- Vergleiche jeden Term mit der Scheitelpunktform \(y=a(x-x_S)^2+y_S\). - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Welcher Summand außerhalb des Quadrats gibt \(y_S\) an? - Wenn keine Verschiebung in \(x\)-Richtung zu sehen ist, welchen Wert hat dann \(x_S\)?

1. Vergleiche mit der Scheitelpunktform \(y=a(x-x_S)^2+y_S\). Der Scheitelpunkt ist \(S(x_S\mid y_S)\). 2. Bei a) gilt \(f(x)=(x-(-3{,}2))^2-1{,}5\). Daher ist \(S(-3{,}2\mid-1{,}5)\). 3. Bei b) gilt \(g(x)=-(x-5)^2+2\). Daher ist \(S(5\mid2)\). 4. Bei c) gilt \(h(x)=(x-0)^2+8{,}5\). Daher ist \(S(0\mid8{,}5)\).

a) \(S(-3{,}2\mid-1{,}5)\) b) \(S(5\mid2)\) c) \(S(0\mid8{,}5)\)

- In welcher Form ist der Funktionsterm bereits geschrieben? - Welche beiden Zahlen in dieser Form legen die Koordinaten des Scheitelpunkts fest?

1. Der Term steht bereits in Scheitelpunktform \(a(x-x_S)^2+y_S\). Daher gilt \(x_S=3\) und \(y_S=5\).

\(S(3 \mid 5)\)

- Was verrät dir die Form der Gleichung über die Lage des tiefsten Punktes? - Wie verändert sich der Funktionswert, wenn du für die Variable den Wert Null einsetzt? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist und wo ihr tiefster oder höchster Punkt liegt. - Was muss gelten, damit ein Wert eine Nullstelle ist?

1. Aus der Scheitelpunktform \(a(x-d)^2 + e\) lässt sich der Scheitelpunkt \(S(d|e)\) direkt ablesen: Für \(g(x) = (x+4)^2 - 16\) ist \(d = -4\) und \(e = -16\), also \(S(-4|-16)\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(g(0) = (0+4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|0)\). 3. Da der Scheitelpunkt mit \(y = -16\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel wegen \(a = 1 > 0\) nach oben geöffnet ist, muss sie die \(x\)-Achse an zwei Stellen schneiden. Die Funktion hat somit zwei Nullstellen. 4. Prüfung von \(x = 2\): \(g(2) = (2+4)^2 - 16 = 6^2 - 16 = 36 - 16 = 20\). Da \(20 \neq 0\), ist \(x = 2\) keine Nullstelle.

a) \(S(-4|-16)\) b) \(S_y(0|0)\) c) Zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. d) Nein, da \(g(2) = 20 \neq 0\).

- Welche Angaben stehen direkt in der Scheitelpunktform? - Was ist bei einer nach oben geöffneten Parabel der kleinste Funktionswert? - Vergleiche die Abstände von \(-3\) und \(1\) zur Symmetrieachse.

1. Aus der Scheitelpunktform liest man \(S(-1\mid-2)\) und die Symmetrieachse \(x=-1\) ab. Es gilt \(a=\frac12>0\), also ist die Parabel nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel. Der Streckfaktor ist \(\frac12\). 2. Der kleinste Funktionswert ist \(-2\). Daher ist \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge -2\}\). 3. \(f(-3)=\frac12\cdot(-2)^2-2=0\). Die Stellen \(-3\) und \(1\) liegen gleich weit von \(x=-1\) entfernt. Deshalb gilt wegen der Symmetrie auch \(f(1)=0\).

a) \(S(-1\mid-2)\), Symmetrieachse \(x=-1\), nach oben geöffnet, Streckfaktor \(\frac12\). b) \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge -2\}\). c) \(f(-3)=0\) und wegen der Symmetrie auch \(f(1)=0\).

- Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit der Scheitelpunktform zusammen? - Welche binomische Formel brauchst du zum Ausmultiplizieren? - Liegt der Scheitelpunkt im eingeschränkten Definitionsbereich? - Welche Funktionswerte entstehen an den beiden Randstellen des Intervalls?

1. Da es sich um eine verschobene Normalparabel handelt, ist \(a=1\). Mit \(S(3\mid -2)\) ergibt sich \(f(x)=(x-3)^2-2\). 2. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(f(x)=x^2-6x+9-2=x^2-6x+7\). Das ist die allgemeine Form. 3. Der Scheitelpunkt liegt mit \(x_S=3\) im Intervall \([1;5]\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist der kleinste Funktionswert \(-2\). 4. An den Randstellen gilt \(f(1)=2\) und \(f(5)=2\). Damit ist der größte Funktionswert im Intervall \(2\). 5. Die Wertemenge lautet \(W=[-2;2]\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x)=(x-3)^2-2\); allgemeine Form: \(f(x)=x^2-6x+7\) b) \(W=[-2;2]\)

- Wie sieht die Funktionsgleichung einer Normalparabel aus, die nur nach oben oder unten verschoben ist? - Welche Koordinate des Scheitelpunkts ist bekannt, wenn er auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen? - Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten?

1. Eine Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse hat die Form \(f(x)=x^2+y_S\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 5)\): \(5=3^2+y_S\). Daraus folgt \(y_S=-4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4\). 3. Zur Berechnung der Nullstellen wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(x^2 - 4 = 0\). 4. Dies führt zu \(x^2 = 4\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

1. \(f(x)=x^2-4\) 2. \(x_1=2\) und \(x_2=-2\)

- Lies zuerst Scheitelpunkt und Symmetrieachse ab. - Was sagt das Vorzeichen und der Betrag von \(a\) über die Parabel aus? - Welche beiden x-Werte liegen gleich weit von \(x=3\) entfernt?

1. Aus der Scheitelpunktform folgt \(S(3\mid-8)\) und die Symmetrieachse \(x=3\). 2. Der Streckfaktor ist \(a=2>0\). Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel. Ihr kleinster Funktionswert ist \(-8\), also \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-8\}\). 3. \(g(1)=2\cdot(-2)^2-8=0\). Die Stellen \(1\) und \(5\) liegen gleich weit von \(x=3\) entfernt. Daher gilt \(g(5)=0\).

a) \(S(3\mid-8)\), Symmetrieachse \(x=3\). b) Nach oben geöffnet, Streckfaktor \(2\), \(W_g=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge-8\}\). c) \(g(1)=g(5)=0\).

- Welche Werte in der Formel entsprechen den Koordinaten des Scheitelpunkts? - Wie kannst du einen weiteren Punkt nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen? - Achte beim Einsetzen der x-Koordinate in die Klammer auf das Vorzeichen.

1. Einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts \(S(4 \mid -2)\) in die Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x-4)^2 - 2\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 \mid 6)\) in die Gleichung, um \(a\) zu bestimmen: \(6 = a(2-4)^2 - 2\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(6 = a(-2)^2 - 2 \Rightarrow 6 = 4a - 2\). 4. Lösen nach \(a\): \(8 = 4a \Rightarrow a = 2\). 5. Aufstellen der fertigen Funktionsgleichung: \(f(x) = 2(x-4)^2 - 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2(x-4)^2 - 2\).

- Welche Form der Parabelgleichung ist am nützlichsten, wenn der höchste oder tiefste Punkt bekannt ist? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Parameter in deiner Gleichung zu finden? - Was wissen wir über den \(x\)-Wert eines Punktes, der genau auf der vertikalen Achse des Koordinatensystems liegt?

1. Ansatz mit der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\): Einsetzen des Scheitelpunkts \(S(-1 \mid 3)\) ergibt \(f(x) = a(x + 1)^2 + 3\). 2. Bestimmung des Streckfaktors \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid -5)\): \(-5 = a(1 + 1)^2 + 3\). 3. Auflösen der Gleichung: \(-5 = 4a + 3 \Rightarrow -8 = 4a \Rightarrow a = -2\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2(x + 1)^2 + 3\). 4. Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse durch Einsetzen von \(x = 0\): \(f(0) = -2(0 + 1)^2 + 3 = -2 \cdot 1 + 3 = 1\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 \mid 1)\).

a) Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2(x + 1)^2 + 3\). b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 1)\).

- Setze den Scheitelpunkt direkt in die Scheitelpunktform \(a(x-x_S)^2+y_S\) ein. - Der konstante Term \(3\) bedeutet \(f(0)=3\). - Das Vorzeichen von \(a\) bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel.

1. Wegen des Scheitelpunkts gilt \(f(x)=a(x-1)^2+2\). 2. Aus dem vorgegebenen \(y\)-Achsenabschnitt \(f(0)=3\) folgt \(a+2=3\), also \(a=1\). 3. Damit ist \(f(x)=(x-1)^2+2=x^2-2x+3\). Also \(a=1\) und \(b=-2\). 4. Weil \(a=1>0\), ist die Parabel nach oben geöffnet; \(S(1\mid2)\) ist ein Tiefpunkt.

a) \(f(x)=a(x-1)^2+2\) b) \(a=1\) und \(f(x)=x^2-2x+3\) c) \(S(1\mid2)\) ist ein Tiefpunkt, weil \(a=1>0\) gilt.

- Welche Angaben kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Was bedeutet die Öffnungsrichtung für den größten oder kleinsten Funktionswert? - Vergleiche die Abstände von \(-6\) und \(-2\) zur Symmetrieachse.

1. Aus der Scheitelpunktform folgt \(S(-4\mid6)\) und die Symmetrieachse \(x=-4\). Der Streckfaktor ist \(-1{,}5\); die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler als die Normalparabel. 2. Der größte Funktionswert ist \(6\). Daher ist \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le6\}\). 3. \(f(-6)=-1{,}5\cdot(-2)^2+6=0\). Die Stellen \(-6\) und \(-2\) liegen gleich weit von der Symmetrieachse entfernt. Deshalb ist auch \(f(-2)=0\).

a) \(S(-4\mid6)\), Symmetrieachse \(x=-4\), nach unten geöffnet, Streckfaktor \(-1{,}5\). b) Maximum \(6\); \(W_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le6\}\). c) \(f(-6)=f(-2)=0\).

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn der Scheitelpunkt direkt gegeben ist? - Wie kannst du den gegebenen Punkt auf der \(x\)-Achse nutzen, um den Streckfaktor zu bestimmen? - Wie kommst du von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form?

1. Ansatz mit der Scheitelpunktform unter Verwendung von \(S(3\mid8)\): \(y = a(x - 3)^2 + 8\). 2. Einsetzen des Punktes \((5\mid0)\) in die Gleichung: \(0 = a(5 - 3)^2 + 8\). 3. Berechnung von \(a\): \(0 = 4a + 8 \implies 4a = -8 \implies a = -2\). 4. Umformung in die allgemeine Form durch Ausmultiplizieren: \(y = -2(x^2 - 6x + 9) + 8\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(y = -2x^2 + 12x - 18 + 8 = -2x^2 + 12x - 10\). 6. Identifikation der Koeffizienten: \(a = -2\), \(b = 12\), \(c = -10\).

\(a = -2, b = 12, c = -10\)

- Welche Informationen kannst du unmittelbar aus der Scheitelpunktform ablesen? - Welche Gleichung entsteht, wenn du nach den Nullstellen suchst? - Wie hängt die Symmetrieachse mit der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts zusammen?

1. Aus der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\) liest man \(x_S = -1\) und \(y_S = -8\) ab. Also ist \(S(-1 \mid -8)\). 2. Für die Nullstellen setzt man \(f(x) = 0\): \(2(x + 1)^2 - 8 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 4\). Daraus folgt \(x + 1 = 2\) oder \(x + 1 = -2\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt parallel zur \(y\)-Achse. Daher lautet ihre Gleichung \(x = -1\).

a) \(S(-1 \mid -8)\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\) c) \(x = -1\)

- Welche Informationen kannst du unmittelbar aus der Scheitelpunktform ablesen? - Welcher Parameter bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte auf der \(y\)-Achse?

1. Aus \(g(x) = a(x - x_S)^2 + y_S\) liest man \(x_S = 3\) und \(y_S = 2\) ab. Somit ist \(S(3 \mid 2)\). 2. Es gilt \(a = -0{,}5 < 0\). Deshalb ist die Parabel nach unten geöffnet. 3. Für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse setzt man \(x = 0\): \(g(0) = -0{,}5(0 - 3)^2 + 2 = -4{,}5 + 2 = -2{,}5\). Der Schnittpunkt ist \((0 \mid -2{,}5)\).

a) \(S(3 \mid 2)\) b) Nach unten geöffnet, da \(a = -0{,}5 < 0\). c) \((0 \mid -2{,}5)\)

- Vergleiche den Term mit \(a(x-x_S)^2+y_S\). - Wie kannst du \(x+3\) in der Form \(x-x_S\) schreiben? - Welche Koordinate des Scheitelpunkts bestimmt die Symmetrieachse?

1. In der Scheitelpunktform \(a(x-x_S)^2+y_S\) steht die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts in der Klammer mit entgegengesetztem Vorzeichen. 2. Es gilt \(x+3=x-(-3)\). Daher ist \(x_S=-3\) und \(y_S=-1\). 3. Der Scheitelpunkt ist \(S(-3\mid-1)\); die Symmetrieachse lautet \(x=-3\).

Leila liest das Vorzeichen in der Klammer falsch. Es gilt \(x+3=x-(-3)\). Daher ist der Scheitelpunkt \(S(-3\mid-1)\) und die Symmetrieachse \(x=-3\).

- Welche Angaben kannst du direkt aus der Scheitelpunktform ablesen? - Ordne die vier x-Werte paarweise danach, wie weit sie von der Symmetrieachse entfernt sind. - Prüfe bei den Bildern nicht nur den Scheitelpunkt, sondern auch die Lage von zwei berechneten Punkten.

1. Aus der Scheitelpunktform liest man \(S(2\mid-1)\) und die Symmetrieachse \(x=2\) ab. 2. Es gilt \(f(1)=f(3)=0\) sowie \(f(0)=f(4)=3\). Damit liegen die Punkte \((1\mid0)\), \((3\mid0)\), \((0\mid3)\) und \((4\mid3)\) auf dem Graphen. 3. Nur Bild a) enthält den Scheitelpunkt \(S(2\mid-1)\) und die berechneten Punkte. Zum Beispiel liegen dort \((1\mid0)\) und \((4\mid3)\) auf der Parabel.

a) \(S(2\mid-1)\), Symmetrieachse \(x=2\) b) \((1\mid0)\), \((3\mid0)\), \((0\mid3)\), \((4\mid3)\) c) Bild a), zum Beispiel weil die Parabel durch \((1\mid0)\) und \((4\mid3)\) verläuft.

- Was sagt das Minus beim Streckfaktor über die Öffnungsrichtung aus? - Setze für den Abstand von der Symmetrieachse zuerst \(1\) und dann \(2\) in den quadratischen Anteil ein. - Punkte mit gleichem Abstand von der Symmetrieachse müssen denselben Funktionswert haben.

1. Der Scheitelpunkt ist \(S(-1\mid3)\), die Symmetrieachse ist \(x=-1\), und wegen des negativen Streckfaktors ist die Parabel nach unten geöffnet. 2. Bei Abstand \(1\) von der Achse gilt \(-2\cdot1^2=-2\). Vom Scheitelwert \(3\) geht man also auf \(1\). Damit erhält man \((-2\mid1)\) und \((0\mid1)\). 3. Bei Abstand \(2\) gilt \(-2\cdot2^2=-8\). Vom Scheitelwert \(3\) geht man auf \(-5\). Damit erhält man \((-3\mid-5)\) und \((1\mid-5)\). 4. Daher ist Liste A richtig. Zum Zeichnen markiert man den Scheitelpunkt und die vier Stützpunkte und zeichnet eine glatte, zur Geraden \(x=-1\) symmetrische, nach unten geöffnete Parabel durch diese Punkte.

a) Liste A. b) Die Parabel ist nach unten geöffnet. Bei Abstand \(1\) von \(x=-1\) fällt der Funktionswert vom Scheitelwert \(3\) um \(2\) auf \(1\); bei Abstand \(2\) fällt er um \(8\) auf \(-5\). c) Scheitelpunkt und vier Stützpunkte markieren und eine glatte, zu \(x=-1\) symmetrische, nach unten geöffnete Parabel durch die Punkte zeichnen.

- Welchen Einfluss hat die Zahl vor der Klammer auf die Öffnungsrichtung der Kurve? - Wie kannst du feststellen, welche \(y\)-Werte die Funktion überhaupt annehmen kann? - Vergleiche den gegebenen \(y\)-Wert eines Punktes mit dem Wert, den die Funktion an derselben Stelle liefert.

1. Bestimmung der Wertemenge: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|3)\). Da der Streckungsfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Der maximale Funktionswert ist somit \(y = 3\). Die Wertemenge ist \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 3\}\). 2. Prüfung für Punkt \(A(0|2)\): Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\): \(f(0) = -2(0-1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(A\) mit \(2\) größer als der Funktionswert \(1\) ist, liegt Punkt \(A\) oberhalb des Graphen. 3. Prüfung für Punkt \(B(2|0)\): Berechne den Funktionswert an der Stelle \(x = 2\): \(f(2) = -2(2-1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1\). Da der \(y\)-Wert des Punktes \(B\) mit \(0\) kleiner als der Funktionswert \(1\) ist, liegt Punkt \(B\) unterhalb des Graphen.

a) \(W_f = \{y \in \mathbb{R} \mid y \le 3\}\) b) Punkt \(A\) liegt oberhalb des Graphen, da \(f(0) = 1 < 2\). Punkt \(B\) liegt unterhalb des Graphen, da \(f(2) = 1 > 0\).

- Welche Informationen liefert dir der Scheitelpunkt direkt für die Scheitelpunktform? - Wie kannst du den Punkt \(P\) nutzen, um den Streckfaktor zu bestimmen? - Welche Rechenregel musst du beachten, wenn du eine Klammer mit einem Minuszeichen davor auflöst? - Wie kommst du von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form?

1. Ansatz der Scheitelpunktform \(y = a(x - x_S)^2 + y_S\) mit dem gegebenen Scheitelpunkt \(S(-2 \mid 5)\): \(y = a(x + 2)^2 + 5\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 1)\) zur Bestimmung von \(a\): \(1 = a(0 + 2)^2 + 5\). 3. Auflösen nach \(a\): \(1 = 4a + 5 \Rightarrow -4 = 4a \Rightarrow a = -1\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(y = -(x + 2)^2 + 5\). 5. Umwandeln in die allgemeine Form durch Auflösen der Klammer: \(y = -(x^2 + 4x + 4) + 5\). 6. Zusammenfassen: \(y = -x^2 - 4x + 1\).

Die Scheitelpunktform lautet \(y = -(x + 2)^2 + 5\). Die allgemeine Form lautet \(y = -x^2 - 4x + 1\).

- Welche Beziehung haben zwei Punkte einer Parabel, die denselben \(y\)-Wert besitzen? - Was ist bei einer Normalparabel über den Faktor \(a\) bekannt? - Wie kannst du nach dem Scheitelpunkt die allgemeine Form erhalten? - Welche Stellen musst du für die Wertemenge auf einem abgeschlossenen Intervall prüfen?

1. Da \(P\) und \(Q\) dieselbe \(y\)-Koordinate haben, liegt die Symmetrieachse in der Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten: \(x_S=\frac{-2+4}{2}=1\). 2. Für eine Normalparabel gilt \(a=1\). Mit dem Ansatz \(f(x)=(x-1)^2+y_S\) und \(Q(4\mid6)\) folgt \(6=9+y_S\), also \(y_S=-3\). Damit ist \(S(1\mid -3)\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(f(x)=(x-1)^2-3=x^2-2x-2\). Das ist die allgemeine Form. 4. Der Scheitelpunkt liegt im Intervall \([-3;3]\), also ist der kleinste Funktionswert \(-3\). 5. Es gilt \(f(-3)=13\) und \(f(3)=1\). Daher ist der größte Funktionswert im Intervall \(13\). 6. Somit gilt \(W=[-3;13]\).

a) \(S(1\mid -3)\) b) \(f(x)=x^2-2x-2\) c) \(W=[-3;13]\)

- Wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, welchen Wert hat dann \(y_S\)? - Setze den Punkt in \(f(x)=(x-x_S)^2\) ein. - Wie viele reelle Lösungen kann eine Gleichung der Form \(u^2=a\) bei positivem \(a\) haben? - Kann ein Quadrat einer reellen Zahl negativ sein?

1. Eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse hat die Form \(f(x)=(x-x_S)^2\). 2. Zu a): Einsetzen von \(A(1\mid4)\) ergibt \(4=(1-x_S)^2\). 3. Wurzelziehen führt zu zwei Fällen: \(1-x_S=2\) oder \(1-x_S=-2\). Daraus folgen \(x_S=-1\) oder \(x_S=3\). 4. Die möglichen Gleichungen sind \(f_1(x)=(x+1)^2\) und \(f_2(x)=(x-3)^2\). 5. Zu b): Einsetzen von \(B(1\mid-4)\) führt zu \(-4=(1-x_S)^2\). 6. Da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ sein kann, gibt es keinen passenden reellen Wert für \(x_S\).

a) Die möglichen Funktionsgleichungen sind \(f_1(x)=(x+1)^2\) und \(f_2(x)=(x-3)^2\). b) Eine Funktion der Form \(f(x)=(x-x_S)^2\) hat nur nichtnegative Funktionswerte. Daher kann sie nicht durch \(B(1\mid-4)\) verlaufen.

- Was sagt „Scheitelpunkt liegt auf der Geraden \(y=2\)“ über \(y_S\) aus? - Setze den gegebenen Punkt in \(f(x)=(x-x_S)^2+y_S\) ein. - Welche Gleichung beschreibt einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Kann ein Quadrat einer reellen Zahl negativ sein?

1. Da der Scheitelpunkt auf der Geraden \(y=2\) liegt, gilt \(y_S=2\). Die Scheitelpunktform lautet daher \(f(x)=(x-x_S)^2+2\). 2. Einsetzen von \(P(4\mid6)\) ergibt \(6=(4-x_S)^2+2\), also \(4=(4-x_S)^2\). 3. Daraus folgen \(4-x_S=2\) oder \(4-x_S=-2\). Somit ist \(x_S=2\) oder \(x_S=6\). 4. Die Funktionen sind \(f_1(x)=(x-2)^2+2\) und \(f_2(x)=(x-6)^2+2\). 5. Für einen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse müsste \((x-x_S)^2+2=0\) gelten, also \((x-x_S)^2=-2\). 6. Ein Quadrat einer reellen Zahl ist nicht negativ. Daher haben beide Parabeln keine reellen Nullstellen.

1. \(f_1(x)=(x-2)^2+2\) und \(f_2(x)=(x-6)^2+2\) 2. Beide Parabeln schneiden die \(x\)-Achse nicht, weil ihr kleinster Funktionswert \(2\) ist. Rechnerisch führt \(f(x)=0\) auf \((x-x_S)^2=-2\), was keine reelle Lösung hat.

- Welche Bedingung erfüllt der Scheitelpunkt, wenn er auf der \(x\)-Achse liegt? - Setze den gegebenen Punkt erst ein, nachdem du eine passende Scheitelpunktform angesetzt hast. - Prüfe am Ende, ob mehr als eine Lage des Scheitelpunkts möglich ist.

1. Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (\(y_S = 0\)), hat die Scheitelpunktform die Gestalt \(f(x) = (x - x_S)^2\). 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist durch \(P(0\mid6{,}25)\) gegeben, also gilt \(f(0) = 6{,}25\). Einsetzen in die Form ergibt \((0 - x_S)^2 = 6{,}25\), woraus \(x_S^2 = 6{,}25\) folgt. 3. Das Ziehen der Wurzel liefert zwei Lösungen für die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts: \(x_{S1} = 2{,}5\) und \(x_{S2} = -2{,}5\). 4. Aufstellen der Funktionsgleichungen: \(f_1(x) = (x - 2{,}5)^2 = x^2 - 5x + 6{,}25\) \(f_2(x) = (x + 2{,}5)^2 = x^2 + 5x + 6{,}25\) 5. Erklärung: Es gibt zwei Lösungen, da der Scheitelpunkt sowohl im positiven als auch im negativen Bereich der \(x\)-Achse liegen kann, um den gleichen \(y\)-Achsenabschnitt zu erzeugen (Symmetrie zur \(y\)-Achse beim Quadrieren von \(x_S\)).

Die beiden Gleichungen lauten \(f_1(x) = x^2 - 5x + 6{,}25\) und \(f_2(x) = x^2 + 5x + 6{,}25\). Es gibt zwei Lösungen, weil \((2{,}5)^2 = (-2{,}5)^2 = 6{,}25\) gilt und der Scheitelpunkt daher bei \(x = 2{,}5\) oder \(x = -2{,}5\) liegen kann.

- Was folgt aus den gleichen Funktionswerten an den beiden gegebenen x-Stellen für die Symmetrieachse? - Wenn die Symmetrieachse feststeht, wie kannst du mit einem der gegebenen Punkte die Scheitelpunkthöhe bestimmen? - Warum ist bei einer verschobenen Normalparabel der Streckfaktor bereits festgelegt?

1. Für eine verschobene Normalparabel gilt \(g(x)=(x-x_S)^2+y_S\). 2. Die Punkte \(A(-2\mid3)\) und \(B(4\mid3)\) haben denselben \(y\)-Wert. Daher liegt die Symmetrieachse in der Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten: \(x_S=\frac{-2+4}{2}=1\). 3. Einsetzen von \(B(4\mid3)\) ergibt \(3=(4-1)^2+y_S\), also \(y_S=-6\). 4. Damit lautet die Funktionsgleichung \(g(x)=(x-1)^2-6\). 5. Die beiden gleich hohen Punkte legen die Symmetrieachse eindeutig fest. Da bei einer Normalparabel außerdem der Streckfaktor \(a=1\) feststeht, bestimmt einer der Punkte anschließend auch \(y_S\) eindeutig.

a) \(g(x)=(x-1)^2-6\) b) Die gleich hohen Punkte legen die Symmetrieachse \(x=1\) fest. Mit dem festen Streckfaktor \(a=1\) ist dadurch auch die Höhe des Scheitelpunkts eindeutig bestimmt.

- Was passiert mit der Gleichung, wenn du den \(x\)-Wert eines Punktes einsetzt? - Überlege dir, wie sich der \(y\)-Wert eines Punktes verändern muss, damit er senkrecht nach oben wandert. - Wie hängen die Begriffe „Gleichung“, „größer als“ und „kleiner als“ mit den Lagen „auf“, „oberhalb“ und „unterhalb“ zusammen?

1. Punkt \(M(2 | y)\) auf der Parabel: Setze \(x = 2\) in \(g(x)\) ein: \(g(2) = -2(2 - 1)^2 + 5 = -2(1)^2 + 5 = -2 + 5 = 3\). Damit \(M\) auf der Parabel liegt, muss \(y = 3\) gelten. 2. Bedingung für „oberhalb“: Ein Punkt liegt oberhalb des Graphen, wenn sein \(y\)-Wert größer ist als der Funktionswert an der entsprechenden \(x\)-Stelle. Da \(g(2) = 3\), lautet die Bedingung: \(y > 3\). 3. Lage von \(N(4 | -13)\): Berechne \(g(4) = -2(4 - 1)^2 + 5 = -2(3)^2 + 5 = -2 \cdot 9 + 5 = -18 + 5 = -13\). Da der gegebene \(y\)-Wert \(-13\) exakt dem Funktionswert entspricht, liegt der Punkt \(N\) auf der Parabel.

1. \(y = 3\) 2. \(y > 3\) 3. Der Punkt \(N\) liegt auf der Parabel.

- Was verrät dir die Wertemenge über die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnung der Parabel? - Wo liegt der Scheitelpunkt im Verhältnis zur Symmetrieachse? - Welchen Punkt kannst du aus der Information über die Nullstelle ableiten?

1. Aus der Wertemenge \(y\le4\) folgt, dass die Parabel nach unten geöffnet ist und \(y_S=4\) gilt. Die Symmetrieachse \(x=2\) liefert \(x_S=2\). Damit ist \(S(2\mid4)\). 2. Die Scheitelpunktform lautet \(g(x)=a(x-2)^2+4\). 3. Wegen der Nullstelle \(x=0\) gilt \(0=a(0-2)^2+4\), also \(0=4a+4\). Daraus folgt \(a=-1\). 4. Somit ist \(g(x)=-(x-2)^2+4\). Ausmultiplizieren ergibt \(g(x)=-x^2+4x\).

\(g(x) = -x^2 + 4x\)

- Wie sieht die Scheitelpunktform aus und welche Werte von \(S(4\mid2)\) kannst du dort direkt einsetzen? - Wie kannst du den Punkt \(P(0\mid-6)\) nutzen, um den noch unbekannten Streckfaktor \(a\) zu berechnen? - Welche binomische Formel brauchst du, um die quadratische Klammer aufzulösen? - Multipliziere anschließend den Faktor vor der Klammer mit allen Gliedern.

1. Ansatz der Scheitelpunktform mit \(S(4\mid2)\): \(p(x) = a(x-4)^2 + 2\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(0\mid-6)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-6 = a(0-4)^2 + 2\). 3. Gleichung nach \(a\) auflösen: \(-6 = 16a + 2 \Rightarrow -8 = 16a \Rightarrow a = -0{,}5\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(p(x) = -0{,}5(x-4)^2 + 2\). 5. Ausmultiplizieren der binomischen Formel: \(p(x) = -0{,}5(x^2 - 8x + 16) + 2\). 6. Klammer auflösen und zusammenfassen: \(p(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 8 + 2 = -0{,}5x^2 + 4x - 6\).

a) Die Scheitelpunktform ist \(p(x) = -0{,}5(x-4)^2 + 2\). b) Die allgemeine Form ist \(p(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 6\).

- Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung? - Wie kannst du den Term so umformen, dass du den tiefsten Punkt direkt ablesen kannst? - Welche Werte kann ein Quadrat einer Zahl annehmen? - Überlege dir, in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

1. Berechnung der Diskriminante: Für \(0 = 0{,}5x^2 - 3x + 5{,}5\) ist \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 5{,}5 = 9 - 11 = -2\). Da \(\Delta < 0\), hat die Gleichung keine reellen Lösungen und der Graph keine Nullstellen. 2. Umformung in die Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 - 6x) + 5{,}5 = 0{,}5((x-3)^2 - 9) + 5{,}5 = 0{,}5(x-3)^2 - 4{,}5 + 5{,}5 = 0{,}5(x-3)^2 + 1\). 3. Begründung der Funktionswerte: Da der quadratische Term \((x-3)^2\) für alle \(x\) stets \(\ge 0\) ist, ist auch \(0{,}5(x-3)^2 \ge 0\). Somit gilt \(f(x) = 0{,}5(x-3)^2 + 1 \ge 1\). 4. Wertebereich: Da der Scheitelpunkt bei \(S(3\mid1)\) liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist, umfasst der Wertebereich alle Zahlen \(y \ge 1\), also \(W = [1; \infty)\).

a) \(\Delta = -2 < 0\), daher keine Nullstellen. b) Scheitelpunktform: \(f(x) = 0{,}5(x-3)^2 + 1\). Da \(0{,}5(x-3)^2 \ge 0\), folgt \(f(x) \ge 1\). c) \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 1\}\) oder \(W = [1; \infty)\).

- Welche Angaben über den Scheitelpunkt stecken direkt im Funktionsterm? - Wie verändert sich der Graph links und rechts vom Scheitelpunkt? - Setze \(3-d\) und \(3+d\) getrennt ein und vergleiche die Ergebnisse.

1. Aus der Scheitelpunktform liest man \(S(3\mid2)\) ab. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, gilt \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge2\}\). 2. Links vom Scheitelpunkt fällt der Graph, rechts davon steigt er. Die Funktion ist für \(x\le3\) streng monoton fallend und für \(x\ge3\) streng monoton steigend. 3. Es gilt \(f(3-d)=(-d)^2+2=d^2+2\) und \(f(3+d)=d^2+2\). Damit ist \(f(3-d)=f(3+d)\) für jedes \(d\) gezeigt.

1. Scheitelpunkt \(S(3\mid2)\), Wertemenge \(W=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge2\}\) 2. Streng monoton fallend für \(x\in(-\infty;3]\), streng monoton steigend für \(x\in[3;\infty)\) 3. \(f(3-d)=d^2+2=f(3+d)\); damit ist die Symmetrie zu \(x=3\) nachgewiesen.

- Nutze die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt für den Ansatz der Scheitelpunktform. - Wie kannst du den unbekannten Streckfaktor mit dem Punkt \(P\) bestimmen? - Welche Bedingung gilt an den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen? - Wo liegt der Spiegelpunkt von \(P\) bezüglich der Symmetrieachse?

1. Mit \(S(1\mid-2)\) gilt \(f(x)=a(x-1)^2-2\). Einsetzen von \(P(3\mid6)\) ergibt \(6=4a-2\), also \(a=2\). Damit ist \(f(x)=2(x-1)^2-2=2x^2-4x\). 2. Für die \(y\)-Achse gilt \(f(0)=0\), also \(S_y(0\mid0)\). Für die Nullstellen gilt \(2x^2-4x=2x(x-2)=0\). Daher sind die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse \(N_1(0\mid0)\) und \(N_2(2\mid0)\). 3. Die Symmetrieachse ist \(x=1\). Der Punkt \(P(3\mid6)\) liegt zwei Einheiten rechts davon. Der symmetrische Punkt liegt zwei Einheiten links davon bei \(x=-1\). Der zweite Punkt ist also \((-1\mid6)\). 4. Da \(a=2>0\) gilt, ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt. Der kleinste Funktionswert ist \(-2\) bei \(x=1\).

1. Scheitelpunktform: \(f(x)=2(x-1)^2-2\); allgemeine Form: \(f(x)=2x^2-4x\) 2. \(N_1(0\mid0)\), \(N_2(2\mid0)\) und \(S_y(0\mid0)\) 3. \((-1\mid6)\) 4. Minimum \(-2\) bei \(x=1\)

- Was bedeutet der Begriff „Maximum“ für die Lage des Scheitelpunkts und die Öffnung der Parabel? - Welche Koordinaten hat der Koordinatenursprung? - Parabeln sind symmetrisch. Wie hilft dir die Lage des Scheitelpunkts und einer Nullstelle, die andere zu finden? - Kannst du die Gleichung aus Teil a) nutzen, um die Nullstellen rechnerisch zu bestimmen?

1. Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3 \mid 4{,}5)\). 2. Ansatz Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 3)^2 + 4{,}5\). 3. Punktprobe mit dem Ursprung \((0 \mid 0)\): \(0 = a(0 - 3)^2 + 4{,}5 \Rightarrow 0 = 9a + 4{,}5 \Rightarrow 9a = -4{,}5 \Rightarrow a = -0{,}5\). 4. Ausmultiplizieren für Teilaufgabe a): \(f(x) = -0{,}5(x^2 - 6x + 9) + 4{,}5 = -0{,}5x^2 + 3x - 4{,}5 + 4{,}5 = -0{,}5x^2 + 3x\). 5. Bestimmung der zweiten Nullstelle für Teilaufgabe b): Da die Parabel achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 3\) ist und eine Nullstelle bei \(x_1 = 0\) liegt (Abstand \(3\) zur Symmetrieachse \(x = 3\)), liegt die zweite Nullstelle bei \(x_2 = 3 + 3 = 6\). Alternativ über die Gleichung: \(-0{,}5x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(-0{,}5x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 6\).

a) \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x\) b) Die zweite Nullstelle liegt bei \(x = 6\).

- Welche Funktionsform lässt sich aus einem gegebenen Scheitelpunkt besonders direkt aufstellen? - Welche Koordinate hat jeder Punkt auf der \(y\)-Achse? - Welche bereits vorliegende Funktionsform macht die Nullstellenberechnung hier besonders einfach?

1. Mit dem Scheitelpunkt gilt zunächst \(g(x)=a(x-1)^2+4{,}5\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(P(0\mid4)\). Einsetzen ergibt \(4=a(0-1)^2+4{,}5\), also \(a=-0{,}5\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(g(x)=-0{,}5(x-1)^2+4{,}5=-0{,}5x^2+x+4\). Das ist die allgemeine Form. 4. Für die Nullstellen kann die Scheitelpunktform direkt genutzt werden: \(-0{,}5(x-1)^2+4{,}5=0\). Daraus folgt \((x-1)^2=9\). 5. Damit gilt \(x-1=3\) oder \(x-1=-3\), also \(x_1=4\) und \(x_2=-2\).

a) \(g(x)=-0{,}5x^2+x+4\) b) \(x_1=4\) und \(x_2=-2\)

- Was verrät dir die Symmetrieachse über die Lage des Scheitelpunkts? - Welche Koordinaten hat der Punkt auf der \(y\)-Achse, wenn der Achsenabschnitt \(-3\) ist? - Du hast zwei Unbekannte (\(a\) und \(y_S\)) in der Scheitelpunktform. Wie kannst du zwei Gleichungen aufstellen, um beide zu finden? - Was sagt das Vorzeichen von \(a\) über die Öffnung der Parabel aus?

1. Aus der Symmetrie zur Geraden \(x = 2\) folgt für die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_S = 2\). 2. Ansatz der Scheitelpunktform: \(f(x) = a(x - 2)^2 + y_S\). 3. Nutzen der Punkte \(P(0 | -3)\) und \(Q(1 | 3)\) zur Aufstellung eines Gleichungssystems: (I) \(-3 = a(0 - 2)^2 + y_S \implies -3 = 4a + y_S\) (II) \(3 = a(1 - 2)^2 + y_S \implies 3 = a + y_S\) 4. Lösen des Systems: Subtraktion von (I) und (II) ergibt \(6 = -3a \implies a = -2\). 5. Berechnung von \(y_S\): Einsetzen von \(a\) in (II) ergibt \(3 = -2 + y_S \implies y_S = 5\). 6. Bestimmung der allgemeinen Form: \(f(x) = -2(x - 2)^2 + 5 = -2(x^2 - 4x + 4) + 5 = -2x^2 + 8x - 3\). Daraus folgt \(a = -2, b = 8, c = -3\). 7. Scheitelpunkt ist \(S(2 | 5)\). Da \(a = -2 < 0\) ist, ist die Parabel nach unten geöffnet, folglich ist der Scheitelpunkt ein Hochpunkt.

a) \(a = -2, b = 8, c = -3\) b) \(S(2 | 5)\); es ist ein Hochpunkt, da \(a < 0\) ist (die Parabel ist nach unten geöffnet).

- Was verrät dir die Symmetrieachse und der tiefste Punkt über die Lage des Scheitelpunkts? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Was bedeutet es für den Funktionswert, wenn ein Punkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Kannst du die Gleichung direkt nach \(x\) auflösen, ohne die Klammern zu öffnen?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Aus der Symmetrieachse \(x = 1\) und dem minimalen Wert \(-4\) ergibt sich \(S(1 \mid -4)\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(g(x) = a(x - 1)^2 - 4\). 3. Nutzung des \(y\)-Achsenabschnitts: Der Punkt ist \(Q(0 \mid -3)\). Einsetzen in die Gleichung: \(-3 = a(0 - 1)^2 - 4\). 4. Berechnung von \(a\): \(-3 = a - 4 \implies a = 1\). 5. Funktionsgleichung: \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\). 6. Berechnung der Nullstellen (Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse): Setze \(g(x) = 0 \implies (x - 1)^2 - 4 = 0\). 7. Lösen der Gleichung: \((x - 1)^2 = 4 \implies x - 1 = \pm 2\). Daraus folgen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 8. Angabe der Koordinaten: \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\).

\(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\)

- Lies zuerst die Scheitelpunkte beider Parabeln ab und notiere die zugehörigen Terme. - Prüfe den im Bild sichtbaren Schnittpunkt durch Einsetzen in beide Terme. - Vergleiche für einen rechnerischen Schnittpunkt die beiden Funktionsterme und beobachte, welche Terme sich beim Zusammenfassen aufheben.

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus dem Graphen: Der Scheitelpunkt von \(f\) liegt bei \(S_f(-2 \mid -1)\), also lautet die Gleichung \(f(x) = (x + 2)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt von \(g\) liegt bei \(S_g(1 \mid -4)\), also lautet die Gleichung \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\). 2. Berechnung des Schnittpunkts durch Gleichsetzen: \((x + 2)^2 - 1 = (x - 1)^2 - 4\) \(x^2 + 4x + 4 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 4\) \(x^2 + 4x + 3 = x^2 - 2x - 3\) Durch Subtraktion von \(x^2\) auf beiden Seiten fällt das quadratische Glied weg: \(4x + 3 = -2x - 3\) \(6x = -6 \Rightarrow x = -1\) 3. Einsetzen von \(x = -1\) in eine der Gleichungen zur Bestimmung des \(y\)-Werts: \(y = (-1 + 2)^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0\) Der Schnittpunkt ist \(S(-1 \mid 0)\). 4. Begründung für c): Beim Gleichsetzen zweier Normalparabeln \(x^2 + b_1x + c_1 = x^2 + b_2x + c_2\) fällt das \(x^2\) immer weg. Es bleibt eine lineare Gleichung der Form \((b_1 - b_2)x = c_2 - c_1\) übrig. Diese hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizienten der linearen Terme unterschiedlich sind (\(b_1 \neq b_2\)), was bei unterschiedlichen \(x\)-Koordinaten der Scheitelpunkte der Fall ist.

a) \(f(x) = (x + 2)^2 - 1\) und \(g(x) = (x - 1)^2 - 4\) b) Die Rechnung bestätigt den sichtbaren Schnittpunkt \((-1\mid0)\). c) Beim Gleichsetzen der Terme fällt das quadratische Glied \(x^2\) weg, sodass eine lineare Gleichung mit genau einer Lösung übrig bleibt (vorausgesetzt, die \(x\)-Werte der Scheitelpunkte sind verschieden).

- Berechne zuerst die beiden Funktionswerte von \(f\), die in den Bedingungen vorkommen. - Setze für \(g\) die Scheitelpunktform \(g(x)=(x-x_S)^2+y_S\) an. - Wie kannst du die beiden Gleichungen so kombinieren, dass \(y_S\) wegfällt? - Was muss bei einer Punktprobe zwischen Punktkoordinate und Funktionswert übereinstimmen?

1. Zuerst gilt \(f(3)=9\) und \(f(1)=1\). 2. Für \(g(x)=(x-x_S)^2+y_S\) entstehen die Bedingungen \((1-x_S)^2+y_S=9\) und \((3-x_S)^2+y_S=1\). 3. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt \((1-x_S)^2-(3-x_S)^2=8\). Ausmultiplizieren führt zu \(4x_S-8=8\), also \(x_S=4\). 4. Einsetzen in \((3-x_S)^2+y_S=1\) ergibt \(1+y_S=1\), also \(y_S=0\). 5. Damit ist \(g(x)=(x-4)^2\). 6. Für \(P(2\mid0)\) gilt \(g(2)=4\). Da \(4\neq0\), liegt \(P\) nicht auf dem Graphen.

Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = (x - 4)^2\). Der Punkt \(P(2\mid0)\) liegt nicht auf dem Graphen, da \(g(2) = 4 \neq 0\).