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- Überlege, was es für die Nullstellen bedeutet, wenn der Scheitel genau auf der Achse liegt. - Berechne für jede Funktion denselben Kennwert und vergleiche das Ergebnis. - Achte bei Dezimalzahlen darauf, sauber zu quadrieren. - Ordne jede Teilaufgabe danach ein, ob es genau eine Berührung mit der Achse gibt.

Der Scheitelpunkt einer Normalparabel \(y = x^2 + bx + c\) liegt auf der \(x\)-Achse, wenn \(\Delta = b^2 - 4c = 0\) gilt. 1. Für \(f(x)\): \(b = 7\), \(c = 12{,}25\). Rechnung: \(\Delta = 7^2 - 4 \cdot 12{,}25 = 49 - 49 = 0\). Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. 2. Für \(g(x)\): \(b = -2{,}4\), \(c = 1{,}44\). Rechnung: \(\Delta = (-2{,}4)^2 - 4 \cdot 1{,}44 = 5{,}76 - 5{,}76 = 0\). Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. 3. Für \(h(x)\): \(b = 1\), \(c = 1\). Rechnung: \(\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 = -3\). Nein, der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse.

a) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. b) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. c) Der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse.

- Untersuche die drei Funktionen getrennt und vergleiche ihre Achsenlage. - Manche Terme sehen fast wie eine vollständige Quadratklammer aus; prüfe das sorgfältig. - Überlege, wann eine Parabel die Achse nur berührt statt sie zu schneiden. - Bei der Dezimalzahl lohnt sich besonders genaues Rechnen.

Eine Normalparabel hat die Form \(f(x) = x^2 + bx + c\). Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss die Gleichung \(f(x)=0\) genau eine Lösung haben. Das ist genau dann der Fall, wenn \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\) gilt. 1. Für \(f(x)\): \(\Delta = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 0\). Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. 2. Für \(g(x)\): \(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4\). Der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse. 3. Für \(h(x)\): \(\Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6{,}25 = 0\). Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse.

a) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse. b) Der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse. c) Der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse.

- Was passiert, wenn du versuchst, die Variable allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen? - Überlege dir, welche Werte ein Quadrat einer Zahl annehmen kann. Kann ein Quadrat negativ sein? - Wann ist das Produkt aus zwei (gleichen) Klammern genau null? - Wie viele Zahlen ergeben quadriert denselben positiven Wert?

1. Umstellen von Gleichung a) zu \(x^2 = -25\); da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind, besitzt diese Gleichung keine Lösung. 2. In Gleichung b) wird die Basis des Quadrats betrachtet; \((x - \sqrt{2}) = 0\) führt zur einzigen Lösung \(x = \sqrt{2}\). 3. Umstellen von Gleichung c) zu \(3x^2 = 12\) und Division durch \(3\) ergibt \(x^2 = 4\); das Ziehen der Quadratwurzel liefert die beiden Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) Keine reelle Lösung. b) Eine Lösung: \(x = \sqrt{2}\). c) Zwei Lösungen: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\).

- Welche drei Vorzeichenfälle der Diskriminante musst du unterscheiden? - Setze die Koeffizienten jeder Funktion sorgfältig in denselben Ausdruck ein. - Achte besonders auf negative Vorzeichen bei \(a\), \(b\) oder \(c\).

1. Für jede Funktion wird \(\Delta=b^2-4ac\) berechnet. 2. Für \(f\): \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\). Es gibt genau eine Nullstelle. 3. Für \(g\): \(\Delta=2^2-4\cdot0{,}5\cdot5=-6\). Es gibt keine reelle Nullstelle. 4. Für \(h\): \(\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-1)=12\). Es gibt zwei reelle Nullstellen.

a) Eine Nullstelle, da \(\Delta = 0\). b) Keine reelle Nullstelle, da \(\Delta = -6 < 0\). c) Zwei reelle Nullstellen, da \(\Delta = 12 > 0\).

- Vereinfache die erste Gleichung zunächst so, dass vor \(x^2\) der Koeffizient \(1\) steht. - Entscheide vor dem eigentlichen Lösen anhand der Diskriminante, wie viele reelle Lösungen möglich sind. - Löse nur den Fall weiter, in dem reelle Nullstellen existieren.

1. Für a) führt \(0{,}5x^2-2x-6=0\) nach Multiplikation mit \(2\) zu \(x^2-4x-12=0\). Die Diskriminante ist \(\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-12)=64>0\), also gibt es zwei Nullstellen. Mit der \(pq\)-Formel erhält man \(x_{1,2}=2\pm4\), also \(x_1=6\) und \(x_2=-2\). 2. Für b) ist \(\Delta=4^2-4\cdot1\cdot7=-12<0\). Daher gibt es keine reellen Nullstellen.

a) Zwei Nullstellen: \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). b) Keine reellen Nullstellen.

- Wo liegt der Scheitelpunkt im Koordinatensystem (über, unter oder auf der \(x\)-Achse)? - In welche Richtung ist die Parabel geöffnet? - Skizziere dir die Lage der Parabel grob im Kopf oder auf Papier.

1. Für \(h(x) = -3(x-2)^2 + 12\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2|12)\), also oberhalb der \(x\)-Achse. Da der Streckfaktor \(-3\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie muss die \(x\)-Achse also zweimal schneiden. Ergebnis: zwei Nullstellen. 2. Für die Parabel mit \(S(5|2)\) und Öffnung nach oben: Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da sie nach oben geöffnet ist, entfernt sie sich von der \(x\)-Achse. Ergebnis: keine Nullstellen. 3. Für \(k(x) = (x+3)^2\): Dies ist die Scheitelpunktform \((x - (-3))^2 + 0\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-3|0)\) direkt auf der \(x\)-Achse. Ergebnis: genau eine Nullstelle (Berührpunkt).

a) Zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist. b) Keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt über der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. c) Eine Nullstelle, da der Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegt.

- Welche drei Vorzeichenfälle der Diskriminante musst du unterscheiden? - Für c) sind die beiden Bestandteile bereits gegeben; entscheide nur über ihre Differenz. - Du musst die eigentlichen \(x\)-Werte nicht berechnen.

1. Die Anzahl der Lösungen wird durch das Vorzeichen von \(\Delta=b^2-4ac\) bestimmt. 2. Für a) ist \(\Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=0\). Es gibt genau eine reelle Lösung. 3. Für b) ist \(\Delta=4^2-4\cdot(-2)\cdot(-5)=-24\). Es gibt keine reelle Lösung. 4. Für c) ist \(\Delta=49-50=-1\). Es gibt keine reelle Lösung. 5. Für d) ist \(\Delta=12{,}5>0\). Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen.

a) Eine reelle Lösung. b) Keine reelle Lösung. c) Keine reelle Lösung. d) Zwei reelle Lösungen.

- Versuche zuerst, den Term mit dem Quadrat allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen wie \(a^2\)? - Kann eine Quadratzahl jemals kleiner als Null sein?

1. Subtraktion von \(5\) auf beiden Seiten der Gleichung: \(3(x - 2)^2 = -3\). 2. Division durch \(3\): \((x - 2)^2 = -1\). 3. Analyse des Ergebnisses: Das Quadrat einer reellen Zahl, hier \((x - 2)^2\), ist stets größer oder gleich \(0\). 4. Schlussfolgerung: Da die rechte Seite \(-1\) negativ ist, gibt es kein reelles \(x\), das diese Gleichung erfüllt.

Die Gleichung hat keine reelle Lösung, da die Umformung zu \((x - 2)^2 = -1\) führt und ein Quadrat im Reellen niemals negativ sein kann.

- Was passiert, wenn du die Gleichung so umstellst, dass \(x^2\) alleine auf einer Seite steht? - Überlege dir, welche Werte ein Quadrat \(x^2\) in den reellen Zahlen annehmen kann. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung wie \(x^2 = 9\), \(x^2 = 0\) oder \(x^2 = -4\)? - Welchen Einfluss hat die rechte Seite deiner umgeformten Gleichung auf die Anzahl der Lösungen?

1. Isolierung von \(x^2\): Die Gleichung \(5x^2 + d = 20\) wird zu \(5x^2 = 20 - d\) und schließlich zu \(x^2 = \frac{20 - d}{5}\) umgeformt. 2. Bedingung für zwei Lösungen: Der Ausdruck \(\frac{20 - d}{5}\) muss positiv sein. Da der Nenner positiv ist, muss \(20 - d > 0\) gelten, also \(d < 20\). 3. Bedingung für eine Lösung: Der Ausdruck \(\frac{20 - d}{5}\) muss Null sein. Dies ist der Fall, wenn \(20 - d = 0\), also \(d = 20\). In diesem Fall ist \(x = 0\). 4. Bedingung für keine Lösung: Der Ausdruck \(\frac{20 - d}{5}\) muss negativ sein. Dies tritt ein, wenn \(20 - d < 0\), also \(d > 20\). Da Quadrate reeller Zahlen nicht negativ sein können, gibt es dann keine Lösung.

a) Genau zwei Lösungen für \(d < 20\). b) Genau eine Lösung für \(d = 20\). c) Keine Lösung für \(d > 20\).

- Lies zunächst \(a\), \(b\) und \(c\) aus der Gleichung ab. - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen der Diskriminante für die Zahl reeller Lösungen? - Du musst die Gleichung nicht vollständig lösen.

1. Die Koeffizienten sind \(a=0{,}5\), \(b=3\) und \(c=5\). 2. Die Diskriminante ist \(\Delta=3^2-4\cdot0{,}5\cdot5=-1\). 3. Da \(\Delta<0\) gilt, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.

\(\Delta=-1<0\); die Gleichung hat keine reellen Lösungen.

- Wie viele Schnitt- oder Berührpunkte hat jeder Graph mit der \(x\)-Achse? - Was bedeutet diese Anzahl für die Zahl reeller Lösungen der zugehörigen Gleichung? - Ordne anschließend das passende Vorzeichen der Diskriminante zu.

1. Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse an zwei Stellen. Daher besitzt \(f(x)=0\) zwei verschiedene reelle Lösungen und \(\Delta>0\). 2. Der Graph von \(g\) ist nach unten geöffnet und liegt vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher besitzt \(g(x)=0\) keine reelle Lösung und \(\Delta<0\).

Für \(f\) gilt \(\Delta>0\), da der Graph zwei Nullstellen hat. Für \(g\) gilt \(\Delta<0\), da der Graph keine Nullstelle hat.

- Prüfe jede der drei Funktionen einzeln und nach demselben Kriterium. - Bei den Brüchen kann es helfen, mit gemeinsamen Nennern oder Quadraten im Kopf zu arbeiten. - Überlege, wann eine Parabel die Achse nur berührt statt sie zu schneiden. - Notiere nicht nur das Ergebnis, sondern auch kurz, warum die anderen Fälle ausscheiden.

Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann in einem Punkt, wenn die Diskriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\) der Funktionsgleichung null ist. 1. Bei \(f(x)\) ist \(b = \frac{2}{3}\) und \(c = \frac{1}{9}\). Rechnung: \(\Delta = (\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot \frac{1}{9} = 0\). Die Bedingung ist erfüllt. 2. Bei \(g(x)\) ist \(b = -\frac{4}{5}\) und \(c = \frac{4}{25}\). Rechnung: \(\Delta = (-\frac{4}{5})^2 - 4 \cdot \frac{4}{25} = 0\). Die Bedingung ist erfüllt. 3. Bei \(h(x)\) ist \(b = \frac{1}{2}\) und \(c = \frac{1}{2}\). Rechnung: \(\Delta = (\frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} = -1{,}75\). Die Bedingung ist nicht erfüllt.

a) Die Parabel berührt die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. b) Die Parabel berührt die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. c) Die Parabel hat keinen Berührpunkt mit der \(x\)-Achse.

- Welche Bedingung kennzeichnet genau eine reelle Lösung? - Identifiziere die Koeffizienten in \(ax^2+bx+c=0\), wobei einer davon den Parameter enthält. - Formuliere aus der Bedingung eine Gleichung nur für \(k\).

1. Eine quadratische Gleichung besitzt genau dann eine reelle Lösung, wenn ihre Diskriminante \(\Delta\) gleich null ist. 2. Für \(kx^2 + 12x + 18 = 0\) gilt \(\Delta = 12^2 - 4 \cdot k \cdot 18 = 144 - 72k\). 3. Aus \(144 - 72k = 0\) folgt \(72k = 144\) und damit \(k = 2\).

Der Wert ist \(k = 2\).

- Was bedeutet „genau einmal berühren“ für die Anzahl der Nullstellen? - Wie hängt diese Anzahl mit der Diskriminante zusammen? - Nach dem Aufstellen der Bedingung entsteht eine Gleichung in \(a\); suche nach einer einfachen Struktur zum Lösen.

1. Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse entspricht genau einer reellen Nullstelle. 2. Dafür muss \(\Delta = 0\) gelten. 3. Für \(x^2 + ax + a = 0\) ist \(\Delta = a^2 - 4a\). 4. Aus \(a^2 - 4a = 0\) folgt \(a(a-4)=0\). 5. Daher gilt \(a=0\) oder \(a=4\).

Der Graph berührt die \(x\)-Achse für \(a = 0\) und \(a = 4\) genau einmal.

- Welche Größe entscheidet bei einer quadratischen Gleichung über die Anzahl der reellen Lösungen? - Formuliere für die drei Fälle jeweils eine Bedingung an diese Größe. - Löse anschließend die entstehenden Bedingungen nach \(q\) auf.

1. Für \(x^2 + 6x + q = 0\) ist die Diskriminante \(\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot q = 36 - 4q\). 2. Genau zwei reelle Lösungen gibt es für \(\Delta > 0\). Daraus folgt \(36-4q>0\), also \(q<9\). 3. Genau eine reelle Lösung gibt es für \(\Delta = 0\). Daraus folgt \(q=9\). 4. Keine reelle Lösung gibt es für \(\Delta < 0\). Daraus folgt \(q>9\).

a) \(q < 9\) b) \(q = 9\) c) \(q > 9\)

- Überprüfe die Aussage mit verschiedenen Arten von Zahlen für \(a\), zum Beispiel positiven, negativen oder der Null. - Was bedeutet es grafisch für eine Parabel, wenn die zugehörige Gleichung keine Lösung hat? - Wie muss eine Parabel verschoben sein, damit sie die \(x\)-Achse nie berührt oder schneidet?

1. Die Aussage ist falsch, da die Anzahl der Lösungen vom Wert von \(a\) abhängt. 2. Fall \(a < 0\): Keine Lösung, da Quadrate nicht negativ sind (Beispiel: \(x^2 = -4\)). 3. Fall \(a = 0\): Genau eine Lösung (\(x = 0\)). 4. Fall \(a > 0\): Genau zwei Lösungen (Beispiel: \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)). 5. Damit \(f(x) = x^2 + c\) keine Nullstellen hat, darf die Gleichung \(x^2 + c = 0 \Leftrightarrow x^2 = -c\) keine Lösung haben. Dies ist der Fall, wenn \(-c\) negativ ist, also muss \(c > 0\) gelten. Grafisch bedeutet dies, dass der Scheitelpunkt der nach oben geöffneten Parabel über der \(x\)-Achse liegt.

Die Aussage ist falsch. Für \(a < 0\) gibt es keine Lösung, für \(a = 0\) genau eine (\(x = 0\)) und nur für \(a > 0\) gibt es zwei Lösungen. Die Funktion \(f(x) = x^2 + c\) hat keine Nullstellen, wenn \(c > 0\) ist.

- In welcher Form ist der Funktionsterm gegeben? Wo liegt der Scheitelpunkt in Abhängigkeit von \(k\)? - Was muss für den Scheitelpunkt gelten, damit die Parabel die \(x\)-Achse nur an einem Punkt berührt? - Setze die gegebenen Lösungen für \(x\) in den Funktionsterm ein, um \(k\) zu berechnen. - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und wo sie liegen muss, damit sie keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse hat.

1. Für genau eine Lösung muss der Scheitelpunkt der Parabel auf der \(x\)-Achse liegen; da der Scheitelpunkt bei \(S(3|k)\) liegt, muss \(k = 0\) gelten. 2. Für die Lösungen \(1\) und \(5\) setzt man einen der Werte in die Gleichung ein: \(f_k(1) = (1-3)^2 + k = 0 \Rightarrow (-2)^2 + k = 0 \Rightarrow 4 + k = 0 \Rightarrow k = -4\). Einsetzen von \(x=5\) führt zum gleichen Ergebnis (\(2^2 + k = 0\)). 3. Keine Lösung existiert, wenn die Parabel die \(x\)-Achse nicht erreicht. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, muss der Scheitelpunkt oberhalb der \(x\)-Achse liegen, also \(k > 0\) (z. B. \(k = 1\)). Begründung: Der Term \((x-3)^2\) ist stets größer oder gleich null; addiert man ein positives \(k\), ist der Funktionswert immer größer als null.

a) \(k = 0\) b) \(k = -4\) c) \(k > 0\) (z. B. \(k = 1\)). Begründung: Da \((x-3)^2 \geq 0\) für alle \(x\), ist die Summe mit einem positiven \(k\) stets positiv (\(f_k(x) > 0\)), wodurch keine Nullstellen existieren.

- Welche Bedingung an die Diskriminante kennzeichnet genau eine reelle Lösung? - Der Parameter \(c\) steckt im konstanten Glied; drücke die Diskriminante deshalb in Abhängigkeit von \(c\) aus. - Prüfe den zweiten Wert von \(c\) mit demselben Kriterium.

1. Für genau eine reelle Lösung muss \(\Delta=0\) gelten. Hier ist \(\Delta=(-8)^2-4c=64-4c\). 2. Aus \(64-4c=0\) folgt \(c=16\). Dann gilt \(x^2-8x+16=(x-4)^2\), also ist die einzige Lösung \(x=4\). 3. Für \(c=20\) ist \(\Delta=64-80=-16<0\). Daher gibt es keine reelle Lösung.

a) Für \(c = 16\) gibt es genau eine Lösung: \(x = 4\). b) Für \(c = 20\) hat die Gleichung keine reelle Lösung, da \(\Delta = -16 < 0\).

- Übersetze jede gefragte Höhe zuerst in eine Gleichung mit \(h(t)\). - Bringe die jeweilige Gleichung in die Form \(at^2+bt+c=0\). - Welche Aussage liefert das Vorzeichen der Diskriminante über die Anzahl der Zeitpunkte?

1. Für a) gilt \(-5t^2 + 10t + 1{,}2 = 7\), also \(-5t^2 + 10t - 5{,}8 = 0\). 2. Die Diskriminante ist \(\Delta = 10^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5{,}8) = -16\). Daher erreicht der Ball \(7\,\text{m}\) nicht. 3. Für b) gilt \(-5t^2 + 10t + 1{,}2 = 6{,}2\), also \(-5t^2 + 10t - 5 = 0\). 4. Hier ist \(\Delta = 10^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-5) = 0\). Daher gibt es genau einen Zeitpunkt.

a) Nein, der Ball erreicht \(7\,\text{m}\) nicht, denn \(\Delta=-16<0\). b) Es gibt genau einen Zeitpunkt, denn \(\Delta=0\).

- Isoliere zuerst das \(x^2\) auf einer Seite der Gleichung. - Was musst du beachten, wenn du die Wurzel aus einer Zahl ziehst, um eine Gleichung zu lösen? - Überlege dir, welche Werte das Ergebnis einer Quadratzahl \(x^2\) annehmen kann. Kann es jemals negativ sein?

1. Einsetzen von \(c = 50\): \(2x^2 - 50 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 50 \Rightarrow x^2 = 25\). Die Lösungen sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). 2. Einsetzen von \(c = 10\): \(2x^2 - 10 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 10 \Rightarrow x^2 = 5\). Die exakten Lösungen sind \(x = \pm \sqrt{5}\). 3. Umformung zu \(x^2 = \frac{c}{2}\). Fall \(c > 0\): Da \(\frac{c}{2} > 0\), gibt es zwei Lösungen (\(x = \pm \sqrt{\frac{c}{2}}\)). Fall \(c = 0\): \(x^2 = 0\) hat genau eine Lösung (\(x = 0\)). Fall \(c < 0\): Da \(\frac{c}{2} < 0\), gibt es keine reelle Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel ziehen kann.

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) \(x = \pm \sqrt{5}\) c) Für \(c > 0\) gibt es zwei Lösungen; für \(c = 0\) gibt es genau eine Lösung (\(x=0\)); für \(c < 0\) gibt es keine reelle Lösung.

- Stelle die Diskriminante zunächst in Abhängigkeit von \(c\) auf. - Welche Vorzeichenbedingung gehört jeweils zu zwei, einer oder keiner reellen Lösung? - In c) genügt ein Beispielwert, der die richtige Bedingung erfüllt.

1. Für \(2x^2+8x+c=0\) gilt \(\Delta=8^2-4\cdot2\cdot c=64-8c\). 2. Für \(c=5\) ist \(\Delta=64-40=24>0\). Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen. 3. Genau eine reelle Lösung liegt für \(\Delta=0\) vor. Aus \(64-8c=0\) folgt \(c=8\). 4. Keine reelle Lösung liegt für \(\Delta<0\) vor, also für \(c>8\). Ein möglicher Wert ist \(c=10\).

a) \(\Delta = 24\); es gibt zwei reelle Lösungen. b) \(c = 8\) c) Zum Beispiel \(c = 10\); allgemein ist jeder Wert \(c>8\) möglich.

- Welches binomische Quadrat erkennst du in Gleichung (I)? - Vergleiche für c) jeweils den Wert von \(b^2-4ac\) mit null. - Wie hängt das Vorzeichen der Diskriminante mit der Anzahl reeller Lösungen zusammen?

1. Gleichung (I) lässt sich als \((x-3)^2=0\) schreiben. Daher ist \(x=3\). 2. Für Gleichung (II) ergibt beispielsweise die \(p\)-\(q\)-Formel \(x=3\pm\sqrt{1}\). Somit sind \(x=2\) und \(x=4\) die Lösungen. 3. Für (I) ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=0\). Deshalb gibt es eine doppelte reelle Lösung. 4. Für (II) ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=4>0\). Deshalb gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.

a) \(x=3\) b) \(L=\{2;4\}\) c) Bei (I) gilt \(\Delta=0\), bei (II) gilt \(\Delta=4>0\); daher hat (I) eine doppelte und (II) zwei verschiedene reelle Lösungen.

- Was passiert mit der Anzahl der Lösungen, wenn du die Gleichung nach \(x^2\) auflöst? - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(x^2 = c\) in Abhängigkeit vom Vorzeichen von \(c\)? - Überlege dir, welche Zahl herauskommen muss, damit beim Wurzelziehen nur ein einziger Wert entsteht. - Wann ist es im Bereich der reellen Zahlen unmöglich, eine Quadratwurzel zu ziehen?

1. Für \(k = 15\) lautet die Gleichung \(3x^2 - 12 = 15\). Addition von \(12\) ergibt \(3x^2 = 27\). Division durch \(3\) führt zu \(x^2 = 9\). Das Ziehen der Quadratwurzel ergibt \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Eine Gleichung der Form \(3x^2 = c\) hat genau dann eine Lösung, wenn \(c = 0\) ist. Hier ist \(3x^2 = k + 12\). Setzt man \(k + 12 = 0\), erhält man \(k = -12\). In diesem Fall ist \(x^2 = 0\), also \(x = 0\). 3. Die Gleichung hat keine reelle Lösung, wenn der Term auf der rechten Seite negativ ist, da ein Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann. Aus \(3x^2 = k + 12\) folgt die Bedingung \(k + 12 < 0\), also \(k < -12\).

a) \(L = \{-3; 3\}\) b) \(k = -12\); Begründung: Damit es nur eine Lösung gibt, muss die Gleichung auf die Form \(x^2 = 0\) führen. c) \(k < -12\)

- Was bedeutet es für eine Gleichung, wenn ein bestimmter Wert eine Lösung ist? - Kannst du die Gleichung nach \(x^2\) auflösen? - Überlege, was passiert, wenn du durch Null teilen müsstest oder wenn auf einer Seite \(0\) steht. - Wann hat eine Gleichung der Form \(x^2 = \text{Zahl}\) keine reelle Lösung?

1. Bestimmung von \(c\): Einsetzen von \(x = 3\) in die Gleichung ergibt \(c \cdot 3^2 - 18 = 0\), also \(9c = 18\). Daraus folgt \(c = 2\). 2. Zweite Lösung für \(c = 2\): Die Gleichung lautet \(2x^2 - 18 = 0\). Umgeformt ergibt dies \(x^2 = 9\). Die Lösungen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 3. Untersuchung für \(c = 0\): Setzt man \(c = 0\) ein, erhält man \(0 \cdot x^2 - 18 = 0\), was zu \(-18 = 0\) führt. Dies ist ein Widerspruch (falsche Aussage), daher gibt es kein \(x\), das die Gleichung erfüllt. 4. Bedingungen für keine reelle Lösung: Die allgemeine Form ist \(x^2 = \frac{18}{c}\) (für \(c \neq 0\)). Eine rein quadratische Gleichung \(x^2 = k\) hat keine reelle Lösung, wenn \(k < 0\) ist. Da der Zähler \(18\) positiv ist, muss der Nenner \(c\) negativ sein (\(c < 0\)), damit der Bruch negativ wird. Zusammen mit dem Fall \(c = 0\) aus Schritt 3 ergibt sich: Die Gleichung hat keine Lösung für alle \(c \le 0\).

a) \(c = 2\); die zweite Lösung ist \(x = -3\). b) Für \(c = 0\) entsteht die falsche Aussage \(-18 = 0\), was für kein \(x\) möglich ist. c) Die Gleichung hat keine reelle Lösung für alle \(c \le 0\).

- Setze die Koeffizienten der Gleichung in die allgemeine Diskriminante ein. - Welche Bedingung kennzeichnet genau eine Nullstelle? - Nutze für c) zusätzlich die Öffnungsrichtung der Parabel, um ihre Lage zur \(x\)-Achse zu beschreiben.

1. Für \(x^2-6x+k=0\) ist \(\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot k=36-4k\). 2. Genau eine Nullstelle liegt für \(\Delta=0\) vor. Aus \(36-4k=0\) folgt \(k=9\). 3. Für \(k=9\) gilt \(f_9(x)=(x-3)^2\), also ist der Scheitelpunkt \(S(3\mid0)\). 4. Für \(k=10\) ist \(\Delta=36-40=-4<0\). Die Parabel hat keine reellen Nullstellen. 5. Da sie nach oben geöffnet ist, liegt ihr gesamter Graph oberhalb der \(x\)-Achse.

a) \(\Delta = 36 - 4k\) b) \(k = 9\); \(S(3\mid0)\) c) Für \(k=10\) ist \(\Delta=-4\). Es gibt keine Nullstellen; der Graph liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse.

- Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung? - Wie kannst du den Term so umformen, dass du den tiefsten Punkt direkt ablesen kannst? - Welche Werte kann ein Quadrat einer Zahl annehmen? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Berechnung der Diskriminante: Für \(0 = 0{,}5x^2 - 3x + 5{,}5\) ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 5{,}5 = 9 - 11 = -2\). Da \(D < 0\), hat die Gleichung keine reellen Lösungen und der Graph keine Nullstellen. 2. Umformung in die Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 6x) + 5{,}5 = 0{,}5((x-3)^2 - 9) + 5{,}5 = 0{,}5(x-3)^2 - 4{,}5 + 5{,}5 = 0{,}5(x-3)^2 + 1\). 3. Begründung der Funktionswerte: Da der quadratische Term \((x-3)^2\) für alle \(x\) stets \(\ge 0\) ist, ist auch \(0{,}5(x-3)^2 \ge 0\). Somit gilt \(f(x) = 0{,}5(x-3)^2 + 1 \ge 1\). 4. Wertebereich: Da der Scheitelpunkt bei \(S(3|1)\) liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist, umfasst der Wertebereich alle Zahlen \(y \ge 1\), also \(W = [1; \infty)\).

a) \(D = -2 < 0\), daher keine Nullstellen. b) Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x-3)^2 + 1\). Da \(0{,}5(x-3)^2 \ge 0\), folgt \(f(x) \ge 1\). c) \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 1\}\) oder \(W = [1; \infty)\).

- Welche quadratische Gleichung besitzt \(x\) und \(y\) als Lösungen, wenn ihre Summe und ihr Produkt bekannt sind? - Woran erkennst du an \(\Delta\), ob diese quadratische Gleichung zwei verschiedene oder nur eine reelle Lösung besitzt? - Was bedeutet eine doppelte Lösung der Hilfsgleichung für die beiden Werte \(x\) und \(y\)?

1. Für \(k=32\) haben \(x\) und \(y\) Summe \(12\) und Produkt \(32\). Sie sind daher die Lösungen von \(z^2-12z+32=0\). 2. Faktorisieren ergibt \((z-8)(z-4)=0\). Somit sind die Lösungspaare \((8;4)\) und \((4;8)\). 3. Allgemein lautet die quadratische Gleichung \(z^2-12z+k=0\). 4. Ihre Diskriminante ist \(\Delta=(-12)^2-4\cdot1\cdot k=144-4k\). 5. Genau ein Lösungspaar liegt vor, wenn die quadratische Gleichung eine doppelte Lösung besitzt. Dafür muss \(\Delta=0\) gelten. 6. Aus \(144-4k=0\) folgt \(k=36\). Dann gilt \(x=y=6\), also ist \((6;6)\) das einzige Lösungspaar.

a) Die Lösungspaare sind \((8;4)\) und \((4;8)\). b) Für \(k=36\) besitzt das System genau ein Lösungspaar, nämlich \((6;6)\).

- Bringe die Gleichung in eine Form, in der du erkennen kannst, welche Werte für reelle \(x\) überhaupt möglich sind. - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl annehmen? - Vergleiche die mögliche Größe der beiden Seiten in Abhängigkeit von \(a\) und \(b\). - Suche für ein Gegenbeispiel positive rationale Zahlen, bei denen die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist.

1. Umformung der Gleichung: Die Gleichung \(a \cdot (x^2 + 1) = b\) wird nach \(x^2\) aufgelöst: \(x^2 + 1 = \frac{b}{a} \implies x^2 = \frac{b}{a} - 1\). 2. Analyse der Existenz von Lösungen: Eine reelle Lösung existiert nur dann, wenn \(x^2 \ge 0\). Das bedeutet \(\frac{b}{a} - 1 \ge 0\), was gleichbedeutend mit \(\frac{b}{a} \ge 1\) ist. 3. Bewertung der Behauptung: Da \(a\) und \(b\) positiv sind, ist \(\frac{b}{a} \ge 1\) nur dann erfüllt, wenn \(b \ge a\). Wenn \(b < a\), ist \(\frac{b}{a} < 1\) und somit \(x^2 < 0\). Die Behauptung ist also falsch. 4. Gegenbeispiel: Wählt man \(a = 2\) und \(b = 1\), ergibt sich \(2(x^2 + 1) = 1 \implies x^2 + 1 = 0{,}5 \implies x^2 = -0{,}5\). Da ein Quadrat in \(\mathbb{R}\) nicht negativ sein kann, gibt es keine Lösung.

Die Behauptung ist falsch. Eine reelle Lösung existiert nur, wenn \(b \ge a\). Ein Gegenbeispiel ist \(a = 2\) und \(b = 1\), was zu \(x^2 = -0{,}5\) führt (keine Lösung).

- Welche Bedingung an die Diskriminante kennzeichnet genau eine reelle Lösung? - Stelle die Diskriminante als Term in \(c\) auf. - Überlege für b), wie sich dieser Term verändert, wenn \(c\) größer wird.

1. Die Diskriminante lautet \(\Delta=(-10)^2-4c=100-4c\). 2. Für genau eine reelle Lösung muss \(\Delta=0\) gelten. Daraus folgt \(c=25\). 3. Für \(c>25\) gilt \(100-4c<0\). Dann ist \(\Delta<0\) und die Gleichung hat keine reelle Lösung.

a) \(c=25\) b) Für \(c>25\) gibt es keine reelle Lösung.

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? - Überlege, welcher Zusammenhang zwischen der Anzahl der Nullstellen und der Form eines Quadrats besteht. - Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel. - Welchen Wert muss die Diskriminante annehmen, damit ein Term der Form \( (px + q)^2 \) entsteht?

1. Ein quadratischer Ausdruck \(ax^2 + bx + c\) lässt sich genau dann als Quadrat eines Binoms schreiben, wenn seine Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) gleich Null ist. 2. Bestimmung der Koeffizienten: \(a = 4\), \(b = m+3\), \(c = 25\). 3. Aufstellen der Diskriminante: \(D = (m+3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = (m+3)^2 - 400\). 4. Nullsetzen der Diskriminante: \((m+3)^2 - 400 = 0 \implies (m+3)^2 = 400\). 5. Ziehen der Wurzel führt zu zwei Fällen: \(m+3 = 20\) oder \(m+3 = -20\). 6. Auflösen nach \(m\): \(m_1 = 17\) und \(m_2 = -23\).

\(m = 17\) oder \(m = -23\)

- Zähle für jede Parabel die Schnitt- oder Berührpunkte mit der \(x\)-Achse. - Ordne diese Anzahl anschließend einem Vorzeichen der Diskriminante zu. - Im rechnerischen Teil genügt es, die Diskriminante zu berechnen und mit dem Graphen zu vergleichen.

1. Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse zweimal. Also hat \(f(x)=0\) zwei reelle Lösungen und \(\Delta>0\). 2. Der Graph von \(g\) liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Also gibt es keine reelle Lösung und \(\Delta<0\). 3. Der Graph von \(h\) berührt die \(x\)-Achse einmal. Also gibt es genau eine reelle Lösung und \(\Delta=0\). 4. Für \(f(x)=-x^2+4x-2\) gilt \(\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=8>0\). Das bestätigt die graphische Entscheidung.

a) \(f\): zwei reelle Lösungen, \(\Delta>0\); \(g\): keine reelle Lösung, \(\Delta<0\); \(h\): eine reelle Lösung, \(\Delta=0\). b) Für \(f(x)=0\) gilt \(\Delta=8>0\); das stimmt mit den zwei graphisch erkennbaren Nullstellen überein.

- Nutze die Symmetrie der Punkte, um den Scheitelpunkt zu erkennen. - Welche Lage des Scheitelpunkts führt bei einer nach oben geöffneten Parabel zu zwei Nullstellen? - In b) ist eine strenge Ungleichung gefragt, nicht nur der Berührfall.

1. Wegen der Symmetrie von \(A\) und \(C\) liegt der Scheitelpunkt bei \(B(0\mid1)\); die Parabel ist nach oben geöffnet. 2. Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Daher gibt es keine Nullstelle und \(\Delta<0\). 3. Für \(\Delta>0\) muss der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegen. Der \(y\)-Wert von \(B\) muss also von \(1\) auf einen Wert kleiner als \(0\) sinken, also um mehr als \(1\).

a) \(\Delta<0\) b) Der \(y\)-Wert muss um mehr als \(1\) verringert werden.

- Wie lässt sich die Bedingung für einen gemeinsamen Punkt zweier Graphen algebraisch ausdrücken? - Welche Aussage über die Anzahl reeller Lösungen brauchst du für „berühren oder schneiden“? - Achte darauf, dass der Parameter am Ende in einer Ungleichung vorkommt.

1. Für gemeinsame Punkte gilt \(x^2 + 4x + 7 = -x^2 + t\). 2. Daraus folgt \(2x^2 + 4x + 7 - t = 0\). 3. Die Diskriminante ist \(\Delta = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (7-t) = 8t - 40\). 4. Mindestens ein gemeinsamer Punkt existiert genau dann, wenn \(\Delta \ge 0\). 5. Aus \(8t - 40 \ge 0\) folgt \(t \ge 5\).

Die Graphen haben für alle \(t \ge 5\) mindestens einen gemeinsamen Punkt.

- Stelle zuerst die Diskriminante in Abhängigkeit von \(p\) auf. - Ordne den drei verlangten Lösungszahlen die passenden Vorzeichenbedingungen zu. - Beim Lösen der Ungleichungen musst du beide Seiten des Betrags von \(p\) berücksichtigen.

1. Die Diskriminante ist \(\Delta=p^2-4\cdot1\cdot9=p^2-36\). 2. Genau eine Lösung: \(\Delta=0\). Daraus folgt \(p^2=36\), also \(p=6\) oder \(p=-6\). 3. Keine reelle Lösung: \(\Delta<0\). Daraus folgt \(p^2<36\), also \(-6<p<6\). 4. Zwei reelle Lösungen: \(\Delta>0\). Daraus folgt \(p^2>36\), also \(p<-6\) oder \(p>6\).

a) \(p = 6\) oder \(p = -6\) b) \(-6 < p < 6\) c) \(p < -6\) oder \(p > 6\)

- Wie kannst du einen Term der Form \(x^2 + px\) so ergänzen, dass er eine binomische Formel ergibt? - Was sagt das Vorzeichen der y-Koordinate des Scheitelpunkts über die Anzahl der Nullstellen aus, wenn du die Öffnungsrichtung der Parabel kennst? - Versuche, die Ungleichung aus der Behauptung so umzustellen, dass sie einen Teil deiner Scheitelpunktkoordinaten enthält.

1. Quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 + px + q = x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2 + q\). 2. Umformung in Scheitelpunktform: \(f(x) = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} + q\). 3. Ablesen des Scheitelpunkts: \(x_S = -\frac{p}{2}\) und \(y_S = q - \frac{p^2}{4}\). 4. Überprüfung der Aussage: Die Bedingung \(q < \left(\frac{p}{2}\right)^2\) ist äquivalent zu \(q - \frac{p^2}{4} < 0\). 5. Interpretation: Da \(y_S = q - \frac{p^2}{4}\) ist, bedeutet die Bedingung, dass die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts negativ ist (\(y_S < 0\)). 6. Da der Koeffizient vor \(x^2\) positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Wenn der tiefste Punkt (Scheitelpunkt) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss die Parabel die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Die Aussage ist also wahr.

a) \(S\left(-\frac{p}{2} \mid q - \frac{p^2}{4}\right)\) b) Die Aussage ist wahr. Wenn \(q < \left(\frac{p}{2}\right)^2\), ist die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts negativ. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ergeben sich zwingend zwei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

- Welche Funktionswerte sind aufgrund von Scheitelpunkt und Öffnungsrichtung überhaupt möglich? - Was müsste für die Funktionswerte an einem Schnittpunkt gelten? - Verwende für die rechnerische Kontrolle die Diskriminante der entstehenden Gleichung.

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=(x-2)^2+3\) mit \(S_1(2\mid3)\) und \(g(x)=-(x-2)^2-1\) mit \(S_2(2\mid-1)\). 2. Für alle \(x\) gilt \(f(x)\ge3\), während \(g(x)\le-1\) gilt. Daher können die Graphen keinen gemeinsamen Punkt haben. 3. Rechnerisch führt \(f(x)=g(x)\) zu \(2x^2-8x+12=0\). Hier ist \(\Delta=(-8)^2-4\cdot2\cdot12=-32<0\), also gibt es keinen Schnittpunkt.

a) \(S_1(2\mid3)\) und \(S_2(2\mid-1)\) b) Da \(f(x)\ge3\) und \(g(x)\le-1\) für alle \(x\), gibt es keinen gemeinsamen Punkt. c) \(\Delta=-32<0\); daher gibt es keinen Schnittpunkt.

- Wie kannst du eine Variable mithilfe der linearen Gleichung ausdrücken und damit eliminieren? - Welche quadratische Gleichung in einer Variablen entsteht dadurch? - Welche Bedingung an die Diskriminante kennzeichnet genau eine reelle Lösung?

1. Aus \(x+y=10\) folgt \(y=10-x\). 2. Einsetzen in \(xy=c\) ergibt \(x(10-x)=c\), also \(x^2-10x+c=0\). 3. Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist \(\Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot c=100-4c\). 4. Genau eine reelle Lösung liegt für \(\Delta=0\) vor. Daher gilt \(100-4c=0\), also \(c=25\). 5. Für \(c=25\) ist \(x^2-10x+25=(x-5)^2=0\). Somit ist \(x=5\) und \(y=5\). 6. Das System besitzt genau die Lösung \((5\mid5)\).

Für \(c=25\) besitzt das System genau eine Lösung: \((5\mid5)\).

- Drücke die Diskriminante vollständig in Abhängigkeit von \(k\) aus. - Welche drei Vorzeichenbedingungen gehören zu den drei gefragten Fällen? - Bestimme zuerst die Stellen, an denen der Diskriminantenterm null wird, und untersuche dann die Intervalle dazwischen und außerhalb.

1. Die Diskriminante ist \(\Delta=(k-2)^2-4(k+1)=k^2-8k=k(k-8)\). 2. Genau eine Lösung liegt für \(\Delta=0\) vor, also für \(k=0\) oder \(k=8\). 3. Keine reelle Lösung liegt für \(\Delta<0\) vor. Der Ausdruck \(k(k-8)\) ist zwischen seinen Nullstellen negativ, also für \(0<k<8\). 4. Zwei verschiedene reelle Lösungen liegen für \(\Delta>0\) vor, also für \(k<0\) oder \(k>8\).

Genau eine Lösung: \(k=0\) oder \(k=8\). Keine reelle Lösung: \(0<k<8\). Zwei verschiedene reelle Lösungen: \(k<0\) oder \(k>8\).

- Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Lösungen einer Gleichung und ihren Koeffizienten? - Wie kannst du die Information, dass eine Lösung ein Vielfaches der anderen ist, mathematisch ausdrücken? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das sowohl die unbekannten Lösungen als auch den Parameter \(p\) enthält? - Denke daran, dass beim Lösen einer Gleichung wie \(x^2 = a\) oft zwei Fälle betrachtet werden müssen.

1. Seien \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen der Gleichung. Es ist gegeben, dass \(x_1 = 3x_2\). 2. Nach dem Satz von Vieta gilt für die Gleichung \(x^2 + px + q = 0\): \(x_1x_2 = q\) und \(x_1 + x_2 = -p\). Hier ist \(q = 12\). 3. Einsetzen der Bedingung \(x_1 = 3x_2\) in die Produktgleichung: \(3x_2x_2 = 12 \implies 3x_2^2 = 12 \implies x_2^2 = 4\). 4. Daraus ergeben sich zwei Fälle für \(x_2\): \(x_2 = 2\) oder \(x_2 = -2\). 5. Fall 1: \(x_2 = 2\). Dann ist \(x_1 = 3 \cdot 2 = 6\). Die Summe ist \(x_1 + x_2 = 8\). Da \(x_1 + x_2 = -p\), folgt \(p = -8\). 6. Fall 2: \(x_2 = -2\). Dann ist \(x_1 = 3 \cdot (-2) = -6\). Die Summe ist \(x_1 + x_2 = -8\). Da \(x_1 + x_2 = -p\), folgt \(p = 8\).

\(p = 8\) oder \(p = -8\)

- Welche Lage zur \(x\)-Achse muss eine nach oben geöffnete Parabel haben, damit ihre Funktionswerte überall positiv sind? - Übersetze diese Lage in eine Bedingung an die Diskriminante. - Untersuche anschließend, für welche \(k\) der entstehende quadratische Term negativ ist.

1. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ist der Ausdruck für alle \(x\) positiv, wenn die zugehörige Parabel keine Nullstelle besitzt. 2. Dafür muss \(\Delta<0\) gelten. 3. Hier ist \(\Delta=k^2-4(k+3)=k^2-4k-12\). 4. Die Nullstellen des Diskriminantenterms sind \(k=-2\) und \(k=6\). 5. Weil der Term in \(k\) nach oben geöffnet ist, gilt \(\Delta<0\) genau für \(-2<k<6\).

\(-2 < k < 6\)

- Stelle zuerst die Formel für die Diskriminante mit dem Parameter auf. - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Was passiert mit den quadratischen Gliedern des Parameters in der Diskriminante? - Prüfe am Ende, ob der Koeffizient vor \(x^2\) bei deinem Ergebnis nicht Null wird.

1. Ein quadratischer Term ist ein vollständiges Quadrat, wenn er genau eine (doppelte) Nullstelle besitzt. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = 0\) ist. 2. Berechnung der Diskriminante: \(D = (2k)^2 - 4 \cdot (k-1) \cdot (k+3)\). 3. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(D = 4k^2 - 4(k^2 + 2k - 3) = 4k^2 - 4k^2 - 8k + 12 = -8k + 12\). 4. Bedingung für das vollständige Quadrat anwenden: \(-8k + 12 = 0\). 5. Nach \(k\) auflösen: \(8k = 12 \implies k = 1{,}5\). 6. Überprüfung des führenden Koeffizienten: Für \(k = 1{,}5\) ist \(a = k-1 = 0{,}5 \neq 0\), somit bleibt der Ausdruck quadratisch. 7. Einsetzen zur Kontrolle: \(0{,}5x^2 + 3x + 4{,}5 = 0{,}5(x^2 + 6x + 9) = 0{,}5(x+3)^2\).

\(k = 1{,}5\)

- Prüfe zuerst, wann der Koeffizient vor \(x^2\) verschwindet. - Behandle diesen linearen Sonderfall getrennt vom quadratischen Fall. - Nutze im quadratischen Fall das Vorzeichen der Diskriminante.

1. Für \(a=2\) verschwindet das quadratische Glied. Es bleibt \(4x+1=0\) mit genau einer Lösung \(x=-0{,}25\). 2. Für \(a\neq2\) ist die Gleichung quadratisch. Ihre Diskriminante ist \(\Delta=4^2-4(a-2)=24-4a\). 3. Für \(\Delta=0\) gilt \(a=6\); dann gibt es genau eine reelle Lösung. 4. Für \(\Delta>0\) gilt \(a<6\). Unter der Voraussetzung \(a\neq2\) gibt es dann zwei verschiedene reelle Lösungen. 5. Für \(\Delta<0\) gilt \(a>6\); dann gibt es keine reelle Lösung.

Genau eine reelle Lösung: \(a=2\) oder \(a=6\). Zwei verschiedene reelle Lösungen: \(a<6\) und \(a\neq2\). Keine reelle Lösung: \(a>6\).

- Bestimme aus der Abbildung zunächst den Funktionsterm von \(f\). - Setze die Funktionsterme gleich und beachte einen möglichen linearen Sonderfall. - Welche Bedingung an die Diskriminante entspricht „keine gemeinsamen Punkte“?

1. Aus dem Graphen liest man \(S(2\mid2)\) und den Punkt \((0\mid0)\) ab. Daher ist \(f(x)=-0{,}5(x-2)^2+2=-0{,}5x^2+2x\). 2. Aus \(f(x)=g_k(x)\) folgt \((k+0{,}5)x^2-2x-4=0\). 3. Für \(k=-0{,}5\) ist die Gleichung linear und besitzt eine reelle Lösung. 4. Für \(k\neq-0{,}5\) ist \(\Delta=(-2)^2-4(k+0{,}5)(-4)=16k+12\). 5. Keine gemeinsamen Punkte liegen für \(\Delta<0\) vor. Daraus folgt \(16k+12<0\), also \(k<-0{,}75\).

\(k < -0{,}75\)

- Überlege für a), wann eine quadratische Funktion reelle Nullstellen besitzt und damit in reelle Linearfaktoren zerlegt werden kann. - Nutze für b) die in der Aufgabe genannte Scheitelpunktkoordinate, um die Lage der Mitte der Nullstellen zu beurteilen. - Wähle für c) eine Darstellung von \(g\), in der beide Nullstellen vorkommen, und nutze anschließend die Symmetriebedingung.

1. Reelle Nullstellen existieren genau dann, wenn \(\Delta=k^2-4\cdot2\cdot8=k^2-64\ge0\). 2. Daraus folgt \(k\le-8\) oder \(k\ge8\). 3. Für b) liegt die Mitte der Nullstellen bei der Scheitelpunktkoordinate \(x_S=-\frac{k}{4}\). Für große positive \(k\) entfernt sich diese Mitte nach links vom Ursprung. Die Aussage ist falsch. 4. Für c) gilt bei Nullstellen \(x_1,x_2\): \(g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)\). 5. Koeffizientenvergleich liefert \(b=-a(x_1+x_2)\). 6. Aus \(x_1=-x_2\) folgt \(x_1+x_2=0\), also \(b=0\).

a) \(k \le -8\) oder \(k \ge 8\) b) Die Aussage ist falsch; die Mitte der Nullstellen liegt bei \(x_S=-\frac{k}{4}\) und entfernt sich für großes positives \(k\) vom Ursprung. c) Aus \(x_1=-x_2\) folgt \(x_1+x_2=0\), damit \(b=-a(x_1+x_2)=0\).

- Bestimme aus der Abbildung zuerst eine Scheitelpunktform für \(p\). - Welche allgemeine Form hat eine Parabel mit Scheitelpunkt \(S(0\mid5)\)? - Übersetze „keinen gemeinsamen Punkt“ in eine Aussage über die Zahl reeller Lösungen der Gleichung \(h(x)=p(x)\). - Berücksichtige, dass die entstehende Gleichung für einen besonderen Parameterwert linear werden kann.

1. Aus der Abbildung liest man für \(p\) den Scheitelpunkt \((2\mid1)\) und den Punkt \((0\mid3)\) ab. Daraus folgt \(p(x)=0{,}5(x-2)^2+1=0{,}5x^2-2x+3\). 2. Wegen des Scheitelpunkts \(S(0\mid5)\) hat \(h\) die Form \(h(x)=ax^2+5\) mit \(a\neq0\). 3. Gemeinsame Punkte erfüllen \((a-0{,}5)x^2+2x+2=0\). 4. Für \(a=0{,}5\) ist diese Gleichung linear und besitzt eine Lösung. Für \(a\neq0{,}5\) muss für Schnittpunktfreiheit \(\Delta<0\) gelten. 5. Es ist \(\Delta=2^2-4(a-0{,}5)\cdot2=8-8a\). Die Bedingung \(8-8a<0\) ergibt \(a>1\).

\(h(x)=ax^2+5\) mit \(a>1\).