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- Welche besonderen Punkte des Graphen kannst du direkt aus der Formel ablesen? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu ihren Nullstellen? - Wenn du die \(x\)-Koordinate hast, wie findest du dann den passenden \(y\)-Wert?

1. Bestimmung der Nullstellen aus der Linearfaktorform: \(x_1 = 4, x_2 = -2\) 2. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{4 + (-2)}{2} = 1\) 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate durch Einsetzen von \(x_s\) in die Funktionsgleichung: \(y_s = 3 \cdot (1 - 4) \cdot (1 + 2) = 3 \cdot (-3) \cdot 3 = -27\)

b) \(S(1 | -27)\)

- Was musst du tun, um den Scheitelpunkt einer Funktion in Normalform zu finden? - Schau dir die x-Werte der Scheitelpunkte an. Was sagen sie über die Symmetrie aus? - Wie erkennst du an den Funktionswerten (y-Werten) der Scheitelpunkte, welche Parabel weiter oben liegt?

1. Quadratische Ergänzung für \(g(x)\): \(g(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7\). 2. Vereinfachen zur Scheitelpunktform: \(g(x) = (x - 2)^2 + 3\). 3. Ablesen des Scheitelpunkts von \(g\): \(S_g(2 \mid 3)\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts von \(h\): \(S_h(2 \mid 1)\). 5. Vergleich der Symmetrieachsen: Beide Scheitelpunkte haben die x-Koordinate \(2\), also haben beide Funktionen dieselbe Symmetrieachse \(x = 2\). 6. Vergleich der Lage: Da \(3 > 1\), liegt der Graph von \(g\) höher als der von \(h\). Der vertikale Abstand beträgt \(3 - 1 = 2\) Einheiten.

Der Scheitelpunkt von \(g\) ist \(S_g(2 \mid 3)\). Beide Parabeln haben dieselbe Symmetrieachse \(x = 2\). Der Graph von \(g\) liegt höher als der Graph von \(h\); der vertikale Abstand zwischen den Scheitelpunkten beträgt \(2\) Einheiten.

- Erinnere dich an die allgemeine Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\). - Achte besonders auf das Vorzeichen innerhalb der Klammer. - Welcher Summand außerhalb des Quadrats gibt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts an? - Wenn kein Term mit \(x\) in einer Klammer steht, wurde der Graph dann entlang der \(x\)-Achse verschoben?

1. Vergleich mit der Scheitelpunktform \(y = a(x - d)^2 + e\), wobei der Scheitelpunkt \(S(d|e)\) ist. 2. Für a) \(f(x) = (x - (-3{,}2))^2 - 1{,}5\): Hier ist \(d = -3{,}2\) und \(e = -1{,}5\). Somit ist \(S(-3{,}2 | -1{,}5)\). 3. Für b) \(g(x) = -1(x - 5)^2 + 2\): Hier ist \(d = 5\) und \(e = 2\). Somit ist \(S(5 | 2)\). 4. Für c) \(h(x) = (x - 0)^2 + 8{,}5\): Hier ist \(d = 0\) und \(e = 8{,}5\). Somit ist \(S(0 | 8{,}5)\).

a) \(S(-3{,}2 | -1{,}5)\) b) \(S(5 | 2)\) c) \(S(0 | 8{,}5)\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass eine binomische Formel erkennbar wird? - Welchen Wert musst du ergänzen, um den quadratischen Teil zu vervollständigen? - Wie hängen die Werte in der Klammer und am Ende der Gleichung mit den Koordinaten des Scheitelpunkts zusammen?

Um den Scheitelpunkt zu finden, wird die Funktionsgleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform \(f(x) = (x - x_S)^2 + y_S\) umgeformt. a) \(f(x) = x^2 - 10x + 25 - 25 + 24 = (x - 5)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(5 | -1)\). b) \(f(x) = x^2 + 3x + 1{,}5^2 - 1{,}5^2 + 1{,}25 = (x + 1{,}5)^2 - 2{,}25 + 1{,}25 = (x + 1{,}5)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-1{,}5 | -1)\). c) \(f(x) = x^2 - 0{,}8x + 0{,}4^2 - 0{,}16 + 0{,}16 = (x - 0{,}4)^2\). Dies entspricht \((x - 0{,}4)^2 + 0\). Der Scheitelpunkt ist \(S(0{,}4 | 0)\).

a) \(S(5 | -1)\) b) \(S(-1{,}5 | -1)\) c) \(S(0{,}4 | 0)\)

- Überlege, welcher Zusammenhang zwischen dem mittleren Teil der Gleichung und der binomischen Formel besteht. - Was muss für den Funktionswert am Scheitelpunkt gelten, wenn dieser auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie hängen die Koeffizienten in der Normalform \(x^2 + px + q\) zusammen, wenn es nur eine Nullstelle gibt?

1. Eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse hat die Form \(y = (x - x_S)^2 = x^2 - 2x_S \cdot x + x_S^2\). Der konstante Term entspricht also dem Quadrat der Hälfte des linearen Koeffizienten. 2. Für \(f(x)\): Der lineare Koeffizient ist \(12\). Die Hälfte ist \(6\), das Quadrat davon ist \(36\). Die Gleichung lautet \(f(x) = x^2 + 12x + 36 = (x + 6)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-6|0)\). 3. Für \(g(x)\): Der lineare Koeffizient ist \(-18\). Die Hälfte ist \(-9\), das Quadrat davon ist \(81\). Die Gleichung lautet \(g(x) = x^2 - 18x + 81 = (x - 9)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(9|0)\). 4. Für \(h(x)\): Der lineare Koeffizient ist \(7\). Die Hälfte ist \(3{,}5\), das Quadrat davon ist \(12{,}25\). Die Gleichung lautet \(h(x) = x^2 + 7x + 12{,}25 = (x + 3{,}5)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-3{,}5|0)\).

a) \(f(x) = x^2 + 12x + 36\); \(S(-6|0)\) b) \(g(x) = x^2 - 18x + 81\); \(S(9|0)\) c) \(h(x) = x^2 + 7x + 12{,}25\); \(S(-3{,}5|0)\)

- Was weißt du über die Lage des Scheitelpunkts, wenn zwei Punkte auf derselben Höhe (gleicher y-Wert) liegen? - Welcher Teil des Scheitelpunkts entspricht dem „kleinsten Wert“ einer Funktion? - Wie sieht die allgemeine Form einer Funktionsgleichung aus, wenn man den Scheitelpunkt kennt?

1. Da die Funktionswerte an den Stellen \(x = -2\) und \(x = 4\) mit \(y = 11\) identisch sind, liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_S\) aufgrund der Symmetrie genau in der Mitte zwischen diesen Werten: \(x_S = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). 2. Der kleinste Funktionswert einer nach oben geöffneten Normalparabel entspricht der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also ist \(y_S = 2\). 3. Daraus ergeben sich die Koordinaten des Scheitelpunkts zu \(S(1 | 2)\). 4. Durch Einsetzen von \(x_S\) und \(y_S\) in die Scheitelpunktform erhält man die Funktionsgleichung \(f(x) = (x-1)^2 + 2\).

Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 | 2)\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = (x-1)^2 + 2\).

- Wie findet man die Zahl, die man addieren muss, um eine binomische Formel bilden zu können? - Überlege, wie sich das Vorzeichen in der Klammer der Scheitelpunktform auf die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunktes auswirkt. - Was sagt das Vorzeichen vor dem gesamten quadratischen Term über die Öffnung der Parabel aus?

1. Quadratische Ergänzung durchführen: Die Hälfte des linearen Koeffizienten \(10\) ist \(5\). Das Quadrat davon ist \(25\). 2. Ergänzen und Subtrahieren: \(f(x) = x^2 + 10x + 25 - 25 + 7\). 3. Binomische Formel anwenden: \(f(x) = (x + 5)^2 - 18\). 4. Scheitelpunkt ablesen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-5 | -18)\). 5. Art des Extrempunktes bestimmen: Da der Koeffizient vor dem Quadrat positiv ist (\(1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt ist somit ein Tiefpunkt.

Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x + 5)^2 - 18\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-5 | -18)\) und es handelt sich um einen Tiefpunkt.

- Kannst du den Term so ergänzen, dass du eine binomische Formel anwenden kannst? - Welche Zahl ergänzt \(x^2 + 4x\) zu einem vollständigen Quadrat? - Erinnere dich daran, dass du denselben Wert, den du addierst, auch wieder abziehen musst, um den Wert des Terms nicht zu verändern.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(x^2 + 4x + 4 - 4 + 7\). 2. Anwendung der ersten binomischen Formel auf die ersten drei Summanden: \((x + 2)^2 - 4 + 7\). 3. Zusammenfassen der konstanten Werte am Ende des Terms: \(f(x) = (x + 2)^2 + 3\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x - x_S)^2 + y_S\): \(S(-2 | 3)\).

\(f(x) = (x + 2)^2 + 3\); Scheitelpunkt \(S(-2 | 3)\)

- Was kannst du direkt aus der Form der Funktionsgleichung über die Lage des höchsten oder tiefsten Punktes ablesen? - Wie verändert sich das Vorzeichen der Zahl in der Klammer, wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunkts bestimmst? - Was musst du für den Funktionswert einsetzen, um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \((x-d)^2 = r\) nach \(x\) auflösen?

1. Ablesen der Scheitelpunkte aus der Scheitelpunktform \(a(x-d)^2 + e\): Für \(f(x)\) ist \(S_f(-4|-9)\), für \(g(x)\) ist \(S_g(3|8)\). 2. Berechnung der Nullstellen für \(f(x)\): Setze \(0 = (x+4)^2 - 9\). Daraus folgt \((x+4)^2 = 9\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x+4 = 3\) oder \(x+4 = -3\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = -7\). 3. Berechnung der Nullstellen für \(g(x)\): Setze \(0 = -2(x-3)^2 + 8\). Daraus folgt \(2(x-3)^2 = 8\), also \((x-3)^2 = 4\). Ziehen der Wurzel ergibt \(x-3 = 2\) oder \(x-3 = -2\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 5\) und \(x_2 = 1\).

a) Scheitelpunkt: \(S(-4|-9)\), Nullstellen: \(x_1 = -1, x_2 = -7\) b) Scheitelpunkt: \(S(3|8)\), Nullstellen: \(x_1 = 5, x_2 = 1\)

- Was musst du tun, um den Term in eine Form mit einer Klammer zum Quadrat zu bringen? - Wie hängen die Vorzeichen in der Scheitelpunktform mit den Koordinaten des Scheitelpunkts zusammen? - Was sagt die Zahl vor der Klammer über die Form und Ausrichtung der Parabel aus?

1. Ausklammern des Faktors \(2\) aus den Termen mit \(x\): \(f(x) = 2(x^2 + 6x) + 16\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer mit \((\frac{6}{2})^2 = 9\): \(f(x) = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 16\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(f(x) = 2((x+3)^2 - 9) + 16 = 2(x+3)^2 - 18 + 16 = 2(x+3)^2 - 2\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts aus der Form \(a(x-d)^2 + e\): \(S(-3|-2)\). 5. Analyse des Streckfaktors \(a = 2\): Da \(|a| > 1\), ist die Parabel gestreckt (schmaler). Da \(a > 0\), ist sie nach oben geöffnet.

a) Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 2(x+3)^2 - 2\). b) Der Scheitelpunkt ist \(S(-3|-2)\). c) Die Parabel ist gestreckt (schmaler als die Normalparabel) und nach oben geöffnet.

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus den Termen ausklammern, um die Arbeit mit den binomischen Formeln zu erleichtern? - Was sagt dir das Vorzeichen vor dem Quadrat über die Form der Kurve? - Überlege dir, wo der tiefste oder höchste Punkt der Kurve liegt. Berührt oder kreuzt er die waagerechte Achse? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Welche passt hier am besten?

1. Ausklammern des Faktors 2 aus den ersten beiden Gliedern: \(f(x) = 2(x^2 - 6x) + 18\). 2. Durchführung der quadratischen Ergänzung innerhalb der Klammer: \(f(x) = 2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) + 18\). 3. Anwendung der binomischen Formel und Vereinfachung: \(f(x) = 2((x - 3)^2 - 9) + 18 = 2(x - 3)^2 - 18 + 18 = 2(x - 3)^2\). 4. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(3|0)\). 5. Bestimmung der Öffnung: Da der Koeffizient vor der Klammer (\(a = 2\)) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. 6. Bestimmung der Nullstellen: Da die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse und der Graph berührt sie dort. Es gibt somit genau eine Nullstelle bei \(x = 3\).

a) \(f(x) = 2(x-3)^2\) b) Scheitelpunkt \(S(3|0)\); die Parabel ist nach oben geöffnet. c) Es gibt genau eine Nullstelle, da der Scheitelpunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt.

- Worauf musst du achten, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht? - Wie findest du den Wert für die quadratische Ergänzung? - Was sagt dir das Vorzeichen in der Klammer über die Verschiebung entlang der \(x\)-Achse? - Wie wirkt sich ein Faktor vor der Klammer auf die Form der Parabel aus?

1. Ausklammern des Streckfaktors \(2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(f(x) = 2(x^2 - 6x) + 10\). 2. Durchführung der quadratischen Ergänzung innerhalb der Klammer mit \((\frac{6}{2})^2 = 9\): \(f(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 10\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \(f(x) = 2((x-3)^2 - 9) + 10\). 4. Ausmultiplizieren und Vereinfachen: \(f(x) = 2(x-3)^2 - 18 + 10 = 2(x-3)^2 - 8\). 5. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(3 \mid -8)\). 6. Beschreibung der Transformation: Die Parabel ist mit dem Faktor \(2\) gestreckt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(8\) Einheiten nach unten verschoben.

Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = 2(x-3)^2 - 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(3 \mid -8)\). Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel mit dem Faktor \(2\) gestreckt, um \(3\) Einheiten nach rechts und um \(8\) Einheiten nach unten verschoben.

- Erinnerst du dich an den Trick, wie man einen Term so ergänzt, dass eine binomische Formel entsteht? - Achte beim Ausklammern des Minuszeichens besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Wie findet man den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse rechnerisch? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden?

1. Quadratische Ergänzung: \(g(x) = -(x^2 - 6x) - 5\) \(g(x) = -(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 5\) \(g(x) = -((x-3)^2 - 9) - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 9 - 5\) \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt: Aus der Scheitelpunktform ergibt sich \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\), also \(S_y(0 \mid -5)\). Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-(x-3)^2 + 4 = 0 \implies (x-3)^2 = 4 \implies x-3 = \pm 2\). \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(5 \mid 0)\) und \(N_2(1 \mid 0)\).

1. Scheitelpunktform: \(g(x) = -(x-3)^2 + 4\). 2. Scheitelpunkt \(S(3 \mid 4)\). 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 \mid -5)\); Nullstellen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\).

- Kannst du in den ersten beiden Teilaufgaben eine der binomischen Formeln entdecken? - Überlege bei Teilaufgabe c), welche Zahl du addieren müsstest, damit \(x^2 - 2x\) ein Teil einer binomischen Formel wird. - Wie kannst du die Zahl \(5\) so aufteilen, dass ein Teil davon perfekt in die binomische Formel passt?

1. Für a): Erkennen der zweiten binomischen Formel \(x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + 6^2 = (x - 6)^2\). Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 6)^2 + 0\). Scheitelpunkt: \(S(6 | 0)\). 2. Für b): Erkennen der ersten binomischen Formel mit \(2{,}5^2 = 6{,}25\). Es gilt \(x^2 + 2 \cdot 2{,}5 \cdot x + 2{,}5^2 = (x + 2{,}5)^2\). Scheitelpunktform: \(g(x) = (x + 2{,}5)^2 + 0\). Scheitelpunkt: \(S(-2{,}5 | 0)\). 3. Für c): Quadratische Ergänzung oder Zerlegung des konstanten Glieds: \(x^2 - 2x + 1 + 4\). Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die ersten drei Terme ergibt \((x - 1)^2 + 4\). Scheitelpunktform: \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\). Scheitelpunkt: \(S(1 | 4)\).

a) \(f(x) = (x - 6)^2\), \(S(6 | 0)\) b) \(g(x) = (x + 2{,}5)^2\), \(S(-2{,}5 | 0)\) c) \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\), \(S(1 | 4)\)

- Erinnere dich an die erste und zweite binomische Formel. - Wie sieht die Scheitelpunktform einer Parabel aus, deren Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Welche \(y\)-Koordinate haben alle Punkte, die auf der \(x\)-Achse liegen? - Du kannst die quadratische Ergänzung nutzen, um den Scheitelpunkt direkt abzulesen.

1. Untersuchung von \(f(x) = x^2 - 14x + 49\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \(f(x) = (x - 7)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(7|0)\). Da die \(y\)-Koordinate \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse. 2. Untersuchung von \(g(x) = x^2 + 5x + 6{,}25\): Anwendung der ersten binomischen Formel mit \(2 \cdot 2{,}5 = 5\) und \(2{,}5^2 = 6{,}25\) ergibt \(g(x) = (x + 2{,}5)^2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-2{,}5|0)\). Da die \(y\)-Koordinate \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse. 3. Untersuchung von \(h(x) = x^2 - 2x - 1\): Ein perfektes Quadrat wäre \(x^2 - 2x + 1\). Durch quadratische Ergänzung folgt \(h(x) = (x - 1)^2 - 2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1|-2)\). Da die \(y\)-Koordinate ungleich \(0\) ist, liegt der Scheitelpunkt nicht auf der \(x\)-Achse. 4. Allgemein gilt für eine verschobene Normalparabel mit Scheitelpunkt \(S(d|0)\): \(f(x)=(x-d)^2\). Damit ist Anjas Behauptung richtig.

Anjas Behauptung ist richtig. a) Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse; \(S(7|0)\). b) Ja, der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse; \(S(-2{,}5|0)\). c) Nein, der Scheitelpunkt liegt nicht auf der \(x\)-Achse; \(S(1|-2)\).

- Was muss für die Konstante am Ende der Normalform gelten, damit man die binomischen Formeln rückwärts anwenden kann? - Wenn eine Parabel den Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse hat, wie viele Nullstellen hat sie dann? - Überlege dir, wie der lineare Teil \(12x\) mit dem binomischen Term zusammenhängt.

1. Bedingung für Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse: Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes muss \(0\) sein. Dies ist der Fall, wenn der Term ein perfektes Quadrat der Form \((x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) ist. 2. Vergleich der Koeffizienten: Der lineare Koeffizient ist \(12\). Es gilt \(2d = 12\), woraus \(d = 6\) folgt. 3. Berechnung von \(q\): Der konstante Term \(q\) muss demnach \(d^2\) entsprechen, also \(q = 6^2 = 36\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform: Mit \(d = 6\) lautet die Gleichung \(f(x) = (x + 6)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-6|0)\).

Der Wert ist \(q = 36\). Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x + 6)^2\).

- Wandle beide Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform um. - Skizziere dir im Kopf oder auf Papier, wo die Scheitelpunkte liegen und in welche Richtung die Parabeln geöffnet sind. - Überlege, ob die Parabel die \(x\)-Achse schneidet, berührt oder gar nicht erreicht.

1. Scheitelpunkt von \(p_1\): Der Term \(x^2 - 4x + 4\) entspricht \((x - 2)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S_1(2|0)\). 2. Nullstellen von \(p_1\): Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (\(y = 0\)) und die Parabel nach oben geöffnet ist, berührt sie die \(x\)-Achse in genau einem Punkt. Es gibt also genau eine Nullstelle. 3. Scheitelpunkt von \(p_2\): Der Term \(x^2 - 4x + 5\) kann als \((x - 2)^2 + 1\) geschrieben werden. Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2|1)\). 4. Nullstellen von \(p_2\): Da die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(1\) ist (oberhalb der \(x\)-Achse) und die Normalparabel nach oben geöffnet ist, kann sie die \(x\)-Achse nie erreichen. Es gibt keine Nullstellen.

Der Scheitelpunkt von \(p_1\) ist \(S_1(2|0)\). Er liegt auf der \(x\)-Achse, daher hat \(p_1\) genau eine Nullstelle (Berührpunkt). Der Scheitelpunkt von \(p_2\) ist \(S_2(2|1)\). Er liegt oberhalb der \(x\)-Achse. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, hat \(p_2\) keine Nullstellen.

- Wie geht man vor, um den Faktor vor dem \(x^2\) auszuklammern? - Welche Information liefert die Scheitelpunktform direkt über das Minimum oder Maximum? - Betrachte den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion. - Was sagt uns das Ergebnis über die Schnittpunkte mit einer waagerechten Geraden aus?

1. Umformung in Scheitelpunktform: \(h(x) = 2(x^2 - 6x) + 10\). Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: \(2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) + 10 = 2((x-3)^2 - 9) + 10 = 2(x-3)^2 - 18 + 10 = 2(x-3)^2 - 8\). 2. Kleinster Funktionswert: Aus der Scheitelpunktform \(h(x) = 2(x-3)^2 - 8\) liest man den Scheitelpunkt \(S(3 | -8)\) ab. Da der Faktor \(2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Der minimale Wert ist \(-8\) an der Stelle \(x = 3\). 3. Begründung für \(h(x) = -10\): Da der kleinste Funktionswert \(-8\) ist, kann die Funktion keine Werte annehmen, die kleiner als \(-8\) sind. Da \(-10 < -8\), gibt es keine Lösung. 4. Berechnung für \(h(x) = 10\): \(2x^2 - 12x + 10 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 2x(x - 6) = 0\). Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\). Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph die horizontale Gerade \(y = 10\) in den Punkten \((0 | 10)\) und \((6 | 10)\) schneidet. Der Punkt \((0 | 10)\) ist zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

a) Die Scheitelpunktform lautet \(h(x) = 2(x-3)^2 - 8\). b) Der kleinste Wert ist \(-8\) bei \(x = 3\). c) Da das Minimum bei \(-8\) liegt, kann der Wert \(-10\) niemals erreicht werden. d) Die Werte sind \(x = 0\) und \(x = 6\). Die Schnittpunkte mit der Geraden \(y = 10\) sind \((0 | 10)\) und \((6 | 10)\).

- Überlege dir, wie eine Parabel geformt ist. Wo muss die Mitte sein, wenn zwei Punkte links und rechts auf gleicher Höhe liegen? - Wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunkts hast, wie kannst du die Gleichung zunächst aufschreiben? - Wie kommst du von der Klammerform (Scheitelpunktform) zur Normalform ohne Klammern?

1. Da die Punkte \(P\) und \(Q\) denselben \(y\)-Wert haben, muss die Symmetrieachse der Parabel genau mittig zwischen ihren \(x\)-Koordinaten verlaufen. Somit gilt für die Stelle des Scheitelpunkts: \(x_S = \frac{1+5}{2} = 3\). 2. Die Scheitelpunktform der Funktion lautet \(g(x) = (x-3)^2 + y_S\). Um \(y_S\) zu finden, setzt man einen der gegebenen Punkte ein, zum Beispiel \(Q(5 | 5)\): \(5 = (5-3)^2 + y_S \Rightarrow 5 = 4 + y_S \Rightarrow y_S = 1\). 3. Um \(p\) und \(q\) zu bestimmen, wird die Scheitelpunktform \(g(x) = (x-3)^2 + 1\) in die Normalform überführt: \(g(x) = (x^2 - 6x + 9) + 1 = x^2 - 6x + 10\). 4. Durch Koeffizientenvergleich mit \(g(x) = x^2 + px + q\) erhält man \(p = -6\) und \(q = 10\).

a) Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 3\), da dies die Mitte zwischen den x-Werten der Punkte mit gleichem y-Wert ist. b) Die Parameter sind \(p = -6\) und \(q = 10\).

- Nullstellen sind Punkte auf der x-Achse. Was bedeutet das für ihre y-Werte? - Wie hängen Nullstellen und die Symmetrieachse der Parabel zusammen? - Was bedeutet die Information „nach unten geöffnete Normalparabel“ für das Vorzeichen und den Wert vor der Klammer in der Funktionsgleichung?

1. Aufgrund der Achsensymmetrie von Parabeln liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts genau in der Mitte zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{-3 + 5}{2} = 1\). 2. Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Streckfaktor \(a = -1\). Der Ansatz für die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + y_S\). 3. Zur Berechnung von \(y_S\) wird eine der Nullstellen eingesetzt, z. B. \((5 | 0)\): \(0 = -(5-1)^2 + y_S \Rightarrow 0 = -16 + y_S \Rightarrow y_S = 16\). 4. Der Scheitelpunkt ist somit \(S(1 | 16)\). 5. Der maximale Funktionswert entspricht der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(1 | 16)\). Der maximale Funktionswert beträgt \(16\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -(x-1)^2 + 16\).

- Halbiere den Koeffizienten vor dem \(x\), um den Wert in der binomischen Formel zu finden. - Was bewirkt eine Änderung der Konstanten am Ende einer Funktionsgleichung in Scheitelpunktform für den Graphen? - Bleibt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts gleich, wenn du nur \(c\) änderst?

1. Für einen Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse muss \(h(x) = (x - d)^2 = x^2 - 2dx + d^2\) gelten. 2. Koeffizientenvergleich: \(-2d = -9 \Rightarrow d = 4{,}5\). 3. Berechnung von \(c\): \(c = d^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25\). 4. Die Erhöhung von \(c\) um \(1{,}5\) entspricht einer Addition von \(1{,}5\) zum gesamten Funktionsterm: \(h_{neu}(x) = (x - 4{,}5)^2 + 1{,}5\). 5. Dies bewirkt eine vertikale Verschiebung des Graphen um \(1{,}5\) Einheiten nach oben. Der neue Scheitelpunkt liegt bei \(S(4{,}5 | 1{,}5)\).

a) \(c = 20{,}25\) b) Der Scheitelpunkt verschiebt sich um \(1{,}5\) Einheiten senkrecht nach oben auf die Koordinaten \(S(4{,}5 | 1{,}5)\).

- Was musst du tun, bevor du mit der eigentlichen quadratischen Ergänzung beginnst, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht? - Achte beim Ausmultiplizieren der Klammer besonders auf die Vorzeichen. - Erinnere dich daran, was Werte zwischen \(0\) und \(1\) (vom Betrag her) für die Form einer Parabel bedeuten.

1. Ausklammern des Faktors \(-0{,}5\) bei den \(x\)-Termen: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 8x) - 2\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: Die Hälfte von \(-8\) ist \(-4\), das Quadrat ist \(16\). 3. Ergänzen und Ausgleichen: \(g(x) = -0{,}5(x^2 - 8x + 16 - 16) - 2\). 4. Binomische Formel bilden: \(g(x) = -0{,}5((x - 4)^2 - 16) - 2\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 8 - 2\), woraus \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 6\) folgt. 6. Interpretation des Streckfaktors: Das negative Vorzeichen bewirkt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse (Parabel ist nach unten geöffnet). Der Betrag \(0{,}5\) bewirkt eine Stauchung (Parabel ist breiter und flacher als die Normalparabel).

Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = -0{,}5(x - 4)^2 + 6\). Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel nach unten geöffnet und gestaucht (breiter).

- Wie hängen die Koeffizienten der Normalform mit der \(p\)-\(q\)-Formel zusammen? - Welchen Einfluss hat eine Verschiebung entlang der \(x\)-Achse auf den Funktionsterm in der Scheitelpunktform? - Kannst du die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts durch quadratische Ergänzung oder Formel: \(x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3\). Einsetzen in \(f(x)\) ergibt \(y_S = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3 | -4)\). 2. Berechnung der Nullstellen mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x^2 + 6x + 5 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3^2 - 5} = -3 \pm \sqrt{4}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -5\) und \(x_2 = -1\). 3. Verschiebung um \(3\) Einheiten nach links: Der \(x\)-Wert des Scheitelpunkts ändert sich von \(-3\) auf \(-6\). Die \(y\)-Koordinate bleibt gleich. Die neue Gleichung in Scheitelpunktform lautet \(g(x) = (x + 6)^2 - 4\).

a) \(S(-3 | -4)\) b) \(x_1 = -5; x_2 = -1\) c) \(g(x) = (x + 6)^2 - 4\)

- Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn man ihn an der \(x\)-Achse spiegelt? - Wie hilft dir das Ausklammern des Streckfaktors bei der quadratischen Ergänzung? - Kannst du die Nullstellen direkt aus der Scheitelpunktform bestimmen, ohne die Mitternachtsformel zu nutzen?

1. Umwandlung in Scheitelpunktform: \(h(x) = -0{,}5(x^2 - 4x) + 6 = -0{,}5((x - 2)^2 - 4) + 6 = -0{,}5(x - 2)^2 + 2 + 6 = -0{,}5(x - 2)^2 + 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 8)\). 2. Nullstellen berechnen: \(-0{,}5(x - 2)^2 + 8 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 16 \Rightarrow x - 2 = \pm 4\). Somit ist \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 3. Spiegelung an der \(x\)-Achse: Das Vorzeichen der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts kehrt sich um, der Scheitelpunkt wandert zu \((2 | -8)\). 4. Verschiebung um \(2\) nach oben: Die \(y\)-Koordinate erhöht sich um \(2\). Neuer Scheitelpunkt: \(S'(2 | -6)\).

a) \(h(x) = -0{,}5(x - 2)^2 + 8\); \(S(2 | 8)\) b) \(x_1 = 6; x_2 = -2\) c) \(S'(2 | -6)\)

- Was passiert, wenn du die Zahl vor dem \(x^2\) zuerst aus den Termen mit \(x\) ausklammerst? - Achte beim späteren Ausmultiplizieren besonders auf das Vorzeichen des Werts, den du ergänzt hast. - Wie lautet die passende binomische Formel für den Ausdruck in der Klammer?

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(-2(x^2 - 6x) - 10\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer durchführen: \(-2(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 10\). 3. Umwandeln in ein Binom: \(-2((x - 3)^2 - 9) - 10\). 4. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(-2(x - 3)^2 + 18 - 10\). 5. Vereinfachen des Terms: \(g(x) = -2(x - 3)^2 + 8\).

\(g(x) = -2(x - 3)^2 + 8\)

- Kennst du eine Eigenschaft von Parabeln, mit der du die Position des Scheitelpunkts direkt aus den Nullstellen finden kannst? - Wo genau zwischen den Nullstellen liegt die Symmetrieachse der Parabel? - Wie findest du den passenden Funktionswert, wenn du die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts bereits kennst?

1. Identifikation der Nullstellen aus der gegebenen Form: \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 7\). 2. Berechnung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_S\)) als Mittelwert der Nullstellen aufgrund der Symmetrie der Parabel: \(x_S = \frac{-1 + 7}{2} = 3\). 3. Berechnung der \(y\)-Koordinate (\(y_S\)) durch Einsetzen von \(x_S\) in die Funktionsgleichung: \(h(3) = 0{,}25(3 + 1)(3 - 7) = 0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = -4\). 4. Aufstellen der Scheitelpunktform mit dem Streckfaktor \(a = 0{,}25\): \(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\). Alternativer Weg: Ausmultiplizieren zu \(h(x) = 0{,}25x^2 - 1{,}5x - 1{,}75\) und anschließende quadratische Ergänzung.

\(h(x) = 0{,}25(x - 3)^2 - 4\)

- Wie gehst du vor, um den quadratischen Teil eines Terms zu vervollständigen? - Was sagt die Öffnungsrichtung der Parabel über die Art des Scheitelpunkts aus? - Welche Werte kann eine Funktion annehmen, wenn du den tiefsten oder höchsten Punkt kennst? - Wie berechnet man den Durchschnitt zweier Zahlen auf der Zahlengeraden?

1. Quadratische Ergänzung: Ausklammern der \(2\), Ergänzen von \((\frac{6}{2})^2 = 9\), Zusammenfassen zum Binom ergibt \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\). 2. Scheitelpunkt und Wertebereich: Der Scheitelpunkt ist \(S(3 | -8)\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet; der Scheitelpunkt ist ein Minimum. Der Wertebereich ist \(W = \{y \in \mathbb{R} | y \geq -8\}\). 3. Nullstellen und Symmetrie: Lösen von \(2(x-3)^2 - 8 = 0\) ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). Der Mittelwert der Nullstellen ist \(\frac{1 + 5}{2} = 3\), was dem \(x\)-Wert des Scheitelpunkts entspricht.

a) \(g(x) = 2(x-3)^2 - 8\) b) \(S(3 | -8)\); Wertebereich: \(y \geq -8\). Da \(a = 2 > 0\), ist die Parabel nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ein Minimum. c) Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\). Mittelwert: \(\frac{1+5}{2} = 3\), dies entspricht \(x_S = 3\).

- Was muss für die Diskriminante gelten, damit es nur eine einzige Nullstelle gibt? - Wie sieht die Funktionsgleichung aus, wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt? - Nutze die \(p\)-\(q\)-Formel oder die quadratische Ergänzung, um die Bedingung für \(k\) zu finden.

1. Bedingung für Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse: Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 + kx + 9 = 0\) muss gleich Null sein. 2. Aufstellen der Gleichung: \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36\). 3. Lösen der Gleichung \(k^2 - 36 = 0\): Errechnen von \(k_1 = 6\) und \(k_2 = -6\). 4. Bestimmung der Scheitelpunkte: Für \(k = 6\) lautet die Funktion \(f(x) = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\), der Scheitelpunkt ist \(S_1(-3|0)\). Für \(k = -6\) lautet die Funktion \(f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\), der Scheitelpunkt ist \(S_2(3|0)\).

Der Scheitelpunkt liegt für \(k = 6\) und \(k = -6\) auf der \(x\)-Achse. Die zugehörigen Scheitelpunkte sind \(S_1(-3|0)\) und \(S_2(3|0)\).

- Wie findet man den Scheitelpunkt einer Parabel, wenn die Normalform gegeben ist? - Welche Koordinaten hat ein Punkt, der auf der \(x\)-Achse liegt? - Wie verändert eine Verschiebung in \(y\)-Richtung die Funktionsgleichung?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform mittels quadratischer Ergänzung: \(y = x^2 - 10x + 25 - 25 + 21\). Dies ergibt \(y = (x - 5)^2 - 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunkts: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(5|-4)\). 3. Bestimmung der Verschiebung: Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss seine \(y\)-Koordinate \(0\) sein. Da die aktuelle \(y\)-Koordinate \(-4\) ist, muss die Parabel um \(d = 4\) Einheiten nach oben verschoben werden.

1. Der Scheitelpunkt der Parabel ist \(S(5|-4)\). 2. Die Parabel muss um \(d = 4\) Einheiten in positive \(y\)-Richtung (nach oben) verschoben werden.

- Welche Gleichung musst du für die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse lösen? - Wo liegt die Symmetrieachse im Verhältnis zu zwei Nullstellen einer Parabel? - Welche Information über die Form der Parabel muss bei einer reinen Verschiebung unverändert bleiben? - Wie sieht die Scheitelpunktform aus, wenn der neue Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt?

1. Für die Nullstellen gilt \(-x^2 + 4x - 3 = 0\), also \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(1 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 2. Die Symmetrieachse liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen: \(x_S = \frac{1+3}{2} = 2\). Mit \(h(2) = -4 + 8 - 3 = 1\) erhält man den ursprünglichen Scheitelpunkt \(S(2 \mid 1)\). 3. Die neue Parabel soll den Scheitelpunkt \(S'(0 \mid 2)\) besitzen. Da Öffnung und Streckung erhalten bleiben, bleibt \(a = -1\). 4. In Scheitelpunktform ist damit \(g(x) = -(x - 0)^2 + 2 = -x^2 + 2\).

a) \(N_1(1 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\) und \(S(2 \mid 1)\) b) \(g(x) = -x^2 + 2\)

- Was sagt die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts über die Lage der Parabel aus? - Kannst du den Scheitelpunkt von \(g(x)\) direkt sehen oder musst du dort auch etwas rechnen? - Wie gehst du mit dem Minuszeichen vor dem \(x^2\) bei der quadratischen Ergänzung um? - Vergleiche am Ende die beiden \(y\)-Werte der Scheitelpunkte.

1. Umformung von \(f(x)\) durch Ausklammern von \(-1\): \(-(x^2 - 4x) - 1\). 2. Quadratische Ergänzung mit \((\frac{4}{2})^2 = 4\): \(-(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1\). 3. Binomische Formel anwenden: \(-((x-2)^2 - 4) - 1\). 4. Klammer auflösen: \(-(x-2)^2 + 4 - 1\), was zu \(f(x) = -(x-2)^2 + 3\) führt. 5. Scheitelpunkt von \(f\) bestimmen: \(S_f(2|3)\). 6. Scheitelpunkt von \(g\) direkt aus der Gleichung ablesen: \(S_g(3|4)\). 7. Vergleich der \(y\)-Koordinaten: Da \(4 > 3\) ist, liegt der Scheitelpunkt von \(g\) höher.

Die Parabel \(g\) hat ihren Scheitelpunkt weiter oben. Die Scheitelpunktform von \(f\) ist \(f(x) = -(x-2)^2 + 3\) mit \(S_f(2|3)\), während \(g\) den Scheitelpunkt \(S_g(3|4)\) besitzt. Da \(4 > 3\), liegt \(S_g\) höher.

- Was musst du zuerst tun, wenn vor dem \(x^2\) eine Zahl steht, die nicht \(1\) ist? - Achte beim Ausmultiplizieren darauf, dass der Faktor vor der Klammer auch mit der abgezogenen Zahl verrechnet wird. - Welcher Teil der Scheitelpunktform gibt an, ob die Parabel gestreckt, gestaucht oder gespiegelt ist?

1. Ausklammern des Streckfaktors \(2\) aus den ersten beiden Gliedern: \(g(x) = 2(x^2 - 6x) + 7\). 2. Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: Die Hälfte von \(-6\) ist \(-3\), das Quadrat davon ist \(9\). Also: \(g(x) = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 7\). 3. Umwandlung in das Binom innerhalb der Klammer: \(g(x) = 2((x - 3)^2 - 9) + 7\). 4. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(g(x) = 2(x - 3)^2 - 18 + 7\). 5. Zusammenfassen der Konstanten ergibt die Scheitelpunktform: \(g(x) = 2(x - 3)^2 - 11\). 6. Da der Streckfaktor \(a = 2\) positiv ist (\(a > 0\)), ist die Parabel nach oben geöffnet.

Die Scheitelpunktform ist \(g(x) = 2(x-3)^2 - 11\). Da der Faktor \(2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

- Bestimme zuerst für beide Funktionen die Scheitelpunktform. - Achte bei der Funktion \(f(x)\) besonders auf das Vorzeichen beim Ausklammern. - Vergleiche am Ende nur die Werte, die außerhalb der Klammer stehen.

1. Umformung von \(f(x)\): Ausklammern von \(-0{,}5\) ergibt \(-0{,}5(x^2 + 8x)\). Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\). Es folgt \(f(x) = -0{,}5(x^2 + 8x + 16 - 16) = -0{,}5((x+4)^2 - 16) = -0{,}5(x+4)^2 + 8\). Die \(y\)-Koordinate ist \(y_{S_f} = 8\). 2. Umformung von \(h(x)\): Quadratische Ergänzung mit \((\frac{8}{2})^2 = 16\). Es folgt \(h(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 10 = (x+4)^2 - 6\). Die \(y\)-Koordinate ist \(y_{S_h} = -6\). 3. Vergleich der \(y\)-Werte: Da \(8 > -6\), hat der Scheitelpunkt von \(f(x)\) die größere \(y\)-Koordinate.

Der Scheitelpunkt von \(f(x)\) liegt bei \(y = 8\), der von \(h(x)\) bei \(y = -6\). Somit hat die Parabel zu \(f(x)\) den höheren Scheitelpunkt.

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den vorderen Teil des Terms in ein Binom zu verwandeln? - Erinnerst du dich an die erste oder zweite binomische Formel? - Gibt es eine Formel, mit der man Nullstellen direkt aus der Normalform berechnen kann? - Kannst du dein Ergebnis kontrollieren, indem du die berechneten x-Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzt?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 - 5 = (x-2)^2 - 9\). 2. Bestimmung des Scheitelpunkts aus der neuen Form: \(S(2|-9)\). 3. Berechnung der Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2^2 - (-5)} = 2 \pm \sqrt{9}\). Dies ergibt \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\). Alternativ kann die Scheitelpunktform genutzt werden: \((x-2)^2 = 9 \Rightarrow x-2 = \pm 3\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x-2)^2 - 9\), Scheitelpunkt: \(S(2|-9)\) b) Nullstellen: \(x_1 = 5, x_2 = -1\)

- Achte beim Ausklammern darauf, dass sich die Vorzeichen innerhalb der Klammer ändern können. - Vergiss nicht, beim Auflösen der großen Klammer den Faktor vor der Klammer mit beiden Termen zu multiplizieren. - Skizziere dir kurz die vier Quadranten, um die Lage des Punktes zu bestimmen.

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den Termen mit \(x\): \(g(x) = -2(x^2 - 4x) - 5\). 2. Bestimmen der quadratischen Ergänzung für den Klammerinhalt: \((\frac{4}{2})^2 = 4\). 3. Ergänzen und Abziehen innerhalb der Klammer: \(g(x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5\). 4. Umformen mit der zweiten binomischen Formel: \(g(x) = -2((x-2)^2 - 4) - 5\). 5. Ausmultiplizieren der äußeren Klammer: \(g(x) = -2(x-2)^2 + 8 - 5\). 6. Zusammenfassen zur Scheitelpunktform: \(g(x) = -2(x-2)^2 + 3\). 7. Ablesen des Scheitelpunktes: \(S(2 \mid 3)\). 8. Bestimmung des Quadranten: Da sowohl die x-Koordinate als auch die y-Koordinate positiv sind, liegt der Scheitelpunkt im I. Quadranten.

Die Scheitelpunktform lautet \(g(x) = -2(x-2)^2 + 3\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 \mid 3)\) und liegt somit im I. Quadranten.

- Welche Form der Funktionsgleichung bietet sich an, wenn die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse gegeben sind? - Wo liegt die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts im Verhältnis zu den Nullstellen? - Wie findest du den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn du seinen \(x\)-Wert und die Funktionsgleichung kennst?

1. Verwendung der Nullstellenform: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 2)(x - 6)\) 2. Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid 3)\) zur Bestimmung von \(a\): \(3 = a(0 + 2)(0 - 6) = -12a\) 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{3}{-12} = -0{,}25\) 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}25(x + 2)(x - 6)\) 5. Bestimmung der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_s\)) als Mittelwert der Nullstellen: \(x_s = \frac{-2 + 6}{2} = 2\) 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (\(y_s\)) durch Einsetzen von \(x_s\): \(y_s = f(2) = -0{,}25(2 + 2)(2 - 6) = -0{,}25 \cdot 4 \cdot (-4) = 4\) 7. Koordinaten des Scheitelpunkts: \(S(2 \mid 4)\)

Der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten \(S(2 \mid 4)\).

- Welche binomische Formel passt zur Struktur des Terms? - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen? - Denke an die Form einer Parabel und die Bedeutung des Scheitelpunkts für den Verlauf. - Welcher Wert für \(x\) führt dazu, dass die Klammer Null wird?

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\): \(x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\). 2. Da der Ausdruck \((x - 4)^2\) als Quadrat einer reellen Zahl minimal \(0\) sein kann, ist der kleinste Funktionswert \(y = 0\). Dieser wird an der Stelle \(x = 4\) erreicht. 3. Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat ihren Scheitelpunkt bei \(S(4|0)\). Daraus folgt: Die Funktion ist für \(x \le 4\) streng monoton fallend und für \(x \ge 4\) streng monoton steigend. 4. Da der Funktionsterm als Quadrat \((x - 4)^2\) geschrieben werden kann und Quadrate reeller Zahlen stets größer oder gleich Null sind (\(a^2 \ge 0\)), kann \(f(x)\) niemals negativ sein.

1. \(f(x) = (x - 4)^2\) 2. Minimum \(0\) bei \(x = 4\) 3. Fallend für \(x \in (-\infty; 4]\), steigend für \(x \in [4; \infty)\) 4. Da \((x - 4)^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), sind keine negativen Werte möglich.

- Wie kannst du den Term umformen, um den Scheitelpunkt direkt abzulesen? - Achte auf das Vorzeichen vor dem quadratischen Glied, um die Öffnungsrichtung zu bestimmen. - Setze den Funktionsterm gleich Null, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu finden. - Skizziere den Verlauf der Parabel im Kopf: Wo liegt sie über der Achse, wenn sie nach unten geöffnet ist?

1. Quadratische Ergänzung: \(h(x) = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 6x + 3^2 - 3^2) - 5 = -((x - 3)^2 - 9) - 5 = -(x - 3)^2 + 9 - 5 = -(x - 3)^2 + 4\). 2. Die Parabel ist wegen des negativen Vorzeichens vor der Klammer nach unten geöffnet. Der höchste Punkt ist der Scheitelpunkt \(S(3|4)\). Das Maximum ist somit \(y = 4\) bei \(x = 3\). 3. Nullstellenberechnung: \(0 = -(x - 3)^2 + 4 \Rightarrow (x - 3)^2 = 4 \Rightarrow x - 3 = 2\) oder \(x - 3 = -2\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\). 4. Da die Parabel nach unten geöffnet ist und die Nullstellen bei \(1\) und \(5\) liegen, verlaufen die Funktionswerte zwischen den Nullstellen oberhalb der \(x\)-Achse. Das gesuchte Intervall ist \(1 < x < 5\).

1. \(h(x) = -(x - 3)^2 + 4\) 2. Maximum bei \(S(3|4)\), da die Parabel nach unten geöffnet ist. 3. \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\) 4. \(x \in (1; 5)\) bzw. \(1 < x < 5\)

- Kannst du ein Minuszeichen aus dem gesamten Term ausklammern? - Was verrät dir die Zahl vor dem \(x^2\) über die Form der Parabel? - Wo schneidet eine Kurve die \(y\)-Achse? Welchen Wert hat \(x\) dort? - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen?

1. Bestimmung des Scheitelpunkts: Ausklammern von \(-1\) führt zu \(h(x) = -(x^2 - 10x + 25)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt die Scheitelpunktform \(h(x) = -(x - 5)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S(5|0)\). 2. Öffnungsrichtung: Da der Streckfaktor \(a = -1\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in die Ausgangsgleichung ergibt \(h(0) = -0^2 + 10 \cdot 0 - 25 = -25\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0|-25)\). 4. Begründung der Funktionswerte: Der Ausdruck \((x - 5)^2\) ist als Quadrat einer reellen Zahl immer größer oder gleich \(0\). Durch das Minuszeichen davor wird der gesamte Term \(-(x - 5)^2\) immer kleiner oder gleich \(0\). Somit ist der maximale Funktionswert \(0\) (am Scheitelpunkt), und es gibt keine Werte \(h(x) > 0\).

a) Scheitelpunkt \(S(5|0)\), die Parabel ist nach unten geöffnet. b) Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0|-25)\). c) Da \(h(x) = -(x-5)^2\) und Quadrate nie negativ sind, ist der Term \(-(x-5)^2\) stets \(\le 0\).

- Versuche zuerst, die Terme so umzuformen, dass du die binomischen Formeln anwenden kannst. - Was haben die beiden Funktionsterme gemeinsam und worin unterscheiden sie sich? - Wenn eine Parabel nach unten offen ist, wo muss ihr höchster Punkt liegen, damit sie die waagerechte Achse nie erreicht? - Skizziere die Lage der Scheitelpunkte im Kopf oder auf Papier.

1. Umformung von \(p_1(x)\): Ausklammern von \(-1\) ergibt \(-(x^2 - 4x + 4)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel führt zu \(p_1(x) = -(x - 2)^2\). Der Scheitelpunkt ist \(S_1(2|0)\). 2. Umformung von \(p_2(x)\): Analog ergibt sich \(-(x^2 - 4x + 4) - 1\), was zu \(p_2(x) = -(x - 2)^2 - 1\) führt. Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2|-1)\). 3. Vergleich: Beide Parabeln haben denselben \(x\)-Wert für den Scheitelpunkt (\(x = 2\)) und sind wegen des Faktors \(-1\) nach unten geöffnet. \(S_2\) liegt jedoch eine Einheit tiefer als \(S_1\). 4. Nullstellen-Analyse: Die Funktion \(p_2\) hat keine Nullstellen. Da ihr Scheitelpunkt bei \(y = -1\) (unterhalb der \(x\)-Achse) liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, entfernen sich alle weiteren Punkte der Parabel noch weiter von der \(x\)-Achse nach unten.

a) \(p_1(x) = -(x-2)^2\) und \(p_2(x) = -(x-2)^2 - 1\). b) Beide Parabeln sind nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt von \(p_1\) ist \(S_1(2|0)\), der von \(p_2\) ist \(S_2(2|-1)\). c) \(p_2\) hat keine Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist.

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den Term in eine binomische Formel zu bringen? - Wie hängen die Werte in der Scheitelpunktform mit der Lage des tiefsten Punktes zusammen? - Was bedeutet es für die Koordinaten eines Punktes, wenn er auf einer der Achsen liegt? - Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? Was sagt das über Extremwerte aus?

1. Umwandlung in die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 + 8x + 16 - 16 + 12 = (x+4)^2 - 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunktes aus der Form \(f(x) = (x-x_S)^2 + y_S\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4 | -4)\). 3. Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1 > 0\)), ist der \(y\)-Wert des Scheitelpunktes das Minimum: Das Minimum beträgt \(-4\) an der Stelle \(x = -4\). 4. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x=0\) ergibt \(f(0) = 0^2 + 8 \cdot 0 + 12 = 12\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | 12)\). 5. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): Lösen der Gleichung \((x+4)^2 - 4 = 0\) ergibt \((x+4)^2 = 4\), also \(x+4 = \pm 2\). Daraus folgen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -6\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(-2 | 0)\) und \(N_2(-6 | 0)\).

a) \(f(x) = (x+4)^2 - 4\) b) \(S(-4 | -4)\) c) Minimum \(-4\) bei \(x = -4\) d) \(S_y(0 | 12)\), \(N_1(-2 | 0)\) und \(N_2(-6 | 0)\)

- Achte beim Umformen auf das Vorzeichen vor dem \(x^2\). - Überlege dir, wie der Graph der Funktion aussieht (nach oben oder unten geöffnet?). - Wo genau ändert sich das Steigungsverhalten einer Parabel? - Wie hängen die Bereiche über und unter der \(x\)-Achse mit den Nullstellen zusammen?

1. Scheitelpunktform: Ausklammern des Minuszeichens ergibt \(g(x) = -(x^2 - 4x) - 1\). Quadratische Ergänzung im Klammerterm: \(-(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1 = -((x-2)^2 - 4) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3\). 2. Nullstellen berechnen: \(-(x-2)^2 + 3 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 3 \Rightarrow x-2 = \pm\sqrt{3}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\). 3. Monotonie: Die Parabel ist wegen \(a = -1\) nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = 2\). Daher steigt die Funktion für alle Werte links vom Scheitelpunkt an, also im Intervall \(x \in (-\infty; 2]\). 4. Positivität: Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegen die Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse zwischen den beiden Nullstellen. Es gilt \(g(x) > 0\) für \(2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}\).

a) \(g(x) = -(x-2)^2 + 3\) b) \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\) c) Streng monoton steigend für \(x \le 2\) (bzw. im Intervall \((-\infty; 2]\)). d) Für \(x \in (2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})\).

- Wie kannst du den Term \(x^2 - 6x\) so ergänzen, dass er einem Teil einer binomischen Formel entspricht? - Welche Information über den tiefsten Punkt der Parabel liefert dir die Scheitelpunktform direkt? - Überlege dir, wie der Graph im Koordinatensystem liegt. Wo befindet sich der Scheitelpunkt im Verhältnis zur \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Graphen einer Funktion, wenn man am Ende der Gleichung eine Zahl addiert oder subtrahiert?

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 13 = (x-3)^2 + 4\). Die Scheitelpunktform lautet \(f(x) = (x-3)^2 + 4\). 2. Ablesen des Scheitelpunktes aus der Form \(y = (x-d)^2 + e\): Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|4)\). Da die Parabel nach oben geöffnet ist (\(a=1 > 0\)), ist der kleinste Funktionswert \(y = 4\). 3. Untersuchung der Nullstellen: Da der kleinste Funktionswert \(4\) ist, gilt für alle \(x\), dass \(f(x) \ge 4\). Somit kann der Funktionswert niemals \(0\) werden, was bedeutet, dass keine reellen Nullstellen existieren. Alternativ: Die Gleichung \((x-3)^2 + 4 = 0\) führt zu \((x-3)^2 = -4\), was im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung hat. 4. Vergleich mit \(g(x)\): Die Funktion \(g(x) = x^2 - 6x + 9\) lässt sich als binomisches Quadrat schreiben: \(g(x) = (x-3)^2\). Hier liegt der Scheitelpunkt bei \(S(3|0)\), also direkt auf der \(x\)-Achse. Daher hat \(g(x)\) genau eine Nullstelle (einen Berührpunkt), während \(f(x)\) keine hat, da ihr Graph um \(4\) Einheiten nach oben verschoben ist.

1) \(f(x) = (x-3)^2 + 4\) 2) Scheitelpunkt \(S(3|4)\), kleinster Funktionswert \(4\). 3) Da der kleinste Wert \(4\) ist, wird die \(x\)-Achse (\(y=0\)) nie erreicht. 4) \(g(x)\) hat genau eine Nullstelle bei \(x=3\), da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt.

- Denk daran, beim Ausklammern des Faktors vor dem \(x^2\) auch das Vorzeichen zu berücksichtigen. - Welche Auswirkung hat ein negativer Wert vor der Klammer in der Scheitelpunktform auf die Öffnung der Parabel? - Wenn der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel bereits unterhalb der \(x\)-Achse liegt, kann sie die Achse dann jemals erreichen? - Nutze die Symmetrie der Parabel zum Scheitelpunkt, um Rechenarbeit bei der Wertetabelle zu sparen.

1. Ausklammern des Faktors \(-2\) aus den ersten beiden Termen: \(h(x) = -2(x^2 - 4x) - 11\). Quadratische Ergänzung innerhalb der Klammer: \(h(x) = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 11\). Umformung: \(h(x) = -2((x-2)^2 - 4) - 11 = -2(x-2)^2 + 8 - 11 = -2(x-2)^2 - 3\). 2. Der Scheitelpunkt ist \(S(2|-3)\). Da der Streckfaktor \(a = -2\) negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Das Maximum der Funktion ist somit \(y = -3\). 3. Nullstellenprüfung: Da das Maximum der Funktion bei \(-3\) liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist, sind alle Funktionswerte kleiner oder gleich \(-3\). Da der gesamte Graph unterhalb der \(x\)-Achse liegt (\(h(x) \le -3\)), gibt es keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. 4. Berechnung der Tabellenwerte: \(h(0) = -2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 - 11 = -11\) \(h(1) = -2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 11 = -5\) \(h(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 11 = -3\) (Scheitelpunkt) \(h(3) = -2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 11 = -5\) (Symmetrie zu \(x = 2\)) \(h(4) = -2 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 - 11 = -11\)

1) \(h(x) = -2(x-2)^2 - 3\) 2) Scheitelpunkt \(S(2|-3)\), Maximum \(-3\). 3) Keine Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, da das Maximum unterhalb der Achse liegt und die Parabel nach unten geöffnet ist. 4) Werte: \(h(0)=-11\), \(h(1)=-5\), \(h(2)=-3\), \(h(3)=-5\), \(h(4)=-11\).

- Welche Zahl musst du addieren und subtrahieren, um den vorderen Teil des Terms als Binom schreiben zu können? - An welcher Stelle im Koordinatensystem muss der Scheitelpunkt liegen, damit es genau eine Berührstelle mit der \(x\)-Achse gibt? - Wie verändert sich der Funktionsterm, wenn man den Graphen nach oben oder unten verschiebt?

1. Quadratische Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 8 = (x - 3)^2 - 1\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(3|-1)\). 2. Berechnung der Nullstellen: Ansatz \((x - 3)^2 - 1 = 0 \implies (x - 3)^2 = 1\). Daraus folgt \(x - 3 = 1\) oder \(x - 3 = -1\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 2\). 3. Verschiebung für genau eine Nullstelle: Damit die Parabel die \(x\)-Achse nur berührt, muss der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts \(0\) sein. Da der aktuelle \(y\)-Wert \(-1\) ist, muss die Parabel um \(1\) Einheit nach oben verschoben werden. 4. Neue Funktionsgleichung: Durch die Verschiebung um \(1\) nach oben fällt der konstante Term \(-1\) in der Scheitelpunktform weg. Die neue Gleichung lautet \(y = (x - 3)^2\).

a) Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 3)^2 - 1\); Scheitelpunkt: \(S(3|-1)\) b) Nullstellen bei \(x = 2\) und \(x = 4\) c) Verschiebung um \(1\) Einheit nach oben; neue Gleichung: \(y = (x - 3)^2\)

- Wie sieht die allgemeine Scheitelpunktform aus? - Was sagt das Vorzeichen vor der Klammer über die Öffnung der Parabel aus? - Überlege dir, wo der tiefste oder höchste Punkt der Parabel liegt. Kann die Kurve dann die waagerechte Achse berühren? - Skizziere die Lage des Scheitelpunkts grob in einem Koordinatensystem.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3\). 2. Ablesen des Scheitelpunkts: \(S(2|3)\). Da der Streckfaktor \(a = 1\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist somit ein Tiefpunkt. 3. Da der tiefste Punkt der Parabel eine positive \(y\)-Koordinate (\(y = 3\)) besitzt und die Parabel nach oben geöffnet ist, liegen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \geq 3\)). Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) ist daher ausgeschlossen.

1. Scheitelpunktform: \(f(x) = (x-2)^2 + 3\) 2. Scheitelpunkt: \(S(2|3)\); es ist ein Tiefpunkt. 3. Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der \(x\)-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, daher gibt es keine Nullstellen.

- Nutze die erste binomische Formel, um die quadratische Ergänzung zu finden. - Um Nullstellen zu finden, kannst du entweder die Scheitelpunktform umstellen oder die \(p\)-\(q\)-Formel auf die Normalform anwenden. - Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt aus der Form \(y = (x-d)^2 + e\) ablesen, achte dabei auf das Vorzeichen in der Klammer. - Die Öffnungsrichtung der Parabel verrät dir, ob der Scheitelpunkt der höchste oder tiefste Punkt ist.

1. Quadratische Ergänzung durchführen: \(p(x) = x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 - 5 = (x+2)^2 - 4 - 5\). Die Scheitelpunktform lautet \(p(x) = (x+2)^2 - 9\). 2. Nullstellen berechnen: Ansatz \(p(x) = 0 \Rightarrow (x+2)^2 - 9 = 0\). Daraus folgt \((x+2)^2 = 9\). Radizieren ergibt \(x+2 = 3\) oder \(x+2 = -3\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -5\). 3. Scheitelpunkt und Extremwert: Aus der Scheitelpunktform liest man \(S(-2|-9)\) ab. Da der Koeffizient vor dem quadratischen Term positiv ist (\(a=1\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Es handelt sich um ein Minimum mit dem Wert \(y = -9\) an der Stelle \(x = -2\).

1. Scheitelpunktform: \(p(x) = (x+2)^2 - 9\). 2. Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -5\). 3. Scheitelpunkt \(S(-2|-9)\); es ist ein Minimum mit dem Wert \(-9\).

- Wie kannst du den Term \(x^2 + 8x\) so ergänzen, dass er eine binomische Formel bildet? - Was musst du beim Vorzeichen in der Klammer beachten, wenn du die Verschiebung entlang der \(x\)-Achse beschreibst? - Skizziere dir gedanklich, wo der tiefste Punkt der Parabel liegt und in welche Richtung sie sich öffnet.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung: \(f(x) = x^2 + 8x + 13\). Ergänzung mit \(\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16\): \(f(x) = (x^2 + 8x + 16) - 16 + 13\). Anwendung der ersten binomischen Formel: \(f(x) = (x+4)^2 - 3\). 2. Beschreibung der Transformation: Der Term \((x+4)^2\) zeigt eine Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links (negative \(x\)-Richtung). Der Term \(-3\) zeigt eine Verschiebung um \(3\) Einheiten nach unten (negative \(y\)-Richtung). 3. Analyse der Nullstellen: Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(-4 | -3)\). Da der \(y\)-Wert des Scheitelpunkts negativ ist und die Parabel nach oben geöffnet ist (der Koeffizient vor \(x^2\) ist \(1 > 0\)), muss der Graph die \(x\)-Achse an zwei Stellen schneiden. Die Funktion hat somit zwei Nullstellen.

a) \(f(x) = (x+4)^2 - 3\) b) Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach unten. c) Zwei Nullstellen, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist.

- Wie findet man den höchsten oder tiefsten Punkt einer Parabel? - Was weißt du über den \(x\)-Wert eines Punktes, der auf der \(y\)-Achse liegt? - Welche Gleichung musst du lösen, um die Stellen zu finden, an denen der Funktionswert Null ist? - Schau dir den Koeffizienten vor dem \(x^2\) an – was verrät er dir über die Form?

1. Berechnung des Scheitelpunktes: Verwendung der Formel \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(y_s = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(2 | -2)\). 2. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f(0) = 6\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0 | 6)\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Lösen der Gleichung \(2x^2 - 8x + 6 = 0\). Division durch \(2\) führt zu \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(1 | 0)\) und \(N_2(3 | 0)\). 4. Form und Öffnung: Da der Streckfaktor \(a = 2\) positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet. Da \(|a| > 1\), ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler).

a) \(S(2 | -2)\) b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 6)\); Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \((1 | 0)\) und \((3 | 0)\) c) Die Parabel ist nach oben geöffnet und im Vergleich zur Normalparabel gestreckt (schmaler).

- Wie lässt sich ein Scheitelpunkt direkt aus einer Funktionsgleichung ablesen, wenn diese in einer bestimmten Form steht? - Überlege dir, wo der Scheitelpunkt im Koordinatensystem liegt und in welche Richtung die Parabel geöffnet ist. Muss sie dann die \(x\)-Achse kreuzen? - Wenn ein Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse liegt, wie viele Nullstellen hat die Funktion dann? - Wie berechnet man den Wert einer Funktion an der Stelle \(x = 0\)?

1. Scheitelpunkt von \(p_1\): Die Gleichung liegt in Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt ist direkt ablesbar: \(S_1(-2 | -1)\). 2. Scheitelpunkt von \(p_2\): Berechnung der \(x\)-Koordinate über \(x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2\). Einsetzen ergibt \(y_s = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 2 = -2 + 4 - 2 = 0\). Der Scheitelpunkt ist \(S_2(2 | 0)\). 3. Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(p_1\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel (\(a=1\)) mit einem Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse (\(y = -1\)). Daher muss sie die \(x\)-Achse zweimal schneiden. Der Scheitelpunkt von \(p_2\) liegt direkt auf der \(x\)-Achse (\(y = 0\)), weshalb es dort nur einen Berührpunkt (eine Nullstelle) gibt. Somit hat \(p_1\) mehr Schnittpunkte. 4. Schnittpunkt von \(p_1\) mit der \(y\)-Achse: Einsetzen von \(x = 0\) in \(p_1(x) = (x+2)^2 - 1\) ergibt \(p_1(0) = (0+2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\). Der Schnittpunkt ist \(P_y(0 | 3)\).

a) \(S_1(-2 | -1)\) und \(S_2(2 | 0)\) b) \(p_1\) besitzt zwei Schnittpunkte, da der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist. \(p_2\) hat nur einen Berührpunkt, da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt. c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0 | 3)\)

- Kannst du die Scheitelpunkte bestimmen, indem du die Funktionen in die Scheitelpunktform bringst oder eine Formel nutzt? - Wie geht man vor, wenn man Punkte finden möchte, die auf beiden Graphen gleichzeitig liegen? - Achte beim Gleichsetzen darauf, alle Terme auf eine Seite zu bringen, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. - Was sagt der Koeffizient vor dem \(x^2\) über die Form und die Richtung der Parabel aus?

1. Scheitelpunkt \(p_1\): \(x_{s1} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\); \(y_{s1} = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\). Somit \(S_1(2 | -1)\). Scheitelpunkt \(p_2\): \(x_{s2} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\); \(y_{s2} = -2^2 + 4 \cdot 2 - 1 = 3\). Somit \(S_2(2 | 3)\). 2. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 4x - 1\). Umformen ergibt \(2x^2 - 8x + 4 = 0\) bzw. \(x^2 - 4x + 2 = 0\). Die \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2}\). Einsetzen in \(p_1\) ergibt für beide Stellen \(y = 1\). Die Schnittpunkte sind \(P_1(2 - \sqrt{2} | 1)\) und \(P_2(2 + \sqrt{2} | 1)\). 3. Der Betrag des Streckfaktors ist bei beiden Funktionen \(|a| = 1\). Das bedeutet, beide Graphen sind kongruent zur Normalparabel. \(p_1\) ist nach oben geöffnet (\(a=1\)), \(p_2\) ist nach unten geöffnet (\(a=-1\)).

1. Scheitelpunkte: \(S_1(2 | -1)\) und \(S_2(2 | 3)\). 2. Schnittpunkte: \(P_1(2 - \sqrt{2} | 1)\) und \(P_2(2 + \sqrt{2} | 1)\). 3. Beide Parabeln sind zur Normalparabel kongruent (\(|a| = 1\)). \(p_1\) ist nach oben geöffnet, \(p_2\) ist nach unten geöffnet.

- Was muss in der Klammer stehen, damit man eine binomische Formel anwenden kann? - Wie hängen die Koeffizienten in der Normalform mit der binomischen Formel zusammen? - Welche \(y\)-Koordinate hat ein Scheitelpunkt, wenn die Funktion ein reines Quadrat ohne addierte Konstante ist?

1. Ausklammern des Faktors \(2\): \(f(x) = 2 \cdot (x^2 + 4x + \frac{c}{2})\). Damit der Ausdruck in der Klammer ein vollständiges Quadrat der Form \((x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) ist, muss \(2d = 4\) gelten, also \(d = 2\). Daraus folgt \(d^2 = 4\). Durch Gleichsetzen von \(\frac{c}{2} = 4\) ergibt sich \(c = 8\). 2. Mit \(c = 8\) lautet die Funktionsgleichung \(f(x) = 2(x + 2)^2\). Dies entspricht der Scheitelpunktform \(a(x - x_s)^2 + y_s\). Der Scheitelpunkt liegt somit bei \(S(-2 | 0)\).

1. \(c = 8\) 2. \(S(-2 | 0)\)

- Welche quadratische Ergänzung passt zu \(x^2 - 4x\)? - Wie kannst du aus der Scheitelpunktform eine Gleichung lösen, in der nur noch ein Quadrat vorkommt? - Wie hängt die Nullstellenform mit den beiden berechneten Nullstellen zusammen? - Welche einfache Probe bestätigt, dass ein berechneter \(x\)-Wert wirklich eine Nullstelle ist?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man \(f(x) = 1{,}5(x^2 - 4x) + 4{,}5 = 1{,}5((x - 2)^2 - 4) + 4{,}5 = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\). 2. Für die Nullstellen gilt \(1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1\). Damit sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Die Nullstellenform lautet \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\). 4. Kontrolle: \(f(1) = 1{,}5 - 6 + 4{,}5 = 0\) und \(f(3) = 13{,}5 - 18 + 4{,}5 = 0\). Beide Werte sind damit bestätigt.

a) \(f(x) = 1{,}5(x - 2)^2 - 1{,}5\) b) \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) c) \(f(x) = 1{,}5(x - 1)(x - 3)\) d) \(f(1) = 0\) und \(f(3) = 0\)

- Darf sich der Wert eines Terms beim quadratischen Ergänzen verändern? - Welche binomische Formel steckt in \(x^2-4x+4\)? - Was musst du berücksichtigen, wenn du innerhalb einer Klammer einen Term ergänzt?

1. Mila ergänzt innerhalb der Klammer \(+4\), ohne diesen Zusatz wieder auszugleichen. Dadurch verändert sie den Funktionsterm. 2. Richtig ist \(x^2-4x=(x-2)^2-4\). Daher gilt \(f(x)=2((x-2)^2-4)+5\). 3. Zusammenfassen ergibt \(f(x)=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3\). 4. Somit ist der Scheitelpunkt \(S(2 \mid -3)\).

Der ergänzte Wert \(+4\) wurde nicht ausgeglichen. Korrekt ist \(f(x)=2(x-2)^2-3\) mit \(S(2 \mid -3)\).

- Was bedeutet es für die Scheitelpunktform \(y = (x - d)^2 + e\), wenn der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt? Welchen Wert hat \(e\)? - Wenn \(e = 0\) ist, muss der Ausdruck \(x^2 + kx + 16\) ein perfektes Quadrat (eine binomische Formel) sein. - Welche Zahl ergibt quadriert \(16\)? Berücksichtige dabei sowohl positive als auch negative Möglichkeiten.

1. Damit der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt, muss die Funktionsgleichung die Form \(p(x) = (x - d)^2\) haben (keine Verschiebung in \(y\)-Richtung). 2. Vergleich von \(x^2 + kx + 16\) mit \((x \pm d)^2 = x^2 \pm 2dx + d^2\). 3. Es muss \(d^2 = 16\) gelten, also \(d = 4\) oder \(d = -4\). 4. Fall 1: \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\). Hier ist \(k = 8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-4 | 0)\). 5. Fall 2: \((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\). Hier ist \(k = -8\). Der Scheitelpunkt ist \(S(4 | 0)\).

a) \(k_1 = 8\) und \(k_2 = -8\) b) Für \(k = 8\): \(S(-4 | 0)\); für \(k = -8\): \(S(4 | 0)\)

- Was bedeutet es für die Lage des Scheitelpunkts, wenn eine Funktion nur genau eine Nullstelle besitzt? - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn du den Parameter \(c\) variierst? - Welche einfache Form hat eine Parabelgleichung, wenn der Scheitelpunkt im Ursprung liegt?

1. Scheitelpunktform von \(p_c(x)\): \(x^2 - 4x + c = (x - 2)^2 - 4 + c\). Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | c - 4)\). Damit \(S\) auf der \(x\)-Achse liegt, muss die \(y\)-Koordinate Null sein: \(c - 4 = 0 \Rightarrow c = 4\). 2. Für \(c = 1\): Der Scheitelpunkt ist \(S(2 | 1 - 4) = S(2 | -3)\). 3. Nullstellen für \(c = 1\): \(x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\). 4. Verschiebung zum Ursprung: Um von \(S(2 | -3)\) nach \((0 | 0)\) zu gelangen, muss der Graph um \(2\) Einheiten nach links und um \(3\) Einheiten nach oben verschoben werden. Die neue Gleichung ist die Normalparabel \(q(x) = x^2\).

a) \(c = 4\) b) \(S(2 | -3)\); \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{3}\) c) Verschiebung: \(2\) Einheiten nach links, \(3\) Einheiten nach oben; Gleichung: \(q(x) = x^2\)

- Welche Bedingung muss die \(x\)-Koordinate eines Punktes erfüllen, damit er auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie viele Nullstellen hat eine quadratische Funktion, wenn die Parabel die \(x\)-Achse nur berührt? - Erinnerst du dich an den Teil der Mitternachtsformel oder \(p\)-\(q\)-Formel, der bestimmt, wie viele Lösungen es gibt?

1. Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse: Ein Punkt liegt auf der \(y\)-Achse, wenn seine \(x\)-Koordinate \(0\) ist. Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts einer Funktion \(ax^2 + bx + c\) ist \(x_s = -\frac{b}{2a}\). Hier gilt \(a = 2\) und \(b = k\). Also \(-\frac{k}{2 \cdot 2} = 0\), woraus \(k = 0\) folgt. 2. Berührung der \(x\)-Achse: Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) gleich Null ist. Hier: \(k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 0\). 3. Berechnung von \(k\): \(k^2 - 64 = 0 \Rightarrow k^2 = 64 \Rightarrow k_1 = 8\) und \(k_2 = -8\). 4. Interpretation: Wenn die Parabel die \(x\)-Achse in genau einem Punkt berührt, ist dieser Berührpunkt gleichzeitig der Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt liegt in diesem Fall also direkt auf der \(x\)-Achse.

a) Der Scheitelpunkt liegt für \(k = 0\) auf der \(y\)-Achse. b) Die Parabel berührt die \(x\)-Achse für \(k = 8\) oder \(k = -8\). In diesen Fällen liegt der Scheitelpunkt genau auf der \(x\)-Achse.

- Was muss für die y-Koordinate eines Punktes gelten, damit er auf der x-Achse liegt? - Behandle den Buchstaben \(p\) beim Ergänzen einfach wie eine normale Zahl. - Achte am Ende darauf, welche der möglichen Lösungen die Bedingung aus der Aufgabenstellung erfüllt.

1. Durchführung der quadratischen Ergänzung mit dem Parameter \(p\): quadratische Ergänzung ist \((\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}\). 2. Aufstellen der Scheitelpunktform: \(h_p(x) = (x^2 - px + \frac{p^2}{4}) - \frac{p^2}{4} + 9 = (x - \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + 9\). 3. Bedingung für die Lage auf der x-Achse: Die y-Koordinate des Scheitelpunktes muss \(0\) sein. 4. Gleichung aufstellen: \(-\frac{p^2}{4} + 9 = 0\). 5. Lösen der Gleichung nach \(p\): \(\frac{p^2}{4} = 9 \implies p^2 = 36 \implies p = \pm 6\). 6. Berücksichtigung der Bedingung \(p > 0\): Es folgt \(p = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(p = 6\).

- Wann hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung? - Wie hängen die Koordinaten des Scheitelpunkts mit der Anzahl der Nullstellen zusammen? - Was sagt das Vorzeichen vor dem \(x^2\) über die Öffnung der Parabel aus? - Wie hängen die Parameter der Scheitelpunktform \(f(x) = (x-d)^2 + e\) mit der Normalform zusammen?

1. Eine Parabel berührt die \(x\)-Achse genau dann, wenn sie dort ihren Scheitelpunkt hat, also nur eine Nullstelle existiert. Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante \(D = (\frac{p}{2})^2 - q\) den Wert \(0\) annimmt. Daraus folgt die Bedingung \(q = \frac{p^2}{4}\). Alternativ lässt sich der Term dann als binomisches Quadrat \((x + \frac{p}{2})^2\) schreiben. 2. Aus der \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts \(x_s = 5\) folgt mit der Formel \(x_s = -\frac{p}{2}\) der Wert \(p = -10\). Da der Scheitelpunkt auf der \(x\)-Achse liegt (\(y_s = 0\)), muss die Bedingung für ein vollständiges Quadrat erfüllt sein: \(q = \frac{p^2}{4} = \frac{(-10)^2}{4} = \frac{100}{4} = 25\). Die Werte sind \(p = -10\) und \(q = 25\). 3. Da der Koeffizient vor dem \(x^2\) positiv ist (\(a = 1 > 0\)), ist die Parabel nach oben geöffnet. Eine nach oben geöffnete Parabel fällt bis zum Scheitelpunkt und steigt danach wieder an, weshalb der Scheitelpunkt ein Minimum (Tiefpunkt) ist. Da die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte beliebig groß werden, gibt es keinen höchsten Punkt.

1. Bedingung: \(q = \frac{p^2}{4}\) (oder \(p^2 - 4q = 0\)). 2. \(p = -10\) und \(q = 25\). 3. Da \(a = 1\) (positiv), ist die Parabel nach oben geöffnet und besitzt daher einen Tiefpunkt.