- Welche Werte werden für \(x\) und \(f(x)\) bei jedem Punkt eingesetzt? - Was passiert mit \(ax^2\) und \(bx\), wenn \(x=0\) ist? - Achte bei einem negativen \(x\)-Wert getrennt auf \(x^2\) und auf \(x\).

1. Aus \(A(0|2)\) folgt \(c=2\). 2. Aus \(B(1|4)\) folgt \(a+b+c=4\). 3. Aus \(C(-2|8)\) folgt \(a(-2)^2+b(-2)+c=8\), also \(4a-2b+c=8\). 4. Damit ist System A korrekt.

System A ist korrekt. Beispielsweise ergibt \(C(-2|8)\) wegen \((-2)^2=4\) die Gleichung \(4a-2b+c=8\).

- Setze bei jedem Punkt seine \(x\)-Koordinate in \(ax^2+bx+c\) ein. - Die \(y\)-Koordinate steht jeweils auf der rechten Seite. - Achte bei \(x=-1\) darauf, dass \((-1)^2=1\), aber \(b(-1)=-b\) gilt.

1. Aus \(A(0\mid-1)\) folgt \(c=-1\). 2. Aus \(B(2\mid3)\) folgt \(4a+2b+c=3\). 3. Aus \(C(-1\mid4)\) folgt \(a-b+c=4\).

\(c=-1\), \(4a+2b+c=3\), \(a-b+c=4\)

- Welche geometrische Besonderheit erkennst du an den drei gegebenen Punkten? - Welche Informationen über die Parabel kannst du daraus gewinnen, bevor du eine Gleichungsform auswählst? - Welche Darstellungsform nutzt die von dir gewonnenen Informationen besonders direkt?

1. Die Punkte \(A(-2\mid1)\) und \(C(2\mid1)\) haben denselben \(y\)-Wert. Daher liegt die Symmetrieachse in der Mitte bei \(x=0\). 2. Der Punkt \(B(0\mid5)\) liegt auf dieser Achse und ist damit der Scheitelpunkt \(S(0\mid5)\). 3. Deshalb ist die Scheitelpunktform besonders günstig: \(f(x)=ax^2+5\). 4. Mit \(C(2\mid1)\) gilt \(1=4a+5\), also \(a=-1\). 5. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=-x^2+5\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x)=-x^2+5\). Aufgrund der Symmetrie ist \(B(0\mid5)\) der Scheitelpunkt; deshalb ist die Scheitelpunktform ein besonders günstiger Einstieg.

- Vergleiche die \(y\)-Werte und die \(x\)-Koordinaten von \(P\) und \(R\). - Wo muss die Symmetrieachse zwischen zwei gleich hohen Parabelpunkten liegen? - Welche besondere Rolle hat der Punkt \(Q\), wenn er genau auf dieser Achse liegt? - Welche Funktionsform nutzt einen bekannten Scheitelpunkt direkt?

1. Die Punkte \(P\) und \(R\) haben denselben \(y\)-Wert und ihre \(x\)-Koordinaten liegen gleich weit von \(x=2\) entfernt. Daher ist \(x=2\) die Symmetrieachse. 2. Der Punkt \(Q(2 \mid 0)\) liegt auf dieser Achse und auf der Parabel. Somit ist \(Q\) der Scheitelpunkt. Ein geeigneter Ansatz ist \(f(x)=a(x-2)^2\). 3. Mit \(P(0 \mid 4)\) gilt \(4=a(0-2)^2=4a\). Daher ist \(a=1\). 4. Also \(f(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4\). Damit sind \(a=1\), \(b=-4\) und \(c=4\).

\(a=1\), \(b=-4\), \(c=4\); also \(f(x)=x^2-4x+4\).

- Welche Gleichung entsteht allgemein, wenn ein Punkt \((x \mid y)\) auf \(f(x)=ax^2+bx+c\) liegt? - Setze die Koordinaten jedes Punkts einzeln ein. - Achte besonders darauf, was beim Quadrieren der negativen \(x\)-Koordinate passiert.

1. Einsetzen von \(A(-1 \mid 4)\) liefert \(a-b+c=4\). 2. Einsetzen von \(B(0 \mid 1)\) liefert \(c=1\). 3. Einsetzen von \(C(2 \mid 3)\) liefert \(4a+2b+c=3\).

\(a-b+c=4\) \(c=1\) \(4a+2b+c=3\)

- Prüfe jede Gleichung direkt gegen den zugehörigen Punkt. - Behandle \(x^2\) und \(x\) bei einem negativen x-Wert getrennt. - Welche Vorzeichen entstehen für \((-2)^2\) und für \(-2b\)?

1. Die Gleichung zu \(Q(1\mid2)\) ist korrekt: \(a+b+c=2\). 2. Die Gleichung zu \(R(3\mid10)\) ist ebenfalls korrekt: \(9a+3b+c=10\). 3. Für \(P(-2\mid5)\) gilt \(a(-2)^2+b(-2)+c=5\), also \(4a-2b+c=5\). 4. Elias hat beim linearen Term das negative \(x\) nicht berücksichtigt.

Die erste Gleichung ist falsch. Korrekt ist \(4a-2b+c=5\), weil bei \(x=-2\) der lineare Term \(-2b\) entsteht.

- Beginne mit dem Punkt, dessen x-Koordinate \(0\) ist. Welcher Koeffizient wird dadurch sofort sichtbar? - Nutze danach die beiden übrigen Punktgleichungen, um \(a\) und \(b\) zu bestimmen. - Setze für die Kontrolle die drei gegebenen x-Werte in deinen fertigen Term ein und vergleiche mit den zugehörigen y-Werten.

1. Aus \(B(0\mid1)\) folgt direkt \(c=1\). 2. Aus \(A(-1\mid6)\) folgt \(a-b+1=6\), also \(a-b=5\). 3. Aus \(C(2\mid3)\) folgt \(4a+2b+1=3\), also \(2a+b=1\). 4. Aus \(a-b=5\) folgt \(b=a-5\). Einsetzen in \(2a+b=1\) liefert \(3a-5=1\), also \(a=2\) und \(b=-3\). Damit ist \(f(x)=2x^2-3x+1\). 5. Kontrolle: \(f(-1)=2+3+1=6\), \(f(0)=1\), \(f(2)=8-6+1=3\). Alle drei Bedingungen sind erfüllt.

a) \(a=2\), \(b=-3\), \(c=1\), also \(f(x)=2x^2-3x+1\). b) \(f(-1)=6\), \(f(0)=1\), \(f(2)=3\); der Term erfüllt alle drei Punktbedingungen.

- Der Punkt mit \(x=0\) macht einen Koeffizienten sofort sichtbar. - Subtrahiere passende Gleichungen voneinander, um die Zahl der Unbekannten zu verkleinern. - Welche Bedingung muss der Koeffizient \(a\) erfüllen, damit eine Funktion wirklich quadratisch ist?

1. Aus \(A(0\mid1)\) folgt \(c=1\). 2. Aus \(B(1\mid3)\) folgt \(a+b+1=3\), also \(a+b=2\). 3. Aus \(C(2\mid5)\) folgt \(4a+2b+1=5\), also \(2a+b=2\). 4. Subtraktion von \(a+b=2\) ergibt \(a=0\). Damit ist \(b=2\) und \(c=1\). 5. Der Term lautet \(f(x)=2x+1\). Wegen \(a=0\) ist der quadratische Anteil verschwunden. Die drei Punkte liegen daher auf einer Geraden; es entsteht keine quadratische Funktion.

\(a=0\), \(b=2\), \(c=1\), also \(f(x)=2x+1\). Das Ergebnis ist **nicht quadratisch**, weil der Koeffizient von \(x^2\) gleich \(0\) ist.

- Beginne mit dem Wert für \(x = 0\), um eine Unbekannte sofort zu bestimmen. - Stelle für die anderen beiden Werte ein kleines Gleichungssystem auf. - Kannst du die beiden Gleichungen so addieren oder subtrahieren, dass eine Variable wegfällt?

1. Nutzung von \(f(0) = -4\): Einsetzen ergibt \(a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = -4\), woraus direkt \(c = -4\) folgt. 2. Aufstellen der Gleichungen für die anderen Punkte mit \(c = -4\): I: \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 4 = -2 \implies a + b = 2\) II: \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 4 = -10 \implies a - b = -6\) 3. Additionsverfahren für I und II: \((a + b) + (a - b) = 2 + (-6) \implies 2a = -4 \implies a = -2\). 4. Einsetzen von \(a = -2\) in Gleichung I: \(-2 + b = 2 \implies b = 4\).

\(a = -2; b = 4; c = -4\). Die Funktion lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x - 4\).

- Was verrät dir ein Punkt, der auf der \(y\)-Achse liegt, über die Parameter der Funktion? - Setze die Koordinaten der Punkte für \(x\) und \(f(x)\) in die allgemeine Form ein. - Kannst du das entstandene System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die \(x\)-Werte der Punkte in deine fertige Gleichung einsetzt.

1. Einsetzen des Punktes \(A(0 | 4)\) ergibt direkt den \(y\)-Achsenabschnitt: \(c = 4\). 2. Einsetzen der Punkte \(B\) und \(C\) unter Verwendung von \(c = 4\): (I) \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 4 = 3 \Rightarrow a + b = -1\) (II) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 4 = 6 \Rightarrow 4a + 2b = 2\) 3. Vereinfachen von Gleichung (II) durch Division durch 2: \(2a + b = 1\). 4. Subtraktion von Gleichung (I) von der vereinfachten Gleichung (II): \((2a + b) - (a + b) = 1 - (-1) \Rightarrow a = 2\). 5. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen in \(a + b = -1\): \(2 + b = -1 \Rightarrow b = -3\). 6. Resultierende Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4\).

Die Koeffizienten sind \(a = 2\), \(b = -3\) und \(c = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 3x + 4\).

- Erstelle für jeden Punkt eine Gleichung. - Gibt es zwei Gleichungen, die sich besonders ähneln und bei denen sich durch Addition oder Subtraktion eine Variable direkt eliminieren lässt? - Wenn du eine Variable berechnet hast, wie kannst du das Problem auf ein System mit nur noch zwei Unbekannten reduzieren? - Gehe Schritt für Schritt vor und notiere dir die Zwischenergebnisse für \(a\), \(b\) und \(c\).

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 1\) (Punkt \(P\)) (II) \(4a + 2b + c = 0\) (Punkt \(Q\)) (III) \(a - b + c = 9\) (Punkt \(R\)) 2. Elimination von \(b\) durch Subtraktion von (III) von (I): \((a+b+c) - (a-b+c) = 1 - 9 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4\). 3. Einsetzen von \(b = -4\) in (I) und (II): (I') \(a - 4 + c = 1 \Rightarrow a + c = 5\) (II') \(4a - 8 + c = 0 \Rightarrow 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (I') von (II'): \((4a + c) - (a + c) = 8 - 5 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1\). 5. Bestimmung von \(c\) aus (I'): \(1 + c = 5 \Rightarrow c = 4\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

Die Funktionsgleichung der Parabel lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 4\).

- Was passiert, wenn du die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Form der Parabelgleichung einsetzt? - Wie viele Unbekannte hast du und wie viele Gleichungen ergeben sich daraus? - Gibt es zwei Gleichungen, die sich besonders leicht kombinieren lassen, um eine Variable zu eliminieren? - Welches Verfahren (Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren) erscheint dir hier am effizientesten?

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): (I) \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0 \Rightarrow a + b + c = 0\) (II) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 1 \Rightarrow 4a + 2b + c = 1\) (III) \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 10 \Rightarrow a - b + c = 10\) 2. Elimination von \(b\) durch Subtraktion von (III) von (I): \((a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 10 \Rightarrow 2b = -10 \Rightarrow b = -5\). 3. Einsetzen von \(b = -5\) in (I) und (II): (I') \(a - 5 + c = 0 \Rightarrow a + c = 5\) (II') \(4a - 10 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = 11\) 4. Elimination von \(c\) durch Subtraktion von (I') von (II'): \((4a + c) - (a + c) = 11 - 5 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2\). 5. Bestimmung von \(c\) durch Einsetzen von \(a = 2\) in (I'): \(2 + c = 5 \Rightarrow c = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\).

\(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\)

- Setze für jeden gegebenen Punkt seine \(x\)- und \(y\)-Koordinate in \(y=ax^2+bx+c\) ein. - So erhältst du drei Gleichungen mit den drei Unbekannten \(a\), \(b\) und \(c\). - Welche beiden Gleichungen lassen sich zuerst besonders einfach voneinander abziehen?

1. Einsetzen von \(P(-1\mid9)\) ergibt \(a-b+c=9\). 2. Einsetzen von \(Q(1\mid1)\) ergibt \(a+b+c=1\). 3. Einsetzen von \(R(2\mid3)\) ergibt \(4a+2b+c=3\). 4. Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: \(2b=-8\), also \(b=-4\). 5. Mit \(b=-4\) werden die erste und dritte Gleichung zu \(a+c=5\) und \(4a+c=11\). Subtraktion liefert \(3a=6\), also \(a=2\). 6. Aus \(a+c=5\) folgt \(c=3\). Damit lautet die Funktion \(f(x)=2x^2-4x+3\).

Gleichungssystem: \(a-b+c=9\), \(a+b+c=1\), \(4a+2b+c=3\). Lösung: \(a=2\), \(b=-4\), \(c=3\). Also \(f(x)=2x^2-4x+3\).

- Welchen Vorteil bietet der Punkt \(A(0 | 5)\) beim Aufstellen der Gleichungen? - Setze den bekannten Wert für \(c\) sofort in die anderen Gleichungen ein, um das System zu vereinfachen. - Wie testet man mathematisch, ob ein Punkt auf einer Kurve liegt?

1. Punkt \(A(0 | 5)\) liefert direkt den Parameter \(c\): \(f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 5 \Rightarrow c = 5\). 2. Aufstellen der Gleichungen mit den Punkten \(B\) und \(C\) unter Verwendung von \(c = 5\): (I) \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 5 = 1 \Rightarrow 4a + 2b = -4 \Rightarrow 2a + b = -2\) (II) \(a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 5 = 5 \Rightarrow 16a + 4b = 0 \Rightarrow 4a + b = 0\) 3. Subtraktion von (I) von (II): \((4a + b) - (2a + b) = 0 - (-2) \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1\). 4. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen in (II): \(4(1) + b = 0 \Rightarrow b = -4\). 5. Funktionsgleichung: \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). 6. Punktprobe für \(D(5 | 10)\): Berechne \(f(5) = 5^2 - 4 \cdot 5 + 5 = 25 - 20 + 5 = 10\). Da \(10 = 10\), liegt der Punkt \(D\) auf der Parabel.

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). Der Punkt \(D(5 | 10)\) liegt auf dem Graphen.

- Welcher gegebene Punkt vereinfacht die Bestimmung eines Koeffizienten unmittelbar? - Welche zwei Gleichungen entstehen aus den beiden übrigen Punkten? - Wie kannst du nach der Bestimmung der Koeffizienten die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umwandeln?

1. Aus \(A(0|-1)\) folgt direkt \(c=-1\). 2. Mit \(B(2|5)\) erhält man \(4a+2b-1=5\), also \(4a+2b=6\). Mit \(C(-2|-3)\) erhält man \(4a-2b-1=-3\), also \(4a-2b=-2\). 3. Addition der beiden Gleichungen liefert \(8a=4\), also \(a=0{,}5\). Einsetzen in \(4a+2b=6\) ergibt \(2+2b=6\), also \(b=2\). 4. Damit lautet die allgemeine Form \(f(x)=0{,}5x^2+2x-1\). 5. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=0{,}5(x^2+4x)-1=0{,}5((x+2)^2-4)-1=0{,}5(x+2)^2-3\).

Die allgemeine Form lautet \(f(x)=0{,}5x^2+2x-1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x)=0{,}5(x+2)^2-3\).

- Stelle für jeden der drei Punkte eine Gleichung auf. - Vergleiche die Gleichungen für \(P\) und \(Q\). Fällt dir etwas auf, das die Berechnung einer Variable vereinfacht? - Wenn du \(a\), \(b\) und \(c\) berechnet hast, wie findest du den Scheitelpunkt am sichersten?

1. Aufstellen des Gleichungssystems: (I) \(a - b + c = -5\) (aus \(P\)) (II) \(a + b + c = 3\) (aus \(Q\)) (III) \(4a + 2b + c = 1\) (aus \(R\)) 2. Elimination von \(b\): Subtraktion (II) \(-\) (I) ergibt \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). 3. Bestimmung von \(a\) und \(c\): Einsetzen von \(b=4\) in (II) ergibt \(a + c = -1\). Einsetzen in (III) ergibt \(4a + 8 + c = 1 \Rightarrow 4a + c = -7\). 4. Lösen für \(a\) und \(c\): Subtraktion \((4a+c) - (a+c) = -7 - (-1) \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2\). Damit folgt \(c = -1 - (-2) = 1\). 5. Funktionsgleichung: \(f(x) = -2x^2 + 4x + 1\). 6. Scheitelpunktform: \(f(x) = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2((x - 1)^2 - 1) + 1 = -2(x - 1)^2 + 3\). 7. Scheitelpunkt: \(S(1|3)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^2 + 4x + 1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x) = -2(x - 1)^2 + 3\), woraus sich der Scheitelpunkt \(S(1|3)\) ergibt.

- Welche Gleichung entsteht aus jedem der drei Punkte? - Welche beiden Gleichungen lassen sich so kombinieren, dass eine Variable unmittelbar wegfällt? - Wie wandelst du die gefundene allgemeine Form anschließend durch quadratische Ergänzung um?

1. Einsetzen der Punkte ergibt \(a-b+c=1\), \(a+b+c=-1\) und \(4a+2b+c=1\). 2. Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten liefert \(-2b=2\), also \(b=-1\). 3. Mit \(b=-1\) folgt aus der zweiten Gleichung \(a+c=0\), also \(c=-a\). In der dritten Gleichung ergibt sich \(4a-2-a=1\), also \(3a=3\) und damit \(a=1\). Somit ist \(c=-1\). 4. Die allgemeine Form lautet \(f(x)=x^2-x-1\). 5. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=x^2-x+0{,}25-0{,}25-1=(x-0{,}5)^2-1{,}25\).

Der Funktionsterm lautet \(f(x)=x^2-x-1\). Die Scheitelpunktform ist \(f(x)=(x-0{,}5)^2-1{,}25\).

- Welche geometrischen Informationen lassen sich aus den drei Punkten gewinnen, bevor du eine Gleichungsform auswählst? - Welche der drei Darstellungsformen nutzt solche geometrischen Informationen besonders direkt? - Begründe deine Wahl, bevor du den noch unbekannten Parameter bestimmst.

1. Die Punkte \(A(1\mid7)\) und \(C(5\mid7)\) haben denselben \(y\)-Wert. Daher liegt die Symmetrieachse in der Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten bei \(x=3\). 2. Der Punkt \(B(3\mid3)\) liegt auf dieser Achse und ist daher der Scheitelpunkt \(S(3\mid3)\). 3. Deshalb ist die Scheitelpunktform ein besonders günstiger Ansatz: \(f(x)=a(x-3)^2+3\). 4. Mit \(A(1\mid7)\) gilt \(7=4a+3\), also \(a=1\). 5. Damit lautet die Funktion \(f(x)=(x-3)^2+3\), in allgemeiner Form \(f(x)=x^2-6x+12\).

Die Scheitelpunktform eignet sich besonders gut. Es gilt \(f(x)=(x-3)^2+3\). In allgemeiner Form lautet die Funktion \(f(x)=x^2-6x+12\).

- Welche allgemeine Form enthält genau die drei unbekannten Koeffizienten, die drei Punkte bestimmen können? - Setze jeden Punkt mit seinem \(x\)- und \(y\)-Wert ein. - Welche beiden Gleichungen lassen sich so voneinander abziehen, dass mehrere Terme wegfallen?

1. Mit \(y=ax^2+bx+c\) entstehen durch Einsetzen der Punkte die Gleichungen \(a-b+c=11\), \(a+b+c=3\) und \(4a+2b+c=5\). 2. Die Differenz der zweiten und ersten Gleichung ergibt \(2b=-8\), also \(b=-4\). 3. Mit \(b=-4\) folgen aus der zweiten und dritten Gleichung \(a+c=7\) und \(4a+c=13\). 4. Subtraktion liefert \(3a=6\), also \(a=2\). Damit ist \(c=5\). 5. Die Parabel lautet \(y=2x^2-4x+5\).

Aus den drei Punkten entsteht das LGS \(a-b+c=11\), \(a+b+c=3\), \(4a+2b+c=5\). Aus der Differenz der ersten beiden Gleichungen folgt \(b=-4\). Danach ergeben die reduzierten Gleichungen \(a+c=7\) und \(4a+c=13\), also \(a=2\) und \(c=5\). Damit lautet die Parabel \(y=2x^2-4x+5\).

- Stelle für jeden der drei Punkte eine Gleichung auf, indem du die x- und y-Werte einsetzt. - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen? - Kannst du eine Variable direkt eliminieren, wenn du zwei Gleichungen voneinander abziehst? - Für die Scheitelpunktform hilft es, den Streckfaktor auszuklammern und dann im Inneren der Klammer quadratisch zu ergänzen.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(y = ax^2 + bx + c\): (I) \(a(-1)^2 + b(-1) + c = 6 \Rightarrow a - b + c = 6\) (II) \(a(1)^2 + b(1) + c = -2 \Rightarrow a + b + c = -2\) (III) \(a(2)^2 + b(2) + c = 0 \Rightarrow 4a + 2b + c = 0\) 2. Subtraktion von (I) von (II) ergibt \(2b = -8\), also \(b = -4\). 3. Einsetzen von \(b = -4\) in (II) und (III): (II') \(a - 4 + c = -2 \Rightarrow a + c = 2\) (III') \(4a - 8 + c = 0 \Rightarrow 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (II') von (III') ergibt \(3a = 6\), also \(a = 2\). 5. Einsetzen von \(a = 2\) in (II') ergibt \(2 + c = 2\), also \(c = 0\). 6. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^2 - 4x\). 7. Umwandlung in die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) = 2((x-1)^2 - 1) = 2(x-1)^2 - 2\).

a) \(f(x) = 2x^2 - 4x\) b) \(f(x) = 2(x-1)^2 - 2\)

- Der Punkt mit \(x=0\) liefert \(c\) direkt. - Setze die beiden anderen Punkte ein und löse die zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\). - Welche beiden gegebenen Punkte haben denselben Funktionswert?

1. Aus \(P(0\mid3)\) folgt \(c=3\). Mit \(Q\) und \(R\) erhält man \(a+b=-1\) und \(2a+b=0\). Daraus folgt \(a=1\), \(b=-2\). Also \(f(x)=x^2-2x+3\). 2. Wegen \(a=1\) ist die Parabel gleich breit wie die Normalparabel. 3. Die Punkte \(P\) und \(R\) haben denselben Funktionswert und liegen bei \(x=0\) und \(x=2\). Die Symmetrieachse liegt deshalb bei \(x=1\). Dort liegt \(Q(1\mid2)\), also ist \(S(1\mid2)\) der Scheitelpunkt.

a) \(f(x)=x^2-2x+3\) b) Gleich breit wie die Normalparabel, weil \(a=1\). c) \(S(1\mid2)\).

- Welche besonderen Informationen liefern die Punkte mit \(y=0\)? - Welche der drei Darstellungsformen nutzt die sichtbaren Besonderheiten der gegebenen Punkte am direktesten? - Begründe deine Wahl, bevor du den noch unbekannten Faktor bestimmst. - Wie kannst du anschließend prüfen, ob \(D\) zum Graphen gehört?

1. Die Punkte \(K\) und \(L\) liegen auf der \(x\)-Achse. Daher sind \(x_1=-3\) und \(x_2=1\) Nullstellen. Ein günstiger Ansatz ist \(f(x)=a(x+3)(x-1)\). 2. Mit \(M(2 \mid 10)\) gilt \(10=a(2+3)(2-1)=5a\). Somit ist \(a=2\). 3. Ausmultiplizieren liefert \(f(x)=2(x+3)(x-1)=2x^2+4x-6\). 4. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x)=2(x^2+2x)-6=2((x+1)^2-1)-6=2(x+1)^2-8\). 5. Für \(D\) gilt \(f(-2)=2(-2)^2+4(-2)-6=-6\). Damit liegt \(D(-2 \mid -6)\) auf dem Graphen.

a) \(f(x)=2x^2+4x-6\) b) \(f(x)=2(x+1)^2-8\) c) Ja, \(D(-2 \mid -6)\) liegt auf dem Graphen.

- Kannst du den \(y\)-Achsenabschnitt direkt aus den gegebenen Punkten ablesen? - Setze die Koordinaten der Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um ein Gleichungssystem zu erhalten. - Wie kannst du eine Variable eliminieren, wenn du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten hast?

1. Einsetzen von \(P_1(0|1)\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): \(a(0)^2 + b(0) + c = 1 \Rightarrow c = 1\). 2. Einsetzen von \(P_2(2|5)\) mit \(c=1\): \(a(2)^2 + b(2) + 1 = 5 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2\). 3. Einsetzen von \(P_3(4|5)\) mit \(c=1\): \(a(4)^2 + b(4) + 1 = 5 \Rightarrow 16a + 4b = 4 \Rightarrow 4a + b = 1\). 4. Lösen des Gleichungssystems: Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \((4a + b) - (2a + b) = 1 - 2 \Rightarrow 2a = -1 \Rightarrow a = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(a\) in \(2a + b = 2\): \(2(-0{,}5) + b = 2 \Rightarrow -1 + b = 2 \Rightarrow b = 3\). 6. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 1\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 1\).

- Welche Information steckt in der Aussage „schneidet die \(y\)-Achse bei 5“ für deine Formel? - Wie kannst du die zwei gegebenen Punkte nutzen, um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufzustellen? - Welche Methode (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) erscheint dir hier am einfachsten?

1. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 5)\), woraus folgt: \(c = 5\). 2. Aufstellen der Gleichungen für die Punkte \(D\) und \(E\) unter Verwendung von \(c = 5\): Für \(D(-1 \mid 12)\): \(a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 5 = 12 \Rightarrow a - b = 7\) (I) Für \(E(2 \mid 9)\): \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 5 = 9 \Rightarrow 4a + 2b = 4 \Rightarrow 2a + b = 2\) (II) 3. Lösen des Systems durch Addition von (I) und (II): \((a + 2a) + (-b + b) = 7 + 2 \Rightarrow 3a = 9 \Rightarrow a = 3\) 4. Einsetzen von \(a = 3\) in (I): \(3 - b = 7 \Rightarrow -b = 4 \Rightarrow b = -4\) 5. Einsetzen der gefundenen Werte in die allgemeine Form: \(p(x) = 3x^2 - 4x + 5\).

Die Funktionsgleichung lautet \(p(x) = 3x^2 - 4x + 5\).

- Kannst du die Steigung zwischen zwei Punkten berechnen? - Was müsste für die Steigungen gelten, damit die Punkte auf einer Geraden liegen? - Welchen Wert der allgemeinen Form kannst du direkt ablesen, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie kannst du ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen?

1. Berechnung der Steigungen zwischen den Punkten: \(m_{AB} = \frac{2 - 10}{0 - (-2)} = -4\) und \(m_{BC} = \frac{2 - 2}{2 - 0} = 0\). 2. Da \(m_{AB} \neq m_{BC}\), liegen die Punkte nicht auf einer Geraden. 3. Aufstellen des Gleichungssystems mit \(f(x) = ax^2 + bx + c\): Aus \(B(0 \mid 2)\) folgt \(f(0) = c = 2\). Aus \(A(-2 \mid 10)\) folgt \(4a - 2b + 2 = 10 \Rightarrow 4a - 2b = 8\). Aus \(C(2 \mid 2)\) folgt \(4a + 2b + 2 = 2 \Rightarrow 4a + 2b = 0\). 4. Addition der beiden Gleichungen: \(8a = 8 \Rightarrow a = 1\). 5. Einsetzen von \(a\) in \(4a + 2b = 0\): \(4 + 2b = 0 \Rightarrow b = -2\). 6. Die Funktion lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 2\).

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Die quadratische Funktion lautet \(f(x) = x^2 - 2x + 2\).

- Berechne die Steigungen zwischen \(P\) und \(Q\) sowie zwischen \(Q\) und \(R\). - Stelle für jeden Punkt eine Gleichung auf, indem du \(x\) und \(y\) in \(f(x) = ax^2 + bx + c\) einsetzt. - Wie kannst du die Variable \(c\) aus den Gleichungen eliminieren?

1. Überprüfung auf Kollinearität: \(m_{PQ} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = 2\) und \(m_{QR} = \frac{7 - 3}{3 - 2} = 4\). Die Punkte sind nicht kollinear. 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(a + b + c = 1\) (aus \(P\)) (II) \(4a + 2b + c = 3\) (aus \(Q\)) (III) \(9a + 3b + c = 7\) (aus \(R\)) 3. Reduktion des Systems durch Subtraktion: (II) - (I): \(3a + b = 2\) (IV) (III) - (II): \(5a + b = 4\) (V) 4. Lösen des reduzierten Systems: (V) - (IV): \(2a = 2 \Rightarrow a = 1\). In (IV): \(3(1) + b = 2 \Rightarrow b = -1\). 5. Bestimmung von \(c\): In (I) einsetzen: \(1 - 1 + c = 1 \Rightarrow c = 1\). 6. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x^2 - x + 1\).

Die Punkte sind nicht kollinear. Die quadratische Funktion ist \(f(x) = x^2 - x + 1\).

- Wie kannst du mit zwei aufeinanderfolgenden Steigungen prüfen, ob drei Punkte kollinear sind? - Welche beiden Punkte haben denselben \(y\)-Wert, und wo liegt die Mitte ihrer \(x\)-Koordinaten? - Welche Bedeutung hat der dritte Punkt, wenn seine \(x\)-Koordinate genau auf dieser Mitte liegt? - Welche Darstellungsform ist besonders günstig, sobald der Scheitelpunkt bekannt ist?

1. Für die Steigungen gilt \(m_{KL}=\frac{-2-1}{1-(-2)}=-1\) und \(m_{LM}=\frac{1-(-2)}{4-1}=1\). Die Steigungen sind verschieden, also liegen die drei Punkte nicht auf einer Geraden. 2. \(K\) und \(M\) haben denselben \(y\)-Wert. Ihre \(x\)-Koordinaten \(-2\) und \(4\) liegen symmetrisch zu \(x=1\). Da \(L(1 \mid -2)\) auf der Symmetrieachse liegt, ist \(L\) der Scheitelpunkt. 3. Ansatz in Scheitelpunktform: \(f(x)=a(x-1)^2-2\). 4. Mit \(K(-2 \mid 1)\) gilt \(1=a(-2-1)^2-2=9a-2\). Daraus folgt \(a=\frac{1}{3}\). 5. Ausmultiplizieren: \(f(x)=\frac{1}{3}(x-1)^2-2=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\).

Die Punkte liegen nicht auf einer Geraden. Die gesuchte Funktion ist \(f(x)=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\).

- Setze die x- und y-Werte der Punkte nacheinander in die allgemeine Form ein. - Du erhältst drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Welches Verfahren kennst du, um solche Systeme zu lösen? - Versuche zuerst eine der Variablen (zum Beispiel c) zu eliminieren, indem du die Gleichungen voneinander abziehst.

1. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte in \(f(x) = ax^2 + bx + c\): I: \(4a - 2b + c = 10\) II: \(a + b + c = -2\) III: \(9a + 3b + c = 0\) 2. Elimination von \(c\) durch Subtraktion der Gleichungen: (I - II): \(3a - 3b = 12 \Rightarrow a - b = 4\) (Gleichung IV) (III - II): \(8a + 2b = 2 \Rightarrow 4a + b = 1\) (Gleichung V) 3. Lösen des Systems aus IV und V: Addieren von IV und V: \(5a = 5 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen in IV: \(1 - b = 4 \Rightarrow b = -3\). 4. Einsetzen von \(a\) und \(b\) in II zur Bestimmung von \(c\): \(1 + (-3) + c = -2 \Rightarrow -2 + c = -2 \Rightarrow c = 0\). 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = x^2 - 3x\).

\(f(x) = x^2 - 3x\)

- Was passiert mit den Termen \(ax^2\) und \(bx\), wenn du für \(x\) die Zahl \(0\) einsetzt? - Kannst du eine der Unbekannten sofort bestimmen, wenn ein Punkt auf der \(y\)-Achse gegeben ist? - Wenn du zwei Gleichungen addierst oder subtrahierst, fällt dann eine Variable weg?

1. Einsetzen der Punktkoordinaten in die allgemeine Form \(y = ax^2 + bx + c\): \(P(1|5) \implies a + b + c = 5\) \(Q(-1|1) \implies a - b + c = 1\) \(R(0|2) \implies c = 2\) 2. Einsetzen von \(c = 2\) in die ersten beiden Gleichungen: (I) \(a + b = 3\) (II) \(a - b = -1\) 3. Addition von (I) und (II) zur Elimination von \(b\): \(2a = 2 \implies a = 1\). 4. Bestimmung von \(b\) durch Einsetzen von \(a = 1\) in (I): \(1 + b = 3 \implies b = 2\). 5. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(y = x^2 + 2x + 2\).

Die Funktionsgleichung lautet \(y = x^2 + 2x + 2\).

- Achte auf die Vorzeichen beim Einsetzen negativer \(x\)-Werte in \(ax^2\). - Schau dir die Koeffizienten von \(a\) und \(c\) in den Gleichungen für \(A\) und \(C\) genau an. Was fällt dir auf? - Welches Rechenverfahren (Addition, Subtraktion, Einsetzen) bietet sich hier an, um Variablen schnell zu eliminieren?

1. Aufstellen des LGS durch Einsetzen der Punkte: (I) \(4a - 2b + c = 10\) (Punkt \(A\)) (II) \(a + b + c = 1\) (Punkt \(B\)) (III) \(4a + 2b + c = 6\) (Punkt \(C\)) 2. Subtraktion von (I) von (III): \((4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 6 - 10 \implies 4b = -4 \implies b = -1\). 3. Einsetzen von \(b = -1\) in (II) und (III): (II') \(a - 1 + c = 1 \implies a + c = 2\) (III') \(4a - 2 + c = 6 \implies 4a + c = 8\) 4. Subtraktion von (II') von (III'): \(3a = 6 \implies a = 2\). 5. Bestimmung von \(c\): \(2 + c = 2 \implies c = 0\). 6. Ergebnis: Die Funktionsgleichung lautet \(y = 2x^2 - x\).

a) (I) \(4a - 2b + c = 10\); (II) \(a + b + c = 1\); (III) \(4a + 2b + c = 6\) b) Durch Subtraktion der Gleichungen (I) und (III) fallen \(a\) und \(c\) weg, sodass \(4b = -4\) bzw. \(b = -1\) folgt. c) \(y = 2x^2 - x\)

- Erinnere dich an die Bedeutung des Parameters \(c\) im Graphen einer quadratischen Funktion. - Kannst du eine der Gleichungen vereinfachen, bevor du sie mit einer anderen kombinierst? - Überprüfe dein Ergebnis am Ende, indem du die \(x\)-Werte der Punkte \(T\) und \(U\) in deine fertige Gleichung einsetzt.

1. Vorteil von \(S(0|4)\): Beim Einsetzen von \(x = 0\) fallen die Terme \(ax^2\) und \(bx\) weg, sodass direkt \(c = 4\) folgt. 2. Einsetzen der übrigen Punkte mit \(c = 4\): \(T(1|3) \implies a + b + 4 = 3 \implies a + b = -1\) \(U(-2|-6) \implies 4a - 2b + 4 = -6 \implies 4a - 2b = -10\) 3. Vereinfachen der zweiten Gleichung durch Division durch 2: \(2a - b = -5\). 4. Addition der Gleichungen \((a + b) + (2a - b) = -1 + (-5) \implies 3a = -6 \implies a = -2\). 5. Einsetzen von \(a = -2\) in \(a + b = -1\): \(-2 + b = -1 \implies b = 1\). 6. Funktionsgleichung: \(y = -2x^2 + x + 4\).

Der Punkt \(S(0|4)\) liefert direkt den Parameter \(c = 4\). Die Parameter sind \(a = -2\), \(b = 1\) und \(c = 4\). Die Gleichung lautet \(y = -2x^2 + x + 4\).

- Welche Gleichung erhältst du aus jedem der drei gegebenen Punkte? - Ein Punkt mit \(x=0\) liefert einen Koeffizienten besonders direkt. - Nutze die drei Bedingungen gemeinsam, bevor du den zusätzlichen Punkt prüfst.

1. Aus \(Q(0|2)\) folgt unmittelbar \(c=2\). 2. Einsetzen von \(P(-1|6)\) ergibt \(a-b+2=6\), also \(a-b=4\). 3. Einsetzen von \(R(2|0)\) ergibt \(4a+2b+2=0\), also \(2a+b=-1\). 4. Aus \(a-b=4\) folgt \(b=a-4\). Eingesetzt in \(2a+b=-1\) ergibt sich \(3a=3\), also \(a=1\) und \(b=-3\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=x^2-3x+2\). 6. Für \(x=3\) gilt \(f(3)=9-9+2=2\). Daher liegt \(S(3|2)\) auf dem Graphen.

a) \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\), also \(f(x)=x^2-3x+2\). b) Ja, \(S(3|2)\) liegt auf dem Graphen.

- Lies zuerst jeden markierten Punkt am Raster ab, bevor du rechnest. - Welcher der drei Punkte vereinfacht den konstanten Term besonders stark? - Welche Gleichungen entstehen aus den beiden übrigen Punkten nach dieser Vereinfachung?

1. Aus der Zeichnung liest man \(A(-2 \mid 3)\), \(B(0 \mid 1)\) und \(C(1 \mid 3)\) ab. 2. Aus \(B\) folgt direkt \(c=1\). 3. Mit \(A\) erhält man \(4a-2b+1=3\), also \(2a-b=1\). Mit \(C\) erhält man \(a+b+1=3\), also \(a+b=2\). 4. Addieren der beiden Gleichungen ergibt \(3a=3\), also \(a=1\). Danach ist \(b=1\). 5. Die gesuchte Funktion lautet \(f(x)=x^2+x+1\).

a) \(A(-2 \mid 3)\), \(B(0 \mid 1)\), \(C(1 \mid 3)\) b) \(f(x)=x^2+x+1\)

- Vergleiche die Koordinaten von \(A\) und \(C\). - Welche Symmetrieachse ergibt sich aus zwei gleich hohen Punkten mit entgegengesetzten \(x\)-Koordinaten? - Welche Vereinfachung hat die allgemeine Form bei Symmetrie zur \(y\)-Achse?

1. Die Punkte \(A\) und \(C\) liegen gleich hoch und haben entgegengesetzte \(x\)-Koordinaten. Daher ist die Parabel zur \(y\)-Achse symmetrisch. 2. Der Punkt \(B(0 \mid 1)\) liegt auf dieser Symmetrieachse und ist damit der Scheitelpunkt. Ein passender Ansatz ist \(f(x)=ax^2+1\). 3. Einsetzen von \(A(-2 \mid 5)\) ergibt \(5=4a+1\), also \(a=1\). 4. Somit lautet die Funktion \(f(x)=x^2+1\).

Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse ist ein geeigneter Ansatz \(f(x)=ax^2+1\). Daraus folgt \(f(x)=x^2+1\).

- Welche Gleichung liefert jeder Punkt nach dem Einsetzen in \(ax^2+bx+c\)? - Welche Variable kommt in allen drei Gleichungen mit demselben Koeffizienten vor? - Wie kannst du aus drei Gleichungen zunächst zwei Gleichungen mit nur noch zwei Unbekannten erzeugen? - Was ist der nächste gleichartige Schritt, bevor du rückwärts einsetzt?

1. Durch Einsetzen entstehen die Gleichungen \(a+b+c=2\), \(4a+2b+c=3\) und \(9a+3b+c=6\). 2. Ein systematisches Vorgehen besteht darin, zunächst dieselbe Variable aus zwei Gleichungspaaren zu eliminieren. Hier wird \(c\) beseitigt: Aus (II) minus (I) folgt \(3a+b=1\), aus (III) minus (II) folgt \(5a+b=3\). 3. Nun wird in den beiden verbleibenden Gleichungen wieder dieselbe Variable eliminiert. Subtraktion ergibt \(2a=2\), also \(a=1\). 4. Rückwärtseinsetzen in \(3a+b=1\) liefert \(b=-2\). Rückwärtseinsetzen in \(a+b+c=2\) liefert \(c=3\). 5. Die gesuchte Funktion lautet \(f(x)=x^2-2x+3\). 6. Das Schema ist algorithmisch: drei Gleichungen werden durch Elimination auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert, dann auf eine Gleichung mit einer Unbekannten; anschließend werden die Werte rückwärts eingesetzt.

a) \(a+b+c=2\), \(4a+2b+c=3\), \(9a+3b+c=6\) b) Zuerst dieselbe Variable aus zwei Gleichungspaaren eliminieren, danach aus den zwei verbleibenden Gleichungen eine weitere Variable eliminieren und anschließend rückwärts einsetzen. c) \(f(x)=x^2-2x+3\)

- Setze jeden Punkt in \(y=ax^2+bx+c\) ein. - Welche Variable hat danach in allen drei Gleichungen denselben Koeffizienten? - Subtrahiere zwei passende Gleichungen, um diese Variable zu beseitigen. - Löse anschließend das verbleibende System schrittweise.

1. Einsetzen der drei Punkte ergibt \(a+b+c=4\), \(4a+2b+c=9\) und \(9a+3b+c=18\). 2. Da \(c\) in allen Gleichungen denselben Koeffizienten hat, subtrahiert man benachbarte Gleichungen. Aus (II)-(I) folgt \(3a+b=5\), aus (III)-(II) folgt \(5a+b=9\). 3. Subtraktion der beiden neuen Gleichungen ergibt \(2a=4\), also \(a=2\). 4. Mit \(3a+b=5\) folgt \(b=-1\). 5. Mit \(a+b+c=4\) folgt \(c=3\). Damit ist \(f(x)=2x^2-x+3\).

a) \(a+b+c=4\), \(4a+2b+c=9\), \(9a+3b+c=18\). b) Zum Beispiel (II)-(I) und (III)-(II); daraus folgt \(a=2\), \(b=-1\), \(c=3\), also \(f(x)=2x^2-x+3\).

- Setze für \(R\) die Werte \(x=3\) und \(y=14\) in \(y=ax^2+bx+c\) ein. - Subtrahiere bei (II)-(I) auch die rechten Seiten sorgfältig. - Durch das Subtrahieren verschwindet \(c\). Wende denselben Schritt auf (III)-(II) an. - Löse danach das System mit zwei Unbekannten.

1. Aus \(R(3\mid14)\) folgt \(9a+3b+c=14\). 2. Bei Neles Subtraktion ist die rechte Seite falsch: \(7-2=5\), nicht \(9\). Korrekt ist daher \(3a+b=5\). 3. Aus (III)-(II) folgt \(5a+b=7\). 4. Subtraktion der beiden Differenzgleichungen ergibt \(2a=2\), also \(a=1\). 5. Aus \(3a+b=5\) folgt \(b=2\). Aus \(a+b+c=2\) folgt \(c=-1\). 6. Damit lautet die Parabel \(f(x)=x^2+2x-1\).

a) \(9a+3b+c=14\). b) Korrekt ist \(3a+b=5\), weil \(7-2=5\). c) \(a=1\), \(b=2\), \(c=-1\); also \(f(x)=x^2+2x-1\).

- Beginne bei Leons Term mit \(x=0\). So prüfst du sofort den konstanten Term. - Beim neuen Ansatz liefert der Punkt mit \(x=0\) direkt \(c\); danach bleiben zwei Gleichungen für \(a\) und \(b\). - Für die Schlusskontrolle müssen die drei berechneten Funktionswerte genau mit den drei gegebenen y-Werten übereinstimmen.

1. Es gilt \(p(0)=2\) und \(p(1)=1\); damit passen \(A\) und \(B\). Aber \(p(2)=4-4+2=2\neq4\). Die Bedingung durch \(C(2\mid4)\) ist nicht erfüllt. 2. Für \(f(x)=ax^2+bx+c\) folgt aus \(A\): \(c=2\). Aus \(B\): \(a+b=-1\). Aus \(C\): \(4a+2b=2\), also \(2a+b=1\). Subtraktion liefert \(a=2\), damit \(b=-3\). 3. Der richtige Term ist \(f(x)=2x^2-3x+2\). Kontrolle: \(f(0)=2\), \(f(1)=1\), \(f(2)=8-6+2=4\).

a) Leons Term erfüllt \(A\) und \(B\), aber nicht \(C\), denn \(p(2)=2\neq4\). b) \(f(x)=2x^2-3x+2\) c) \(f(0)=2\), \(f(1)=1\), \(f(2)=4\).

- Setze die \(x\)-Koordinate jedes Punkts noch einmal sorgfältig in \(ax^2+bx+c\) ein. - Bei welchem Punkt kann sich besonders leicht ein Vorzeichenfehler im linearen Term einschleichen? - Vergleiche nach der Korrektur zwei Gleichungen, deren quadratische und konstante Terme gleich aufgebaut sind. - Was bedeutet eine eindeutige Lösung des LGS für die drei Koeffizienten?

1. Für \(A(-1 \mid 2)\) gilt \(f(-1)=a-b+c\), nicht \(a+b+c\). Daher muss (I) \(a-b+c=2\) lauten. (II) und (III) sind korrekt. 2. Aus (I) und (II) folgt durch Subtraktion \(-2b=2\), also \(b=-1\). 3. Mit (II) erhält man \(a+c=1\). Aus (III) folgt mit \(b=-1\) die Gleichung \(4a+c=4\). Subtraktion ergibt \(3a=3\), also \(a=1\) und danach \(c=0\). 4. Das korrigierte LGS besitzt genau eine Lösung \((a,b,c)=(1,-1,0)\). Damit sind alle drei Koeffizienten eindeutig festgelegt.

a) Korrekt ist (I) \(a-b+c=2\). b) \(a=1\), \(b=-1\), \(c=0\); also \(f(x)=x^2-x\). c) Das korrigierte LGS besitzt genau eine Lösung und legt damit die drei Koeffizienten eindeutig fest.