- Vergleiche jeweils die längere und die kürzere Seite. - Bei einer maßstäblichen Vergrößerung müssen alle entsprechenden Längen im selben Verhältnis verändert werden.

1. Rechteck a) hat die Seitenlängen \(3\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\). 2. Beim Verdoppeln entstehen \(6\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 3. Genau diese Seitenlängen hat Rechteck b). Rechteck c) hat dagegen \(5\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\). 4. Daher ist b) die maßstäbliche Vergrößerung von a).

Rechteck b). Beide entsprechenden Seiten sind doppelt so lang wie bei a).

- Vergleiche zuerst die waagerechten und senkrechten Seiten in Kästchen. - Prüfe danach, ob auch die Lage des schrägen Randes durch dasselbe Längenverhältnis entsteht. - Eine einzige passende Seitenlänge reicht für Ähnlichkeit nicht aus.

1. In a) sind die untere Seite, die obere Seite und die linke Seite \(4\), \(3\) und \(2\) Kästchen lang. In b) sind die entsprechenden Längen \(8\), \(6\) und \(4\) Kästchen lang. Sie sind also jeweils doppelt so groß. 2. Auch der schräge Rand entsteht in b) durch dieselbe Verdopplung. Daher ist b) eine maßstäbliche Vergrößerung von a). 3. In c) ist zum Beispiel die obere Seite nur \(5\) statt \(6\) Kästchen lang. Damit gilt dort nicht für alle entsprechenden Seiten derselbe Faktor. 4. Somit sind a) und b) ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2\).

Ähnlich sind a) und b). Entsprechende Längen von a) und b) stehen im Verhältnis \(1:2\).

- Welche Form bleibt erhalten, wenn sich bei einem Kreis nur der Radius ändert? - Lies beide Radien in Kästchen ab. - Vergleiche die beiden Radien als entsprechende Längen.

1. Jeder Kreis kann durch eine gleichmäßige Vergrößerung oder Verkleinerung eines anderen Kreises entstehen. Daher sind die beiden Kreise ähnlich. 2. Der kleinere Radius beträgt \(2\,\text{LE}\), der größere \(5\,\text{LE}\). 3. Somit stehen entsprechende Längen im Verhältnis \(1:2{,}5\).

Ja. Die Kreise sind ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:2{,}5\).

- Achte auf die Richtung: Der Faktor soll vom ersten zum zweiten Rechteck führen. - Mit welchem Faktor wird aus \(4\,\text{cm}\) die entsprechende Länge \(10\,\text{cm}\)? - Derselbe Faktor gilt für jede weitere entsprechende Länge.

1. Der Ähnlichkeitsfaktor ist \(k=10:4=2{,}5\). 2. Die entsprechende zweite Seite ist \(6\,\text{cm}\cdot2{,}5=15\,\text{cm}\) lang.

a) \(k=2{,}5\) b) \(15\,\text{cm}\)

- Kürze die Seitenverhältnisse in a), bevor du entscheidest. - Runde in b) erst nach der Division auf drei Dezimalstellen. - Vergleiche in b) die gerundeten Quotienten Ziffer für Ziffer; nahe beieinander ist nicht dasselbe wie gleich.

1. Für das Foto ist das Seitenverhältnis \(15:10=1{,}5\). Für das Poster ist es \(60:40=1{,}5\). Deshalb sind die beiden Rechtecke ähnlich. 2. Für A4 ergibt sich \(29{,}7:21{,}0\approx1{,}414\). 3. Für A5 ergibt sich \(21{,}0:14{,}8\approx1{,}419\). 4. Mit den angegebenen gerundeten Maßen stimmen die beiden Seitenverhältnisse nicht exakt, sondern nur näherungsweise überein.

a) Ja. Beide Seitenverhältnisse sind \(1{,}5\). b) A4: etwa \(1{,}414\); A5: etwa \(1{,}419\). Die Seitenverhältnisse stimmen nur näherungsweise überein.

- Welche Eigenschaften teilen alle Quadrate hinsichtlich ihrer Winkel und Seiten? - Gibt es bei Rauten eine Eigenschaft, die sich verändern kann, während die Seitenlängen gleich bleiben?

1. Begründung für Quadrate: Jedes Quadrat hat vier Winkel von \(90^\circ\). Sind die Seitenlängen zweier Quadrate \(a\) und \(b\), so haben alle entsprechenden Seitenpaare dasselbe Verhältnis \(\frac{b}{a}\). Daher sind alle Quadrate zueinander ähnlich. 2. Untersuchung der Rauten: Bei Rauten sind zwar alle Seiten innerhalb einer Figur gleich lang, die Innenwinkel können jedoch verschieden sein. Eine Raute mit den Winkeln \(60^\circ\) und \(120^\circ\) ist nicht ähnlich zu einer Raute mit den Winkeln \(80^\circ\) und \(100^\circ\). Daher sind nicht alle Rauten zueinander ähnlich.

a) Alle Quadrate sind zueinander ähnlich, da ihre entsprechenden Winkel gleich groß und ihre entsprechenden Seiten proportional sind. b) Nein. Rauten können unterschiedliche Innenwinkel haben und sind daher nicht immer zueinander ähnlich.

- Was bedeutet Ähnlichkeit für die Winkel einer Figur? - Überlege, ob die Form einer Figur durch ihren Namen bereits vollständig festgelegt ist oder ob es Spielraum für verschiedene Winkel gibt. - Gibt es bei regelmäßigen Vielecken eine feste Winkelgröße?

1. Figuren sind ähnlich, wenn alle einander entsprechenden Winkel gleich groß sind und alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. 2. Analyse regelmäßiger Sechsecke: In jedem regelmäßigen Sechseck sind alle Innenwinkel exakt \(120^\circ\). Da alle sechs Seiten innerhalb eines Sechsecks gleich lang sind, haben alle einander entsprechenden Seiten zweier regelmäßiger Sechsecke dasselbe Längenverhältnis. Ergebnis: Immer ähnlich. 3. Analyse gleichschenkliger Trapeze: Zwar sind die Basiswinkel paarweise gleich, jedoch können diese Winkel von Trapez zu Trapez variieren (z. B. \(70^\circ\) bei einem, \(80^\circ\) bei einem anderen). Zudem ist das Verhältnis der Längen der beiden parallelen Grundseiten nicht fest vorgegeben. Ergebnis: Nicht immer ähnlich.

a) Ja, zwei regelmäßige Sechsecke sind immer ähnlich, da ihre Innenwinkel immer \(120^\circ\) betragen und alle entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. b) Nein, zwei gleichschenklige Trapeze sind nicht immer ähnlich, da ihre Innenwinkel unterschiedlich sein können und die Längenverhältnisse entsprechender Seiten variieren können.

- Kannst du dir zwei Parallelogramme mit demselben Verhältnis ihrer beiden Seitenlängen vorstellen, die unterschiedlich „schief“ sind? - Welche Bedingungen nennt die Definition der Ähnlichkeit für Vielecke? - Welche dieser Bedingungen wird durch die Angabe \(2:3\) noch nicht festgelegt?

1. Zwei Vielecke sind ähnlich, wenn alle einander entsprechenden Winkel gleich groß sind und alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. 2. Die Angabe \(2:3\) beschreibt in beiden Parallelogrammen nur das Verhältnis der beiden verschieden langen Seiten innerhalb der jeweiligen Figur. Entsprechende Seiten könnten damit zwar proportional sein. 3. Über die Innenwinkel ist aber nichts bekannt. Ein Parallelogramm mit Seitenlängen \(2\) und \(3\) könnte ein Rechteck sein, ein anderes mit demselben Verhältnis der Seitenlängen könnte beispielsweise Winkel von \(45^\circ\) und \(135^\circ\) haben. 4. Da die entsprechenden Winkel nicht zwangsläufig gleich groß sind, reicht die Angabe nicht aus.

Nein. Für ähnliche Vielecke müssen alle einander entsprechenden Winkel gleich groß sein und alle einander entsprechenden Seiten dasselbe Längenverhältnis haben. Das Verhältnis \(2:3\) innerhalb beider Parallelogramme legt die Winkel nicht fest.

- Achte darauf, welche Figur die Ausgangsfigur und welche die Zielfigur ist. - Überlege, ob die entsprechende Seite auf dem Weg vom ersten zum zweiten Fünfeck größer oder kleiner wird. - Für den Rückweg werden Ausgang und Ziel vertauscht.

1. Ein Ähnlichkeitsfaktor vom ersten zum zweiten Fünfeck beschreibt, mit welchem Faktor eine Länge des ersten Fünfecks zur entsprechenden Länge des zweiten wird. 2. Deshalb muss die Ziellänge durch die Ausgangslänge geteilt werden: \(k=9:6=1{,}5\). 3. Ben hat das Verhältnis umgekehrt und damit den Faktor für die andere Richtung berechnet. 4. Für den Rückweg gilt \(k=6:9=\frac{2}{3}\).

a) Ben hat Ausgangs- und Ziellänge vertauscht. b) \(k=1{,}5\) c) \(k=\frac{2}{3}\)

- Welches Verhältnis beschreibt die Form eines Rechtecks unabhängig von seiner Größe? - Bleibt ein Verhältnis gleich, wenn man zu beiden Größen denselben Betrag addiert? - Was geschieht mit einem Verhältnis, wenn beide Größen mit derselben Zahl multipliziert werden?

1. Beim ursprünglichen Schild beträgt das Verhältnis von Breite zu Höhe \(\frac{120}{80}=1{,}5\). 2. Bei Methode 1 entstehen \(160\,\text{cm}\) Breite und \(120\,\text{cm}\) Höhe. Das Verhältnis beträgt \(\frac{160}{120}=\frac{4}{3}\approx1{,}33\). 3. Da sich das Verhältnis von Breite zu Höhe geändert hat, ist das neue Rechteck nicht zum Original ähnlich. 4. Bei Methode 2 entstehen \(180\,\text{cm}\) Breite und \(120\,\text{cm}\) Höhe. Das Verhältnis beträgt \(\frac{180}{120}=1{,}5\). 5. Dieses Verhältnis stimmt mit dem des Ausgangsrechtecks überein; alle Winkel bleiben rechte Winkel. Daher sind die Rechtecke ähnlich.

Nur Methode 2 erzeugt ein ähnliches Rechteck. Bei Methode 1 ändert sich das Verhältnis von Breite zu Höhe von \(1{,}5\) auf etwa \(1{,}33\); bei Methode 2 bleibt es \(1{,}5\).

- Welche beiden Seiten von \(R_1\) und \(R_2\) entsprechen einander? - Welches gemeinsame Längenverhältnis muss für alle entsprechenden Seiten gelten? - Welche Eigenschaft der entsprechenden Winkel gehört ebenfalls zur Ähnlichkeit?

1. Da die Rechtecke ähnlich sind, gilt für entsprechende Seiten \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1}\). Die entsprechenden Seitenlängen stehen also im Verhältnis \(2{,}5:1\). 2. Damit ist \(b_2 = 4\,\text{cm} \cdot 2{,}5 = 10\,\text{cm}\). 3. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn entsprechende Winkel gleich groß sind und alle entsprechenden Seitenlängen im gleichen Verhältnis stehen.

a) \(b_2 = 10\,\text{cm}\) b) Entsprechende Winkel sind gleich groß, und alle einander entsprechenden Seiten haben dasselbe Längenverhältnis.

- Suche zuerst nach einem Eckpunkt mit einer besonderen Lage, zum Beispiel dem nach innen gerichteten Winkel. - Verfolge von diesem Punkt aus die Reihenfolge der Seiten, statt dich an der Ausrichtung der Figur zu orientieren. - Für das Längenverhältnis kannst du zwei entsprechende Strecken in Kästchen zählen.

1. Der einzige nach innen gerichtete Eckpunkt der linken Figur ist \(D\); ihm entspricht der nach innen gerichtete Eckpunkt \(P\). Von dort aus lässt sich die Reihenfolge der angrenzenden Seiten verfolgen. 2. Damit lautet die Zuordnung \(A\leftrightarrow S\), \(B\leftrightarrow T\), \(C\leftrightarrow U\), \(D\leftrightarrow P\), \(E\leftrightarrow Q\), \(F\leftrightarrow R\). 3. Eine Seite der Länge \(4\) Kästchen, etwa \(AB\), entspricht einer Seite der Länge \(8\) Kästchen, nämlich \(ST\). Daher beträgt das Längenverhältnis vom kleineren zum größeren Bild \(1:2\).

a) \(A\leftrightarrow S\), \(B\leftrightarrow T\), \(C\leftrightarrow U\), \(D\leftrightarrow P\), \(E\leftrightarrow Q\), \(F\leftrightarrow R\) b) \(1:2\)

- Suche zuerst einen Eckpunkt mit besonders auffälliger Umgebung. - Verfolge danach den Rand des Fünfecks in derselben Reihenfolge, auch wenn die Orientierung gespiegelt ist. - Vergleiche eine entsprechende Seitenlänge in Kästchen, sobald die Zuordnung feststeht.

1. Das zweite Fünfeck ist gegenüber dem ersten gespiegelt und in allen Längen verdoppelt. 2. Die charakteristische Spitze \(C\) entspricht \(L\), die beiden Nachbarpunkte \(B\) und \(D\) entsprechen \(M\) und \(K\). 3. Damit lautet die vollständige Zuordnung \(A\leftrightarrow N\), \(B\leftrightarrow M\), \(C\leftrightarrow L\), \(D\leftrightarrow K\), \(E\leftrightarrow P\). 4. Entsprechende Seitenlängen stehen im Verhältnis \(1:2\).

\(A\leftrightarrow N\), \(B\leftrightarrow M\), \(C\leftrightarrow L\), \(D\leftrightarrow K\), \(E\leftrightarrow P\); Verhältnis entsprechender Längen \(1:2\)

- Bestimme zuerst das Verhältnis der beiden entsprechenden Seiten. - Der Umfang ist eine Summe von Längen. Wie verändert sich deshalb der gesamte Umfang bei ähnlichen Figuren? - Achte darauf, in welche Richtung du vom bekannten größeren Umfang zum kleineren Umfang rechnest.

1. Entsprechende Seitenlängen des kleineren und größeren Fünfecks stehen im Verhältnis \(7{,}5:12=1:1{,}6\). 2. Daher stehen auch die Umfänge im Verhältnis kleiner : größer \(=1:1{,}6\). 3. Der kleinere Umfang beträgt deshalb \(56\,\text{cm}:1{,}6=35\,\text{cm}\).

\(35\,\text{cm}\)

- Welche Eigenschaften einer Figur ändern sich bei einer Spiegelung, welche nicht? - Vergleiche eine kurze und eine lange entsprechende Strecke in Kästchen. - Prüfe, ob dasselbe Längenverhältnis an mehreren Stellen des Umrisses wiederkehrt.

1. Eine Spiegelung verändert weder Winkelgrößen noch die Verhältnisse entsprechender Seitenlängen. Sie schließt Ähnlichkeit daher nicht aus. 2. Beim Pfeil b) sind alle entsprechenden Längen \(1{,}5\)-mal so groß wie bei a). 3. Damit ist b) eine gespiegelte maßstäbliche Vergrößerung von a); entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\). 4. Miras Aussage ist falsch.

Miras Aussage ist falsch. Die Pfeile sind ähnlich; entsprechende Längen stehen im Verhältnis \(1:1{,}5\).

- Welche zwei Arten von Eigenschaften müssen bei ähnlichen Vielecken zusammenpassen? - Prüfe Lenas Seitenvergleich zunächst unabhängig von den Winkeln. - Welche zusätzliche Information liefert die Winkelmarkierung?

1. Die Seitenlängen passen tatsächlich zu einem einheitlichen Längenverhältnis: \(8:4=4:2=2\). 2. Bei ähnlichen Vierecken müssen zusätzlich die entsprechenden Winkel gleich groß sein. 3. In a) beträgt der markierte Innenwinkel \(60^\circ\), in b) dagegen \(75^\circ\). 4. Deshalb sind die beiden Parallelogramme nicht ähnlich. Lenas Begründung berücksichtigt nur die Seitenlängen.

Lenas Behauptung ist falsch. Trotz proportionaler Seiten sind die Parallelogramme wegen \(60^\circ\neq75^\circ\) nicht ähnlich.

- Vergleiche bei den Rechtecken jeweils das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite. - Welche Seitenlänge ändert sich bei der Halbierung? - Setze für die gesuchte längere Seite eine Variable ein und vergleiche wieder dieselben beiden Verhältnisse.

1. Für \(R_1\) beträgt das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite \(\frac{18}{12}=1{,}5\), für \(R_2\) \(\frac{24}{16}=1{,}5\). Da die Verhältnisse gleich sind und alle Winkel \(90^\circ\) betragen, sind die Rechtecke ähnlich. 2. Nach der Halbierung hat jedes Teilrechteck die Seitenlängen \(12\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\). Das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite ist \(\frac{12}{9}\approx1{,}33\). Es stimmt nicht mit \(1{,}5\) überein; die Hälften sind daher nicht zum Original ähnlich. 3. Für die gesuchte lange Seite \(x\) muss gelten \(\frac{x}{12}=\frac{12}{x/2}\). Daraus folgt \(x^2=288\) und somit \(x=12\sqrt{2}\approx16{,}97\,\text{cm}\).

a) Ja, beide Rechtecke haben das Verhältnis \(1{,}5:1\) von längerer zu kürzerer Seite. b) Nein. Bei den Hälften beträgt dieses Verhältnis etwa \(1{,}33:1\), beim Original \(1{,}5:1\). c) Die längere Seite müsste \(12\sqrt{2}\,\text{cm}\approx16{,}97\,\text{cm}\) lang sein.

- Was genau bedeutet Ähnlichkeit bei geometrischen Figuren? - Gibt es für Dreiecke spezielle Sätze, die für Vierecke vielleicht nicht gelten? - Kannst du dir zwei Vierecke vorstellen, die die gleichen Winkel haben, aber unterschiedliche Längenverhältnisse entsprechender Seiten besitzen?

1. Definition der Ähnlichkeit: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn ihre entsprechenden Winkel gleich groß und ihre entsprechenden Seitenlängen proportional sind. 2. Fall a) Dreiecke: Die Aussage ist wahr. Bei Dreiecken reicht bereits die Übereinstimmung in der Größe zweier entsprechender Winkel für die Ähnlichkeit aus. 3. Fall b) Trapeze: Die Aussage ist falsch. Als Gegenbeispiel eignen sich zwei gleichschenklige Trapeze mit jeweils den Basiswinkeln \(45^\circ\) und \(135^\circ\): \(T_1\) habe Grundseiten \(6\,\text{cm}\) und \(2\,\text{cm}\) sowie Höhe \(2\,\text{cm}\); \(T_2\) habe Grundseiten \(8\,\text{cm}\) und \(4\,\text{cm}\) sowie ebenfalls Höhe \(2\,\text{cm}\). Beide haben dieselben Innenwinkel, aber die Verhältnisse entsprechender Grundseiten \(8:6\) und \(4:2\) stimmen nicht überein. Daher sind sie nicht ähnlich.

a) Die Aussage ist wahr, da bei Dreiecken die Übereinstimmung in der Größe zweier entsprechender Winkel bereits die Ähnlichkeit garantiert. b) Die Aussage ist falsch. Zwei Trapeze können dieselben Innenwinkel, aber nicht proportionale entsprechende Seiten haben; gleiche Winkel allein reichen bei Vierecken nicht aus.

- Vergleiche bei jeder Figur mehrere entsprechende Seiten und Winkel. - Prüfe, ob eine gleichmäßige Vergrößerung oder Verkleinerung zusammen mit Verschieben, Drehen oder Spiegeln ausreicht. - Suche bei jeder Figur nach einer Stelle, an der ein Winkel oder ein Seitenverhältnis nicht zur Ausgangsfigur passt.

1. Figur b) entsteht aus a) durch eine Drehung und eine maßstäbliche Vergrößerung mit dem Längenverhältnis \(2:1\). Daher ist b) zu a) ähnlich. 2. Bei c) werden nur die waagerechten Abstände verdoppelt. Dadurch ändern sich die Seitenverhältnisse; c) ist nicht ähnlich zu a). 3. Bei d) werden die Punkte waagerecht unterschiedlich weit verschoben. Dadurch ändern sich Winkel; d) ist nicht ähnlich zu a). 4. Nur b) ist zu a) ähnlich.

Nur b) ist zu a) ähnlich. b) entsteht durch eine Drehung und eine gleichmäßige Vergrößerung. c) ist nicht ähnlich, weil nur die waagerechten Abstände vergrößert werden und sich dadurch Seitenverhältnisse ändern. d) ist nicht ähnlich, weil die Punkte unterschiedlich weit waagerecht verschoben werden und sich dadurch Winkel ändern.

- Welche Seitenlängen haben die drei Teilrechtecke? - Welche Seite ist beim Teilrechteck die längere? - Welches Verhältnis muss beim Original und beim Teilrechteck übereinstimmen, damit die Rechtecke ähnlich sind?

1. Beim ursprünglichen Rechteck ist das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite \(\frac{b}{a}\). Durch die Dreiteilung haben die Teilrechtecke die Seitenlängen \(a\) und \(\frac{b}{3}\). 2. Damit ein Teilrechteck zum Original ähnlich ist, muss das Verhältnis der längeren zur kürzeren Seite gleich bleiben. Im Teilrechteck ist \(a\) die längere Seite. Daher gilt \(\frac{b}{a}=\frac{a}{b/3}\). 3. Daraus folgt \(\frac{b}{a}=\frac{3a}{b}\) und damit \(b^2=3a^2\). 4. Durch Division durch \(a^2\) erhält man \(\frac{b^2}{a^2}=3\). Daher ist \(\frac{b}{a}=\sqrt{3}\).

Das Verhältnis der langen zur kurzen Seite beträgt \(\sqrt{3}:1\).

- Welche feste Winkelsumme hat jedes Fünfeck? - Wenn vier Summanden in zwei gleich großen Gesamtsummen paarweise übereinstimmen, was gilt dann für die beiden verbleibenden Summanden? - Welche beiden Arten von Bedingungen gehören zur Ähnlichkeit allgemeiner Vielecke?

1. Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt \(540^\circ\). 2. Stimmen vier entsprechende Innenwinkel paarweise überein, dann müssen wegen derselben Winkelsumme auch die beiden jeweils fünften Innenwinkel gleich groß sein. 3. Damit stimmen alle entsprechenden Winkel überein. 4. Zusätzlich sind nach Voraussetzung alle entsprechenden Seitenlängen proportional. 5. Somit reichen die Angaben aus: Die beiden Fünfecke sind ähnlich.

Ja. Aus den vier gleichen Winkelpaaren folgt über die Innenwinkelsumme auch die Gleichheit des fünften Winkelpaars; zusammen mit den proportionalen Seiten sind die Fünfecke ähnlich.