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- Welche Zahl ergibt hoch \(3\) den Wert \(125\)? - Wie viele reelle Lösungen kann eine Gleichung \(x^3=c\) haben?

1. Gesucht ist die Zahl, deren dritte Potenz \(125\) ergibt. Da \(5^3=125\), ist \(x=5\). 2. Bei einer ungeraden dritten Potenz gibt es zu diesem rechten Wert genau eine reelle Lösung.

\(x=5\)

- Welche positive Zahl hat die vierte Potenz \(16\)? - Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl bei einer geraden Potenz?

1. Weil der Exponent gerade ist und die rechte Seite positiv ist, können zwei entgegengesetzte reelle Zahlen Lösungen sein. 2. Es gilt \(2^4=16\) und \((-2)^4=16\). Daher sind \(x=2\) und \(x=-2\) die reellen Lösungen.

\(x\in\{-2,2\}\)

- Welches Vorzeichen kann eine gerade Potenz einer reellen Zahl haben? - Vergleiche diese Möglichkeit mit der rechten Seite der Gleichung.

1. Für jede reelle Zahl \(x\) gilt \(x^4\ge0\), weil der Exponent gerade ist. 2. Daher kann \(x^4\) nicht den negativen Wert \(-16\) annehmen. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

- Was bedeutet ein negativer Exponent für die Lage der Basis im Bruch? - Isoliere zuerst den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Denke daran, dass es beim Quadrieren oft zwei verschiedene Zahlen gibt, die zum selben Ergebnis führen.

1. Umschreiben der Potenz mit negativem Exponenten: \(\frac{1}{a^2} \cdot 25 = 4\), was \(\frac{25}{a^2} = 4\) ergibt. 2. Umstellen der Gleichung nach \(a^2\): \(25 = 4a^2 \implies a^2 = \frac{25}{4}\) 3. Ziehen der Quadratwurzel: \(a = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\) 4. Berechnung der Ergebnisse: \(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\)

\(a = 2{,}5\) oder \(a = -2{,}5\) (bzw. \(a = \frac{5}{2}\) oder \(a = -\frac{5}{2}\))

- Überlege dir zuerst, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden oder ungeraden Exponenten potenzierst? - Prüfe, ob der Wert auf der rechten Seite positiv, negativ oder Null ist. - Wie viele Schnittpunkte hat der Graph der Funktion \(f(x) = x^n\) mit einer waagerechten Geraden?

1. Gleichung \(x^2 = 144\): Da der Exponent gerade und die rechte Seite positiv ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = \sqrt{144} = 12\) und \(x_2 = -\sqrt{144} = -12\). Somit ist \(L = \{-12; 12\}\). 2. Gleichung \(x^3 = -125\): Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung für jede reelle Zahl auf der rechten Seite. Es gilt \(x = \sqrt[3]{-125} = -5\). Somit ist \(L = \{-5\}\). 3. Gleichung \(x^4 = 0\): Eine Potenz ist genau dann Null, wenn die Basis Null ist. Es gibt genau eine Lösung \(x = 0\). Somit ist \(L = \{0\}\). 4. Gleichung \(x^6 = -64\): Da der Exponent gerade ist, kann das Ergebnis einer Potenz mit reeller Basis nie negativ sein. Es gibt keine reelle Lösung. Somit ist \(L = \emptyset\).

a) \(L = \{-12; 12\}\) (zwei Lösungen) b) \(L = \{-5\}\) (eine Lösung) c) \(L = \{0\}\) (eine Lösung) d) \(L = \emptyset\) (keine Lösung)

- Entscheide vor dem Wurzelziehen, wie viele reelle Lösungen aufgrund von Exponent und Vorzeichen möglich sind. - Unterscheide gerade und ungerade Exponenten bei negativer rechter Seite. - Prüfe nach einer exakten Wurzelform, ob sie sich vollständig auswerten lässt. - Achte darauf, auch exakte ganzzahlige Ergebnisse in der verlangten Dezimalgenauigkeit anzugeben.

1. Für \(x^4=150\) gibt es wegen des geraden Exponenten und der positiven rechten Seite zwei Lösungen: \(x=\pm\sqrt[4]{150}\approx\pm3{,}50\). 2. Für \(x^3=-200\) gibt es genau eine reelle Lösung: \(x=\sqrt[3]{-200}=-\sqrt[3]{200}\approx-5{,}85\). 3. Für \(x^6=-10\) gibt es keine reelle Lösung, weil \(x^6\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt. 4. Für \(x^5=32\) gilt exakt \(x=\sqrt[5]{32}=2\); auf zwei Dezimalstellen ist das \(x\approx2{,}00\).

a) \(x=\pm\sqrt[4]{150}\approx\pm3{,}50\) b) \(x=-\sqrt[3]{200}\approx-5{,}85\) c) keine reelle Lösung, da \(x^6\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt d) \(x=2\approx2{,}00\)

- Überlege dir zuerst, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^n = a\) maximal haben? - Kann das Ergebnis einer Potenz mit geradem Exponenten negativ sein? - Was passiert, wenn die Basis einer Potenz Null ist?

1. Bei \(x^4 = 625\) führt das Ziehen der vierten Wurzel zu \(x = \pm \sqrt[4]{625}\). Da \(5^4 = 625\), ergibt sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-5; 5\}\). 2. Bei \(x^3 = -64\) ergibt die dritte Wurzel \(x = \sqrt[3]{-64}\). Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine Lösung: \(x = -4\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-4\}\). 3. Bei \(x^8 = 1\) ergibt die achte Wurzel \(x = \pm \sqrt[8]{1}\), also \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-1; 1\}\). 4. Bei \(x^5 = 0\) ist die einzige Lösung die Basis \(x = 0\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{0\}\).

a) \(L = \{-5; 5\}\) b) \(L = \{-4\}\) c) \(L = \{-1; 1\}\) d) \(L = \{0\}\)

- Welche Symmetrie weist der Graph auf, wenn der Exponent gerade ist? - Wie verläuft der Graph einer Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten durch das Koordinatensystem? - Stelle dir vor, du zeichnest eine waagerechte Gerade auf der Höhe des Wertes rechts vom Gleichheitszeichen. Wie oft trifft sie die Kurve? - Gibt es Funktionswerte, die eine Potenzfunktion mit geradem Exponenten niemals annehmen kann?

1. Fall \(x^6 = 10\): Der Exponent \(n=6\) ist gerade, der Graph von \(y=x^6\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und besitzt einen Tiefpunkt im Ursprung. Da \(10 > 0\), schneidet die Gerade \(y=10\) den Graphen an zwei Stellen. Ergebnis: zwei Lösungen. 2. Fall \(x^3 = -8\): Der Exponent \(n=3\) ist ungerade, der Graph von \(y=x^3\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung und streng monoton steigend von \(-\infty\) bis \(+\infty\). Jede waagerechte Gerade schneidet den Graphen genau einmal. Ergebnis: eine Lösung. 3. Fall \(x^4 = -5\): Der Exponent \(n=4\) ist gerade, alle Funktionswerte von \(y=x^4\) sind größer oder gleich Null. Da \(-5 < 0\), gibt es keinen Schnittpunkt mit der Geraden \(y=-5\). Ergebnis: keine Lösung. 4. Fall \(x^5 = 0\): Der Exponent \(n=5\) ist ungerade, der Graph verläuft durch den Ursprung. Die Gerade \(y=0\) (die \(x\)-Achse) schneidet den Graphen genau im Punkt \((0 | 0)\). Ergebnis: eine Lösung.

a) Zwei Lösungen (gerader Exponent, positiver Wert). b) Eine Lösung (ungerader Exponent). c) Keine Lösung (gerader Exponent, negativer Wert). d) Eine Lösung (Schnittpunkt im Ursprung).

- Bringe zuerst die Masse in die Einheit, die im Modell verwendet wird. - Isoliere anschließend die dritte Potenz der gesuchten Höhe. - Welche Umkehroperation macht die dritte Potenz rückgängig?

1. Die Masse beträgt \(3{,}2\,\text{kg}=3200\,\text{g}\). 2. Einsetzen in das Modell ergibt \(3200=0{,}05h^3\). 3. Division durch \(0{,}05\) liefert \(h^3=64\,000\). 4. Durch Ziehen der dritten Wurzel folgt \(h=\sqrt[3]{64\,000}=40\). 5. Das Modell ist \(40\,\text{cm}\) hoch.

\(40\,\text{cm}\)

- Bringe Masse und Dichte zunächst auf zueinander passende Einheiten. - Bestimme aus Masse und Dichte das Volumen und daraus die Würfelkante. - Überlege für Teil b), um welchen Faktor sich ein Würfelvolumen ändert, wenn jede Kante verdoppelt wird.

1. Die Masse beträgt \(20\,\text{kg}=20\,000\,\text{g}\). 2. Das Volumen ist \(V=\frac{m}{\rho}=\frac{20000}{7{,}87}\,\text{cm}^3\approx2541{,}30\,\text{cm}^3\). 3. Für die Kantenlänge gilt \(a=\sqrt[3]{V}\approx13{,}6464\,\text{cm}\), also gerundet \(a\approx13{,}65\,\text{cm}\). 4. Bei doppelter Kantenlänge wächst das Volumen und damit bei gleicher Dichte die Masse um den Faktor \(2^3=8\). 5. Die neue Masse beträgt \(8\cdot20\,\text{kg}=160\,\text{kg}\).

a) \(a\approx13{,}65\,\text{cm}\) b) \(160\,\text{kg}\)

- Forme die Gleichung zuerst so weit wie möglich allgemein nach \(x^n\) um. - Setze dann die Werte für \(n\) ein. - Was weißt du über die Symmetrie von Potenzfunktionen mit geraden und ungeraden Exponenten?

1. Umformung der Grundgleichung: \(2(x^n - 4) = 120 \Rightarrow x^n - 4 = 60 \Rightarrow x^n = 64\). 2. Fall a (\(n=3\)): \(x^3 = 64\). Die 3. Wurzel aus \(64\) ist \(4\). Da der Exponent ungerade ist, gibt es nur die Lösung \(x = 4\). 3. Fall b (\(n=6\)): \(x^6 = 64\). Die 6. Wurzel aus \(64\) ist \(2\). Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 4. Begründung: Bei ungeraden Exponenten ist die Potenzfunktion streng monoton wachsend und nimmt jeden Wert genau einmal an. Bei geraden Exponenten ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wodurch positive Werte (außer der Null) zwei Urbilder haben.

a) \(x = 4\) (eine Lösung) b) \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) (zwei Lösungen) Begründung: Bei ungeradem \(n\) gibt es für \(x^n = a\) genau eine Lösung; bei geradem \(n\) und \(a > 0\) gibt es zwei Lösungen (\(x = \pm \sqrt[n]{a}\)).

- Welche Zahl ergibt mit sich selbst dreimal multipliziert \(-8\)? - Schau dir den Graphen an: Kann eine horizontale Linie den Graphen an mehr als einer Stelle treffen? - Überlege, wie ein Faktor vor dem \(x^3\) die Form der Kurve beeinflusst.

1. Potenzgleichung lösen: \(x^3 = -8\). Durch Ziehen der ungeraden Wurzel erhält man \(x = \sqrt[3]{-8} = -2\). 2. Anzahl der Schnittpunkte: Da die Funktion \(f(x) = x^3\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend ist (sie steigt von links unten nach rechts oben ständig an), wird jeder Funktionswert genau einmal angenommen. Die Gerade \(y = 5\) schneidet den Graphen daher in genau einem Punkt. 3. Flacherer Verlauf: Ein Graph mit derselben Orientierung verläuft flacher, wenn der Streckfaktor \(a\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt. Ein Beispiel ist \(g(x) = 0{,}5x^3\).

a) Die Lösung ist \(x = -2\). b) Es gibt genau einen Schnittpunkt, da der Graph von links nach rechts streng monoton ansteigt. c) Ein mögliches Beispiel ist \(g(x) = 0{,}5x^3\) (allgemein \(0 < a < 1\)).

- Was bedeuten Schnittpunkte der beiden dargestellten Graphen für die Gleichung \(x^4=5\)? - Zähle die Schnittpunkte und achte darauf, auf welcher Seite der \(y\)-Achse sie liegen.

1. Lösungen von \(x^4=5\) entsprechen den Schnittpunkten der Graphen von \(f\) und \(g\). 2. Im Bild sind zwei Schnittpunkte zu erkennen: einer links und einer rechts der \(y\)-Achse. 3. Daher besitzt die Gleichung zwei reelle Lösungen. Eine ist negativ, die andere positiv.

Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen: eine negative und eine positive.

- Versuche zuerst, die Potenz \(x^n\) allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Welche Rechenoperationen musst du nacheinander anwenden, um die Gleichung zu isolieren? - Denk an die Regeln für das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen. - Achte darauf, ob bei geraden Exponenten zwei Lösungen möglich sind.

1. Gleichung \(3x^4 - 25 = 218\): Zuerst \(25\) addieren: \(3x^4 = 243\). Dann durch \(3\) dividieren: \(x^4 = 81\). Da der Exponent gerade ist, folgt exakt \(x = \pm\sqrt[4]{81} = \pm 3\). Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(x \approx \pm 3{,}00\). 2. Gleichung \(10 - \frac{1}{2}x^3 = 50\): Zuerst \(10\) subtrahieren: \(-\frac{1}{2}x^3 = 40\). Dann mit \(-2\) multiplizieren: \(x^3 = -80\). Da der Exponent ungerade ist, folgt \(x = \sqrt[3]{-80} = -\sqrt[3]{80} \approx -4{,}31\). 3. Gleichung \(0{,}2x^5 + 7 = 5\): Zuerst \(7\) subtrahieren: \(0{,}2x^5 = -2\). Dann durch \(0{,}2\) dividieren: \(x^5 = -10\). Da der Exponent ungerade ist, folgt \(x = \sqrt[5]{-10} = -\sqrt[5]{10} \approx -1{,}58\).

a) exakt \(x = \pm 3\), gerundet \(x \approx \pm 3{,}00\) b) \(x = -\sqrt[3]{80} \approx -4{,}31\) c) \(x = -\sqrt[5]{10} \approx -1{,}58\)

- Gehe bei Teil a Schritt für Schritt vor, um \(x\) zu isolieren. - Überlege dir für Teil b, was mit der rechten Seite der Gleichung passieren muss, wenn \(x\) den Wert \(0\) annehmen soll. - Bei Teil c hilft es, die Klammer zuerst aufzulösen oder direkt durch den Faktor vor der Klammer zu teilen.

1. Teil a): Gleichung \(5x^6 - 20 = 100\). Umformen: \(5x^6 = 120 \Rightarrow x^6 = 24\). Da der Exponent gerade ist: \(x = \pm\sqrt[6]{24} \approx \pm 1{,}70\). 2. Teil b): Damit \(x=0\) die einzige Lösung ist, muss nach dem Isolieren \(x^6 = 0\) gelten. Aus \(5x^6 - 20 = c\) folgt \(5x^6 = c + 20\). Damit \(x^6 = 0\), muss \(c + 20 = 0\) sein, also \(c = -20\). 3. Teil c): Gleichung \(2(x^3 - 5) = 40\). Durch \(2\) dividieren: \(x^3 - 5 = 20\). Dann \(5\) addieren: \(x^3 = 25\). Die exakte Lösung ist \(x = \sqrt[3]{25}\).

a) \(x \approx \pm 1{,}70\) b) \(c = -20\) c) \(x = \sqrt[3]{25}\)

- Isoliere zuerst den Term mit der Potenz auf einer Seite der Gleichung. - Nutze Äquivalenzumformungen, um die Gleichung in die Form \(x^n = c\) zu bringen. - Achte beim Wurzelziehen darauf, ob du ein positives oder negatives Vorzeichen berücksichtigen musst.

1. Für \(2x^4 - 32 = 0\) wird die Gleichung zu \(x^4 = 16\) umgeformt. Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(x = \pm \sqrt[4]{16}\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) folgen. 2. Für \(\frac{1}{3}x^3 + 10 = 1\) subtrahiert man 10 und erhält \(\frac{1}{3}x^3 = -9\). Multiplikation mit 3 ergibt \(x^3 = -27\). Die dritte Wurzel liefert die einzige Lösung \(x = -3\). 3. Für \(5x^6 + 12 = 7\) subtrahiert man 12 und erhält \(5x^6 = -5\). Division durch 5 führt zu \(x^6 = -1\). Da eine Potenz mit geradem Exponenten niemals negativ sein kann, gibt es keine reelle Lösung.

a) \(x_1 = 2; x_2 = -2\) b) \(x = -3\) c) Keine reelle Lösung

- Denke bei Dezimalzahlen wie \(0{,}125\) an Brüche oder an Potenzen von \(0{,}5\). - Wenn der Exponent gerade ist, denke an beide möglichen Vorzeichen für die Basis. - Welche Zahl hoch 4 ergibt 81? Das hilft dir beim Bruch in Teilaufgabe a). - Bei Teilaufgabe d) musst du zuerst die Konstante auf die andere Seite bringen und dann teilen.

1. \(x^4 = \frac{1}{81}\): Ziehen der vierten Wurzel ergibt \(x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}\). Da \(3^4 = 81\), ist \(x = \pm \frac{1}{3}\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}\). 2. \(x^6 = 729\): Da \(3^6 = 729\), liefert die sechste Wurzel \(x = \pm 3\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-3; 3\}\). 3. \(x^3 = -0{,}125\): Da \(0{,}5^3 = 0{,}125\), ergibt die dritte Wurzel \(x = -0{,}5\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-0{,}5\}\). 4. \(2x^5 + 64 = 0\): Umformung zu \(x^5 = -32\). Da \((-2)^5 = -32\), ist \(x = -2\). Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2\}\).

a) \(L = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\}\) b) \(L = \{-3; 3\}\) c) \(L = \{-0{,}5\}\) d) \(L = \{-2\}\)

- Vergleiche zunächst einige konkrete positive Basen größer als \(1\): Wie ändern sich ihre Potenzwerte, wenn du den Exponenten erhöhst? - Formuliere daraus, was mit der Basis geschehen muss, wenn der Potenzwert fest bei \(100\) bleiben soll. - Teste in Teil c) aufeinanderfolgende positive gerade Exponenten und beobachte, wann die positive Lösung in das vorgegebene Intervall eintritt und es wieder verlässt.

1. Für \(n=2\) gilt \(x=\pm\sqrt{100}=\pm10\). Für \(n=4\) gilt \(x=\pm\sqrt[4]{100}=\pm\sqrt{10}\approx\pm3{,}16\). 2. Für eine positive Basis größer als \(1\) erzeugt ein größerer Exponent schneller große Potenzwerte. Damit der Potenzwert weiterhin \(100\) beträgt, muss deshalb die positive Basis kleiner werden. Die positive Lösung nähert sich bei wachsenden Exponenten dem Wert \(1\) an. 3. Systematisches Testen gerader Exponenten ergibt: für \(n=6\) etwa \(2{,}15\), für \(n=8\) etwa \(1{,}78\), für \(n=10\) etwa \(1{,}58\) und für \(n=12\) etwa \(1{,}47\). Damit liegen genau \(n=8\) und \(n=10\) im verlangten Bereich.

a) Für \(n=2\): \(x=\pm10\); für \(n=4\): \(x\approx\pm3{,}16\) b) Die positive Lösung wird mit wachsendem \(n\) kleiner und nähert sich \(1\) an. c) \(n=8\) und \(n=10\)

- Wann hat eine Potenzgleichung genau eine Lösung und wann hat sie zwei? - Denke an die Punktsymmetrie und Achsensymmetrie der Graphen. - Isoliere bei der letzten Aufgabe zuerst den Term mit der Potenz, bevor du die Wurzel ziehst.

1. Damit \(x = -3\) die einzige Lösung ist, muss \(n\) eine ungerade Zahl sein. Paar 1: \(n=1 \Rightarrow x^1 = -3 \Rightarrow c = -3\). Paar 2: \(n=3 \Rightarrow (-3)^3 = -27 \Rightarrow c = -27\). 2. Zwei symmetrische Lösungen \(x = \pm a\) existieren nur, wenn der Exponent \(n\) gerade ist (\(n \in \{2, 4, 6, \dots\}\)). Dabei muss \(c = 2^n\) sein. Beispiel: \(n=2, c=4\). 3. Umformung der Gleichung: \(0{,}5x^3 + 10 = 510 \quad | -10\) \(0{,}5x^3 = 500 \quad | \cdot 2\) \(x^3 = 1000 \quad | \sqrt[3]{\dots}\) \(x = 10\).

1. z. B. \((n=1, c=-3)\) oder \((n=3, c=-27)\). 2. \(n\) muss gerade sein und \(c = 2^n\). Beispiel: \(n=2, c=4\). 3. \(x = 10\)

- Isoliere zuerst den Term mit der Potenz auf einer Seite der Gleichung. - Verwende die Umkehroperationen (Punkt- vor Strichrechnung in umgekehrter Reihenfolge), um die Gleichung schrittweise zu vereinfachen. - Achte am Ende darauf, ob die Wurzel aus einer positiven oder negativen Zahl gezogen wird.

1. Division durch \(3\) ergibt \(x^4 = 16\). Ziehen der vierten Wurzel liefert \(x = \pm 2\). 2. Subtraktion von \(32\) ergibt \(4x^3 = -32\). Division durch \(4\) ergibt \(x^3 = -8\). Ziehen der dritten Wurzel liefert \(x = -2\). 3. Addition von \(12\) ergibt \(\frac{1}{2}x^5 = 16\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^5 = 32\). Ziehen der fünften Wurzel liefert \(x = 2\). 4. Subtraktion von \(100\) ergibt \(-x^2 = -81\). Division durch \(-1\) ergibt \(x^2 = 81\). Ziehen der Quadratwurzel liefert \(x = \pm 9\).

a) \(x = \pm 2\) b) \(x = -2\) c) \(x = 2\) d) \(x = \pm 9\)

- Skizziere dir grob die Graphen von \(f(x) = x^4\) und \(g(x) = x^7\). - Verschiebe gedanklich eine waagerechte Linie von oben nach unten durch das Koordinatensystem. - Überlege, ob negative Zahlen als Ergebnis einer Potenz mit geradem Exponenten vorkommen können.

1. Untersuchung für \(n=4\): Da der Exponent gerade ist, ist der Wertebereich der Funktion \(f(x)=x^4\) das Intervall \([0; \infty)\). 2. Für \(c < 0\) liegt die Gerade \(y=c\) unterhalb des Graphen: keine Lösung. 3. Für \(c = 0\) berührt die Gerade den Graphen nur im Ursprung: genau eine Lösung (\(x=0\)). 4. Für \(c > 0\) schneidet die Gerade die beiden Äste der Kurve: genau zwei Lösungen. 5. Untersuchung für \(n=7\): Da der Exponent ungerade ist, ist die Funktion \(f(x)=x^7\) streng monoton steigend und nimmt alle reellen Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) genau einmal an. 6. Unabhängig davon, ob \(c > 0\), \(c = 0\) oder \(c < 0\) ist, existiert immer genau ein Schnittpunkt mit der Geraden \(y=c\). Ergebnis: genau eine Lösung für jedes \(c \in \mathbb{R}\).

a) Keine Lösung für \(c < 0\); eine Lösung für \(c = 0\); zwei Lösungen für \(c > 0\). b) Die Gleichung hat für jedes \(c\) (egal ob positiv, negativ oder Null) immer genau eine Lösung.

- Isoliere in Teil a) zunächst \(v^3\), bevor du die Umkehroperation verwendest. - Vergleiche in Teil b) die beiden Terme \(P(v)\) und \(P(0{,}5v)\), ohne einen konkreten Windwert einzusetzen. - Ein Faktor bei der Basis wird beim Kubieren ebenfalls mit der dritten Potenz wirksam.

1. Aus \(500=0{,}2v^3\) folgt durch Division durch \(0{,}2\): \(v^3=2500\). 2. Daher ist \(v=\sqrt[3]{2500}\approx13{,}572\,\text{m/s}\), gerundet also \(13{,}6\,\text{m/s}\). 3. Bei halbierter Windgeschwindigkeit gilt \(v_{\text{neu}}=0{,}5v\). 4. Dann ist \(P_{\text{neu}}=0{,}2(0{,}5v)^3=0{,}125\cdot0{,}2v^3=0{,}125P_{\text{alt}}\). 5. Die neue Leistung beträgt \(12{,}5\,\%\) der alten, also sinkt sie um \(87{,}5\,\%\).

a) \(v\approx13{,}6\,\text{m/s}\) b) Die Modellleistung sinkt um \(87{,}5\,\%\).

- Bestimme zuerst das Ausgangsvolumen und daraus mit der Dichte die Ausgangsmasse. - Addiere die zusätzliche Goldmasse, bevor du aus der Dichte das neue Volumen berechnest. - Verwende für die prozentuale Änderung den ungerundeten Wert der neuen Kantenlänge.

1. Das Ausgangsvolumen ist \(V_1=(5{,}0\,\text{cm})^3=125\,\text{cm}^3\). 2. Die Ausgangsmasse ist \(m_1=125\cdot19{,}3\,\text{g}=2412{,}5\,\text{g}\). 3. Die neue Gesamtmasse ist \(m_2=2412{,}5\,\text{g}+500\,\text{g}=2912{,}5\,\text{g}\). 4. Das neue Volumen ist \(V_2=\frac{2912{,}5}{19{,}3}\,\text{cm}^3\approx150{,}9067\,\text{cm}^3\). 5. Die neue Kantenlänge ist \(a_2=\sqrt[3]{V_2}\approx5{,}32398\,\text{cm}\), also \(a_2\approx5{,}32\,\text{cm}\). 6. Mit dem ungerundeten Zwischenwert beträgt die Zunahme \(\frac{5{,}32398-5{,}0}{5{,}0}\cdot100\,\%\approx6{,}48\,\%\), gerundet \(6{,}5\,\%\).

a) \(2412{,}5\,\text{g}\) b) neue Kantenlänge: \(5{,}32\,\text{cm}\); Zunahme: \(6{,}5\,\%\)

- Setze die Bedingung für die Höhe direkt in die allgemeine Volumenformel des Zylinders ein. - Bringe das Fassungsvermögen vor dem Einsetzen in Kubikzentimeter. - Isoliere anschließend \(r^3\) und verwende die passende Umkehroperation. - Vergleiche in Teil c) \(\pi(3r)^3\) mit \(\pi r^3\).

1. Für einen Zylinder gilt \(V=\pi r^2h\). Mit \(h=r\) folgt \(V=\pi r^3\). 2. Es gilt \(1000\,\text{Liter}=1\,000\,000\,\text{cm}^3\). 3. Aus \(1\,000\,000=\pi r^3\) folgt \(r^3=\frac{1000000}{\pi}\,\text{cm}^3\approx318\,309{,}89\,\text{cm}^3\). 4. Daher ist \(r=\sqrt[3]{\frac{1000000}{\pi}}\,\text{cm}\approx68{,}28\,\text{cm}\). 5. Bei \(r\mapsto3r\) gilt \(V_{\text{neu}}=\pi(3r)^3=27\pi r^3=27V_{\text{alt}}\). Das Volumen wird also 27-mal so groß.

a) \(V=\pi r^3\) b) \(r\approx68{,}28\,\text{cm}\) c) Das Volumen wird 27-mal so groß.

- Vereinfache Zähler und Nenner zunächst getrennt mit den Potenzgesetzen. - Welcher Exponent sorgt bei jeder von Null verschiedenen Basis für den Wert \(1\)? - Setze die konkreten Werte erst nach der allgemeinen Vereinfachung ein.

1. Der Zähler ist \((y^n)^2=y^{2n}\). Der Nenner ist \(y^4\cdot y^2=y^6\). Somit gilt \(T=\frac{y^{2n}}{y^6}=y^{2n-6}\). 2. Damit \(y^{2n-6}=1\) für jedes \(y\ne0\) gilt, muss der Exponent \(0\) sein. Also \(2n-6=0\) und damit \(n=3\). 3. Für \(n=4\) ist \(T=y^{8-6}=y^2\). Mit \(y=3\) ergibt sich \(T=9\).

a) \(T=y^{2n-6}\) b) \(n=3\) c) \(T=9\)

- Schaue dir den Graphen der blauen Funktion genau an. Gibt es einen Punkt, dessen Koordinaten exakt auf den Kreuzungspunkten des Gitternetzes liegen? - Setze die Koordinaten dieses Punktes in die vorgegebene Form \(f(x) = ax^4\) ein, um den Wert von \(a\) zu berechnen. - Welche Funktionsgleichung beschreibt die waagerechte grüne Linie? - Gleichsetzen der beiden Funktionsterme führt zu der gesuchten Gleichung. - Denke daran, dass eine Gleichung der Form \(x^4 = c\) für positive Werte von \(c\) zwei reelle Lösungen besitzt.

1. **Bestimmung des Koeffizienten \(a\)**: Der Graph der Funktion \(f\) verläuft durch den gut ablesbaren Gitterpunkt \((2 \mid 8)\) (bzw. \((-2 \mid 8)\)). Durch Einsetzen dieses Punktes in die Funktionsgleichung \(f(x) = ax^4\) erhält man: \(8 = a \cdot 2^4 \implies 8 = 16a \implies a = 0{,}5\) Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}5x^4\). 2. **Aufstellen der Gleichung**: Die Gerade \(g\) ist eine konstante Funktion mit der Gleichung \(g(x) = 3\). Um die Schnittpunkte zu berechnen, setzt man die beiden Funktionsterme gleich: \(0{,}5x^4 = 3\) 3. **Grafisches Ablesen**: Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen liegen auf der Höhe \(y = 3\). Aus der Grafik lässt sich ablesen: \(x_1 \approx -1{,}6\) und \(x_2 \approx 1{,}6\) 4. **Rechnerische Lösung**: Wir lösen die Gleichung nach \(x\) auf: \(0{,}5x^4 = 3 \quad \mid \cdot 2\) \(x^4 = 6\) Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[4]{6}\) Gerundet auf drei Nachkommastellen ergibt dies: \(x_1 \approx -1{,}565\) und \(x_2 \approx 1{,}565\)

a) \(a = 0{,}5\), also \(f(x) = 0{,}5x^4\) b) \(0{,}5x^4 = 3\) (oder \(x^4 = 6\)) c) \(x \approx \pm 1{,}6\) (bzw. \(x_1 \approx -1{,}6\) und \(x_2 \approx 1{,}6\)) d) \(x = \pm \sqrt[4]{6} \approx \pm 1{,}565\) (bzw. \(x_1 \approx -1{,}565\) und \(x_2 \approx 1{,}565\))

- Nutze einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten, um den Faktor \(a\) zu bestimmen. - Erinnere dich daran, dass man aus negativen Zahlen die dritte Wurzel ziehen kann.

1. Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \((2 \mid 4)\). Einsetzen in \(f(x) = ax^3\) ergibt \(4 = a \cdot 2^3 = 8a\), also \(a = 0{,}5\). Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 0{,}5x^3\). Die Gerade \(g\) liegt bei \(g(x) = -2\). 2. Die Gleichung \(0{,}5x^3 = -2\) führt zu \(x^3 = -4\). 3. Grafisch liegt der Schnittpunkt bei etwa \(x \approx -1{,}6\). Rechnerisch ist \(x = -\sqrt[3]{4} \approx -1{,}587\).

Es gilt \(a = 0{,}5\) und \(g(x) = -2\). Die grafische Lösung ist \(x \approx -1{,}6\). Der berechnete Wert ist \(x \approx -1{,}587\).

- Lies aus der Abbildung einen gut erkennbaren Punkt des Potenzgraphen und die Höhe der waagerechten Geraden ab. - Setze die abgelesenen Daten in die beiden gegebenen Funktionsformen ein. - Für die Schnittpunkte müssen beide Funktionsterme denselben Wert besitzen; prüfe anschließend, wie viele reelle Lösungen die entstehende gerade Potenzgleichung hat.

1. Aus der Abbildung lässt sich für \(f\) der Punkt \((2\mid-4)\) ablesen. Einsetzen in \(f(x)=ax^4\) ergibt \(-4=16a\) und damit \(a=-0{,}25\). Die waagerechte Gerade liegt bei \(y=-2\), also ist \(c=-2\). 2. Für die Schnittpunkte gilt \(-0{,}25x^4=-2\), also \(x^4=8\). 3. Da der Exponent gerade und die rechte Seite positiv ist, folgen zwei reelle Lösungen: \(x=\pm\sqrt[4]{8}\approx\pm1{,}682\).

a) \(a=-0{,}25\), \(c=-2\) b) \(x\approx-1{,}682\) und \(x\approx1{,}682\)

- Prüfe die Vermutung mit je einem einfachen geraden und ungeraden Exponenten. - Vergleiche für denselben Exponenten eine positive und eine negative rechte Seite. - Welche Funktionswerte können gerade beziehungsweise ungerade Potenzfunktionen überhaupt annehmen?

1. Für einen geraden Exponenten kann sich die Anzahl ändern. Beispiel: \(x^2=4\) hat die beiden Lösungen \(x=\pm2\), während \(x^2=-4\) keine reelle Lösung besitzt. 2. Für einen ungeraden Exponenten ändert sich die Anzahl nicht. Beispiel: \(x^3=8\) hat genau die Lösung \(x=2\), und \(x^3=-8\) hat genau die Lösung \(x=-2\). 3. Damit ist die Aussage im Allgemeinen falsch: Bei ungeraden Exponenten besitzt \(x^n=c\) für jedes reelle \(c\) genau eine reelle Lösung.

Die Behauptung ist falsch. Bei geraden Exponenten kann sich die Anzahl der Lösungen beim Vorzeichenwechsel von \(c\) ändern; bei ungeraden Exponenten bleibt sie bei genau einer reellen Lösung.

- Wie bestimmt man die Steigung einer Geraden, die durch den Ursprung geht? - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, um sie zu lösen. - Kannst du einen Faktor ausklammern?

1. Die Gerade geht durch den Ursprung und den Punkt \((1 \mid 3)\), hat also die Steigung \(m = 3\). Somit ist \(g(x) = 3x\). 2. Die Gleichung für die Schnittpunkte ist \(x^3 = 3x\). 3. Grafisch erkennt man Schnittpunkte bei \(x = 0\) sowie etwa bei \(x \approx \pm 1{,}7\). 4. Rechnerisch: \(x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3} \approx \pm 1{,}732\).

1. \(g(x) = 3x\) 2. \(x^3 = 3x\) 3. Grafisch: \(x \approx -1{,}7\), \(x = 0\), \(x \approx 1{,}7\); rechnerisch: \(x_1 = 0\), \(x_2 \approx 1{,}732\), \(x_3 \approx -1{,}732\)