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- Beim Produktgesetz werden zwei nichtnegative Radikanden unter einer gemeinsamen Wurzel multipliziert. - Beim Quotientengesetz darf der Radikand im Nenner nicht null sein. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob der neue Radikand eine Quadratzahl ist.

1. Bei a) wird das Produktgesetz verwendet: \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3\cdot27}=\sqrt{81}=9\). 2. Bei b) wird das Quotientengesetz verwendet: \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6\).

a) \(9\); Produktgesetz b) \(6\); Quotientengesetz

- Berechne bei jeder Gleichung die linke und die rechte Seite getrennt. - Achte darauf, welche Rechenart innerhalb der Wurzel steht. - Eine vermutete Wurzelgleichung kannst du hier mit den kleinen Quadratzahlen direkt überprüfen.

1. Zu a): Links ist \(\sqrt{36}=6\), rechts ist \(3\cdot2=6\). Die Gleichung ist richtig. 2. Zu b): Links ist \(\sqrt{13}\), rechts ist \(3+2=5\). Da \(\sqrt{13}\ne5\), ist die Gleichung falsch.

a) richtig b) falsch

- Gibt es Rechenregeln, mit denen du zwei Wurzeln zusammenfassen kannst? - Wie verändert sich die Anzahl der Nullen oder Nachkommastellen beim Wurzelziehen? - Du kannst einen Bruch unter der Wurzel aufteilen in eine Wurzel im Zähler und eine im Nenner.

1. Bei \(\sqrt{\frac{144}{25}}\) können Zähler und Nenner getrennt radiziert werden: \(\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2{,}4\). 2. Für \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}\) nutzt man das Produktgesetz: \(\sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6\). 3. Bei \(\sqrt{0{,}0004}\) ergibt sich wegen \(0{,}02 \cdot 0{,}02 = 0{,}0004\) der Wert \(0{,}02\). 4. \(\sqrt{10^4}\) entspricht \(\sqrt{10\,000}\). Da \(100^2 = 10\,000\), ist das Ergebnis \(100\).

a) \(2{,}4\) b) \(6\) c) \(0{,}02\) d) \(100\)

- Wie rechnet man eine gemischte Zahl in einen Bruch um? - Gibt es eine Regel, wie man die Wurzel aus einem Bruch zieht? - Erkennst du in den Zählern und Nennern bekannte Quadratzahlen?

1. Umwandlung der gemischten Zahlen in unechte Brüche: a) \(1\frac{11}{25} = \frac{25 \cdot 1 + 11}{25} = \frac{36}{25}\) b) \(1\frac{13}{36} = \frac{36 \cdot 1 + 13}{36} = \frac{49}{36}\) c) \(1\frac{15}{49} = \frac{49 \cdot 1 + 15}{49} = \frac{64}{49}\) d) \(1\frac{19}{81} = \frac{81 \cdot 1 + 19}{81} = \frac{100}{81}\) 2. Anwendung der Wurzelgesetze für Brüche \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\): a) \(\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}\) b) \(\sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6}\) c) \(\sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{8}{7}\) d) \(\sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}\)

a) \(\frac{6}{5}\) b) \(\frac{7}{6}\) c) \(\frac{8}{7}\) d) \(\frac{10}{9}\)

- Kannst du die Zahlen unter ein gemeinsames Wurzelzeichen schreiben? - Wie gehst du mit den Zahlen vor der Wurzel um? Werden sie mit den Zahlen unter der Wurzel verrechnet? - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für Division bei gleichen Basen? - Überprüfe am Ende, ob du aus dem Ergebnis unter der Wurzel noch eine Quadratzahl ziehen kannst.

1. Anwendung der Regel \(\sqrt{a} {:} \sqrt{b} = \sqrt{a {:} b}\): \(\sqrt{108 {:} 3} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zusammenfassen unter einer Wurzel: \(\sqrt{\frac{125x^3}{5x}}\). Kürzen des Bruchs unter der Wurzel ergibt \(\sqrt{25x^2}\). Ziehen der Wurzel führt zu \(5x\). 3. Getrennte Division der Koeffizienten und der Wurzelterme: \((12 {:} 3) \cdot \sqrt{10 {:} 2} = 4\sqrt{5}\).

1) \(6\) 2) \(5x\) 3) \(4\sqrt{5}\)

- Kannst du die beiden Wurzeln zu einer einzigen Wurzel zusammenfassen? - Welches Wurzelgesetz hilft dir beim Dividieren von Wurzeln? - Vereinfache zuerst den Wert unter der Wurzel, bevor du den Näherungswert bestimmst. - Achte beim Runden auf die zweite Dezimalstelle.

1. Anwendung des Quotientengesetzes für Quadratwurzeln \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) auf alle Teilaufgaben. 2. Berechnung der Radikanden: \(40 {:} 5 = 8\); \(45 {:} 3 = 15\); \(21 {:} 7 = 3\); \(120 {:} 6 = 20\). 3. Bestimmung der Quadratwurzeln: \(\sqrt{8} \approx 2{,}828\); \(\sqrt{15} \approx 3{,}873\); \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\); \(\sqrt{20} \approx 4{,}472\). 4. Rundung auf eine Dezimalstelle: \(\sqrt{8} \approx 2{,}8\); \(\sqrt{15} \approx 3{,}9\); \(\sqrt{3} \approx 1{,}7\); \(\sqrt{20} \approx 4{,}5\).

1) \(\approx 2{,}8\); 2) \(\approx 3{,}9\); 3) \(\approx 1{,}7\); 4) \(\approx 4{,}5\).

- Prüfe zuerst, wann eine Quadratwurzel im reellen Zahlenbereich definiert ist. - Bei einem Bruch kommt zusätzlich eine Bedingung hinzu, die es bei einem Produkt nicht gibt. - Setze gedanklich \(b=0\) in beide linken Seiten ein und vergleiche.

1. Für das Produktgesetz müssen beide einzelnen Quadratwurzeln definiert sein. Daher gilt \(a\ge0\) und \(b\ge0\). 2. Für das Quotientengesetz muss zusätzlich der Nenner \(\sqrt{b}\) von null verschieden sein. Daher gilt \(a\ge0\) und \(b>0\). 3. Im Produkt darf \(b=0\) sein, weil Multiplikation mit \(\sqrt0=0\) erlaubt ist. Im Quotienten würde \(b=0\) dagegen eine Division durch null erzeugen.

a) \(a\ge0\) und \(b\ge0\) b) \(a\ge0\) und \(b>0\) c) Bei \(b=0\) wäre der Nenner \(\sqrt b=0\); Division durch null ist nicht definiert.

- Berechne in Teil a) zunächst beide konkreten Ausdrücke getrennt. - Für die allgemeine Begründung reicht die gleiche Quadratzahl allein noch nicht: Prüfe zusätzlich, dass beide Seiten nichtnegativ sind. - Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass eine vermeintliche allgemeine Additionsregel nicht gilt.

1. Es ist \(A = \sqrt{144} = 12\) und \(B = 6 \cdot 2 = 12\). 2. Für \(a,b \ge 0\) sind sowohl \(\sqrt{ab}\) als auch \(\sqrt{a}\sqrt{b}\) nichtnegativ. Außerdem gilt \((\sqrt{a}\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2 = ab\). Damit ist \(\sqrt{a}\sqrt{b}\) die nichtnegative Zahl, deren Quadrat \(ab\) ist. Nach der Definition der Quadratwurzel folgt \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\). 3. Für Teil b) gilt \(C = \sqrt{100} = 10\), während \(D = 8 + 6 = 14\) ist. Somit ist \(C \ne D\). 4. Daher darf die Quadratwurzel im Allgemeinen nicht über eine Summe verteilt werden. Für positive \(a\) und \(b\) gilt insbesondere \(\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

a) \(A = B = 12\). Für \(a,b \ge 0\) gilt \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\); die Gleichheit folgt daraus, dass beide Seiten nichtnegativ sind und dasselbe Quadrat \(ab\) besitzen. b) \(C = 10\), \(D = 14\); also \(C \ne D\). c) Eine Quadratwurzel darf im Allgemeinen nicht über eine Summe verteilt werden.

- Schreibe die Quadratwurzel als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\). - Welches Potenzgesetz gilt, wenn eine Potenz nochmals potenziert wird? - Schreibe die Dezimalzahl in Teil c) zuerst als Zehnerpotenz.

1. Mit \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) gilt \(\sqrt{10^{2n}} = (10^{2n})^{\frac{1}{2}} = 10^{2n \cdot \frac{1}{2}} = 10^n\). 2. Zu a): \(\sqrt{10^6} = 10^3 = 1000\). 3. Zu b): \(\sqrt{10^{-4}} = 10^{-2} = 0{,}01\). 4. Zu c): \(0{,}000001 = 10^{-6}\), also \(\sqrt{0{,}000001} = 10^{-3} = 0{,}001\).

1. \(\sqrt{10^{2n}} = 10^n\) 2. a) \(1000\), b) \(0{,}01\), c) \(0{,}001\)

- Wann ist eine Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen definiert? - Welches Vorzeichen muss der Ausdruck unter der Wurzel (der Radikand) haben? - Bedenke, dass ein Minuszeichen vor einer Variablen nicht automatisch bedeutet, dass der Wert negativ ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten, wenn beide Faktoren negativ sind?

1. Für den Ausdruck \(\sqrt{-a}\) muss \(-a \ge 0\) gelten, also \(a \le 0\). Analog muss für \(\sqrt{-b}\) gelten, dass \(b \le 0\). Wenn \(a \le 0\) und \(b \le 0\), dann ist das Produkt \(a \cdot b \ge 0\), wodurch auch die linke Seite \(\sqrt{a \cdot b}\) definiert ist. Die Gleichung ist unter diesen Bedingungen wahr, da \(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt{ab}\). Ergebnis: \(a \le 0\) und \(b \le 0\). 2. Für die rechte Seite müssen \(-a \ge 0\) (also \(a \le 0\)) und \(-b > 0\) (da der Nenner nicht Null sein darf, also \(b < 0\)) erfüllt sein. Unter diesen Bedingungen ist der Quotient \(\frac{a}{b} \ge 0\), sodass die linke Seite definiert ist. Die Gleichung ist wahr, da \(\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}} = \sqrt{\frac{-a}{-b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\). Ergebnis: \(a \le 0\) und \(b < 0\).

1) \(a \le 0\) und \(b \le 0\) 2) \(a \le 0\) und \(b < 0\)

- Gibt es eine Regel, mit der man zwei Wurzeln, die dividiert werden, zusammenfassen kann? - Kannst du Dezimalzahlen in Brüche umwandeln oder das Komma verschieben, um einfacher zu dividieren? - Bei Teil d: Was passiert mit den Exponenten der Variablen, wenn du sie dividierst? - Erinnerst du dich an die Regel \(\sqrt{x^2} = |x|\)?

1. Zu a): Anwendung der Regel \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}\) ergibt \(\sqrt{\frac{180}{5}} = \sqrt{36} = 6\). 2. Zu b): Umwandlung in einen gemeinsamen Wurzelterm \(\sqrt{\frac{1{,}2}{0{,}3}} = \sqrt{4} = 2\). 3. Zu c): Zusammenfassen des Zählers zu \(\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10\). Division durch \(\sqrt{4} = 2\) ergibt \(10 {:} 2 = 5\). Alternativ: \(\sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5\). 4. Zu d): Zusammenfassen unter einer Wurzel \(\sqrt{\frac{27 \cdot a^3}{3 \cdot a}} = \sqrt{9 \cdot a^2}\). Da \(a > 0\), ist das Ergebnis \(3a\).

a) \(6\) b) \(2\) c) \(5\) d) \(3a\)

- Fasse Produkte oder Quotienten von Quadratwurzeln zuerst mithilfe der passenden Wurzelgesetze zusammen. - Prüfe nach dem Zusammenfassen, ob sich aus dem Radikanden noch eine Quadratzahl herausziehen lässt. - Bestimme den Dezimalwert erst nach der exakten Vereinfachung und runde erst am Ende.

1. Zu 1): Im Nenner gilt \(\sqrt{3}\sqrt{2} = \sqrt{6}\). Daher ist \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{6}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\). 2. Zu 2): \(\sqrt{\frac{3}{4}}\sqrt{8} = \sqrt{\frac{3}{4}\cdot 8} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\). 3. Zu 3): \(\frac{\sqrt{5{,}4}}{\sqrt{0{,}3}} = \sqrt{5{,}4 {:} 0{,}3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). 4. Zu 4): \(\frac{\sqrt{14}\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{28}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7} \approx 2{,}65\).

1) \(2\sqrt{3} \approx 3{,}46\) 2) \(\sqrt{6} \approx 2{,}45\) 3) \(3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) 4) \(\sqrt{7} \approx 2{,}65\)

- Für a) kann das Produkt der beiden Radikanden eine Quadratzahl sein, auch wenn die einzelnen Radikanden keine Quadratzahlen sind. - Für b) sind kleine Quadratzahlen praktisch, weil beide Seiten schnell berechnet werden können. - Für c) überlege rückwärts, welcher quadratische Faktor vor \(\sqrt2\) zu dem Koeffizienten \(3\) führt.

1. Ein mögliches Beispiel für a) ist \(a=2\), \(b=8\). Dann gilt \(\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4\), während \(\sqrt2\) und \(\sqrt8\) nicht natürlich sind. 2. Ein mögliches Beispiel für b) ist \(a=9\), \(b=16\). Dann ist \(\sqrt{9+16}=5\), aber \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\). 3. Für c) muss \(n=3^2\cdot2=18\) gelten. Daher ist \(\sqrt{18}=3\sqrt2\). 4. Andere Beispiele sind zulässig, sofern sie die geforderten Eigenschaften erfüllen.

Beispiel: a) \(a=2\), \(b=8\) b) \(a=9\), \(b=16\) c) \(n=18\) Andere passende Beispiele sind ebenfalls richtig.

- Vergleiche in a) die beiden Seiten getrennt. - Nutze in b) die vorgegebene Idee des Quadrierens und achte dabei auf den vollständigen binomischen Ausdruck. - Berücksichtige beim Schluss von den Quadraten auf die ursprünglichen Ausdrücke deren Vorzeichen.

1. Für \(a=9\) und \(b=16\) gilt \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\), während \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) ist. Die Gleichung ist hier falsch. 2. Für \(a,b>0\) ergibt das Quadrieren der linken Seite \((\sqrt a+\sqrt b)^2=a+b+2\sqrt{ab}\). 3. Das Quadrat der rechten Seite ist \((\sqrt{a+b})^2=a+b\). 4. Wegen \(a,b>0\) gilt \(2\sqrt{ab}>0\). Daher ist \((\sqrt a+\sqrt b)^2>(\sqrt{a+b})^2\). 5. Beide Seiten der ursprünglichen Gleichung sind positiv. Deshalb folgt \(\sqrt a+\sqrt b>\sqrt{a+b}\) für alle \(a,b>0\). Lenas Vermutung ist richtig.

a) Die Gleichung ist falsch, da \(7\neq5\). b) Die Vermutung ist richtig. Für \(a,b>0\) gilt \((\sqrt a+\sqrt b)^2=a+b+2\sqrt{ab}>a+b=(\sqrt{a+b})^2\), also \(\sqrt a+\sqrt b>\sqrt{a+b}\).