \(11\) Personen singen nur im Chor. 2. Die \(4\) in der Überlappung bedeutet: \(4\) Personen singen im Chor und spielen in der Schulband. 3. Die \(7\) im Bereich nur von \(B\) bedeutet: \(7\) Personen spielen nur in der Schulband. 4. Die \(3\) außerhalb beider Kreise bedeutet: \(3\) Personen gehören zu keiner der beiden Gruppen. 5. Insgesamt sind es \(11+4+7+3=25\) Personen.

Antwort

Nur Chor: \(11\); beide: \(4\); nur Schulband: \(7\); keine Gruppe: \(3\); insgesamt \(25\) Personen.

4386549

Das Mengendiagramm zeigt die absoluten Häufigkeiten in den vier Bereichen zu \(A\) und \(B\). Bestimme \(H(A)\), \(H(B)\), \(H(A \cup B)\) und die Gesamtzahl \(H(\Omega)\).

Denkanstöße

- Welche Diagrammbereiche liegen vollständig innerhalb des Kreises \(A\)? - Die Überlappung gehört sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\). - Für \(\Omega\) musst du alle vier disjunkten Bereiche berücksichtigen.

Lösung

1. Zu \(A\) gehören die Bereiche mit \(18\) und \(6\): \(H(A)=18+6=24\). 2. Zu \(B\) gehören die Bereiche mit \(6\) und \(9\): \(H(B)=6+9=15\). 3. Zur Vereinigung gehören die drei inneren Bereiche: \(H(A \cup B)=18+6+9=33\). 4. Zur gesamten Ergebnismenge gehört zusätzlich der Außenbereich: \(H(\Omega)=18+6+9+5=38\).

Antwort

\(H(A)=24\), \(H(B)=15\), \(H(A \cup B)=33\), \(H(\Omega)=38\).

4386569

Im Mengendiagramm sind \(H(A)=26\) und \(H(B)=19\) an den Kreisen angegeben. Außerdem stehen \(7\) in der Überlappung und \(4\) außerhalb beider Kreise. Bestimme die absoluten Häufigkeiten in allen vier Bereichen.

Denkanstöße

- Welche zwei Bereiche bilden zusammen die absolute Häufigkeit \(H(A)\)? - Welche zwei Bereiche bilden zusammen \(H(B)\)? - Die Werte in der Überlappung und außerhalb sind bereits direkt im Diagramm angegeben.

Lösung

1. Nur in \(A\) liegen \(26-7=19\) Elemente. 2. Nur in \(B\) liegen \(19-7=12\) Elemente. 3. In beiden Mengen liegen \(7\) Elemente. 4. Außerhalb beider Mengen liegen \(4\) Elemente.

Antwort

Nur \(A\): \(19\), beide: \(7\), nur \(B\): \(12\), außerhalb: \(4\).

4386579

Das Mengendiagramm zeigt die Schulwege einer Gruppe: \(A\): „nutzt das Fahrrad“, \(B\): „nutzt den Bus“. Tarek liest das Diagramm ab und schreibt anschließend \(H(A)=14\). Erkläre seinen Fehler und korrigiere die absolute Häufigkeit.

Denkanstöße

- Welche Bereiche des Diagramms liegen vollständig innerhalb des Kreises \(A\)? - Gehört die Überlappung ebenfalls zu \(A\)? - Addiere genau die Bereiche, die zum Ereignis \(A\) gehören.

Lösung

1. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ mit \(14\) und die Überlappung mit \(6\). 2. Tarek hat die \(6\) Personen aus \(A \cap B\) nicht mitgezählt. 3. Richtig ist \(H(A)=14+6=20\).

Antwort

Tarek vergisst die Überlappung. Richtig ist \(H(A)=20\).

4386589

Im Mengendiagramm sind sechs Personen eingeordnet. Gib die Mengen \(A\), \(B\), \(A\cup B\) und \(A\cap B\) an.

Denkanstöße

- Lies zuerst ab, welche Namen innerhalb jedes einzelnen Kreises stehen. - Für die Vereinigung gehören alle Namen dazu, die in mindestens einem Kreis liegen. - Für die Schnittmenge zählen nur Namen im Überlappungsbereich.

Lösung

1. Im Kreis \(A\) liegen Lea, Noah und Mina. Daher gilt \(A=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina}\}\). 2. Im Kreis \(B\) liegen Mina, Emil und Sara. Daher gilt \(B=\{\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\). 3. In mindestens einem der beiden Kreise liegen Lea, Noah, Mina, Emil und Sara. Somit ist \(A\cup B=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\). 4. In beiden Kreisen liegt nur Mina. Also ist \(A\cap B=\{\text{Mina}\}\).

Antwort

\(A=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina}\}\), \(B=\{\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\), \(A\cup B=\{\text{Lea};\text{Noah};\text{Mina};\text{Emil};\text{Sara}\}\), \(A\cap B=\{\text{Mina}\}\).

4386599

Lies die vier Wahrscheinlichkeiten aus dem Mengendiagramm ab. Bestimme \(P(A)\), \(P(B)\) und \(P(A\cup B)\).

Denkanstöße

- Lies zunächst ab, welche Bereiche zu jedem Ereignis gehören. - Die Überlappung gehört sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\). - Für \(A\cup B\) zählen alle Bereiche innerhalb mindestens eines Kreises genau einmal.

Lösung

1. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ und die Überlappung. Daher gilt \(P(A)=0{,}31+0{,}18=0{,}49\). 2. Zum Ereignis \(B\) gehören der Bereich „nur \(B\)“ und die Überlappung. Daher gilt \(P(B)=0{,}27+0{,}18=0{,}45\). 3. Zur Vereinigung gehören alle drei Bereiche innerhalb der Kreise. Also ist \(P(A\cup B)=0{,}31+0{,}18+0{,}27=0{,}76\).

Antwort

\(P(A)=0{,}49\), \(P(B)=0{,}45\), \(P(A\cup B)=0{,}76\).

4386609

Im Mengendiagramm markieren \(P,Q,R,S\) die vier Bereiche. Welche Buchstaben gehören zu a) \(A\cup B\), b) \(A\cap B\), c) \(A\cap \overline{B}\), d) \(\overline{A}\cap \overline{B}\)?

Denkanstöße

- Ordne bei jeder Teilaufgabe zuerst die Lage zum Kreis \(A\) und dann zum Kreis \(B\) ein. - Die Vereinigung umfasst alle Bereiche in mindestens einem Kreis. - Ein Überstrich bedeutet, dass der gesuchte Bereich außerhalb des betreffenden Kreises liegt.

Lösung

1. Innerhalb mindestens eines Kreises liegen \(P,Q,R\); daher umfasst \(A\cup B\) diese drei Regionen. 2. In beiden Kreisen liegt nur \(Q\). 3. In \(A\), aber nicht in \(B\), liegt \(P\). 4. Innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise, liegt \(S\).

Antwort

a) \(P,Q,R\) b) \(Q\) c) \(P\) d) \(S\)

4386619

In einer Lerngruppe mögen \(15\) Personen Rätsel \(A\), \(12\) Personen Logikspiele \(B\), \(5\) mögen beides und \(2\) keines. Zeichne ein Mengendiagramm mit der Ergebnismenge \(\Omega\) und trage die vier zugehörigen Anzahlen in die Bereiche ein.

Denkanstöße

- Beginne beim Überschneidungsbereich, dessen Anzahl direkt gegeben ist. - Die Gesamtzahl in jedem Kreis enthält auch die gemeinsame Gruppe. - Die Personen, die keines mögen, gehören innerhalb von \(\Omega\) außerhalb beider Kreise.

Lösung

1. Im Überschneidungsbereich stehen \(5\) Personen. 2. Nur Rätsel mögen \(15-5=10\) Personen. 3. Nur Logikspiele mögen \(12-5=7\) Personen. 4. Außerhalb beider Kreise stehen die \(2\) Personen, die keines mögen.

Antwort

Nur \(A\): \(10\), beide: \(5\), nur \(B\): \(7\), keines: \(2\).

4386639

Das Mengendiagramm soll insgesamt \(30\) Elemente darstellen. Die drei Eintragungen innerhalb der Kreise stimmen. Prüfe die dargestellten Werte und korrigiere den fehlerhaften Außenwert.

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, ob die vier disjunkten Bereiche zusammen die angegebene Gesamtzahl ergeben. - Die drei Werte innerhalb der Kreise sind laut Aufgabe korrekt. - Bestimme den Außenbereich als Rest zur Gesamtzahl.

Lösung

1. Die vier dargestellten Werte ergeben \(9+8+10+5=32\) und damit nicht die geforderte Gesamtzahl \(30\). 2. Innerhalb der Kreise liegen \(9+8+10=27\) Elemente. 3. Außerhalb beider Kreise müssen deshalb \(30-27=3\) Elemente liegen. 4. Der eingetragene Außenwert \(5\) ist durch \(3\) zu ersetzen.

Antwort

Die Eintragung ist falsch; außerhalb beider Kreise müssen \(3\) statt \(5\) Elemente stehen.

4386649

Im Mengendiagramm gilt \(H(A\cup B)=41\). Bestimme die fehlende absolute Häufigkeit in der Überlappung.

Denkanstöße

- Lies die beiden bekannten Teilbereiche innerhalb der Vereinigung aus dem Diagramm ab. - Die drei Bereiche innerhalb der Kreise überschneiden sich untereinander nicht. - Bestimme den fehlenden Teil als Rest zur Häufigkeit von \(A\cup B\).

Lösung

1. Die Vereinigung besteht aus den drei disjunkten Bereichen „nur \(A\)“, „beide“ und „nur \(B\)“. 2. Daher ist die fehlende Häufigkeit \(41-17-14=10\). 3. Somit gilt \(H(A\cap B)=10\).

Antwort

In der Überlappung stehen \(10\) Elemente, also \(H(A\cap B)=10\).

4386659

Das Mengendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten in drei Bereichen. Wie viel Prozent liegen außerhalb beider Mengen?

Denkanstöße

- Lies die drei Prozentwerte innerhalb der Kreise aus dem Diagramm ab. - Diese drei Bereiche bilden zusammen die Vereinigung \(A\cup B\). - Der Außenbereich ist der Rest zum gesamten Ergebnisraum.

Lösung

1. Innerhalb der Kreise liegen insgesamt \(23\,\%+17\,\%+28\,\%=68\,\%\). 2. Der Außenbereich ergänzt diese Wahrscheinlichkeit zu \(100\,\%\). Daher liegen dort \(100\,\%-68\,\%=32\,\%\).

Antwort

Außerhalb beider Mengen liegen \(32\,\%\).

4386689

Das Mengendiagramm ordnet den vier Bereichen die dargestellten Anteile zu. Prüfe, ob diese Zuordnung grundsätzlich als Wahrscheinlichkeitsverteilung möglich ist, und bestimme \(P(A\cap B)\) sowie \(P(\overline{A}\cap\overline{B})\).

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, welche Summe die vier disjunkten Anteile ergeben müssen. - Die Schnittmenge ist im Mengendiagramm der Überlappungsbereich. - Zwei Komplementbedingungen gleichzeitig führen in den Bereich außerhalb beider Kreise.

Lösung

1. Die vier disjunkten Anteile ergeben \(0{,}22+0{,}31+0{,}29+0{,}18=1\). Daher ist die Zuordnung grundsätzlich möglich. 2. Die Schnittmenge entspricht der Überlappung, also gilt \(P(A\cap B)=0{,}31\). 3. Der Bereich außerhalb beider Kreise entspricht \(\overline{A}\cap\overline{B}\). Daher gilt \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}18\).

Antwort

Die Zuordnung ist möglich. \(P(A\cap B)=0{,}31\) und \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}18\).

4386699

Das Mengendiagramm zeigt die Anzahlen in den drei Bereichen innerhalb der Kreise. Eren berechnet für „genau eines der Ereignisse“ \(12+7+15=34\). Korrigiere die Auswertung anhand des Diagramms.

Denkanstöße

- Ordne die Formulierung „genau eines“ den Bereichen des Diagramms zu. - Prüfe besonders, ob die Überlappung diese Bedingung erfüllt. - Addiere anschließend nur die passenden disjunkten Bereiche.

Lösung

1. „Genau eines“ umfasst nur die beiden Bereiche, die jeweils in genau einem der Kreise liegen. 2. Die \(7\) Elemente in der Überlappung erfüllen beide Ereignisse und dürfen deshalb nicht mitgezählt werden. 3. Somit beträgt die richtige Anzahl \(12+15=27\).

Antwort

Richtig sind \(27\) Elemente; die \(7\) Elemente aus der Überlappung werden nicht mitgezählt.

4386729

Diagramm I zeigt die Häufigkeiten der vier Ereignisbereiche: nur \(A\), \(A\cap B\), nur \(B\) und außerhalb beider Ereignisse. Für Diagramm II werden nur die Bezeichnungen der beiden Kreise \(A\) und \(B\) vertauscht. Trage dieselben vier Häufigkeiten so ein, dass sie weiterhin zu denselben Ereignisbereichen gehören, und erkläre, welche Werte ihre Position ändern und welche nicht.

Denkanstöße

- Vergleiche zuerst, was mit den Bereichen „nur \(A\)“ und „nur \(B\)“ geschieht. - Frage dich, ob die Schnittmenge von der Reihenfolge der Namen \(A\) und \(B\) abhängt. - Prüfe dieselbe Frage für den Bereich außerhalb beider Kreise.

Lösung

1. In Diagramm II liegt der Bereich „nur \(B\)“ links und der Bereich „nur \(A\)“ rechts. Deshalb wechselt \(9\) nach links und \(12\) nach rechts. 2. Die Schnittmenge bleibt dieselbe Region. Daher bleibt \(7\) in der Überlappung. 3. Auch der Bereich außerhalb beider Kreise hängt nicht davon ab, welcher Kreis \(A\) oder \(B\) heißt. Daher bleibt \(4\) außerhalb.

Antwort

In Diagramm II steht \(9\) nur in \(B\) auf der linken Seite, \(7\) in der Überlappung, \(12\) nur in \(A\) auf der rechten Seite und \(4\) außerhalb. \(12\) und \(9\) tauschen die Seiten; \(7\) und \(4\) bleiben in ihren Regionen.

4386749

Für \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}\) gelten die Ereignisse \(A\): „Die Zahl ist durch \(2\) teilbar.“ und \(B\): „Die Zahl ist durch \(4\) teilbar.“ Zeichne ein passendes Mengendiagramm und ordne alle Zahlen den Bereichen zu.

Denkanstöße

- Prüfe, ob jede Zahl mit der Eigenschaft \(B\) automatisch auch die Eigenschaft \(A\) besitzt. - Entscheide daraus zuerst, wie die beiden Kreise zueinander liegen müssen. - Ordne anschließend jede Zahl aus \(\Omega\) nach ihrer Teilbarkeit ein.

Lösung

1. Jede durch \(4\) teilbare Zahl ist auch durch \(2\) teilbar. Daher muss der Kreis \(B\) vollständig innerhalb des Kreises \(A\) liegen. 2. In \(A\), aber nicht in \(B\), liegen \(2\) und \(6\). 3. In \(B\) und damit zugleich in \(A\) liegen \(4\) und \(8\). 4. Außerhalb von \(A\) liegen \(1\), \(3\), \(5\) und \(7\). 5. Einen Bereich „nur \(B\)“ gibt es bei der verschachtelten Darstellung nicht.

Antwort

Der Kreis \(B\) liegt vollständig in \(A\). Nur \(A\): \(\{2;6\}\); in \(B\): \(\{4;8\}\); außerhalb von \(A\): \(\{1;3;5;7\}\).

4386759

Im Mengendiagramm markieren \(P,Q,R,S\) die vier Bereiche. Alina sagt: „Die Vereinigung ist nur die Überlappung, weil beide Kreise dort vereinigt sind.“ Nutze das Diagramm, um die Aussage zu korrigieren.

Denkanstöße

- Vergleiche die Bedeutungen „in beiden“ und „in mindestens einem“. - Ordne diese beiden Formulierungen den Regionen des Diagramms zu. - Nenne anschließend ausdrücklich alle Regionen der Vereinigung.

Lösung

1. Die Überlappung \(Q\) stellt die Schnittmenge \(A\cap B\) dar. 2. Zur Vereinigung gehören alle Ergebnisse, die in mindestens einem der beiden Kreise liegen. 3. Damit gehören die Regionen \(P,Q,R\) zu \(A\cup B\). 4. Nur die Region \(S\) innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise, gehört nicht zur Vereinigung.

Antwort

Die Überlappung \(Q\) ist die Schnittmenge. Die Vereinigung \(A\cup B\) besteht aus den Regionen \(P,Q,R\).

5522949

Gegeben ist eine Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten zu den Ereignissen \(A\) und \(B\): <table><tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Summe</td></tr><tr><td>\(A\)</td><td>6</td><td>9</td><td>15</td></tr><tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>11</td><td>14</td><td>25</td></tr><tr><td>Summe</td><td>17</td><td>23</td><td>40</td></tr></table> Zeichne dazu ein Mengendiagramm mit der Ergebnismenge \(\Omega\), trage die vier Innenwerte in die passenden Bereiche ein und bestimme anschließend \(H(A\cup B)\).

Denkanstöße

- Ordne jedes Innenfeld der Vierfeldertafel zuerst seiner Kombination aus \(A\) beziehungsweise \(\overline{A}\) und \(B\) beziehungsweise \(\overline{B}\) zu. - Die Schnittmenge liegt in der Überlappung, das doppelte Gegenereignis außerhalb beider Kreise. - Für die Vereinigung zählen alle Bereiche innerhalb mindestens eines Kreises.

Lösung

1. Das Feld \(A\cap B\) gehört in die Überlappung und enthält \(6\). 2. Das Feld \(A\cap\overline{B}\) gehört nur in den Kreis \(A\) und enthält \(9\). 3. Das Feld \(\overline{A}\cap B\) gehört nur in den Kreis \(B\) und enthält \(11\). 4. Das Feld \(\overline{A}\cap\overline{B}\) liegt innerhalb von \(\Omega\), aber außerhalb beider Kreise, und enthält \(14\). 5. Zur Vereinigung gehören die drei Bereiche innerhalb mindestens eines Kreises. Daher gilt \(H(A\cup B)=9+6+11=26\).

Antwort

Im Mengendiagramm stehen: nur \(A\): \(9\), beide: \(6\), nur \(B\): \(11\), außerhalb beider Kreise: \(14\). Es gilt \(H(A\cup B)=26\).

5522959

Das Mengendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten der vier disjunkten Bereiche. Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für „genau eines der beiden Ereignisse“ mit der Wahrscheinlichkeit für „keines der beiden Ereignisse“. Welche ist größer und um wie viele Prozentpunkte?

Denkanstöße

- Ordne die beiden sprachlichen Ereignisse zuerst den Bereichen des Mengendiagramms zu. - „Genau eines“ besteht aus zwei disjunkten Bereichen, „keines“ aus einem Bereich. - Vergleiche die beiden Wahrscheinlichkeiten erst nach dem Zusammenfassen der passenden Bereiche.

Lösung

1. „Genau eines“ umfasst die Bereiche „nur \(A\)“ und „nur \(B\)“. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(0{,}18+0{,}31=0{,}49=49\,\%\). 2. „Keines“ entspricht dem Bereich außerhalb beider Kreise und hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}27=27\,\%\). 3. Somit ist „genau eines“ wahrscheinlicher. Der Unterschied beträgt \(49\,\%-27\,\%=22\) Prozentpunkte.

Antwort

„Genau eines“ ist mit \(49\,\%\) wahrscheinlicher als „keines“ mit \(27\,\%\); der Unterschied beträgt \(22\) Prozentpunkte.

4147359

Das Mengendiagramm zeigt zwei sich überschneidende Ereignisse \(X\) und \(Y\) innerhalb von \(\Omega\). Die Punkte \(P\), \(Q\), \(R\) und \(S\) markieren die vier Regionen. Untersuche mithilfe des Diagramms, ob die Ausdrücke 1. \(\overline{X \cap Y}\) und 2. \(\overline{X} \cup \overline{Y}\) dieselben Regionen beschreiben. Nenne für jeden Ausdruck die zugehörigen Regionspunkte und begründe dein Ergebnis.

Denkanstöße

- Welche einzige Region gehört zu \(X \cap Y\)? - Welche Regionen liegen außerhalb von \(X\), welche außerhalb von \(Y\)? - Vergleiche anschließend die beiden erhaltenen Regionsmengen.

Lösung

1. \(X \cap Y\) ist die gemeinsame Region \(Q\). Das Gegenereignis \(\overline{X \cap Y}\) umfasst daher innerhalb von \(\Omega\) die übrigen Regionen \(P\), \(R\) und \(S\). 2. \(\overline{X}\) enthält \(R\) und \(S\); \(\overline{Y}\) enthält \(P\) und \(S\). Ihre Vereinigung umfasst damit \(P\), \(R\) und \(S\). 3. Beide Ausdrücke beschreiben dieselben drei Regionen. Daher gilt \(\overline{X \cap Y}=\overline{X} \cup \overline{Y}\).

Antwort

1. \(\overline{X \cap Y}\): \(P\), \(R\), \(S\) 2. \(\overline{X} \cup \overline{Y}\): \(P\), \(R\), \(S\) Beide Ausdrücke beschreiben dieselben Regionen.

4147369

Eine Menge \(B\) ist eine echte Teilmenge von \(A\), also \(B \subsetneq A\). Zeichne ein Mengendiagramm innerhalb von \(\Omega\), in dem der Kreis für \(B\) vollständig im Kreis für \(A\) liegt. Bestimme anschließend: a) \(A \cap B\) b) \(A \cup B\) c) \(\overline{A} \cap B\) d) \(A \cap \overline{B}\) Beschreibe bei d) die zugehörige Fläche im Diagramm.

Denkanstöße

- Beginne mit einem Rechteck für \(\Omega\) und zeichne \(B\) vollständig innerhalb von \(A\). - Welche Folgen hat \(B \subsetneq A\) für gemeinsame Elemente von \(A\) und \(B\)? - Kann ein Element von \(B\) gleichzeitig außerhalb von \(A\) liegen? - Welche Fläche bleibt von \(A\) übrig, wenn du den inneren Bereich \(B\) ausschließt?

Lösung

1. Weil \(B \subsetneq A\) gilt, liegen alle Elemente von \(B\) auch in \(A\). 2. Daher ist \(A \cap B=B\). 3. Die Vereinigung fügt zu \(A\) nichts hinzu, also ist \(A \cup B=A\). 4. Ein Element kann nicht zugleich in \(B\) und außerhalb von \(A\) liegen. Deshalb ist \(\overline{A} \cap B=\emptyset\). 5. \(A \cap \overline{B}\) ist der Bereich innerhalb von \(A\), aber außerhalb des inneren Kreises \(B\).

Antwort

a) \(B\) b) \(A\) c) \(\emptyset\) d) Der Bereich innerhalb von \(A\), aber außerhalb von \(B\).

4386679

Das Mengendiagramm umfasst insgesamt \(31\) Elemente. Bestimme \(x\) und danach \(H(A)\).

Denkanstöße

- Nutze zuerst, dass die vier Bereiche des Rechtecks zusammen alle \(31\) Elemente enthalten. - Bestimme damit den unbekannten Bereich \(x\). - Lies anschließend ab, aus welchen zwei Bereichen das Ereignis \(A\) besteht.

Lösung

1. Die vier disjunkten Bereiche ergeben zusammen \(31\). Daher gilt \(x+6+9+4=31\). 2. Somit ist \(x=31-19=12\). 3. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ und die Überlappung. Deshalb gilt \(H(A)=12+6=18\).

Antwort

\(x=12\) und \(H(A)=18\).

4386719

Zu zwei Kursen gehören insgesamt \(52\) Jugendliche. \(21\) besuchen Kurs \(A\), \(26\) Kurs \(B\), \(9\) beide. Zeichne ein Mengendiagramm mit der Ergebnismenge \(\Omega\) und trage die Anzahlen in alle vier Bereiche ein.

Denkanstöße

- Trage zuerst die Anzahl für die Überlappung ein. - Die beiden Kurszahlen enthalten jeweils die gemeinsame Gruppe. - Bestimme den Bereich außerhalb beider Kreise erst, nachdem die drei inneren Bereiche feststehen.

Lösung

1. In die Überlappung gehören \(9\) Jugendliche. 2. Nur Kurs \(A\) besuchen \(21-9=12\) Jugendliche. 3. Nur Kurs \(B\) besuchen \(26-9=17\) Jugendliche. 4. Innerhalb mindestens eines Kreises liegen damit \(12+9+17=38\) Jugendliche. 5. Außerhalb beider Kreise liegen \(52-38=14\) Jugendliche.

Antwort

Nur \(A\): \(12\), beide: \(9\), nur \(B\): \(17\), keines: \(14\).

4386739

Im Mengendiagramm gilt \(H(A)=34\). Bestimme die Häufigkeit in der Überlappung, \(H(B)\) und \(|\Omega|\).

Denkanstöße

- Nutze zuerst, aus welchen zwei Bereichen der Kreis \(A\) besteht. - Ergänze danach die Überlappung um den Bereich „nur \(B\)“. - Für \(|\Omega|\) müssen alle vier disjunkten Bereiche berücksichtigt werden.

Lösung

1. Zum Ereignis \(A\) gehören der Bereich „nur \(A\)“ und die Überlappung. Daher beträgt die Überlappung \(34-23=11\). 2. Zum Ereignis \(B\) gehören die Überlappung und der Bereich „nur \(B\)“. Somit gilt \(H(B)=11+16=27\). 3. Innerhalb der Vereinigung liegen \(23+11+16=50\) Elemente. 4. Mit den \(8\) Elementen außerhalb beider Kreise ergibt sich \(|\Omega|=50+8=58\).

Antwort

Überlappung: \(11\), \(H(B)=27\), \(|\Omega|=58\).

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