- Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? Das ist die Hypotenuse. - Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten. - Erinnere dich an die Grundformel: \(\text{Kathete}^2 + \text{Kathete}^2 = \text{Hypotenuse}^2\).

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate der Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. 1. Dreieck a): Die Katheten sind \(u\) und \(v\), die Hypotenuse ist \(w\). Die Gleichung lautet: \(u^2 + v^2 = w^2\). 2. Dreieck b): Die Katheten sind \(y\) und \(z\), die Hypotenuse ist \(x\). Die Gleichung lautet: \(y^2 + z^2 = x^2\). 3. Dreieck c): Die Katheten sind \(h\) und \(i\), die Hypotenuse ist \(g\). Die Gleichung lautet: \(h^2 + i^2 = g^2\).

a) \(u^2 + v^2 = w^2\) b) \(y^2 + z^2 = x^2\) c) \(h^2 + i^2 = g^2\)

- In welcher Aussage ist der rechte Winkel schon vorausgesetzt? - In welcher Aussage ist zuerst die Gleichung gegeben und der rechte Winkel folgt erst daraus? - Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel.

1. In A ist der rechte Winkel schon vorausgesetzt. Daraus folgt die Gleichung. A ist der Satz des Pythagoras. 2. In B ist die Gleichung vorausgesetzt. Daraus folgt der rechte Winkel. B ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras. 3. In A ist \(c\) die Hypotenuse. In B liegt der rechte Winkel gegenüber von \(c\); deshalb ist auch dort \(c\) die Hypotenuse.

A: Satz des Pythagoras; Hypotenuse \(c\). B: Umkehrung des Satzes des Pythagoras; Hypotenuse \(c\).

- Kannst du die Diagonale Schritt für Schritt berechnen (erst die Diagonale der Grundfläche, dann die Raumdiagonale)? - Welchen Satz benutzt man typischerweise für Längen in rechtwinkligen Strukturen? - Gibt es eine direkte Formel für die Diagonale in einem Quader?

1. Anwendung der Formel für die Raumdiagonale im Quader: \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) 2. Einsetzen der Werte: \(d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9}\) 3. Ergebnis: \(\sqrt{14}\)

\(\sqrt{14}\)

- Betrachte in jedem Satz zuerst die längste Stablänge. - Für einen rechten Winkel muss die längste Seite auf besondere Weise zu den beiden anderen passen. - Prüfe alle drei Sätze getrennt, statt aus dem Aussehen der Zahlen zu raten. - Kontrolliere auch, ob die Seiten überhaupt ein Dreieck bilden könnten.

1. Überprüfung Satz 1: Längste Seite: \(61\). \(11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721\). \(61^2 = 3721\). Gleichheit gilt (\(3721 = 3721\)), also rechtwinklig. 2. Überprüfung Satz 2: Längste Seite: \(25\). \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\). \(25^2 = 625\). Keine Gleichheit (\(676 \neq 625\)), also nicht rechtwinklig. 3. Überprüfung Satz 3: Längste Seite: \(29\). \(20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841\). \(29^2 = 841\). Gleichheit gilt (\(841 = 841\)), also rechtwinklig.

Die Sätze 1 und 3 bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Satz 2 bildet kein rechtwinkliges Dreieck.

- Sortiere die drei Seiten nach ihrer Länge. - Welche Gleichheit muss zwischen den Seitenlängen gelten, damit die Umkehrung des Satzes von Pythagoras einen rechten Winkel liefert? - Vergleiche die Quadratsumme der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite.

1. Die längste Seite ist \(25\,\text{cm}\) lang und wäre bei einem rechten Winkel die Hypotenuse. 2. Für die Umkehrung des Satzes von Pythagoras wird geprüft, ob \(7^2+24^2=25^2\) gilt. 3. Es ist \(7^2+24^2=49+576=625\) und \(25^2=625\). 4. Da die Quadratsumme der beiden kürzeren Seiten dem Quadrat der längsten Seite entspricht, ist das Dreieck rechtwinklig.

Ja. Es gilt \(7^2+24^2=25^2\); nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras hat die Tischplatte einen rechten Winkel.

- Erinnere dich an die Grundform des Satzes von Pythagoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). Welche Seite ist dabei immer die längste? - Versuche, jede Gleichung so umzustellen, dass auf einer Seite nur ein einzelnes Quadrat steht. - Was bedeutet die Wurzel in diesem Zusammenhang für die Beziehung der Quadrate?

1. Umstellung zu \(q^2 = p^2 + r^2\). Da die Summe der Quadrate zweier Seiten das Quadrat der dritten Seite ergibt, ist \(q\) die Hypotenuse. 2. Quadrieren ergibt \(c^2 = a^2 + b^2\). \(c\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat die Summe der Quadrate von \(a\) und \(b\) ist. 3. Die Gleichung hat die Form \(a^2 + b^2 = c^2\) mit \(a=b=x\). Somit ist \(y\) die Hypotenuse. 4. Umstellung zu \(s^2 = t^2 + u^2\). \(s\) ist die Hypotenuse, da ihr Quadrat gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

1. \(q\) ist die Hypotenuse. 2. \(c\) ist die Hypotenuse. 3. \(y\) ist die Hypotenuse. 4. \(s\) ist die Hypotenuse.

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel direkt gegenüber? - Wie hießen noch einmal die Seiten, die den rechten Winkel bilden? - Was passiert mit der Formel, wenn man die Buchstaben an den Ecken des Dreiecks vertauscht?

1. Identifikation der Seiten: Im rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Da der rechte Winkel bei \(S\) liegt, ist die Seite \(s\) die Hypotenuse. Die Seiten \(r\) (gegenüber von \(R\)) und \(t\) (gegenüber von \(T\)) schließen den rechten Winkel ein und sind somit die Katheten. 2. Aufstellen der Gleichung: Nach dem Satz des Pythagoras entspricht die Summe der Quadrate der Katheten dem Quadrat der Hypotenuse. Daraus folgt: \(r^2 + t^2 = s^2\). 3. Begründung zur allgemeinen Formel: Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) setzt voraus, dass \(c\) die Hypotenuse ist. In der Mathematik können Variablen jedoch frei gewählt werden. Ohne Definition, welche Variable die längste Seite beschreibt, führt die blinde Anwendung der Formel zu falschen Ergebnissen, wie im Beispiel mit \(s\) als Hypotenuse ersichtlich ist.

a) Die Hypotenuse ist \(s\), die Katheten sind \(r\) und \(t\). b) Die Formel lautet \(r^2 + t^2 = s^2\). c) Die Formel \(a^2 + b^2 = c^2\) ist nur korrekt, wenn \(c\) die Hypotenuse ist. Da Buchstaben variabel vergeben werden können, muss man immer zuerst prüfen, welche Seite die Hypotenuse ist.

- Erinnere dich an die geometrische Bedeutung des Satzes von Pythagoras: Was sagen die Quadrate über den Seiten aus? - Wie hängen die Flächeninhalte der drei Quadrate direkt zusammen? - Wie berechnet man die Seitenlänge eines Quadrats, wenn der Flächeninhalt bekannt ist? - Kannst du die Aufgabe lösen, ohne zuerst die Seitenlängen zu berechnen?

1. Berechnung der Seitenlängen aus den Flächeninhalten: Die Kathete ist \(a = \sqrt{144\,\text{cm}^2} = 12\,\text{cm}\), die Hypotenuse ist \(c = \sqrt{169\,\text{cm}^2} = 13\,\text{cm}\). 2. Anwendung der geometrischen Interpretation des Satzes von Pythagoras: Die Summe der Flächen der Kathetenquadrate entspricht der Fläche des Hypotenusenquadrats (\(A_a + A_b = A_c\)). 3. Berechnung der Fläche des zweiten Kathetenquadrats: \(A_b = 169\,\text{cm}^2 - 144\,\text{cm}^2 = 25\,\text{cm}^2\). 4. Berechnung der Länge der zweiten Kathete: \(b = \sqrt{25\,\text{cm}^2} = 5\,\text{cm}\).

a) Die Kathete ist \(12\,\text{cm}\) und die Hypotenuse ist \(13\,\text{cm}\) lang. b) Der Flächeninhalt des Quadrats über der zweiten Kathete beträgt \(25\,\text{cm}^2\). c) Die zweite Kathete ist \(5\,\text{cm}\) lang.

- Vergleiche zuerst nur die beiden äußeren Gesamtflächen. - Welche Teilflächen sind in beiden Zerlegungen identisch und können gedanklich auf beiden Seiten entfernt werden? - Welche Flächen bleiben danach in a) beziehungsweise b) übrig?

1. Die äußeren Quadrate sind gleich groß. 2. Aus beiden äußeren Quadraten werden jeweils dieselben vier kongruenten Dreiecke entfernt. Daher müssen die jeweils verbleibenden Flächen gleich groß sein. 3. In a) beträgt die verbleibende Fläche \(a^2+b^2\). 4. In b) beträgt die verbleibende Fläche \(c^2\). 5. Somit gilt \(a^2+b^2=c^2\).

Da aus zwei gleich großen Gesamtflächen dieselben vier Dreiecksflächen entfernt werden, sind die Restflächen gleich. Daher gilt \(a^2+b^2=c^2\).

- Welche Aussage lässt sich direkt mit Ort und Datierung der Tafel prüfen? - Was zeigen konkrete Zahlentripel tatsächlich über mathematisches Wissen? - Welche zusätzliche logische Reichweite hätte ein allgemeiner Satz gegenüber einer Sammlung passender Beispiele?

1. Aussage I ist mit den Quelleninformationen nicht vereinbar. Plimpton 322 stammt aus Larsa im heutigen Irak und wird auf etwa \(1820\) bis \(1762\) v. Chr. datiert, also ungefähr tausend Jahre vor Pythagoras. 2. Nach der genannten Deutung enthält die Tafel pythagoreische Tripel. Damit ist mathematisches Wissen über konkrete ganzzahlige Seitenbeziehungen belegt, die \(a^2+b^2=c^2\) erfüllen. 3. Aussage II geht dagegen über die Quelleninformation hinaus. Aus dem Auftreten bestimmter Tripel folgt nicht, dass der allgemeine Satz für alle rechtwinkligen Dreiecke formuliert und bewiesen wurde. 4. Kulturhistorisch zeigt der Vergleich daher, dass entsprechende mathematische Kenntnisse älter und kulturübergreifender sind, als der spätere Name „Satz des Pythagoras“ vermuten lassen könnte, ohne daraus einen nicht belegten altbabylonischen Allgemeinbeweis abzuleiten.

I ist falsch: Plimpton 322 stammt aus Larsa im heutigen Irak, etwa \(1820\) bis \(1762\) v. Chr., also ungefähr tausend Jahre vor Pythagoras. Nach der genannten Deutung enthält sie pythagoreische Tripel und belegt damit entsprechendes mathematisches Wissen vor Pythagoras. II ist durch diese Information nicht belegt: Aus einzelnen Tripeln folgt noch kein allgemeiner Satz für alle rechtwinkligen Dreiecke und kein Beweis dieses Satzes. Der Name „Satz des Pythagoras“ darf deshalb nicht mit einem eindeutigen erstmaligen kulturellen Ursprung gleichgesetzt werden.

- Bringe in jeder Teilaufgabe zuerst alle Seitenlängen in dieselbe Einheit. - Bestimme danach die längste Seite, denn sie ist der entscheidende Kandidat. - Vergleiche die längste Seite mit den beiden kürzeren Seiten über ihre Quadrate. - Achte darauf, dass kleine Umrechnungsfehler das Ergebnis komplett verändern können.

1. Teilaufgabe a): Wandle alle Maße in die gleiche Einheit um (z. B. cm): \(a = 90\,\text{cm}\), \(b = 40\,\text{cm}\), \(c = 80\,\text{cm}\). Die längste Seite ist \(a = 90\,\text{cm}\). Prüfe: \(b^2 + c^2 = a^2\) \(40^2 + 80^2 = 1600 + 6400 = 8000\) \(a^2 = 90^2 = 8100\) Da \(8000 \neq 8100\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. 2. Teilaufgabe b): Die längste Seite ist \(z = 3{,}7\,\text{cm}\). Prüfe: \(x^2 + y^2 = z^2\) \(1{,}2^2 + 3{,}5^2 = 1{,}44 + 12{,}25 = 13{,}69\) \(z^2 = 3{,}7^2 = 13{,}69\) Da \(13{,}69 = 13{,}69\), ist das Dreieck rechtwinklig.

a) Nicht rechtwinklig. b) Rechtwinklig.

- Welche Seite liegt dem rechten Winkel in einem Standard-Dreieck \(\triangle ABC\) normalerweise gegenüber? - Überlege, welche Seite die Hypotenuse sein muss, wenn du die Gleichung nach dem Schema \(\dots^2 + \dots^2 = \dots^2\) sortierst. - Was bedeutet „gleichschenklig“ für die Längen der Katheten?

1. Analyse der Gleichung: Quadrieren von \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\) ergibt \(b^2 = c^2 - a^2\), was umgeformt \(a^2 + b^2 = c^2\) entspricht. 2. Da \(c\) die Hypotenuse ist, liegt der rechte Winkel gegenüber der Seite \(c\). Ergebnis: \(\gamma = 90^\circ\). 3. Einsetzen der Werte in die Gleichung: \(b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225}\). Ergebnis: \(b = 15\,\text{cm}\). 4. Bedingung gleichschenklig-rechtwinklig: Die Katheten müssen gleich lang sein (\(a = b\)). In die Pythagoras-Formel eingesetzt: \(a^2 + a^2 = c^2\), also \(2a^2 = c^2\). Auflösen nach \(c\) ergibt \(c = \sqrt{2a^2} = a \cdot \sqrt{2}\) oder nach \(a\) aufgelöst \(a = \frac{c}{\sqrt{2}}\).

a) Der rechte Winkel ist \(\gamma\). b) \(b = 15\,\text{cm}\). c) \(c^2 = 2a^2\) (oder \(c = a\sqrt{2}\)).

- Verwende die Eigenschaft, dass das Quadrat einer Wurzel die Zahl unter der Wurzel selbst ist. - Achte darauf, welche Seite die längste ist (beachte dabei, dass \(5 = \sqrt{25}\) und \(4 = \sqrt{16}\) ist). - Stelle die Gleichung \(a^2 + b^2 = c^2\) auf und prüfe, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

Die Rechtwinkligkeit wird durch Quadrieren der Seitenlängen und Anwendung der Umkehrung des Satzes des Pythagoras geprüft. Bei a) sind die Quadrate \(7\), \(18\) und \(5^2 = 25\); da \(7 + 18 = 25\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei b) ergeben die Quadrate \(3^2 = 9\), \(10\) und \(19\); da \(9 + 10 = 19\), ist das Dreieck rechtwinklig. Bei c) sind die Quadrate \(6\), \(8\) und \(4^2 = 16\); da \(6 + 8 = 14\) und \(14 \neq 16\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

a) Rechtwinklig b) Rechtwinklig c) Nicht rechtwinklig

- Bringe zuerst alle drei Seitenlängen in dieselbe Einheit. - Welche Seite ist danach die längste, und welchen Quadratvergleich kannst du durchführen? - Wenn sich ein rechter Winkel ergibt: Welche beiden Seiten stehen dann senkrecht aufeinander und können als Grundseite und Höhe dienen?

1. Zuerst werden die Einheiten angeglichen: \(c=250\,\text{cm}=2{,}5\,\text{m}\). 2. Es gilt \(0{,}7^2+2{,}4^2=0{,}49+5{,}76=6{,}25\) und \(2{,}5^2=6{,}25\). 3. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck daher rechtwinklig; der rechte Winkel liegt bei \(C\). 4. Die Katheten sind \(a\) und \(b\). Somit ist \(A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot0{,}7\cdot2{,}4=0{,}84\,\text{m}^2\).

Das Dreieck ist nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras rechtwinklig. Sein Flächeninhalt beträgt \(0{,}84\,\text{m}^2\), also \(8400\,\text{cm}^2\).

- Welche drei Strecken bilden das Messdreieck? - Welche Strecke wäre die Hypotenuse, wenn der Winkel am Mastfuß genau \(90^\circ\) wäre? - Vergleiche zuerst die Quadrate der drei Seitenlängen.

1. Für einen rechten Winkel müsste das Seil die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(4{,}00\,\text{m}\) und \(3{,}30\,\text{m}\) sein. 2. Es gilt \(4{,}00^2+3{,}30^2=16{,}00+10{,}89=26{,}89\), aber \(5{,}20^2=27{,}04\). Da die Werte nicht gleich sind, beträgt der Winkel am Mastfuß nicht genau \(90^\circ\). 3. Für einen rechten Winkel müsste die Seillänge \(c\) die Gleichung \(c^2=26{,}89\) erfüllen. Daher ist \(c=\sqrt{26{,}89}\,\text{m}\). 4. Gerundet auf zwei Dezimalstellen ergibt sich \(c\approx5{,}19\,\text{m}\).

Der Winkel am Mastfuß beträgt nicht genau \(90^\circ\). Die passende Seillänge wäre exakt \(\sqrt{26{,}89}\,\text{m}\) und gerundet \(5{,}19\,\text{m}\).

- Kannst du die Bedingung nennen, unter der drei Längen überhaupt ein geschlossenes Dreieck bilden können? - Was muss für die Quadrate der Seitenlängen gelten, damit ein Winkel genau \(90^{\circ}\) groß ist? - Reicht es aus, wenn zwei Seiten zusammen genauso lang sind wie die dritte? - Welche Seite eines Dreiecks muss im Satz des Pythagoras immer alleine auf einer Seite der Gleichung stehen?

1. Überprüfung der Dreiecksungleichung für Seil B: Da \(7 + 10 = 17\) und \(17 < 18\), ist die Summe der zwei kürzeren Seiten kleiner als die längste Seite. Ein Dreieck kann nicht gebildet werden. 2. Überprüfung der Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras (\(a^2 + b^2 = c^2\)): - Seil A: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). Da \(15^2 = 225\), ist das Dreieck rechtwinklig. - Seil C: \(10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200\). Da \(14^2 = 196 \neq 200\), ist das Dreieck nicht rechtwinklig. - Seil D: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\), ist das Dreieck rechtwinklig. Ergebnis: Seil B bildet kein Dreieck; Seil A und Seil D bilden rechtwinklige Dreiecke.

a) Seil B (\(7, 10, 18\)) kann kein Dreieck bilden, da \(7 + 10 < 18\) (Verletzung der Dreiecksungleichung). b) Mit Seil A (\(9, 12, 15\)) und Seil D (\(5, 12, 13\)) lassen sich rechtwinklige Beete abstecken, da \(9^2 + 12^2 = 15^2\) und \(5^2 + 12^2 = 13^2\) gilt.

- Welche zwei Bedingungen müssen die drei Seitenlängen gleichzeitig erfüllen? - Kennst du ganzzahlige rechtwinklige Dreiecke, von denen du ausgehen könntest, ohne dass ihr Umfang schon \(60\) sein muss? - Was geschieht mit Rechtwinkligkeit und Umfang, wenn alle drei Seiten mit demselben Faktor vergrößert werden? - Prüfe jede gefundene Möglichkeit sowohl über den Umfang als auch über die Quadrate der Seiten.

1. Gesucht sind ganzzahlige Seitenlängen mit \(a+b+c=60\) und \(a^2+b^2=c^2\). 2. Eine Möglichkeit erhält man aus dem Tripel \((3,4,5)\). Sein Umfang ist \(12\). Mit dem Faktor \(5\) entsteht \((15,20,25)\). Es gilt \(15+20+25=60\) und \(15^2+20^2=225+400=625=25^2\). 3. Eine zweite Möglichkeit erhält man aus \((5,12,13)\). Sein Umfang ist \(30\). Mit dem Faktor \(2\) entsteht \((10,24,26)\). Es gilt \(10+24+26=60\) und \(10^2+24^2=100+576=676=26^2\). 4. Beide Seitentripel erfüllen damit sowohl die Umfangsbedingung als auch die Bedingung für ein rechtwinkliges Dreieck.

Zwei Möglichkeiten sind: 1. \(15\,\text{m}\), \(20\,\text{m}\), \(25\,\text{m}\). 2. \(10\,\text{m}\), \(24\,\text{m}\), \(26\,\text{m}\). In beiden Fällen ist der Umfang \(60\,\text{m}\) und die Quadratsumme der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten Seite.

- Welche beiden Längen kennst du in einem der durch die Höhe entstehenden rechtwinkligen Teildreiecke? - Welche drei Seitenlängen hat danach das gesamte gleichschenklige Dreieck? - Für die verlangte Begründung musst du die Quadrate der beiden kürzeren Seiten mit dem Quadrat der längsten Seite vergleichen.

1. Die Höhe halbiert in einem gleichschenkligen Dreieck die Basis. In einem Teildreieck sind die Katheten daher \(6\,\text{cm}\) und \(6\,\text{cm}\). 2. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(s^2=6^2+6^2=72\,\text{cm}^2\), also \(s=6\sqrt{2}\,\text{cm}\). 3. Für das große Dreieck sind die Seitenlängen \(s\), \(s\) und \(c=12\,\text{cm}\). Es gilt \(s^2+s^2=72+72=144\,\text{cm}^2\). 4. Außerdem ist \(c^2=12^2=144\,\text{cm}^2\). Damit gilt \(s^2+s^2=c^2\). 5. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist der Winkel gegenüber der längsten Seite \(c\) ein rechter Winkel. Er liegt an der Spitze des gleichschenkligen Dreiecks.

\(s=6\sqrt{2}\,\text{cm}\). Für das große Dreieck gilt \(s^2+s^2=72+72=144=c^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist deshalb der Winkel gegenüber der Basis \(c\), also der Spitzenwinkel, \(90^\circ\).

- Notiere dir zuerst die Flächeninhalte der Quadrate \(Q_1\), \(Q_2\) und \(Q_3\). - Wie hängen die Seitenlängen dieser Quadrate mit ihren Flächen zusammen? - Was sagt der Satz von Pythagoras über das Quadrat der Hypotenuse aus? - Setze die Ausdrücke für die quadrierten Seitenlängen in die Pythagoras-Gleichung ein.

1. Bestimmung der Flächeninhalte: \(A_1 = s^2\), \(A_2 = 2s^2\), \(A_3 = 3s^2\). 2. Bestimmung der Seitenlängen: Die Seitenlänge von \(Q_2\) ist \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und die von \(Q_3\) ist \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). 3. Anwendung des Satzes von Pythagoras für die neue Seite \(s_{neu}\): \(s_{neu}^2 = s_2^2 + s_3^2\). 4. Einsetzen der Werte: \(s_{neu}^2 = (\sqrt{2s^2})^2 + (\sqrt{3s^2})^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). 5. Vergleich der Flächeninhalte: Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(A_{neu} = s_{neu}^2\) ist, folgt \(A_{neu} = 5s^2 = 5A_1\). Dies entspricht exakt dem Fünffachen des Inhalts von \(Q_1\).

Die Seitenlängen von \(Q_2\) und \(Q_3\) sind \(s_2 = \sqrt{2s^2}\) und \(s_3 = \sqrt{3s^2}\). Für das neue Quadrat mit der Seite \(c\) gilt nach Pythagoras \(c^2 = s_2^2 + s_3^2 = 2s^2 + 3s^2 = 5s^2\). Da der Flächeninhalt des neuen Quadrats \(c^2\) ist, ist er mit \(5s^2\) genau fünfmal so groß wie der Flächeninhalt \(s^2\) von \(Q_1\).

- Kannst du die Gleichung so umstellen, dass sie wie der bekannte Satz des Pythagoras aussieht? - Welcher Buchstabe in der Formel steht normalerweise für die längste Seite, und welcher Winkel liegt ihr gegenüber? - Was passiert mit einer Gleichung, wenn du jeden Term mit derselben Zahl (zum Beispiel 4) multiplizierst?

1. Umformung und Winkelbestimmung: Durch Addition von \(a^2\) auf beiden Seiten ergibt sich \(a^2 + b^2 = c^2\). In dieser Standardform ist \(c\) die Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber, also ist der Winkel \(\gamma\) (bei Punkt \(C\)) der rechte Winkel. 2. Überprüfung der Seitenlängen: Es wird geprüft, ob die Summe der Quadrate der kürzeren Seiten dem Quadrat der längsten Seite entspricht: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Da \(13^2 = 169\) ist, gilt \(5^2 + 12^2 = 13^2\). Das Dreieck ist rechtwinklig. 3. Beurteilung der Verdoppelung: Seien \(a, b, c\) die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit \(a^2 + b^2 = c^2\). Bei Verdoppelung sind die neuen Seiten \(2a, 2b, 2c\). Die neue Prüfung lautet \((2a)^2 + (2b)^2 = 4a^2 + 4b^2 = 4(a^2 + b^2)\). Da \(a^2 + b^2 = c^2\), ist dies gleich \(4c^2\), was genau \((2c)^2\) entspricht. Die Aussage ist falsch; das Dreieck bleibt rechtwinklig, da das Verhältnis der Quadrate gewahrt bleibt.

a) Die Gleichung lautet \(a^2 + b^2 = c^2\). Der rechte Winkel ist \(\gamma\) (am Punkt \(C\)). b) Ja, das Dreieck ist rechtwinklig, da \(5^2 + 12^2 = 13^2\) (\(169 = 169\)) gilt. c) Die Aussage ist falsch. Wenn alle Seiten verdoppelt werden, werden alle Quadrate vervierfacht. Da \(4a^2 + 4b^2 = 4c^2\) immer noch eine gültige pythagoreische Gleichung ist, bleibt das Dreieck rechtwinklig.

- Schau dir die Struktur der Gleichung an. Welche Seite übernimmt die Rolle der längsten Seite? - Wo liegt ein Eckpunkt im Verhältnis zu der Seite, die nach ihm benannt ist? - Wenn zwei Seiten einen rechten Winkel einschließen, verändert sich dieser Winkel, wenn man eine Seite länger macht, solange die Verbindung der Endpunkte (die Hypotenuse) angepasst wird?

1. Analyse der Gleichung: In der Formel \(a^2 + c^2 = b^2\) steht die Seite \(b\) allein auf einer Seite der Gleichung. Dies kennzeichnet \(b\) als die Hypotenuse. 2. Lage des rechten Winkels: Der rechte Winkel liegt immer gegenüber der Hypotenuse. Gegenüber der Seite \(b\) liegt der Eckpunkt \(B\). Somit befindet sich der rechte Winkel bei \(B\). 3. Dynamische Betrachtung: Wenn \(a\) vergrößert wird und \(c\) konstant bleibt, muss sich auch die Länge der Hypotenuse \(b\) ändern, damit die Gleichung \(a^2 + c^2 = b^2\) weiterhin erfüllt ist. 4. Da \(a\) und \(c\) die Katheten bleiben (sie bilden den rechten Winkel), bleibt \(b\) die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt am Eckpunkt \(B\). Die Form des Dreiecks wird dabei „flacher“ bzw. gestreckter.

a) Der rechte Winkel liegt am Eckpunkt \(B\). b) Die Seite \(b\) bleibt weiterhin die Hypotenuse und der rechte Winkel bleibt am Eckpunkt \(B\). Da \(a\) und \(c\) den rechten Winkel einschließen, muss die Seite \(b\) (nach Pythagoras) ebenfalls länger werden, damit das Dreieck rechtwinklig bleibt.

- Welche gemeinsame Folgerung über \(a^2+b^2\) erhältst du aus den beiden Voraussetzungen? - Wie hängen \(p\), \(q\) und die ganze Seite \(c\) zusammen? - Welche Aussage erlaubt dir, aus einer Gleichung zwischen den drei Seitenquadraten auf einen rechten Winkel zu schließen?

1. Aus den beiden Voraussetzungen folgt \(a^2+b^2=p\cdot c+q\cdot c\). 2. Klammere \(c\) aus: \(a^2+b^2=c(p+q)\). 3. Da \(p\) und \(q\) die beiden Abschnitte der Seite \(c\) sind, gilt \(p+q=c\). 4. Damit folgt \(a^2+b^2=c^2\). 5. Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse \(c\). Der rechte Winkel liegt daher bei \(C\).

Aus den beiden Voraussetzungen folgt \(a^2+b^2=c(p+q)\). Wegen \(p+q=c\) erhält man \(a^2+b^2=c^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck rechtwinklig bei \(C\).

- Bestimme die drei Seitenlängen aus den jeweiligen Koordinatendifferenzen. - Welche Seitenlänge ist die größte, und was ergibt der Vergleich der Quadrate? - Was folgt zusätzlich daraus, dass zwei der Seiten gleich lang sind?

1. Mit den Koordinatendifferenzen erhält man \(OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\), \(OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) und \(AB=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}\). 2. Es gilt \(OB^2+AB^2=5+5=10=OA^2\). Nach der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist das Dreieck bei \(B\) rechtwinklig. 3. Außerdem ist \(OB=AB\). Das Dreieck ist daher gleichschenklig-rechtwinklig. 4. Seine beiden spitzen Winkel sind gleich groß und ergeben zusammen \(90^\circ\). Somit ist \(\gamma=45^\circ\).

a) \(OA=\sqrt{10}\), \(OB=\sqrt{5}\), \(AB=\sqrt{5}\) b) \(\gamma=45^\circ\)

- Berechne die Fläche des großen Quadrats auf zwei verschiedene Arten. - Welche Gesamtfläche haben die vier kongruenten Dreiecke? - Welche Fläche bleibt in der Mitte übrig?

1. Die Fläche des äußeren Quadrats ist \((a+b)^2\). 2. Die vier rechtwinkligen Dreiecke haben zusammen die Fläche \(4\cdot\frac{ab}{2}=2ab\). 3. Das innere Quadrat hat die Fläche \(c^2\). Daher gilt \((a+b)^2=2ab+c^2\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\). 5. Nach dem Subtrahieren von \(2ab\) folgt \(a^2+b^2=c^2\). Damit ist der Satz des Pythagoras nachgewiesen.

Aus \((a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2\) folgt \(a^2+b^2=c^2\).

- Prüfe jede Verhältnisgleichung durch Kreuzmultiplikation. - Welche gemeinsame Größe steckt in den beiden korrigierten rechten Seiten? - Nutze am Ende die Zerlegung der Hypotenuse.

1. Aus \(\frac{a}{c}=\frac{p}{a}\) folgt durch Kreuzmultiplikation \(a^2=cp\), nicht \(a^2=p^2\). 2. Aus \(\frac{b}{c}=\frac{q}{b}\) folgt entsprechend \(b^2=cq\). 3. Addieren ergibt \(a^2+b^2=cp+cq=c(p+q)\). 4. Weil \(p+q=c\) gilt, folgt \(a^2+b^2=c^2\).

Noah multipliziert die Verhältnisgleichungen falsch über Kreuz. Richtig ist \(a^2=cp\) und \(b^2=cq\). Damit gilt \(a^2+b^2=c(p+q)=c^2\).

- Hilft es dir, eine Diagonale in die Figur einzuzeichnen, um rechtwinklige Dreiecke zu erhalten? - Wie hängen die beiden Dreiecke über diese Diagonale zusammen? - Kannst du den Satz des Pythagoras zweimal nacheinander anwenden?

1. Zerlegung des Vierecks in zwei rechtwinklige Dreiecke durch die Diagonale \(d\) zwischen den rechten Winkeln 2. Berechnung des Quadrats der Diagonale im ersten Dreieck (Seiten 5 und 10): \(d^2 = 5^2 + 10^2 = 125\) 3. Anwendung des Satzes des Pythagoras im zweiten Dreieck (Seite 2 und unbekannte Seite \(x\)): \(x^2 + 2^2 = d^2\) 4. Einsetzen und Lösen: \(x^2 + 4 = 125 \Rightarrow x^2 = 121 \Rightarrow x = 11\)

11

- Welche maximale Länge kann die längste Seite eines Dreiecks haben, wenn der Gesamtumfang \(10\) ist? - Kannst du alle Möglichkeiten für drei ganze Zahlen aufschreiben, die zusammen \(10\) ergeben, und sie prüfen? - Suche für den zweiten Teil nach einem pythagoreischen Tripel, das keine Vergrößerung von \((3, 4, 5)\) ist. - Wie erkennst du, ob zwei Dreiecke dasselbe Seitenverhältnis haben?

1. Für Teil a) seien die ganzzahligen Seiten so geordnet, dass \(a \le b \le c\) gilt. Aus \(a+b+c=10\) und der Dreiecksungleichung \(a+b>c\) folgt \(10-c>c\), also \(c<5\). Da \(c\) die größte der drei positiven ganzzahligen Seiten ist, gilt außerdem \(3c\ge 10\), also \(c\ge 4\). Somit bleibt nur \(c=4\). Dann ist \(a+b=6\); mit \(a\le b\le 4\) sind nur \((a,b)=(2,4)\) und \((3,3)\) möglich. Es gilt jedoch \(2^2+4^2=20\ne16\) und \(3^2+3^2=18\ne16\). Daher gibt es kein ganzzahliges rechtwinkliges Dreieck mit Umfang \(10\). 2. Für Teil b) suchen wir ein Tripel mit \(a+b+c=30\). Das Tripel \((5,12,13)\) erfüllt dies, da \(5+12+13=30\). 3. Überprüfung der Rechtwinkligkeit: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\). 4. Das Verhältnis \(5:12:13\) ist keine Vergrößerung von \(3:4:5\), denn die entsprechenden Quotienten sind nicht gleich.

a) Bei geordneten positiven ganzzahligen Seiten gilt wegen der Dreiecksungleichung \(c<5\) und wegen \(a,b\le c\) zugleich \(c\ge4\). Also ist \(c=4\). Aus \(a+b=6\) folgen nur \((2,4)\) und \((3,3)\); beide erfüllen \(a^2+b^2=c^2\) nicht. Somit gibt es keine ganzzahlige Lösung. b) Das Dreieck mit den Seiten \(5\), \(12\) und \(13\) hat Umfang \(30\) und ist rechtwinklig, weil \(5^2+12^2=13^2\). Sein Seitenverhältnis ist nicht \(3:4:5\).

- Welche Seitenlänge hat das äußere Quadrat bei einem Flächeninhalt von \(49\,\text{cm}^2\)? - Wie hängen \(a\) und \(b\) mit dieser Seitenlänge zusammen? - Welche Gleichung liefert der Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck? - Wie kannst du eine der beiden Variablen durch die andere ausdrücken?

1. Das äußere Quadrat hat die Seitenlänge \(\sqrt{49}=7\,\text{cm}\). 2. Eine Seite des äußeren Quadrats setzt sich aus den Katheten \(a\) und \(b\) zusammen. Daher gilt \(a+b=7\). 3. Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\). Mit \(c=5\) folgt \(a^2+b^2=25\). 4. Aus \(a+b=7\) folgt \(b=7-a\). Einsetzen ergibt \(a^2+(7-a)^2=25\). 5. Vereinfachen liefert \(a^2-7a+12=0\). Faktorisieren ergibt \((a-3)(a-4)=0\). 6. Damit sind die beiden Katheten \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) lang.

Die Katheten sind \(3\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) lang; also \(a=3\,\text{cm}\), \(b=4\,\text{cm}\) oder umgekehrt.