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- Versuche zuerst, den quadrierten Klammerausdruck alleine stehen zu lassen. - Denke daran, dass derselbe Quadratwert von zwei verschiedenen inneren Werten kommen kann. - Bearbeite die beiden möglichen Fälle getrennt weiter. - Setze deine gefundenen Werte zum Schluss kurz in die ursprüngliche Gleichung ein.

1. Dividiere zuerst durch 2: \((2x-4)^2 = 25\). 2. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(2x-4 = \pm\sqrt{25}\), also \(2x-4 = \pm 5\). 3. Betrachte die zwei linearen Gleichungen: Gleichung 1: \(2x-4 = 5 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = 4{,}5\) Gleichung 2: \(2x-4 = -5 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0{,}5\)

Die Lösungen sind \(x_1 = 4{,}5\) und \(x_2 = -0{,}5\).

- Bringe den quadrierten Klammerausdruck zuerst Schritt für Schritt frei. - Achte auf das Minus vor dem Klammerausdruck, bevor du weiter umformst. - Ein Quadrat kann zu zwei passenden inneren Klammerwerten führen. - Löse danach jeweils die einfache Gleichung, die in der Klammer steckt.

1. Subtrahiere 12 von beiden Seiten: \(-3(x+1)^2 = -12\). 2. Dividiere durch \(-3\): \((x+1)^2 = 4\). 3. Ziehe die Quadratwurzel: \(x+1 = \pm\sqrt{4}\), also \(x+1 = \pm 2\). 4. Bestimme die zwei Fälle: Fall 1: \(x+1 = 2 \Rightarrow x = 1\) Fall 2: \(x+1 = -2 \Rightarrow x = -3\)

Die Lösungen sind \(x = 1\) und \(x = -3\).

- Arbeite dich von außen nach innen zur Klammer vor. - Sorge zuerst dafür, dass der quadrierte Teil alleine steht. - Überlege, ob der verbleibende Quadratwert eine exakte Zahl oder eine Wurzelschreibweise nahelegt. - Vergiss nicht, dass die Klammer zwei mögliche Vorzeichen haben kann.

1. Subtrahiere 3 von beiden Seiten der Gleichung: \(5(x-2)^2 = 15\). 2. Dividiere durch 5, um den quadratischen Term zu isolieren: \((x-2)^2 = 3\). 3. Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x-2 = \pm\sqrt{3}\). 4. Addiere 2, um die Lösungen für \(x\) zu erhalten: \(x = 2 \pm\sqrt{3}\).

Die Lösungen lauten \(x_1 = 2 + \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 - \sqrt{3}\).

- Isoliere zuerst den Ausdruck mit der Klammer, bevor du dich um das Quadrat kümmerst. - Achte darauf, wie der Faktor vor der Klammer rückgängig gemacht werden kann. - Denke an die zwei möglichen inneren Werte, die zu demselben Quadrat führen. - Berücksichtige am Ende die Verschiebung innerhalb der Klammer.

1. Zuerst wird 4 auf beiden Seiten addiert: \(\frac{1}{2}(x+5)^2 = 4\). 2. Um den Faktor \(\frac{1}{2}\) zu eliminieren, wird die gesamte Gleichung mit 2 multipliziert: \((x+5)^2 = 8\). 3. Nun wird die Quadratwurzel gezogen: \(x+5 = \pm\sqrt{8}\). 4. Die Wurzel lässt sich vereinfachen: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\). Also: \(x+5 = \pm 2\sqrt{2}\). 5. Subtrahiere 5 von beiden Seiten: \(x = -5 \pm 2\sqrt{2}\).

Die Lösungen sind \(x = -5 + 2\sqrt{2}\) und \(x = -5 - 2\sqrt{2}\).

- Lass zuerst nur noch den quadrierten Klammerteil auf einer Seite stehen. - Erwarte hier nicht unbedingt eine glatte Dezimalzahl als Ergebnis. - Behandle die beiden möglichen Klammerwerte getrennt. - Schreibe das Ergebnis so, dass beide Lösungen klar erkennbar sind.

1. Zuerst wird die Gleichung durch 4 dividiert, um die Klammer zu isolieren: \((x-3)^2 = \frac{7}{4}\). 2. Danach wird auf beiden Seiten die Quadratwurzel gezogen. Dabei müssen sowohl die positive als auch die negative Wurzel berücksichtigt werden: \(x-3 = \pm\sqrt{\frac{7}{4}}\). 3. Da \(\sqrt{4} = 2\) ist, lässt sich der Ausdruck vereinfachen zu: \(x-3 = \pm\frac{\sqrt{7}}{2}\). 4. Schließlich wird 3 addiert, um \(x\) zu isolieren: \(x = 3 \pm \frac{\sqrt{7}}{2}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = 3 + \frac{\sqrt{7}}{2}\) und \(x_2 = 3 - \frac{\sqrt{7}}{2}\).

- Was muss für ein Produkt gelten, damit das Ergebnis null ist? - Suche nach dem größten gemeinsamen Faktor der Terme. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite ein Produkt steht? - Überprüfe deine ausgeklammerten Terme, indem du sie im Kopf wieder ausmultiplizierst.

1. Für Teilaufgabe a) den größten gemeinsamen Faktor der Terme \(14x^2\) und \(21x\) bestimmen: \(7x\). 2. Ausklammern: \(7x \cdot (2x - 3) = 0\). 3. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(7x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x_2 = 1{,}5\). 4. Für Teilaufgabe b) den Faktor \(0{,}5x\) ausklammern: \(0{,}5x \cdot (x + 8) = 0\). 5. Satz vom Nullprodukt anwenden: \(0{,}5x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8\). 6. Lösungsmengen angeben: a) \(L = \{0; 1{,}5\}\), b) \(L = \{-8; 0\}\).

a) \(L = \{0; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-8; 0\}\)

- Welche Zahl muss mit sich selbst multipliziert werden, um \(169\) zu ergeben? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Kann ein Quadrat in den reellen Zahlen jemals einen negativen Wert annehmen?

1. Für \(a = 1{,}69\) lautet die Gleichung \(x^2 = 1{,}69\). Da \(13^2 = 169\) ist, folgt \(\sqrt{1{,}69} = 1{,}3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1{,}3\) und \(x_2 = -1{,}3\). 2. Das Quadrat einer jeden reellen Zahl \(x\) ist stets größer oder gleich Null (\(x^2 \geq 0\)). 3. Da \(a = -1{,}69\) negativ ist, gibt es keine reelle Zahl \(x\), deren Quadrat diesen Wert ergibt. Die Tatsache, dass \((-1{,}3)^2 = 1{,}69\) positiv ist, bestätigt lediglich, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist.

a) Die Lösungen sind \(1{,}3\) und \(-1{,}3\). b) Quadrate reeller Zahlen sind niemals negativ, daher hat \(x^2 = -1{,}69\) keine Lösung.

- Überlege dir, welche Zahl mit sich selbst multipliziert werden muss, um den Wert auf der rechten Seite zu ergeben. - Was weißt du über das Vorzeichen eines Ergebnisses, wenn du eine Zahl quadrierst? - Bei Dezimalzahlen hilft es oft, diese kurzzeitig als Brüche zu betrachten (z. B. \(1{,}44 = \frac{144}{100}\)). - Denk daran, dass eine quadratische Gleichung der Form \(x^2 = a\) (mit \(a > 0\)) immer zwei Lösungen hat.

1. a) Die Gleichung \( x^2 = 1{,}44 \) hat zwei Lösungen: \( x_1 = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \) und \( x_2 = -1{,}2 \). 2. b) Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, hat \( y^2 = -0{,}16 \) keine reelle Lösung. 3. c) Ziehen der Wurzel aus dem Bruch: \( z = \pm\sqrt{\frac{49}{100}} = \pm\frac{7}{10} \). Die Lösungen sind \( z_1 = 0{,}7 \) und \( z_2 = -0{,}7 \). 4. d) Umstellen der Gleichung: \( w^2 = 2500 \). Ziehen der Wurzel ergibt \( w_1 = 50 \) und \( w_2 = -50 \).

a) \( x = 1{,}2 \) oder \( x = -1{,}2 \) b) keine reelle Lösung c) \( z = 0{,}7 \) oder \( z = -0{,}7 \) d) \( w = 50 \) oder \( w = -50 \)

- Isoliere zuerst den Term mit dem Quadrat auf einer Seite der Gleichung. - Achte genau auf die Vorzeichen, wenn du Zahlen von einer Seite auf die andere bringst. - Kannst du eine Zahl finden, deren Quadrat negativ ist?

1. a) Division durch 4 ergibt \( x^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 4 \) und \( x_2 = -4 \). 2. b) Subtraktion von \( 0{,}7 \) ergibt \( x^2 = 0{,}09 \). Die Wurzeln sind \( x_1 = 0{,}3 \) und \( x_2 = -0{,}3 \). 3. c) Addition von 5 ergibt \( y^2 = 16 \). Die Wurzeln sind \( y_1 = 4 \) und \( y_2 = -4 \). 4. d) Subtraktion von 10 ergibt \( z^2 = -6 \). Da \( -6 < 0 \), gibt es keine reelle Lösung.

a) \( x = 4 \) oder \( x = -4 \) b) \( x = 0{,}3 \) oder \( x = -0{,}3 \) c) \( y = 4 \) oder \( y = -4 \) d) keine reelle Lösung

- Berechne zunächst jeweils den Wert auf der rechten Seite beziehungsweise isoliere den Quadratterm. - Bei b) wandle die gemischte Zahl in einen Bruch um und suche einen Bruch, dessen Quadrat diesen Wert ergibt. - Entscheide erst nach dem Vereinfachen, ob ein positiver, nuller oder negativer Wert als Quadrat vorgegeben ist.

1. Für a): \(0{,}01 \cdot 0{,}25 = 0{,}0025\). Da \(0{,}05^2 = 0{,}0025\), gibt es die zwei Lösungen \(x = 0{,}05\) und \(x = -0{,}05\). 2. Für b): \(3\frac{1}{16} = \frac{49}{16}\). Da \(\left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}\), sind die zwei Lösungen \(y = \frac{7}{4}\) und \(y = -\frac{7}{4}\). 3. Für c): Umformen ergibt \(z^2 = 0{,}01 - 0{,}1 = -0{,}09\). Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung. 4. Für d): Zuerst gilt \(\sqrt{625} = 25\). Damit lautet die Gleichung \(w^2 = 25\), also \(w = 5\) oder \(w = -5\).

a) Zwei Lösungen: \(x = 0{,}05\) oder \(x = -0{,}05\) b) Zwei Lösungen: \(y = \frac{7}{4}\) oder \(y = -\frac{7}{4}\) c) Keine reelle Lösung d) Zwei Lösungen: \(w = 5\) oder \(w = -5\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass das Quadrat allein auf einer Seite steht? - Erkennst du in Aufgabenteil c) eine binomische Formel? - Was passiert, wenn du versuchst, die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen aus einer positiven Zahl zwei Fälle entstehen können.

1. Teilaufgabe a): Umformen zu \(3x^2 = 75\), Division durch 3 ergibt \(x^2 = 25\). Ziehen der Wurzel führt zu \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Teilaufgabe b): Ziehen der Wurzel auf beiden Seiten ergibt \(x - 1{,}2 = 0{,}8\) oder \(x - 1{,}2 = -0{,}8\). Addition von \(1{,}2\) liefert \(x_1 = 2{,}0\) und \(x_2 = 0{,}4\). 3. Teilaufgabe c): Erkennen der ersten binomischen Formel auf der linken Seite: \((x + 2)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). Subtraktion von 2 liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). 4. Teilaufgabe d): Umformen zu \(x^2 = -8\). Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ ist, existiert keine reelle Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: \(L = \emptyset\).

a) \(x \in \{5; -5\}\) b) \(x \in \{2{,}0; 0{,}4\}\) c) \(x \in \{1; -5\}\) d) keine Lösung (\(L = \emptyset\))

- Was ist der erste Schritt, um das Quadrat auf der linken Seite zu isolieren? - Wie viele Zahlen ergeben quadriert den Wert \(5\)? - Denke daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

1. Division der Gleichung durch \(4\): \((x + 1)^2 = 5\). 2. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x + 1 = \sqrt{5}\) oder \(x + 1 = -\sqrt{5}\). 3. Isolieren von \(x\) durch Subtraktion von \(1\): \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = -1 + \sqrt{5}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{5}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5}\}\).

- Bringe zuerst alle Zahlen ohne \(x\) auf die rechte Seite. - Wie entfernst du einen Bruchfaktor vor einer Klammer? - Denke beim Wurzelziehen aus \(8\) daran, ob du die Wurzel teilweise ziehen kannst.

1. Addition von \(5\) auf beiden Seiten: \(\frac{3}{4}(x + 2)^2 = 6\). 2. Multiplikation mit dem Kehrwert \(\frac{4}{3}\): \((x + 2)^2 = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\). 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm\sqrt{8}\). 4. Subtraktion von \(2\): \(x = -2 \pm \sqrt{8}\). 5. Vereinfachung der Wurzel: Da \(8 = 4 \cdot 2\), gilt \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). 6. Endergebnis: \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

Die Lösungen sind \(x_1 = -2 + 2\sqrt{2}\) und \(x_2 = -2 - 2\sqrt{2}\).

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen finden möchtest, an denen zwei Funktionen denselben Wert haben? - Kannst du die Gleichung so vereinfachen, dass nur noch \(x^2\) auf einer Seite steht? - Denk beim Wurzelziehen daran, dass es zwei Zahlen geben kann, deren Quadrat den gleichen Wert ergibt.

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 2 = -x^2 + 6\) 2. Zusammenfassen der Terme mit \(x^2\) auf einer Seite und der Konstanten auf der anderen Seite: \(2x^2 = 8\) 3. Division durch 2, um \(x^2\) zu isolieren: \(x^2 = 4\) 4. Ziehen der Quadratwurzel unter Berücksichtigung beider Vorzeichen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) 5. Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen, zum Beispiel \(f(x)\): Für \(x_1 = 2\): \(f(2) = 2^2 - 2 = 2\) Für \(x_2 = -2\): \(f(-2) = (-2)^2 - 2 = 2\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\)

Die Schnittpunkte der beiden Parabeln sind \(S_1(2|2)\) und \(S_2(-2|2)\).

- Wie könntest du die Zahl vor der Klammer eliminieren, ohne die Klammer mühsam auszumultiplizieren? - Was ist der nächste Schritt, wenn \(x^2\) fast alleine auf einer Seite steht? - Denke daran, dass beim Lösen von Gleichungen mit \(x^2\) oft zwei Werte infrage kommen.

1. Division der gesamten Gleichung durch 3: \(x^2 - 5 = 11\). 2. Isolation von \(x^2\) durch Addition von 5 auf beiden Seiten: \(x^2 = 16\). 3. Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). 4. Angabe der Lösungsmenge: \(L = \{-4; 4\}\).

\(L = \{-4; 4\}\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um das Quadrat der Klammer zu berechnen. - Achte beim Auflösen der Klammer besonders auf das Vorzeichen. - Was passiert, wenn du eine Wurzel mit sich selbst multiplizierst? - Fasse am Ende alle Terme ohne Wurzel und alle Terme mit Wurzel getrennt zusammen.

1. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(x^2\): \((2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}\) 2. Einsetzen des Wertes für \(x\) in den Term \(-4x\): \(-4 \cdot (2 - \sqrt{5}) = -8 + 4\sqrt{5}\) 3. Zusammenfassen aller Terme der Gleichung: \((9 - 4\sqrt{5}) + (-8 + 4\sqrt{5}) - 1\) 4. Verrechnen der Summanden: \(9 - 8 - 1 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 0\) 5. Da das Ergebnis \(0\) ist, ist die Gleichung \(0 = 0\) erfüllt und der Wert eine Lösung.

Durch Einsetzen von \(x = 2 - \sqrt{5}\) in die Gleichung erhält man \(9 - 4\sqrt{5} - 8 + 4\sqrt{5} - 1 = 0\), was eine wahre Aussage ergibt.

- Versuche zuerst, alle Terme mit \(x^2\) auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen. - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man Klammern wie in Aufgabenteil c) schnell auflösen kann? - Achte bei b) besonders auf das Vorzeichen nach dem Umstellen. - Bei d) kann es helfen, die Dezimalzahlen als Brüche zu schreiben, falls dir das Rechnen damit leichter fällt.

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme ergibt \(2x^2 = 18\), also \(x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x = \pm 3\). 2. Gleichung b): Subtraktion von \(10\) ergibt \(\frac{1}{3}x^2 = -9\). Multiplikation mit \(3\) ergibt \(x^2 = -27\). Da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sind, ist die Lösungsmenge leer: \(L = \emptyset\). 3. Gleichung c): Anwendung der dritten binomischen Formel liefert \(x^2 - 25 = 11\). Addition von \(25\) ergibt \(x^2 = 36\), woraus \(x = \pm 6\) folgt. 4. Gleichung d): Division durch \(0{,}5\) ergibt \(x^2 = 0{,}01\). Das Ziehen der Wurzel liefert \(x = \pm 0{,}1\).

a) \(L = \{-3; 3\}\) b) \(L = \emptyset\) c) \(L = \{-6; 6\}\) d) \(L = \{-0{,}1; 0{,}1\}\)

- Kannst du alle Terme auf eine Seite der Gleichung bringen, sodass auf der anderen Seite eine Null steht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Termen, den du ausklammern kannst? - Was muss für einen der Faktoren gelten, damit das gesamte Produkt den Wert Null annimmt?

1. Gleichung a): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(4x^2 - 12x = 0\). Ausklammern von \(4x\) führt zu \(4x(x - 3) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Gleichung b): Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt \(x^2 - 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x - 5) = 0\). Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\).

a) \(L = \{0; 3\}\) b) \(L = \{0; 5\}\)

- Kannst du die Klammern auf beiden Seiten zuerst auflösen? - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind und sich gegenseitig aufheben? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln, um die Produkte schneller zu berechnen? - Was ist der letzte Schritt, wenn eine Gleichung die Form \(x^2 = c\) hat?

1. Erste Gleichung: Ausmultiplizieren beider Seiten ergibt \(x^2 - 12x = 64 - 12x\). Durch Addition von \(12x\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(x^2 = 64\). Das Ziehen der Quadratwurzel liefert \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -8\). 2. Zweite Gleichung: Anwendung der dritten binomischen Formel auf beide Terme ergibt \(x^2 - 9 + x^2 - 16 = 7\). Zusammenfassen der Terme führt zu \(2x^2 - 25 = 7\). Durch Addition von \(25\) erhält man \(2x^2 = 32\), woraus nach Division durch \(2\) die Gleichung \(x^2 = 16\) folgt. Die Wurzeln sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\).

1) \(L = \{-8; 8\}\) 2) \(L = \{-4; 4\}\)

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, damit links ein vollständiges Quadrat entsteht? - Denke an die erste und zweite binomische Formel. - Vergiss nicht, beim Ziehen der Wurzel beide Fälle (positiv und negativ) zu berücksichtigen. - Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2 + px = q\).

1. Gleichung umstellen zu \(x^2 + 10x = 24\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{10}{2})^2 = 25\) durchführen: \(x^2 + 10x + 25 = 24 + 25\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x + 5)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x + 5 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -12\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) auf beiden Seiten addieren: \(x^2 - 16x + 64 = -15 + 64\). Anwendung der binomischen Formel ergibt \((x - 8)^2 = 49\). Wurzelziehen führt zu \(x - 8 = \pm 7\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 15\) und \(x_2 = 1\).

1) \(x_1 = 2, x_2 = -12\) 2) \(x_1 = 15, x_2 = 1\)

- Hast du schon versucht, die Gleichung in die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) zu bringen? - Welches Verfahren (quadratische Ergänzung oder Lösungsformel) fällt dir hier am leichtesten? - Achte bei ungeraden Werten für den Koeffizienten vor \(x\) besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen beim Quadrieren. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundenen Werte probehalber in die Ausgangsgleichung einsetzt.

1. Gleichung \(x^2 - 16x + 63 = 0\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{16}{2})^2 = 64\) führt zu \(x^2 - 16x + 64 = -63 + 64\), also \((x-8)^2 = 1\). Wurzelziehen ergibt \(x-8 = \pm 1\). Resultate: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 7\). 2. Gleichung \(x^2 + 7x = 18\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 12{,}25\) führt zu \(x^2 + 7x + 12{,}25 = 18 + 12{,}25\), also \((x+3{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen ergibt \(x+3{,}5 = \pm 5{,}5\). Resultate: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -9\).

1) \(x_1 = 9, x_2 = 7\) 2) \(x_1 = 2, x_2 = -9\)

- Was musst du auf beiden Seiten addieren, um den Term links als Quadrat schreiben zu können? - Erinnerst du dich an die erste und zweite binomische Formel? - Wie kannst du das Quadrat auf der linken Seite auflösen? - Denk daran, dass beim Wurzelziehen zwei Fälle entstehen können.

1. Umformung von \(x^2 + 4x - 21 = 0\) zu \(x^2 + 4x = 21\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{4}{2})^2 = 4\): \(x^2 + 4x + 4 = 21 + 4 = 25\). 3. Anwendung der ersten binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 25\). 4. Ziehen der Quadratwurzel: \(x + 2 = \pm 5\). 5. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = -2 + 5 = 3\) und \(x_2 = -2 - 5 = -7\). 6. Umformung von \(x^2 - 6x + 5 = 0\) zu \(x^2 - 6x = -5\). 7. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-6}{2})^2 = 9\): \(x^2 - 6x + 9 = -5 + 9 = 4\). 8. Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((x - 3)^2 = 4\). 9. Ziehen der Quadratwurzel: \(x - 3 = \pm 2\). 10. Berechnung der Lösungen: \(x_1 = 3 + 2 = 5\) und \(x_2 = 3 - 2 = 1\).

a) \(x_1 = 3, x_2 = -7\) b) \(x_1 = 5, x_2 = 1\)

- Welchen kleinsten Wert kann \(x^2\) für eine reelle Zahl annehmen? - Welche untere Schranke folgt daraus für den Radikanden \(x^2+25\)? - Vergleiche den daraus folgenden kleinsten Wurzelwert mit der rechten Seite der Gleichung.

1. Für jede reelle Zahl gilt \(x^2\ge0\). Daher ist \(x^2+25\ge25\). 2. Für nichtnegative Zahlen bleibt die Größenordnung beim Ziehen der Quadratwurzel erhalten. Also gilt \(\sqrt{x^2+25}\ge\sqrt{25}=5\). 3. Die linke Seite kann somit niemals den Wert \(4\) annehmen. Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung.

Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung, weil \(\sqrt{x^2+25}\ge5\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt.

- Prüfe zuerst, welche Werte eine Quadratwurzel überhaupt annehmen kann. - Bei mehreren Wurzeln müssen alle Definitionsbedingungen gleichzeitig erfüllt sein. - Isoliere eine Wurzel nur so weit, wie es für eine Unmöglichkeitsbegründung nötig ist.

1. Zu a): Eine reelle Quadratwurzel ist stets nichtnegativ. Deshalb kann \(\sqrt{x+12}\) niemals den Wert \(-5\) annehmen. 2. Zu b): Für die erste Wurzel muss \(x\ge8\) gelten, für die zweite zugleich \(x\le2\). Diese Bedingungen haben keine gemeinsame reelle Zahl. Die Gleichung ist daher schon wegen ihres Definitionsbereichs unlösbar. 3. Zu c): Nach Subtraktion von \(10\) folgt \(\sqrt{x-1}=-7\). Eine reelle Quadratwurzel kann keinen negativen Wert annehmen, also gibt es keine Lösung.

a) Keine reelle Lösung, weil eine Quadratwurzel nicht negativ sein kann. b) Keine reelle Lösung, weil die Bedingungen \(x\ge8\) und \(x\le2\) unvereinbar sind. c) Keine reelle Lösung, weil die Gleichung auf \(\sqrt{x-1}=-7\) führt.

- Wie hängen Summe und Produkt der Lösungen einer normierten quadratischen Gleichung mit ihren Koeffizienten zusammen? - Die gesuchte Hilfsgleichung soll \(x\) und \(y\) selbst als ihre beiden Lösungen besitzen. - Welche zwei Zahlen haben die gegebene Summe und das gegebene Produkt? - Warum entstehen nach dem Lösen zwei geordnete Paare?

1. Für eine quadratische Gleichung \(z^2+pz+q=0\) mit den Lösungen \(x\) und \(y\) gilt nach dem Satz von Vieta \(x+y=-p\) und \(xy=q\). 2. Aus \(x+y=-2\) und \(xy=-15\) folgen \(p=2\) und \(q=-15\). Die Hilfsgleichung lautet daher \(z^2+2z-15=0\). 3. Faktorisieren ergibt \((z+5)(z-3)=0\), also \(z_1=-5\) und \(z_2=3\). 4. Da \(x\) und \(y\) diese beiden Werte in beliebiger Reihenfolge annehmen können, entstehen die Paare \((-5;3)\) und \((3;-5)\).

Die Lösungspaare sind \((-5;3)\) und \((3;-5)\).

- Wie hängen die Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit ihrer faktorisierten Form zusammen? - Welche Formel hilft dir dabei, die Nullstellen eines Terms der Form \(x^2 + px + q\) zu finden? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl von \(x\) subtrahierst?

1. Berechnung der Nullstellen der Gleichung \(x^2 - 4x - 21 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 21} = 2 \pm 5\). 2. Die Nullstellen sind \(x_1 = 7\) und \(x_2 = -3\). 3. Aufstellen der Linearfaktorform \(a(x - x_1)(x - x_2)\) mit \(a = 1\): \((x - 7)(x - (-3)) = (x - 7)(x + 3)\). 4. Begründung: Der Faktor für eine Nullstelle \(x_0\) lautet allgemein \((x - x_0)\). Bei einer negativen Nullstelle wie \(-3\) ergibt das Minuszeichen der Formel zusammen mit dem negativen Wert der Nullstelle ein Pluszeichen: \((x - (-3)) = (x + 3)\).

1. \((x - 7)(x + 3)\) 2. Da die Linearfaktorform \((x - x_1)(x - x_2)\) lautet, kehrt sich das Vorzeichen der Nullstelle im Faktor um (aus \(-3\) wird \(x + 3\)).

- Behandle den gemeinsamen Wurzelterm zunächst wie eine Variable und sammle ihn auf einer Seite. - Isoliere die Wurzel vollständig, bevor du quadrierst. - Prüfe den gefundenen Wert anschließend in der ursprünglichen Gleichung.

1. Die Wurzelterme werden auf einer Seite gesammelt: \(\frac{7}{4}\sqrt{2x}-\frac{3}{4}\sqrt{2x}=13-5\). 2. Damit folgt \(\sqrt{2x}=8\). 3. Quadrieren ergibt \(2x=64\), also \(x=32\). 4. Für \(x=32\) ist der Radikand \(2x\) nichtnegativ. Die Probe in der Ausgangsgleichung bestätigt die Lösung.

\(\mathbb{L}=\{32\}\)

- Was passiert, wenn ein Produkt zweier Faktoren Null ergibt? - Kannst du den Term so umformen, dass \(x\) als gemeinsamer Faktor vor einer Klammer steht? - Achte darauf, dass bei Aufgabenteil b) zuerst alle Terme auf eine Seite der Gleichung gebracht werden müssen.

1. Gleichung a) durch Ausklammern von \(7x\) faktorisieren: \(7x(x + 3) = 0\). 2. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(7x = 0\) oder \(x + 3 = 0\). 3. Lösungen für a): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -3\). 4. Gleichung b) durch Subtraktion von \(2x\) in die Form \(0{,}5x^2 - 2x = 0\) bringen. 5. Ausklammern von \(0{,}5x\): \(0{,}5x(x - 4) = 0\). 6. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: \(0{,}5x = 0\) oder \(x - 4 = 0\). 7. Lösungen für b): \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).

a) \(L = \{0; -3\}\) b) \(L = \{0; 4\}\)

- Forme jede Gleichung zuerst so um, dass \(x^2\) allein auf einer Seite steht. - Bei einem positiven Wert für \(x^2\) gibt es zwei reelle Lösungen mit entgegengesetzten Vorzeichen. - Bestimme die Wurzelwerte erst nach der algebraischen Umformung und runde auf zwei Nachkommastellen.

1. Aus \(x^2 - 13 = 0\) folgt \(x^2 = 13\), also \(x = \pm\sqrt{13} \approx \pm 3{,}61\). 2. Aus \(0{,}5x^2 = 11\) folgt \(x^2 = 22\), also \(x = \pm\sqrt{22} \approx \pm 4{,}69\). 3. Aus \(4x^2 - 30 = 50\) folgt \(4x^2 = 80\) und damit \(x^2 = 20\). Also gilt \(x = \pm\sqrt{20} \approx \pm 4{,}47\).

1) \(x \approx \pm 3{,}61\) 2) \(x \approx \pm 4{,}69\) 3) \(x \approx \pm 4{,}47\)

- Schau dir an, an welchen Stellen sich die Kurven kreuzen. - Die Lösungen einer Gleichung \(f(x) = g(x)\) entsprechen den x-Koordinaten der Schnittpunkte. - Wie kannst du mathematisch zeigen, dass ein Punkt tatsächlich auf einem Graphen liegt?

1. Da sich die beiden Graphen an genau zwei Stellen schneiden, muss die Gleichung der Gleichsetzung genau zwei Lösungen für \(x\) besitzen. 2. Aus der Grafik lassen sich die Schnittpunkte \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(2 \mid 4)\) ablesen. Die Lösungen der Gleichung sind somit \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Überprüfung für \(x_1 = 0\): \(f(0) = 0^2 = 0\) und \(g(0) = -(0-2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0\). (Korrekt) 4. Überprüfung für \(x_2 = 2\): \(f(2) = 2^2 = 4\) und \(g(2) = -(2-2)^2 + 4 = 0 + 4 = 4\). (Korrekt)

a) Die Graphen schneiden sich in zwei Punkten, daher gibt es zwei x-Werte, für die beide Funktionsterme denselben Wert liefern. b) Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). c) Für \(x=0\) gilt \(0^2 = 0\) und \(-(0-2)^2+4 = 0\). Für \(x=2\) gilt \(2^2 = 4\) und \(-(2-2)^2+4 = 4\). Beide Werte sind korrekt.

- Wenn eine Seite der Gleichung Null ist, entsprechen die Lösungen der Gleichung genau den Nullstellen der zugehörigen Funktion. - Schau dir im Graphen an, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Du kannst jedes Ergebnis prüfen, indem du es für die Unbekannte in die Startgleichung einsetzt.

1. Umformung der Gleichung: \(x^2 - 2x = 3 \quad \mid -3\) \(x^2 - 2x - 3 = 0\) 2. Ablesen der Nullstellen: Der Graph der Funktion \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) schneidet die x-Achse bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Rechnerische Überprüfung: Für \(x = -1\): \((-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3\). (wahr) Für \(x = 3\): \(3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3\). (wahr)

a) \(x^2 - 2x - 3 = 0\) b) Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\) c) Die Probe bestätigt beide Werte: \((-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 3\) und \(3^2 - 2 \cdot 3 = 3\).

- Welche Form hat jede Gleichung bereits, bevor du überhaupt zu rechnen beginnst? - Vergleiche, wie viele Umformungsschritte die verschiedenen Methoden bei jeder Gleichung erfordern würden. - Welche Methode nutzt die vorhandene Struktur jeweils am unmittelbarsten aus?

1. Bei a) steht ein Quadrat bereits allein. Daher ist Wurzelziehen die zweckmäßigste Methode. 2. Bei b) liegt ein Produkt vor, das null ist. Daher führt der Nullproduktsatz direkt weiter. 3. Bei c) liegt eine normierte quadratische Gleichung in der Form \(x^2+px+q=0\) vor und es ist keine einfache Faktorisierung erkennbar. Daher ist die \(p\)-\(q\)-Formel zweckmäßig.

a) Wurzelziehen b) Nullproduktsatz c) \(p\)-\(q\)-Formel

- Beginne mit dem gemeinsamen Zahlenfaktor der drei Terme. - Welche Nullstellen gehören zum verbleibenden quadratischen Ausdruck? - Wie musst du die Faktoren schreiben, damit ihre Nullstellen genau diesen Werten entsprechen?

1. Zuerst wird \(6\) ausgeklammert: \(m(x)=6(3x^2-2x-1)\). 2. Die Gleichung \(3x^2-2x-1=0\) hat die Nullstellen \(x_1=1\) und \(x_2=-\frac{1}{3}\). 3. Mit diesen Nullstellen gilt \(3x^2-2x-1=(x-1)(3x+1)\). 4. Daher ist \(m(x)=6(x-1)(3x+1)\) die Linearfaktorform.

\(m(x)=6(x-1)(3x+1)\)

- Achte auf den Unterschied zwischen \( (-a)^2 \) und \( -a^2 \). Wo genau steht das Minuszeichen? - Rechne zuerst die Werte auf den Seiten aus, bevor du versuchst, die Wurzel zu ziehen. - Bei Brüchen hilft es, alles auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

1. a) Berechnung der rechten Seite: \( (-12)^2 = 144 \). Die Gleichung \( x^2 = 144 \) hat die Lösungen \( x_1 = 12 \) und \( x_2 = -12 \). 2. b) Beachtung der Priorität (Potenz vor Vorzeichen): \( -8^2 = -(8 \cdot 8) = -64 \). Die Gleichung \( x^2 = -64 \) hat keine reelle Lösung. 3. c) Umformung: \( 3x^2 = 27 \), dann \( x^2 = 9 \). Die Lösungen sind \( x_1 = 3 \) und \( x_2 = -3 \). 4. d) Umformung: \( x^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} \). Die Wurzeln sind \( x_1 = \frac{3}{4} \) (oder \( 0{,}75 \)) und \( x_2 = -\frac{3}{4} \) (oder \( -0{,}75 \)).

a) \( x = 12 \) oder \( x = -12 \) b) keine reelle Lösung c) \( x = 3 \) oder \( x = -3 \) d) \( x = 0{,}75 \) oder \( x = -0{,}75 \)

- Um gemeinsame Punkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben und was bedeutet das für die Anzahl der Schnittpunkte? - Was sagt das Vorzeichen vor dem quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus? - Welche Rolle spielt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts für den Wertebereich?

1. Gleichsetzen der Funktionsausdrücke: \(x^2 = -(x - 2)^2 + 2\). 2. Auflösen der Gleichung: \(x^2 = -(x^2 - 4x + 4) + 2 \implies x^2 = -x^2 + 4x - 4 + 2 \implies x^2 = -x^2 + 4x - 2\). 3. Umstellen zur Normalform einer quadratischen Gleichung: \(2x^2 - 4x + 2 = 0 \implies x^2 - 2x + 1 = 0\). 4. Anwendung der binomischen Formel oder der \(pq\)-Formel: \((x - 1)^2 = 0 \implies x = 1\). Es gibt genau einen Berührpunkt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(1) = 1^2 = 1\). Der Schnittpunkt ist \(P(1 | 1)\). 6. Wertebereich von \(g\): Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(2 | 2)\). Da der Koeffizient vor der Klammer negativ ist (\(a = -1\)), ist die Parabel nach unten geöffnet. 7. Der höchste Punkt ist somit der Scheitelpunkt mit \(y = 2\). Der Wertebereich umfasst alle Werte kleiner oder gleich \(2\): \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \le 2\}\).

a) Es gibt genau einen Schnittpunkt (Berührpunkt) bei \(P(1 | 1)\). b) Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \le 2\}\), da die Parabel nach unten geöffnet ist und ihr Maximum im Scheitelpunkt bei \(y = 2\) erreicht.

- Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen? - Kannst du Aufgabe c) so umformen, dass auf einer Seite null steht? - Welches Lösungsverfahren passt anschließend zur erhaltenen Form?

1. Teilaufgabe a): Umformen zu \(x^2 = \frac{1}{4}\). Wurzelziehen ergibt \(x = \pm \frac{1}{2}\). 2. Teilaufgabe b): Das Quadrat eines reellen Terms ist stets größer oder gleich null. Daher kann \((x+5)^2\) nicht den negativen Wert \(-4\) annehmen. 3. Teilaufgabe c): Umformen zur Normalform \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Alternativ kann zu \((x-3)(x+1)=0\) faktorisiert werden.

a) \(L = \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}\) b) Keine reelle Lösung, da ein Quadrat nicht negativ sein kann. c) \(L = \{-1; 3\}\)

- Prüfe, unter welcher Bedingung die in a) verwendete Division überhaupt zulässig ist. - Forme für c) die Gleichung so um, dass ein Produkt entstehen kann. - Nutze nach dem Faktorisieren die Eigenschaft eines Produkts mit Wert null.

1. Aus \(x-4=3\) folgt \(x=7\). 2. Die Division durch \(x-4\) ist nur zulässig, wenn \(x-4\neq0\). Dadurch wird der Fall \(x=4\) ausgeschlossen, obwohl er die ursprüngliche Gleichung erfüllt. 3. Ohne diese Division erhält man \((x-4)^2-3(x-4)=0\). 4. Ausklammern ergibt \((x-4)((x-4)-3)=0\), also \((x-4)(x-7)=0\). 5. Nach dem Nullprodukt gilt \(x=4\) oder \(x=7\). Somit ist \(L=\{4;7\}\).

a) Jonas erhält \(x=7\). b) Die Lösung \(x=4\) geht bei der Division verloren, weil dann durch null dividiert würde. c) \(L=\{4;7\}\)

- Welche Zahl musst du addieren, um den Term \(x^2 + 8x\) zu einem vollständigen Quadrat zu ergänzen? - Erinnere dich an die Struktur der \(pq\)-Formel. Welche Werte haben \(p\) und \(q\) hier? - Welche besondere Form einer quadratischen Funktion erlaubt es, den tiefsten oder höchsten Punkt direkt zu sehen?

1. Quadratische Ergänzung: Die Gleichung ist \(x^2 + 8x + 12 = 0\). Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\): \(x^2 + 8x + 16 - 16 + 12 = 0\). Dies führt zu \((x + 4)^2 - 4 = 0\). Umstellen ergibt \((x + 4)^2 = 4\). Ziehen der Wurzel liefert \(x + 4 = 2\) oder \(x + 4 = -2\). Somit \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). 2. \(pq\)-Formel: Mit \(p = 8\) und \(q = 12\) gilt \(x_{1,2} = - \frac{8}{2} \pm \sqrt{(\frac{8}{2})^2 - 12} = -4 \pm \sqrt{16 - 12} = -4 \pm \sqrt{4} = -4 \pm 2\). Dies ergibt \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). 3. Vergleich und Interpretation: Beide Verfahren liefern dieselbe Lösungsmenge \(L = \{-6; -2\}\). 4. Vorteil der quadratischen Ergänzung: Sie liefert direkt die Scheitelpunktform der zugehörigen quadratischen Funktion \(f(x) = (x + 4)^2 - 4\). Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt \(S(-4 | -4)\) sofort ablesen.

Die Lösungsmenge ist \(L = \{-6; -2\}\). Die quadratische Ergänzung bietet den Vorteil, dass man die Gleichung in die Scheitelpunktform überführt, wodurch der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel (hier \(S(-4 | -4)\)) direkt ablesbar ist.

- Versuche, die Gleichung durch Division oder Multiplikation zu vereinfachen, bevor du eine Lösungsformel nutzt. - Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Wenn ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du eine Klammer, die im Quadrat steht, isolieren?

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(2x\) führt zu \(2x(x - 9) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 9\). 2. Teilaufgabe b): Zuerst Addition von \(27\) und Division durch \(3\) ergibt \((x - 1)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel führt zu \(x - 1 = 3\) oder \(x - 1 = -3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 3. Teilaufgabe c): Multiplikation der gesamten Gleichung mit \(2\) ergibt die Normalform \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel liefert \(x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3\). Die Lösungen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). 4. Teilaufgabe d): Anwendung des Satzes vom Nullprodukt. Die Gleichungen \(2x - 4 = 0\) und \(x + 5 = 0\) führen direkt zu den Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -5\).

a) \(x_1 = 0; x_2 = 9\) b) \(x_1 = 4; x_2 = -2\) c) \(x_1 = 4; x_2 = -2\) d) \(x_1 = 2; x_2 = -5\)

- Überlege dir, welche Bestandteile der allgemeinen Form \(ax^2 + bx + c = 0\) jeweils vorhanden sind. - Wenn das \(b\) oder das \(c\) fehlt, gibt es oft schnellere Wege als die \(pq\)-Formel. - Wann hilft dir der Satz vom Nullprodukt weiter?

1. Da kein lineares Glied (mit \(x\)) vorhanden ist, ist direktes Wurzelziehen am effizientesten: \(x^2 = 144 \Rightarrow x_1 = 12, x_2 = -12\). Somit ist \(L = \{-12; 12\}\). 2. Da kein absolutes Glied vorhanden ist, ist Ausklammern am effizientesten: \(2x(x + 5) = 0\). Nach dem Nullprodukt-Satz ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -5\). Somit ist \(L = \{-5; 0\}\). 3. Da die Gleichung in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) vorliegt, ist die \(pq\)-Formel effizient: Mit \(p = -2\) und \(q = -15\) folgt \(x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 - (-15)} = 1 \pm \sqrt{16} = 1 \pm 4\). Somit ist \(x_1 = 5, x_2 = -3\) und \(L = \{-3; 5\}\).

1. Wurzelziehen: \(L = \{-12; 12\}\) 2. Ausklammern: \(L = \{-5; 0\}\) 3. \(pq\)-Formel: \(L = \{-3; 5\}\)

- Welche Formel hilft dir, die Nullstellen direkt zu finden? - Nutze beim Multiplizieren der Wurzelterme die dritte binomische Formel. - Wann wird der Teil unter der Wurzel in der Lösungsformel genau null?

1. Anwendung der \(pq\)-Formel auf \(x^2 - x - 5 = 0\) mit \(p = -1\) und \(q = -5\): \(x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 5} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}\). 2. Multiplikation der Lösungen: \(\frac{1 + \sqrt{21}}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{21}}{2} = \frac{1^2 - (\sqrt{21})^2}{4} = \frac{1 - 21}{4} = \frac{-20}{4} = -5\). Das Produkt entspricht \(q\). 3. Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante null ist: \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 0\). 4. Mit \(p = -1\) ergibt sich \(0{,}25 - q = 0\), also \(q = 0{,}25\). Die Zahl \(-5\) müsste durch \(0{,}25\) ersetzt werden.

a) Die Lösungen sind \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}\) und \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}\). b) Das Produkt ergibt \(\frac{1-21}{4} = -5\). c) Das Absolutglied müsste \(0{,}25\) (bzw. \(\frac{1}{4}\)) lauten.

- Schau dir die letzte Zahl in Gleichung (1) an. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dieser Zahl und der Hälfte der Zahl vor dem \(x\)? - Was passiert, wenn du versuchst, die Zahl \(24\) in der gleichen Weise wie die \(25\) zu interpretieren? - Wie müsste ein Term aussehen, der perfekt in das Schema \((x-b)^2\) passt?

1. Analyse von Gleichung (1): Der Term \(x^2 - 10x + 25\) entspricht der 2. binomischen Formel \((x-b)^2 = x^2 - 2bx + b^2\) mit \(b = 5\), da \(2 \cdot 5 = 10\) und \(5^2 = 25\). 2. Faktorisierung und Lösung: \((x-5)^2 = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5\). 3. Analyse von Gleichung (2): Für eine direkte Faktorisierung müsste das absolute Glied \(b^2 = (-10{:}2)^2 = 25\) sein. Da \(24 \neq 25\), ist der Term kein vollständiges Quadrat. 4. Anpassung: Man müsste die Zahl \(24\) um \(1\) erhöhen (quadratische Ergänzung), um auf \(25\) zu kommen.

a) \(x = 5\), da \((x-5)^2 = 0\). b) Für ein vollständiges Quadrat müsste das konstante Glied \(\left(\frac{-10}{2}\right)^2 = 25\) sein. Daher müsste man \(24\) um \(1\) erhöhen.

- Was muss vor dem \(x^2\) stehen, damit du die \(pq\)-Formel direkt anwenden darfst? - Achte beim Einsetzen in die Formel auf das Vorzeichen von \(q\), besonders wenn \(q\) negativ ist. - Wie gehst du vor, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl ungleich \(1\) steht?

1. Für Teilaufgabe a): Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor mit \(p = -10\) und \(q = 21\). 2. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2 - 21} = 5 \pm \sqrt{25 - 21} = 5 \pm \sqrt{4} = 5 \pm 2\). 3. Ergebnisse für a): \(x_1 = 7\) und \(x_2 = 3\). 4. Für Teilaufgabe b): Normalisierung durch Division der gesamten Gleichung durch \(2\). Dies ergibt \(x^2 + 4x - 12 = 0\). Hier ist \(p = 4\) und \(q = -12\). 5. Anwendung der \(pq\)-Formel: \(x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 - (-12)} = -2 \pm \sqrt{4 + 12} = -2 \pm \sqrt{16} = -2 \pm 4\). 6. Ergebnisse für b): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -6\).

a) \(L = \{3; 7\}\) b) \(L = \{-6; 2\}\)

- Welches binomische Quadrat erkennst du in Gleichung (I)? - Vergleiche für c) jeweils den Wert von \(b^2-4ac\) mit null. - Wie hängt das Vorzeichen der Diskriminante mit der Anzahl reeller Lösungen zusammen?

1. Gleichung (I) lässt sich als \((x-3)^2=0\) schreiben. Daher ist \(x=3\). 2. Für Gleichung (II) ergibt beispielsweise die \(p\)-\(q\)-Formel \(x=3\pm\sqrt{1}\). Somit sind \(x=2\) und \(x=4\) die Lösungen. 3. Für (I) ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\). Deshalb gibt es eine doppelte reelle Lösung. 4. Für (II) ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=4>0\). Deshalb gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.

a) \(x=3\) b) \(L=\{2;4\}\) c) Bei (I) gilt \(\Delta=0\), bei (II) gilt \(\Delta=4>0\); daher hat (I) eine doppelte und (II) zwei verschiedene reelle Lösungen.

- Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(ax^2+bx+c=0\). - Welche Koeffizienten \(a\), \(b\) und \(c\) erhältst du danach? - Achte beim Einsetzen in die Lösungsformel besonders auf das Vorzeichen des konstanten Terms.

1. Ausmultiplizieren und Umformen ergibt \(2x^2+5x-12=0\). 2. Für die Mitternachtsformel ist die Diskriminante \(\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-12)=121\). 3. Damit gilt \(x=\frac{-5\pm\sqrt{121}}{4}=\frac{-5\pm11}{4}\). 4. Die beiden Lösungen sind \(x_1=1{,}5\) und \(x_2=-4\).

\(L=\{-4;1{,}5\}\)

- Probiere beide Wege einmal aus und achte darauf, wo du mehr Zwischenrechnungen machen musst. - Schau dir die Struktur der Gleichung an: Ist sie bereits in einer besonderen Form gegeben? - Was passiert, wenn du die Operationen in einer anderen Reihenfolge ausführst?

1. Teilaufgabe a (Bens Weg): Division durch \(2\) ergibt \((x - 3)^2 = 25\). Wurzelziehen liefert zwei Fälle: \(x - 3 = 5\) oder \(x - 3 = -5\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -2\). \(L = \{-2; 8\}\). 2. Teilaufgabe b (Annas Weg): Auflösen der Klammer ergibt \(2(x^2 - 6x + 9) = 50\), also \(2x^2 - 12x + 18 = 50\). Subtraktion von \(50\) führt zu \(2x^2 - 12x - 32 = 0\). Division durch \(2\) ergibt die Normalform \(x^2 - 6x - 16 = 0\). Vergleicht man dies mit Bens erstem Schritt \((x-3)^2 = 25 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 9 = 25 \Leftrightarrow x^2 - 6x - 16 = 0\), sieht man die Übereinstimmung. 3. Teilaufgabe c: Bens Weg nutzt, dass der Term bereits als Quadrat vorliegt; dadurch entfallen das Ausmultiplizieren und die Anwendung der allgemeinen Lösungsformel. Das Ziehen der Wurzel ist hier direkter möglich.

a) \(L = \{-2; 8\}\) b) Beide Wege führen zur Normalform \(x^2 - 6x - 16 = 0\). c) Ben nutzt die Struktur der Gleichung aus (direktes Wurzelziehen nach Division möglich), während Anna unnötige Umformungen vornimmt.

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn man sie quadriert? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Denk daran, dass \(p\) in der Aufgabe als ungleich Null definiert ist.

1. Umstellen der Gleichung nach \(x^2\): Durch Multiplikation mit \(p\) und Addition von \(p^2\) erhält man \(x^2 = p^2\). 2. Lösung für \(p = 5\): Einsetzen ergibt \(x^2 = 5^2 = 25\). Daraus folgen die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; 5\}\). 3. Anzahl der Lösungen: Da \(p \neq 0\) vorausgesetzt ist, ist \(p^2\) immer eine positive Zahl. Jede Gleichung der Form \(x^2 = k\) mit \(k > 0\) hat genau zwei Lösungen, nämlich \(\sqrt{k}\) und \(-\sqrt{k}\). Da hier \(k = p^2\) gilt, sind die Lösungen \(x = p\) und \(x = -p\). Da \(p \neq 0\), sind diese beiden Werte stets verschieden. 4. Allgemeine Lösungsmenge: Aus \(x^2 = p^2\) folgt direkt \(x = \pm p\). Somit ist \(L = \{-p; p\}\).

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) Da \(p \neq 0\), ist \(p^2 > 0\). Die Gleichung \(x^2 = p^2\) hat daher immer die zwei unterschiedlichen Lösungen \(x_1 = p\) und \(x_2 = -p\). c) \(L = \{-p; p\}\)

- Versuche zuerst, alle Klammern aufzulösen oder Brüche durch Multiplikation mit einem Hauptnenner zu beseitigen. - Sorge dafür, dass die Gleichung so umgeformt wird, dass eine Seite Null ist. - Wenn kein konstantes Glied vorhanden ist, ist Ausklammern oft der schnellste Weg. - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

1. Gleichung a): Subtraktion von \(\frac{1}{6}x^2\) und Addition von \(2x\) auf beiden Seiten ergibt \(\frac{3}{6}x^2 + 3x = 0\), vereinfacht \(\frac{1}{2}x^2 + 3x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(\frac{1}{2}x + 3) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und aus \(\frac{1}{2}x + 3 = 0\) folgt \(x_2 = -6\). 2. Gleichung b): Ausmultiplizieren der Klammer ergibt \(2x^2 + 8x = x^2 + 3x\). Durch Subtraktion von \(x^2\) und \(3x\) erhält man \(x^2 + 5x = 0\). Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x + 5) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -5\).

a) \(x_1 = 0, x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0, x_2 = -5\)

- Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Wenn eine Gleichung die Form \(ax^2 + bx = 0\) hat, welches Verfahren außer der Lösungsformel könnte hilfreich sein? - Achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen, besonders bei binomischen Formeln. - Welche Werte für \(p\) und \(q\) musst du in die Lösungsformel einsetzen, nachdem du die Gleichung sortiert hast?

1. Erste Gleichung: Ausmultiplizieren der linken Seite ergibt \(3x^2 - 12x = x^2 - 2x\). Subtraktion von \(x^2\) und Addition von \(2x\) führt zur Normalform \(2x^2 - 10x = 0\). Ausklammern von \(2x\) ergibt \(2x(x - 5) = 0\). Nach dem Nullprodukt-Satz sind die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\). 2. Zweite Gleichung: Anwendung der zweiten binomischen Formel auf der linken Seite ergibt \(x^2 - 4x + 4 = 3x - 2\). Durch Subtraktion von \(3x\) und Addition von \(2\) erhält man die Normalform \(x^2 - 7x + 6 = 0\). Anwendung der p-q-Formel mit \(p = -7\) und \(q = 6\) führt zu \(x = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 6} = 3{,}5 \pm 2{,}5\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = 6\) und \(x_2 = 1\).

1) \(x_1 = 0; x_2 = 5\) 2) \(x_1 = 1; x_2 = 6\)

- Wie kannst du die Brüche eliminieren, um die Gleichung zu vereinfachen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch. - Überlege dir, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^2 = k\) in Abhängigkeit von \(k\) hat. - Wann genau hat ein Quadrat nur ein einziges mögliches Ergebnis für die Basis?

1. Multiplikation der Gleichung aus Teil a) mit dem Hauptnenner \(12\): \(3(3x^2 + 5) - 4(2x^2 - 1) = 24\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern: \(9x^2 + 15 - 8x^2 + 4 = 24\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(x^2 + 19 = 24\). 4. Isolieren von \(x^2\): \(x^2 = 5\). 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Somit ist \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\). 6. Für Teil b) wird die Gleichung allgemein zu \(x^2 + 19 = 12c\) umgeformt, woraus \(x^2 = 12c - 19\) folgt. 7. Eine reinquadratische Gleichung der Form \(x^2 = k\) hat genau eine Lösung, wenn \(k = 0\) gilt. 8. Lösen der Bedingung \(12c - 19 = 0\) nach \(c\): \(12c = 19 \Rightarrow c = \frac{19}{12}\).

a) \(L = \{-\sqrt{5}; \sqrt{5}\}\) b) \(c = \frac{19}{12}\)

- Multipliziere beide Seiten mit einem gemeinsamen Nenner, um die Brüche aufzulösen. - Was passiert mit den Vorzeichen in der Klammer, wenn ein Minus vor dem Bruch steht? - Überprüfe am Ende, ob das Ergebnis für \(x^2\) positiv, null oder negativ ist. - Kannst du schon vor der vollständigen Berechnung vermuten, welche Gleichung eher eine Lösung hat?

1. Lösung von Gleichung (1): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) + 5(2x^2 - 2) = 45\). 2. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(3x^2 + 3 + 10x^2 - 10 = 45 \Rightarrow 13x^2 - 7 = 45\). 3. Isolieren von \(x^2\): \(13x^2 = 52 \Rightarrow x^2 = 4\). 4. Wurzelziehen ergibt die zwei reellen Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 5. Lösung von Gleichung (2): Multiplikation mit dem Hauptnenner \(15\) führt zu \(3(x^2 + 1) - 5(2x^2 - 2) = 45\). 6. Ausmultiplizieren (Achtung: Minuszeichen): \(3x^2 + 3 - 10x^2 + 10 = 45 \Rightarrow -7x^2 + 13 = 45\). 7. Isolieren von \(x^2\): \(-7x^2 = 32 \Rightarrow x^2 = -\frac{32}{7}\). 8. Da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann, besitzt Gleichung (2) keine reelle Lösung.

Gleichung (1) hat die Lösungen \(x = 2\) und \(x = -2\). Gleichung (2) hat keine reelle Lösung, da die Umformung auf die widersprüchliche Aussage \(x^2 = -\frac{32}{7}\) führt.

- Wenn der Koeffizient vor dem \(x\) ungerade ist, wird die quadratische Ergänzung ein Dezimalbruch oder ein Bruch sein. - Halbiere die Zahl vor dem \(x\) und quadriere das Ergebnis für die Ergänzung. - Achte darauf, dass du denselben Wert auf beiden Seiten der Gleichung addierst. - Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

1. Gleichung umformen zu \(x^2 - 7x = -10\). Quadratische Ergänzung mit \((\frac{7}{2})^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25\) addieren: \(x^2 - 7x + 12{,}25 = -10 + 12{,}25\). Dies ergibt \((x - 3{,}5)^2 = 2{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x - 3{,}5 = \pm 1{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 2\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{9}{2})^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\) addieren: \(x^2 + 9x + 20{,}25 = 10 + 20{,}25\). Dies ergibt \((x + 4{,}5)^2 = 30{,}25\). Wurzelziehen liefert \(x + 4{,}5 = \pm 5{,}5\). Somit sind die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -10\).

1) \(x_1 = 5, x_2 = 2\) 2) \(x_1 = 1, x_2 = -10\)

- Was musst du tun, wenn vor dem \(x^2\) eine andere Zahl als \(1\) steht? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine binomische Formel angewendet werden kann? - Denke daran, bei der Angabe der Lösungsmenge die Dezimalzahlen durch Semikolons zu trennen, um Verwechslungen zu vermeiden.

1. Gleichung \(3x^2 - 12x = 36\): Division der gesamten Gleichung durch \(3\) ergibt \(x^2 - 4x = 12\). Quadratische Ergänzung mit \(4\) führt zu \(x^2 - 4x + 4 = 16\), also \((x-2)^2 = 16\). Wurzelziehen ergibt \(x-2 = \pm 4\). Resultate: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -2\). Lösungsmenge \(L = \{-2; 6\}\). 2. Gleichung \(x^2 - 3x = 1{,}75\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{3}{2})^2 = 2{,}25\) führt zu \(x^2 - 3x + 2{,}25 = 1{,}75 + 2{,}25\), also \((x-1{,}5)^2 = 4\). Wurzelziehen ergibt \(x-1{,}5 = \pm 2\). Resultate: \(x_1 = 3{,}5\), \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\).

1) \(L = \{-2; 6\}\) 2) \(L = \{-0{,}5; 3{,}5\}\)

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln umschreiben? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor der zweiten Klammer – wie verändern sich die Vorzeichen dahinter? - Versuche, alle Terme mit \(x^2\), \(x\) und die reinen Zahlen jeweils zusammenzufassen. - Was musst du tun, um ein Quadrat wie \(x^2\) aufzulösen?

1. Anwendung der binomischen Formeln zur Auflösung der Klammern: \((9x^2 - 6x + 1) - (x^2 + 4x + 4) + (4x^2 - 25) = 4x^2 - 10x + 4\) 2. Auflösen der Minusklammer und Zusammenfassen der Terme auf der linken Seite: \(12x^2 - 10x - 28 = 4x^2 - 10x + 4\) 3. Subtraktion von \(4x^2\) und Addition von \(10x\) auf beiden Seiten führt zu: \(8x^2 - 28 = 4\) 4. Isolation von \(x^2\): \(8x^2 = 32 \implies x^2 = 4\) 5. Ziehen der Quadratwurzel ergibt die Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\)

\(L = \{-2; 2\}\)

- Erinnere dich an die drei binomischen Formeln, um die Klammern aufzulösen. - Bringe die Gleichung zuerst in die Form \(x^2 + px + q = 0\), bevor du ein Lösungsverfahren anwendest. - Welche Formel oder welches Verfahren hilft dir, eine gemischtquadratische Gleichung zu lösen? - Vergiss nicht, am Ende beide möglichen Lösungen anzugeben.

1. Ausmultiplizieren der Klammern mit den binomischen Formeln: \(x^2 - 6x + 9 + x^2 + 4x + 4 = x^2 - 16 + 2x + 34\) 2. Zusammenfassen der Terme auf beiden Seiten: \(2x^2 - 2x + 13 = x^2 + 2x + 18\) 3. Umformen der Gleichung in die Normalform durch Subtraktion von \(x^2\), \(2x\) und \(18\): \(x^2 - 4x - 5 = 0\) 4. Anwendung der p-q-Formel: \(x_{1,2} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-5)} = 2 \pm \sqrt{4 + 5}\) 5. Berechnung der Ergebnisse: \(x_{1,2} = 2 \pm 3\), daraus folgt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\)

\(L = \{-1; 5\}\)

- Kannst du die Gleichung vereinfachen, bevor du mit dem Lösen beginnst? - Was stört dich bei der zweiten Gleichung vor dem \(x^2\)? - Kommst du mit Brüchen oder Dezimalzahlen besser zurecht? Beides ist möglich. - Achte darauf, die Lösungsmenge korrekt in geschweiften Klammern anzugeben.

1. Umformung von \(x^2 - x - 0{,}75 = 0\) zu \(x^2 - x = 0{,}75\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{-1}{2})^2 = 0{,}25\): \(x^2 - x + 0{,}25 = 0{,}75 + 0{,}25 = 1\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \((x - 0{,}5)^2 = 1\). 4. Wurzelziehen ergibt \(x - 0{,}5 = 1\) oder \(x - 0{,}5 = -1\). 5. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = -0{,}5\). Lösungsmenge \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\). 6. Normalisierung der Gleichung \(3x^2 + 12x - 15 = 0\) durch Division durch \(3\): \(x^2 + 4x - 5 = 0\). 7. Umformung zu \(x^2 + 4x = 5\). 8. Quadratische Ergänzung mit \(4\): \(x^2 + 4x + 4 = 9\). 9. Anwendung der binomischen Formel: \((x + 2)^2 = 9\). 10. Wurzelziehen ergibt \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\). 11. Resultierende Lösungen: \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). Lösungsmenge \(L = \{-5; 1\}\).

a) \(L = \{-0{,}5; 1{,}5\}\) b) \(L = \{-5; 1\}\)

- Bestimme die Definitionsbedingung für jede Wurzel getrennt. - Schneide anschließend die beiden zulässigen Mengen. - Eine durch Umformen erhaltene Zahl ist nur dann eine Lösung, wenn sie auch in der ursprünglichen Gleichung zulässig ist.

1. Für \(\sqrt{x-3}\) muss \(x-3\ge0\), also \(x\ge3\), gelten. 2. Für \(\sqrt{1-x}\) muss zugleich \(1-x\ge0\), also \(x\le1\), gelten. 3. Es gibt keine reelle Zahl, die beide Bedingungen erfüllt. Die Definitionsmenge der ursprünglichen Gleichung ist leer. 4. Deshalb kann \(x=2\) keine Lösung sein. Beim Einsetzen entstünde zudem \(\sqrt{-1}\), was in \(\mathbb{R}\) nicht definiert ist.

\(x=2\) ist keine Lösung. Die ursprüngliche Gleichung hat die leere Definitionsmenge, weil gleichzeitig \(x\ge3\) und \(x\le1\) gelten müsste.

- Wo befindet sich der tiefste oder höchste Punkt der Parabel im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - In welche Richtung öffnet sich die Kurve? - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn die Kurve die \(x\)-Achse überquert? - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit den Lösungen der Gleichung \(f(x) = 0\) zusammen?

1. Der Scheitelpunkt \(S(x_s | y_s)\) wird berechnet. Mit \(a = 1\) und \(b = -6\) ergibt sich \(x_s = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Einsetzen in die Funktionsgleichung liefert \(y_s = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = -4\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da der Scheitelpunkt (der tiefste Punkt) mit \(y = -4\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss die Parabel die \(x\)-Achse auf dem Weg nach oben zweimal schneiden. 3. Beim Zeichnen der Parabel (z. B. mit einer Wertetabelle oder ausgehend vom Scheitelpunkt) erkennt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 | -4)\). 2. Da die Parabel nach oben geöffnet ist und ihr Minimum unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gibt es zwei Nullstellen. 3. Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Welche quadratische Gleichung besitzt \(x\) und \(y\) als Lösungen, wenn ihre Summe und ihr Produkt bekannt sind? - Woran erkennst du an \(\Delta\), ob diese quadratische Gleichung zwei verschiedene oder nur eine reelle Lösung besitzt? - Was bedeutet eine doppelte Lösung der Hilfsgleichung für die beiden Werte \(x\) und \(y\)?

1. Für \(k=32\) haben \(x\) und \(y\) Summe \(12\) und Produkt \(32\). Sie sind daher die Lösungen von \(z^2-12z+32=0\). 2. Faktorisieren ergibt \((z-8)(z-4)=0\). Somit sind die Lösungspaare \((8;4)\) und \((4;8)\). 3. Allgemein lautet die quadratische Gleichung \(z^2-12z+k=0\). 4. Ihre Diskriminante ist \(\Delta=(-12)^2-4\cdot1\cdot k=144-4k\). 5. Genau ein Lösungspaar liegt vor, wenn die quadratische Gleichung eine doppelte Lösung besitzt. Dafür muss \(\Delta=0\) gelten. 6. Aus \(144-4k=0\) folgt \(k=36\). Dann gilt \(x=y=6\), also ist \((6;6)\) das einzige Lösungspaar.

a) Die Lösungspaare sind \((8;4)\) und \((4;8)\). b) Für \(k=36\) besitzt das System genau ein Lösungspaar, nämlich \((6;6)\).

- Wie kannst du zwei unbekannte Zahlen mit bekannter Summe und bekanntem Produkt als Lösungen einer quadratischen Gleichung auffassen? - Setze die gegebenen Ausdrücke für Summe und Produkt erst in diese allgemeine Hilfsgleichung ein. - Prüfe nach dem Faktorisieren, für welchen Parameterfall die beiden erhaltenen Werte zusammenfallen.

1. Eine normierte quadratische Gleichung mit den Lösungen \(x\) und \(y\) lautet \(t^2-(x+y)t+xy=0\). 2. Mit den gegebenen Ausdrücken erhält man \(t^2-(2a+b)t+(a^2+ab)=0\). 3. Faktorisieren ergibt \((t-a)(t-a-b)=0\). Daher sind die möglichen Werte \(t_1=a\) und \(t_2=a+b\). 4. Für \(b\neq0\) sind die Werte verschieden. Es entstehen die beiden geordneten Paare \((a;a+b)\) und \((a+b;a)\). 5. Für \(b=0\) fallen die beiden Werte zusammen. Dann gibt es nur das Paar \((a;a)\).

Für \(b\neq0\) gilt \(L=\{(a;a+b);(a+b;a)\}\). Für \(b=0\) gilt \(L=\{(a;a)\}\).

- Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer Gleichung und der Summe bzw. dem Produkt ihrer Lösungen? - Wie kannst du den Ausdruck \(x_1^2 + x_2^2\) so umformen, dass nur noch die Summe \((x_1+x_2)\) und das Produkt \((x_1 \cdot x_2)\) vorkommen? - Erinnerst du dich an die erste binomische Formel? - Überprüfe am Ende, ob für dein gefundenes \(q\) überhaupt reelle Lösungen existieren.

1. Anwendung des Satzes von Vieta: Für eine Gleichung der Form \(x^2 + px + q = 0\) gilt \(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\). Hier ist \(p = 5\), also \(x_1 + x_2 = -5\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\). 2. Algebraische Umformung: Der Ausdruck für die Summe der Quadrate lässt sich umschreiben als \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\). 3. Einsetzen der Werte: Setze die bekannten Beziehungen in die umgeformte Gleichung ein: \((-5)^2 - 2q = 17\). 4. Berechnung von \(q\): \(25 - 2q = 17 \implies 2q = 8 \implies q = 4\). 5. Überprüfung: Für \(q=4\) lautet die Gleichung \(x^2+5x+4=0\). Die Diskriminante \(D = 5^2 - 4 \cdot 4 = 9\) ist positiv, sodass zwei reelle Lösungen existieren.

Der Wert des Parameters \(q\) muss \(4\) sein.

- Was bedeutet es für den Wert des Terms an einer bestimmten Stelle, wenn ein bestimmter Linearfaktor existiert? - Wenn du weißt, dass ein Produkt null ist, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du den verbleibenden Teil des Terms finden, wenn du einen Faktor bereits kennst?

1. Wenn \((x + 2)\) ein Faktor ist, muss \(x = -2\) eine Nullstelle des Terms sein. 2. Einsetzen von \(x = -2\) in den Term: \(3 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 10 = 0\). 3. Berechnung von \(b\): \(12 - 2b - 10 = 0 \Rightarrow 2 - 2b = 0 \Rightarrow b = 1\). 4. Der Term lautet somit \(3x^2 + x - 10\). 5. Suche nach der zweiten Nullstelle oder Koeffizientenvergleich: Da \((x + 2) \cdot (3x + k) = 3x^2 + (k + 6)x + 2k\) sein muss, folgt aus \(2k = -10\), dass \(k = -5\). 6. Vollständige Faktorisierung: \((x + 2)(3x - 5)\).

1. \(b = 1\) 2. \((x + 2)(3x - 5)\)

- Vereinfache beide Wurzeln zunächst durch teilweises Wurzelziehen. - Fasse danach die gleichartigen Wurzelterme zusammen. - Quadriere erst, wenn nur noch eine Wurzel auf einer Seite steht, und führe am Ende eine Probe durch.

1. Teilweises Wurzelziehen ergibt \(\sqrt{12x}=2\sqrt{3x}\) und \(\sqrt{75x}=5\sqrt{3x}\). 2. Damit lautet die Gleichung \(7\sqrt{3x}=14\), also \(\sqrt{3x}=2\). 3. Quadrieren ergibt \(3x=4\) und damit \(x=\frac{4}{3}\). 4. Der Wert \(\frac{4}{3}\) liegt in der Grundmenge. Die Probe bestätigt die Lösung.

\(x=\frac{4}{3}\)

- Kannst du \(x\) ausklammern und den Nullproduktsatz anwenden? - Prüfe, ob die beiden entstehenden Lösungsterme für einen Parameterwert zusammenfallen. - Für Teil b: Was erhältst du, wenn du \(x=-4\) in die Ausgangsgleichung einsetzt?

1. Faktorisieren: \(3x^2+px=x(3x+p)=0\). 2. Nach dem Nullproduktsatz gilt \(x=0\) oder \(x=-\frac{p}{3}\). 3. Für \(p \neq 0\) sind dies zwei verschiedene Lösungen. Für \(p=0\) fallen beide zu \(x=0\) zusammen. 4. Für Teil b wird \(x=-4\) eingesetzt: \(3\cdot(-4)^2+p\cdot(-4)=0\). 5. Daraus folgt \(48-4p=0\), also \(p=12\).

a) Für \(p \neq 0\) gilt \(L=\left\{0; -\frac{p}{3}\right\}\). Für \(p=0\) gilt \(L=\{0\}\). b) \(p=12\)

- Suche zwei benachbarte Quadratzahlen, zwischen denen \(40\) liegt. - Bestimme anschließend den positiven Wurzelwert ausreichend genau und runde ihn. - Welche zweite Zahl besitzt dasselbe Quadrat wie die positive Lösung?

1. Zu a): \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\). Da \(36 < 40 < 49\), gilt \(6 < \sqrt{40} < 7\). 2. Zu b): \(\sqrt{40} \approx 6{,}32455\ldots\), also ist die positive Lösung \(x_1 \approx 6{,}32\). 3. Auch die Gegenzahl hat dasselbe Quadrat. Daher ist die zweite Lösung \(x_2 \approx -6{,}32\).

a) Die positive Lösung liegt zwischen \(6\) und \(7\). b) \(x \approx \pm 6{,}32\)

- Wo schneidet die Kurve die \(x\)-Achse? Schätze die Werte so genau wie möglich ab. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die exakten Stellen zu finden. - Wenn du eine Gleichung der Form \((\text{etwas})^2 = c\) hast, kannst du die Wurzel ziehen. - Nutze deinen Taschenrechner, um den Wert der Wurzel am Ende in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

1. Ablesen der Nullstellen: Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen etwa bei \(x \approx -2{,}7\) und \(x \approx 0{,}7\). 2. Rechnerischer Ansatz: \((x + 1)^2 - 3 = 0\). 3. Umformen: \((x + 1)^2 = 3\). 4. Wurzel ziehen: \(x + 1 = \sqrt{3}\) oder \(x + 1 = -\sqrt{3}\). 5. Exakte Ergebnisse: \(x_1 = -1 + \sqrt{3}\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{3}\). 6. Rundung: \(x_1 \approx 0{,}73\) und \(x_2 \approx -2{,}73\).

a) Aus der Zeichnung: \(x_1 \approx 0{,}7\) und \(x_2 \approx -2{,}7\). b) \(x_1 = -1 + \sqrt{3} \approx 0{,}73\) und \(x_2 = -1 - \sqrt{3} \approx -2{,}73\)

- Suche zuerst den Scheitelpunkt im Koordinatensystem. - Wähle einen Punkt, der genau auf einer Gitterkreuzung liegt, um \(a\) zu bestimmen. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Nullstellen zu berechnen. - Du kannst die Nullstellen direkt aus der Scheitelpunktform berechnen, ohne sie erst umzuformen.

1. Ablesen aus dem Graphen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2 \mid -4{,}5)\). Ein weiterer Punkt auf dem Gitter ist \(P(1 \mid 0)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x + 2)^2 - 4{,}5\). 3. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen von \(P(1 \mid 0)\): \(0 = a(1 + 2)^2 - 4{,}5 \Rightarrow 4{,}5 = 9a \Rightarrow a = 0{,}5\). Die Gleichung lautet: \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\). 4. Berechnung der Nullstellen: \(0 = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5 \quad | +4{,}5\) \(4{,}5 = 0{,}5(x + 2)^2 \quad | :0{,}5\) \(9 = (x + 2)^2 \quad | \sqrt{}\) \(x + 2 = 3\) oder \(x + 2 = -3\) \(x_1 = 1\); \(x_2 = -5\).

a) \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2 - 4{,}5\) b) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\).

- Lies die Scheitelpunkte der Parabeln direkt aus dem Koordinatensystem ab. - Nutze einen weiteren gut ablesbaren Punkt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen. - Setze die beiden Terme gleich, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Kannst du beim Lösen der Gleichung \(2x^2 - 4x = 0\) etwas ausklammern?

1. Bestimmung der Funktionsgleichungen: - Parabel \(f\) (nach unten geöffnet) hat den Scheitelpunkt \(S_f(0 \mid 5)\) und geht durch \((1 \mid 4)\). Die Form \(f(x) = ax^2 + c\) liefert \(c = 5\) und \(4 = a(1)^2 + 5 \Rightarrow a = -1\). Also \(f(x) = -x^2 + 5\). - Parabel \(g\) (nach oben geöffnet) hat den Scheitelpunkt \(S_g(2 \mid 1)\) und geht durch \((1 \mid 2)\). Die Scheitelpunktform \(g(x) = a(x-2)^2 + 1\) liefert \(2 = a(1-2)^2 + 1 \Rightarrow 2 = a + 1 \Rightarrow a = 1\). Also \(g(x) = (x-2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5\). 2. Berechnung der Schnittpunkte: - Gleichsetzen: \(-x^2 + 5 = x^2 - 4x + 5\). - Zusammenfassen: \(2x^2 - 4x = 0\). - Ausklammern: \(2x(x - 2) = 0\). - Lösungen: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). - \(y\)-Koordinaten: \(f(0) = 5\) und \(f(2) = -2^2 + 5 = 1\). - Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 5)\) und \(S_2(2 \mid 1)\). Auffällig ist, dass die Schnittpunkte genau den Scheitelpunkten entsprechen.

a) Die Gleichungen lauten \(f(x) = -x^2 + 5\) und \(g(x) = x^2 - 4x + 5\). b) Die Schnittpunkte sind \(S_1(0 \mid 5)\) und \(S_2(2 \mid 1)\).

- Welche Form muss eine Gleichung haben, bevor die \(p\)-\(q\)-Formel in dieser Schreibweise angewendet werden kann? - Vergleiche diese Form mit der gegebenen Gleichung, besonders den Koeffizienten vor \(x^2\). - Wie kannst du deine korrigierten Lösungen unabhängig von der verwendeten Formel überprüfen?

1. Die \(p\)-\(q\)-Formel setzt eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) voraus. In Noras Gleichung steht vor \(x^2\) noch der Faktor \(2\). 2. Zuerst wird durch \(2\) dividiert: \(x^2-4x+3=0\). 3. Nun gilt \(p=-4\) und \(q=3\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel folgt \(x_{1,2}=2\pm\sqrt{4-3}=2\pm1\). 4. Damit ist \(L=\{1;3\}\). 5. Probe: \(2\cdot1^2-8\cdot1+6=0\) und \(2\cdot3^2-8\cdot3+6=0\).

Nora hat die Gleichung vor der Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel nicht normiert. Richtig ist \(L=\{1;3\}\); beide Werte erfüllen die Ausgangsgleichung.

- Welche Punkte des Graphen sind für eine Gleichung der Form \(f(x)=0\) entscheidend? - Wie viele solche Stellen kannst du in der Abbildung erkennen? - Welche rechnerische Darstellung des quadratischen Terms könnte die vermuteten Nullstellen besonders leicht überprüfbar machen?

1. Lösungen der Gleichung \(x^2-2x-3=0\) entsprechen den Nullstellen des dargestellten Graphen. Aus der Abbildung erkennt man zwei Nullstellen in der Nähe von \(x=-1\) und \(x=3\). Damit ist Bens Behauptung plausibel. 2. Rechnerisch faktorisiert man \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). 3. Nach dem Nullproduktsatz gilt \(x=3\) oder \(x=-1\). Also ist \(L=\{-1;3\}\).

Bens Behauptung ist richtig: \(L=\{-1;3\}\). Die beiden Werte stimmen mit den Nullstellen des Graphen überein.

- Wie findet man rechnerisch heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Bringe beide Funktionsgleichungen in dieselbe Darstellungsform und setze sie gleich. - Wie viele Lösungen kann die entstehende quadratische Gleichung besitzen? - Setze anschließend jede gefundene \(x\)-Koordinate in eine der Funktionen ein.

1. Umformung von \(p_2\) in die allgemeine Form: \(y=-(x-1)^2+3=-(x^2-2x+1)+3=-x^2+2x+2\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2-2x+3=-x^2+2x+2\). 3. Zusammenfassen: \(2x^2-4x+1=0\), also \(x^2-2x+\frac12=0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung: \(x=1\pm\sqrt{1-\frac12}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}\). 5. Für beide Lösungen gilt mit \(p_1(x)=(x-1)^2+2\): \(y=\frac12+2=\frac52\). Die Schnittpunkte sind daher \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

Die Parabeln schneiden sich in den Punkten \(P_1\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\) und \(P_2\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\mid\frac52\right)\).

- Welche binomische Formel könnte hier passen, wenn du \(4a^2x^2\) als \((2ax)^2\) betrachtest? - Schau dir an, wie oft die Unbekannte \(x\) in der ursprünglichen Gleichung vorkommt und wie oft in der neuen Form. - Was ist der erste Schritt, den du machen würdest, um eine Gleichung der Form \((...)^2 = D\) nach der Unbekannten aufzulösen?

1. Multiplikation mit \(4a\): \(4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\). 2. Subtraktion von \(4ac\): \(4a^2x^2 + 4abx = -4ac\). 3. Addition von \(b^2\): \(4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac\). 4. Identifikation des Binoms: Die linke Seite entspricht der Form \(A^2 + 2AB + B^2\) mit \(A = 2ax\) und \(B = b\). Somit gilt \(4a^2x^2 + 4abx + b^2 = (2ax + b)^2\). 5. Vollständige Gleichung: \((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\). 6. Erklärung: In der neuen Form tritt die Variable \(x\) nur noch an einer Stelle innerhalb des Quadrats auf. Dadurch kann man die Gleichung durch Wurzelziehen und einfache Äquivalenzumformungen nach \(x\) auflösen, während in der Ausgangsform \(x^2\) und \(x\) getrennt stehen.

a) \(4a^2x^2 + 4abx = -4ac\) b) \((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\) c) Die Variable \(x\) steht nur noch einmal in der Gleichung, sodass man durch Wurzelziehen direkt nach \(x\) auflösen kann.

- Welche der beiden Gleichungen lässt sich unmittelbar nach einer Variablen auflösen? - Was erhältst du, wenn du diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzt und vollständig zusammenfasst? - Prüfe, ob sich der entstehende quadratische Ausdruck als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben lässt. - Was ändert sich an den beiden Lösungspaaren im besonderen Fall \(c=0\)?

1. Aus \(x-y=c\) folgt \(x=y+c\). 2. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \((y+c)^2+y^2=25c^2\). 3. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen liefert \(2y^2+2cy-24c^2=0\), also \(y^2+cy-12c^2=0\). 4. Faktorisieren ergibt \((y-3c)(y+4c)=0\). Daher gilt \(y=3c\) oder \(y=-4c\). 5. Mit \(x=y+c\) folgen die Paare \((4c\mid3c)\) und \((-3c\mid-4c)\). 6. Für \(c=0\) fallen beide Paare zum einzigen Lösungspaar \((0\mid0)\) zusammen. Für \(c\neq0\) sind die beiden Paare verschieden.

a) \(y^2+cy-12c^2=0\) b) Für \(c\neq0\) gilt \(L=\{(4c\mid3c);(-3c\mid-4c)\}\). Für \(c=0\) gilt \(L=\{(0\mid0)\}\).

- Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Lösungen einer Gleichung und ihren Koeffizienten? - Wie kannst du die Information, dass eine Lösung ein Vielfaches der anderen ist, mathematisch ausdrücken? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das sowohl die unbekannten Lösungen als auch den Parameter \(p\) enthält? - Denke daran, dass beim Lösen einer Gleichung wie \(x^2 = a\) oft zwei Fälle betrachtet werden müssen.

1. Seien \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen der Gleichung. Es ist gegeben, dass \(x_1 = 3x_2\). 2. Nach dem Satz von Vieta gilt für die Gleichung \(x^2 + px + q = 0\): \(x_1x_2 = q\) und \(x_1 + x_2 = -p\). Hier ist \(q = 12\). 3. Einsetzen der Bedingung \(x_1 = 3x_2\) in die Produktgleichung: \(3x_2x_2 = 12 \implies 3x_2^2 = 12 \implies x_2^2 = 4\). 4. Daraus ergeben sich zwei Fälle für \(x_2\): \(x_2 = 2\) oder \(x_2 = -2\). 5. Fall 1: \(x_2 = 2\). Dann ist \(x_1 = 3 \cdot 2 = 6\). Die Summe ist \(x_1 + x_2 = 8\). Da \(x_1 + x_2 = -p\), folgt \(p = -8\). 6. Fall 2: \(x_2 = -2\). Dann ist \(x_1 = 3 \cdot (-2) = -6\). Die Summe ist \(x_1 + x_2 = -8\). Da \(x_1 + x_2 = -p\), folgt \(p = 8\).

\(p = 8\) oder \(p = -8\)

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Werte einer Nullstelle erfüllen? - Kannst du die vier Faktoren so paaren, dass in beiden Produkten derselbe Ausdruck vorkommt? - Welcher wiederkehrende Ausdruck eignet sich als Hilfsvariable? - Denke nach dem Lösen der Hilfsgleichung an die Rücksubstitution.

1. Für eine Nullstelle gilt \(f(x)=0\), also \((x-3)(x-1)(x+2)(x+4)=144\). 2. Gruppiere die Faktoren: \(((x-3)(x+4))((x-1)(x+2))=144\). Dadurch entsteht \((x^2+x-12)(x^2+x-2)=144\). 3. Mit \(u=x^2+x\) folgt \((u-12)(u-2)=144\), also \(u^2-14u-120=0\). 4. Die Diskriminante der Hilfsgleichung ist \(\Delta=(-14)^2-4\cdot1\cdot(-120)=676=26^2\). Daher gilt \(u_1=20\) oder \(u_2=-6\). 5. Für \(u_1=20\) ergibt sich \(x^2+x-20=0\), also \((x+5)(x-4)=0\). Damit sind \(x=-5\) und \(x=4\) Nullstellen. 6. Für \(u_2=-6\) ergibt sich \(x^2+x+6=0\). Hier ist \(\Delta=1-24=-23<0\), also entstehen keine weiteren reellen Nullstellen.

Die reellen Nullstellen sind \(x=-5\) und \(x=4\).

- Welche beiden wiederkehrenden Ausdrücke kannst du zunächst als eigene Größen betrachten? - Wenn Summe und Produkt zweier Größen bekannt sind, wie lassen sie sich als Lösungen einer quadratischen Gleichung auffassen? - Nach der ersten Hilfsgleichung musst du noch zu \(x\) und \(y\) zurückkehren. - Prüfe, ob die beiden möglichen Zuordnungen der Hilfsgrößen unterschiedliche Lösungspaare liefern.

1. Setze \(u=x+y\) und \(v=xy\). Dann gilt \(u+v=11\) und \(uv=30\). 2. Damit sind \(u\) und \(v\) die Lösungen der quadratischen Gleichung \(t^2-11t+30=0\). 3. Faktorisieren ergibt \((t-5)(t-6)=0\). Somit gibt es die Fälle \((u;v)=(5;6)\) und \((u;v)=(6;5)\). 4. Im ersten Fall gilt \(x+y=5\) und \(xy=6\). Also sind \(x\) und \(y\) die Lösungen von \(z^2-5z+6=0\), woraus die Paare \((2;3)\) und \((3;2)\) folgen. 5. Im zweiten Fall gilt \(x+y=6\) und \(xy=5\). Also sind \(x\) und \(y\) die Lösungen von \(z^2-6z+5=0\), woraus die Paare \((1;5)\) und \((5;1)\) folgen. 6. Damit sind insgesamt vier reelle Lösungspaare vorhanden.

Die Lösungspaare sind \((1;5)\), \((5;1)\), \((2;3)\) und \((3;2)\).