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- Überlege, welche Art von Dezimaldarstellung eine irrationale Zahl besitzt. - Das Gleichheitszeichen steht für exakte Gleichheit; für gerundete Werte gibt es ein anderes Zeichen. - Beim Runden auf drei Nachkommastellen entscheidet die vierte Nachkommastelle.

1. Die angezeigte Dezimalzahl ist nicht exakt gleich \(\sqrt2\), weil \(\sqrt2\) irrational ist und daher eine unendliche, nicht periodische Dezimaldarstellung besitzt. Eine endliche Taschenrechneranzeige kann nur eine Näherung zeigen. 2. Exakt schreibt man \(\sqrt2\). Als Näherung kann man zum Beispiel \(\sqrt2\approx1{,}414213562\) schreiben. 3. Für drei Nachkommastellen betrachtet man die vierte Nachkommastelle. Sie ist \(2\), daher wird nicht aufgerundet: \(\sqrt2\approx1{,}414\).

a) Nein. Die Anzeige ist nur eine endliche Näherung an die irrationale Zahl \(\sqrt2\). b) exakt: \(\sqrt2\); näherungsweise: \(\sqrt2\approx1{,}414213562\) c) \(\sqrt2\approx1{,}414\)

- Lies zuerst die beiden Grenzen der markierten Strecke aus der Zahlengeraden ab. - Vergleiche die Quadrate dieser Grenzen mit dem Radikanden. - Nutze, dass die Quadratwurzel eines positiven Werts zwischen den entsprechenden positiven Grenzen liegt.

1. Die Intervallgrenzen sind \(2\) und \(3\). 2. Es gilt \(2^2=4<7<9=3^2\). 3. Daher gilt \(2<\sqrt{7}<3\), also liegt \(\sqrt{7}\) in der markierten Strecke I.

Ja. Es gilt \(2<\sqrt{7}<3\).

- Wie hängen die Wurzeln von Zahlen mit ihren Quadraten zusammen? - Wenn eine Wurzel zwischen zwei Zahlen liegen soll, wo muss dann die ursprüngliche Zahl im Vergleich zu den Quadraten dieser zwei Zahlen liegen? - Berechne zuerst die Quadrate der Grenzwerte.

1. Berechnung der relevanten Quadratzahlen: \(13^2 = 169\) und \(14^2 = 196\). 2. Vergleich von \(150\): Da \(150 < 169\), ist \(\sqrt{150} < 13\). Die Zahl liegt nicht im Intervall. 3. Vergleich von \(180\): Da \(169 < 180 < 196\), liegt \(\sqrt{180}\) zwischen \(13\) und \(14\). 4. Vergleich von \(210\): Da \(210 > 196\), ist \(\sqrt{210} > 14\). Die Zahl liegt nicht im Intervall.

Nur die Quadratwurzel von \(180\) liegt zwischen \(13\) und \(14\), da \(13^2 = 169\) und \(14^2 = 196\) gilt und nur \(180\) zwischen diesen Quadratzahlen liegt (\(169 < 180 < 196\)).

- Welche Quadratzahlen liegen am nächsten an der Zahl unter der Wurzel? - Wie verändert sich das Quadrat einer Zahl, wenn du die letzte Stelle um \(1\) erhöhst? - Kannst du durch systematisches Probieren der Quadrate von Dezimalzahlen die Grenzen enger ziehen? - Verkleinere die Intervallbreite in jedem Schritt um den Faktor \(10\).

1. Bestimmung der ganzzahligen Grenzen: Da \(3^2 = 9\) und \(4^2 = 16\), liegt \(\sqrt{11}\) zwischen \(3\) und \(4\). Das erste Intervall ist \([3; 4]\). 2. Bestimmung der ersten Nachkommastelle: Es gilt \(3{,}3^2 = 10{,}89\) und \(3{,}4^2 = 11{,}56\). Da \(10{,}89 < 11 < 11{,}56\), liegt \(\sqrt{11}\) im Intervall \([3{,}3; 3{,}4]\). 3. Bestimmung der zweiten Nachkommastelle: Es gilt \(3{,}31^2 = 10{,}9561\) und \(3{,}32^2 = 11{,}0224\). Da \(10{,}9561 < 11 < 11{,}0224\), ist das dritte Intervall \([3{,}31; 3{,}32]\).

Die ersten drei Intervalle sind: 1. \([3; 4]\) 2. \([3{,}3; 3{,}4]\) 3. \([3{,}31; 3{,}32]\)

- Vergleiche \(18\) zunächst mit benachbarten Quadratzahlen ganzer Zahlen. - Für die Zehntelstelle genügt es zu prüfen, zwischen welchen Quadraten der angegebenen Dezimalzahlen \(18\) liegt. - Da alle betrachteten Grenzwerte positiv sind, darfst du ihre Quadrate direkt mit \(18\) vergleichen.

1. Zu a): \(4^2 = 16\) und \(5^2 = 25\). Da \(16 < 18 < 25\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). 2. Zu b): Es gilt \(4{,}1^2 = 16{,}81\), \(4{,}2^2 = 17{,}64\) und \(4{,}3^2 = 18{,}49\). Daher liegt \(18\) zwischen \(4{,}2^2\) und \(4{,}3^2\), also \(4{,}2 < \sqrt{18} < 4{,}3\). Die erste Nachkommastelle ist damit \(2\).

a) \(4\,\text{m} < s < 5\,\text{m}\) b) \(4{,}2\,\text{m} < s < 4{,}3\,\text{m}\); die erste Nachkommastelle ist \(2\).

- Ein Mangelwert liegt unter der Zahl, ein Überschusswert darüber; beide sollen zur geforderten Stellenbreite passen. - Beim Ablesen von Ziffern wird nicht gerundet: Notiere für Teil 2 zunächst nur die ersten fünf Stellen nach dem Komma. - Prüfe anschließend die sechste Nachkommastelle, wenn du den Wert auf fünf Nachkommastellen runden willst.

1. Für \(\sqrt{15} \approx 3{,}8729833\ldots\) gilt: Bei Genauigkeit \(0{,}1\) sind \(3{,}8\) der Mangelwert und \(3{,}9\) der Überschusswert. Bei Genauigkeit \(0{,}01\) sind es \(3{,}87\) und \(3{,}88\). Bei Genauigkeit \(0{,}0001\) sind es \(3{,}8729\) und \(3{,}8730\). 2. Der Taschenrechner zeigt \(\sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89442719\ldots\). Die ersten fünf Ziffern nach dem Komma sind daher \(89442\). Auf fünf Nachkommastellen gerundet lautet der Näherungswert dagegen \(0{,}89443\).

1. \(0{,}1\): \(3{,}8\) (M), \(3{,}9\) (Ü); \(0{,}01\): \(3{,}87\) (M), \(3{,}88\) (Ü); \(0{,}0001\): \(3{,}8729\) (M), \(3{,}8730\) (Ü) 2. Erste fünf Ziffern: \(89442\); auf fünf Nachkommastellen gerundet: \(0{,}89443\)

- Welche Formel verbindet den Radius und die Fläche eines Kreises? - Wie kannst du eine Formel mit einer Quadratzahl so umstellen, dass du die Variable ohne Quadrat erhältst? - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Vergiss nicht, die Einheiten in deine Lösung zu übernehmen.

1. Umstellen der Formel \(A = \pi r^2\) nach \(r\): \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). 2. Berechnung für a): \(r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}7841 \dots \approx 1{,}78\,\text{cm}\). 3. Berechnung für b): \(r = \sqrt{\frac{35{,}5}{\pi}} \approx 3{,}3615 \dots \approx 3{,}36\,\text{m}\). 4. Berechnung für c): \(r = \sqrt{\frac{0{,}8}{\pi}} \approx 0{,}5046 \dots \approx 0{,}50\,\text{dm}\).

a) \(r \approx 1{,}78\,\text{cm}\) b) \(r \approx 3{,}36\,\text{m}\) c) \(r \approx 0{,}50\,\text{dm}\)

- Verwende für die Wurzelwerte genügend Nachkommastellen, damit das spätere Runden zuverlässig ist. - Multipliziere zuerst mit dem Faktor vor der Wurzel und runde erst danach. - Vergleiche die beiden auf dieselbe Stelle gerundeten Endwerte.

1. Für \(A\): \(\sqrt{13} \approx 3{,}605551\ldots\). Daher ist \(A \approx 2 \cdot 3{,}605551\ldots = 7{,}211102\ldots \approx 7{,}2\). 2. Für \(B\): \(\sqrt{2} \approx 1{,}414214\ldots\). Daher ist \(B \approx 5 \cdot 1{,}414214\ldots = 7{,}071068\ldots \approx 7{,}1\). 3. Somit gilt \(A > B\).

\(A \approx 7{,}2\) und \(B \approx 7{,}1\); daher ist \(A\) größer.

- Setze zuerst die gegebenen Zahlenwerte für die Wurzeln in die Terme ein. - Achte bei der Multiplikation und Division auf die richtige Reihenfolge der Rechenschritte (Punkt- vor Strichrechnung). - Runde erst ganz am Ende deiner Rechnung auf zwei Stellen nach dem Komma. - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Bei einer 0, 1, 2, 3 oder 4 an der dritten Stelle wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8 oder 9 wird aufgerundet.

1. Berechnung von Teil a: \(1{,}5 \cdot 1{,}414 + 2 = 2{,}121 + 2 = 4{,}121\). Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt dies \(4{,}12\). 2. Berechnung von Teil b: \(2 \cdot 1{,}732 - 1{,}414 = 3{,}464 - 1{,}414 = 2{,}05\). Der Näherungswert besitzt bereits zwei Dezimalstellen. 3. Berechnung von Teil c: \((1{,}732 + 1{,}414) {:} 2 = 3{,}146 {:} 2 = 1{,}573\). Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt dies \(1{,}57\).

a) \(\approx 4{,}12\) b) \(\approx 2{,}05\) c) \(\approx 1{,}57\)

- Wie viele Nachkommastellen sind nötig, um ein Ergebnis sicher auf zwei Stellen zu runden? - Kannst du Wurzeln wie \(\sqrt{8}\) vereinfachen, bevor du den Taschenrechner nutzt? - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Was genau bedeutet eine Genauigkeit von \(0{,}01\)?

1. Bestimmung der Näherungswerte für die Wurzeln: \(\sqrt{3} \approx 1{,}7321\), \(\sqrt{10} \approx 3{,}1623\), \(\sqrt{8} \approx 2{,}8284\), \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\), \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\). 2. Durchführung der Berechnungen: - \(2{,}45 + 1{,}7321 \approx 4{,}1821\) - \(7{,}18 - 3{,}1623 \approx 4{,}0177\) - \(2{,}8284 + 1{,}4142 \approx 4{,}2426\) - \(3 \cdot 2{,}2361 - 4 \approx 6{,}7083 - 4 = 2{,}7083\) 3. Runden der Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen: \(4{,}18\); \(4{,}02\); \(4{,}24\); \(2{,}71\).

1) \(\approx 4{,}18\) 2) \(\approx 4{,}02\) 3) \(\approx 4{,}24\) 4) \(\approx 2{,}71\)

- Kannst du die Wurzeln zuerst mit einem Näherungsverfahren oder dem Taschenrechner bestimmen? - Wie viele Nachkommastellen solltest du bei den Zwischenschritten verwenden, um am Ende sicher auf zwei Stellen runden zu können? - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Ab 5 wird aufgerundet.

1. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{7} \approx 2{,}64575\). Multiplikation: \(4 \cdot 2{,}64575 = 10{,}583\). Gerundet: \(10{,}58\). 2. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421\). Multiplikation: \(9 \cdot 1{,}41421 = 12{,}72789\). Gerundet: \(12{,}73\). 3. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{15} \approx 3{,}87298\). Multiplikation: \(2 \cdot 3{,}87298 = 7{,}74596\). Gerundet: \(7{,}75\).

1) \(\approx 10{,}58\) 2) \(\approx 12{,}73\) 3) \(\approx 7{,}75\)

- Forme jede Gleichung zuerst so um, dass \(x^2\) allein auf einer Seite steht. - Bei einem positiven Wert für \(x^2\) gibt es zwei reelle Lösungen mit entgegengesetzten Vorzeichen. - Bestimme die Wurzelwerte erst nach der algebraischen Umformung und runde auf zwei Nachkommastellen.

1. Aus \(x^2 - 13 = 0\) folgt \(x^2 = 13\), also \(x = \pm\sqrt{13} \approx \pm 3{,}61\). 2. Aus \(0{,}5x^2 = 11\) folgt \(x^2 = 22\), also \(x = \pm\sqrt{22} \approx \pm 4{,}69\). 3. Aus \(4x^2 - 30 = 50\) folgt \(4x^2 = 80\) und damit \(x^2 = 20\). Also gilt \(x = \pm\sqrt{20} \approx \pm 4{,}47\).

1) \(x \approx \pm 3{,}61\) 2) \(x \approx \pm 4{,}69\) 3) \(x \approx \pm 4{,}47\)

- Lies zuerst die beiden markierten Endpunkte jedes Intervalls ab. - Da alle Intervallgrenzen positiv sind, kannst du ihre Quadrate mit \(18\) vergleichen. - Die Intervallbreite erhältst du durch obere Grenze minus untere Grenze.

1. Für das erste Intervall gilt \(4^2=16<18<25=5^2\), also \(4<\sqrt{18}<5\). 2. Für das zweite Intervall gilt \(4{,}2^2=17{,}64<18<18{,}49=4{,}3^2\), also \(4{,}2<\sqrt{18}<4{,}3\). 3. Für das dritte Intervall gilt \(4{,}24^2=17{,}9776<18<18{,}0625=4{,}25^2\), also \(4{,}24<\sqrt{18}<4{,}25\). 4. Jedes neue Intervall liegt vollständig im vorherigen und enthält weiterhin \(\sqrt{18}\). Genau darin besteht die Schachtelung. 5. Das dritte Intervall hat die Breite \(4{,}25-4{,}24=0{,}01\). Der gesuchte Wert ist damit auf ein Intervall der Länge \(0{,}01\) eingegrenzt.

a) \(4<\sqrt{18}<5\) mit \(16<18<25\); \(4{,}2<\sqrt{18}<4{,}3\) mit \(17{,}64<18<18{,}49\); \(4{,}24<\sqrt{18}<4{,}25\) mit \(17{,}9776<18<18{,}0625\) b) Jedes Intervall liegt im vorherigen und enthält weiterhin \(\sqrt{18}\). c) Intervallbreite \(0{,}01\); \(\sqrt{18}\) ist damit auf ein Intervall dieser Länge eingegrenzt.

- Setze die angegebenen Näherungswerte zunächst ohne zusätzliche Rundung ein. - In Teil b) werden bewusst ungenauere Zwischenwerte verwendet. - Vergleiche beide Ergebnisse mit dem Wert, den du in Teil a) vor dem Runden selbst erhältst.

1. Mit allen angegebenen Stellen ergibt sich \(T\approx2\cdot1{,}73205+2{,}23607=5{,}70017\). Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist das \(5{,}70\). 2. Rundet man zuerst, erhält man \(\sqrt3\approx1{,}7\) und \(\sqrt5\approx2{,}2\). Dann ist \(T\approx2\cdot1{,}7+2{,}2=5{,}6\). 3. Der früh gerundete Wert \(5{,}6\) weicht vom ungerundeten Näherungswert \(5{,}70017\) um etwa \(0{,}10017\) ab. Das Rechnen mit mehr Stellen und Runden erst am Ende ist daher deutlich genauer.

a) \(T\approx5{,}70\) b) \(T\approx5{,}6\) c) Runden erst am Ende ist genauer, weil frühe Rundungsfehler in den weiteren Rechenschritten mitwirken.

- Überlege, mit welchem Faktor der gegebene Näherungswert \(2{,}236\) multipliziert werden müsste, damit sein Quadrat um den passenden Faktor verändert wird. - Wenn eine Zahl mit \(10\) multipliziert wird, wird ihr Quadrat mit \(100\) multipliziert. - Nutze dieselbe Idee auch mit den Faktoren \(0{,}1\) und \(100\).

1. Zu a): Da \(2{,}236^2 \approx 5\) gilt, ist \((10 \cdot 2{,}236)^2 = 100 \cdot 2{,}236^2 \approx 500\). Daher ist \(\sqrt{500} \approx 22{,}36\). 2. Zu b): Es gilt \((0{,}1 \cdot 2{,}236)^2 = 0{,}01 \cdot 2{,}236^2 \approx 0{,}05\). Daher ist \(\sqrt{0{,}05} \approx 0{,}2236\). 3. Zu c): Es gilt \((100 \cdot 2{,}236)^2 = 10\,000 \cdot 2{,}236^2 \approx 50\,000\). Daher ist \(\sqrt{50\,000} \approx 223{,}6\).

a) \(\sqrt{500} \approx 22{,}36\) b) \(\sqrt{0{,}05} \approx 0{,}2236\) c) \(\sqrt{50\,000} \approx 223{,}6\)

- Unterscheide in a) zwischen dem exakten Wert und der gerundeten Dezimaldarstellung des Taschenrechners. - Suche für b) zwei benachbarte Quadratzahlen, zwischen denen \(32\) liegt. - Überlege bei c), wie sich die Fläche eines Quadrats verändert, wenn jede Seitenlänge mit demselben Faktor multipliziert wird.

1. Teil a): Exakt gilt \(s = \sqrt{32}\,\text{m}\). Der Taschenrechner liefert \(\sqrt{32} \approx 5{,}656854\ldots\); auf zwei Nachkommastellen gerundet ist \(s \approx 5{,}66\,\text{m}\). 2. Teil b): Da \(5^2 = 25\) und \(6^2 = 36\) gilt, folgt aus \(25 < 32 < 36\), dass \(5 < \sqrt{32} < 6\). 3. Teil c): Bei Verdopplung der Seitenlänge wird der Flächeninhalt mit \(2^2 = 4\) multipliziert. Die neue Fläche beträgt \(4 \cdot 32\,\text{m}^2 = 128\,\text{m}^2\).

a) \(s = \sqrt{32}\,\text{m} \approx 5{,}66\,\text{m}\) b) \(5\,\text{m} < s < 6\,\text{m}\) c) \(128\,\text{m}^2\)

- Beginne mit zwei ganzen Zahlen, deren Quadrate \(45\) einschließen, und verfeinere dann auf Zehntel und Hundertstel. - Um eine Dezimalgrenze mit \(\sqrt{45}\) zu vergleichen, kannst du die positive Grenze quadrieren und mit \(45\) vergleichen. - Nutze für b) die Lage von \(x\) innerhalb des gefundenen Intervalls.

1. Bestimmung der Intervalle: Aus \(6^2 = 36 < 45 < 49 = 7^2\) folgt \(I_1 = [6; 7]\). Weiter gilt \(6{,}7^2 = 44{,}89 < 45 < 46{,}24 = 6{,}8^2\), also \(I_2 = [6{,}7; 6{,}8]\). Für die Hundertstel gilt \(6{,}70^2 = 44{,}89 < 45 < 45{,}0241 = 6{,}71^2\). Daher ist \(I_3 = [6{,}70; 6{,}71]\). 2. Vergleich: Da \(\sqrt{45}\) kleiner als die obere Intervallgrenze \(6{,}71\) ist, gilt \(x < y\).

a) \(I_3 = [6{,}70; 6{,}71]\) b) \(y > x\)

- Wie ändert sich die Länge eines Intervalls, wenn man es in zehn gleiche Teile zerlegt? - Erinnere dich daran, wie man prüft, ob eine Wurzel in einem bestimmten Bereich liegt, indem man die Grenzen quadriert. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl genau auf der Grenze eines Intervalls liegt?

1. Berechnung der Intervallbreiten: Das erste Intervall \(I_1\) hat die Breite \(1\). Jede weitere Unterteilung reduziert die Breite um den Faktor \(10\). Somit hat \(I_2\) die Breite \(0{,}1\), \(I_3\) die Breite \(0{,}01\) und \(I_4\) die Breite \(0{,}001\). 2. Bestimmung von \(I_4\): Durch sukzessives Quadrieren findet man \(1{,}4^2 = 1{,}96\) und \(1{,}5^2 = 2{,}25\), also \(I_2 = [1{,}4; 1{,}5]\). Weiter ist \(1{,}41^2 = 1{,}9881\) und \(1{,}42^2 = 2{,}0164\), also \(I_3 = [1{,}41; 1{,}42]\). Für die dritte Nachkommastelle gilt \(1{,}414^2 = 1{,}999396\) und \(1{,}415^2 = 2{,}002225\). Damit ist \(I_4 = [1{,}414; 1{,}415]\). 3. Prüfung der Enthaltensein: Da \(1{,}414\) die untere Grenze des abgeschlossenen Intervalls \([1{,}414; 1{,}415]\) ist, liegt die Zahl im Intervall.

a) Die Breite des vierten Intervalls \(I_4\) beträgt \(0{,}001\). b) Ja, \(1{,}414\) liegt im Intervall \(I_4\), da \(1{,}414^2 = 1{,}999396 < 2\) und \(1{,}415^2 = 2{,}002225 > 2\), woraus \(I_4 = [1{,}414; 1{,}415]\) folgt.

- Bestimme zunächst benachbarte Quadratzahlen. - Zum Vergleich zweier Näherungswerte ist ihr Mittelpunkt entscheidend. - Bestimme den Mittelpunkt der beiden vorgeschlagenen Näherungswerte selbst und vergleiche sein Quadrat mit \(18\).

1. Da \(4^2 = 16 < 18 < 25 = 5^2\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). Damit liegt \(\sqrt{18}\) im Intervall \([4; 5]\). 2. Es gilt \(4{,}2^2 = 17{,}64 < 18\) und \(4{,}25^2 = 18{,}0625 > 18\). Daher liegt \(\sqrt{18}\) zwischen \(4{,}2\) und dem Mittelpunkt \(4{,}25\) der Zahlen \(4{,}2\) und \(4{,}3\). Somit ist \(\sqrt{18}\) näher an \(4{,}2\) als an \(4{,}3\).

a) \([4; 5]\) b) \(\sqrt{18}\) liegt näher an \(4{,}2\), denn \(4{,}2 < \sqrt{18} < 4{,}25\). Dabei ist \(4{,}25\) der Mittelpunkt von \(4{,}2\) und \(4{,}3\).

- Nutze benachbarte Quadratzahlen. - Zum Vergleich von \(3{,}6\) und \(3{,}61\) quadriere ihren Mittelpunkt. - Eine positive Zahl ist größer als \(\sqrt{13}\), wenn ihr Quadrat größer als \(13\) ist.

1. Da \(3^2 = 9 < 13 < 16 = 4^2\), gilt \(3 < \sqrt{13} < 4\). 2. Der Mittelpunkt von \(3{,}6\) und \(3{,}61\) ist \(3{,}605\). Es gilt \(3{,}605^2 = 12{,}996025 < 13\) und \(3{,}61^2 = 13{,}0321 > 13\). Somit liegt \(\sqrt{13}\) zwischen \(3{,}605\) und \(3{,}61\) und daher näher an \(3{,}61\). 3. Außerdem ist \(\left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} > 13\). Da \(\frac{11}{3} > 0\), folgt \(\frac{11}{3} > \sqrt{13}\).

a) \(3 < \sqrt{13} < 4\). b) \(\sqrt{13}\) liegt näher an \(3{,}61\), denn \(3{,}605^2 < 13 < 3{,}61^2\). c) \(\left(\frac{11}{3}\right)^2 > 13\), also \(\frac{11}{3} > \sqrt{13}\).

- Quadriere zunächst beide Näherungswerte. - Bestimme dann den Mittelpunkt der beiden Vorschläge. - Auf welcher Seite dieses Mittelpunkts liegt \(\sqrt{5}\)?

1. Es gilt \(2{,}236^2 = 4{,}999696 < 5\) und \(2{,}25^2 = 5{,}0625 > 5\). 2. Der Mittelpunkt der beiden Näherungswerte ist \(m = \frac{2{,}236 + 2{,}25}{2} = 2{,}243\). Da \(2{,}243^2 = 5{,}031049 > 5\), gilt \(\sqrt{5} < 2{,}243\). 3. Zusammen mit \(2{,}236 < \sqrt{5}\) folgt \(2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}243\). Damit liegt \(\sqrt{5}\) näher an \(2{,}236\) als an \(2{,}25\).

Die Näherung \(2{,}236\) ist präziser. Der Mittelpunkt der beiden Vorschläge ist \(2{,}243\), und es gilt \(2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}243\). Daher liegt \(\sqrt{5}\) näher an \(2{,}236\).

- Stelle für a) die Kreisflächenformel nach \(r^2\) um und bestimme dann den positiven Radius. - Setze für b) anstelle von \(r\) den Ausdruck \(2r\) in die Flächenformel ein. - Nutze für c) denselben Zusammenhang allgemein; ein Wurzelgesetz ist dafür nicht nötig.

1. Zu a): Aus \(A = \pi r^2\) folgt \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). Für \(A = 50\,\text{cm}^2\) erhält man \(r \approx 3{,}9894\,\text{cm}\), also gerundet \(r \approx 3{,}99\,\text{cm}\). 2. Zu b): Wird der Radius verdoppelt, so gilt \(A_{\text{neu}} = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A\). Daher ist \(A_{\text{neu}} = 4 \cdot 50\,\text{cm}^2 = 200\,\text{cm}^2\). 3. Zu c): Ist eine Kreisfläche viermal so groß wie eine Ausgangsfläche, dann hat ein Kreis mit dem doppelten Ausgangsradius genau diese Fläche, denn \(\pi(2r)^2 = 4\pi r^2\). Da der Radius positiv ist, verdoppelt er sich bei einer Vervierfachung der Fläche.

a) \(r \approx 3{,}99\,\text{cm}\) b) \(A_{\text{neu}} = 200\,\text{cm}^2\) c) Der Radius verdoppelt sich.

- Stelle die gegebene Formel zuerst nach \(t^2\) und anschließend nach der positiven Zeit \(t\) um. - Runde die beiden Zeiten erst am Ende auf zwei Nachkommastellen. - Für b) vergleiche direkt die Gleichung für \(t^2\), wenn \(h\) mit dem Faktor \(4\) verändert wird.

1. Umstellen der Formel: Aus \(h = \frac{1}{2}gt^2\) folgt \(t^2 = \frac{2h}{g}\) und wegen \(t \ge 0\) somit \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\). 2. Für \(h_1 = 45\,\text{m}\): \(t_1 = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}}\,\text{s} \approx 3{,}0289\,\text{s} \approx 3{,}03\,\text{s}\). 3. Für \(h_2 = 180\,\text{m}\): \(t_2 = \sqrt{\frac{360}{9{,}81}}\,\text{s} \approx 6{,}0578\,\text{s} \approx 6{,}06\,\text{s}\). 4. Für den exakten Vergleich genügt die Gleichung \(t^2 = \frac{2h}{g}\): Wird \(h\) mit \(4\) multipliziert, wird auch \(t^2\) mit \(4\) multipliziert. Da Fallzeiten positiv sind, wird \(t\) damit mit \(2\) multipliziert. Die Fallzeit verdoppelt sich.

a) \(t_1 \approx 3{,}03\,\text{s}\); \(t_2 \approx 6{,}06\,\text{s}\) b) Faktor \(2\); die Fallzeit verdoppelt sich.

- Was passiert mit einem kleinen Fehler, wenn man die Zahl danach mit einer großen Zahl multipliziert? - Überlege, an welcher Stelle der Rechnung Informationen durch das Runden verloren gehen. - Berechne für Methode b zunächst das Quadrat von 15.

1. Methode a: Bestimmung von \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\). Multiplikation: \(15 \cdot 1{,}4 = 21{,}0\). 2. Methode b: Umformung zu \(\sqrt{15^2 \cdot 2} = \sqrt{225 \cdot 2} = \sqrt{450}\). Näherungsweise Berechnung der Wurzel: Da \(21{,}2^2 = 449{,}44 < 450\) und \(21{,}25^2 = 451{,}5625 > 450\), gilt \(21{,}2 < \sqrt{450} < 21{,}25\). Daher ergibt sich auf eine Nachkommastelle gerundet \(21{,}2\). 3. Vergleich: Das Ergebnis von Methode b (\(21{,}2\)) stimmt exakt mit dem gerundeten Zielwert überein, während Methode a (\(21{,}0\)) eine Abweichung von \(0{,}2\) aufweist. 4. Begründung: Bei Methode a wird der Rundungsfehler von \(\sqrt{2}\) (ca. \(0{,}014\)) mit 15 multipliziert, wodurch der Fehler im Endergebnis deutlich ansteigt. Bei Methode b findet die Rundung erst am Ende statt.

a) \(21{,}0\) b) \(21{,}2\) Methode b) ist genauer, da der Rundungsfehler der Wurzel bei Methode a) durch die Multiplikation mit 15 ebenfalls verfünfzehnfacht wird.

- Welche Zahl muss unter der Wurzel zusätzlich als Quadrat erscheinen, wenn der Faktor \(4\) vor die Wurzel gezogen wurde? - Vergleiche anschließend den neuen Radikanden mit benachbarten Quadratzahlen. - Verwende für b) einen ausreichend genauen Näherungswert von \(\sqrt{5}\) und runde erst das Endergebnis.

1. Umformung: \(4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{80}\). 2. Da \(8^2 = 64 < 80 < 81 = 9^2\), gilt \(8 < \sqrt{80} < 9\). Der Term liegt also zwischen \(8\) und \(9\). 3. Mit \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) ergibt sich \(4\sqrt{5} \approx 8{,}944\), also auf eine Dezimalstelle gerundet \(8{,}9\).

a) Zwischen \(8\) und \(9\) b) \(4\sqrt{5} \approx 8{,}9\)

- Bestimme aus dem Flächeninhalt zunächst die positive Seitenlänge des Quadrats. - Berechne den Umfang mit \(U = 4s\). - Für b) ist die benötigte Diagonalformel bereits gegeben; verwende genügend Nachkommastellen in den Zwischenwerten und runde erst am Ende.

1. Zu a): \(s = \sqrt{7}\,\text{cm} \approx 2{,}6458\,\text{cm}\), also gerundet \(s \approx 2{,}65\,\text{cm}\). 2. Der Umfang ist \(U = 4s = 4\sqrt{7}\,\text{cm} \approx 10{,}5830\,\text{cm}\), also \(U \approx 10{,}58\,\text{cm}\). 3. Zu b): Mit hinreichend genauen Zwischenwerten \(s \approx 2{,}6458\,\text{cm}\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) erhält man \(d \approx 2{,}6458 \cdot 1{,}4142\,\text{cm} \approx 3{,}7416\,\text{cm}\). Gerundet ist \(d \approx 3{,}74\,\text{cm}\).

a) \(s \approx 2{,}65\,\text{cm}\); \(U \approx 10{,}58\,\text{cm}\) b) \(d \approx 3{,}74\,\text{cm}\)

- Suche zwei benachbarte Quadratzahlen, zwischen denen \(40\) liegt. - Bestimme anschließend den positiven Wurzelwert ausreichend genau und runde ihn. - Welche zweite Zahl besitzt dasselbe Quadrat wie die positive Lösung?

1. Zu a): \(6^2 = 36\) und \(7^2 = 49\). Da \(36 < 40 < 49\), gilt \(6 < \sqrt{40} < 7\). 2. Zu b): \(\sqrt{40} \approx 6{,}32455\ldots\), also ist die positive Lösung \(x_1 \approx 6{,}32\). 3. Auch die Gegenzahl hat dasselbe Quadrat. Daher ist die zweite Lösung \(x_2 \approx -6{,}32\).

a) Die positive Lösung liegt zwischen \(6\) und \(7\). b) \(x \approx \pm 6{,}32\)

- Beginne mit der innersten Wurzel. Zwischen welchen Quadratzahlen liegt diese? - Nutze diese Grenzen, um den gesamten Wert unter der großen Wurzel abzuschätzen. - Welche Quadratzahlen liegen in der Nähe des so ermittelten Ergebnisses?

1. Innere Wurzel abschätzen: \(\sqrt{125}\). Da \(11^2 = 121\) und \(12^2 = 144\), gilt \(11 < \sqrt{125} < 12\). 2. Den Ausdruck unter der äußeren Wurzel eingrenzen: Addiere \(40\) zu den Grenzen. Es gilt \(40 + 11 < 40 + \sqrt{125} < 40 + 12\), also \(51 < 40 + \sqrt{125} < 52\). 3. Äußere Wurzel abschätzen: Wir suchen \(n\), sodass \(n^2 < T^2 < (n+1)^2\). Hier ist \(T^2 = 40 + \sqrt{125}\). 4. Da \(51 < T^2 < 52\), suchen wir Quadratzahlen um \(51\) und \(52\). 5. Es gilt \(7^2 = 49\) und \(8^2 = 64\). 6. Da \(49 < 51 < T^2 < 52 < 64\), folgt durch Wurzelziehen: \(7 < T < 8\).

Der Wert des Ausdrucks \(T\) liegt zwischen den natürlichen Zahlen \(7\) und \(8\).

- Prüfe zuerst durch Quadrieren, auf welcher Seite von \(\sqrt{10}\) die beiden Brüche liegen. - Bei zwei Werten auf verschiedenen Seiten entscheidet der Mittelpunkt über die größere Nähe. - Quadriere den Mittelpunkt der beiden Brüche.

1. Die beiden Vorschläge liegen auf verschiedenen Seiten von \(\sqrt{10}\): \(\left(\frac{22}{7}\right)^2 = \frac{484}{49} < 10\) und \(\left(\frac{19}{6}\right)^2 = \frac{361}{36} > 10\). 2. Ihr Mittelpunkt ist \(m = \frac{1}{2}\left(\frac{22}{7} + \frac{19}{6}\right) = \frac{265}{84}\). Es gilt \(m^2 = \frac{70225}{7056} < \frac{70560}{7056} = 10\). Also ist \(m < \sqrt{10}\). Damit liegt \(\sqrt{10}\) rechts vom Mittelpunkt und näher am größeren Wert \(\frac{19}{6}\). 3. Mit \(\sqrt{10} \approx 3{,}162278\) erhält man \(\left|\frac{19}{6} - \sqrt{10}\right| \approx 0{,}004389\) und \(\left|\frac{22}{7} - \sqrt{10}\right| \approx 0{,}019421\). Lukas hat recht.

a) \(\frac{19}{6}\) liegt näher an \(\sqrt{10}\). Der Mittelpunkt \(\frac{265}{84}\) hat ein Quadrat kleiner als \(10\), daher liegt \(\sqrt{10}\) auf der Seite von \(\frac{19}{6}\). b) Fehler von Lukas: ungefähr \(0{,}004389\); Fehler von Sophie: ungefähr \(0{,}019421\). Lukas hat recht.