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- Welche Seite liegt dem gegebenen Winkel gegenüber? - Welche beiden Seiten schließen den Winkel \(\gamma\) ein? - Ordne die Größen zuerst der allgemeinen Form des Kosinussatzes zu.

1. Der Winkel \(\gamma\) liegt zwischen den gegebenen Seiten \(a\) und \(b\); ihm gegenüber liegt \(c\). 2. Daher lautet der passende Ansatz \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). 3. Mit den gegebenen Werten ergibt sich \(c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos(60^\circ)\).

\(c^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos(60^\circ)\)

- Ordne zuerst die drei Seiten zur markierten Ecke \(C\) zu. - Welche Seite liegt dem Winkel \(\gamma\) gegenüber, und welche beiden Seiten schließen ihn ein?

1. Der Winkel \(\gamma\) liegt am Punkt \(C\). Dort treffen die Seiten \(a=BC\) und \(b=CA\) zusammen. 2. Die gegenüberliegende Seite ist \(AB=c\). 3. Im Kosinussatz zu \(\gamma\) stehen daher \(a\) und \(b\) im Produktterm; links steht \(c^2\).

Im Produktterm stehen \(a\) und \(b\); links steht \(c^2\).

- Prüfe bei jeder Angabe zuerst, ob zwei Seitenlängen bekannt sind. - Liegt der gegebene Winkel genau zwischen diesen beiden Seiten, sodass der Kosinussatz direkt die dritte Seite verknüpft?

1. Für einen unmittelbaren Kosinussatz-Ansatz zur dritten Seite müssen zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bekannt sein. 2. Bei B) sind \(a\) und \(c\) bekannt. Sie treffen sich am Punkt \(B\); ihr eingeschlossener Winkel ist daher \(\beta\). 3. Damit kann der Kosinussatz unmittelbar für die gesuchte Seite \(b\) angesetzt werden. 4. Bei A) ist nur eine Seite bekannt. Bei C) ist \(\alpha\) nicht der eingeschlossene Winkel zwischen \(a\) und \(b\).

B)

- Erinnere dich an den Einheitskreis oder die Definition des Kosinus. - Was passiert mit einem Produkt, wenn einer der Faktoren Null ist? - Welche berühmte Formel kennst du, die Quadrate von Seitenlängen in Beziehung setzt?

1. Der Funktionswert von \(\cos(90^\circ)\) beträgt \(0\). 2. Setzt man diesen Wert in den Kosinussatz ein, ergibt sich \(c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot 0\), was zu \(c^2 = a^2 + b^2\) vereinfacht wird. Dies ist der Satz des Pythagoras. 3. Da \(\gamma\) der Winkel ist, der der Seite \(c\) gegenüberliegt, ist \(c\) im Falle von \(\gamma = 90^\circ\) die Hypotenuse. Die Formel beschreibt somit korrekt den Zusammenhang zwischen Hypotenuse und Katheten im rechtwinkligen Dreieck.

1. \(\cos(90^\circ) = 0\) 2. Es ergibt sich der Satz des Pythagoras: \(c^2 = a^2 + b^2\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den Katheten; der Kosinussatz ist somit eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für beliebige Winkel.

- Welche Seiten und welcher Winkel sind gegeben? - Überlege, welcher mathematische Satz eine Beziehung zwischen zwei Seiten, ihrem Zwischenwinkel und der gegenüberliegenden Seite herstellt. - Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß (DEG) eingestellt ist.

1. Anwendung des Kosinussatzes für die Seite \(c\): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\) 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(c^2 = 8{,}5^2 + 12^2 - 2 \cdot 8{,}5 \cdot 12 \cdot \cos(42^\circ)\) 3. Berechnung der Quadrate und des Produkts: \(c^2 = 72{,}25 + 144 - 204\cos(42^\circ)\) 4. Numerische Berechnung mit \(\cos(42^\circ) \approx 0{,}7431\): \(c^2 \approx 216{,}25 - 151{,}60 \approx 64{,}65\) 5. Ziehen der Wurzel: \(c = \sqrt{64{,}65} \approx 8{,}04\)

Die Länge der Seite \(c\) beträgt ca. \(8{,}04\,\text{cm}\).

- Welcher Satz hilft dir, wenn alle drei Seiten eines Dreiecks bekannt sind und ein Winkel gesucht wird? - Die Seite, die dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, steht in der Formel alleine auf einer Seite der Gleichung (vor dem Gleichheitszeichen).

1. Verwende den Kosinussatz in der Form: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\). 2. Einsetzen der Werte: \(7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(\gamma)\). 3. Ausrechnen: \(49 = 25 + 64 - 80 \cdot \cos(\gamma)\). 4. Zusammenfassen: \(49 = 89 - 80 \cdot \cos(\gamma)\). 5. Umstellen: \(-40 = -80 \cdot \cos(\gamma)\). 6. Ergebnis: \(\cos(\gamma) = \frac{40}{80} = 0{,}5\).

Der Kosinus des Winkels \(\gamma\) beträgt \(0{,}5\).

- Achte besonders auf das Vorzeichen des Kosinuswertes bei stumpfen Winkeln (über \(90^\circ\)). - Der Kosinus von \(120^\circ\) ist negativ.

1. Gegeben sind zwei Seiten \(a=3\), \(b=5\) und der Winkel \(\gamma=120^\circ\). 2. Der Kosinussatz lautet: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(120^\circ)\). 3. Da \(\cos(120^\circ) = -0{,}5\), ergibt sich: \(c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-0{,}5)\). 4. Ausrechnen: \(c^2 = 9 + 25 + 15 = 49\). 5. Ergebnis: \(c = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\).

Die dritte Seite ist \(7\,\text{cm}\) lang.

- Welche Beziehung für ein beliebiges Dreieck kann ausschließlich mit drei bekannten Seiten einen Winkel erschließen? - Ordne zuerst den gesuchten Winkel seiner gegenüberliegenden Seite zu. - Was sagt das Vorzeichen eines Kosinuswerts über die Lage des Winkels zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) aus?

1. Für den Winkel \(\gamma\) gilt nach dem Kosinussatz \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). 2. Nach dem Kosinus umgestellt ergibt sich \(\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). 3. Einsetzen liefert \(\cos(\gamma)=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5}=-\frac{1}{2}\). 4. Daher ist \(\gamma=\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=120^\circ\).

\(x=120^\circ\)

- Welche Art von Angaben liegt vor: Seiten, Winkel oder vollständige Seite-Winkel-Paare? - Welcher der beiden allgemeinen Dreieckssätze kann mit drei bekannten Seiten direkt starten? - Forme erst die allgemeine Gleichung nach dem gesuchten Kosinus um.

1. Gegeben sind drei Seitenlängen und kein Winkel. Damit ist der Kosinussatz direkt geeignet. 2. Für den Sinussatz fehlt zu Beginn ein bekanntes Seite-Winkel-Paar. 3. Aus \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\) folgt \(\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). 4. Eingesetzt lautet der Ansatz \(\cos(\gamma)=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}\).

Kosinussatz; \(\cos(\gamma)=\frac{5^2+7^2-8^2}{2\cdot5\cdot7}\)

- Wie hängen der Kosinuswert eines Winkels und die Art des Winkels (spitz, stumpf, recht) zusammen? - Erinnere dich an den Einheitskreis oder den Verlauf der Kosinusfunktion zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\). - Was passiert im Kosinussatz, wenn die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten kleiner ist als das Quadrat der längsten Seite?

1. Aufstellen des Kosinussatzes nach \(\cos(\gamma)\) aufgelöst: \(\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) 2. Einsetzen der Werte: \(\cos(\gamma) = \frac{6^2 + 9^2 - 13^2}{2 \cdot 6 \cdot 9} = \frac{36 + 81 - 169}{108}\) 3. Berechnung des Zählers: \(117 - 169 = -52\) 4. Berechnung des Kosinuswerts: \(\cos(\gamma) = \frac{-52}{108} = -\frac{13}{27} \approx -0{,}4815\) 5. Da der Kosinuswert negativ ist, muss der Winkel \(\gamma\) stumpf sein (\(90^\circ < \gamma < 180^\circ\)).

Der Wert ist \(\cos(\gamma)=-\frac{13}{27}\approx-0{,}4815\). Da \(\cos(\gamma)<0\) ist, ist \(\gamma\) stumpf.

- Was bedeutet „gleichschenklig“ für die beiden Schenkel in der Formel? - Welche Terme lassen sich zusammenfassen, wenn \(b=c=s\) gilt? - Beachte beim Einsetzen, dass der Kosinus eines stumpfen Winkels negativ ist.

1. Mit \(b=c=s\) lautet der Kosinussatz für die Basis \(a\): \(a^2=s^2+s^2-2s^2\cos(\alpha)\). 2. Zusammenfassen ergibt \(a^2=2s^2(1-\cos(\alpha))\) und damit \(a=s\sqrt{2(1-\cos(\alpha))}\). 3. Für \(s=10\,\text{cm}\) und \(\alpha=110^\circ\) folgt \(a=10\,\text{cm}\sqrt{2(1-\cos(110^\circ))}\approx16{,}3830\,\text{cm}\). 4. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(a\approx16{,}38\,\text{cm}\).

a) \(a\approx16{,}38\,\text{cm}\) b) \(a^2=2s^2(1-\cos(\alpha))\), also \(a=s\sqrt{2(1-\cos(\alpha))}\)

- Welcher Seite liegt der größte Winkel gegenüber? - Welcher Satz erlaubt es, einen Winkel aus drei bekannten Seiten zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen des berechneten Kosinuswerts über die Winkelart aus?

1. Der größte Winkel \(\gamma\) liegt der längsten Seite \(c=20\,\text{cm}\) gegenüber. 2. Nach dem Kosinussatz gilt \(\cos(\gamma)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). 3. Einsetzen ergibt \(\cos(\gamma)=\frac{12^2+15^2-20^2}{2\cdot12\cdot15}=-\frac{31}{360}\). 4. Daher ist \(\gamma=\arccos\left(-\frac{31}{360}\right)\approx94{,}94^\circ\). 5. Weil der größte Innenwinkel größer als \(90^\circ\) ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Der größte Innenwinkel beträgt \(\gamma\approx94{,}94^\circ\). Das Dreieck ist stumpfwinklig.

- Berechne zuerst die Längen der drei Seiten des Dreiecks mithilfe der Koordinaten. - Welcher mathematische Satz verknüpft drei Seitenlängen mit einem Winkel? - Achte darauf, die Gleichung korrekt nach dem Kosinuswert umzustellen.

1. Bestimmung der Seitenlängen: \(c=AB=5\). 2. \(b=AC=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5\). 3. \(a=BC=\sqrt{(3-5)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\). 4. Mit dem Kosinussatz \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\) gilt: \(20=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cos(\alpha)\). 5. Also \(20=50-50\cos(\alpha)\), somit \(30=50\cos(\alpha)\). 6. Daher ist \(\cos(\alpha)=\frac{30}{50}=0{,}6\).

Der Kosinus des Winkels \(\alpha\) beträgt \(0{,}6\).

- Skizziere das Parallelogramm und zeichne die Diagonale ein. Welches Dreieck entsteht? - Der Kosinus von \(60^\circ\) ist genau \(0{,}5\). - Nutze den Kosinussatz für das Dreieck aus den beiden Seiten und der gesuchten Diagonale.

1. In einem Parallelogramm bildet die kürzere Diagonale mit zwei Seiten ein Dreieck, in dem der Winkel \(60^\circ\) eingeschlossen ist. 2. Anwendung des Kosinussatzes: \(f^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^\circ)\). 3. Einsetzen: \(f^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 0{,}5\). 4. Ausrechnen: \(f^2 = 64 + 25 - 40 = 49\). 5. Wurzel ziehen: \(f = \sqrt{49} = 7\,\text{cm}\).

Die kürzere Diagonale des Parallelogramms ist \(7\,\text{cm}\) lang.

- Nutze den Kosinussatz für die Seite gegenüber dem gegebenen Winkel. - Denke daran, dass \((\sqrt{2})^2 = 2\) ist. - Der Wert von \(\cos(45^\circ)\) lässt sich exakt angeben.

1. Anwendung des Kosinussatzes: \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)\). 2. Einsetzen: \(x^2 = (4\sqrt{2})^2 + 7^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)\). 3. Berechnung: \(x^2 = 32 + 49 - 56\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 81 - 56 = 25\). 4. Lösung: \(x = 5\).

\(x = 5\)

- Finde zuerst die Länge der Seite \(b\). - Was fällt dir an den Seitenlängen auf? Hat das Dreieck eine besondere Form?

1. Kosinussatz für \(b\): \(b^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)\). 2. \(b^2 = 9 + 27 - 18\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 - 27 = 9\). Also \(b = 3\). 3. Da \(a = b = 3\) ist, ist das Dreieck gleichschenklig mit den Basiswinkeln \(\alpha\) und \(\beta\). 4. Somit ist \(x = \beta = 30^\circ\).

\(x = 30^\circ\)

- Ordne in beiden Fällen zuerst die gegebenen Seiten und Winkel, bevor du eine Formel auswählst. - Prüfe, ob ein vollständiges Seite-Winkel-Paar bekannt ist oder ob zwei Seiten mit ihrem eingeschlossenen Winkel gegeben sind. - Die gesuchte Seite \(b\) liegt dem Winkel \(\beta\) gegenüber.

1. In a) ist mit \((a,\alpha)\) bereits ein vollständiges Seite-Winkel-Paar bekannt; zusätzlich ist der Gegenwinkel \(\beta\) zur gesuchten Seite \(b\) gegeben. Daher ist der Sinussatz direkt geeignet. 2. Der Ansatz lautet \(\frac{6}{\sin(35^\circ)}=\frac{b}{\sin(70^\circ)}\). 3. In b) sind zwei Seiten \(a\) und \(c\) sowie ihr eingeschlossener Winkel \(\beta\) gegeben. Daher ist der Kosinussatz direkt geeignet. 4. Der Ansatz lautet \(b^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cos(70^\circ)\).

a) Sinussatz; \(\frac{6}{\sin(35^\circ)}=\frac{b}{\sin(70^\circ)}\) b) Kosinussatz; \(b^2=6^2+9^2-2\cdot6\cdot9\cos(70^\circ)\)

- Welche drei Größen des Dreiecks sind gegeben, und wo liegt die gesuchte Seite? - Prüfe, ob der bekannte Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten liegt. - Kontrolliere nach der Rechnung, ob die Entfernung zur Größenordnung der beiden Wege passt.

1. Gesucht ist die Seite gegenüber dem eingeschlossenen Winkel \(58^\circ\); die beiden anliegenden Seiten sind bekannt. 2. Mit dem Kosinussatz gilt \(AB^2=(650\,\text{m})^2+(420\,\text{m})^2-2\cdot650\,\text{m}\cdot420\,\text{m}\cos(58^\circ)\). 3. Daraus folgt \(AB\approx556{,}3848\,\text{m}\). 4. Auf ganze Meter gerundet beträgt die direkte Entfernung \(556\,\text{m}\).

\(AB\approx556\,\text{m}\)

- Überlege, ob sich die Form des Kosinussatzes mit der Winkelart ändert oder ob die Winkelart bereits im Kosinuswert steckt. - Welches Vorzeichen hat der Kosinus eines stumpfen Winkels? - Vergleiche \(c^2\) mit \(a^2+b^2\), bevor du eine Wurzel ziehst.

1. Im Kosinussatz steht unabhängig von der Winkelart immer \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)\). Das Vorzeichen von \(\cos(\gamma)\) berücksichtigt bereits, ob \(\gamma\) spitz oder stumpf ist. 2. Richtig ist \(c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cos(120^\circ)\). 3. Mit \(\cos(120^\circ)=-\frac12\) folgt \(c^2=49+81-126\left(-\frac12\right)=193\). 4. Daher ist \(c=\sqrt{193}\,\text{cm}\). 5. Weil \(\cos(120^\circ)<0\), ist der Term \(-2ab\cos(120^\circ)\) positiv. Somit gilt \(c^2>a^2+b^2\) und deshalb \(c>\sqrt{a^2+b^2}\).

a) Das Minuszeichen im Kosinussatz wird bei einem stumpfen Winkel nicht geändert; der negative Kosinuswert bewirkt den größeren Wert von \(c^2\). b) \(c^2=7^2+9^2-2\cdot7\cdot9\cos(120^\circ)=193\), also \(c=\sqrt{193}\,\text{cm}\). c) Da \(\cos(120^\circ)<0\), ist \(-2ab\cos(120^\circ)>0\). Deshalb ist \(c^2>a^2+b^2\) und damit \(c>\sqrt{a^2+b^2}\).

- Nutze die Diagonale \(BD\), um das Viereck in zwei Dreiecke mit jeweils drei bekannten Seiten zu zerlegen. - Welcher Satz eignet sich, um aus drei Seiten einen Winkel zu bestimmen? - Die Innenwinkel bei \(B\) und \(D\) setzen sich jeweils aus zwei Teilwinkeln zusammen. - Runde die Teilwinkel erst nach dem Zusammensetzen der Innenwinkel.

1. Im Dreieck \(ABD\) gilt \(\cos(\alpha)=\frac{15^2+13^2-14^2}{2\cdot15\cdot13}=\frac{198}{390}\). Daraus folgt \(\alpha\approx59{,}4898^\circ\). 2. Im Dreieck \(BCD\) gilt \(\cos(\gamma)=\frac{12^2+10^2-14^2}{2\cdot12\cdot10}=0{,}2\). Daraus folgt \(\gamma\approx78{,}4630^\circ\). 3. Für den Teilwinkel am Punkt \(B\) im Dreieck \(ABD\) gilt \(\angle ABD\approx53{,}1301^\circ\); im Dreieck \(BCD\) gilt \(\angle DBC\approx44{,}4153^\circ\). Deshalb ist \(\beta\approx97{,}5454^\circ\). 4. Die verbleibenden Teilwinkel sind \(\angle ADB\approx67{,}3801^\circ\) und \(\angle BDC\approx57{,}1217^\circ\). Deshalb ist \(\delta\approx124{,}5018^\circ\). 5. Gerundet ergeben sich \(\alpha\approx59{,}5^\circ\), \(\beta\approx97{,}5^\circ\), \(\gamma\approx78{,}5^\circ\) und \(\delta\approx124{,}5^\circ\).

\(\alpha\approx59{,}5^\circ\), \(\beta\approx97{,}5^\circ\), \(\gamma\approx78{,}5^\circ\), \(\delta\approx124{,}5^\circ\)

- Welche Beziehung für ein beliebiges Dreieck lässt sich mit den gegebenen zwei Seiten, dem Winkel und der gesuchten Seite aufstellen? - Löse die entstehende Gleichung vollständig, bevor du eine Lösung auswählst. - Welche der möglichen positiven Seitenlängen erfüllt die Zusatzbedingung \(x>4\)?

1. Für den Winkel \(\alpha\) gilt nach dem Kosinussatz \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha)\). 2. Einsetzen ergibt \(7^2=x^2+8^2-2\cdot x\cdot8\cos(60^\circ)\). 3. Daraus folgt \(49=x^2+64-8x\), also \(x^2-8x+15=0\). 4. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(x=5\) und \(x=3\). 5. Wegen der Zusatzbedingung \(x>4\) bleibt \(x=5\).

\(x=5\)

- Ordne zuerst alle gegebenen Größen ihren gegenüberliegenden Seiten beziehungsweise Winkeln zu. Welche Beziehungen für allgemeine Dreiecke kommen grundsätzlich infrage? - Falls \(\alpha\) mit den Anfangsdaten nicht direkt zugänglich ist: Welche zusätzliche Größe könntest du aus den vorhandenen Angaben eindeutig bestimmen? - Prüfe bei einem inversen trigonometrischen Schritt alle geometrisch zulässigen Winkel. Welche Seiten-Winkel-Ordnung kann die Wahl einschränken?

1. Zunächst wird die dritte Seite bestimmt. Mit dem Kosinussatz gilt \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos(60^\circ)\). 2. Einsetzen ergibt \(c^2=2^2+(1+\sqrt3)^2-2\cdot2(1+\sqrt3)\cdot\frac12=6\), also \(c=\sqrt6\). 3. Nun gilt nach dem Sinussatz \(\frac{\sin(\alpha)}{a}=\frac{\sin(\gamma)}{c}\). Damit ist \(\sin(\alpha)=\frac{2\sin(60^\circ)}{\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt2}\). 4. Im Bereich von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\) kommen zunächst \(45^\circ\) und \(135^\circ\) infrage. 5. Weil \(a=2<c=\sqrt6\), muss auch \(\alpha<\gamma=60^\circ\) gelten. Daher ist \(\alpha=45^\circ\).

\(x=45^\circ\)