Kostenlose Arbeitsblätter

- Versuche, den Satz in ein mathematisches Produkt zu übersetzen. - Was passiert, wenn du den Ausdruck ausmultiplizierst? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? - Welcher Punkt auf der Parabel stellt den kleinsten Wert dar?

1. Sei \(x\) die gesuchte Zahl. Das Produkt lautet \(P(x) = 3x(x - 5)\). 2. Multipliziere den Term aus: \(P(x) = 3x^2 - 15x\). 3. Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel. Das Minimum liegt am Scheitelpunkt bei \(x = -\frac{-15}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} = 2{,}5\). 4. Berechne den minimalen Produktwert durch Einsetzen von \(x = 2{,}5\) in die Funktion: \(P(2{,}5) = 3 \cdot 2{,}5 \cdot (2{,}5 - 5) = 7{,}5 \cdot (-2{,}5) = -18{,}75\).

Die Zahl ist \(2{,}5\) und der minimale Produktwert beträgt \(-18{,}75\).

- Wie hängen Umfang und Seitenlängen bei einem Rechteck zusammen? - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, wenn der Umfang feststeht? - Welche Form hat der Graph einer Funktion, die den Flächeninhalt beschreibt? - Wo liegt bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt?

1. Berechnung für a): \(A = 4\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} = 24\,\text{m}^2\). 2. Berechnung für b): Umfang \(U = 20\,\text{m}\). Beim Quadrat ist jede Seite \(a = \frac{20}{4} = 5\,\text{m}\). Flächeninhalt \(A = 5\,\text{m} \cdot 5\,\text{m} = 25\,\text{m}^2\). Da \(25 > 24\), ist das quadratische Beet größer. 3. Aufstellen der Zielfunktion für c): Umfang \(2x + 2y = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x\). Flächeninhalt \(A(x) = x \cdot (10 - x) = -x^2 + 10x\). 4. Bestimmung des Maximums: Die Parabel \(A(x) = -x^2 + 10x\) hat ihren Scheitelpunkt bei \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5\). 5. Ergebnis: Die optimalen Seitenlängen sind \(x = 5\,\text{m}\) und \(y = 10 - 5 = 5\,\text{m}\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(25\,\text{m}^2\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(24\,\text{m}^2\). b) Ja, das quadratische Beet ist mit \(25\,\text{m}^2\) größer. c) Die Seitenlängen für den maximalen Flächeninhalt sind \(5\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}\). Der maximale Flächeninhalt beträgt \(25\,\text{m}^2\).

- Wie berechnet man die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten? - Wenn du die Formel aufschreibst, welche Art von Funktion erhältst du? - Wo hat eine nach unten geöffnete Parabel ihren höchsten Punkt?

1. Aufstellen der Flächenformel für ein rechtwinkliges Dreieck: \(A(x) = \frac{1}{2} \cdot (6 - x) \cdot (4 + 2x)\) 2. Vereinfachen des Terms zu einer quadratischen Funktion: \(A(x) = (6 - x)(2 + x) = -x^2 + 4x + 12\) 3. Bestimmen des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel: \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2\)

d) 2

- Was bedeutet es mathematisch, wenn die Differenz zweier Zahlen \(10\) ist? - Stelle eine Gleichung für das Produkt der beiden Zahlen auf. - Suchst du bei der entstandenen Funktion einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt? - Überlege, ob die Zahlen auch negativ sein dürfen.

1. Aufstellen des Zusammenhangs zwischen den Zahlen \(x\) und \(y\): \(x - y = 10\), also \(y = x - 10\). 2. Aufstellen der Produktfunktion: \(P(x) = x(x - 10) = x^2 - 10x\). 3. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt ein Minimum im Scheitelpunkt. 4. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(x_S = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5\). 5. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = 5 - 10 = -5\). 6. Berechnung des minimalen Produkts: \(P = 5 \cdot (-5) = -25\).

Die beiden Zahlen sind \(5\) und \(-5\). Das kleinstmögliche Produkt dieser Zahlen beträgt \(-25\).

- Welche Variable kann die Anzahl der erlaubten 10-Cent-Schritte beschreiben? - Wie hängen Preis und verkaufte Stückzahl von dieser Variablen ab? - Wie erhältst du aus Preis und Stückzahl die Einnahmefunktion? - Welche zulässigen ganzzahligen Werte liegen unmittelbar neben der Scheitelstelle der Einnahmeparabel?

1. Sei \(x\in\mathbb{Z}\) die Anzahl der 10-Cent-Preisschritte gegenüber \(1{,}50\,\text{€}\). Dann gilt \(P(x)=1{,}50+0{,}10x\) und \(M(x)=200-10x\). 2. Die Einnahmen sind \(E(x)=P(x)M(x)=(1{,}50+0{,}10x)(200-10x)=-x^2+5x+300\). 3. Der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel liegt bei \(x_S=-\frac{5}{2\cdot(-1)}=2{,}5\). Da nur ganzzahlige 10-Cent-Schritte zulässig sind, werden die benachbarten Werte \(x=2\) und \(x=3\) verglichen. 4. Es gilt \(E(2)=306\) und \(E(3)=306\). Daher sind \(P(2)=1{,}70\,\text{€}\) und \(P(3)=1{,}80\,\text{€}\) beide optimal.

Die maximalen täglichen Einnahmen werden bei \(1{,}70\,\text{€}\) oder \(1{,}80\,\text{€}\) pro Riegel erzielt.

- Was bedeutet „Summe der Quadrate“ mathematisch ausgedrückt? - Nutze die Information über die Summe der beiden Zahlen, um eine Variable durch die andere zu ersetzen. - Du erhältst eine quadratische Funktion. Was sagt dir der Scheitelpunkt über den kleinstmöglichen Wert aus?

1. Variablen festlegen: Die beiden Zahlen seien \(x\) und \(y\). 2. Nebenbedingung formulieren: \(x + y = 20\), also \(y = 20 - x\). 3. Zielfunktion für die Summe der Quadrate aufstellen: \(S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (20 - x)^2\). 4. Funktion vereinfachen: \(S(x) = x^2 + 400 - 40x + x^2 = 2x^2 - 40x + 400\). 5. Scheitelpunkt der Parabel berechnen: \(x_s = -\frac{-40}{2 \cdot 2} = 10\). 6. Berechnung der zweiten Zahl: \(y = 20 - 10 = 10\). 7. Ergebnis: Beide Zahlen müssen \(10\) sein. Die minimale Quadratsumme beträgt \(200\).

Beide Zahlen müssen gleich \(10\) sein. Die minimale Quadratsumme beträgt \(200\).

- Welche Stelle einer nach unten geöffneten Parabel beschreibt die größte Höhe? - Wie kannst du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form bestimmen? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt beziehungsweise Ort, an dem die Höhe \(0\) ist? - Welche der beiden mathematischen Lösungen passt zum beschriebenen Flug nach dem Abwurf?

1. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts ist \(x_S=-\frac{0{,}6}{2\cdot(-0{,}05)}=6\). Einsetzen ergibt \(h(6)=-0{,}05\cdot36+0{,}6\cdot6+2=3{,}8\). Somit ist \(S(6 \mid 3{,}8)\). 2. Im Kontext bedeutet dies: Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). 3. Für den Auftreffpunkt gilt \(h(x)=0\): \(-0{,}05x^2+0{,}6x+2=0\). Nach Division durch \(-0{,}05\) erhält man \(x^2-12x-40=0\), also \(x=6\pm\sqrt{76}\). Nur die positive Lösung ist im Sachzusammenhang sinnvoll: \(x\approx14{,}72\).

a) \(S(6 \mid 3{,}8)\). Nach \(6\,\text{m}\) horizontaler Entfernung erreicht die Kugel ihre maximale Höhe von \(3{,}8\,\text{m}\). b) Die Weite beträgt ungefähr \(14{,}72\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks allgemein berechnet, wenn die Seitenlängen durch die Koordinaten eines Punktes gegeben sind. - Wie hängen die Breite und die Höhe des Rechtecks mit der Funktionsgleichung der Geraden zusammen? - Du suchst das Maximum einer Funktion. Welchen Typ von Funktion erhältst du für den Flächeninhalt? - Weißt du, wie man den höchsten Punkt (Scheitelpunkt) einer nach unten geöffneten Parabel bestimmt?

1. Aufstellen der Flächenformel für das Rechteck: \(A = uv\). 2. Einsetzen der Nebenbedingung für den Punkt \(P\) auf der Geraden \(g\): \(v = -0{,}75u + 6\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für den Flächeninhalt: \(A(u) = u(-0{,}75u + 6) = -0{,}75u^2 + 6u\). 4. Bestimmung des Scheitelpunkts der nach unten geöffneten Parabel: \(u_S = -\frac{6}{2 \cdot (-0{,}75)} = 4\). Damit wird der Flächeninhalt bei \(u = 4\) maximal. 5. Berechnung der zugehörigen Höhe: \(v = -0{,}75 \cdot 4 + 6 = 3\). 6. Berechnung des maximalen Flächeninhalts: \(A(4) = 4 \cdot 3 = 12\,\text{dm}^2\). Ergebnis: Der Punkt \(P\) hat die Koordinaten \(P(4 \mid 3)\), der maximale Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{dm}^2\).

Die Koordinaten des Punktes sind \(P(4 \mid 3)\). Der maximale Flächeninhalt der Solarzelle beträgt \(12\,\text{dm}^2\).

- Unterscheide zwischen dem Maximum der gesamten Parabel und dem Maximum unter den Bedingungen des Sachproblems. - Prüfe zuerst, ob die Stelle des Scheitels überhaupt zulässig ist. - Wenn der Scheitel außerhalb des erlaubten Intervalls liegt: An welcher Stelle des Intervalls könnte dann das Maximum liegen? - Kontrolliere zum Schluss, ob die gefundenen Seitenlängen alle Bedingungen erfüllen.

1. Es gilt \(A(x)=-x^2+12x=-(x-6)^2+36\). Der Scheitel der vollständigen Parabel liegt tatsächlich bei \(x=6\). 2. Wegen der Halterung ist aber nur \(2\le x\le5\) zulässig. Der Scheitelwert gehört daher nicht zum möglichen Bereich. 3. Auf dem zulässigen Intervall liegt man links vom Scheitel; dort wächst \(A\) mit \(x\). Deshalb wird die größte zulässige Fläche am Rand \(x=5\) erreicht. 4. Es ist \(A(5)=5\cdot7=35\,\text{cm}^2\). Die Seitenlängen sind \(5\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\).

Der Fehler ist, dass \(x=6\) nicht im zulässigen Bereich \(2\le x\le5\) liegt. Die größte mögliche Fläche beträgt \(35\,\text{cm}^2\) bei Seitenlängen \(5\,\text{cm}\) und \(7\,\text{cm}\).

- Skizziere die Situation an der Mauer. Wie viele Seiten des Rechtecks müssen mit dem Zaun bedeckt werden? - Stelle eine Formel für die Gesamtlänge des Zauns auf. - Ersetze in der Flächenformel eine Seite so, dass nur noch eine Variable übrig bleibt. - Was bedeutet „quadratisch“ für das Verhältnis der Seitenlängen in diesem speziellen Fall?

1. Definition der Variablen: \(x\) ist die Länge der beiden Seiten senkrecht zur Wand, \(y\) ist die Länge der Seite parallel zur Wand. 2. Aufstellen der Bedingung für die Zaunlänge: \(2x + y = 60\), daraus folgt \(y = 60 - 2x\). 3. Aufstellen der Zielfunktion für die Fläche: \(A(x) = x \cdot (60 - 2x) = -2x^2 + 60x\). 4. Bestimmung des Maximums über den Scheitelpunkt: \(x_S = -\frac{60}{2 \cdot (-2)} = 15\). 5. Berechnung der Maße: \(x = 15\,\text{m}\) und \(y = 60 - 2 \cdot 15 = 30\,\text{m}\). Die Fläche beträgt \(15 \cdot 30 = 450\,\text{m}^2\). 6. Untersuchung des quadratischen Falls: Bei einem Quadrat mit drei Seiten wäre \(x = y\). Die Bedingung \(2x + x = 60\) ergibt \(3x = 60\), also \(x = 20\,\text{m}\). 7. Flächenvergleich: Das Quadrat hätte eine Fläche von \(20 \cdot 20 = 400\,\text{m}^2\). Dies ist kleiner als das Optimum von \(450\,\text{m}^2\).

Die optimale Fläche wird erreicht, wenn die Seiten senkrecht zur Wand \(15\,\text{m}\) und die Seite parallel zur Wand \(30\,\text{m}\) lang sind (Fläche: \(450\,\text{m}^2\)). Ein quadratisches Gehege mit nur drei Zaunseiten hätte bei gleicher Zaunlänge eine Seitenlänge von \(20\,\text{m}\) und eine kleinere Fläche von nur \(400\,\text{m}^2\).

- Was ist der Unterschied zwischen Einnahmen und Gewinn? - Wie sieht die Funktionsgleichung für den Gewinn aus? - Was bedeutet „keinen Verlust machen“ mathematisch für die Gewinnfunktion? - Welche besonderen Punkte der Parabel helfen dir, den Bereich ohne Verlust zu finden?

1. Aufstellen der Gewinnfunktion \(G(x) = \text{Einnahmen} - \text{Kosten}\). Die Einnahmen sind \(x \cdot N(x)\), die Kosten sind \(750\). 2. \(G(x) = x \cdot (200 - 10x) - 750 = -10x^2 + 200x - 750\). 3. Zu Teil a): Berechnung des Scheitelpunkts: \(x_S = -\frac{200}{2 \cdot (-10)} = 10\). Der optimale Preis liegt bei \(10\,\text{€}\). 4. Zu Teil b): Berechnung der Nullstellen der Gewinnfunktion: \(-10x^2 + 200x - 750 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 20x + 75 = 0\). 5. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 10 \pm \sqrt{10^2 - 75} = 10 \pm \sqrt{25} = 10 \pm 5\). 6. Die Nullstellen liegen bei \(5\,\text{€}\) und \(15\,\text{€}\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, ist der Gewinn zwischen diesen Werten nichtnegativ; die Randwerte gehören dazu.

a) Der optimale Ticketpreis für den maximalen Gewinn beträgt \(10\,\text{€}\). b) Das Jugendzentrum macht keinen Verlust, wenn \(5 \le x \le 15\) gilt; die Break-even-Preise von \(5\,\text{€}\) und \(15\,\text{€}\) sind eingeschlossen.

- Zeichne die beiden Gärten nebeneinander ein. Wie viele Zaunstücke welcher Länge werden benötigt? - Vergiss nicht den gemeinsamen Zaun in der Mitte mitzuzählen. - Stelle eine Gleichung für die Gesamtlänge des Zauns auf. - Wann ist ein Rechteck ein Quadrat? Vergleiche am Ende die gefundenen Seitenlängen.

1. Variablen festlegen: Sei \(x\) die Länge der drei parallelen Zaunstücke (die beiden äußeren Breiten und die Trennwand) und \(y\) die Länge der zwei durchgehenden Außenwände. 2. Nebenbedingung aufstellen: \(3x + 2y = 60\). 3. Umstellen nach einer Variablen: \(2y = 60 - 3x \Rightarrow y = 30 - 1{,}5x\). 4. Zielfunktion für die Gesamtfläche: \(A(x) = xy = x(30 - 1{,}5x) = -1{,}5x^2 + 30x\). 5. Scheitelpunkt berechnen: \(x_s = -\frac{30}{2 \cdot (-1{,}5)} = \frac{30}{3} = 10\). 6. Berechnung von \(y\): \(y = 30 - 1{,}5 \cdot 10 = 15\). 7. Überprüfung der Form: Die Gesamtmaße sind \(10\,\text{m}\) und \(15\,\text{m}\). Da die Seitenlängen ungleich sind, ist die gesamte Anlage kein Quadrat. 8. Maximaler Flächeninhalt: \(A = 10 \cdot 15 = 150\,\text{m}^2\).

Die Maße der gesamten Anlage für den maximalen Flächeninhalt (\(150\,\text{m}^2\)) sind \(10\,\text{m}\) und \(15\,\text{m}\). Die gesamte Anlage ist kein Quadrat, da die Seitenlängen unterschiedlich sind.

- Wie lässt sich der vertikale Abstand zweier Funktionsgraphen an derselben \(x\)-Stelle ausdrücken? - Formuliere zunächst eine eigene Funktion für die gesuchte Breite. - Welche Darstellung dieser quadratischen Funktion macht ihr Maximum besonders gut sichtbar? - Prüfe nach der Extremwertbestimmung noch die im Text angegebene Einschränkung für \(x\).

1. Die vertikale Breite an einer Stelle \(x\) ist die Differenz aus oberer und unterer Begrenzung: \(d(x)=f(x)-g(x)=-0{,}5x^2+5x+1\). 2. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(d(x)=-0{,}5(x-5)^2+13{,}5\). Die vollständige Parabel hat daher ihr Maximum bei \(x=5\). 3. Da \(5\) im vorgegebenen Intervall \([0;8]\) liegt, ist diese Stelle für den Querschnitt zulässig. Die größte vertikale Breite beträgt \(13{,}5\) Längeneinheiten.

Die größte vertikale Breite beträgt \(13{,}5\) Längeneinheiten und wird bei \(x=5\) erreicht. Die Stelle ist zulässig, weil \(5\in[0;8]\) gilt.