- Lies zuerst die beiden Grenzen der markierten Strecke aus der Zahlengeraden ab. - Vergleiche die Quadrate dieser Grenzen mit dem Radikanden. - Nutze, dass die Quadratwurzel eines positiven Werts zwischen den entsprechenden positiven Grenzen liegt.

1. Die Intervallgrenzen sind \(2\) und \(3\). 2. Es gilt \(2^2=4<7<9=3^2\). 3. Daher gilt \(2<\sqrt{7}<3\), also liegt \(\sqrt{7}\) in der markierten Strecke I.

Ja. Es gilt \(2<\sqrt{7}<3\).

- Suche die größte Quadratzahl unter \(30\) und die kleinste Quadratzahl über \(30\). - Die Quadratwurzelfunktion liefert für nichtnegative Zahlen nichtnegative Werte. - Übertrage die Ordnung der Quadratzahlen auf die zugehörigen positiven Quadratwurzeln.

1. Die benachbarten Quadratzahlen zu \(30\) sind \(25=5^2\) und \(36=6^2\). 2. Aus \(25<30<36\) folgt \(5<\sqrt{30}<6\).

\(5<\sqrt{30}<6\)

- Wie hängen die Wurzeln von Zahlen mit ihren Quadraten zusammen? - Wenn eine Wurzel zwischen zwei Zahlen liegen soll, wo muss dann die ursprüngliche Zahl im Vergleich zu den Quadraten dieser zwei Zahlen liegen? - Berechne zuerst die Quadrate der Grenzwerte.

1. Berechnung der relevanten Quadratzahlen: \(13^2 = 169\) und \(14^2 = 196\). 2. Vergleich von \(150\): Da \(150 < 169\), ist \(\sqrt{150} < 13\). Die Zahl liegt nicht im Intervall. 3. Vergleich von \(180\): Da \(169 < 180 < 196\), liegt \(\sqrt{180}\) zwischen \(13\) und \(14\). 4. Vergleich von \(210\): Da \(210 > 196\), ist \(\sqrt{210} > 14\). Die Zahl liegt nicht im Intervall.

Nur die Quadratwurzel von \(180\) liegt zwischen \(13\) und \(14\), da \(13^2 = 169\) und \(14^2 = 196\) gilt und nur \(180\) zwischen diesen Quadratzahlen liegt (\(169 < 180 < 196\)).

- Welche Quadratzahlen liegen am nächsten an der Zahl unter der Wurzel? - Wie verändert sich das Quadrat einer Zahl, wenn du die letzte Stelle um \(1\) erhöhst? - Kannst du durch systematisches Probieren der Quadrate von Dezimalzahlen die Grenzen enger ziehen? - Verkleinere die Intervallbreite in jedem Schritt um den Faktor \(10\).

1. Bestimmung der ganzzahligen Grenzen: Da \(3^2 = 9\) und \(4^2 = 16\), liegt \(\sqrt{11}\) zwischen \(3\) und \(4\). Das erste Intervall ist \([3; 4]\). 2. Bestimmung der ersten Nachkommastelle: Es gilt \(3{,}3^2 = 10{,}89\) und \(3{,}4^2 = 11{,}56\). Da \(10{,}89 < 11 < 11{,}56\), liegt \(\sqrt{11}\) im Intervall \([3{,}3; 3{,}4]\). 3. Bestimmung der zweiten Nachkommastelle: Es gilt \(3{,}31^2 = 10{,}9561\) und \(3{,}32^2 = 11{,}0224\). Da \(10{,}9561 < 11 < 11{,}0224\), ist das dritte Intervall \([3{,}31; 3{,}32]\).

Die ersten drei Intervalle sind: 1. \([3; 4]\) 2. \([3{,}3; 3{,}4]\) 3. \([3{,}31; 3{,}32]\)

- Vergleiche \(18\) zunächst mit benachbarten Quadratzahlen ganzer Zahlen. - Für die Zehntelstelle genügt es zu prüfen, zwischen welchen Quadraten der angegebenen Dezimalzahlen \(18\) liegt. - Da alle betrachteten Grenzwerte positiv sind, darfst du ihre Quadrate direkt mit \(18\) vergleichen.

1. Zu a): \(4^2 = 16\) und \(5^2 = 25\). Da \(16 < 18 < 25\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). 2. Zu b): Es gilt \(4{,}1^2 = 16{,}81\), \(4{,}2^2 = 17{,}64\) und \(4{,}3^2 = 18{,}49\). Daher liegt \(18\) zwischen \(4{,}2^2\) und \(4{,}3^2\), also \(4{,}2 < \sqrt{18} < 4{,}3\). Die erste Nachkommastelle ist damit \(2\).

a) \(4\,\text{m} < s < 5\,\text{m}\) b) \(4{,}2\,\text{m} < s < 4{,}3\,\text{m}\); die erste Nachkommastelle ist \(2\).

- Ein Mangelwert liegt unter der Zahl, ein Überschusswert darüber; beide sollen zur geforderten Stellenbreite passen. - Beim Ablesen von Ziffern wird nicht gerundet: Notiere für Teil 2 zunächst nur die ersten fünf Stellen nach dem Komma. - Prüfe anschließend die sechste Nachkommastelle, wenn du den Wert auf fünf Nachkommastellen runden willst.

1. Für \(\sqrt{15} \approx 3{,}8729833\dots\) gilt: Bei Genauigkeit \(0{,}1\) sind \(3{,}8\) der Mangelwert und \(3{,}9\) der Überschusswert. Bei Genauigkeit \(0{,}01\) sind es \(3{,}87\) und \(3{,}88\). Bei Genauigkeit \(0{,}0001\) sind es \(3{,}8729\) und \(3{,}8730\). 2. Der Taschenrechner zeigt \(\sqrt{0{,}8} \approx 0{,}89442719\dots\). Die ersten fünf Ziffern nach dem Komma sind daher \(89442\). Auf fünf Nachkommastellen gerundet lautet der Näherungswert dagegen \(0{,}89443\).

1. \(0{,}1\): \(3{,}8\) (M), \(3{,}9\) (Ü); \(0{,}01\): \(3{,}87\) (M), \(3{,}88\) (Ü); \(0{,}0001\): \(3{,}8729\) (M), \(3{,}8730\) (Ü) 2. Erste fünf Ziffern: \(89442\); auf fünf Nachkommastellen gerundet: \(0{,}89443\)

- Welche Formel verbindet den Radius und die Fläche eines Kreises? - Wie kannst du eine Formel mit einer Quadratzahl so umstellen, dass du die Variable ohne Quadrat erhältst? - Achte beim Runden auf die dritte Nachkommastelle. - Vergiss nicht, die Einheiten in deine Lösung zu übernehmen.

1. Umstellen der Formel \(A = \pi r^2\) nach \(r\): \(r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\). 2. Berechnung für a): \(r = \sqrt{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}7841 \dots \approx 1{,}78\,\text{cm}\). 3. Berechnung für b): \(r = \sqrt{\frac{35{,}5}{\pi}} \approx 3{,}3615 \dots \approx 3{,}36\,\text{m}\). 4. Berechnung für c): \(r = \sqrt{\frac{0{,}8}{\pi}} \approx 0{,}5046 \dots \approx 0{,}50\,\text{dm}\).

a) \(r \approx 1{,}78\,\text{cm}\) b) \(r \approx 3{,}36\,\text{m}\) c) \(r \approx 0{,}50\,\text{dm}\)

- Welche Gleichung verbindet Kreisfläche und Radius? - Für b) musst du nicht die Wurzel selbst berechnen: Prüfe, welche Fläche zu den beiden vorgegebenen Radien gehört. - Für die Rundungsentscheidung ist wichtig, auf welcher Seite der Mitte zwischen den beiden Hundertstelwerten der Radius liegt.

1. Aus \(50=\pi r^2\) folgt \(r^2=\frac{50}{\pi}\) und damit \(r=\sqrt{\frac{50}{\pi}}\,\text{cm}\). 2. Für \(3{,}98\,\text{cm}\) ergibt sich \(\pi\cdot(3{,}98)^2\approx49{,}764\,\text{cm}^2<50\,\text{cm}^2\). Für \(3{,}99\,\text{cm}\) ergibt sich \(\pi\cdot(3{,}99)^2\approx50{,}014\,\text{cm}^2>50\,\text{cm}^2\). Daher gilt \(3{,}98\,\text{cm}<r<3{,}99\,\text{cm}\). 3. Die Mitte ist \(3{,}985\,\text{cm}\). Es gilt \(\pi\cdot(3{,}985)^2\approx49{,}889\,\text{cm}^2<50\,\text{cm}^2\). Also ist \(r>3{,}985\,\text{cm}\) und wird auf \(3{,}99\,\text{cm}\) gerundet. 4. Direkt berechnet ist \(r=\sqrt{\frac{50}{\pi}}\,\text{cm}\approx3{,}9894228\,\text{cm}\). Das bestätigt die Rundung auf \(3{,}99\,\text{cm}\).

a) \(r=\sqrt{\frac{50}{\pi}}\,\text{cm}\) b) \(3{,}98\,\text{cm}<r<3{,}99\,\text{cm}\) c) \(r\) wird auf \(3{,}99\,\text{cm}\) gerundet. d) \(r\approx3{,}9894228\,\text{cm}\)

- Setze zuerst die gegebenen Zahlenwerte für die Wurzeln in die Terme ein. - Achte bei der Multiplikation und Division auf die richtige Reihenfolge der Rechenschritte (Punkt- vor Strichrechnung). - Runde erst ganz am Ende deiner Rechnung auf zwei Stellen nach dem Komma. - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Bei einer 0, 1, 2, 3 oder 4 an der dritten Stelle wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8 oder 9 wird aufgerundet.

1. Berechnung von Teil a: \(1{,}5 \cdot 1{,}414 + 2 = 2{,}121 + 2 = 4{,}121\). Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt dies \(4{,}12\). 2. Berechnung von Teil b: \(2 \cdot 1{,}732 - 1{,}414 = 3{,}464 - 1{,}414 = 2{,}05\). Der Näherungswert besitzt bereits zwei Dezimalstellen. 3. Berechnung von Teil c: \((1{,}732 + 1{,}414) {:} 2 = 3{,}146 {:} 2 = 1{,}573\). Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt dies \(1{,}57\).

a) \(\approx 4{,}12\) b) \(\approx 2{,}05\) c) \(\approx 1{,}57\)

- Verwende bei den Wurzelwerten zunächst mehr Nachkommastellen, als das Endergebnis haben soll. - Führe Addition, Subtraktion oder Multiplikation vor dem endgültigen Runden aus. - Entscheidend für das Runden auf zwei Nachkommastellen ist die dritte Nachkommastelle des Endergebnisses.

1. Mit \(\sqrt3\approx1{,}7321\) ergibt sich \(2{,}45+1{,}7321\approx4{,}1821\), also \(4{,}18\). 2. Mit \(\sqrt{10}\approx3{,}1623\) ergibt sich \(7{,}18-3{,}1623\approx4{,}0177\), also \(4{,}02\). 3. Mit \(\sqrt8\approx2{,}8284\) und \(\sqrt2\approx1{,}4142\) ergibt sich \(2{,}8284+1{,}4142\approx4{,}2426\), also \(4{,}24\). 4. Mit \(\sqrt5\approx2{,}2361\) ergibt sich \(3\cdot2{,}2361-4\approx2{,}7083\), also \(2{,}71\).

1) \(\approx4{,}18\) 2) \(\approx4{,}02\) 3) \(\approx4{,}24\) 4) \(\approx2{,}71\)

- Kannst du die Wurzeln zuerst mit einem Näherungsverfahren oder dem Taschenrechner bestimmen? - Wie viele Nachkommastellen solltest du bei den Zwischenschritten verwenden, um am Ende sicher auf zwei Stellen runden zu können? - Erinnere dich an die Rundungsregeln: Ab 5 wird aufgerundet.

1. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{7} \approx 2{,}64575\). Multiplikation: \(4 \cdot 2{,}64575 = 10{,}583\). Gerundet: \(10{,}58\). 2. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421\). Multiplikation: \(9 \cdot 1{,}41421 = 12{,}72789\). Gerundet: \(12{,}73\). 3. Bestimmung des Näherungswerts für \(\sqrt{15} \approx 3{,}87298\). Multiplikation: \(2 \cdot 3{,}87298 = 7{,}74596\). Gerundet: \(7{,}75\).

1) \(\approx 10{,}58\) 2) \(\approx 12{,}73\) 3) \(\approx 7{,}75\)

- Lies zuerst die beiden markierten Endpunkte jedes Intervalls ab. - Da alle Intervallgrenzen positiv sind, kannst du ihre Quadrate mit \(18\) vergleichen. - Die Intervallbreite erhältst du durch obere Grenze minus untere Grenze.

1. Für das erste Intervall gilt \(4^2=16<18<25=5^2\), also \(4<\sqrt{18}<5\). 2. Für das zweite Intervall gilt \(4{,}2^2=17{,}64<18<18{,}49=4{,}3^2\), also \(4{,}2<\sqrt{18}<4{,}3\). 3. Für das dritte Intervall gilt \(4{,}24^2=17{,}9776<18<18{,}0625=4{,}25^2\), also \(4{,}24<\sqrt{18}<4{,}25\). 4. Jedes neue Intervall liegt vollständig im vorherigen und enthält weiterhin \(\sqrt{18}\). Darin besteht die Schachtelung. 5. Das dritte Intervall hat die Breite \(4{,}25-4{,}24=0{,}01\). Der Wert ist damit auf ein Intervall dieser Länge eingegrenzt.

a) \(4<\sqrt{18}<5\); \(4{,}2<\sqrt{18}<4{,}3\); \(4{,}24<\sqrt{18}<4{,}25\), jeweils durch Quadrieren der Grenzen bestätigt. b) Jedes Intervall liegt vollständig im vorherigen und enthält weiterhin \(\sqrt{18}\). c) Die Intervallbreite beträgt \(0{,}01\); \(\sqrt{18}\) ist damit auf ein Intervall dieser Länge eingegrenzt.

- Setze die angegebenen Näherungswerte zunächst ohne zusätzliche Rundung ein. - In Teil b) werden bewusst ungenauere Zwischenwerte verwendet. - Vergleiche beide Ergebnisse mit dem Wert, den du in Teil a) vor dem Runden selbst erhältst.

1. Mit allen angegebenen Stellen ergibt sich \(T\approx2\cdot1{,}73205+2{,}23607=5{,}70017\). Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist das \(5{,}70\). 2. Rundet man zuerst, erhält man \(\sqrt3\approx1{,}7\) und \(\sqrt5\approx2{,}2\). Dann ist \(T\approx2\cdot1{,}7+2{,}2=5{,}6\). 3. Der früh gerundete Wert \(5{,}6\) weicht vom ungerundeten Näherungswert \(5{,}70017\) um etwa \(0{,}10017\) ab. Das Rechnen mit mehr Stellen und Runden erst am Ende ist daher deutlich genauer.

a) \(T\approx5{,}70\) b) \(T\approx5{,}6\) c) Runden erst am Ende ist genauer, weil frühe Rundungsfehler in den weiteren Rechenschritten mitwirken.

- Überlege, mit welchem Faktor der gegebene Näherungswert \(2{,}236\) multipliziert werden müsste, damit sein Quadrat um den passenden Faktor verändert wird. - Wenn eine Zahl mit \(10\) multipliziert wird, wird ihr Quadrat mit \(100\) multipliziert. - Nutze dieselbe Idee auch mit den Faktoren \(0{,}1\) und \(100\).

1. Zu a): Da \(2{,}236^2 \approx 5\) gilt, ist \((10 \cdot 2{,}236)^2 = 100 \cdot 2{,}236^2 \approx 500\). Daher ist \(\sqrt{500} \approx 22{,}36\). 2. Zu b): Es gilt \((0{,}1 \cdot 2{,}236)^2 = 0{,}01 \cdot 2{,}236^2 \approx 0{,}05\). Daher ist \(\sqrt{0{,}05} \approx 0{,}2236\). 3. Zu c): Es gilt \((100 \cdot 2{,}236)^2 = 10\,000 \cdot 2{,}236^2 \approx 50\,000\). Daher ist \(\sqrt{50\,000} \approx 223{,}6\).

a) \(\sqrt{500} \approx 22{,}36\) b) \(\sqrt{0{,}05} \approx 0{,}2236\) c) \(\sqrt{50\,000} \approx 223{,}6\)

- Welche Quadratzahlen liegen direkt unter und über \(32\)? - Wenn du zwischen zwei Dezimalzahlen entscheiden willst, kann ihre Mitte hilfreich sein. - Nutze den Taschenrechner erst im letzten Teil zur Kontrolle und zum Runden.

1. Aus \(s^2=32\) folgt \(s=\sqrt{32}\,\text{m}\). Da \(5^2=25<32<36=6^2\), gilt \(5<s<6\). 2. Die Mitte zwischen \(5{,}6\) und \(5{,}7\) ist \(5{,}65\). Es gilt \(5{,}65^2=31{,}9225<32\). Daher ist \(s>5{,}65\) und somit näher an \(5{,}7\,\text{m}\). 3. Mit dem Taschenrechner erhält man \(\sqrt{32}\approx5{,}656854\dots\). Gerundet auf zwei Nachkommastellen ist \(s\approx5{,}66\,\text{m}\). Das passt zu den Ergebnissen aus a) und b).

a) \(s=\sqrt{32}\,\text{m}\) und \(5\,\text{m}<s<6\,\text{m}\). b) \(s\) liegt näher an \(5{,}7\,\text{m}\), denn \(5{,}65^2<32\). c) \(s\approx5{,}66\,\text{m}\); das passt zu a) und b).

- Beginne mit zwei ganzen Zahlen, deren Quadrate \(45\) einschließen, und verfeinere dann auf Zehntel und Hundertstel. - Um eine Dezimalgrenze mit \(\sqrt{45}\) zu vergleichen, kannst du die positive Grenze quadrieren und mit \(45\) vergleichen. - Nutze für b) die Lage von \(x\) innerhalb des gefundenen Intervalls.

1. Bestimmung der Intervalle: Aus \(6^2 = 36 < 45 < 49 = 7^2\) folgt \(I_1 = [6; 7]\). Weiter gilt \(6{,}7^2 = 44{,}89 < 45 < 46{,}24 = 6{,}8^2\), also \(I_2 = [6{,}7; 6{,}8]\). Für die Hundertstel gilt \(6{,}70^2 = 44{,}89 < 45 < 45{,}0241 = 6{,}71^2\). Daher ist \(I_3 = [6{,}70; 6{,}71]\). 2. Vergleich: Da \(\sqrt{45}\) kleiner als die obere Intervallgrenze \(6{,}71\) ist, gilt \(x < y\).

a) \(I_3 = [6{,}70; 6{,}71]\) b) \(y > x\)

- Wie ändert sich die Länge eines Intervalls, wenn man es in zehn gleiche Teile zerlegt? - Erinnere dich daran, wie man prüft, ob eine Wurzel in einem bestimmten Bereich liegt, indem man die Grenzen quadriert. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl genau auf der Grenze eines Intervalls liegt?

1. Berechnung der Intervallbreiten: Das erste Intervall \(I_1\) hat die Breite \(1\). Jede weitere Unterteilung reduziert die Breite um den Faktor \(10\). Somit hat \(I_2\) die Breite \(0{,}1\), \(I_3\) die Breite \(0{,}01\) und \(I_4\) die Breite \(0{,}001\). 2. Bestimmung von \(I_4\): Durch sukzessives Quadrieren findet man \(1{,}4^2 = 1{,}96\) und \(1{,}5^2 = 2{,}25\), also \(I_2 = [1{,}4; 1{,}5]\). Weiter ist \(1{,}41^2 = 1{,}9881\) und \(1{,}42^2 = 2{,}0164\), also \(I_3 = [1{,}41; 1{,}42]\). Für die dritte Nachkommastelle gilt \(1{,}414^2 = 1{,}999396\) und \(1{,}415^2 = 2{,}002225\). Damit ist \(I_4 = [1{,}414; 1{,}415]\). 3. Prüfung der Enthaltensein: Da \(1{,}414\) die untere Grenze des abgeschlossenen Intervalls \([1{,}414; 1{,}415]\) ist, liegt die Zahl im Intervall.

a) Die Breite des vierten Intervalls \(I_4\) beträgt \(0{,}001\). b) Ja, \(1{,}414\) liegt im Intervall \(I_4\), da \(1{,}414^2 = 1{,}999396 < 2\) und \(1{,}415^2 = 2{,}002225 > 2\), woraus \(I_4 = [1{,}414; 1{,}415]\) folgt.

- Bestimme zunächst benachbarte Quadratzahlen. - Zum Vergleich zweier Näherungswerte ist ihr Mittelpunkt entscheidend. - Bestimme den Mittelpunkt der beiden vorgeschlagenen Näherungswerte selbst und vergleiche sein Quadrat mit \(18\).

1. Da \(4^2 = 16 < 18 < 25 = 5^2\), gilt \(4 < \sqrt{18} < 5\). Damit liegt \(\sqrt{18}\) im Intervall \([4; 5]\). 2. Es gilt \(4{,}2^2 = 17{,}64 < 18\) und \(4{,}25^2 = 18{,}0625 > 18\). Daher liegt \(\sqrt{18}\) zwischen \(4{,}2\) und dem Mittelpunkt \(4{,}25\) der Zahlen \(4{,}2\) und \(4{,}3\). Somit ist \(\sqrt{18}\) näher an \(4{,}2\) als an \(4{,}3\).

a) \([4; 5]\) b) \(\sqrt{18}\) liegt näher an \(4{,}2\), denn \(4{,}2 < \sqrt{18} < 4{,}25\). Dabei ist \(4{,}25\) der Mittelpunkt von \(4{,}2\) und \(4{,}3\).

- Nutze benachbarte Quadratzahlen. - Zum Vergleich von \(3{,}6\) und \(3{,}61\) quadriere ihren Mittelpunkt. - Eine positive Zahl ist größer als \(\sqrt{13}\), wenn ihr Quadrat größer als \(13\) ist.

1. Da \(3^2 = 9 < 13 < 16 = 4^2\), gilt \(3 < \sqrt{13} < 4\). 2. Der Mittelpunkt von \(3{,}6\) und \(3{,}61\) ist \(3{,}605\). Es gilt \(3{,}605^2 = 12{,}996025 < 13\) und \(3{,}61^2 = 13{,}0321 > 13\). Somit liegt \(\sqrt{13}\) zwischen \(3{,}605\) und \(3{,}61\) und daher näher an \(3{,}61\). 3. Außerdem ist \(\left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9} > 13\). Da \(\frac{11}{3} > 0\), folgt \(\frac{11}{3} > \sqrt{13}\).

a) \(3 < \sqrt{13} < 4\). b) \(\sqrt{13}\) liegt näher an \(3{,}61\), denn \(3{,}605^2 < 13 < 3{,}61^2\). c) \(\left(\frac{11}{3}\right)^2 > 13\), also \(\frac{11}{3} > \sqrt{13}\).

- Quadriere zunächst beide Näherungswerte. - Bestimme dann den Mittelpunkt der beiden Vorschläge. - Auf welcher Seite dieses Mittelpunkts liegt \(\sqrt{5}\)?

1. Es gilt \(2{,}236^2 = 4{,}999696 < 5\) und \(2{,}25^2 = 5{,}0625 > 5\). 2. Der Mittelpunkt der beiden Näherungswerte ist \(m = \frac{2{,}236 + 2{,}25}{2} = 2{,}243\). Da \(2{,}243^2 = 5{,}031049 > 5\), gilt \(\sqrt{5} < 2{,}243\). 3. Zusammen mit \(2{,}236 < \sqrt{5}\) folgt \(2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}243\). Damit liegt \(\sqrt{5}\) näher an \(2{,}236\) als an \(2{,}25\).

Die Näherung \(2{,}236\) ist präziser. Der Mittelpunkt der beiden Vorschläge ist \(2{,}243\), und es gilt \(2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}243\). Daher liegt \(\sqrt{5}\) näher an \(2{,}236\).

- Stelle die gegebene Formel zuerst nach \(t^2\) und anschließend nach der positiven Zeit \(t\) um. - Runde die beiden Zeiten erst am Ende auf zwei Nachkommastellen. - Für b) vergleiche direkt die Gleichung für \(t^2\), wenn \(h\) mit dem Faktor \(4\) verändert wird.

1. Umstellen der Formel: Aus \(h = \frac{1}{2}gt^2\) folgt \(t^2 = \frac{2h}{g}\) und wegen \(t \ge 0\) somit \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\). 2. Für \(h_1 = 45\,\text{m}\): \(t_1 = \sqrt{\frac{90}{9{,}81}}\,\text{s} \approx 3{,}0289\,\text{s} \approx 3{,}03\,\text{s}\). 3. Für \(h_2 = 180\,\text{m}\): \(t_2 = \sqrt{\frac{360}{9{,}81}}\,\text{s} \approx 6{,}0578\,\text{s} \approx 6{,}06\,\text{s}\). 4. Für den exakten Vergleich genügt die Gleichung \(t^2 = \frac{2h}{g}\): Wird \(h\) mit \(4\) multipliziert, wird auch \(t^2\) mit \(4\) multipliziert. Da Fallzeiten positiv sind, wird \(t\) damit mit \(2\) multipliziert. Die Fallzeit verdoppelt sich.

a) \(t_1 \approx 3{,}03\,\text{s}\); \(t_2 \approx 6{,}06\,\text{s}\) b) Faktor \(2\); die Fallzeit verdoppelt sich.

- Achte darauf, an welcher Stelle in jeder Vorgehensweise gerundet wird. - Wie wirkt sich eine frühe Rundung aus, wenn der Näherungswert anschließend mit \(15\) multipliziert wird? - Vergleiche, wie viele Dezimalstellen des Wurzelwerts in den beiden Rechnungen erhalten bleiben.

1. Für a) wird \(\sqrt2\approx1{,}4\) verwendet. Damit erhält man \(15\cdot1{,}4=21{,}0\). 2. Für b) gilt \(\sqrt2\approx1{,}4142\). Damit ist \(15\cdot1{,}4142=21{,}213\), also gerundet \(21{,}2\). 3. Vorgehensweise b) ist genauer, weil der Wurzelwert vor der Multiplikation mit deutlich mehr Stellen verwendet wird und erst das Endergebnis auf eine Nachkommastelle gerundet wird.

a) \(21{,}0\) b) \(21{,}2\) Vorgehensweise b) ist genauer, weil erst am Ende auf eine Nachkommastelle gerundet wird.

- Bestimme aus dem Flächeninhalt zunächst die positive Seitenlänge des Quadrats. - Berechne den Umfang mit \(U = 4s\). - Für b) ist die benötigte Diagonalformel bereits gegeben; verwende genügend Nachkommastellen in den Zwischenwerten und runde erst am Ende.

1. Zu a): \(s = \sqrt{7}\,\text{cm} \approx 2{,}6458\,\text{cm}\), also gerundet \(s \approx 2{,}65\,\text{cm}\). 2. Der Umfang ist \(U = 4s = 4\sqrt{7}\,\text{cm} \approx 10{,}5830\,\text{cm}\), also \(U \approx 10{,}58\,\text{cm}\). 3. Zu b): Mit hinreichend genauen Zwischenwerten \(s \approx 2{,}6458\,\text{cm}\) und \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\) erhält man \(d \approx 2{,}6458 \cdot 1{,}4142\,\text{cm} \approx 3{,}7416\,\text{cm}\). Gerundet ist \(d \approx 3{,}74\,\text{cm}\).

a) \(s \approx 2{,}65\,\text{cm}\); \(U \approx 10{,}58\,\text{cm}\) b) \(d \approx 3{,}74\,\text{cm}\)

- Beginne mit der innersten Wurzel. Zwischen welchen Quadratzahlen liegt diese? - Nutze diese Grenzen, um den gesamten Wert unter der großen Wurzel abzuschätzen. - Welche Quadratzahlen liegen in der Nähe des so ermittelten Ergebnisses?

1. Innere Wurzel abschätzen: \(\sqrt{125}\). Da \(11^2 = 121\) und \(12^2 = 144\), gilt \(11 < \sqrt{125} < 12\). 2. Den Ausdruck unter der äußeren Wurzel eingrenzen: Addiere \(40\) zu den Grenzen. Es gilt \(40 + 11 < 40 + \sqrt{125} < 40 + 12\), also \(51 < 40 + \sqrt{125} < 52\). 3. Äußere Wurzel abschätzen: Wir suchen \(n\), sodass \(n^2 < T^2 < (n+1)^2\). Hier ist \(T^2 = 40 + \sqrt{125}\). 4. Da \(51 < T^2 < 52\), suchen wir Quadratzahlen um \(51\) und \(52\). 5. Es gilt \(7^2 = 49\) und \(8^2 = 64\). 6. Da \(49 < 51 < T^2 < 52 < 64\), folgt durch Wurzelziehen: \(7 < T < 8\).

Der Wert des Ausdrucks \(T\) liegt zwischen den natürlichen Zahlen \(7\) und \(8\).

- Prüfe zuerst durch Quadrieren, auf welcher Seite von \(\sqrt{10}\) die beiden Brüche liegen. - Bei zwei Werten auf verschiedenen Seiten entscheidet der Mittelpunkt über die größere Nähe. - Quadriere den Mittelpunkt der beiden Brüche.

1. Die beiden Vorschläge liegen auf verschiedenen Seiten von \(\sqrt{10}\): \(\left(\frac{22}{7}\right)^2 = \frac{484}{49} < 10\) und \(\left(\frac{19}{6}\right)^2 = \frac{361}{36} > 10\). 2. Ihr Mittelpunkt ist \(m = \frac{1}{2}\left(\frac{22}{7} + \frac{19}{6}\right) = \frac{265}{84}\). Es gilt \(m^2 = \frac{70225}{7056} < \frac{70560}{7056} = 10\). Also ist \(m < \sqrt{10}\). Damit liegt \(\sqrt{10}\) rechts vom Mittelpunkt und näher am größeren Wert \(\frac{19}{6}\). 3. Mit \(\sqrt{10} \approx 3{,}162278\) erhält man \(\left|\frac{19}{6} - \sqrt{10}\right| \approx 0{,}004389\) und \(\left|\frac{22}{7} - \sqrt{10}\right| \approx 0{,}019421\). Lukas hat recht.

a) \(\frac{19}{6}\) liegt näher an \(\sqrt{10}\). Der Mittelpunkt \(\frac{265}{84}\) hat ein Quadrat kleiner als \(10\), daher liegt \(\sqrt{10}\) auf der Seite von \(\frac{19}{6}\). b) Fehler von Lukas: ungefähr \(0{,}004389\); Fehler von Sophie: ungefähr \(0{,}019421\). Lukas hat recht.